Intégration mathématique et interprétation physique

de l’équation de Schrödinger

1 – Continuité et comportement de la fonction d’onde

2 – L’effet tunnel

3 – Les barrières de potentiel

4 – Les puits de potentiel

5 – Les puits de potentiel infini

6 – Les barrières de potentiel infini

Considérons un problème stationnaire unidimensionnel : Une particule de masse m, soumise à un potentiel V(x).

L’équation de Schrödinger sera :

1 -

Il s’agit pour une valeur donnée de E, d’une équation différentielle linéaire du second ordre.

d²Ψ(x) / dx² + (2m / ћ²) . (E0 – V0) . Ψ(x) = 0

Si Ψ1(x) et Ψ2(x) sont deux solutions linéairement indépendantes Toute solution est de la forme :

Ψ(x) = A . Ψ1(x) + B . Ψ2(x)

Supposons V(x) = V0

- Si E0 > V0 États libres

On pose k1²= 2m / ћ² . (E0 – V0)L’équation de Schrödinger s’écrit : d²Ψ(x) / dx² + k1² . Ψ(x) = 0

Les solutions complexes indépendantes sont : Ψ1(x) = eik1x et Ψ2(x) = e-ik1x

Et les solutions réelles indépendantes sont : Ψ1(x)= cos(kx) et Ψ2(x)= sin(kx)

Cela implique un comportement oscillatoire évident.

- Si E0 < V0 États liés

On pose k2² = 2m / ћ² . (V0 – E0)

L’équation de Schrödinger s’écrit : d²Ψ(x) / dx² - k2² . Ψ(x) = 0

Les solutions réelles indépendantes sont : Ψ1(x) = Ce-k2x et Ψ(x) = Dek2x

- Si E = V0

Au niveau des points tournants d²Ψ(x) / dx² s’annule.Ces points tournants sont des points d’inflexion de la fonction d’onde.

Les électrons avec une énergie cinétique inférieure à une barrière de potentiel peuvent néanmoins franchir celle-ci. C’est ce que l’on appelle l’ EFFET TUNNEL.

En faisant varier V0, on peut changer de type la zone.Plus on augmente V0 et moins les électrons E0 peuvent passer,ainsi la zone peut devenir isolante ou conductrice.Quelques exemples de potentiels :

Barrière Puit Rampe Rampe Puit Barrière positive négative infini infinie

2 -

Zone 1Ψ1

Zone 2Ψ2

Zone 3Ψ3

- Zone 1 Propagation

Ψ1 = Aeik1x + Be-ik1x avec Aeikx l’onde incidente et Be-ikx l’onde réfléchie.

- Zone 2 Atténuation / Évanescence

Ψ2 = Cek2x + De-k2x

- Zone 3 Propagation

Ψ3 = Eeik1x

|Ψ1|² + |Ψ2|² + |Ψ3|² =1

3 - Barrière

Zone 1Ψ1

Zone 2Ψ2

Zone 3Ψ3

Si l’énergie E0 est négative, la fonction d’onde sera « oscillatoire » entre -a et +a et exponentielle à l’extérieur, si elle est positive elle oscillera partout.

- Si - u < E0 < 0 États liés

La fonction d’onde étant paire ou impaire puisque V(x) est paire. Dans le puit, elle sera de la forme : Ψ(x)=A.cos kx ou Ψ(x)=A.sin kx

- Si E > 0 États libres

L’onde incidente va se diviser, en - a, en une onde réfléchie (de coefficient de réflexion r) et une onde transmise dans la zone 2 (de coefficient de transmission t).

|r|² + |t|² = 1

4 - Puit

Zone 1Ψ1

Zone 2Ψ2

Zone 3Ψ3

Le potentiel V(x) est défini par : |x| < a V(x) = 0 et |x| > a V(x) = ∞

Dans les zones 1 et 3 le potentiel V(x) est infini et la seule solution pour la fonction d’onde satisfaisant l’équation de Schrödinger est Ψ(x) = 0Dans la zone 2, [-a, a], V(x) garde une valeur constante V0 = 0. Nous savons que les solutions sont de la forme : Ψ = eikx, e-ikx, cos kx, sin kx avec k² = 2m . E . / ћ²Ainsi elles seront de la forme Ψ(x) = A . Cos kx et Ψ(x) = A . Sin kx

Les relations des énergies pour les fonctions paires et impaires peuvent s’ecrire à l’aide d’une formule unique :

En = (ћ² . π²) / 8m . a² . N²

5 - Puit infini

Zone 1Ψ1

Zone 2Ψ2

Zone 3Ψ3

En zone 1 et 3, V tend vers l’infini et il faudrait une énergie infinie pour mettre un électron, ce qui implique qu’il n’y a aucun électrons dans 1 et 3.Il faudra une électrode pour polariser et mettre des électrons dans la zone 2.

En zone 2, E0 > V0

Il y aura donc propagation et la solution sera de la forme :Ψ = A.eikx + B.e-ikx

Comme on l’a vu précédemment le comportement oscillatoire est évident et la solution réelle sera :

Ψ = A . Sin kx + B . Cos kx

6 - Barrière de potentiel