Post on 21-Jun-2022
Fonction partie entière
Rôle des paramètres
f(x) = a [ b (x – h) ] + k
Remarque : Tu devrais visionner la présentation « Fonction en escalier.ppt »
avant de visionner celle-ci.
La fonction partie entière est un type de fonction en escalier.
Ce qui la distingue, c’est sa régularité.
Impôt fédéral
Les marches ont toutes la même longueur.
Les marches ont des longueurs
différentes.
Fonction partie entière Fonction en escalier quelconque
La distance entre les marches est toujours
la même.
Les distances entre les marches
sont différentes.
f(x) = a [ b (x – h) ] + k
La fonction partie entière de base est représentée par f(x) = [ x ].
Les paramètres a, b, h, k vont transformer cette fonction de base.
Regardons, en premier, ce que signifie f(x) = [ x ].
Le symbole [ x ] signifie le plus grand entier inférieur ou égal à x.
Exemple : Si x = 2,25 alors [ x ] = [ 2,25 ] = 2.
Soit le plus grand entier inférieur à 2,25.
Si x = 45,99 alors [ x ] = [ 45,99 ] = 45.
2,25
0 2 1 3 … … -2 -3 -1
Si x = 489,23 alors [ x ] = [ 489,23 ] = 489.
Le plus grand
entier inférieur.
Si x = 26 alors [ x ] = [ 26 ] = 26.
Le symbole [ x ] signifie le plus grand entier inférieur ou égal à x.
Attention : Si x = - 2,25 alors [ x ] = [ - 2,25 ] = - 3
Soit le plus grand entier inférieur à - 2,25.
Si x = - 78,1 alors [ x ] = [ - 78,1 ] = - 79.
- 2,25
Le plus grand
entier inférieur.
0 2 1 3 … … -2 -3 -1
… … - 78 - 79 - 77
- 78,1
Le plus grand
entier inférieur.
La fonction partie entière sert à représenter certaines situations dans lesquelles
la variable dépendante ne varie pas alors que la variable indépendante varie.
Prenons comme exemple ton âge.
À ton dernier anniversaire, tu as eu 15 ans.
À 15 ans et 1 mois, tu as encore 15 ans.
À 15 ans et 3 mois, tu as encore 15 ans.
À 15 ans et 6 mois, tu as encore 15 ans.
À 15 ans et 9 mois, tu as encore 15 ans.
tu auras 16 ans.
Durant toute l’année, on ne retient que la partie entière de ton âge, soit 15
ans.
Variable indépendante Variable dépendante
À 15 ans et 12 mois,
soit à ton prochain
anniversaire,
Chaque trait vertical représente 1 mois.
Représentons par un graphique l’âge d’un enfant.
Années depuis
la naissance
Âge
Âge d’un enfant
0 1 2 3 4 5 6
1
4
2
3
5
6
7
Durant toute la première année, l’âge est de 0 an. x varie, mais y ne varie pas,
Durant toute la deuxième année, l’âge est de 1 an. x varie, mais y ne varie pas,
Ainsi de suite.
Le modèle théorique de la fonction partie entière de base est : f(x) = [ x ]
1 2 3 4 5 6 -6 -5 -4 -3 -2 -1
-1
-2
-3
-4
-5
5
4
3
2
1
- La longueur des marches est
de 1 unité.
- Les intervalles de valeurs
de la variable indépendante
sont fermés à gauche,
ce qui signifie que la première
valeur de l’intervalle est incluse.
: [ 0 , 1 [ Exemple :
- La distance entre les marches est
de 1 unité.
La fonction f , partie entière de x , qui associe à chaque nombre réel x le
plus grand entier inférieur ou égal à x est définie par f(x) = [ x ] ;
dom f = IR et ima f = Z.
- L’ordonnée à l’origine est 0.
- Les abscisses à l’origine sont dans
l’intervalle [ 0 , 1 [ .
Soit la partie entière seulement.
{ … -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, … }
Caractéristiques :
x
y
La fonction partie entière de base est f(x) = [ x ] .
Les paramètres a, b, h, k transforment cette fonction de base.
On obtient alors f(x) = a [ b (x – h) ] + k
Regardons le rôle joué par chacun de ces paramètres.
Pour bien comprendre ces rôles, utilisons une table de valeurs restreinte et le
graphique qui lui est associé.
Forme canonique.
-2 -1,1 -1 -0,1 0 0,9 1 1,9 2
-2 -2 -1 -1 0 0 1 1 2
x
f(x) = [ x ]
x
y
1 2 -1 -2
1
2
-1
-2
x
y
1 2 -1 -2
1
2
-1
-2
Pour mieux comprendre le rôle de chaque paramètre, neutralisons les autres.
f(x) = a [ b (x – h) ] + k b = 1, h = 0 et k = 0
Le paramètre a :
Fonction de base.
f(x) = a [ 1 (x – 0) ] + 0 f(x) = a [ x ]
-2
-2
-1,1
-2
-1
-1
-0,1
-1
0
0
0,9
0
1
1
1,9
1
2
2
-2 -2 -1 -1 0 0 1 1 2
x
f(x) = [ x ]
f(x) = 1 [ x ]
f(x) = 1 [ x ]
f(x) = 1 [ x ] f(x) = [ x ]
f(x) = - 1 [ x ]
1 2 -1 -2
1
2
-1
-2
1 2 -1 -2
1
2
-1
-2
x
y
Fonction croissante.
Fonction décroissante. Réflexion par rapport à
l’axe des x .
x
y
-2
2
-1,1
2
-1
1
-0,1
1
0
0
0,9
0
1
-1
1,9
-1
2
-2
-2 -2 -1 -1 0 0 1 1 2
x
f(x) = [ x ]
f(x) = - 1 [ x ]
f(x) = 1 [ x ]
x
y
1 2 -1 -2
1
2
-1
-2
x
f(x) = [ x ]
x
y
1 2 -1 -2
1
2
-1
-2
a > 1
Étirement vertical.
La distance verticale
entre les marches
augmente.
0 < a < 1
Compression verticale.
La distance verticale
entre les marches
diminue.
…
…
-1
-2
-0,1
-2
0
0
0,9
0
1
2
1,9
2
…
…
… -1 -1 0 0 1 1 …
f(x) = 2 [ x ]
-2
-1
-1,1
-1
-1
-0,5
-0,1
-0,5
0
0
0,9
0
1
0,5
1,9
0,5
-2 -2 -1 -1 0 0 1 1
x
f(x) = [ x ]
…
…
…
f(x) = 0,5 [ x ]
x
y
1 2 -1 -2
1
2
-1
-2
Pour mieux comprendre le rôle de chaque paramètre, neutralisons les autres.
f(x) = a [ b (x – h) ] + k a = 1, h = 0 et k = 0
Le paramètre b :
Fonction de base.
f(x) = 1 [ b (x – 0) ] + 0 f(x) = [ b x ]
[ -2 ] [ -1,1 ] [ -1 ] [ -0,1 ] [ 0 ] [ 0,9 ] [ 1 ] [ 1,9 ] [ 2 ] f(x) = [ 1 x ]
f(x) = [ 1 x ]
x -2 -1,1 -1 -0,1 0 0,9 1 1,9 2
-2 -2 -1 -1 0 0 1 1 2
f(x) = [ b x ]
f(x) = [ 1 x ] f(x) = [ x ]
[ 2 ] [ 1,9 ] [ 1 ] [ 0,9 ] [ 0 ] [ -0,1 ] [ -1 ] [ -1,1 ] [ -2 ] f(x) = [ -1 x ]
f(x) = [ -1 x ]
x -2 -1,9 -1 -0,9 0 0,1 1 1,1 2
2 1 1 0 0 -1 -1 -2 -2
x
y
1 2 -1 -2
1
2
-1
-2
f(x) = [ - b x ]
Fonction décroissante. Réflexion par rapport à
l’axe des y.
Fonction croissante.
b > 0
b < 0
x
y
1 2 -1 -2
1
2
-1
-2
f(x) = [ 1 x ]
b > 1
0 < b < 1
Compression
horizontale.
La longueur des
marches (intervalles)
diminue.
Étirement
horizontal.
La longueur des
marches (intervalles)
augmente.
[ -2 ] [ -1,2 ] [ -1 ] [ -0,2 ] [ 0 ] [ 0,8 ] [ 1 ] [ 1,8 ] [ 2 ] f(x) = [ 2 x ]
f(x) = [ 2 x ]
x -1 -0,6 -0,5 -0,1 0 0,4 0,5 0,9 1
-2 -2 -1 -1 0 0 1 1 2
x
y
1 2 -1 -2
1
2
-1
-2
[ -1 ] [ -0,5 ] [ -0,05 ] [ 0 ] [ 0,5 ] [ 0,95 ] [ 1 ] [ 1,25 ] [ 1,5 ] f(x) = [ 0,5 x ]
f(x) = [ 0,5 x ]
x -2 -1 -0,1 0 1 1,9 2 2,5 3
-1 -1 -1 0 0 0 1 1 1
x
y
1 2 -1 -2
1
2
-1
-2
x
y
1 2 -1 -2
1
2
-1
-2
Pour mieux comprendre le rôle de chaque paramètre, neutralisons les autres.
f(x) = a [ b (x – h) ] + k a = 1, b = 1 et k = 0
Le paramètre h :
f(x) = [ x – h ]
-1
[ -2 ]
Translation horizontale
vers la droite.
f(x) = 1 [ 1 (x – h) ] + 0 f(x) = [ (x – h) ] f(x) = [ x – h ]
x
f(x) = [ x – 1 ]
f(x) = [ x – 1 ] -2
-0,1
[ -1,1 ]
-2
0
[ -1 ]
-1
0,9
[ -0,1 ]
-1
1
[ 0 ]
0
1,9
[ 0,9 ]
0
2
[ 1 ]
1
2,9
[ 1,9 ]
1
3
[ 2 ]
2
x
y
1 2 -1 -2
1
2
-1
-2
f(x) = [ x + 1 ]
f(x) = [ x – h ]
Translation horizontale
vers la gauche.
h = - 1
2
[ -2 ]
-3
-2
[ -1,1 ]
-2,1
-2
[ -1 ]
-2
-1
[ -0,1 ]
-1,1
-1
[ 0 ]
-1
0
[ 0,9 ]
-0,1
0
[ 1 ]
0
1
[ 1,9 ]
0,9
1
[ 2 ]
1 x
f(x) = [ x + 1 ]
-2
-2
-1
-2
-1,1
-1
-1
-1
0
-1
-0,1
0
0
0
1
0
0,9
1
1
1
2
1
1,9
2
f(x) = [ x ]
f(x) = [ x ] + 1
x
y
1 2 -1 -2
1
2
-1
-2
Pour mieux comprendre le rôle de chaque paramètre, neutralisons les autres.
f(x) = a [ b (x – h) ] + k a = 1, b = 1 et h = 0
Le paramètre k :
f(x) = [ x ] + k
Translation verticale
vers le haut.
f(x) = 1 [ 1 (x – 0) ] + k f(x) = [ x ] + k
x
…
…
…
f(x) = [ x ] + k
Translation verticale
vers le bas.
…
-1
-1
-2
-1
-0,1
-2
0
0
-1
0
0,9
-1
1
1
0
1
1,9
0
2
2
1
2
2,9
1
…
…
f(x) = [ x ]
f(x) = [ x ] - 1
x
x
y
1 2 -1 -2
1
2
-1
-2
k = -1
1 2 -1 -2
1
2
-1
-2
1 2 -1 -2
1
2
-1
-2
1 2 -1 -2
1
2
-1
-2
1 2 -1 -2
1
2
-1
-2
1 2 -1 -2
1
2
-1
-2
1 2 -1 -2
1
2
-1
-2
f(x) = a [ x ] f(x) = a [ x ] f(x) = a [ x ]
f(x) = a [ x ] f(x) = a [ x ] f(x) = a [ x ]
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
En résumé :
a > 1 0 < a < 1 a = 1
a < -1 -1 < a < 0
Le paramètre a
a = -1
1 2 -1 -2
1
2
-1
-2
1 2 -1 -2
1
2
-1
-2
1 2 -1 -2
1
2
-1
-2
1 2 -1 -2
1
2
-1
-2
1 2 -1 -2
1
2
-1
-2
1 2 -1 -2
1
2
-1
-2
f(x) = [ b x ]
f(x) = [ b x ] f(x) = [ b x ]
f(x) = [ b x ] f(x) = [ b x ] f(x) = [ b x ]
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
b > 1 0 < b < 1 b = 1
b < -1 -1 < b < 0
En résumé : Le paramètre b
b = -1
1 2 -1 -2
1
2
-1
-2
1 2 -1 -2
1
2
-1
-2
1 2 -1 -2
1
2
-1
-2
f(x) = [ x ] f(x) = [ x ] + k f(x) = [ x ] + k
x
y
x
y
x
y
1 2 -1 -2
1
2
-1
-2
1 2 -1 -2
1
2
-1
-2
f(x) = [ x ] f(x) = [ x + h ] f(x) = [ x – h ]
x
y
x
y
x
y
1 2 -1 -2
1
2
-1
-2
h < 0 h > 0
k < 0 k > 0
En résumé : Le paramètre h
Le paramètre k
1 2 -1 -2
1
2
-1
-2
x
y
1 2 -1 -2
1
2
-1
-2
x
y
Remarque : a et b du même signe. Fonction croissante.
a et b de signes contraires.
b : négatif a : négatif
Fonction décroissante.
b : positif
b : négatif
1 2 -1 -2
1
2
-1
-2
x
y
a : négatif
a : positif
b : positif
1 2 -1 -2
1
2
-1
-2
x
y
a : positif
Attention
Pour interpréter correctement les paramètres d’une fonction partie entière, il faut
que celle-ci soit écrite en forme canonique.
Exemple :
f(x) = a [ b (x – h) ] + k
f(x) = 2 [ 2x – 4 ] + 1 Ce n’est pas la forme canonique.
f(x) = 2 [ 2 (x – 2) ] + 1 C’est la forme canonique.
Exemple : f(x) = 3 [ 5 - x ] - 2 Ce n’est pas la forme canonique.
C’est la forme canonique.
f(x) = 3 [ - x + 5 ] - 2
f(x) = 3 [ - ( x – 5 ) ] - 2
Simple mise en évidence.
Simple mise en évidence.
Ce n’est pas la forme canonique.
a = 2 b = 2 h = 2 k = 1
a = 3 b = -1 h = 5 k = -2
Le coefficient de x doit être +1.
Pour bien comprendre la fonction partie entière, c’est-à-dire :
- analyser les caractéristiques de la fonction;
- déterminer la règle de la fonction;
- tracer le graphique de la fonction;
- résoudre l’équation;
il faut bien saisir le rôle de chaque paramètre.