fonction exponentielle

Table des matières

1 fonction exponentielle de base e 21.1 définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

1.1.1 activité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1.2 à retenir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 valeurs remarquables et propriétés algébriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2.1 activité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2.2 à retenir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2.3 exercices : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.3 dérivation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3.1 activité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3.2 à retenir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.3.3 exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.4 limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.4.1 activité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.4.2 à retenir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.4.3 exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.5 équations et inéquations avec exponentiels. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.5.1 activité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.5.2 à retenir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.5.3 exercices : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.6 étude de variations de fonctions ou apparaît la fonction exponentielle. . . . . . . . . . . . . . . . . 331.6.1 activité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331.6.2 exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

1.7 étude de variations de fonctions où apparaît la composée eu où u est une fonction. . . . . . . . . . 471.7.1 activité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471.7.2 à retenir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 491.7.3 exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

1.8 évaluations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

2 fonction exponentielle de base a 692.1 activité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 692.2 à retenir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 712.3 exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 722.4 évaluations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

1

1 fonction exponentielle de base e

1.1 définition

1.1.1 activité

A. résoudre chacune des équations en valeur exacte puis en valeur décimale à 0,1 près, puis, compléterchacune des phrases.

a. lny = 2 ⇐⇒ ...... est le seul et unique nombre dont le ... est égal à 2 soit ln(e...) = ...

b. lny = 0 ⇐⇒...... est le seul et unique nombre dont le logarithme est égal à ... soit ln(e...) = ...

c. lny = −2 ⇐⇒...... est le seul et unique nombre dont le logarithme est égal à ...

d. lny = x où x ∈ R ⇐⇒...... est le seul et unique nombre dont le logarithme est égal à ... soit ...

1.1.2 à retenir

la fonction exponentielle associe à tout nombre réel xle nombre noté exp(x) = ex appelé l’exponentiel de x

tel que :ex est égal au seul et unique nombre y tel que lny = x

Remarques :

(a) ex existe et est unique est du au fait que la fonction x 7−→ lnx est strictement croissante sur ]0;+∞[avec lim

x→0+lnx = −∞ et lim

x→+∞

lnx = +∞

(b) ex existe ...

(c) quel que soit x ∈ R, ln(e...) = ...

(d) quel que soit x ∈ R, ex est toujours un nombre de signe ...

1.2 valeurs remarquables et propriétés algébriques

1.2.1 activité

A. retrouver logiquement les valeurs de e0 et e1

a. ln1 = ... ⇐⇒ e0 =...

b. lne = ... ⇐⇒ e1 =... ≃...

B. compléter les démonstrations suivantes où a et b sont des réels quelconques.

1.ln(ea+b) = ...

ln(ea × eb) = ... = ...

}

=⇒ ... = ... =⇒ ... = ...

2.ln(ea−b) = ...

ln(ea

eb) = ... = ...

}

=⇒ ... = ... =⇒ ... = ...

3.ln[(ea)b] = ... = ... = ...

ln(eab) = ...

}

=⇒ ... = ... =⇒ ... = ...

4. Soit x > 0 : y = elnx =⇒ lny = ... =⇒ lny = ... =⇒ y = ... =⇒ x = ...

1.2.2 à retenir

Quels que soient les nombres réels x et y on a :

��

��e1 = e ≃ 2, 718

��

��e0 = 1

��

��exy = (ex)y

��

��ex × ey = ex+y

�

�

ex

ey= ex−y

�

�

1

ex= e−x

��

��elnx = x

��

��ln(ex) = x

1.2.3 exercices :

1. simplifier les expressions suivantes :

(a) e8 × e−2 + eln2 + ln1 +e8

e2− ln(e2) + (e2)3 −

3

e−6

(b) 7e6e6a−6(1

e6)a + 6

(c) 4ln(ea) + 9(lne)a + 6lne+ 7alne − 4elna − 9eln1 − 7a où a > 0

(d) (ex + 1)(ex − 1)− (ex+1)(ex−1)

1.3 dérivation

1.3.1 activité

A. compléter les démonstrations suivantes qui utilisent le fait que : (lnu)′ = u′

u

1. ln(ex) = x =⇒ (ln(ex))′ = (x)′ =⇒( )′

ex= ... =⇒ (ex)′ = ...

2. ln(eu) = u =⇒ (ln(eu))′ = (u)′ =⇒eu

= ... =⇒ (eu)′ = ...

B. en déduire.

1. f(x) = 4x3 − 6x2 − 10x+ 2 +1

x+ 5lnx+ 2ex =⇒ f ′(x) = ...

2. f(x) = e10x+2 =⇒ f ′(x) = ...

3. f(x) = e5x2−2x+2 =⇒ f ′(x) = ...

1.3.2 à retenir

f(x) f ′(x)

ex ex

eax aeax où a ∈ R

eax+b aeax+b où a ∈ R et b ∈ R

eu u′eu où u est une fonction dérivable

1.3.3 exercices

1. calculer les dérivées des fonctions suivantes (42 page 156)

(a) f(x) = x+ 3− ex

(b) f(x) = x2 − 2x+ 10ex

(c) f(x) = xex

(d) f(x) = (2x+ 1)ex

(e) f(x) =ex − 1

ex + 1

(f) f(x) = 2e0,5x+3 − e−x

1.4 limites

1.4.1 activité

A. limites de f(x) = ex en −∞ et en +∞

1. compléter le tableau de valeurs suivant grâce à la calculatrice

x -5 -3 -1 0 1 3 5ex

2. donner l’allure de la courbe de la fonction x 7−→ ex grâce à la calculatrice

20

40

60

80

100

120

140

0 1 2 3 4−1−2−3−4−5

y

0 x

3. conjecturer les valeurs des limites suivantes :

a. limx→−∞

ex = ... b. limx→+∞

ex = ...

B. formes indéterminée en +∞ et croissances comparées

1. vérifier que limx→+∞

ex

xest une forme indéterminée puis compléter le tableau de valeurs suivant

x 1 10 50 100ex

x

2. conjecturer la valeur de la limite suivante : limx→+∞

ex

x= ...

3. conjecturer la valeur de la limite suivante : limx→+∞

ex

xn= ... où n est un entier naturel

4. on dit que ......... l’emporte sur toute ........... de .... en ............

C. formes indéterminée en −∞ et croissances comparées

1. vérifier que limx→−∞

xex est une forme indéterminée puis compléter le tableau de valeurs suivant

x -100 -50 -10 1xex

2. conjecturer la valeur de la limite suivante : limx→−∞

xex = ...

3. conjecturer la valeur de la limite suivante : limx→−∞

xnex = ...

4. on dit que ......... l’emporte sur toute ........... de .... en ............

corrigé activité

A. limites de f(x) = ex en −∞ et en +∞

1. tableau de valeurs grâce à la calculatrice

x -5 -3 -1 0 1 3 5ex 0, 007 0, 05 0, 38 1 2, 718 20, 1 148, 4

2. allure de la courbe de la fonction x 7−→ ex grâce à la calculatrice

20

40

60

80

100

120

140

0 1 2 3 4−1−2−3−4−5

y

0 x

3. ceci permet de conjecturer les valeurs des limites suivantes :

a.�

�

lim

x→−∞

ex = 0 b.�

�

lim

x→+∞

ex = +∞

B. formes indéterminée en +∞ et croissances comparées

1. limx→+∞

ex

xest une forme indéterminée :

+∞

+∞

x 1 10 50 100ex

x2, 718 2202, 6 1, 03 × 1020 2, 7× 1041

2. ceci permet de conjecturer la valeur de la limite suivante :

�

�

lim

x→+∞

ex

x= +∞

3. on conjecture la valeur de la limite suivante :

�

�

lim

x→+∞

ex

xn= +∞ où n est un entier naturel

4. on dit que ex l’emporte sur toute puissance de x en +∞

C. formes indéterminée en −∞ et croissances comparées

1. limx→−∞

xex est une forme indéterminée : (−∞)× 0

x -100 -50 -10 1xex −3, 7× 10−42 −9, 6× 10−21 −4, 5 × 10−4 2, 718

2. ceci permet deconjecturer la valeur de la limite suivante :�

�

lim

x→−∞

xex = 0

3. on conjecture la valeur de la limite suivante :�

�

lim

x→−∞

xnex = 0

4. on dit que ex l’emporte sur toute puissance de n en −∞

1.4.2 à retenir

�

�

lim

x→−∞

ex = 0�

�

lim

x→+∞

ex = +∞

�

�

lim

x→+∞

ex

x= +∞

�

�

lim

x→+∞

ex

xn= +∞

�

�

lim

x→−∞

xex = 0�

�

lim

x→−∞

xnex = 0 où n ∈ N

Remarque : en −∞ et +∞, ex l’emporte sur toute puissance de x.

1.4.3 exercices

34 page 155déterminer les limites en +∞ et −∞ et préciser s’il y a des droites asymptotes

(a) f(x) = xex − 2

(b) f(x) = −x+ 4 + 2ex

corrigé 34 page 155déterminer les limites en +∞ et −∞ et préciser s’il y a des droites asymptotes

(a) f(x) = xex − 2

en −∞ :

limx→−∞

(xex − 2)

= limx→−∞

xex + limx→−∞

−2

= 0− 2 =��

��−2

donc en −∞, f admet une��

��asymptote horizontale d’équation y = −2

en +∞ :

limx→+∞

(xex − 2)

= limx→+∞

xex + limx→+∞

−2

= limx→+∞

x× limx→+∞

ex + limx→+∞

−2

=��

��+∞

(b) f(x) = −x+ 4 + 2ex

en −∞ :

limx→−∞

(−x+ 4 + 2ex)

= limx→−∞

−x+ limx→−∞

4 + limx→−∞

2ex

= −(−∞) + 4 + (+∞)

=��

��+∞

en +∞ :

limx→+∞

(−x+ 4 + 2ex)

conduit à une forme indéterminée, on met x en facteur

= limx→+∞

x(−1 +4

x+ 2

ex

x)

= +∞× (−1 + 0 + (+∞))

=��

��−∞

35 page 155déterminer les limites de f au bornes de son domaine de définition et préciser s’il y a des droites asymptotesavec

(a) f(x) =1

x+ 1− 3ex pour x ∈]0 ; +∞[

corrigé 35 page 155déterminer les limites de f au bornes de son domaine de définition et préciser s’il y a des droites asymptotesavec

(a) f(x) =1

x+ 1− 3ex pour x ∈]0 ; +∞[

en 0+ :

limx→0+

(1

x+ 1− 3ex)

= limx→0+

1

x+ lim

x→0+1 + lim

x→0+−3ex

= +∞+ 1− 3× e0

=��

��+∞

donc en 0+, f admet une��

��asymptote verticale d’équation x = 0

en +∞ :

limx→+∞

(1

x+ 1− 3ex)

= limx→+∞

1

x+ lim

x→+∞

1 + limx→+∞

−3ex

= 0 + 1−∞

=��

��−∞

36 page 155déterminer les limites en +∞ et −∞ et préciser s’il y a des droites asymptotes

(a) f(x) = (1− 2x)ex

corrigé 36 page 155déterminer les limites en +∞ et −∞ et préciser s’il y a des droites asymptotes

(a) f(x) = (1− 2x)ex

en −∞ :

limx→−∞

((1 − 2x)ex)

conduit à une forme indéterminée, on développe

= limx→−∞

(ex − 2xex)

= limx→−∞

ex − 2 limx→−∞

xex

= 0− 0

=��

��0

donc en −∞, f admet une��

��asymptote horizontale d’équation y = 0

en +∞ :

limx→+∞

((1 − 2x)ex)

= limx→+∞

(1− 2x)× limx→+∞

ex

= (−∞)× (+∞)

=��

��−∞

37 page 155déterminer les limites en +∞ et −∞ et préciser s’il y a des droites asymptotes

(a) f(x) =e− x

ex + 1(en +∞ on pourra mettre x en facteur au numérateur et ex en facteur au dénominateur)

corrigé 37 page 155déterminer les limites en +∞ et −∞ et préciser s’il y a des droites asymptotes

(a) f(x) =e− x

ex + 1

en −∞ :

limx→−∞

e− x

ex + 1

=lim

x→−∞

(e− x)

limx→−∞

(ex + 1)

=e− (−∞)

0 + 1

=��

��+∞

en +∞ :

limx→+∞

e− x

ex + 1

conduit à une forme indéterminée,on met x en facteur au numérateur et ex en facteur au dénominateur

= limx→+∞

x

ex×

e

x− 1

1 +1

ex

= 0×0− 1

1 + 0

=��

��0

donc en +∞, f admet une��

��asymptote horizontale d’équation y = 0

44 page 155déterminer les limites suivantes et préciser s’il y a des droites asymptotes

(a) limx→+∞

(x2 + ex)

(b) limx→−∞

(−x+ 4ex)

(c) limx→+∞

(1

x− 3ex)

(d) limx→−∞

e+ x

2 + ex

corrigé 44 page 155déterminer les limites suivantes et préciser s’il y a des droites asymptotes

(a) limx→+∞

(x2 + ex) = +∞+ (+∞) =��

��+∞

(b) limx→−∞

(−x+ 4ex) = −(−∞) + 4× 0 =��

��+∞

(c) limx→+∞

(1

x− 3ex) = 0− 3× (+∞) =

��

��−∞

(d) limx→−∞

e+ x

2 + ex=

e−∞

2 + 0=

��

��−∞

45 page 156déterminer les limites suivantes et préciser s’il y a des droites asymptotes

(a) limx→+∞

(1−ex

x)

(b) limx→+∞

(x+ 1

ex)

(c) limx→−∞

(x+ 1 + xex)

(d) limx→−∞

(3x− 1)ex

corrigé 45 page 156déterminer les limites suivantes et préciser s’il y a des droites asymptotes

(a) limx→+∞

(1−ex

x) = 1− (+∞) =

��

��−∞

(b) limx→+∞

(x+ 1

ex) = lim

x→+∞

x

ex+ lim

x→+∞

1

ex= 0 + 0 =

��

��0

(c) limx→−∞

(x+ 1 + xex) = −∞+ 1 + 0 =��

��−∞

(d) limx→−∞

(3x− 1)ex = limx→−∞

3xex − limx→−∞

ex = 3× 0− 0 =��

��0

1.5 équations et inéquations avec exponentiels.

1.5.1 activité

A. résoudre les équations suivantes.

1. ex = 2 ⇐⇒ ... ⇐⇒ ...

2. ex = 0 ⇐⇒ ...

3. ex = −2 ⇐⇒ ...

4. ex = e−2 ⇐⇒ ... ⇐⇒ ...

B. résoudre les inéquations suivantes.

1. ex < 2 ⇐⇒ ... ⇐⇒ ...

2. ex > 0 ⇐⇒ ...

3. ex > −2 ⇐⇒ ...

4. ex < e−2 ⇐⇒ ... ⇐⇒ ...

1.5.2 à retenir

ex = ey

ex > ey

ex = ey ⇐⇒ x = y pour tout x et y dans R

ex > ey ⇐⇒ x > y pour tout x et y dans R (idem pour < ou ≤ ou ≥ )

ex = a

ex = a ⇐⇒ x = lna pour tout nombre réel a > 0

ex = 0 n’a pas de solution dans R car un exponentiel est positif strict

ex = a où a < 0 n’a pas de solution dans R car un exponentiel est positif strict

ex < a

ex > a ⇐⇒ x > lna pour tout nombre réel a > 0

ex < a ⇐⇒ x < lna pour tout nombre réel a > 0

Remarque : cette propriété permet de résoudre des (in)équations où apparaît l’exponentiel.

1.5.3 exercices :

18 page 154 : Résoudre les équations suivantes.

(a) ex−3 = 1

(b) e−x−2 = e

(c) ex−3 = e2x+1

corrigé 18 page 154 : Résoudre les équations suivantes.

(a) ex−3 = 1

⇐⇒ ln(ex−3) = ln(1)

⇐⇒ x− 3 = 0

⇐⇒ x = 3

��

��S = {3}

(b) e−x−2 = e

⇐⇒ ln(e−x−2) = ln(e)

⇐⇒ −x− 2 = 1

⇐⇒ x = −3

��

��S = {−3}

(c) ex−3 = e2x+1

⇐⇒ ln(ex−3) = ln(e2x+1)

⇐⇒ x− 3 = 2x+ 1

⇐⇒ x = −4

��

��S = {−4}

20 page 154 : Résoudre les inéquations suivantes.

(a) 1− ex ≥ 0

(b) 2− e−2x+1 ≤ 0

(c) 3e−x − 2 ≥ 0

(d) e0,5x+1 ≥ 1

corrigé 20 page 154 : Résoudre les inéquations suivantes.

(a) 1− ex ≥ 0

⇐⇒ 1 ≥ ex

⇐⇒ ln(1) ≥ ln(ex)

⇐⇒ 0 ≥ x

��

��S =]−∞ ; 0[

(b) 2− e−2x+1 ≤ 0

⇐⇒ 2 ≤ e−2x+1

⇐⇒ ln(2) ≤ −2x+ 1

⇐⇒ x ≤1− ln(2)

2�

�

S =]−∞ ;

1− ln(2)

2[

(c) 3e−x − 2 ≥ 0

⇐⇒ 3e−x ≥ 2

⇐⇒ e−x ≥2

3

⇐⇒ −x ≥ ln(2

3)

⇐⇒ x ≤ −ln(2

3)

�

�

S =]−∞ ; −ln(

2

3)[

(d) e0,5x+1 ≥ 1

⇐⇒ ln(e0,5x+1) ≥ ln(1)

⇐⇒ 0, 5x + 1 ≥ 0

⇐⇒ 0, 5x ≥ −1

⇐⇒ x ≥−1

0, 5��

��S =]− 2 ; +∞ [

exercice

Une ville compte actuellement 10000 habitants

(a) hypothèse 1 : le taux de variation annuel de la population est estimé à +5% pour les années à venir.

i. résoudre l’inéquation : 10000 × 1, 05x ≥ 20000

ii. Dans combien d’année la ville devrait-elle alors compter plus de 20000 habitants ?

(b) hypothèse 2 : le taux de variation annuel de la population est estimé à −5% pour les années à venir.

i. résoudre l’inéquation : 10000 × 0, 95x ≤ 5000

ii. Dans combien d’année la ville devrait-elle alors compter moins de 5000 habitants ?

corrigé exercice

Une ville compte actuellement 10000 habitants

(a) hypothèse 1 : le taux de variation annuel de la population est estimé à +5% pour les années à venir.

i. résoudre l’inéquation : 10000 × 1, 05x ≥ 20000

10000 × 1, 05x ≥ 20000

⇐⇒ 1, 05x ≥20000

10000

⇐⇒ ln(1, 05x) ≥ ln2

⇐⇒ xln(1, 05) ≥ ln2

⇐⇒ x ≥ln2

ln1, 05(≃ 14, 2)

�

�

�

S =]

ln2

ln1, 05;+∞[

ii. Dans combien��

��15 ans la ville devrait alors compter plus de 20000 habitants

(b) hypothèse 2 : le taux de variation annuel de la population est estimé à −5% pour les années à venir.

i. résoudre l’inéquation : 10000 × 0, 95x ≤ 5000

10000 × 0, 95x ≤ 5000

⇐⇒ 0, 95x ≤5000

10000

⇐⇒ ln(0, 95x) ≤ ln0, 5

⇐⇒ xln(0, 95) ≤ ln0, 5

⇐⇒ x ≥ln0, 5

ln0, 95(≃ 13, 5)

�

�

�

S =]−∞;

ln0, 5

ln0, 95[

ii. Dans��

��14 ans la ville devrait alors compter moins de 5000 habitants

1.6 étude de variations de fonctions ou apparaît la fonction exponentielle.

1.6.1 activité

a. soit f(x) = ex pour x ∈ R on a : f ′(x) = ...

b. étude de l’annulation et du signe de f ′(x) : ...

c. tableau de variations de f :

x −∞ +∞

f ′(x)

f(x) = ex

limx→−∞

ex = ... limx→+∞

ex = ...

d. tableau de valeurs f :x -5 -2 -1 0 1 2

f(x) = ex

e. courbe f

1

2

3

4

5

6

0 1−1−2−3−4−5

y

0x

remarque : la droite d’équation ... est asymptote ... à la courbe de f en ...

f. équation de la droite tangente à la courbe en x = 0 :

g. aire sous la courbe entre x = 0 et x = 1 :

corrigé activité

a. soit f(x) = ex pour x ∈ R on a :��

��f ′(x) = ex

b. étude de l’annulation et du signe de f ′(x) :

ex = 0 n’a aucune solution dans R donc��

��f ′(x) ne s’annule pas sur R

ex est positif strict pour tout x dans R donc��

��f ′(x) est positif strict pour tout x ∈ R

c. tableau de variations de f :

x −∞ +∞

f ′(x)

+∞f(x) = ex ր

0

�

�

lim

x→−∞

ex = 0�

�

lim

x→+∞

ex = +∞

d. tableau de valeurs f :x -5 -2 -1 0 1 2

f(x) = ex 0, 007 0, 135 0, 368 1 2, 718 7, 389

e. courbe f

1

2

3

4

5

6

0 1−1−2−3−4−5

y

0x

remarque :��

��la droite d’équation y = 0 est asymptote horizontale à la courbe de f en −∞

f. équation de la droite tangente à la courbe en x = 0 :

y = f(a)(x− a) + f(a) avec

a = 0f(a) = f(0) = e0 = 1f ′(a) = f ′(0) = e0 = 1

soit y = 1(x− 0) + 1 donc��

��y = x+ 1

g. aire sous la courbe entre x = 0 et x = 1 :∫ 1

0exdx = [ex]10 = F (1)− F (0) = e1 − e0 =

��

��e− 1 ≃ 1, 718

1.6.2 exercices

1. exercice

Soit la fonction f définie sur R par f(x) = 10x − 2− 5ex

(a) calculer la dérivée de f

(b) étudier l’annulation de f ′(x)

(c) étudier le signe de f ′(x)

(d) déterminer les limites de f en +∞ (mettre x en facteur) et en −∞

(e) donner le tableau de variations de f

(f) montrer que la droite d’équation y = 10x− 2 est asymptote à la courbe de f en −∞

(g) donner l’équation de la droite tangente à la courbe de f en x = 0

(h) calculer la valeur exacte puis approchée à 0,1 près de I =

∫ 1

0f(x)dx

(i) en déduire la valeur de l’aire sous la courbe de f entre 0 et 1 à 0,1 unité d’aire près.

(j) construire la courbe de f , la droite asymptote,la droite tangente et faire apparaître l’intégrale

corrigé exercice

Soit la fonction f définie sur R par f(x) = 10x − 2− 5ex

(a) dérivée :��

��f ′(x) = 10− 5ex

(b) annulation de f ′(x) :

10− 5ex = 0 ⇐⇒ ex =−10

−5⇐⇒

��

��x = ln2

(c) signe de f ′(x)

10− 5ex > 0 ⇐⇒ ex <−10

−5⇐⇒

��

��x < ln2

10− 5ex < 0 ⇐⇒ ex >−10

−5⇐⇒

��

��x > ln2

x −∞ ln2 ∞

f ′(x) = 10− 5ex + 0 -

(d) limites de f en +∞ (mettre x en facteur) et en −∞

limx→+∞

(10x− 2− 5ex) = limx→+∞

x(10−2

x− 5

ex

x) = (+∞)× (10− 0− 5× (+∞)) =

��

��−∞

limx→−∞

(10x− 2− 5ex) = 10× (−∞)− 2− 5× 0 =��

��−∞

(e) tableau de variations de f

x −∞ ln2 +∞

f ′(x) = 10− 5ex + 0 -≃ −5, 07

f(x) ր ց−∞ −∞

f(ln2) = 10ln2− 2− 5eln2 = 10ln2− 2− 10 = 10ln2− 12 ≃ −5, 07

(f) la droite d’équation y = 10x− 2 est asymptote à la courbe de f en −∞

pour cela il suffit de montrer que : limx→−∞

[f(x)− (10x− 2)] = 0

or

limx→−∞

[f(x)− (10x− 2)] = limx→−∞

[(10x − 2− 5ex)− (10x − 2)] = limx→−∞

(−5ex) = 0 (C.Q.F.D.)

(g) équation de la droite tangente à la courbe de f en x = 0

y = f(a)(x− a) + f(a) avec

a = 0f(a) = f(0) = 10× 0− 2− 5e0 = −7f ′(a) = f ′(0) = 10− 5e0 = 5

soit y = 5(x− 0) + (−7) donc��

��y = 5x− 7

(h) I =

∫ 1

0f(x)dx =

[

5x2 − 2x− 5ex]1

0= F (1)−F (0) = (5× 12 − 2× 1− 5e1)− (−5e0) = 8− 5e

��

��≃ −5, 6

(i) la valeur de l’aire sous la courbe de f entre 0 et 1 à 0,1 unité d’aire près est��

��≃ 5, 6 U.A.

(j) courbe de f , droite asymptote, droite tangente et intégrale.

−5

−10

−15

−20

−25

−30

1−1−2

y

0 x

2. exercice 38bis page 155

soit la fonction f définies sur R par f(x) = −x+ 5 + 2ex

(a) calculer la dérivée de f

(b) étudier l’annulation de f ′(x)

(c) étudier le signe de f ′(x)

(d) déterminer les limites de f en +∞ (mettre x en facteur) et en −∞

(e) donner le tableau de variations de f

(f) montrer que la droite d’équation y = −x + 5 est asymptote à la courbe de f en −∞ et préciser laposition de la courbe par rapport à l’asymptote

(g) donner l’équation de la droite tangente à la courbe de f en x = 0

(h) calculer la valeur exacte puis approchée à 0,1 près de I =

∫ 1

0f(x)dx

(i) en déduire la valeur de l’aire sous la courbe de f entre 0 et 1 à 0,1 unité d’aire près.

(j) montrer que l’équation f(x) = 10 admet deux solutions α et β dans R et déterminer des valeursapprochées des solutions à 0,01 près.

(k) construire la courbe de f , la droite asymptote,la droite tangente et faire apparaître l’intégrale

corrigé exercice 38bis page 155

Soit la fonction f définie sur R par f(x) = −x+ 5 + 2ex

(a) dérivée :��

��f ′(x) = −1 + 2ex

(b) annulation de f ′(x) :

−1 + 2ex = 0 ⇐⇒ ex =1

2⇐⇒

�

�

x = ln(

1

2) ≃ −0, 7

(c) signe de f ′(x)

−1 + 2ex > 0 ⇐⇒ ex >1

2⇐⇒

�

�

x > ln(

1

2)

−1 + 2ex < 0 ⇐⇒ ex <1

2⇐⇒

�

�

x < ln(

1

2)

x −∞ ln(1

2) +∞

f ′(x) = −1 + 2ex - 0 +

(d) limites de f en +∞ (mettre x en facteur) et en −∞

limx→+∞

(−x+ 5 + 2ex) = limx→+∞

x(−1 +5

x+ 2

ex

x) = (+∞)× (−1 + 0 + 2× (+∞)) =

��

��+∞

limx→−∞

(−x+ 5 + 2ex) = −(−∞) + 5 + 2× 0 =��

��+∞

(e) tableau de variations de f

x −∞ ln(1

2) +∞

f ′(x) = −1 + 2ex - 0 ++∞ +∞

f(x) ց ր≃ 6, 7

f(ln(1

2)) = −ln(

1

2) + 5 + 2e

ln(1

2)= −ln(

1

2) + 5 + 1 = −ln(

1

2) + 6 ≃ 6, 7

(f) la droite d’équation y = −x+ 5 est asymptote à la courbe de f en −∞

pour cela il suffit de montrer que : limx→−∞

[f(x)− (−x+ 5)] = 0

limx→−∞

[f(x)− (−x+ 5)] = limx→−∞

[(−x+ 5 + 2ex)− (−x+ 5)] = limx→−∞

(2ex) = 0 (C.Q.F.D.)

de plus f(x) − (−x + 5) = 2ex positif pout tout x ∈ R donc la courbe est au dessus de la droiteasymptote.

(g) équation de la droite tangente à la courbe de f en x = 0

y = f(a)(x− a) + f(a) avec

a = 0f(a) = f(0) = −0 + 5 + 2e0 = 7f ′(a) = f ′(0) = −1 + 2e0 = 1

soit y = 1(x− 0) + 7 donc��

��y = x+ 7

(h) I =

∫ 1

0f(x)dx =

[

−1

2x2 + 5x+ 2ex

]1

0

= F (1)−F (0) = (−1

2×12+5×1+2e1)−(2e0) =

5

2+2e

��

��≃ 7, 9

(i) la valeur de l’aire sous la courbe de f entre 0 et 1 à 0,1 unité d’aire près est��

��≃ 7, 9 U.A.

(j) montrer que l’équation f(x) = 10 admet deux solutions α et β dans R et déterminer des valeurs appro-chées des solutions à 0,01 près.

• f(−6) ≃ 11 et 11 > 10• f(−4) =≃ 9 et 9 < 10• f est continue sur [−6;−4]• f est strictement décroissante sur [−6;−4]

d’après le théorème des valeurs intermédiaires l’équation f(x) = 10admet une solution unique α entre -6 et -4.

de même, il existe une solution unique β entre 1 et 2.au vu des variations de f il ne peut-y avoir d’autres solutions

la calculatrice donne :��

��α ≃ −4, 99 et

��

��β ≃ 1, 12

(k) courbe de f , droite asymptote, droite tangente et intégrale.

5

10

15

0 1−1−2−3−4−5−6−7−8−9−10−11−12−13−14

y

0 x

Exercice (D’après sujet bac La Réunion 2009 )

On considère la fonction f définie sur [−2 ; 2] par f(x) = (x− 1)ex + 2.On note f ′ sa dérivée.

(a) Donner une valeur approchée à 10−2 près de f(−2), f(0) et f(2).

(b) Calculer f ′(x). Donner le tableau de variations de f sur [−2 ; 2].

(c) Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative même nonfructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

On considère les points A(1 ; 2) et B(0 ; 2− e).Démontrer que la droite (AB) est la tangente à la courbe Cf au point A.

(d) Sur la feuille de papier millimétré, construire avec précision la représentation graphique Cf de f dansun repère orthogonal (unités : 4 cm en abscisse et 1 cm en ordonnée).

(e) On admet que la fonction F définie par F (x) = (x − 2)ex + 2x est une primitive de la fonction f sur[−2 ; 2].Hachurer la partie A du plan délimitée par les axes du repère, la droite d’équation x = 2 et la courbeCf .Calculer la mesure en cm2 de l’aire de A.

corrigé exercice (D’après sujet bac La Réunion 2009 )

On considère la fonction f définie sur [−2 ; 2] par f(x) = (x− 1)ex + 2.On note f ′ sa dérivée.

(a) valeur approchée à 10−2 près :��

��f(−2) = (−2− 1)e−2 + 2 ≃ 1, 59 ,

��

��f(0) = 1 et

��

��f(2) ≃ 9, 39

(b) Calculer f ′(x). Donner le tableau de variations de f sur [−2 ; 2]

f = uv + 2 =⇒ f ′ = u′v + uv′ + 0 où

u(x) = x− 1

u′(x) = 1et

v(x) = ex

v′(x) = ex

f ′(x) = ex + (x− 1)× (ex)

f ′(x) = ex(1 + x− 1)

��

��f ′(x) = xex

ex > 0 en tant qu’exponentiel donc f ′(x) est du signe de x

x −2 0 2 annulationsex + +x − 0 + x = 0

f ′(x) − 0 +≃ 1, 59 ≃ 9, 39

f(x) ց ր1

(c) Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative même nonfructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation.

On considère les points A(1 ; 2) et B(0 ; 2− e).Démontrer que la droite (AB) est la tangente à la courbe Cf au point A

cherchons l’équation de la tangente à Cf en A :

y = f ′(a)(x− a) + f(a) avec

a = 1f(a) = f(1) = 2f ′(a) = f ′(1) = e

soit y = e(x− 1) + 2 donc��

��y = ex+ 2− e

vérifions qu’elle passe par B :

e × 0 + 2 − e = 2 − e donc yB = exB + 2 − e donc B est bien sur la tangente qui estalors la droite (AB)

(d) Sur la feuille de papier millimétré, construire avec précision la représentation graphique Cf de f dansun repère orthogonal (unités : 4 cm en abscisse et 1 cm en ordonnée).

x -2 -1 0 1 2f(x) 1,6 1,3 1 2 9,4

1

2

3

4

5

6

7

8

9

−1

1−1−2

(e) On admet que la fonction F définie par F (x) = (x − 2)ex + 2x est une primitive de la fonction f sur[−2 ; 2].Hachurer la partie A du plan délimitée par les axes du repère, la droite d’équation x = 2 et la courbeCf .Calculer la mesure en cm2 de l’aire de A.

A =

∫ 2

0f(x)dx

A = F (2) − F (0)

A = (2− 2)e2 + 2× 2− ((0− 2)e0 + 2× 0)

��

��A = 6 U.A.

��

��A = 24cm2 . (1U.A. = 4× 1 = 4cm2)

Exercice (D’après sujet bac France Métropolitaine Septembre 2008 )

On désigne par f la fonction définie sur l’intervalle [0 ; +∞[ par : f(x) =5x− 5

exOn nomme (C) sa représentation graphique dans le plan (P ) muni d’un repère orthonormal d’unité graphique2 cm.

(a) Calculer f(0).

(b) i. Vérifier que, pour tout nombre réel x de l’intervalle ]0 ; +∞[, f(x) =5−

5

xex

xii. En déduire la limite de la fonction f en +∞. Interpréter graphiquement ce résultat.

(c) On note f ′ la fonction dérivée de la fonction f .

i. Démontrer que pour tout nombre réel x positif : f ′(x) =−5x+ 10

ex

ii. Étudier le signe de la fonction f ′.

iii. Dresser le tableau de variations de la fonction f .

(d) Représenter graphiquement la courbe (C) dans le plan (P ).

(e) On note F la fonction définie sur l’intervalle [0 ; +∞[ par : F (x) = −5xe−x.

i. Démontrer que la fonction F est une primitive de la fonction f sur l’intervalle [0 ; +∞[.

ii. On considère l’aire A, exprimée en cm2, du domaine plan limité par la courbe (C), l’axe des abscisseset les droites d’équations respectives x = 1 et x = 4.

Hachurer ce domaine sur le graphique précédent.

Calculer la valeur exacte de A, puis en donner une valeur approchée à 10−2 près par défaut.

corrigé exercice (D’après sujet bac France Métropolitaine Septembre 2008 )

On désigne par f la fonction définie sur l’intervalle [0 ; +∞[ par : f(x) =5x− 5

exOn nomme (C) sa représentation graphique dans le plan (P ) muni d’un repère orthonormal d’unité graphique2 cm.

(a) f(0) =5× 0− 5

e0=

��

��−5 .

(b) i. tout nombre réel x de l’intervalle ]0 ; +∞[ :

f(x) =5x− 5

ex=

x(5−5

x)

xex

x

=

�

�

�

5−5

xex

x

(on met x en facteurs puis on simplifie)

ii. limx→+∞

f(x) = limx→+∞

5−5

xex

x

=5− 0

+∞=

5

+∞=

��

��0 (ex l’emporte sur x en +∞)

��

��La courbe admet une droite asymptote horizontale d’équation y = 0 en +∞

(c) On note f ′ la fonction dérivée de la fonction f .

i. Démontrons que pour tout nombre réel x positif : f ′(x) =−5x+ 10

ex:

f =u

v=⇒ f ′ =

u′v − uv′

v2où

u(x) = 5x− 5

u′(x) = 5et

v(x) = ex

v′(x) = ex

f ′(x) =5ex − (5x− 5)× ex

(ex)2

f ′(x) =ex(5− 5x+ 5)

(ex)2

f ′(x) =ex(−5x+ 10)

(ex)2

�

�

f ′(x) =

−5x+ 10

ex

ii. Étude du signe de la fonction f ′.

ex > 0 en tant qu’exponentiel donc f ′(x) est du signe de −5x+ 10

x 0 2 +∞ annulationsex + +

−5x+ 10 + 0 − −5x+ 10 = 0 ⇐⇒ x = 2f ′(x) + 0 −

iii. tableau de variations de la fonction f :

x 0 2 +∞f ′(x) + 0 −

5e−2

f(x) ր ց−5 0

f(0) = −5 (question (a))

(d) Représenter graphiquement la courbe (C) dans le plan (P )

x 0 1 2 3 4 5 6f(x) -5 0 0,7 0,5 0,3 0,1 0,06

−1

−2

−3

−4

−5

1 2 3 4 5

(e) On note F la fonction définie sur l’intervalle [0 ; +∞[ par : F (x) = −5xe−x.

i. Démontrons que la fonction F est une primitive de la fonction f sur l’intervalle [0 ; +∞[ :

pour cela, il suffit de montrer que F ′(x) = f(x)

F = uv =⇒ F ′ = u′v + uv′ où

u(x) = −5x

u′(x) = −5et

v(x) = e−x

v′(x) = −e−x

F ′(x) = −5× e−x + (−5x)× (−e−x)

F ′(x) = e−x(5x− 5)

F ′(x) =5x− 5

ex

F ′(x) = f(x)

��

��F est une primitive de la fonction f

ii. On considère l’aire A, exprimée en cm2, du domaine plan limité par la courbe (C), l’axe des abscisseset les droites d’équations respectives x = 1 et x = 4.

Hachurer ce domaine sur le graphique précédent.

Calculer la valeur exacte de A, puis en donner une valeur approchée à 10−2 près par défaut

A =

∫ 4

1f(x)dx

A = F (4) − F (1)

A = −5× 4e−4 − (−5× 1e−1)

��

��A = −20e−4 + 5e−1 ≃ 1, 47 U.A.

��

��A ≃ 1, 47 cm2. (1U.A. = 1cm2)

1.7 étude de variations de fonctions où apparaît la composée eu où u est une fonction.

1.7.1 activité

1. lecture graphique :on dispose ci dessous du graphique partiel de la fonction u définie sur Du =]− 3 ; +∞ [la droite (D) d’équation x = −3 est asymptote verticale à Cu

la droite (∆) est asymptote oblique à Cu en +∞sont représentées les tangentes à Cu en x = −2, x = −1, x = 0 et x = 2on sait de plus que la fonction f est définie par la composée f = eu (noté aussi : f = e ◦ u , "e rond u")

a. déterminer les valeurs exactes de :

u(−2) = puis f(−2) =

u(−1) = puis f(−1) =

f(2) =1

2

3

4

5

−1

−2

−3

1 2 3 4−1−2−3−4

x

y

Cu

(D)

(∆)

b. déterminer le domaine de définition de f

c. déterminer les valeurs exactes de : (rappel : si f = eu alors f ′ = ... )

u′(−2) = puis f ′(−2) =

u′(−1) = puis f ′(−1) =

u′(0) = puis f ′(0) =

d. sachant que si f = eu alors f ′ = ... que peut-on dire du signe de f ′ par rapport au signe de u′ ?

e. qu’en déduire pour les variations de f par rapport aux variations de u ?

f. étudier l’annulation de f ′ :

g. en déduire le tableau de variations de f .

x

f ′(x)

f(x)

h. déterminer limx→−3+

f(x)

i. déterminer limx→+∞

f(x)

j. résoudre l’inéquation f(x) > 0

k. en déduire le tableau de signes de f

x

f(x)

corrigé activité

1. lecture graphique :on dispose ci dessous du graphique partiel de la fonction u définie sur Du = [−3 ; +∞ [la droite (D) d’équation x = −3 est asymptote verticale à Cu

la droite (∆) est asymptote oblique à Cu en +∞sont représentées les tangentes à Cu en x = −2, x = −1, x = 0 et x = 2on sait de plus que la fonction f est définie par la composée f = eu (noté aussi : f = e ◦ u , "e rond u")

a. déterminer les valeurs exactes de :

��

��u(−2) = 1 puis f(−2) = eu(−2) = e1 =

��

��e

��

��u(−1) = −1 puis f(−1) = eu(−1) = e−1 =

�

�

�

�1

e

f(2) = eu(2) =��

��e3

1

2

3

4

5

−1

−2

−3

1 2 3 4−1−2−3−4

x

y

Cu

(D)

(∆)

b. déterminer le domaine de définition de f

eu(x) existe pour toute valeur de x ∈ Du��

��Df = Du = [−3 ; +∞ [

c. déterminer les valeurs exactes de : (rappel : si f = eu alors��

��f ′ = u′eu )

u′(−2) =yB − yA

xB − xA=

0− 3

−2− (−3)=��

��−3 puis f ′(−2) = u′(−2)eu(−2) = −3e0 =

��

��−3

u′(−1) =��

��0 puis f ′(−1) = u′(−1)eu(−1) = 0× eu(−1) =

��

��0

u′(0) =yC − yD

xC − xD=

3− 1

1− 0=��

��2 puis f ′(0) = u′(0)eu(0) = 2e1 =

��

��2e

d. sachant que��

��f ′ = u′eu on en déduit que

��

��f ′ a le même signe que u′

car eu est positif strict en tant qu’exponentiel

e. on en déduit que��

��f = eu a les mêmes variations que u

f. étudier l’annulation de f ′ :

f(x) = 0 ⇐⇒ eu(x) = 0 or ex > 0 pour tout x ∈ R donc��

��S = Φ

g. en déduire le tableau de variations de f

x -3 -1 2 +∞

f ′(x) - 0 + 0 -+∞ e3

f(x) ց ր ցe−1 0

h. limx→−3+

f(x) = e+∞ =��

��+∞

i. limx→+∞

f(x) = e−∞ =��

��0

j. f(x) > 0 ⇐⇒ eu(x) > 0 or ex > 0 pour tout x ∈ R donc��

��S = R

k. on en déduit le tableau de signes de fx 3 +∞

f(x) +

1.7.2 à retenir

(1) domaine de définition : eu(x) existe pour tout x ∈ Du

(2) dérivée : (eu)′ = u′eu

(3) variations : les fonctions u et eu ont le même sens de variation

Remarque : (3) permet de justifier le sens de variations de eu sans utiliser la dérivation.(si u croît (respectivement : décroît) alors eu croît (respectivement : décroît) )

1.7.3 exercices

Exercice : (session 2008 2cgo)

A. Étude d’une fonction

Soit f la fonction définie sur [0 ; +∞[ par f(x) =3

1 + 125504e−1,9x

On désigne par C la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthonormal où l’unité est 2 cm.

1. (a) On admet que limx→+∞

(

125504e−1,9x)

= 0 ; en déduire limx→+∞

f(x).

(b) En déduire que la courbe C admet une asymptote ∆ dont on donnera une équation.

2. (a) Démontrer que pour tout nombre réel x de [0 ; +∞[, f ′(x) =715372, 8e−1,9x

(1 + 125504e−1,9x)2.

(b) Étudier le signe de f ′(x) lorsque x varie dans [0 ; +∞[.

(c) Donner le tableau de variations de f sur [0 ; +∞[.

3. (a) Compléter, après l’avoir reproduit, le tableau de valeurs suivant dans lequel les valeurs approchées sontà arrondir à 10−2.

x 0 3 4 5 6 7 8 9f(x) 0 0,01

(b) Tracer la droite ∆ et la courbe C dans le repère défini au début. Sur l’axe des abscisses, commencer lagraduation à 3.

4. Résoudre graphiquement l’équation f(x) = 2, 5. On fera apparaître sur la figure les constructions utiles.

B. Calcul intégral

1. Vérifier que, pour tout nombre réel x de [0 ; +∞[, f(x) =3e1,9x

e1,9x + 125504.

2. Soit F la fonction définie sur [0 ; +∞[ par F (x) =3

1, 9ln

(

e1,9x + 125504)

.

Démontrer que F est une primitive de f sur [0 ; +∞[.

3. (a) Calculer la valeur moyenne Vm de f sur [0 ; 9].

(b) Donner la valeur approchée de Vm arrondie à 10−2.

C. Application de la partie A

Dans cette partie, utiliser des résultats obtenus à la partie A.

On admet que le nombre de systèmes GPS vendus en France au cours de l’année (2000+n) est égal à f(n) millionsoù f est la fonction définie dans la partie A.

1. Déterminer le nombre de systèmes GPS vendus en France en 2005.

2. Donner le nombre total de systèmes GPS vendus pendant les quatre années 2004, 2005, 2006 et 2007.

3. Indiquer au cours de quelle année les ventes de systèmes GPS dépassent 2500000 unités.

4. interpréter la valeur du B.3.b