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25 fevrier 2014
Extension de l’approche X-FEM en dynamique rapide pour lapropagation tridimensionnelle de fissure dans des materiauxductiles.
Romains Pelee De Saint Maurice1,3
Encadrants :Alain Combescure1
Thomas Elguedj1
Vincent Faucher2
Benoit Prabel3
1 LaMCoS 2 CEA Saclay 3 CEA SaclayUMR CNRS5259 / INSA-LYON DEN/DANS/DM2S/SEMT/DYN DEN/DANS/DM2S/SEMT/DYN
France LaMSID UMR EDF-CNRS-CEA 2832 FranceFrance
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25 fevrier 2014
Introduction
Les incidents apparus ces dernieres annees ont montres qu’il est desormaisnecessaire de prevoir la ruine des structures de plus en plus complexes dansl’industrie.
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25 fevrier 2014
Introduction
Heureusement, les modes entrainant la ruine des structures ne sont pas ex-haustives et sont connues :
l’erosion,
fissuration par fatigue,
fissuration par impact ou choc.
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25 fevrier 2014
Introduction
Les methodes actuelles de simulation de fissure sont multiples :
les methodes particulaires, par exemple la methode SPH [Cal11],
les differentes methodes tirees de la methode des elements finis, avecendommagement [Caz10], avec erosion d’elements [RRMZ+09],elements finis etendus ou XFEM [BB99], [MDB99]...
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25 fevrier 2014
Introduction
Dans le cadre de la dynamique rapide, la methode XFEM est interessante car :
elle possede les avantages de la methode des elements finis (impositiondes conditions aux limites, cout de calcul faible),
elle evite de modifier le maillage en cours de calcul lorsque la fissureevolue,
elle est deja utilisee en 2D [Men07, Hab12], mais la representationseulement 2D ne suffit pas.
FissureFront de fissure
Ancien maillage
Nouveau maillage
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25 fevrier 2014
Contexte et but de la these
Pour arriver a simuler une fissure, on a besoin :
une representation simple de la fissure, pouvant evoluer facilement etdans des formes complexes,
etendre les XFEM a la 3D en dynamique, en se basant sur les travauxde Thomas Menouillard [Men07] en 2D,
avoir un critere de rupture 3D, par exemple le critere de propagation 3Dde David Haboussa [Hab12],
Integrer tout cela dans le code de calcul de dynamique expliciteEUROPLEXUS, developpe par le CEA et de la Commission Europeenne,
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2D vers 3D
Description etevolution de la fissureen 3D
Les XFEM
Presentation ducritere
Quelques remarques
Simulation depropagation de fissure3D en dynamiquerapide
Mode 1 pur
Kalthoff
David Gregoire
Les difficultes etsolutions
Les instabilites
Nouvelenrichissement
Conclusion etperspectives
Fin
25 fevrier 2014
Sommaire
1 Evolution de la 2D vers la 3D
2 Simulation de propagation de fissure 3D en dynamique rapide
3 Analyses des difficultes de la simulation et les solutions apportees
4 Conclusion et perspectives
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2D vers 3D
Description etevolution de la fissureen 3D
Les XFEM
Presentation ducritere
Quelques remarques
Simulation depropagation de fissure3D en dynamiquerapide
Mode 1 pur
Kalthoff
David Gregoire
Les difficultes etsolutions
Les instabilites
Nouvelenrichissement
Conclusion etperspectives
Fin
25 fevrier 2014
Sommaire
1 Evolution de la 2D vers la 3DDescription et evolution de la fissure en 3D
Description de la fissureMethode de propagation des vitessesActualisation des level-sets
Les XFEMPresentation du critereQuelques remarques
2 Simulation de propagation de fissure 3D en dynamique rapide
3 Analyses des difficultes de la simulation et les solutions apportees
4 Conclusion et perspectives
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2D vers 3D
Description etevolution de la fissureen 3D
Les XFEM
Presentation ducritere
Quelques remarques
Simulation depropagation de fissure3D en dynamiquerapide
Mode 1 pur
Kalthoff
David Gregoire
Les difficultes etsolutions
Les instabilites
Nouvelenrichissement
Conclusion etperspectives
Fin
25 fevrier 2014
Description et evolution de la fissure en 3D
Il existe plusieurs methodes de representation de la fissure :
une representation explicite avec un maillage,
une representation implicite, avec des fonctions de niveau (level-sets),
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2D vers 3D
Description etevolution de la fissureen 3D
Les XFEM
Presentation ducritere
Quelques remarques
Simulation depropagation de fissure3D en dynamiquerapide
Mode 1 pur
Kalthoff
David Gregoire
Les difficultes etsolutions
Les instabilites
Nouvelenrichissement
Conclusion etperspectives
Fin
25 fevrier 2014
Description et evolution de la fissure en 3D
On a choisi d’utiliser deux level-sets [OF00, Set96] pour decrire lafissure :
φt decrit le plan de la fissure,φn decrit le front,
2 maillages sont utilises [Pra07, Ran08] :un maillage elements finis pour le calcul mecanique,un maillage regulier pour la representation des level-sets.
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2D vers 3D
Description etevolution de la fissureen 3D
Les XFEM
Presentation ducritere
Quelques remarques
Simulation depropagation de fissure3D en dynamiquerapide
Mode 1 pur
Kalthoff
David Gregoire
Les difficultes etsolutions
Les instabilites
Nouvelenrichissement
Conclusion etperspectives
Fin
25 fevrier 2014
Description et evolution de la fissure en 3D
Une fois la fissure representee, il faut :
discretiser le front en plusieurs points. Nous avons choisi un algorithmerecursif donne par Rannou [Ran08],
en chaque point, le critere de rupture calcule 2 angles de propagation dela fissure θc et ψc et la vitesse d’avancee du front a.
1
2
12
3
,
,
,
1 2
3
,
,
,
,
, ,
2,1
,
1
2
1
2
31
2
2D 3D
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2D vers 3D
Description etevolution de la fissureen 3D
Les XFEM
Presentation ducritere
Quelques remarques
Simulation depropagation de fissure3D en dynamiquerapide
Mode 1 pur
Kalthoff
David Gregoire
Les difficultes etsolutions
Les instabilites
Nouvelenrichissement
Conclusion etperspectives
Fin
25 fevrier 2014
Methode de propagation des vitesses
On a alors des vitesses en chaque point du front qu’il faut ensuitepropager a l’ensemble du maillage level-set,
jusqu’ici la methode utilisee consistait a resoudre les equationsd’Hamilton-Jacobi par une methode differences finies. cette methodeest couteuse et peut poser des soucis de robustesse,
nous avons fait le choix d’utiliser une methode geometrique pourpropager les vitesses, qui est beaucoup plus efficace.
M
1
2
M
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2D vers 3D
Description etevolution de la fissureen 3D
Les XFEM
Presentation ducritere
Quelques remarques
Simulation depropagation de fissure3D en dynamiquerapide
Mode 1 pur
Kalthoff
David Gregoire
Les difficultes etsolutions
Les instabilites
Nouvelenrichissement
Conclusion etperspectives
Fin
25 fevrier 2014
Actualisation des level-sets
Actualisation des fonctions de niveau par une methode geometriqueinspiree de Menouillard [Men07] et des travaux de Duflot [Duf06] pardecoupage du domaine en 4 zones.
Zone 1
Zone2Zone 3
Zone 4
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2D vers 3D
Description etevolution de la fissureen 3D
Les XFEM
Presentation ducritere
Quelques remarques
Simulation depropagation de fissure3D en dynamiquerapide
Mode 1 pur
Kalthoff
David Gregoire
Les difficultes etsolutions
Les instabilites
Nouvelenrichissement
Conclusion etperspectives
Fin
25 fevrier 2014
Presentation des XFEM
La methode des elements finis etendus ou XFEM [BM97, BB99] est uneextension de la methode des elements finis classiques . Elle se basesur la propriete de la partition d’unite :
n∑i=1
Ni(x) = 1 ∀x ∈ Ω, (1)
le champ de deplacement est represente par des degres de liberte (DDL) classiques et des DDL enrichis.
u(x) =n∑i=1
Ni(x)U i +
ne∑i=1
nf∑j=1
Ni(x)ϕij(x)Ueij , (2)
ne est un sous-ensemble de n ou l’on place des DDL enrichis Ue. nf estle nombre de fonctions d’enrichissement. ϕ(x) sont les fonctionsd’enrichissement utilisees.
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2D vers 3D
Description etevolution de la fissureen 3D
Les XFEM
Presentation ducritere
Quelques remarques
Simulation depropagation de fissure3D en dynamiquerapide
Mode 1 pur
Kalthoff
David Gregoire
Les difficultes etsolutions
Les instabilites
Nouvelenrichissement
Conclusion etperspectives
Fin
25 fevrier 2014
Presentation des XFEM
En dynamique explicite, seule la fonction de Heaviside generalisee est utiliseeen enrichissement :
ϕ(x) = H(x) =
1 si on est au dessus de la fissure,−1 si on est en dessous,0 sinon.
(3)
Fissure Noeuds enrichis
éléments surintégrés
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2D vers 3D
Description etevolution de la fissureen 3D
Les XFEM
Presentation ducritere
Quelques remarques
Simulation depropagation de fissure3D en dynamiquerapide
Mode 1 pur
Kalthoff
David Gregoire
Les difficultes etsolutions
Les instabilites
Nouvelenrichissement
Conclusion etperspectives
Fin
25 fevrier 2014
Presentation des XFEM
Integration a l’aide d’un sous-decoupage regulier des elements afin d’eviter laprojection des champs et les erreurs dans le cas de la plasticite :
en 2D, les quadrangles sont sous-decoupes avec 4× 4 sous elements a 4points de Gauss, soit 64 points de Gauss,
en 3D, les cubes sont sous-decoupes avec 4× 4× 4 sous elements a 8points de Gauss, soit 512 points de Gauss,
Figure: Quadrangle integre normalement Figure: Quadrangle sur-integre
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2D vers 3D
Description etevolution de la fissureen 3D
Les XFEM
Presentation ducritere
Quelques remarques
Simulation depropagation de fissure3D en dynamiquerapide
Mode 1 pur
Kalthoff
David Gregoire
Les difficultes etsolutions
Les instabilites
Nouvelenrichissement
Conclusion etperspectives
Fin
25 fevrier 2014
Presentation du critere
En chaque point du front le critere de rupture est calcule. Ce critere,utilise, entre autre, par Haboussa [Hab12] [HGE+11], exploitel’approche locale en pointe de fissure,
il consiste a calculer des grandeurs equivalentes en pointe a l’aide d’unefonction poids w(r).
σ =
∫Ωσw(r) dΩ∫
Ωw(r) dΩ
avec w(r) = e−( rR
)2 (4)
Front de fissure 3D
RR
Front de fissure 2D
Fissure
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2D vers 3D
Description etevolution de la fissureen 3D
Les XFEM
Presentation ducritere
Quelques remarques
Simulation depropagation de fissure3D en dynamiquerapide
Mode 1 pur
Kalthoff
David Gregoire
Les difficultes etsolutions
Les instabilites
Nouvelenrichissement
Conclusion etperspectives
Fin
25 fevrier 2014
Presentation du critere
A partir du tenseur moyen en pointe de fissure σ, on calcule un critereen contrainte σeq,
il est compare a une valeur de contrainte critique σIc, dependante dumateriau et de la discretisation,
si σeq est superieur a la valeur σIc, la fissure propage avec une vitessede propagation a donnee par la formule de Kanninen [KP85],
σeq = max(σI , σII , σIII) (5)
a =
(
1− σeq
σIc
)cr si σeq > σIc,
0 sinon.(6)
σI , σII , σIII sont les valeurs propres du tenseur moyenne σ.
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2D vers 3D
Description etevolution de la fissureen 3D
Les XFEM
Presentation ducritere
Quelques remarques
Simulation depropagation de fissure3D en dynamiquerapide
Mode 1 pur
Kalthoff
David Gregoire
Les difficultes etsolutions
Les instabilites
Nouvelenrichissement
Conclusion etperspectives
Fin
25 fevrier 2014
Presentation du critere
Haboussa a calcule les directions des angles de propagation en 3D, en calculantle maximum de la contrainte circonferentielle σθθ.
θc = 2sign(KII) arctan
(1
4
(K −
√(K)2
+ 8
)), (7)
ψc =1
2sign(KIII) arctan
(2Kn
I
KnII −Kn
III
), (8)
avec K =1 +Kn
I − (1−KnIII)
p(ν)
KnII
, p(ν) =1
4(√π − 5ν).
KnI , Kn
II et KnIII sont les facteurs d’intensite des contraintes (FIC) normalises.
Dans l’approche locale, on remplace les FIC par les composantes du tenseurequivalent en pointe de fissure σ :
KI ≡ σ22, KII ≡ σ12, KIII ≡ σ23, (9)
KnM =
|KM |∑IIIM=I |KM |
∀M ∈ I, II, III. (10)
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2D vers 3D
Description etevolution de la fissureen 3D
Les XFEM
Presentation ducritere
Quelques remarques
Simulation depropagation de fissure3D en dynamiquerapide
Mode 1 pur
Kalthoff
David Gregoire
Les difficultes etsolutions
Les instabilites
Nouvelenrichissement
Conclusion etperspectives
Fin
25 fevrier 2014
Quelques remarques
Le maillage nous impose un filtre en espace des phenomenes observes.En dynamique explicite, ce maillage impose un filtre en temps. Onrealise donc un filtrage des avancees de fissure pour qu’elles deviennentcoherentes avec le maillage. Concretement, on attend que les avanceessoient representatives par rapport a la taille d’element en pointe defissure,
Fissure
Noeuds enrichis
Fissure
Sur les bords, on possede moins d’information qu’au centre. On lisse lesvitesses des points du front a partir des points voisins.
Front de fissure11 / 35
2D vers 3D
Description etevolution de la fissureen 3D
Les XFEM
Presentation ducritere
Quelques remarques
Simulation depropagation de fissure3D en dynamiquerapide
Mode 1 pur
Kalthoff
David Gregoire
Les difficultes etsolutions
Les instabilites
Nouvelenrichissement
Conclusion etperspectives
Fin
25 fevrier 2014
Sommaire
1 Evolution de la 2D vers la 3D
2 Simulation de propagation de fissure 3D en dynamique rapideFissure droite soumise a une sollicitation en mode 1 purExperience de Kalthoff [Kal00]Experience de David Gregoire [Gre08]
3 Analyses des difficultes de la simulation et les solutions apportees
4 Conclusion et perspectives
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2D vers 3D
Description etevolution de la fissureen 3D
Les XFEM
Presentation ducritere
Quelques remarques
Simulation depropagation de fissure3D en dynamiquerapide
Mode 1 pur
Kalthoff
David Gregoire
Les difficultes etsolutions
Les instabilites
Nouvelenrichissement
Conclusion etperspectives
Fin
25 fevrier 2014
Fissure droite soumise a une sollicitation en mode 1 pur
Caracteristiques :
Taille de maille 0.2mE 210GPaν 0.3ρ 1800Kg.m−3
cr 1500m.s−1
σIc 35MpaR 0.6m
Tmoy 0.2Rmoy 0.2m
Fissure
h
A
B
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2D vers 3D
Description etevolution de la fissureen 3D
Les XFEM
Presentation ducritere
Quelques remarques
Simulation depropagation de fissure3D en dynamiquerapide
Mode 1 pur
Kalthoff
David Gregoire
Les difficultes etsolutions
Les instabilites
Nouvelenrichissement
Conclusion etperspectives
Fin
25 fevrier 2014
Fissure droite soumise a une sollicitation en mode 1 pur
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2D vers 3D
Description etevolution de la fissureen 3D
Les XFEM
Presentation ducritere
Quelques remarques
Simulation depropagation de fissure3D en dynamiquerapide
Mode 1 pur
Kalthoff
David Gregoire
Les difficultes etsolutions
Les instabilites
Nouvelenrichissement
Conclusion etperspectives
Fin
25 fevrier 2014
Experience de Kalthoff [Kal00]
Caracteristiques :
Taille de maille XFEM 2mmE 190GPaν 0.3ρ 8000Kg.m−3
cr 1600m.s−1
σIc 35MPaσY 190MPaEt 1.6GpaR 7mmRpla 20mmTmoy 0.5Rmoy 10.0mmV0 16.0m.s−1
Fissure
H
L
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2D vers 3D
Description etevolution de la fissureen 3D
Les XFEM
Presentation ducritere
Quelques remarques
Simulation depropagation de fissure3D en dynamiquerapide
Mode 1 pur
Kalthoff
David Gregoire
Les difficultes etsolutions
Les instabilites
Nouvelenrichissement
Conclusion etperspectives
Fin
25 fevrier 2014
Experience de Kalthoff [Kal00]
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2D vers 3D
Description etevolution de la fissureen 3D
Les XFEM
Presentation ducritere
Quelques remarques
Simulation depropagation de fissure3D en dynamiquerapide
Mode 1 pur
Kalthoff
David Gregoire
Les difficultes etsolutions
Les instabilites
Nouvelenrichissement
Conclusion etperspectives
Fin
25 fevrier 2014
Experience de Kalthoff [Kal00]
Comparaison des resultats 2D-3D
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000
10
20
30
40
50
60
70
80
t (en µ s)Avancee(enmm)
Avancee de fissure au centreAvancee de fissure au bordAvancee de fissure 2D
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2D vers 3D
Description etevolution de la fissureen 3D
Les XFEM
Presentation ducritere
Quelques remarques
Simulation depropagation de fissure3D en dynamiquerapide
Mode 1 pur
Kalthoff
David Gregoire
Les difficultes etsolutions
Les instabilites
Nouvelenrichissement
Conclusion etperspectives
Fin
25 fevrier 2014
Experience de David Gregoire [Gre08]
Caracteristiques :
Taille demaille XFEM 1.4mm
E 2.4GPaρ 1180Kg.m−3
ν 0.42cr 800m.s−1
Impedance 1.9× 106Kg.m−2.s−1
σdIc 7.0MPaσaIc 2.8MPacr 400m.s−1
R 5mmTmoy 0.5Rmoy 6mm
Fissure
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2D vers 3D
Description etevolution de la fissureen 3D
Les XFEM
Presentation ducritere
Quelques remarques
Simulation depropagation de fissure3D en dynamiquerapide
Mode 1 pur
Kalthoff
David Gregoire
Les difficultes etsolutions
Les instabilites
Nouvelenrichissement
Conclusion etperspectives
Fin
25 fevrier 2014
Experience de David Gregoire [Gre08]
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2D vers 3D
Description etevolution de la fissureen 3D
Les XFEM
Presentation ducritere
Quelques remarques
Simulation depropagation de fissure3D en dynamiquerapide
Mode 1 pur
Kalthoff
David Gregoire
Les difficultes etsolutions
Les instabilites
Nouvelenrichissement
Conclusion etperspectives
Fin
25 fevrier 2014
Experience de David Gregoire [Gre08]
Comparaison des resultats de l’experience avec la simulation :
0 50 100 150 200 250 300 350 4000
5
10
15
20
25
t (en µ s)
Avancee(enmm)
Avancee de fissure au centreAvancee de fissure au bord
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2D vers 3D
Description etevolution de la fissureen 3D
Les XFEM
Presentation ducritere
Quelques remarques
Simulation depropagation de fissure3D en dynamiquerapide
Mode 1 pur
Kalthoff
David Gregoire
Les difficultes etsolutions
Les instabilites
Nouvelenrichissement
Conclusion etperspectives
Fin
25 fevrier 2014
Sommaire
1 Evolution de la 2D vers la 3D
2 Simulation de propagation de fissure 3D en dynamique rapide
3 Analyses des difficultes de la simulation et les solutions apporteesAnalyses des instabilites observeesDescription d’un nouvel enrichissement
Formulation d’un nouvel enrichissement discontinuFormulation d’un nouvel enrichissement continu
4 Conclusion et perspectives
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2D vers 3D
Description etevolution de la fissureen 3D
Les XFEM
Presentation ducritere
Quelques remarques
Simulation depropagation de fissure3D en dynamiquerapide
Mode 1 pur
Kalthoff
David Gregoire
Les difficultes etsolutions
Les instabilites
Nouvelenrichissement
Conclusion etperspectives
Fin
25 fevrier 2014
Analyses des instabilites observees
On peut remarquer a la fin de chaque calcul, l’apparition d’instabilites auniveau de la propagation de fissure,
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2D vers 3D
Description etevolution de la fissureen 3D
Les XFEM
Presentation ducritere
Quelques remarques
Simulation depropagation de fissure3D en dynamiquerapide
Mode 1 pur
Kalthoff
David Gregoire
Les difficultes etsolutions
Les instabilites
Nouvelenrichissement
Conclusion etperspectives
Fin
25 fevrier 2014
Analyses des instabilites observees
Visualisation des instabilites dans le cas en mode I, la vitesse d’avancee dufront est imposee et constante dans l’epaisseur.
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2D vers 3D
Description etevolution de la fissureen 3D
Les XFEM
Presentation ducritere
Quelques remarques
Simulation depropagation de fissure3D en dynamiquerapide
Mode 1 pur
Kalthoff
David Gregoire
Les difficultes etsolutions
Les instabilites
Nouvelenrichissement
Conclusion etperspectives
Fin
25 fevrier 2014
Analyses des instabilites observees
Ces instabilites peuvent etre la consequences de plusieurs parametres :
les level-sets (methode robuste, depend du resultat du critere derupture),
le critere de rupture (au debut il fonctionne bien, depend descontraintes qu’on lui donne en entree),
l’integration des elements (pourrais etre une explication, sauf qu’avec512 points de Gauss pour un cube, il n’y a pas de modes de Hourglasset en mode 1 pur, le sous decoupage est conforme avec la fissure),
l’enrichissement (meme avec un maillage tres fin, ces instabilites sontpresentes, les 4 fonctions d’enrichissements sont complexes a mettre enoeuvre et ne resolvent pas le probleme),
le schema d’integration temporel.
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2D vers 3D
Description etevolution de la fissureen 3D
Les XFEM
Presentation ducritere
Quelques remarques
Simulation depropagation de fissure3D en dynamiquerapide
Mode 1 pur
Kalthoff
David Gregoire
Les difficultes etsolutions
Les instabilites
Nouvelenrichissement
Conclusion etperspectives
Fin
25 fevrier 2014
Description d’un nouvel enrichissement
But recherche :
Il faut faire evoluer la fissure dans un element afin d’avoir des avanceesde fissure moins brutales,
pour cela on a decrit et formule 2 nouveaux enrichissements.
Nouvelle description du champ de deplacement :
u(x, t) =
n∑i=1
Ni(x)U i(t) +
ne∑i=1
Nei (x, t)Uei (t) (11)
ne est un sous-ensemble de n ou l’on place des DDL enrichis Uei . Ne est lafonction de forme des DDL enrichis qui evolue en fonction du temps.
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2D vers 3D
Description etevolution de la fissureen 3D
Les XFEM
Presentation ducritere
Quelques remarques
Simulation depropagation de fissure3D en dynamiquerapide
Mode 1 pur
Kalthoff
David Gregoire
Les difficultes etsolutions
Les instabilites
Nouvelenrichissement
Conclusion etperspectives
Fin
25 fevrier 2014
Formulation d’un nouvel enrichissement discontinu
1er idee, on a essaye d’enrichir par une fonction discontinue φn−.
Nei (x, t) = Ni(x)H(x)φn(x, t)−Uei (t) (12)
Avec H(x) =
1 si on est au dessus de la fissure,−1 si on est en dessous,0 sinon,
(13)
φn− =
1 si φn < 0,0 sinon.
∂φn−
∂t= 0,
∂2φn−
∂t2= 0.
=0
1
0
Fissure
>0<0
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2D vers 3D
Description etevolution de la fissureen 3D
Les XFEM
Presentation ducritere
Quelques remarques
Simulation depropagation de fissure3D en dynamiquerapide
Mode 1 pur
Kalthoff
David Gregoire
Les difficultes etsolutions
Les instabilites
Nouvelenrichissement
Conclusion etperspectives
Fin
25 fevrier 2014
Formulation d’un nouvel enrichissement discontinu
La fissure peut evoluer dans une element, on espere des avancees dufront moins brutales,
enrichissement pas encore totalement teste, la matrice de masse doitetre modifiee,
etude du pas de temps encore a faire,
les contraintes ne sont plus continues en avant et en arriere du frontdans le meme element.
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2D vers 3D
Description etevolution de la fissureen 3D
Les XFEM
Presentation ducritere
Quelques remarques
Simulation depropagation de fissure3D en dynamiquerapide
Mode 1 pur
Kalthoff
David Gregoire
Les difficultes etsolutions
Les instabilites
Nouvelenrichissement
Conclusion etperspectives
Fin
25 fevrier 2014
Formulation d’un nouvel enrichissement continu
2nd idee, essayer avec une fonction continue φn−.
Nei (x, t) = Ni(x)H(x)φn(x, t)−Uei (t) (14)
Avec H(x) =
1 si on est au dessus de la fissure,−1 si on est en dessous,0 sinon,
(15)
φn− =
−φn si φn < 0,0 sinon.
∂φn−
∂t=
Vφn si φn < 0,0 sinon ,
∂2φn−
∂t2=
V nφn− V n−1
φn
2si φn < 0,
0 sinon,,
=0
0
Fissure
>0<0
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2D vers 3D
Description etevolution de la fissureen 3D
Les XFEM
Presentation ducritere
Quelques remarques
Simulation depropagation de fissure3D en dynamiquerapide
Mode 1 pur
Kalthoff
David Gregoire
Les difficultes etsolutions
Les instabilites
Nouvelenrichissement
Conclusion etperspectives
Fin
25 fevrier 2014
Formulation d’un nouvel enrichissement continu
La fissure peut evoluer dans un element, on espere des avancees dufront moins brutales,
la matrice de masse change aussi, elle n’a pas encore ete ecrite,
etude du pas de temps encore a faire,
cette formulation a peu de chance d’etre testee avant la fin de la these.
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Description etevolution de la fissureen 3D
Les XFEM
Presentation ducritere
Quelques remarques
Simulation depropagation de fissure3D en dynamiquerapide
Mode 1 pur
Kalthoff
David Gregoire
Les difficultes etsolutions
Les instabilites
Nouvelenrichissement
Conclusion etperspectives
Fin
25 fevrier 2014
Sommaire
1 Evolution de la 2D vers la 3D
2 Simulation de propagation de fissure 3D en dynamique rapide
3 Analyses des difficultes de la simulation et les solutions apportees
4 Conclusion et perspectives
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Conclusion
Une nouvelle methode geometrique d’actualisation des level-sets a etedeveloppee, elle est tres robuste et efficace (moins de 5% du temps decalcul total),
une nouvelle methode d’integration des elements dans le cas lineaireelastique a ete developpee (pas presentee ici),
le critere 3D a ete code et teste,
on est arrive a simuler en 3D les experiences 2D,
on a reussi a simuler des trajets tridimensionnels de fissure, en simulantles experiences de David Gregoire [Gre08],
on a repere une instabilite dans les grandes avancees de fissure,
on a essaye de visualiser les consequences des enrichissements,
des nouveaux enrichissements ont ete developpes, ils n’ont pas encoreete teste,
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Perspectives
Le critere de transition traction-cisaillement n’a pas ete teste du fait desinstabilites constatees,
un travail est encore necessaire sur l’integration des elements,
la performance du code peut encore etre optimisee,
une etape de parallelisation est encore a prevoir pour simuler desstructures plus consequentes.
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Bibliographie
T. Belytcschko and T. Black.
Elastic crack growth in finite elements with minimal remeshing.International journal for numerical methods in engineering, 45 :601–620, 1999.
I. Babuska and J. M. Melenk.
The partition of unity method.International Journal for Numerical Methods in Engineering, 40(4) :727–758, 1997.
F. Caleyron.
Simulation numerique par la methode SPH de fuites de fluide consecutives a la dechirure d’un reservoir sous impact.PhD thesis, INSA de Lyon, 2011.
F. Cazes.
Construction et implementation de lois cohesives extrinseques.PhD thesis, LaMCoS-INSA de Lyon, 2010.
M. Duflot.
A study of the representation of cracks with level sets.International journal for numerical methods in engineering, 70 :1261–1302, 2006.
D. Gregoire.
Initiation, propagation, arret et redemarrage de fissures sous impact.PhD thesis, LaMCoS-INSA de Lyon, 2008.
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Bibliographie (cont.)
D. Haboussa.
Modelisation de la transition traction-cisaillement des metaux sous choc par la X-FEM.PhD thesis, INSA de Lyon, november 2012.
D. Haboussa, D. Gregoire, T. Elguedj, H. Maigre, and A. Combescure.
X-FEM analysis of the effects of holes or other cracks on dynamic crack propagations.International journal for numerical methods in engineering, 86 :618–636, 2011.
J.F. Kalthoff.
Modes of dynamic shear failure in solids.International Journal of Fracture, 101(1) :1–31, 2000.
M.F. Kanninen and C.H. Popelar.
Advanced Fracture Mechanics.Oxford Engineering Science Series. Oxford University Press, USA, 1985.
N. Moes, J. Dolbow, and T. Belytcschko.
A finite element method for crack growth without remeshing.International journal for numerical methods in engineering, 46 :131–150, 1999.
T. Menouillard.
Dynamique explicite pour la simulation numerique de propagation de fissure par la methode des elements finis etendus.PhD thesis, INSA de Lyon, 2007.
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Bibliographie (cont.)
S. E. Mousavi and N. Sukumar.
Generalized gaussian quadrature rules for discontinuities and crack singularities in the extended finite element method.Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 199(49–52) :3237 – 3249, 2010.
S. Osher and R. Fedkiw.
Level Set Methods and Dynamic Implicit Surface.Springer, 2000.
B. Prabel.
Modelisation avec la methode X-FEM de la prpagation dynamique et de l’arret de fissure de clivage dans un acier de cuveREP.PhD thesis, INSA de Lyon, 2007.
J. Rannou.
Prise en compte d’effets d’echelle en mecanique de la rupture tridimensionnelle par une approche X-FEM multigrille localiseenon-lineaire.PhD thesis, INSA de Lyon, 2008.
J. Rethore.
Methode element finis etendu en espace et en temps : application a la propagation dynamique des fissures.PhD thesis, INSA de Lyon, 2005.
A. Rusinek, J.A. Rodrıguez-Martınez, R. Zaera, J.R. Klepaczko, A. Arias, and C. Sauvelet.
Experimental and numerical study on the perforation process of mild steel sheets subjected to perpendicular impact byhemispherical projectiles.International Journal of Impact Engineering, 36(4) :565 – 587, 2009.
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Bibliographie (cont.)
J.A. Sethian.
Level Set Methods and fast Marching Methods Evolving interfaces in computational geometry, fluid mechanics, computervision, and materials science.Cambridge University press, 1996.
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Annexes
Fonction poids
Utilisation des anglesdu critere de rupture
Actualisation deslevel-sets
Methoded’integration deselements XFEM
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Fonction poids
Fonction poids utilisee pour moyenner les contraintes en pointe de fissure :
w(r) = e−( rR
)2 (16)
0 0.5 1 1.5 20
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
r/R
Fo
nct
ion
po
ids
w(r
)
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Fonction poids
Utilisation des anglesdu critere de rupture
Actualisation deslevel-sets
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Utilisation des angles du critere de rupture
Vφt = a cos(θc) sin(ψc) (17)
Vφn = a sin(θc) (18)
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Actualisation deslevel-sets
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Actualisation des level-sets
Actualisation des level-sets par la methode geometrique donnee par ThomasMenouillard [Men07], sous decoupage du domaine en 4 zones.
Zones Zone 1 Zone 2 Zone 3 Zone 4
− tan(θ)φ0t − tan(θ)φ0
t − tan(θ)φ0t − tan(θ)φ0
t
≥ φ0n < φ0
n ≤ φ0n > φ0
n
φ0n ≤ 0 φ0
n ≤ 0 φ0n > 0 φ0
n > 0
φt φ0t Equation 21 Equation 22 Equation 23
φn Equation 24 Equation 25
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Actualisation deslevel-sets
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Actualisation des level-sets (cont.)
θ = arctan
(Vφt
Vφn
)(19)
a =√V 2φt
+ V 2φn
(20)
φt = min(‖(φ0t )‖, ‖(φ0
t cos(θ)− φ0n sin(θ))‖).sign(φ0
t ) (21)
φt = φ0t cos(θ)− φ0
n sin(θ) (22)
φt =√
(φ0t )
2 + (φ0n)2sign(φ0
t ) (23)
φn = φ0n + φ0
t tan(θ)− a∆t
cos(θ)(24)
φn = (φ0n cos(θ) + φ0
t sin(θ))− a∆t (25)
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Actualisation deslevel-sets
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Integration des elements XFEM
Integration non exacte suivant la fissure, meme avec une fissure droite,
nouvelle methode, avec les points de Gauss fixes au court du temps,
methode inspiree par Mousavi et Sukumar [MS10].
∫Ω
H(x)f(x) dx 'ng∑k=1
H(xk)f(xk)ωk
On place des points de Gauss fixes, et on va calculer la valeur des poidsde Gauss correspondant pour que l’integration soit la plus exacte possible.
I = F (ξk, νk).wk
wk = F (ξk, νk)−1.I
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Integration des elements XFEM
On a choisi d’essayer d’integrer les fonctions suivantes, l’integrale de referenceest calculee par sous-decoupage non conformes.
I = F (ξk, νk).wk
wk = F (ξk, νk)−1.I
1 H(ξ, η)
ξ ξH(ξ, η)
η ηH(ξ, η)
ξ2 ξ2H(ξ, η)
η2 η2H(ξ, η)
ξη ξηH(ξ, η)
A
B
B
C
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Integration des elements XFEM
Dans un premier temps, on a essaye de calculer exactement les integrales desfonctions pour plusieurs emplacements de points de Gauss :
Points de Gauss "Classiques"Autres points de Gauss
Points de Gauss "Classiques"Autres points de Gauss
Points de Gauss "Classiques"Autres points de Gauss
Points de Gauss "Classiques"Autres points de Gauss
Points de Gauss "Classiques"Autres points de Gauss
Points de Gauss "Classiques"Autres points de Gauss
Points de Gauss "Classiques"Autres points de Gauss
Points de Gauss "Classiques"Autres points de Gauss
Points de Gauss "Classiques"
Et pour plusieurs emplacements de fissure :
Crack
Crack
CrackCrack
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Integration des elements XFEM
En utilisant un algorithme iteratif des moindres carres (Matlab), lesysteme donne des solutions avec beaucoup d’erreur (+50% d’erreur surle residu).
I = F (ξk, νk).wk
wk = F (ξk, νk)−1.I
error = max
(∣∣∣∣I − F (x)w
I
∣∣∣∣) ∀ Ii 6= 0
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Integration des elements XFEM
On peut trouver des solutions qui nous conviennent (erreur sur le residu a10−15) si on cherche 2 jeux de poids de Gauss differents, 1 jeu pour lesfonctions continues et 1 autre pour les fonctions discontinues :
Icont = F cont(x)wcont et Idisc = F disc(x)wdisc (26)
Ke
=
∫Ω
(BTD
B HBTD
B
HBTDB H2BTD
B
)dΩ (27)
Points de Gauss "Classiques"Autres points de Gauss
Points de Gauss "Classiques"Autres points de Gauss
Figure: Gauss Points localizations
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Enrichissement discontinu
La nouvelle formulation donne :
MQn+1
= F extn+1 − Fintn+1, (28)
avec M = ρ
∫Ω
[NTN NTNe
(Ne)TN (Ne)TNe
]dΩ, (29)
F extn+1 =
∫Ω
[N Ne
]TfvdΩ +
∫S
[N Ne
]TF d dS, (30)
F intn+1 =
∫Ω
[B Be
]Tσn+1
dΩ, Be = BHφn−. (31)
Attention la diagonalisation de la matrice de masse change :
Mdiag =
[mLI 0
0 meLI
],mL =
mel
nnd, (32)
meL =
mel
mes(Ωel)
1∑ndi=1(φn(xi)−)2
∫Ω
(φn−)2 dΩ. (33)
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Actualisation deslevel-sets
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Enrichissement continu
La nouvelle formulation donne :
MUn+1 = F extn+1 −(K +D1
)Un+1 −D
2Un+1, (34)
avec M = ρ
∫Ω
[NTN NTNe
(Ne)TN (Ne)TNe
]dΩ, (35)
F extn+1 =
∫Ω
[N Ne
]TfvdΩ +
∫S
[N Ne
]TF d dS, (36)
K =
∫Ω
[BTB BTBe
(Be)TB (Be)TBe
]dΩ, Be = BHφn−,(37)
D1 =
∫Ω
[N Ne
]T [0 N
e]dΩ, (38)
D2 = 2
∫Ω
[N Ne
]T [0 N
e]dΩ. (39)
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