Extension de l’approche X-FEM en dynamique rapide pour la ... · etendre les XFEM a la 3D en...

25 fevrier 2014

Extension de l’approche X-FEM en dynamique rapide pour lapropagation tridimensionnelle de fissure dans des materiauxductiles.

Romains Pelee De Saint Maurice1,3

Encadrants :Alain Combescure1

Thomas Elguedj1

Vincent Faucher2

Benoit Prabel3

1 LaMCoS 2 CEA Saclay 3 CEA SaclayUMR CNRS5259 / INSA-LYON DEN/DANS/DM2S/SEMT/DYN DEN/DANS/DM2S/SEMT/DYN

France LaMSID UMR EDF-CNRS-CEA 2832 FranceFrance

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Introduction

Les incidents apparus ces dernieres annees ont montres qu’il est desormaisnecessaire de prevoir la ruine des structures de plus en plus complexes dansl’industrie.

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25 fevrier 2014

Introduction

Heureusement, les modes entrainant la ruine des structures ne sont pas ex-haustives et sont connues :

l’erosion,

fissuration par fatigue,

fissuration par impact ou choc.

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25 fevrier 2014

Introduction

Les methodes actuelles de simulation de fissure sont multiples :

les methodes particulaires, par exemple la methode SPH [Cal11],

les differentes methodes tirees de la methode des elements finis, avecendommagement [Caz10], avec erosion d’elements [RRMZ+09],elements finis etendus ou XFEM [BB99], [MDB99]...

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25 fevrier 2014

Introduction

Dans le cadre de la dynamique rapide, la methode XFEM est interessante car :

elle possede les avantages de la methode des elements finis (impositiondes conditions aux limites, cout de calcul faible),

elle evite de modifier le maillage en cours de calcul lorsque la fissureevolue,

elle est deja utilisee en 2D [Men07, Hab12], mais la representationseulement 2D ne suffit pas.

FissureFront de fissure

Ancien maillage

Nouveau maillage

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25 fevrier 2014

Contexte et but de la these

Pour arriver a simuler une fissure, on a besoin :

une representation simple de la fissure, pouvant evoluer facilement etdans des formes complexes,

etendre les XFEM a la 3D en dynamique, en se basant sur les travauxde Thomas Menouillard [Men07] en 2D,

avoir un critere de rupture 3D, par exemple le critere de propagation 3Dde David Haboussa [Hab12],

Integrer tout cela dans le code de calcul de dynamique expliciteEUROPLEXUS, developpe par le CEA et de la Commission Europeenne,

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2D vers 3D

Description etevolution de la fissureen 3D

Les XFEM

Presentation ducritere

Quelques remarques

Simulation depropagation de fissure3D en dynamiquerapide

Mode 1 pur

Kalthoff

David Gregoire

Les difficultes etsolutions

Les instabilites

Nouvelenrichissement

Conclusion etperspectives

Fin

25 fevrier 2014

Sommaire

1 Evolution de la 2D vers la 3D

2 Simulation de propagation de fissure 3D en dynamique rapide

3 Analyses des difficultes de la simulation et les solutions apportees

4 Conclusion et perspectives

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2D vers 3D


Les XFEM


Quelques remarques


Mode 1 pur

Kalthoff

David Gregoire


Les instabilites



Fin

25 fevrier 2014

Sommaire

1 Evolution de la 2D vers la 3DDescription et evolution de la fissure en 3D

Description de la fissureMethode de propagation des vitessesActualisation des level-sets

Les XFEMPresentation du critereQuelques remarques




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Les XFEM


Quelques remarques


Mode 1 pur

Kalthoff

David Gregoire


Les instabilites



Fin

25 fevrier 2014

Description et evolution de la fissure en 3D

Il existe plusieurs methodes de representation de la fissure :

une representation explicite avec un maillage,

une representation implicite, avec des fonctions de niveau (level-sets),

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2D vers 3D


Les XFEM


Quelques remarques


Mode 1 pur

Kalthoff

David Gregoire


Les instabilites



Fin

25 fevrier 2014


On a choisi d’utiliser deux level-sets [OF00, Set96] pour decrire lafissure :

φt decrit le plan de la fissure,φn decrit le front,

2 maillages sont utilises [Pra07, Ran08] :un maillage elements finis pour le calcul mecanique,un maillage regulier pour la representation des level-sets.

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Les XFEM


Quelques remarques


Mode 1 pur

Kalthoff

David Gregoire


Les instabilites



Fin

25 fevrier 2014


Une fois la fissure representee, il faut :

discretiser le front en plusieurs points. Nous avons choisi un algorithmerecursif donne par Rannou [Ran08],

en chaque point, le critere de rupture calcule 2 angles de propagation dela fissure θc et ψc et la vitesse d’avancee du front a.

1

2

12

3

,

,

,

1 2

3

,

,

,

,

, ,

2,1

,

1

2

1

2

31

2

2D 3D

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Les XFEM


Quelques remarques


Mode 1 pur

Kalthoff

David Gregoire


Les instabilites



Fin

25 fevrier 2014

Methode de propagation des vitesses

On a alors des vitesses en chaque point du front qu’il faut ensuitepropager a l’ensemble du maillage level-set,

jusqu’ici la methode utilisee consistait a resoudre les equationsd’Hamilton-Jacobi par une methode differences finies. cette methodeest couteuse et peut poser des soucis de robustesse,

nous avons fait le choix d’utiliser une methode geometrique pourpropager les vitesses, qui est beaucoup plus efficace.

M

1

2

M

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Les XFEM


Quelques remarques


Mode 1 pur

Kalthoff

David Gregoire


Les instabilites



Fin

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Actualisation des level-sets

Actualisation des fonctions de niveau par une methode geometriqueinspiree de Menouillard [Men07] et des travaux de Duflot [Duf06] pardecoupage du domaine en 4 zones.

Zone 1

Zone2Zone 3

Zone 4

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Les XFEM


Quelques remarques


Mode 1 pur

Kalthoff

David Gregoire


Les instabilites



Fin

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Presentation des XFEM

La methode des elements finis etendus ou XFEM [BM97, BB99] est uneextension de la methode des elements finis classiques . Elle se basesur la propriete de la partition d’unite :

n∑i=1

Ni(x) = 1 ∀x ∈ Ω, (1)

le champ de deplacement est represente par des degres de liberte (DDL) classiques et des DDL enrichis.

u(x) =n∑i=1

Ni(x)U i +

ne∑i=1

nf∑j=1

Ni(x)ϕij(x)Ueij , (2)

ne est un sous-ensemble de n ou l’on place des DDL enrichis Ue. nf estle nombre de fonctions d’enrichissement. ϕ(x) sont les fonctionsd’enrichissement utilisees.

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Les XFEM


Quelques remarques


Mode 1 pur

Kalthoff

David Gregoire


Les instabilites



Fin

25 fevrier 2014


En dynamique explicite, seule la fonction de Heaviside generalisee est utiliseeen enrichissement :

ϕ(x) = H(x) =

1 si on est au dessus de la fissure,−1 si on est en dessous,0 sinon.

(3)

Fissure Noeuds enrichis

éléments surintégrés

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Les XFEM


Quelques remarques


Mode 1 pur

Kalthoff

David Gregoire


Les instabilites



Fin

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Integration a l’aide d’un sous-decoupage regulier des elements afin d’eviter laprojection des champs et les erreurs dans le cas de la plasticite :

en 2D, les quadrangles sont sous-decoupes avec 4× 4 sous elements a 4points de Gauss, soit 64 points de Gauss,

en 3D, les cubes sont sous-decoupes avec 4× 4× 4 sous elements a 8points de Gauss, soit 512 points de Gauss,

Figure: Quadrangle integre normalement Figure: Quadrangle sur-integre

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Les XFEM


Quelques remarques


Mode 1 pur

Kalthoff

David Gregoire


Les instabilites



Fin

25 fevrier 2014

Presentation du critere

En chaque point du front le critere de rupture est calcule. Ce critere,utilise, entre autre, par Haboussa [Hab12] [HGE+11], exploitel’approche locale en pointe de fissure,

il consiste a calculer des grandeurs equivalentes en pointe a l’aide d’unefonction poids w(r).

σ =

∫Ωσw(r) dΩ∫

Ωw(r) dΩ

avec w(r) = e−( rR

)2 (4)

Front de fissure 3D

RR

Front de fissure 2D

Fissure

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2D vers 3D


Les XFEM


Quelques remarques


Mode 1 pur

Kalthoff

David Gregoire


Les instabilites



Fin

25 fevrier 2014


A partir du tenseur moyen en pointe de fissure σ, on calcule un critereen contrainte σeq,

il est compare a une valeur de contrainte critique σIc, dependante dumateriau et de la discretisation,

si σeq est superieur a la valeur σIc, la fissure propage avec une vitessede propagation a donnee par la formule de Kanninen [KP85],

σeq = max(σI , σII , σIII) (5)

a =

(

1− σeq

σIc

)cr si σeq > σIc,

0 sinon.(6)

σI , σII , σIII sont les valeurs propres du tenseur moyenne σ.

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Les XFEM


Quelques remarques


Mode 1 pur

Kalthoff

David Gregoire


Les instabilites



Fin

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Haboussa a calcule les directions des angles de propagation en 3D, en calculantle maximum de la contrainte circonferentielle σθθ.

θc = 2sign(KII) arctan

(1

4

(K −

√(K)2

+ 8

)), (7)

ψc =1

2sign(KIII) arctan

(2Kn

I

KnII −Kn

III

), (8)

avec K =1 +Kn

I − (1−KnIII)

p(ν)

KnII

, p(ν) =1

4(√π − 5ν).

KnI , Kn

II et KnIII sont les facteurs d’intensite des contraintes (FIC) normalises.

Dans l’approche locale, on remplace les FIC par les composantes du tenseurequivalent en pointe de fissure σ :

KI ≡ σ22, KII ≡ σ12, KIII ≡ σ23, (9)

KnM =

|KM |∑IIIM=I |KM |

∀M ∈ I, II, III. (10)

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Les XFEM


Quelques remarques


Mode 1 pur

Kalthoff

David Gregoire


Les instabilites



Fin

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Quelques remarques

Le maillage nous impose un filtre en espace des phenomenes observes.En dynamique explicite, ce maillage impose un filtre en temps. Onrealise donc un filtrage des avancees de fissure pour qu’elles deviennentcoherentes avec le maillage. Concretement, on attend que les avanceessoient representatives par rapport a la taille d’element en pointe defissure,

Fissure

Noeuds enrichis

Fissure

Sur les bords, on possede moins d’information qu’au centre. On lisse lesvitesses des points du front a partir des points voisins.

Front de fissure11 / 35

2D vers 3D


Les XFEM


Quelques remarques


Mode 1 pur

Kalthoff

David Gregoire


Les instabilites



Fin

25 fevrier 2014

Sommaire


2 Simulation de propagation de fissure 3D en dynamique rapideFissure droite soumise a une sollicitation en mode 1 purExperience de Kalthoff [Kal00]Experience de David Gregoire [Gre08]



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Les XFEM


Quelques remarques


Mode 1 pur

Kalthoff

David Gregoire


Les instabilites



Fin

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Fissure droite soumise a une sollicitation en mode 1 pur

Caracteristiques :

Taille de maille 0.2mE 210GPaν 0.3ρ 1800Kg.m−3

cr 1500m.s−1

σIc 35MpaR 0.6m

Tmoy 0.2Rmoy 0.2m

Fissure

h

A

B

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Les XFEM


Quelques remarques


Mode 1 pur

Kalthoff

David Gregoire


Les instabilites



Fin

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Fissure droite soumise a une sollicitation en mode 1 pur

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Les XFEM


Quelques remarques


Mode 1 pur

Kalthoff

David Gregoire


Les instabilites



Fin

25 fevrier 2014

Experience de Kalthoff [Kal00]

Caracteristiques :

Taille de maille XFEM 2mmE 190GPaν 0.3ρ 8000Kg.m−3

cr 1600m.s−1

σIc 35MPaσY 190MPaEt 1.6GpaR 7mmRpla 20mmTmoy 0.5Rmoy 10.0mmV0 16.0m.s−1

Fissure

H

L

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Les XFEM


Quelques remarques


Mode 1 pur

Kalthoff

David Gregoire


Les instabilites



Fin

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Les XFEM


Quelques remarques


Mode 1 pur

Kalthoff

David Gregoire


Les instabilites



Fin

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Comparaison des resultats 2D-3D

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000

10

20

30

40

50

60

70

80

t (en µ s)Avancee(enmm)

Avancee de fissure au centreAvancee de fissure au bordAvancee de fissure 2D

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Les XFEM


Quelques remarques


Mode 1 pur

Kalthoff

David Gregoire


Les instabilites



Fin

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Experience de David Gregoire [Gre08]

Caracteristiques :

Taille demaille XFEM 1.4mm

E 2.4GPaρ 1180Kg.m−3

ν 0.42cr 800m.s−1

Impedance 1.9× 106Kg.m−2.s−1

σdIc 7.0MPaσaIc 2.8MPacr 400m.s−1

R 5mmTmoy 0.5Rmoy 6mm

Fissure

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Les XFEM


Quelques remarques


Mode 1 pur

Kalthoff

David Gregoire


Les instabilites



Fin

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Les XFEM


Quelques remarques


Mode 1 pur

Kalthoff

David Gregoire


Les instabilites



Fin

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Comparaison des resultats de l’experience avec la simulation :

0 50 100 150 200 250 300 350 4000

5

10

15

20

25

t (en µ s)

Avancee(enmm)

Avancee de fissure au centreAvancee de fissure au bord

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Les XFEM


Quelques remarques


Mode 1 pur

Kalthoff

David Gregoire


Les instabilites



Fin

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Sommaire



3 Analyses des difficultes de la simulation et les solutions apporteesAnalyses des instabilites observeesDescription d’un nouvel enrichissement

Formulation d’un nouvel enrichissement discontinuFormulation d’un nouvel enrichissement continu


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Les XFEM


Quelques remarques


Mode 1 pur

Kalthoff

David Gregoire


Les instabilites



Fin

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Analyses des instabilites observees

On peut remarquer a la fin de chaque calcul, l’apparition d’instabilites auniveau de la propagation de fissure,

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Les XFEM


Quelques remarques


Mode 1 pur

Kalthoff

David Gregoire


Les instabilites



Fin

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Visualisation des instabilites dans le cas en mode I, la vitesse d’avancee dufront est imposee et constante dans l’epaisseur.

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Les XFEM


Quelques remarques


Mode 1 pur

Kalthoff

David Gregoire


Les instabilites



Fin

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Ces instabilites peuvent etre la consequences de plusieurs parametres :

les level-sets (methode robuste, depend du resultat du critere derupture),

le critere de rupture (au debut il fonctionne bien, depend descontraintes qu’on lui donne en entree),

l’integration des elements (pourrais etre une explication, sauf qu’avec512 points de Gauss pour un cube, il n’y a pas de modes de Hourglasset en mode 1 pur, le sous decoupage est conforme avec la fissure),

l’enrichissement (meme avec un maillage tres fin, ces instabilites sontpresentes, les 4 fonctions d’enrichissements sont complexes a mettre enoeuvre et ne resolvent pas le probleme),

le schema d’integration temporel.

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Les XFEM


Quelques remarques


Mode 1 pur

Kalthoff

David Gregoire


Les instabilites



Fin

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Description d’un nouvel enrichissement

But recherche :

Il faut faire evoluer la fissure dans un element afin d’avoir des avanceesde fissure moins brutales,

pour cela on a decrit et formule 2 nouveaux enrichissements.

Nouvelle description du champ de deplacement :

u(x, t) =

n∑i=1

Ni(x)U i(t) +

ne∑i=1

Nei (x, t)Uei (t) (11)

ne est un sous-ensemble de n ou l’on place des DDL enrichis Uei . Ne est lafonction de forme des DDL enrichis qui evolue en fonction du temps.

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Quelques remarques


Mode 1 pur

Kalthoff

David Gregoire


Les instabilites



Fin

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Formulation d’un nouvel enrichissement discontinu

1er idee, on a essaye d’enrichir par une fonction discontinue φn−.

Nei (x, t) = Ni(x)H(x)φn(x, t)−Uei (t) (12)

Avec H(x) =

1 si on est au dessus de la fissure,−1 si on est en dessous,0 sinon,

(13)

φn− =

1 si φn < 0,0 sinon.

∂φn−

∂t= 0,

∂2φn−

∂t2= 0.

=0

1

0

Fissure

>0<0

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Les XFEM


Quelques remarques


Mode 1 pur

Kalthoff

David Gregoire


Les instabilites



Fin

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Formulation d’un nouvel enrichissement discontinu

La fissure peut evoluer dans une element, on espere des avancees dufront moins brutales,

enrichissement pas encore totalement teste, la matrice de masse doitetre modifiee,

etude du pas de temps encore a faire,

les contraintes ne sont plus continues en avant et en arriere du frontdans le meme element.

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Quelques remarques


Mode 1 pur

Kalthoff

David Gregoire


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Fin

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Formulation d’un nouvel enrichissement continu

2nd idee, essayer avec une fonction continue φn−.

Nei (x, t) = Ni(x)H(x)φn(x, t)−Uei (t) (14)

Avec H(x) =

1 si on est au dessus de la fissure,−1 si on est en dessous,0 sinon,

(15)

φn− =

−φn si φn < 0,0 sinon.

∂φn−

∂t=

Vφn si φn < 0,0 sinon ,

∂2φn−

∂t2=

V nφn− V n−1

φn

2si φn < 0,

0 sinon,,

=0

0

Fissure

>0<0

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Quelques remarques


Mode 1 pur

Kalthoff

David Gregoire


Les instabilites



Fin

25 fevrier 2014

Formulation d’un nouvel enrichissement continu

La fissure peut evoluer dans un element, on espere des avancees dufront moins brutales,

la matrice de masse change aussi, elle n’a pas encore ete ecrite,

etude du pas de temps encore a faire,

cette formulation a peu de chance d’etre testee avant la fin de la these.

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Les XFEM


Quelques remarques


Mode 1 pur

Kalthoff

David Gregoire


Les instabilites



Fin

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Sommaire





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Quelques remarques


Mode 1 pur

Kalthoff

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Fin

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Conclusion

Une nouvelle methode geometrique d’actualisation des level-sets a etedeveloppee, elle est tres robuste et efficace (moins de 5% du temps decalcul total),

une nouvelle methode d’integration des elements dans le cas lineaireelastique a ete developpee (pas presentee ici),

le critere 3D a ete code et teste,

on est arrive a simuler en 3D les experiences 2D,

on a reussi a simuler des trajets tridimensionnels de fissure, en simulantles experiences de David Gregoire [Gre08],

on a repere une instabilite dans les grandes avancees de fissure,

on a essaye de visualiser les consequences des enrichissements,

des nouveaux enrichissements ont ete developpes, ils n’ont pas encoreete teste,

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Quelques remarques


Mode 1 pur

Kalthoff

David Gregoire


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Fin

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Perspectives

Le critere de transition traction-cisaillement n’a pas ete teste du fait desinstabilites constatees,

un travail est encore necessaire sur l’integration des elements,

la performance du code peut encore etre optimisee,

une etape de parallelisation est encore a prevoir pour simuler desstructures plus consequentes.

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Quelques remarques


Mode 1 pur

Kalthoff

David Gregoire


Les instabilites



Fin

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Fin

Merci de votre attention. Des questions ?

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Quelques remarques


Mode 1 pur

Kalthoff

David Gregoire


Les instabilites



Fin

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Bibliographie

T. Belytcschko and T. Black.

Elastic crack growth in finite elements with minimal remeshing.International journal for numerical methods in engineering, 45 :601–620, 1999.

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The partition of unity method.International Journal for Numerical Methods in Engineering, 40(4) :727–758, 1997.

F. Caleyron.

Simulation numerique par la methode SPH de fuites de fluide consecutives a la dechirure d’un reservoir sous impact.PhD thesis, INSA de Lyon, 2011.

F. Cazes.

Construction et implementation de lois cohesives extrinseques.PhD thesis, LaMCoS-INSA de Lyon, 2010.

M. Duflot.

A study of the representation of cracks with level sets.International journal for numerical methods in engineering, 70 :1261–1302, 2006.

D. Gregoire.

Initiation, propagation, arret et redemarrage de fissures sous impact.PhD thesis, LaMCoS-INSA de Lyon, 2008.

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Les XFEM


Quelques remarques


Mode 1 pur

Kalthoff

David Gregoire


Les instabilites



Fin

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Bibliographie (cont.)

D. Haboussa.

Modelisation de la transition traction-cisaillement des metaux sous choc par la X-FEM.PhD thesis, INSA de Lyon, november 2012.

D. Haboussa, D. Gregoire, T. Elguedj, H. Maigre, and A. Combescure.

X-FEM analysis of the effects of holes or other cracks on dynamic crack propagations.International journal for numerical methods in engineering, 86 :618–636, 2011.

J.F. Kalthoff.

Modes of dynamic shear failure in solids.International Journal of Fracture, 101(1) :1–31, 2000.

M.F. Kanninen and C.H. Popelar.

Advanced Fracture Mechanics.Oxford Engineering Science Series. Oxford University Press, USA, 1985.

N. Moes, J. Dolbow, and T. Belytcschko.

A finite element method for crack growth without remeshing.International journal for numerical methods in engineering, 46 :131–150, 1999.

T. Menouillard.

Dynamique explicite pour la simulation numerique de propagation de fissure par la methode des elements finis etendus.PhD thesis, INSA de Lyon, 2007.

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Les XFEM


Quelques remarques


Mode 1 pur

Kalthoff

David Gregoire


Les instabilites



Fin

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S. E. Mousavi and N. Sukumar.

Generalized gaussian quadrature rules for discontinuities and crack singularities in the extended finite element method.Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 199(49–52) :3237 – 3249, 2010.

S. Osher and R. Fedkiw.

Level Set Methods and Dynamic Implicit Surface.Springer, 2000.

B. Prabel.

Modelisation avec la methode X-FEM de la prpagation dynamique et de l’arret de fissure de clivage dans un acier de cuveREP.PhD thesis, INSA de Lyon, 2007.

J. Rannou.

Prise en compte d’effets d’echelle en mecanique de la rupture tridimensionnelle par une approche X-FEM multigrille localiseenon-lineaire.PhD thesis, INSA de Lyon, 2008.

J. Rethore.

Methode element finis etendu en espace et en temps : application a la propagation dynamique des fissures.PhD thesis, INSA de Lyon, 2005.

A. Rusinek, J.A. Rodrıguez-Martınez, R. Zaera, J.R. Klepaczko, A. Arias, and C. Sauvelet.

Experimental and numerical study on the perforation process of mild steel sheets subjected to perpendicular impact byhemispherical projectiles.International Journal of Impact Engineering, 36(4) :565 – 587, 2009.

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Les XFEM


Quelques remarques


Mode 1 pur

Kalthoff

David Gregoire


Les instabilites



Fin

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J.A. Sethian.

Level Set Methods and fast Marching Methods Evolving interfaces in computational geometry, fluid mechanics, computervision, and materials science.Cambridge University press, 1996.

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Annexes

Fonction poids

Utilisation des anglesdu critere de rupture

Actualisation deslevel-sets

Methoded’integration deselements XFEM


25 fevrier 2014

Fonction poids

Fonction poids utilisee pour moyenner les contraintes en pointe de fissure :

w(r) = e−( rR

)2 (16)

0 0.5 1 1.5 20

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

r/R

Fo

nct

ion

po

ids

w(r

)

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Annexes

Fonction poids





25 fevrier 2014

Utilisation des angles du critere de rupture

Vφt = a cos(θc) sin(ψc) (17)

Vφn = a sin(θc) (18)

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Annexes

Fonction poids





25 fevrier 2014

Actualisation des level-sets

Actualisation des level-sets par la methode geometrique donnee par ThomasMenouillard [Men07], sous decoupage du domaine en 4 zones.

Zones Zone 1 Zone 2 Zone 3 Zone 4

− tan(θ)φ0t − tan(θ)φ0

t − tan(θ)φ0t − tan(θ)φ0

t

≥ φ0n < φ0

n ≤ φ0n > φ0

n

φ0n ≤ 0 φ0

n ≤ 0 φ0n > 0 φ0

n > 0

φt φ0t Equation 21 Equation 22 Equation 23

φn Equation 24 Equation 25

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Annexes

Fonction poids





25 fevrier 2014

Actualisation des level-sets (cont.)

θ = arctan

(Vφt

Vφn

)(19)

a =√V 2φt

+ V 2φn

(20)

φt = min(‖(φ0t )‖, ‖(φ0

t cos(θ)− φ0n sin(θ))‖).sign(φ0

t ) (21)

φt = φ0t cos(θ)− φ0

n sin(θ) (22)

φt =√

(φ0t )

2 + (φ0n)2sign(φ0

t ) (23)

φn = φ0n + φ0

t tan(θ)− a∆t

cos(θ)(24)

φn = (φ0n cos(θ) + φ0

t sin(θ))− a∆t (25)

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Annexes

Fonction poids





25 fevrier 2014

Integration des elements XFEM

Integration non exacte suivant la fissure, meme avec une fissure droite,

nouvelle methode, avec les points de Gauss fixes au court du temps,

methode inspiree par Mousavi et Sukumar [MS10].

∫Ω

H(x)f(x) dx 'ng∑k=1

H(xk)f(xk)ωk

On place des points de Gauss fixes, et on va calculer la valeur des poidsde Gauss correspondant pour que l’integration soit la plus exacte possible.

I = F (ξk, νk).wk

wk = F (ξk, νk)−1.I

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Annexes

Fonction poids





25 fevrier 2014


On a choisi d’essayer d’integrer les fonctions suivantes, l’integrale de referenceest calculee par sous-decoupage non conformes.

I = F (ξk, νk).wk


1 H(ξ, η)

ξ ξH(ξ, η)

η ηH(ξ, η)

ξ2 ξ2H(ξ, η)

η2 η2H(ξ, η)

ξη ξηH(ξ, η)

A

B

B

C

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Annexes

Fonction poids





25 fevrier 2014


Dans un premier temps, on a essaye de calculer exactement les integrales desfonctions pour plusieurs emplacements de points de Gauss :

Points de Gauss "Classiques"Autres points de Gauss








Points de Gauss "Classiques"

Et pour plusieurs emplacements de fissure :

Crack

Crack

CrackCrack

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25 fevrier 2014


En utilisant un algorithme iteratif des moindres carres (Matlab), lesysteme donne des solutions avec beaucoup d’erreur (+50% d’erreur surle residu).

I = F (ξk, νk).wk


error = max

(∣∣∣∣I − F (x)w

I

∣∣∣∣) ∀ Ii 6= 0

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Fonction poids





25 fevrier 2014


On peut trouver des solutions qui nous conviennent (erreur sur le residu a10−15) si on cherche 2 jeux de poids de Gauss differents, 1 jeu pour lesfonctions continues et 1 autre pour les fonctions discontinues :

Icont = F cont(x)wcont et Idisc = F disc(x)wdisc (26)

Ke

=

∫Ω

(BTD

B HBTD

B

HBTDB H2BTD

B

)dΩ (27)



Figure: Gauss Points localizations

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25 fevrier 2014

Enrichissement discontinu

La nouvelle formulation donne :

MQn+1

= F extn+1 − Fintn+1, (28)

avec M = ρ

∫Ω

[NTN NTNe

(Ne)TN (Ne)TNe

]dΩ, (29)

F extn+1 =

∫Ω

[N Ne

]TfvdΩ +

∫S

[N Ne

]TF d dS, (30)

F intn+1 =

∫Ω

[B Be

]Tσn+1

dΩ, Be = BHφn−. (31)

Attention la diagonalisation de la matrice de masse change :

Mdiag =

[mLI 0

0 meLI

],mL =

mel

nnd, (32)

meL =

mel

mes(Ωel)

1∑ndi=1(φn(xi)−)2

∫Ω

(φn−)2 dΩ. (33)

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Annexes

Fonction poids





25 fevrier 2014

Enrichissement continu

La nouvelle formulation donne :

MUn+1 = F extn+1 −(K +D1

)Un+1 −D

2Un+1, (34)

avec M = ρ

∫Ω

[NTN NTNe

(Ne)TN (Ne)TNe

]dΩ, (35)

F extn+1 =

∫Ω

[N Ne

]TfvdΩ +

∫S

[N Ne

]TF d dS, (36)

K =

∫Ω

[BTB BTBe

(Be)TB (Be)TBe

]dΩ, Be = BHφn−,(37)

D1 =

∫Ω

[N Ne

]T [0 N

e]dΩ, (38)

D2 = 2

∫Ω

[N Ne

]T [0 N

e]dΩ. (39)

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Extension de l’approche X-FEM en dynamique rapide pour la ... · etendre les XFEM a la 3D en...

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