Comparaison expérimentale de la convergence des formules de quadrature

PROJET ANALYSE NUMÉRIQUEMATLAB

INTRODUCTION• Calcul de

Approximation

• Méthode de Newton-Cotes

• Méthode de Gauss-Legendre

• Méthode de Clenshaw-Curtis

• Outils de comparaison

Polynômes de Lagrange

Transformée de Fourrier discrète

Degré d’exactitude Complexité

Vitesse de convergence Précision

PLAN DE PRÉSENTATIONI. Présentation et implémentation des formules de quadrature

A. Newton-Cotes

B. Gauss-Legendre

C. Clenshaw-Curtis

II. Etude numérique de convergence

A. Répartition des noeuds

B. Newton-Cotes : convergence en fonction de l’intégrand

C. Gauss-Legendre vs Clenshaw-Curtis : complexité, précision et vitesse de convergence

D. Une première conclusion

E. Comparaison avec l’erreur d’interpolation du polynôme de meilleur approximation

A.NEWTON-COTES• Nœuds équirépartis sur l’intervalle

• Poids : remplacement de f par son polynôme d’interpolation de Lagrange

𝛱n  ( x )=∑i=0

n

y i li(x )    avec   li(x)= ∏j=0 , j ≠i

n x− x jx i−x j

A. NEWTON-COTES

• Changement de variable :

• Symétrie :

Les poids sont calculables à priori

A. NEWTON-COTES

Vectorisation

Symétrie

B.GAUSS-LEGENDRE• Produit scalaire :

• Résultat de Jacobi :

Degré d’exactitude maximum

Polynômes de Legendre

• Nœuds : racines du polynôme • Poids :

=1

Trop coûteux !!

!

B.GAUSS-LEGENDRE

• Matrice de Jacobi :

• Théorème 1

• valeurs propres de

• dépendent des vecteurs propres normalisés associés

B.GAUSS-LEGENDRE

Vectorisation

C.CLENSHAW-CURTIS

• Changement de variable :

• Formule de quadrature :

où coefficients transformée en cosinus discrète type 1

• Remarque de Gentleman

• Relations de symétrie

• Extrema de Tchebyshev :

Difficile

Transformée de Fourrier discrète

C.CLENSHAW-CURTIS

Vectorisation

COMPARAISON DES CRITERES THEORIQUES

NCO()

n/n+1

GLO()

2n+1

CCO(

n

PLAN DE PRÉSENTATIONI. Présentation et implémentation des formules de quadrature

A. Newton-Cotes

B. Gauss-Legendre

C. Clenshaw-Curtis

II. Etude numérique de convergence

A. Répartition des noeuds

B. Newton-Cotes : convergence en fonction de l’intégrand

C. Gauss-Legendre vs Clenshaw-Curtis : complexité, précision et vitesse de convergence

D. Une première conclusion

E. Comparaison avec l’erreur d’interpolation du polynôme de meilleur approximation

A.RÉPARTITION DES NOEUDS

• Gauss-Legendre / Clenshaw-Curtis : même comportement aux « bords » -1 et 1 pour

A.RÉPARTITION DES NOEUDS

B.NEWTON-COTES - CONVERGENCE EN FONCTION DE L’INTÉGRAND F

Continuité ?

analytique dans un intervalle

suffisamment grand sur ℂ

B.NEWTON-COTES: CONVERGENCE EN FONCTION DE L’INTEGRAND F

B.NEWTON-COTES - CONVERGENCE EN FONCTION DE L’INTÉGRAND F

Continuité ?

analytique dans un intervalle

suffisamment grand sur ℂ

B.NEWTON-COTES: CONVERGENCE EN FONCTION DE L’INTEGRAND F

• Newton-Cotes ne convergent pas en général pour tout intégrand f continu

• Newton-Cotes converge f analytique dans un voisinnage de l’intervalle de l’intégration assez grand.

Pas d’erreurs d’arrondi

Formules composites, Gauss-Legendre, Clenshaw Curtis…

• Pour n grand

C.GAUSS-LEGENDRE VS CLENSHAW-CURTIS

• « Valeur exacte »

C.GAUSS-LEGENDRE VS CLENSHAW-CURTIS

analytique sur ℂ

Facteur relatif de 2

C.GAUSS-LEGENDRE VS CLENSHAW-CURTIS

• « Valeur exacte »

C.GAUSS-LEGENDRE VS CLENSHAW-CURTIS

Gauss-Legendre

Clenshaw-Curtis

C. GAUSS-LEGENDRE VS CLENSHAW-CURTISCAS DE LA FONCTION 7

• Gauss-Legendre inutilisable pour

• Clenshaw – Curtis plus précise

C.GAUSS-LEGENDRE VS CLENSHAW-CURTIS

Gauss-Legendre

Clenshaw-Curtis

C.GAUSS-LEGENDRE VS CLENSHAW-CURTIS

• « Valeur exacte »

D.PREMIERE CONCLUSION

f analytique

GL : vitesse de

convergence

Précision

CC : vitesse de

convergence

f non analytique

Vitesse de convergence

GL : précision

CC : précision

D.ERREUR D’INTERPOLATION,

POLYNOME DE MEILLEUR

APPROXIMATION

Gauss-Legendre E∗

2n+1Clenshaw -

Curtis E∗nClenshaw-

Curtis E∗2n+1

PLAN DE PRÉSENTATIONI. Présentation et implémentation des formules de quadrature

A. Newton-Cotes

B. Gauss-Legendre

C. Clenshaw-Curtis

II. Etude numérique de convergence

A. Répartition des noeuds

B. Newton-Cotes : convergence en fonction de l’intégrand

C. Gauss-Legendre vs Clenshaw-Curtis : complexité, précision et vitesse de convergence

D. Une première conclusion

E. Comparaison avec l’erreur d’interpolation du polynôme de meilleur approximation

CONCLUSION

f analytique

GL : vitesse de

convergence

Précision

CC : vitesse de

convergence

f non analytique

Vitesse de convergence

GL : précision

CC : précision

QUESTIONS ?

I. Présentation et implémentation des formules de quadrature

A. Newton-Cotes

B. Gauss-Legendre

C. Clenshaw-Curtis

II. Etude numérique de convergence

A. Répartition des noeuds

B. Newton-Cotes : convergence en fonction de l’intégrand

C. Gauss-Legendre vs Clenshaw-Curtis : complexité, précision et vitesse de convergence

D. Une première conclusion

E. Comparaison avec l’erreur d’interpolation du polynôme de meilleur approximation