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Mémoire de fin d’études en vue d’obtenir le diplôme d’études
approfondies en hydraulique et aménagement
Présenté par : RATSIMAROFY Langoniaina
Membres du jury :
Président du jury : Monsieur RAKOTO David Rambinintsoa
Rapporteur : Monsieur RAMBININTSOA Tahina Michel
Examinateurs : Monsieur RAKOTOMALALA Jean Lalaina
Monsieur RAZAFINJATO Victor
Date de soutenance : 03 octobre 2015
ETUDES PRELIMINAIRES SUR
LE CALCUL DE STABILITE DES
DIGUES EN TERRE
Présenté par : RATSIMAROFY Langoniaina
Président du jury : Monsieur RAKOTO DAVID Rambinintsoa
Professeur Titulaire à l’ESPA et responsable de l’équipe d’accueil
doctorale hydraulique et aménagement.
Rapporteur : Monsieur RAMBININTSOA Tahina Michel
Maître de conférences à l’ESPA et Directeur technique du BPPAR
Examinateurs : - Monsieur RAKOTOMALALA Jean Lalaina
Professeur à l’IST et Directeur Général de l’IST-t
- Monsieur RAZAFINJATO Victor
Professeur Titulaire à l’IST et Directeur du département du génie civil à
l’IST-t
Etudes préliminaires sur le calcul de stabilité des digues en terre
i
Remerciements
En terme de rédaction de cet ouvrage, nous remercions à tout instant notre Dieu qui a
toujours éclairé notre vie par le savoir, et nous a guidé dans le bon chemin.
Je tiens à remercier :
Monsieur RAKOTO David Rambinintsoa professeur titulaire à l’Ecole Supérieure des
polytechniques d’Antananarivo, responsable de l’équipe d’accueil doctorale hydraulique et
aménagement pour m’avoir donné l’occasion de poursuivre et mener à terme cette étude. Ses
conseils et ses aides m’ont été très précieux. J’ai beaucoup apprécié la liberté qu’il m’a laissée
dans l’organisation de ces recherches et ses encouragements nombreux et réguliers.
Monsieur RAMBININTSOA Tahina Michel, d’avoir se montré toujours très disponible
et très généreux et de m’avoir donné la possibilité d’élaborer et de présenter ce livre de mémoire
ainsi que sa gentillesse de lire et corriger ce travail. Tout cela m’a donné la permission de bien
avancer dans la réalisation de cet ouvrage.
Monsieur RAKOTOMALALA Jean Lalaina Directeur Général de l’Institut supérieur
de technologie d’Antananarivo de m’avoir donné la chance de faire ce sujet pertinent, et
d’actualité ainsi que pour son aide et son encadrement pendant l’élaboration de cet ouvrage de
recherche, en dépit de ses occupations et malgré la difficulté rencontrée tout le long de cette
étude.
Monsieur RAZAFINJATO Victor directeur de département du génie civil à l’Institut
supérieur de technologie d’Antananarivo d’avoir accepté à être examinateur du présent
mémoire, vos remarques et vos suggestions m’ont été très précieuses pour l’amélioration de cet
ouvrage.
Et je n’oublie surtout pas ma famille qui m’a soutenu aussi bien moralement que
financièrement, mes amis qui m’ont apporté aides et suggestions pour l’accomplissement du
présent mémoire.
Merci à tous.
Etudes préliminaires sur le calcul de stabilité des digues en terre
ii
Sommaire
Remerciements
Sommaire
Liste des figures
Liste des tableaux
Nomenclature
Introduction générale
Chapitre I. Généralités sur les digues
I.1. Les différents types de digue en terre
I.2. Les matériaux constitutifs des digues
Chapitre II. Calcul de stabilité de la digue
II.1. Types de rupture d’une digue
II.2. Calcul de stabilité des talus
II.3. Calcul de stabilité de digue par la méthode des éléments finis
Conclusion générale
Bibliographie
Annexes
Table des matières
Résumé
Abstract
Etudes préliminaires sur le calcul de stabilité des digues en terre
iii
Liste des figures
Figure 1: Forces agissant sur une masse de terre ................................................................... 12
Figure 2: cercle de glissement et les efforts agissant sur une tranche de largeur "ds" ............. 15
Figure 3: Toutes les forces qu'une tranche subit .................................................................... 16
Figure 4: Talus et glissement potentiel .................................................................................. 18
Figure 5: Efforts agissant sur la tranche en méthode d'équilibre limite .................................. 21
Figure 6: Principe de calcul de l'équilibre des moments ........................................................ 24
Figure 7: Glissement avec effort externe ............................................................................... 26
Figure 8: Glissement type et forces pour la méthode de Fellenius ........................................ 28
Figure 9: Forces agissant sur la tranche pour la méthode de Bishop ...................................... 32
Figure 10: Forces agissant sur la tranche pour la méthode suédoise....................................... 33
Figure 11: Forces et polygones d'équilibre des forces pour la méthode suédoise ................... 35
Figure 12: Cercles de glissement pour l'application des méthodes cas N°1 ............................ 37
Figure 13: Cercles de glissement pour l'application des méthodes cas N°2 ............................ 38
Figure 14: Cercles de glissement pour l'application des méthodes cas N°3 ............................ 39
Figure 15: Figure de comparaison de la méthode de Fellenius et de Bishop cas N°1 ............. 40
Figure 16: Figure de comparaison de la méthode de Fellenius et de Bishop cas N°2 ............. 41
Figure 17: Figure de comparaison de la méthode de Fellenius et de Bishop cas N°3 ............. 42
Figure 18: Type d'élément pour un problème à 2 dimensions ................................................ 50
Figure 19: Maillage de la structure à étudier ......................................................................... 52
Figure 20: Allure de la déformée de la structure .................................................................... 62
Figure 21: Point quelconque M se trouvant dans un élément à trois nœuds i-j-k .................... 63
Figure 22: Organigramme de calcul par la méthode des éléments finis .................................. 67
Figure 23: Représentation graphique de la répartition de la contrainte de cisaillement .......... 68
Etudes préliminaires sur le calcul de stabilité des digues en terre
iv
Liste des tableaux
Tableau 1: Différentes expressions de la contrainte de cisaillement ........................... 17
Tableau 2: Inconnues et équations pour la méthode de Fellenius ............................... 30
Tableau 3: Inconnues et équations pour la méthode de Fellenius ............................... 32
Tableau 4: Résultats de calcul cas N°1 ...................................................................... 40
Tableau 5: Résultats de calcul cas N°2 ...................................................................... 41
Tableau 6: Résultats de calcul cas N°3 ...................................................................... 42
Tableau 7: Coordonnées de chaque nœud .................................................................. 53
Tableau 8: Forces horizontales et verticales agissant aux nœuds ................................ 58
Tableau 9: Résultats des déplacements des nœuds ..................................................... 60
Tableau 10: Résultat des réactions sur les nœuds ....................................................... 61
Tableau 11: Valeurs des contraintes obtenues par la MEF ......................................... 65
Etudes préliminaires sur le calcul de stabilité des digues en terre
v
Nomenclature
W Poids de la tranche
l ou l Projection de b sur la ligne de rupture
H Hauteur du talus
Β Angle du talus
Xi, Xi+1 Composantes verticales des forces d’interaction
Ei, Ei+1 Composantes horizontales des forces d’interaction
u Pression interstitielle
N' Force normale à la base de la tranche due à la contrainte effective
γ Poids volumique du sol
φ' ou Angle de frottement effectif du sol
c' Cohésion effective du sol
b Largeur de la tranche du sol
αi Angle entre la base de la ième tranche et l’horizontale
τ Contrainte de cisaillement sur la surface de rupture
τm Contrainte de cisaillement admissible sur la surface de rupture
Contrainte normale sur la surface de rupture
’ Contrainte normale effective sur la surface de rupture
S Somme des contraintes de cisaillement sur la surface de rupture
A Aire de l’élément du maillage
B Matrice de
K Matrice de rigidité
F ou Fs Facteur de sécurité
U Le vecteur des déplacements
F Le vecteur des forces
J Matrice jacobienne
Etudes préliminaires sur le calcul de stabilité des digues en terre
vi
Coefficient de Poisson
E Module d’Young
D Matrice d’élasticité
Ni Fonction d’interpolation
Etudes préliminaires sur le calcul de stabilité des digues en terre
INTRODUCTION
GENERALE
Etudes préliminaires sur le calcul de stabilité des digues en terre
1
Introduction générale
La plupart des ouvrages de génie civil reposent sur une digue en terre ou d’un talus qui,
dans ce cas prennent le rôle de support. Mais paradoxalement, surtout à Madagascar, le calcul
de stabilité de ces derniers est presque toujours considéré comme inutile. Cependant,
l’estimation de cette stabilité vis-à-vis du risque de rupture a été toujours l’une des importants
problèmes en géotechnique surtout dans le domaine des données limitées ou peu connues.
Habituellement ces ouvrages sont utilisés comme protection d’une ville contre la
remontée des eaux tout en étant comme voies de circulation. Mais elles peuvent aussi jouer un
rôle d’un barrage, c’est-à-dire un ouvrage d'art construit en travers d'un cours d'eau et destiné à
réguler le débit de celui-ci et/ou à en stocker l'eau pour différents usages tels que : contrôle des
crues, irrigation, industrie, hydroélectricité, pisciculture, réserve d'eau potable ou le trafic
fluvial.
L’étude d’un projet de digue en terre nécessite des calculs complexes de l’ouvrage aux
principaux stades de son histoire et notamment lorsque ses conditions de service sont les plus
défavorables, c'est-à-dire lorsque l'eau de la retenue atteint son niveau maximal.
Les caractéristiques des sols sont complexes, variables dans l’espace et dans le temps.
De ce fait, les paramètres que l’on doit introduire dans les calculs géotechniques, sont souvent
mal connus. L'étude de stabilité correspondante comporte généralement l'étude de l'écoulement
permanent à travers la digue et sa fondation, l'étude de stabilité en rupture circulaire du talus
aval et l’étude de stabilité élastique.
Les méthodes pour calculer la stabilité des pentes en terre sont très abondantes. La
plupart d’entre elles reposent sur le calcul à la rupture supposant que le facteur de sécurité reste
constant tout le long de la ligne de rupture. Le problème principal en utilisant ces méthodes se
trouve dans la comparaison des résultats.
Souvent, le plus grand souci dans le calcul de stabilité des talus se trouve dans la
pertinence des résultats obtenus car chaque méthode est différente qu’il est très difficile de se
fier au résultat obtenu. Il est donc important d’examiner de près certaines méthodes, c’est-à-
dire de façon plus explicite, afin de savoir la manière dont elles puissent avoir leurs résultats.
Etudes préliminaires sur le calcul de stabilité des digues en terre
2
L’objectif du présent mémoire est de développer une approche sur l’analyse de stabilité
des talus vis-à-vis du glissement en utilisant des méthodes classiques suivie par l’analyse de
stabilité élastique de la section transversale de la digue en se servant de la méthode des éléments
finis. Cela nous permettra de comparer les résultats obtenus pour que nous puissions avoir une
idée sur le choix de la méthode le plus adéquate pour calculer la stabilité des digues en terre.
Etudes préliminaires sur le calcul de stabilité des digues en terre
GENERALITES SUR LES
DIGUES
Etudes préliminaires sur le calcul de stabilité des digues en terre
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Chapitre I. Généralités sur les digues
I.1. Les différents types de digue en terre
Les digues en terre peuvent être différenciées selon certains nombres de critères. Le
critère le plus évident est sa forme caractérisée, en premier lieu par sa hauteur (1), Mais aussi
par la forme de sa section transversale. Il existe aussi d’autres critères qui semblent les moins
évidents comme entre autres, les matériaux qui la constituent et son rôle.
I.1.1. Distinction selon sa forme :
La forme des digues contribue beaucoup à sa stabilité surtout en renversement. En effet,
les digues en terre ont généralement la forme trapézoïdale mais elles peuvent aussi être en redan.
La hauteur d’une digue joue aussi un rôle très important dans sa stabilité vis-à-vis des efforts.
I.1.2. Distinction selon son rôle :
a) Les digues de protection contre les crues fluviales :
Elles sont situées dans le lit majeur d'un cours d'eau ou le long du littoral, parallèlement
à la rive et destinées à contenir les eaux de celui-ci à l'extérieur des digues. Elles portent alors
parfois le nom de levée.
b) Les digues de canaux :
Les canaux sont généralement alimentés artificiellement, les digues de canaux servent
à contenir l'eau à l'intérieur du canal. Les remblais composant des barrages sont aussi parfois
appelés digues mais pour éviter toute confusion, nous allons éviter d'employer le mot digue
pour désigner un ouvrage transversal qui barre un cours d'eau.
c) Les digues portuaires :
Plus ou moins longues faisant office d'écran aux vagues, sont appelés brise-lames.
N'ayant qu'une fonction de protection contre les vagues et courants de marée, elles n'ont pas
vocation à être étanches ; Certaines digues sont basses et constituées de blocs de pierre ou de
béton qui atténuent les vagues sans empêcher l'eau d'y circuler.
Etudes préliminaires sur le calcul de stabilité des digues en terre
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d) Les ouvrages de protection contre la mer :
Sont de plus en plus nombreux ; isolant et protégeant une ville de la mer; les dunes
littorales sont des digues naturelles et doivent être respectées comme telles.
Et plus récemment, on voit aussi :
e) Les digues à bermes reprofilables :
Ce sont des digues marines conçues pour que la houle puisse les remodeler, de manière
à atteindre un profil en S plus stable.
f) Les digues dites « digues écologiques »
elles visent à limiter ou en partie compenser leur impact écologique ; ce sont des
défenses côtières (ou fluviales), auxquelles on a intégré une vocation de récif artificiel, de
support de faune et algues marines ou de filtration ou amélioration de la qualité de l'eau ou un
intérêt écotouristique. Elles peuvent alors être intégrées dans un dispositif compensateur de
perte ou fragmentation d'habitats littoraux ou sédimentaires. Elles peuvent s'intégrer dans une
trame verte et bleue ou une trame bleue marine. Des études visent à mieux comprendre
comment elles peuvent contribuer à réduire ou compenser des impacts d'endiguements.
I.2. Les matériaux constitutifs des digues (2)
Le choix des matériaux constitutifs d’une digue ou barrage en terre repose parfois sur la
disponibilité au voisinage du chantier. Et ceci décide dans la plupart des cas le type et la forme
de l’ouvrage. On peut distinguer généralement deux grandes classes de matériaux utilisés pour
la construction des digues ou des barrages en terre :
Les sols pulvérulents ou grenus classés comme matériaux perméables mais
aussi comme matériaux supportant les forces de cisaillement élevées.
Les sols cohérents ou fins classés comme matériaux peu perméables dont la
résistance au cisaillement est faible.
La proportion de ces types de matériaux joue un rôle très important dans une
construction d’une digue en terre. Si l’on utilise une très grande proportion de matériaux peu
Etudes préliminaires sur le calcul de stabilité des digues en terre
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perméable et un faible volume de matériaux perméable, l’ouvrage est donc homogène et peu
perméable. Et dans le cas contraire ou ces deux proportions est inversée, il est commode de
choisir la solution d’un ouvrage à noyau étanche c’est-à-dire que les matériaux perméables sont
utilisés comme recharges et les matériaux peu perméable en comme noyau.
Si l’on est en présence d’au moins trois types de matériaux dont la perméabilité est
nettement différente les uns des autres, on dispose les matériaux d’autant plus centrale dans le
corps de digue que leur perméabilité est plus faible.
Lorsqu’on utilise uniquement des matériaux fins, les talus de l’ouvrage sont
relativement faibles mais pour les digues à noyau, les talus peuvent être plus raides car la
résistance au cisaillement du sol de recharge est plus élevée. Ce qui explique aussi que pour les
digues à noyau la quantité des matériaux utilisés est moins importante que pour les digues
homogènes construit à partir des matériaux fins.
Que ce soit pour le sol grenu ou pour le sol fin, des essais d’identification doivent être
effectués avant leur utilisation. Identifier un sol c’est connaitre un certain nombre de propriétés
physique mécanique ou chimique. Ces propriétés sont obtenues par des essais empirique, simple
et rapides appelés essais d’identification.
Les sols étant d’aspects très voisins mais pouvant présenter des comportements très
différents, que les essais d’identifications doivent avoir une description précise, chiffrée, et non
seulement descriptives du sol.
On peut distinguer deux grandes catégories d’essais d’identification de sols :
Les essais qui répondent de l’arrangement et de la répartition des phases
(solide, eau, air). Ces essais déterminent l’état du sol et ne peuvent être réalisé
que sur des échantillons intacts ;
Les essais qui traduisent les propriétés des particules du sol et l’intensité de leurs liaisons
avec l’eau. Ces essais caractérisent la nature du sol et sont réalisés sur des échantillons
intacts ou remaniés (dont l’état a été perturbé lors du prélèvement ou du transport).
Etudes préliminaires sur le calcul de stabilité des digues en terre
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I.2.1. Les matériaux utilisés et leurs caractéristiques :
Les matériaux pour les remblais sont quasi de même aspect dans les zones centrales de
.En général, la partie centrale de Madagascar est caractérisée par la présence des sols
ferralitiques faiblement ou fortement rajeunis. Avec une érodibilité « K » moyenne, qui
détermine la vulnérabilité des sols à l’érosion plus particulièrement à l’érosion hydrique. Il
définit la résistance des sols à la battance des gouttes de pluie. La valeur de K varie suivant le
type de sols, la région.
Cependant, pour avoir un ouvrage apte à résister aux forces de la nature, il vaut mieux
bien sélectionner son matériau. Avant de les utiliser. Les matériaux doivent passer aux
laboratoires pour des essais comme entre autres l’essai d’identification, l’essai CBR et l’essai
Proctor.
I.2.2. Identification et description qualitative des matériaux (3)
Identifier un sol, c’est déterminer un ensemble de propriétés physiques, mécaniques ou
chimiques qui permettent de le caractériser. Ces propriétés sont déterminées par des essais
simples et rapides, appelés « essais d’identification ».
Les essais d’identification conduisent à une description précise et chiffrée, et non
seulement descriptive, du sol. Une définition chiffrée est nécessaire car des sols d’aspects très
voisins peuvent présenter des comportements (mécaniques, en particulier) très différents. Les
essais d’identification servent de base aux divers systèmes de classification des sols. Leurs
résultats permettent aussi d’estimer au moyen de corrélations des ordres de grandeur des
propriétés mécaniques des sols et d’établir un prédimensionnement grossier des ouvrages au
stade des premières études. On distingue classiquement deux grandes catégories d’essais
d’identification :
— les essais qui répondent de l’arrangement et de la répartition des phases (squelette
solide, eau, air). Ces essais caractérisent l’état du sol et ne peuvent être réalisés que sur des
échantillons intacts ;
Etudes préliminaires sur le calcul de stabilité des digues en terre
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— les essais qui traduisent les propriétés des particules du sol et l’intensité de leurs
liaisons avec l’eau. Ces essais caractérisent la nature du sol et sont réalisés sur des échantillons
intacts ou remaniés (dont l’état a été perturbé lors du prélèvement ou du transport).
Une classification dite LPC utilise les résultats des essais classiques pour identifier les
sols :
Des critères granulométriques :
les pourcentages de gravier, sable et particules fines (tamisats à 2 mm et 0,08
mm)
La forme de la courbe granulométrique :
Coefficient d’uniformité ou de Hazen C,
Coefficient de courbure CZ ;
les caractéristiques de plasticité wL et IP , et la ligne A d’équation
IP = 0,73 (wL – 20) (relation de Casagrande;
la teneur en matières organiques.
La classification peut également s’effectuer à partir de l’observation visuelle du sol et
de tests simples de chantier. Mais il faut une grande expérience pour appliquer correctement
cette méthode de classification de chantier.
La classification débouche sur 15 sols types, affectés chacun d’un symbole à deux
lettres, prises dans les trois ensembles suivants.
Etudes préliminaires sur le calcul de stabilité des digues en terre
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Éléments du sol
G : Grave. Le gravier est la fraction principale
S : Sable. Le sable est la fraction principale
L : Limon ou limoneux
A : Argile ou argileux
T : Tourbe
O : Organique. Le sol contient des matières organiques
Granularité du sol
B : Bien gradué
m : Mal gradué
Plasticité du sol
t : Très plastique
p : Peu plastique
Pour les travaux de terrassement une classification particulière des sols est utilisée. Cette
classification est dite GTR et elle définit des classes de sols corrélées avec l’aptitude au
compactage des matériaux en fonction des conditions de chantiers et leur comportement
mécanique ultérieur. Elle tient compte des mêmes caractéristiques de base que la classification
LPC/USCS, mais elle est beaucoup plus précise pour les particules argileuses, qui ont une
grande influence sur la conduite des terrassements, et tient compte de l’altérabilité des
matériaux au cours du temps.
I.2.3. L’essai CBR :
Généralement appliqué dans les constructions routières, L’essai CBR est un essai de
portance (aptitude des matériaux à supporter les charges) des remblais compactés des
Etudes préliminaires sur le calcul de stabilité des digues en terre
9
ouvrages. Il s’agit de déterminer expérimentalement des indices portants (IPI, CBR) qui
permettent
- d’établir une classification des sols (GTR)
- d’évaluer la traficabilité des engins de terrassement (IPI)
- déterminer l’épaisseur (pour les chaussées : CBR augmente ⇒ épaisseur diminue)
Dans notre cas l’essai CBR est bien nécessaire vu que certaines digues dans la ville
jouent en même temps le rôle d’une chaussée.
La charge qui poinçonne le sol entraine un poinçonnement qui est d’autant plus petit
que la hauteur de la digue est grande. Un essai dit proctor s’effectue avec cet essai c’est-à-dire
en compactant le matériau puis en mesurant les forces appliquées.
On lui applique les conditions hydriques prévues pendant la vie de l’ouvrage:
immersion pendant 4 jours dans de l'eau.
pas d'immersion : essai immédiat.
On applique ensuite une charge voisine de ce que sera la charge de service et on
poinçonne le matériau dans des conditions déterminées (vitesse constante et déterminée) tout
en mesurant les efforts (F) et les déplacements (Δh) en résultant: On obtient la courbe d’essai.
On mesure 3 types d'indices en fonction des buts fixés :
l’indice Portant immédiat (IPI): Il caractérise l'aptitude du sol à permettre la
circulation des engins de chantier directement sur sa surface lors des travaux (H
= 0 ⇒ pas de surcharges S)
l’indice C.B.R. immédiat: Il caractérise l'évolution de la portance d'un sol
support (ou constituant de chaussée) compacté à différentes teneurs en eau.
Etudes préliminaires sur le calcul de stabilité des digues en terre
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l’indice C.B.R. après immersion: Il caractérise l'évolution de la portance d'un sol
support (ou constituant de chaussée) compacté à différentes teneurs en eau et
soumis à des variations de régime hydrique.
Etudes préliminaires sur le calcul de stabilité des digues en terre
CALCUL DE STABILITE DE
LA DIGUE
Etudes préliminaires sur le calcul de stabilité des digues en terre
11
Chapitre II. Calcul de stabilité de la digue
II.1. Types de rupture d’une digue
Faute de pouvoir décrire de façon précise le comportement d’un massif de sol depuis
son état initial jusqu’à la rupture, la mécanique des sols s’est inspirée des modes de rupture
observés dans la nature pour développer des lois de comportement simplifiées. La nature montre
l’existence de deux principaux modes de rupture :
les ruptures par glissement sur une surface : La représentation de la résistance au
cisaillement des sols par une relation entre la contrainte tangentielle τ et la
contrainte normale σ correspond au premier mode de rupture. Les essais de
cisaillement direct à la boîte en sont la traduction expérimentale.
les ruptures par plastification et écoulement d’une masse de sol : plus difficiles
à analyser et leur compréhension nécessite l’emploi de la théorie de la plasticité.
Dans l’analyse de la plastification des massifs de sols, on raisonne sur les états
de contraintes en chaque point. À part le cas des surfaces de rupture
préexistantes, que l’on rencontre pour l’essentiel dans les talus naturels, toutes
les ruptures commencent par la plastification du sol en un ou plusieurs points et
évoluent, suivant les circonstances, vers une rupture par plastification d’un
certain volume de sol ou vers la formation d’une surface de rupture.
II.2. Calcul de stabilité des talus (4) (5) (6) (7) (8) (9)
Cette partie de notre calcul concerne surtout le premier cas de la rupture d’une digue en
terre. Elle consiste à vérifier la stabilité d’une digue donnée vis-à-vis du glissement des sols.
Cela peut être causé par des efforts extérieurs ou bien par son poids propre uniquement.
Très souvent, les glissements de terrain sont déclenchés par un ensemble de facteurs
divers. Certaines conditions doivent être réunies pour menacer la stabilité d’un versant. A
celles-ci viennent s’ajouter un ou plusieurs mécanismes déclencheurs.
Dans les terrains inclinés, le sol a tendance à glisser vers l’aval. L’ampleur de ce
phénomène est principalement déterminée par trois forces:
Etudes préliminaires sur le calcul de stabilité des digues en terre
12
Gravité: force qui entraîne la matière vers le centre de la Terre; dépend du talus
du terrain.
Force de frottement: force qui freine une couche de terrain meuble ou de roche
par frottement contre la couche sous-jacente.
Force de cohésion: force qui repose sur l’attraction des particules du sol entre
elles et de l’attraction entre ces particules et l’eau stockée dans le sol.
Tant que les forces de résistance (force de frottement et cohésion) sont plus fortes que
la force motrice (gravité), la stabilité du versant est garantie. Si l’équilibre des forces change et
la force motrice devient plus importante que les forces de résistance, un glissement de terrain
se déclenche. Se produit alors une rupture entre deux couches de sol et une masse se met à
glisser plus ou moins rapidement vers l’aval.
L’analyse d’une série de paramètres fondamentaux permet de définir, dans une large
mesure, la probabilité d’occurrence d’un glissement ainsi que sa localisation:
Matériaux: la force de cohésion et la composition du terrain sont des facteurs
décisifs.
Force de cohésion: si le sol est, par exemple, composé exclusivement de
matériel granulaire, la cohésion entre les différentes particules du sol est
minime, voire nulle. Dans ce cas, seule la force de frottement peut s'opposer à
un éventuel glissement de terrain.
Force de frottement: la force de frottement est faible si, par exemple, les
terrains meubles ou les roches comportent des discontinuités remplies de
1
2
3
1
2
3
: Force de gravité
: Force de frottement
: Force de cohésion
Force motrice
Force de résistance
Figure 1: Forces agissant sur une masse de terre
Etudes préliminaires sur le calcul de stabilité des digues en terre
13
particules fines. Dans ce cas, la probabilité de voir une couche glisser sur
l’autre vers l’aval est très élevée.
Déclivité: les glissements de terrain peuvent se produire sur des talus modérés
à raides, d’une déclivité de 10 à 40 degrés généralement.
Hydrologie: Un terrain offrira plus ou moins de résistance au glissement en
fonction de sa sensibilité à l'eau, celle-ci dépendant directement de la
composition des matériaux constituant le versant. Les mouvements de masse
se produisent avant tout lorsqu’un important volume d’eau pénètre dans le sol
sur une période prolongée. En montagne, cela n’arrive que lorsque les
températures se situent au-dessus de zéro degré puisque, dans le cas contraire,
les précipitations sont stockées sous forme de neige ou de glace.
Erosion: les processus d'altération tendent à faire disparaître les sols
superficiels et mettent à nu les couches sous-jacentes. L'infiltration s'en trouve
renforcée et la teneur en eau des horizons profonds augmente. De tels
phénomènes réduisent la force de frottement et la cohésion.
Végétation: les racines des arbres et des arbustes peuvent contribuer à
améliorer la cohésion du sol. Un talus peut être fortement déstabilisé en cas de
disparition soudaine de la végétation suite à un incendie de forêt, au défrichage
du terrain, à une tempête ou à la sécheresse.
Activités humaines: celles-ci peuvent avoir une forte influence sur la stabilité
d’un talus. En voici quelques exemples:
Construction d’infrastructures ou de bâtiments: augmente le poids qui repose sur
le talus et, partant, la force de gravité. La stabilité peut également être fortement
réduite si des constructions sont érigées au bas du versant avec une excavation
dans le pied du glissement (suppression de butée).
Arrosage et irrigation: modifie la teneur en eau du sol.
Défrichement: entraîne le dépérissement des racines des arbres, qui ne peuvent
plus jouer leur rôle stabilisateur.
Ecoulements d’eau: les conditions d'écoulement dans un talus peuvent être
modifiés notamment par le compactage ou l’imperméabilisation du sol. Les
canalisations présentes dans le terrain peuvent aussi constituer des chemins
d'écoulement préférentiel avec concentration locale des eaux.
Etudes préliminaires sur le calcul de stabilité des digues en terre
14
Talus artificiels: les conditions de stabilité peuvent être fortement altérées si la
structure interne d’un talus est modifiée. Les talus artificiels présentent souvent
des caractéristiques moins favorables du point de vue de leur stabilité que les
talus naturels (compactage, cohésion, drainage des eaux, etc.).
Un mécanisme déclencheur est nécessaire pour qu’une masse se mette en mouvement.
Les principaux mécanismes déclencheurs sont les suivants:
Fortes précipitations: lorsqu’une quantité importante d’eau s’infiltre dans le
sol, la force de cohésion et la force de frottement peuvent diminuer en raison
de la poussée verticale, ce qui peut entraîner un glissement de terrain. Lorsque,
en plus de cela, la quantité d’eau qui pénètre dans le talus est supérieure à la
quantité d’eau qui s’en écoule, une pression interstitielle se forme. Cette
pression peut déclencher un glissement de terrain subit. Les apports d’eau sont
généralement considérables lorsqu’une fonte des neiges importante s’ajoute à
de fortes précipitations.
Fonte du sol: le pergélisol est maintenu par de la glace. Si celle-ci fond, le sol
se relâche et la force de cohésion diminue.
Ebranlements (tremblements de terre, éruptions volcaniques, activités
humaines): peuvent menacer l’équilibre des forces dans le talus.
Le principal objectif du calcul de stabilité des talus est d’évaluer le risque de rupture à
travers le calcul du facteur global de sécurité pour un talus et de localiser les zones à fort
potentiel de rupture.
Etudes préliminaires sur le calcul de stabilité des digues en terre
15
Pour assurer la stabilité du talus il faut qu’il y ait au moins équilibre entre l’effort
appliqué (le moment créé par le poids propre de la masse) et l’effort mobilisable (l’effort créé
par la résistance de cisaillement le long de la ligne de glissement) en s’appuyant sur la figure et
le tableau ci-dessus on peut écrire, d’une manière encore plus simple :
Avec
Wl : Effort appliqué avec l le bras de levier
𝑅∫ 𝜏 𝑑𝑠 = 𝑅 ∫ (𝑐 + 𝜎 tan 𝜑) 𝑑𝑠𝐶
𝐵
𝐶
𝐵 : Effort mobilisable
On obtient alors le coefficient de sécurité par :
𝐹𝑠 = 𝑅∫𝑐+𝜎 tan𝜑
𝑊 𝑙 𝑑𝑠
Pour apporter plus de détails, la figure ci-dessous nous montre tous les efforts agissant
sur la tranche.
A C
B ds
O
dP
M
l
W
Figure 2: cercle de glissement et les efforts agissant sur une tranche de largeur
"ds"
Etudes préliminaires sur le calcul de stabilité des digues en terre
16
Les essais de cisaillement à l’appareil triaxial comportent deux étapes :
une première étape de consolidation, au cours de laquelle on amène l’éprouvette
dans l’état à partir duquel on veut exécuter le cisaillement ;
une seconde étape, de cisaillement proprement dit, au cours de laquelle on
augmente le déviateur des contraintes jusqu’à ce que la rupture de l’éprouvette
se produise
Différentes modalités d’essais peuvent être définies, selon que les phases successives de
l’essai sont exécutées avec ou sans drainage. On distingue les principaux types d’essais
suivants :
essais non consolidés-non drainés (UU) : la première étape de l’essai est
effectuée à drainage fermé, de même que le cisaillement ;
essais consolidés-non drainés (CU) : au cours de l’étape de consolidation, le
drainage est ouvert et l’on attend que les contraintes effectives deviennent égales
aux contraintes totales appliquées (surpressions interstitielles nulles). Au cours
𝑋 +𝑑𝑋
2
−൬𝑋 −𝑑𝑋
2൰
−ቆ𝑈′ +𝑑𝑈′
2ቇ
𝑈 −𝑑𝑈
2
𝐸′ −𝑑𝐸′
2
−ቆ𝐸′ +𝑑𝐸′
2ቇ
y
x
ds
y
x
ds
𝑥 −𝑑𝑥
2 𝑥 +
𝑑𝑥
2
h dx
Figure 3: Toutes les forces qu'une tranche subit
Etudes préliminaires sur le calcul de stabilité des digues en terre
17
de l’étape de cisaillement, le drainage est fermé et l’on peut, si nécessaire,
mesurer la pression interstitielle pendant le chargement jusqu’à la rupture (on
parle alors d’essais CU avec mesure de u)
essais consolidés-drainés (CD) : la première étape est identique à celle des
essais CU. Le cisaillement est exécuté en condition de drainage ouvert, en
augmentant la charge suffisamment lentement pour que la surpression
interstitielle reste négligeable tout au long de l’essai.
D’ailleurs Le tableau suivant nous montre le choix des caractéristiques de cisaillement
des sols.
Tableau 1: choix des caractéristiques de cisaillement des sols
Type de sol Type de
calcul
Type de
compor
tement
Caractérist
iques
Types
d’essai
Para
mètre
s
Formule Appareillage
Cohérent
saturé
Court
terme
Non
drainé
Non
drainées
UU
CU
cu
λcu
𝜏 = 𝑐𝑢
∆𝑐𝑢 = 𝜆𝑐𝑢 Δ𝜎𝑝′
Appareil triaxial (Boîte de
cisaillement) Scissomètre,
pressiomètre autoforeur
Cohérent
non saturé
Court
terme
Non
drainé
Non
drainées UU
cuu ,
uu
𝜏 = 𝑐𝑢𝑢 + 𝜎 tan𝜑𝑢𝑢 Appareil triaxial (Boîte de
cisaillement)
Cohérent Long
terme Drainé Drainées
CD
CU avec
mesure
de u
c’, ’ 𝜏 = 𝑐′ + 𝜎′ tan𝜑′
Appareil triaxial ou boîte de
cisaillement pour les essais
CD Appareil triaxial seul
pour les essais CU avec
mesure de u
Pulvérulent
Terme
ou court
terme
Drainé Drainées CD c’, ’ 𝜏 = 𝑐′ + 𝜎′ tan𝜑′ Appareil triaxial ou boîte de
cisaillement
Source : Résistance au cisaillement des sols (M EL GONNOUNI)
Pour les sols fins cohérents saturés, on distingue les états dits non drainés (ou de court
terme) et drainés (ou de long terme). La résistance au cisaillement du sol est définie dans les
deux cas par l’état des contraintes effectives, c’est-à-dire par une équation de même forme que
pour les sols pulvérulents.
𝜏 = 𝑐′ + 𝜎′ tan 𝜑′
Etudes préliminaires sur le calcul de stabilité des digues en terre
18
C’est la contrainte de cisaillement de Mohr-Coulomb en utilisant la contrainte normal
effective.
Avec :
𝜎′ = 𝜎 − 𝑢
Et c’ et ’ sont respectivement la cohésion et l’angle de frottement effectifs.
Dans la plupart des cas, le calcul de la stabilité des talus se fait par des méthodes dites
d’équilibre limite. On suppose dans ces méthodes que le sol est comme un solide qui obéit aux
lois classique de la rupture par cisaillement.
On établit tout d’abord une coupe transversale du talus pour avoir un problème à deux
dimensions. Successivement, on cherche une surface de glissement possible jusqu’à ce qu’on
trouve un facteur de sécurité minimal acceptable. Si la résistance au cisaillement le long de
ligne BMC excède la résistance nécessaire pour l’équilibre, la masse ABMC est stable et vis-
versa. La stabilité ou l’instabilité de la masse dépend de son poids, les forces extérieures
Résistance au cisaillement
Ligne de rupture
A C
B
M
Figure 4: Pente et glissement potentiel
Etudes préliminaires sur le calcul de stabilité des digues en terre
19
appliquées à la masse, la résistance au cisaillement et tous les efforts internes éventuels dans la
surface de glissement.
II.2.1. Principe d’équilibre limite :
Les méthodes basées sur les méthodes d’équilibre limite se repose sur le calcul d’un
coefficient de sécurité FS qui sera évalué en comparant l’effort mobilisable c’est l’effort qui
empêche le glissement et l’effort appliqué c’est-à-dire l’effort qui provoque le glissement. Entre
ces deux efforts doit exister une certaine différence pour qui la stabilité soit assurée.
𝐹 =𝑒𝑓𝑓𝑜𝑟𝑡 𝑚𝑜𝑏𝑖𝑙𝑖𝑠𝑎𝑏𝑙𝑒
𝑒𝑓𝑓𝑜𝑟𝑡 𝑎𝑝𝑝𝑙𝑖𝑞𝑢é=𝜏
𝜏𝑚
Si la contrainte de cisaillement est exprimée par la contrainte normale effective :
𝐹 =𝑐′ + (𝜎 − 𝑢) tan𝜑′
𝜏𝑚
Si la contrainte de cisaillement est exprimée par la contrainte normale totale :
𝐹 =𝑐 + 𝜎 tan 𝜑
𝜏𝑚
Dans ces méthodes le facteur de sécurité est calculé en utilisant une ou plusieurs
équations d’équilibre statique appliquées sur la masse dans la surface de glissement.
Dans certaines méthodes, la contrainte de cisaillement et la contrainte normale peut être
obtenues directement par les équations d’équilibre statique avant de les introduire dans ces
équations ci-dessus pour calculer le facteur de sécurité. Mais dans d’autres cas comme les
méthodes de Bishop simplifiée, Suédoise modifiée, de Spencer, plusieurs procédures doivent
être suivi pour parvenir à calculer le facteur de sécurité. La contrainte de cisaillement mobilisée
est obtenue à partir des équations ci-dessus. On obtient donc :
𝜏𝑚 =𝜏
𝐹
Etudes préliminaires sur le calcul de stabilité des digues en terre
20
On calcule cette valeur de contrainte en variant successivement les paramètres de la
surface de glissement et en supposant la valeur du facteur de sécurité et l’introduire dans
l’équation ci-dessus jusqu’à ce que l’équilibre soit atteint. Cette équation peut aussi être
exprimée comme suit :
𝜏𝑚 =𝑐′
𝐹+(𝜎 − 𝑢) tan𝜑′
𝐹
Le premier terme est en relation avec la cohésion et le second avec l’angle de frottement.
Et on appelle cohésion développée 𝑐𝐷′ =
𝑐′
𝐹 et 'D le frottement développé tel que
tan 𝜑𝐷′ =
tan𝜑′
𝐹
La plupart des méthodes basées sur la méthode d’équilibre limite attribue l’équilibre
statique en divisant la surface de glissement en nombre fini de tranches verticales. Les forces
exerçant sur une tranche sont montrées sur la figure ci-dessous :
Avec :
P : Poids de la tranche
E : Forces horizontales exerçant sur les côté de la tranche (force horizontale inter
tranche)
X : Forces verticales exerçant sur les côté de la tranche (force verticale inter tranche)
N : Force normale sur le fond de la tranche
S : Force de cisaillement sur le fond de la tranche.
Etudes préliminaires sur le calcul de stabilité des digues en terre
21
Parmi ces forces, seul le poids de la tranche est connu. Par conséquent, on doit tous les
calculer de façon à ce que l’équilibre statique soit satisfait.
Pourtant, la force de cisaillement sur le fond de la tranche n’est pas directement
considérée comme inconnue dans les équations d’équilibre. Elle est exprimée en termes
d’autres quantités connues et inconnues. S est alors égal à la force de cisaillement multipliée
par la largeur de la base de la tranche.
𝑆 = 𝜏𝑚 ∆𝑙
Ou, en l’introduisant dans l’équation ci-dessus
𝑆 =𝑐′ ∆𝑙
𝐹+(𝜎 − 𝑢) ∆𝑙 tan 𝜑′
𝐹
Et on peut aussi constater que la force normale N peut être exprimée comme suit :
𝑁 = 𝜎 ∆𝑙
Par conséquent
P
Ei Ei+1
Xi+1
Xi
S
N
Figure 5: Efforts agissant sur la tranche en méthode d'équilibre limite
Etudes préliminaires sur le calcul de stabilité des digues en terre
22
𝑆 =𝑐′ Δ𝑙
𝐹+(𝑁 − 𝑢 ∆𝑙) tan 𝜑′
𝐹
C’est une équation issue de celle de Mohr-Coulomb et la définition du facteur de sécurité
indépendamment de l’équation d’équilibre statique et qui met en relation la force de
cisaillement, la force normale sur le fond de la tranche et le facteur de sécurité. Les autres
inconnues doivent être obtenues par l’équation d’équilibre.
II.2.2. Les différentes formes de surfaces de glissement :
Toutes les méthodes d’équilibre limite supposent des surfaces de glissement possible
afin de calculer le facteur de sécurité. Le calcul est répété pour un nombre suffisant
d’éventuelles surfaces de glissement pour s’assurer que la valeur minimale du facteur de
sécurité soit suffisante. Pour simplifier le calcul, la surface de glissement est le souvent supposer
circulaire ou composée de lignes courtes. Toutefois, Il peut y avoir des formes de surfaces de
glissement. Généralement, on trouve de formes :
Circulaire : A part qu’il simplifie le calcul, il est souvent employé parce qu’il est
commode d’additionner les moments autour du centre du cercle. D’ailleurs, il est indispensable
de le mettre en œuvre dans certaines méthodes comme la méthode ordinaire des tranches, la
méthode de Bishop simplifiée, Il est toujours maniable pour commencer une analyse. En effet,
la surface de glissement circulaire est suffisante pour analyser les remblais ou les talus
relativement homogènes et des remblais sur des bases avec des couches relativement épaisses.
Triangulaire : La ligne de rupture est tracée à l’aide de trois segments formant un trapèze
et deux triangles. Ce type de surface de glissement peut être plus approprié pour les talus dont
la surface de glissement comporte un segment relativement long limitant un matériau à faible
résistance reposant sur un matériau plus résistant. Par exemple, une digue en remblai construite
sur une couche de sol alluvial.
II.2.3. Localisation de la surface de glissement :
La surface de glissement critique est définie comme une surface avec un facteur de
sécurité minimal acceptable. Sa localisation peut varier quelque peu selon la méthode
d’analyse. La surface de glissement pour un problème donné analysé par une méthode donnée
Etudes préliminaires sur le calcul de stabilité des digues en terre
23
est trouvée par un système de procédure qui consiste trouver le facteur de sécurité minimal en
construisant plusieurs surfaces de glissement.
Surface de glissement circulaire : Elle est définie par la position de son centre, et de
l’autre côté son rayon, un point à travers lequel le cercle passe, ou un plan tangent sur la surface
de glissement. On change l’un de ces paramètres puis on varie un autre et on répète ce processus
jusqu’à ce que le facteur de sécurité minimum soit trouvé.
Surface de glissement triangulaire : elle est définie par la position du bloque central en
variant les coordonnées des extrémités de sa base (voir figure ci-dessous) et en même temps
l’inclinaison de la base du triangle actif et du triangle passif jusqu’à ce que le facteur de sécurité
minimum soit trouvé. Généralement, on suppose que l’inclinaison du côté du triangle actif est
45° +𝜑𝐷′
2 et celui du triangle passif 45° −
𝜑𝐷′
2 si les sommets des deux triangles sont
horizontaux.
Etudes préliminaires sur le calcul de stabilité des digues en terre
24
II.2.4. Equation d’équilibre des moments :
Une tranche est dite stable si la résultante ou la somme de moments de toutes les forces
qui y agissent est nulle. On doit donc établir une équation d’équilibre pour qu’on puisse calculer
le facteur de sécurité F.
Pour avoir l’équation d’équilibre des moments, on calcul d’abord chaque moment de
chaque force par rapport au centre du cercle. Avoir l’équation exacte de ces moments demande
beaucoup de temps et de calcul. Et d’après la figure ci-dessus on peut citer comme moments :
b
W
N
Ei+1
Ei
R
Lg
xG
yG
S
lg h
O
Figure 6: Principe de calcul de l'équilibre des
moments
Etudes préliminaires sur le calcul de stabilité des digues en terre
25
a) Le moment dû à W :
Que ce soit horizontalement ou verticalement, La position de W ne se trouve pas
nécessairement exactement au milieu de la tranche parce que la tranche n’est pas forcément un
parallélogramme mais elle peut être aussi un quadrilatère de forme quelconque.
Comme la montre la figure ci-dessus la position de W est présentée par les coordonnées
xg et yg dont le calcul est comme suit :
On pose : 𝑆1 = 𝑏(ℎ + 𝑏 tan(𝛽)) ; 𝑆2 =𝑏2 tan 𝛼
2 ; 𝑆3 =
𝑏2 tan (𝛽)
2
𝑥𝑔 =𝑆1𝑏2 − 2 𝑆2
𝑏3 − 𝑆3
𝑏3
𝑆1 − 𝑆2 − 𝑆3
𝑦𝑔 =𝑆1ℎ + 𝑏 tan 𝛽
2 − 𝑆2𝑏 tan𝛼3 − 𝑆3 ൬ℎ + 2
𝑏 tan𝛽3 ൰
𝑆1 − 𝑆2 − 𝑆3−𝑏 tan 𝛼
2
𝛾 = arctan 𝑥𝑔
𝑦𝑔
𝑙𝑔 = √𝑥𝑔2 + 𝑦𝑔2
𝐿𝑔 = √𝑅2 + 𝑙𝑔2 − 𝑅 𝑙𝑔 cos (𝛼 + 𝛾)
Et avec 𝑅2 = 𝐿𝑔2 + 𝑙𝑔
2 − 𝐿𝑔 𝑙𝑔 cos (𝜆) on a 𝜆 = arccos ൬− 𝑅2−𝐿𝑔
2−𝑙𝑔2
𝐿𝑔 𝑙𝑔൰
𝑀𝑊 = 𝑃 𝐿𝑔 cos (𝛾 + 𝜆 −𝜋
2)
Etudes préliminaires sur le calcul de stabilité des digues en terre
26
b) Le moment dû à S :
𝑀𝑠 = 𝑆 𝑅 =𝑐′ ∆𝑙
𝐹𝑅 +
(𝜎−𝑢) ∆𝑙 tan 𝜑′
𝐹𝑅
c) Le moment dû à P :
Dans le cas où il existe de l’eau à l’extérieur du talus, cette première peut être considérée
comme une charge ponctuelle qui s’exerce sur le talus. La charge s’exerce donc sur la partie
supérieure de la tranche.
Le moment par rapport au centre du cercle dû à P est :
𝑀𝑃 = 𝑃 [𝑑𝑣 sin(𝛽) + 𝑑ℎ cos (𝛽)]
Mp est considéré comme positif quand est opposé au moment dû au poids de la masse
de sol.
P est la résultante des forces exercée perpendiculairement à le talus.
dh
R
Centre du cercle
P
dv
Figure 7: Glissement avec effort externe
Etudes préliminaires sur le calcul de stabilité des digues en terre
27
𝑀𝑃 = 𝑃 [𝑑𝑣 sin(𝛽) + 𝑑ℎ cos (𝛽)]
L’équation d’équilibre des moments s’écrit donc comme suit :
𝑀𝑤 +𝑀𝑃 −𝑀𝑆 = 0
Et on obtient enfin :
𝐹 =Δ𝑙[𝑅 𝑐′ + ( 𝜎 − 𝑢)tan 𝜑′ ]
𝑊 𝐿𝑔 sin(𝛾 + 𝜆) + 𝑃(𝑑ℎ cos𝛽 + 𝑑𝑣 sin 𝛽)
Obtenue à partir de l’équilibre des moments, cette équation ne satisfait pas les équilibres
des forces horizontales et verticales. La valeur du facteur de sécurité obtenue peut avoir donc
une très grande différence par rapport à la valeur réelle. Il est donc préférable d’adopter d’autres
méthodes plus élaborées.
Depuis le début du XXème siècle, nombreuses sont ces méthodes qu’il est impossible
de les énumérer toutes dans cette ouvrage. Nous allons par conséquent, essayer de présenter les
méthodes les plus utilisées par les ingénieurs.
II.2.5. Méthode ordinaire des tranches (Méthode de Fellenius) :
Inventé par Fellenius en 1936, elle est aussi appelée méthode de Fellenius. Dans cette
méthode, les forces sur les côté des tranches sont considérées comme nulles. La force normale
sur le fond de la tranche est supposée perpendiculaire au segment du fond de la tranche. Le
moment est alors obtenu à partir du centre du cercle de glissement pour calculer le facteur de
sécurité.
Etudes préliminaires sur le calcul de stabilité des digues en terre
28
N = W cos () N’ = W’ cos ()
Avec
N = l cos ( = W cos () et ’ = - u
W’ = W - u l
N’ = (W – u l ) cos ()
Dans la méthode de Fellenius, on suppose que d= r sin , ce qui nous donne le moment
dû au poids de la tranche c’est-à-dire le moment moteur:
𝑀𝑊 = 𝑊 𝑟 sin 𝛼
W
N
l
W’
N’
l
Pente avec une tranche type
Tranche avec contrainte normale totale Tranche avec contrainte normale effective
W’
O
R
d
Figure 8: Glissement type et forces pour la méthode de Fellenius
Etudes préliminaires sur le calcul de stabilité des digues en terre
29
Et avec
𝜏 = 𝑐′ + σ tan𝜙
Ce qui nous donne un effort total
𝐹𝜏 = (𝑐′ + σ tan 𝜙) Δ𝑙
Et d’après l’équation ci-dessus
𝐹𝜏 = [𝑐′ + ൬
Wcos𝛼
Δ𝑙− u ൰ tan 𝜙] Δ𝑙
On obtient ainsi un moment de résistance
𝑀𝜏 = 𝑐′Δ𝑙 + (Wcos𝛼 − u Δ𝑙 )tan 𝜙′ 𝑟
Et
𝐹𝑠 =𝑀𝑤
𝑀𝜏=𝑐′Δ𝑙 + (Wcos 𝛼 − u Δ𝑙 )tan𝜙′ 𝑟
𝑊 𝑟 sin 𝛼
Pour la masse toute entière,
𝐹𝑠 =Σ[𝑐′ Δ𝑙 + (𝑊 cos𝛼 − 𝑢 Δ𝑙) tan 𝜑′]
Σ 𝑊 sin 𝛼
Dans la méthode de Fellenius, il n’y a qu’une seule inconnue, de telle sorte qu’une seule
équation d’équilibre suffit (équation d’équilibre de la masse entière du sol autour du centre du
cercle).
Etudes préliminaires sur le calcul de stabilité des digues en terre
30
Tableau 2: Inconnues et équations pour la méthode de Fellenius
Inconnues Nombre d’inconnues pour n
tranches
Facteur de sécurité 1
Nombre total d’inconnue 1
Equations Nombre d’équations pour n
tranches
Equilibre de moments de la masse
entière du sol
1
Nombre total d’équation d’équilibre 1
Dans le cas où il existe de l’eau à l’extérieur du talus, l’expression du facteur de sécurité
devient donc :
𝐹 =Σ[𝑐′ Δ𝑙 + (𝑊 cos 𝛼 + 𝑃 cos(𝛼 − 𝛽) − 𝑢 Δ𝑙 𝑐𝑜𝑠2 𝛼) tan 𝜑′]
Σ 𝑊 sin 𝛼 −Σ𝑀𝑃
𝑅
La principale limitation de la méthode de Fellenius réside dans la manière où toutes les
forces agissant sur les côtés des tranches sont négligées. Cette méthode ne satisfait donc pas
l’équilibre des forces que ce soit verticales ou horizontales. L’équilibre entre les moments est
satisfait pour le sol entier ce qui n’est pas le cas pour chaque tranche. Le résultat du facteur de
sécurité obtenu en utilisant la méthode de Fellenius peut se différencier de 20% de celui des
méthodes plus rigoureuses et peut être même plus.
II.2.6. Méthode Bishop Simplifiée (1955):
La méthode de Bishop simplifiée est basée sur l’hypothèse qui admet que les forces
inter tranches sont horizontales, comme la montre la figure ci-après. Elle suppose aussi une
ligne de rupture circulaire. Elle satisfait l’équilibre des forces verticales de chaque tranche. Le
résultat de cette équation est combiné ensuit avec l’équation de Mohr-Coulomb ainsi que la
définition du facteur de sécurité pour déterminer les forces sur la fond de la tranche et
finalement, on établit l’équilibre des moments par rapport au centre du cercle de glissement
pour obtenir l’équation pour évaluer le facteur de sécurité.
Etudes préliminaires sur le calcul de stabilité des digues en terre
31
En projetant les forces suivant la direction verticale, on a comme équation d’équilibre :
𝑊−𝑁 cos𝛼 − 𝑆 sin 𝛼 + 𝑃 cos 𝛽 = 0
D’où :
𝑁 =𝑊 + 𝑃 cos𝛽 −
sin 𝛼 (𝑐′ Δ𝑙2 − Δ𝑙2 𝑢 tan 𝜑′)𝐹
𝑚𝛼
Avec : 𝑚𝛼 = cos𝛼 + sin 𝛼 tan𝜑′
𝐹
L’équilibre des forces suivant la direction de la base de la tranche nous ramène à:
𝑆 𝑅 −𝑊 𝑅 sin 𝛼 − 𝑀𝑃 = 0
Avec
𝑆 =𝑐′ Δ𝑙
𝐹+(𝑁 − 𝑢 ∆𝑙) tan 𝜑′
𝐹
Et faisant une substitution de N on obtient :
𝐹 =
∑ [𝑐′𝑏 + (𝑊 + 𝑃 cos𝛽 − 𝑢 𝑏
1cos𝛼) tan𝜑
′
𝑚𝛼]
∑𝑊 sin 𝛼 − ∑𝑀𝑃
𝑅
Avec 𝑏 = Δ𝑙 cos𝛼
On constate dans cette équation que m est encore en fonction de F qui se trouve dans
les deux membres de l’équation. Par conséquent, F ne peut pas être calculé d’une façon directe,
alors on utilise le calcul par itération successives en adoptant la valeur obtenue par la méthode
de Fellenius comme première valeur de F.
Etudes préliminaires sur le calcul de stabilité des digues en terre
32
Tableau 3: Inconnues et équations pour la méthode de Fellenius
Inconnues Nombre d’inconnues
pour n tranches
Facteur de sécurité (F) 1
Force normale sur le fond de la tranche (N) n
Force normale inter tranche (E) n-1
Force de cisaillement inter tranche (X) n-1
Positionnement des forces normales n
Positionnement des forces normales inter tranche
Nombre Total d’inconnues Nombre d’inconnues
pour n tranches
Forces d’équilibre dans la direction horizontalΣF𝑥 = 0e n
Forces d’équilibre dans la direction verticale ΣF𝑦 = 0 n
Moments d’équilibre n
Nombre total d’équations d’équilibre 3n
b
W
N
Ei+1
Ei
Figure 9: Forces agissant sur la
tranche pour la méthode de Bishop
Etudes préliminaires sur le calcul de stabilité des digues en terre
33
II.2.7. Méthodes de forces d’équilibre incluant la méthode suédoise modifiée :
Les méthodes de forces d’équilibre raisonnent sur l’équilibre des forces horizontales et
vertical mais contrairement à la méthode de Bishop, elles ne prennent pas en compte l’équilibre
des moments. Les forces inter-tranches sont inclinées d’un angle . Les inconnues est les
équations d’équilibres sont résumées dans le tableau ci-dessous.
Les forces inter-tranches sont représentées en deux sens. Le premier c’est
qu’elles sont considérées comme la résultante des forces entre les tranches,
c’est-à-dire la résultante des contraintes et la pression d’eau interstitielle. Le
second c’est qu’elles représentent les forces effectives, c’est-à-dire les forces
dues aux contraintes effectives. Les forces de pression d’eau sont considérées
comme des forces qui séparent les tranches. Les forces inter-tranches agissant
sur la tranche sont alors le poids de la tranche (W), les forces inter-tranches
(Zi ; Zi+1), La force de cisaillement (S) et la force normale (N) sur le fond de la
tranche.
Quand la totalité des contraintes sont utilisées pour définir la contrainte de
cisaillement c’est-à-dire pour les essais consolidés non drainés, les forces inter-
tranches sont toujours considérées en totalité. Dans ce cas, les forces
interstitielles ne sont pas connues et ainsi, les forces interstitielles agissant sur
les côtés des tranches ne peuvent pas être calculées.
b
W
N
Zi+1
Zi
S
Figure 10: Forces agissant sur la
tranche pour la méthode suédoise
Etudes préliminaires sur le calcul de stabilité des digues en terre
34
Comme la plupart des méthodes de tranches, la valeur du facteur de sécurité est obtenue
par itération.
La force de cisaillement est alors exprimée comme suit :
𝑆 =1
𝐹(𝑐 Δ𝑙 + 𝑁 tan𝜑)
Où
𝑆 = 𝑐𝐷 Δ𝑙 + 𝑁 tan 𝜑𝐷
𝑐𝐷 et 𝜑𝐷 sont respectivement la cohésion développée et l’angle de frottement
développé.
L’équilibre des forces est représenté par un polygone formé par les vecteurs force même.
En dessinant ce polygone, la force de cisaillement et la force normale sont représentées par une
résultante des forces dues à la cohésion et 𝑐𝐷 ∆𝑙 parallèle au fond de la tranche et une force 𝐹𝐷
qui est une force obtenue par la force normale 𝑁 et l’angle de frottement
𝜑𝐷𝐹𝐷 = 𝑁 tan𝜑𝐷 .orientée d’un angle 𝜑𝐷 par rapport au normal du fond de la tranche.
Etudes préliminaires sur le calcul de stabilité des digues en terre
35
Pour pouvoir tracer le polygone, une valeur du facteur de sécurité doit être supposée car
cD et D dépendent de ce facteur.
1
2
N
FD1
D
N tan D
Z2 CD1 = cD l
W1 CD1
Z2
N
W1
W2
Z3
CD2
FD1
FD2
Z3
Z2
W2
CD2
FD2
D
Figure 11: Forces et polygones d'équilibre des forces pour la méthode suédoise
Etudes préliminaires sur le calcul de stabilité des digues en terre
36
II.2.8. Applications des méthodes à notre problème :
Comme nous n’avons pas pu faire des essais sur terrain, nous devons utiliser des valeurs
hypothétiques des paramètres c’est-à-dire des valeurs qui peuvent correspondre au genre de sol
du haut plateau de Madagascar.
Normalement, les valeurs de chaque paramètre varient selon la profondeur et selon le
point du sondage. Mais nous avons dans nos hypothèses, les caractéristiques du sol sont
considérées constantes dans toute la section transversale de la structure.
- Données de calcul :
Poids volumique du sol : = 18 KN/m3
Angle de frottement : =30°
Contrainte de compression admissible = 5000 KPa
Force interstitielle : u= 30 KPa
Cohésion : c= 20 KN/m²
L’angle d’inclinaison du talus : =30°
Des calculs plus approfondi et complexes en utilisant des abaques peuvent nous
permettre d’avoir la localisation généralement approximative du cercle de glissement mais dans
cet ouvrage nous allons simplement comparer les valeurs du facteur de sécurité obtenues à
chaque cas en variant à chaque fois le rayon du cercle. Comme position générale du cercle par
rapport au pied du talus, nous avons donc :
Etudes préliminaires sur le calcul de stabilité des digues en terre
37
Cas n°1 : Un cercle de glissement traversant le talus ou rupture superficielle du talus :
Figure 12: Cercles de glissement pour l'application des méthodes cas N°1
D’une façon générale, un cercle de rupture superficiel peut se produire tant que l’angle
de l’inclinaison du talus ne dépasse pas les 53°. Nous avons fait le calcul en changeant à chaque
fois la position du centre du cercle suivant une ligne droite.
Etudes préliminaires sur le calcul de stabilité des digues en terre
38
Cas n° 2 : Un cercle de glissement passant par le pied du talus :
Figure 13: Cercles de glissement pour l'application des méthodes cas N°2
Normalement, on trouve toujours ce type de rupture quand la pente du talus dépasse les
53°. Comme dans le cas précèdent, les positions des centres des cercles sont choisies en suivant
une ligne droite.
Etudes préliminaires sur le calcul de stabilité des digues en terre
39
Cas n° 3 : Un cercle de glissement passant sous le pied du pied du talus :
Figure 14: Cercles de glissement pour l'application des méthodes cas N°3
Ce cas peut aussi se présenter quel que soit l’angle d’inclinaison du talus. Nous allons
garder dans ce cas le centre de glissement mais en revanche, pour avoir d’autres cercles de
rupture, seuls les rayons sont changés.
A chaque cas, nous allons calculer la valeur du facteur de sécurité en utilisant en même
temps la méthode de Fellenius et la méthode de Bishop.
Les résultats sont résumés dans les tableaux et les figure ci-dessous. Tous les tableaux
plus détaillés concernant le calcul sont présentés dans l’annexe.
Etudes préliminaires sur le calcul de stabilité des digues en terre
40
Cas n°1 :
Tableau 4: Résultats de calcul cas N°1
R(m) Facteurs de sécurité Fs
Fellenius Bishop
7,33 1,58 1,29
6,33 1,66 1,30
5,83 1,73 1,36
5,33 1,78 1,39
Figure 15: Figure de comparaison de la méthode de Fellenius et de Bishop cas N°1
1,15
1,25
1,35
1,45
1,55
1,65
1,75
5 5,5 6 6,5 7 7,5
Fs
Rayon du cercle
Fs
Ligne de rupture traversant la pente
Fellenius
Bishop
Linéaire (Fellenius)
Linéaire (Bishop)
Etudes préliminaires sur le calcul de stabilité des digues en terre
41
Cas n°2 :
Tableau 5: Résultats de calcul cas N°2
R(m) Facteurs de sécurité Fs
Fellenius Bishop
8,02 1,720 1,20
8,27 1,890 1,26
8,77 1,85 1,36
9,27 1,84 1,48
9,77 1,90 1,61
Figure 16: Figure de comparaison de la méthode de Fellenius et de Bishop cas N°2
1,200
1,300
1,400
1,500
1,600
1,700
1,800
1,900
8 8,5 9 9,5 10
Fs
Rayon du cercle
Fs
Ligne de rupture passant sous le pied du
talus
Fellenius
Bishop
Linéaire (Fellenius)
Linéaire (Bishop)
Etudes préliminaires sur le calcul de stabilité des digues en terre
42
Cas n°3
Tableau 6: Résultats de calcul cas N°3
R(m) Facteurs de sécurité Fs
Fellenius Bishop
8,07 1,507 1,11
8,27 1,503 1,13
8,47 1,501 1,15
8,97 1,508 1,23
9,47 1,532 1,25
10,47 1,582 1,34
Figure 17: Figure de comparaison de la méthode de Fellenius et de Bishop cas N°3
Comme on peut voir sur les figures, la valeur du facteur de sécurité obtenue par la
méthode de Fellenius est nettement plus grande que dans celle obtenue par la méthode de
1,100
1,150
1,200
1,250
1,300
1,350
1,400
1,450
1,500
1,550
1,600
8 8,5 9 9,5 10 10,5
Fs
Rayon du cercle
Fs
Ligne de rupture passant par le pied du talus
Fellenius
Bishop
Linéaire (Fellenius)
Linéaire (Bishop)
Etudes préliminaires sur le calcul de stabilité des digues en terre
43
bishop. Cela est dû, par l’hypothèse concernant les forces agissant sur les côtés latéraux des
tranches. En effet, la résultante de ces efforts étant négligée par la méthode de Fellenius peut
compromettre à la stabilité du talus. Cette méthode est ainsi le plus simple mais peu fiable en
matière de sécurité.
Etudes préliminaires sur le calcul de stabilité des digues en terre
44
II.3. Calcul de stabilité de digue par la méthode des éléments finis
L’analyse des problèmes de l’élasticité et plasticité en géotechnique par la méthode des
éléments a été acceptée depuis des années. Cependant, l’utilisation dans l’analyse de stabilité
des talus reste limitée. La raison de ce problème n’est pas entièrement claire.
Les ingénieurs qui pratiquent cette méthode sont fréquemment septiques à cause de sa
complexité, notamment quand il s’agit des sols à faible résistance.
Les avantages de l’utilisation de la méthode des éléments finis dans l’analyse de stabilité
des talus par rapport aux méthodes d’équilibre limites peuvent être résumés comme suit :
On n’a pas besoin de faire des suppositions à propos de la forme et la position
de la surface rupture. La rupture se trouve naturellement à travers la masse, là où
la résistance au cisaillement du sol ne peut pas supporter les forces appliquées
sur celle-ci.
Comme l’analyse ne se fait pas en utilisant des tranches, les hypothèses
concernant les forces agissant sur les côtés des tranches ne sont donc pas
nécessaires. La méthode des éléments finis considère l’équilibre global jusqu’à
ce que la ligne de rupture soit trouvée.
Si les données sur la compressibilité des sols sont disponibles, la méthode des
éléments finis peut donner les informations concernant les déformations par
rapport aux valeurs des contraintes.
La méthode des éléments finis peut donner la forme de déformation presque
exacte incluant l’effort de cisaillement tout le long de la ligne de rupture.
La localisation du cercle de glissement par la méthode des éléments finis exige un calcul
très long car le maillage doivent être très étroit pour que les segments des éléments puissent
formés n’importe quel forme.
Vu la complexité de cette méthode surtout quand il s’agit de trouver la ligne de rupture.
Nous allons donc supposer que la digue se comporte comme un ouvrage homogène concédant
des déformations sur toute sa section transversale dus aux forces agissant sur lui.
Etudes préliminaires sur le calcul de stabilité des digues en terre
45
Nous sommes donc face à un problème à deux dimensions, c’est-à-dire qu’aucune des
dimensions de la structure ne peut être négligée. Un calcul par une méthode plus complexe
s’impose donc. , vu la précision et sa faculté de résoudre presque tous les problèmes de calcul
de structure nous allons mettre en œuvre la méthode des éléments finis.
II.3.1. Généralités sur la méthode des éléments finis (10)
Les structures que les concepteurs sont amenés à étudier sont le plus souvent des
assemblages de pièces élémentaires, celles-ci étant tirées des matériaux bruts disponibles. Ces
structures sont donc formées de barres, poutres, plaques et de parties massives. Pour l’analyse
du comportement de ces structures, le concepteur disposait, au début du 20ème siècle, de la
théorie de l’élasticité et des modèles simplifiés qui en découlent (théorie des poutres, des
plaques et coques). Ces formulations ne permettaient pas la résolution des problèmes relatifs
aux structures massives quelconques (problèmes de milieux continus). La première moitié du
20ème siècle a connu d’une part le développement des méthodes matricielles pour l’étude des
structures à base de poutres, et d’autre part celui des méthodes d’approximation et de
discrétisation spatiale du domaine pour l’étude des systèmes continus. Le concept d’élément
fini a été introduit en 1955. La méthode des éléments finis (MEF) est venue unifier les
différentes méthodes qui venaient de la précéder.
L’exemple le plus simple de structure discrète est celui des assemblages de barres et/ou
de poutres (treillis, ossatures…). La construction du modèle discret associé à la structure réelle
est relativement naturelle, et cela pour différentes raisons :
le découpage de la structure en « éléments » est naturel : les nœuds qui délimitent
les éléments sont les points où se situent les assemblages des différents
constituants
la théorie des poutres offre un modèle théorique simple pour caractériser le
comportement de chaque élément
les conditions d’équilibre aux nœuds sont faciles à formuler.
Pour les problèmes de plaques, coques ou pièces massives, la création d’une
discrétisation du domaine (ou maillage) ayant les qualités requises n’est pas aussi simple que
dans le cas des poutres. Dans le cas des structures 2D ou 3D, la MEF utilise des techniques
Etudes préliminaires sur le calcul de stabilité des digues en terre
46
d’approximation et les résultats obtenus ne sont pas indépendants des caractéristiques du
maillage. La structure de départ est divisée en sous-domaines nommés « éléments finis » ayant
des formes géométriques relativement simples : triangles, quadrangles, tétraèdres, hexaèdres…
Des points remarquables, appelés « nœuds » situés sur la frontière des éléments (souvent les
sommets des éléments) servent à interconnecter les éléments. Le modèle de comportement de
chaque élément s’appuie sur une approximation de la solution (en général du champ des
déplacements dans l’élément) de sorte à permettre une formulation du problème en fonction des
valeurs de la solution aux nœuds. Le maillage est guidé par le souci de limiter l’importance des
erreurs introduites par les approximations : on peut être amené à réduire la taille des éléments
dans les zones d’étude où les gradients des contraintes sont importants (jusqu’à obtenir la
convergence des résultats utiles).
On distingue différentes grandes classes d’éléments :
les éléments unidimensionnels (1D) : barre, poutre rectiligne ou courbe.
les éléments bidimensionnels (2D) : élasticité plane (contrainte ou déformation
plane), plaques en flexion, coques courbes, de forme triangulaire ou
rectangulaire…
les éléments tridimensionnels (3D) : de forme tétraédrique, hexaédrique…
les éléments axisymétriques (pour les pièces présentant une symétrie de
révolution au niveau de la géométrie et du chargement)
les autres éléments : ressorts, amortisseurs, rigides…
La MEF s’attache à transformer les problèmes de milieux continus en problèmes
discrets où apparaissent des paramètres inconnus associés aux nœuds ou aux éléments du
maillage. Les méthodes de résolution qui en découlent portent des noms différents selon la
nature des paramètres retenus. On distingue :
la méthode des déplacements, qui est la plus utilisée. Les paramètres inconnus
sont les déplacements et, éventuellement leurs dérivées
la méthode des forces. Les paramètres inconnus sont les contraintes, ou les forces
résultantes dans les éléments
Nous n’aborderons dans cette étude que la méthode des déplacements.
Etudes préliminaires sur le calcul de stabilité des digues en terre
47
Les problèmes qui se posent en calcul des structures sont de différentes natures. Les
classifications que l’on rencontre généralement tiennent compte de critères mécaniques
(statique/dynamique/contact …) mais aussi de la nature des techniques numériques qui sont
mises en œuvre pour les résoudre (linéaire/non linéaire, implicite/explicite…).
Les problèmes statiques linéaires, comme le nôtre, portent sur l’étude des structures à
comportement linéaire soumises à des charges supposées statiques ou à variation lente et ne
subissant que des petits déplacements. Ce type de problème, que nous étudierons dans cet
ouvrage, se ramène à la résolution d’un système linéaire :
𝐾 𝑈 = 𝐹
Où
K : est la matrice de rigidité qui est toujours symétrique et définie positive.
U : Le vecteur des déplacements : variables inconnues du problème
F : Le vecteur des forces : sollicitations connues
La solution est tout simplement �̅� = 𝐾−1. 𝐹, calculable numériquement par un nombre
fini d'opérations en utilisant une méthode de résolution directe d'un système linéaire (de type
Cholesky) ou itérative comme celle du gradient conjugué. Une fois �̅� connu, la solution de
l'équation de Galerkin peut être obtenue à tout point. Puis les tenseurs des déformations et des
contraintes approchées peuvent être calculés localement en presque tout point du domaine. (11)
Dans le cas bidimensionnel, la forme d'élément la plus simple et la plus utilisée est
triangulaire, c'est pour cette raison que l'on appelle parfois un maillage une triangulation. Les
éléments finis dans ce cas sont des éléments triangulaires. Une autre forme très souvent utilisée
est quadrilatérale et on parle dans ce cas des éléments finis quadrilatéraux. Il est important de
noter qu'il est parfaitement possible, et parfois c'est même très utile, de mélanger dans un même
maillage différent types d'éléments finis. En trois dimensions, les éléments finis les plus utilisés
sont des éléments finis tétraédriques ou hexaédriques.
Etudes préliminaires sur le calcul de stabilité des digues en terre
48
II.3.2. Procédé de calcul (12)
Pour réaliser une étude par éléments finis, il faut que les objectifs de l’étude soient bien
définis. Le temps et les moyens disponibles, doivent être compatibles avec les objectifs et la
précision cherchée. Supposons toutes ces conditions remplies, l’étude proprement dite est
organisée de façon logique selon les étapes suivantes :
a) Analyse du problème
Cette analyse doit fixer les paramètres du calcul et conduire à la réalisation d’un
maillage. Cette phase basée sur l’expérience personnelle acquise dépend de nombreuses
considérations. La difficulté essentielle est de trouver un bon compromis entre les paramètres
propres au problème et ceux relatifs à l’environnement de travail. L’analyse du problème nous
conduit à préciser un certain nombre d’hypothèses, et à effectuer des choix qui conditionnent
les résultats.
Dans notre cas, on repose sur les hypothèses suivantes :
Le matériau qui constitue la structure est considérée comme homogène et
isotrope c’est-à-dire que son comportement est identique quel que soit la
direction ;
La digue est supposée encastrée dans un sol support horizontal qui se trouve sur
sa base ;
La structure est supposée totalement imperméable ;
La poussée et le poids propre de la structure sont les seules forces qui agissent
sur la digue ;
On ne prend pas en compte la ligne de rupture circulaire comme dans le cas des
méthodes d’équilibre limite. En revanche, la rupture est considérée verticale et
s’applique sur toute la section transversale de la digue ;
b) Choix du modèle
En calcul des structures, les plus classiques sont de type : poutre, élasticité plane,
axisymétrique, coques mince ou épaisse, tridimensionnel... À ces modèles mathématiques
correspondent des familles d’éléments finis.
Etudes préliminaires sur le calcul de stabilité des digues en terre
49
Le calcul que nous allons faire dans cet ouvrage est simplement la vérification de la
stabilité de la section transversale d’une digue en subissant la poussée de l’eau et son poids
propre. Nous sommes donc en présence d’un problème à 2 dimensions dont les contraintes dans
la direction normale sont négligeables. Notre structure se déforme donc en restant plane. Nous
pouvons parler alors d’une déformation plane.
c) Choix du type d’éléments
Il est fonction de la précision voulue, de la nature du problème, mais aussi du temps
disponible. On choisira les éléments les mieux adaptés dans les familles disponibles.
Pour des études en deux dimensions, comme la nôtre, on peut choisir entre :
Les éléments triangulaires de type T3 et de type T6
Les éléments quadrilatéraux de type Q6 et Q8
Nous allons adopter l’élément triangulaire de type T3 c’est-à-dire qu’à chaque
élément il y a trois nœuds qui se trouvent aux trois sommets du triangle, comme
le montre la figure ci-dessous.
Etudes préliminaires sur le calcul de stabilité des digues en terre
50
Le nombre de nœuds pour chaque élément joue un rôle très important dans la simplicité
de calcul de la structure. Plus le nombre de nœuds est élever plus le calcul est long, complexe
et précis. Pour le cas de calcul bidimensionnel, l’élément de type T3 a le nombre de nœuds le
plus faible. C’est pour cette raison que nous l’avons choisi à cause du manque de temps.
d) Choix du maillage
Il dépend essentiellement de la géométrie, des sollicitations extérieures, des conditions
aux limites à imposer, mais aussi des informations recherchées : locales ou globales. Sans
oublier bien entendu le type d’outils dont on dispose pour réaliser ce maillage.
La réalisation de notre maillage est manuelle, vu que nous voulons seulement montrer
l’essentiel concernant le calcul d’une digue en utilisant la méthode des éléments finis. Nous
allons choisir de faire une subdivision très simple et calculable manuellement afin de pouvoir
fournir une explication aussi simple.
1 2
3
1 3
5
2
4 6
1 2 3
4
5 6 7
8
1 2
3 4
Elément de type T3 Elément de type T6
Elément de type Q4 Elément de type Q8
(x3,y3)
(x1,y1) (x2,y2)
Figure 18: Type d'élément pour un problème à 2 dimensions
Etudes préliminaires sur le calcul de stabilité des digues en terre
51
En conséquence, le maillage se fera en subdivisant la section transversale de la digue en
24 éléments ayant 21 nœuds au total. Ce qui implique 42 inconnues (21 déplacements verticaux
et 21 déplacements horizontaux, sans tenir compte des conditions aux limites). On a donc besoin
d’une matrice 42x42. Le maillage de la structure est montré par la figure ci-dessous.
Etudes préliminaires sur le calcul de stabilité des digues en terre
52
Figure 19: Maillage de la structure à étudier
Etudes préliminaires sur le calcul de stabilité des digues en terre
53
Tableau 7: Coordonnées de chaque nœud
e) Calcul des matrices élémentaires : (13) (14) (15)
A chaque élément, il y a une matrice dite élémentaire. Cette opération consiste à calculer
les matrices de rigidité élémentaires de chaque élément. Pour avoir plus de clarté dans cette
section, nous allons prendre à chaque fois l’élément 1, et la suite sera montrée dans l’annexe.
Une matrice de rigidité élémentaire est obtenue par l’équation suivante :
N° des
éléments Pt1 Pt2 Pt3
1 1 2 10
2 2 11 10
3 2 3 11
4 3 12 11
5 3 4 12
6 4 13 12
7 4 5 13
8 5 6 14
9 5 7 15
10 6 15 14
11 6 7 15
12 7 16 15
13 7 8 16
14 8 9 16
15 10 11 17
16 11 18 17
17 11 12 18
18 12 19 18
19 12 13 19
20 13 20 19
21 13 14 20
22 14 15 21
23 14 15 21
24 15 16 21
N° des
nœuds xi yi
1 0 0
2 1,5 0
3 3 0
4 4,25 0
5 5,5 0
6 6,75 0
7 8 0
8 9,5 0
9 11 0
10 1,5 2
11 3 2
12 4,25 2
13 5,5 2
14 6,75 2
15 8 2
16 9,5 2
17 3 4
18 4,25 4
19 5,5 4
20 6,75 4
21 8 4
Nœuds appartenant à chaque
élément
Etudes préliminaires sur le calcul de stabilité des digues en terre
54
[𝐾]𝑒 = ∫ [𝐵]𝑇 [𝐷] [𝐵] 𝐽 𝑑𝑆𝑓
𝑆
En connaissant les coordonnées des nœuds, les matrices de rigidité élémentaires peuvent
s’écrire comme suit :
[𝐾]𝑒 = [𝐵]𝑇 [𝐷] [𝐵] 𝐴𝑒 𝐽
Où
A représente l’aire de l’élément et elle s’exprime pour un élément ayant dont les nœuds
sont 1 ; 2 et 3,
𝐴 =(𝑥2 − 𝑥1) (𝑦3 − 𝑦1) − (𝑥3 − 𝑥1) (𝑦2 − 𝑦1)
2
[𝐾]𝑒 : Matrice de rigidité élémentaire
[D] : matrice d’élasticité qui dépend du matériau et pour un problème de déformation
plane :
[𝐷] =𝐸
(1 + 𝜈)(1 − 2𝜈)[
1 − 𝜈 0 00 1 − 𝜈 0
0 01 − 2𝜈
2
]
E : Module d’Young. On prend dans notre calcul E= 17 MPa, c’est une valeur moyenne
des sols de type argile sableuse compactée.
: Coefficient de Poisson. Ce type de sol peut avoir aussi la valeur de = 0,33.
La matrice [D] est donc :
Etudes préliminaires sur le calcul de stabilité des digues en terre
55
J est le déterminant de la matrice jacobienne [J] donnée par :
[J] =
[ 𝜕𝑁1(𝜉, 𝜂)
𝜕𝜉
𝜕𝑁2(𝜉, 𝜂)
𝜕𝜉
𝜕𝑁3(𝜉, 𝜂)
𝜕𝜉
𝜕𝑁1(𝜉, 𝜂)
𝜕𝜂
𝜕𝑁2(𝜉, 𝜂)
𝜕𝜂
𝜕𝑁3(𝜉, 𝜂)
𝜕𝜂 ]
[
𝑥1 𝑦1𝑥2 𝑦2𝑥3 𝑦3
]
Ni : sont appelés fonctions d’interpolation. Pour les éléments triangulaires de type T3,
on a (pour l’élément 1 ayant comme nœuds 1 ;2 et 10) :
𝑵𝟏 = 𝜉, 𝑵𝟐 = 1 − 𝜉 − 𝜂, 𝑵𝟏𝟎 = 𝜂
[J]1 = [
𝜕𝑁1(𝜉,𝜂)
𝜕𝜉
𝜕𝑁2(𝜉,𝜂)
𝜕𝜉
𝜕𝑁10(𝜉,𝜂)
𝜕𝜉
𝜕𝑁1(𝜉,𝜂)
𝜕𝜂
𝜕𝑁2(𝜉,𝜂)
𝜕𝜂
𝜕𝑁10(𝜉,𝜂)
𝜕𝜂
] [
𝑥1 𝑦1𝑥2 𝑦2𝑥10 𝑦10
]
[J]1 = [−1,5 00 2
]
𝑗1 = |J|1 = −3
[B] est une matrice d’opérateurs différentiels définie comme :
D
25.18797
12.40602
0
12.40602
25.18797
0
0
0
6.390977
Etudes préliminaires sur le calcul de stabilité des digues en terre
56
[𝐵] =
[ 0
𝜕𝑁𝑖𝜕𝑥
… .𝜕𝑁𝑖𝜕𝑦
0
𝜕𝑁𝑖𝜕𝑦
𝜕𝑁𝑖𝜕𝑥
. …
]
Dans les problèmes de notre cas où les éléments sont triangulaires de type T3, on a :
[𝐵] =
[ 𝜕𝑁1𝜕𝑥
0𝜕𝑁2𝜕𝑥
0𝜕𝑁1𝜕𝑦
0
𝜕𝑁1𝜕𝑦
𝜕𝑁1𝜕𝑥
𝜕𝑁2𝜕𝑦
0𝜕𝑁3𝜕𝑥
0
𝜕𝑁2𝜕𝑦
0𝜕𝑁3𝜕𝑦
𝜕𝑁2𝜕𝑥
𝜕𝑁3𝜕𝑦
𝜕𝑁3𝜕𝑥 ]
Avec {
𝜕𝑁𝑖
𝜕𝑥𝜕𝑁𝑖
𝜕𝑦
} = 𝑗−1 {
𝜕𝑁𝑖
𝜕𝜉
𝜕𝑁𝑖
𝜕𝜂
}
Pour l’élément 1 dont les numéros des nœuds sont 1 ; 2 et 10 :
[𝐵(𝑥, 𝑦)]1 = 𝑗1−1 [𝐵(𝜉, 𝜂)]1
Avec [𝐵(𝜉, 𝜂)]1 =
[ 𝜕𝑁1
𝜕𝜉0
𝜕𝑁2
𝜕𝜉
0𝜕𝑁1
𝜕𝜂0
𝜕𝑁1
𝜕𝜂
𝜕𝑁1
𝜕𝜉
𝜕𝑁2
𝜕𝜂
0𝜕𝑁10
𝜕𝜉0
𝜕𝑁2
𝜕𝜂0
𝜕𝑁10
𝜕𝜂
𝜕𝑁2
𝜕𝜉
𝜕𝑁10
𝜕𝜂
𝜕𝑁10
𝜕𝜉 ]
=[1 0 −10 0 00 1 −1
0 0 0−1 0 1−1 1 0
]
On obtient ensuite la matrice de rigidité élémentaire pour l’élément 1 :
Etudes préliminaires sur le calcul de stabilité des digues en terre
57
K1 BT
D B A1 J
d
d float 10
113.345865
0
113.345865
55.82709
0
55.82709
0
28.7593965
28.7593965
28.7593965
28.7593965
0
113.345865
28.7593965
142.1052615
84.5864865
28.7593965
55.82709
55.82709
28.7593965
84.5864865
142.1052615
28.7593965
113.345865
0
28.7593965
28.7593965
28.7593965
28.7593965
0
55.82709
0
55.82709
113.345865
0
113.345865
Avec :
[𝐾]1𝑒
Comme nous le constatons, la sous-matrice de rigidité de l’élément 1est symétrique et
c’est le cas de toutes les sous-matrices, ce qui donne une matrice de rigidité [K] symétrique
aussi. Cela est dû au fait que les tenseurs et sont symétrique quel que soit la position.
f) Assemblage des matrices de rigidité élémentaires : (13)
La matrice de rigidité de l’élément établit la relation entre le vecteur des forces F et le
vecteur des déplacements aux nœuds.
Le déplacement de chaque nœuds peut être projeté suivant les axes des x et des y.
Autrement dit, les déplacements verticaux et les déplacements horizontaux. On a au total 21
nœuds, ce qui implique 42 déplacements éventuels.
La matrice de rigidité est donc de dimension 42x42. La matrice de rigidité élémentaire
[𝐾]1𝑒 qui correspond aux nœuds 1 ; 2 et 10 est placée dans la matrice [𝐾] de façon comme suit :
[ 𝐾11𝑒 𝐾12
𝑒 𝐾13𝑒
𝐾21𝑒 𝐾22
𝑒 𝐾23𝑒
𝐾14𝑒 …
𝐾24𝑒
𝐾15𝑒 𝐾16
𝑒 …
𝐾25𝑒 𝐾26
𝑒
𝐾31𝑒 𝐾32
𝑒 𝐾33𝑒
𝐾41𝑒 𝐾42
𝑒 𝐾43𝑒
⋮
𝐾34𝑒
𝐾44𝑒 …
𝐾35𝑒 𝐾36
𝑒
𝐾45𝑒 𝐾46
𝑒 ⋮
𝐾51𝑒 𝐾52
𝑒 𝐾53𝑒
𝐾61𝑒 𝐾62
𝑒 𝐾63𝑒
⋮
𝐾54𝑒
𝐾64𝑒 …
𝐾55𝑒 𝐾56
𝑒
𝐾65𝑒 𝐾66
𝑒 ⋮ ]
N1 N2 N10
N1
N
2
N1
0
1 2 3 4 19 20
1
2
3
4
19
20
Nœuds
Etudes préliminaires sur le calcul de stabilité des digues en terre
58
g) Détermination des charges sur les nœuds : (14)
Les charges ne se situent pas forcement sur nœuds de la maille. Dans notre cas, nous
allons distribuer les charges en supposant que les nœuds se comportent comme des appuis
simples. Les valeurs des charges agissant sur les nœuds sont résumées dans le tableau suivant :
Tableau 8: Forces horizontales et verticales agissant aux nœuds
Nœuds Fx [MN] Fy [MN]
1 0,2492 -0,4243
2 -0,2700
3 -0,2400
4 -0,2250
5 -0,2250
6 -0,2250
7 -0,2550
8 -0,1650
9 -0,0900
10 0,2988 -0,6709
11 -0,4950
12 -0,4500
13 -0,4500
14 -0,4500
15 -0,4050
16 -0,3600
17 0,0496 -0,2315
18 -0,1500
19 -0,1500
20 -0,1500
21 -0,1650
h) Calcul des déplacements des nœuds : (13)
Comme nous l’avons mentionné ci-dessus, les déplacements des nœuds sont obtenus
par :
�̅� = 𝐾−1. 𝐹
Etudes préliminaires sur le calcul de stabilité des digues en terre
59
Pour pouvoir faire le calcul, par la raison où les réactions aux appuis ne sont pas
connues, des conditions aux limites qui consiste à imposer des valeurs connues de déplacement
aux nœuds reposant directement sur les appuis.
Notre structure est supposée encastrée dans un sol support qui lui supposé immobile.
Par conséquent, les déplacements que ce soit horizontaux ou verticaux des nœuds qui se
trouvent en contact avec ce support est supposés nuls.
Etudes préliminaires sur le calcul de stabilité des digues en terre
60
Tableau 9: Résultats des déplacements des nœuds (13)
Nœuds 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Déplacements
suivant x (ui) [m]
0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
Déplacements
suivant y (vi)[m]
0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00
Nœuds 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21
Déplacements
suivant x (ui) [m]
0,0043 0,0025 0,0015 0,0008 0,0001 -0,0003 -0,0007 0,0035 0,0020 0,0011 0,0005 -0,0003
Déplacements
suivant y (vi)[m]
-0,0040 -0,0037 -0,0038 -0,0038 -0,0036 -0,0029 -0,0019 -0,0057 -0,0052 -0,0051 -0,0048 -0,0038
Etudes préliminaires sur le calcul de stabilité des digues en terre
61
Les valeurs des réactions aux appuis sont ainsi obtenues en mettant les vecteurs forces,
c’est-à-dire la matrice [F] comme étant une matrice des inconnues.
Tableau 10: Résultat des réactions sur les nœuds (10)
N° des
nœuds 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Rx -0,4711 -0,2213 -0,0678 -0,0593 -0,0192 0,0347 0,0527 0,2486 -0,1054
Ry 0,5472 1,0234 0,8655 0,7802 0,7846 0,7618 0,7523 0,6309 0,0711
Graphiquement, les déplacements des nœuds nous conduit à une allure de la déformée
comme suit :
Etudes préliminaires sur le calcul de stabilité des digues en terre
62
Figure 20: Allure de la déformée de la structure
Etudes préliminaires sur le calcul de stabilité des digues en terre
63
i) Calcul des contraintes agissant sur les éléments : (10)
Isolons un élément (voir la figure ci-dessous) pour expliquer la démarche du calcul. On
note i, j et k les nœuds de cet élément dont les coordonnées sont respectivement (xi , yi), (xj , yj)
et (xk , yk). Et considérons un point M de coordonnées (x , y), placé à l’intérieur de l’élément.
Le point courant M subit un déplacement (u , v) et les déplacements nodaux de l’élément
est :
𝑞𝑒𝑇 = [𝑢𝑖 𝑣𝑖 𝑢𝑗 𝑣𝑗 𝑢𝑘 𝑣𝑘]
Les déplacements nodaux étant connus, une approximation du champ de déplacement
peut être établie à l’intérieur de l’élément e.
{𝑢(𝑥 , 𝑦) = 𝑎0 + 𝑎1𝑥 + 𝑎2𝑦
𝑣(𝑥 , 𝑦) = 𝑎3 + 𝑎4𝑥 + 𝑎5𝑦
Les déplacements nodaux sont donc exprimés comme suit :
{
𝑢𝑖 = 𝑎0 + 𝑎1𝑥𝑖 + 𝑎2𝑦𝑖𝑣𝑖 = 𝑎3 + 𝑎4𝑥𝑖 + 𝑎5𝑦𝑖𝑢𝑗 = 𝑎0 + 𝑎1𝑥𝑗 + 𝑎2𝑦𝑗𝑣𝑗 = 𝑎3 + 𝑎4𝑥𝑗 + 𝑎5𝑦𝑗𝑢𝑘 = 𝑎0 + 𝑎1𝑥𝑘 + 𝑎2𝑦𝑘𝑣𝑘 = 𝑎3 + 𝑎4𝑥𝑘 + 𝑎5𝑦𝑘
i
k
j
vk
ui
uj
uk vi
vj
y ; v
x ;u
M u
v
Figure 21: Point quelconque M
se trouvant dans un élément à trois
nœuds i-j-k
Etudes préliminaires sur le calcul de stabilité des digues en terre
64
Après substitution des coefficients ah nous sommes conduits à la relation suivante :
𝑈 = 𝐴 𝑞𝑒
[𝑢𝑣] = [
𝑁1 0 𝑁2 0 𝑁3 00 𝑁1 0 𝑁2 0 𝑁3
]
[ 𝑢𝑖𝑣𝑖𝑢𝑗𝑣𝑗𝑢𝑘𝑣𝑘]
Ou Ni sont les fonctions d’interpolation fonction de x et y.
On en déduit donc la matrice B fonction de x et y avec :
[𝐵] =
[ 𝜕
𝜕𝑥0
0𝜕
𝜕𝑦𝜕
𝜕𝑦
𝜕
𝜕𝑥]
{𝑁𝑖}
La relation déformations-déplacements 𝜀 = 𝐶 𝑈 s’écrit dans ce cas :
[
𝜀𝑥𝑥𝜀𝑦𝑦2𝜀𝑥𝑦
] =
[ 𝜕
𝜕𝑥0
0𝜕
𝜕𝑦𝜕
𝜕𝑦
𝜕
𝜕𝑥]
[𝑢𝑣] = [𝐵]
[ 𝑢𝑖𝑣𝑖𝑢𝑗𝑣𝑗𝑢𝑘𝑣𝑘]
Notons que les termes de la matrice B ne dépendent plus ni de x, ni de y. La loi de Hooke
𝜎 = 𝐷 𝜀 s’écrit :
[
𝜎𝑥𝑥𝜎𝑦𝑦𝜎𝑥𝑦
] = 𝐷 [
𝜀𝑥𝑥𝜀𝑦𝑦2𝜀𝑥𝑦
]
Où D est la matrice d’élasticité.
Etudes préliminaires sur le calcul de stabilité des digues en terre
65
Contrairement aux déplacements, les déformations et les contraintes obtenues par cette
approche seront uniformes dans tout l’élément et ne seront pas continues au passage de la
frontière entre deux éléments. Cela est dû par les fonctions d’interpolation Ni qui sont des
fonctions linéaires de x et de y, ainsi leurs dérivées partielles par rapport à x et y ne dépendent
plus de ces derniers.
Et les expressions des Ni s’écrivent :
{
𝑁1(𝑥, 𝑦) = [𝑥𝑗𝑦𝑘 − 𝑥𝑘𝑦𝑗 + (𝑦𝑗 − 𝑦𝑘)𝑥 + (𝑥𝑘 − 𝑥𝑗)𝑦]/Δ
𝑁2(𝑥, 𝑦) = [𝑥𝑘𝑦𝑖 − 𝑥𝑖𝑦𝑘 + (𝑦𝑘 − 𝑦𝑖)𝑥 + (𝑥𝑖 − 𝑥𝑘)𝑦]/Δ
𝑁3(𝑥, 𝑦) = [𝑥𝑖𝑦𝑗 − 𝑥𝑗𝑦𝑖 + (𝑦𝑖 − 𝑦𝑗)𝑥 + (𝑥𝑗 − 𝑥𝑖)𝑦]/Δ
Avec Δ =(𝑥𝑗−𝑥𝑖) (𝑦𝑘−𝑦𝑖)−(𝑥𝑘−𝑥𝑖) (𝑦𝑗−𝑦𝑖)
2 qui repésente l’aire du triangle i-j-k
Nous avons dans ce problème 24 éléments d’où 24 valeurs de contraintes résumée dans
le tableau ci-après.
Tableau 11: Valeurs des contraintes obtenues par la MEF
Contraintes E1 E2 E3 E4 E5 E6 E7 E8
xx [MPa] 0,049 0,108 0,046 0,086 0,047 0,078 0,047 0,072
yy[MPa] -0,1 -0,129 -0,093 -0,113 -0,096 -0,111 -0,095 -0,108
xy[MPa] 0,0274 0,0299 0,0162 0,0149 0,0097 0,0099 0,0049 0,0069
Contraintes E9 E10 E11 E12 E13 E14 E15 E16
xx[MPa] 0,045 0,064 0,036 0,047 0,023 0,023 0,084 0,083
yy[MPa] -0,09 -0,1 -0,073 -0,078 -0,048 -0,048 -0,081 -0,08
xy[MPa] 0,0009 0,008 -0,002 0,0065 -0,004 -0,004 0,0085 0,0112
Contraintes E17 E18 E19 E20 E21 E22 E23 E24
xx[MPa] 0,058 0,053 0,046 0,044 0,04 0,047 0,031 0,022
yy[MPa] -0,056 -0,053 -0,047 -0,046 -0,043 -0,046 -0,033 -0,029
xy[MPa] 0,0019 0,0048 0,0027 0,0052 0,004 0,0118 0,0071 0,0087
Etudes préliminaires sur le calcul de stabilité des digues en terre
66
Comparer avec la contrainte normale admissible des sols bien compactés qui est en
générale au-delà de 𝜎𝑎𝑑𝑚 = 0,3𝑀𝑃𝑎 et qui implique une contrainte de cisaillement 𝜏𝑎𝑑𝑚 =
𝑐 + 𝜎𝑡𝑎𝑛𝜑 environ égale à 0,17MPa. Les valeurs que nous avons dans ce tableau ne présentent
aucun risque pour la rupture de notre digue.
Notons que nous n’avons pas pris en compte tous les efforts susceptibles d’agir sur notre
structure comme par exemple les efforts dus au vent, les charges créer par les véhicules. Nous
n’avons non plus considéré l’évolution des déformations en fonction du temps. Notre objectif
dans cet ouvrage étant tout simplement de montrer les méthodes pour calculer la stabilité d’une
digue. La figure suivante nous montre la répartition des contraintes de cisaillement, établie
suivant les valeurs de notre calcul, dans la section transversale de la digue.
Etudes préliminaires sur le calcul de stabilité des digues en terre
67
II.3.1. Organigramme de calcul par la méthode des éléments finis
Figure 22: Organigramme de calcul par la méthode des éléments finis
Définir l'objectif
Vérification des ressources et des temps disponibles
Analyse du problème
Préciser les hypothèses
Choix du modèle
Choix du type d'élément
maillage
Calcul des matrices de rigidité élémentaires
Assemblage des matrices de rigidité élémentaires
Calcul des déplacements des noeuds
Calcul des déformations et des contraintes
Etudes préliminaires sur le calcul de stabilité des digues en terre
68
Figure 23: Représentation graphique de la répartition de la contrainte de cisaillement
En partant de cette figure, nous pouvons conclure que les impacts de la poussée de l’eau
restent superficiels même si nous avons considéré la hauteur d’eau maximale. Pourtant, dans la
réalité, nombreux sont les ouvrages en terre compactée qui ne résistent rient qu’à la poussée de
l’eau. Mais dans notre problème, nous avons considéré que l’eau est complètement immobile.
Ce qui est loin d’être le cas défavorable.
La répartition des contraintes n’est pas visiblement très claire car faute de moyen et
faute de temps, nous avons utilisé des éléments de maillage dont les dimensions sont trop
grandes. La précision est donc obtenue en utilisant un maillage plus étroit.
0 5 10
2
4
1 2 3 4 6 7 8 9 11
1
3
Etudes préliminaires sur le calcul de stabilité des digues en terre
CONCLUSION GENERALE
Etudes préliminaires sur le calcul de stabilité des digues en terre
69
Conclusion générale
Nous nous étions fixés l’objectif de développer une approche sur l’analyse de stabilité
des talus vis-à-vis du glissement en utilisant des méthodes classiques suivie par l’analyse de
stabilité élastique de la section transversale de la digue par la méthode des éléments finis.
Et à l’issue de ce travail et malgré quelques difficultés inhérentes au calcul numérique,
nous pouvons tirer certaines conclusions surtout sur l’utilisation des méthodes classiques. La
différence des résultats entre la méthode de Bishop et la méthode de Fellenius est si importante
qu’elles nous mettent sur le doute des erreurs réelles par rapport aux vraies valeurs. En effet,
rien qu’en prenant en compte les forces horizontales inter-tranches, la méthode de Bishop a une
différence moyenne de 22% en moins de la méthode de Fellenius qui néglige toute force inter-
tranche. Et il est à noter que les forces verticales inter-tranches sont aussi négligées par la
méthode de Bishop.
Il est vrai que les résultats que nous avons obtenus par la méthode des éléments finis ne
nous permettent pas de faire une comparaison entre elle et les méthodes d’équilibre limite mais
l’utilisation de la méthode des éléments finis dans cet ouvrage est dans le but de montrer de
manière introductive la façon dont on doit procéder dans un calcul de stabilité d’une digue
supposée homogène et élastique. Certains paramètres a été ainsi négligés, non pas parce qu’ils
sont inutiles mais parce que leur emploi demande des procédures ou des essais plus élaborés.
Il est cependant nécessaire de dire qu’il existe des réticences à l’utilisation de certaines
possibilités offertes par cette méthode car les modélisations en comportement non linéaire
nécessitent de nombreuses données géotechniques, donc pouvant être très onéreuses. Mais, en
l’état actuel des choses, il est préférable d’utiliser des méthodes plus améliorer et plus précises
en matière de résultat même si elles demandent beaucoup de temps et de moyens. La précision
des méthodes d’équilibre limite dépend de la largeur ou le nombre des tranches néanmoins pour
faciliter le calcul, elles adoptent des hypothèses en éliminant certains paramètres, ce qui peut
amener le calcul à des certaines erreurs qu’on ne pourra pas évaluer. En revanche, en utilisant
un maillage plus étroit, la méthode des éléments finis reste la méthode de calcul la plus fiable.
Toutefois, la présence ou non de l’eau dans l’ouvrage remet en cause les résultats
obtenus. Autrement dit, la présence d’eau dans le corps de la digue rend la structure de plus en
Etudes préliminaires sur le calcul de stabilité des digues en terre
70
plus hétérogène. Et même si on arrive à réaliser le calcul à l’Etat Limite Ultime, Le changement
de saison qui joue un rôle essentiel dans la vie des ouvrages en terre entraine de la difficulté
concernant l’évolution de sa stabilité en fonction du temps. Pourtant, on sait que la rupture
d’une digue est souvent un produit à long terme des actions extérieures. Il est donc plus prudent
de faire des vérifications périodiques afin de pouvoir assurer la sécurité de la population à
proximité.
Etudes préliminaires sur le calcul de stabilité des digues en terre
Bibliographie
1. Cartier, MM. Pilot et. Digues et barrages en terre. [éd.] LABORATOIRE
CENTRAL DES PONTS ET CHAUSSÉES. 58, boulevard Lefebvre : MINISTERE DE
L'URBANISME, DU LOGEMENT ET DES TRANSPORTS, 1984. p. 37.
2. Josseaume, H. Digue en terre. 1970. pp. 199-214.
3. MAGNAN, Jean-Pierre. Description, identification et classification des sols. Paris :
Laboratoire central des ponts et chaussées, 1999. p. 17.
4. Jean-Louis DURVILLE, Gilles SEVE. Stabilité des pentes/Glissements en terrain
meuble. 2003. p. 17.
5. Martin, RABANANTOANDRO. Extrait de cours de mécanique des sols.
Antananarivo : s.n.
6. GONNOUNI, M EL. RESISTANCE AU CISAILLEMENT DES SOLS. p. 26.
7. Ph., Reiffsteck. Mécanique des Sols Avancée/Stabilité des pentes. s.l. : LCPC div.
MSRGI sec. CSOG. p. 46.
8. Engineers, US Army Corps of. Slope Stability. Washington : ENGINEERING AND
DESIGN, 2003. p. 205.
9. RAHMANI, Naima. Méthodes stochastiques de calcul de stabilité des pentes
(Mémoire de magistère). Alger : Faculté du génie de la construction, 2011. p. 192.
10. Sartor, Marc. Introduction à la méthode des éléments finis/Notes de cours/Ch. 1.
p. 4.
11. Tie, Bing. Eléments finis en Elasticité Linaire. s.l. : Laboratoire de Mécanique des
sols-Structures-Matérieau. Ecole Centrale de Paris, 2004.
13. Dysli, Michel. Introduction aux éléments finis. 2éme. s.l. : Ecole
polytechnique/federale de Lausanne, 1997. p. 25.
Etudes préliminaires sur le calcul de stabilité des digues en terre
14. HASSAN, R. Mise en oeuvre de la méthode des éléments finis. s.l. : Université de
Chamberys Annecys Avoie, 2004-2005. p. 76.
15. Oudin, Hervé. Méthode deséléments finis. Nantes : Ecole d'ingénieur, Ecole
centrale de Nantes, 2008. p. 68.
16. Astrid Leutwiler. Glissements de terrain/Causes. s.l. : Office fédéral de
l'environnement/Division Prévention des dangers, 2009.
17. Naima, RAHMANI. Métode stochastiques de calcul de stabilité des pentes. Alger,
Algerie : s.n., 2011. p. 192.
ANNEXES
Annexes
Notes de calcul:
Calcul sous Mathcad:
Module d'Young
MPA
Coefficient de Poisson
Fonction d'interpolation
Coordonées des noeuds
; ; ; ; ;
;
; ; ; ; ;
;
; ; ; ; ;
; ; ; ;
Aires des éléments
E 17
0.33
N1
N2 1
N10
N1 N1 N2 N10 N
X1 0 0( ) X2 1.5 0( ) X2 1.5 0( ) X3 3 0( ) X4 4.25 0( )
X5 5.5 0( )
X6 6.75 0( ) X7 8 0( ) X8 9.5 0( ) X9 11 0( ) X10 1.5 2( )
X11 3 2( )
X12 4.25 2( ) X13 5.5 2( ) X14 6.75 2( ) X15 8 2( ) X16 9.5 2( )
X17 3 4( ) X18 4.25 4( ) X19 5.5 4( ) X20 6.75 4( ) X21 8 4( )
X6 0 0
27
4
X17 0 1
4
i 1 21
j 1 21
xi Xi 0 0
yj Xj 0 1
Pour l'élément 1
A1x2 x1 y10 y1 x10 x1 y2 y1
21.5
A2x10 x2 y11 y2 x11 x2 y10 y2
21.5
A3x3 x2 y11 y2 x11 x2 y3 y2
21.5
A4x11 x3 y12 y3 x12 x3 y11 y3
21.25
A5x4 x3 y12 y3 x12 x3 y4 y3
21.25
A6x12 x4 y13 y4 x13 x4 y12 y3
21.25
A7 A4 1.25
A8 A4 1.25
A9 A4 1.25
A10 A4 1.25
A11 A4 1.25
A12 A3 1.5
A13 A3 1.5
A14 A3 1.5
A15 A3 1.5
A16 A4 1.25
A17 A4 1.25
A18 A4 1.25
A19 A4 1.25
A20 A4 1.25
A21 A4 1.25
A22 A4 1.25
A23 A4 1.25
A24 A3 1.5
Mtrice de propriété physique
Matrice de rigidité élémentaire
Et avec et
Element 2
J
N2d
d
N2d
d
N1d
d
N1d
d
N10d
d
N10d
d
x2
x1
x10
y2
y1
y10
1.5
0.0
0
2
J 3.0
B
N1d
d
0
N1d
d
0
N1d
d
N1d
d
N2d
d
0
N2d
d
0
N2d
d
N2d
d
N10d
d
0
N10d
d
0
N10d
d
N10d
d
1
0
0
0
0
1
1
0
1
0
1
1
0
0
1
0
1
0
DE
1 ( ) 1 2 ( )
1
0
1
0
0
0
1 2
2
float 7
25.18797
12.40602
0
12.40602
25.18797
0
0
0
6.390977
D
25.18797
12.40602
0
12.40602
25.18797
0
0
0
6.390977
1 1
K1 BT
D B A1 J
d
d float 10
113.345865
0
113.345865
55.82709
0
55.82709
0
28.7593965
28.7593965
28.7593965
28.7593965
0
113.345865
28.7593965
142.1052615
84.5864865
28.7593965
55.82709
55.82709
28.7593965
84.5864865
142.1052615
28.7593965
113.345865
0
28.7593965
28.7593965
28.7593965
28.7593965
0
55.82709
0
55.82709
113.345865
0
113.345865
Matrice de rigidité élémentaire
Et avec et
Element 3
N210 1 2 2 2
N211 2 2
N22 2 2
x10 1.5
J2
N210d
d
2N210
d
d
2N211
d
d
2N211
d
d
2N22
d
d
2N22
d
d
x10
x11
x2
y10
y11
y2
1.5
0.0
0
2
2N210
d
d
2N210
d
d
2N211
d
d
2N211
d
d
2N22
d
d
2N22
d
d
1
1
1
0
0
1
J 3.0
B
2N22
d
d
0
2N22
d
d
0
2N22
d
d
2N22
d
d
2N210
d
d
0
2N210
d
d
0
2N210
d
d
2N210
d
d
2N211
d
d
0
2N211
d
d
0
2N211
d
d
2N211
d
d
0
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
1
1
0
0
0
0
1
2 1 2 1
K2 22BT
D B A2 J
d
d float 10
28.7593965
0
28.7593965
28.7593965
0
28.7593965
0
113.345865
55.82709
113.345865
55.82709
0
28.7593965
55.82709
142.1052615
84.5864865
113.345865
28.7593965
28.7593965
113.345865
84.5864865
142.1052615
55.82709
28.7593965
0
55.82709
113.345865
55.82709
113.345865
0
28.7593965
0
28.7593965
28.7593965
0
28.7593965
Matrice de rigidité élémentaire
Et avec et
Element 4
N33 1 3 3 3
N32 3 3
N311 3 3
x10 1.5
J3
N33d
d
3N33
d
d
3N32
d
d
3N32
d
d
3N311
d
d
3N311
d
d
x3
x2
x11
y3
y2
y11
1.5
0
0
2
J 3.0
B
3N32
d
d
0
3N32
d
d
0
3N32
d
d
3N32
d
d
3N33
d
d
0
3N33
d
d
0
3N33
d
d
3N33
d
d
3N311
d
d
0
3N311
d
d
0
3N311
d
d
3N311
d
d
1
0
0
0
0
1
1
0
1
0
1
1
0
0
1
0
1
0
3 1 3 1
K3 33BT
D B A3 J
d
d float 10
113.345865
0
113.345865
55.82709
0
55.82709
0
28.7593965
28.7593965
28.7593965
28.7593965
0
113.345865
28.7593965
142.1052615
84.5864865
28.7593965
55.82709
55.82709
28.7593965
84.5864865
142.1052615
28.7593965
113.345865
0
28.7593965
28.7593965
28.7593965
28.7593965
0
55.82709
0
55.82709
113.345865
0
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N411 1 4 4 4
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0
1
0
1
0
21 1 21 1
Element 22
Matrice de rigidité élémentaire
Et avec et
Element 23
K21 2121BT
D B A21 J
d
d float 10
78.71240625
0
78.71240625
38.7688125
0
38.7688125
0
19.97180313
19.97180313
19.97180313
19.97180313
0
78.71240625
19.97180313
98.68420937
58.74061563
19.97180313
38.7688125
38.7688125
19.97180313
58.74061563
98.68420937
19.97180313
78.71240625
0
19.97180313
19.97180313
19.97180313
19.97180313
0
38.7688125
0
38.7688125
78.71240625
0
78.71240625
N2220 1 22 22 22
N2221 22 22
N2214 22 22
J22
N2220d
d
22N2220
d
d
22N2221
d
d
22N2221
d
d
22N2214
d
d
22N2214
d
d
x20
x21
x14
y20
y21
y14
1.25
0.0
0
2
J 2.5
B
22N2214
d
d
0
22N2214
d
d
0
22N2214
d
d
22N2214
d
d
22N2220
d
d
0
22N2220
d
d
0
22N2220
d
d
22N2220
d
d
22N2221
d
d
0
22N2221
d
d
0
22N2221
d
d
22N2221
d
d
0
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
1
1
0
0
0
0
1
22 1 22 1
K22 2222BT
D B A22 J
d
d float 10
19.97180313
0
19.97180313
19.97180313
0
19.97180313
0
78.71240625
38.7688125
78.71240625
38.7688125
0
19.97180313
38.7688125
98.68420937
58.74061563
78.71240625
19.97180313
19.97180313
78.71240625
58.74061563
98.68420937
38.7688125
19.97180313
0
38.7688125
78.71240625
38.7688125
78.71240625
0
19.97180313
0
19.97180313
19.97180313
0
19.97180313
Matrice de rigidité élémentaire
Et avec et
Element 24
N2315 1 23 23 23
N2314 23 23
N2321 23 23
J23
N2315d
d
23N2315
d
d
23N2314
d
d
23N2314
d
d
23N2321
d
d
23N2321
d
d
x15
x14
x21
y15
y14
y21
1.25
0
0
2
J 2.5
B
23N2314
d
d
0
23N2314
d
d
0
23N2314
d
d
23N2314
d
d
23N2315
d
d
0
23N2315
d
d
0
23N2315
d
d
23N2315
d
d
23N2321
d
d
0
23N2321
d
d
0
23N2321
d
d
23N2321
d
d
1
0
0
0
0
1
1
0
1
0
1
1
0
0
1
0
1
0
A23 1.25
23 1 23 1
K23 2323BT
D B A23 J
d
d float 10
78.71240625
0
78.71240625
38.7688125
0
38.7688125
0
19.97180313
19.97180313
19.97180313
19.97180313
0
78.71240625
19.97180313
98.68420937
58.74061563
19.97180313
38.7688125
38.7688125
19.97180313
58.74061563
98.68420937
19.97180313
78.71240625
0
19.97180313
19.97180313
19.97180313
19.97180313
0
38.7688125
0
38.7688125
78.71240625
0
78.71240625
N2415 1 24 24 24
N2416 24 24
N2421 24 24
Matrice de rigidité élémentaire
Et avec et
J24
N2415d
d
24N2415
d
d
24N2416
d
d
24N2416
d
d
24N2421
d
d
24N2421
d
d
x15
x16
x21
y15
y16
y21
1.5
0
0
2
J 3.0
B
24N2415
d
d
0
24N2415
d
d
0
24N2415
d
d
24N2415
d
d
24N2416
d
d
0
24N2416
d
d
0
24N2416
d
d
24N2416
d
d
24N2421
d
d
0
24N2421
d
d
0
24N2421
d
d
24N2421
d
d
1
0
1
0
1
1
1
0
0
0
0
1
0
0
1
0
1
0
24 1 24 1
K24 2424BT
D B A24 J
d
d float 10
142.1052615
84.5864865
113.345865
28.7593965
28.7593965
55.82709
84.5864865
142.1052615
55.82709
28.7593965
28.7593965
113.345865
113.345865
55.82709
113.345865
0
0
55.82709
28.7593965
28.7593965
0
28.7593965
28.7593965
0
28.7593965
28.7593965
0
28.7593965
28.7593965
0
55.82709
113.345865
55.82709
0
0
113.345865
Programmation Matlab
%Liste des coordonées No1=[0 0]; No2=[1.5 0];No3=[3 0];No4=[4.25 0];No5=[5.5 0];No6=[6.75 0]; No7=[8 0];No8=[9.5 0];No9=[11 0];No10=[1.5 2];No11=[3 2];No12=[4.25 2]; No13=[5.5 2];No14=[6.75 2];No15=[8 2];No16=[9.5 2];No17=[3 4];No18=[4.25
4]; ;No19=[5.5 4];No20=[6.75 4];No21=[8 4];
%Matrice d'élasticité D=[25.18797 12.40602 0;12.40602 25.18797 0;0 0 6.390977]
%Calcul de delta (aires des triangles)
Dt1=((No10(:,1)-No2(:,1))*(No1(:,2)-No2(:,2))-(No1(:,1)-
No2(:,1))*(No10(:,2)-No2(:,2)))/2;
Dt2=((No11(:,1)-No10(:,1))*(No2(:,2)-No10(:,2))-(No2(:,1)-
No10(:,1))*(No11(:,2)-No10(:,2)))/2;
Dt3=((No11(:,1)-No3(:,1))*(No2(:,2)-No3(:,2))-(No2(:,1)-
No3(:,1))*(No11(:,2)-No3(:,2)))/2;
Dt4=((No12(:,1)-No11(:,1))*(No3(:,2)-No11(:,2))-(No3(:,1)-
No11(:,1))*(No12(:,2)-No11(:,2)))/2;
Dt5=((No12(:,1)-No4(:,1))*(No3(:,2)-No4(:,2))-(No3(:,1)-
No4(:,1))*(No12(:,2)-No4(:,2)))/2;
Dt6=((No13(:,1)-No12(:,1))*(No4(:,2)-No12(:,2))-(No4(:,1)-
No12(:,1))*(No13(:,2)-No12(:,2)))/2;
Dt7=((No13(:,1)-No5(:,1))*(No4(:,2)-No5(:,2))-(No4(:,1)-
No5(:,1))*(No13(:,2)-No5(:,2)))/2;
Dt8=((No14(:,1)-No13(:,1))*(No5(:,2)-No13(:,2))-(No5(:,1)-
No13(:,1))*(No14(:,2)-No13(:,2)))/2;
Dt9=((No14(:,1)-No6(:,1))*(No5(:,2)-No6(:,2))-(No5(:,1)-
No6(:,1))*(No14(:,2)-No6(:,2)))/2;
Dt10=((No15(:,1)-No14(:,1))*(No6(:,2)-No14(:,2))-(No6(:,1)-
No14(:,1))*(No15(:,2)-No14(:,2)))/2;
Dt11=((No15(:,1)-No7(:,1))*(No6(:,2)-No7(:,2))-(No6(:,1)-
No7(:,1))*(No15(:,2)-No7(:,2)))/2;
Dt12=((No16(:,1)-No15(:,1))*(No7(:,2)-No15(:,2))-(No7(:,1)-
No15(:,1))*(No16(:,2)-No15(:,2)))/2;
Dt13=((No16(:,1)-No8(:,1))*(No7(:,2)-No8(:,2))-(No7(:,1)-
No8(:,1))*(No16(:,2)-No8(:,2)))/2;
Dt14=((No16(:,1)-No9(:,1))*(No8(:,2)-No9(:,2))-(No8(:,1)-
No9(:,1))*(No16(:,2)-No9(:,2)))/2;
Dt15=((No17(:,1)-No11(:,1))*(No10(:,2)-No11(:,2))-(No10(:,1)-
No11(:,1))*(No17(:,2)-No11(:,2)))/2;
Dt16=((No18(:,1)-No17(:,1))*(No11(:,2)-No17(:,2))-(No11(:,1)-
No17(:,1))*(No18(:,2)-No17(:,2)))/2;
Dt17=((No18(:,1)-No12(:,1))*(No11(:,2)-No12(:,2))-(No11(:,1)-
No12(:,1))*(No18(:,2)-No12(:,2)))/2;
Dt18=((No19(:,1)-No18(:,1))*(No12(:,2)-No18(:,2))-(No12(:,1)-
No18(:,1))*(No19(:,2)-No18(:,2)))/2;
Dt19=((No19(:,1)-No13(:,1))*(No12(:,2)-No13(:,2))-(No12(:,1)-
No13(:,1))*(No19(:,2)-No13(:,2)))/2;
Dt20=((No20(:,1)-No19(:,1))*(No13(:,2)-No19(:,2))-(No13(:,1)-
No19(:,1))*(No20(:,2)-No19(:,2)))/2;
Dt21=((No20(:,1)-No14(:,1))*(No13(:,2)-No14(:,2))-(No13(:,1)-
No14(:,1))*(No20(:,2)-No14(:,2)))/2;
Dt22=((No21(:,1)-No20(:,1))*(No14(:,2)-No20(:,2))-(No14(:,1)-
No20(:,1))*(No21(:,2)-No20(:,2)))/2;
Dt23=((No21(:,1)-No15(:,1))*(No14(:,2)-No15(:,2))-(No14(:,1)-
No15(:,1))*(No21(:,2)-No15(:,2)))/2;
Dt24=((No21(:,1)-No16(:,1))*(No15(:,2)-No16(:,2))-(No15(:,1)-
No16(:,1))*(No21(:,2)-No16(:,2)))/2;
%Importation des matrices B Be1=1/Dt1*[No2(:,2)-No10(:,2) 0 No10(:,2)-No1(:,2) 0 No1(:,2)-No2(:,2) 0; 0 No10(:,1)-No2(:,1) 0 No1(:,1)-No10(:,1) 0 No2(:,1)-No1(:,1); No10(:,1)-No2(:,1) No2(:,2)-No10(:,2) No1(:,1)-No10(:,1) No10(:,2)-
No1(:,2) No2(:,1)-No1(:,1) No1(:,2)-No2(:,2)];
Be2=1/Dt2*[No10(:,2)-No11(:,2) 0 No11(:,2)-No2(:,2) 0 No2(:,2)-No10(:,2) 0; 0 No11(:,1)-No10(:,1) 0 No2(:,1)-No11(:,1) 0 No10(:,1)-No2(:,1); No11(:,1)-No10(:,1) No10(:,2)-No11(:,2) No2(:,1)-No11(:,1) No11(:,2)-
No2(:,2) No10(:,1)-No2(:,1) No2(:,2)-No10(:,2)];
Be3=1/Dt3*[No3(:,2)-No11(:,2) 0 No11(:,2)-No2(:,2) 0 No2(:,2)-No3(:,2) 0; 0 No11(:,1)-No3(:,1) 0 No2(:,1)-No11(:,1) 0 No3(:,1)-No2(:,1); No11(:,1)-No3(:,1) No3(:,2)-No11(:,2) No2(:,1)-No11(:,1) No11(:,2)-
No2(:,2) No3(:,1)-No2(:,1) No2(:,2)-No3(:,2)];
Be4=1/Dt4*[No11(:,2)-No12(:,2) 0 No12(:,2)-No3(:,2) 0 No3(:,2)-No11(:,2) 0; 0 No12(:,1)-No11(:,1) 0 No3(:,1)-No12(:,1) 0 No11(:,1)-No3(:,1); No12(:,1)-No11(:,1) No11(:,2)-No12(:,2) No3(:,1)-No12(:,1) No12(:,2)-
No3(:,2) No11(:,1)-No3(:,1) No3(:,2)-No11(:,2)];
Be5=1/Dt5*[No4(:,2)-No12(:,2) 0 No12(:,2)-No3(:,2) 0 No3(:,2)-No4(:,2) 0; 0 No12(:,1)-No4(:,1) 0 No3(:,1)-No12(:,1) 0 No4(:,1)-No3(:,1); No12(:,1)-No4(:,1) No4(:,2)-No12(:,2) No3(:,1)-No12(:,1) No12(:,2)-
No3(:,2) No4(:,1)-No3(:,1) No3(:,2)-No4(:,2)];
Be6=1/Dt6*[No12(:,2)-No13(:,2) 0 No13(:,2)-No4(:,2) 0 No4(:,2)-No12(:,2) 0; 0 No13(:,1)-No12(:,1) 0 No4(:,1)-No13(:,1) 0 No12(:,1)-No4(:,1); No13(:,1)-No12(:,1) No12(:,2)-No13(:,2) No4(:,1)-No13(:,1) No13(:,2)-
No4(:,2) No12(:,1)-No4(:,1) No4(:,2)-No12(:,2)];
Be7=1/Dt7*[No5(:,2)-No13(:,2) 0 No13(:,2)-No4(:,2) 0 No4(:,2)-No5(:,2) 0; 0 No13(:,1)-No5(:,1) 0 No4(:,1)-No13(:,1) 0 No5(:,1)-No4(:,1); No13(:,1)-No5(:,1) No5(:,2)-No13(:,2) No4(:,1)-No13(:,1) No13(:,2)-
No4(:,2) No5(:,1)-No4(:,1) No4(:,2)-No5(:,2)];
Be8=1/Dt8*[No13(:,2)-No14(:,2) 0 No14(:,2)-No5(:,2) 0 No5(:,2)-No13(:,2) 0; 0 No14(:,1)-No13(:,1) 0 No5(:,1)-No14(:,1) 0 No13(:,1)-No5(:,1); No14(:,1)-No13(:,1) No13(:,2)-No14(:,2) No5(:,1)-No14(:,1) No14(:,2)-
No5(:,2) No13(:,1)-No5(:,1) No5(:,2)-No13(:,2)];
Be9=1/Dt9*[No6(:,2)-No14(:,2) 0 No14(:,2)-No5(:,2) 0 No5(:,2)-No6(:,2) 0; 0 No14(:,1)-No6(:,1) 0 No5(:,1)-No14(:,1) 0 No6(:,1)-No5(:,1); No14(:,1)-No6(:,1) No6(:,2)-No14(:,2) No5(:,1)-No14(:,1) No14(:,2)-
No5(:,2) No6(:,1)-No5(:,1) No5(:,2)-No6(:,2)];
Be10=1/Dt10*[No14(:,2)-No15(:,2) 0 No15(:,2)-No6(:,2) 0 No6(:,2)-No14(:,2)
0; 0 No15(:,1)-No14(:,1) 0 No6(:,1)-No15(:,1) 0 No14(:,1)-No6(:,1); No15(:,1)-No14(:,1) No14(:,2)-No15(:,2) No6(:,1)-No15(:,1) No15(:,2)-
No6(:,2) No14(:,1)-No6(:,1) No6(:,2)-No14(:,2)];
Be11=1/Dt11*[No7(:,2)-No15(:,2) 0 No15(:,2)-No6(:,2) 0 No6(:,2)-No7(:,2) 0; 0 No15(:,1)-No7(:,1) 0 No6(:,1)-No15(:,1) 0 No7(:,1)-No6(:,1); No15(:,1)-No7(:,1) No7(:,2)-No15(:,2) No6(:,1)-No15(:,1) No15(:,2)-
No6(:,2) No7(:,1)-No6(:,1) No6(:,2)-No7(:,2)];
Be12=1/Dt12*[No15(:,2)-No16(:,2) 0 No16(:,2)-No7(:,2) 0 No7(:,2)-No15(:,2)
0; 0 No16(:,1)-No15(:,1) 0 No7(:,1)-No16(:,1) 0 No15(:,1)-No7(:,1); No16(:,1)-No15(:,1) No15(:,2)-No16(:,2) No7(:,1)-No16(:,1) No16(:,2)-
No7(:,2) No15(:,1)-No7(:,1) No7(:,2)-No15(:,2)];
Be13=1/Dt13*[No8(:,2)-No16(:,2) 0 No16(:,2)-No7(:,2) 0 No7(:,2)-No8(:,2) 0; 0 No16(:,1)-No8(:,1) 0 No7(:,1)-No16(:,1) 0 No8(:,1)-No7(:,1); No16(:,1)-No8(:,1) No8(:,2)-No16(:,2) No7(:,1)-No16(:,1) No16(:,2)-
No7(:,2) No8(:,1)-No7(:,1) No7(:,2)-No8(:,2)];
Be14=1/Dt14*[No9(:,2)-No16(:,2) 0 No16(:,2)-No8(:,2) 0 No8(:,2)-No9(:,2) 0; 0 No16(:,1)-No9(:,1) 0 No8(:,1)-No16(:,1) 0 No9(:,1)-No8(:,1); No16(:,1)-No9(:,1) No9(:,2)-No16(:,2) No8(:,1)-No16(:,1) No16(:,2)-
No8(:,2) No9(:,1)-No8(:,1) No8(:,2)-No9(:,2)];
Be15=1/Dt15*[No11(:,2)-No17(:,2) 0 No17(:,2)-No10(:,2) 0 No10(:,2)-
No11(:,2) 0; 0 No17(:,1)-No11(:,1) 0 No10(:,1)-No17(:,1) 0 No11(:,1)-No10(:,1); No17(:,1)-No11(:,1) No11(:,2)-No17(:,2) No10(:,1)-No17(:,1) No17(:,2)-
No10(:,2) No11(:,1)-No10(:,1) No10(:,2)-No11(:,2)];
Be16=1/Dt16*[No17(:,2)-No18(:,2) 0 No18(:,2)-No11(:,2) 0 No11(:,2)-
No17(:,2) 0; 0 No18(:,1)-No17(:,1) 0 No11(:,1)-No18(:,1) 0 No17(:,1)-No11(:,1); No18(:,1)-No17(:,1) No17(:,2)-No18(:,2) No11(:,1)-No18(:,1) No18(:,2)-
No11(:,2) No17(:,1)-No11(:,1) No11(:,2)-No17(:,2)];
Be17=1/Dt17*[No12(:,2)-No18(:,2) 0 No18(:,2)-No11(:,2) 0 No11(:,2)-
No12(:,2) 0; 0 No18(:,1)-No12(:,1) 0 No11(:,1)-No18(:,1) 0 No12(:,1)-No11(:,1);
No18(:,1)-No12(:,1) No12(:,2)-No18(:,2) No11(:,1)-No18(:,1) No18(:,2)-
No11(:,2) No12(:,1)-No11(:,1) No11(:,2)-No12(:,2)];
Be18=1/Dt18*[No18(:,2)-No19(:,2) 0 No19(:,2)-No12(:,2) 0 No12(:,2)-
No18(:,2) 0; 0 No19(:,1)-No18(:,1) 0 No12(:,1)-No19(:,1) 0 No18(:,1)-No12(:,1); No19(:,1)-No18(:,1) No18(:,2)-No19(:,2) No12(:,1)-No19(:,1) No19(:,2)-
No12(:,2) No18(:,1)-No12(:,1) No12(:,2)-No18(:,2)];
Be19=1/Dt19*[No13(:,2)-No19(:,2) 0 No19(:,2)-No12(:,2) 0 No12(:,2)-
No13(:,2) 0; 0 No19(:,1)-No13(:,1) 0 No12(:,1)-No19(:,1) 0 No13(:,1)-No12(:,1); No19(:,1)-No13(:,1) No13(:,2)-No19(:,2) No12(:,1)-No19(:,1) No19(:,2)-
No12(:,2) No13(:,1)-No12(:,1) No12(:,2)-No13(:,2)];
Be20=1/Dt20*[No19(:,2)-No20(:,2) 0 No20(:,2)-No13(:,2) 0 No13(:,2)-
No19(:,2) 0; 0 No20(:,1)-No19(:,1) 0 No13(:,1)-No20(:,1) 0 No19(:,1)-No13(:,1); No20(:,1)-No19(:,1) No19(:,2)-No20(:,2) No13(:,1)-No20(:,1) No20(:,2)-
No13(:,2) No19(:,1)-No13(:,1) No13(:,2)-No19(:,2)];
Be21=1/Dt21*[No14(:,2)-No20(:,2) 0 No20(:,2)-No13(:,2) 0 No13(:,2)-
No14(:,2) 0; 0 No20(:,1)-No14(:,1) 0 No13(:,1)-No20(:,1) 0 No14(:,1)-No13(:,1); No20(:,1)-No14(:,1) No14(:,2)-No20(:,2) No13(:,1)-No20(:,1) No20(:,2)-
No13(:,2) No14(:,1)-No13(:,1) No13(:,2)-No14(:,2)];
Be22=1/Dt22*[No20(:,2)-No21(:,2) 0 No21(:,2)-No14(:,2) 0 No14(:,2)-
No20(:,2) 0; 0 No21(:,1)-No20(:,1) 0 No14(:,1)-No21(:,1) 0 No20(:,1)-No14(:,1); No21(:,1)-No20(:,1) No20(:,2)-No21(:,2) No14(:,1)-No21(:,1) No21(:,2)-
No14(:,2) No20(:,1)-No14(:,1) No14(:,2)-No20(:,2)];
Be23=1/Dt23*[No15(:,2)-No21(:,2) 0 No21(:,2)-No14(:,2) 0 No14(:,2)-
No15(:,2) 0; 0 No21(:,1)-No15(:,1) 0 No14(:,1)-No21(:,1) 0 No15(:,1)-No14(:,1); No21(:,1)-No15(:,1) No15(:,2)-No21(:,2) No14(:,1)-No21(:,1) No21(:,2)-
No14(:,2) No15(:,1)-No14(:,1) No14(:,2)-No15(:,2)];
Be24=1/Dt24*[No16(:,2)-No21(:,2) 0 No21(:,2)-No15(:,2) 0 No15(:,2)-
No16(:,2) 0; 0 No21(:,1)-No16(:,1) 0 No15(:,1)-No21(:,1) 0 No16(:,1)-No15(:,1); No21(:,1)-No16(:,1) No16(:,2)-No21(:,2) No15(:,1)-No21(:,1) No21(:,2)-
No15(:,2) No16(:,1)-No15(:,1) No15(:,2)-No16(:,2)];
Bt=[Be1;Be2;Be3;Be4;Be5;Be6;Be7;Be8;Be9;Be10;Be11;Be12;Be13;Be14;Be15;Be16;
Be17;Be18;Be19;Be20;Be21;Be22;Be23;Be24];
%Importation des matrices de rigidité élémentaires Ke1=xlsread('assemblage13','Feuil1','A2:F7');Ke2=xlsread('assemblage13','Fe
uil1','A10:F15'); Ke3=xlsread('assemblage13','Feuil1','A18:F23');Ke4=xlsread('assemblage13','
Feuil1','A26:F31'); Ke5=xlsread('assemblage13','Feuil1','A34:F39');Ke6=xlsread('assemblage13','
Feuil1','A42:F47'); Ke7=xlsread('assemblage13','Feuil1','A50:F55');Ke8=xlsread('assemblage13','
Feuil1','A58:F63');
Ke9=xlsread('assemblage13','Feuil1','A66:F71');Ke10=xlsread('assemblage13',
'Feuil1','A74:F79'); Ke11=xlsread('assemblage13','Feuil1','A82:F87');Ke12=xlsread('assemblage13'
,'Feuil1','A90:F95'); Ke13=xlsread('assemblage13','Feuil1','A98:F103');Ke14=xlsread('assemblage13
','Feuil1','A106:F111'); Ke15=xlsread('assemblage13','Feuil1','A114:F119');Ke16=xlsread('assemblage1
3','Feuil1','A122:F127'); Ke17=xlsread('assemblage13','Feuil1','A130:F135');Ke18=xlsread('assemblage1
3','Feuil1','A138:F143'); Ke19=xlsread('assemblage13','Feuil1','A146:F151');Ke20=xlsread('assemblage1
3','Feuil1','A154:F159'); Ke21=xlsread('assemblage13','Feuil1','A162:F167');Ke22=xlsread('assemblage1
3','Feuil1','A170:F175'); Ke23=xlsread('assemblage13','Feuil1','A178:F183');Ke24=xlsread('assemblage1
3','Feuil1','A186:F191');
%Assemblage des matrices de rigidité Z1=zeros(42);
Z1(1:2,1:2)=Ke1(1:2,1:2);Z1(1:2,3:4)=Ke1(1:2,3:4);Z1(1:2,19:20)=Ke1(1:2,5:6
); Z1(3:4,1:2)=Ke1(3:4,1:2);Z1(3:4,3:4)=Ke1(3:4,3:4);Z1(3:4,19:20)=Ke1(3:4,5:6
); Z1(19:20,1:2)=Ke1(5:6,1:2);Z1(19:20,3:4)=Ke1(5:6,3:4);Z1(19:20,19:20)=Ke1(5
:6,5:6);
Z2=zeros(42);
Z2(3:4,3:4)=Ke2(1:2,1:2);Z2(3:4,19:20)=Ke2(1:2,3:4);Z2(3:4,21:22)=Ke2(1:2,5
:6); Z2(19:20,3:4)=Ke2(3:4,1:2);Z2(19:20,19:20)=Ke2(3:4,3:4);Z2(19:20,21:22)=Ke2
(3:4,5:6); Z2(21:22,3:4)=Ke2(5:6,1:2);Z2(21:22,19:20)=Ke2(5:6,3:4);Z2(21:22,21:22)=Ke2
(5:6,5:6);
Z3=zeros(42);
Z3(3:4,3:4)=Ke3(1:2,1:2);Z3(3:4,5:6)=Ke3(1:2,3:4);Z3(3:4,21:22)=Ke3(1:2,5:6
); Z3(5:6,3:4)=Ke3(3:4,1:2);Z3(5:6,5:6)=Ke3(3:4,3:4);Z3(5:6,21:22)=Ke3(3:4,5:6
); Z3(21:22,3:4)=Ke3(5:6,1:2);Z3(21:22,5:6)=Ke3(5:6,3:4);Z3(21:22,21:22)=Ke3(5
:6,5:6);
Z4=zeros(42);
Z4(5:6,5:6)=Ke4(1:2,1:2);Z4(5:6,21:22)=Ke4(1:2,3:4);Z4(5:6,23:24)=Ke4(1:2,5
:6); Z4(21:22,5:6)=Ke4(3:4,1:2);Z4(21:22,21:22)=Ke4(3:4,3:4);Z4(21:22,23:24)=Ke4
(3:4,5:6); Z4(23:24,5:6)=Ke4(5:6,1:2);Z4(23:24,21:22)=Ke4(5:6,3:4);Z4(23:24,23:24)=Ke4
(5:6,5:6);
Z5=zeros(42);
Z5(5:6,5:6)=Ke5(1:2,1:2);Z5(5:6,7:8)=Ke5(1:2,3:4);Z5(5:6,23:24)=Ke5(1:2,5:6
);
Z5(7:8,5:6)=Ke5(3:4,1:2);Z5(7:8,7:8)=Ke5(3:4,3:4);Z5(7:8,23:24)=Ke5(3:4,5:6
); Z5(23:24,5:6)=Ke5(5:6,1:2);Z5(23:24,7:8)=Ke5(5:6,3:4);Z5(23:24,23:24)=Ke5(5
:6,5:6);
Z6=zeros(42);
Z6(7:8,7:8)=Ke6(1:2,1:2);Z6(7:8,23:24)=Ke6(1:2,3:4);Z6(7:8,25:26)=Ke6(1:2,5
:6); Z6(23:24,7:8)=Ke6(3:4,1:2);Z6(23:24,23:24)=Ke6(3:4,3:4);Z6(23:24,25:26)=Ke6
(3:4,5:6); Z6(25:26,7:8)=Ke6(5:6,1:2);Z6(25:26,23:24)=Ke6(5:6,3:4);Z6(25:26,25:26)=Ke6
(5:6,5:6);
Z7=zeros(42);
Z7(7:8,7:8)=Ke7(1:2,1:2);Z7(7:8,9:10)=Ke7(1:2,3:4);Z7(7:8,25:26)=Ke7(1:2,5:
6); Z7(9:10,7:8)=Ke7(3:4,1:2);Z7(9:10,9:10)=Ke7(3:4,3:4);Z7(9:10,25:26)=Ke7(3:4
,5:6); Z7(25:26,7:8)=Ke7(5:6,1:2);Z7(25:26,9:10)=Ke7(5:6,3:4);Z7(25:26,25:26)=Ke7(
5:6,5:6);
Z8=zeros(42);
Z8(9:10,9:10)=Ke8(1:2,1:2);Z8(9:10,25:26)=Ke8(1:2,3:4);Z8(9:10,27:28)=Ke8(1
:2,5:6); Z8(25:26,9:10)=Ke8(3:4,1:2);Z8(25:26,25:26)=Ke8(3:4,3:4);Z8(25:26,27:28)=Ke
8(3:4,5:6); Z8(27:28,9:10)=Ke8(5:6,1:2);Z8(27:28,25:26)=Ke8(5:6,3:4);Z8(27:28,27:28)=Ke
8(5:6,5:6);
Z9=zeros(42);
Z9(9:10,9:10)=Ke9(1:2,1:2);Z9(9:10,11:12)=Ke9(1:2,3:4);Z9(9:10,27:28)=Ke9(1
:2,5:6); Z9(11:12,9:10)=Ke9(3:4,1:2);Z9(11:12,11:12)=Ke9(3:4,3:4);Z9(11:12,27:28)=Ke
9(3:4,5:6); Z9(27:28,9:10)=Ke9(5:6,1:2);Z9(27:28,11:12)=Ke9(5:6,3:4);Z9(27:28,27:28)=Ke
9(5:6,5:6);
Z10=zeros(42);
Z10(11:12,11:12)=Ke10(1:2,1:2);Z10(11:12,27:28)=Ke10(1:2,3:4);Z10(11:12,29:
30)=Ke10(1:2,5:6); Z10(27:28,11:12)=Ke10(3:4,1:2);Z10(27:28,27:28)=Ke10(3:4,3:4);Z10(27:28,29:
30)=Ke10(3:4,5:6); Z10(29:30,11:12)=Ke10(5:6,1:2);Z10(29:30,27:28)=Ke10(5:6,3:4);Z10(29:30,29:
30)=Ke10(5:6,5:6);
Z11=zeros(42);
Z11(11:12,11:12)=Ke11(1:2,1:2);Z11(11:12,13:14)=Ke11(1:2,3:4);Z11(11:12,29:
30)=Ke11(1:2,5:6);
Z11(13:14,11:12)=Ke11(3:4,1:2);Z11(13:14,13:14)=Ke11(3:4,3:4);Z11(13:14,29:
30)=Ke11(3:4,5:6); Z11(29:30,11:12)=Ke11(5:6,1:2);Z11(29:30,13:14)=Ke11(5:6,3:4);Z11(29:30,29:
30)=Ke11(5:6,5:6);
Z12=zeros(42);
Z12(13:14,13:14)=Ke12(1:2,1:2);Z12(13:14,29:30)=Ke12(1:2,3:4);Z12(13:14,31:
32)=Ke12(1:2,5:6); Z12(29:30,13:14)=Ke12(3:4,1:2);Z12(29:30,29:30)=Ke12(3:4,3:4);Z12(29:30,31:
32)=Ke12(3:4,5:6); Z12(31:32,13:14)=Ke12(5:6,1:2);Z12(31:32,29:30)=Ke12(5:6,3:4);Z12(31:32,31:
32)=Ke12(5:6,5:6);
Z13=zeros(42);
Z13(13:14,13:14)=Ke13(1:2,1:2);Z13(13:14,15:16)=Ke13(1:2,3:4);Z13(13:14,31:
32)=Ke13(1:2,5:6); Z13(15:16,13:14)=Ke13(3:4,1:2);Z13(15:16,15:16)=Ke13(3:4,3:4);Z13(15:16,31:
32)=Ke13(3:4,5:6); Z13(31:32,13:14)=Ke13(5:6,1:2);Z13(31:32,15:16)=Ke13(5:6,3:4);Z13(31:32,31:
32)=Ke13(5:6,5:6);
Z14=zeros(42);
Z14(15:16,15:16)=Ke14(1:2,1:2);Z14(15:16,17:18)=Ke14(1:2,3:4);Z14(15:16,31:
32)=Ke14(1:2,5:6); Z14(17:18,17:18)=Ke14(3:4,1:2);Z14(17:18,15:16)=Ke14(3:4,3:4);Z14(17:18,31:
32)=Ke14(3:4,5:6); Z14(31:32,15:16)=Ke14(5:6,1:2);Z14(31:32,17:18)=Ke14(5:6,3:4);Z14(31:32,31:
32)=Ke14(5:6,5:6);
Z15=zeros(42);
Z15(19:20,19:20)=Ke15(1:2,1:2);Z15(19:20,21:22)=Ke15(1:2,3:4);Z15(19:20,33:
34)=Ke15(1:2,5:6); Z15(21:22,19:20)=Ke15(3:4,1:2);Z15(21:22,21:22)=Ke15(3:4,3:4);Z15(21:22,33:
34)=Ke15(3:4,5:6); Z15(33:34,19:20)=Ke15(5:6,1:2);Z15(33:34,21:22)=Ke15(5:6,3:4);Z15(33:34,33:
34)=Ke15(5:6,5:6);
Z16=zeros(42);
Z16(21:22,21:22)=Ke16(1:2,1:2);Z16(21:22,33:34)=Ke16(1:2,3:4);Z16(21:22,35:
36)=Ke16(1:2,5:6); Z16(33:34,21:22)=Ke16(3:4,1:2);Z16(33:34,33:34)=Ke16(3:4,3:4);Z16(33:34,35:
36)=Ke16(3:4,5:6); Z16(35:36,21:22)=Ke16(5:6,1:2);Z16(35:36,33:34)=Ke16(5:6,3:4);Z16(35:36,35:
36)=Ke16(5:6,5:6);
Z17=zeros(42);
Z17(21:22,21:22)=Ke17(1:2,1:2);Z17(21:22,23:24)=Ke17(1:2,3:4);Z17(21:22,35:
36)=Ke17(1:2,5:6); Z17(23:24,21:22)=Ke17(3:4,1:2);Z17(23:24,23:24)=Ke17(3:4,3:4);Z17(23:24,35:
36)=Ke17(3:4,5:6); Z17(35:36,21:22)=Ke17(5:6,1:2);Z17(35:36,23:24)=Ke17(5:6,3:4);Z17(35:36,35:
36)=Ke17(5:6,5:6);
Z18=zeros(42);
Z18(23:24,23:24)=Ke18(1:2,1:2);Z18(23:24,35:36)=Ke18(1:2,3:4);Z18(23:24,37:
38)=Ke18(1:2,5:6); Z18(35:36,23:24)=Ke18(3:4,1:2);Z18(35:36,35:36)=Ke18(3:4,3:4);Z18(35:36,37:
38)=Ke18(3:4,5:6); Z18(37:38,23:24)=Ke18(5:6,1:2);Z18(37:38,35:36)=Ke18(5:6,3:4);Z18(37:38,37:
38)=Ke18(5:6,5:6);
Z19=zeros(42);
Z19(23:24,23:24)=Ke19(1:2,1:2);Z19(23:24,25:26)=Ke19(1:2,3:4);Z19(23:24,37:
38)=Ke19(1:2,5:6); Z19(25:26,23:24)=Ke19(3:4,1:2);Z19(25:26,25:26)=Ke19(3:4,3:4);Z19(25:26,37:
38)=Ke19(3:4,5:6); Z19(37:38,23:24)=Ke19(5:6,1:2);Z19(37:38,25:26)=Ke19(5:6,3:4);Z19(37:38,37:
38)=Ke19(5:6,5:6);
Z20=zeros(42);
Z20(25:26,25:26)=Ke20(1:2,1:2);Z20(25:26,37:38)=Ke20(1:2,3:4);Z20(25:26,39:
40)=Ke20(1:2,5:6); Z20(37:38,25:26)=Ke20(3:4,1:2);Z20(37:38,37:38)=Ke20(3:4,3:4);Z20(37:38,39:
40)=Ke20(3:4,5:6); Z20(39:40,25:26)=Ke20(5:6,1:2);Z20(39:40,37:38)=Ke20(5:6,3:4);Z20(39:40,39:
40)=Ke20(5:6,5:6);
Z21=zeros(42);
Z21(25:26,25:26)=Ke21(1:2,1:2);Z21(25:26,27:28)=Ke21(1:2,3:4);Z21(25:26,39:
40)=Ke21(1:2,5:6); Z21(27:28,25:26)=Ke21(3:4,1:2);Z21(27:28,27:28)=Ke21(3:4,3:4);Z21(27:28,39:
40)=Ke21(3:4,5:6); Z21(39:40,25:26)=Ke21(5:6,1:2);Z21(39:40,27:28)=Ke21(5:6,3:4);Z21(39:40,39:
40)=Ke21(5:6,5:6);
Z22=zeros(42);
Z22(27:28,27:28)=Ke22(1:2,1:2);Z22(27:28,39:40)=Ke22(1:2,3:4);Z22(27:28,41:
42)=Ke22(1:2,5:6); Z22(39:40,27:28)=Ke22(3:4,1:2);Z22(39:40,39:40)=Ke22(3:4,3:4);Z22(39:40,41:
42)=Ke22(3:4,5:6); Z22(41:42,27:28)=Ke22(5:6,1:2);Z22(41:42,39:40)=Ke22(5:6,3:4);Z22(41:42,41:
42)=Ke22(5:6,5:6);
Z23=zeros(42);
Z23(27:28,27:28)=Ke23(1:2,1:2);Z23(27:28,29:30)=Ke23(1:2,3:4);Z23(27:28,41:
42)=Ke23(1:2,5:6); Z23(29:30,27:28)=Ke23(3:4,1:2);Z23(29:30,29:30)=Ke23(3:4,3:4);Z23(29:30,41:
42)=Ke23(3:4,5:6); Z23(41:42,27:28)=Ke23(5:6,1:2);Z23(41:42,29:30)=Ke23(5:6,3:4);Z23(41:42,41:
42)=Ke23(5:6,5:6);
Z24=zeros(42);
Z24(29:30,29:30)=Ke24(1:2,1:2);Z24(29:30,31:32)=Ke24(1:2,3:4);Z24(29:30,41:
42)=Ke24(1:2,5:6); Z24(31:32,29:30)=Ke24(3:4,1:2);Z24(31:32,31:32)=Ke24(3:4,3:4);Z24(31:32,41:
42)=Ke24(3:4,5:6); Z24(41:42,29:30)=Ke24(5:6,1:2);Z24(41:42,31:32)=Ke24(5:6,3:4);Z24(41:42,41:
42)=Ke24(5:6,5:6);
K1=Z1;K2=Z2;K3=Z3;K4=Z4;K5=Z5;K6=Z6;K7=Z7;K8=Z8;K9=Z9;K10=Z10;K11=Z11; K12=Z12;K13=Z13;K14=Z14;K15=Z15;K16=Z16;K17=Z17;K18=Z18;K19=Z19;K20=Z20; K21=Z21;K22=Z22;K23=Z23;K24=Z24; K=K1+K2+K3+K4+K5+K6+K7+K8+K9+K10+K11+K12+K13+K14+K15+K16+K17+K18+K19+K20+K2
1+K22+K23+K24;
%Les forces agissant à chaque nœud fx1=0.249;fx2=0;fx3=0;fx4=0;fx5=0;fx6=0;fx7=0;fx8=0;fx9=0;fx10=0.299;fx11=0
; ;fx12=0;fx13=0;fx14=0; fx15=0;fx16=0;fx17=0.06;fx18=0;fx19=0;fx20=0;fx21=0;fy1=0.424;fy2=0.27; fy3=0.24;fy4=0.225;fy5=0.225; fy6=0.225;fy7=0.225;fy8=0.165;fy9=0.09;fy10=0.671;fy11=0.495;fy12=0.45; fy13=0.45;fy14=0.45;fy15=0.405; fy16=0.36;fy17=0.232;fy18=0.15;fy19=0.15;fy20=0.15;fy21=0.165; F=[fx10;-fy10;fx11;-fy11;fx12;-fy12;fx13;-fy13;fx14;-fy14;fx15;-fy15;fx16; -fy16;fx17;-fy17;fx18;-fy18;fx19;-fy19;fx20;-fy20;fx21;-fy21];
%Calcul des déplacements des nœuds U=K(19:42,19:42)\F; u1=0;u2=0;u3=0;u4=0;u5=0;u6=0;u7=0;u8=0;u9=0;v1=0;v2=0;v3=0;v4=0;v5=0;v6=0; v7=0;v8=0;v9=0;u10=U(1,1);v10=U(2,1);u11=U(3,1);v11=U(4,1);u12=U(5,1); v12=U(6,1);u13=U(7,1);v13=U(8,1);u14=U(9,1);v14=U(10,1);u15=U(11,1);v15=U(1
2,1); u16=U(13,1);v16=U(14,1);u17=U(15,1);v17=U(16,1);u18=U(17,1);v18=U(18,1); u19=U(19,1);v19=U(20,1);u20=U(21,1);v20=U(22,1);u21=U(23,1);v21=U(24,1); Ue1=[u1;v1;u2;v2;u10;v10];Ue2=[u2;v2;u10;v10;u11;v11];Ue3=[u2;v2;u3;v3;u11;
v11]; Ue4=[u3;v3;u11;v11;u12;v12];Ue5=[u3;v3;u4;v4;u12;v12];Ue6=[u4;v4;u12;v12;u1
3;v13]; Ue7=[u4;v4;u5;v5;u13;v13];Ue8=[u5;v5;u13;v13;u14;v14];Ue9=[u5;v5;u6;v6;u14;
v14]; Ue10=[u6;v6;u14;v14;u15;v15];Ue11=[u6;v6;u7;v7;u15;v15];Ue12=[u7;v7;u15;v15
;u16;v16]; Ue13=[u7;v7;u8;v8;u16;v16];Ue14=[u8;v8;u9;v9;u16;v16];Ue15=[u10;v10;u11;v11
;u17;v17]; Ue16=[u11;v11;u17;v17;u18;v18];Ue17=[u11;v11;u12;v12;u18;v18]; Ue18=[u12;v12;u18;v18;u19;v19];Ue19=[u12;v12;u13;v13;u19;v19];Ue20=[u13;v13
;u19;v19;u20;v20]; Ue21=[u13;v13;u14;v14;u20;v20];Ue22=[u14;v14;u20;v20;u21;v21];
Ue23=[u14;v14;u15;v15;u21;v21];Ue24=[u15;v15;u16;v16;u21;v21];
%Calcul des réactions sur les nœuds 1;2;3;4;5;6;7;8;9 F1=[fx1;-fy1;fx2;-fy2;fx3;-fy3;fx4;-fy4;fx5;-fy5;fx6;-fy6;fx7;-fy7;fx8;-
fy8;fx9;-fy9]; Rx=zeros(9,1); Ry=zeros(9,1); for i=1:2:17 Rx(i,1)=K(i,19:42)*U-F1(i,1); end
for i=2:2:18 Ry(i,1)=K(i,19:42)*U-F1(i,1); end
%Calcul des contraintes
Ut=[Ue1;Ue2;Ue3;Ue4;Ue5;Ue6;Ue7;Ue8;Ue9;Ue10;Ue11;Ue12;... Ue13;Ue14;Ue15;Ue16;Ue17;Ue18;Ue19;Ue20;Ue21;Ue22;Ue23;Ue24]; sigma=zeros(3,24);
for i=1:3:72
sigma(1:3,(i+2)/3)=D*Bt(i:i+2,:)*Ut((2*i-1):(i+2)*2,:);
end
%Exportation des résultats
xlswrite('N.xls',U,1,'A1'); i=1 xlswrite('N.xls',Rx,1,'C1'); j=1 xlswrite('N.xls',Ry,1,'D1'); k=1 xlswrite('N.xls',sigma,2,'B4');
Table des matières
Remerciements .......................................................................................................... i
Sommaire ............................................................................................................. ii
Liste des figures ....................................................................................................... iii
Liste des tableaux .................................................................................................... iv
Nomenclature ............................................................................................................v
Introduction générale ................................................................................................1
Chapitre I. Généralités sur les digues ....................................................................3
I.1. Les différents types de digue en terre .............................................................3
I.1.1. Distinction selon sa forme : ......................................................................3
I.1.2. Distinction selon son rôle : .......................................................................3
I.2. Les matériaux constitutifs des digues (2) ........................................................4
I.2.1. Les matériaux utilisés et leurs caractéristiques : .......................................6
I.2.2. Identification et description qualitative des matériaux (3) .........................6
I.2.3. L’essai CBR : ..........................................................................................8
Chapitre II. Calcul de stabilité de la digue ............................................................ 11
II.1. Types de rupture d’une digue ................................................................... 11
II.2. Calcul de stabilité des talus (4) (5) (6) (7) (8) (9) ...................................... 11
II.2.1. Principe d’équilibre limite : .................................................................. 19
II.2.2. Les différentes formes de surfaces de glissement : ................................ 22
II.2.3. Localisation de la surface de glissement :.............................................. 22
II.2.4. Equation d’équilibre des moments : ...................................................... 24
II.2.5. Méthode ordinaire des tranches (Méthode de Fellenius) : ...................... 27
II.2.6. Méthode Bishop Simplifiée (1955): ...................................................... 30
II.2.7. Méthodes de forces d’équilibre incluant la méthode suédoise modifiée : ..
............................................................................................................. 33
II.2.8. Applications des méthodes à notre problème :....................................... 36
II.3. Calcul de stabilité de digue par la méthode des éléments finis .................. 44
II.3.1. Généralités sur la méthode des éléments finis (10) ................................ 45
II.3.2. Procédé de calcul (12)........................................................................... 48
II.3.1. Organigramme de calcul par la méthode des éléments finis ................... 67
Conclusion générale ................................................................................................ 69
Bibliographie
Annexes
Table des matières
Auteur : RATSIMAROFY Langoniaina
Tél : 034 02 548 49
E-mail : rdandry@gmail.com
Adresse : Porte 39 CU Ankatso I
Titre : ETUDES PRELIMINAIRES SUR LE CALCUL DE STABILITE DES DIGUES EN
TERRE
Encadreur : Monsieur RAMBININTSOA Tahina Michel
Nombre de pages:70 Nombre de figures : 23 Nombre de tableaux : 11
Résumé
Les méthodes de calcul actuellement utilisées en géotechnique se basent sur les lois
de comportement du sol où des valeurs fixes sont attribuées aux paramètres figurant dans les
équations du modèle mathématique adopté. Les facteurs de sécurités ainsi calculés sont
comparés à des différentes sources, il est évident qu’ils ne peuvent jamais être évalués de
manière entièrement déterministe. Le sujet principal abordé dans ce mémoire concerne
l’évaluation de la fiabilité d’une pente en tenant compte de la contribution des nombreuses
surfaces de ruptures potentielles ainsi que l’utilisation de la méthode des éléments finis dans
le calcul de stabilité élastique d’une digue.
Mots clés : Eléments finis, équilibre limite, facteur de sécurité, contrainte de
cisaillement, stabilité élastique, stabilité des talus.
Abstract
The calculation methods currently used in geotechnical engineering are based on the
laws of conduct soil or fixed values assigned to the parameters set in the equations of the
mathematical model adopted. It is obvious that they can never be evaluated on an entirely
deterministic. The main topic discussed in this memory concerns the evaluation of the
reliability of a slope, taking into account the contribution of many areas of potential
disruptions, as well as the use of finite element in the calculation of elastic stability of a dike.
Key words: Finite element, limit equilibrium, factor of safety, shear stress, elastic
stability, slope stability.