ENSEIGNEMENT DES FONCTIONS

AU COLLÈGE ET AU LYCÉE

FONCTION

Première idée de dépendance : variable

Relation entre grandeurs dont les variations

sont liées par une loi

Approche ensembliste : correspondance terme

à terme des éléments de deux ensembles

L’analyse épistémologique nous a conduit à

poser que c’est l’idée de dépendance qui fonde

les concepts de fonction et de variable.

Rappelons seulement que chez Leibniz (1646-

1716), le mot « fonction » désigne une relation

entre grandeurs dont les variations sont liées par

une loi. L’approche ensembliste de la notion de

fonction par une mise en correspondance terme

à terme des éléments des deux ensembles

modélisés par un graphe, évacue cette idée de

contrainte entre deux grandeurs. (Comin, 2005,

p. 38)

PROGRAMME DE SIXIÈME

Proportionnalité en lien avec les grandeurs

Organisation et représentation de données

Lecture de graphiques

Passage d’un type de représentation à un autre

PROGRAMME DE CINQUIÈME

Proportionnalité

« des variations d’une grandeur en fonction d’une autre grandeur mais toute définition de la notion de fonction est exclue. »

Activités graphiques

Représentation et traitement de données

PROGRAMME DE QUATRIÈME

Utilisation de la proportionnalité « Des situations issues de la vie courante ou des autres disciplines permettent

de mettre en oeuvre un coefficient de proportionnalité exprimé sous forme de pourcentage. »

Proportionnalité

Traitement des données

« …usage du tableur ou de la calculatrice »

Calculer des distances parcourues, des vitesses moyennes et des durées de parcours en utilisant l’égalité d = vt.

PROGRAMME DE TROISIÈME

Notion de fonction Image, antécédent, notations. « Toute définition générale de la notion de fonction et d’ensemble de définition sont hors programme ». « Déterminer l’image d’un nombre par une fonction déterminée par une courbe, un tableau de données ou une formule » « Déterminer un antécédent par lecture directe dans un tableau ou sur une représentation graphique. »

Extrait d’un manuel de troisième

Un autre manuel de troisième

Des exercices posés en troisième

Soit la fonction f définie par : f : x (x – 3)2

1. Calculer les images de 2 et de 5 par f.

2. a) Que représente f (-1) pour le nombre -1 ?

b) Calculer f (-1).

PROGRAMME DE SECONDE

Le programme de la classe est divisé en trois

parties :

Fonctions

Géométrie

Statistiques et probabilités

PROGRAMMES SECONDE 2009

L’objectif est de rendre les élèves capables d’étudier : un problème se ramenant à une équation du type f(x) = k

et de le résoudre dans le cas où la fonction est donnée (définie par une courbe, un tableau de données, une formule) et aussi lorsque toute autonomie est laissée pour associer au problème divers aspects d’une fonction ;

un problème d’optimisation ou un problème du type f (x) > k et de le résoudre, selon les cas, en exploitant les potentialités de logiciels, graphiquement ou algébriquement, toute autonomie pouvant être laissée pour associer au problème une fonction.

PROGRAMMES 2000 ET 2009

Pour une fonction définie par une courbe, un tableau

de données ou une formule :

identifier la variable et, éventuellement son

ensemble de définition ;

déterminer l’image d’un nombre ;

rechercher des antécédents d’un nombre.

EVOLUTION DES PROGRAMMES

Appauvrissement du travail algébrique au Collège.

Entrée dans l’analyse repoussée en 1ère et même en Terminale.

Nouvelle place pour les fonctions en classe de 2nde .

Nouvelles tâches .

Usage accru de la calculatrice graphique et des TICE.

UN NOUVEAU CONTEXTE

L’importance accrue de la statistique, l’usage des calculatrices graphiques et la nécessité d’ouvrir les mathématiques sur les autres disciplines et le monde extérieur sont autant de facteurs qui doivent nous conduire à nous interroger sur la nécessité de faire travailler les élèves sur les différents modes de représentation des fonctions, y compris pour les élèves qui ne poursuivront pas des études scientifiques.

CONCLUSIONS

Introduction des fonctions plus intuitive, moins

formelle.

Ouverture sur les autres disciplines et le

monde extérieur.

Usage des nouveaux outils TICE.

Affirmation de la prise en compte des

différents modes de représentation.

DIFFÉRENTS MODES DE REPRÉSENTATIONS D’UNE FONCTION

Fonction plus seulement représentée par une

formule algébrique

Graphique

Tableau de valeurs

Tableau de variations

MAIS …

Liens entre ces représentations ?

Spécificité, partialité de chacune ?

Comment accéder à l’objet fonction au delà de

ses représentations ?

REGISTRES DE REPRÉSENTATION SÉMIOTIQUE

(DUVAL)

[…] les représentations sémiotiques

[sont] des productions constituées

par l’emploi de signes appartenant à

un système de représentation qui a

ses contraintes propres de

signifiance et de fonctionnement.

REGISTRES

Une fonction peut se représenter dans

différents registres :

Algébrique (formule)

Graphique (courbe représentative)

Tableau (de valeurs ou de variation)

Langage commun

ACTIVITÉS DE TRAITEMENT

Dans chaque registre, on peut résoudre

certains problèmes plus ou moins facilement

mais on reste dans le registre.

ACTIVITÉS DE CONVERSION

On résout un problème en changeant de

registre de représentation (explicitement

demandé ou pas).

Par exemple, tracer la courbe représentative

d’une fonction à partir de l’expression

algébrique de cette fonction.

PAR RAPPORT AU CADRE DE DUVAL

Pour que courbes et tableaux de valeurs jouent

effectivement le rôle de représentations

sémiotiques de l’objet fonction de façon

adéquate, il est nécessaire que leur place dans

leur registre respectif soit mieux identifiée, par

rapport à la spécificité qu’ils ont quand ils

représentent des fonctions.

QUESTIONS POUR LE PROFESSEUR DE

SECONDE

Les modes de représentation utilisés sont-ils questionnés (mode de codages, conventions, etc…) ou sont-ils considérés comme transparents et laissés à la charge de l’élève ?

La nature des représentations est-elle soulevée (unicité, exhaustivité, …) ?

Des tâches permettant de faire le lien entre les différents modes de représentation sont-elles proposées ? Quels en sont les enjeux ?

SUR LES TABLEAUX/COURBES

Initier une réflexion des élèves sur les rapports (dans les deux sens) entre courbes et tableaux de valeurs et de variations

Aider à dépasser l’idée de la représentation point par point et faire entrevoir la spécificité d’une relation numérique prenant en compte une variation continue de la variable ?

Apports et limites d’un tel travail pour l’apprentissage de la notion de fonction numérique ?

COURBE

Objet déjà rencontré par les élèves de 2nde

Dans d’autres disciplines

En mathématiques

Codage particulier : travail sur la construction et la lecture de courbes

MAIS

Pas forcément liée aux fonctions

Courbes particulières en 3ème (droites)

TABLEAU DE DONNÉES

Représentation partielle de la correspondance

entre la variable et son image

Choix arbitraire des valeurs

Correspondance non univoque avec la fonction

TABLEAU DE VALEURS (DONNÉES) (2)

Objet déjà rencontré par les élèves de 2nde

Dans d’autres disciplines

En mathématiques : tableau de proportionnalité

Pas de codage particulier

Techniques de remplissage particulières ?

MAIS

Pas forcément lié aux fonctions

Tableaux particuliers en 3ème (fonctions linéaires et affines)

Usage des calculatrices

TABLEAU DE VARIATIONS

Condense par un codage adapté toutes les informations sur les variations d’une fonction

La construction nécessite des connaissances mathématiques spécifiques

À une fonction correspond un seul tableau de variations

Mais à un tableau de variations correspondent plusieurs fonctions

TABLEAU DE VARIATIONS (2)

Objet nouveau pour les élèves de 2nde

Codage particulier

Depuis 2000 tâches moins classiques en classe de 2nde : construire un Tableau de variations à partir d’une courbe

MAIS

Peu d’enseignement explicite de sa construction et du codage

Objet transparent laissé à la charge de l’élève

EXERCICE MAJORITAIREMENT REJETÉ

Soit une fonction g définie sur l’intervalle [-2 ; 14] dont on connaît les valeurs suivantes :

Quelle est, à votre avis le plus petite valeur prise par g sur l’intervalle [-2, 14] ?

x -2 3 8 14

g(x) -7 41 7 34

EXERCICE ATYPIQUE :

IL MANQUE LA COURBE !

Soit f une fonction définie sur un intervalle [-2, 2] dont on

connaît les valeurs suivantes.

1-Donner un tableau de variations possible pour f.

2- Est ce qu’on pourrait en donner un autre ? Si oui lequel ? Si

non expliquer.

x -2 -1 0 1 2

f(x) -5 -3 -1 1 3

TEST ÉLÈVE

83% des élèves arrivent facilement, à partir d’un

tableau de valeurs, à tracer une courbe mais 55% ont

des difficultés pour donner un tableau de variations

11% des élèves arrivent à donner une autre courbe

(et encore sans changer les variations) et 3%, un

autre tableau de variations, correspondant à un

même tableau de valeurs

LA COURBE CI-DESSOUS REPRÉSENTE UNE FONCTION F DE [-4 ;

4] DANS IR. VOUS DEVEZ DONNER, SUR UN SEUL

TRANSPARENT, DES INFORMATIONS (TOUT SAUF UNE

COURBE), DE SORTE QUE VOS CAMARADES TRACENT UNE

COURBE QUI RESSEMBLE LE PLUS POSSIBLE À CELLE-CI.