Post on 19-Mar-2020
Engineering Mechanics : Statics
평형
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평형조건(Equilibrium Conditions) ◦ 평형을 이루기 위한 필요충분조건
◦ 2차원 힘계
◦ 3차원 힘계
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않는다이동하지 : 0 F R 않는다회전하지 : 0 M M
역학체계 ◦ 다른 많은 물체로부터 개념적으로 분리될 수 있는 하나의 물체, 또는 물체의 그룹
◦ 다른 모든 환경에서 분리된 단일 물체로 취급
자유물체도(FBD, Free Body Diagram) ◦ 분리된 시스템을 단일물체로 고려하여 도식적으로 나타낸 도표
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분리된 물체를 둘러싸고 있는 제거되어질 나머지 물체와의 역학적 접촉에 의해 작용하는 모든 힘을 표현하여야 한다.
비접촉 물체력(body force)을 무시할 수 없다면 이러한 힘들도 자유물체도에 포함시켜야 한다.
힘의 특성을 인식하여 빠짐없이 정확하게 표현한다 ◦ 접촉력, 비접촉력 ◦ 외력, 내력 ◦ 작용, 반작용력 ◦ 힘의 전달원리 이용 (미끄럼벡터)
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C
D
P W
물체의 외형 표시 좌표계 표시 외력과 자중 표시 반력 표시
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C
D
X
Y
P
15o
[자유물체도 완성]
2차원에서 작용하는 힘의 모델링
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유연한 케이블에 의해 가해지는 힘은 항상 케이블 방향으로 물체의 외부를 향한 인장력으로 작용한다.
매끈한 면에서의 접촉력은 접촉면에 수직한 압축력으로 작용한다.
거친면은 접촉력 R의 수직성분 R뿐만 아니라 접선방향의 성분(마찰력) F를 지지할 수 있다.
작용하는 힘의 모델링
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롤러, 라커, 볼 형태의 지지는 지지면에 수직한 압축력을 전달한다.
칼러, 매끈한 가이드를 따라 자유롭게 이동하는 슬라이더는 가이드에 수직한 힘만 지지할 수 있다.
작용하는 힘의 모델링
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자유롭게 돌아갈 수 있는 핀 연결은 축에 수직한 평면에 있는 임의의 방향의 힘을 지지할 수 있으며, 통상적으로 두 성분 Rx, Ry로 나타낸다. 자유롭지 않는 핀 연결은 우력 M도 지지할 수 있다.
붙박이, 고정 지지는 축방향 힘 F, 전단력 V, 우력 M을 지지할 수 있다.
작용하는 힘의 모델링
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질량 m을 갖는 물체의 모든 요소에 대한 중력의 합은 중량 W=mg이며, 물체의 무게중심 G에서 지구의 중심을 향하여 작용한다.
스프링에 의한 힘은 압축력과 인장력이 될 수 있다. 선형 탄성스프링에서의 탄성계수 k는 스프링을 단위길이만큼 변형시키는데 필요한 힘이다.
지점 종류와 반력
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자유물체도의 작성 ◦ 단계1 분리하고자 하는 물체 또는 물체의 결합체를 결정한다. 선택한 물체는
보통 하나 또는 그 이상의 미지수를 갖는다
◦ 단계2 분리하고자 하는 물체에 대하여 외부경계를 완벽하게 표현할 수 있는
도표를 작성한다
◦ 단계3 분리된 계에 대하여 접촉하거나 끌어당기는 물체를 제거함으로써 작용
하는 모든 힘을 도표 상의 적절한 위치에 표시한다.
미지의 힘은 임의의 크기와 방향을 가지는 힘벡터로 표시한다.
미지의 힘은 일관성 있게 표시한다.
◦ 단계4 선정된 좌표축은 도표 위에 직접 표시한다.
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지지대로부터 전체 트러스를 분리하여 단일 강체로 취급
단면 A의 오른 쪽 일부분을 분리
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T
N F
mg
Ax
Ay
Bx
By L
평형 ◦ 물체에 작용하는 모든 힘의 합력이 0
물체에 작용하는 모든 힘과 모멘트가 균형(blalance)을 이루는 상태
◦ 평형조건(방정식)
◦ 각 평형조건은 서로 독립적
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000 M F F oyx
a F 00 , MFy 00 , yx FF
평형의 종류
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힘 방향 평형조건식만 필요
모멘트가 발생하지 않으므로 두 개의 평형조건식 필요
힘방향 평형조건식과 작용면에 수직인 모멘트식 필요
평면에 작용하는 힘에 대한 두 개의 평형조건식과 그 면에 수직인 모멘트식 필요
작용선 일치
한 점에 집중
평행
일반형태
두힘 부재 ◦ 동일한 작용선 상에서 동일한 크기의 힘이 반대방향으로 작용하면 평형이다.
◦ 부재의 형상은 평형조건에 영향을 주지 않는다
세힘 부재 ◦ 세 힘의 작용선이 동일점에 모여야 한다
◦ 힘의 다각형이 폐합인 경우에는 합력이 0이다.
◦ 예외 : 세 힘이 평행할 경우
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F1+F2
0 M 0, F o
0 M 0, F o
F3
다른 형태의 평형식
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000 BAx MMF
000 CBA MMM
구속(constraint)과 정적 정정 ◦ 물체의 가능한 운동에 대한 제한
정적 부정정(statically indeterminate)
◦ 과잉구속(redundant constraints)
◦ 강체가 평형위치를 유지하는 데 필요한 것보다 더 많은 외부지지 또는 구속이 있을 때
◦ 강체의 해석만으로는 모든 해를 구할 수 없고, 부재의 강성에 의한 변형을 고려하여 해를 구한다.
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Bx 0
0
0
A
yyyy
xxxx
M
BAPF
BAPF
정적 정정(statically determinate) ◦ 적절한 구속(adequate constraints)
◦ 평형상태를 유지하기 위하여 필요한 최소의 구속에 의해 지지되는 물체
◦ 평형방정식은 미지의 외력을 결정하는 데 충분한 정보를 제공
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0
0
0
o
y
xxx
M
F
APF
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기지와 미지의 항을 명확히 확인
분리하려는 물체를 명확히 선택한 후, 자유물체도를 정확히 작성
오른손 좌표계를 사용하여 기준좌표계를 설정
계산을 간단히 할 수 있는 관점에서 모멘트 중심을 선택
평형조건을 지배하는 적용 가능한 힘 및 모멘트 원리 또는 방정식을 기술하고 확인
각 문제에서 독립된 방정식의 수와 미지수의 수를 일치
해를 구한 후 검토
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A
B
m
l1
l2
그림과 같은 부재가 A점에서 힌지로 고정되어 매끈한 면의 B점에 지지되어 있을 때, 부재의 A점과 B점에 가해지는 힘을 구하시오.
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A
B
m
l1
l2
W=mg
l1 l2
0211 lWBlM yA
Ay
Ax
By
0 xx AF
0 yyy BWAF
1) 문제 분석 • 해결하고자 하는 것을 파악한다 x
y
2) 자유물체도 • 관심 대상 물체를 따로 떼어낸다 • 알고 있는 조건을 모두 표시한다 • 연결부위 및 접촉 부위의 반력을 표시한다
3) 평형 방정식 적용
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A
B
m
l1
l2
W=mg
l1 l2
0211 lWBlM yA
02 121 yxB AlAllWM
Ay
Ax
By
Tip. 모멘트 중심점 선정 -많은 힘이 교차하는 점으로 선정하면 미지수를 줄일 수 있다.
세 가지 다른 힘이 작용하고 있는 교량트러스 접합부에 작용하는 C와 T를 구하여라 ◦ 좌표축의 선택
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40sinT
20cosC
40cosT
20sinC
20
40
C
T
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50
40
50 20
70
40
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질량 500kg인 도르래를 지지하는 케이블에서 장력T를 구하여라. 도르래는 각 베어링에 대해 자유롭게 회전할 수 있으며, 각 부분의 무게는 부하의 하중에 비해 작다. 또한 도르래 C의 베어링에 작용하는 전체 힘의 크기를 구하여라.
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2/)81.9(500
0
0)81.9(500
21
12
21
TT
rTrTM
TTF
o
y
= 500(9.81)/2
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4/)81.9(5002/
0
0
243
34
243
TTT
rTrTM
TTTF
o
y
500(9.81)/4 =
= 500(9.81)/2
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[N] 1226
4/)81.9(5002/
0
23
30
T
TTT
rTrTM c
T3=500(9.81)/4
= 500(9.81)/2
[N] 613
613}4/)81.9(500{
0
[N] 1062
0
61330sin4
)81.9(50030sin
106230cos4
)81.9(50030cos
3
3
y
yy
yyRy
xx
xxRx
y
x
F
TTF
TFTF
TF
FTF
TT
TT
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1) 자유물체도(FBD)
길이당 95kg 무게중심에 작용하는 전체 무게
W = 95kg/m x 5m x 9.81m/s2
= 4.66 kg·m/s2 = 4.66 kN
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Tx
Ty
2) 평형 방정식 적용
xx
xxx
TA
TAF
0
yy
yyy
TA
TAF
66.14
01066.4
0)38.3(10)38.2(66.4)88.4()25.0( yxA TTM
----------------(1)
-----------(2)
-(3)
[kN] 61.19
61.19)88.4(25sin)25.0(25cos
)38.3(10)38.2(66.4
0)12.05.3(10)12.05.2(66.4
)12.05(25sin)25.0(25cos
(3), from
25sin ,25cos
T
T
TT
TTTT yx 이므로
[kN] 77.17
)25cos(61.1925cos
(1), from
x
xx
A
TTA
[kN] 37.6
25sin61.1966.14
25sin66.1466.14
(2), from
x
yy
A
TTA
Tx(0.25)
Ty(4.88)
4.66(2.38)
10(3.38)
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Nf
1) 자유물체도(FBD)
차체의 중량은 좌, 우 두 개의 프레임이 균일하게 나누어 지탱하므로, 좌측의 앞, 뒤 타이어가 지탱하여야 하는 무게는 총 중량의 ½ 이다.
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Nr Nf
W=700(9.81) N
1386 mm 964 mm
1) 자유물체도(FBD)
2) 평형 방정식 적용
0 xF
0)81.9(700 rfy NNF
[N] 4050
405035.2
)386.1)(81.9(700
0)386.1()35.2(
r
r
rA
N
N
WNM
---(1)
[N] 2820
28174050)81.9(700
)81.9(700
(1), From
f
rf
N
NN
+
-
강릉원주대학교 기계자동차공학부 자동차공학전공 43
1.2 m
W=6(9.81)
NA
0.6 m
NB
1) 자유물체도(FBD)
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1.2 m
W=6(9.81) N
NA
0.6 m
NB
1) 자유물체도(FBD)
2) 평형 방정식 적용
0 xF
0)81.9(6 BAy NNF
[N] 7.117
72.1176.0
)2.1)(81.9(6
0)2.1()6.0(
B
B
BA
N
N
WNM
---(1)
[N] 8.58
84.58)81.9(67.117
)81.9(6
(1), From
A
BA
N
NN
+
-
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Ax
Ay By
1) 자유물체도(FBD)
A B
W=450(9.81)
5.6m 2.4m
P=220(9.81)
4m
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1) 자유물체도(FBD)
2) 평형 방정식 적용
0 0 xxx AAF
0 PWBAF yyy
[N] 3720
99.3717
8
)4)(81.9(450)6.5)(81.9(220
0)4()6.5()0.8(
y
y
yA
B
B
WPBM
[N] 52850
7.285237207.6572
)81.9(450)81.9(220
(1), From
y
yy
A
BA
Ax
Ay By
A B
W=450(9.81)
5.6m 2.4m
P=220(9.81)
4m
T
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저울의 눈금이 2000N을 가리키게 하기 위해 케이블을 당겨야 하는 힘 T의 크기를 구하여라.
W
R=W R=W-T
W
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W=500(9.81) N
T T
T
2000 N
T T T
[N] 581
0)81.9(50020005
T
TFy가정 : 수직이 아닌 일부 케이블을 수직으로 가정한다.
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Ay
By
[N] 1250
12501.0
)25.0(500
0)25.0()1.0(
y
y
yB
A
A
WAM
A B
W=500 N
150 mm 100 mm
평형조건
강릉원주대학교 기계자동차공학부 자동차공학전공 50
0
0
0
0
0
0
z
y
x
z
y
x
M
M
M
F
F
F
or 0 M
or 0 F
0 M M
0 F R
강릉원주대학교 기계자동차공학부 자동차공학전공 51
, ,
0 k j i F
000
zyx
zyx
FFF
FFF
, ,
0 k j i M
000
zyx
zyx
MMM
MMM
강릉원주대학교 기계자동차공학부 자동차공학전공 52
강릉원주대학교 기계자동차공학부 자동차공학전공 53
강릉원주대학교 기계자동차공학부 자동차공학전공 54
강릉원주대학교 기계자동차공학부 자동차공학전공 55
강릉원주대학교 기계자동차공학부 자동차공학전공 56
0
196200
5.131
0
362
kjikji
yx BB