ELG3575

4. Propriétés des signaux d’énergie et de puissance et

transformée de Hilbert

Signaux d’énergie

• Si x(t) est un signal d’énergie avec énergie moyenne normalisée Ex :

– y(t) = x(t)×Ae-j2fot est aussi un signal d’énergie avec Ey = A2Ex ;

– z(t) = x(t)×Acos2fot est aussi un signal d’énergie avec Ez = (A2/2)Ex ; (pour fo > Bx où Bx est la largeur de bande de x(t))

• Y(f) = AX(f-fo). Donc Gy(f) = |Y(f)|2 = |AX(f-fo)|2 = A2Gx(f-fo). Ey est donnée par :

dfffGAE oxy )(2

Signaux d’énergie

• Remplaçons f-fo par f’ et on obtient :

• Pour z(t) = x(t)×Acos2fot , il faut noter que z(t) peut être exprimé comme:

xxy EAfdfGAE 22 )(

tfjAtfjA oo etxetxtz 22

22

)()()(

Signaux de puissance

• De la même façon, nous pouvons démontrer que si x(t) est un signal de puissance ave puissance moyenne normalisée Px :

– y(t) = Ax(t)e-j2fot est aussi un signal de puissance avec Py = A2Px ;

– z(t) = x(t)×Acos2fot est aussi un signal de puissance avec Pz = (A2/2)Px ; (pour fo > Bx où Bx est la largeur de bande de x(t)).

Symétrie de la fonction d’autocorrélation

• Si x(t) est un signal réel, sa fonction d’autocorrélation est une fonction paire.

• Supposons que x(t) est un signal d’énergie et que x(t) = x*(t), x(-) est donnée par :

• Remplaçons t- par t’ et on obtient :

• De la même façon nous pouvons démontrer que Rx() = Rx(-) si x(t) est réel.

dttxtxx )()()( *

)(')'()'(')'()'()( * xx dttxtxdttxtx

Symétrie de la densité spectrale

• Si x(t) est un signal réel, sa densité spectrale est une fonction paire. – Nous savons que sa fonction d’autocorrélation est une

fonction paire. – Sa densité spectrale est la transformée de Fourier de la

fonction d’autocorrélation. – La transformée de Fourier d’une fonction paire est toujours

une fonction paire.

Symétrie de la densité spectrale

• Supposons que x(t) est un signal de puissance réel avec fonction d’autocorrélation Rx().

• Sa densité spectrale de puissance est :

• Remplaçons par -u et on obtient

deRfS fjxX

2)()(

deRfS fjxx

)(2)()(

dueuRfS ufjxx

))((2)()( )()( ))((2 fSdueuR xufj

x

Multiplication par cos(2fot)

• Supposons que x(t) est un signal d’énergie et que y(t) = Ax(t)cos(2fot) (pour fo > Bx où Bx est la largeur de bande de x(t)).

• La fonction d’autocorrélation de y(t) est :

dttftftxtxA ooy ))(2cos()2cos()()()( *2

dttftxtxA

dtftxtxA

oo ))2(2cos()()(2

)2cos()()(2

*2

*2

)2cos()(2

)()()2cos(2

2*

2

oxo fA

dttxtxfA

Multiplication par cos(2fot)

• Similairement, si x(t) est un signal de puissance, la fonction d’autocorrélation de y(t) = Ax(t)cos(2fot) est :

• (pour fo > Bx où Bx est la largeur de bande de x(t)).

• Alors Gy(f) = (A2/4)Gx(f-fo)+(A2/4)Gx(f+fo) si x(t) est un signal d’énergie et Sy(f)= (A2/4)Sx(f-fo)+(A2/4)Sx(f+fo) si x(t) est un signal de puissance.

)2cos()(2

)(2

tfRA

R oxy

Réseaux transformateurs de phase et la transformée de Hilbert

• Un signal x(t) est l’entrée d’un réseau transformateur de phase. • La sortie est le signal d’entrée déphasée par une constante .

• Supposons que x0(t) = Acos(2f0t) est l’entrée a ce réseau.

• La sortie y0(t) = Acos(2f0t+).

• Si nous changeons la fréquence de l’entrée, c'est-à-dire que l’entrée devient x1(t) = Acos(2f1t), la sortie est y1(t) = Acos(2f1t+).

• Alors le montant de déphasage est indépendant de la fréquence.

Réponse en fréquence du réseau transformateur de phase

• Pour x(t) = Acos(2f0t), X(f) = .

• La sortie y(t) = Acos(2f0t+) a une transformée de Fourier Y(f) = .

• La réponse en fréquence du réseau transformateur de phase est :

)()( 0202ffff AA

)()( 0202ffeffe jAjA

0 ,

0 ,)(

fefe

fH j

j

La transformée de Hilbert

• La transformée de Hilbert est un transformateur de phase où = -90o.

• Pour un signal x(t), sa transformée de Hilbert xh(t) est x(t) déphasée par -90o (-/2 radians).

• La transformée de Fourier du signal xh(t) est Xh(f) qui est donnée par :

0 ),(0 ),()( 2/

2/

ffXeffXefX j

j

h

)()sgn( fXfj

La transformée de Hilbert

• La transformée de Hilbert est donnée par :

• xh(t) = F{-jsgn(f)X(f)} = x(t)*1/t

d

txd

t

x )(

)(

)(

Exemples

• Trouvez la transformée de Hilbert de

– x(t) = Acos(2fot) et

– y(t) = sinc(t)

• SOLUTION (a)

oo ffA

ffA

fX 22

)( alors

ooh ffjA

ffjA

fX

22

)(

La transformée de Hilbert de x(t) est alors xh(t) =F-1{Xh(f)} = Asin(2fot).

Exemples

• SOLUTION (b)– Y(f) = (f). La transformée de Fourier de la transformée de

Hilbert de y(t) est Yh(f) = -jsgn(f)(f).

– -jsgn(f)(f) = -j(2(f-¼)) + j(2(f+¼)), alors yh(t) =

Yh(f)j

-j-0.5

0.5f

tjtj

etj

etj 22 2/sinc

22/sinc

2

tt

22sinsinc