Transfert de chaleur Chap 5-b - 1

Chapitre 5

Conduction transitoire(suite et fin)

Conduction transitoire dans un solide semi-infini

Cas #1Surface à température constante

xTi

Ts

t

Transfert de chaleur Chap 5-b - 2

c

k= avec

x

T =

t

T

P2

2

Avec les conditions suivantes:

à t = 0 T = Ti

à x = 0 T = TS

à x = ∞ T = Ti

( , )T T x t

Pour résoudre on utilise la théorie de la similarité.

2 variables 1 variable

On appelle solution de similarité une solution pour laquelle la dépendance de deux variables (x et y) peut se réduire à celle d’une seule variable η par l’application d’une transformation de similarité adéquate.

Exemple: t2

x=

( , ) ( ) ( , )T x t T avec f x t

Transfert de chaleur Chap 5-b - 3

Application de la théorie de la similarité:

t2

x=

2

2

T T=

t x

T T

=t t

2

4

3-

2T T x 1 T 1 x 1= - = -t

t 2 t2 t

2

T T 1 1= -

t t

t2

1T=

x

T=

x

T

2

2

T 1=

4 t

2

2

2

T 1 1 T 1- =

t 4 t

0=T

2+T

2

2

2

2

T T=

t x

2

2

T T=

x xx

T

=x x

2

2

T T=

t x

x=

2 t

Transfert de chaleur Chap 5-b - 4

Conditions frontière et initiale:

s

i

CF: à x 0 ; 0 T T

CI: à t 0 ; T T ( si x )

T

U 0 2

UU

2 U

U CU 2 Ln

2 2

1CT

U e C e

21

2

CdeCT

t2

x=

0=

T2+

T2

2

Fonction erreur

de 2

erf0

- 2

t 2

x erf =

T- T

T-t)T(x,

SI

S

t

)T-T(k=|

x

Tk- =q IS

=0x" x

(Voir graphique p 5.21)

Avec les CF:

Transfert de chaleur Chap 5-b - 5

graphique p 5.21

Cas d’une surface avec flux constant

Dans le cas où la surface est soumise à un flux constant q0", la solution T(x,t) est alors:

* où erfc z est la fonction erreur complémen-taire = 1- erf z .

t2

xerfc

k

x q-e

k

t q2

=T-t)T(x," 0

t4x-

" 0

i

2

Transfert de chaleur Chap 5-b - 6

Cas d’une surface avec convection

Si la surface est soumise à une convection avec un coefficient h et une température environnante T, l'expression de la température est:

(voir la solution graphique)

RemarqueEn pratique, on utilisera les solutions pour un milieu semi-infini quand le transfert de chaleur est limité à une faible épaisseur du matériau considéré (loin de la surface ... c'est l'infini).

.

2

2

h x thi +k k

i

T(x,t) x x h tT = erfc erfc + e k2 t 2 tT T

.

2

2

h x thi +k k

i

T(x,t) x x h tT = erfc erfc + e k2 t 2 tT T

Transfert de chaleur Chap 5-b - 7

Géométries complexes

Cylindre infiniC (r, t)

Mur plan infiniP (x, t)

+=

x

+ L

0

- L

T (r, x, t)

11

Intersection

IntersectionT (r,x, t)

t

T1=

x

T+

r

Tr

rr

12

2

Vérifions que T est solution au problème

t

Ct)P(x,

1+

t

Pt)C(r,

1

x

Pt)C(r,+

r

Cr

rr

1t)P(x,

2

2

?

( , , )T x r t P(x,t) C(r,t)

( , , )T x r t

Transfert de chaleur Chap 5-b - 8

t

C1-

r

Cr

rr

1t)P(x,

0

t

P1-

x

Pt)C(r,

2

2

?

1

2

L’équation est vérifiée car

* T = CP est alors bien solution.

Ainsi on peut appliquer ce principe à différentes formes …

1

2

= 0 puisque C est solution de l’équation différentielle pour un cyclindre

= 0 puisque P est solution de l’équation différentielle pour un plan

TT

TtrTt)C(r,

TT

TtxTtxP

TT

TtxTtxS

iii

),(),(),(

),(),(

Transfert de chaleur Chap 5-b - 9

Transfert de chaleur Chap 5-b - 10

Résolution par différences finies en transitoire

Méthode:

On discrétise l'espace (comme en stationnaire) un maillage (convention Ein),

On discrétise le temps: 0 t 0, Δt, 2Δt, ..., nΔt

** Choix d’un « petit » intervalle de temps,

On fait le bilan de chaleur sur un intervalle de temps (Δt) dans le volume autour de chaque nœud n,

t+ t tn nPinE t = V ( - )C T T

Si on exprime (∑Ein) à t : Méthode explicite

Si on exprime (∑ Ein) à t + Δt : Méthode implicite

t+ t tn n

P Pin

T ( - )T TE = V VC Ct t

Transfert de chaleur Chap 5-b - 11

Exemple d’un nœud simple:

T m -1, n T m +1, n

T m, n +1

T m, n -1

q4

q3

q1

q2

Flux entrant∆x = ∆y

1 m , n m, n " 1

-T T= kqx

xT-Tk=q nm,n1,+m "

2

x

T-Tk=q

n,m1+nm, " 3

1 n m , n m, " 4

-T T= kqx

11

)T-T((1))x(C=q+q+q+qx(1)tt

nm,t+t

nm,

Volume

2

P "

4 "

3 "

2 "

1

S

t+ t tn nPinE t = V ( - )C T T

* Si on connaît les températures à t, alors on peut facilement calculer la température à t + Δt.

Calcul direct

Procédure numérique:

On part à t = 0 (toutes les températures étant connues), à t + Δt on utilise la formule précédentepuis on avance à nouveau de Δt.

T4-T+T+T+T)x(

t

C

k+T=T t

nm,t

n1,+mt

n1,-mt

1+nm,t

1-nm,2P

tnm,

t+tnm,

2 t+ t t " " " " m,n m,nP1 2 3 4

VolumeS

( x (1) ( - )) T Tt x(1) + + + =q q q q C

Méthode expliciteOn va exprimer les q’’i en utilisant les températures au temps (t)

t t t tm, n 1 m, n m+1, n m, n " "

1 2

tt t tm, n+1 m, n m 1, n m, n " "

3 4

- -T T T T= k = kq q

x x- T -T T T

= k = kq qx x

Transfert de chaleur Chap 5-b - 12

En utilisant le nombre de Fourier …

On obtient la formule suivante:

La méthode explicite n’est pas « inconditionnellement stable ».

2

Foet

x

t

C

k=

p

T4Fo) - (1+T+T+T+TFo =T tnm,

t1+nm,

t1-nm,

tn1,-m

tn1,+m

t+tnm,

Critère de stabilité ou de convergence

4

1

x

t Fo

2

50 °C 100 °C

100 °C

100 °C

100 °C

1505014002

1 =T t+tnm,

2

1 Si FoExemple

t+ t t t t t t

m, n m+1,n m-1,n m,n-1 m,n+1 m,n= Fo + + + +(1 - 4Fo)T T T T T T

?

t+ t t t t t t

m, n m+1,n m-1,n m,n-1 m,n+1 m,n= Fo + + + +(1 - 4Fo)T T T T T T

Δx étant fixé, il faut un Δt assez petit pour supposer que les q’’ ne varient pas trop durant dt

t tm - 1, n m, n "

1

-T T= kq

x

Si le coefficient (1 – 4 Fo) ≥ 0

Transfert de chaleur Chap 5-b - 13

Méthode implicite

On exprime les flux en fonction des T t + Δt.

T+T+T+TFo-T4Fo) +(1 =T t+1+nm,

t+1-nm,

t+n1,-m

t+tn1,+m

t+tnm,

tnm,

t t t

)T-T((1))x(C=q+q+q+qx(1)tt

nm,t+t

nm,

Volume

2

P "

4 "

3 "

2 "

1

S

m - 1, n m, n " 4

-T T= kqx

m ,n- 1 m, n " 1

-T T= kq

x

t + Δt t + Δt

t + Δtt + Δt

xT-Tk=q nm,n1,+m "

2

x

T-Tk=q

n,m1+nm, " 3

t + Δt t + Δt

t + Δtt + Δt

Méthode implicite

On exprime les flux en fonction des T t + Δt.

* La méthode implicite ne permet pas de calculer directement

T+T+T+TFo-T4Fo) +(1 =T t+1+nm,

t+1-nm,

t+n1,-m

t+tn1,+m

t+tnm,

tnm,

t t t

T t+tnm,

On fait les bilans sur tous les nœuds et on obtient un système d’équations linéaires.

T t : connue Tt + Δt : inconnue

On le résoud, puis on passe au temps suivant nouveau système d’équations … etc.

Transfert de chaleur Chap 5-b - 14

Hypothèse d’un régime quasi-permanent ou quasi-stationnaire

Il peut être parfois avantageux de considérer un régime transitoire comme une succession de régimes permanents. Il faut que la variation dans le temps d’une variable soit lente par rapport aux autres variations.