Post on 06-Jan-2016
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Le belge : une espèce en voie de disparition ?Un contexte démographique dans les leçons de mathématiques.
CREM, Nivelles, 07/05/08Johan Deprezcfr. www.ua.ac.be/johan.deprez (cliquez Documenten)
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Présentationenseignement supérieur
académique non-universitaire, mathématiques dans le Bachelor
des sciences commerciales
agrégation mathématiques
revue Uitwiskeling pour les enseignants de mathématiques du
secondaire en Flandre
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Le belge : une espèce en voie de disparition ?
4
Le belge : une espèce en voie de disparition ?
Etudier l’évolution du nombre d’habitants de la Belgique.
De la réalité au modèle mathématique
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Fiche de travail 1 - données
• Population Belge par âge et sexe au 1 janvier 2003• Probabilités de survie pour hommes et femmes 2000-
2002• Taux de fécondité par âge de la femme (Belgique, 1997
(!))• PAS DE DONNEES SUR LA MIGRATION
- ne cadre pas dans le modèle mathématique- séparer
• l’évolution interne de la population• de la migration
éclaire le rôle du phénomène de la migration !NOUS ETUDIONS L’EVOLUTION DE LA POPULATION BELGE
ADMETTANT QUE ‘LA PORTE SOIT FERMEE’ !
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Fiche de travail 1 – question 3
• dans quelle année ces garçons sont-ils nés?• quel est l’âge de leur mère ...?• ... au moment de la naissance du garçon?• ... au 1 janvier 2003?• tous les enfants ne sont pas des garçons!• quelques-unes de ces femmes meurent entre le 1
janvier 2003 et ...• quelques-uns de ces garçons meurent entre leur
naissance et le 1 janvier 2009
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Fiche de travail 1 – question 2
419999.0490999.074373
nombre de femmes âgées de 35 ans au 1 janvier 2005
probabilité de survie d’une
femme âgée de 34 ans
probabilité de survie d’une
femme âgée de 33 ans
nombre de femmes âgées de 33 ans au 1 janvier 2003
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Fiche de travail 1 – question 3
un garçon âgé de 3 ans au 1 janvier 2009 est né en 2005 (!)
sa mère avait 15, 16, 17, … ou 49 ans au 1 janvier 2005
sa mère avait 13, 14, 15, … ou 47 ans au 1 janvier 2003
il y a des garçons qui meurent entre 2005 et 2009
il y a des femmes qui meurent entre 2003 en 2005
tous les enfants ne sont pas des garçons
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Fiche de travail 1 – question 3
848999.0778999.029761
0008.0...
2455407657
07657...
nombre de femmes âgées de 15 ans au 1 janvier
2005
......
567999.0868998.0760995.0...
nombre d’enfants nés d’une femme ayant 15 ans en 2005(?)
nombre de garçons nés d’une femme ayant 15 ans en 2005
nombre de garçons ayant 3 ans au 1
janvier 2009 et qui sont nés d’une femme ayant
15 ans au 1 janvier 2005
nombre de garçons nés d’une femme ayant 16, 17, … ou 49 ans au 1 janvier
2005
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Fiche de travail 1 – question 4
• Nous travaillons toujours avec les mêmes probabilités de survie et les mêmes taux de fécondité. En réalité ces données ne sont pas constantes (L’ INS fait des projections basées sur l’évolution des probabilités de survie et des taux de fécondité dans le passé !)
• …
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Fiche de travail 2 - introduction
• classes d’âge de 20 années• plus de distinction entre
hommes et femmes• probalitités de survie et
taux de fécondité arrondis à 2 décimales
Âge 1 janvier 2003taux de
féconditéprobalilité de survie
0-19 2 407 368 0.43 0.98
20-39 2 842 947 0.34 0.96
40-59 2 853 329 0.01 0.83
60-79 1 840 102 0 0.30
80-99 410 944 0 0
TOTAL 10 354 690
• évolution de la population par intervalles de 20 années (le temps qui est nécessaire pour avancer d’une classe d’âge)
• calculs selon les mêmes principes, mais moins étendus
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Fiche de travail 2 – question 1
0.43 = le nombre d’enfants par personne (homme/femme !) dans la première classe pendant une période de 20 ans
l’ âge des parents est entre 0 (?) et 40 (!) ans0.98 = la probabilité qu’une personne appartenant à la première classe survive une période de 20 ans
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Fiche de travail 2 – question 2
Âge 1 janvier 20031 janvier
2023taux de
féconditéprobabilité de survie
0-19 2 407 368 2 030 304 0.43 0.98
20-39 2 842 947 2 359 221 0.34 0.96
40-59 2 853 329 2 729 229 0.01 0.83
60-79 1 840 102 2 368 263 0 0.30
80-99 410 944 552 030 0 0
TOTAL 10 354 690
en deux étapes: d’abord 2023 ...
0.98 0.96 0.83 0.30
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Fiche de travail 2 – question 2
Âge 1 janvier 20031 janvier
2023taux de
féconditéprobabilité de survie
0-19 2 407 368 2 030 304 0.43 0.98
20-39 2 842 947 2 359 221 0.34 0.96
40-59 2 853 329 2 729 229 0.01 0.83
60-79 1 840 102 2 368 263 0 0.30
80-99 410 944 552 030 0 0
TOTAL 10 354 690
en deux étapes: d’abord 2023 ...
0.34 0.01
0.43
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Fiche de travail 2 – question 2
Âge 1 janvier 20031 janvier
20231 janvier
2043
0-19 2 407 368 2 030 304 1 702 458
20-39 2 842 947 2 359 221 1 989 697
40-59 2 853 329 2 729 229 2 264 852
60-79 1 840 102 2 368 263 2 265 260
80-99 410 944 552 030 710 479
TOTAL 10 354 690 10 039 047 8 932 746
en deux étapes: d’abord 2023 ... et alors 2043
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Fiche de travail 2 – question 3
Taux de dépendance
2003 0.82
2023 0.97
2043 1.10
+34%
18
Un outil mathématique plus évolué
V
IV
III
II
I
030.0000
0083.000
00096.00
000098.0
0001.034.043.0VIVIIIIII
àL
de
taux de fécondité
944410
1028401
3298532
9478422
3684072
0X
population au 1 janvier 2003
matrice de Leslie
probabilités de survie
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Un outil mathématique plus évolué
944410
1028401
3298532
9478422
3684072
030.0000
0083.000
00096.00
000098.0
0001.034.043.0
102840130.0
329853283.0
947842296.0
368407298.0
329853201.0947842234.0368407243.0
20032023
329853201.0947842234.0368407243.0
368407298.0
947842296.0
329853283.0
102840130.0
de 2003 à 2023: X1 = L·X0
...
20
Un outil mathématique plus évolué
de 2003 à 2023: X1 = L·X0
de 2023 à 2043: X2 = L·X1
de 2043 à 2063: X3 = L·X2
...
relation récursive: Xn = L·Xn-1
= L·L·L·X0 = L3·X0
relation explicite: Xn = Ln·X0
Deux observations concernant l’évolution à
long terme
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Première observation
Evolution per age class
0
500000
1000000
1500000
2000000
2500000
3000000
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
after ... periods
I
II
III
IV
V
à long terme: graphiques
montrent une régularité commune
y=a/x?décroissance exponentielle?...
passage du babyboom
passage du babyboom
passage du babyboom
à ‘court’ terme
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Première observation
Après … périodes I II III IV V
0
1 -15,7% -17,0% - 4,3% 28,7% 34,3%
2 -16,1% -15,7% -17,0% - 4,3% 28,7%
3 -15,9% -16,1% -15,7% -17,0% -4,3%
4 -16,0% -15,9% -16,1% -15,7% -17,0%
5 -16,0% -16,0% -15,9% -16,1% -15,7%
6 -16,0% -16,0% -16,0% -15,9% -16,1%
taux de croissance:à long terme, le nombre de personnes dans chaque classe diminue de 16%
dans chaque période de 20 ans
24
Première observation
à long terme: le nombre de personnes dans chaque classe et la population totale = ...·0.84t (t = temps, en unités de 20 ans)
à long terme: (dé)croissance exponentielle
0.84 = taux de croissance à long terme (sur périodes de 20 ans)
population réduite de moitié sur 4 périodes de 20 ans
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Première observation
Extrapolation (sans migration !) des caractéristiques actuelles, donne une décroissance relativement rapide de la population !
Néanmoins: ‘grossir’ les caractéristiques de la société actuelle; si nous avions fait l’exercice pour l’an 1950 au lieu de 2003, le résultat serait totalement différent !
Ce n’est pas une prédiction réaliste (migration pas prise en compte, taux de fécondité et probabilité de survie ne seront pas constants, ...) !
26
Deuxième observation
après ... périodes
0-19 (I) 20-39 (II) 40-59 (III) 60-79 (IV) 80-99 (V)
0 23.25% 27.46% 27.56% 17.77% 3.97%
1 20.22% 23.50% 27.19% 23.59% 5.50%
2 19.06% 22.27% 25.35% 25.36% 7.95%
3 18.91% 22.04% 25.24% 24.84% 8.98%
4 18.91% 22.07% 25.20% 24.95% 8.87%
5 18.91% 22.06% 25.22% 24.90% 8.91%
6 18.91% 22.06% 25.21% 24.92% 8.89%
7 18.91% 22.06% 25.22% 24.91% 8.90%
8 18.91% 22.06% 25.21% 24.92% 8.90%
9 18.91% 22.06% 25.21% 24.91% 8.90%
10 18.91% 22.06% 25.21% 24.91% 8.90%
à long terme la distribution d’âges atteint un équilibre
distribution d’âges équilibrée
27
La deuxième observation est une conséquence de la première
à long terme:
le nombre de personnes dans chaque classe diminue du même pourcentage
l’importance relative des classes ne change pas
à court terme:
le nombre de personnes dans chaque classe diminue/augmente de pourcentages différents
l’importance relative des classes change
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Une conséquence de la deuxième observation
le taux de dépendance ne continuera pas à augmenter, mais s’équilibrera:
11.1%2.25%1.22
%9.8%9.24%9.18
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Conclusion
Si les taux de fécondité et les probabilités de survie restent constants (!) et si il n’y a pas de migration, alors:
• le nombre de personnes dans chaque classe d’âge évolue selon une (dé)croissance exponentielle; le taux de croissance correspondant est appelé le taux de croissance à long terme
• la distribution d’âge atteint un équilibre, appelé la distribution d’âge équilibrée
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Déterminer la distribution d’âges équilibrée
mathématiquement (supposant que le taux de croissance à long terme
est connu)
32
Déterminer la distribution d’âges équilibrée mathématiquement
à long terme: Xn 0.84·Xn-1, ou: Xn+1 0.84·Xn
cela implique: L·Xn 0.84·Xn si n est grand
il existe une distribution d’âges limite/équilibrée:
première observation:
deuxième observation:
et l’approximation devient meilleure si n augmente
n
n
n t
XX
lim
(où tn représente la population totale)
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Déterminer la distribution d’âges équilibrée mathématiquement
(1) la distribution d’âges équilibrée X satisfait le systéme lineaire L·X = 0.84·X
(2) ... et à la condition que la somme des éléments soit 1 (100%)
combiner les deux observations:
XXLt
X
t
XL
t
X
t
XL
XXL
n
n
nn
n
n
n
n
n
n
nn
84.0
lim84.0lim
84.0
84.0
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Condition (1)
E
D
C
B
A
E
D
C
B
A
84.0
030.0000
0083.000
00096.00
000098.0
0001.034.043.0
la distribution d’âges équilibrée X satisfait le système linéaire L·X = 0.84·X
EA30.083.096.098.0
84.0 4
EB30.083.096.0
84.0 3
ED30.0
84.0
EC30.083.0
84.0 2
E peut être choisi librement
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Condition (2)
trouver E tel que la somme des éléments égale 1:
...1891.0A ...2206.0B ...2521.0C ...2491.0D
...0889.0E
après ... périodes
0-19 (I) 20-39 (II) 40-59 (III) 60-79 (IV) 80-99 (V)
... ... ... ... ... ...
8 18.91% 22.06% 25.21% 24.92% 8.90%
9 18.91% 22.06% 25.21% 24.91% 8.90%
10 18.91% 22.06% 25.21% 24.91% 8.90%
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Synthèse
Modèle de Leslie avec matrice de Leslie L et taux de croissance à long terme connu
distribution d’âges équilibrée X?
(1) satisfait le système linéaire L·X = ·X
(2) et la condition que la somme des éléments soit 1 (100%)
Déterminer le taux de croissance à long terme
mathématiquement
38
Déterminer le taux de croissance à long terme mathématiquement
Le système linéaire L·X = 0.84·X a une infinité de solutions. Cette propriété est caractéristique pour le nombre 0.84.
Le taux de croissance à long terme est un nombre (positif) pour lequel le système L·X = ·X a une infinité de solutions!
39
Déterminer le taux de croissance à long terme mathématiquement
Le taux de croissance à long terme est un nombre (positif) pour lequel le système L·X = ·X a une infinité de solutions!
E
D
C
B
A
E
D
C
B
A
030.0000
0083.000
00096.00
000098.0
0001.034.043.0
0
30.0000
083.000
0096.00
00098.0
0001.034.043.0
detêtredoit
030.0
083.0
096.0
098.0
001.034.0)43.0(
ED
DC
CB
BA
CBA
40
Déterminer le taux de croissance à long terme mathématiquement
det (L-I5 ) = 0le taux de croissance à long terme est le seul zéro positif de cette fonction
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Synthèse
λ est une solution (l’unique solution positive)
de l’équation det(L-In) = 0
taux de croissance à long terme λ?
Modèle de Leslie avec matrice de Leslie L
Valeurs et vecteurs propres d’une matrice...
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De l’example à la mathématique
• le taux de croissance à long terme est une valeur propre de la matrice L
• la distribution d’âges équilibrée est un vecteur propre de la matrice L
DéfinitionsA une matrice de dimensions nn• Un nombre λ est une valeur propre de A ssi
det(A-λIn)=0.
• Un vecteur X(0) est un vecteur propre de A avec valueur propre λ ssi AX=λX
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Modèles de Leslie
Théorème (sous des conditions indulgentes)
(1) L a exactement une valeur propre strictement positive 1
(2) Il existe un vecteur S, qui est vecteur propre de L avec valeur propre 1 dont les composantes sont strictement positives et ont pour somme 1
(3) Pour chaque condition initiale Xn/tn converge vers S (où tn représente la population totale).
le taux de croissance à long terme
la distribution d’âges équilibrée
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Expériences
• étudiants 2ième Ba Science Commercialesà partir de la deuxième fiche de travail jusqu’à la fin + étude de valeurs et vecteur propres in général
• élèves du secondaire pendant la ‘semaine des sciences’
du début jusqu’aux deux observations y compris le fichier de tableur et parfois aussi le calcul mathématique de distribution d’âges équilibrée
• étudiants de l’agrégation et professeurs de mathématiques
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Pourquoi?
• laisser éprouver aux élèves/étudiants que construire un modèle mathématique nous oblige à faire des approximations et des simplifications
• montrer que des concepts mathématiques sont des outils (pas nécessairement en dehors de la mathématique)
• mettre au point une application plus réaliste
Merci bien pour votre attention!