CREM, Nivelles, 07/05/08 Johan Deprez cfr. ua.ac.be/johan.deprez (cliquez Documenten)

Le belge : une espèce en voie de disparition ?Un contexte démographique dans les leçons de mathématiques.

CREM, Nivelles, 07/05/08Johan Deprezcfr. www.ua.ac.be/johan.deprez (cliquez Documenten)

2

Présentationenseignement supérieur

académique non-universitaire, mathématiques dans le Bachelor

des sciences commerciales

agrégation mathématiques

revue Uitwiskeling pour les enseignants de mathématiques du

secondaire en Flandre

3

Le belge : une espèce en voie de disparition ?

4

Le belge : une espèce en voie de disparition ?

Etudier l’évolution du nombre d’habitants de la Belgique.

De la réalité au modèle mathématique

6

Fiche de travail 1 - données

• Population Belge par âge et sexe au 1 janvier 2003• Probabilités de survie pour hommes et femmes 2000-

2002• Taux de fécondité par âge de la femme (Belgique, 1997

(!))• PAS DE DONNEES SUR LA MIGRATION

- ne cadre pas dans le modèle mathématique- séparer

• l’évolution interne de la population• de la migration

éclaire le rôle du phénomène de la migration !NOUS ETUDIONS L’EVOLUTION DE LA POPULATION BELGE

ADMETTANT QUE ‘LA PORTE SOIT FERMEE’ !

7

Fiche de travail 1 – question 3

• dans quelle année ces garçons sont-ils nés?• quel est l’âge de leur mère ...?• ... au moment de la naissance du garçon?• ... au 1 janvier 2003?• tous les enfants ne sont pas des garçons!• quelques-unes de ces femmes meurent entre le 1

janvier 2003 et ...• quelques-uns de ces garçons meurent entre leur

naissance et le 1 janvier 2009

8


419999.0490999.074373

nombre de femmes âgées de 35 ans au 1 janvier 2005

probabilité de survie d’une

femme âgée de 34 ans

probabilité de survie d’une

femme âgée de 33 ans

nombre de femmes âgées de 33 ans au 1 janvier 2003

9


un garçon âgé de 3 ans au 1 janvier 2009 est né en 2005 (!)

sa mère avait 15, 16, 17, … ou 49 ans au 1 janvier 2005

sa mère avait 13, 14, 15, … ou 47 ans au 1 janvier 2003

il y a des garçons qui meurent entre 2005 et 2009

il y a des femmes qui meurent entre 2003 en 2005

tous les enfants ne sont pas des garçons

10


848999.0778999.029761

0008.0...

2455407657

07657...

nombre de femmes âgées de 15 ans au 1 janvier

2005

......

567999.0868998.0760995.0...

nombre d’enfants nés d’une femme ayant 15 ans en 2005(?)

nombre de garçons nés d’une femme ayant 15 ans en 2005

nombre de garçons ayant 3 ans au 1

janvier 2009 et qui sont nés d’une femme ayant

15 ans au 1 janvier 2005

nombre de garçons nés d’une femme ayant 16, 17, … ou 49 ans au 1 janvier

2005

11


• Nous travaillons toujours avec les mêmes probabilités de survie et les mêmes taux de fécondité. En réalité ces données ne sont pas constantes (L’ INS fait des projections basées sur l’évolution des probabilités de survie et des taux de fécondité dans le passé !)

• …

12

Fiche de travail 2 - introduction

• classes d’âge de 20 années• plus de distinction entre

hommes et femmes• probalitités de survie et

taux de fécondité arrondis à 2 décimales

Âge 1 janvier 2003taux de

féconditéprobalilité de survie

0-19 2 407 368 0.43 0.98

20-39 2 842 947 0.34 0.96

40-59 2 853 329 0.01 0.83

60-79 1 840 102 0 0.30

80-99 410 944 0 0

TOTAL 10 354 690

• évolution de la population par intervalles de 20 années (le temps qui est nécessaire pour avancer d’une classe d’âge)

• calculs selon les mêmes principes, mais moins étendus

13


0.43 = le nombre d’enfants par personne (homme/femme !) dans la première classe pendant une période de 20 ans

l’ âge des parents est entre 0 (?) et 40 (!) ans0.98 = la probabilité qu’une personne appartenant à la première classe survive une période de 20 ans

14


Âge 1 janvier 20031 janvier

2023taux de

féconditéprobabilité de survie

0-19 2 407 368 2 030 304 0.43 0.98

20-39 2 842 947 2 359 221 0.34 0.96

40-59 2 853 329 2 729 229 0.01 0.83

60-79 1 840 102 2 368 263 0 0.30

80-99 410 944 552 030 0 0

TOTAL 10 354 690

en deux étapes: d’abord 2023 ...

0.98 0.96 0.83 0.30

15



2023taux de

féconditéprobabilité de survie

0-19 2 407 368 2 030 304 0.43 0.98

20-39 2 842 947 2 359 221 0.34 0.96

40-59 2 853 329 2 729 229 0.01 0.83

60-79 1 840 102 2 368 263 0 0.30

80-99 410 944 552 030 0 0

TOTAL 10 354 690

en deux étapes: d’abord 2023 ...

0.34 0.01

0.43

16



20231 janvier

2043

0-19 2 407 368 2 030 304 1 702 458

20-39 2 842 947 2 359 221 1 989 697

40-59 2 853 329 2 729 229 2 264 852

60-79 1 840 102 2 368 263 2 265 260

80-99 410 944 552 030 710 479

TOTAL 10 354 690 10 039 047 8 932 746

en deux étapes: d’abord 2023 ... et alors 2043

17


Taux de dépendance

2003 0.82

2023 0.97

2043 1.10

+34%

18

Un outil mathématique plus évolué

V

IV

III

II

I

030.0000

0083.000

00096.00

000098.0

0001.034.043.0VIVIIIIII

àL

de

taux de fécondité

944410

1028401

3298532

9478422

3684072

0X

population au 1 janvier 2003

matrice de Leslie

probabilités de survie

19


944410

1028401

3298532

9478422

3684072

030.0000

0083.000

00096.00

000098.0

0001.034.043.0

102840130.0

329853283.0

947842296.0

368407298.0

329853201.0947842234.0368407243.0

20032023

329853201.0947842234.0368407243.0

368407298.0

947842296.0

329853283.0

102840130.0

de 2003 à 2023: X1 = L·X0

...

20


de 2003 à 2023: X1 = L·X0

de 2023 à 2043: X2 = L·X1

de 2043 à 2063: X3 = L·X2

...

relation récursive: Xn = L·Xn-1

= L·L·L·X0 = L3·X0

relation explicite: Xn = Ln·X0

Deux observations concernant l’évolution à

long terme

22

Première observation

Evolution per age class

0

500000

1000000

1500000

2000000

2500000

3000000

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

after ... periods

I

II

III

IV

V

à long terme: graphiques

montrent une régularité commune

y=a/x?décroissance exponentielle?...

passage du babyboom

passage du babyboom

passage du babyboom

à ‘court’ terme

23


Après … périodes I II III IV V

0

1 -15,7% -17,0% - 4,3% 28,7% 34,3%

2 -16,1% -15,7% -17,0% - 4,3% 28,7%

3 -15,9% -16,1% -15,7% -17,0% -4,3%

4 -16,0% -15,9% -16,1% -15,7% -17,0%

5 -16,0% -16,0% -15,9% -16,1% -15,7%

6 -16,0% -16,0% -16,0% -15,9% -16,1%

taux de croissance:à long terme, le nombre de personnes dans chaque classe diminue de 16%

dans chaque période de 20 ans

24


à long terme: le nombre de personnes dans chaque classe et la population totale = ...·0.84t (t = temps, en unités de 20 ans)

à long terme: (dé)croissance exponentielle

0.84 = taux de croissance à long terme (sur périodes de 20 ans)

population réduite de moitié sur 4 périodes de 20 ans

25


Extrapolation (sans migration !) des caractéristiques actuelles, donne une décroissance relativement rapide de la population !

Néanmoins: ‘grossir’ les caractéristiques de la société actuelle; si nous avions fait l’exercice pour l’an 1950 au lieu de 2003, le résultat serait totalement différent !

Ce n’est pas une prédiction réaliste (migration pas prise en compte, taux de fécondité et probabilité de survie ne seront pas constants, ...) !

26

Deuxième observation

après ... périodes

0-19 (I) 20-39 (II) 40-59 (III) 60-79 (IV) 80-99 (V)

0 23.25% 27.46% 27.56% 17.77% 3.97%

1 20.22% 23.50% 27.19% 23.59% 5.50%

2 19.06% 22.27% 25.35% 25.36% 7.95%

3 18.91% 22.04% 25.24% 24.84% 8.98%

4 18.91% 22.07% 25.20% 24.95% 8.87%

5 18.91% 22.06% 25.22% 24.90% 8.91%

6 18.91% 22.06% 25.21% 24.92% 8.89%

7 18.91% 22.06% 25.22% 24.91% 8.90%

8 18.91% 22.06% 25.21% 24.92% 8.90%

9 18.91% 22.06% 25.21% 24.91% 8.90%

10 18.91% 22.06% 25.21% 24.91% 8.90%

à long terme la distribution d’âges atteint un équilibre

distribution d’âges équilibrée

27

La deuxième observation est une conséquence de la première

à long terme:

le nombre de personnes dans chaque classe diminue du même pourcentage

l’importance relative des classes ne change pas

à court terme:

le nombre de personnes dans chaque classe diminue/augmente de pourcentages différents

l’importance relative des classes change

28

Une conséquence de la deuxième observation

le taux de dépendance ne continuera pas à augmenter, mais s’équilibrera:

11.1%2.25%1.22

%9.8%9.24%9.18

29

Conclusion

Si les taux de fécondité et les probabilités de survie restent constants (!) et si il n’y a pas de migration, alors:

• le nombre de personnes dans chaque classe d’âge évolue selon une (dé)croissance exponentielle; le taux de croissance correspondant est appelé le taux de croissance à long terme

• la distribution d’âge atteint un équilibre, appelé la distribution d’âge équilibrée

Déterminer la distribution d’âges équilibrée

mathématiquement (supposant que le taux de croissance à long terme

est connu)

32

Déterminer la distribution d’âges équilibrée mathématiquement

à long terme: Xn 0.84·Xn-1, ou: Xn+1 0.84·Xn

cela implique: L·Xn 0.84·Xn si n est grand

il existe une distribution d’âges limite/équilibrée:

première observation:

deuxième observation:

et l’approximation devient meilleure si n augmente

n

n

n t

XX

lim

(où tn représente la population totale)

33

Déterminer la distribution d’âges équilibrée mathématiquement

(1) la distribution d’âges équilibrée X satisfait le systéme lineaire L·X = 0.84·X

(2) ... et à la condition que la somme des éléments soit 1 (100%)

combiner les deux observations:

XXLt

X

t

XL

t

X

t

XL

XXL

n

n

nn

n

n

n

n

n

n

nn

84.0

lim84.0lim

84.0

84.0

34

Condition (1)

E

D

C

B

A

E

D

C

B

A

84.0

030.0000

0083.000

00096.00

000098.0

0001.034.043.0

la distribution d’âges équilibrée X satisfait le système linéaire L·X = 0.84·X

EA30.083.096.098.0

84.0 4

EB30.083.096.0

84.0 3

ED30.0

84.0

EC30.083.0

84.0 2

E peut être choisi librement

35

Condition (2)

trouver E tel que la somme des éléments égale 1:

...1891.0A ...2206.0B ...2521.0C ...2491.0D

...0889.0E

après ... périodes

0-19 (I) 20-39 (II) 40-59 (III) 60-79 (IV) 80-99 (V)

... ... ... ... ... ...

8 18.91% 22.06% 25.21% 24.92% 8.90%

9 18.91% 22.06% 25.21% 24.91% 8.90%

10 18.91% 22.06% 25.21% 24.91% 8.90%

36

Synthèse

Modèle de Leslie avec matrice de Leslie L et taux de croissance à long terme connu

distribution d’âges équilibrée X?

(1) satisfait le système linéaire L·X = ·X

(2) et la condition que la somme des éléments soit 1 (100%)

Déterminer le taux de croissance à long terme

mathématiquement

38

Déterminer le taux de croissance à long terme mathématiquement

Le système linéaire L·X = 0.84·X a une infinité de solutions. Cette propriété est caractéristique pour le nombre 0.84.

Le taux de croissance à long terme est un nombre (positif) pour lequel le système L·X = ·X a une infinité de solutions!

39


Le taux de croissance à long terme est un nombre (positif) pour lequel le système L·X = ·X a une infinité de solutions!

E

D

C

B

A

E

D

C

B

A

030.0000

0083.000

00096.00

000098.0

0001.034.043.0

0

30.0000

083.000

0096.00

00098.0

0001.034.043.0

detêtredoit

030.0

083.0

096.0

098.0

001.034.0)43.0(

ED

DC

CB

BA

CBA

40


det (L-I5 ) = 0le taux de croissance à long terme est le seul zéro positif de cette fonction

41

Synthèse

λ est une solution (l’unique solution positive)

de l’équation det(L-In) = 0

taux de croissance à long terme λ?

Modèle de Leslie avec matrice de Leslie L

Valeurs et vecteurs propres d’une matrice...

43

De l’example à la mathématique

• le taux de croissance à long terme est une valeur propre de la matrice L

• la distribution d’âges équilibrée est un vecteur propre de la matrice L

DéfinitionsA une matrice de dimensions nn• Un nombre λ est une valeur propre de A ssi

det(A-λIn)=0.

• Un vecteur X(0) est un vecteur propre de A avec valueur propre λ ssi AX=λX

44

Modèles de Leslie

Théorème (sous des conditions indulgentes)

(1) L a exactement une valeur propre strictement positive 1

(2) Il existe un vecteur S, qui est vecteur propre de L avec valeur propre 1 dont les composantes sont strictement positives et ont pour somme 1

(3) Pour chaque condition initiale Xn/tn converge vers S (où tn représente la population totale).

le taux de croissance à long terme

la distribution d’âges équilibrée

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Expériences

• étudiants 2ième Ba Science Commercialesà partir de la deuxième fiche de travail jusqu’à la fin + étude de valeurs et vecteur propres in général

• élèves du secondaire pendant la ‘semaine des sciences’

du début jusqu’aux deux observations y compris le fichier de tableur et parfois aussi le calcul mathématique de distribution d’âges équilibrée

• étudiants de l’agrégation et professeurs de mathématiques

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Pourquoi?

• laisser éprouver aux élèves/étudiants que construire un modèle mathématique nous oblige à faire des approximations et des simplifications

• montrer que des concepts mathématiques sont des outils (pas nécessairement en dehors de la mathématique)

• mettre au point une application plus réaliste

Merci bien pour votre attention!

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