Cours de mathématiques

ANAL01 IDENTITES REMARQUABLES Cours

CHAPITRE 1 IDENTITES REMARQUABLES

1. Les Quantificateurs

L’expression « quel que soit » ou « pour tout » se note par le symbole ∀ : ce symbole est un

quantificateur (dit universel).

L’expression «il existe au moins un » se note par le symbole ∃ : ce symbole est aussi un

quantificateur (dit existentiel).

2. Factorielle d’un entier naturel

2.1. Définition

Soit n un entier naturel supérieur ou égal à 2.

Le nombre appelé facorielle n et noté !n est le produit de tous les entiers naturels de 1 à n.

0;1 ! 1 2 .....0! 1 1! 1

n n x x x navec et∀ ∈ − =

2.2. Relation de récurrence

En utilisant l’associativité du produit, on peut écrire

[ ]2 1 2 ........ 1 2 .... ( 1)pour n x x xn x x x n xn≥ = −

[ ]0; 1 ! ( 1)!n n n x n∀ ∈ − = −N

Cette relation de récurrence permet un calcul rapide d’une valeur de factorielle n, après avoir

calculé les valeurs des (n-1) factorielles précédentes.

2.3. Petite table de factorielle

Il est souhaitable de connaitre les valeurs des premières factorielles

0! 11! 12! 23! 64! 245! 1206! 7207! 5040

========

Exemple

Simplifier l’écriture du nombre suivant (sans utiliser la calculatrice)

21!19!

On peut simplifier le numérateur et le dénominateur de cette fraction par les facteurs

multiplicatifs communs1 2 3 ...... 19x x x x :

Il reste 21 20 420A x= =

Exemple

Ecrire sous forme d’un quotient de 2 factorielles, le nombre suivant :

50 49 48B x x=

On multiplie et on divise par le même nombre non nul 1 2 ..... 47x x x et l’on trouve 50!47!

Exemple

Exprimer en fonction de n et sans le symbole factorielle, les nombres suivants :

( 1)! ! ( 1)! !( 2)! ( 1)! ! ( 1)!n n n nX puis Yn n n n+ −

= + = −− − +

Les factorielles ne portent que sur des nombres n∈N , donc des nombres positifs ou nuls.

L’expression X n’a de sens que si 2n ≥

D’après la relation de récurrence : [ ]0; 1 ! ( 1)!n n n x n∀ ∈ − = −N

et !0,1( 1)!

∀ ∈ − =−

De même [ ]0,1 ( 1)! ( 2)! ( 1) ( 1)n n n x n x n x n∀ ∈ − + = − − +N

et 3( 1)!0,1 ( 1) ( 1)( 2)!nn n x n x n n nn+

∀ ∈ − = − + = −−

soit 3 30,1n X n n n n∀ ∈ − = − + =N

L’expression Y n’a de sens que si 1n ≥

1 1 1 101 ( 1) ( 1)

n nn Yn n n n n n

+ −∀ ∈ − = − = =

+ + +N

3. LE TRIANGLE de PASCAL

3.1. Les COMBINAISONS

Soit E un ensemble non vide contenant n éléments et k un entier naturel tel que 0 k n≤ ≤

Une combinaison à k éléments de E est une partie (non ordonnée) de E formée de k éléments.

Définition

On appelle coefficient binomial ou nombre de combinaisons à k éléments de E, et on note knC ou

encore nk

, le nombre entier égal à :

! ( 1).....( 1) 0!( )! !

n n n n kC avec k nk n k k

− − += = ≤ ≤

l’indice n est en ligne (ou encore en abscisse) et k en colonne (ou encore en ordonnée)

Exemple

7! 7 6 5 353! 4! 1 2 3

x xCx x/

= = =/ /

Propriété

Quelques propriétés des coefficients binomiaux :

• 0 11 1nn n nn C et n C n C∗∀ ∈ = ∀ ∈ = =N N

• 0k n kn nn C C k entier vérifiant k n∗ −∀ ∈ = ≤ ≤N (symétrie sur une ligne)

• 11 1 1 1k k k

n n nn C C C k entier vérifiant k n∗ −− −∀ ∈ = + ≤ ≤ −N

3.2. Le TRIANGLE de PASCAL

Les coefficients knC sont donnés par le triangle de Pascal généré à partir des formules

k k kn n n

C et C n

C C C k n−− −

= = ∀ ∈

= + ≤ ≤ −

Pour obtenir le terme knC du triangle de Pascal, il suffit d’additionner le terme immédiatement au

dessus de celui-ci (en l’occurrence 1knC − ) et le terme à gauche de ce dernier (en l’occurrence

knC −− )

RAPPEL

l’indice n est l’indice de ligne (ou encore l’ abscisse) et k l’indice de colonne (ou encore l’

ordonnée)

Nous donnons ci-dessous le triangle de Pascal jusqu'à la ligne 8

0 1 2 3 4 5 6 7 80 11 1 12 1 2 13 1 3 3 14 1 4 6 4 15 1 5 10 10 5 16 1 6 15 20 15 6 17 1 7 21 35 21 7 18 1 8 28 56 70 56 28 8 1

col col col col col col col col colligligligligligligliglig Clig

Remarque

• dans le triangle de Pascal, les coefficients sont obtenus en effectuant uniquement des

additions

• on peut obtenir directement les coefficients de la ligne n du triangle de Pascal, sans

calculer les coefficients des (n-1) lignes précédentes en utilisant la formule suivante :

( )1 1 1k kn n

n kC C k entier vérifiant k nk

− − + = ≤ ≤

Les coefficients du triangle de Pascal sont alors obtenus en effectuant uniquement des

multiplications.

4. FORMULE du BINOME de NEWTON

Soit a et b deux nombres réels (et par la suite, éventuellement complexes)

Partons de l’identité remarquable : 2 2 2( ) 2a b a ab b+ = + +

On en déduit en multipliant les deux membres de l’égalité précédente par ( )a b+

3 3 2 2 3( ) 3 3a b a a b ab b+ = + + +

puis :

4 4 3 2 2 3 4( ) 4 6 4a b a a b a b ab b+ = + + + +

et plus généralement, on peut montrer par récurrence

0( ) ..... .....

nn k n k k n n k n k k n n

n n n n nk

a b C a b C a C a b C a b C b− − −

+ = = + + + + +∑

Les coefficients knC étant les coefficients binomiaux du paragraphe précédent

Remarque

Dans la formule du binôme de Newton, les nombres a et b ont un rôle symétrique

( ) ( )n na b b a+ = + , et l’on peut aussi écrire :

0( ) ..... .....

nn k k n k n n k k n k n n

n n n n nk

a b C a b C b C ab C a b C a− − −

+ = = + + + + +∑

Exemple

pour 5n = alors 5 5 4 3 2 2 3 4 5( ) 5 10 10 5a b a a b a b a b ab b+ = + + + + +

mais aussi, en changeant b en b−

5 5 4 3 2 2 3 4 5( ) 5 10 10 5a b a a b a b a b ab b− = − + − + −

Ecrire les formules donnant 6 6( ) ( )a b puis a b+ −

Exemple

Développer suivant la formule du binôme de Newton 5(3 2)x −

On utilise la formule du binôme de Newton et le triangle de Pascal 5 5 4 3 2 2 3 4 5( ) 5 10 10 5a b a a b a b a b ab b− = − + − + −

et pour 3 2a x et b= = 5 5 4 3 2 2 3 4 5(3 2) (3 ) 5(3 ) .(2) 10(3 ) .(2 ) 10(3 ) .(2 ) 5(3 ).2 (2 )x x x x x x− = − + − + −

(3x − 2)5 = 243x5 − 810x4 +1080x3 − 720x2 + 240x − 32

Exemple

Quel est le coefficient du terme en 6x dans le développement de 8( 2)x +

Appliquons la formule du binôme de Newton 0

n k n k kn

a b C a b−

+ =∑

en remplaçant n par 8, a par x et b par 2

0( 2) 2k k k

kx C x −

+ =∑

Le coefficient du terme en 6x correspond à la valeur 2k =

Ce coefficient est donc 2 28 (2)C

Puisque 28

8! 8 7 282!6! 1 2

Le coefficient du terme en 6x dans le développement de 8( 2)x + est 28 4 112x =

Exemple

Reprenons la formule du binôme de Newton 0

n k n k kn

ka b C a b−

+ =∑

Pour 1a b= = , on obtient

02 (1 1) ........

nn n k n n

n n n n nk

n C C C C C∗ −

∀ ∈ = + = = + + + +∑N

De même , pour 1 1a et b= = − , on obtient

0 1 1 1

00 (1 1) ( 1) ........ ( 1) ( 1)

nn k k n n n n

n n n n nk

n C C C C C∗ − −

∀ ∈ = − = − = − + + − + −∑N

En effectuant la demi-somme des deux dernières formules, on obtient

2 0 2 2 2 2 1

2........ 2

nk k k n

n n n n nk n

n C C C C C∗ − −

∀ ∈ = + + + + =∑N

et par demi-différence de ces deux mêmes formules

2 1 1 3 2 1 2 1 1

2 1........ 2

nk k k n

n n n n nk n

n C C C C C∗ + − + −

∀ ∈ = + + + + =∑N

On obtient aussi, pour 1 2a et b= =

0 1 1 1

03 (1 2) 2 2 ........ 2 2

nn n k k n n n n

n n n n nk

n C C C C C∗ − −

∀ ∈ = + = = + + + +∑N

et bien d’autres formules que l’on utilisera dans la suite du cours

5. AUTRES IDENTITES REMARQUABLES

Partons de la somme des termes consécutifs d’une suite géométrique

11 ........ \ 1 1

qq q q si qq

−−

−= + + + = ∈

−∑ N

On en déduit : 11 (1 )(1 .... )n nq q q q q −∀ ∈ − = − + + +N

Et en posant bqa

1 (1 )(1 ........ )n nb b b b

a a a a

− − = − + + +

En multipliant chacun des membres de l’égalité précédente par na

1 2 2 1( )( ....... )n n n n n na b a b a a b ab b− − − −− = − + + + +

On retiendra tout particulièrement les identités remarquables obtenues pour n=2 puis n=3

2 2 ( )( )a b a b a b− = − +

3 3 2 2( )( )a b a b a ab b− = − + +

Et en changeant b en b− (uniquement pour n impair)

3 3 2 2( )( )a b a b a ab b+ = + − +

Les identités remarquables

2 1 ( 1)( 1)x x x− = − +

3 21 ( 1)( 1)x x x x− = − + +

3 21 ( 1)( 1)x x x x+ = + − +

sont à connaître à tout moment.

Généralités sur les fonctions Cours

Gérard Hirsch – Maths54 1

2. GENERALITES SUR LES FONCTIONS

1. Fonction d'une variable réelle à valeurs réelles

1.1. Fonction et ensemble de définition

Définition

On appelle fonction d'une variable réelle à valeurs réelles une application qui à tout élément x

d'une partie D de R associe un réel et un seul noté ( )f x

Le réel ( )f x est appelé image de x par f

La partie D est appelée ensemble de définition de la fonction

Notation

:f D → R

( )x f xa

Exemple

La fonction identité x xa est définie sur D = R

La fonction élévation au carré 2x xa est définie sur D = R

La fonction inverse 1xx

a est définie sur 0D ∗= = −R R

La fonction racine carrée x xa est définie sur [ [0;D += = +∞R

Remarque

Il ne faut pas confondre l'être mathématique appelé fonction (et désigné par f) avec l'être

mathématique (désigné par ( )f x ou par y) qui est le réel associé par f à un élément donné de x.

1.2. Courbe représentative d'une fonction

Définition

Soit f une fonction définie sur D

La courbe représentative de f dans un repère est l'ensemble des points ( , ( ))M x f x avec x D∈

On dit que ( )y f x= est une équation de cette courbe dans le repère considéré

1.3. Restriction de f

Définition

Soit f une fonction définie sur D, et A une partie de R telle que A⊂ R

On appelle restriction de f à A la fonction g telle que

A D⊂ → R

( ) , ( ) ( )x g x telle que x A g x f x∀ ∈ =a

Exemple

Soit f la fonction ] [ ] [; 0 0;

∗ = −∞ ∪ +∞ →

et g la fonction définie sur ] [0;A = +∞ par 1( )g xx

Nous dirons que g est la restriction de f à ] [0;A = +∞

1.4. Image et antécédent

Définition

Soit f une fonction définie sur D, et A une partie contenue dans D, alors ( )f A désigne l'ensemble

des images des éléments de A.

Si ( )y f x= , on dit que y est l'image de x par f, mais aussi que x est un antécédent de y.

2. Opérations sur les fonctions

2.1. Egalité de deux fonctions

Définition

f et g sont deux fonctions définies respectivement sur fD et gD

Les deux fonctions f et g sont égales , ( ) ( )

D Dx D f x g x=⇔ ∀ ∈ =

2.2. Somme de deux fonctions

On définit sur f gD D D= ∩ la somme f g+ par : ( ) ( )x D f g x f x g x∀ ∈ + +a

Remarque

On peut aussi écrire la somme de deux fonctions ( ) ( ) ( ) ( )x D f g x f x g x∀ ∈ + = +

2.3. Produit d’une fonction par un réel

Définition

f une fonction définie sur D et pour tout réel k, le produit d'un réel k par la fonction f est noté

: k f et se définit par : ( )k k f x kf xx D

∀ ∈∀ ∈

Remarque

On peut aussi écrire le produit k f d'un réel k par une fonction f

( ) ( ) ( )k k f x k f xx D

∀ ∈ =∀ ∈

Dans le cours d’algèbre, on dira que :

Muni de ces deux lois, l'ensemble (E) des fonctions numériques d'une variable réelle définies

sur une partie D de R possède une structure d'espace vectoriel sur R .

2.4. Produit de deux fonctions

Définition

On définit sur f gD D D= ∩ le produit f g par : ( ) ( )x D f g x f x g x∀ ∈ a

Remarque

On peut aussi écrire le produit de deux fonctions ( ) ( ) ( ) ( )x D f g x f x g x∀ ∈ =

Toujours dans le cours d’algèbre, on dira :

L'ensemble (E) possède une structure d'anneau commutatif unitaire (l'élément neutre étant la

fonction constante égale à 1 sur D).

Attention

(E) n'est pas un anneau d'intégrité ( c’est-à-dire que le produit de deux fonctions peut être nul

sans qu’aucune des deux fonctions soit identiquement nulle) comme le montre l'exemple suivant :

[ ]] ]

0 0 ; 1:

si xf x

x si x

∈a et

[ ]] ]0 ; 1

:0 1 ; 2

x si xg x

Le produit [ ]0 0 ; 2f g x si x∈a est la fonction nulle sur [ ]0 ; 2 bien que ni f ni g

ne soit la fonction nulle.

2.5. Quotient de deux fonctions

Définition

On définit sur f gD D D= ∩ le quotient fg

tel que pour tout x de D tel que ( ) 0g x ≠ par

( ):( )

f f xxg g x

On peut aussi écrire le quotient de deux fonctions tel que pour tout x de D tel que ( ) 0g x ≠ par

( )( )( )

f f xxg g x

Exemple

Soit 1:1

f xx +

a et 1:1

g xx −

a deux fonctions définies sur l'intervalle ] [1;1−

La somme 2

1 1 1 1 2:1 1 ( 1)( 1) 1

x x xf g xx x x x x

− + ++ + = =

+ − + − −a est définie sur ] [1;1−

Le produit 2

1 1 1: .1 1 1

f g xx x x

=+ − −

a est défini sur ] [1;1−

Le quotient

111: 1 1

f xxxg x

−+ =+

a est défini sur ] [1;1−

Remarque

] ]1le quotient : est même défini sur 1;11

f xxg x

−−

3. Composition de deux fonctions

Définition

On appelle D l'ensemble des éléments x de fD tels que ( ) gf x D∈

La composée g fο ("g rond f") est la fonction d'ensemble de définition D telle que

[ ]( )( ) ( )g f x g f x=o

Dans l’écriture g fo la première application est f et la seconde est g

Exemple

Soit 2 1: 1 :f x x et g xx

−a a

On a fD = R et 0gD ∗= = −R R

Pour tout x∈R tel que 2 1 0x − ≠ c'est-à-dire pour 1 ; 1x D∈ = − −R

la composée des deux applications f et g dans cet ordre est

[ ] 22

1( )( ) ( ) ( 1)1

g f x g f x g xx

= = − = −o

et donc

: 1,11

− − →

Exemple

] ]: 1;111

Soit fxxx

− →

Calculer 2f f f=o

1 1 111 1 11;1 ( ) ( )( ) 1 1 11 11 1

x x xx x xx f x f f x f xx x xx

− + − +−− + +∀ ∈ − = ο = = = = − + + −+ +

] ]2 : 1;1et donc fx x

− →

Propriété

La composition des applications est associative ( ) ( )h g f h g f=o o o o

mais attention ! elle n'est pas commutative g f f g≠o o

Exemple

Soit fx x

R R et 2

:gx x→

alors [ ] 2 2, ( )( ) 2 3 (2 3) 4 12 9x g f x g x x x x∀ ∈ = + = + = + +oR

et 2 2( )( ) 2 3x f g x f x x ∀ ∈ = = + oR

:4 12 9

et donc g fx x x→

et f gx x

ο →

par conséquent g f f g≠o o (même si les deux compositions existent)

Attention

Il ne faut pas confondre le produit de deux fonctions et la composition de ces deux fonctions.

Exemple

Considérons les deux fonctions : 1f x x −a et 2

g xx +

a , ces deux fonctions sont définies

sur D = R

La fonction produit f g est la fonction 2

xf g xx−+

La fonction composée g fo est la fonction [ ] [ ] 2

1( ) ( ) ( ) ( 1)( 1) 1

g f x g f x g xx

ο = = − =− +

4. Les formules de changement de repère (par translation)

Le plan est muni d'un repère ( ; ; )O i jr r

et (C) est la courbe représentative de y=f(x) dans ce

repère. Soit Ω le point de coordonnées ( , )a b dans le repère ( ; ; )O i jr r

. alors

Ω a i b j= +r r

Quelle est l'équation de la courbe (C) dans le nouveau repère ( ; ; )i jΩr r

Désignons par ( , )x y les (anciennes) coordonnées d'un point M du plan dans le repère ( ; ; )O i jr r

Vectoriellement, on peut écrire OM x i y j→

= +r r

et par ( , )X Y les (nouvelles) coordonnées du

même point M dans le repère ( ; ; )i jΩr r

De même, vectoriellement M X i Y j→

Ω = +r r

La relation de Chasles OM O M→ → →

= Ω + Ω donne par passage aux coordonnées

x X ay Y b= +

= + ou encore

X x aY y b

= − = −

qui sont les formules de changement de repère (par translation)

5. Propriétés particulières de certaines fonctions (réduction de l'intervalle d'étude)

5.1. Imparité (Centre de symétrie)

Définition

Une fonction f est dite impaire si :

( ) ( )x D x D le domaine D doit être symétrique par rapport à l originef x f x x D∈ ⇔ − ∈

− = − ∀ ∈

La courbe représentative de f admet l'origine comme centre de symétrie

Remarque

1) Pour étudier une fonction impaire f, il suffit de l'étudier sur [ [0;E D= ∩ +∞

Si ( )Γ est la courbe représentative de la restriction de f à E, la courbe ( )C représentant les

variations de la fonction f, s'obtient en complétant ( )Γ par symétrie par rapport à l’origine O.

2) Si D = R , alors la condition x D x D∈ ⇔ − ∈ est automatiquement vérifiée

Exemple

Les fonctions suivantes sont impaires :

x xa (identité) 3x xa (élévation au cube) 1x sur Dx

∗=a R (inverse)

sinx xa (sinus) tan ,2

x x sur D k kπ = − + π ∈

a R Z (tangente)

Plus généralement le point ( ; )I a b est centre de symétrie de la courbe représentative de f si :

( ) ( ) 2a x D a x D le domaine D doit être symétrique par rapport à af a x f a x b x D+ ∈ ⇔ − ∈

+ + − = ∀ ∈

Remarque

Pour étudier une fonction admettant le point ( ; )I a b comme centre de symétrie, il suffit de

l'étudier sur [ [;E D a= ∩ +∞

variations de la fonction f, s'obtient en complétant ( )Γ par symétrie par rapport au point ( ; )I a b

Exemple

La fonction 2 1:3 5

xf xx+−

a est définie sur 53

D = −

R . Sa représentation graphique admet le

point 5 2( ; )3 3

I comme centre de symétrie.

En effet

5 5 13 132( ) 1 2( ) 1 2 25 5 43 3 3 3( ) ( ) 5 53 3 3 3 33( ) 5 3( ) 53 3

x x x xf x f x

x xx x

+ + − + + −+ + − = + = + =

−+ − − −

L’étude de cette fonction s’effectue seulement sur l’intervalle 5 ,3

E = +∞

Représentation graphique de la fonction :

5.2. Parité (Axe de symétrie)

Définition

Une fonction f est dite paire si :

( ) ( )x D x D le domaine D doit être symétrique par rapport à l originef x f x x D∈ ⇔ − ∈

− = ∀ ∈

En repère orthogonal ,la courbe représentative de f admet l'origine comme centre de symétrie

Remarque

Pour étudier une fonction paire f , il suffit de l'étudier sur [ [0;E D= ∩ +∞

variations de la fonction f, s'obtient en complétant ( )Γ par symétrie par rapport à l’axe y’Oy

Exemple

Les fonctions suivantes sont paires :

2x xa (élévation au carré) 4x xa (élévation à la puissace 4)

x si xx x

x si x≥

= − <a (valeur absolue) cosx xa (cosinus)

Plus généralement, en repère orthogonal, la droite d'équation x a= est axe de symétrie de la

courbe représentative de f si :

( ) ( )a x D a x D le domaine D doit être symétrique par rapport à af a x f a x x D+ ∈ ⇔ − ∈

+ = − ∀ ∈

Remarque

Pour étudier une fonction admettant la droite d'équation x a= comme axe de symétrie de la

courbe représentative de f , il suffit de l'étudier sur [ [;E D a= ∩ +∞

variations de la fonction f, s'obtient en complétant ( )Γ par symétrie par rapport à l’axe x a= .

Remarque

Pour un axe de symétrie, il est nécessaire que le repère soit orthogonal

Exemple

La fonction 2: 2 5 1f x x x− +a est définie sur D = R . Sa représentation graphique admet la

droite d'équation 54

x = comme axe de symétrie

En effet 2 2 25 5 5 25 25 17( ) 2( ) 5( ) 1 5 2 5 1 24 4 4 8 4 8

f x x x x x x x+ = + − + + = + + − − + = − +

et 2 2 25 5 5 25 25 17( ) 2( ) 5( ) 1 5 2 5 1 24 4 4 8 4 8

f x x x x x x x− = − − − + = − + − + + = − +

Puisque 5 5( ) ( ) ,4 4

f x f x x+ = − ∀ ∈R , la droite d’équation 54

x = est bien axe de symétrie de la

courbe représentative de f, et l’étude de cette fonction s’effectue seulement sur l’intervalle

E = +∞

Représentation graphique de la fonction :

Attention

La plupart des fonctions ne sont ni paires, ni impaires et donc n’admettent ni axe de symétrie, ni

centre de symétrie.

Une calculette graphique permet de visualiser la représentation de la fonction

3 10 8: 1,34 3

x xf x définie surx x

− + −−

− +a R qui n’admet ni axe de symétrie, ni centre de

symétrie.

Remarque

Toute fonction f définie sur une partie E de R admettant le point 0 pour centre de symétrie est la

somme d'une fonction paire et d'une fonction impaire et cette décomposition est unique.

En effet : si f g h= + où g est paire et h est impaire, on a

( ) ( ) ( )f x g x h x= + et ( ) ( ) ( )f x g x h x− = −

[ ] [ ]1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2

g x f x f x et h x f x f x= + − = − −

Réciproquement, les fonctions g et h ainsi déterminées à partir de f sont respectivement paire

et impaire et vérifient f g h= +

Exemple

La fonction 3 2: 2 5 1f x x x x− + − +a est définie sur D = R

Cette fonction f est la somme

• de la fonction g paire 2: 5 1g x x +a

• et de la fonction h impaire 3: 2h x x x− −a

5.3. Périodicité

Définition

Une fonction f est dite périodique de période T ( ou T-périodique) s'il existe un nombre T positif

tel que :

( ) ( )

x D x T Df x T f x x D∈ ⇔ + ∈

+ = ∀ ∈

Si T est une période pour f, tout multiple de T non nul (c’est à dire 2T, 3T,4T....) est aussi une

période pour f. Dans les cas usuels, l'une des périodes positives est plus petite que toutes les

autres; c'est ce nombre qui est appelé plus précisément période de la fonction f et sera noté T (et

par conséquent T doit être le plus petit possible)

Il faut connaître la période des fonctions trigonométriques suivantes :

Si 0ω≠

• la fonction cos( )x xω +ϕa admet pour période 2T π=

• la fonction sin( )x xω +ϕa admet pour période 2T π=

• la fonction tan( )x xω +ϕa admet pour période T π=

Exemple

La fonction 1 : sin(3 )5

f x x π+a admet pour période 2

3T π=

Pour déterminer la période de la fonction 22 : cosf x xa , il est nécessaire de linéariser cette

expression trigonométrique, puisque 2 1 cos 2cos2

xx += , la fonction 2f admet pour période

T = π

De même la fonction 3 : cos( )3xf x a admet pour période 6T = π

Pour étudier une fonction f de période T, il suffit de l'envisager sur [ [;E D T= ∩ α α +

avec α réel quelconque. Si ( )Γ est la courbe représentative de la restriction de f à E, la courbe

( )C représentant les variations de la fonction f, s'obtient en complétant ( )Γ par les arcs de courbe

qui s'en déduisent par les translations de vecteur kVr

avec k ∈R et ( ; 0)V Tr

6. Propriétés globales d'une fonction

Toutes les fonctions f considérées dans ce paragraphe sont définies sur D

Soit I un intervalle contenu dans D

6.1. Fonction croissante

f est croissante si 2( , ') ' ( ) ( ')x x I x x f x f x∀ ∈ ≤ ⇒ ≤

Exemple

: 1 1 22 3

x si xf x si x

x si x

≤ < ≤ ≤

Remarque

Cette fonction est croissante sur [ ]0,3 mais elle est discontinue en 0 2x =

6.2. Fonction décroissante

f est décroissante si 2( , ') ' ( ) ( ')x x I x x f x f x∀ ∈ ≤ ⇒ ≥

6.3. Fonction strictement croissante

f est strictement croissante si 2( , ') ' ( ) ( ')x x I x x f x f x∀ ∈ < ⇒ <

Exemple 2

0 1: ( 2) 1 1 2

x si xf x x si x

x si x

≤ < − + ≤ < ≤ ≤

Remarque

Cette fonction est strictement croissante et continue sur [ ]0,3

6.4. Fonction strictement décroissante

f est strictement décroissante si 2( , ') ' ( ) ( ')x x I x x f x f x∀ ∈ < ⇒ >

6.5. Fonction monotone

f est monotone si f est croissante ou décroissante

6.6. Fonction strictement monotone

f est strictement monotone si f est strictement croissante ou strictement décroissante

Remarque

Sur un intervalle donné, une fonction peut être ni croissante ni décroissante

Exemple

La fonction [ ]2: 1 5 ; 3f x x sur+ −a n’est ni croissante, ni décroissante

Trinômes du second degré Cours

3 : FONCTIONS TRINOMES DU SECOND DEGRE

1. DEFINITIONS

Un trinôme du second degré est une fonction de la forme 2x a x b x c+ +a où a, b et c sont

trois réels donnés avec 0a ≠

Résoudre l'équation 2 0 ( 0)a x b x c avec a+ + = ≠ , c'est trouver tous les nombres u tels que 2 0au bu c+ + = . Un tel nombre u est dit solution ou encore racine de l'équation.

2. Résolution de l'équation du second degré dans R

Posons 2( ) ( 0)f x a x b x c a= + + ≠

2.1. Ecriture sous forme canonique

Puisque 0a ≠ , mettons a en facteur : 2( ) b cf x a x xa a

Faisons apparaitre les deux premiers termes de la parenthèse comme le début d'un carré 2

2 22( )

2 4b b bx x xa a a

+ = + −

Donc 2

22( ) ( )

2 4b b cf x a xa a a

= + − +

En réduisant au même dénominateur, les deux derniers termes dans le crochet 2

4( ) ( )2 4b b acf x a xa a

−= + −

Cette dernière écriture est appelée forme canonique du trinôme du second degré

2.2. Résolution de l'équation du second degré

On pose 2 4b ac∆ = − (lire "delta"); ∆ est le discriminant du trinôme

f(x) s'écrit 22( ) ( )

2 4bf x a xa a

∆ = + −

• Si 0∆ < , alors 2 04a∆

< , l'expression entre crochets est strictement positive, donc l'équation

( ) 0f x = n'admet pas de solution dans R.(voir le chapitre « nombres complexes »)

Remarque

voir le chapitre "Nombres complexes" pour la résolution dans C

• Si 0∆ = , alors 2( ) ( )2bf x a xa

= + et puisque 0a ≠ , l'équation ( ) 0f x = admet une solution

et une seule 2bxa

= − (on dit aussi que la racine est double)

• Si 0∆ > alors on peut écrire 2( )∆ = ∆

2 2 22

( )( ) ( ) ( ) ( )2 4 2 2b bf x a x a xa a a a

∆ ∆= + − = + −

soit en utilisant l'identité remarquable 2 2 ( )( )A B A B A B− = + −

( )2 2 2 2b bf x a x xa a a a

∆ ∆= + + + −

( 0)avec a ≠

Le produit de facteurs est nul si l'un des facteurs est nul

Si l'on pose 1 22 2b bx et x

a a− + ∆ − − ∆

f(x) s'écrit 1 2( ) ( )( )f x a x x x x= − −

Puisque 0a ≠ , l'équation ( ) 0f x = admet deux solutions distinctes :

1 22 2b bx et x

a a− + ∆ − − ∆

3. Factorisation du trinôme du second degré

Soit le discriminant du trinôme du second degré 2 4b a c∆ = −

• Si 0∆ > alors on peut écrire, le frinôme du second degré admet deux racines

1 22 2b bx et x

a a− + ∆ − − ∆

= = et alors 21 2( ) ( )a x b x c a x x x x+ + = − −

• Si 0∆ = , alors 2 2( )2ba x b x c a xa

+ + = +

• Si 0∆ < , le trinôme du second degré n'admet pas de racine dans R, et la factorisation

dans R n'est pas possible.

4. Somme et produit des racines

Lorsque le trinôme du second degré 2 0 ( 0)a x b x c avec a+ + = ≠ admet deux racines

distinctes 1 22 2b bx et x

a a− + ∆ − − ∆

= = (ou deux racines confondues 1 2 2bx xa−

• leur somme 1 2bS x xa

= + = −

• et leur produit 1 2cP x xa

Exemple

Résoudre l’équation du second degré 22 13 7 0x x− − =

Formons le discriminant 2 2 24 ( 13) 4( 7)(2) 225 15b ac∆ = − = − − − = =

1 213 15 13 15 17

2 4 2 4 2b bx et x

a a− + ∆ + − − ∆ −

= = = = = = −

Les racines de l’équation du second degré sont 17 ,2

Vérification :

1 1372 2

1 7. (7)( )2 2

bS x xa

cP x xa

= + = − = − =

= = = − = −

Factorisation du trinôme

2 12 13 7 2( 7)( ) ( 7)(2 1)2

x x x x x x− − = − + = − +

Exemple

Résoudre l’équation du second degré 22 1 0x x+ + =

Formons le discriminant 2 24 (1) 4(2)(1) 7 0b ac∆ = − = − = − <

Le trinôme du second degré n’admet pas de racine réelle et ne peut se factoriser dans .

Exemple

Cas où une racine est connue

Résoudre l’équation du second degré 2 1000 999 0x x− + =

On remarque que 1 1x = est une racine de cette équation.

On sait que le produit 1 2x x des racines est 999ca=

Puisque 1 1x = alors 2 999x =

5. Recherche de deux réels connaissant leur somme S et leur produit P

Deux nombres réels u et v ont pour somme S u v= + et pour produit P u v= , s'ils sont

solutions de l'équation du second degré 2 0x Sx P− + = .Les deux réls u et v n'existent que si

de plus 2 4 0S P− ≥

Exemple

Résoudre le système

1225x yx y+ =

Σ + =

On utilise l’identité remarquable 2 2 2( ) 2x y x y x y+ = + +

qui donne 2 2 2( ) ( )

2x y x yx y + − +

= soit 2(49) (1225) 558

2x y −

Le système ( )Σ est équivalent au système

( ')558

x yxy+ =

On cherche donc deux nombres connaissant leur somme 49S = et leur produit 588P =

Ces deux nombres x et y sont solutions de l’ équation 2 49 588 0X X− + =

Les racines de cette équation du second degré sont 21 et 28

Les solutions du système ( )Σ sont 21 28 28 21x et y ou x et y= = = =

6. Signe du trinôme du second degré

Soit 2( ) 0 ( 0)f x a x b x c avec a= + + = ≠

•Lorsque 0∆ < , f(x) est toujours du signe de a.

•Lorsque 0∆ = , f(x) est du signe de a (sauf lorsque2bxa

= − , auquel cas ( ) 0f x = )

•Lorsque 0∆ > , f(x) est

• du signe de a lorsque x est à l'extérieur des racines

• du signe de a− lorsque x est à l'intérieur des racines

• nul lorsque x ets égal à l'une des deux racines

Exemple

Donner le signe de 2( ) 2 13 7A x x x= − − et résoudre l’inéquation ( ) 0A x ≤

Le discriminant ∆ est égal à 2 213 4(2)( 7) 225 15∆ = − − = =

Les racines sont 1 213 15 13 15 17

4 4 2x et x+ −= = = = −

Le signe de A(x) est donné par le tableau :

+∞-∞

-1/2 7

+ − +

L’inéquation ( ) 0A x ≤1 ,72

x ⇔ ∈ −

Exemple

Donner le signe de 2( ) 2 1B x x x= + + et résoudre l’inéquation ( ) 0B x ≤

Le discriminant ∆ est égal à 21 4(2)(1) 7 0∆ = − = − <

Il n’y a pas de racine réelle

Le signe de B(x) est donné par le tableau :

+∞-∞

L’inéquation ( ) 0B x ≤ n’est jamais vérifiée

7. Fonctions trinômes du second degré et paraboles

Soit ( )C la courbe représentative de la fonction 2: ( 0)f x a x b x c a+ + ≠a dans le

repère ( ; ; )O i jr r

Reprenons la forme canonique de f(x) : 22( ) ( )

2 4by f x a xa a

∆ = = + −

forme canonique que l'on peut aussi écrire 2( ) ( )4 2

by a x Ia a∆ + = +

En introduisant le point I de coordonnées ;2 4bIa a

∆ − −

, et en introduisant le repère

( ; ; )I i jr r

déduit du repère ( ; ; )O i jr r

par translation

On note ( ; )x y les coordonnées d'un point quelconque M dans le repère ( ; ; )O i jr r

et ( ; )X Y

les coordonnées du même point M dans le repère ( ; ; )I i jr r

, les formules de changement

d'axes sont

2bX xa

= + et 2

Y ya∆

La courbe ( )C est d'après (I) une parabole d'équation 2Y a X= dans le repère ( ; ; )I i jr r

La parabole est tournée

• vers le bas lorsque 0a >

• vers le haut lorsque 0a <

a>0∆>0

a>0∆=0

a>0∆<0

a<0∆>0

a<0∆=0

a<0∆<0

La parabole admet la droite d'équation 2bxa

= − pour axe de symétrie

Lorsque 0a > , la fonction 2:f x a x b x c+ +a admet un minimum pour 2bxa

Lorsque 0a < , la fonction 2:f x a x b x c+ +a admet un maximum pour 2bxa

8. Résolution d’équations se ramenant à la résolution d’une équation du second degré

8.1. Résolution d’une équation du troisième degré (dont on peut trouver une racine réelle)

3 2 0 , ,ax bx cx d où a R b R c R et d R∗+ + + = ∈ ∈ ∈ ∈

Exemple

Résoudre l’équation du troisième degré 3 26 7 2 0x x x− + − =

L’équation proposée admet la racine évidente 1x =

On peut donc mettre ( 1)x − et puisque l’équation proposée est du troisième degré, on cherche

les réels ,a b et c tels que

3 2 26 7 2 ( 1)( )x x x x a x b x c− + − = − + +

Développons 3 2 3 26 7 2 ( ) ( )x x x ax b a x c b x c− + − = + − + − −

Par identification des coefficients des termes de même degré, on obtient le système

ab ac b

= − = − − = − = −

qui admet une solution unique

= = − =

et donc

3 2 26 7 2 ( 1)( 5 2)x x x x x x− + − = − − +

Le trinôme du second degré 2 5 2x x− + admet pour discriminant 2( 5) 4(1)(2) 17∆ = − − =

et pour racines 1 15 17 5 17

2 2x et x+ −= =

Les solutions de l’équation proposée sont

5 17 5 171 , ,2 2

8.2. Résolution d’une équation du quatrième degré

8.2.1. Equations bicarrées (pas de puissances impaires)

Une équation est bicarrée si elle est de la forme

4 2 0 ,a x b x c où a b et c∗+ + = ∈ ∈ ∈

En posant 2X x= (changement d’inconnue), la resolution d’une équation bicarrée en x,

commence par celle d’une équation du second degré d’inconnue X. Connaissant X, on peut

ensuite chercher x tel que 2x X=

Exemple

Résoudre 4 24 11 3 0x x+ − =

On pose 2X x= et donc 2 4X x=

et donc 4 2 24 11 3 4 11 3 0x x X X+ − = + − =

L’équation du second degré en X admet pour racines 1 21 34

X et X= = −

L’équation 2 1 1 14 2 2

x admet pour racines et= −

L’équation 2 3 'x n admet pas de racine dans= −

Les solutions de l’équation proposée sont 1 1,2 2

8.2.2. Equations dont les coefficients sont symétriques

S'ils admettent la racine 0x , ils admettent aussi la racine 0

puisque l'équation P(x)=0 est la

même que 1( ) 0Px

= . On dit qu’une telle équation est symétrique.

De telles équations peuvent être résolues en mettant 2x en facteur (puisque 0x = n’est pas

solution car 0a ≠ ) puis en posant 1X xx

Exemple

Résoudre 4 3 212 11 146 11 12 0x x x x− − − + =

On met 2x en facteur (puisque 0x = n’est pas solution)

4 3 2 2 22

11 1212 11 146 11 12 (12 11 146 ) 0x x x x x x xx x

− − − + = − − − + =

ou encore 22

1 112( ) 11( ) 146 0x xx x

+ − + − =

en posant 2 22

1 12X x soit X xx x

= + = + + :

En introduisant X 212( 2) 11( ) 146 0X X− − − = ou 212 11 170 0X X− − =

L’équation du second degré 212 11 170 0x x− − = admet pour racines 17 104 3

et −

21 17 1' ' 4 17 4 0 44 4

L équation X s écrit x x et admet pour racines etX

+ = − + =

21 10 1' ' 3 10 3 0 33 3

L équation X s écrit x x et admet pour racines etX

+ = − + + = − −

Les solutions sont donc 1 14, ,3,4 3

et l’on obtient la factorisation suivante 4 3 212 11 146 11 12 (3 1)( 3)(4 1)( 4)x x x x x x x x− − − + = + + − −

Remarque

D’autres équations peuvent se ramener à la résolution d’équations du second degré

Limites de fonctions - Formes indéterminées Cours

CHAPITRE 4 : LIMITES

La lettre grecque ,désigne soit soitα + ∞ − ∞ , soit a un réel fini ( )a ∈ R

1. LIMITES

Le plan est muni d’un repère ( ; ; )O i j→ →

, et on note fC la courbe représentative de la fonction f

dans ce repère

1.1. Limite égale à plus l’infini

On considère une fonction f définie au voisinage de α , ce qui signifie que :

• lorsque α désigne +∞ , la fonction f est définie sur un intervalle ] [; ( )b b+ ∞ ∈ R

• lorsque α désigne −∞ , la fonction f est définie sur un intervalle ] [; ( )b b− ∞ ∈ R

• Lorsque ( )a fini aα = ∈ R , la fonction f est définie sur ] [ ] [; ;a a h ou a h a+ −

] [ ; ( )ou a h a h h ∗+− + ∈ R

Définition

Dire que la limite de f en α est +∞ signifie que tout intervalle de la forme

] [; ( )M M+ ∞ ∈ R contient tous les réels ( )f x dès que x est suffisamment proche de .α .

On écrit lim ( ) lim ( )x

f x ou encore f x→α α

= +∞ = +∞ et on dit aussi que ( )f x tend vers +∞ quand

x tend vers α

lim ( )x

f x→+∞

= +∞ implique : on peut trouver une valeur b suffisamment grande telle que pour toute

valeur M aussi grande que l’on veut on ait si x b> alors ( )f x M>

Exemple

Les fonctions x x ; 2x x ; ( )nx x n ∗∈ N ; x x vérifient limx

x→+∞

= +∞ ;

x→+∞

= +∞ ; lim n

xx n ∗

→+∞= +∞ ∈ N ; lim

→+∞= +∞

lim ( )x

f x→−∞

= +∞ implique : on peut trouver une valeur b telle que pour toute valeur M aussi

grande que l’on veut on ait si x b< alors ( )f x M>

Exemple

Les fonctions 2x x ; ( , )nx x n n pair∗∈ N et 2lim ( )x

x→−∞

= +∞ ainsi que

2lim ( )p

xx avec p ∗

→−∞= +∞ ∈ N

On peut trouver une valeur h suffisamment petite telle que pour toute valeur M aussi grande que

l’on veut si ] [,x a h a h∈ − + alors ( )f x M>

Exemple

Les fonctions 1 1;x xx x

u u sont définies sur ] [0;+ ∞ et vérifient 0

1limx x+→

= +∞ ,

1limx x+→

= +∞

1.2. Limite égale à moins l’infini

Définition

Dire que la limite de f en α est − ∞ signifie que tout intervalle de la forme

] [; ( )M où M− ∞ ∈ R contient tous les réels ( )f x dès que x est suffisamment proche de α .

On note lim ( ) limx

f x ou encore f→α α

= −∞ = −∞

Exemple

Les fonctions x x ; (nx x n ∗∈ N , n impair) et lim ( )x

x→−∞

= −∞ ainsi que

2 1lim ( )p

xx avec p+

→−∞= −∞ ∈ N

1.3. Limite égale à un réel fini L (ou encore limite finie)

Soit L un nombre réel fini ( )L ∈ R

Définition

Dire que la limite de f en α est le réel L signifie que tout intervalle de la forme

] [; ( )L A L A A ∗+− + ∈ R contient tous les réels ( )f x dès que x est suffisamment proche de .α

On écrit lim ( ) limx

f x L ou encore f L→α α

On dit aussi que ( )f x tend vers L quand x tend vers .α

On peut trouver une valeur h suffisamment petite telle que pour ] [,x a h a h∈ − + alors

] [( ) ,f x A L A L∈ − + pour toute valeur A positive

Exemple

La fonction 1:f xx

est définie sur ] [0;+ ∞ et 1lim 0x x→+∞

(Interprétation graphique au chapitre suivant ANAL 05)

Remarque

Certaines limites peuvent ne pas exister; Ainsi la fonction définie sur R par

( ) sin ( ( ) cos )f x x ou g x x= = n’admet pas de limite en +∞ (ni en −∞ )

Théorème

Si une limite existe alors elle est unique. Ce théorème est admis

2. OPERATIONS sur les LIMITES.

2.1. Limite de la somme de deux fonctions

limlim '

Si f admet pour ite en L L Let si g admet pour ite en L

alors f g admet pour ite en L L pas de conclusion

α +∞ −∞ +∞α +∞ −∞ +∞ −∞ −∞

+ α + +∞ −∞ +∞ −∞La

démonstration de ce théorème est admise

2.2. Limite du produit de deux fonctions

lim 0 0lim '

Si f admet pour ite en L Let si g admet pour ite en L

alors f x g admet pour ite en L x L pas de conclusion

α ≠ ∞α ∞ ∞ ∞

α ∞ ∞

La démonstration de ce théorème est admise.

2.3. Limite du quotient de deux fonctions

lim 0 0lim ' 0 0 ' 0

Si f admet pour ite en L Let si g admet pour ite en L L

f Lalors admet pour ite en pas de conclusion pas de conclusiong L

α ≠ ∞ ∞α ≠ ∞

α ∞ ∞

La démonstration de ce théorème est admise.

Lorsqu’il n’y a pas de conclusion, on dit alors que c’est un cas de forme indéterminée.

Nous rencontrerons cette année 4 cas de formes indéterminées que nous noterons abusivement

0" " ; "0 " ; " " ; " "0

x ∞∞ − ∞ ∞∞

En présence d’une forme indéterminée, il faut lever l’indétermination, si c’est possible, en

transformant l’écriture de la fonction de façon à pouvoir conclure.

Parmi ces transformations, on peut citer :

• la technique de mise en facteur du terme dominant

• la technique de modification d’écriture, en particulier en utilisant la quantité conjuguée

• la technique d’encadrement (voir chapitre suivant ANAL05)

• la technique utilisant le taux d’accroissement (voir chapitre dérivée ANAL06)

Exemple

Calculer les limites éventuelles suivantes :

a) 2 3lim ( )x

x x→+∞

+ b) 2 3lim ( )x

x x→+∞

c) 2 3lim ( )x

x x→−∞

− + d) 2 3lim ( )x

x x→−∞

− −

a) 2limx

x→+∞

= +∞et 3limx

x→+∞

= +∞

Dans ce cas il n’y a pas de forme indéterminée et on applique le théorème sur la limite d’une

somme, donc 2 3lim ( )x

x x→+∞

+ = +∞

b) 2limx

x→+∞

= +∞et 3limx

x→+∞

= +∞

Les résultats obtenus sur la limite d’une somme algébrique ne permettent pas de conclure.

On est en présence d’une forme indéterminée " "+ ∞ −∞

On peut par exemple, mettre le terme de plus haut degré en facteur.

2 3 3 1( 1)x x xx

− = − et comme 3limx

x→+∞

= +∞ et 1lim ( 1) 1x x→+∞

− = −

Avec cette écriture, il n’y a plus de forme indéterminée, en appliquant le théorème sur la limite

d’un produit, on obtient 2 3lim ( )x

x x→+∞

− = −∞

Dans cet exemple, on obtient (évidemment) le même résultat en écrivant 2 3 2 (1 )x x x x− = −

c) 2lim ( )x

x→−∞

− = −∞ et 3lim ( )x

x→−∞

= −∞

Dans ce cas il n’y a pas de forme indéterminée et on applique le théorème sur la limite d’une

somme, donc 2 3lim ( )x

x x→−∞

− + = −∞

d) 2lim ( )x

x→−∞

− = −∞et 3lim ( )x

x→−∞

− = + ∞

Les résultats obtenus sur la limite d’une somme algébrique ne permettent pas de conclure.

On est en présence d’une forme indéterminée " "+ ∞ −∞

On écrit 2 3 3 1( 1)x x xx

− − = − + puisque 3lim ( )x

x→−∞

− = + ∞ et 1lim ( 1) 1x x→−∞

alors 2 3lim ( )x

x x→−∞

− − = +∞

Exemple

Déterminer les limites éventuelles en +∞ et en −∞ des fonctions rationnelles suivantes :

3 4:2 1x xf x

x x− +

b) 2 1:

2 1xg xx

xh xx x

a) Pour tout x réel non nul 2 22

3 43 4 (1 )x x xx x

− + = − + et 2 22

12 1 2 (1 )2 2xx x x

x+ + = + +

après simplification par 2x , nous obtenons 2

3 41( ) 1 12(1 )

x xf x

− +=

Puisque 2

3 4lim (1 ) 1x x x→±∞

− + = et 2

1 1lim 2(1 ) 22 2x x x→±∞

En utilisant la limite d’un quotient

Nous avons 2 2

3 4 3 4 1lim lim2 1 2 1 2x x

x x x xx x x x→+∞ →−∞

− + − += =+ + + +

b) Pour tout x réel non nul 2 22

11 (1 )x xx

+ = + et 12 1 2 (1 )2

après simplification par x, nous obtenons 10,2

x ∀ ∈ − −

1(1 )( ) 12(1 )

En utilisant la limite d’un quotient, le numérateur tend vers ou+∞ − ∞ et le dénominateur tend

vers 2 quand x tend vers ou+∞ − ∞

Nous avons 2 21 1lim lim

2 1 2 1x x

x xetx x→+∞ →−∞

+ += +∞ = −∞+ +

c) Pour tout x réel non nul 11 (1 )x xx

+ = + et 2 22

12 1 2 (1 )2 2xx x x

x+ + = + +

après simplification par x, nous obtenons 2

11( ) 1 12 (1 )

xx h xx

∀ ∈ =+ +

En utilisant la limite d’un quotient, le numérateur tend vers 1 et le dénominateur vers l’infini, on

obtient 2

1lim 02 1x

→−∞

+ =+ +

1lim 02 1x

→+∞

+ =+ +

Conclusion : Limites à l’infini d’un polynôme, d’une fraction rationnelle

En +∞ et en −∞ , tout polynôme admet une limite, qui est celle de son monôme de plus haut

degré

En +∞ et en −∞ , toute fonction rationnelle admet une limite, qui est celle du quotient des

monômes de plus haut degré de son numérateur et de son dénominateur

Exemple

Déterminer la limite en 2 des fonctions suivantes :

6( )5 6

x xf xx x

+ −=+ +

2 6( )6

x xg xx x

− −=+ −

2lim( 6) 0x

x x→

+ − = et 2

2lim( 5 6) 20x

x x→

Seul le numérateur s’annule pour la valeur 2.

En appliquant la limite d’un quotient, on trouve le résultat 2

6lim 05 6x

x xx x→

+ − =+ +

2lim (2 6) 0x

x x→

− − = et 2

2lim ( 6) 0x

x x→

+ − =

En 2x = , g est le quotient de deux fonctions de limite nulle, et l’on aboutit à une forme

indéterminée 0" "0

. Précisément, puisque nous avons une telle forme indéterminée, on peut mettre

( 2)x − en facteur au numérateur et au dénominateur.

2 32 6 2( 2)( )2

x x x x− − = − + et 2 6 ( 2)( 3)x x x x+ − = − +

2, 3x∀ ∈ − −R alors 2

32( 2)( )2 6 2 32( )6 ( 2)( 3) 3

x xx x xf xx x x x x

− +− − += = =+ − − + +

2 3 2 7lim6 5x

x xx x→

− − =+ −

Voir aussi l’exemple 10 de ce chapitre ANAL04

Exemple

Déterminer la limite en 1 de la fonction suivante 2

1 2( ) ( )1 1

f xx x

= −− −

On est en présence d’une forme indéterminée" "∞ − ∞ . Il faut utiliser la technique de modification

d’écriture, en réduisant au même dénominateur, on a

1 2 1 2 1 11 ,1 :1 1 (1 )(1 ) 1 (1 )(1 ) 1

x xxx x x x x x x x

+ −∀ ∈ − − − = − = = −− − − + − − + +

1 2 1lim ( )1 1 2x x x→

− = −− −

Exemple

Déterminer la limite en 1 de la fonction 2 2 1( )1

x xf xx

+ − +=−

Soit f : 2 2 11

+ − +−

Alors le domaine de définition de f est ] [1 ,1 1,2fD = − ∪ + ∞

1lim ( 2 2 1) 3 3 0x

x x→

+ − + = − = et 1

lim( 1) 0x

On est en présence d’une forme indéterminée 0" "0

. Il faut utiliser la technique de modification

d’écriture, en utilisant la quantité conjuguée.

Partons de l’identité remarquable 2 2 ( )( )a b a b a b− = + −

La quantité conjuguée de ( )a b− est ( )a b+ (et celle de ( )a b+ est ( )a b− )

Multiplions le numérateur et le dénominateur de f(x) par l’expression conjuguée de

2 2 1x x+ − + c’est-à-dire par 2 2 1x x+ + +

Pour tout x de fD alors 2 2 1x x+ + + 0≠ et

2 2 1( )1

2 2 1 2 2 1

( 1) 2 2 1

1( 1) 2 2 1

x xf xx

x x x x

xx x x

+ − +=−

+ − + + + + = − + + +

− += − + + +

12 2 1x x

= − + + +

puisque 1

lim 2 2 1 2 3x

x x→

+ + + = alors 1

2 2 1 1lim1 2 3x

x xx→

+ − + = −−

Exemple

Déterminer les limites en +∞ et en −∞ de la fonction 2: 2f x x x x+ −

Le domaine de définition de la fonction f est ] ] [ [, 1 0,fD = −∞ − ∪ + ∞

Etude en −∞

2lim lim ( 1)x x

x x x x→−∞ →−∞

+ = + = +∞et donc en −∞ , il n’y a pas de forme indéterminée et

2lim 2x

x x x→−∞

+ − = +∞

2lim lim ( 1)x x

x x x x→+∞ →+∞

+ = + = +∞et donc en +∞ , f se présente sous une forme indéterminée

" "∞ − ∞ .

On a en transformant l’expression

] [ 2 1 10 , : ( ) (1 ) 2 1 2x f x x x x xx x

∀ ∈ + ∞ = + − = + −

] [0 , :x x x∀ ∈ + ∞ =

soit ] [ 10 , : ( ) 1 2x f x xx

∀ ∈ + ∞ = + −

x→+∞

= +∞ et 1lim 1 2 1x x→+∞

+ − = −

en utilisant la limite d’un produit, alors 2lim 2x

x x x→+∞

+ − = −∞

Exemple

Déterminer les limites en +∞ et en −∞ de la fonction 2:f x x x x+ −

Le domaine de définition de la fonction f est ] ] [ [, 1 0,fD = −∞ − ∪ + ∞

• Etude en −∞

Il n’y a pas de forme indéterminée et 2limx

x x x→−∞

+ − = +∞

• Etude en +∞

f se présente sous une forme indéterminée, et la technique de calcul de l’exemple précédent n°6

conserve une forme indéterminée

On utilise alors la technique de la quantité conjuguée

] [ 20, : 0x x x x∀ ∈ + ∞ + + ≠

En multipliant le numérateur et le dénominateur de f par 2x x x+ + , on obtient

] [2 2

2 20 , : ( )

x x x x x x xx f xx x x x x x

+ − + + ∀ ∈ +∞ = =

+ + + +

] [ 10 , : ( )1 11 1 1

xx f xx x

∀ ∈ +∞ = =+ + + +

et la limite d’un quotient permet de conclure

2 1lim2x

x x x→+∞

+ − =

3. LIMITES des FONCTIONS COMPOSEES

Dans ce paragraphe, f est une fonction définie sur un intervalle I, et g est définie sur un intervalle

contenant ( )f I

α , L et L’ désignent des nombres réels, ou + ∞ , ou −∞

Théorème

Si lim ( )x

f x L→α

= et si lim ( ) 'x L

g x L→

= alors lim ( )( )x L

g f x L→

Exemple

Déterminer la limite en +∞ de la fonction h définie sur [ [1,+ ∞ par 2

On peut écrire ( ) ( )( )h x g f x= ο avec 2

et ( )g x x=

Puisque 2

1lim ( ) lim 01x x

xf xx→+∞ →+∞

−= =+

lim 0X

alors 2

1lim 01x

xx→+∞

− =+

Exemple

Déterminer la limite en +∞ de la fonction h définie sur 23

− −

R par 1( ) sin( )3 2

π +=+

On peut écrire ( ) ( )( )h x g f x= avec 1( )3 2

π +=+

et ( ) sing x x=

Puisque 1lim ( ) lim ( )3 2 3x x

xf xx→+∞ →+∞

π + π= =+

3lim sin sin3 2X

Xπ→

alors 1 3lim sin( )3 2 2x

xx→+∞

π + =+

4. Limites à gauche et à droite (limite latérale)

Soit f une fonction et a un réel fini ( )a ∈ R ; L désigne un réel, ou−∞ + ∞

Dire que f admet L comme limite à gauche en a signifie que la restriction de f à ] [,a− ∞ admet L

comme limite en a.

On note indifféremment

lim ( )x ax a

f x L→<

= ou lim ( )x a

f x L→<

= ou lim ( )x a

f x L−→

Dire que f admet L comme limite à droite en a signifie que la restriction de f à ] [,a + ∞ admet L

comme limite en a.

On note indifféremment

lim ( )x ax a

f x L→>

= ou lim ( )x a

f x L→>

= ou lim ( )x a

f x L+→

Théorème

Si la fonction f admet une limite en a, alors f admet des limites à gauche et à droite de a (pourvu

que la fonction f soit définie en a), et de plus

lim ( ) lim ( ) lim ( )x a x a x a

f x f x f x+ −→ → →

La contraposée de ce théorème est très utile, puisque si les limites à gauche et à droite de a sont

différentes, alors f n’admet pas de limite en a.

Exemple

Montrer que 22

2 3lim6x

xx x→

−+ −

n’existe pas.

xSoit f xx x

−+ −

alors 2, 3fD = − −R

Puisque 2 6 ( 2)( 3)x x x x+ − = − +

En utilisant le signe du trinôme du second degré :

lim( 2)( 3) 0xx

− + = et 2

lim( 2)( 3) 0xx

x x −

− + =

En appliquant la limite d’un quotient 222

2 3lim6x

xx x→

− = −∞+ −

et 222

2 3lim6x

xx x→

− = +∞+ −

Les limites à gauche et à droite de 2 sont infinies (et de signe différent), la fonction n’admet pas

de limite en 2.

Exemple

Montrer que 0

1lim 1x

+ n’existe pas

C’est une forme indéterminée "0 "x ∞

En utilisant le signe du trinôme du second degré, on a pour

si ] [ 10, 1 1x x xx

∈ + ∞ + = + et donc 0 0

1lim 1 lim ( 1) 1x x

x xx+ +→ →

+ = + =

si [ [ 1 1 11,0 1 1 1 0x x x car alorsx x x

∈ − + = − − + <

et donc

1lim 1 lim ( 1 ) 1x x

x xx− −→ →

+ = − − = −

Puisque les limites à gauche et à droite de 0 sont différentes, la limite en 0 n’existe pas.

Limite et ordre - Asymptotes Cours

CHAPITRE 5 : LIMITE ET ORDRE – ASYMPTOTES

La lettre grecque ,désigne soit soitα +∞ −∞ , soit a un réel fini ( )a∈R

Le plan est muni d’un repère ( ; ; )O i j→ →

, et on note fC la courbe représentative de la fonction f

dans ce repère

1. LIMITE et ORDRE

1.1. Théorème de comparaison

f et g sont deux fonctions définies sur le même intervalle I

( ) ( )lim ( )x

Si x I f x g xg x

∀ ∈ ≥ = +∞

alors lim ( )x

f x→α

= +∞

Exemple

Déterminer la limite en −∞ et en +∞ de la fonction f définie sur R par ( ) sinf x x x= +

On part de 1 sin 1x x∀ ∈ − ≤ ≤R , soit encore en ajoutant x à chaque membre de l’inégalité

1 sin 1x x x x x∀ ∈ − ≤ + ≤ +R

• Etude en −∞

On utilise l’inégalité sin 1x x x x∀ ∈ + ≤ +R et puisque lim ( 1)x

x→−∞

+ = −∞

d’après le théorème de comparaison lim ( sin )x

x x→−∞

+ = −∞

• Etude en +∞

On utilise l’inégalité 1 sinx x x x∀ ∈ − ≤ +R et puisque lim ( 1)x

x→+∞

+ = +∞

toujours d’après le théorème de comparaison lim ( sin )x

x x→+∞

+ = +∞

1.2. Théorème des gendarmes

L désigne un réel

( ) ( ) ( )lim ( ) lim ( )x x

Si x I g x f x h xg x L et h x L

→α →α

∀ ∈ ≤ ≤ = =

alors lim ( )x

f x L→α

Corollaire

( ) ( )lim ( ) 0x

Si x I f x L g xg x

∀ ∈ − ≤ =

alors lim ( )x

f x L→α

Exemple

Déterminer la limite en 0 de la fonction f définie sur ] [0, +∞ par 1( ) sinf x xx

puisque 1 sin 1u u∀ ∈ − ≤ ≤R , alors ] [ 10, 1 sin 1xx

∀ ∈ +∞ − ≤ ≤

En multipliant chaque membre de la double inégalité par ] [0 ,x avec x∈ +∞ , on obtient

] [ 10, sinx x x xx

∀ ∈ +∞ − ≤ ≤ et puisque 0

lim ( ) 0x

x+→− = et

0lim ( ) 0x

alors d’après le théorème des gendarmes 0

1lim ( sin ) 0x

xx+→

1.3. Conservation des inégalités larges par passage à la limite

( ) ( )lim ( ) lim ( ) 'x x

Si x I g x f xg x L et f x L

→α →α

∀ ∈ ≤ = =

alors 'L L≤

2. ASYMPTOTES

2.1. Asymptote horizontale ou asymptote parallèle à la droite des abscisses

La droite ∆ d’équation y L= est asymptote à C au voisinage de +∞ si et seulement si

lim f L+∞

Deux cas sont possibles

Si lim f L+

+∞= Si lim f L−

La droite ∆ d’équation y L= est asymptote à C au voisinage de −∞ si et seulement si

lim f L−∞

Si lim f L+

−∞= Si lim f L−

2.2. Asymptote verticale ou asymptote parallèle à la droite des ordonnées.

La droite ∆ d’équation x a= est asymptote à C si et seulement si lima

f = ±∞

Quatre cas sont possibles

Si lima

= +∞ Si lima

= −∞

Si lima

= +∞ Si lima

= −∞

2.3. Asymptote oblique

La droite ∆ d’équation ( 0)y ax b a= + ≠ est asymptote oblique à C au voisinage de +∞ si et

seulement si [ ]lim ( ) ( ) 0x

f x ax b→+∞

− + =

Deux cas possibles

Si [ ]lim ( ) ( ) 0x

f x ax b +

→+∞− + =

Si [ ]lim ( ) ( ) 0x

f x ax b −

→+∞− + =

La droite ∆ d’équation ( 0)y ax b a= + ≠ est asymptote oblique à C au voisinage de −∞ si et

seulement si [ ]lim ( ) ( ) 0x

f x ax b→−∞

− + =

Deux cas possibles

Si [ ]lim ( ) ( ) 0x

f x ax b +

→−∞− + =

Si [ ]lim ( ) ( ) 0x

f x ax b −

→−∞− + =

Remarque

Il est facile de voir que [ ]lim ( ) ( ) 0x

f x ax b→+∞

− + = implique deux choses :

1) tout d’abord [ ]( ) ( )lim 0x

f x ax bx→+∞

− += mais,

[ ]( ) ( ) ( )lim lim limx x x

f x ax b f x ax bx x x→+∞ →+∞ →+∞

− + += −

2) et comme limx

ax b ax→+∞

+= , nous avons ( )lim

f x ax→+∞

De plus [ ]lim ( ) ( ) 0x

f x ax b→+∞

− + = est équivalent à [ ]lim ( )x

f x ax b→+∞

Ces deux remarques nous permettent d’avoir une méthode de détermination des caractéristiques

d’une asymptote oblique en+∞ , en deux étapes :

1. le coefficient a est donné par ( )limx

f x ax→+∞

2. Si a existe et est déterminé, l’ordonnée à l’origine b est donnée par [ ]lim ( )x

f x ax b→+∞

Si une de ces étapes ne débouche pas (limite infinie ou inexistante), il n’y a pas d’asymptote en

+∞ Bien sûr, en remplaçant +∞ par −∞ dans la méthode, nous obtenons un moyen de déterminer

l’asymptote oblique en −∞

Remarque

1. Il se peut qu’une fonction possède une asymptote en un infini mais pas en l’autre

2. Il se peut que ( )limx

f xax→+∞

= existe et soit fini mais que [ ]lim ( )x

f x ax→+∞

− n’existe pas ou soit

infinie; il n’y a alors pas d’asymptote

Exemple

Soit f la fonction numérique définie sur 2− −R par 2 5( )

2x xf x

x− −

1. Déterminer les réels a, b, c tels que, pour tout 2x ≠ − , on ait ( )2

cf x ax bx

= + ++

2. Soit C la courbe représentative de f dans le repère ( , , )O i j→ →

Montrer que C admet une asymptote verticale D et une asymptote oblique ∆

3. Soit I le point d’intersection des asymptotes D et∆ . Montrer que I est centre de symétrie de C.

1. On réduit au même dénominateur f(x)

( )( 2)2 ( )2

ax b x cx f xx

+ + +∀ ∈ − − =

On développe et on ordonne le numérateur

2 (2 ) 22 ( )

2ax a b x b cx f x

x+ + + +

∀ ∈ − − =+

Les dénominateurs de f(x) étant les mêmes, on identifie les coefficients des termes de même

degré des numérateurs

2 22 5 (2 ) 2x x x ax a b x b c∀ ∈ − − − − = + + + +R

2 1 32 5 1

a aa b bb c c

= = ⇔ + = − ⇔ = − + = − =

et donc 12 ( ) 32

x f x xx

∀ ∈ − − = − ++

2 2lim ( 5) 1 lim ( 2) 0x x

x x et x→− →−

− − = + =

Pour 2

2 2 0 limx

x alors x et−→−

< − + < = −∞

et pour 2

2 2 0 limx

x alors x et+→−

> − + > = +∞

La droite D d’équation 2x = − est asymptote verticale à C

La nouvelle écriture de ( )f x obtenue à la question 1, a pour intérêt de fournir immédiatement

l’équation de l’asymptote oblique

[ ] 1lim ( ) ( 3) lim 02x x

f x xx

→−∞ →−∞− − = =

[ ] 1lim ( ) ( 3) lim 02x x

f x xx

→+∞ →+∞− − = =

La droite ∆ d’équation 3y x= − est asymptote oblique à C

] [, 2x∀ ∈ −∞ − , la courbe C est en dessous de ∆

] [2,x∀ ∈ − +∞ , la courbe C est au dessus de ∆

3. Les coordonnées du point I vérifient :

3 5I I

x xy x y= − = −

⇔ = − = −

Formons l’équation de C dans le repère ( , , )I i j→ →

Etant donné un point M, soit ( , )x y ses coordonnées dans le repère ( , , )O i j→ →

et ( , )X Y ses

coordonnées dans le repère ( , , )I i j→ →

De OM OI IM→ → →

= + on déduit 25

x Xy Y= − +

= − +

et 1 1 13 5 3 22 2 2

M C y x Y X Y Xx X X

∈ ⇔ = − + ⇔ − = − − + ⇔ = +− − +

Une équation de C dans le repère ( , , )I i j→ →

est 1Y XX

La fonction 1:F X XX

+a est impaire, et la courbe C est symétrique par rapport à la nouvelle

origine I

Exemple

Soit f la fonction définie sur 1−R par 2 2 2( )

1x xf x

1. Déterminer les limites à gauche et à droite de 1.

Interpréter graphiquement le résultat

2. Calculer pour tout x de 1−R : ( ) ( 3)f x x− +

En déduire que la courbe C admet en −∞ et en +∞ une droite asymptote ∆ dont on précisera

une équation

Etudier la position de C par rapport à ∆

1. 2 2 21 : ( )

1x xx f x

∀ ∈ − =−

1lim ( 2 2) 5x

x x→

+ + = et 1

lim( 1) 0x

− = avec 1 0 11 0 1

x si xx si x− < <

− > >

donc 1

lim ( )x

f x−→

= −∞ et 1

lim ( )x

f x+→

= +∞

La droite d’équation 1x = est asymptote verticale à la courbe représentative C de f.

2. 1x∀ ∈ −R formons l’expression ( ) ( 3)f x x− +

1x∀ ∈ −R ( ) ( 3)f x x− +2 22 2 ( 3)( 1) 5( 3)

1 1 1x x x x x xx

x x x+ + + + − + −

= − + = =− − −

puisque 5 5lim 0 lim 01 1x x

etx x→−∞ →+∞

= =− −

la droite ∆ d’équation 3y x= + est asymptote oblique à la courbe C lorsque x tend vers −∞ et

lorsque x tend vers +∞

1x∀ ∈ −R , le signe de ( ) ( 3)f x x− + est celui de 51x −

la courbe C est

au-dessous de ∆ si 1x <

au-dessus de ∆ si 1x >

Exemple

Déterminer les asymptotes de 2: 1 2f x x x− +a

Le domaine de définition de la fonction est ] [ ] [, 1 1 ,D = −∞ − ∪ +∞

• Etude en +∞

Puisque 2lim ( 1)x

x→+∞

− = +∞ et lim (2 )x

x→+∞

= +∞ alors d’après le théorème donnant la somme des

limites : 2lim ( ) lim 1 2x x

f x x x→+∞ →+∞

= + + = +∞

Déterminons ( )limx

f xx→+∞

1(1 ) 2( )lim limx x

x xf x xx x→+∞ →+∞

+ += et puisque si 0x > alors 2x x x= =

alors 2

( ) 1lim lim 1 2 3x x

f xx x→+∞ →+∞

= + + =

et donc 3a =

puis déterminons [ ]lim ( ) 3x

f x x→+∞

[ ]2 2

( 1) 1lim ( ) 3 lim 1 lim lim 01 1x x x x

x xf x x x xx x x x→+∞ →+∞ →+∞ →+∞

− − − − = − − = = = − + − +

et donc 0b =

la droite ∆ d’équation 3y x= est asymptote oblique à la courbe C lorsque x tend vers +∞

La différence ( ) 3f x x− est négative pour 1x > , la courbe C est au-dessous de l’asymptote ∆

pour ] [1,x∈ +∞

• Etude en −∞

si 0x < alors 2x x x= = −

1lim ( ) lim 1 2x x

f x xx→−∞ →−∞

= − − + = −∞

Déterminons ( )limx

f xx→−∞

( ) 1lim lim 1 2 1x x

f xx x→−∞ →−∞

= − − + =

et donc 1a =

Déterminons [ ]lim ( )x

f x x→−∞

1lim ( ) lim 1 lim 01x x x

f x x x xx x→−∞ →−∞ →−∞

− − = + + = = − − et donc 0b =

la droite '∆ d’équation y x= est asymptote oblique à la courbe C lorsque x tend vers −∞

La différence ( )f x x− est négative pour 1x < , la courbe C est en-dessous de l’asymptote '∆

pour ] [, 1x∈ −∞ −

Dérivation des fonctions composées Cours

CHAPITRE 7 : DERIVATION DES FONCTIONS COMPOSEES - DERIVEE N-IEMES

1. DERIVATION d’une FONCTION COMPOSEE

1.1. Dérivée d’une fonction composée

Théorème

Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I et g une fonction dérivable sur ( )f I .

La fonction composée g fo est dérivable sur I et

0 0, ( ) '( )x I g f x∀ ∈ o [ ]0 0' ( ) '( )g f x f x=

La démonstration de ce théorème est admise

Formulation différentielle de ce résultat :

Posons ( )y f x= et ( ) ( )( )z g y g f x= = o

On a alors :

0 0'( ) ( )dyf x xdx

= 0 0'( ) ( )dzg y ydy

= puis 0 0( ) '( ) ( )dzg f x xdx

La propriété précédente s’écrit donc : 0( )dz xdx 0( )dz y

dy= 0( )dy x

ce qui donne par abus de notation dzdx

Exemple

Donner le domaine de dérivabilité de la fonction 4 3: cos cos 2cos 3h x x x x+ − +a ainsi que

sa fonction dérivée

La fonction h est définie sur D = R

La fonction h peut s’écrire g fo avec : cosf x xa et 4 3: 2 3g y y y y+ − +a

Ces deux dernières fonctions sont dérivables sur R , par conséquent h aussi.

Puisque '( ) sinf x x= − et 3 2'( ) 4 3 2g y y y= + −

Alors 3 2' '( ) (4cos 3cos 2)( sin )x D h x x x x∀ ∈ = = + − −R

Exemple

Donner le domaine de dérivabilité de la fonction 2: 2 3h x x x+ −a ainsi que sa fonction

dérivée

La fonction h est définie sur [ [1,D = +∞ (ou sur ] ], 3D = −∞ − )

La fonction h peut s’écrire g fο avec 2: 2 3f x x x+ −a et :g y ya

La fonction f étant un polynôme est dérivable sur R tout entier et '( ) 2 2f x x= +

la fonction g n’est dérivable que sur ] [0,+∞ et 1'( )2

La fonction h n’est dérivable que sur ] [' 1,D = +∞ (ou sur ] [' , 3D = −∞ − )

et ] [ ] [2

1' 1, ( , 3 ) '( )2 3

xx D ou h xx x

+∀ ∈ = +∞ −∞ − =

Vérifions que h n’est pas dérivable en 1 puisque

(1 ) 2(1 ) 3(1 ) (1) 4lim lim limx x x

x xh x h x xx x x→ → →

+ + + −+ − += =

+= = +∞

Exemple

Donner le domaine de dérivabilité de la fonction 1: cosh xx

a ainsi que sa fonction dérivée

La fonction h est définie sur D ∗= R

La fonction h peut s’écrire g fο avec 1:f xx

a et : cosg y ya

La fonction f est dérivable sur ∗R et 2

1'( )f xx

la fonction g est dérivable sur R et '( ) sing y y= −

La fonction h est dérivable sur ∗R et 2

1 1' '( ) sinx D h xx x

∗∀ ∈ = =R

2. Résultats classiques pour une autre utilisation du théorème de dérivation des fonctions composées

On montre facilement que

• la fonction sin( )x ax b+a est dérivable sur R , de fonction dérivée :

cos( )x a ax b+a

• la fonction cos( )x ax b+a est dérivable sur R , de fonction dérivée :

sin( )x a ax b− +a

• Soit n un entier strictement supérieur à 1, et f une application d’un intervalle I dans

R , dérivable sur I, la fonction nf est dérivable sur I, de fonction dérivée : 1( ( )) '( )nx n f x f x−a

• Soit n un entier strictement supérieur à 1, et f une application d’un intervalle I dans

R , dérivable sur I et telle que f ne s’annule pas sur I, la fonction 1nf

est dérivable sur

I, de fonction dérivée : '

( )( )n

f xx nf x+−a

Exemple

Donner le domaine de dérivabilité de la fonction 2 2

1:(2 3 5)

h xx x+ +

a ainsi que sa fonction

dérivée

D’après le signe du trinôme du second degré 22 3 5 0x x x∀ ∈ + + >R et la fonction h est

définie sur D = R

et 2 3

2(4 3)' '( )(2 3 5)

xx D D h xx x

+∀ ∈ = = = −

• Soit f une application d’un intervalle I dans +R , dérivable sur I, la fonction f est

dérivable en tout point x de I tel que ( ) 0f x > , de fonction dérivée '( ):2 ( )

f xxf x

3. Nouvelle utilisation du théorème de dérivation des fonctions composées :

Soit f une fonction définie sur un intervalle I et prenant ses valeurs dans un intervalle J, et g

une fonction définie sur l’intervalle J

Si f et g ont le même sens de variation, l’une sur I et l’autre sur J, alors la fonction composée

g fo est croissante sur I

Si f et g ont des sens de variation contraires, l’une sur I et l’autre sur J, alors la fonction

composée g fo est décroissante sur I

4. DERIVEES SUCCESSIVES.

Soit I un intervalle de R .

On suppose que les fonctions f et f’ sont dérivables sur I. Si la fonction f’ admet une fonction

dérivée, celle ci est appelée dérivée seconde de f et est notée " ( ') 'f f=

La fonction 'f est appelée dérivée première pour éviter toute confusion.

On définit par récurrence la fonction dérivée ièmen ou d’ordre n de f, et est notée ( )nf

et ( ) ( 1)( ) 'n nn f f −∀ ∈ =N avec les conventions (0)f f= et (1) 'f f=

Remarque

On écrira symboliquement

au lieu de 'f , 2

au lieu de "f et n

au lieu de ( )nf

Si pour tout entier naturel non nul, la fonction f est n fois dérivable, on dit que la fonction f est

indéfiniment dérivable

Les fonctions sinus et cosinus sont indéfiniment dérivables sur R

Par récurrence, on montre que

( )(sin ) sin( )2

n nx x π= +

( )(cos ) cos( )2

n nx x π= +

! ( )( )!

, ( ) !0

k x a si k nk n

dSoit a x x a k si k ndx

si k n

−− >−

∈ ∀ ∈ − = =<

1 ( 1) !,( )

d nSoit a x adx x a x a +

− ∈ ∀ ∈ − = − − R R

Exemple

Dérivée d’un polynôme

Soit un polynôme de degré n défini par 11 1 0( ) ...... 0n n

n n nP x a x a x a x a avec a−−= + + + + ≠

alors 1 21 1'( ) ( 1) ......n n

n nP x na x n a x a− −−= + − + + et ( )( ) ( !)n

nP x n a= puis ( 1)( ) 0nP x+ =

Toute fonction polynomiale de degré n est indéfiniment dérivable sur R et la dérivée

( 1)èmen + est la fonction identiquement nulle.

Exemple

Soit f la fonction définie par 2( ) 1f x x x= + +

1° Déterminer sa fonction dérivée première et vérifier la relation : 21 '( ) ( )x f x f x+ =

2° En déduire que la fonction dérivée seconde vérifie la relation : 2(1 ) "( ) '( ) ( ) 0x f x x f x f x+ + − =

1° ( )f x est définie x∀ ∈R , et en dérivant on obtient 2

1'( ) 11 1

x x xf xx x

+ += + =

+ + (ou

encore produit des extrêmes égal au produit des moyens)

21 '( ) ( )x x f x f x∀ ∈ + =R

2° on dérive cette dernière relation, en appliquant en particulier la dérivation d’un produit

2'( ) 1 "( ) '( )

1x f x x f x f x

x+ + =

on réduit au même dénominateur

2 2'( ) (1 ) "( ) 1 '( )x f x x f x x f x+ + = +

En utilisant le résultat de la première question, on obtient (l’équation différentielle) 2(1 ) "( ) '( ) ( ) 0x x f x x f x f x∀ ∈ + + − =R

5. DERIVATION et BIJECTION. DERIVEE d’une FONCTION RECIPROQUE.

5.1. Bijection

La fonction f définie sur I ⊂ R est une bijection de ( )I sur f I si ( )y f I∀ ∈ l’équation

( )f x y= admet une solution unique sur I

Théorème

Si f est continue et strictement monotone sur un intervalle I, alors f est une bijection de I sur

( )f I et les intervalles I et ( )f I sont de même nature.

Si f est strictement croissante, [ ] [ ]( , ) ( ) , ( )f a b f a f b=

Si f est strictement décroissante, [ ] [ ]( , ) ( ) , ( )f a b f b f a=

5.2. Définition et propriétés de la fonction réciproque

Si f est une bijection de I sur ( )f I , alors il existe une fonction réciproque de f, notée 1f − .

L’ensemble de définition de 1f − est ( )f I et l’image par 1f − de ( )f I est I

La fonction 1f − est telle que

∈ ⇔

( )x f y

La fonction 1f − est une bijection de ( )f I sur I

La composée 1( )f f− o est l’application identique de I sur I

La composée 1( )f f −o est l’application identique de ( )f I sur ( )f I

Si f est continue sur I, 1f − est continue sur ( )f I

Si f est strictement monotone sur I, 1f − est strictement monotone sur ( )f I et de même sens

de variation que f.

Dans un repère orthonormé, les courbes 1f fC et C − sont symétriques par rapport à la droite

d’équation y x= (la première bissectrice des axes de coordonnées)

5.3. Dérivée d’une fonction réciproque

Soit f dérivable sur I et admettant sur I une fonction réciproque 1f − 1f − est dérivable en tout point 0 0 0( , ( ))x y f x= tel que 0'( ) 0f x ≠ et

1 '0 1

1( )'( ( ))

f yf f y

−−

que l’on écrit symboliquement

1dydxdxdy

La pente de la tangente à 1fC − au point de coordonnées 0 0( , )x y est l’inverse de la pente de la

tangente au point de coordonnées 0 0( , )y x .

Exemple

Soit f la fonction définie par : , , ( ) 2cos cos 23

x f x x xπ ∈ π = −

1) Montrer que f admet une fonction réciproque, 1f − dont on précisera l’ensemble de

définition et les propriétés.

2) Calculer les valeurs de 1f − et de sa fonction dérivée, pour les valeurs 2− , 12

− et 1 de la

variable

La fonction est définie pour , ( ) 2cos cos 23

x par f x x xπ ∈ π = − , cette fonction est

continue et dérivable sur ,3π π

, '( ) 2sin 2sin 2 2sin 4sin cos 2sin (2cos 1)3

x f x x x x x x x xπ ∀ ∈ π = − + = − + = −

f définit une bijection de ,3π π

sur 33 ,2

L’application réciproque 1f − est définie, continue et strictement décroissante de 33 ,2

sur ,3π π

La représentation graphique de 1f − se déduit de celle de f dans la symétrie par

rapport à la première bissectrice.

Puisque 3 3( ) 2 '( ) 2( 2 1)4 4

f et fπ π= − = −

Alors 1 13 1 2 1 2 2( 2) '( 2)4 22( 2 1) 2

f et f− −π + +− = − = = =

De même 2 1 2( ) '( ) 2 33 2 3

f et fπ π= − = −

alors 1 11 2 1 1 3( ) '( )2 3 2 62 3

f et f− −π− = − = − = −

Enfin ( ) 1 '( ) 22 2

f et fπ π= = −

alors 1 1 1(1) '(1)2 2

f et f− −π= = −

Fonctions trigonométriques Cours

CHAPITRE 8 : FONCTIONS TRIGONOMETRIQUES

1. PLAN D’ÉTUDE D’UNE FONCTION TRIGONOMÉTRIQUE PERIODIQUE

On considère un repère orthogonal ( , , )O i j

1. Déterminer le domaine de définition D de la fonction.

2. Recherche d’une éventuelle période T (T>0 le plus petit possible). On étudie la fonction

pour [ ]1 , ,x E T D avec∈ = α α + ∩ α à déterminer en tenant compte des autres propriétés de

la fonction.

3. Parité ou imparité

Si la fonction est paire ou impaire, on prend en général 2Tα = − et donc l’intervalle

1 ,2 2T TE D = − ∩

et l’on réduit l’étude à l’intervalle 2 0,2TE D = ∩

Remarque

On peut aussi prendre 0α = et dans certains cas d’autres valeurs de α sont

préférables.

4. Centre de symétrie. Axe de symétrie

On peut aussi réduire l’intervalle d’étude dans le cas où la fonction admet un centre de

symétrie ( , )I a b (autre que l’origine) ou un axe de symétrie x a= (autre que 0x = )

5. Etude de la fonction dérivée. Limites aux bornes du domaine de définition.

Tableau de variation.

6. Représentation graphique de la fonction.

Remarque

Certaines étapes comme le 2 (ou le 3 ou le 4) peuvent ne pas se produire

2. Etude de la fonction sinus

Soit la fonction : sinf x x

• La fonction sinus est définie sur D =

• La fonction sinus est périodique de période 2T = π

En effet , 2 sin( 2 ) sinx D x D et x x∀ ∈ + π∈ + π =

Il suffit donc d’étudier la fonction sur [ ]1 ,E = − π π

• La fonction sinus est impaire

En effet , sin( ) sinx D x D et x x∀ ∈ − ∈ − = −

• On réduit l’étude de la fonction à [ ]2 0 ,E = π

• La courbe représentative de la fonction sinus admet la droite d’équation 2

x π= pour axe de

symétrie

En effet 2 2

x D x Dπ π+ ∈ ⇔ − ∈ et sin( ) sin( )2 2

x x x Dπ π+ = − ∀ ∈

On réduit (encore) l’étude de la fonction à 3 0 ,2

E π =

• La fonction sinus est dérivable sur D = et (sin ) ' cosx x= avec cos 0x ≥ pour

3 0 ,2

x E π ∈ =

Tableau de variation :

• Courbe représentative :

Pour 3 0 ,2

x E π ∈ = , on obtient l’arc générateur de la courbe représentant les variations de

la fonction.

Pour [ ]2 0 ,x E∈ = π :

on passe de l’arc générateur obtenu pour 3 0 ,2

x E π ∈ = à l’arc obtenu pour

[ ]2 0 ,x E∈ = π en effectuant la symétrie par rapport à la droite d’équation 2

0 1 2 3

Pour [ ]1 ,x E∈ = − π π :

on passe de l’arc obtenu pour [ ]2 0 ,x E∈ = π à l’arc obtenu pour [ ]1 ,x E∈ = − π π en

effectuant la symétrie par rapport à l’origine O du repère

0-3 -2 -1 1 2 3

Pour x ∈ D R= :

on passe de l’arc obtenu pour [ ]1 ,x E∈ = − π π à l’arc obtenu pour x ∈ D R= en effectuant

les translations 2 ,k i k Zπ ∈

-5 5 10

3. Etude de la fonction cosinus

Soit la fonction : cosf x x

• La fonction cosinus est définie sur D =

• La fonction cosinus est périodique de période 2T = π

En effet , 2 cos( 2 ) cosx D x D et x x∀ ∈ + π∈ + π =

Il suffit donc d’étudier la fonction sur [ ]1 ,E = − π π

• La fonction cosinus est paire

En effet , cos( ) cosx D x D et x x∀ ∈ − ∈ − =

On réduit l’étude de la fonction à [ ]2 0 ,E = π

• La courbe représentative de la fonction cosinus admet le point ( , 0 )2

I π= pour centre de

symétrie

En effet 2 2

x D x Dπ π+ ∈ ⇔ − ∈ et cos( ) cos( ) sin sin 02 2

x x x x x Dπ π+ + − = − + = ∀ ∈

On réduit (encore) l’étude de la fonction à 3 0 ,2

E π =

• La fonction cossinus est dérivable sur D = et (cos ) ' sinx x= −

avec sin 0x− ≤ pour 3 0 ,2

x E π ∈ =

• Tableau de variation :

Pour 3 0 ,2

la fonction.

Pour [ ]2 0 ,x E∈ = π :

[ ]2 0 ,x E∈ = π en effectuant la symétrie par rapport au point ( , 0 )2

0 1 2 3

Pour [ ]1 ,x E∈ = − π π :

on passe de l’arc obtenu pour [ ]2 0 ,x E∈ = π à l’arc obtenu pour [ ]1 ,x E∈ = − π π en

effectuant la symétrie par rapport à l’axe Oy

0-3 -2 -1 1 2 3

Pour x ∈ D R= :

on passe de l’arc obtenu pour [ ]1 ,x E∈ = − π π à l’arc obtenu pour x ∈ D R= en effectuant

les translations 2 ,k i k Zπ ∈

-5 5 10

4. Etude de la fonction tangente

Soit la fonction : tanf x x

• La fonction tangente est définie par sintancos

= sur 2k Z

D k k Z∈

π = ∪ + π ∈

• La fonction tangente est périodique de période T = π

En effet sin( ) sin, tan( ) tancos( ) cos

x xx D x D et x xx x+ π −∀ ∈ + π∈ + π = = =+ π −

Il suffit donc d’étudier la fonction sur 1 ,2 2

E π π = −

• La fonction tangente est impaire

En effet sin( ) sin, tan( ) tancos( ) cos

x xx D x D et x xx x

− −∀ ∈ − ∈ − = = = −−

On réduit l’étude de la fonction à 2 0 ,2

E π =

• La fonction tangente est dérivable sur 2k Z

D k k Z∈

π = ∪ + π ∈

et 2 2

' 22 2

sin (sin ) 'cos sin (cos ) ' cos sin(tan ) ' 1 tancos cos cos

x x x x x x xx xx x x

− + = = = = +

avec 22

1(tan ) ' 1 tan 0cos

= = + > pour 2 0 ,2

x E π ∈ =

• Limite aux bornes du domaine de définition :

Puisque 2 2 2

limsin sin( ) 1 lim cos lim cos( ) 02 2x x x

x et x +

π π π→ → →π π π< < <

π π= = = =

alors 2

lim tanx

xπ→

= +∞

La droite d’équation 2

x π= est asymptote à la courbe

• Tableau de variation :

Pour 2 0 ,2

la fonction.

Pour 1 ,2 2

x E π π ∈ = − :

1 ,2 2

x E π π ∈ = − en effectuant la symétrie par rapport au l’origine O du repère.

Pour x ∈2k Z

D k k Z∈

π = ∪ + π ∈

on passe de l’arc obtenu pour 1 ,2 2

x E π π ∈ = − à l’arc obtenu pour

2k ZD k k Z

π = ∪ + π ∈

en effectuant les translations

-5 5 10

Primitives et intégrales Cours

CHAPITRE 9 : PRIMITIVES - INTEGRALES

1. Primitives d’une fonction

Définition

Soit f une fonction définie sur un intervalle I.

Une fonction F est une primitive de f sur I, si et seulement si, elle est dérivable sur I et pour tout x

de I, '( ) ( )F x f x=

Exemple

La fonction : 10 3f x x +a admet pour primitive sur R la fonction 2: 5 3F x x x+a

f admet aussi la fonction 21 : 5 3 2F x x x+ +a pour primitive sur R ; en effet

1'( ) '( ) ( ) 10 3F x F x f x x= = = +

Théorème

Toute fonction continue sur un intervalle I admet des primitives sur I

Théorème

Soit f une fonction continue sur un intervalle I et F une primitive de f sur I

Toute primitive de f sur I est de la forme : ( )G x F x C+a où C est une constante réelle

Démonstration

G est dérivable sur I et ' 'G F f= =

Donc, , '( ) '( ) ( ) '( ) 0x I G x F x G F x∀ ∈ − = − =

Puisque ( ) ' 0G F− = sur I, alors d’après un théorème du chapitre dérivation G F C− =

où C est une constante réelle

Par conséquent : , ( ) ( )x I G x F x C∀ ∈ = +

Interprétation graphique : les courbes représentatives des fonctions primitives de f se déduisent

les unes des autres par les translations de vecteur C jr

avec C∈R

Exemple

Soit f la fonction définie sur R par : 4 3 2( ) 2 5 3 5f x x x x x= − + + −

Déterminer les primitives F de f sur R .

f est une fonction polynôme, donc f est continue sur R et elle admet des primitives

sur R .

D’après le tableau des primitives usuelles, les fonctions :

4 3 2, , , , 1x x x x x x x x xa a a a a

admettent respectivement pour primitives les fonctions :

5 4 3 2

, , , ,5 4 3 2x x x xx x x x x xa a a a a

La fonction f admet pour primitives sur R les fonctions F :

3 25 3( ) 5 ,5 2 3 2x xF x x x x C où C= − + + − + ∈R

Exemple

Soit f la fonction définie sur R par : ( ) cos 4 3sin 2 cosf x x x x= − +

Déterminer les primitives F de f sur R .

La fonction f est continue sur R et elle admet des primitives sur R .

D’après le tableau des primitives usuelles, les fonctions :

cos 4 , sin 2 , cosx x x x x xa a a

admettent respectivement pour primitives les fonctions :

1 1sin 4 , cos 2 , sin4 2

x x x x x x−a a a

La fonction f admet pour primitives sur R les fonctions F :

1 3( ) sin 4 cos 2 sin ,4 2

F x x x x C où C= + + + ∈R

2. Primitive prenant une valeur donnée en un point donné

Théorème

Soit f une fonction continue sur un intervalle I. Soit 0x un réel appartenant à I et 0y un réel

quelconque.

Alors, il existe une primitive F de f, et une seule, telle que ( )0 0F x y=

Démonstration

Soit F une primitive de f sur I, alors d’après le théorème précédent, toute primitive de f sur I est

une fonction G de la forme

: ( )G x F x C avec C+ ∈a R

La condition 0 0( )G x y= donne 0 0 0 0( ) ( )F x C y ou encore C y F x+ = = −

Puisque nous avons trouvé une valeur et une seule de C, il existe donc une primitive et une seule

de f sur I telle que ( )0 0F x y= , soit la fonction 0 0: ( ) ( )F x F x y F x+ −a

Interprétation graphique

Parmi toutes les courbes représentant les primitives de f sur I, il en existe une et une seule passant

par le point de coordonnées 0 0( , )x y

Exemple

Soit f la fonction définie sur R par : 2: 3 2f x x x− +a

Déterminer la primitive F de f sur R qui s’annule en 1

L’ensemble des primitives de f sur R sont les fonctions

23( ) 23 2xF x x x C avec C= − + + ∈R

La condition (1) 0F = impose

1 3(1) 2 03 2

F C= − + + =

1 3 523 2 6

C = − + − = −

La primitive de f qui s’annule pour 1x = est la fonction 3

23 5( ) 23 2 6xF x x x= − + −

Exemple

Soit f la fonction définie sur R par : : sin 2f x xa

Déterminer la primitive F de f sur R qui prend la valeur 1 pour 2

L’ensemble des primitives de f sur R sont les fonctions 1( ) cos 22

F x x C avec C= − + ∈R

La condition ( ) 12

F π= impose

1( ) cos 12 2

F Cπ= − π+ =

1 cos 12

C puisque= π = −

La primitive de f qui prend la valeur 1 pour 2

x π= est la fonction 1 1( ) cos 2

2 2F x x= − +

3. Primitives des fonctions usuelles

La lecture à l’envers du tableau donnant les fonctions dérivées des fonctions usuelles permet de

dresser un premier tableau de primitives usuelles.

] [ ] [

FonctionPrimitive Sur

définie par( ) où a est une constante ( ) ,

1( )1 1( ) , 0, ,0

1( ) ( ) 2 , 0,

( ) sin ( ) cos ,( ) cos (

fF de f I

f x a F x ax C C If x x x C C I

f x C C I ou Ix x

f x F x x C C Ix

f x x F x x C C If x x F

= = + ∈ =

=+ ∈ =

= + ∈ = +∞ = −∞

= = + ∈ = +∞

= = − + ∈ ==

) sin ,1( ) 1 tan ( ) tan , , ,

cos 2 2

x x C C I

f x x F x x C C I n n nx

= + ∈ =

π π = + = = + ∈ = − + π + π ∈

4. Opérations sur les primitives

Propriété

Si F est une primitive de f sur I et si G est une primitive de g sur I alors:

• F G+ est une primitive de f g+ sur I

• k∀ ∈R , kF est une primitive de kf sur I

Le tableau suivant découle des règles de dérivation des fonctions.

u désigne une fonction dérivable sur un intervalle I

Pr1' ( ) ,

1' 1 , 0

' 2 , 0

1 1( , 2) , 01

Fonction f imitives F sur I I

u u n u C Cn

u C C x I avec u xu uu u C C x I avec u x

uu n n C C x I avec u xu n u

∈ + ∈+

− + ∈ ∀ ∈ ≠

+ ∈ ∀ ∈ >

′∈ ≥ − + ∈ ∀ ∈ ≠

Exemple

Déterminer les primitives de la fonction 2 3: (1 )f x x x+a sur R

La fonction f est continue sur R , l’intégrale existe

Posons 2( ) 1u x x= + alors '( ) 2u x x= et 31( ) '( ) ( )2

f x u x u x=

Les fonctions F définies sur R par 4 2 41 1 1( ) . ( ) (1 )2 4 8

F x u x C x C avec C= + = + + ∈R sont les

primitives de f sur R .

Exemple

Déterminer les primitives de la fonction 2

sin:cos

a sur ,2 2

I π π = −

Sur ,2 2

I π π = − , le cosinus ne s’annule pas et la fonction f est continue sur cet intervalle

Posons ( ) cosu x x= alors '( ) sinu x x= − et 2

'( )( )( )

u xf xu x

Les fonctions F définies sur ,2 2

I π π = − par 1 1( )

( ) cosF x C C avec C

u x x= + = + ∈R sont les

primitives de f sur I.

Exemple

Déterminer les primitives de la fonction 1:3 5

f xx +

a sur 5 ,3

I = − +∞

Sur 5 ,3

I = − +∞ , (3 5) 0x + > et la fonction f est continue sur cet intervalle

Posons ( ) 3 5u x x= + alors '( ) 3u x = et 1 '( )( )3 ( )

u xf xu x

Les fonctions F définies sur 5 ,3

I = − +∞ par

1 2( ) .2 ( ) 3 53 3

F x u x C x C avec C= + = + + ∈R sont les primitives de f sur 5 ,3

I = − +∞ .

5. Définition d’une intégrale

Soient f une fonction définie sur un intervalle I et F une de ces primitives, soient a et b deux

points de I.

La quantité ( ) ( )F b F a− (encore notée [ ]( )b

aF x ) est appelée intégrale de f entre a et b et est notée

af x dx∫

af x dx∫ se lit « somme de a à b de f » (ou de f(x)dx)

Attention

l’ordre de a et de b est important

Le nombre a est appelé borne inférieure et b la borne supérieure de l’intégrale.

[ ]( ) ( ) ( ) ( )b

af x dx F x F b F a= = −∫

Remarque

1) la variable x apparaissant dans l’intégrale est une variable muette, on peut aussi écrire :

( ) ( )b b

f t dt ou f dθ θ∫ ∫

2) En faisant ( ) 0a

aa b alors f x dx= =∫

3) Le résultat du calcul d’une intégrale ne dépend pas de la primitive choisie

En effet si 1F et F sont deux primitives de f, alors elles différent d’une constante

1F F C avec C= + ∈R

[ ] [ ] ( ) ( ) [ ]1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )b b b

a a aF x F x C F b C F a C F b F a F x= + = + − + = − =

En pratique, pour la plupart des exemples, on ne tient pas compte de la constante d’intégration.

Exemple Calculer l’intégrale 2

2(2 3)x dx−

L’intégrale existe puisque la fonction 2( ) 2 3f x x= + est continue sur [ ]1,2−

La fonction f admet pour primitive la fonction 32F(x)= 33

x x+ sur [ ]1, 2−

(On prend la plupart du temps la primitive ne faisant pas apparaître la constante réelle C)

et donc 2

2 16 2(2 3) (2) ( 1) 3 6 3 153 3 3

x dx F F x x− −

+ = − − = + = + − − − = ∫

Exemple Calculer l’intégrale 1

2( 1)x dx−∫

La fonction 2: ( 1)f x x −a est continue sur [ ]0,1 , l’intégrale existe

Développons le carré : 2 1/ 2( 1) 2 1 2 1x x x x x− = − + = − +

Une primitive de f est la fonction 2 3/ 2 2

34( ) 2 32 2 32

x x xF x x x x= − + = − +

(On prend la plupart du temps la primitive ne faisant pas apparaître la constante réelle C)

Alors 1

12 2 3

4 1 4 1( 1) (1) (0) 13 2 3 6

x dx F F x x x − = − = − + = − + = ∫

6. Intégrale et aire.

Soit (C) la courbe représentative de la fonction f dans un repère orthogonal.

D est la région du plan délimité par (C), l’axe des abscisses et les droites d’équation

.x a et x b= =

L’unité d’aire est l’aire du rectangle engendré par le repère choisi.

Théorème

Cas d’une fonction positive

Si f est une fonction continue et positive sur l’intervalla [ ],a b , l’aire de D , mesurée en unités

d’aire, est égale à ( )b

af x dx∫

af x dx∫ =Aire (D)

Corollaire

• Cas d’une fonction négative

Si f est une fonction continue et négative sur l’intervalle [ ],a b , l’aire de D , mesurée en unités

d’aire, est égale à ( )b

af x dx− ∫

af x dx = −∫ Aire (D)

• Cas d’une fonction de signe quelconque

Si f est une fonction continue et de signe quelconque sur l’intervalle [ ],a b , l’aire de D, mesurée

en unités d’aire, est égale à la somme des aires des domaines situés au-dessus de l’axe des

abscisses, diminué de la somme des aires des domaines situés au-dessous de l’axe des abscisses

f x dx∫ =Aire ( 1D ), ( )d

f x dx∫ =−Aire ( 2D ) et ( )b

f x dx∫ =Aire( 3D )

on a donc

af x dx∫ = Aire ( 1D ) 2 3( ) ( )Aire D Aire D− +

Exemple

Dans un repère orthonormal d’unité graphique 2 cm, on considère la partie D du plan délimitée

par l’axe des abscisses, l’arc de courbe d’équation ( 1)( 4)y x x x= − − avec 1 4x≤ ≤

Calculer l’aire du domaine D

Une unité d’aire est égale à 24cm

Sur l’intervalle [ ]1, 4 , la fonction ( ) ( 1)( 4)f x x x x= − − est continue et négative.

L’aire du domaine D est égale à

Aire(D)=4 4

3 2( 1)( 4) ( 5 4 )x x x dx x x x dx− − − = − + −∫ ∫

Soit ( )44 3

5 2 11,25 '4 3x xAire D x unités d aire

= − + − =

= 2 211,25 4 45x cm cm=

La fonction logarithme népérien Cours

CHAPITRE 10 : LA FONCTION LOGARITHME NEPERIEN

1. Définition de la fonction logarithme népérien

La fonction logarithme népérien, notée ln , est définie sur ] [0,+ ∞ , prend la valeur 0 en 1x = , est

continue sur ] [0,+ ∞ et admet pour dérivée la fonction 1xx

2. Propriétés algébriques

2.1. Relation fonctionnelle

Théorème

] [ ] [0, , 0, ln ln lna b ab a b∀ ∈ + ∞ ∀ ∈ + ∞ = +

Démonstration

Soit a un réel strictement positif.

Soit la fonction aϕ définie sur ] [0 , + ∞ par ( ) ln( )a x axϕ = .

La fonction aϕ est dérivable sur ] [0 , + ∞ comme composée de deux fonctions .

Donc, x∀ ∈ ] [0 , + ∞ : 1 1'( ) .a x aax x

ϕ = =

aϕ est donc une primitive de 1x

; elle diffère donc de ln d’une constante. Il existe donc un réel C

tel que, x∀ ∈ ] [0 , + ∞ : ( ) lna x x Cϕ = + . Or, ln1 0= , donc (1) lnaC a= ϕ = .

En revenant à la définition de aϕ :

a∀ ∈ ] [0 , + ∞ et x∀ ∈ ] [0 , + ∞ , ln( ) ln lnax x a= +

D’où le résultat en remplaçant x par b.

2.2. Logarithme d’un quotient

Propriété

] [ 10, ln lna aa

∀ ∈ + ∞ = −

Démonstration

Elle se déduit de la relation précédente : calculons

] [ 1 10, ln ln ln( . ) ln1 0a a aa a

∀ ∈ + ∞ + = = =

Propriété

] [ ] [0, , 0, ln ln lnaa b a bb

∀ ∈ + ∞ ∀ ∈ + ∞ = −

Démonstration

Elle se déduit des deux relations précédentes : calculons

] [ ] [ 1 10, , 0, ln ln( . ) ln ln ln lnaa b a a a bb b b

∀ ∈ + ∞ ∀ ∈ + ∞ = = + = −

2.3. Logarithme d’un produit de nombres réels strictement positifs

Propriété

] [0, , ln lnna n a n a∀ ∈ + ∞ ∀ ∈ =

2.4. Logarithme d’une racine carrée

Propriété

] [ 10, ln ln2

a a a∀ ∈ + ∞ =

3. Résolution d’équations et d’inéquations

Théorème

] [ ] [0, , 0, ln lna b a b a b∀ ∈ + ∞ ∀ ∈ + ∞ = ⇔ =

] [ ] [0, , 0, ln lna b a b a b∀ ∈ + ∞ ∀ ∈ + ∞ < ⇔ <

Exemple

Résoudre dans R l’équation : ln(3 1) ln( 4)x x+ = −

Les valeurs cherchées doivent vérifier

Les solutions doivent appartenir à ] [4 ,D = + ∞

Les logarithmes de deux réels positifs sont égaux, si et seulement si ces réels sont égaux.

Ainsi : si ] [4 ,x ∈ + ∞ , 5ln(3 1) ln( 4) 3 1 42

x x x x x+ = − ⇔ + = − ⇔ = −

L’équation n’admet pas de solution dans R puisque ] [5 4 ,2

− ∉ + ∞

Exemple

Résoudre dans R

a. l’équation 2ln( 5) ln 2 ln 2x x− = +

b. l’inéquation : 2ln( 5) ln 2ln 2x x− ≤ +

a. Les valeurs cherchées doivent vérifier

Les solutions doivent appartenir à 5 ,D = + ∞

Les logarithmes de deux réels positifs sont égaux, si et seulement si ces réels sont égaux.

Si 5 ,x ∈ + ∞ , 2 2 2ln( 5) ln 2ln 2 ln( 5) ln(4 ) 4 5 0x x x x x x− = + ⇔ − = ⇔ − − =

L’équation du second degré admet 1 5et− pour racines. Seule la racine 5 est solution

puisque 1 5 , − ∉ + ∞

L’ensemble des solutions de l’équation 2ln( 5) ln 2 ln 2x x− = + est 5S =

b. On résout l’inéquation dans 5 ,D = + ∞

L’inéquation 2ln( 5) ln 2ln 2x x− ≤ + est équivalente à 2 25 4 4 5 0x x ou x x− < − − <

L’ensemble des solutions est donc formé des réels ] [1 , 5∈ − qui sont dans D.

L’ensemble des solutions de l’inéquation 2ln( 5) ln 2ln 2x x− < + est 5 , 5S =

4. Etude de la fonction logarithme

4.1. Sens de variation de la fonction logarithme népérien

sur ] [0,+ ∞

lnLa fonction x x est définie sur ] [0,+ ∞

lnLa fonction x x est continue sur ] [0,+ ∞

lnLa fonction x x est dérivable sur ] [0,+ ∞

Pour tout ] [0,x ∈ + ∞ , 1(ln ) 'xx

Théorème

lnLa fonction x x est strictement croissante sur ] [0,+ ∞

4.2. Limite de la fonction logarithme népérien en 0 et en + ∞

lim lnx

x→+∞

= + ∞

, ln(2 ) ln 2nn R n∀ ∈ = , et puisque ln 2 0> , alors lim ( ln 2)n

n→+∞

= +∞.

La fonction ln n’est donc pas majorée. Etant croissante, elle admet +∞ pour limite en +∞ .

Conséquence

lim lnxx

= − ∞

Démonstration

En utilisant le théorème sur la limite d’une fonction composée, on a :

0 00 0

1 1lim lim ln lim lnx x xx x

et xx x→ →+∞ →

= +∞ = +∞ ⇒ = +∞

Puisque 0

1ln ln lim lnxx

x alors xx →

= − = −∞

L’axe des ordonnées est donc asymptote verticale à la courbe représentative de la fonction ln.

4.3. Tableau de variation :

Conséquence

Il existe un nombre et un seul noté e tel que ln 1e =

Une valeur approchée de e est ~ 2.71828e

4.4. Représentation graphique

1 2 3 4

2y=x-1

Remarque

Soit (C) la courbe représentative de la fonction ln dans un repère ( , , )O i j

La tangente à la courbe au point d’abscisse 1x = est la droite d’équation 1y x= −

La tangente à la courbe au point d’abscisse x e= est la droite d’équation xye

= (cette droite

passe par le point O)

5. Autres limites

ln(1 )lim 1x

+ = que l’on peut aussi écrire 1

lnlim 11x

Démonstration

Le nombre dérivé de ln en 1 est 1. Mais ce nombre dérivé est aussi : 0

ln(1 ) ln1lim 1x

+ − =

D’où la limite cherchée.

lnlim 0x

xx→+∞

Démonstration

Par exemple en étudiant la fonction auxiliaire : lnx x xϕ −

on montre que [ [1 , , lnx x x∀ ∈ + ∞ <

et donc [ [ ln 11 , , x xxx x x

∀ ∈ + ∞ < =

soit [ [ ln 11 , , 0 lim limx x

xxx x→+∞ →+∞

∀ ∈ + ∞ < <

Puisque 1lim 0x x→+∞

= alors lnlim 0x

xx→+∞

lim ln 0xx

x x→>

Démonstration

] [1ln

0, , ln 1xx x x

∀ ∈ + ∞ = −

On applique le théorème sur la limite d’une fonction composée :

0 00 0

1lnlim ln lim 01x xx x

→ →> >

= − =

1 lnlim lim 0x xx

xetx x→ →+∞

= +∞ =

Fonction logarithme népérien. Fonction logarithme décimal Cours

CHAPITRE 11 : FONCTION NEPERIEN. FONCTION LOGARITHME DECIMAL.

1. Fonction népérien (logarithme d’une fonction composée).

Théorème

Si u est une fonction strictement positive et dérivable sur un intervalle I ouvert, alors la

fonction f définie sur I par [ ]( ) ln ( )f x u x= est dérivable sur I et

[ ]( ) '( ), '( ) ln ( ) '( )

u xx I f x u xu x

∀ ∈ = =

Exemple

Montrer que la fonction 1: ln1

xf xx−

+ a est dérivable sur ] [ ] [, 1 1,I = −∞ − ∪ +∞ et

calculer sa dérivée

Même question avec la fonction 1: ln1

xg xx−+

D’après le signe du trinôme du second degré 1( )1

xu xx−

est strictement positif sur

] [ ] [, 1 1,I = −∞ − ∪ +∞ et donc f est définie sur I, continue sur I et dérivable sur I

La dérivée d’un quotient fournit '2

1 2'( )1 ( 1)

xu xx x− = = + +

et donc 2

22 1 2 2( 1), '( ) .1 ( 1) 1 ( 1)( 1) 1

xxx I f x x x x x x xx

++∀ ∈ = = = =− + − + − −+

La fonction 1: ln1

xg xx−+

a est définie sur ] [ ] [ ] [1,1 , 1 1,1 1,J = − − = −∞ − ∪ − ∪ +∞R

Sa dérivée est 2

22( 1), '( ) 1 1

xx J g x x xx

+∀ ∈ = =− −+

La formule explicite de la dérivée de g est la même que celle de f. La seule différence réside

dans le fait que l’ensemble de définition de f n’est qu’une partie de celui de g.

Théorème

Si u est une fonction strictement positive et dérivable sur un intervalle I ouvert, alors la

fonction f définie sur I par [ ]( ) ln ( )f x u x= est une primitive sur I de 'uu

Corollaire

Si u est une fonction strictement négative et dérivable sur un intervalle I ouvert, alors la

fonction f définie sur I par [ ]( ) ln ( )f x u x= − est une primitive sur I de 'uu

Conséquence

Sur ] [ 10, ( )I si f xx

= +∞ = alors les primitives de ( )f x sur I sont les fonctions

( ) lnF x x C= + où C est une constante réelle

Sur ] [ 1,0 ( )J si f xx

= −∞ = alors les primitives de ( )f x sur J sont les fonctions

( ) ln( )F x x C= − + où C est une constante réelle

Remarque

On se trouve sur un intervalle contenu dans ] [0,I = +∞ ou dans ] [,0J = −∞ et les

constantes réelles C sont différentes suivant que l’on se trouve sur l’intervalle I ou sur

l’intervalle J.

Exemple

Soit f la fonction définie sur ] [1,I = +∞ par : 1( )1

Déterminer les primitives F de f sur ] [1,I = +∞ .

La fonction 1( )1

est continue sur ] [1,I = +∞ et admet des primitives sur

] [1,I = +∞

Si ( ) 1u x x= − alors '( ) 1u x =

La fonction f admet pour primitives sur ] [1,I = +∞ les fonctions F :

( ) ln( 1) ,F x x C où C= − + ∈R

Remarque

La fonction f définie sur ] [, 1J = −∞ par : 1( )1

admet pour primitives sur

] [, 1J = −∞ les fonctions F : ( ) ln(1 ) ,F x x C où C= − + ∈R

Exemple

Déterminer les primitives des fonctions suivantes sur I = R

a. 2 3( ) ( 1)( 2 5)f x x x x= + + + , b. 2

1( )2 5

xg xx x

+ +, c. 2 2

1( )( 2 5)

xh xx x

a. La fonction f est continue sur R , f possède des primitives sur R

Posons 2( ) 2 5u x x x= + + alors '( ) 2 2 2( 1)u x x x= + = + et 31( ) '( ) ( )2

f x u x u x=

Les fonctions F définies sur R par 4 2 41 1 1( ) . ( ) ( 2 5)2 4 8

F x u x C x x C avec C= + = + + + ∈R

sont les primitives de f sur R .

b. La fonction g est continue sur R , g possède des primitives sur R

Posons 2( ) 2 5u x x x= + + alors '( ) 2 2 2( 1)u x x x= + = + et 1 '( )( )2 ( )

u xg xu x

Les fonctions G définies sur R par

[ ] 21 1( ) . ln ( ) ln( 2 5)2 2

G x u x C x x C avec C= + = + + + ∈R sont les primitives de g sur R .

c. La fonction h est continue sur R , h possède des primitives sur R

Posons 2( ) 2 5u x x x= + + alors '( ) 2 2 2( 1)u x x x= + = + et 2

1 '( )( )2 ( )

u xh xu x

Les fonctions H définies sur R par 2

1 1 1 1( ) .2 ( ) 2 2 5

H x C C avec Cu x x x

= − + = − + ∈+ +

sont les primitives de h sur R .

Exemple

Déterminer les primitives de la fonction 2( )1

sur ] [1 ,I = +∞ , puis sur ] [1 , 1J = −

et enfin sur ] [, 1K = −∞ −

La fonction f est continue sur ] [1 ,I = +∞ , f possède des primitives sur ] [1 ,I = +∞

Posons 2( ) 1 0u x x= − < sur ] [1 ,I = +∞ alors '( ) 2u x x= et 1 '( )( )2 ( )

u xf xu x

Les fonctions F définies sur ] [1 ,I = +∞ par

[ ] 21 1( ) . ln ( ) ln(1 )2 2

F x u x C x C avec C= − + = − + ∈R

sont les primitives de f sur ] [1 ,I = +∞ .

La fonction f est continue sur ] [1 , 1J = − , f possède des primitives sur ] [1 , 1J = −

Posons 2( ) 1 0u x x= − > sur ] [1 , 1J = − alors '( ) 2u x x= et 1 '( )( )2 ( )

u xf xu x

Les fonctions F définies sur ] [1 , 1J = − par

[ ] 21 1( ) . ln ( ) ln( 1)2 2

F x u x C x C avec C= + = − + ∈R

sont les primitives de f sur ] [1 , 1J = − .

La fonction f est continue sur ] [, 1K = −∞ − , f possède des primitives sur ] [, 1K = −∞ −

Posons 2( ) 1 0u x x= − < sur ] [, 1K = −∞ − alors '( ) 2u x x= et 1 '( )( )2 ( )

u xf xu x

Les fonctions F définies sur ] [, 1K = −∞ − par

[ ] 21 1( ) . ln ( ) ln(1 )2 2

F x u x C x C avec C= − + = − + ∈R

sont les primitives de f sur ] [, 1K = −∞ − .

Remarque

La constante C n’est pas la même suivant que l’on se trouve sur l’intervalle I, ou J ou encore

2. Autres fonctions logarithmes

Définition

Soit a un réel strictement positif, 1a ≠

On appelle fonction logarithme de base a, la fonction notée loga définie sur ] [0,+∞ par :

lnloglna

Conséquence

log 1 0a = et log 1a a =

Les fonctions logarithmes de base a sont toutes proportionnelles à la fonction logarithme

népérien, en effet ] [ 10, log lnlnax x k a avec k

a∀ ∈ +∞ = =

Remarque

] [0, log lnex x x∀ ∈ +∞ =

La fonction logarithme de base 10 ( 10a = ) est notée log et est appelée logarithme décimal.

On a donc ] [ 10ln0, logln10

xx x∀ ∈ +∞ =

et ] [ 1010, log ln ~ 0,43429

ln10x x k x avec k∀ ∈ +∞ = =

Cette fonction est très utile dans les calculs numériques mais aussi en chimie et dans bien

d’autres domaines

Ce sont les mêmes propriétés algébriques que celles de la fonction logarithme népérien

En particulier

] [ ] [0, , 0, log ( ) log loga a ax y xy x y∀ ∈ +∞ ∀ ∈ +∞ = +

3. Etude de la fonction logarithme de base a

3.1. Sens de variation

logaLa fonction x xa est définie sur ] [0,+∞

logaLa fonction x xa est continue sur ] [0,+∞

logaLa fonction x xa est dérivable sur ] [0,+∞

Pour tout ] [0,x∈ +∞ , ln 1(log ) 'ln lna

xxa x a

Théorème

Si 1a > , la fonction logax xa est strictement croissante sur ] [0,+∞

Si 0 1a< < , la fonction logax xa est strictement décroissante sur ] [0,+∞

3.2. Tableau de variation et représentation graphique :

a>1x 0

1 2 3 4

Exemple

Exemple d’utilisation de la fonction logarithme décimal

On note N le nombre entier 100002

1. Déterminer à l’aide de la calculatrice la partie entière de log N

2. En déduire l’encadrement 3010 301110 10N≤ <

3. Indiquer le nombre de chiffres de l’écriture décimale de N.

1. 10000log 2 10000. log 2~ 3010,29995= et donc 10000(log 2 ) 3010E =

2. A partir de la partie entière de log N , on obtient l’encadrement 3010 log 3011N≤ <

que l’on peut aussi écrire 3010 3011log10 log log10N≤ <

La fonction logarithme décimal étant strictement croissante sur ] [0,+∞ , on a :

3010 301110 10N≤ <

3. L’encadrement obtenu prouve que l’écriture décimale de N comprend 3011 chiffres

Remarque

La capacité de la mémoire des calculatrices ne permet pas de considérer des nombres aussi

grands.

4. Changement de base

Soit a un réel strictement positif, 1a ≠ et b un réel strictement positif, 1b ≠

On cherche la relation qui lie ] [0, , log loga bx x et x∀ ∈ +∞

] [ ln ln ln0, , log .ln ln lnb

x x ax xb a b

∀ ∈ +∞ = =

Par définition : ln lnln b

D’où la formule dite de changement de base

] [0, , log log . logb b ax x a x∀ ∈ +∞ =

La fonction exponentielle Cours

CHAPITRE 12 : LA FONCTION EXPONENTIELLE

1. Définition de la fonction exponentielle

La fonction logarithme étant une bijection de ] [0,+∞ sur ] [,−∞ +∞ , elle admet une fonction

réciproque appelée exponentielle et notée exp ( )xou x ea

∈ −∞ +∞ ⇔

∈ +∞

Propriété

En remplaçant dans le cadre de droite y par sa valeur tirée du cadre de gauche, on a :

] [, ln( )xx e x∀ ∈ −∞ +∞ =

De même, en remplaçant dans le cadre de gauche x par sa valeur tirée du cadre de droite, on a (en

remplaçant y par x) :

] [ ln0 , xx e x∀ ∈ +∞ =

Comme indiqué ] [0,y∈ +∞ , donc ] [, 0xx e∀ ∈ −∞ +∞ >

De plus 0 1e = (puisque ln1 0= )

2. Propriétés algébriques de la fonction exponentielle

a b a ba b e e e+∀ ∈ ∀ ∈ =R R

1, aaa e

e−∀ ∈ =R

ea b ee

−∀ ∈ ∀ ∈ =R R

( )a n naa n e e∀ ∈ ∀ ∈ =R N

Exemple

Montrer que la fonction définie sur R par 1( )1

ef xe−

est impaire.

Puisque , 0 1 0x xx e donc e∀ ∈ > + >R , donc la fonction est bien définie sur R

et x x∈ ⇒ − ∈R R de plus

1 11 1 1( ) ( )11 1 11

x x xx

e e eef x f xe e e

−− − −− = = = = − = −

+ + ++

La fonction f est impaire.

3. Etude de la fonction exponentielle

3.1. Sens de variation

Propriété

La fonction exponentielle est strictement croissante sur R

Conséquence

Résolution d’équations et d’inéquations :

, a ba b e e a b∀ ∈ ∀ ∈ < ⇔ <R R

, a ba b e e a b∀ ∈ ∀ ∈ = ⇔ =R R

3.2. Limites usuelles

→+∞= +∞

Démonstration

Au chapitre 10 « fonction logarithme népérien » , on a trouvé

[ [1, lnx x x∀ ∈ +∞ >

puisque [ [1,x x x∀ ∈ +∞ ≥

alors [ [1, lnx x x∀ ∈ +∞ ≥

en utilisant la croissance de la fonction exponentielle

[ [ ,1, x l xx e e x∀ ∈ +∞ ≥ =

et lim lim x

x xx alors e

→+∞ →+∞=+∞ =+∞

lim 0x

→−∞=

Démonstration

Posons X x= − , alors 1x XXe e

e−= = et quand x alors X→−∞ → +∞

puisque 1lim 0XX e→+∞= alors lim 0x

→−∞=

1lim 1x

Démonstration

Le nombre dérivé de exp en 0 est 0 1e = . Mais ce nombre dérivé est aussi :

1lim lim 10

e e ex x→ →

− −= =

D’où la limite cherchée.

3.3. Dérivée de la fonction exponentielle

La fonction exponentielle est dérivable sur R et est égale à sa fonction dérivée

, ( ) 'x xx e e∀ ∈ =R

3.4. Tableau de variation

+∞-∞

3.5. Courbe représentative

-3 -2 -1 1 2

Remarque

Soit (C) la courbe représentative de la fonction exp dans un repère ( , , )O i jr r

La tangente à la courbe au point d’abscisse (1, )e est la droite d’équation y x e= , elle passe par

le point O

La tangente à la courbe au point d’abscisse (0,1) est la droite d’équation 1y x= + .

Exponentielle u(x) Cours

CHAPITRE 13 : FONCTION EXPONENTIELLE U(X)

1. Dérivées des fonctions de la forme ( )u xx ea

Théorème

Si u une fonction définie et dérivable sur un intervalle I ouvert, alors la fonction f définie sur I par ( )( ) u xf x e= est dérivable sur I et ( ) ' ( ), '( ) '( )u x u xx I f x e u x e ∀ ∈ = =

Exemple

Calculer les dérivées de chacune des fonctions sur l’intervalle I donné : 2. : 2 x xa f x x e e sur I− −+ =a R

. : 0 ,xb f x e sur I = +∞a

a. On obtient x∀ ∈R , 2 2'( ) 2( ) 2 2 (1 ) 2x x x x xf x e x e e e x e− − − − −= − − = − −

b. On considère 1:u xx

a , u est définie et dérivable sur ] [0 ,+∞ puisque

10 , , '( )x u xx

∀ ∈ +∞ = − alors ] [1

10 , , '( ) xx f x ex

∀ ∈ +∞ = −

2. Application à la recherche des primitives

Théorème

Si u une fonction définie et dérivable sur un intervalle ouvert I, la fonction définie sur I par ( )( ) u xf x e= est une primitive sur I de ( )'( ) u xu x e

Exemple

Donner une primitive des fonctions suivantes sur I = R

a. 2( ) ( 2)x xf x e e= +

b. ( )2

c. 2( )( 2)

( ) xf x x e=

a. 2( ) ( 2)x xf x e e= +

La fonction 2( ) ( 2)x xf x e e= + est continue sur R

Il faut distribuer le produit 2 3 2( ) ( 2) 2x x x xf x e e e e= + = +

Les fonctions F définies sur R par 3 21( )3

x xF x e e C avec C= + + ∈R sont les primitives de f

surR .

b. La fonction :2

e +a est continue sur R

Posons ( ) 2 0xu x e= + > alors '( ) xu x e= et '( )( )( )

u xf xu x

Les fonctions F définies sur R par ( ) ln ( ) ln( 2)xF x u x C e C avec C= + = + + ∈R sont les

primitives de f surR .

c. La fonction 2:( 2)

e +a est continue sur R

Posons ( ) 2 0xu x e= + > alors '( ) xu x e= et 2

'( )( )( )

u xf xu x

Les fonctions F définies sur R par 1 1( )( ) 2xF x C C avec C

u x e= − + = − + ∈

+R sont les

primitives de f surR .

d. La fonction 2

: xf x x ea est continue sur R

Posons 2( )u x x= alors '( ) 2u x x= et ( )1( ) '( )2

u xf x u x e=

Les fonctions F définies sur R par 2( )1 1( )

2 2u x xF x e C e C avec C= + = + ∈R sont les primitives

de f surR .

Exemple

Calculer l’intégrale suivante 1

teI dtt

On écrit la fonction à intégrer sous la forme suivante : 1

1 tI e dtt

= − − ∫

On connaît maintenant la primitive de la fonction à intégrer 1

1 11/ 1 2 2tI e e e e e

= − = − − = −

Finalement 1

teI dt e et

= = −∫

Remarque

Après avoir introduit la fonction logarithme pour déterminer les primitives de la fonction 1x

] [0,+∞ et la fonction exponentielle pour trouver les solutions de l’équation différentielle

'y y= , nous serons amené à créer d’autres fonctions (par exemple) pour déterminer les

primitives de 2

D’autres primitives (par exemple) comme celles de xe

x ne s’expriment pas avec les fonctions

usuelles et nécessiteront l’introduction de fonctions spéciales.

Nous retiendrons que l’on ne peut pas déterminer les primitives de toutes les fonctions

mathématiques.

Croissances comparées Cours

CHAPITRE 15 : PUISSANCES D’EXPOSANTS REELS - FONCTIONS PUISSANCES - CROISSANCES

COMPAREES

1. Puissances d’exposants réels

1.1. La notation ba

Définition

ln, , on note le réelb b ab a a e∗+∀ ∈ ∀ ∈R R

Propriété

, ' , 'b b a a∗ ∗+ +∀ ∈ ∀ ∈ ∀ ∈ ∀ ∈R R R R

1 1b =

' '. ( ') ( ) ( ')b b b b b b ba a a a a a a+= =

' ' ''( )

bb bb b bb b b

b ba a aa a aa a a

− = = =

1.2. Les fonctions exponentielles de base a

Définition

1a ∗+∀ ∈ −R , on appelle exponentielle de base a, la fonction définie sur R par

ln: exp ( ) x x aaf x x a e= =a

Théorème

1 , ( ) ' (ln )x xa x a a a∗+∀ ∈ − ∀ ∈ =R R

Sens de variation :

1 : xSi a f x a est strictement croissante sur> a R

0 1 : xSi a f x a est strictement décroissante sur< < a R

Limites usuelles :

1 ,a x∗+∀ ∈ − ∀ ∈R R

1, lim 0 limx x

x xSi a alors a et a

→−∞ →+∞> = = +∞

0 1, lim lim 0x x

x xSi a alors a et a

→−∞ →+∞< < = +∞ =

Démonstration

Appliquons le théorème de limite d’une fonction composée

1, ln 0, lim ( ln ) lim 0 lim 0x x

x x xa soit a x a et e a

→−∞ →−∞ →−∞> > = −∞ = ⇒ =

même raisonnement pour les trois autres assertions

Courbes représentatives :

Toutes les courbes passent par le point (0,1)

Si 1a > , l’axe des abscisses est asymptote horizontale lorsque x →−∞

Si 0 1a< < , l’axe des abscisses est asymptote horizontale lorsque x →+∞

La fonction expa est la fonction réciproque de la fonction loga

∈ −∞ +∞ ⇔

] [log

∈ +∞

et donc ] [, , log ( )xax a x∀ ∈ −∞ +∞ =

et ] [0, , ( )al o g xx a x∀ ∈ +∞ =

Exemple

Résoudre dans R l’équation : 13 9.2x x+=

L’équation est définie sur R , elle s’écrit aussi : 3 9.2.2x x= soit 3 182

Dont la solution est : 2

ln(2 . 3 ) ln 2 2ln 3log (18) 3 ln 3 ln 2ln2

x += = =

Exemple

Déterminer les limites suivantes : 2 2lim 2x x

→+∞•

2lim ( 2 ) lim 2x

x xx x et

→+∞ →+∞− = +∞ = +∞

La fonction 2xx a est continue sur R , alors

2 2lim 2x x

→+∞= +∞

2lim 2 x

→+∞•

lim (2 ) lim 2 0x

x xx et

→+∞ →−∞− = −∞ =

2lim 2 0x

→+∞=

3 21lim2

→−∞

1lim (3 2 ) lim ( ) 02

x xx et

→−∞ →+∞− = +∞ =

La fonction 1( )2

xx a est continue sur R , alors 3 21lim 0

→−∞

2. Fonctions puissances

2.1. Fonction nx xa où n est un entier strictement positif

Définition

Soit n ∗∈N et nf la fonction définie sur R par : nnf x xa

Théorème

Si n est pair, la fonction nf est paire, décroissante sur ] ],0−∞ et croissante sur [ [0,+∞

Si n est impair, la fonction nf est impaire et croissante sur R

Remarque

Toutes les courbes passent par le point 0 et le point de coordonnées (1,1)

2.2. Fonction 1nx

xa où n est un entier strictement positif

Définition

Soit n ∗∈N et nf la fonction définie sur ∗R par 1:n nf xx

Théorème

Si n est pair, la fonction nf est paire, croissante sur ] [, 0−∞ et décroissante sur ] [0,+∞

Si n est impair, la fonction nf est impaire et décroissante sur chacun des intervalles ] [, 0−∞ et

] [0,+∞

Tableau de variation

Courbes représentatives

2.3. Fonction racine n-ième ( , 2)n n∈ ≥N

Soit : nnf x xa la fonction définie sur [ [0,+∞

La fonction nf est continue et strictement croissante, puisque (0) 0 lim ( )n nxf et f x

→+∞= = +∞

alors nf est une bijection de [ [0 ,+∞ sur [ [0 ,+∞

La fonction réciproque de la fonction nf est la fonction 1( )nf− , elle est appelée racine n-ième et

notée n

∈ +∞ ⇔

∈ +∞

et donc

[ [0 , , ( )nnx x x∀ ∈ +∞ =

et [ [0 , , ( )nnx x x∀ ∈ +∞ =

Remarque

on écrit aussi 1nn x x=

Théorème

] [1 1 110, ( ) 'n nx x x

∀ ∈ +∞ =

La fonction 1( )nf−

: nx xa est continue et strictement croissante sur [ [0 ,+∞

3. Croissances comparées

Théorème

Soit α un réel. Alors : lim lim 0x

e et x ex

α −α→+∞ →+∞=+∞ =

Soit α un réel strictement positif . Alors : lnlim 0x

xxα→+∞

Exemple

Déterminer les limites de la fonction ln 1( ) xf xx e

− aux bornes de son ensemble de définition

La fonction est définie sur ] [ ] [0 , ,D e e= ∪ +∞

• Limite en 0

0 00 0

lim (ln 1) lim( )x xx x

x et x e e→ →> >

− = −∞ − = − alors 0 0

ln 1lim ( ) limx xx x

xf x etx e→ →

−= −∞ = +∞

• Limite en e

Il s’agit du taux d’accroissement de la fonction ln pour la valeur x e=

( )ln ln 1lim ( ) lim lnx ex e x e

x ef x xx e e=→ →

−= = =

• Limite en +∞

11ln 1 ln lnlim ( ) lim lim . 01

x x xf x ex e xx

→+∞ →+∞ →+∞

−−= = =

− −

puisque ln 1lim 0 lim 1 1 lim 1 1lnx x x

x eet ainsi quex x x→+∞ →+∞ →+∞

= − = − =

Exemple

Soit 100( ) xf x e x= −

Déterminer les limites en et en−∞ +∞

La fonction est définie sur R

Lorsque x →−∞ , alors 100lim 0 limx

x xe et x

→−∞ →−∞= = +∞ et donc

100lim ( ) lim ( )x

x xf x e x

→−∞ →−∞= − = −∞

Pour lever l’indétermination en +∞ , il faut factoriser

100 1001000 , ( ) ( 1)

xx ex f x e x x

x∀ ≠ = − = −

D’après la croissance comparée de l’exponentielle devant la puissance

100 100lim lim ( 1)x x

e eetx x→+∞ →+∞

= +∞ − = +∞ et donc

100lim ( ) lim ( )x

x xf x e x

→+∞ →+∞= − = +∞

Exemple

Etudier la limite en +∞ de la fonction : lnf x x x−a

La fonction est définie sur ] [0 ,+∞

Pour lever l’indétermination en +∞ , il faut factoriser

ln0 , ( ) (1 )xx f x xx

∀ > = −

D’après la croissance comparée de la puissance devant la le logarithme

ln ln lnlim lim 0 lim (1 ) 1x x x

x x xalorsx xx

→+∞ →+∞ →+∞= = − =

Puisque limx

x→+∞

= +∞ alors lnlim (1 ) lim ( ln )x x

xx x xx→+∞ →+∞

− = − = +∞

Exemple

Soit ( ) xf x x e−=

Déterminer la limite en +∞

La fonction est définie sur [ [0,+∞

Pour lever l’indétermination, effectuons le changement de variable X x=

Ainsi lorsque x alors X→+∞ →+∞

Puisque 2

Xx e X ee

− −= = et comme 2

lim 0XX

Xe→+∞

alors lim 0x

xx e−

→+∞=

Calcul intégral Cours

CHAPITRE 16 : CALCUL INTEGRAL

La notion d’intégrale a été définie au chapitre 9.

Rappelons que l’on a toujours a b≤

1. Propriétés de l’intégrale

1.1. Relation de Chasles

Soit f continue sur I, trois réels a, b et c quelconques de l’intervalle I,

( ) ( ) ( )b c b

f x dx f x dx f x dx= +∫ ∫ ∫

Démonstration admise (dans le cas général, on peut facilement la démontrer lorsque f est positive

sur I )

Exemple

Calculer 2

sin x dxπ

On utilise la relation de Chasles

[ ] [ ]2 2 2

0 0 0sin sin ( sin ) cos cos 4x dx x dx x dx x x

π π π π

= + − = − + =∫ ∫ ∫

1.2. Linéarité

1.2.1. Intégrale et addition des fonctions

Propriété

( ( ) ( )) ( ) ( )b b b

f x g x dx f x dx g x dx+ = +∫ ∫ ∫

Démonstration

En effet, si F et G désignent une primitive sur I de f et g respectivement, alors

[ ] [ ] [ ]

[ ] [ ]

( ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

f x g x dx F x G x F b G b F a G a

F b F a G b G a f x dx g x dx

+ = + = + − + =

− + − = +

∫ ∫

1.2.2. Intégrale et constante multiplicative

Propriété

, ( ) ( )b b

k k f x dx k f x dx∀ ∈ =∫ ∫R

Démonstration

Si F désigne une primitive de f, alors

[ ] [ ] [ ] [ ], ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )b bb

k k f x dx kF x k F b k F a k F b F a k f x dx∀ ∈ = = − = − =∫ ∫R

Remarque

En appliquant les deux propriétés précédentes, on obtient ;

Si 1 2f et f sont des fonctions continues sur [ ],a b , alors

[ ]1 2 1 1 2 2 1 1 2 2, , ( ) ( ) ( ) ( )b b b

k k k f x k f x dx k f x dx k f x dx∀ ∈ ∀ ∈ + = +∫ ∫ ∫R R

1.2.3. Interversion des bornes

Propriété

( ) ( )a b

f x dx f x dx= −∫ ∫

Démonstration

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )a b

f x dx F a F b et f x dx F b F a= − = −∫ ∫

1.3. Ordre et intégration

Propriété

i). [ ], , ( ) 0 ( ) 0b

si x a b f x alors f x dx∀ ∈ ≥ ≥∫

ii). [ ], , ( ) 0 ( ) 0b

si x a b f x alors f x dx∀ ∈ ≤ ≤∫

iii). [ ], , ( ) ( ) ( ) ( )b b

si x a b f x g x alors f x dx g x dx∀ ∈ ≤ ≤∫ ∫

Démonstration

i) ( )b

f x dx∫ représente une aire, qui par définition est un réel positif

ii) ( )b

f x dx∫ est égale à l’opposé de l’aire

iii) [ ], , ( ) ( ) ( ) ( ) 0si x a b f x g x alors f x g x∀ ∈ ≤ − ≤

et d’après ii) [ ]( ) ( ) 0b

f x g x dx− ≤∫ , soit en appliquant la linéarité de l’intégrale 1.2

alors ( ) ( )b b

f x dx g x dx≤∫ ∫

1.4. Valeur moyenne d'une fonction et inégalité de la moyenne.

1.4.1. Valeur moyenne d’une fonction

Définition

f une fonction continue sur un intervalle I, on appelle valeur moyenne de f sur [ ],a b

le nombre réel égal à 1 ( )b

f x dxb a− ∫

Exemple

Calculer la valeur moyenne de la fonction : cos 0,2

f x x sur π

Nous avons [ ]/ 2

0cos sin 1x dx x

= =∫

La valeur moyenne de la fonction : cos 0,2

f x x sur π

a est égale à 1 2

=π π

1.4.2. Inégalité de la moyenne

Théorème

Soit f est une fonction continue sur un intervalle I et a et b deux réels I∈

i) Si ,x I∀ ∈ il existe deux réels m et M avec ( )m f x M≤ ≤ alors

( ) ( ) ( )b

m b a f x dx M b a− ≤ ≤ −∫

ii) Si ,x I∀ ∈ il existe un réel 0M > avec ( )f x M≤

( ) ( )b

f x dx M b a≤ −∫

Démonstration

Si ,x I∀ ∈ il existe deux réels m et M avec ( )m f x M≤ ≤ , en intégrant entre a et b, puisqu’il y a

conservation de l’ordre, on obtient :

( )b b b

m dx f x dx M dx≤ ≤∫ ∫ ∫

Puisque ( ) ( )b b

m dx b a m et M dx M b a= − = −∫ ∫

On a bien ( ) ( ) ( )b

m b a f x dx M b a− ≤ ≤ −∫

Exemple

Comparer les deux intégrales 1 1

2 41I x dx et J x dx= = +∫ ∫

On a 4 4, 1x x x∀ ∈ < +R

la fonction : X Xϕ a est strictement croissante sur [ [0 ,+∞

et donc, en particulier [ ] 2 40 , 1 , 1x x x∀ ∈ < +

et 1 1

2 41I x dx J x dx= < = +∫ ∫

1.5. Intégrales de fonctions paires, impaires, périodiques

Propriété

i) Si f est une fonction paire et si f est continue sur [ ],a a− alors 0

( ) 2 ( )a a

f x dx f x dx−

=∫ ∫

ii) Si f est une fonction impaire et si f est continue sur [ ],a a− alors ( ) 0a

f x dx−

iii) Si f est continue sur R et de période T alors quel que soit le nombre réel α

( ) ( )T T

f x dx f x dxα+

=∫ ∫

Exemple

Calculer 2sin sin3x x dx

−π∫

La fonction 2: sin sin3xf x xa est continue sur [ ],−π π et impaire

Donc 2sin sin 03x x dx

De même / 4

tan 0 ( )x dx continuité et imparitéπ

La fonction : tanf x xa est continue sur ,4 4π π −

et impaire

Exemple

Calculer 1

3x dx−∫

La fonction 3:f x xa est continue sur [ ]1, 1− et paire

12 24 2xx dx x dx

∫ ∫

Exemple

Calculer l’intégrale 2

sin2 cos sin

xI dxx x

La fonction 2

sin: est continue sur2 cos sin

xf xx x+

a R , donc I existe

Puisque , ( 2 ) ( )x f x f x∀ ∈ + π =R , la fonction f est de période 2T = π

En appliquant la propriété iii) avec α = −π

on a 2

sin sin2 cos sin 2 cos sin

x xdx dxx x x x

=+ +∫ ∫

La fonction f est aussi impaire et son intégrale sur [ ],− π π est nulle

donc 2

sin 02 cos sin

xI dxx x

= =+∫

2. Lien entre intégrale et primitive

Théorème

f une fonction continue sur un intervalle I et a I∈

La fonction F définie sur I par : ( ) ( )x

F x f t dt= ∫ est l’unique primitive sur I de la fonction f qui

s’annule sur I.

Application

1) Montrer que, pour tout 0t ≥ , 211 11

t t tt

− ≤ ≤ − ++

2) En déduire que pour 0,x ≥ 2 2 3

ln(1 )2 2 3x x xx x x− ≤ + ≤ − +

On étudie le signe des différences 2 21 1 (1 )(1 )

1 1 1t tt

t t t− −

− + = =+ + +

qui est un nombre positif lorsque 0t ≥

Donc 10, 11

∀ > − ≤+

De même 2 3

2 1 (1 )(1 ) 111 1 1

t t t tt tt t t

− + + −− + − = =

+ + + qui est un nombre positif lorsque 0t ≥

Donc 210, 11

t t tt

∀ > ≤ − ++

Utilisons le théorème : la fonction F définie sur I [ ]0, x= par : 0

( ) ( )x

F x f t dt= ∫ est l’unique

primitive sur [ ]0, x de la fonction f qui s’annule en 0.

0Si x ≥ , les inégalités précédentes sont valables sur [ ]0, x , et donc

2(1 ) (1 )1

x x xdtt dt t t dtt

− ≤ ≤ − ++∫ ∫ ∫

0,x∀ ≥ 2 2 3

ln(1 )2 2 3x x xx x x− ≤ + ≤ − +

Application

F est la fonction définie sur R par 0

x dtF xt

Déterminer le sens de variation de F sur R

La fonction 2

a est continue sur R , donc F existe et F est l’unique primitive de f qui

s’annule pour 0x = .

F est dérivable sur R et 0

1, '( )1 1

x dtx F xt x

′ ∀ ∈ = = + + ∫R

donc , '( ) 0x F x∀ ∈ >R

Fest strictement croissante sur R

3. Calcul de volume

L’espace est muni d’un repère orthonormé ( ; , , )O i j krr r

L’unité de volume est le volume du cube ayant pour arête l’unité de longueur définie par le

repère

Théorème

On considère un solide délimité par les plans d’équations respectives z a et z b= = .

On désigne par ( )B z la section plane de ce solide avec le plan perpendiculaire à Oz de cote z

( )a z b≤ ≤

On note ( )S z l’aire de la section ( )B z

Le volume V, en unités de volume, de ce solide est égal à :

V S z dz= ∫

Exemple

Volume d’une sphère

Considérons la sphère de centre O et de rayon R.

Elle est située entre les plans de cotes -R et R

Soit z un réel de [ ],R R− . L’intersection de la sphère et du plan de cote z est le disque ( )B z de

rayon 2 2r R z= − dont l’aire est égale à 2 2 2( ) ( )S z r R z= π = π −

La fonction : ( )f z S za est une fonction continue sur [ ],R R−

Le volume de la sphère est donc égal à :

2 2 2 32 2 4( ) ( ) ( )3 3 3 3

z R RV S z dz R z dz R z R− −

= = π − = π − = π − = π

∫ ∫

Calcul d’intégrales - Intégration par parties Cours

CHAPITRE 17 : CALCUL D’INTEGRALES - INTEGRATION PAR PARTIES

Dans ce cours, nous disposons de trois techniques de calcul d’intégrales :

1) primitivation par lecture directe dans une table

2) par transformations d’écriture

3) par intégration par parties

1. Primitivation par lecture directe dans une table

Exemple

calculer l’intégrale / 4

sincos

xI dxx

On note f la fonction définie sur 0,4π

sin:cos

La fonction f est continue sur 0,4π

et l’intégrale I existe.

Pour tout x∈ 0,4π

'( )( ) ( ) cos '( ) sin( )

u xf x avec u x x et donc u x xu x

= − = = −

La fonction F définie sur 0,4π

par 1 1( )

( ) cosF x

u x x= = est une primitive de f sur 0,

et donc / 4

1 2 1cos

π = = −

Finalement : / 4

sin 2 1cos

xI dxx

= = −∫

2. Transformations d’écriture

Dans ce cours , la transformation est toujours indiquée

Exemple

calculer l’intégrale 1

xI dxx x

− −∫

Après avoir justifié l’existence de l’intégrale, on cherchera deux réels a et b vérifiant,

pour tout x dans[ ]0,1 , 2

32 2 1

x a bx x x x

− − − +

• Existence de l’intégrale :

Les racines du dénominateur 2 1et − n’appartenant pas à l’intervalle[ ]0,1 , la fonction

xf xx x

+− −

a est continue sur [ ]0,1 et l’intégrale I existe.

• Transformation d’écriture

( ) 20,12 1 2

a b a b x a bpour tout xx x x x

+ + −∈ + =

− + − −

En identifiant les coefficients du numérateur, on obtient le système

2 3a ba b+ =

qui admet l’unique solution 5 23 3

a et b= = −

On a donc [ ] 2

3 5 1 2 10,12 3 2 3 1

xpour tout xx x x x

+∈ = −

− − − +

• Calcul de l’intégrale : 1 1

5 23 2 3 1

dx dxIx x

= −− +∫ ∫

et donc puisque [ ]0,1 ( 2) 0 ( 1) 0x alors x et x∈ − < + >

[ ] [ ]1 1

5 2ln(2 ) ln( 1)3 3

I x x= − − +

Finalement : 1

3 7 ln 22 3

xI dxx x

+= = −

− −∫

3. Intégration par parties

Théorème

Soient u et v deux fonctions dérivables sur [ ],a b et admettant des dérivées ' 'u et v continues.

Alors [ ]( ) '( ) ( ) ( ) '( ) ( )b b

au x v x dx u x v x u x v x dx= −∫ ∫

Démonstration

Soient u et v deux fonctions dérivables sur l’intervalle [ ],a b telles que u ‘ et v ‘ soient

continues sur[ ],a b , alors puisque la dérivée du produit u v est donnée par

( ) ' ' 'u v u v u v= + alors u v est une primitive de ' 'u v u v+ sur [ ],a b .

Donc [ ] ( )( ) ( ) '( ) ( ) ( ) '( ) '( ) ( ) ( ) '( )b b b

au x v x u x v x u x v x dx u x v x dx u x v x dx= + = +∫ ∫ ∫

d’où la formule d’intégration par parties

[ ]( ) '( ) ( ) ( ) '( ) ( )b b

au x v x dx u x v x u x v x dx= −∫ ∫

Cette formule s’applique lorsqu’on cherche à calculer l’intégrale d’un produit de deux fonctions

et à condition que '( ) ( )b

au x v x dx∫ soit plus facile à calculer que ( ) '( )

au x v x dx∫

C’est le cas en particulier pour le produit :

• d’une fonction polynôme et d’une fonction sinus ou cosinus (avec u égale à la fonction

polynôme)

• d’une fonction polynôme et d’une fonction logarithme (avec u égale à la fonction

logarithme)

• d’une fonction exponentielle et d’une fonction sinus ou cosinus (avec u égale

indifféremment à la fonction exponentielle ou à la fonction sinus ou cosinus)

Remarque

il faut parfois répéter plusieurs fois la méthode.

Exemple

Calculer / 2

0cosI x x dx

on pose

( ) '( ) 1( ) sin '( ) cos

u x x u xv x x v x x

= ⇒ == ⇐ =

et en appliquant la formule d’intégration par parties :

[ ]/ 2/ 2

sin sinI x x x dxππ

= − ∫

[ ]/ 2

0sin cosI x x x

et finalement / 2

cos 12

I x x dxπ π

= = −∫

Remarque

le calcul de l’intégrale I permet de trouver les primitives de la fonction

: cosf x x xa

Les primitives de f sur R sont : sin cosF x x x x C avec C+ + ∈a R

Exemple

Calculer / 2

2 cosxJ e x dxπ

−= ∫

On pose, par exemple, en choisissant u égale à la fonction exponentielle (on peut aussi procéder

par intégration par parties en posant u égale à la fonction cosinus)

2 2( ) '( ) 2

( ) sin '( ) cos

x xu x e u x ev x x v x x

− −= ⇒ = −= ⇐ =

et en appliquant la formule d’intégration par parties : / 2/ 2

2 2sin 2 sinx xJ e x e x dxππ

− − = + ∫

On applique la formule d’intégration par parties uine deuxième fois (dans le même sens, c’est-à-

dire en posant toujours u égale à la fonction exponentielle)

2 2( ) '( ) 2

( ) cos '( ) sin

x xu x e u x ev x x v x x

− −= ⇒ = −= − ⇐ =

/ 2/ 2

2 2 2sin 2 cos 2 cosx x xJ e x e x e x dxππ

− − − = + − − ∫

L’intégrale apparaissant dans le second membre étant l’intégrale J cherchée, on en déduit

/ 2 / 2

2 2sin 2 cos 4x xJ e x e x Jπ π

− − = − −

soit / 2 / 2

2 25 sin 2 cosx xJ e x e xπ π

− − = −

d’où / 2

21 ( sin 2cos )5

xJ e x xπ

− = −

et finalement / 2

2 1cos ( 2)5

xJ e x dx eπ

− −π= = +∫

Remarque

le calcul de l’intégrale I permet de trouver les primitives de la fonction 2: cosxf x e x−a

Les primitives de f sur R sont 21: (sin 2cos )5

xF x e x x C avec C R− − + ∈ a .

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