Cinématique du solideI) Le solide indéformable

1) Notion de solide indéformable

Le solide indéformable :

Un solide indéformable ou idéal est un système tel que les distances mutuelles de tous ses éléments restent constantes au cours du temps.

M

m = (M).d

V

Répartition continue volumique de la masse

M

m = (M).dS

Répartition continue surfacique de la masse

Répartition continue linéique de la masse

M

m = (M).d

M1, m1

M3, m3

M2, m2

Répartition discrète des masses

Cinématique du solideI) Le solide indéformable

1) Notion de solide indéformable

2) Degrés de liberté d’un solide

Cinématique du solideI) Le solide indéformable

1) Notion de solide indéformable

2) Degrés de liberté d’un solide

3) Centre d’inertie et référentiel barycentrique

a) Le centre d’inertie

Le centre d’inertie ou centre de masse ou barycentre G d’un solide (S) de masse m est l’unique point défini par la relation :

Définition :

• Pour un solide à répartition de masse continue, de densité volumique de masse (M) :

solide solide

.dm (M) .d GM GM 0 = =òòò òòò

Avec une origine O arbitraire :

solide

1 .dm

mOG OM= òòò

Cinématique du solideI) Le solide indéformable

1) Notion de solide indéformable

2) Degrés de liberté d’un solide

3) Centre d’inertie et référentiel barycentrique

a) Le centre d’inertie

b) Le référentiel barycentrique

Le référentiel barycentrique :

On appelle référentiel barycentrique ou référentiel de Kœnig R* relatif au référentiel R, le référentiel de centre G animé d’un mouvement de translation par rapport à R.

Le référentiel barycentrique

O

x

y

z(R) G

x’y’

z’R* à la date t1 G

x’y’

z’R* à la date t2

Cinématique du solideII) Champ de vitesse d’un solide

1) Rappels sur les dérivations

O

x

y

z(R)

O’

x’y’

z’

(R’)

'RR dtdA

dtdA

U

UU

' x

dtd

dtd

RRΩ

Dérivations avec changement de référentiel

Cinématique du solideII) Champ de vitesse d’un solide

1) Rappels sur les dérivations

2) Relation de Varignon

O’

x’y’

z’

(RS)

Solide (S)

La relation de Varignon

O

x

y

z(R) M

P

V(M/R) = V(P/R) + MP x

Cinématique du solideII) Champ de vitesse d’un solide

1) Rappels sur les dérivations

2) Relation de Varignon

3) Décomposition du mouvement

Décomposition du mouvement

Dans un référentiel barycentrique R*, le solide (S) possède un mouvement de rotation pure autour de G

Décomposition du mouvement

La loi de la composition des vitesses :

v(M) = ve(M) + v*(M) = v(G) + v*(M),

montre que l’étude du mouvement du solide (S) peut se décomposer en deux mouvements élémentaires :

Décomposition du mouvement

• L’étude du mouvement de G dans R qui traduit la translation d’ensemble du solide ;

• L’étude du mouvement du solide dans R* qui correspond à un mouvement de rotation autour de G

Cinématique du solideIII) Éléments cinétiques d’un solide

1) Résultante cinétique d’un solide

Définition :

solidesolide Rdm).RM(dm

dtd

/vOM

P

)RG(.m /vP

La résultante cinétique d’un solide dans un référentiel R d’origine O fixe par la relation :

La résultante cinétique P d’un solide (S) dans un référentiel R est égale à la quantité de mouvement d’un point matériel fictif situé au centre d’inertie G du solide et affecté de la masse totale du solide (S) dans R : P = m.v(G/R).

Cinématique du solideIII) Éléments cinétiques d’un solide

1) Résultante cinétique d’un solide

2) Moment cinétique d’un solide

a) Moment cinétique par rapport à un point

Rappel :

Un moment vectoriel d’une grandeur vectorielle A s’appliquant en M et calculé en O dans R :

MO(A/R) = OM x A.

Définition :

solide

dm).RM( x )RS( /vOML/L OO

On définit le moment cinétique d’un solide (S) dans un référentiel R par rapport à un point arbitraire O, mobile ou fixe par la relation :

LO’ = LO + O’O x P

Propriété :

Cinématique du solide

b) Moment cinétique par rapport à un axe

III) Éléments cinétiques d’un solide

1) Résultante cinétique d’un solide

2) Moment cinétique d’un solide

a) Moment cinétique par rapport à un point

Définition :

L(S/R) = L = LO.u

On définit le moment cinétique d’un solide dans un référentiel R par rapport à un axe passant par un point O de direction définie par le vecteur unitaire u par la relation :

u

Moment cinétique par rapport à un axe

O

LO

L

L(S/R) = L = LO.u

Cinématique du solideIII) Éléments cinétiques d’un solide

1) Résultante cinétique d’un solide

2) Moment cinétique d’un solide

3) Énergie cinétique d’un solide

Définitions :

2c

solide

1E (S R) v (M R).dm

2/ /= òòò

Energie cinétique de (S) dans R :

Energie cinétique barycentrique de (S) :

2c c

solide

1E (S R ) E v* (M).dm

2*/ * = = òòò

Cinématique du solideIV) Théorèmes de Kœnig

Cinématique du solideIV) Théorèmes de Kœnig

1) Premier théorème de Kœnig

Premier théorème de Kœnig

Le moment cinétique LO en O d’un solide (S) en mouvement dans un référentiel R est égal à la somme :

• Du moment cinétique barycentrique L* du solide ;

• Du moment cinétique en O d’un point matériel fictif situé en G et affecté de la masse totale du solide dans R, OG x m.v(G).

LO = L* + OG x m.v(G) = L* + OG x P

Cinématique du solideIV) Théorèmes de Kœnig

1) Premier théorème de Kœnig

2) Second théorème de Kœnig

Second théorème de Kœnig

L’énergie cinétique Ec d’un solide (S) en mouvement dans un référentiel R est égale à la somme :

• De l’énergie cinétique barycentrique du système (S), Ec* ;

• De l’énergie cinétique d’un point matériel fictif situé en G et affecté de la masse totale du solide dans R.

Ec = Ec* + m.v2(G)21

Décomposition du mouvement

Comme la loi de composition des vitesses qui a été utilisée dans les deux démonstrations, les deux théorèmes de Kœnig montrent que l’étude du mouvement du solide (S) dans R peut se décomposer en deux mouvements élémentaires plus simples :

Décomposition du mouvement

• L’étude du mouvement de G affecté de toute la masse du solide dans R qui traduit la translation d’ensemble du solide ;

• L’étude du mouvement du solide dans R* qui correspond à un mouvement de rotation autour de G

Cinématique du solideV) Solide en rotation autour d’un axe de direction fixe

Solide en rotation autour d’un axe fixe

(S)

x

y

z

ur

u

uz

M

rH

Cinématique du solideV) Solide en rotation autour d’un axe de direction fixe

1) Moment d’inertie d’un solide par rapport à un axe

Dans le cas du mouvement d’un solide (S) en rotation autour d’un axe a priori mobile de direction fixe, son moment cinétique par rapport à , L, son énergie cinétique Ec et vérifient les relations :

L = J. Ec = J.2

21

Cinématique du solideV) Solide en rotation autour d’un axe de direction fixe

1) Moment d’inertie d’un solide par rapport à un axe

2) Moments d’inertie élémentaires

La boule homogène de masse m, de rayon R :

• Moment d’inertie par rapport à un axe G passant par G :

2G mR

52

J Δ

La barre homogène de masse m, de longueur :

• Moment d’inertie par rapport à la médiatrice :

2G m

121

J Δ

Le disque homogène ou cylindre homogène de masse m, de rayon R :

• Moment d’inertie par rapport à l’axe de révolution, G :

2G mR

21

J Δ

Le cerceau homogène de masse m, de rayon R :

• Moment d’inertie par rapport à l’axe de révolution, G :

JG = mR2

Cinématique du solideVI) Cinématique du contact de deux solides

1) Définitions

I2

I1

I

S1

S22

1

()

Contact entre deux solides

I2 de (S2) possède la trajectoire (2) sur (S2) ;

I1 de (S1) possède la trajectoire (1) sur (S1) ;

I de () possède une trajectoire () dans l’espace car () change à chaque instant.

Cinématique du solideVI) Cinématique du contact de deux solides

1) Définitions

2) Vitesse de glissement

I2

I1

IS1

S2

()

Décomposition du mouvement :Vitesse de glissement

N

pivotement

Troulement

glissement

vg(I)

G

I2 A

GI2

GI2

GI2

Non – glissement

Glissement

AC périmètre

AB = périmètre B

G

I2

G

I2 A

G

I2C

Cinématique du solideVI) Cinématique du contact de deux solides

1) Définitions

2) Vitesse de glissement

3) Exemples

a) Premier exemple : disque roulant sur un plan horizontal fixe

Disque roulant sur un plan horizontal fixe

O

y x

z

G

AI

vG

Photographie de la distribution des vitesses

O

y x

z

I

v(M) = IM. : sur un arc de cercle de centre I, v = Cste

Cinématique du solideVI) Cinématique du contact de deux solides

1) Définitions

2) Vitesse de glissement

3) Exemples

a) Premier exemple : disque roulant sur un plan horizontal fixe

b) Second exemple : Cylindre roulant sur un cylindre fixe

Cylindre roulant sans glissement sur un autre cylindre

uz

O

G

I

(C1)

(C2)

ur

u

x