Post on 28-Jun-2020
Chapitre 14 : Variables aléatoires à densité
Définition (Fonction de répartition)
Soit X une variable aléatoire. On définit sur R la fonction de
répartition de F , notée FX par :
Définition (Fonction de répartition)
Soit X une variable aléatoire. On définit sur R la fonction de
répartition de F , notée FX par :
∀x ∈ R, FX (x) = P (X ≤ x) .
Proposition (Propriétés des fonctions de répartition)
Soit X une variable aléatoire et soit FX sa fonction de répartition.
Alors,
Proposition (Propriétés des fonctions de répartition)
Soit X une variable aléatoire et soit FX sa fonction de répartition.
Alors,
• FX est croissante sur R ;
Proposition (Propriétés des fonctions de répartition)
Soit X une variable aléatoire et soit FX sa fonction de répartition.
Alors,
• FX est croissante sur R ;
• limx→−∞
FX (x) = 0 et limx→+∞
FX (x) = 1 ;
Proposition (Propriétés des fonctions de répartition)
Soit X une variable aléatoire et soit FX sa fonction de répartition.
Alors,
• FX est croissante sur R ;
• limx→−∞
FX (x) = 0 et limx→+∞
FX (x) = 1 ;
• FX est continue à droite en tout point de R et admet une limite
à gauche en tout point ;
Proposition (Propriétés des fonctions de répartition)
Soit X une variable aléatoire et soit FX sa fonction de répartition.
Alors,
• FX est croissante sur R ;
• limx→−∞
FX (x) = 0 et limx→+∞
FX (x) = 1 ;
• FX est continue à droite en tout point de R et admet une limite
à gauche en tout point ;
• pour tout x0 ∈ R, FX est continue en x0 si, et seulement si,
P (X = x0).
Proposition (Caractérisation de la loi)
Soient X et Y deux variables aléatoires. X et Y suivent la même
loi, si et seulement si, FX = FY .
Proposition (Caractérisation de la loi)
Soient X et Y deux variables aléatoires. X et Y suivent la même
loi, si et seulement si, FX = FY .
Définition (Variable aléatoire à densité)
Soit X une variable aléatoire et soit FX sa fonction de répartition.
On dit que X est une variable aléatoire à densité si FX est
continue sur R et de classe C 1 sur R, sauf éventuellement en un
nombre fini de points.
Définition (Densité)
Soit X une variable aléatoire à densité. On définit une densité fXde X par :
Définition (Densité)
Soit X une variable aléatoire à densité. On définit une densité fXde X par :
∀x ∈ R, fX (x) =
F ′X(x) si FX est dérivable en x
0 sinon.
Proposition (Lien entre la fonction de répartition et unedensité)
Soit X une variable aléatoire à densité dont on note FX la fonction
de répartition et fX une densité. Alors, pour tout x ∈ R, l’intégrale∫
x
−∞fX (t) dt converge et
Proposition (Lien entre la fonction de répartition et unedensité)
Soit X une variable aléatoire à densité dont on note FX la fonction
de répartition et fX une densité. Alors, pour tout x ∈ R, l’intégrale∫
x
−∞fX (t) dt converge et
∀x ∈ R, FX (x) =∫
x
−∞fX (t) dt.
Proposition (Proposition fondamentale des variables à densité)
Soit X une variable aléatoire réelle à densité dont on note fX une
densité et FX la fonction de répartition. Alors, pour tout
(a, b) ∈ R2 avec a < b, on a :
Proposition (Proposition fondamentale des variables à densité)
Soit X une variable aléatoire réelle à densité dont on note fX une
densité et FX la fonction de répartition. Alors, pour tout
(a, b) ∈ R2 avec a < b, on a :
P (a < (≤)X < (≤)b) = FX (b) − FX (a) =∫
b
a
fX (t) dt.
Exemple 3
1) On a
FX (x) =∫
x
−∞f (t) dt.
Exemple 3
1) On a
FX (x) =∫
x
−∞f (t) dt.
Premier cas : si x < −1. On a :
Exemple 3
1) On a
FX (x) =∫
x
−∞f (t) dt.
Premier cas : si x < −1. On a :
FX (x) =∫
x
−∞f (t) dt =
∫
x
−∞0dt = 0.
Exemple 3
1) On a
FX (x) =∫
x
−∞f (t) dt.
Premier cas : si x < −1. On a :
FX (x) =∫
x
−∞f (t) dt =
∫
x
−∞0dt = 0.
Deuxième cas : si x ∈ [−1, 0[. On a :
Exemple 3
1) On a
FX (x) =∫
x
−∞f (t) dt.
Premier cas : si x < −1. On a :
FX (x) =∫
x
−∞f (t) dt =
∫
x
−∞0dt = 0.
Deuxième cas : si x ∈ [−1, 0[. On a : D’après la relation deChasles, on a
FX (x) =∫
x
−∞f (t) dt =
∫ −1
−∞f (t) dt +
∫
x
−1
f (t) dt.
Or, f (t) = 0 pour tout t < −1, donc
∫ −1
−∞f (t) dt = 0.
Or, f (t) = 0 pour tout t < −1, donc
∫ −1
−∞f (t) dt = 0.
Et, pour tout t ∈ [−1, 0[, f (t) = 1 + t, donc
Or, f (t) = 0 pour tout t < −1, donc
∫ −1
−∞f (t) dt = 0.
Et, pour tout t ∈ [−1, 0[, f (t) = 1 + t, donc
∫
x
−1
f (t) dt =∫
x
−1
(1 + t) dt
Or, f (t) = 0 pour tout t < −1, donc
∫ −1
−∞f (t) dt = 0.
Et, pour tout t ∈ [−1, 0[, f (t) = 1 + t, donc
∫
x
−1
f (t) dt =∫
x
−1
(1 + t) dt
=
[
t +t2
2
]x
−1
Or, f (t) = 0 pour tout t < −1, donc
∫ −1
−∞f (t) dt = 0.
Et, pour tout t ∈ [−1, 0[, f (t) = 1 + t, donc
∫
x
−1
f (t) dt =∫
x
−1
(1 + t) dt
=
[
t +t2
2
]x
−1
= x +x2
2−
(
−1 +(−1)2
2
)
Or, f (t) = 0 pour tout t < −1, donc
∫ −1
−∞f (t) dt = 0.
Et, pour tout t ∈ [−1, 0[, f (t) = 1 + t, donc
∫
x
−1
f (t) dt =∫
x
−1
(1 + t) dt
=
[
t +t2
2
]x
−1
= x +x2
2−
(
−1 +(−1)2
2
)
= x +x2
2+
1
2.
Or, f (t) = 0 pour tout t < −1, donc
∫ −1
−∞f (t) dt = 0.
Et, pour tout t ∈ [−1, 0[, f (t) = 1 + t, donc
∫
x
−1
f (t) dt =∫
x
−1
(1 + t) dt
=
[
t +t2
2
]x
−1
= x +x2
2−
(
−1 +(−1)2
2
)
= x +x2
2+
1
2.
Finalement, pour tout x ∈ [−1, 0[,
FX (x) = 0 + x +x2
2+
1
2= x +
x2
2+
1
2.
3 ème cas : si x ∈ [0, 1[.
3 ème cas : si x ∈ [0, 1[. D’après la relation de Chasles, on a
3 ème cas : si x ∈ [0, 1[. D’après la relation de Chasles, on a
FX (x) =∫
x
−∞f (t) dt =
∫ −1
−∞f (t) dt +
∫
0
−1
f (t) dt +∫
x
0
f (t) dt.
3 ème cas : si x ∈ [0, 1[. D’après la relation de Chasles, on a
FX (x) =∫
x
−∞f (t) dt =
∫ −1
−∞f (t) dt +
∫
0
−1
f (t) dt +∫
x
0
f (t) dt.
Or,
∫ −1
−∞f (t) dt = 0.
3 ème cas : si x ∈ [0, 1[. D’après la relation de Chasles, on a
FX (x) =∫
x
−∞f (t) dt =
∫ −1
−∞f (t) dt +
∫
0
−1
f (t) dt +∫
x
0
f (t) dt.
Or,
∫ −1
−∞f (t) dt = 0. De plus,
3 ème cas : si x ∈ [0, 1[. D’après la relation de Chasles, on a
FX (x) =∫
x
−∞f (t) dt =
∫ −1
−∞f (t) dt +
∫
0
−1
f (t) dt +∫
x
0
f (t) dt.
Or,
∫ −1
−∞f (t) dt = 0. De plus,
∫
0
−1
f (t) dt =∫
0
−1
(1 + t) dt
3 ème cas : si x ∈ [0, 1[. D’après la relation de Chasles, on a
FX (x) =∫
x
−∞f (t) dt =
∫ −1
−∞f (t) dt +
∫
0
−1
f (t) dt +∫
x
0
f (t) dt.
Or,
∫ −1
−∞f (t) dt = 0. De plus,
∫
0
−1
f (t) dt =∫
0
−1
(1 + t) dt
=
[
t +t2
2
]0
−1
3 ème cas : si x ∈ [0, 1[. D’après la relation de Chasles, on a
FX (x) =∫
x
−∞f (t) dt =
∫ −1
−∞f (t) dt +
∫
0
−1
f (t) dt +∫
x
0
f (t) dt.
Or,
∫ −1
−∞f (t) dt = 0. De plus,
∫
0
−1
f (t) dt =∫
0
−1
(1 + t) dt
=
[
t +t2
2
]0
−1
= 0 +02
2−
(
−1 +(−1)2
2
)
3 ème cas : si x ∈ [0, 1[. D’après la relation de Chasles, on a
FX (x) =∫
x
−∞f (t) dt =
∫ −1
−∞f (t) dt +
∫
0
−1
f (t) dt +∫
x
0
f (t) dt.
Or,
∫ −1
−∞f (t) dt = 0. De plus,
∫
0
−1
f (t) dt =∫
0
−1
(1 + t) dt
=
[
t +t2
2
]0
−1
= 0 +02
2−
(
−1 +(−1)2
2
)
=1
2.
Et,
Et,
∫
x
0
f (t) dt =∫
x
0
(1 − t) dt
Et,
∫
x
0
f (t) dt =∫
x
0
(1 − t) dt
=
[
t −t2
2
]x
0
Et,
∫
x
0
f (t) dt =∫
x
0
(1 − t) dt
=
[
t −t2
2
]x
0
= x −x2
2−
(
0 −02
2
)
Et,
∫
x
0
f (t) dt =∫
x
0
(1 − t) dt
=
[
t −t2
2
]x
0
= x −x2
2−
(
0 −02
2
)
= x −x2
2.
Et,
∫
x
0
f (t) dt =∫
x
0
(1 − t) dt
=
[
t −t2
2
]x
0
= x −x2
2−
(
0 −02
2
)
= x −x2
2.
Finalement, pour tout x ∈ [0, 1[, FX (x) = 0 +1
2+ x −
x2
2.
4 ème cas : si x ≥ 1. D’après la relation de Chasles, on a
4 ème cas : si x ≥ 1. D’après la relation de Chasles, on a
FX (x) =∫
x
−∞f (t) dt
4 ème cas : si x ≥ 1. D’après la relation de Chasles, on a
FX (x) =∫
x
−∞f (t) dt
=∫ −1
−∞f (t) dt +
∫
0
−1
f (t) dt +∫
1
0
f (t) dt +∫
x
0
f (t) dt.
Or,∫ −1
−∞f (t) dt = 0,
et
4 ème cas : si x ≥ 1. D’après la relation de Chasles, on a
FX (x) =∫
x
−∞f (t) dt
=∫ −1
−∞f (t) dt +
∫
0
−1
f (t) dt +∫
1
0
f (t) dt +∫
x
0
f (t) dt.
Or,∫ −1
−∞f (t) dt = 0,
et∫
0
−1
f (t) dt =1
2.
4 ème cas : si x ≥ 1. D’après la relation de Chasles, on a
FX (x) =∫
x
−∞f (t) dt
=∫ −1
−∞f (t) dt +
∫
0
−1
f (t) dt +∫
1
0
f (t) dt +∫
x
0
f (t) dt.
Or,∫ −1
−∞f (t) dt = 0,
et∫
0
−1
f (t) dt =1
2.
De plus,∫
1
0
f (t) dt =∫
1
0
(1 + t) dt
4 ème cas : si x ≥ 1. D’après la relation de Chasles, on a
FX (x) =∫
x
−∞f (t) dt
=∫ −1
−∞f (t) dt +
∫
0
−1
f (t) dt +∫
1
0
f (t) dt +∫
x
0
f (t) dt.
Or,∫ −1
−∞f (t) dt = 0,
et∫
0
−1
f (t) dt =1
2.
De plus,∫
1
0
f (t) dt =∫
1
0
(1 + t) dt
=
[
t +t2
2
]1
0
4 ème cas : si x ≥ 1. D’après la relation de Chasles, on a
FX (x) =∫
x
−∞f (t) dt
=∫ −1
−∞f (t) dt +
∫
0
−1
f (t) dt +∫
1
0
f (t) dt +∫
x
0
f (t) dt.
Or,∫ −1
−∞f (t) dt = 0,
et∫
0
−1
f (t) dt =1
2.
De plus,∫
1
0
f (t) dt =∫
1
0
(1 + t) dt
=
[
t +t2
2
]1
0
=1
2.
On a aussi
∫
x
1
f (t) dt =∫
x
1
0dt = 0. Ainsi,
On a aussi
∫
x
1
f (t) dt =∫
x
1
0dt = 0. Ainsi,
FX (x) = 0 +1
2+
1
2+ 0 = 1.
On a aussi
∫
x
1
f (t) dt =∫
x
1
0dt = 0. Ainsi,
FX (x) = 0 +1
2+
1
2+ 0 = 1.
Pour résumer,
On a aussi
∫
x
1
f (t) dt =∫
x
1
0dt = 0. Ainsi,
FX (x) = 0 +1
2+
1
2+ 0 = 1.
Pour résumer,
∀x ∈ R, FX (x) =
0 si x < −1
x +x2
2+
1
2si x ∈ [−1, 0[
1
2+ x −
x2
2si x ∈ [0, 1[
1 si x ≥ 1
.
2) a) On a :
2) a) On a :|X | < 2 ⇐⇒ −2 < X < 2.
Ainsi
2) a) On a :|X | < 2 ⇐⇒ −2 < X < 2.
Ainsi
P (|X | < 2) = P (−2 < X < 2) = FX (2) − FX (−2) .
2) a) On a :|X | < 2 ⇐⇒ −2 < X < 2.
Ainsi
P (|X | < 2) = P (−2 < X < 2) = FX (2) − FX (−2) .
Mais, FX (2) = 1 et FX (−2) = 0, d’où
2) a) On a :|X | < 2 ⇐⇒ −2 < X < 2.
Ainsi
P (|X | < 2) = P (−2 < X < 2) = FX (2) − FX (−2) .
Mais, FX (2) = 1 et FX (−2) = 0, d’où
P (|X | < 2) = 1 − 0 = 1.
2) a) On a :|X | < 2 ⇐⇒ −2 < X < 2.
Ainsi
P (|X | < 2) = P (−2 < X < 2) = FX (2) − FX (−2) .
Mais, FX (2) = 1 et FX (−2) = 0, d’où
P (|X | < 2) = 1 − 0 = 1.
b) On a :
2) a) On a :|X | < 2 ⇐⇒ −2 < X < 2.
Ainsi
P (|X | < 2) = P (−2 < X < 2) = FX (2) − FX (−2) .
Mais, FX (2) = 1 et FX (−2) = 0, d’où
P (|X | < 2) = 1 − 0 = 1.
b) On a :
P (X ≥ −3) = limx→+∞
FX (x) − FX (−3) = 1 − 0 = 1.
2) a) On a :|X | < 2 ⇐⇒ −2 < X < 2.
Ainsi
P (|X | < 2) = P (−2 < X < 2) = FX (2) − FX (−2) .
Mais, FX (2) = 1 et FX (−2) = 0, d’où
P (|X | < 2) = 1 − 0 = 1.
b) On a :
P (X ≥ −3) = limx→+∞
FX (x) − FX (−3) = 1 − 0 = 1.
BNe pas écrire FX (+∞) !
Proposition (Les densités caractérisent la loi)
Soient X et Y deux variables aléatoires à densité dont on note fXet fY des densités.
X et Y suivent la même loi, si et seulement si, les fonctions fX et
fY sont égales sauf en un nombre au plus fini de points.
Exemple 41) Comme fU est non nulle sur [0, 1[, on en déduit queU (Ω) = [0, 1[.
Exemple 41) Comme fU est non nulle sur [0, 1[, on en déduit queU (Ω) = [0, 1[. Comme U ∈ [0, 1[,
Exemple 41) Comme fU est non nulle sur [0, 1[, on en déduit queU (Ω) = [0, 1[. Comme U ∈ [0, 1[, 1 − U ∈ ]0, 1].
Exemple 41) Comme fU est non nulle sur [0, 1[, on en déduit queU (Ω) = [0, 1[. Comme U ∈ [0, 1[, 1 − U ∈ ]0, 1].
On en déduit que Y est bien définie et
Exemple 41) Comme fU est non nulle sur [0, 1[, on en déduit queU (Ω) = [0, 1[. Comme U ∈ [0, 1[, 1 − U ∈ ]0, 1].
On en déduit que Y est bien définie et Y (Ω) = R+.
2) On rappelle que, par définition, FY (x) = P (Y ≤ x). CommeY (Ω) = R+, on a
Exemple 41) Comme fU est non nulle sur [0, 1[, on en déduit queU (Ω) = [0, 1[. Comme U ∈ [0, 1[, 1 − U ∈ ]0, 1].
On en déduit que Y est bien définie et Y (Ω) = R+.
2) On rappelle que, par définition, FY (x) = P (Y ≤ x). CommeY (Ω) = R+, on a
∀x < 0, FY (x) = P (Y ≤ x) = 0.
Exemple 41) Comme fU est non nulle sur [0, 1[, on en déduit queU (Ω) = [0, 1[. Comme U ∈ [0, 1[, 1 − U ∈ ]0, 1].
On en déduit que Y est bien définie et Y (Ω) = R+.
2) On rappelle que, par définition, FY (x) = P (Y ≤ x). CommeY (Ω) = R+, on a
∀x < 0, FY (x) = P (Y ≤ x) = 0.
Soit x ≥ 0. On a :
Exemple 41) Comme fU est non nulle sur [0, 1[, on en déduit queU (Ω) = [0, 1[. Comme U ∈ [0, 1[, 1 − U ∈ ]0, 1].
On en déduit que Y est bien définie et Y (Ω) = R+.
2) On rappelle que, par définition, FY (x) = P (Y ≤ x). CommeY (Ω) = R+, on a
∀x < 0, FY (x) = P (Y ≤ x) = 0.
Soit x ≥ 0. On a :
FY (x) = P (Y ≤ x)
Exemple 41) Comme fU est non nulle sur [0, 1[, on en déduit queU (Ω) = [0, 1[. Comme U ∈ [0, 1[, 1 − U ∈ ]0, 1].
On en déduit que Y est bien définie et Y (Ω) = R+.
2) On rappelle que, par définition, FY (x) = P (Y ≤ x). CommeY (Ω) = R+, on a
∀x < 0, FY (x) = P (Y ≤ x) = 0.
Soit x ≥ 0. On a :
FY (x) = P (Y ≤ x)
= P (− ln (1 − U) ≤ x)
Exemple 41) Comme fU est non nulle sur [0, 1[, on en déduit queU (Ω) = [0, 1[. Comme U ∈ [0, 1[, 1 − U ∈ ]0, 1].
On en déduit que Y est bien définie et Y (Ω) = R+.
2) On rappelle que, par définition, FY (x) = P (Y ≤ x). CommeY (Ω) = R+, on a
∀x < 0, FY (x) = P (Y ≤ x) = 0.
Soit x ≥ 0. On a :
FY (x) = P (Y ≤ x)
= P (− ln (1 − U) ≤ x) par définition de Y
Exemple 41) Comme fU est non nulle sur [0, 1[, on en déduit queU (Ω) = [0, 1[. Comme U ∈ [0, 1[, 1 − U ∈ ]0, 1].
On en déduit que Y est bien définie et Y (Ω) = R+.
2) On rappelle que, par définition, FY (x) = P (Y ≤ x). CommeY (Ω) = R+, on a
∀x < 0, FY (x) = P (Y ≤ x) = 0.
Soit x ≥ 0. On a :
FY (x) = P (Y ≤ x)
= P (− ln (1 − U) ≤ x) par définition de Y
= P (ln (1 − U) ≥ −x)
Exemple 41) Comme fU est non nulle sur [0, 1[, on en déduit queU (Ω) = [0, 1[. Comme U ∈ [0, 1[, 1 − U ∈ ]0, 1].
On en déduit que Y est bien définie et Y (Ω) = R+.
2) On rappelle que, par définition, FY (x) = P (Y ≤ x). CommeY (Ω) = R+, on a
∀x < 0, FY (x) = P (Y ≤ x) = 0.
Soit x ≥ 0. On a :
FY (x) = P (Y ≤ x)
= P (− ln (1 − U) ≤ x) par définition de Y
= P (ln (1 − U) ≥ −x)
= P(
1 − U ≥ e−x)
Exemple 41) Comme fU est non nulle sur [0, 1[, on en déduit queU (Ω) = [0, 1[. Comme U ∈ [0, 1[, 1 − U ∈ ]0, 1].
On en déduit que Y est bien définie et Y (Ω) = R+.
2) On rappelle que, par définition, FY (x) = P (Y ≤ x). CommeY (Ω) = R+, on a
∀x < 0, FY (x) = P (Y ≤ x) = 0.
Soit x ≥ 0. On a :
FY (x) = P (Y ≤ x)
= P (− ln (1 − U) ≤ x) par définition de Y
= P (ln (1 − U) ≥ −x)
= P(
1 − U ≥ e−x)
car t 7−→ et est une bijection croissante
Exemple 41) Comme fU est non nulle sur [0, 1[, on en déduit queU (Ω) = [0, 1[. Comme U ∈ [0, 1[, 1 − U ∈ ]0, 1].
On en déduit que Y est bien définie et Y (Ω) = R+.
2) On rappelle que, par définition, FY (x) = P (Y ≤ x). CommeY (Ω) = R+, on a
∀x < 0, FY (x) = P (Y ≤ x) = 0.
Soit x ≥ 0. On a :
FY (x) = P (Y ≤ x)
= P (− ln (1 − U) ≤ x) par définition de Y
= P (ln (1 − U) ≥ −x)
= P(
1 − U ≥ e−x)
car t 7−→ et est une bijection croissante
= P(
U ≤ 1 − e−x)
de R sur R∗+
Exemple 41) Comme fU est non nulle sur [0, 1[, on en déduit queU (Ω) = [0, 1[. Comme U ∈ [0, 1[, 1 − U ∈ ]0, 1].
On en déduit que Y est bien définie et Y (Ω) = R+.
2) On rappelle que, par définition, FY (x) = P (Y ≤ x). CommeY (Ω) = R+, on a
∀x < 0, FY (x) = P (Y ≤ x) = 0.
Soit x ≥ 0. On a :
FY (x) = P (Y ≤ x)
= P (− ln (1 − U) ≤ x) par définition de Y
= P (ln (1 − U) ≥ −x)
= P(
1 − U ≥ e−x)
car t 7−→ et est une bijection croissante
= P(
U ≤ 1 − e−x)
de R sur R∗+
= FU
(
1 − e−x)
Exemple 41) Comme fU est non nulle sur [0, 1[, on en déduit queU (Ω) = [0, 1[. Comme U ∈ [0, 1[, 1 − U ∈ ]0, 1].
On en déduit que Y est bien définie et Y (Ω) = R+.
2) On rappelle que, par définition, FY (x) = P (Y ≤ x). CommeY (Ω) = R+, on a
∀x < 0, FY (x) = P (Y ≤ x) = 0.
Soit x ≥ 0. On a :
FY (x) = P (Y ≤ x)
= P (− ln (1 − U) ≤ x) par définition de Y
= P (ln (1 − U) ≥ −x)
= P(
1 − U ≥ e−x)
car t 7−→ et est une bijection croissante
= P(
U ≤ 1 − e−x)
de R sur R∗+
= FU
(
1 − e−x)
par définition de FU .
On remarque que, comme x ≥ 0, 1 − e−x ∈ ]0, 1]. D’après la
proposition 1.3, on a
On remarque que, comme x ≥ 0, 1 − e−x ∈ ]0, 1]. D’après la
proposition 1.3, on a
FU
(
1 − e−x)
=∫
1−e−x
−∞fU (t) dt.
On remarque que, comme x ≥ 0, 1 − e−x ∈ ]0, 1]. D’après la
proposition 1.3, on a
FU
(
1 − e−x)
=∫
1−e−x
−∞fU (t) dt.
On utilise la relation de Chasles, on écrit
On remarque que, comme x ≥ 0, 1 − e−x ∈ ]0, 1]. D’après la
proposition 1.3, on a
FU
(
1 − e−x)
=∫
1−e−x
−∞fU (t) dt.
On utilise la relation de Chasles, on écrit
FU (x) =∫
0
−∞fU (t) dt +
∫
1−e−x
0
fU (t) dt
On remarque que, comme x ≥ 0, 1 − e−x ∈ ]0, 1]. D’après la
proposition 1.3, on a
FU
(
1 − e−x)
=∫
1−e−x
−∞fU (t) dt.
On utilise la relation de Chasles, on écrit
FU (x) =∫
0
−∞fU (t) dt +
∫
1−e−x
0
fU (t) dt
=∫
0
−∞0dt +
∫
1−e−x
0
1dt
On remarque que, comme x ≥ 0, 1 − e−x ∈ ]0, 1]. D’après la
proposition 1.3, on a
FU
(
1 − e−x)
=∫
1−e−x
−∞fU (t) dt.
On utilise la relation de Chasles, on écrit
FU (x) =∫
0
−∞fU (t) dt +
∫
1−e−x
0
fU (t) dt
=∫
0
−∞0dt +
∫
1−e−x
0
1dt par définition de fU
On remarque que, comme x ≥ 0, 1 − e−x ∈ ]0, 1]. D’après la
proposition 1.3, on a
FU
(
1 − e−x)
=∫
1−e−x
−∞fU (t) dt.
On utilise la relation de Chasles, on écrit
FU (x) =∫
0
−∞fU (t) dt +
∫
1−e−x
0
fU (t) dt
=∫
0
−∞0dt +
∫
1−e−x
0
1dt par définition de fU
= 0 + [t ]1−e−x
0
On remarque que, comme x ≥ 0, 1 − e−x ∈ ]0, 1]. D’après la
proposition 1.3, on a
FU
(
1 − e−x)
=∫
1−e−x
−∞fU (t) dt.
On utilise la relation de Chasles, on écrit
FU (x) =∫
0
−∞fU (t) dt +
∫
1−e−x
0
fU (t) dt
=∫
0
−∞0dt +
∫
1−e−x
0
1dt par définition de fU
= 0 + [t ]1−e−x
0
= 1 − e−x .
On remarque que, comme x ≥ 0, 1 − e−x ∈ ]0, 1]. D’après la
proposition 1.3, on a
FU
(
1 − e−x)
=∫
1−e−x
−∞fU (t) dt.
On utilise la relation de Chasles, on écrit
FU (x) =∫
0
−∞fU (t) dt +
∫
1−e−x
0
fU (t) dt
=∫
0
−∞0dt +
∫
1−e−x
0
1dt par définition de fU
= 0 + [t ]1−e−x
0
= 1 − e−x .
Conclusion :
∀x ∈ R, FY (x) =
0 si x < 0
1 − e−x si x ≥ 0
.
3) On utilise la définition 1.2. pour montrer que Y est une variablealéatoire à densité, on montre que FY est continue sur R et declasse C 1 sauf peut-être en un nombre fini de points.
3) On utilise la définition 1.2. pour montrer que Y est une variablealéatoire à densité, on montre que FY est continue sur R et declasse C 1 sauf peut-être en un nombre fini de points.
• Continuité.FY est continue sur R
∗ d’après les théorèmes généraux.
3) On utilise la définition 1.2. pour montrer que Y est une variablealéatoire à densité, on montre que FY est continue sur R et declasse C 1 sauf peut-être en un nombre fini de points.
• Continuité.FY est continue sur R
∗ d’après les théorèmes généraux.
• On a :FY (0) = 1 − e
−0 = 1 − 1 = 0,
3) On utilise la définition 1.2. pour montrer que Y est une variablealéatoire à densité, on montre que FY est continue sur R et declasse C 1 sauf peut-être en un nombre fini de points.
• Continuité.FY est continue sur R
∗ d’après les théorèmes généraux.
• On a :FY (0) = 1 − e
−0 = 1 − 1 = 0,
limx→0−
FY (x) = limx→0−
0 = 0
3) On utilise la définition 1.2. pour montrer que Y est une variablealéatoire à densité, on montre que FY est continue sur R et declasse C 1 sauf peut-être en un nombre fini de points.
• Continuité.FY est continue sur R
∗ d’après les théorèmes généraux.
• On a :FY (0) = 1 − e
−0 = 1 − 1 = 0,
limx→0−
FY (x) = limx→0−
0 = 0
etlim
x→0+FY (x) = lim
x→0+
(
1 − e−x)
= 0.
3) On utilise la définition 1.2. pour montrer que Y est une variablealéatoire à densité, on montre que FY est continue sur R et declasse C 1 sauf peut-être en un nombre fini de points.
• Continuité.FY est continue sur R
∗ d’après les théorèmes généraux.
• On a :FY (0) = 1 − e
−0 = 1 − 1 = 0,
limx→0−
FY (x) = limx→0−
0 = 0
etlim
x→0+FY (x) = lim
x→0+
(
1 − e−x)
= 0.
Conclusion, FY est continue en 0, puis sur R.
3) On utilise la définition 1.2. pour montrer que Y est une variablealéatoire à densité, on montre que FY est continue sur R et declasse C 1 sauf peut-être en un nombre fini de points.
• Continuité.FY est continue sur R
∗ d’après les théorèmes généraux.
• On a :FY (0) = 1 − e
−0 = 1 − 1 = 0,
limx→0−
FY (x) = limx→0−
0 = 0
etlim
x→0+FY (x) = lim
x→0+
(
1 − e−x)
= 0.
Conclusion, FY est continue en 0, puis sur R.
• Les théorèmes généraux assurent que FY est de classe C 1 surR sauf peut-être en 0.
3) On utilise la définition 1.2. pour montrer que Y est une variablealéatoire à densité, on montre que FY est continue sur R et declasse C 1 sauf peut-être en un nombre fini de points.
• Continuité.FY est continue sur R
∗ d’après les théorèmes généraux.
• On a :FY (0) = 1 − e
−0 = 1 − 1 = 0,
limx→0−
FY (x) = limx→0−
0 = 0
etlim
x→0+FY (x) = lim
x→0+
(
1 − e−x)
= 0.
Conclusion, FY est continue en 0, puis sur R.
• Les théorèmes généraux assurent que FY est de classe C 1 surR sauf peut-être en 0.
On en déduit que Y est une variable aléatoire à densité.
Pour obtenir une densité de Y , on dérive FY là où elle estdérivable et on complète par la valeur 0.
Pour obtenir une densité de Y , on dérive FY là où elle estdérivable et on complète par la valeur 0. On a donc :
Pour obtenir une densité de Y , on dérive FY là où elle estdérivable et on complète par la valeur 0. On a donc :
∀x ∈ R, fY (x) =
0 si x < 0
0 si x = 0
e−x si x > 0
=
0 si x ≤ 0
e−x si x > 0
.
Pour obtenir une densité de Y , on dérive FY là où elle estdérivable et on complète par la valeur 0. On a donc :
∀x ∈ R, fY (x) =
0 si x < 0
0 si x = 0
e−x si x > 0
=
0 si x ≤ 0
e−x si x > 0
.
4) On remarque que une densité de X et une densité de Y sont
égales, donc les variables aléatoires X et Y suivent la même loi.
Proposition (Caractérisation des densités de probabilité)
Soit f : R −→ R une fonction. On suppose :
Proposition (Caractérisation des densités de probabilité)
Soit f : R −→ R une fonction. On suppose :
• f est à valeurs positives ;
Proposition (Caractérisation des densités de probabilité)
Soit f : R −→ R une fonction. On suppose :
• f est à valeurs positives ;
• f est continue sur R sauf éventuellement en un nombre fini de
points ;
Proposition (Caractérisation des densités de probabilité)
Soit f : R −→ R une fonction. On suppose :
• f est à valeurs positives ;
• f est continue sur R sauf éventuellement en un nombre fini de
points ;
• l’intégrale
∫ +∞
−∞f (t) dt converge et vaut 1.
Proposition (Caractérisation des densités de probabilité)
Soit f : R −→ R une fonction. On suppose :
• f est à valeurs positives ;
• f est continue sur R sauf éventuellement en un nombre fini de
points ;
• l’intégrale
∫ +∞
−∞f (t) dt converge et vaut 1.
Alors, f est une densité d’une variable aléatoire : il existe une
variable aléatoire X dont f est une densité.
Exemple 5
Exemple 51)
Exemple 51)
• f est clairement positive sur R.
Exemple 51)
• f est clairement positive sur R.
• f est continue sur R sauf peut-être en 0 et 2.
Exemple 51)
• f est clairement positive sur R.
• f est continue sur R sauf peut-être en 0 et 2.
• f est continue sur le segment [0, 2] et nulle hors de [0, 2],
dont l’intégrale
∫ +∞
−∞f (t) dt converge et
Exemple 51)
• f est clairement positive sur R.
• f est continue sur R sauf peut-être en 0 et 2.
• f est continue sur le segment [0, 2] et nulle hors de [0, 2],
dont l’intégrale
∫ +∞
−∞f (t) dt converge et
∫ +∞
−∞f (t) dt =
∫
2
0
f (t) dt
Exemple 51)
• f est clairement positive sur R.
• f est continue sur R sauf peut-être en 0 et 2.
• f est continue sur le segment [0, 2] et nulle hors de [0, 2],
dont l’intégrale
∫ +∞
−∞f (t) dt converge et
∫ +∞
−∞f (t) dt =
∫
2
0
f (t) dt
=1
2
∫
2
0
tdt
Exemple 51)
• f est clairement positive sur R.
• f est continue sur R sauf peut-être en 0 et 2.
• f est continue sur le segment [0, 2] et nulle hors de [0, 2],
dont l’intégrale
∫ +∞
−∞f (t) dt converge et
∫ +∞
−∞f (t) dt =
∫
2
0
f (t) dt
=1
2
∫
2
0
tdt
=1
2
[
t2
2
]2
0
Exemple 51)
• f est clairement positive sur R.
• f est continue sur R sauf peut-être en 0 et 2.
• f est continue sur le segment [0, 2] et nulle hors de [0, 2],
dont l’intégrale
∫ +∞
−∞f (t) dt converge et
∫ +∞
−∞f (t) dt =
∫
2
0
f (t) dt
=1
2
∫
2
0
tdt
=1
2
[
t2
2
]2
0
= 1.
Exemple 51)
• f est clairement positive sur R.
• f est continue sur R sauf peut-être en 0 et 2.
• f est continue sur le segment [0, 2] et nulle hors de [0, 2],
dont l’intégrale
∫ +∞
−∞f (t) dt converge et
∫ +∞
−∞f (t) dt =
∫
2
0
f (t) dt
=1
2
∫
2
0
tdt
=1
2
[
t2
2
]2
0
= 1.
On a montré que f est une densité d’une variable aléatoire.
2)
2)
• g est clairement positive sur R.
2)
• g est clairement positive sur R.
• g est clairement continue sur R sauf peut-être en 0.
2)
• g est clairement positive sur R.
• g est clairement continue sur R sauf peut-être en 0.
• g est nulle sur R−, ainsi pour montrer que
∫ +∞
−∞g (t) dt
converge, il suffit de montrer que
∫ +∞
0
g (t) dt converge.
2)
• g est clairement positive sur R.
• g est clairement continue sur R sauf peut-être en 0.
• g est nulle sur R−, ainsi pour montrer que
∫ +∞
−∞g (t) dt
converge, il suffit de montrer que
∫ +∞
0
g (t) dt converge.
Soit A ≥ 0. On a :
2)
• g est clairement positive sur R.
• g est clairement continue sur R sauf peut-être en 0.
• g est nulle sur R−, ainsi pour montrer que
∫ +∞
−∞g (t) dt
converge, il suffit de montrer que
∫ +∞
0
g (t) dt converge.
Soit A ≥ 0. On a :
∫
A
0
f (t) dt =∫
A
0
e−t
dt
2)
• g est clairement positive sur R.
• g est clairement continue sur R sauf peut-être en 0.
• g est nulle sur R−, ainsi pour montrer que
∫ +∞
−∞g (t) dt
converge, il suffit de montrer que
∫ +∞
0
g (t) dt converge.
Soit A ≥ 0. On a :
∫
A
0
f (t) dt =∫
A
0
e−t
dt
=[
−e−t]A
0
2)
• g est clairement positive sur R.
• g est clairement continue sur R sauf peut-être en 0.
• g est nulle sur R−, ainsi pour montrer que
∫ +∞
−∞g (t) dt
converge, il suffit de montrer que
∫ +∞
0
g (t) dt converge.
Soit A ≥ 0. On a :
∫
A
0
f (t) dt =∫
A
0
e−t
dt
=[
−e−t]A
0
= −e−A −
(
−e−0)
2)
• g est clairement positive sur R.
• g est clairement continue sur R sauf peut-être en 0.
• g est nulle sur R−, ainsi pour montrer que
∫ +∞
−∞g (t) dt
converge, il suffit de montrer que
∫ +∞
0
g (t) dt converge.
Soit A ≥ 0. On a :
∫
A
0
f (t) dt =∫
A
0
e−t
dt
=[
−e−t]A
0
= −e−A −
(
−e−0)
= 1 − e−A.
Comme limA→+∞
(
1 − e−A
)
= 1, on en déduit que l’intégrale∫ +∞
0
f (t) dt converge et vaut 1.
Comme limA→+∞
(
1 − e−A
)
= 1, on en déduit que l’intégrale∫ +∞
0
f (t) dt converge et vaut 1. Ainsi, l’intégrale
∫ +∞
−∞f (t) dt
converge et vaut 1.
Comme limA→+∞
(
1 − e−A
)
= 1, on en déduit que l’intégrale∫ +∞
0
f (t) dt converge et vaut 1. Ainsi, l’intégrale
∫ +∞
−∞f (t) dt
converge et vaut 1.On a montré que g est une densité d’une variable aléatoire.
Proposition (Fonction de répartition et densité de aX + b avec(a, b) ∈ R
∗ × R)
Soit X une variable aléatoire dont on note FX la fonction de
répartition et fX une densité.
Proposition (Fonction de répartition et densité de aX + b avec(a, b) ∈ R
∗ × R)
Soit X une variable aléatoire dont on note FX la fonction de
répartition et fX une densité. Alors, la variable aléatoire aX + b est
une variable aléatoire réelle dont une densité faX+b est donnée par :
Proposition (Fonction de répartition et densité de aX + b avec(a, b) ∈ R
∗ × R)
Soit X une variable aléatoire dont on note FX la fonction de
répartition et fX une densité. Alors, la variable aléatoire aX + b est
une variable aléatoire réelle dont une densité faX+b est donnée par :
∀x ∈ R, faX+b (x) =1
|a|fX
(
x − b
a
)
.
Exemple 6.
Exemple 6.1) Comme X1 est une variable aléatoire à densité, la variablealéatoire 2X1 + 3 est aussi une variable aléatoire à densité (on peutposer a = 2 et b = 3) dont une densité f2X1+3 est donnée par :
Exemple 6.1) Comme X1 est une variable aléatoire à densité, la variablealéatoire 2X1 + 3 est aussi une variable aléatoire à densité (on peutposer a = 2 et b = 3) dont une densité f2X1+3 est donnée par :
∀x ∈ R, f2X1+3 (x) =1
|2|fX1
(
x − 3
2
)
=1
2fX1
(
x − 3
2
)
.
Exemple 6.1) Comme X1 est une variable aléatoire à densité, la variablealéatoire 2X1 + 3 est aussi une variable aléatoire à densité (on peutposer a = 2 et b = 3) dont une densité f2X1+3 est donnée par :
∀x ∈ R, f2X1+3 (x) =1
|2|fX1
(
x − 3
2
)
=1
2fX1
(
x − 3
2
)
.
Or, fX1(x) =
1
2x si x ∈ [0, 2]
0 sinon, il s’ensuit que
Exemple 6.1) Comme X1 est une variable aléatoire à densité, la variablealéatoire 2X1 + 3 est aussi une variable aléatoire à densité (on peutposer a = 2 et b = 3) dont une densité f2X1+3 est donnée par :
∀x ∈ R, f2X1+3 (x) =1
|2|fX1
(
x − 3
2
)
=1
2fX1
(
x − 3
2
)
.
Or, fX1(x) =
1
2x si x ∈ [0, 2]
0 sinon, il s’ensuit que
∀x ∈ R, f2X1+3 (x) =
1
2
(
x − 3
2
)
six − 3
2∈ [0, 2]
0 sinon
Exemple 6.1) Comme X1 est une variable aléatoire à densité, la variablealéatoire 2X1 + 3 est aussi une variable aléatoire à densité (on peutposer a = 2 et b = 3) dont une densité f2X1+3 est donnée par :
∀x ∈ R, f2X1+3 (x) =1
|2|fX1
(
x − 3
2
)
=1
2fX1
(
x − 3
2
)
.
Or, fX1(x) =
1
2x si x ∈ [0, 2]
0 sinon, il s’ensuit que
∀x ∈ R, f2X1+3 (x) =
1
2
(
x − 3
2
)
six − 3
2∈ [0, 2]
0 sinon
=
x − 3
4si x ∈ [3, 7]
0 sinon.
2) Comme X2 est une variable aléatoire à densité, la variablealéatoire 3 − X2 est aussi une variable aléatoire à densité (on peutposer a = −1 et b = 3) dont une densité f3−X2
est donnée par :
2) Comme X2 est une variable aléatoire à densité, la variablealéatoire 3 − X2 est aussi une variable aléatoire à densité (on peutposer a = −1 et b = 3) dont une densité f3−X2
est donnée par :
∀x ∈ R, f3−X2(x) =
1
|−1|fX2
(
x − 3
−1
)
= fX2(3 − x) .
2) Comme X2 est une variable aléatoire à densité, la variablealéatoire 3 − X2 est aussi une variable aléatoire à densité (on peutposer a = −1 et b = 3) dont une densité f3−X2
est donnée par :
∀x ∈ R, f3−X2(x) =
1
|−1|fX2
(
x − 3
−1
)
= fX2(3 − x) .
Or, fX2(x) =
e−x si x ≥ 0
0 sinon, il s’ensuit que
2) Comme X2 est une variable aléatoire à densité, la variablealéatoire 3 − X2 est aussi une variable aléatoire à densité (on peutposer a = −1 et b = 3) dont une densité f3−X2
est donnée par :
∀x ∈ R, f3−X2(x) =
1
|−1|fX2
(
x − 3
−1
)
= fX2(3 − x) .
Or, fX2(x) =
e−x si x ≥ 0
0 sinon, il s’ensuit que
f3−X2(x) =
e−(3−x ) si 3 − x ≥ 0
0 sinon
2) Comme X2 est une variable aléatoire à densité, la variablealéatoire 3 − X2 est aussi une variable aléatoire à densité (on peutposer a = −1 et b = 3) dont une densité f3−X2
est donnée par :
∀x ∈ R, f3−X2(x) =
1
|−1|fX2
(
x − 3
−1
)
= fX2(3 − x) .
Or, fX2(x) =
e−x si x ≥ 0
0 sinon, il s’ensuit que
f3−X2(x) =
e−(3−x ) si 3 − x ≥ 0
0 sinon
=
ex−3 si x ≤ 3
0 sinon.
Occupation de confinement.
Occupation de confinement.
Exemple 5, questions 3 et 4
Occupation de confinement.
Exemple 5, questions 3 et 4Exemple 6, questions 3 et 4.
Exemple 21) On rappelle que :
Exemple 21) On rappelle que :
∀x ∈ R, FX (x) =∫
x
−∞fX (t) dt.
Exemple 21) On rappelle que :
∀x ∈ R, FX (x) =∫
x
−∞fX (t) dt.
• Si x < −1, alors :
Exemple 21) On rappelle que :
∀x ∈ R, FX (x) =∫
x
−∞fX (t) dt.
• Si x < −1, alors :
FX (x) =∫
x
−∞fX (t) dt =
∫
x
−∞0 dt = 0.
• Si x ∈ [−1, 1], la relation de Chasles donne :
FX (x) =∫
x
−∞fX (t) dt
Exemple 21) On rappelle que :
∀x ∈ R, FX (x) =∫
x
−∞fX (t) dt.
• Si x < −1, alors :
FX (x) =∫
x
−∞fX (t) dt =
∫
x
−∞0 dt = 0.
• Si x ∈ [−1, 1], la relation de Chasles donne :
FX (x) =∫
x
−∞fX (t) dt
=∫ −1
−∞fX (t) dt +
∫
x
−1
fX (t) dt
Exemple 21) On rappelle que :
∀x ∈ R, FX (x) =∫
x
−∞fX (t) dt.
• Si x < −1, alors :
FX (x) =∫
x
−∞fX (t) dt =
∫
x
−∞0 dt = 0.
• Si x ∈ [−1, 1], la relation de Chasles donne :
FX (x) =∫
x
−∞fX (t) dt
=∫ −1
−∞fX (t) dt +
∫
x
−1
fX (t) dt
=∫ −1
−∞0 dt +
∫
x
−1
1
2dt
Exemple 21) On rappelle que :
∀x ∈ R, FX (x) =∫
x
−∞fX (t) dt.
• Si x < −1, alors :
FX (x) =∫
x
−∞fX (t) dt =
∫
x
−∞0 dt = 0.
• Si x ∈ [−1, 1], la relation de Chasles donne :
FX (x) =∫
x
−∞fX (t) dt
=∫ −1
−∞fX (t) dt +
∫
x
−1
fX (t) dt
=∫ −1
−∞0 dt +
∫
x
−1
1
2dt
= 0 +
[
1
2t
]x
−1
.
Ainsi,
Ainsi,
∀x ∈ [−1, 1] , FX (x) =1
2x +
1
2.
• Si x > 1. La relation de Chasles donne :
Ainsi,
∀x ∈ [−1, 1] , FX (x) =1
2x +
1
2.
• Si x > 1. La relation de Chasles donne :
FX (x) =∫
x
−∞fX (t) dt
Ainsi,
∀x ∈ [−1, 1] , FX (x) =1
2x +
1
2.
• Si x > 1. La relation de Chasles donne :
FX (x) =∫
x
−∞fX (t) dt
=∫ −1
−∞fX (t) dt +
∫
1
−1
fX (t) dt +∫
x
1
fX (t) dt
Ainsi,
∀x ∈ [−1, 1] , FX (x) =1
2x +
1
2.
• Si x > 1. La relation de Chasles donne :
FX (x) =∫
x
−∞fX (t) dt
=∫ −1
−∞fX (t) dt +
∫
1
−1
fX (t) dt +∫
x
1
fX (t) dt
=∫ −1
−∞0 dt +
∫
1
−1
1
2dt +
∫
x
1
0 dt
Ainsi,
∀x ∈ [−1, 1] , FX (x) =1
2x +
1
2.
• Si x > 1. La relation de Chasles donne :
FX (x) =∫
x
−∞fX (t) dt
=∫ −1
−∞fX (t) dt +
∫
1
−1
fX (t) dt +∫
x
1
fX (t) dt
=∫ −1
−∞0 dt +
∫
1
−1
1
2dt +
∫
x
1
0 dt
= 0 +
[
1
2t
]1
−1
+ 0
Ainsi,
∀x ∈ [−1, 1] , FX (x) =1
2x +
1
2.
• Si x > 1. La relation de Chasles donne :
FX (x) =∫
x
−∞fX (t) dt
=∫ −1
−∞fX (t) dt +
∫
1
−1
fX (t) dt +∫
x
1
fX (t) dt
=∫ −1
−∞0 dt +
∫
1
−1
1
2dt +
∫
x
1
0 dt
= 0 +
[
1
2t
]1
−1
+ 0
= 1.
Ainsi,
∀x ∈ [−1, 1] , FX (x) =1
2x +
1
2.
• Si x > 1. La relation de Chasles donne :
FX (x) =∫
x
−∞fX (t) dt
=∫ −1
−∞fX (t) dt +
∫
1
−1
fX (t) dt +∫
x
1
fX (t) dt
=∫ −1
−∞0 dt +
∫
1
−1
1
2dt +
∫
x
1
0 dt
= 0 +
[
1
2t
]1
−1
+ 0
= 1.
Finalement,
Ainsi,
∀x ∈ [−1, 1] , FX (x) =1
2x +
1
2.
• Si x > 1. La relation de Chasles donne :
FX (x) =∫
x
−∞fX (t) dt
=∫ −1
−∞fX (t) dt +
∫
1
−1
fX (t) dt +∫
x
1
fX (t) dt
=∫ −1
−∞0 dt +
∫
1
−1
1
2dt +
∫
x
1
0 dt
= 0 +
[
1
2t
]1
−1
+ 0
= 1.
Finalement,
∀x ∈ R, FX (x) =
0 si x < −11
2x +
1
2si x ∈ [−1, 1]
1 si x > 1
.
Exemple 53)
• h est clairement positive sur R.
Exemple 53)
• h est clairement positive sur R.• h est continue sur R.
Exemple 53)
• h est clairement positive sur R.• h est continue sur R.
• Pour montrer que l’intégrale
∫ +∞
−∞h (t) dt converge, il suffit
de prouver la convergence des intégrales
∫
0
−∞h (t) dt et
∫ +∞
0
h (t) dt.
Exemple 53)
• h est clairement positive sur R.• h est continue sur R.
• Pour montrer que l’intégrale
∫ +∞
−∞h (t) dt converge, il suffit
de prouver la convergence des intégrales
∫
0
−∞h (t) dt et
∫ +∞
0
h (t) dt.
Soit A ≥ 0. On a :∫
A
0
h (t) dt =∫
A
0
1
2e
−|t|dt
Exemple 53)
• h est clairement positive sur R.• h est continue sur R.
• Pour montrer que l’intégrale
∫ +∞
−∞h (t) dt converge, il suffit
de prouver la convergence des intégrales
∫
0
−∞h (t) dt et
∫ +∞
0
h (t) dt.
Soit A ≥ 0. On a :∫
A
0
h (t) dt =∫
A
0
1
2e
−|t|dt
=1
2
∫
A
0
e−t
dt
Exemple 53)
• h est clairement positive sur R.• h est continue sur R.
• Pour montrer que l’intégrale
∫ +∞
−∞h (t) dt converge, il suffit
de prouver la convergence des intégrales
∫
0
−∞h (t) dt et
∫ +∞
0
h (t) dt.
Soit A ≥ 0. On a :∫
A
0
h (t) dt =∫
A
0
1
2e
−|t|dt
=1
2
∫
A
0
e−t
dt car |t| = t
Exemple 53)
• h est clairement positive sur R.• h est continue sur R.
• Pour montrer que l’intégrale
∫ +∞
−∞h (t) dt converge, il suffit
de prouver la convergence des intégrales
∫
0
−∞h (t) dt et
∫ +∞
0
h (t) dt.
Soit A ≥ 0. On a :∫
A
0
h (t) dt =∫
A
0
1
2e
−|t|dt
=1
2
∫
A
0
e−t
dt car |t| = t
=1
2
[
−e−t]A
0
Exemple 53)
• h est clairement positive sur R.• h est continue sur R.
• Pour montrer que l’intégrale
∫ +∞
−∞h (t) dt converge, il suffit
de prouver la convergence des intégrales
∫
0
−∞h (t) dt et
∫ +∞
0
h (t) dt.
Soit A ≥ 0. On a :∫
A
0
h (t) dt =∫
A
0
1
2e
−|t|dt
=1
2
∫
A
0
e−t
dt car |t| = t
=1
2
[
−e−t]A
0
=1
2−
1
2e
−A.
Or, limA→+∞
(
1
2−
1
2e
−A
)
=1
2, donc l’intégrale
∫ +∞
0
h (t) dt
converge et vaut1
2.
Or, limA→+∞
(
1
2−
1
2e
−A
)
=1
2, donc l’intégrale
∫ +∞
0
h (t) dt
converge et vaut1
2.
Soit B ≤ 0. On a :
∫
0
B
h (t) dt =∫
0
B
1
2e
−|t|dt
Or, limA→+∞
(
1
2−
1
2e
−A
)
=1
2, donc l’intégrale
∫ +∞
0
h (t) dt
converge et vaut1
2.
Soit B ≤ 0. On a :
∫
0
B
h (t) dt =∫
0
B
1
2e
−|t|dt
=1
2
∫
0
B
e−(−t)
dt
Or, limA→+∞
(
1
2−
1
2e
−A
)
=1
2, donc l’intégrale
∫ +∞
0
h (t) dt
converge et vaut1
2.
Soit B ≤ 0. On a :
∫
0
B
h (t) dt =∫
0
B
1
2e
−|t|dt
=1
2
∫
0
B
e−(−t)
dt car |t| = −t
=1
2
∫
0
B
etdt
Or, limA→+∞
(
1
2−
1
2e
−A
)
=1
2, donc l’intégrale
∫ +∞
0
h (t) dt
converge et vaut1
2.
Soit B ≤ 0. On a :
∫
0
B
h (t) dt =∫
0
B
1
2e
−|t|dt
=1
2
∫
0
B
e−(−t)
dt car |t| = −t
=1
2
∫
0
B
etdt
=1
2[et ]
0
B
Or, limA→+∞
(
1
2−
1
2e
−A
)
=1
2, donc l’intégrale
∫ +∞
0
h (t) dt
converge et vaut1
2.
Soit B ≤ 0. On a :
∫
0
B
h (t) dt =∫
0
B
1
2e
−|t|dt
=1
2
∫
0
B
e−(−t)
dt car |t| = −t
=1
2
∫
0
B
etdt
=1
2[et ]
0
B
=1
2−
1
2e
B .
Or, limA→+∞
(
1
2−
1
2e
−A
)
=1
2, donc l’intégrale
∫ +∞
0
h (t) dt
converge et vaut1
2.
Soit B ≤ 0. On a :
∫
0
B
h (t) dt =∫
0
B
1
2e
−|t|dt
=1
2
∫
0
B
e−(−t)
dt car |t| = −t
=1
2
∫
0
B
etdt
=1
2[et ]
0
B
=1
2−
1
2e
B .
Or, limB→−∞
(
1
2−
1
2e
B
)
=1
2, donc l’intégrale
∫
0
−∞h (t) dt
converge et vaut1
2.
Finalement, l’intégrale
∫ +∞
−∞h (t) dt converge et
Finalement, l’intégrale
∫ +∞
−∞h (t) dt converge et
∫ +∞
−∞h (t) dt =
∫
0
−∞h (t) dt +
∫ +∞
0
h (t) dt =1
2+
1
2= 1.
Finalement, l’intégrale
∫ +∞
−∞h (t) dt converge et
∫ +∞
−∞h (t) dt =
∫
0
−∞h (t) dt +
∫ +∞
0
h (t) dt =1
2+
1
2= 1.
On a montré que h est une densité d’une variable aléatoire.
Exemple 5
4)
• i est clairement positive sur R.
Exemple 5
4)
• i est clairement positive sur R.
• i est continue sur R sauf peut-être en 0.
Exemple 5
4)
• i est clairement positive sur R.
• i est continue sur R sauf peut-être en 0.
• Comme i est nulle sur R−, pour montrer que l’intégrale∫ +∞
−∞i (t) dt converge, il suffit de montrer que l’intégrale
∫ +∞
0
i (t) dt converge.
Soit A ≥ 0, on a :
Soit A ≥ 0, on a :∫
A
0
i (t) dt =∫
A
0
2t
(1 + t2)2dt
=∫
A
0
2t(
1 + t2)−2
dt
Soit A ≥ 0, on a :∫
A
0
i (t) dt =∫
A
0
2t
(1 + t2)2dt
=∫
A
0
2t(
1 + t2)−2
dt
=
[
(
1 + t2)−1
−1
]A
0
Soit A ≥ 0, on a :∫
A
0
i (t) dt =∫
A
0
2t
(1 + t2)2dt
=∫
A
0
2t(
1 + t2)−2
dt
=
[
(
1 + t2)−1
−1
]A
0
= −1
1 + A2−
(
−1
1 + 02
)
Soit A ≥ 0, on a :∫
A
0
i (t) dt =∫
A
0
2t
(1 + t2)2dt
=∫
A
0
2t(
1 + t2)−2
dt
=
[
(
1 + t2)−1
−1
]A
0
= −1
1 + A2−
(
−1
1 + 02
)
= 1 −1
1 + A2.
Soit A ≥ 0, on a :∫
A
0
i (t) dt =∫
A
0
2t
(1 + t2)2dt
=∫
A
0
2t(
1 + t2)−2
dt
=
[
(
1 + t2)−1
−1
]A
0
= −1
1 + A2−
(
−1
1 + 02
)
= 1 −1
1 + A2.
Or, limA→+∞
(
1 −1
1 + A2
)
= 1, ainsi l’intégrale
∫ +∞
0
i (t) dt
converge et vaut 1.
Soit A ≥ 0, on a :∫
A
0
i (t) dt =∫
A
0
2t
(1 + t2)2dt
=∫
A
0
2t(
1 + t2)−2
dt
=
[
(
1 + t2)−1
−1
]A
0
= −1
1 + A2−
(
−1
1 + 02
)
= 1 −1
1 + A2.
Or, limA→+∞
(
1 −1
1 + A2
)
= 1, ainsi l’intégrale
∫ +∞
0
i (t) dt
converge et vaut 1. Finalement, l’intégrale
∫ +∞
−∞i (t) dt converge
et vaut
∫ +∞
0
i (t) dt = 1.
Soit A ≥ 0, on a :∫
A
0
i (t) dt =∫
A
0
2t
(1 + t2)2dt
=∫
A
0
2t(
1 + t2)−2
dt
=
[
(
1 + t2)−1
−1
]A
0
= −1
1 + A2−
(
−1
1 + 02
)
= 1 −1
1 + A2.
Or, limA→+∞
(
1 −1
1 + A2
)
= 1, ainsi l’intégrale
∫ +∞
0
i (t) dt
converge et vaut 1. Finalement, l’intégrale
∫ +∞
−∞i (t) dt converge
et vaut
∫ +∞
0
i (t) dt = 1.
On a montré que i est une densité d’une variable aléatoire.
Exemple 6
3) Comme X3 est une variable aléatoire à densité, la variablealéatoire X3 + 1 est aussi une variable aléatoire à densité (on peutposer a = 1 et b = 1) dont une densité fX3+1 est donnée par :
Exemple 6
3) Comme X3 est une variable aléatoire à densité, la variablealéatoire X3 + 1 est aussi une variable aléatoire à densité (on peutposer a = 1 et b = 1) dont une densité fX3+1 est donnée par :
∀x ∈ R, fX3+1 (x) =1
|1|fX3
(
x − 1
1
)
= fX3(x − 1) .
Exemple 6
3) Comme X3 est une variable aléatoire à densité, la variablealéatoire X3 + 1 est aussi une variable aléatoire à densité (on peutposer a = 1 et b = 1) dont une densité fX3+1 est donnée par :
∀x ∈ R, fX3+1 (x) =1
|1|fX3
(
x − 1
1
)
= fX3(x − 1) .
Or, fX3(x) =
1
2e
−|x |, il s’ensuit que
Exemple 6
3) Comme X3 est une variable aléatoire à densité, la variablealéatoire X3 + 1 est aussi une variable aléatoire à densité (on peutposer a = 1 et b = 1) dont une densité fX3+1 est donnée par :
∀x ∈ R, fX3+1 (x) =1
|1|fX3
(
x − 1
1
)
= fX3(x − 1) .
Or, fX3(x) =
1
2e
−|x |, il s’ensuit que
fX3+1 (x) =1
2e
−|x−1|.
4) Comme X4 est une variable aléatoire à densité, la variablealéatoire −2X4 est aussi une variable aléatoire à densité (on peutposer a = −2 et b = 0) dont une densité f−2X4
est donnée par :
4) Comme X4 est une variable aléatoire à densité, la variablealéatoire −2X4 est aussi une variable aléatoire à densité (on peutposer a = −2 et b = 0) dont une densité f−2X4
est donnée par :
∀x ∈ R, f−2X4(x) =
1
|−2|fX4
(
x − 0
−2
)
=1
2fX4
(
−1
2x
)
.
4) Comme X4 est une variable aléatoire à densité, la variablealéatoire −2X4 est aussi une variable aléatoire à densité (on peutposer a = −2 et b = 0) dont une densité f−2X4
est donnée par :
∀x ∈ R, f−2X4(x) =
1
|−2|fX4
(
x − 0
−2
)
=1
2fX4
(
−1
2x
)
.
Or, fX4(x) =
2x
(1 + x2)2si x ≥ 0
0 sinon
, il s’ensuit que
4) Comme X4 est une variable aléatoire à densité, la variablealéatoire −2X4 est aussi une variable aléatoire à densité (on peutposer a = −2 et b = 0) dont une densité f−2X4
est donnée par :
∀x ∈ R, f−2X4(x) =
1
|−2|fX4
(
x − 0
−2
)
=1
2fX4
(
−1
2x
)
.
Or, fX4(x) =
2x
(1 + x2)2si x ≥ 0
0 sinon
, il s’ensuit que
f−2X4(x) =
1
2×
2
(
−1
2x
)
(
1 +
(
−1
2x
)2)2
si −1
2x ≥ 0
0 sinon
.
Après simplifications, on obtient
f−2X4(x) =
−x
2
(
1 +1
4x2
)2si x ≤ 0
0 sinon
.
Définition (Espérance)
Soit X une variable aléatoire à densité dont on note fX une
densité. On dit que X admet une espérance si, et seulement si,
l’intégrale
∫ +∞
−∞xfX (x) dx converge absolument. En cas de
convergence absolue, on note
Définition (Espérance)
Soit X une variable aléatoire à densité dont on note fX une
densité. On dit que X admet une espérance si, et seulement si,
l’intégrale
∫ +∞
−∞xfX (x) dx converge absolument. En cas de
convergence absolue, on note
E (X ) =∫ +∞
−∞xfX (x) dx .