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Chapitre IX Interaction
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CCHHAAPPIITTRREE 99
IInntteerraaccttiioonn..
Chapitre IX Interaction
136
INTRODUCTION :
Le cheminement des efforts dans une structure seffectue de la maniresuivante : Les planchers transmettent les charges verticales aux lments porteurs,qui les transmettent aux fondations ; ces dernires assurent la liaison avec le sol, ety repartissent les efforts.
Les charges horizontales provenant de laction du vent et du sisme, sonttransmises aux fondations par le biais des lments de contreventement.
De manire gnrale, le contreventement dune structure peut tre assur soitpar un systme unique, comme par exemple : voiles uniquement, portiques, etc. ;soit par association de plusieurs systmes de contreventement (mixte), tels que :voiles + portiques, noyau + portiques, etc.
Dans le premier cas, tous les lments de contreventement prsentent lamme loi de dformation, nous disons que nous somme en : dformabilitsemblable , tandis que dans le second cas, o les diffrents lments decontreventement nont pas la mme loi de dformation, nous somme en : dformabilit non semblable , la consquence de ceci est que chaque systmeinteragira sur lautre.
Louvrage que nous tudions est contrevent par une structure mixtevoiles+portiques, nous somme donc en dformabilit non semblable. En effet lesvoiles se dforment en flexion, tandis que les portiques se dforment en distorsion.
Dans ce qui suivra nous allons tablir les lois qui rgissent les dformationsainsi que celles nous permettant de rpartir les efforts horizontaux entre les diffrentslments.
Chapitre IX Interaction
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I- INTERET DE LA DEFORMABILITE NON STABLE :
La prise en compte de la dformation non semblable prsente deux intrtsmajeurs :
1 Dans le cas dun contreventement par refonds plans ayantdes largeurs diffrentes, le refond le plus large se dformepar distorsion tandis que lautre refond se dforme plus parflexion.On naura plus comme condition lencastrement :
0dzdv
; Mais on a :rGS
Tdzdv
Ainsi, la redistribution des efforts la section dencastrement sera diffrente de celleobtenue pour GSr=.
2 La dformabilit non semblable nous permetdintroduire le portique dans nos calcules, en considrantsa rigidit distorsionnelle quivalente.En effet, on considre le portique comme tant uneconsole ne se dformant quen distorsion.
II- RELATION EFFORT - DEFORMATION :
Dans le chapitre qui a prcd, dans les conventions, nous avons aboutis larelation :
r3i
3
GS''T
ET
dzvd
Avec :
)2.......(..............................)E(
Tdz
vd:flexionendformentsevoilesLes
)1.......(..............................)GS(
''Tdz
vd:distorsionendformentseportiquesLes
i3i
3ir
3i
3
(EI)i : rigidit flexionnelle des voiles.(GSr)i : rigidit distorsionnelle quivalente des portiques.
Q Q
Portique Voile
droite cubique
Chapitre IX Interaction
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III- HYPOTHESES :
Pour rpondre ce problme, il nous faut dabord, construire un modlereprsentatif de la structure et pour simplifier lapproche nous mettons leshypothses suivantes :
- Les lments de contreventement ont un comportement lastique.- Les refonds sont dinerties constantes (dans un mme niveau) et encastrs la
base dans une fondation rigide.- Les refonds ne se dforment pas en distorsion.- Les portiques sont assimils des refonds fictifs ne se dforment quen distorsion.- La rigidit de la torsion pur des refonds et des portiques est ngligeable.- Les effets de la translation et de la rotation sont tudis sparment au centre des
rigidits.- Les planchers sont infiniment rigides dans leurs plans et infiniment souples en
dehors.
IV- CAS DUN CONTREVENTEMENT EN PORTIQUES-VOILES :
A- CENTRE DE FLEXION :
Lorsque la rsultante des forces extrieurs passe par le centre de flexionc(,), le btiment ne subit pas de torsion : C=0.
iy
iyyi
ix
ixxi
)E()E(
)E()E(
Avec :
i : implantation du refond (i) dans le systme OXY ;rxi ; ryi : position de llment (i) par rapport au centre de rigidit ;Vx ; Vy : les composantes du dplacement du centre de flexion dans OXY.
Chapitre IX Interaction
139
La compatibilit des dplacements nous donne :
xiyyi
yixxi
rVvrVv
avec :
yiyi
xixi
rr
vxi ; vyi : flche du refond ou du portique (i). : rotation.
B- EFFET DE LA TRANSLATION :
c xc
yc
(z)
V = vyi
h
z
Y
Z
Ph
P(z)
P0
2
zhh
PP)zh(Pdz).z(P)z(zh
PPP)z(P 0h0z
h
0h0
En posant :
2zhb)zh(a)z(
bh
PPaP
0h
0
............................................................ (3)
Equilibre global :
Leffort tranchant extrieur est repris par les voiles et les portiques do :
PiVi TT)z( ...................................................................................... (4)
TVi : Effort tranchant dans les voiles ;TPi : Effort tranchant dans les portiques.
Chapitre IX Interaction
140
Et nous avons daprs les hypothses que les voiles travaillent en flexion, tandis queles portiques travaillent en distorsion, donc daprs (1) & (2) :
i
Vi3
3
)E(T
dzVd
.................................................................................................. (5)
ir
Pi
)GS(T
dzdV
................................................................................................... (6)
En substituant (3), (5) & (6) dans (4) :
2zhb)zh(a
dzdV)GS(
dzVd)E( ir3
3
i
..................................................... (7)
On pose :
i
ir
)E()GS(
2
zhb)zh(a)E(
1dzdV
dzVd
i3
3..... (8)
La solution de lquation diffrentielle (8) dpend du type de chargement.Nous allons tudier successivement le cas dun chargement uniforme, puis celui dunchargement triangulaire pour aboutir au cas gnral.
CHARGEMENT UNIFORME : (a0 ; b=0)
z h
hchzshzhchh
)GS(a)zh(
)GS(a
dzdV
irir
a
CHARGEMENT TRIANGULAIRE : (a=0 ; b0)
h z
h1
zchzsh
hchh2zhch2h
)GS(bh
)GS(2)zh(b
dzdV
irir
b
CHARGEMENT TRAPEZODAL : (a0 ; b0)
h z
dzdV
dzdV
dzdV ba
Chapitre IX Interaction
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CONCLUSION :
Pour obtenir la rpartition de leffort tranchant (z) dans les diffrents lmentsde contreventement, on remplace les expressions (A), (B) & (C) dans les suivantes :
dzdV)GS(T
dzVd)E(T
irPi
3
3
iVi
C- EFFET DE LA ROTATION :h
z
2
zhh
CC)zh(Cdz).z(C)z(czh
CCC)z(C 0h0z
h
0h0
En posant :
2zhb)zh(a)z(c
bh
CCaC
0h
0
........................................................... (9)
Equilibre global :
Le couple extrieur est repris par les voiles et les portiques do :
VP cc)z(c ............................................................................................ (10)
Avec : xPiyiyPixiP TrTrc : couple de torsion repris par les portiques ; xViyiyVixiV TrTrc : couple de torsion repris par les voiles ;
TVi : Effort tranchant dans les voiles ;TPi : Effort tranchant dans les portiques.
Chapitre IX Interaction
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A ce stade, il nous faut dterminer les efforts (couples de torsion) repris par lesportiques et ceux repris par les voiles :
EFFORTS DANS LES VOILES :
(5) 33
iVii
Vi3
3
dzVd)E(T
)E(T
dzVd
Dans sens XX :
3
3
ixxiVxi
3
3
xi3x
3
xixi
3x
3
ixVxi
dzd)E(rT
dzdr
dzVdrV
dzVd)E(T
.................................. (11)
Dans sens YY :
3
3
iyyiVyi
3
3
yi3y
3
yiyi
3y
3
iyVyi
dzd)E(rT
dzdr
dzVd
rV
dzVd
)E(T
.................................. (12)
En substituant (11) & (12) dans lexpression de cv :
3
3
x2yiiy
2xixViyiyVixiV dz
d)E(r)E(rTrTrc
On pose : )E(r)E(rE x2yiiy
2xiw : Rigidit la torsion flchis
On obtient : 33
wV dzdEC ................................................................................. (13)
EFFORTS DANS LES PORTIQUES :
(6) dzdV)GS(T
)GS(T
dzdV
irPiir
P
Dans sens XX :
dzd)GS(rT
dzdr
dzdVrVdz
dV)GS(TirxxiPxi
xix
xixi
xirxPxi
.......................................... (14)
Chapitre IX Interaction
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Dans sens YY :
dzd)GS(rT
dzdr
dzdV
rV
dzdV
)GS(TiryyiPyi
yiy
yiyi
yiryPyi
.......................................... (15)
En substituant (14) & (15) dans lexpression de cV :
dzd)GS(r)GS(rTrTrc rx
2yiiry
2xiPyiyiPyixip
On pose : )GS(r)GS(rEJ rx2yiiry
2xi : Rigidit la torsion.
On obtient :dzdEJCP
......................................................................................... (16)
En substituant (9), (13) & (16) dans (10) :
2zhb)zh(a
dzdGJ
dzdE 3
3
w
................................................................. (17)
On pose :
wEGJ
2zhb)zh(a
E1
dzd
dzd
w3
3............ (18)
La solution de lquation diffrentielle (18) dpend du type de chargement.Nous allons tudier successivement le cas dun chargement uniforme, puis celui dunchargement triangulaire pour aboutir au cas gnral.
CHARGEMENT UNIFORME : (a0 ; b=0)
z h
hchzshzhchh
)GS(a)zh(
)GS(a
dzd
irir
a
Chapitre IX Interaction
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CHARGEMENT TRIANGULAIRE : (a=0 ; b0)
h z
h1
zchzsh
hchh2zhch2h
)GS(bh
)GS(2)zh(b
dzd
irir
b
CHARGEMENT TRAPEZODAL : (a0 ; b0)
h z
dzd
dzd
dzd ba
CONCLUSION :
Pour obtenir la rpartition du couple de torsion C(z)=.e dans les diffrentslments de contreventement, on remplace les expressions (D), (E) & (F) dans lessuivantes :
dzd)GJ(C
dzd)E(C
iPi
3
3
iwVi
V- CALCUL DE LA STRUCTURE :
Dans ce qui suit, nous appliquons les diffrents rsultats obtenus plus haut,mais pour lapplication de ces quations, on se doit de transformer le chargementsismique ponctuelle en une charge uniformment rpartie sur la hauteur de btiment.
Pour cela, il faut essayer de trouver un chargement fictif quivalant continu quireprsente les efforts sismiques. Ceci dans le but de dterminer la proportion deleffort externe revenant chaque lment de contreventement ; par la suite, enrestant dans les mmes proportions, nous revenons au chargement rel (ponctuel) etdduisons sa rpartition sur les diffrents lments.Les rsultats de cette transformation sont donns dans les pages qui suivent :
Chapitre IX Interaction
145
A- DETERMINATION DU CHARGEMENT FICTIF EQUIVALENT :
Sens x-x :niveau Hk (m) He (m) q* (x) V* (MN) M* (MN.m) C* (MN.m/ml) c* (MN.m)
10 38.08 3.74 0.225 0.000 0.000 0.336 0.0009 34.34 3.74 0.203 0.801 1.526 0.303 1.1968 30.6 3.74 0.181 1.519 5.891 0.270 2.2697 26.86 3.74 0.159 2.154 12.786 0.237 3.2186 23.12 3.74 0.137 2.706 21.901 0.204 4.0435 19.38 3.74 0.115 3.176 32.927 0.171 4.7454 15.64 3.74 0.092 3.563 45.555 0.138 5.3233 11.9 3.74 0.070 3.868 59.476 0.105 5.7782 8.16 4.08 0.048 4.089 74.381 0.072 6.1101 4.08 4.08 0.024 4.237 91.400 0.036 6.330
base 0.00 0.000 4.286 108.820 0.000 6.404
Sens y-y :niveau Hk (m) He (m) q* (x) V* (MN) M* (MN.m) C* (MN.m/ml) c* (MN.m)
10 38.08 3.74 0.133 0.000 0.000 0.166 0.0009 34.34 3.74 0.120 0.472 0.902 0.150 0.5908 30.6 3.74 0.107 0.895 3.476 0.133 1.1197 26.86 3.74 0.094 1.269 7.541 0.117 1.5886 23.12 3.74 0.081 1.595 12.914 0.101 1.9955 19.38 3.74 0.068 1.872 19.414 0.084 2.3414 15.64 3.74 0.054 2.100 26.857 0.068 2.6263 11.9 3.74 0.041 2.279 35.062 0.052 2.8512 8.16 4.08 0.028 2.410 43.846 0.036 3.0141 4.08 4.08 0.014 2.497 53.877 0.018 3.123
base 0.00 0.000 2.526 64.143 0.000 3.159
Chapitre IX Interaction
146
Chapitre IX Interaction
147
1.386
1.076
0.905
0.775
0.645
0.527
0.419
0.314
0.233
0.133
Crel (MN.M)
1.386
2.453
4.133
4.778
5.304
5.724
6.404
6.271
3.358
6.038
0.336
c* (MN.m/ml)
2.269
4.043
4.745
5.323
5.778
6.404
6.330
3.128
6.110
C* (MN.m)
1.196
C = V.e (MN.m)
Chapitre IX Interaction
148
0.616
0.464
0.392
0.344
0.299
0.259
0.216
0.172
0.109
0.054F COR(MN)
M COR(MN.M)
2.304
6.329
18.335
25.835
34.064
42.837
72.521
62.215
11.757
51.991
V COR(MN)
0.616
1.076
1.759
2.005
2.200
2.346
2.526
2.506
1.451
2.448
0.133
F* (MN/m)
SENS Y-Y:
0.472
0.895
1.595
1.872
2.100
2.279
2.526
2.497
1.269
2.410
V* (MN)
0.902
3.476
12.914
19.414
26.857
35.062
64.143
53.877
7.541
43.846
M* (MN.m)
Chapitre IX Interaction
149
Chapitre IX Interaction
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B- EFFET DE LA TRANSLATION :
B-1- Sens x-x :
2
zhb)zh(a)E(
1dzdV
dzVd
i3
3
H)0(T)H(T
)EI()GSr(
i
i
iy3
3
ir
)EI()z(
dzdV
dz
Vd
)GS(1A
2zH
dzdV
dzdV
dzdV
dzdV
H1
Hchzsh
HchzHch
H22HHA
z (m) H z (H-z) ch(H) ch((H-z)) sh (z) H / (-) (H-2)/ (2H)
ch((H-z))/ ch(H)
sh (z
/ ch(H) 1 / H A (H-z)/2
38.08 0.022 0.829 0.829 0.000 1.363 1.000 0.000 -10.341 -0.793 0.734 0.680 1.207 0.560 0.00034.34 0.020 0.769 0.694 0.076 1.311 1.003 0.076 -11.139 -0.916 0.765 0.573 1.300 -0.300 0.80030.60 0.020 0.769 0.618 0.151 1.311 1.011 0.152 -11.139 -0.916 0.772 0.502 1.300 -1.019 1.51826.86 0.022 0.823 0.581 0.243 1.358 1.030 0.245 -10.408 -0.803 0.758 0.452 1.215 -1.604 2.15323.12 0.022 0.823 0.500 0.323 1.358 1.053 0.329 -10.408 -0.803 0.775 0.383 1.215 -2.174 2.70519.38 0.022 0.823 0.419 0.404 1.358 1.083 0.415 -10.408 -0.803 0.797 0.318 1.215 -2.675 3.17415.64 0.022 0.823 0.338 0.485 1.358 1.120 0.504 -10.408 -0.803 0.824 0.254 1.215 -3.111 3.56111.90 0.024 0.902 0.282 0.620 1.435 1.199 0.661 -9.498 -0.657 0.835 0.199 1.109 -3.423 3.8668.16 0.024 0.902 0.193 0.709 1.435 1.262 0.770 -9.498 -0.657 0.879 0.136 1.109 -3.751 4.0874.08 0.024 0.902 0.097 0.805 1.435 1.342 0.895 -9.498 -0.657 0.935 0.067 1.109 -4.048 4.2350.00 0.029 1.087 0.000 1.087 1.652 1.652 1.314 -7.881 -0.376 1.000 0.000 0.920 -4.284 4.284
Chapitre IX Interaction
151
3
3
iyV
irP
dzVd)EI(T
dzdV)GS(T
courbe d'interaction - effet de la translation (sens x-x)
-1 0 1 2 3 4 5
V (MN)
Hau
teur
s(m
)
TotalPortiqueVoileCte
z (m) dV / dz d3V / dz3 Tp (MN) Tv (MN) Ttot (MN) % portiques % voiles T rel p T rel v T rel38.08 9.31 E-04 4.41 E-07 0.560 -0.560 0.000 0.0 0.0 0.560 -0.560 0.00034.34 9.64 E-04 -2.36 E-07 0.500 0.300 0.800 62.5 37.5 0.642 0.385 1.02730.60 9.62 E-04 -8.01 E-07 0.499 1.019 1.518 32.9 67.1 0.596 1.216 1.81326.86 9.22 E-04 -1.26 E-06 0.548 1.604 2.153 25.5 74.5 0.628 1.839 2.46723.12 8.93 E-04 -1.71 E-06 0.531 2.174 2.705 19.6 80.4 0.591 2.419 3.00919.38 8.40 E-04 -2.10 E-06 0.499 2.675 3.174 15.7 84.3 0.541 2.899 3.44015.64 7.58 E-04 -2.45 E-06 0.450 3.111 3.561 12.6 87.4 0.477 3.293 3.76911.90 6.20 E-04 -2.69 E-06 0.442 3.423 3.866 11.4 88.6 0.458 3.549 4.0078.16 4.71 E-04 -2.95 E-06 0.336 3.751 4.087 8.2 91.8 0.343 3.823 4.1654.08 2.62 E-04 -3.18 E-06 0.187 4.048 4.235 4.4 95.6 0.188 4.066 4.2540.00 0 -3.37 E-06 0.000 4.284 4.284 0.0 100.0 0.000 4.286 4.286
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B-2- Sens y-y :
2
zhb)zh(a)E(
1dzdV
dzVd
i3
3
H)0(T)H(T
)EI()GSr(
i
i
iy3
3
ir
)EI()z(
dzdV
dz
Vd
)GS(1A
2zH
dzdV
dzdV
dzdV
dzdV
H1
Hchzsh
HchzHch
H22HHA
z (m) H z (H-z) ch(H) ch((H-z)) sh (z) H / (-) (H-2)/ (2H)
ch((H-z))/ ch(H)
sh (z
/ ch(H)1 / H A (H-z)/2
38.08 0.040 1.507 1.507 0.000 2.367 1.000 0.000 -3.361 0.090 0.422 0.906 0.664 0.688 0.00034.34 0.037 1.401 1.263 0.138 2.152 1.009 0.138 -3.615 -0.013 0.469 0.756 0.714 0.175 0.47330.60 0.037 1.401 1.126 0.275 2.152 1.038 0.279 -3.615 -0.013 0.482 0.641 0.714 -0.241 0.89726.86 0.038 1.442 1.017 0.425 2.232 1.092 0.438 -3.513 0.027 0.489 0.538 0.694 -0.593 1.27223.12 0.038 1.442 0.875 0.566 2.232 1.165 0.597 -3.513 0.027 0.522 0.444 0.694 -0.926 1.59919.38 0.038 1.442 0.734 0.708 2.232 1.261 0.769 -3.513 0.027 0.565 0.359 0.694 -1.230 1.87615.64 0.038 1.442 0.592 0.850 2.232 1.383 0.956 -3.513 0.027 0.620 0.281 0.694 -1.509 2.10511.90 0.042 1.596 0.499 1.097 2.567 1.665 1.331 -3.174 0.171 0.648 0.202 0.627 -1.699 2.2858.16 0.042 1.596 0.342 1.254 2.567 1.895 1.609 -3.174 0.171 0.738 0.136 0.627 -1.959 2.4164.08 0.042 1.596 0.171 1.425 2.567 2.199 1.958 -3.174 0.171 0.856 0.067 0.627 -2.242 2.5030.00 0.055 2.099 0.000 2.099 4.138 4.138 4.016 -2.413 0.573 1.000 0.000 0.477 -2.532 2.532
Chapitre IX Interaction
153
3
3
iyV
irP
dzVd)EI(T
dzdV)GS(T
courbe d'interaction - effet de la translation (sens y-y)
-2 -1 0 1 2 3
V (MN)
Hau
teur
s(m
)
TotalPortiqueVoileCte
z (m) dV / dz d3V / dz3 Tp (MN) Tv (MN) Ttot (MN) % portiques % voiles T rel p T rel v T rel38.08 1.14E-03 1.79E-06 0.688 -0.688 0.000 0.0 0.0 0.688 -0.688 0.00034.34 1.25E-03 4.55E-07 0.648 -0.175 0.473 137.0 -37.0 0.844 -0.228 0.61630.60 1.26E-03 -6.28E-07 0.656 0.241 0.897 73.1 26.9 0.787 0.290 1.07626.86 1.23E-03 -1.54E-06 0.680 0.593 1.272 53.4 46.6 0.776 0.676 1.45123.12 1.22E-03 -2.41E-06 0.673 0.926 1.599 42.1 57.9 0.740 1.019 1.75919.38 1.17E-03 -3.20E-06 0.647 1.230 1.876 34.5 65.5 0.691 1.314 2.00515.64 1.08E-03 -3.92E-06 0.597 1.509 2.105 28.3 71.7 0.623 1.577 2.20011.90 8.68E-04 -4.42E-06 0.586 1.699 2.285 25.6 74.4 0.602 1.744 2.3468.16 6.77E-04 -5.09E-06 0.457 1.959 2.416 18.9 81.1 0.463 1.985 2.4484.08 3.87E-04 -5.83E-06 0.261 2.242 2.503 10.4 89.6 0.262 2.244 2.5060.00 0.00 -6.59E-06 0.000 2.532 2.532 0.0 100.0 0.000 2.526 2.526
Chapitre IX Interaction
154
C- EFFET DE LA ROTATION :
C-1- Sens x-x :
2zhb)zh(a
E1
dzd
dzd
w3
3
H)0(C)H(C
EIGJ
W
w3
3
EI)z(
dzd
dzd
GJ1A
2zH
dzd
dzd
dzd
dzd
H1
Hchzsh
HchzHch
H22HHA
z (m) H z (H-z) ch(H) ch((H-z)) sh (z) H / (-) (H-2)/ (2H)
ch((H-z))/ ch(H)
sh (z
/ ch(H)1 / H A (H-z)/2
38.08 0.088 3.368 3.368 0.000 14.521 1.000 0.000 -3.799 1.387 0.069 0.998 0.297 2.299 0.00034.34 0.082 3.131 2.823 0.307 11.466 1.048 0.312 -4.087 1.246 0.091 0.731 0.319 1.218 1.19530.60 0.082 3.131 2.516 0.615 11.466 1.195 0.654 -4.087 1.246 0.104 0.536 0.319 0.355 2.26626.86 0.085 3.240 2.285 0.955 12.787 1.491 1.106 -3.949 1.311 0.117 0.380 0.309 -0.321 3.21523.12 0.085 3.240 1.967 1.273 12.787 1.926 1.646 -3.949 1.311 0.151 0.274 0.309 -0.916 4.03919.38 0.085 3.240 1.649 1.591 12.787 2.556 2.353 -3.949 1.311 0.200 0.196 0.309 -1.481 4.74015.64 0.085 3.240 1.331 1.909 12.787 3.448 3.300 -3.949 1.311 0.270 0.138 0.309 -2.072 5.31811.90 0.094 3.574 1.117 2.457 17.835 5.877 5.791 -3.580 1.507 0.329 0.076 0.280 -2.506 5.7738.16 0.094 3.574 0.766 2.808 17.835 8.317 8.256 -3.580 1.507 0.466 0.047 0.280 -3.349 6.1044.08 0.094 3.574 0.383 3.191 17.835 12.173 12.132 -3.580 1.507 0.683 0.022 0.280 -4.606 6.3240.00 0.118 4.493 0.000 4.493 44.690 44.690 44.679 -2.848 2.024 1.000 0.000 0.223 -6.397 6.397
Chapitre IX Interaction
155
3
3
wV
P
dzdEIT
dzdGJT
courbe d'interaction - effet de la rotation (sens x-x)
-3 -1 1 3 5 7
C (MN.m)
Hau
teur
s(m
)
TotalPortiqueVoileCte
z (m) d/dz d3/dz3Cp
(MN.m)Cv
(MN.m)Ctot
(MN.m) % portiques % voiles C rel p C rel v C rel38.08 1.54E-05 1.21E-07 2.299 -2.299 0.000 0.0 0.0 2.299 -2.299 0.00034.34 1.87E-05 6.39E-08 2.413 -1.218 1.195 201.9 -101.9 2.415 -1.219 1.19630.60 2.04E-05 1.86E-08 2.621 -0.355 2.266 115.7 -15.7 2.624 -0.355 2.26926.86 2.10E-05 -1.68E-08 2.894 0.321 3.215 90.0 10.0 2.897 0.321 3.21823.12 2.26E-05 -4.81E-08 3.123 0.916 4.039 77.3 22.7 3.126 0.917 4.04319.38 2.36E-05 -7.77E-08 3.260 1.481 4.740 68.8 31.2 3.263 1.482 4.74515.64 2.35E-05 -1.09E-07 3.246 2.072 5.318 61.0 39.0 3.249 2.074 5.32311.90 1.95E-05 -1.32E-07 3.267 2.506 5.773 56.6 43.4 3.270 2.508 5.7788.16 1.64E-05 -1.76E-07 2.755 3.349 6.104 45.1 54.9 2.758 3.352 6.1104.08 1.02E-05 -2.42E-07 1.718 4.606 6.324 27.2 72.8 1.720 4.610 6.3300.00 0.00 -3.36E-07 0.000 6.397 6.397 0.0 100.0 0.000 6.404 6.404
Chapitre IX Interaction
156
C-2- Sens y-y :
2zhb)zh(a
E1
dzd
dzd
w3
3
H)0(C)H(C
EIGJ
W
w3
3
EI)z(
dzd
dzd
GJ1A
2zH
dzd
dzd
dzd
dzd
H1
Hchzsh
HchzHch
H22HHA
z (m) H z (H-z) ch(H) ch((H-z)) sh (z) H / (-) (H-2)/ (2H)
ch((H-z))/ ch(H)
sh (z
/ ch(H)1 / H A (H-z)/2
38.08 0.088 3.368 3.368 0.000 14.521 1.000 0.000 -1.877 1.387 0.069 0.998 0.297 1.136 0.00034.34 0.082 3.131 2.823 0.307 11.466 1.048 0.312 -2.019 1.246 0.091 0.731 0.319 0.602 0.59030.60 0.082 3.131 2.516 0.615 11.466 1.195 0.654 -2.019 1.246 0.104 0.536 0.319 0.175 1.12026.86 0.085 3.240 2.285 0.955 12.787 1.491 1.106 -1.951 1.311 0.117 0.380 0.309 -0.158 1.58823.12 0.085 3.240 1.967 1.273 12.787 1.926 1.646 -1.951 1.311 0.151 0.274 0.309 -0.453 1.99619.38 0.085 3.240 1.649 1.591 12.787 2.556 2.353 -1.951 1.311 0.200 0.196 0.309 -0.732 2.34215.64 0.085 3.240 1.331 1.909 12.787 3.448 3.300 -1.951 1.311 0.270 0.138 0.309 -1.024 2.62711.90 0.094 3.574 1.117 2.457 17.835 5.877 5.791 -1.769 1.507 0.329 0.076 0.280 -1.238 2.8528.16 0.094 3.574 0.766 2.808 17.835 8.317 8.256 -1.769 1.507 0.466 0.047 0.280 -1.654 3.0164.08 0.094 3.574 0.383 3.191 17.835 12.173 12.132 -1.769 1.507 0.683 0.022 0.280 -2.275 3.1240.00 0.118 4.493 0.000 4.493 44.690 44.690 44.679 -1.407 2.024 1.000 0.000 0.223 -3.161 3.161
Chapitre IX Interaction
157
3
3
wV
P
dzdEIT
dzdGJT
courbe d'interaction - effet de la rotation (sens y-y)
-2 -1 0 1 2 3 4
C (MN.m)
Hau
teur
s(m
)
TotalPortiqueVoileCte
z (m) d/dz d3/dz3Cp
(MN.m)Cv
(MN.m)Ctot
(MN.m) % portiques % voiles C rel p C rel v C rel38.08 7.62E-06 5.96E-08 1.136 -1.136 0.000 0.0 0.0 1.136 -1.136 0.00034.34 9.26E-06 3.16E-08 1.192 -0.602 0.590 201.9 -101.9 1.192 -0.602 0.59030.60 1.01E-05 9.20E-09 1.295 -0.175 1.120 115.7 -15.7 1.295 -0.175 1.11926.86 1.04E-05 -8.32E-09 1.430 0.158 1.588 90.0 10.0 1.429 0.158 1.58823.12 1.12E-05 -2.38E-08 1.543 0.453 1.996 77.3 22.7 1.542 0.452 1.99519.38 1.17E-05 -3.84E-08 1.610 0.732 2.342 68.8 31.2 1.610 0.731 2.34115.64 1.16E-05 -5.37E-08 1.604 1.024 2.627 61.0 39.0 1.603 1.023 2.62611.90 9.62E-06 -6.50E-08 1.614 1.238 2.852 56.6 43.4 1.613 1.238 2.8518.16 8.11E-06 -8.68E-08 1.361 1.654 3.016 45.1 54.9 1.361 1.654 3.0144.08 5.06E-06 -1.19E-07 0.849 2.275 3.124 27.2 72.8 0.849 2.275 3.1230.00 0.00 -1.66E-07 0.000 3.161 3.161 0.0 100.0 0.000 3.159 3.159
Chapitre IX Interaction
158
D DISTRIBUTION DES EFFORTS DE TRANSLATION :
D-1- Sens x-x :
XXi
XXi
ViX
iXV
PirX
irXP
T)EI(
)EI(T
T)GS(
)GS(T
D-2- Sens y-y :
YYi
YYi
ViY
iYV
PirY
irYP
T)EI(
)EI(T
T)GS(
)GS(T
voiles portiquesniveau : V1 V2 V3 V total 2 & 6 3 4 & 5 total
10 0.129 0.128 0.129 0.385 0.200 0.040 0.6429 0.406 0.404 0.406 1.216 0.185 0.038 0.5968 0.614 0.610 0.614 1.839 0.184 0.043 0.6287 0.808 0.802 0.808 2.419 0.173 0.041 0.5916 0.969 0.962 0.969 2.899 0.159 0.037 0.5415 1.100 1.092 1.100 3.293 0.140 0.033 0.4774 1.186 1.177 1.186 3.549 0.135 0.031 0.4583 1.277 1.268 1.277 3.823 0.101 0.023 0.3432 1.359 1.349 1.359 4.066 0.055 0.013 0.1881 1.432 1.422 1.432 4.286 0.000 0.000 0.000
voiles portiquesniveau : V1 V2 V3 V total 2 & 6 3 4 & 5 total
10 -0.114 -0.114 -0.001 -0.228 0.211 0.211 0.8449 0.144 0.144 0.001 0.290 0.196 0.197 0.7878 0.337 0.337 0.002 0.676 0.169 0.219 0.7767 0.508 0.508 0.002 1.019 0.161 0.209 0.7406 0.655 0.655 0.003 1.314 0.151 0.195 0.6915 0.786 0.786 0.004 1.577 0.136 0.176 0.6234 0.870 0.870 0.004 1.744 0.133 0.168 0.6023 0.990 0.990 0.005 1.985 0.102 0.129 0.4632 1.119 1.119 0.005 2.244 0.058 0.073 0.2621 1.260 1.260 0.006 2.526 0.000 0.000 0.000
Chapitre IX Interaction
159
E DISTRIBUTION DES EFFORTS DE ROTATION :
E-1- Sens x-x :
PXIrxI
PX
VXW
IXxIVX
CGJ
)GS(rT
CEI
)EI(rT
I
I
voilesniveau : V1 V2 V3 V4 V5 V6 total
10 -0.044 0.000 -0.044 -0.123 -0.123 -0.001 -0.3359 -0.013 0.000 -0.013 -0.036 -0.036 0.000 -0.0988 0.012 0.000 0.012 0.032 0.032 0.000 0.0887 0.033 0.000 0.033 0.092 0.092 0.001 0.2526 0.054 0.000 0.054 0.149 0.149 0.001 0.4075 0.076 0.000 0.076 0.209 0.209 0.001 0.5704 0.091 0.000 0.091 0.252 0.252 0.002 0.6893 0.122 0.000 0.122 0.337 0.337 0.002 0.9212 0.168 0.000 0.168 0.464 0.464 0.003 1.2671 0.233 0.000 0.233 0.644 0.644 0.005 1.759
portiquesniveau : 2 & 6 3 & 5 4 B & G C & F total
10 0.033 0.007 0.007 0.033 0.020 0.2149 0.036 0.008 0.007 0.036 0.021 0.2328 0.037 0.010 0.009 0.037 0.028 0.2607 0.040 0.010 0.009 0.040 0.031 0.2806 0.041 0.011 0.010 0.041 0.032 0.2925 0.041 0.011 0.010 0.041 0.032 0.2914 0.042 0.011 0.010 0.042 0.031 0.2933 0.035 0.009 0.008 0.035 0.026 0.2472 0.022 0.006 0.005 0.022 0.017 0.1541 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000 0.000
Chapitre IX Interaction
160
E-2- Sens y-y :
PYIrYI
PY
VYW
IYYIVY
CGJ
)GS(rT
CEI
)EI(rT
I
I
voilesniveau : V1 V2 V3 V4 V5 V6 total
10 -0.041 0.000 -0.041 -0.114 -0.114 -0.001 -0.3129 -0.022 0.000 -0.022 -0.061 -0.061 0.000 -0.1658 -0.006 0.000 -0.006 -0.018 -0.018 0.000 -0.0487 0.006 0.000 0.006 0.016 0.016 0.000 0.0446 0.016 0.000 0.016 0.046 0.046 0.000 0.1245 0.027 0.000 0.027 0.074 0.074 0.001 0.2014 0.037 0.000 0.037 0.103 0.103 0.001 0.2813 0.045 0.000 0.045 0.125 0.125 0.001 0.3402 0.060 0.000 0.060 0.166 0.166 0.001 0.4541 0.083 0.000 0.083 0.229 0.229 0.002 0.625
portiquesniveau : 2 & 6 3 & 5 4 B & G C & F total
10 0.016 0.003 0.003 0.015 0.009 0.1019 0.016 0.004 0.003 0.016 0.010 0.1058 0.018 0.004 0.004 0.018 0.011 0.1147 0.018 0.005 0.004 0.018 0.014 0.1286 0.020 0.005 0.005 0.020 0.015 0.1385 0.020 0.005 0.005 0.020 0.016 0.1444 0.020 0.005 0.005 0.020 0.016 0.1443 0.021 0.005 0.005 0.020 0.015 0.1442 0.017 0.005 0.004 0.017 0.013 0.1221 0.011 0.003 0.003 0.011 0.008 0.076
Chapitre IX Interaction
161
F LES EFFORTS DANS LES ELEMENTS DE CONTREVENTEMENT :
F-1- Efforts dans les diffrents voiles :
V1 V2 V3 V4 V5 V6niveau : T (MN) F (MN) T (MN) F (MN) T (MN) F (MN) T (MN) F (MN) T (MN) F (MN) T (MN) F (MN)
10 -0.312 -0.312 -0.186 -0.186 -0.312 -0.312 -0.689 -0.689 -0.689 -0.689 -0.004 -0.0049 0.062 0.375 0.128 0.314 0.062 0.375 -0.297 0.392 -0.297 0.392 -0.002 0.0028 0.387 0.325 0.404 0.276 0.387 0.325 0.091 0.388 0.091 0.388 0.000 0.0027 0.632 0.245 0.610 0.207 0.632 0.245 0.385 0.294 0.385 0.294 0.002 0.0026 0.858 0.226 0.802 0.192 0.858 0.226 0.646 0.261 0.646 0.261 0.003 0.0015 1.049 0.191 0.962 0.159 1.049 0.191 0.878 0.232 0.878 0.232 0.005 0.0014 1.213 0.164 1.092 0.131 1.213 0.164 1.098 0.220 1.098 0.220 0.006 0.0013 1.322 0.109 1.177 0.085 1.322 0.109 1.247 0.149 1.247 0.149 0.007 0.0012 1.460 0.137 1.268 0.091 1.460 0.137 1.494 0.247 1.494 0.247 0.008 0.0011 1.609 0.150 1.349 0.081 1.609 0.150 1.812 0.318 1.812 0.318 0.010 0.002
F-2- Efforts dans les diffrents portiques :
2 & 6 3 & 5 4 B & G C & Fniveau : T (MN) F (MN) T (MN) F (MN) T (MN) F (MN) T (MN) F (MN) T (MN) F (MN)
10 0.225 0.225 0.044 0.044 0.043 0.043 0.218 0.218 0.201 0.2019 0.249 0.024 0.052 0.007 0.050 0.007 0.260 0.041 0.241 0.0408 0.239 -0.010 0.050 -0.002 0.048 -0.002 0.250 -0.010 0.229 -0.0127 0.238 0.001 0.058 0.008 0.056 0.008 0.224 -0.026 0.261 0.0326 0.233 -0.007 0.056 -0.001 0.054 -0.002 0.221 -0.003 0.255 -0.0075 0.221 -0.012 0.053 -0.003 0.052 -0.003 0.213 -0.008 0.243 -0.0124 0.201 -0.019 0.049 -0.004 0.047 -0.004 0.198 -0.015 0.224 -0.0193 0.197 -0.004 0.048 -0.001 0.046 -0.001 0.195 -0.002 0.215 -0.0092 0.154 -0.044 0.037 -0.010 0.036 -0.010 0.155 -0.040 0.169 -0.0461 0.088 -0.065 0.021 -0.016 0.021 -0.015 0.091 -0.064 0.098 -0.071
Chapitre IX Interaction
162
- 0.689
0.392
0.388
0.294
0.261
0.232
0.220
0.146
0.247
0.318
11.1 m
0.2
Voiles 4 & 5
- 0.186
0.314
0.276
0.207
0.192
0.159
0.131
0.085
0.091
0.081
Voiles 2
- 0.312
0.375
0.325
0.245
0.226
0.191
0.164
0.109
0.137
0.150
Voiles 1 & 36.30
0.2
6.30
0.2
-0.004
0.002
0.002
0.002
0.001
0.001
0.001
0.001
0.001
0.002
Voiles 61.8
0.2
Chapitre IX Interaction
163
Chapitre IX Interaction
164
0.225
0.221
- 0.100
0.001
- 0.007
- 0.012
- 0.019
- 0.004
- 0.044
- 0.065
0.044
0.007
- 0.002
0.008
-0.001
-0.003
-0.004
-0.001
-0.010
-0.016
Portique 4 Portiques 3 & 5 Portiques 2 & 6
0.043
0.007
- 0.002
0.008
-0.002
-0.003
-0.004
-0.001
-0.010
-0.015