CALCUL LITTERAL

Chapitre

05-LT

I – NOTATIONS REDUIRE-ORDONNERII – VALEUR NUMERIQUE d’une EXPRESSIONIII-DEVELOPPEMENTIV – FACTORISATIONV - IDENTITESVI- UTILISATION DES IDENTITESVII-EQUATION PRODUITVIII- EXERCICES / PROBLEME

3° Avon 2010 Bernard Izard

I-NOTATION-REDUIRE-ORDONNER

1 x a =a 0 x a = 0 -1 x a = -a-1 x (…..) =-(….)

a x b se note

2 x x se note

3x(…..) se note

(…..)x(…..)se note

On lit: 3 facteur de

ab

2x

3(…..)

(…..)(…..)

x + x = 2x

x x x = x²

On met les nombres chiffrés devant les lettres

On écrit 2x et non x2 3(…) et non (…)3

1) Rappel des notations

Expressions littérales exercice: Si a, b et x représentent des nombres, traduire les

phrases suivantes par une expression littérale simplifiée:

Le quadruple de a

La moitié de a

L’inverse de a

l’opposé de a

La moitié de la somme de 3 et a

La somme de 6 par le produit de x et 3

Les trois quarts de x

Le carré de la somme de 3 et x

La somme des carrés de 3 et x

Le double de la somme de 3 et x

4a

a/2

1/a

-a

3+a 2

6(x + 3)

6+3x

3x 4

3² + x²

(3 + x)²

2(3 + x)

Le produit de 6 par la somme de x et 3

Règle de suppression des parenthèses (rappel)

Dans un calcul, on peut supprimer les parenthèses :

- précédées du signe + et ce signe +, sans changer le signe des nombres à l’intérieur des parenthèses.

- précédées du signe - et ce signe -, en changeant chaque nombre à l’intérieur des parenthèses en son opposé.

Ex: A = 8 + (- 3 + x ) - ( 4 - 3x )

A = 8 + (- 3 + x ) - (+ 4 - 3x )

A = 8 – 3 + x – 4 + 3x

A = 4x + 1

2) Réduire une somme (Rappel)Pour réduire une somme, on regroupe les termes de mêmes « mots mathématiques », puis on les ajoute ensemble.

Remarque : on ajoute les x avec les x, les x²avec les x² , les y avec les y et les nombres chiffrés seuls avec les nombres chiffrés seuls.

Ex1: A = x + 3x

A = 4x

Ex2: B = x + x² +3 + x + 2x² + 5

B = x + x + x² + 2x² + 3 + 5

Mais jamais les x avec les x², les a avec les b..

Ex3: C = x + x²

On ne peut pas réduire

B = 2 x + 3x² + 8

3) Ordonner une expression (Rappel)

On range les termes suivant les puissances d’une lettre

A = x + 3x² – 3

A = -3 + x +3x²

Ordre croissant

A = x + 3x² - 3

A = 3x² + x - 3

Ordre décroissant

On a ordonné suivant les puissances de x

Ex: Ranger suivant les puissances décroissantes de x:

B = 5x – 5 + 7x³ - 8x²B = 7x³- 8x² + 5x - 5

4) Réduire et ordonner une expression

On Réduit en commençant par les puissances 3, puis 2, puis 1, puis 0, ou dans l’autre sens.

Ex: A=3x – 2x² +5 –3 – x +7x² +4x³

Les x³

4x³

Les x²

7x²

-2x²

5x²

Les x

3x

-x

2x

Les chiffres

5

-3

2

A = 4x³ + 5x² +2x + 2

Ex1: A = 3x x 5 x 2x

A =3x5x2 x x x x

A = 30 x x²

A = 30x²

5)-Réduire ou simplifier un produit

Pour réduire un produit, on multiplie les nombres chiffrés ensemble et les mêmes lettres ensemble

On utilise la règle du:

Signes

Chiffres

LettresEx2: B = -3 x 5 x x² x7 x (-x)

Signes

Chiffres

Lettres

- par - = +

3x5x7 =105

x² x x = x³

B = 105 x³

II-VALEUR NUMERIQUE D’ UNE EXPRESSION

A = 5x + 5 est une expression littéralSi on remplace x par 3, on va trouver la

valeur numérique de cette expression pour x = 3A = 5 x 3 + 5

A =15 + 5

A = 20Cette expression vaut 20 pour x = 3Si on remplace x par –2

A = 5x(-2) +5

A =-10+5

A = -5Cette expression vaut -5 pour x = -2

Si on note f(x)= 5x + 5

On écrit alors f(3) = 20

Ex2: Calculer pour x = -3

A = 4x – 4

B = 5x – 5(x-7)

C = 2x² - 3x + 1

D = -32x² + x + 18

A = 4(-3) – 4

A = -12 – 4

A = -16A = -16

B = 5(-3) – 5((-3)-7)

B = -15 – 5(-10)

B = -15 + 50

B = 35

C = 2(-3)² – 3(-3) +1

C =2x9 + 9 + 1

C = 18 + 10

C = 28

D = -32(-3)² +(-3) + 18

D = -32x9 – 3 + 18

D = -288 +15

D = - 273

Mettre des parenthèses pour éviter les erreurs de signes

III - DEVELOPPEMENT

On utilise la distributivité

k( a + b) = ka + kb

Développement

Factorisation

k( a - b) = ka - kb

Développer = transformer un produit en somme ou différence

Ex1:

A= 3 ( 2x +7)

A= 3 x 2x

A= 6x + 21

+ 3 x 7

A= 6x + 21

Ex2:

B = ( 6 + 2x) (x +3)

B= 6x x + 6 x 3 + 2x x x+ 2xx3

B= 6x + 18 + 2x2 + 6x

B= 2x2 + 6x+ 6x + 18

B= 2x2 + 12x + 18

B= 2x2 + 12x + 18

Autres formules appelées parfois « double distributivité »

(a + b ) ( c + d) = ac + ad + bc + bd

(a + b ) ( c - d) = ac - ad + bc - bd

(a - b ) ( c + d) = ac + ad - bc - bd

(a - b ) ( c - d) = ac - ad - bc + bd

Ex3:

B = ( 6 - 2x) (-x +3)

B= 6 x (-x) + 6 x 3 - 2x x (-

x)- 2x x 3

B= -6x + 18 + 2x2 - 6x

B= 2x2 - 6x -6x + 18

B= 2x2 - 12x + 18

B= 2x2 - 12x + 18

Ex4:

B = ( -8 - 2x) (5 –3x)

B= - 40

B= 6x2 + 14x - 40

B= 6x2 + 14x - 40

- 10x + 6x2+ 24x

Signes

chiffres

lettres

Règle

En 3°,on fait directement les calculs

IV - FACTORISATION

On utilise la distributivité

Dans l’autre sens

k( a + b) = ka + kb

Factorisation

Factoriser = transformer une somme ou différence en produit

Méthode du facteur commun

Ex1: Ex2: Ex3:

A = 5 x + x2 B = 15 x2 +  x3 C = 12 xy + 6x

A = 5 x x + x x x

A = 5 x x + x x x

A = x x

A = x (5 + x)

(5 + x)

B = x2 x (15 +  x )

B = 15 x x2 +  x x x2

B = x2 (15 +  x)

C = 6 x x 2y + 6x x 1

C = 6 x x (2y + 1)

C = 6 x (2y + 1) On dit que l’on a mis x en facteur commun

Mettre en facteur commun une expression A = (x + 7) (3x – 5) + (x + 7) (- 5x + 13)

A = (x + 7) (-2x + 8)

A = (x + 7) (3x – 5) + (x + 7) (- 5x + 13)

A = (x + 7)

[(3x – 5) + (- 5x + 13)]

A = (x + 7) [3x – 5 - 5x + 13]

A = (x + 7) [- 2x + 8]

1) On cherche les facteurs identiques

3) On met dans les crochets ce

qui reste

4) On chasse les parenthèses dans les crochets et on réduit

2) On met en facteur commun devant entre parenthèses

V – IDENTITÉS REMARQUABLES

ab

b

ba

b

aa

b²

abMarquons dans chaque figure son aire

ab

a²

b

b

b²

ab

ab

a

b

ab

aaa²

b

b

b²

ab

ab

a

b

ab

aaa²

b

b

b²

ab

ab

a

b

ab

aaa²

Aire totale = a²+ ab+ ab + b²Aire totale = a²+ 2ab + b²

La figure complète est un carré de côté (a+b)

Son aire = côté x côté

Aire = (a+b)x(a+b) = (a+b)²

D’où (a + b)² = a² + 2ab + b²

1)-Carré d ’une somme.

2 2 2( ) 2a b a ab b

² ² ( + )² = +2 +

Le carré d’une somme est égal à la somme des carrés plus le double produit des deux termes 2 2 2

2 2

( 7) 2 7 7

( 7) 14 49

x x x

x x xExemple

² ² ( + )² = +2 +

Pour ceux qui ont du mal au début

(7 + x )² = ?On reconnaît: (a+b)²=a²+ 2ab + b²

(7 + x )² = ?

7 x 77 xx

( 7 + x )² = 49 + 14 x + x²

2)-Carré d ’une différence

2 2 2( ) 2a b a ab b

²- 2 +( - )² = ²

Le carré d’une différence est égal à la somme des carrés moins le double produit des deux termes

( - )( + ) = ²- ²

3)-Différence de deux carrés.

2 2( )( )a b a b a b

Le produit d’une différence par une somme est égal à la différence des deux carrés .

VI – UTILISATION DES IDENTITÉS

1) Pour développer

A = x2 - 6x + 9

A = x2 – 2x3x x + 32

A = (x- 3)2 (a-b)2 = a2-2 ab+b2

A = (x- 3)2

On repère

l’identitéOn l’utilise

pour développer On réduit

Ex1:

B = x2 - 9

B = x2 –32

B = (x - 3) (x + 3) (a-b) (a+b) = a2 - b2

B = (x- 3)(x+3)

On repère

l’identitéOn l’utilise

pour développer

Ex2:

A = 9x2 + 42x + 49

A = (3x)2 + 2x7x3x + 72

A = (3x+ 7)2 (a+b)2 = a2+2 ab+b2

A = (3x +7)2

On repère

l’identitéOn l’utilise

pour développer On réduit

Ex3:

A = 16x2 + 40x + 25

A = (4x+ 5)2

a2+2 ab+b2

=(a+b)2 On repère

l’identité

On l’utilise pour

factoriser

Ex1:

2) Pour factoriser

A = (4x)2 + 2x5x4x + 52

A = (4x+ 5)2

A = 9x2-16

A = (3x)2- 42

A = (3x)2- 42

A = (3x +4) (3x- 4)

A = (3x +4) (3x- 4)

B = x2 - 6x + 9

B = x2 – 2x3x x + 32

B = x2 – 2x3x x + 32

B = (x- 3)2

B = (x- 3)2

Ex2: Ex3:

a2 - b2 = (a-b)

(a+b)

a2 - 2 ab - b2 =(a - b)2

VII – EQUATION PRODUITRésoudre l’équation (2x + 3) ( x – 7) = 0C’est une équation produit nul car égal à zéro. On utilise la

propriété:Si un produit est nul alors l’un des facteurs (au moins ) est nul et réciproquement.

(2x + 3) ( x – 7) = 0

(2x + 3) = 0

( x – 7) = 0

2x = -3

ou

x = -3/2

2x + 3 = 0

x – 7 = 0x = 7

Solution de cette équation –3/2 et 7

Ex1:

143 x 102 = 143 x ( 100 + 2 )

= 143 x 100 + 143 x 2

= 14 300 + 286

= 14 586

1) ExercicesCalculer mentalement avec la distributivité

143 x 102

143 x 102

143 x 102

Ex2: 102 x 209 = ( 100 + 2 ) x ( 200 + 9 )

= 100 x 200 + 100 x 9 + 2 x 200 + 2 x 9

= 20 000 + 900 + 400 + 18

= 21 318

102 x 209

102 x 209

102 x 209

VIII– EXERCICES / PROBLEME

A = 3(- 6x + 4)

A= -18x + 12

B = (2x + 3)(3x - 4)

B = 6x² - 8x + 9x – 12

B= 6x² + x - 12

DévelopperEx3:

Ex4:

103²= ( 100 + 3 )²

103²= 100² + 2 x 100 x 3 + 3²

103²= 10 000 + 600 + 9

103²= 10 609

En utilisant une identité, calculer mentalement

96² = ( 100 - 4 )² (a - b)² = a² - 2ab + b²

96²= 100² - 2 x 100 x 4+ 4²

96²= 10 000 - 800 + 16

96²= 9 216

105 x 95= ( 100 + 5 ) x ( 100 - 5 )

(a + b)(a - b) = a² - b²105 x 95 = 100² - 5²

105 x 95 = 10 000 - 25

105 x 95 = 9 975

A = (4 - 3x)² (a - b)² = a² - 2ab + b²

A = 16 - 24x + 9x²

B = (2x + 3)(2x - 3) (a + b)(a - b) = a² - b²

B= 4x² - 9

Ex5: Développer

C = (2x - 3)² + (x + 5)(3 - x )

C = (2x - 3)² + (x + 5)(3 - x ) (a - b)² = a² - 2ab + b²

C = 4x² - 12x + 9 + 3x – x ² + 15 - 5x

C = 3x² - 14x + 24

D = ( x - 3)( x + 3) - (4 - 3x)²

D = ( x - 3)( x + 3) - (4 - 3x)² (a + b)(a - b) = a² - b²

D = x² - 9 - (a - b)² = a² - 2ab + b ²

( 16 - 24x + 9x² )

D = x² - 9 - 16 + 24x - 9x²

D = -8x²+ 24x - 25

Ex6:

A = x² + 3x - 5x²

A = x x x + x x 3 - x x 5x

A = x ( x + 3 - 5x )

A = x (- 4x + 3)

B = (1 - 6x)² - (1 - 6x)(2 + 5x)

B= (1 - 6x)(1 - 6x) - (1 - 6x)(2 + 5x)

B = (1 - 6x)[ (1 - 6x) - (2 + 5x)]

B = (1 - 6x)[ 1 - 6x - 2 - 5x]

B = (1 - 6x)( - 11x - 1 )

Factoriser

Ex7: factoriser

x² - 2x + 1 = (x - 1 )² 25x² - 49 = (5x + 7 )(5x - 7 )

A = (2x + 3)² - 64

A =[ (2x + 3) – 8 ][ (2x + 3) + 8 ]

A = [2x + 3 – 8][2x + 3 + 8]

A = (2x – 5)(2x + 11)

a²-b²=…….

A = 8 + a + 8 b + ab

A = 8 + a + 8 b + ab

A = 8 + a + b ( 8+ a)

A = (8 + a) + b ( 8+ a)

A = (8 + a) x1 + b ( 8+ a)

A = (8 + a) x (1 + b)

A = (8 + a) (1 + b)

A = (8 + a) (1 + b)

Ex8: Factoriser en plusieurs étapes

2) Problème récapitulatif

4° Résoudre l’équation f(x) = 0

Enoncé:

Solution

4° Résoudre f(x) = 0

(2x +1) (-x + 6) = 0Si un produit est nul alors l’un des facteurs (au moins ) est nul et réciproquement.

2x + 1 = 0 ou -x + 6 =02x = -1

x = -1/2

-x = -6

x = 6

Solution -1/2 et 6

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FIN