Post on 17-Jun-2022
1Roland Charnay - 2009
Apprentissage des
mathématiques
Résolution de problèmes
Calcul mental
Sur la résolution de problèmes
Roland Charnay - 2009 2
• La maîtrise des principaux éléments de
mathématiques s'acquiert et s'exerce
essentiellement par la résolution de problèmes,
notamment à partir de situations proches de la
réalité. (socle commun, 2006)
• La résolution de problèmes joue un rôle
essentiel dans l’activité mathématique. Elle est
présente dans tous les domaines et s’exerce à
tous les stades des apprentissages. (programmes, 2008)
3Roland Charnay - 2009
Quelques indicateurs
sur les acquis des élèves
Roland Charnay - 2009 4
Evaluation sixième
• Plus d'1 élève sur 5 a des difficultés avec les "compétences nécessaires pour profiter pleinement des situations pédagogiques de sixième" (pour plus de 2/3 des items considérés).
• Deux domaines particuliers de difficultés
– le calcul mental : • 72 % de réussite aux questions "de base"
• Exemples : le quart de 100 (68 %) 36 divisé par 4 (56 %)
– la résolution de problèmes
Roland Charnay - 2009 5
Deux points faibles caractéristiques
• "Les élèves ont des connaissances, mais elles sont peu disponibles. Pour la plupart d'entre eux, si on ne leur dit pas explicitement quelles connaissances mathématiques il convient d'utiliser dans une situation donnée, ils ne la trouveront pas d'eux-mêmes, même s'ils possèdent le ou les éléments de connaissance correspondants".
• Manque d'autonomie : "Ils ne s'attaquent qu'aux questions qu'ils pensent pouvoir résoudre, ils ne disposent pas de stratégies pour aborder un problème qui ne leur est pas familier : essayer, expérimenter, bricoler… ne font pas partie des modes d'approche possibles".
Antoine Bodin, Les mathématiques face aux évaluations, revue Repères (IREM), octobre 2006
Roland Charnay - 2009 6
Quatre enjeux importants
• Compréhension des connaissances (sens)
• Disponibilité des connaissances (problèmes)
• Résultats et techniques mémorisés ou réfléchies
• Idée correcte du "travail mathématique"
7Roland Charnay - 2009
Un exemple du rôle de la
résolution de problèmes
dans l’apprentissage des
nombres
en maternelle et au CP
Roland Charnay - 2009 8
Du sens pour les nombres
Exemple de la mémoire des quantités
La situation "de référence"
Préparer juste ce qu'il faut de bouchons
pour en avoir un pour chaque bouteille.
Roland Charnay - 2009 9
Exemples de problèmes en PS et MS
– Collections assez nombreuses et proches• Placer les bouchons : respect de la contrainte
– Jusqu'à 7 ou 8 bouteilles, bouchons proches• Préparer sur un plateau avant de placer
– Jusqu'à 4 ou 5 bouteilles, bouchons éloignés• Aller chercher avec un plateau (en plusieurs fois, puis en une
seule fois)
– Jusqu'à 10 bouteilles, bouchons éloignés mis dans des sachets de 1, 2 ou 3 bouchons
• Aller chercher en plusieurs fois, puis en une seule fois
Roland Charnay - 2009 10
En GS et début de CP
Un problème de référence
Préparer juste ce qu'il faut de gommettes
pour réparer le robot
Un type de problème
à faire vivre
en maternelle au CP
D’après Cap maths CP
Roland Charnay - 2009 11
Une condition : Les gommettes sont dans une boîte éloignée du robot
• Aller chercher, à distance, juste assez de gommettes
pour réparer le robot (allers-retours possibles).
• Aller chercher, à distance, en une seule fois, juste
assez de gommettes pour réparer le robot.
• Les demander oralement
• Les commander par écrit
Roland Charnay - 2009 12
Des compétences nécessaires pour réussir
SAVOIR DENOMBRER
par différents moyens
• Reconnaissance immédiate de petites quantités
• Reconnaissance de quantités repères : constellations, doigts…
• Comptage un par un
Pour cela
connaître la comptine ORALE des nombres
Roland Charnay - 2009 13
Les compétences techniques…
… n'ont d'intérêt que si elles sont au
service de la résolution de
problèmes ;
… mais certaines compétences
techniques doivent être "routinisées"
pour être utilisables.
14Roland Charnay - 2009
Les élèves et la
résolution de problèmes
Un constat
Une analyse
Des propositions
Roland Charnay - 2009 15
Un problème "classique" Evaluation 6e
Xavier range les 50 photos de ses dernières
vacances dans un classeur.
Chaque page contient 6 photos.
a) Combien y a-t-il de pages complètes ?
b) Combien y a-t-il de photos sur la page incomplète ?
Il y a ……… pages complètes. 54 %
Il y a ……… photos sur la page incomplète. 57 %
Roland Charnay - 2009 16
Procédures possibles
• Division par 6• Division (étudiée depuis CE2-CM1)
• Encadrement par deux multiples de 6• Table de multiplication (depuis CE2)
• Addition de 6 en 6• Addition (depuis CP-CE1)
• Schématisation des pages et des photos• Dénombrement (depuis CP)
Roland Charnay - 2009 17
Une question
Pourquoi des élèves qui disposent de l’une ou l’autre des connaissances permettant de résoudre ce problème…
- ne pensent-ils pas…
- n’osent-ils pas…
- ne se croient-ils pas autorisés…
… (à) les utiliser pour répondre à la question?
Roland Charnay - 2009 18
Eléments d'analyse
Roland Charnay - 2009 19
Schéma d’analyse sommaire
Connaissances
- en lecture
- sur le contexte
- mathématiques
- sens des notions
- raisonnement
- calcul
Connaissances
- sur ce qui est attendu
- sur ce qui est permis
- sur ce qui marche souvent
- sur "l'accueil" des erreurs
Roland Charnay - 2009 20
A la bonne place (évaluation CE2)
Ecris, dans le bon ordre, chaque nombre à la place qui convient.
367 582 309
300 400 500 600
300 309 400 367 500 582 600
21Roland Charnay - 2009
Quelques pistes
pour le travail avec les élèves
22Roland Charnay - 2009
Apprendre…
… le sens du mot chercher
Roland Charnay - 2009 23
Un mot à double sens !
• Chercher parmi les solutions expertes déjà
éprouvées si certaines sont applicables directement
• Imaginer, bricoler une solution nouvelle, originale, personnelle, un peu comme le chercheur
Roland Charnay - 2009 24
Donner du sens aux situations pour pouvoir
donner du sens aux concepts
Place des manipulations aux cycles 1 et 2
Favoriser…
l'appropriation du problème
Roland Charnay - 2009 25
Dix dans la boîte (Cap maths CP)
- deux joueurs
- 1, 2 ou 3 jetons dans la boîte à chaque coup.
Roland Charnay - 2009 26
Dix dans la boîte : 3 problèmes
• Se souvenir de ce qui est mis dans la boîte à
chaque coup
• Plusieurs solutions… dont les nombres
• Connaître le contenu de la boîte
• Vers l’addition
• Savoir s’il est possible de gagner au coup
suivant
• Vers le complément
Roland Charnay - 2009 27
REEL / ANTICIPATION
Réel
Favorise
l’appropriation de la
situation et du
problème
Anticipation
Incite à l'expérience
mentale
Permet la validation de
la réponse ou d'une
procédure
Oblige à élaborer des
procédures
Roland Charnay - 2009 28
Exploiter
la diversité des procédures
• Favoriser la diversité
• Exploiter la diversité
• Aider au progrès des élèves
29Roland Charnay - 2009
Le calcul mental
Deux objectifs
- Mémorisation : résultats et procédures
- Réflexion : élaboration de procédures
Roland Charnay - 2009 30
Comment aider les élèves
à mémoriser les tables ?
Roland Charnay - 2009 31
Qu’est-ce qu’avoir mémorisé ?Exemple avec 6 X7
Quel est le résultat de 6 x 7 et de 7 x 6 ?
Combien de fois 6 dans 42 ?
Combien de fois 7 dans 42 ?
Combien de fois 6 dans 46 ?
Quel est le résultat de 42 : 6 et de 42 : 7 ?
Comment décomposer 42 sous forme de produit ?
Addition et multiplicationDes conditions différentes
• Addition
– Mémorisation complète
– Mémorisation partielle et reconstruction
instantanée
• Multiplication
– Mémorisation complète
Roland Charnay - 2009 32
Une démarche identique
• Comprendre pour mieux mémoriser
• Des résultats reconstruits avant d’être mémorisés
• Des résultats organisés en répertoire
• Des points d’appui– Commutativité
– Appui sur des résultats connus (doubles, voisins)
– Régularités
• Etapes de l’apprentissage– Par zones numériques pour l’addition
– Par tables pour la multiplication
– Conscience de ce qui est su et de ce qui reste à apprendre
• Entraînement
• Conditions de mémorisation et conditions de rappel
Roland Charnay - 2009 33
Roland Charnay - 2009 34
Comment aider les élèves
à progresser en calcul réfléchi ?
Trois points importants
• Il y a toujours plusieurs procédures
correctes de traiter un calcul
• Il faut pouvoir s’appuyer sur des résultats
mémorisés sûrs
• La connaissance de quelques propriétés
des opérations est indispensable
Roland Charnay - 2009 35
Exemple avec 18 + 42
Action justification
Calcul de 42 + 18 (plus
facile)
On peut permuter les 2 termes
42 + 8 + 10 On peut décomposer un terme (avec +)
42 + 20 - 2 On peut décomposer un terme (avec -)
40 + 10 + 2 + 8 On peut décomposer les 2 termes, puis
regrouper
…
Roland Charnay - 2009 36
Résultats mémorisés indispensables
- Répertoire additif
- Compléments à la dizaine supérieure
- Calcul sur les dizaines entières
- Ajout ou retrait d’un nombre inférieur à 10 ou d’un nombre entier de
dizaines à un nombre quelconque
Exemple avec 25 x 12
Action justification
25 x 10 + 25 x 2 On peut décomposer un terme (avec + ou -)
et distribuer
25 x 4 x 3 On peut décomposer un terme (avec x) et
associer
(12 : 4) x 100 On peut décomposer un terme (avec :)
…
…
Roland Charnay - 2009 37
Résultats mémorisés indispensables
- Répertoire multiplicatif
- Multiplication par 10, 100… ou dizaine simple
- Relations entre nombres courants (15, 30, 60 / 25, 50, 100 / …)