Analyse de structure i4

Institut de Technologie du CambodgeDépartement de Génie Civil

ANALYSEDES

STRUCTURESSTRUCTURESVONG SENG 2010 ‐ 2011VONG SENG 2010 ‐ 2011

Assistés par KHUYSIEN SOVEARY, LIM SONGLY et KY LENG p ,

1- Calcul des déplacements

Plan du Coursp

1.1- Méthode d’intégration1.2- Méthode de moment d’aire1.3- Méthode de la poutre conjuguée1 4 Méthode énergétique1.4- Méthode énergétique

1.4.1- Théorème de Clapeyron1.4.2- Théorème de Castigliano n 21.4.3- Intégrales de Mohr

2- Analyse des structures hyperstatiques2.1- Méthode des forces

2.1.1- Degré d’hyperstaticité2.1.1 Degré d hyperstaticité2.1.2- Équations de continuités (Muller Bresslau)2.1.3- Choix d’inconnues d’hyperstaticités2.1.4- Équations des trois moments2 1 5 É ti d i t2.1.5- Équations des cinq moments

2.2- Méthode des déplacements2.2.1- Degré de liberté2.2.2- Équations d’équilibres

q q2.2.3- Méthode de rotation2-2.4- Méthode de Cross

3- Calcul des structures par la méthode matricielle3.1- Structures à noeuds rigides

3.1.1- Raider élémentaire en axes locaux3.1.2- Raider élémentaire en axes globaux3.1.3- Assemblage3.1.4- Conditions aux limites3.1.5- Méthode de résolution du système linéaire3.1.5 Méthode de résolution du système linéaire3.1.6- Traitement des résultats

3.2- Structures à noeuds articulés 3.2.1- Raider élémentaire en axes locaux3 2 2 R id élé t i l b3.2.2- Raider élémentaire en axes globaux

4- Lignes d’influence(E. Winkler et O. Mohr)4 1- Définition4.1- Définition4.2- Utilisation des lignes d’influence4.3- Détermination des lignes d’influence

4.3.1- Méthode de calcul point par point4.3.2- Méthode de mise en équation4.3.3- Méthode de travaux virtuels

4.3.3.1- Structure isostatique(Poutre sans entretoise et avec entretoise)

(Poutre sans entretoise et avec entretoise)4.3.3.2- Structure hyperstatique

5- Théorie des plaques

1.Calcul1.Calcul des des déplacementsdéplacements

1.1 Méthode de la double d’intégration g

1.2 Méthode des moments d’aires

1.3 Méthode de la poutre conjuguée

1 4 Méthode énergétique1.4 Méthode énergétique

1.Calcul1.Calcul des des déplacementsdéplacementsIntroduction

-DéplacementVertical à l’élément étudie (flèche)

Introduction

-Vertical à l élément étudie (flèche)-Selon l’axe de l’élément étudie

(Raccourcissement allongement)(Raccourcissement, allongement) -Rotation

Important et utilité des calculs de déplacements-En vue de limiter les flèches et les rotations à

des valeurs qui soient admissibles pour le bonfonctionnement de la construction

-Il est nécessaires pour la résolution de problèmehyperstatiques

1.Calcul1.Calcul des des déplacementsdéplacements

-Nous nous intéresserons principalement auxdéplacement dus au moment de flexion Mz en flexiondéplacement dus au moment de flexion Mz en flexionplane et accessoirement aux déplacements dus àl’effort tranchant Ty dans le système isostatiques.l effort tranchant Ty dans le système isostatiques.

1.1 Méthode de la double d’intégration1.1 Méthode de la double d’intégration

xzz IREydy

REdydCC ∫∑ ∫ =Ω⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−=Ω−==

...σyy ⎠⎝Ω

zzz EI

CM −=⇒−=

zy EIR

L’équation différentielle de la déformée est en réalité:

= 2/32 )'1(''1

déformée est en réalité:

0)'(: 22 ≅=⇒ θθ ypetit

Ry −

Condition aux limites1.1 Méthode de la double d’intégration1.1 Méthode de la double d’intégration

Limites statiques

Condition aux limites

Limites cinématiques/géométriquesLimites cinématiques/géométriques

Limites de passage

Condition aux limites Limites de passage

)()(dg

xMxM =

)(')('

PxTxT od

og =− )()(

M−1.1 Méthode de la double d’intégration1.1 Méthode de la double d’intégration

Exemple1: d’application de la méthode

:0 ax <<

EIMy =''

PbxM =:0 ax <<

2 Pbxyd

,2 LPbx

dxydEI −=

b 2 bd

LPbxEIy ++

,)( axPL

PbxM −−=:Lxa << )(2

ydEI −+−=

6CxCaxP

LPbxEIy ++

−= ( )steCCCCC :,,, 4321

1.1 Méthode de la double d’intégration1.1 Méthode de la double d’intégrationExemple1: d’application de la méthode

Condition aux limites

:0,0 ==• yx 02 =C:ax =• 0, 431 == CCC:ax

:0, ==• yLx

)( 22 bLPbCC

0, 431 CCC

:0 ax << )(6

222 xbLEIL

Pbxy −−== δ)(

631 bLL

CC −==

:Lxa << ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −+−−==

2223 axPxbL

EIy δ

2Lbax ===

1.1 Méthode de la double d’intégration1.1 Méthode de la double d’intégrationExemple 2: d’application de la méthode

xqLqxM2

+−=22

EIMy −

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= xqLqx

⎟⎞

⎜⎛ ++−= 21

341 CxCxqLxqy

⎟⎠

⎜⎝EI 22

( )steCCC :⎟⎠

⎜⎝

++ 211224CxCxx

EIy ( )CCC :, 21

Condition aux limites :0,0 ==• yx 02 =C3

, y:0, ==• yLx

1qLC =

⎟⎟⎞

⎜⎜⎛

+−== xqLxqLxqy 1 334δ

⎟⎟⎠

⎜⎜⎝

+ xxxEI

y241224

⎞⎛1 3LL13

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−==

24461'

333 qLxqLxq

PLPxM −=

MEIMy −

⎟⎞

⎜⎛ 21 x

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++−= 12

1' CPLxxPEI

⎞⎛ 231⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++−= 21

261 CxCxPLxPEI

y ( )steCCC :, 21

Condition aux limites 0'00• yyxCondition aux limites 0',0,0 ===• yyx021 == CC

⎞⎛ 2Alors

⎞⎛ 23

14⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−== PLxxP

θ ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−==

261 23 xPLxPEI

Remarques

Cette méthode donne la déformée y(x) de la poutre surCette méthode donne la déformée y(x) de la poutre surtoute sa longueur.

Cas de la flexion pure:+ M=cste => y’’=cste => y est une parabole+ 1/R=-M/EI =>y est un cercle+Valable uniquement si les déplacement sont petites

Grands déplacements+Le principe de superposition n’est plus valable

+Le principe de superposition n est plus valable+Les sollicitations dépendent de la configuration

déformée

1.2 Méthode des moments d’aires1.2 Méthode des moments d’airesThéorème1: Variation de PenteThéorème1: Variation de Pente Le changement de pente entre deux points sur la courbeélastique d'une poutre est égale à l’aire de la diagramme

−M'' Myd −)'(

q p g g(-M / EI) entre ces points.

⇒=EI

y ''EIdx

dMd −θ dxEIMd =θ

∫∫−DD x

θ ∫∫ =CC x

DxM ⎤⎡

CD EIMaire ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡−=−θθ

1.2 Méthode des moments d’aires1.2 Méthode des moments d’airesThéorème2: Flèche tangentielleThéorème2: Flèche tangentielleLa distance verticale Δ, d'un point D sur la courbe d’élastiqued'une poutre à une tangente de quelque point C, est égale aumoment de la diagramme(-M / EI) entre C et D

Dsur D.

xxdtgddD −Δ

=≅ θθ

θdxxd D )( −=Δ

∫∫ ⎥⎤

⎢⎡Δ

dMd )(∫∫ ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡−−=Δ

xxd )(

CxM ⎤⎡

DGDC EIMairex ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡−×=Δ

1.2 Méthode des moments d’aires1.2 Méthode des moments d’aires

Remarques

di t t i t D t G t l G t l:distance entre point D et G tel que G est le

centre de gravité de la section sousDGx

⎥⎤

⎢⎡−

gDxEI ⎥⎦⎢⎣

CDDC Δ≠Δ.

.Cette méthode ne peuvent être utilisées pourdéterminer la pente ou la déformation en un pointdéterminer la pente ou la déformation en un pointprécis au le long du membre.

Remarques: CentroïdeTriangle

Trapèze

)(3)2(

hhhhbx

)( 21 hhbA +=

Remarques: CentroïdeDemi-segment d’une courbe de ne degré

)1( +=

nbx =bhnA

)2(2 +nx

)1( +nA

Surface sous un arc de parabole

ABMaire ⎥

⎤⎢⎡−=−θθ

AxAB EI

aire ⎥⎦⎢⎣θθ

⎞⎛EI

qLB 623

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=θ

AxMairex ⎥

⎤⎢⎡×Δ

BxBGBA EI

airex ⎥⎦⎢⎣−×=Δ

43 ⎞⎛21EI

qLLBA 8643 43

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=Δ

1.3 Méthode de la poutre conjuguée1.3 Méthode de la poutre conjuguée

2μ⇒ y est μ due à la charge

EIMq −=

(Poids élastique) sur la poutre fictivedx2 (Poids élastique) sur la poutre fictive« Poutre conjuguée »

Transformation de la poutre réelle à la poutre conjuguée:poutre conjuguée:

Théorème1: La rotation en un point quelconque d’une poutre réellesollicitée par un moment fléchissant M est égale àl’effort tranchant en ce point de la poutre conjuguéesoumise à une charge M/EI.

Théorème2: La flèche en un point quelconque de la poutre réelleLa flèche en un point quelconque de la poutre réellesollicitée par un moment fléchissant M est égale aumoment fléchissant en ce point de la poutre conjuguée

moment fléchissant en ce point de la poutre conjuguéesoumise à une charge M/EI.

1.3 Méthode de la poutre conjuguée1.3 Méthode de la poutre conjuguéeCorrespondances entre poutre réelle et poutre conjuguée

Poutre réellePoutre réelle Poutre conjuguéePoutre conjuguéePoutre réellePoutre réelle Poutre conjuguéePoutre conjuguée

Appuis Pente & Moment& Effort AppuisAppuis déflection & Effort tranchant

Appuis

0'=y 0=τ

0=y 0=μ

1.3 Méthode de la poutre conjuguée1.3 Méthode de la poutre conjuguéeCorrespondances entre poutres réelles et poutres conjuguées

P t é llP t é ll P t j éP t j éPoutres réellesPoutres réelles Poutres conjuguéesPoutres conjuguées

A i Pente & Moment& Eff t A iAppuis déflection & Effort tranchant

Appuis

≠≠

'= continuey =τ continu

1.3 Méthode de la poutre conjuguée1.3 Méthode de la poutre conjuguéeCorrespondances entre poutre réelle et poutre conjuguée

Poutre réellePoutre réelle Poutre conjuguéePoutre conjuguéePoutre réellePoutre réelle Poutre conjuguéePoutre conjuguée

Appuis Pente & Moment & Effort AppuisAppuis déflection Effort

tranchantAppuis

i' icontinueycontinuey

continucontinu

1.3 Méthode de la poutre conjuguée1.3 Méthode de la poutre conjuguéeExemple1: d’application de la méthode

1.3 Méthode de la poutre conjuguée1.3 Méthode de la poutre conjuguéeE l 1 d’ li ti d l éth dExemple1: d’application de la méthode

PLaR AA ==τ ( )aLPaR CC 32 +==τ ( )aLPaC +=

EIR AA 6

τ ( )aLEI

R CC 326

+τ ( )aLEIC +=

PLay AA ' ==θ ( )aLPay CC 32' +==θ ( )aLPayC +=2

EIy AA 6

θ ( )aLEI

y CC 326

+θ ( )aLEI

yC +=3

EIqLyR CCC 48

===τEI

qLyCC 38441 4

31EIqLyBB 192

1.4 Méthode énergétique1.4 Méthode énergétique

A. Théorème de Clapeyron

B. Méthode de Castigliano

C I é l d M hC. Intégrale de Mohr

D. Théorème de réciprocité (Betti-Maxwell)D. Théorème de réciprocité (Betti Maxwell)

1.4 Méthode énergétique1.4 Méthode énergétique

Introduction

L ’ t t t h é ll- Lorsqu’une structure est chargée, elle sedéforme. Pendant le chargement, les points où lesf li é dé l t L tè d fforces appliqués se déplacent. Le système de forceset de moments appliquées produit un travail externet l t t déf é d it t il i tet la structure déformé se produit un travail interne.

- Nous limiterons ici notre études pour ledomaine élastiq edomaine élastique.

A. Théorème de Clapeyron A. Théorème de Clapeyron

Energie de déformation:f⎡ ⎤

ijτétat initial

f état finali

W u da dvij ijv i

τ⎡ ⎤⎢ ⎥= ∫ ∫⎢ ⎥⎣ ⎦

Cas élastique linéaire:f

aijdaiji ff

daij ijiτ =∫ densité d’energie de déformation

Loi de Hooke donne:

1f 11 ,2

fda aij ij ij ij

iτ τ=∫ 1( )

W u a dvij ijτ= ∫on a donc 34

Energie complémentairede contrainte:

ijτétat initial

f état finali

de contrainte:

A a d dvij iji

τ τ⎡ ⎤⎢ ⎥= ∫ ∫⎢ ⎥⎣ ⎦

d ijτ

ff état final

Cas élastique linéaire:

j jv i⎢ ⎥⎣ ⎦

daij ijiτ =∫ densité d’energie

complémentaire de contrainte

complémentaire de contrainteLoi de Hooke donne: f

on a donc 1A( )2 v

a dvij ijτ τ= ∫1 , 2

fa d aij ij ij ij

iτ τ=∫

Alors on aτ

1W(u)=A( )2 v

a dvij ijτ τ= ∫ijτ

état initialf état finali

( )A τ

( )Waiji f

( )W u

Energie total E i lé t iEnergie deEnergie total Energie complémentaire de contrainte

Energie de déformation

Théorème de ClapeyronLe travail réel des forces extérieurs est égale à

0N 1:Le travail réel des forces extérieurs est égale àl’énergie de déformation élastique

11 W( )2

P uj jΔ =∑

Théorème de ClapeyronLe travail réel des forces extérieurs est égale à

0 2N :Le travail réel des forces extérieurs est égale àl’énergie complémentaire de contrainte

11 A( )2

Pj j τΔ =∑37

Calcul de en régime élastique linéaire( )A τ

• Contribution de :( )M xContribution de :( )zM x

, xx x

M My yI E EI

σσ ε= = =On a

[ ] 1( ) ( )( )2

M M MA y y dvI EIv

τ = ∫

1( ) ( )2

M MA y d dxEIl

= Ω∫ ∫21 M ⎡ ⎤

EI est constant [ ]2

1( ) ( )2

M MA y d dx y d IEIl

τΩ Ω

⎡ ⎤→ = Ω Ω =∫ ⎢ ⎥

⎣ ⎦∫ ∫

[ ]21( )

2M MA dx

EIlτ = ∫On obtient donc:

• Contribution de N:N NσOn a , x

x xN N

E Eσσ ε= = =

Ω Ω[ ] 1( ) ( )( )N N NA d∫[ ]

( ) ( )( )2

1( ) ( )

N NA dvEv

NA d d

τ = ∫Ω Ω

Ω∫ ∫[ ]

( ) ( )2

NA d dxEl

= Ω∫Ω

⎡ ⎤∫

∫ ∫

O bti t d

1 ( ) ( )2

N NA d dx dEl

τΩ Ω

⎡ ⎤= Ω Ω = Ω∫ ⎢ ⎥Ω ⎣ ⎦

∫ ∫

[ ]21N N

∫On obtient donc: [ ] 1( )2

N NA dxEl

τ = ∫Ω

• Contribution de T: On a , xyxy xy

TS TSIb G GIb

ττ γ= = =

[ ] 1 1( )TA a dv a a dvτ τ τ τ⎡ ⎤+∫ ∫ ⎢ ⎥[ ]

( )2 2

1 1 1 1( )T

A a dv a a dvij ij xy xy yx yxv v

A dv dv

τ τ τ τ

τ τ γ τ γ τ γ

= = +∫ ∫ ⎢ ⎥⎣ ⎦

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= + =∫ ∫⎢ ⎥ ⎢ ⎥[ ]

[ ]2 2

( )2 2 2 2

1 1( ) ( )( )T

A dv dvxy xy yx yx xy xyv v

TS TS T SA d d d d

τ τ γ τ γ τ γ= + =∫ ∫⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦

⎡ ⎤Ω Ω∫ ∫ ⎢ ⎥∫ ∫[ ]

2 2( ) ( )( )2 2

A d dx d dxIb GIb GI bl l

τΩ Ω

= Ω = Ω∫ ∫ ⎢ ⎥⎣ ⎦

∫ ∫

On a 21 1 S dΩ∫

[ ]21T T

On a' 2 2

1 1 S dI bΩ

= ΩΩ ∫

' SΩ Ω Ω∫[ ]

1 ( )2

T TA dxGl

τ→ = ∫Ω

telque '' 2 2; S d

Ω Ω ΩΩ = = = Ω

Ω ∫40

• Contribution Total:Contribution de :( )M x [ ]

21( )M MA d∫

, ,M N T

Contribution de :( )zM x [ ]( )2

MA dxEIl

τ = ∫

Contribution de N: [ ]21( )N NA dxτ = ∫Contribution de N: ( )

Elτ = ∫

Contribution de T: [ ]2

T TA dxG

τ = ∫Ω

( )2 Gl∫

On obtient donc Contribution Total:

( ) ( ) ( ) ( )M N TA A A Aτ τ τ τ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦= + +2 2 21 1 1( ) M N TA d d d∫ ∫ ∫ '

1 1 1( )2 2 2

M N TA dx dx dxEI E Gl l l

τ = + +∫ ∫ ∫Ω Ω

Exemple d’application de théorème de Clapeyron:On a 1 = ( )P A τΔO a ( )

2P AB τΔ

2 21 1( ) ( 0)2 2

M NA dx dxEI E

τ = + =∫ ∫Ω

1 ( 0)2

EI El lT dx

+ ∫Ω

2 2 2 3

1 1 ( )( )

GlM Px P LA dx dxτ

−= = =∫ ∫( )

EI EI EIl l∫ ∫

3PLO bti t d3PL

B EIΔ =On obtient donc:

B. Théorème de B. Théorème de CastiglianoCastigliano No2 No2

Pour démontrer le théorème de Castigliano No2,nous considérons un corp élastique qui subit desnous considérons un corp élastique qui subit desforces extérieurs .Tout d’abord on applique les forces qui entraine

PjPTout d abord on applique les forces qui entraine

le déplacement , si on augment la valeur d’uneforce d’une quantité infinitésimale le

PδjΔ

Pforce d une quantité infinitésimale , ledéplacement augment . Comme, le travail réeldes forces extérieurs est égale à l’énergie

des forces extérieurs est égale à l énergiecomplémentaire de contrainte. On peut écrirecomme suivant:comme suivant:

Démonstration du théorème: Pj j+ → Δ jP

j jP Pj j j jδ δ+ → Δ + Δ Pj jδ ×Δ

11( )2

P Pej j j j jδτ δ δ δ= ×Δ + × Δ

jPδ12

Pj jδ δ× Δ

Pj jδ δ× Δ est négligeable(différentiel secondre ordre)

jΔjδΔjΔPej j jδτ δ= ×Δ

jj Pe ej j jδτ δτ δ→ = = ×Δ∑ ∑

Démonstration du théorème:

jAA δ∂ j jAAtg

P Pj jA

+ = =∂

jAδjA

jAA PjPj

δ δ∂→ =

∂ αj

A∂ Pδ jPjP

jAA A PjPj

δ δ δ∂→ = =

∂∑ ∑ jPδ j

On a pour quelque soitAA A Pδ δ δ∂⎧

⎪ ∑ ∑

A eδ δτ= Pjδ

Théorème de CastiglianojjA A PjPj

δ δ δ

δτ δτ δ

= =⎪ ∂⎪⎨⎪ = = ×Δ⎪⎩

∑ ∑

Théorème de Castiglianopermet de déterminer ledéplacement linéaire, ouPe ej j jδτ δτ δ ×Δ⎪⎩ ∑ ∑

A∂Δ =On obtient donc:

angulaire, en un pointdonné d’une structure.

P Fj j=⎧⎪ Δ⎨

j PjΔ =

∂On obtient donc:

les déplacements des points d’applications des jj j

P Cj j

Δ⎨Δ = Δ⎪⎩=⎧

les déplacements des points d applications des forces Fj

⎧⎪⎨Δ =⎪⎩

les déplacements des points d’applications des forces C j

B. Théorème de B. Théorème de CastiglianoCastigliano No2 No2 E l d’ li ti d Thé è dExemple d’application de Théorème deCastiglianoNo2:On aOn a

2 21 1( ) ( 0)2 2

M NA dx dxEI E

τ = + =∫ ∫Ω

1 ( 0)2

EI El lT dx

+ ∫Ω2 Gl Ω

40 4 (10 4 )

jM M MM P P

= +40 4 (10 4 )

40 10 (4 )j j

M P P x

M x x P

= − − + +

= − + − −2( 40 10 (4 ) )( 4)1 x x P xA +∂ 2( 40 10 (4 ) )( 4)1

2jx x P xA dxj P EIlj

− + − − −∂Δ = = ∫

∂ 47

Exemple d’application de Théorème deCastiglianoNo2:

A∂Δ =

4 210( 4)0

−Δ ∫

( )0P dxj j EI= → Δ = ∫

O bti t d 640ΔOn obtient donc: 3B EIΔ =

C. Intégrale de C. Intégrale de MohrMohr

On applique des forces extérieurs Q qui provoquedes sollicitations M N T sur un corp élastiquedes sollicitations M,N,T sur un corp élastique.Ensuite on supprime les forces réels extérieurs quiagissent sur le corp et on place une force virtuelleagissent sur le corp et on place une force virtuelleunitaire au point (qu’on veut chercher ledéplacement réel) suivant la direction cherchée Ladéplacement réel) suivant la direction cherchée. Laforce virtuelle unitaire provoque des sollicitationsM’ N’ T’M , N , T .

C t ib ti d M N T

Démonstration d’intégrale de Mohr:

Contribution de M,N,T:

Q(force extérieur) M(x),N(x),T(x)→

= M'(x) N'(x) T'(x)P P P P P→

Q(force extérieur) M(x),N(x),T(x)→

Pj=1 unitaire M'(x),N'(x),T'(x)→= M (x), N (x), T (x)P P P P Pj j j j j→

Q(force extérieur)+ ( 0)P Pj j =

Q+ ( 0) M(x)+ M'(x),N(x)+ N'(x),T(x)+ T'(x)P P P P Pj j j j j= →j j

2 2 2( M') ( N') ( T')M P N P T P+ + +

Démonstration d’intégrale de Mohr:( M ) ( N ) ( T )1 1 1

2 2 2 '

M P N P T Pj j jA dx dx dxEI E Gl l l

+ + += + +∫ ∫ ∫

∂Δ =

2M'( M') 2 '( N') 2 '( T')1 1 1

M P N N P T T Pj j jdx dx dx

+ + +Δ = + +∫ ∫ ∫

02 2 2 '

dx dx dxj EI E Gl l l =

Δ + +∫ ∫ ∫Ω Ω

b i d M' N' T'M N TOn obtient donc: M N T'

M N Tdx dx dxj EI E Gl l lΔ = + +∫ ∫ ∫

Ω Ω51

+ Déplacement du aux efforts thermiques:• Variation Température:p

t l ffi i t d dil ti, x

ε ασσ ε

= = =Ω Ω

telque α= coefficient de dilation

N dxEl

Δ = ∫Ω

Analogie N:l

( ) N't T dxlαΔΔ = Δ∫ telque N’ même qu’avant

+ Déplacement du aux efforts thermiques:• Gradient thermique:q

t l ffi i t d dil tiTΔ telque α= coefficient de dilation

M My y

σσ ε

= = =,

x xy yI E EIM dxEI

Δ = ∫TΔ

Analogie M: telque M’ même qu’avantEIl ( )

M'Th T dx

Δ ΔΔ = ∫

+ Remarque: Signe0TΔ⎧ f Allongement

12Tt TΔ⎧Δ − = Δ⎪⎪

Δ⎧⎪Δ⎪⎪Δ⎨

AllongementRaccourcissementFib i fé i t d

22Tt T

⎨ Δ⎪Δ + = Δ⎪⎩

Δ + Δ 0

⎨⎪⎪Δ⎪⎩

Fibre inférieur tendue

Fibre inférieur comprimée

Δ + ΔΔ =

Δ = Δ −Δh⎪

⎩ Fibre inférieur comprimée2 1T TT

h hΔ −ΔΔ

Intégrale de Mohr en forme générale:

M' N' T'M N T TΔM' N' T' N' M''

M N T Tdx dx dx T dx dxj EI E G hl l l l lα α Δ

Δ = + + + Δ +∫ ∫ ∫ ∫ ∫Ω Ω

Étape de calcul:

Q(f té i ) M( ) N( ) T( )Q(force extérieur) M(x),N(x),T(x)→

Force unitaire → M'(x) N'(x) T'(x)→j: selon laForce unitaire → M (x),N (x),T (x)→j: selon la direction cherché

M' N' T'M N T TΔM' N' T' N' M''

M N T Tdx dx dx T dx dxj EI E G hl l l l lα α Δ

→ Δ = + + + Δ +∫ ∫ ∫ ∫ ∫Ω Ω

Exemple d’application d’intégrale de Mohr:

Exemple d’application d’intégrale de MohrOn a

M' N' T'( 0) ( 0)'

M N Tdx dx dxB EI E Gl l lΔ = + = +∫ ∫ ∫

Ω Ω'

,( 2 )

M PL Px M L xP L LX X PLdx

= − + = − +

− +Δ = =∫ 3

dxB EI EIlΔ = =∫

Ou par tableau des intégrales de Mohr, on obtient1 M' 1M 640

3B EIΔ =

1 M' 1 M'3

M dx ML EIl

3M' 1 1M'= (-PL)(-L)=3 3 3

M PLdx MB EI EIlΔ = =∫

D. Théorème de réciprocité D. Théorème de réciprocité (Betti(Betti Maxwell)Maxwell)(Betti(Betti‐‐Maxwell) Maxwell)

On considère une poutre droited ireposant sur deux appui

simples qui est montrée dansl fi ( ) (b) i è Sla figure(a) et (b) ci-après. Surla figure(a), on applique laf li é i i

figure(a)forces appliquée en i quiprovoque au point j undé l S l

déplacement . Sur lafigure(b), on applique la forces

li é j i

appliquée en j qui provoqueau point i un déplacement .

ijΔfigure(b)

j jm m(1)i i

M mdx P dxji EI EIl l

Δ = =∫ ∫59

i im m mj (2)j j ij j

M m mdx P dx P dxij EI EI EIl l lΔ = = =∫ ∫ ∫

(1)(2)

PjiPij

Δ= =Δ jij

Théorème de Bettij iP Pji ijΔ = Δ

Si la force unitaire1i jP P= =

Théorème de Maxwellji ijδ δ=

Telque:

iP = forces appliquée en ijP = forces appliquée en j

ijΔ =Déplacement en point i dû à la force appliqué en point jjP

jiΔ =Déplacement en point j dû à la force appliqué en point iiPjimi = moment dû à la force unitaire au point im j =moment dû à la force unitaire au point jM P mi i i= moment dû à la force au point iiP

M P mj j j= moment dû à la force au point jjPj j j

Exemple d’application du théorème de réciprocité(Betti Maxwell):(Betti-Maxwell):

?BQΔ Déplacement en point B dû àl f Q li é i C

Qla force Q appliqué en point C

On a P QBQ CPΔ = Δ335

CP EIΔ =

Déplacement en point C dû à

Déplacement en point C dû àla force P appliqué en point B

On obtient donc:35

BQ EIΔ =

CALCUL DES STRUCTURES CALCUL DES STRUCTURES HYPERSTATIQUESHYPERSTATIQUESHYPERSTATIQUESHYPERSTATIQUES

1. INTRODUCTION

2. METHODE DES FORCES

3. METHODE DES DEPLACEMENTS

1. INTRODUCTION

1.1. TYPES DES STRUCTURES

1.2. AVANTAGES ET DESAVANTAGES

1 3 DEGRE D’HYPERSTATICITES (DH)1.3. DEGRE D HYPERSTATICITES (DH)

- Structures hypostatiques : NI < NEEL i blLa structure est instable

- Structures isostatiques : NI = NEELa str ct re est stableLa structure est stable

- Structures hyperstatiques : NI > NEELa structure est stableLa structure est stable

Nota : NI : Nombre d’inconnueNEE : Nombre d’équation d’équilibre

Exemple:StructureStructure

hypostatique

Structure isostatiqueisostatique

Structure hyperstatique

1.2. AVANTAGES ET DESAVANTAGES

• Pour une action extérieur donnée, le contrainte maximum et la déflexion d’une structure hyperstatique sont, en générale, plus petit que celle de la structure isostatique.

Exemple:

max 4PLM =max 8

35 PLf =35 PLf =

L h i d d

1.2. AVANTAGES ET DESAVANTAGES• La structure hyperstatique a une tendance deredistribuer la charge aux supports dans le cas où il y asurcharge Dans ce cas la structure maintient sasurcharge. Dans ce cas la structure maintient sastabilité et effondrement(collapse) est prévu. Cetteavantage est particulièrement portant dans le cas où il yg p p ya du vent ou tremblement du terre.

• Bien qu’il y a des avantages mentionnés ci-dessus ilBien qu il y a des avantages mentionnés ci dessus, ily a quelques inconvénients à comparer. La prise dumatériaux est plus élevée et il est difficile à construirela structure hyperstatique par rapport à la structureisostatique. Il faut faire attention au manque de

d d l h i d69

concordance de la structure hyperstatique pendantl’exécution.

1.3. DEGRE D’HYPERSTATICITES (DH)

• En générale :DH = NI - NEE

• Treillis articulés :

DH = NI - NEEoùoùoùoù

NI = b (effort normaux) + R (réaction de liaison)NEE = 2n (nœud dans 2D) ou 3n (nœud dans 3D)NEE = 2n (nœud dans 2D) ou 3n (nœud dans 3D)

• Détermination de DH :1 Méth d d ( t t f é )1. Méthode de coupure : (coupure structure fermée)

Exemple:p

CCCoupuresCoupures

DH (12 3) (11 3) (6 3) 20DH (12 3) (11 3) (6 3) 2071

DH = (12-3)+(11-3)+(6-3) = 20DH = (12-3)+(11-3)+(6-3) = 20

• Détermination de DH :2 Méth d d é ilib d d t d élé t2. Méthode des équilibres des nœuds et des éléments

rigide : équation d’équilibre = 3 Nœuds :

articulé : équation d’équilibre = 2

Poutre : EE = 3Eléments :

Poutre : EE 3

Bar : EE = 1

Exemple:

NI = 3×34+3×2+2×2+1 = 113

Equation d’équilibre des nœuds :

Nœuds rigides : EEN = 14×3 = 42g

Equation d’équilibre des éléments :

Poutres : EEE = 17×3 = 51

DH = NI – NEE = 113-(42+51) = 20

• Equation de continuitéFormule de Müller-Breslau

Supposer les manques de concordant sont :1 1 2 2 , ........ n nc c cΔ = Δ = Δ =

On a alors :1 1 1i cΔ = Δ =∑ 11 1 12 2 1 1 1....... n n FR R R cδ δ δ+ + + + Δ =1 1 1

. . . . . . . . . . . . .

i cΔ = Δ =∑∑ ⇔ 21 1 22 2 2 2 2.......

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . n n FR R R cδ δ δ

δ δ δ

+ + + + Δ =

ni n ncΔ = Δ =∑ 1 1 2 2 .......n n nn n nF nR R R cδ δ δ+ + + + Δ =

R R R cδ δ δ+ + + Δ

Si iF iFδΔ = ⇒

11 1 12 2 1 1 1

21 1 22 2 2 2 2

..............

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

R R R cR R R c

δ δ δδ δ δ

+ + + = −Δ

75751 1 2 2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .......n n nn n n nFR R R cδ δ δ+ + + = −Δ

Ou [ ] { } { } { }. FR cδ δ= −{ } { } { }

[ ] La matrice de flexibilité δ

{ } d i h i{ }R Le vecteur des inconnues hyperstatiques { }c Le vecteur des manques de concordance

{ }F Le vecteur des déplacements dus aux actions extérieuresδ

Résolution du problème ….. Structure concordanteRésolution du problème ….. Structure concordante

Exemples d’application de la méthode des forces

• On choisit RB comme inconnue hyperstatique

• Le déplacement vertical en B,dû à q et RB doit être nul

• On calcule le déplacement par la méthode des intégrales de Mohr g

• Le diagramme du moment fléchissant isostatique dû à q éc ssa sos a que dû à q

• Le diagramme du moment fléchissant isostatiquefléchissant isostatiquedû à 1 en B

• Le déplacement vertical en B,dû à q :

' 2 41 1MM L qL qLd Lδ⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟∫ 4 2 8BF

q qdx LEI EI EI

δ = = × − = −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

• Le déplacement vertical en B,dû à RB :

11 13 3B B B B B

MM L LR R dx R L L REI EI EI

δ ⎛ ⎞= = × =⎜ ⎟⎝ ⎠∫

• Le déplacement vertical en B,dû à q et RB doit être nul

11 1 308 3 8BF B B B B

qL LR R R qLEI EI

δ δ+ = − + = ⇒ =

• On peut ensuite déterminer les éléments de réduction M, N, T

• Le système est 1×hyperstatique 1 équation de déplacement

• Le système est concordant et EI=cte, le résultat est donc

indépendant de EI

• Equation de Müller Breslau• Equation de Müller-Breslau

R R Rδ δ δ δ11 1 12 2 13 3 1

21 1 22 2 23 3 2

R R RR R RR R R

δ δ δ δδ δ δ δδ δ δ δ

+ + = −+ + = −+ + = −31 1 32 2 33 3 3FR R Rδ δ δ δ+ + =

• On calcule le déplacement par laOn calcule le déplacement par la méthode des intégrales de Mohr

• Le diagramme du moment fléchissant isostatique dû à q

• Le diagramme du moment fléchissant isostatique dû à l f i i i lla force unitaire verticale

• Le diagramme du moment fléchissant isostatique dû aufléchissant isostatique dû au couple unitaire

• Le diagramme du moment

Le diagramme du moment fléchissant isostatique dû à la force unitaire horizontale

• Les déplacements3

1L LLδ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠

12 21 122 2

3 30 , 0

L L LL

δ δ δ

⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞⎜ ⎟13 31 13

23 32 23

, 2 2 2

LEI EI EI

δ δ δ

⎛ ⎞= = = =⎜ ⎟⎝ ⎠

L LEI EIL qLL

= × =

⎛ ⎞⎛ ⎞= × − =⎜ ⎟⎜ ⎟

4qL−1 4 2F L

EIδ = × =⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠

⎛ ⎞⎛ ⎞

31 .13 2 6F

L qL qLEI EI

δ⎛ ⎞⎛ ⎞

= × − = −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠

3 2 4 4

1 30 3 2 8 8L L qL qLR REI EI EI EI

⎛ ⎞+ + = − − =⎜ ⎟

⎝ ⎠

L L qL qLR R

δ+ + =

⎛ ⎞+ + = − − =⎜ ⎟1 30

2 6 6R R

EI EI EI EI+ + = =⎜ ⎟

⎝ ⎠

• peut être calculé à partir de l’effort normal22δ peut être calculé à partir de l effort normal 22δ

2 0R =

3 2 8L L qLR R

1 32 6L qLR LR+ =

3 12qLR = −

L tè t 3×h t ti• Le système est 3×hyperstatique 3 équations de déplacement

• Le système est concordant et EI=cte, le résultat est donc,indépendant de EI

Résolution du problème …Structure non concordanteRésolution du problème …Structure non concordante

• Poutre bi encastrée avec rotation d’encastrement• Poutre bi-encastrée avec rotation d encastrement• Equation de Müller-Breslau

11 1 12 2 13 3 1

21 1 22 2 23 3 2

R R R cR R R cR R R

δ δ δδ δ δδ δ δ

+ + =+ + =+ +31 1 32 2 33 3 3R R R cδ δ δ+ + =

• Les manques de concordance c1 , c2 , c3 dépendent du choix des inconnues hyperstatique et sont compté :choix des inconnues hyperstatique et sont compté :• depuis la position libre vers la position forcée• selon la ligne d’action de chaque inconnue hyperstatique

• selon la ligne d action de chaque inconnue hyperstatique• positivement selon le sens positive de l’inconnue hyperstatique

• Les déplacements3

12 21 12

L LLEI EI

δ δ δ

⎛ ⎞= =⎜ ⎟⎝ ⎠

= = =12 21 122 2

13 31 13

1 , 2 2 2

L L LLEI EI EI

δ δ δ

⎛ ⎞= = = =⎜ ⎟⎝ ⎠

23 32 23

1 1L LEI EI

δ δ δ

= × =

• Les manques de concordance1 2 3c 0 , c 0 , c γ= = =

1 30 03 2L LR REI EI

L LR R

+ + =1 30 2

R REI EI

• peut être calculé à partir de l’effort normal22δ peut être calculé à partir de l effort normal

2 0R =

03 2L LR R+ = 1 2

γ= −

1 32L R LR EIγ+ = 3

• Le système est 3×hyperstatique 3 équations de déplacement

• Le système est non concordant , le résultat dépend de EI

• Remarque (valable uniquement pour ce type de situation) :

O h i i R i h i• On choisit RB comme inconnue hyperstatique

1B B FR cδ δ+ =

1 6BLEI

212Fδ δ= − 2

c δ= −

6 21 3

BL REI

δ δ− = −

⎛ ⎞1 2 3

δ δ⎛ ⎞⇒ = −⎜ ⎟⎝ ⎠

• On peut ensuite déterminer les éléments de réductionOn peut ensuite déterminer les éléments de réduction M, N, T

• Le déplacement de l’appui dûà l’effet de la manque duà l effet de la manque du concordance est inclue dansla partie du déplacement dû p pà la force extérieure

• Le système est 1×hyperstatique 1 équation de déplacement

• Le système est non concordant, l é lt t dé d d EI

le résultat dépend de EI

Etapes générales de la méthode des forces

1 Dé i l d é d’h i i é d l1. Déterminer le degré d’hyperstaticité de la structure2. Effectuer un nombre de coupures égale au degré

d’hyperstaticité et définir le choix des inconnues hyperstatiques

l l l d d3. Calculer les manques de concordance4. Calculer les déplacements aux coupures dus aux

i h i i é iinconnues hyperstatiques et aux actions extérieures5. Résoudre les équations de déplacement

6. Terminer la résolution du problème : R, M, N, T ….

2. METHODE DES FORCESFormule de trois moments

• Cas des poutres continues • Définition d’une poutre continue

• poutre rectiligne reposant sur une rangée d’appuis• soumise à des forces verticales (réparties ou

concentrées) et à des couples

Cas des poutres continues ……Cas des poutres continues ……

• Calculer ijδ

• Diagramme de moment fléchissant dû aux couples unitaires à l’appui Ak-1 , Ak , Ak+1

• On observe que

0 sauf pour 1 ; ; 1i jm mds j i j i j iδ +∫

0 sauf pour 1 ; ; 1ij ds j i j i j iEI

δ = = = − = = +∫

• Calculer 1 1 ; ; k k k k k kδ δ δ− +

k kk k

m m dsEI

δ −− = ∫

smL−

smL −

1 01 1

k kk k

s s dsL L EI

δ −

−− −

⎛ ⎞= −⎜ ⎟

⎝ ⎠∫

⎝ ⎠

k kk k

m m dsδ = ∫ k k dsEI

δ ∫

1k kL L

k kk k

s ds s dsL EI L EI

δ −

⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫ ∫

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

k kk k

m m dsEI

δ ++ = ∫

smL+ =

1 01kL

k kk k

s s dsL L EI

⎛ ⎞= −⎜ ⎟

⎝ ⎠∫

⎝ ⎠

• Calculer kFδ

1 2k F k F k FkF

m m m m m mds dsEI EI EI

δ ⎛ ⎞= = +⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫

go odkF k kδ θ θ= +

gk : la rotation en gauche et articulé à l'appui A , o

kθpositive dans le sens inverse des aiguilles d'une montre

k : la rotation en droit et articulé à l'appui A , odkθ

kpp ,positive dans le sens des aiguilles d'une montre

Formule des trois momentsFormule des trois moments

1 1 2 2 1 1 1 1 2 2..... .....k k k k k k k kk k k k k k k k kn n k kFM M M M M M M cδ δ δ δ δ δ δ δ− − − − + + + ++ + + + + + + + = −

1 1 1 1 k k k kk k k k k k kFM M M cδ δ δ δ− − + +⇔ + + = −

• Donc dans le cas générale la formule de trois moments• Donc dans le cas générale, la formule de trois momentss’écrit :

1 0 0 01 1 1

1 1k k kL L L

k kk k k k

s s ds s ds s dsM ML L EI L EI L EI

− −

−− − −

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥− + + − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦

∫ ∫ ∫

( )g1 0

1kL o odk k k k

s s dsM cL L EI

θ θ+

⎣ ⎦⎛ ⎞

+ − = − +⎜ ⎟⎝ ⎠

⎝ ⎠

• Cas EI constant par travée :

( )g1 11 1

2 6 o odk k k kk k k k k k

k k k k

L L L LM M M E cI I I I

θ θ− −− +

− −

⎛ ⎞ ⎡ ⎤+ + + = − +⎜ ⎟ ⎣ ⎦⎝ ⎠

• Manque de concordance ck

1 1k k k kc ζ ζ ζ ζα α − +− −= + = +1

1k k k

α α +−

= + = +

• Elément de réduction • Sur la travée Ak 1Ak on a par superpositionSur la travée Ak-1Ak on a, par superposition

( )1 1F k k ksM m M M M= + + −( )1 1

1F k k k

M m M M ML− −

P dé i i à• Par dérivation par rapport à s, on a

M MT t

−= +

• Cas des poutres avec un encastrement

C l t ti t ll à l’ t t l t• Comme la rotation est nulle à l’encastrement, la poutre encastrée est identique à la moitié d’une poutre continue prolongée par symétrie au-delà de l’encastrementprolongée par symétrie au delà de l encastrement

• symétrie totale : forces, géométrie, rigidités, appuis…..

• on tient compt aussi des égalités de moments duesà la symétrie

' '2 2 3 3 ; M M M M= =

( )' '

' g1 1 1 12 6 o odL L L LM M M E c θ θ⎛ ⎞ ⎡ ⎤+ + + = − +⎜ ⎟ ⎣ ⎦( )2 1 2 1 1 1' '

1 1 1 1

2 6M M M E cI I I I

θ θ⎡ ⎤+ + + +⎜ ⎟ ⎣ ⎦⎝ ⎠

1 1 1 12 6 2 odL L L LM M M E c θ⎛ ⎞

⎡ ⎤+ + +⎜ ⎟ ⎣ ⎦1 1 1 1

2 1 2 1 11 1 1 1

2 6 2M M M E cI I I I

θ⎡ ⎤+ + + = −⎜ ⎟ ⎣ ⎦⎝ ⎠

3EI11 2 1 1

32 2 odEIM M cL

θ⎡ ⎤+ = −⎣ ⎦

• Cas des poutres avec porte-à-faux

( )1 1 2 21 2 3 2 2 2

1 1 2 2

2 6 og odL L L LM M M E cI I I I

θ θ⎛ ⎞ ⎡ ⎤+ + + = − +⎜ ⎟ ⎣ ⎦⎝ ⎠1 1 2 2⎝ ⎠

1 est connuM

Exemples d’application

( )1 1 2 22 6 og odL L L LM M M E c θ θ⎛ ⎞ ⎡ ⎤+ + + = +⎜ ⎟ ⎣ ⎦( )1 2 3 2 2 2

1 1 2 2

2 6M M M E cI I I I

θ θ⎡ ⎤+ + + = − +⎜ ⎟ ⎣ ⎦⎝ ⎠

1 3 20 , 0 , c 0M M= = =3 3

220 10 625

24 24 8 6og qL

EI E I EIθ ×

= = =×

220 4 160

24 24 3od qL

EI EI EIθ ×

2 90M⇒ = −

Exemples d’application

3 62 2 od odEI EIM M c θ θ⎡ ⎤+ = =⎣ ⎦1 2 1 1 11 1

2 2M M cL L

θ θ⎡ ⎤+ = − = −⎣ ⎦

( ) ( )1 1 2 21 2 3 2 2 2 2 22 6 6og od og odL L L LM M M E c E

I I I Iθ θ θ θ

⎛ ⎞ ⎡ ⎤+ + + = − + = − +⎜ ⎟ ⎣ ⎦⎝ ⎠( ) ( )1 2 3 2 2 2 2 2

1 1 2 2I I I I⎜ ⎟ ⎣ ⎦⎝ ⎠

3 20 2 1 40M = − × × = −

( )1 2 1

8 24 160 6

M M EI

+ = −

( )1 2 2 28 24 160 6 gM M EI θ θ+ = − +

3 160od qLθ = =2 24 3EI EIθ = =

37 560L3

7 560384 33 240

qLEI EI

2 128og q

EI EIθ = =

2 1403 200

M MM M

+ = −+ = −

= −= −

MMéthodeéthode des Déplacementsdes Déplacements

1. Introduction

2. Equations d’équilibre

3 Méthodes des rotations (Slope Deflection Method)3. Méthodes des rotations (Slope-Deflection Method)

4. Méthode de Cross

1.Introduction1.IntroductionTerminologieTerminologie

C l é iCouples extérieures

Couples d’encastrement parfait

Couples de blocageCB ΣCEP CextCB=-ΣCEP-Cext

C l d libé tiCouples de libérationCL=-CB 114

1.Introduction1.IntroductionLes cas plus fréquentsLes cas plus fréquents

20 pLM

100 pM AB −=

0 pLM AB −=

1630 pLM AB −=16

0 CM AB =

1.Introduction1.IntroductionLes cas plus fréquentsLes cas plus fréquents

0 3EIM Δ2

LM AB =

LERo ΩΔ

3LEIRo θ

EIθ3L

EIM ABθ30 =

1.Introduction1.IntroductionPrincipe généralePrincipe générale

1 Dét i l b d d é d lib té1. Déterminer le nombre de degrés de liberté2. Introduire des liaisons de blocages supplémentaires pour

empêcher tout mouvement des nœudsempêcher tout mouvement des nœuds3. Calculer les forces d'encastrement parfait (Ro, Co), établir

les diagrammes Mo, No, To correspondantsg , , p4. Libérer ces blocages supplémentaires, appliquer les force

de libération, calculer les déplacements des degrés de liberté en résolvant les équations d’équilibre, établir les diagrammes M’, N’, T’ correspondants

5 Diagrammes (Mo No To)+ (M’ N’ T’)=(M N T)5. Diagrammes (Mo, No, To)+ (M , N , T )=(M, N, T)

1.Introduction1.Introduction

Remarque

- Les inconnues fondamentales sont donc des déplacements: les déplacements correspondant auxdéplacements: les déplacements correspondant aux degrés de liberté. Les équations à résoudre expriment l’équilibre des nœudsexpriment l équilibre des nœuds.

- Cette méthode est appliquée aux structuresCette méthode est appliquée aux structures isostatiques de manière à utiliser le même procédure de calcul pour tous les problèmesprocédure de calcul pour tous les problèmes.

2. 2. Equations d’équilibreEquations d’équilibreFormules générales

⎪⎧ =+++

⎪⎧ =++++ nn

onn FqkqkqkFqkqkqk ...0... 1121211111212111

Formules générales

⎪⎪

⎪⎪⎨

=+++⇒

⎪⎪

⎨=++++ nn

onn FqkqkqkFqkqkqk

..................

..................0... 2222212122222121

⎪⎩ =+++⎪⎩ =++++ nnnnnn

onnnnnn

FqkqkqkFqkqkqk ...0... 22112211

q q q : n composantes de déplacementsq1, q2 ,… qn: n composantes de déplacements,bloquer (qj=0) sauf un (qi)

Appliquer les forces: k au degré de liberté jAppliquer les forces: kij au degré de liberté jkii au degré de liberté i

: Force/couple de blocageoF : Force/couple de blocage, Fn : Force/couple de libération,

on FF −=

2. 2. Equations d’équilibreEquations d’équilibreMatriciellement le système s’écrite:Matriciellement, le système s écrite:

Fqkkk n⎪⎫

⎪⎧

⎪⎫

⎪⎧⎥⎤

⎢⎡ ... 1111211

[ ]{ } { }FqKFqkkk n =⇔

⎪⎪

⎪⎪⎬

⎪⎪

⎪⎪⎨=

⎪⎪

⎪⎪⎬

⎪⎪

⎪⎪⎨⎥⎥⎥⎥

⎢⎢⎢⎢

..................... 2212221

Fqkkk nnnnnn⎪⎭⎪⎩⎪⎭⎪⎩

⎥⎦

⎢⎣ ...21

[K] : Matrice de rigidité[K] : Matrice de rigidité

{q} : Vecteur des déplacements des degrés{q} : Vecteur des déplacements des degrés de liberté

{F} : Vecteur des force/couple de libérations122

2. 2. Equations d’équilibreEquations d’équilibreExemple1: d’application

mkNp /20=mL

mkNp,4

2ddilib édd é1 2noeuddurotation:libertédedegré1

21 pLpLF +−=

1148124

LEIK oooo +++=

4321 LLLL127

FqK =111q111

81248124 2

1pLpLq

LEI oooo +−=⎟⎟

⎞⎜⎜⎝

⎛+++

Application numérique8121

qLLLL ⎟

⎠⎜⎝

o qEI3

1631 =mL

mkNp,4

q 4000330

1 =⇒LmL

ooo TNMF ,,: 0

][kNmenMoment][

][kNenEffort

kNmenMoment129

',',': TNMKq

][kNmenMoment][

][kNenEffort

kNmenMoment130

2. 2. Equations d’équilibreEquations d’équilibreE l 1 d’ li tiExemple1: d’application

TNM ,,][kNmenMoment

kNenEffortkNmenMoment

Diagramme Tag a e

][kNenEffort

Diagramme Mag a e

][kNmenMoment

3.Méthodes de rotation3.Méthodes de rotation3 1 Introduction

Utiliser pour structures hyperstatiques: poutrescontinues portiques cadres rigides à barres droites

3.1 Introduction

continues, portiques, cadres rigides à barres droites.On établit les équations(1) donnant la valeur des M auxextrémités d’une poutre. Ces équations sont obtenuesp qpar la superposition:1) M dû aux charges extérieures sur la poutre qu’on) g p q

suppose encastrée aux extrémités2) M dû aux déplacements réels des nœuds aux

extrémitésOn établit un système d’équation (2) où les inconnus

l dé l d d l (2) dsont les déplacements des nœuds. En remplaçant (2) dans(1), on obtient la valeur M aux extrémités des poutres.134

3.Méthodes de rotation3.Méthodes de rotation3 2 Équations de la méthode des rotationsHypothèses:

L déf i d f i l

3.2 Équations de la méthode des rotations

-Les déformation dues aux forces axiales et auxefforts tranchants sont négligeables

-La poutre est droite

-EI est constante dans chaque travée

-Le matériau est élastique et obéit à la loi deH k l i i d i i ’ liHooke, le principe de superposition s’applique

3.Méthodes de rotation3.Méthodes de rotation3 2 Équations de la méthode des rotations3.2 Équations de la méthode des rotationsTravée AB et sa déformée due aux charges et au déplacements ΔB.p B

BAAB MEPMEP &'' 6EI BΔ−

6LEIMM B

BAABΔ

ELLM BAAB

−=θ

ELLM ABBA

−=θ

3.Méthodes de rotation3.Méthodes de rotation3 2 Équations de la méthode des rotations3.2 Équations de la méthode des rotations

MAB & MBA sont donnés par la superposition des 3termes qui les composent:termes qui les composent:

BABABABA

ABABABAB

MMMEPM

LEIMM AB

BAABψ−

==On a:BABABABA MMMEPM ++

Alors:)2(2,)2(2 ''''

ABBABAAB LEIM

LEIM θθθθ +=+=

Alors:

ABABBAAB MEPLEIM +−+= )32(2 ψθθ

BAABBABA MEPLEIM +−+= )32(2 ψθθ

3.Méthodes de rotation3.Méthodes de rotationExemple1: d’application

OOn a:

⎪⎪⎧

−+= 012

818)2(8

BAABEIM θθ

⎪⎪⎪⎪

12818)2(

BABAEIM θθ

⎪⎪⎪⎨

×−+=

8660)2(

CBBCEIM θθ

138⎪⎪⎪

⎩×=

×++= 240

8660)2(

CBCBEIM θθ

3.Méthodes de rotation3.Méthodes de rotationExemple1: d’application

119141336258EIEIEI CBA

119,14.133,6.258=−==⇒ θθθ

kNMkNMM 94940Alors:

kNmMkNmMkNmMkNmMM

BCBAAB

80,80,94,94,0

−==−===

4. Méthode de Cross 4. Méthode de Cross 4 1 Terminologie

Méthode de Cross = Méthode de relaxation = Méthode de di t ib ti d t

4.1 Terminologie

redistribution des moments.

Couple d’encastrement parfait : couple exercé0ABC

par la poutre AB sur le nœud A bloqué en rotation. Cecouple peut être produit par les action appliquées à lapoutre AB, par le déplacement relatif des extrémités de lapoutre, ou par des efforts initiaux intérieurs.

4. Méthode de Cross 4. Méthode de Cross 4 1 Terminologie4.1 Terminologie

Couple de blocage : couple qu’il faut appliquer au0AC

nœud A pour l’empêcher de tourner, c’est-à-dire pouréquilibrer la somme des couples d’encastrement parfait au

d A l i b i l lnœud A, pour les poutres qui y aboutissent et le coupleextérieur éventuellement appliqué à ce nœud.

⎤⎡ extA

poutre

oAiA CCC −⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−= ∑0

4. Méthode de Cross 4. Méthode de Cross 4 1 Terminologie4.1 TerminologieCouple de libération : couple qu’il faut appliquer

d A é ilib d t tiAC

au nœud A pour assurer son équilibre de rotationlorsqu’on supprime son encastrement provisoire.

⎤⎡ extA

poutre

oAiAAA CCCCC −⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=−= ∑00 ou

Couple de reprise : couple repris, au nœud A, par la poutre AB lorsqu’on applique le couple de libération

ACCoefficient de reprise:

AABrAB CC μ−= ∑ −= A

rAi CC ∑ = AAAi CCμ

AABAB μ ∑poutres

AAi ∑poutres

∑ =poutres

Ai 1μ142

4. Méthode de Cross 4. Méthode de Cross 4 1 Terminologie4.1 Terminologie

AθCouple transmis : la rotation du nœud A, sous l’ ff t d l’ li ti d l d libé ti

l’effet de l’application du couple de libération , transmet aux encastrements B des poutres AB aboutissant en A des couples (transmis) proportionnels aux couples

tCen A des couples (transmis) proportionnels aux couples de reprise correspondants.Coefficient de reprise:

ρCoefficient de reprise: ABρrABAB

tB CC ρ=

Dans tous les cas, les couples considérés sont lescouples appliqués aux nœuds (par le monde extérieur,par les poutres,…). Il faudra donc se fixer un senspositif, le sens horlogique. 143

4. Méthode de Cross 4. Méthode de Cross 4 2 Détermination de μ et ρ4.2 Détermination de μABet ρAB

Considérons le nœud A où aboutissent les barres AB,AC Ai ( l d A B C i i id )AC,…Ai (on suppose les nœuds A, B, C,…i rigides).

∑=poutre

rAjA CC

poutre

Par définition: AAi

AArAi kC θ)(= AAB

rAB CC μ−=

∑−−=−=

θθμAlors: ∑

Ai kkμ

R poutre poutreRemarque:=Ai

AAk Le coefficient de rigidité liant le couple appliquéau nœud A par la poutre A-i suite à la rotationunitaire du nœud A 144

4. Méthode de Cross 4. Méthode de Cross 4 2 Détermination de μ et ρ4.2 Détermination de μABet ρAB

De même: AiA

AirAiAi

θθρρ )(

==⇒=AAAAi kC θ

=ρAlors:AAk

Remarque:1 rigide:i21

articulé:i0=Aiρ articulé:i0Aiρ

4. Méthode de Cross 4. Méthode de Cross 4 3 Principe général4.3 Principe général

-Méthode de Cross permet de trouver directementles couples qui en résultent, grâce aux coefficients dereprise et transmission.

-Dans le 1ère stade, cette méthode n’est appliquéeque pour des structures dont les nœuds ne subissentpas de d’placements de translation (pas de dérives).

-Une dérive est un d’placement de translation.

4. Méthode de Cross 4. Méthode de Cross 4 4 Système sans dérive: exemple4.4 Système sans dérive: exemple

4. Méthode de Cross 4. Méthode de Cross 4 4 Système sans dérive: exemple4.4 Système sans dérive: exempleDiagramme M en [Nm]

4. Méthode de Cross 4. Méthode de Cross 4 4 Système sans dérive: exemple4.4 Système sans dérive: exempleDiagramme T en [N]

4. Méthode de Cross 4. Méthode de Cross 4 5 Système dont les nœuds subissent une dérive4.5 Système dont les nœuds subissent une dérive

connue

connue Diagramme M en [Nm]g [ ]

connue Diagramme T en [N]g [ ]

4. Méthode de Cross 4. Méthode de Cross 4 6 Système à une d’rive inconnue4.6 Système à une d’rive inconnue

Diagramme M en [Nm]g [ ]

Diagramme M en [Nm]

Diagramme T en [N]

4. Méthode de Cross 4. Méthode de Cross 4 7 Système à plusieurs dérives inconnues4.7 Système à plusieurs dérives inconnues

La 1ère chose à déterminer est l’ensemble de butée B1,B B nécessaires pour supprimer toute dérive desB2,…,Bn nécessaires pour supprimer toute dérive desnœuds.

1ère étape: Introduire les n butées et on applique1 étape: Introduire les n butées et on appliqueles charges extérieures. Après avoir effectué un Cross,on obtient les réactions des butées: R1, R2,…,Rnon obtient les réactions des butées: R1, R2,…,Rn

2ère étape: Donner aux nœuds qui ont étéprovisoirement fixés par une butée, n groupes de d’rivesp p , g pqui sont linéairement indépendants (ex: 0 pour toutes, saufune égale à 1). Après avoir effectué n Cross, on obtient lesréactions de butées )1()1(

1 ,..., nRRR159

3ère étape: La structure est en équilibre lorsquep q qtoutes les butées sont enlevées, on doit ajouter auxrésultats de la 1ère étape les effets des n groupes de dériveschoisis, multipliés par des coefficients de pondération

tel que:nααα ,..., 21

... 11)()2()1(

⎪⎪⎫

⎪⎪⎧

⎪⎪⎫

⎪⎪⎧

⎥⎥⎤

⎢⎢⎡

RRRRRR

0..................

... 22

)()2()1(

⎪⎪⎭

⎪⎬

⎪⎪⎩

⎪⎨+

⎪⎪⎭

⎪⎬

⎪⎪⎩

⎪⎨

⎥⎥⎥⎥

⎦⎢⎢⎢⎢

⎣n R

RRR α

... )()2()1( ⎪⎭⎪⎩⎪⎭⎪⎩⎥⎦⎢⎣ nnn

nnn RRRR α

METHODE MATRICIELLEMETHODE MATRICIELLE

1. INTRODUCTION

2. RELATION DE RAIDEUR ELEMENTAIRE

EN AXES LOCAUXEN AXES LOCAUX

3. RELATION DE RAIDEUR ELEMENTAIRE

EN AXES GLOBAUX

4. ASSEMBLAGE DES RELATIONS DE

RAIDEUR ELEMENTAIRE

METHODE MATRICIELLEMETHODE MATRICIELLE

5. CONDITION AUX LIMITES5. CONDITION AUX LIMITES. METHODE DIRECTE

METHODE DE PENALITE. METHODE DE PENALITE

6. RESOLUTION DU SYSTEM LINEAIRE. ITERATION. DIRECT (GAUSSE ET CHOLESKI)( )

7. TRAITEMENT DE RESULTATS

1. INTRODUCTION1. INTRODUCTION

La méthode des forces est moins systématique que la

méthode des déplacements. La méthode des déplacement

est donc bien adaptée au calcul par ordinateur grâce àest donc bien adaptée au calcul par ordinateur grâce à

son caractère systématique. Le but de ce chapitre est

donc de monter comment une étude systématique d’une

structure peut être effectuée à partir de la relation destructure peut être effectuée à partir de la relation de

rigidité. On appellera relation de raideur élémentaire.

2. 2. Relation de raideur élémentaire Relation de raideur élémentaire en axes locauxen axes locaux

La relation de raideur (relation de rigidité) :

en axes locauxen axes locaux

[ ]{ } { }e e eK q F=

• Structure à nœuds articulés

2. 2. Relation de raideur élémentaire Relation de raideur élémentaire en axes locauxen axes locauxen axes locauxen axes locaux

11 12 13 14 xAAFk k k k u ⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎧ ⎫

⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪21 22 23 24

31 32 33 34

Fk k k k vk k k k u F

⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥31 32 33 34

41 42 43 44

k k k k u Fvk k k k F

⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭⎣ ⎦ ⎩ ⎭Il nous reste à calculer les coefficients kij à partir de

la théorie des poutres La méthode la plus simplela théorie des poutres. La méthode la plus simple

consiste à bloquer totalement les deux nœuds A et B

q( )0A A B Bu v u v= = = =

On libère ensuite un déplacement auquel on p q

donne une valeur unitaire et on calcule la force

nécessaire pour imposer cette valeur.

a) 1u =a) 1Au =

et xAAxA A xB

Fu E E EF u Fl E E l l l

σε Ω Ω Ω= = = ⇒ = = = −

11 21 31 41 , 0 , , 0E Ek k k kl lΩ Ω

= = = − =

b) 1Bu =b) Bu

0 0E Ek k k kΩ Ω13 23 33 43 , 0 , , 0E Ek k k k

l lΩ Ω

= − = = =

c) 1Av =c) 1Av

12 22 32 420 0 0 0k k k k= = = =

12 22 32 420 , 0 , 0 , 0k k k k

d) 1Bv =

0 0 0 0k k k k14 24 34 440 , 0 , 0 , 0k k k k= = = =

La relation de raideur s’écrit explicitement :

1 0 -1 00 0 0 0

xAAFuFvE

⎧ ⎫⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥Ω ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ 0 0 0 0

-1 0 1 0yAA

FvEu Fl

⎢ ⎥Ω ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪169

0 0 0 0 B yBv F⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭

• Structure à nœuds rigides• Structure à nœuds rigides

La relation de raideur s’écrit explicitement :La relation de raideur s écrit explicitement :

11 12 13 14 15 16 xAAFk k k k k k u⎡ ⎤ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫

⎪ ⎪11 12 13 14 15 16

21 22 23 24 25 26 xAA

uFk k k k k k v

⎡ ⎤ ⎧ ⎫⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪

31 32 33 34 35 36

41 42 43 44 45 46

k k k k k k Ck k k k k k u

φ⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪ =⎢ ⎥ ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎪ ⎪

⎪ ⎪⎪ ⎪⎨ ⎬⎪ ⎪41 42 43 44 45 46

51 52 53 54 55 56 B

Bvk k k k k k⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪

yBF⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪

61 62 63 64 65 66 Bk k k k k k φ⎪ ⎪

⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎩ ⎭⎣ ⎦ BC⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

a) 1Bu =) B

0 0 0 0E Ek F k k k F k kΩ Ω14 24 34 44 54 64= , 0 , 0 , = , 0 , 0xA yBk F k k k F k k

l l= − = = = = =

b) 1Bv =b) 1Bv

15 25 35 45 55 653 2 3 2

12 6 12 60 , , , 0 , , EI EI EI EIk k k k k kl l l l

− − −= = = = = =

l l l l

c) 1Bφ =

6 2 6 40 0EI EI EI EIk k k k k k−= = = = = =16 26 36 46 56 662 20 , , , 0 , , k k k k k k

l l l l= = = = = =

d) 1Au =

11 21 31 41 51 61= , 0 , 0 , , 0 , 0E Ek k k k k kl lΩ Ω

= = = − = =

e) 1Av =

12 22 32 42 52 623 2 3 2

−= = = = = =

f ) 1Aφ =

13 23 33 43 53 632 2

−= = = = = =

13 23 33 43 53 632 2l l l l

2. 2. Relation de raideur élémentaire Relation de raideur élémentaire en axes locauxen axes locaux

On a alors :en axes locauxen axes locaux

E EΩ − Ω⎡ ⎤ 0 0 0 0

12 6 12 60 0

E El l

EI EI EI EI

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎧ ⎫⎧ ⎫⎢ ⎥3 2 3 2

6 4 6 2 0 0

l l l lEI EI EI EIl l l l

FuFvCφ

⎢ ⎥ ⎧ ⎫⎧ ⎫⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪⎪2 2

l l l lE El l

− Ω Ω 0

Cu Fv F

φ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥

⎪⎪

⎪⎪l l

3 2 3 2

12 6 12 6 0 0 B yB

v FEI EI EI EI C

l l l lφ

⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥− − − ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩⎢ ⎥

⎢ ⎥

⎪⎪⎪⎭

1752 2

6 2 6 4 0 0 EI EI EI EIl l l l

⎢ ⎥−⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦

3. 3. Relation de raideur élémentaire Relation de raideur élémentaire en axes globauxen axes globauxen axes globauxen axes globaux

• Structure à nœuds articulés

{ } [ ]{ } { } [ ]{ }' ' et e e e eq R q F R F= ={ } { }où cos sin 0 0

i 0 0θ θθ θ

⎡ ⎤⎢ ⎥

[ ] sin cos 0 0 0 0 cos sin

Rθ θ

⎢ ⎥−⎢ ⎥=⎢ ⎥⎢ ⎥ 0 0 -sin cosθ θ⎢ ⎥⎣ ⎦

[ ]{ } { } [ ][ ]{ } [ ]{ }' '=K q F K R q R F= ⇒[ ]{ } { } [ ][ ]{ } [ ]{ }[ ] [ ][ ]{ } [ ] [ ]{ } { }' ' '

e e e e e e

t te e e e

K q F K R q R F

R K R q R R F F

[ ] [ ][ ]' te eK R K R⎡ ⎤⇒ =⎣ ⎦

• Structure à nœuds rigides

[ ] [ ][ ]' tK R K R⎡ ⎤ =⎣ ⎦ [ ] [ ][ ]e eK R K R⎡ ⎤ =⎣ ⎦où

cos sin 0 0 0 0θ θ⎡ ⎤cos sin 0 0 0 0 sin cos 0 0 0 00 0 1 0 0 0

θ θθ θ−

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

[ ] 0 0 1 0 0 0 0 0 0 cos sin 0

Rθ θ

=⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ 0 0 0 -sin cos 0 0

θ θ 0 0 0 0 1

⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

⎣ ⎦

4. Assemblage des 4. Assemblage des relations de relations de raideur élémentaireraideur élémentaireraideur élémentaire raideur élémentaire

• Structure à nœuds articulés• Dans la relation élémentaire, les nœuds ont été

Désignés par A et B• Il faut spécifier les numéros effectivement

utilisés dans la structure

F F⎧ ⎫⎧ ⎫

• En axe global

{ } { }

F Fu uF Fv v

=⎧ ⎫=⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪ ==⎪ ⎪ ⎪ ⎪= =⎨ ⎬ ⎨ ⎬

{ } { }44

; e exB xB

B yB y

q FF Fu u

v v F F

⎨ ⎬ ⎨ ⎬==⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪= =⎩ ⎭ ⎩ ⎭

[ ]{ } { }e e eK q F=

• Structure à nœuds articulés• La relation de rigidité élémentaire en axe globale

7711 12 13 14 21 22 23 24

⎧ ⎫⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥

⎪ ⎪ ⎪ ⎪77

21 22 23 2431 32 33 34

⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ [ ]{ } { }K F

4 441 42 43 44 yv F⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ [ ]{ } { }e e eK q F=

4. Assemblage des 4. Assemblage des relations de relations de raideur élémentaireraideur élémentaireraideur élémentaireraideur élémentaire

• Structure à nœuds articulés• Assemblage (opération de localisation)

⎡ 1x1u

⎧ ⎫⎧ ⎫ ⎪ ⎪⎤

• • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • •

⎡⎢⎢⎢⎢

⎧ ⎫ ⎪ ⎪⎤ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎥ ⎪ ⎪33 34 31 3243 44 41 42

• • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • •• • •

⎢⎢⎢

• • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • •

⎪ ⎪⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥ =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪

[ ]{ } { }e e eK q F=

13 14 11 1223 24 21 22

• • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • •

⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥

23 24 21 22

• • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • • • • • •⎣

⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎦ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭⎩ ⎭

{ } { }e eK Q F⎡ ⎤ =⎣ ⎦

• Structure à nœuds articulés• Considérons un nœud i et toutes les forces qui lui sont

appliquées• Les forces extérieures sont FXi , FYi

• Les forces exercées par les poutres , a , b , c sont

a aXi Yi

F F− −

b bXi Yi

c cXi Yi

− −

• Structure à nœuds articulés• Les équations d’équilibre s’écrivent

0a b cF F F F ... 0

a b cXi Xi Xi Xi

a b cYi Yi Yi Yi

F F F F

− − − − =

ou...a b c

Xi Xi Xi XiF F F F= + + +

...a b cYi Yi Yi YiF F F F= + + +

• Structure à nœuds articulés• Equation d’équilibre des nœuds

{ }{ } { }epoutre

⎡ ⎤

{ } { }e epoutre poutre

K Q F⎡ ⎤

⎡ ⎤ =⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦∑ ∑

[ ]{ } { }K Q F=185

[ ]{ } { }K Q F=

• Structure à nœuds rigides• Dans la relation élémentaire, les nœuds ont été

Désignés par A et BIl f é ifi l é ff i• Il faut spécifier les numéros effectivement utilisés dans la structure

• En axe global22

F Fu uF Fv v

=⎧ ⎫=⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪ == ⎪ ⎪⎪ ⎪

• En axe global

{ } { }

A Ae e

B xB x

C Cq F

u u F Fφ φ

⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪= =⎪ ⎪ ⎪ ⎪= =⎨ ⎬ ⎨ ⎬= =⎪ ⎪ ⎪ ⎪

B yB y

v v F F

C Cφ φ

⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪= =⎪ ⎪ ⎪ ⎪

=⎪ ⎪ =⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎩ ⎭[ ]{ } { }e e eK q F=

• Structure à nœuds rigides• La relation de rigidité élémentaire en axe globale

⎧ ⎫22

11 12 13 14 15 1621 22 23 24 25 26

⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪⎢ ⎥

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪

31 32 33 34 35 3641 42 43 44 45 46 x

Cu Fφ⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ =⎨ ⎬⎢ ⎥⎪ ⎪⎢ ⎥

⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎨ ⎬⎪ ⎪3 3

3 351 52 53 54 55 5661 62 63 64 65 66

⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪⎢ ⎥⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎩ ⎭

⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭ [ ]{ } { }e e eK q F=

361 62 63 64 65 66 Cφ⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎩ ⎭ 3⎪ ⎪⎩ ⎭ [ ]{ } { }e e eq

• Structure à nœuds rigides• Assemblage (opération de localisation)

1x1u F

F⎧ ⎫

⎧ ⎫ ⎪ ⎪

• • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • •• • • • • • • • • • • •

⎧ ⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎡ ⎤ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪11 12 13 14 15 16

21 22 23 24 25 2631 32 33 34 35 36

41 42 43 44 45 46

• • • • • •• • • • • •• • • • • •• • • • • •• • • • • •

⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪51 52 53 54 55 56

61 62 63

• • • • • •• • • 64 65 663

⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪• • •⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥• • • • • • • • • • • • ⎪ ⎪ ⎪ ⎪• • • • • • • • • • • •⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪• • • • • • • • • • • •⎣ ⎦

[ ]{ } { }e e eK q F=

⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪• • • • • • • • • • • •⎣ ⎦⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭ ⎪ ⎪⎩ ⎭ { } { }e eK Q F⎡ ⎤ =⎣ ⎦

• Structure à nœuds rigides• Considérons un nœud i et toutes les forces qui lui sont

appliquées• Les forces extérieures sont FXi , FYi , Ci

• Les forces exercées par les poutres , a , b , c sont

a a aXi Yi i

F F C− − −

b b bXi Yi i

c c cXi Yi i

− − −

• Structure à nœuds rigides• Les équations d’équilibre s’écrivent

0a b cF F F F ... 0

a b cXi Xi Xi Xi

a b cYi Yi Yi Yi

F F F F

− − − − =

... 0a b ci i i iC C C C− − − − =

a b cXi Xi Xi Xi

a b cYi Yi Yi Yi

F F F F

= + + +

190...

Yi Yi Yi Yi

a b ci i i iC C C C= + + +

• Structure à nœuds rigides• Equation d’équilibre des nœuds

{ }{ } { }epoutre

⎡ ⎤

{ } { }e epoutre poutre

K Q F⎡ ⎤

⎡ ⎤ =⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦∑ ∑

[ ]{ } { }K Q F=191

[ ]{ } { }K Q F=

5. Condition aux 5. Condition aux limiteslimites

• Méthode directe• Supposons qu’une des conditions aux limites porte• Supposons qu une des conditions aux limites porte

sur la composante i du vecteur et s’exprime par{ }Q

Q Q=i iQ Q=• La composante i du vecteur devient réaction de

liaison correspondante{ }F

liaison correspondante

11 1i 1n . . . K . . . K . . .K 1 1

Q F⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎧ ⎫⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪

1 ii in

. . . . . . . . . K . . . KiK

⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ =⎨ ⎬ ⎨ ⎬

⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪

. . . . .

1 ni nn

. . . . . . . . . . . . . K . . . Kn nnK FQ

⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎩ ⎭⎩ ⎭

• Méthode directe• Enlever l’équation no en tenant compte de la valeur de q p

Qi dans les autres équations

0 KK 1 11 i iF K QQ ⎧ ⎫−⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥11 1n . . . 0 . . . K . . . . . . . . . 0 1 0

. . . . . .

⎡ ⎤ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎨ ⎬ ⎨ ⎬0 . . . 1 . . . 0 . . . . . . .

. . . . . . . .

i iQ Q⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪

1 nn . . . 0 . . . Kn n n ni iK Q F K Q⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪−⎣ ⎦ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭

j n=⎡ ⎤

• Réaction de liaison1

i ij jj

R K Q=

⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦∑

• Méthode de pénalité • Cette méthode de pénalité consiste à résoudrep

11 1i 1n . . . K . . . KK 1 1Q F⎡ ⎤ ⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪

1 ii in

. . . . . . . . . . . . K . . . KiK

. .. .. .

i iQ R

⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ . . . . . . . . . . . . . . .

K KK Q F

⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭1 ni nn . . . K . . . Kn n nK Q F⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭

Avec la condition : ( ) ( ) ou /i i i ii iR Z Q Q Q Q R Z= − − =

Avec la condition : ( ) ( )ou /i i i ii iQ Q Q Q

• Méthode de pénalité • En substituant R le système devient• En substituant Ri , le système devient

11 1i 1n . . . K . . . KK 11FQ ⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎧ ⎫

⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪11 1i 1n . . . . . . . . .

K +Z KK

. . . . . .Q Q Z

⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ =⎨ ⎬ ⎨ ⎬ ( )I1 ii in . . .K +Z. . . K

. . . . .

iK . . . . . . . . . .

i iQ Q Z⎢ ⎥ =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥

1 ni nn . . . K . . . Kn n nK Q F⎪ ⎪ ⎪ ⎪

⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭

( )195

( )i iiR Z Q Q= −

• Méthode de pénalité• La méthode de pénalisation peut être interprétée

comme l’introduction d’un support élastique de rigiditéZ

11 1i 1n . . . K . . . K 0 . . . .K 1

.Q⎡ ⎤

⎢ ⎥⎢ ⎥

.F⎧ ⎫ ⎧ ⎫

⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪

1 ii in

. . . . . . . . . . K +Z . . K ZiK −

⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪=⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪ ⎪ . .

1 ni nn

. . . . . . . . . . . . . . . . K . . . K 0n n

⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪

0 . . . Z . . . 0 +Z Q⎢ ⎥−⎣ ⎦ ii R

⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎩ ⎭⎩ ⎭

• Méthode de pénalité 1FQ ⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎧ ⎫

11 1i 1n . . . K . . . K . . . . . . . . .

. . . . . .

FQ ⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎧ ⎫⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪

1 ii in . . .K +Z. . . K . . .

iK . .

i iQ Q Z⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ =⎨ ⎬ ⎨ ⎬

⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥

1 ni nn

. . . . . . . . . . . K . . . Kn n nK Q F

⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭

( )R Z Q Q

• est identique à( )II ( )I

Ré i d li i197

( )i iiR Z Q Q= −• Réaction de liaison :

6. 6. Résolution du système linéaireRésolution du système linéaire

• Méthode directe (Gausse)

[ ]{ } { }[ ]{ } { }

k Q k Q k Q k Q F

+ + + =⎧ 11 1 12 2 13 3 1 1

21 1 22 2 23 3 2 2

... + ... +

k Q k Q k Q k Q Fk Q k Q k Q k Q Fk Q k Q k Q k Q F

+ + + =

+ + + =⎧⎪⎪⎪⎪ 31 1 32 2 33 3 3 3... +. . . . .. .

n nk Q k Q k Q k Q F+ + + =

⎪⎪⎨⎪⎪. .

1 1 2 2 3 3

. . .. . . . . ... +n n n nn n nk Q k Q k Q k Q F

⎪⎪ + + + =⎪⎩

⎪⎩

6. 6. Résolution du système linéaireRésolution du système linéaire1⎧ ( )1 1 12 2 13 3 111

1 ... n nQ F k Q k Q k Qk

= − − − −⎧⎪⎪⎪ (1) (1) (1) (1)

22 2 23 3 2 2(1) (1) (1) (1)

32 2 33 3 3 3

... +n n

k Q k Q k Q F

⎪⎪⎨⎪. . . . .. . . . .. . . . .⎪⎪⎪⎪ (1) (1) (1) (1)

2 2 3 3

( 1) ( 1)

... +n n nn n n

k Q k Q k Q F

k k− −

⎪ + + =⎩

⎧ ( 1) ( 1)( ) ( 1)

( )Avec

s sis sjs s

ij ij sss

k kk k

−= −

⎧⎪⎪⎨

( 1)( ) ( 1)

siss s

−−= −

⎨⎪⎪⎩

• Méthode directe (Gausse)• Le système formé de ces équations est de la formeLe système formé de ces équations est de la forme

11 1 12 2 13 3 1 1 ... + n nk Q k Q k Q k Q F+ + + =⎧⎪ (1) (1) (1) (1)

22 2 23 3 2 2

(2) (2) (2)

+n nk Q k Q k Q F

k Q k Q F

⎪⎪⎪⎪ 33 3 3 3 ... +

n nk Q k Q F+ = . . . .. .

⎪⎨⎪⎪ . .

nk ( 1) ( 1)n nn n nQ F− −

⎪⎪ =⎪⎩

• Méthode directe (Cholesky)

[ ]{ } { }K Q F[ ]{ } { }K Q F=

[ ] [ ][ ] K L M=

[ ][ ]

où : triangulaire inférieure

: triangulaire supérieure

M[ ][ ] [ ] [ ]

: triangulaire supérieure

Comme est symétrique : t

K L M=

[ ] [ ] [ ][ ] [ ]{ } { }

M M Q F

[ ] [ ]{ } { }M M Q F=

6. 6. Résolution du système linéaireRésolution du système linéaireMéth d di t (Ch l k )• Méthode directe (Cholesky)

[ ]{ } { }Posons M Q Y=

[ ] { } { } tM Y F⇒ =• est triangulaire inférieure si les éléments de[ ]tM est triangulaire inférieure, si les éléments de

sont mij on a alors :[ ]M

F⎧ 11 1 1

12 1 22 2 2

m y Fm y m y F

=⎧⎪ + =⎪⎪ 13 1 23 2 33 3 3

m y m y m y F⎪ + + =⎪⎨⎪⎪

2021 1 2 2 3 3 4 4

.. ... + n n n n nn n nm y m y m y m y m y F

⎪⎪ + + + + =⎪⎩

• Méthode directe (Cholesky)

ii ii si sis

m k m m= −

= − ∑1

ij ij si sjsii

m k m mm

⎡ ⎤= −⎢ ⎥⎣ ⎦∑

7. 7. Traitement de résultatsTraitement de résultats

• Les déplacements en axe globale { }QLes déplacements en axe globale { }Q

• Les réactions de liaison { }n

R k Q=∑• Les réactions de liaison { }1

i ij jj

R k Q=

• Les déplacements en a e locale { } [ ]{ }R Q• Les déplacements en axe locale { } [ ]{ }eq R Q=

{ } [ ]{ }• Les efforts normaux { } [ ]{ }e e ef K q=

Analyse de structure i4

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