Algèbre au collège :Entre Sens et Technique

Sylvie CoppéIUFM de Lyon, Université Lyon 1

UMR ICAR (Université Lyon 2, CNRS, ENS Lyon

Vincent DuvalSophie Roubin

Christophe AlvesClaire Piolti

Sylvie Martin DamettoAlexandra Goislard

Maud ChanudetHélène Kuhman

SESAMES AlgèbreSESAMES Algèbre

IFÉIFÉENS LYONENS LYON

Situations d’Enseignement Scientifique: Activités de Modélisation, d’Evaluation, de Simulation

HTTP://www.inrp.fr/pegame/HTTP://www.inrp.fr/pegame/

PrésentationPrésentation

Quelles sont vos attentes ?

Quelles sont vos questions ?

Représentations de lReprésentations de l’’algèbre au algèbre au collègecollège

Donner deux types d'activités différentes que vous pratiquez fréquemment dans vos classes en algèbre au collège

A quoi sert l'algèbre au collège ?

Algèbre ?Algèbre ?Algèbre Objet/Algèbre outil

Aspect procédural/Aspect Structural

2n + 1 Procédural 2n + 1 Structural

LL ’’algèbre au collège calgèbre au collège c’’est est ::L’utilisation de la lettreLes équationsLe calcul littéral pour la technique

Mais aussi :Les identitésLes activités de preuvesLes nombres relatifsLes fonctions

À quoi sert l'algèbre au À quoi sert l'algèbre au collège ?collège ?3 grands types de tâches Produire des formules, des expressions

algébriques Traiter des formules, des expressions

algébriques Utiliser des formules, des expressions

algébriques dans des problèmes.

L’algèbre va servir à résoudre des problèmes et pas seulement faire du calcul ou à apprendre des techniques opératoires.

Il est nécessaire de travailler : le sens et la technique de calculs la nécessité d’introduire l’algèbre, la lettre.

Par "introduction à l'algèbre", on peut entendre plusieurs choses distinctes :mise en équation de problèmes arithmétiques simples et résolution par l'algèbre ; règles élémentaires de traitement et de transformation des équations ;première explicitation des concepts de fonction et de variable ;

mise en évidence de certaines propriétés structurales des ensembles de nombres, notamment l'ensemble des relatifs et de l'ensemble des rationnels ;

etc…

Il est raisonnable de penser que c'est un savant équilibre de ces différentes composantes conceptuelles et des situations qui leur donnent du sens qui peut permettre aux élèves de comprendre en profondeur la fonction, la structure et le fonctionnement du raisonnement algébrique. Mais quel équilibre ?

(Vergnaud, 1989)

Et dans les manuels?Et dans les manuels?

•Sur le calcul littéral, 80% des exercices des livres portent sur les techniques « développer, réduire, enlever les parenthèses, etc… » (thèse de El Mouhayar, 2007)

•la part des exercices portant sur « démontrer, montrer, prouver, expliquer, justifier, vérifier » et les exercices ouverts est variable d’un manuel à l’autre mais reste faible (de 3,4% à 14%) (mémoire master Aloulen & Pinto)

Un exemple dUn exemple d’’introductionintroductionde la lettrede la lettre

les carreaux les carreaux colorés colorés

Un exemple : les carreaux Un exemple : les carreaux coloréscolorés

Quelle version de l’activité proposeriez-vous ?

A quel(s) niveau(x) ?

Pour quoi ?

Les carreaux colorés

1°) combien de carreaux sont colorés ?

2°) combien de carreaux seraient colorés sur un carré de côté 6 ? de côté 10 ? sur un carré de côté 123 ? Trouve une formule, un moyen de dire comment calculer ce nombre de carreaux .

Voici un carré de côté 5.Les carreaux de la bordure sont colorés

3°) On a coloré 212 carreaux. Combien de carreaux a un côté du carré ? Est-il possible d'avoir coloré 731 carreaux ? 426 carreaux ?

Les carreaux colorésLes carreaux colorés

Extraits d'une animation en classe