3 méthode point par point

Analyse d’une structure

en triangle

méthodepoint par point

Conception de structuresAutomne 2012

R. Pleau

École d’architecture, Université Laval

vendredi 7 septembre 12

La figure suivante montre la vue en élévation d’une structure en treillis qui est appuyée sur un mur et qui supporte une charge verticale de 50 kN suspendue à son extrémité ainsi qu’une charge de 100 kN inclinée de 45º p/r à l’horizontale.

2Problème

On veut calculer les efforts axiaux dans chacune des membrures.

On fait l’hypothèse que chacun des nœuds de la structure est rotulé (i.e. les membrures peuvent pivoter librement autour de ces nœuds) et que, par conséquent, chaque membrure ne peut transmettre que des efforts normaux (i.e. parallèles à l’axe de la membrure) de tension ou de compression.

3Hypothèse

Étape 14

La première étape consiste à dessiner la structure à l’échelle et à identifier chacun des nœuds (à l’aide de chiffres) et des membrures (à l’aide de lettres). On représente aussi les charges qui sont appliquées à la structure.

Étape 14

Pour cet exemple, nous avons numéroté les nœuds de 1 à 5 et les membrures de A à F.

Étape 1

N.B.: L’ordre de numérotation n’a aucune importance

Pour cet exemple, nous avons numéroté les nœuds de 1 à 5 et les membrures de A à F.

5Étape 2

La deuxième étape consiste à identifier un nœud qui est sollicité par au moins une charge connue et qui unit pas plus de deux membrures pour lesquelles les efforts internes sont inconnus.

5Étape 2

Pour cet exemple, le nœud 5 est le seul qui répond à ces deux critères.

5Étape 2

N.B.: Pour la plupart des structures, il est nécessaire de calculer les réactions d’appui pour trouver un nœud qui satisfait ces deux critères: • au moins une charge connue • pas plus de deux membrures dont les efforts internes sont inconnus

Pour cet exemple, le nœud 5 est le seul qui répond à ces deux critères.

5Étape 2

6Étape 3

On trace le diagramme de corps libre pour le nœud identifié (le nœud 5 en ce qui nous concerne).

Diagramme decorps libre (DCL)

6Étape 3

Le diagramme de corps libre indique toutes les forces qui sollicitent ce nœud.

6Étape 3

Sur le diagramme de corps libre reproduit ci-contre, le vecteur E représente la force axiale dans la membrure E et le vecteur F représente la force axiale dans la membrure F.

Le diagramme de corps libre indique toutes les forces qui sollicitent ce nœud.

6Étape 3

Étape 4

À partir du DCL, on trace un polygone de forces qui est la représentation graphique de l’addition vectorielle des trois forces.

Étape 4

Ce polygone de forces consiste simplement à placer les trois vecteurs de forces bout-à-bout.

L’équilibre statique du nœud exige que la force résultante soit nulle. Cela signifie que, lorsqu’elles sont mises bout-à-bout, le point d’arrivée des forces doit coïncider avec leur point de départ.

Étape 4

Ce polygone de forces consiste simplement à placer les trois vecteurs de forces bout-à-bout.

Étape 4a

On place d’abord la force externe connue de 50 kN en la dessinant à l’échelle (par exemple 1 cm = 20 kN)

Étape 4a

Polygone de forces

Étape 4a

Polygone de forces

Étape 4a

Polygone de forces

Étape 4a

2,5 cm

Polygone de forces

Étape 4a

Polygone de forces

Étape 4b

On y ajoute la force F dont on connaît la direction mais pas encore l’intensité

Polygone de forces

Étape 4b

On y ajoute la force F dont on connaît la direction mais pas encore l’intensité

Polygone de forces

Étape 4b

On y ajoute la force E dont on connaît aussi la direction mais toujours pas l’intensité. Pour assurer l’équilibre statique, on trace la force E de manière à ce que son point d’arrivée corres-ponde au point de départ du polygone de force.

Étape 4c

Polygone de forces

On y ajoute la force E dont on connaît aussi la direction mais toujours pas l’intensité. Pour assurer l’équilibre statique, on trace la force E de manière à ce que son point d’arrivée corres-ponde au point de départ du polygone de force.

Étape 4c

Polygone de forces

Le point d’interception entre les vecteurs E et F nous permet de tracer le polygone de forces qui assure l’équilibre statique.

Polygone de forces

Étape 4e

En mesurant la longueur des vecteurs E et F, on obtient l’intensité de ces forces.

Étape 4e

En mesurant la longueur des vecteurs E et F, on obtient l’intensité de ces forces.

Polygone de forces

Étape 4e

On connaît maintenant l’intensité des efforts internes dans les membrures E et F. Il nous reste à déterminer s’il s’agit d’efforts de tension ou de compression. Pour y parvenir, on se réfère au DCL. Si le vecteur force pointe vers le nœud, c’est un effort de compression. S’il pointe dans la direction opposée, c’est un effort de tension. En ce qui nous concerne, on en conclut que la membrure E est tendue et que la membrure F en est comprimée.

Étape 4f

Polygone de forces

On connaît maintenant l’intensité des efforts internes dans les membrures E et F. Il nous reste à déterminer s’il s’agit d’efforts de tension ou de compression. Pour y parvenir, on se réfère au DCL. Si le vecteur force pointe vers le nœud, c’est un effort de compression. S’il pointe dans la direction opposée, c’est un effort de tension. En ce qui nous concerne, on en conclut que la membrure E est tendue et que la membrure F en est comprimée.

Étape 4f

14Note importante

Dans l’exemple précédent, après avoir placé la force externe de 50 kN, nous y avons ajouté, dans l’ordre, les forces F et E. Cet ordre est arbitraire et l’on obtien-drait le même résultat final quel que soit l’ordre selon lequel on additionne les forces comme on peux le constater aux figures ci-contre:

14Note importante

Polygone de forces

14Note importante

Polygone de forces

Dans l’exemple précédent, lorsque nous avons tracé le diagramme de corps libre du nœud 5, les vecteurs E et F étaient placés dans la bonne direction (i.e. tension dans la membrure E et compression dans la membrure F). Qu’arrive-t-il si les vecteurs sont mal orientés ? Essayons pour voir.

15Autre note importante

16Autre note importante (suite)

Polygone de forces

1º) On place d’abord la force externe de 50 kN

Polygone de forces

1º) On place d’abord la force externe de 50 kN

Polygone de forces

1º) On place d’abord la force externe de 50 kN2º) On ajoute la force F dont on connaît l’orientation mais pas l’intensité

Polygone de forces

1º) On place d’abord la force externe de 50 kN2º) On ajoute la force F dont on connaît l’orientation mais pas l’intensité

Polygone de forces

1º) On place d’abord la force externe de 50 kN2º) On ajoute la force F dont on connaît l’orientation mais pas l’intensité3°) On ajoute la force E dont on connaît aussi l’orientation mais pas l’intensité.

Polygone de forces

on remarque qu’il est impossible de fermer le polygone de forces !

Polygone de forces

4º) On place l’extrémité de la force E au point d’origine de la force externe de 50 kN afin de fermer le polygone de forces puisque c’est obligatoire !

Polygone de forces

5º) On prolonge les axes des deux forces jusqu’à ce qu’ils se croisent.

Polygone de forces

5º) On prolonge les axes des deux forces jusqu’à ce qu’ils se croisent.

6º) Puisque les trois forces doivent être placées bout-à-bout, on modifie l’orientation initiale des forces E et F afin d’obtenir un polygone de forces fermé et on mesure la longueur des vecteurs E et F pour connaître l’intensité de ces forces.

Polygone de forcesDiagramme de

corps libre (DCL)

7º) À partir de polygone de forces, on corrige l’orientation des forces sur le diagramme de corps libre

Polygone de forcesDiagramme de

corps libre (DCL)

7º) À partir de polygone de forces, on corrige l’orientation des forces sur le diagramme de corps libre

Polygone de forces

19Étape 5

La cinquième étape consiste à identifier un nœud adjacent au nœud 5 qui unit pas plus de deux membrures dont les efforts internes sont inconnus.

19Étape 5

Le nœud 3 ne respecte pas ce critère car il unit trois membrures (A, B et D) dont les efforts internes sont inconnus (par contre, on connaît maintenant l’effort interne dans la membrure E qui correspond à une force de tension de 112 kN)

19Étape 5

Le nœud 3 ne respecte pas ce critère car il unit trois membrures (A, B et D) dont les efforts internes sont inconnus (par contre, on connaît maintenant l’effort interne dans la membrure E qui correspond à une force de tension de 112 kN)

19Étape 5

Le nœud 4 est le seul nœud qui respecte ce critère car il unit seulement deux membrures (C et D) dont les efforts internes sont inconnus.

20Étape 6

N.B. : On connaît maintenant l’effort interne dans la membrure F (compression de 100 kN)

20Étape 6

N.B. : On connaît maintenant l’effort interne dans la membrure F (compression de 100 kN)

20Étape 6

Diagramme de corps libre (DCL)

On trace le polygone de forces à partir du DCL.

Polygone des forcesDiagramme de corps libre (DCL)

Étape 7

1º) On place la force connue de 100 kN

Étape 7

2°) On y ajoute la force C dont on connaît la direction mais non l’intensité.

Étape 7

3º) On y ajoute la force D et on se rend compte que, pour fermer le polygone de force, la force D doit être nulle.

Étape 7

3º) On y ajoute la force D et on se rend compte que, pour fermer le polygone de force, la force D doit être nulle.

100 kN

Étape 7

Polygone des forces

Étape 7

4º) En examinant le DCL, on en déduit la nature des efforts internes (tension ou compression).

100 kN (compression)

100 kN

L’analyse du polygone de forces du nœud 4 nous fournit l’occasion d’énoncer une règle générale:

Si un nœud unit trois membrures et que les deux critères suivants sont satisfaits:

1º) l’une des membrures est perpendiculaire aux deux autres 2º) aucune force externe n’est appliquée au nœud Alors l’effort interne est toujours nul dans la membrure perpendiculaire est les deux autres membrures sont soumises au même effort interne

23Note importante

24Exemple

Pour chacun des deux treillis illustrés à la figure suivante, indiquez les membrures qui ne subissent aucun effort interne

24Exemple

25Étape 8

L’étape suivante consiste à choisir un nœud qui respecte les deux critères suivants:

25Étape 8

1º) Ce nœud est adjacent à un nœud pour lequel on a déjà tracé le polygone de forces (i.e. les nœuds 4 et 5 en ce qui nous concerne).

2º) Ce nœud n’unit pas plus de deux membrures dont les efforts internes sont inconnus.

25Étape 8

2º) Ce nœud n’unit pas plus de deux membrures dont les efforts internes sont inconnus.

25Étape 8

Les nœuds 2 et 3 respectent ces deux critères. Nous choisirons arbitrairement le nœud 3.

26Étape 9

On trace le diagramme de corps libre pour le nœud 3 en indiquant tous les efforts internes connus.

26Étape 9

N.B. : Sur le DCL, nous n’avons pas indiqué l’effort interne dans la membrure D car il est nul

27Étape 10

On trace le polygone de forces à partir du DCL et on mesure l’intensité des efforts internes dans les membrures A et B.

27Étape 10

On trace le polygone de forces à partir du DCL et on mesure l’intensité des efforts internes dans les membrures A et B.

27Étape 10

Polygone de forces

28Étape 11

On trace le diagramme de corps libre du nœud 2 ainsi que le polygone de forces qui y est associé. Sur le DCL, la force R2 représente la réaction d’appui du mur sur la structure.

28Étape 11

100 kNR2

La réaction d’appui du mur (R2) correspond à la force qui est nécessaire pour fermer le polygone de force au nœud 2.

28Étape 11

100 kNR2

Polygone de forces

100 kN

28Étape 11

100 kNR2

Polygone de forces

100 kN

28Étape 11

100 kNR2

Graphiquement, on trouve que cette force est égale à 212 kN, qu’elle est inclinée à 15º p/r à l’horizontale et qu’elle est sollicite le mur en compression.

29Étape 12

Polygone de forces

29Étape 12

Polygone de forces

29Étape 12

On constate que, évidemment, la réaction d’appui du mur est égale à l’effort interne dans la membrure A puisqu’il n’existe aucune autre membrure reliée au point A.

30Note importante

On peut s’assurer que notre structure est bien en équilibre statique en traçant le diagramme de corps libre de la structure tout entière et en vérifiant que lepolygone de forces est bien fermé.

30Note importante

Diagramme de corps libre de la structure50 kN

30Note importante

Polygone de forcesDiagramme de corps libre de la structure50 kN

30Note importante

Polygone de forcesDiagramme de corps libre de la structure50 kN

On constate effectivement que les 4 forces qui sollicitent notre structure(2 forces externes et 2 réactions d’appui) sont en équilibre statique

puisqu’elles forment un polygone de forces fermé

30Note importante

31Étape 13

On trace le diagramme d’efforts internes de la structure qui indique simplement les efforts internes en indiquant s’il s’agit de tension ou de compression.

31Étape 13

Diagramme des efforts internes (kN)

Efforts de compressionEfforts de tension

100 100

31Étape 13

Diagramme des efforts internes (kN)

Efforts de compressionEfforts de tension

100 100

31Étape 13

Par commodité, on présente en rouge les efforts de tension, en bleu les efforts de compression et en pointillé les membrures où l’effort est nul.

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