Post on 03-Apr-2015
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Licence d’informatiqueAlgorithmique des graphes
Exploration de la descendance d’un sommet : numérotation conforme,
énumération de chemins élémentaires, composantes fortement connexes.
Utilisation de ce document strictement réservée aux étudiants de l ’IFSIC dans le cadre de leur formation.Reproduction ou diffusion en dehors de l ’IFSIC strictement interdite sauf autorisation expresse de l’ auteur.
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Toute configuration de la pile est un chemin
Propriétés d’une exploration en profondeurPropriétés d’une exploration en profondeur
Démonstration : par induction sur les configurations de la pile.
chemin. un doncest C' .],,,[est ionconfigurat nouvelle La ..
chemin undécrit ],,,,,[
ionconfigurat nouvellela donc ),( cas, ce Dans.)(.
:avoir peut on suivante, étapel' A
chemin. undécrit ],,,,[ : Hypothèse
étape. uned' finla à pilela de ionconfiguratla ],,,,[Soit
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11
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11
k
kk
k
kk
kk
yyxdépilerp
yyyyx
yyyempilerp
yyyx
yyyxp
Corollaire : Soit z un sommet dans la pile. Alors :
tout sommet empilé au-dessus de z est un descendant de z
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Applications de l’exploration en profondeurApplications de l’exploration en profondeur
• Recherche de numérotation conforme (ou de circuit)
• énumération de tous les chemins élémentaires * formulation récursive
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Applications de l’exploration en profondeurApplications de l’exploration en profondeur
• Recherche de numérotation conforme (ou de circuit)
Un graphe possède une numérotation conforme si et seulement si il est sans circuit.
)()(),( si est
: sommets des onnumérotati Une: Définition
ynumxnumyxconforme
Xnum
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Recherche de numérotation conforme (ou de circuit)Recherche de numérotation conforme (ou de circuit)
Propriété de l’exploration en profondeur (issue de x) :
yavant
zyzy
dépilé sera il 2)
empilé; sera alors empiléest si )1),(
Preuve :empilé.est donc )( aon ,),( commeet )( empilé 1) ** zxzzyxyy
2) Si z est empilé après y alors il sera dépilé avant y (propriétés de la pile)
),(),(et circuit sans yzzyG
Si z a été empilé avant y :
Or, tous les sommets empilés au-dessus d’un sommet z sont des descendants de z.
Donc, y ne sera empilé qu’après que z soit sorti de la pile.
C’est-à-dire : z est dépilé avant y
Si G est sans circuit, alors
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Recherche de numérotation conformeRecherche de numérotation conforme
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g
3
h
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1
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a b c d e f g h i j k l m n oa x x x xb x xc xd xe x xf x xg x x x xh x x xi xj xk x x xl x xmn x xo x
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j
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1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 151 x x x x2 x x3 x x x4 x x x5 x x x x6 x x7 x x8 x9 x x10 x x11 x12 x13 x14 x15
a
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1
2
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Stratégies gloutonnes et non gloutonnesStratégies gloutonnes et non gloutonnes
Calcul de la descendance d’un sommet donné :
pas de remise en cause d’un sommet terminé. Un tel sommet ne peut plus apporter d’informations nouvelles
énumération des chemins issus d’un sommet x :
remise en cause possible d’un sommet y terminé.
Un tel sommet peut appartenir à plusieurs chemins.
Si on le re-visite à partir d’un autre prédécesseur,
un nouvel ensemble de chemins (vers ses descendants) est trouvé.
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Stratégies gloutonnes et non gloutonnesStratégies gloutonnes et non gloutonnes
énumération des chemins issus d’un sommet x :
remise en cause possible d’un sommet y terminé.
Un tel sommet peut appartenir à plusieurs chemins.
Si on le re-visite à partir d’un autre prédécesseur,
un nouvel ensemble de chemins (vers ses descendants) est trouvé.
Descendance de y explorée : y terminé.
On re-visite y en suivant un autre chemin u’
yx
u
Il faut ré-empiler y car u’ engendre de nouveaux chemins avec la descendance de y
u’
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Stratégies gloutonnes et non gloutonnesStratégies gloutonnes et non gloutonnes
calcul de la descendance d’un sommet donné :
pas de remise en cause d’un sommet terminé.
énumération des chemins issus d’un sommet x :
remise en cause possible d’un sommet y terminé.
STRATEGIE GLOUTONNE : on « avance » toujours
STRATEGIE NON GLOUTONNE :
on « recule » parfois
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ENUMERATION DE TOUS LES CHEMINS ELEMENTAIRES issus du sommet 1ENUMERATION DE TOUS LES CHEMINS ELEMENTAIRES issus du sommet 1
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3
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PILE
1 41 4 31 4 3 11 4 31 4 3 61 4 3 6 21 4 3 6 1 4 3 6 5
1 4 3 6 5 2 1 4 3 6 5
1 4 3 6
1 4 31 41
4
26
3
5
Les sommets 2, 3, 4, 5, 6 sont terminés
On poursuit l’exploration.
1 5 Bien que 5 soit terminé,
ON LE RÉEMPILE!1 5 31 5 3 11 5 31 5 3 61 5 3 6 21 5 3 6 2 4
1 5 3 6 21 5 3 61 5 31 51 5 2 Idem: on réempile 2
1 5 2 41 5 2 4 31 5 2 4 3 11 5 2 4 31 5 2 4 3 6
1 5 2 41 5 21 5 2 61 5 2
1 51
1 5 2 4 3
1
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Composantes fortement connexesComposantes fortement connexes
But : structurer un graphe par rapport à ses possibilités de cheminement
Plus précisément : regrouper des sommets communiquant mutuellement ; déterminer les relations de communication entre ces groupes de sommets.
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Composantes fortement connexesComposantes fortement connexes
But : structurer un graphe par rapport à ses possibilités de cheminement
a
b
c
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g
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k
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n
r
o
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k
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Composantes fortement connexesComposantes fortement connexes
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b
c
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g
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k
l
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r
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b
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k
e
Deux sommets sont dans une même composante ssi ils sont sur un même circuit
Sommet seul dans sa composante : n’appartient à aucun circuit
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Composantes fortement connexesComposantes fortement connexes
a
b
c
h
g
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k
l
n
r
o
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b
h
g
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s
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l
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nq
k
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Réduction du graphe selon ses cfc :
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Composantes fortement connexesComposantes fortement connexes
a
b
c
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g
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k
l
n
r
o
p
s
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b
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p
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k
e
Réduction du graphe selon ses cfc :
Ca
Ce
Ci
Cf
Cn
Ck
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Ck
Ce
Ca
Composantes fortement connexesComposantes fortement connexes
Réduction du graphe selon ses cfc :
Ci
Cf
CnOn obtient un graphe sans circuit
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Ck CeCa
Composantes fortement connexesComposantes fortement connexes
Réduction du graphe selon ses cfc :
Ci
Cf
Cn
On obtient un graphe sans circuit que l’on met en niveau
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Composantes fortement connexesComposantes fortement connexes
a
b
c
h
g
d
a
b
h
g
d
cf j
r
u
v
t
nq
nq
l
o
p
mi
l
o
p
mi
kk
ee
s
CeCn CkCf
Ca
Ci
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Composantes fortement connexesComposantes fortement connexes
Propriété : La relation binaire sur X définie par :
)()(
circuit mêmeun sur sont et ** yxxy
yxyxyx
est une relation d’équivalence.
Ses classes d’équivalence sont les composantes fortement connexes
40
Composantes fortement connexesComposantes fortement connexes
Définition : le graphe réduit selon les composantes fortement connexes est le graphe
),(:,),(et
,) eéquivalencd' classes des (ensemble
relationla par dequotient leest /
où ),,/(
baCbCaCCCC
XX
XG
yxyxyx
Propriété : le graphe réduit est sans circuit.
En effet, s’il avait un circuit axa CCC ,,,, Il y aurait un circuit traversant toutes ces composantes et donc elles
seraient confondues.
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Composantes fortement connexesComposantes fortement connexes
Le nombre de composantes fortement connexes d’un graphe à n sommets
est au moins 1 et au plus n.
Questions :
1) Quelle propriété vérifie un graphe ayant n c.f.c. ?
2) Quelle est la fermeture transitive d’un graphe ayant 1 c.f.c. ?
42
Algorithmes de calcul des c.f.c.Algorithmes de calcul des c.f.c.
Ascendants descendants
Observation : x et y sont dans la même c.f.c.
y est ascendant et descendant de x
)()()(: xdescxascxcfcx Principe des algorithmes
Il existe kn tel que tout sommet de numéro k est classé Deux sommets classés dans la même classe appartiennent à la même c.f.c.
Invariant : tout sommet est classé ou non classé
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Invariant : tout sommet est classé ou non classé
Il existe kn tel que tout sommet de numéro k est classé
Algorithmes de calcul des c.f.c.Algorithmes de calcul des c.f.c.)()()(: xdescxascxcfcx
Deux sommets classés dans la même classe appartiennent à la même c.f.c.
Arrêt : tous les sommets sont classés
Init : aucun sommet n’est classé
Progression : soit x le premier sommet non classé ;
calculer A= ensemble des ascendants de x D= ensemble des descendants de x
dans le sous-graphe engendré par les sommets non classés
Classer dans x.cfc les sommets de A D
44
Et donc x et y seraient aussi dans la même classe
Algorithmes de calcul des c.f.c.Algorithmes de calcul des c.f.c.
Progression : soit x le premier sommet non classé ;
calculer A= ensemble des ascendants de x D= ensemble des descendants de x
dans le sous-graphe engendré par les sommets non classés
Classer dans x.cfc les sommets de A D
x y
Si y est déjà classéz ne peut pas être dans la même classe que x
Sinon on aurait un chemin de z à x
z