Post on 04-Apr-2015
1
LES FONCTIONS
1. Notion de fonction
2. Applications
3. Représentation graphique d’une fonction
4. Sens de variation d’une fonction
5. Parité d’une fonction
6. Etude de fonctions
OBJECTIFS INTERMEDIAIRES
RESSOURCES
• LIVRE PAGES 140 0 173
• http://maths-lp.chez-alice.fr
2
LES FONCTIONS
1. Notion de fonction
2. Applications
3. Représentation graphique d’une fonction
4. Sens de variation d’une fonction
5. Parité d’une fonction
6. Etude de fonctions
OBJECTIFS INTERMEDIAIRES
RESSOURCES
• LIVRE PAGES 140 à 173
• http://maths-lp.chez-alice.fr
3
OBJECTIF INTERMEDIAIRE 1 : Notion de fonction
a) Activité préparatoire
Comment calcule-t-on son poids idéal ?
4
150)- cm) (en (Taille - 100-) cm (en Tailleidéal Poids
D’après LORENTZ, le poids idéal masculin se calcule par la formule :
Calcule ton poids idéal.
sommaire
4
LINGE SALE LAVER LE LINGE LINGE PROPRE
La fonction de la machine à laver est de laver le linge. Pour cela on procède par étapes :
a) Activité préparatoire
• Mettre le linge dans la machine• Mettre la lessive
• Choisir le programme.
• Choisir la température.
• Lancer le programme.
• Sortir le linge propre.
MACHINE A LAVER
OBJECTIF INTERMEDIAIRE 1 : Notion de fonction
5
NOMBRE : x NOMBRE : f(x)
a) Activité préparatoire FONCTION f
On choisit x = 175
f (175) = 68,75
Calcule l’image de 175 par la fonction f .
4
150 --100 -
)(x x
OBJECTIF INTERMEDIAIRE 1 : Notion de fonction
6
NOMBRE : x NOMBRE : f(x)
a) Activité préparatoire
La fonction numérique transforme les nombres. Pour cela, on procède par étapes :
• Soustraire 150 au nombre x• Diviser par 4
• Soustraire 100 et le résultat précédent à x
ANTECEDENT IMAGE
FONCTION f
4
150 --100 -
)(x x
OBJECTIF INTERMEDIAIRE 1 : Notion de fonction
7
b) Notation
Soit f la fonction qui à x associe x2 + x – 1 . On note :
f : x x2 + x - 1
f(x) = x2 + x - 1ou
OBJECTIF INTERMEDIAIRE 1 : Notion de fonction
8
c) Exemple de fonction numérique
Soit f la fonction qui a x associe 3x2 – 5 . On note f : x 3x2 – 5 ou f (x) = 3x2 – 5
• Elever le nombre x au carré.• Multiplier ce résultat par 3.
• Soustraire 5.
On choisit x = 1, calcule f (1)
FONCTION f1 f (1) = - 2
Décompose en français et par étapes la fonction f
ANTECEDENT IMAGE
• Elever 1 au carré :
• Multiplier ce résultat par 3 :
12 = 1
1 × 3 = 3
• Soustraire 5 : 3 – 5 = - 2
9
c) Exemple de fonction numérique
Soit f la fonction qui a x associe 3x2 – 5 . On note f : x 3x2 – 5 ou f (x) = 3x2 – 5
• Elever le nombre x au carré.• Multiplier ce résultat par 3.
• Soustraire 5.
On choisit x = 6, calcule f (6)
FONCTION f6 f (6) = 103
Décompose en français et par étapes la fonction f
ANTECEDENT IMAGE
• Elever 6 au carré :
• Multiplier ce résultat par 3 :
62 = 36
36 × 3 = 108
• Soustraire 5 : 108 – 5 = 103
10
FONCTION fx f (x)
ANTECEDENT IMAGE
Remarque :
L’ensemble des antécédents constitue l’ensemble de définitionde la fonction f.
sommaire
11
OBJECTIF INTERMEDIAIRE 2 :Applications
a) Exercice 1 Décompose en français et par étapes les fonctions suivantes :
f(x) = 5x3 – 2x + 4
g(x) = 3( x2 – 1 )
• Elever le nombre x au cube
• Soustraire deux fois le nombre x.• Ajouter quatre.
• Multiplier ce résultat par cinq.
• Elever le nombre x au carré.
h(x) = )1(2 x
• Soustraire un à ce résultat.• Multiplier ce résultat par trois.
• Ajouter un au nombre x.• Calculer la racine carrée de ce résultat.• Multiplier ce résultat par deux.
sommaire
12
b) Exercice 2 Soit la fonction f définie sur [ - 2 ; 2 ] par :
f(x) = 5x3 – 2x + 4
Compléter le tableau suivant :
x - 2 -1 0 1 2
f(x)
Si x = - 2
• Elever - 2 au cube :• Multiplier ce résultat par 5 :
( - 2 )3 = - 8
- 8 × 5 = - 40
• Soustraire deux fois - 2 : -40 – 2(- 2) = - 36• Ajouter 4 : -36 + 4 = - 32• reporter (-32) dans le tableau.
OBJECTIF INTERMEDIAIRE 2 :Applications
13
b) Exercice 2 Soit la fonction f définie sur [ - 2 ; 2 ] par :
f(x) = 5x3 – 2x + 4
Compléter le tableau suivant :
x - 2 -1 0 1 2
f(x) - 32
Si x = - 2
• Elever (- 2) au cube :
• Multiplier ce résultat par 5 :
( - 2 )3 = - 8
- 8 × 5 = - 40
• Soustraire deux fois (- 2) : -40 – 2(- 2) = - 36• Ajouter 4 : -36 + 4 = - 32
raccourci• reporter (-32) dans le tableau.
OBJECTIF INTERMEDIAIRE 2 :Applications
14
b) Exercice 2 Soit la fonction f définie sur [ - 2 ; 2 ] par :
f(x) = 5x3 – 2x + 4
Compléter le tableau suivant :
x - 2 -1 0 1 2
f(x) - 32
Si x = - 1
• Elever (- 1) au cube :
• Multiplier ce résultat par 5 :
( - 1 )3 = - 1
- 1 × 5 = - 5
• Soustraire deux fois (- 1) : -5 – 2(- 1) = - 3• Ajouter 4 : -3 + 4 = 1• reporter 1 dans le tableau.
OBJECTIF INTERMEDIAIRE 2 :Applications
15
b) Exercice 2 Soit la fonction f définie sur [ - 2 ; 2 ] par :
f(x) = 5x3 – 2x + 4
Compléter le tableau suivant :
x - 2 -1 0 1 2
f(x) - 32 1
Si x = - 1
• Elever (- 1) au cube :
• Multiplier ce résultat par 5 :
( - 1 )3 = - 1
- 1 × 5 = - 5
• Soustraire deux fois (- 1) : -5 – 2(- 1) = - 3• Ajouter 4 : -3 + 4 = 1
raccourci• reporter 1 dans le tableau.
OBJECTIF INTERMEDIAIRE 2 :Applications
16
b) Exercice 2 Soit la fonction f définie sur [ - 2 ; 2 ] par :
f(x) = 5x3 – 2x + 4
Compléter le tableau suivant :
x - 2 -1 0 1 2
f(x) - 32 1
Si x = 0
• Elever 0 au cube :
• Multiplier ce résultat par 5 :
( 0 )3 = 0
0 × 5 = 0
• Soustraire deux fois 0 : 0 – 2(0) = 0• Ajouter 4 : 0 + 4 = 4• reporter 4 dans le tableau.
OBJECTIF INTERMEDIAIRE 2 :Applications
17
b) Exercice 2 Soit la fonction f définie sur [ - 2 ; 2 ] par :
f(x) = 5x3 – 2x + 4
Compléter le tableau suivant :
x - 2 -1 0 1 2
f(x) - 32 1 4
Si x = 0
• Elever 0 au cube :
• Multiplier ce résultat par 5 :
( 0 )3 = 0
0 × 5 = 0
• Soustraire deux fois 0 : 0 – 2(0) = 0• Ajouter 4 : 0 + 4 = 4
raccourci• reporter 4 dans le tableau.
OBJECTIF INTERMEDIAIRE 2 :Applications
18
b) Exercice 2 Soit la fonction f définie sur [ - 2 ; 2 ] par :
f(x) = 5x3 – 2x + 4
Compléter le tableau suivant :
x - 2 -1 0 1 2
f(x) - 32 1 4
Si x = 1
• Elever 1 au cube :
• Multiplier ce résultat par 5 :
( 1 )3 = 1
1 × 5 = 5
• Soustraire deux fois 1 : 5 – 2(1) = 3• Ajouter 4 : 3 + 4 = 7• reporter 7 dans le tableau.
OBJECTIF INTERMEDIAIRE 2 :Applications
19
b) Exercice 2 Soit la fonction f définie sur [ - 2 ; 2 ] par :
f(x) = 5x3 – 2x + 4
Compléter le tableau suivant :
x - 2 -1 0 1 2
f(x) - 32 1 4 7
Si x = 1
• Elever 1 au cube :
• Multiplier ce résultat par 5 :
( 1 )3 = 1
1 × 5 = 5
• Soustraire deux fois 1 : 5 – 2(1) = 3• Ajouter 4 : 3 + 4 = 7
raccourci• reporter 7 dans le tableau.
OBJECTIF INTERMEDIAIRE 2 :Applications
20
b) Exercice 2Soit la fonction f définie sur [ - 2 ; 2 ] par :
f(x) = 5x3 – 2x + 4
Compléter le tableau suivant :
x - 2 -1 0 1 2
f(x) - 32 1 4 7
Si x = 2
• Elever 2 au cube :
• Multiplier ce résultat par 5 :
( 2 )3 = 8
8 × 5 = 40
• Soustraire deux fois 2 : 40 – 2(2) = 36• Ajouter 4 : 36 + 4 = 40• reporter 40 dans le tableau.
OBJECTIF INTERMEDIAIRE 2 :Applications
21
b) Exercice 2 Soit la fonction f définie sur [ - 2 ; 2 ] par :
f(x) = 5x3 – 2x + 4
Compléter le tableau suivant :
x - 2 -1 0 1 2
f(x) - 32 1 4 7 40
Si x = 2
• Elever 2 au cube :
• Multiplier ce résultat par 5 :
( 2 )3 = 8
8 × 5 = 40
• Soustraire deux fois 2 : 40 – 2(2) = 36• Ajouter 4 : 36 + 4 = 40
raccourci• reporter 40 dans le tableau.
OBJECTIF INTERMEDIAIRE 2 :Applications
22
b) Exercice 2 Soit la fonction f définie sur [ - 2 ; 2 ] par :
f(x) = 5x3 – 2x + 4
Compléter le tableau suivant :
x - 2 -1 0 1 2
f(x) - 32 1 4 7 40
sommaire
OBJECTIF INTERMEDIAIRE 2 :Applications
23
OBJECTIF INTERMEDIAIRE 3 :Représentation graphique d’une fonction
Soit la fonction f définie sur [ 160 ; 180 ] par :
a) Compléter le tableau suivant
x 160 165 170 175 180
f(x)
4
)150(100)(
xxxf
Dans un repère orthogonal, les points de coordonnées ( x ; f(x) )
avec x appartenant à l’ensemble de définition constituent la représentation graphique de la fonction.
sommaire
24
a) Compléter le tableau suivant
x 160 165 170 175 180
f(x) 57,5 61,25 65 68,75 72,5
Premier point de coordonnées (160 ; 57,5 )
Dans un repère orthogonal les points de coordonnées ( x ; f(x) )
avec x appartenant à l’ensemble de définition constituent la représentation graphique de la fonction.
4
)150(100)(
xxxfSoit la fonction f définie sur [ 160 ; 180 ] par :
OBJECTIF INTERMEDIAIRE 3 :Représentation graphique d’une fonction
25
a) Compléter le tableau suivant
deuxième point de coordonnées (165 ; 61,25 )
Dans un repère orthogonal les points de coordonnées ( x ; f(x) )
avec x appartenant à l’ensemble de définition constituent la représentation graphique de la fonction.
x 160 165 170 175 180
f(x) 57,5 61,25 65 68,75 72,5
4
)150(100)(
xxxfSoit la fonction f définie sur [ 160 ; 180 ] par :
OBJECTIF INTERMEDIAIRE 3 :Représentation graphique d’une fonction
26
b) Placer tous les points ainsi obtenus dans un repère
50
55
60
65
70
75
155 160 165 170 175 180 185
27
b) Placer tous les points ainsi obtenus dans un repère
50
55
60
65
70
75
155 160 165 170 175 180 185
28
50
55
60
65
70
75
155 160 165 170 175 180 185
b) Placer tous les points ainsi obtenus dans un repère
On constate qu’à chaque antécédent x correspond une image unique f(x).
29
A chaque antécédent x de l’ensemble de définition correspond une image unique f(x).
c) A retenir
A partir des courbes suivantes, déterminer celles qui représentent une fonction numérique.
30
x
y
x
y
x
y
x
y
Graphe d’une fonction
Graphe d’une fonction
O
O
O
O
sommaire
31
OBJECTIF INTERMEDIAIRE 4 : Sens de variation d’une fonction
Soit la représentation graphique d’une fonction f ci-dessous :
x
y
-2-6 5 8
O
sommaire
32
OBJECTIF INTERMEDIAIRE 4 : Sens de variation d’une fonction
Soit la représentation graphique d’une fonction f ci-dessous :
x
y
-2-6 5 8
O
sommaire
33
OBJECTIF INTERMEDIAIRE 4 : Sens de variation d’une fonction
Soit la représentation graphique d’une fonction f ci-dessous :
La fonction f est
décroissante La fonction f est
croissante
La fonction f est
décroissante
x
y
-2-6 5 8
O
sommaire
34
OBJECTIF INTERMEDIAIRE 4 : Sens de variation d’une fonction
Soit la représentation graphique d’une fonction f ci-dessous :
La fonction f est
décroissante La fonction f est
croissante
La fonction f est
décroissante
x
y
-2-6 5 8
O
sommaire
35
OBJECTIF INTERMEDIAIRE 5 : Tableau de variation
sommaire
x
y
-2
-6 5 8
O
-4
-3
4
8
36sommaire
x
f
Créer un tableau à deux lignes et deux colonnes.
Placer x et f comme indiqué ci-dessous :
Placer les valeurs de l’intervalle de définition comme indiqué ci-dessous :
- 6 8
OBJECTIF INTERMEDIAIRE 5 : Tableau de variation
37sommaire
x
y
-2
-6 5 8
O
-4
-3
4
8
La fonction f est décroissante de -6 à -2
Repérer le premier intervalle de variation.
OBJECTIF INTERMEDIAIRE 5 : Tableau de variation
38
5. Tableau de variation
sommaire
x
f
- 6 8- 2
39sommaire
x
y
-2
-6 5 8
O
-4
-3
4
8
Repérer les valeurs de la fonctioncorrespondants à cet intervalle
OBJECTIF INTERMEDIAIRE 5 : Tableau de variation
40sommaire
x
f
- 6 8- 2
- 4
8
OBJECTIF INTERMEDIAIRE 5 : Tableau de variation
41sommaire
x
y
-2
-6 5 8
O
-4
-3
4
8
La fonction f est croissante de -2 à 5
Repérer l’intervalle suivant
OBJECTIF INTERMEDIAIRE 5 : Tableau de variation
42sommaire
x
f
- 6 8- 2 5
- 4
8
OBJECTIF INTERMEDIAIRE 5 : Tableau de variation
43sommaire
x
y
-2
-6 5 8
O
-4
-3
4
8
Repérer la valeur de la fonctioncorrespondant à cet intervalle
OBJECTIF INTERMEDIAIRE 5 : Tableau de variation
44sommaire
x
f
- 6 8- 2
- 4
8
5
4
OBJECTIF INTERMEDIAIRE 5 : Tableau de variation
45sommaire
x
y
-2
-6 5 8
O
-4
-3
4
8
La fonction f est décroissante de 5 à 8
Repérer l’intervalle suivant
OBJECTIF INTERMEDIAIRE 5 : Tableau de variation
46sommaire
x
f
- 6 8- 2 5
- 4
8 4
OBJECTIF INTERMEDIAIRE 5 : Tableau de variation
47sommaire
x
y
-2
-6 5 8
O
-4
-3
4
8
Repérer la dernière valeur de la fonctioncorrespondant à cet intervalle
OBJECTIF INTERMEDIAIRE 5 : Tableau de variation
48sommaire
x
f
- 6 8- 2
- 4
8
5
4
- 3
OBJECTIF INTERMEDIAIRE 5 : Tableau de variation
49
OBJECTIF INTERMEDIAIRE 6 : Parité de fonction
sommaire
50
x
y
x
y
O O
OBJECTIF INTERMEDIAIRE 6 : Parité de fonction
51
x
y
x
y
Les représentations graphiques des fonctions ci-dessus admettent l’axe des ordonnées (Oy) comme axe de symétrie.
On dit que ces fonctions sont paires.
O O
OBJECTIF INTERMEDIAIRE 6 : Parité de fonction
52
x
y
x
y
OO
OBJECTIF INTERMEDIAIRE 6 : Parité de fonction
53
x
y
x
y
Les représentations graphiques des fonctions ci-dessus admettent le point origine O(0;0) comme centre de symetrie.
On dit que ces fonctions sont impaires.
OO
OBJECTIF INTERMEDIAIRE 6 : Parité de fonction
54
Les représentations graphiques des fonctions ci-dessus ne possèdent aucunes symétries par rapport à l’origine O(0;0) ou par rapport à l’axe des ordonnées.
On dit que ces fonctions sont ni paires ni impaires.
OOx
y
x
y
sommaire
OBJECTIF INTERMEDIAIRE 6 : Parité de fonction
55
1) Exemple 1
Soit la fonction f définie sur [ - 3 ; 3 ] par : xx
xf 3
)(3
x - 3 -2 -1 0 1 2 3
f(x)
a) Compléter le tableau de valeurs :
• Elever le nombre x au cube.
• Soustraire le nombre x.
• Diviser le résultat par 3.
OBJECTIF INTERMEDIAIRE 7 : Etude de fonction
56
1) Exemple 1
Soit la fonction f définie sur [ - 3 ; 3 ] par : xx
xf 3
)(3
a) Compléter le tableau de valeurs
x - 3 -2 -1 0 1 2 3
f(x) - 6 - 0,7 0,7 0 - 0,7 0,7 6
b) Tracer la courbe représentative de la fonction f
• Elever le nombre x au cube.
• Soustraire le nombre x.
• Diviser le résultat par 3.
OBJECTIF INTERMEDIAIRE 7 : Etude de fonction
57
-6
-4
-2
0
2
4
6
0 1 2 3-1-2-3x
y
x
y
58La fonction f est
croissante La fonction f est
décroissante La fonction f est
croissante
-6
-4
-2
0
2
4
6
0 1 2 3-1-2-3x
y
59
c) Déterminer le sens de variation de la fonction f
Sur [- 3 ; - 1 ], la fonction est croissante.
Sur [- 1 ; 1 ], la fonction est décroissante.
d) Compléter le tableau de variation de la fonction f
x
f
- 3 3- 1
- 0,7
Sur [ 1 ; 3 ], la fonction est croissante.
1
0,7
- 6
6
60
-6
-4
-2
0
2
4
6
0 1 2 3-1-2-3
e) Déterminer la parité de la fonction f
Sur [- 3 ; 3 ], la courbe représentative de la fonction admet une symétrie de centre O ( 0 ; 0 ), origine du repère .
La fonction f est impaire sur [- 3 ; 3 ]. sommaire
x
y
61
2) Exemple 2
Soit la fonction f définie sur [ - 3 ; 3 ] par : 5)( 2 xxf
a) Compléter le tableau de valeurs
x - 3 -2 -1 0 1 2 3
f(x)
• Elever le nombre x au carré.
• Soustraire 5.
sommaire
OBJECTIF INTERMEDIAIRE 7 : Etude de fonction
62
7. Etude de fonction
2) Exemple 2
Soit la fonction f définie sur [ - 3 ; 3 ] par : 5)( 2 xxf
x - 3 -2 -1 0 1 2 3
f(x) 4 - 1 - 4 - 5 - 4 -1 4
a) Compléter le tableau de valeurs
b) Tracer la courbe représentative de la fonction f
• Elever le nombre x au carré.
• Soustraire 5.
63
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
-3 -2 -1 1 2 3x
y
64
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
-3 -2 -1 1 2 3x
y
65
c) Déterminer le sens de variation de la fonction f
La fonction f est décroissante
La fonction f est croissante
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
-3 -2 -1 1 2 3
66
c) Déterminer le sens de variation de la fonction f
Sur [- 3 ; 0 ] la fonction est décroissante.
Sur [ 0 ; 3 ] la fonction est croissante.
d) Compléter le tableau de variation de la fonction f :
x
f
- 3 30
4 4
- 5
67
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
-3 -2 -1 1 2 3
e) Déterminer la parité de la fonction f
Sur [- 3 ; 3 ], la courbe représentative de la fonction f admet une symétrie par rapport à l’axe des ordonnées (Oy).
La fonction f est paire sur [- 3 ; 3 ]. sommaire
68