Post on 29-Jun-2022
1) Représentation par équation différentielle1) Représentation par équation différentielle
2) Méthode de résolution par Laplace2) Méthode de résolution par Laplace
3) Comparaison méthodes math / SII3) Comparaison méthodes math / SII
4) Définitions4) Définitions
2/24
5) Propriétés5) Propriétés
6) Transformées de Laplace des fonctions courantes6) Transformées de Laplace des fonctions courantes
7) Tableau récapitulatif7) Tableau récapitulatif
4) Définitions4) Définitions
Un système linéaire, continu, invariant, mono variable peut être décrit par une
1) Représentation générale d’un SLCI par une équation différentielle1) Représentation générale d’un SLCI par une équation différentielle
Systèmee(t) s(t)
Consigne d’entrée Variable de sortie
=×+×+×++× )()()(
......)(
012
2
2 tsadt
tdsa
dt
tsda
dt
tsda
n
n
n
équation différentielle linéaire (à coefficients constants) de la forme suivante :
3/24
0122 dtdtdtnn
)()()(
......)(
012
2
2 tebdt
tdeb
dt
tedb
dt
tedb
m
m
m ×+×+×++×
�
a0…..an et b0…..bm sont des constantes
n est l’ordre du système
m < n
Equation Equation différentielledifférentielle
Méthode de Laplace
Comparaison math / SII
DéfinitionsFonctions courantes
PropriétésTableau
récapitulatif
Cette transformation va nous faire passer d’une équation différentielle
=×+×+×++× )()()(
......)(
012
2
2 tsadt
tdsa
dt
tsda
dt
tsda
n
n
n )()()(
......)(
012
2
2 tebdt
tdeb
dt
tedb
dt
tedb
m
m
m ×+×+×++×
L’outil mathématique qui va nous permettre la résolution de ces équations
∑∑mn
2) Méthode de résolution de l’équation différentielle2) Méthode de résolution de l’équation différentielle
différentielles (ordre maximal de 2) est la transformée de Laplace.
à une équation polynomiale, plus facile à manipuler :
4/24
∑∑==
××=××m
j
jj
n
i
ii pb)p(Epa)p(S
00
Dans le domaine de Laplace, la variable est notée
Dans le domaine temporel, la variable est le temps, noté
Equation différentielle
Méthode Méthode de Laplacede Laplace
Comparaison math / SII
DéfinitionsFonctions courantes
PropriétésTableau
récapitulatif
pp(ou dans les pays anglo-saxons) ss
tt
solution particulière(composante permanente)
solution générale(composante transitoire)
équation sanssecond membre
équation avecsecond membre
équationdifférentielle
avec second membre
solution finale� « math »
3) Comparaison méthodes de résolution math / SII3) Comparaison méthodes de résolution math / SII 5/24
décomposition en “ formes connues ”
manipulations algébriques
transformées inversesde Laplace
équation algébrique
transformées de Laplace
conditions initiales
équationdifférentielle
avec second membre
solution finale
� « SII »
Equation différentielle
Méthode de Laplace
Comparaison Comparaison math / SIImath / SII
DéfinitionsFonctions courantes
PropriétésTableau
récapitulatif
4) Définitions4) Définitions
On dit qu’une fonction du temps f(t) est «causalecausale» si elle vérifie :
f(t) = 0 pour t < 0
On appellera la fonction d’ HeavisideHeaviside
la fonction u(t)u(t) telle que :
(ou existence ou identité ou unitaire ou échelon unité)
6/24
pour t < 0 u(t) = 0
pour t >0 u(t) = 1
quelle que soit la fonction f(t): f(t)xu(t) est obligatoirement causale.
Equation différentielle
Méthode de Laplace
Comparaison math / SII
Fonctions courantes
PropriétésTableau
récapitulatifDéfinitionsDéfinitions
On définit la transformée de Laplace d’une fonction causale f(t):
où p est une variable complexe
=)p(Ff(t) L
7/24
dt)t(fe tp ××∫∞+ −
0
On notera la transformée de Laplace de la fonction temporelle f(t) :
Equation différentielle
Méthode de Laplace
Comparaison math / SII
Fonctions courantes
PropriétésTableau
récapitulatifDéfinitionsDéfinitions
F(p) = L [ f(t)]
5) Propriétés5) Propriétés
Existence et unicité :Existence et unicité :Soit f(t) une fonction du temps.
Si f(t) est continue par morceaux pour [ [∞+∈ ;0t et si f(t)e t
t×−
∞+→lim est finie
alors f(t) admet une transformée de Laplace unique F(p) et inversement
Linéarité :Linéarité :
8/24
2),( R∈∀ ba L [ a x f1(t) + b x f2(t) ] = a x L [ f1(t) ] + b x L [ f2(t) ]
Equation différentielle
Méthode de Laplace
Comparaison math / SII
DéfinitionsFonctions courantes
Tableau récapitulatif
PropriétésPropriétés
Produit de deux fonctions :Produit de deux fonctions :
L [ f1(t) x f2(t) ) ] = L [ f1(t) ] x L [ f2(t) ]
Dérivation :Dérivation :
Faisons une intégration par partie :
L [ f ’(t) ] = dtt'fe tp ××∫∞+ − )(
0
u’(t) v(t)
[ ] dt)t('v)t(u)t(v)t(udt)t(v)t('ub
a
ba
b
a××−×=×× ∫∫
Si u et v sont deux fonctions dérivables sur un intervalle I, et si leur dérivée u’ et v’ sont continues sur I alors quels que soient a et b éléments de I :
9/24
[ ] dttfetfe tptp ××−× ∫∞+ −∞+− )(')()(
00
u’(t) v(t)
Equation différentielle
Méthode de Laplace
Comparaison math / SII
DéfinitionsFonctions courantes
Tableau récapitulatif
PropriétésPropriétés
L [ f ’(t) ] = dt)t('fe tp ××∫∞+ −
0
=
v(t) u(t) u(t)v’(t)
= ( ) dt)t(f)ep()(f tp ×××−−− ∫∞+ −
000
)0()(0
fdttfep tp −×××∫∞+ −
10/24
=
[ ] dttfetfe tptp ××−× ∫∞+ −∞+− )(')()(
00L [ f ’(t) ] =
L [ f(t)]
Dériver dans le domaine temporel « revient à » multiplier par p dans le domaine de Laplace (aux conditions initiales près).
L [ f ’(t) ] = p x L [ f(t)] – f(t=0)
Equation différentielle
Méthode de Laplace
Comparaison math / SII
DéfinitionsFonctions courantes
Tableau récapitulatif
PropriétésPropriétés
L [ f(t)]
Dérivation double :Dérivation double :
L [ f ’’(t) ] = p x L [ f ’(t) ] – f’(t=0)
p x { p x L [ f(t)] – f(t=0)} – f’(t=0) =
11/24
L [ f ’’(t) ] = p2 x L [ f(t)] – p x f(t=0) – f ’(t=0)
Equation différentielle
Méthode de Laplace
Comparaison math / SII
DéfinitionsFonctions courantes
Tableau récapitulatif
PropriétésPropriétés
Intégration :Intégration :
Notons g(t) la fonction temporelle telle que : g’(t) = f(t)
=××∫∞+ − dt)t(ge tp
0
L [ g(t)] =
dttgep
tgep
tptp ××
×−−
×
×− ∫
∞+ −∞+
− )('1
)(1
00
[ ] dt)t('v)t(u)t(v)t(udt)t(v)t('ub
a
ba
b
a××−×=×× ∫∫
u’(t) v(t)
∞+11
12/24
u(t) v(t) u(t) v’(t)
= dttgep
gp
tp ×××+
××
−− ∫
∞+ − )('1
)0(11
00
L [ g(t)] = x L [ f(t)] + x g(t=0)p
1
p
1
Intégrer dans le domaine temporel « revient à » diviser par p dans le domaine de Laplace (aux conditions initiales près).
Equation différentielle
Méthode de Laplace
Comparaison math / SII
DéfinitionsFonctions courantes
Tableau récapitulatif
PropriétésPropriétés
Théorème de la valeur initiale :Théorème de la valeur initiale :
)(lim)(lim0
pFptfpt
×=∞+→→
13/24
Théorème de la valeur finale :Théorème de la valeur finale :
Equation différentielle
Méthode de Laplace
Comparaison math / SII
DéfinitionsFonctions courantes
Tableau récapitulatif
PropriétésPropriétés
0 pt ∞+→→
)(lim)(lim0
pFptfpt
×=→∞+→
t
f(t)Signal initial
g(t)
T0
Théorème du retard :Théorème du retard :
causales f(t) et g(t)
g(t) est « retardée » d’une durée T0
g(t) = f(t-T0 )Signal retardé
Soient deux fonctions temporelles
14/24
L [ g(t)] = L [ f(t-T0)]
dtTtfe tp ×−×∫∞+ − )( 00
=
Equation différentielle
Méthode de Laplace
Comparaison math / SII
DéfinitionsFonctions courantes
Tableau récapitulatif
PropriétésPropriétés
On suppose connaître la transformée de Laplace de f(t) soit : L [ f(t)]
t
f(t)Signal initial
g(t)
T0
Signal retardé
Posons : x = t - T0 t = x + T0
dt = dx
L [ g(t)] = dtTtfe tp ×−×∫∞+ − )( 00
15/24
L [ g(t)] = =××∫∞+
−+− dxxfe
T
Txp )(0
0)( dx)x(feeT
xppT ×××∫∞+
−−×−
0
0
××+××× ∫∫
∞+ −−
−×− dxxfedxxfee xp
T
xppT )()(0
0
0
0=
Equation différentielle
Méthode de Laplace
Comparaison math / SII
DéfinitionsFonctions courantes
Tableau récapitulatif
PropriétésPropriétés
L [ g(t)] = x L [ f(t)] pTe ×− 0
6) Transformées de Laplace des fonctions courantes6) Transformées de Laplace des fonctions courantes
Echelon :Echelon :
L [ f(t)] = =××∫∞+ − dtAe tp
0
soit un échelon d’amplitude A f(t) = A pour t >0
∞+−
×−×
0
1 tpep
A
Amplitude du signal
f(t)A
16/24
Nota : pour l’échelon unitaire (A = 1)
On parlera de réponse indicielle.
t
Equation différentielle
Méthode de Laplace
Comparaison math / SII
DéfinitionsFonctions Fonctions courantescourantes
PropriétésTableau
récapitulatif
L [ f(t)] =p
A
L [ f(t)] =p
1
Créneau :Créneau : soit un créneau d’amplitude A et de durée T1
f(t) = A pour 0 < t < T1
t
Amplitude du signal
f(t)
T1
AL [ f(t)] = dttfe tp ××∫
∞+ − )(0
dtedtAeT
tpT tp ××+×× ∫∫∞+ −− 0
1
1
0=
T
17/24
= =
××− ×−
1
0
1T
tp Aep
−−××− ×−
p
AAe
pTp 1
1
Equation différentielle
Méthode de Laplace
Comparaison math / SII
DéfinitionsFonctions Fonctions courantescourantes
PropriétésTableau
récapitulatif
L [ f(t)] = ( )11 Tpep
A −−×
t
Amplitude du signal
f(t)
T1
A
=
Graphiquement :
t
Amplitude du signal
g(t)A -
L [ f(t)] =p
A1Tpe
p
A −×
18/24
t
Amplitude du signal
h(t)
T1
A
L [ f(t)] =p
ep
×
Equation différentielle
Méthode de Laplace
Comparaison math / SII
DéfinitionsFonctions Fonctions courantescourantes
PropriétésTableau
récapitulatif
L [ f(t)] = ( )11 Tpep
A −−×
Impulsion de Dirac :Impulsion de Dirac : amplitude infinie pour une durée infiniment courte
t
Amplitude du signal
f(t)
représente un choc mécanique, un flash…
Modélisons par un créneau
T1 t
Amplitude du signal
f(t)
T2
1T2
Transformée du créneauDéveloppement limité de l’exponentielle
durée infiniment brève :
(au voisinage de 0)
1T2
-p.T2
d’amplitude 1T2
et d’une
19/24
L [ f(t)] =
L [ f(t)] = ( )21 Tpep
A −−×
( ) ≈−××
−
→2
2
11
lim20
Tp
Te
Tp
...321
132
++++=!!!
xxxex
Transformée du créneau
=
−+−×→ !1
111
lim 2
202
Tp
TpT
Equation différentielle
Méthode de Laplace
Comparaison math / SII
DéfinitionsFonctions Fonctions courantescourantes
PropriétésTableau
récapitulatif
(au voisinage de 0)
1
L [ f(t)] = 1
Exponentielle :Exponentielle : taetf −=)(
L [ f(t)] = =××∫∞+ − dttfe tp )(
0dtee tatp ×× −∞+ −
∫0dte tap ×∫
∞+ +−0
)(=
=
×
+−
∞++−1 t)ap(e
ap( )10
1 −×+
−ap
=
20/24
+ 0ap +ap
Equation différentielle
Méthode de Laplace
Comparaison math / SII
DéfinitionsFonctions Fonctions courantescourantes
PropriétésTableau
récapitulatif
L [ f(t)] = ap+
1
Sinus :Sinus :
)(sin)( ttf ω= L [ f(t)] = =××∫∞+ − dt)t(fe tp
0dtte tp ××∫
∞+ − )(sin0
ω
[ ] dt)t('v)t(u)t(v)t(udt)t(v)t('ub
a
ba
b
a××−×=×× ∫∫
Intégrons par partie :
L [ f(t)] = ( ) dteptet tptp ×−× ×−−
××− −∞+
∞+−
∫ )cos(1
)cos(1 ωω
d’où :
21/24v(t) u’(t)
L [ f(t)] = ( ) dteptet tptp ×−×
×−−
××− −∞+−∫0
0
)cos(1
)cos(1 ω
ωω
ω
= ( ) dttep tp ×××−×−×− ∫
∞+ −0
)cos(1101 ω
ωω
= dttep tp ×××− ∫
∞+ −0
)cos(1 ω
ωωEquation
différentielleMéthode
de LaplaceComparaison
math / SIIDéfinitions
Fonctions Fonctions courantescourantes
PropriétésTableau
récapitulatif
u(t) v(t) u(t) v’(t)
)(sin)( ttf ω=
Intégrons à nouveau par partie :
L [ f(t)] = ( )
×−×
×+−
××+×− −∞+∞+
−∫ dteptet
p tptp
00
)sin(1
)sin(11 ω
ωω
ωωω
22/24
[ ] dt)t('v)t(u)t(v)t(udt)t(v)t('ub
a
ba
b
a××−×=×× ∫∫
L [ f(t)] = dttep tp ×××− ∫
∞+ −0
)cos(1 ω
ωωu’(t)v(t)
u(t) v(t) u(t) v’(t)
= ( )
×××+×−×− ∫
∞+ − dt)tsin(epp tp
0100
1 ωωωω
×−2
21
ωωpL [ f(t)]
L [ f(t)] ωω1
12
2
=
+× p
Equation différentielle
Méthode de Laplace
Comparaison math / SII
DéfinitionsFonctions Fonctions courantescourantes
PropriétésTableau
récapitulatif
=L [ f(t)]
L [ f(t)] = 22 ωω+p
u(t) v(t) u(t) v’(t)
7) Tableau récapitulatif (fonctions causales)7) Tableau récapitulatif (fonctions causales)
L [ f(t)] = 22 ωω+p
L [ f(t)] = 1Dirac )(sin tω
L [ f(t)] = 2p
BL [ f(t)] = 22)( ω
ω++ap
Bxt )(sin te ta ω×−
L [ f(t)] =p
AL [ f(t)] = 22 ω+p
pA )(cos tω
23/24
L [ f(t)] = 1+np
n!nt
L [ f(t)] = 2pL [ f(t)] = 22)( ω++ap
Bxt )(sin te ω×
L [ f(t)] = ap+
1L [ f(t)] = 22)( ω++
+ap
aptae− )(cos te ta ω×−
L [ f(t)] = )1(
1
pp τ+τt
e−
−1
Equation différentielle
Méthode de Laplace
Comparaison math / SII
DéfinitionsFonctions courantes
PropriétésTableau Tableau
récapitulatifrécapitulatif
FINFINFINFIN