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Analyse des asservissements linéaires échantillonnées : cours donné par: Prof ABDELAZIZ M
Analyse des asservissements linéaires échantillonnées : cours donné par: Prof ABDELAZIZ M
Chapitre 2 : Analyse des asservissements
linéaires échantillonnées
2.1. Étude de la stabilité
Exemple
SoitaZ
ZZG
)( la fonction de transfert d’un système discret, aZ 1
est un pôle
simple. La réponse impulsionnelle est donnée par :
kaaZ
ZTZkg
1)(
Tracé de la réponse impulsionnelle pour 15.1;1;5.0a
Définition : Un système discret linéaire est stable si tous les pôles de la fonction de
transfert se trouvent à l’intérieur du cercle unité du plan Z .
Relation entre les pôle d’un système continu et discret
Soit jP 1un pôle du système continu, alors le pôle du système discret est
donnée par jTTjTTPeeeeZ )(
11 et donc le système continu est stable ssi 0
et donc 11 TeZ ,
c-a-d
10)( 11 ZPRe
Relation de stabilité dans le cas continu et discret
1 2 3 4 5 6 7 8 9 100
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
Instabilité a>1
15.115.0a
Limite de stabilité a=1
Stabilité a<1
Instable
stable Re(Z)
Im(Z)
+1 -1 Re(p)
Im(p)
Instable
stable
0
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2.2. Critères de stabilité
2.2.1 Critères algébriques
a) Critère de Jury
Soit )(
)()(
ZB
ZAZG , la fonction de transfert d’un système discret, ce système est stable
si tous les pôles du polynôme )(ZB se trouvent à l’intérieur du cercle unité, il est
instable s’il y’a au moins un pôle à l’extérieur du cercle unité. Le critère de Jury
permet de savoir la position des pôles par rapport au cercle unité sans avoir à les
calculer.
Soit
0 ;....)( 0
1
1
2
2
1
1
n
n
n
n
n
n
n aaZaZaZaZaZB
Conditions nécessaires
0)1()1(
0)1(
B
B
n
Conditions suffisantes
colonne 0Z 1Z 2Z . kZ . . 1nZ nZ 1
0a 1a
2a . ka .
1na na
2 na 1na 2na .
kna . 1a 0a
3 0b
1b 2b . . .
1nb 0
4 1nb 2nb . . .
0b 0
5 0c
1c . . . 2nc 0 0
6 2nc 3nc . . .
0c 0 0
. . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . .
2n-5 0s
1s 2s 3s 0 0 0 0 0 0
2n-4 3s 2s 1s 0s 0 0 0 0 0 0
2n-3 0r
1r 2r 0 0 0 0 0 0 0
Avec
tdéterminan ;0
kn
kn
kaa
aab
kn
kn
kbb
bbc
1
10
kn
kn
kcc
ccd
2
20
bcaddb
catdéterminan ;
Les conditions suffisantes de stabilité sont au nombre de (n-1) et sont données
par :
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20
20
10
0
.
rr
cc
bb
aaa
n
n
nn
Exemple 1. n=1
0 ;)( 101 aaZaZB
CN
)2( 0)1()1(
)1( 0)1(
01
01
aaB
aaB
CS :n-1=0 CS
(1) et (2) implique que le système est stable pour
0 ; 1101 aaaa
Exemple 2. n=2
0 ;)( 201
2
2 aaZaZaZB
CN
)2( 0)1()1(
)1( 0)1(
012
2
012
aaaB
aaaB
CS :n-1=1 CS
)3( 20 aa
(1),(2) et (3) implique que le système est stable pour
0 ;
0
0
220
012
012
aaa
aaa
aaa
Exemple 3. n=3
0 ;)( 301
2
2
3
3 aaZaZaZaZB
CN
)2( 0)1()1(
)1( 0)1(
0123
3
0123
aaaaB
aaaaB
CS :n-1=2 CS
)4(
)3(
20
330
bb
aaa - ; 1320
23
10
2
2
3
2
0
03
30
0 aaaaaa
aabaa
aa
aab
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(1),(2),(3) et (4) implique que le système est stable pour
20
330
0123
0123
0 ;
0
0
bb
aaa
aaaa
aaaa
b) Critère de Routh Hurwitz
Rappelons que ce critère permet de savoir si tous les pôles d’un polynôme sont à
partie réelle négative. Lorsqu’il s’agit d’une transmittance en Z, l’application de ce
critère n’est pas possible, on utilise alors une transformation bilinéaire (Transformée
en W) qui fait correspondre le cercle unité dans le plan Z, le demi plan gauche de W.
Soit
0
1
1
2
2
1
1 ....)( aZaZaZaZaZB n
n
n
n
n
n
La transformation W est donnée par :
1
1
Z
ZW
Et donc
W
WZWWZZZW
1
11)1(1)1(
L’équivalence des positions de Z et W
Soit
)(1)(
)(1)(
1)()(
1)()(
1
1
1
1
sinjcos
sinjcos
jsincos
jsincos
e
e
Z
ZWeZ
j
jj
22)(1)(
1)()())((1)()()(1)(1)(
)(1)()(1)(
)(1)()(1)(
sincos
cossinsincosjsinsincoscos
sinjcossinjcos
sinjcossinjcos
22
222222
)(1)(
)()()()()()()(1)(
sincos
sincossinsinsincosjsincos
)()(
)(21
1)(2
)(2122
2
2
2
sincos
sinj
cos
sinj
finalement
0)(1 WRe
c.-à-d., un système discret est stable (pôles à l’intérieur du cercle unité) ssi le système
continu (fictif) obtenu par la transformée en W est stable (pôles à partie réelle
négative).
Pour 1 , alors
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)2/tan(
)2/(
)2/(
)2/(2
)2/()2/(2
)(22
)(2
)()(1
)(2222
j
cos
jsin
cos
cosjsin
cos
jsin
sincos
jsinW
Donc
)2/tan(ou ;)2/(tan;1; TvjvTjWeZTeZ Tjj
v : fréquence fictive
c.-à-d
vT
Pour une fréquence réelle variant entre T/ et T/ , la fréquence fictive v varie
entre et
Lorsqu’on introduit la relation W
WZ
1
1dans l’équation caractéristique
0...)( 2
2
1
10 n
nZaZaZaaZB
On obtient
.01
1...
1
1
1
1)(
2
2101
1
n
nw
Wz W
Wa
W
Wa
W
WaaZB (1)
c.-à-d
0...)( 2
2
1
10 n
nWWWWB (2)
Où les coefficients n ,..., 10 dépendent des coefficients naaa ,..., 10 . Sur l’équation
(2), on peut maintenant appliquer le critère de Routh Hurwitz. Lorsque ce critère
montre que toutes les racines se trouvent dans le demi plan complexe gauche dans le
plan W, on est sur que toutes les racines de l’équation caractéristique (1) se trouvent
à l’intérieur d’un cercle unité, on peut alors utiliser le critère de Routh pour la
transmittance en W.
Exemple 1.
04.24.1.2.0
3.01.11)6.02()3.01.11()1(3.0)1((1.1)1()(
03.01
11.1
1
1)(03.01.1)(
2
2222
2
1
12
WW
WWWWWWB
W
W
W
WZBZZZB
w
Wz
CN : tous les coefficients sont positifs
CS : Table de Routh
W2 0.2 2.4
W1 1.4 0
W0 0 0
Tous les coefficients de la première colonne sont positifs et donc le système discret
est stable.
2.2.2 Critères géométriques
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a) Critère simplifié de Nyquist
Un système asservi échantillonné linéaire est stable si le lieu de la réponse
harmonique en boucle ouverte jTj ezezZBZB
)()( présente le point critique
)0,1( à sa gauche, lorsque vari de 0 à , c.-à-d. vari de 0 à T/ .
Le lieu de ..0;)( jeZ
ZKG est donné par la figure suivante
Lieu de ..0;)(
jeZZKG
Pour
1KK ; le système en boucle fermée est stable
2KK ; le système en boucle fermée est à la limite de stabilité
3KK ; le système en boucle fermée est instable
Exemple 5.0
)(5.0
)(
j
jj
e
eKeG
Z
ZKZG
Pour KKe
eKeG
j
jj 2
5.01
1
5.0)( ,0
0
0
)4.08.0(25.1
5.0
25.125.01
)5.0(
5.05.0)( ,2/
2/
2/
jKKjKjj
Kj
jK
e
eKeG
j
jj
KKKKe
eKeG
j
jj 6.0
3
2
5.1
1
5.01
1
5.0)( ,
-3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
e(k) s(k) )(ZKG
1KK
2KK
3KK
)( jeKGIm
)( jeKGRe
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Lieu de ..0;1;)(
KZKG jeZ
Le lieu de Nyquist laisse le point critique à sa gauche, donc, le système en boucle
fermée est stable 0K
a) Lieu des racines
La fonction de transfert en boucle fermée est donnée par :
)(1
)()(
ZKG
ZKGZH
L’équation caractéristique est donnée par : 0)(1 ZKG
La position des pôles lorsque K varie de zéro à l’infini représente le lieu des racines et
donc : 1)(0)(1 ZKGZKG
des anglesCondition argZKGarg
sdes moduleCondition ZKG
:;...2;1;0 ;2)1())((
:1)(
Exemple
1 ,3 ;)3.0)(1(
7.1)(
mn
ZZZ
ZZG
Les pôles sont donnés par 3.0 ;1 ;0 321 PPP
Les racines sont donnés par 7.11 Z
1) Pour 0K , le lieu démarre des pôles, soit 3.0 ;1 ;0 321 PPP
2) Pour K , le lieu arrive aux zéros, soit 7.11 Z
Il reste deux pôles qui vont partir à l’infini pour K suivant deux asymptotes
3) Angle des asymptotes
1 ;2/3
0 ;2/12
pour
pour
mna
4) Intersection des asymptotes
5.1
)()(11
mn
ZRePRem
i
i
n
i
i
0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2-0.7
-0.6
-0.5
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
2/,8.0 KRe
)( jeKGRe
)( jeKGIm
0,2 KRe
KRe 6.0
2/
4.0
KIm
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Le système est stable si tous les pôles sont à l’intérieur du cercle unité et donc pour
21,KKminK .
Pôles en boucle fermée pour 0K
Pour
1615.0816.0203.0 2,12,11 ZjZKK
172.3 2,12 ZKK
2.3. Étude de la précision en régime permanent
2.3.1. Constantes d’erreur pour un système à erreur échantillonnée
Soit )()( pGTZZG alors)(1
1
)(
)(
ZGZE
Z
a) Échelon unitaire
1)()()(
Z
ZZEtute
L’erreur de position est donnée par
)(1
)(1)-(Z 1)(1)-(Z 1)( limlimlim
ZG
ZEZZZnTnp
)(1 1
1
)(1
1-Z1)-(Z 1 lim
lim
ZGZZG
Z
Z
Soit la constante de position
)(1 1lim ZGZKp Alors l’erreur de position est donnée par :
p
pK
1
b) Échelon de vitesse
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
Root Locus
Real Axis
Imagin
ary
Axis
e(t) y(t) y*(t) ε*(t) )( pG
ε(t)
2KK
1KK
)(ZIm K
K
)(ZRe 3.0 1 0
T T
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2)1()()()(
Z
TZZEttute
L’erreur de vitesse est donnée par
)(1
)(1)-(Z 1)(1)-(Z 1)( limlimlim
ZG
ZEZZZnTnv
)( 1-Z 1)(1 1-Z 1)(1
)1(1)-(Z 1
limlim
2lim
ZGZ
T
ZGZ
T
ZG
Z
TZ
Z
Soit la constante de vitesse
)( 1-Z 1lim ZGZKv Alors l’erreur de vitesse est donnée par :
v
vK
T
b) Échelon d’accélération
3
22
)1(2
)1()()(
2
1)(
Z
ZZTZEtutte
L’erreur d’accélération est donnée par :
)(1
)(1)-(Z 1)(1)-(Z 1)( limlimlim
ZG
ZEZZZnTna
)( 1-Z 1)(1 1-Z 1)(1
)1(2
)1(
1)-(Z 1 2lim
2
2lim
23
2
lim
ZGZ
T
ZGZ
T
ZG
Z
ZZT
Z
Soit la constante d’accélération )( 1-Z 1
2lim ZGZKa Alors l’erreur d’accélération est donnée par :
a
aK
T 2
Finalement
Entrée )(te constante erreur
)()( tute de position
)(1 1lim ZGZKp
de position
p
pK
1
)(ttu de vitesse
)( 1-Z 1lim ZGZKv
de vitesse
v
vK
T
)(2
1 2 tut d’accélération
)( 1-Z 12lim ZGZKa
d’accélération
a
aK
T 2
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Exemple
1 ;)1(
)(
Tpp
KpG
Soit )37.0)(1(
26.037.0)()1()()()( 1
0
ZZ
ZK
p
pGTZZpGpBTZZG alors
Le constantes d’erreurs sont données par :
)(1 1lim ZGZKp
KZGZKv )( 1-Z 1lim
0)( 1-Z 12lim ZGZKa
Et dons, les erreurs sont données par :
01
p
pK
KK
T
v
v
1
0
12
a
aK
T
Marge de gain et de Phase
Ce sont des limites de la marge du gain gM et de la marge de phase m à respecter
afin que le système en boucle fermée reste stable pour une certaine perturbation
structurelle (perturbation de la fonction de transfert).
Les marges de gain et de phase sont données par :
180)(rg(pour )(
1
1)(pour )(arg180 11
j
jg
jj
m
eGaeG
M
eGeG
Le système bouclée est bien amorti si
1) degréen exprimé:5550 m
2) 525.01
2.0 g
g
MM
e(t) y(t) y*(t) ε*(t) )( pG
ε(t) )(0 pB
T T
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Département d’Électrotechnique Faculté de Technologie Université de Sétif MEC 83 : Asservissements échantillonnés et Régulation numérique TD 2 Exercice 1 Calculer la réponse impulsionnelle et indicielle du système échantillonné suivant Exercice 2 Déterminer la fonction de transfert du système échantillonné suivant Bo(p) : bloqueur d’ordre zéro T=1s Exercice 3 Calculer la réponse impulsionnelle et indicielle du système suivant Bo(p) : bloqueur d’ordre zéro T=1s
1
1
p
u(t) T=1s y(t)
y(t)
1
1
p Bo(p)
u(t) T
y(t)
1
1
p Bo(p)
u(t) T
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Correction TD2 Exercice 1 La fonction de transfert en boucle fermée est donnée par :
)(1
)()(
ZG
ZGZH
Où )(ZG est la fonction de transfert en boucle ouverte
Donc
36.01
1)()(
1
Z
Z
eZ
Z
pTZpGTZZG
finalement
18.0
5.0
36.0
36.01
36.0
)(1
)()(
Z
Z
ZZ
Z
Z
ZZ
Z
ZG
ZGZH
Calcul de la réponse impulsionnelle
)()18.0(5.018.0
5.0)()( 11 ku
Z
ZTZZHTZkg k
Calcul de la réponse indicielle
11.0 0.61;
;18.01)18.0)(1(
5.0)(
18.0
5.0
1)()()(
BA
Z
B
Z
A
ZZ
Z
Z
ZS
Z
Z
Z
ZZHZEZS
donc
kkBAkhZ
ZB
Z
ZAZS )18.0(11.061.0)28.0()(
18.01)(
Exercice 2. La fonction de transfert en boucle fermée est donnée par :
)(1
)()(
ZG
ZGZH
avec
p
pGTZZZG
)()1()( 1
(1)
Or
)36.0)(1(
64.0
)36.0)(1(
)136.0(
11
11
)1(
1)(
ZZ
Z
ZZ
ZZZ
eZ
Z
Z
Z
ppTZ
ppTZ
p
pGTZ
T
)36.0)(1(
64.0
ZZ
Z (2)
(1) et (2) implique que
36.0
64.0
)36.0)(1(
64.01)()1()( 1
ZZZ
Z
Z
Z
p
pGTZZZG
Et donc 28.0
64.0
64.036.0
64.0
36.0
64.01
36.0
64.0
)(1
)()(
ZZ
Z
Z
ZG
ZGZH
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Exercice 3. Calcul de la réponse impulsionnelle
)1()28.0(64.028.0
64.028.0
64.0)()( 11111
ku
Z
ZZTZ
ZTZZHTZkg k
Calcul de la réponse indicielle
5.0 0.5; ;28.01)28.0)(1(
64.0)(
28.0
64.0
1)()()(
BA
Z
B
Z
A
ZZZ
ZS
ZZ
ZZHZEZS
donc
kkBAkhZ
ZB
Z
ZAZS )28.0(5.05.0)28.0()(
28.01)(
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Département d’Électrotechnique
Faculté de Technologie
Université de Sétif
MEC 83 : Asservissements échantillonnés et Régulation numérique
TD 3
Exercice 1
Etudier la stabilité du système dont la fonction de transfert est donnée par :
4.025,05.1)(
23
ZZZ
ZZG
Exercice 2
Déterminer, pour le système de la figure suivante, la valeur de K qui stabilise le
système.
Avec T=1s ; a=1 ; b=2
Exercice 3
Etudier la stabilité du système échantillonné suivant en fonction de K
Avec : p
KpG )(
Bo(p): bloquer d'ordre zéro
T: période d"échantillonnage ;T=1s
Exercice 4
Pour le système de l’exercice 3, déterminer les constantes d’erreur de position de
vitesse et d’accélération, en déduire les erreurs correspondantes
y(t) )( app
K
u(t) T
)(
1
bp
y(t)
G(p) Bo(p) u(t) T
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Correction TD3
Exercice 1
4.025,05.1)(
23
ZZZ
ZZG
Le dénominateur est donnée par :
4.025,05.1)( 23 ZZZZB
CN
0)1( B n’est pas vérifiée parce que 35.0)1( B
et donc, le système est instable
Exercice 2
)36.0)(1(
64.0)()()(
ZZ
KZ
eZ
ZKpGTZZG
ap
KpG
aT
et
)14.0)(36.0)(1(2
13.042.05.0
15.0)()(
2
15.0
1
115.0
)2)(1())(()()(
21 ZZZ
ZKZ
eZ
Z
eZ
Z
Z
ZKpGTZZG
pppK
pp
K
bpap
KpHpG
Et donc la fonction de transfert en boucle fermée est donnée par :
)(
)(
)13.042.0()14.0)(36.0)(1(2
2)14.0(63.0
)14.0)(36.0)(1(2
13.042.01
)36.0)(1(
64.0
)()(1
)()(
ZB
ZA
ZKZZZZ
ZZK
ZZZ
ZKZ
ZZ
KZ
pHpGTZ
pGTZZHbf
Avec
0;1.0)1.113.0()342.0(2)( 301
2
2
3
3
23 aaZaZaZaZKZKZZB
0 ;)( 301
2
2
3
3 aaZaZaZaZB
CN
)2.....(..........37.21029.02.6)1()1(
)1..(........................................0056.0)1(
0123
3
0123
KKaaaaB
KKaaaaB
CS :n-1=2 CS
)4(....................................................................................................
)3.........(............................................................ok 21.0
20
330
bb
aaa
0.302-1.9- ;99.3 1320
23
10
2
2
3
2
0
03
30
0 Kaaaaaa
aabaa
aa
aab
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Analyse des asservissements linéaires échantillonnées : cours donné par: Prof ABDELAZIZ M
(1),(2),(3) et (4) implique que le système est stable pour
92.6302.0
09.20.302-1.999.3
37.21
0
20 Kbb
K
K
Finalement, le système est stable pour 92.60 K
Exercice 3
1)1(
1
1)(1)()()1()()()()(
2
2
1
Z
KT
Z
KTZ
Z
Z
p
KTZ
Z
Z
p
pGTZ
Z
ZpGpBTZZpGpBTZZG
p
KpG pp
Donc, la fonction d transfert en boucle fermée est donnée par :
;)(
)(
1
11
1
)(1
)()(
ZB
ZA
KTZ
KT
Z
KTZ
KT
ZG
ZGZH
Le polynôme )(ZB est donnée par :
0 ;1)( 101 aaZaKTZZB
CN
)2.....(..........2
20110)1()1(
)1..(..................................................0110)1(
01
01
TKKTKTaaB
KKTaaB
CS :n-1=0 CS
(1) et (2) implique que le système est stable pour
TK
20
Exercice 4
1)(
Z
KTZG
Entrée )(te constante erreur
)()( tute de position
11 1
)(1 1
lim
lim
Z
KTZ
ZGZK p
de position
011
p
pK
)(ttu de vitesse
KTZ
KTZ
ZGZKv
1 1-Z 1
)( 1-Z 1
lim
lim
de vitesse
KKT
T
K
T
v
v
1
)(2
1 2 tut d’accélération d’accélération
Analyse des asservissements linéaires échantillonnées : cours donné par: Prof ABDELAZIZ M
Analyse des asservissements linéaires échantillonnées : cours donné par: Prof ABDELAZIZ M
01
1-Z 1
)( 1-Z 1
2lim
2lim
Z
KTZ
ZGZKa
0
222 T
K
T
K
T
aa
a