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Surfaces en géométrie riemannienne et discrète,

estimateurs géométriques, modèles déformables discrets

Jacques-Olivier Lachaud1

1Laboratoire de Mathématiques - UMR CNRS - Université de Savoie

Réunion préparation ANR neige

J.-O. Lachaud (LAMA) 3 décembre 2009 1 / 30

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Plan

1 Surfaces déformables en géométries riemanienne

2 Surfaces discrètes : géométrie et surfaces singulières

3 Modèles déformables discrets

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Plan

1 Surfaces déformables en géométries riemanienne

2 Surfaces discrètes : géométrie et surfaces singulières

3 Modèles déformables discrets

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Problème du suivi d'interface

Problématique

Simuler l'évolution d'une surface ou interface soumise à des forces. Celle-cidoit adapter sa topologie à ses évolutions géométriques.

Applications

segmentation et reconstruction d'images 3D (modèles déformables).

simulation de �uides, d'interfaces entre deux milieux (méthodeslevel-set).

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Deux grandes approches

Lagrangienne Interface représentée explicitement

[Kass et. al. 87, Terzopoulos et. al. 88, Cohen 91, Delingette 94, L.

Montanvert 99, Bredno et. al. 03, Duan Qin 04, Pons Boissonnat 07, Abhau

Scherzer 08, . . . ]

Eulérienne Interface représentée implicitement

φ > 0

φ < 0

φ < 0

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[Caselles et. al. 93, Malladi et. al. 94, Caselles et. al. 97, Yezzi 97, Tek Kimia

97, Strain 99, Xu et. al. 00, Chan Vese 01, Fedkiw et. al. 03, Segonne 08, . . . ]

Futur ? SIGGRAPH 09 : mélange explicite / implicite : retriangulationmarching cubes

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Modèles déformables : complexité

Coût de représentation des modèles déformables

densité de paramètres ∝ résolution souhaitée (e.g. image 3D)

Image I , de taille Nd . Forme C d'aire |C |. Pas h. P = |C |hd−1

.

catégorie explicite (snakes, etc.) implicite (level-sets)

nb de variables P ≈ Θ(Nd−1) Nd

déplacement P Nd [Osher Sethian88]

K1P [Adalsteinson95]

K2P logP [Strain99]

changementde topologie

Nd (T-snake, [McIT95,97]) naturel

P (2D, maille simplexe [DM99])P logP (2-3D δ-snake [LM99])

P logP (2-4D simpliciale [BLS03])

En résumé au mieux Θ(Nd−1) au mieux Θ(Nd−1)

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Modèle déformable riemannien : principe

Problématique

Réduire le nombre de variables, diminuer le nombre d'itérations.

Idée directrice

concentrer l'e�ort de calcul au voisinage des zones d'intérêt

adapter la densité des variables selon la position dans l'image

utiliser la géométrie riemannienne, qui peut déformer l'espace

(euclidien)

itérations . . .

densité de variables uniforme dans l'espace euclidien

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Modèle déformable riemannien : principe

Problématique

Réduire le nombre de variables, diminuer le nombre d'itérations.

Idée directrice

concentrer l'e�ort de calcul au voisinage des zones d'intérêt

adapter la densité des variables selon la position dans l'image

utiliser la géométrie riemannienne, qui peut déformer l'espace

(riemannien)

itérations . . .

densité de variables uniforme dans l'espace riemannien

densité de variables

adaptative dans l'espace euclidienJ.-O. Lachaud (LAMA) 3 décembre 2009 7 / 30

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Géométrie riemannienne : déformer l'espace

Norme/produit scalaire variable en tout point de l'espace Rn

‖ds‖E = ε

v1

v2

1√

µ1

1√

µ2

‖ds‖R = ε

euclidien riemannien au point x

ds2 = (dx1 · · · dxn)× T (dx1 · · · dxn) (dx1 · · · dxn) ×G (x)× T (dx1 · · · dxn)

où la matrice G , symétrique, dé�nie positive, dépend de l'origine x dudéplacement, de valeurs/vecteurs propres (µi , vi ).

application x 7→ G (x) appelée métrique

longueur chemin γ : LR(γ) =∫t1

t0

√Tγ′(t)× G (γ(t))× γ′(t) dt

distance de u à v dR(u, v) : plus court chemin riemannien

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Géométrie riemannienne : déformer l'espace

Norme/produit scalaire variable en tout point de l'espace Rn

‖ds‖E = ε

v1

v2

1√

µ1

1√

µ2

‖ds‖R = ε

euclidien riemannien au point x

ds2 = (dx1 · · · dxn)× T (dx1 · · · dxn) (dx1 · · · dxn) ×G (x)× T (dx1 · · · dxn)

où la matrice G , symétrique, dé�nie positive, dépend de l'origine x dudéplacement, de valeurs/vecteurs propres (µi , vi ).

Dé�nition de la métrique G

En tout point de l'image, choix de- n directions orthogonales v1,. . . ,vn- n coe�cients de dilatation µ1,. . . ,µn

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MD sensible à une métrique ⇒

Modèle déformable initial [Lachaud Montanvert 99]

Adaptation de topologie basée distance euclidienne dEsommets contrainte si non-satisfaite

(u, v) voisins δ ≤ dE (u, v) ≤ ζδ ��

(u, v) non-voisins λζδ ≤ dE (u, v)

Substitution de dE par une mesure riemannienne dR

I sur-estimer distances autour des zones d'intérêt ⇒ densité plus grande

I sous-estimer distances partout ailleurs ⇒ densité plus faible

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Métrique riemannienne adaptée à l'image ⇒

Construction automatique de la métrique

Approche contour : structures pertinentes autour contours forts

contour en x métrique en xintensité scourbures κ1, κ2directions n, t1, t2

µ1 ∝ s2

µ2 ∝ κ12µ1µ3 ∝ κ22µ1

v1 = n

v2 = t1v3 = t2

G (x)

t1

t2

n

t1

t2

n

t1

t2

n

t1

t2

n

faible densité

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Estimation de la géométrie de l'image ⇒

∀x, calculer gradient sn et courbures κ1t1 et κ2t2 de l'isophote passant parx sur l'image I .

classiquement �ltres dérivatifs [Monga et. al. 95, Rieger et. al. 02]

diagonalisation tenseur de structure [Kass Witkin 87]

Qρ,σ : v 7−→ gρ ∗ (v · ∇(gσ ∗ I ))2 vecteurs / valeurs propresQρ,σ : v 7−→ Tv × Jρ,σ × v (w1,w2,w3)/(ξ1, ξ2, ξ3)

Theorem (Courbures par diagonalisation)

contour idéal de tenseur Jρ,σ alors

I directions principales (n, t1, t2) = vecteurs propres

I intensité s, courbures principales κ1 et κ2ξ1 = s2 ξ2 = ρ2s2κ1

2 ξ3 = ρ2s2κ22

Estimateur robuste au bruit, aussi précis sinonJ.-O. Lachaud (LAMA) 3 décembre 2009 11 / 30

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Expérimentations

Réduction du nombre de sommets et du nombre d'itérations

Initialisation Itération 100 Itération 200

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In�uence de la résolution

Même image, échantillonnée à des fréquences croissantes.

10×10

30×30

100×100

400×400

0

50

100

150

200

250

0 50 100 150 200 250 300 350 400

Nombre de sommets sur la maille

NbSommets(résolution)

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Comparaison avec l'approche multi-résolution

approche classique (densité uniforme, résolution �ne) : 10,14s, 458sommets

it. 100 it. 200 it. 300 it. 400 it. 900

approche multi-résolution (densité uniforme, résolution progressive) :9,23s, 392 sommets

approche riemannienne (densité adaptative) : 1,73s, 150 sommets

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Comparaison avec l'approche multi-résolution

approche classique (densité uniforme, résolution �ne) : 10,14s, 458sommets

approche multi-résolution (densité uniforme, résolution progressive) :9,23s, 392 sommets

8× 8 16× 16 32× 32 64× 64 128× 128it. 310 it. +810 it. +760 it. +1020 it. +5100,08s 0,40s 0,87s 3,10s 4,78s

approche riemannienne (densité adaptative) : 1,73s, 150 sommets

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Comparaison avec l'approche multi-résolution

approche classique (densité uniforme, résolution �ne) : 10,14s, 458sommets

approche multi-résolution (densité uniforme, résolution progressive) :9,23s, 392 sommets

approche riemannienne (densité adaptative) : 1,73s, 150 sommets

it. 25 it. 50 it. 75 it. 100 it. 280

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Evaluation sur scanner

Uniforme �n Adaptatif

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Evaluation sur scanner

Vue inférieure de lamâchoire

Vue latérale de l'oreille

Uniforme Adaptatif

Sommets 142.340 15.936

Itérations 900 500

Temps de calcul 3h22min 22min (+3min 49s)

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Discussion

modèle hautement déformable à densité adaptative : ≈ 10× moins desommets, ≈ 5× moins d'itérations, entre 3 à 10 fois + rapide

complexité dépendante de la géométrie de l'image

nouvel estimateur de courbure(s) image : robuste, précis,comparativement rapide

[Medical Image Analysis 1999]

Thèse de Benjamin Taton [2004]

[Computer Vision Image Understanding 2005]

[ECCV02,3DIM03,ICPR04]

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Plan

1 Surfaces déformables en géométries riemanienne

2 Surfaces discrètes : géométrie et surfaces singulières

3 Modèles déformables discrets

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Surfaces dans la grille régulière

Contexte : analyse d'image

Les formes dans les images sont des parties de Z2 ou Z3 :assemblage de carrés ou de cubes.

souvent reconstruction par une surface euclidienne avantpost-traitements

+ outils géométriques de surfaces dans R3 (surfaces triangulées, surfacessplines, mailles, etc)

− choix arbitraire du modèle continu− confusion bruit et discrétisation

Or, beaucoup de traitements possibles dans Z2 ou Z3

I calculs topologiques, suiviI géométrie discrète : aire, normale, courburesI surfaces singulières et complexes cubiques

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Surface discrètes nD : représentation, suivi, codage

grille cellulaire Cn : identi�cation avec Khalimsky + topologie algébrique

(4,2)

(2,1)

(3,3)

4

3

2

1

(y)0

(x)0 1 2 3 4

cellule = n coord. entières (bord) ∆∑

(voxels+) =(∑

surfels+)+(

∑surfels−)

voisinage, suivi de surface nD

surface = ∆Volume (co-bord ∇) ∆∆ = 0

codage : 1 cellule = 1 entier, opérateurs = { ||,&&,!,�,�}∗

⇒ Implémentation générique nD, très e�cace, compacte

[IWCIA03], Cours EJC Algo. Calc. Formel 2005

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Géométrie des courbes 2D et surfaces discrètes nD

estimateurs géométriques discrets basés segments de droites discrètes

forme de R2 segments maximaux tangente θ̂ = comb. convexe directionsPropriétés : précis, convexité respectée, isotrope, convergent, calcul en temps optimal

estimateurs nD par croisement de géométries 2D

n − 1 chemins par surfel normale n̂ orth. aux (θ̂i ) Aire =∑

σ |n̂ · e⊥σ |

Collaboration avec Anne Vialard, thèse de François de Vieilleville[DGCI03,DGCI05,DGCI08,. . . ], [IVC2006][JMIV2006][PR2009]

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Géométrie des courbes 2D et surfaces discrètes nD

Estimateurs de normales et d'aire par croisement de l'estimateur de tangente 2D λ-MST.

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Topologie des surfaces combinatoires nD

Surfaces nD? : modèles combinatoires de subdivision de variétés

résultats d'équivalences de modèles topologiques

n-G -cartes [Lienhardt94]

I n + 1 involutions sur des brins

I + simpliciales, connexes, fermées

n-surfaces [Bertrand99]

I ordre partiel

I décomposition récursive

calcul d'invariants topologiques sur les complexes cellulaires (∆∆ = 0)groupes d'homologie par mise en forme de Smith/Agoston [Agoston76]

Bande de Möbius Tore Cube avec cavité

thèse de Sylvie Alyrangues [2005]Collaboration avec Pascal Lienhardt (SIC), Xavier Daragon (ESIEE),Laurent Fuchs (SIC) et Samuel Peltier (SIC/PRIP)[CVWW02,IWCIA04,DGCI05], [Computers & Graphics 2006]

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Extraction de surfaces à singularités

Complexes cartésiens

Les complexes cartésiens (ou complexes cubiques) peuvent représenter dessubdivisions non-variétés : mélange de cubes, carrés, segments, points Z3

Extraction d'une isosurface f = 0

1 ensemble S = {(x , y , z)/f (x , y , z) = 0}S peut avoir des singularités (∇f = 0)

2 extension 4D : F (x , y , z , t) = f (x , y , z)− t‖∇f (x , y , z)‖F = 0 est une 3-surface de R4

extraction par suivi discret des 3-cubes de F = 0 autour de t = 0projection dans Z3

3 e�ondrement homotopique des 2 et 3-cubes ⇒ complexe cubique Chomotope à S

4 projection de C par Newton-Raphson dans R3 : approche S

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Extraction de surfaces à singularités

parapluie de Whitney

Buggle

f (x , y , z) = x2 − y2z

f (x , y , z) = x4y2 + y4x2 − x2y2 + z6

Extraction d'une isosurface f = 0

1 ensemble S = {(x , y , z)/f (x , y , z) = 0}S peut avoir des singularités (∇f = 0)

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Extraction de surfaces à singularités

parapluie de Whitney Bugglef (x , y , z) = x2 − y2z f (x , y , z) = x4y2 + y4x2 − x2y2 + z6

Extraction d'une isosurface f = 0

1 ensemble S = {(x , y , z)/f (x , y , z) = 0}S peut avoir des singularités (∇f = 0)

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Extraction de surfaces à singularités

parapluie de Whitney Bugglef (x , y , z) = x2 − y2z f (x , y , z) = x4y2 + y4x2 − x2y2 + z6

Extraction d'une isosurface f = 0

1 totototo

2 extension 4D : F (x , y , z , t) = f (x , y , z)− t‖∇f (x , y , z)‖F = 0 est une 3-surface de R4

extraction par suivi discret des 3-cubes de F = 0 autour de t = 0projection dans Z3

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Extraction de surfaces à singularités

parapluie de Whitney Bugglef (x , y , z) = x2 − y2z f (x , y , z) = x4y2 + y4x2 − x2y2 + z6

Extraction d'une isosurface f = 0

1 totototo

2 totototo

3 e�ondrement homotopique des 2 et 3-cubes ⇒ complexe cubique Chomotope à S

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Extraction de surfaces à singularités

parapluie de Whitney Bugglef (x , y , z) = x2 − y2z f (x , y , z) = x4y2 + y4x2 − x2y2 + z6

Extraction d'une isosurface f = 0

1 totototo

2 totototo

3 totototo

4 projection de C par Newton-Raphson dans R3 : approche S

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Exemples de surfaces à singularités

Cayley cubic f (x , y , z) = 4(x2 + y2 + z2) + 16xyz − 1

f (x , y , z) = x4 + y4 + z4 − 2(x2y2 + x2z2 + y2z2) + x2y2z2

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Plan

1 Surfaces déformables en géométries riemanienne

2 Surfaces discrètes : géométrie et surfaces singulières

3 Modèles déformables discrets

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Modèles déformables

modèles déformables [Kass, Witkin, Terzopoulos 87] : formulationvariationnelle de la segmentation d'une image IC : [0, 1]→ R2 (contour paramétrique ouvert ou fermé)

E (C ) =

∫ 1

0−‖∇I (C (t))‖2︸ ︷︷ ︸

terme image

2‖C ′(t)‖2 +

β

2‖C ′′(t)‖2︸ ︷︷ ︸

terme de régularisation

dt,

puis trouver argminC∈C E (C ), avec C une famille de courbes.

Contours actifs géométriques [Caselles et al. 93, . . . ]

E (X ) =

∫∂X−‖∇I‖2︸ ︷︷ ︸terme image

2+β

2κ2︸ ︷︷ ︸

régularisation

,

puis trouver argminX∈X E (X ), avec X une famille de formes de R2

(compacts, simplement connexes).

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Analogue discret des modèles déformables

Substitution des énergies et des formes par des analogues discrets.[IWVF2001,HDR2006,DGCI2009]

E (O) =∑σ∈∂O

(−‖∇I (σ)‖2︸ ︷︷ ︸terme image

2+β

2κ̂2︸ ︷︷ ︸

régularisation

)d̂h(σ),

puis trouver argminO⊂Z2 E (O).

I d̂h et κ̂ : (resp.) estimateurs géométriques discrets de longueurélementaire et de courbure d'un surfel

optimisation par des algos combinatoires : heuristiques gloutonnes,recuit simulé, algorithme d'optimisation de fonctions sous-modulaires.

convergence connue seulement pour d̂h, non convexité de lafonctionnelle de régularisation

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Régularisation par Minimum Length Polygon

Minimum Length Polygon (MLP) : plus petite courbe séparant O deZ2 \ O

Optimisation de

E (O) =∑σ∈∂O

(−‖∇I (σ)‖2)d̂h(σ)︸ ︷︷ ︸terme image

2MLP(∂O)︸ ︷︷ ︸

régularisation

.

Energie MLP(O) est �convexe� [DGCI09]

Le seul mimimum de O est l'optimum.

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Exemples

algorithmes gloutons par test de déformations élémentaires (�ips,bumps).

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