Polycopié des année précedentes

MINES ParisTech

1èreannée

MÉCANIQUEDES

MATÉRIAUXSOLIDES

Notes de cours

G. CAILLETAUD

Responsables de PC et de projetsS. CANTOURNET, L. CORTE, J.L. DEQUIEDT

S. FOREST, A. GAUBERT, S. JOANNES, M. MAZIEREH. PROUDHON, D. RYCKELYNCK, M. TIJANI

Mars 2012

Table des matières

I COURS xi

1 Introduction 11.1 Généralités sur les propriétés des matériaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Domaines d’utilisation des modèles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3 Les types de modèles de matériaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.4 Les essais mécaniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.4.1 Différents types d’essais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.4.2 Moyens de mesure, ordres de grandeur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.5 Mise en œuvre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2 Rhéologie 112.1 Les différents types de «déformation» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.1.1 Les sources de «déformation» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.1.2 Dilatation thermique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.2 Les briques de base du comportement non linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.3 Plasticité uniaxiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.3.1 Modèle élastique–parfaitement plastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.3.2 Modèle de Prager . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.3.3 Écriture générale des équations de l’élastoplasticité uniaxiale . . . . . . . . . . . 15

2.4 Viscoélasticité uniaxiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.4.1 Un exemple de modèle rhéologique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.4.2 Étude d’un modèle composé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.5 Viscoplasticité uniaxiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.5.1 Un exemple de modèle rhéologique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.5.2 Quelques modèles classiques en viscoplasticité . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.6 Influence de la température . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3 Critères 233.1 Les outils disponibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.2 Critères ne faisant pas intervenir la pression hydrostatique . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.2.1 Critère de von Mises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.2.2 Critère de Tresca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.2.3 Comparaison des critères de Tresca et von Mises . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.3 Critères faisant intervenir la pression hydrostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.3.1 Critère de Drucker–Prager . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.3.2 Le critère de Mohr–Coulomb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273.3.3 Critère de Rankine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.3.4 Critères «fermés» . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.4 Critères anisotropes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

iii

iv TABLE DES MATIÈRES

4 Plasticité et viscoplasticité 3D 334.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.1.1 Décomposition de la déformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334.1.2 Critères . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344.1.3 Lois d’écoulement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

4.2 Formulation des lois de comportement viscoplastiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344.2.1 Écriture générale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344.2.2 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354.2.3 De la viscoplasticité à la plasticité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.3 Formulation des lois de comportement plastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364.3.1 Principe du travail maximal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364.3.2 Interprétation géométrique du principe de Hill . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.4 Directions d’écoulement associées aux critères courants . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384.4.1 Critère de von Mises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384.4.2 Critère de Tresca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.4.3 Critère de Drucker–Prager . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.5 Comportement parfaitement plastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.6 Viscoplasticité/plasticité non associée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

5 Variables d’écrouissage 435.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435.2 Matériaux standards généralisés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

5.2.1 Une brève présentation du formalisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 435.2.2 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

5.3 Expression de quelques lois particulières en plasticité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465.3.1 Loi de Prandtl–Reuss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465.3.2 Loi de Hencky–Mises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 465.3.3 Loi de Prager . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 475.3.4 Écoulement à vitesse de déformation totale imposée . . . . . . . . . . . . . . . 48

5.4 Viscoplasticité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

6 Eléments de théorie des poutres planes 516.1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

6.1.1 Modélisation géométrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 516.1.2 Principe de Saint-Venant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 526.1.3 Modélisation des actions mécaniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

6.2 Solution de Saint-Venant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 546.2.1 Contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 546.2.2 Déplacements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 556.2.3 Discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

6.3 Approche par le principe des travaux virtuels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 576.3.1 Rappel : le principe des travaux virtuels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 576.3.2 Cinématique de la poutre de Timoshenko . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 586.3.3 Traitement des équations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 586.3.4 Caractérisation de l’équilibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 606.3.5 Lois de comportement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 606.3.6 Remarques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

6.4 Poutre sandwich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 636.4.1 Evaluation des efforts intérieurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 636.4.2 Forme générale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

TABLE DES MATIÈRES v

6.5 Flambement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 656.5.1 Forme générale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 656.5.2 Poutre simplement supportée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 666.5.3 Autres conditions aux limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

7 Matériaux composites, stratifiés 697.1 Généralités sur les matériaux composites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 697.2 Rappel : milieux élastiques anisotropes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

7.2.1 Notation de Voigt pour les relations de comportement . . . . . . . . . . . . . . . 707.2.2 Respect des symétries matérielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

7.3 Composites unidirectionnels à fibres longues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 727.3.1 Loi de mélange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 727.3.2 Constantes élastiques dans un repère quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . 737.3.3 Théorie des stratifiés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 747.3.4 Définition d’une plaque stratifiée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

7.4 Les composants élémentaires des matériaux composites . . . . . . . . . . . . . . . . . . 767.4.1 Renforts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 767.4.2 Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 777.4.3 Tissus et mats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 787.4.4 Critère de rupture des stratifiés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 787.4.5 Quelques modèles d’ingénieurs de «fonctionnement» du composite . . . . . . . 797.4.6 Ordres de grandeur des modules et contraintes à rupture . . . . . . . . . . . . . 80

8 Plaques 838.1 Plaque de Reissner–Mindlin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

8.1.1 Cinématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 838.1.2 Travail virtuel des efforts intérieurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 858.1.3 Travail virtuel des efforts extérieurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 878.1.4 Equilibre et conditions aux limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 878.1.5 Loi de comportement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

8.2 Plaque de Kirchhoff–Love . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 908.2.1 Cinématique et équilibre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 918.2.2 Lois de comportement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92

9 Introduction à la mécanique des matériaux hétérogènes 959.1 Moyennes de volume, moyennes de surface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 959.2 Volume élémentaire représentatif, propriétés effectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . 979.3 Propriétés élastiques effectives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 989.4 Potentiel élastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1009.5 Théorème de l’énergie potentielle : borne supérieure de Voigt . . . . . . . . . . . . . . . 1029.6 Thèorème de l’énergie complémentaire : borne inférieure de Reuss . . . . . . . . . . . . 1039.7 Application à l’élasticité isotrope . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

10 Éléments de Mécanique de la rupture 10710.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10710.2 Taux de restitution d’énergie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

10.2.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10810.2.2 Cas d’une charge ponctuelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10810.2.3 Quelques valeurs critiques de G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

10.3 Facteur d’intensité de contrainte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11010.3.1 Solution de Muskhelishvili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

vi TABLE DES MATIÈRES

10.3.2 Solution asymptotique de Westergaard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11010.3.3 Différents modes de sollicitation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11110.3.4 Remarques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

10.4 Analyse de l’état de contrainte tridimensionnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11310.5 Propagation de fissure en fatigue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

10.5.1 Amorçage–propagation dans les matériaux métalliques . . . . . . . . . . . . . . 11410.5.2 Loi de Paris . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

II APPLICATIONS 119

11 Prolongements du cours 12111.1 Contraintes thermomécaniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12111.2 Rhéologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12311.3 Critères . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12411.4 Plasticité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12411.5 Poutres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12611.6 Plaques stratifiées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12711.7 Homogénéisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12811.8 Mécanique de la rupture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

12 Exercice 13112.1 Etude de contraintes thermiques dans un barrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13112.2 Flexion d’une poutre de section rectangulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13412.3 Critères de plasticité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

12.3.1 Comparaison des critères de von Mises et Tresca . . . . . . . . . . . . . . . . . 13812.3.2 Plasticité cristalline . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13912.3.3 Plastification d’un tube mince . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14012.3.4 Critère de Tresca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142

12.4 Comportement parfaitement plastique en traction–cisaillement . . . . . . . . . . . . . . 14212.5 Enveloppe sphérique soumise à une pression intérieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14412.6 Tunnel dans du sable sec . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15112.7 Cavité sphérique dans un massif infini élastoviscoplastique . . . . . . . . . . . . . . . . 15412.8 Chargement non proportionnel en plasticité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15912.9 Flexion sur appui simple : poutre homogène et poutre sandwich . . . . . . . . . . . . . 162

12.9.1 Poutre homogène . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16312.9.2 Poutre sandwich sur deux appuis simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

12.10Evaluation de la charge de flambement d’une poutre droite . . . . . . . . . . . . . . . . 16512.11Etude d’une tuyauterie en verre époxy sous pression interne . . . . . . . . . . . . . . . . 170

12.11.1 Etude de la loi de comportement du pli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17012.11.2 Etude d’une tuyauterie en stratifié . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170

12.12 Composites à fibres longues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17112.12.1 Réservoir sous pression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17112.12.2 Coefficient de dilation d’un composite à fibres longues . . . . . . . . . . . . . . 17312.12.3 Assemblage collé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

12.13Etude de la flexion d’un bilame . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17812.14Propriétés élastiques effectives des composites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182

12.14.1 Propriétés élastiques effectives d’un polycristal de cuivre . . . . . . . . . . . . . 18212.14.2 Propriétés élastiques d’un composite à matrice métallique . . . . . . . . . . . . 186

12.15Réservoir sous pression – Fuite avant rupture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

TABLE DES MATIÈRES vii

13 Annales 19513.1 23 juin 1997 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195

13.1.1 Ecoulement viscoplastique en déformations planes . . . . . . . . . . . . . . . . 19513.1.2 Cylindre en torsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198

13.2 12 juin 1998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20213.2.1 Etude de la localisation dans une plaque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20213.2.2 Description du phénomène d’endommagement en fluage . . . . . . . . . . . . . 204

13.3 15 juin 1999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20813.3.1 Plasticité biaxiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20813.3.2 Estimation de la zone plastique en pointe de fissure . . . . . . . . . . . . . . . . 213

13.4 19 juin 2000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21513.4.1 Zone plastique et effet de retard en propagation de fissure . . . . . . . . . . . . . 21513.4.2 Contraintes développées lors de l’oxydation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219

13.5 24 juin 2002 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22313.5.1 Fissuration d’un rail . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22313.5.2 Contraintes thermiques en plasticité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22413.5.3 Etude d’une plaque composite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

13.6 26 mai 2003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23113.6.1 Traction sur une fibre entourée d’un cylindre de matrice . . . . . . . . . . . . . 23113.6.2 Critères de Tresca et von Mises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233

13.7 14 juin 2004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23613.7.1 Flexion de poutres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23613.7.2 Problème : Cylindre en torsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240

13.8 6 juin 2005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24113.8.1 Problème mécanique d’un fil pesant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24113.8.2 Allongement mécanique et thermique d’un fil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24213.8.3 Allongement de transformation de phase d’un fil . . . . . . . . . . . . . . . . . 24513.8.4 Conséquences mécaniques des transformations de phase . . . . . . . . . . . . . 246

13.9 9 juin 2006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24713.9.1 Homogénéisation en élasticité linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24713.9.2 Viscoplasticité cristalline . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249

13.104 juin 2007 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25313.10.1 Etude de modèles de fatigue à grand nombre de cycles . . . . . . . . . . . . . . 25313.10.2 Poutre soumise à son propre poids . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25613.10.3 Etude de l’écrouissage latent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258

13.119 juin 2008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26213.11.1 Optimisation du chemin de déformation pour le planage d’une tôle . . . . . . . . 26213.11.2 Etat limite en viscoplasticité confinée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26513.11.3 Optimisation d’une poutre en traction/compression et en flexion 3 points . . . . 268

13.1225 mai 2009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27213.12.1 A. Etude d’un cylindre élastoplastique en cisaillement . . . . . . . . . . . . . . 27213.12.2 B. Poutre viscoélastique en flexion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27513.12.3 C. Comportement équivalent d’un treillis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278

13.137 juin 2010 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28313.13.1 A. Etude d’une plaque trouée en pression interne et en chargement biaxial . . . . 28313.13.2 B. Etude de divers modèles rhéologiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28813.13.3 C. Etude d’une poutre sur appuis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292

13.1430 mai 2011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29313.14.1 A. Etude du comportement d’une couche mince . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29313.14.2 B. Etude des vibrations d’une poutre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297

viii TABLE DES MATIÈRES

13.14.3 Propagation d’une fissure de fatigue dans un disque mince non alésé en rotation . 298

III ANNEXES 303

14 Mini-formulaire d’élasticité linéaire 30514.1 Cinématique et statique en petites déformations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305

14.1.1 Déplacement déformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30514.1.2 Signification géométrique des termes du tenseur de déformation . . . . . . . . . 30514.1.3 Contrainte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30614.1.4 Signification physique des termes du tenseur de contrainte . . . . . . . . . . . . 306

14.2 Efforts internes/externes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30614.2.1 Travail des efforts intérieurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30614.2.2 Travail des efforts extérieurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 307

14.3 Potentiel élastique, élasticité linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30714.3.1 Potentiel élastique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30714.3.2 Elasticité linéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30714.3.3 Elasticité isotrope . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30814.3.4 Relations entre les coefficients d’élasticité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 308

14.4 Etats de contrainte particuliers, solutions particulières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30814.4.1 Traction simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30814.4.2 Cisaillement simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30914.4.3 Flexion circulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30914.4.4 Torsion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30914.4.5 Torsion, section circulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31014.4.6 Coordonnées cylindriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31014.4.7 Cylindre sous pression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31014.4.8 Coordonnées sphériques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31114.4.9 Sphère sous pression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311

15 Notations 31315.1 Glossaire des notations les plus courantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31315.2 Quelques tenseurs particuliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313

Préambule

La mécanique des matériaux solides représente, au sein de la mécanique, une branche auxramifications multiples, dont les modèles sont mis à l’épreuve dans des contextes parfois inattendus, pourexpliquer des phénomènes naturels, ou encore concevoir des ouvrages, des véhicules, des composants.Elle est omniprésente, à toutes les échelles, elle s’applique sur des matériaux aussi différents que lemagma terrestre, le béton, les alliages métalliques, les composites à fibre ou les monocristaux de silicium.

Il serait donc vain de tenter d’être exhaustif dans le cadre d’une vingtaine de séances. Le but de cecours est plutôt de donner un certain nombre d’éclairages sur le domaine et les méthodes utilisées, tout enoffrant des points d’entrée en vue d’études plus approfondies. Le fait de suivre un tel axe de découvertefait courir le risque d’être parfois trop lapidaire. On cherchera donc, dans le temps imparti, à trouver unjuste équilibre dans l’exposé. On espère ainsi montrer que la mécanique des matériaux est un carrefour,où se croisent mathématiciens et ingénieurs, industriels et universitaires, théoriciens et expérimentateurs.

Il faut également trouver un équilibre entre l’élément de volume et la structure. Cette discussion, quirenvoie au cours de Mécanique des Milieux Continus, amène à considérer dans un premier temps les loisde comportement qui régissent les relations entre les contraintes et les déformations, puis à envisagerleur insertion dans une théorie portant sur l’équilibre d’un domaine. Le plan du cours découle donc deces choix.

Une première partie permet d’aller au-delà de la théorie de l’élasticité déjà acquise, en considérantde nouveaux phénomènes physiques conduisant à la dilatation ou la déformation du matériau. Onmentionnera ainsi les dilatations thermiques ou de changement de phase (séance 1), puis les déformationsplastiques ou vicoplastiques. C’est une présentation progressive qui est adoptée pour celles-ci :on considérera successivement les modèles sous chargement uniaxial (séance 2), puis les critèresmultiaxiaux (séance 3), avant de combiner les deux dans l’écriture du formalisme sous chargementtridimensionnel (séances 4 et 5). Le cours lui-même peut être prolongé par les exercices corrigés qui sontdisponibles et par les applications du site web http ://mms2.ensmp.fr, dont certaines sont interactives.Cet entrainement est nécessaire à une bonne assimilation du cours. Un prolongement naturel, qui sort ducadre du cours, serait une étude systématique des structures inélastiques, qui se soucie de l’existence etde l’unicité des solutions.

Afin de rester à un niveau de complexité raisonnable, on revient en élasticité linéaire pour les séances7 à 10. Il est parfois difficile de distinguer le niveau de l’élément de volume et celui de la structure.D’ailleurs, une tendance actuelle de la recherche consiste à étudier les matériaux comme des structures,en caractérisant leurs propriétés macroscopiques par l’analyse mécanique de leurs microstructures.C’est dans cet esprit qu’on entreprend le traitement des poutres et des plaques, en mettant en avantdes cas simples, mais qui permettent de présenter un cadre général, et de faire comprendre les idéesdirectrices. On laisse au lecteur concerné le soin de prendre connaissance de deux autres domaines enplein développement, celui des méthodes d’homogénéisation (chapitre 9) et celui de la mécanique de larupture (chapitre 10).

ix

http://mms2.ensmp.fr

Première partie

COURS

xi

Chapitre 1

Introduction

1.1 Généralités sur les propriétés des matériaux

Il est de coutume de dire que chaque secteur industriel a les performances de ses matériaux. Celaest particulièrement marquant dans le cas de l’informatique, pour laquelle les progrès sont directementliés à la densité des circuits, c’est encore le cas dans l’aéronautique, où les performances des réacteursdépendent de la température maximale que supportent les matériaux dans les zones les plus chaudes.Les exemples de ce type peuvent être aisément multipliés, il suffit de penser aux chemins de fer(développement des aciers à rail à la fin du 19èmesiècle), à la construction civile (mise au point desbétons de fumée de silice), à la navette spatiale (composites, tuiles en carbone-carbone). Mais en fait,il serait plus précis de dire que les performances obtenues dépendent aussi des connaissances sur lematériau utilisé. Ainsi, dans le plan d’exploitation d’une mine souterraine en chambres et piliers, oùil n’est bien entendu pas envisageable de choisir son matériau, il est possible de diminuer la taille despiliers si les propriétés de la roche sont bien connues.

Le fait de concevoir ainsi au plus juste les structures, est la marque d’une démarche qui, outre sonélégance, présente deux aspects importants :

– il y a une amélioration de la sécurité, dans la mesure où il est préférable d’avoir une bonneconnaissance des phénomènes physiques plutôt que d’appliquer un large coefficient de sécurité,qui s’apparente souvent à un coefficient d’ignorance ; par ailleurs, dans certains cas, l’utilisation deplus grandes quantités de matière peut devenir préjudiciable (ainsi, augmenter l’épaisseur d’uneenceinte sous pression peut certes diminuer les contraintes, mais aussi être néfaste s’il y a desgradients thermiques dans la paroi).

– le résultat est une meilleure performance sur le plan écologique, ainsi le gain de quelques dizièmesde grammes sur chaque boîte-boisson conduit à des économies de matière première importantes,si l’on songe aux quelques milliards qui sont fabriquées chaque année ; de même, la diminution depoids permet de réduire la consommation des automobiles ou des avions.

Il faut distinguer plusieurs types de propriétés des matériaux. Dans le cas du développementdes ordinateurs, ce sont essentiellement les propriétés physiques qui sont en cause, encore que leséchauffements résultant de la concentration des circuits amènent maintenant à se préoccuper égalementde la tenue mécanique. Dans le cas du développement des moteurs d’avions, ce sont les propriétésmécaniques et les propriétés chimiques (résistance à l’environnement) qui sont déterminantes.

Les principales propriétés des matériaux se regroupent donc en :– Propriétés mécaniques : (i) modules d’élasticité, (ii) limite d’élasticité, écrouissage, ductilité, (iii)

viscosité, vitesse de fluage, amortissement (iv) charge à la rupture, résistance à la fatigue, à l’usure,. . .

– Propriétés physiques : (i) conductibilité électrique, aimantation, (ii) conductibilité thermique,chaleur spécifique, (iii) température et chaleur latente de transformation, (iv) énergie de surface,de liaison, (v) transparence, . . .

1

2 CHAPITRE 1. INTRODUCTION

– Propriétés chimiques : (i) résistance à la corrosion, à l’oxydation, (ii) stabilité, diagrammesd’équilibre, . . .

En général, le choix d’un matériau pour une application donnée est la conséquence de propriétésadaptées dans un ou plusieurs des domaines indiqués (par exemple l’aluminium est parfois utilisé dansles culasses automobiles malgré sa faible température de fusion, en raison de son faible poids et de sabonne conductibilité thermique). Il est aussi orienté par d’autres considérations, ce sont les performancesdu matériau, au rang desquelles vont se classer des éléments technologiques et économiques, en mêmetemps que des caractéristiques moins facilement mesurables comme l’aspect (fondamental dans lebâtiment pour les éléments de façade, pour les carosseries automobiles, ...) :

– disponibilité, reproductibilité, fiabilité,– usinabilité, aptitude à la mise en forme, soudabilité,– absence de nocivité, possibilité de recyclage,– coût,– aspect,– bonne caractérisation.

1.2 Domaines d’utilisation des modèles

La bonne connaissance des matériaux et leur bonne utilisation font donc intervenir trois domainesd’activité.

1. Le développement du matériau lui-même (ce secteur étant absent dans le cas des géomatériaux).Là se jouent l’évolution du matériau, la découverte de nouvelles microstructures, qui concourent àl’amélioration des performances intrinsèques.

2. La caractérisation des propriétés d’emploi. Ce point a pour but d’apporter une meilleureconnaissance d’un matériau existant, (mécanismes physiques qui provoquent ou accompagnent ladéformation, effets mécaniques macroscopiques), donc de réduire les incertitudes et d’augmenterla fiabilité des modèles utilisés.

3. Le travail sur les modèles numériques permet d’améliorer la représentation des pièces, structuresou domaines calculés (par amélioration des algorithmes, qui autorisent le traitement de modèlesnumériques plus importants, par exemple 3D au lieu de 2D).

Le cours de Mécanique des Matériaux Solides est consacré essentiellement à l’étude des propriétésmécaniques des matériaux (point (2)). Le point (1) est le domaine des métallurgistes et des chimistes.Le point (3) celui de la mécanique des structures. La figure 1.1 schématise les types d’opérations pourlesquelles il est fait appel aux propriétés des matériaux.

La phase de conception (fig.1.1a) met en œuvre une approche synthétique du problème, qui est enfait résolu par méthode inverse, soit : «quelle forme donner à la pièce, en quel matériau la construire pourqu’elle réponde au cahier des charges». Dans la mesure où les éléments extérieurs sont nombreux, etparfois non scientifiques, il n’y a en général pas d’autre solution que de choisir des descriptions simplesdes matériaux, et d’appliquer des codes, ou règles simplifiées. Dans la plupart des cas, cette approche estsuffisante.

Il peut subsister parfois des cas litigieux (pièces de haute sécurité, . . .) qui nécessitent la mise en placed’une procédure de justification (fig.1.1b). Au contraire de la précédente, la démarche est analytique,puisque la géométrie, les charges, le matériau, etc... sont figés, et qu’il s’agit simplement, par un calculdirect, de caractériser la bonne tenue. Cette procédure peut être employée à la construction, ou encorelongtemps après la mise en route d’une installation, afin d’obtenir une requalification qui prolonge ladurée de vie : on cherche ainsi actuellement à justifier une prolongation de la durée de vie garantiedes centrales nucléaires. Ayant été conçues à l’aide de méthodes de dimensionnement simplifiées, ellespeuvent sans doute voir la prévision de leur espérance de vie prolongée à l’aide de méthodes plusprécises.

1.3. LES TYPES DE MODÈLES DE MATÉRIAUX 3

Efforts

Prix

Disponibilité

souhaitéeElaboration

Type de matériau

Forme

Règles simplifiées

Température Aspect

Durée de vie

a. Conception

Comportement du

Forme

Température

Efforts

prévueDurée de vie Elaboration

Type de matériau

matériau

b. Justification

Durée de vie Elaboration

Type de matériau

Forme

matériauComportement duTempérature

Efforts

Raisons del’échec

c. Expertise

FormeType de matériauElaboration

du matériauComportement

Température

Efforts

Oui Non

Objectif OK ?

d. Optimisation

FIG. 1.1 – Opérations industrielles où intervient le comportement des matériaux

Il faut encore avoir recours à des modèles plus précis dans le cas de l’expertise (fig.1.1c) puisqu’unetelle opération intervient après qu’un problème, grave ou non, soit apparu. Le point important ici estd’être capable de mettre en regard les modèles utilisés et les phénomènes physiques qui se sont produits.

L’optimisation (fig.1.1d) va tendre à se généraliser, grâce à l’arrivée de calculateurs suffisammentpuissants pour qu’il soit envisageable d’effectuer plusieurs dizaines de fois le calcul de la structure àétudier.

1.3 Les types de modèles de matériaux

Ce cours va s’efforcer de faire référence à une grande variété de matériaux solides. Les modèles quiseront considérés s’appliquent aux métaux, aux céramiques, aux polymères, aux composites, au bois, aubéton, aux sols (sables et roches), aux biomatériaux (os, tissus).

Il y a deux grandes voies permettant d’avoir accès aux propriétés mécaniques de ces matériaux :

1. Une approche déductive, qui cherche à prendre en compte la microstructure du matériau en vue dedéterminer ses propriétés macroscopiques. Ainsi un métal sera considéré comme un polycristal,agrégat de grains d’orientations cristallographiques différentes, et au comportement individuelparfaitement caractérisé, un composite se verra représenté par sa matrice et ses fibres, un bétonpar la matrice et les granulats... Cette approche choisit donc de modéliser l’hétérogénéité desmatériaux, en vue de mieux prévoir le comportement moyen global (par exemple si les proportions


Matériau Type d’hétérogénéité Taille de l’EVRMétaux cristal, 10–100 µm 1 mm

Polymères molécules, 10–50 µm 1 mmCéramiques grains, 1–10 µm 0,1 mm

Bois fibres, 0,1–1 mm 10 mmBéton granulats, 1 cm 10 cm

Argiles grains, 1–10 mm 1 mm

TAB. 1.1 – Exemples de volumes élémentaires représentatifs (la taille de l’EVR désigne la dimensiondu côté du cube élémentaire considéré).

des constituants changent). Elle est donc relativement riche, de par son principe même, mais elleest également lourde à mettre en œuvre, si bien que son utilisation est encore limitée à la prévisiondu comportement des matériaux, dans l’optique de mieux comprendre leur «fonctionnement» etd’améliorer leurs propriétés mécaniques.

2. Une approche inductive, de nature phénoménologique, qui, à l’inverse, cherchera simplementà caractériser le comportement d’un élément de volume représentatif (EVR). Faisant alorsabstraction de la structure fine du matériau. Cette méthode de travail consiste à déterminer lesrelations de cause à effet qui existent entre les variables constituant les entrées et les sorties duprocessus étudié. C’est par excellence l’approche de l’ingénieur dans ses travaux de conception.Elle trouve une justification dans le fait que des phénomènes de l’échelle microscopique très diverspeuvent conduire, après des effets de moyenne, à des réponses globales de même nature. Par contre,leur emploi aveugle peut être dangereux s’il s’agit d’appliquer le modèle hors de son domaine dedétermination initial. Il reste que cette méthode est, dans bien des cas, la seule applicable dansun cadre industriel. Le choix de l’élément de volume représentatif est bien entendu fondamental :celui-ci doit être suffisamment grand par rapport aux hétérogénéités du matériau, et rester petitpar rapport aux gradients de contraintes et de déformations dans la structure. Il faut par exempleune trentaine de grains dans la partie utile d’une éprouvette de traction, qui sert à déterminer lespropriétés d’un métal. Le tableau 1.1 donne des exemples de tailles raisonnables pour quelquesmatériaux courants.

1.4 Les essais mécaniques

Il y a une grande variété de comportements présentant des non-linéarités liées à la déformation ou autemps, en relation avec l’environnement. Il est donc indispensable de les caractériser expérimentalement.Les essais mécaniques sur de petits spécimens, ou éprouvettes sont donc à la base de toutes les études. Ilsvont donc être brièvement caractérisés ici. L’observation des caractéristiques expérimentales va permettred’identifier les types de comportement fondamentaux qu’il importera de simuler.

Il existe de nombreux essais qui permettent de caractériser les propriétés mécaniques des matériaux.Certains sont normalisés (AFNOR, Association Française de NORmalisation ; ISO, InternationalStandardisation Organisation ; ASTM, American Society for Testing and Materials) ; il s’agit d’essaissimples à réaliser, reproductibles, servant à donner des informations sur les seuils de charge quiproduisent des déformations irréversibles, ou encore la rupture. Ils sont utilisés par les ingénieurs encontrôle et caractérisation. En revanche, et pour caractériser plus finement les matériaux, les chercheursont recours à des moyens d’essais plus complexes, mettant en œuvre des chargements multiaxiaux ouanisothermes. La présentation qui est donnée ici est très succincte. Des essais spécifiques d’un matériauou d’un domaine industriel seront détaillés au cours des différentes séances. On trouve maintenant dessites internet qui contiennent des bases de données matériau. Quelques adresses sont signalées sur le site

1.4. LES ESSAIS MÉCANIQUES 5

http ://mms2.ensmp.fr. Il faut bien retenir par ailleurs que l’obtention de ces données et les méthodes decalcul associées sont souvent considérées comme stratégiques par les entreprises, et qu’elles sont gardéesconfidentielles.

1.4.1 Différents types d’essais

Essai de traction simple : Un essai de traction (σ > 0) ou de compression (σ < 0) réalisé à vitesse dedéformation constante ε sur un matériau réel donne des résultats en termes d’efforts et de déplacement,que l’on cherche ensuite à convertir en une courbe contrainte-déformation (σ en fonction de ε). Dans lecas des alliages métalliques et des polymères, on cherche à se ramener à un état de contrainte simple,uniaxial. Les éprouvettes sont des cylindres munis en général de têtes d’amarrage filetées. Pour desraisons de représentativité, on est amené à utiliser de plaques pour le cas des materiaux composites,ou encore des poutres pour les matériaux céramiques, qui cassent de façon fragile en traction. C’estpour la même raison que l’on teste les géomateriaux en utilisant des cyclindres en compression, avecparfois un confinement latéral. Pour le cas de la compression simple, il faut porter une grande attentionaux conditions aux limites, en autorisant le meilleur glissement possible sur les appuis, faute de quoi sedéveloppent dans l’éprouvette des champs de contrainte et de déformation complexes (mise en tonneaude l’échantillon).

Les courbes obtenues à l’aide de cet essai ont typiquement l’allure indiquée en figure 1.2 lorsquele comportement du matériau observé est indépendant de la vitesse (comportement de plasticitéindépendante du temps). Le comportement fait apparaître une partie linéaire (élasticité) suivie d’unepartie non linéaire, au cours de laquelle la pente diminue dans le diagramme déformation–contrainte, aupoint de devenir éventuellement négative.

– Re désigne la limite d’élasticité «vraie», oulimite de proportionnalité,

– R0,2 désigne la limite d’élasticité conven-tionnelle, qui correspond à une déformationinélastique de 0,2%,

– Rm désigne la résistance à la traction,– Ah désigne l’allongement correspondant à la

contrainte maximale,– Ar désigne l’allongement à la rupture.

=F/Sσ

RR

R

m

e0,2

A A0,2% h r ∆ l/l0

FIG. 1.2 – Schéma d’un essai de traction simple

Quoique d’apparence simple, il s’agit en fait d’un essai dont l’interprétation peut devenir délicate,puisque la diminution de pente observée peut recouvrir des phénomènes physiques très différents, etsurtout que le passage à des pentes négatives est en géneral lié au fait que le champ de déformation n’estplus uniforme. En traction sur un métal, ceci correspond à des phénomènes qui peuvent être d’originemétallurgique (bandes de Lüders) ou géométrique, lorsque les déformations sont trop importantesstriction au centre de l’éprouvette. Une approche élémentaire due à Considère indique que l’apparitionde la striction se produit lorsque l’égalité dσ/dε = σ est vérifiée. Dans le cas des roches, l’adoucissementest en général lié à des phénomènes d’endommagement, qui introduisent des désordres dans le matériauétudié.

http://mms2.ensmp.fr


0

100

200

300

400

500

600

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045

stre

ss (

MP

a)

strain (mm/mm)

Tension curve, aluminium alloy

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1

σ(MPa)

ε

725C

ε = 2.4 10−4s−1

×

×

×

××

××

××

××

×

ε = 8.0 10−5s−1

+

++

++

+ + + + + +

+

ε = 1.6 10−5s−1⊕

⊕

⊕⊕

⊕⊕

⊕ ⊕ ⊕ ⊕ ⊕

⊕

(a) (b)

FIG. 1.3 – (a) Traction simple sur une éprouvette en alliage d’aluminium ; (b) Traction simple sur unacier austénitique à 725C

La figure 1.3a montre le début d’une courbe de traction d’un alliage d’aluminium à températureambiante. Lorsqu’on élève la température au dessus du tiers de la température de fusion, le comportementdevient sensible à la vitesse de déformation. C’est le cas de la figure 1.3b, qui montre l’allure des courbesobtenues pour un acier austénitique à 725C . A très grande vitesse, on obtiendrait une certaine saturationde l’effet de vitesse. A faible vitesse, on tend également vers une limite correspondant à la courbe detraction à vitesse nulle, qui n’est liée qu’à l’écrouissage.

Essai de fluage : Lorsqu’une éprouvette est soumise à une traction simple (essai monodimensionnelsous une contrainte σ et une déformation ε), si, à partir d’un certain état, la contrainte est maintenueconstante, la déformation restera constante (absence de déformations différées dans le temps) s’il n’y aaucune viscosité. Lorsqu’on dépasse le tiers de la température de fusion dans les alliages métalliques,on observe au contraire des déformations liées au caractère visqueux du comportement. On distingueclassiquement 3 stades dans un essai de fluage, comme indiqué sur la figure 1.4a, le fluage primaire (I),au cours duquel le matériau se durcit le fluage secondaire (II) pendant lequel la vitesse est constante,et le fluage tertiaire (III) au cours duquel l’endommagement devient significatif, ce qui conduit à uneaugmentation de la vitesse menant à la rupture. La figure 1.4b montre quant à elle le résultat obtenu pourdifférents niveaux de chargement sur une fonte à 800C .

pε

III

III

t

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0 200 400 600 800 1000

εp

t (s)

σ=12MPa

σ=16MPa

++++++

++

++

++

++

+

+

+

+

+

++

+

σ=20MPa

⊕⊕⊕⊕⊕⊕⊕

⊕⊕⊕

⊕

⊕

⊕

⊕

⊕

⊕

⊕

⊕

⊕

⊕

σ=25MPa

××××

×

×

×

×

×

FIG. 1.4 – (a) Les trois étapes d’un essai de fluage ; (b) Fluage d’une fonte à 800C

En fait, dans le cas d’un matériau réel (conçu par l’homme ou existant déjà dans la nature), desdéformations différées (phénomène de viscosité) seront alors observées de façon à peu près systématique,à tel point qu’il faut admettre que tous les matériaux réels présentent ce phénomène de viscosité, pourvuqu’une période de temps suffisamment grande soit considérée. Ainsi, si une éprouvette cylindriqued’une roche saline (Nacl : sel gemme, Kcl : potasse) d’une dizaine de centimètres est soumise à une

1.4. LES ESSAIS MÉCANIQUES 7

σv

pε

σs

t

σ σ

E

FIG. 1.5 – Représentation d’un essai de relaxation

pression axiale d’une dizaine de MPa, pression maintenue constante, et que sa hauteur est mesurée aubout d’une journée, puis une journée plus tard avec une précision absolue de 1mm, alors, à températureambiante, aucune variation de longueur ne sera détectée. Il ne faut pas en déduire que les roches salinesà température ambiante ne présentent pas de viscosité, car, en augmentant la précision de la mesure ouen attendant plus longtemps (un mois de fluage par exemple), il est possible d’observer des déformationsdifférées.

Essai de relaxation : Une autre manière de caractériser la viscosité d’un matériau est de le soumettreà un essai de relaxation, dans lequel la déformation de l’éprouvette est maintenue constante aprèsune prédéformation intitiale. Plus le comportement du matériau présente une composante visqueuseimportante, et plus la contrainte chute rapidement, pour atteindre éventuellement une valeur nulle. Cetessai est essentiellement réalisé sur les métaux et les polymères.

Essai triaxial : Comme indiqué précédemment, certains matériaux ne peuvent pas être testéssimplement en traction, en raison de leur très faible résistance, ou de leur forte sensibilité aux décentragesdes lignes d’amarrage (béton, céramique). Ils sont alors testés en compression, ou en flexion. Lacompression uniaxiale sur des cylindres a déjà été décrite, mais il est parfois nécessaire d’avoir recoursà un mode de sollicitation où les bords latéraux sont contenus (essai triaxial) : l’échantillon est soumislatéralement à une pression hydrostatique qui assure son maintien, ce qui permet par exemple de testerdes matériaux pulvérulents (argiles, sables).

Essai de flexion : Il est réalisé sur des barrettes, avec 3 ou 4 points d’appuis, ce dernier caspermettant de bénéficier d’une zone centrale dans laquelle le «moment de flexion» est uniforme. Il estessentiellement utilisé avec des matériaux fragiles, dont le comportement sera élastique. La plastification,associée au fait que le comportement en traction et en compression peut être différent, conduit à desredistributions de contraintes complexes dans l’éprouvette, si bien que le dépouillement de l’essai lui-même peut nécessiter un calcul de structure.

Dans un même ordre d’idée, il existe également des essais de flexion rotative, dans lesquels uneéprouvette en rotation, encastrée à une extrémité, subit un effort perpendiculaire à son axe, si bien queles points de la surface extérieure voient leur état de contrainte passer alternativement de la traction à lacompression. Ces essais sont utilisés pour déterminer la «limite de fatigue», sollicitation en dessous delaquelle le matériau résistera à un chargement répété.

Essai de torsion : Réalisé sur éprouvette pleine, cet essai est essentiellement utilisé à hautetempérature pour connaître l’aptitude à la mise en forme des métaux. L’avantage de ce type d’essaiest d’éviter la striction. Par contre, il est d’interprétation difficile, dans la mesure où l’état de contrainteet déformation n’est pas uniforme. Il est possible de remédier à ce dernier inconvénient, en adoptantcomme éprouvettes des tubes minces, qui peuvent être instrumentés localement, à l’aide de jauges ou


d’extensomètres.

Essai de dureté : Largement employé comme moyen de contrôle, il mesure la résistance à lapénétration d’indenteurs de diverses formes, par exemple une bille d’acier de gros diamètre (10 mm)dans le cas de l’essai Brinel, ou une pyramide diamant à base carrée, l’angle entre les faces opposéesétant de 136pour l’essai Vickers. Une relation empirique indique que, dans les aciers doux, la duretéVickers (force/dimension de l’empreinte) est de l’ordre de 3 fois la résistance à la traction.

Essai Charpy : Il permet de caractériser sur un barreau entaillé le passage d’un mode de ruptureductile, accompagné de déformation inélastique, donc à forte énergie, à un mode de rupture fragile,présent à plus basse température, qui ne met en jeu que des énergies faibles. Cette étude se fait enrompant l’éprouvette sous impact à l’aide d’un mouton-pendule, et en mesurant l’énergie absorbée lorsde l’impact : le résultat s’exprime en joules par centimètre carré de section résiduelle, et est dénommérésilience.

Essais complexes : Outre les essais de traction-torsion sur tube, il existe d’autres moyens de générerdes états de contraintes multiaxiales contrôlés dans des éprouvettes. C’est le cas d’essais de traction-pression interne sur tube, ou encore d’essais sur des éprouvettes cruciformes.

1.4.2 Moyens de mesure, ordres de grandeur

La bonne connaissance de la précision des mesures effectuées est fondamentale pour pouvoirconsidérer d’un œil critique les résultats obtenus dans un essai mécanique.

– Les forces ou les contraintes sont généralement mesurées avec des dynamomètres, dont laprécision relative est de l’ordre de 10−3.

– Les déplacements fournissent une information moyenne sur ce qui se passe dans une zone del’éprouvette. Les capteurs doivent donc être fixés si possible dans une zone où les déformationssont homogènes, faute de quoi des hypothèses, ou un calcul de structure seront nécessaires pouranalyser les résultats de l’essai. Les capteurs classiques, inductifs ou à jauges de déformation,assurent une précision absolue de l’ordre de 1µm. Des développements spécifiques, ou l’utilisationd’extensomètres optiques peuvent permettre d’abaisser cette limite à 0,2µm. Dans tous les cas, ilest préférable d’effectuer une mesure locale de la déformation, ce qui permet de faire abstractiondes phénomènes complexes prenant naissance hors de la partie utile, de section constante.

– L’information locale sur la déformation donnée par une jauge de déformation (fil résistant collé surune éprouvette, qui se déforme avec elle, si bien que la résistance électrique change) est en généralplus précise que la précédente, puisqu’il est possible de mesurer des déformations de l’ordre de10−7. Néanmoins les jauges ne fonctionnent pas à haute température, et sont susceptibles de sedécoller en cours d’essai.

– La température est une des grandeurs les plus difficiles à maîtriser. Les thermocouples (utilisantl’effet Peltier) fournissent en général une précision théorique inférieure au degré. Par contre, il peutêtre très délicat de venir positionner un thermocouple sur l’éprouvette, sans générer de résistancethermique de contact, et sans que la mesure ne perturbe le milieu environnant.

– La méthode électrique s’avère être un complément utile des méthodes citées ci-dessus, lorsqu’ils’agit de mettre en évidence l’endommagement ou la rupture d’une éprouvette conductrice. Elleconsiste à faire circuler un courant continu de forte intensité dans l’éprouvette, et à mesurer lavariation de potentiel sur deux prises de potentiels situées au voisinage de la partie utile. Lesétalonnages peuvent s’effectuer sur des configurations de référence (fissures calibrées), ou par lecalcul. Il est possible d’accéder à des variations de potentiel de l’ordre de 1mV, ce qui corresponden général à des fissures de l’ordre de quelques dizièmes de millimètres.

1.5. MISE EN ŒUVRE 9

1.5 Mise en œuvre

La manière dont sont stockées et utilisées les connaissances en matériau et en mécanique aconsidérablement évolué au cours des vingt dernières années. Le recours à l’informatique est général,avec le développement de bases de données, de sites internet proposant leurs services, et les codesde calcul de structures notamment. Cette floraison ne dispense pas de développer une compréhensionprofonde des modèles utilisés en simulation. Sans les capacités de juger de la bonne tenue de sesrésultats, un ingénieur ou un chercheur peut en effet se laisser porter par l’apparente facilité d’utilisationqu’apportent des interfaces-utilisateurs de plus en plus conviviales, et fournir des résultats, en couleur,tout à fait aberrants. Cette conséquence est d’autant plus probable que le modèle est complexe, et lecomportement non linéaire est une source inépuisable de résultats erronés.

Pour tâcher d’éviter cet écueil, il faut en passer par un apprentissage manuel des ordres de grandeurset des méthodologies de calcul. On sera ainsi mieux armé pour aborder l’indispensable outil numérique.

Chapitre 2

Rhéologie

La construction des modèles de comportement non linéaire des matériaux comporte deux volets :l’étude des propriétés rhéologiques et la définition de la forme des équations pour un chargementtridimensionnel. La rhéologie, étude des écoulements, permet de relier les contraintes, les déformations,et leurs dérivées, et caractérise la nature des comportements. La caractérisation expérimentale a étéévoquée en introduction. Certains comportements fondamentaux ont été identifiés. Chacun va secaractériser ici par une brique élémentaire. Les comportements les plus complexes se batissent ensuiteà partir de celles-ci en formant des assemblages qui sont décrits dans ce chapitre. La conception d’unmodèle complet nécessite enfin le choix d’une généralisation qui permette de passer de l’étude souschargement uniaxial à celle des chargements multiaxiaux. Ce sera l’objet du chapitre suivant, qui décrirales différents critères qui autorisent cette généralisation. On commence l’examen des différentes classesde modèle par quelques remarques sur les types de déformation que peut subir la matière.

2.1 Les différents types de «déformation»

2.1.1 Les sources de «déformation»

Pour les lois de comportement les plus simples (élasticité, viscosité pure) un seul tenseur dedéformation permet de caractériser les changements de forme de l’élément de volume. De nombreusessituations pratiques font au contraire intervenir d’autres types de déformations. Avant d’aborder cettedescription, on fait le bilan des éléments nécessaires à la construction d’une loi de comportement.

Un cadre devenu classique, et qui est présenté dans le cours de MMC (Forest et al., 2010) (chapitre5) suppose que l’on définisse un certain nombre de variables d’état qui représentent à l’instant t lerésultat de toute l’histoire du matériau. La déformation élastique est l’exemple d’une telle variable. Il fautensuite introduire des coefficients, ou paramètres matériau, qui vont porter sur ces variables et définirles grandeurs associées (l’approche thermodynamique parle de «forces» thermodynamiques) qu’ellesgénèrent. Ainsi, le tenseur des modules d’élasticité permet-il de calculer le tenseur des contraintes.Un matériau est également soumis à l’action de paramètres extérieurs, qui vont créer en son sein desdistorsions ou des variations de volume.

Le fait de solliciter le matériau dans des conditions extrêmes (fortes charges par exemple) faitapparaître des irréversibilités dans le processus de déformation, qui devront être caractérisées par denouvelles variables d’état. On entamera au paragraphe suivant l’étude de ce type de déformation. Il fautauparavant citer le cas des déformations paramétriques. On regroupe derrière cette dénomination lesmodes de déformations additionnels, qui sont pilotés par des paramètres extérieurs. En toute rigueurles distorsions et dilatations produites ne conduisent pas à un tenseur de déformation, parce qu’ellesne vérifient pas forcément les équations de compatibilité. L’usage a néanmoins consacré l’abus denotation, et on utilise par exemple ε

∼th pour désigner la dilatation thermique ; on accepte même parfois de

parler de déformation thermique. Parmi les autres paramètres extérieurs qui fournissent des déformations

11

12 CHAPITRE 2. RHÉOLOGIE

additionnelles, on peut citer par exemple :– l’irradiation d’un matériau, qui provoque dans certaines gammes de température la germination et

la croissance de cavités, ce qui produit un changement de volume ;– le changement de phase ; les métaux et alliages, mais aussi les roches, peuvent changer de

réseau cristallin en fonction de la température et de la pression. Ces phénomènes doivent bienentendu être décrits à l’aide de variables d’état, mais, dans la mesure où une quantité donnéed’atomes n’occupera pas le même volume en fonction de sa phase cristallographique (cubique,hexagonale,. . .), un changement de volume spécifique accompagnera de façon systématique lechangement de phase.

2.1.2 Dilatation thermique

La dilatation thermique est proportionnelle à la variation de température pour une petite variationde celle-ci autour d’un point de fonctionnement considéré. Ceci permet donc d’introduire un tenseur dedilatation thermique. Sur une large gamme de température, l’expérience montre que les termes de cetenseur dépendent de la température. Comme par ailleurs on peut choisir la température à laquelle onprend la dilatation thermique nulle, il faut introduire deux températures particulières dans la définition,T0 température à laquelle ε

∼th est nul, et Tr, température de référence à partir de laquelle est mesuré α

∼. La

forme complète est alors :– pour le cas anisotrope

ε∼

th = α∼(T )(T −Tr)−α

∼(T0)(T0−Tr) (2.1)

– pour le cas isotropeε∼

th = α(T )(T −Tr)I∼−α(T0)(T0−Tr)I

∼(2.2)

soitε

thi j = α(T )(T −Tr)δi j−α(T0)(T0−Tr)δi j (2.3)

Dans une telle définition, α(T ) (dépendant de la température) est le coefficient de dilatation sécant.C’est lui qui est ordinairement tabulé dans les bases de données.

La déformation totale s’écrit comme une somme de la part élastique et de la part thermique :

ε∼

= ε∼

e + ε∼

th

Lorsque le champ de température dans une pièce n’est pas uniforme, la dilatation varie d’un point àl’autre. Si le champ appliqué permet de vérifier les conditions de compatibilité, et s’il peut se développerune dilatation libre, il n’y a pas de contrainte ; dans le cas contraire (champ de température trop complexeou restrictions cinématiques), ceci conduit au développement de contraintes thermomécaniques.

2.2 Les briques de base du comportement non linéaire

L’allure qualitative de la réponse des matériaux à quelques essais simples permet de les ranger dansdes classes bien définies. Ces comportements «de base», qui peuvent être représentés par des systèmesmécaniques élémentaires, sont l’élasticité, la plasticité et la viscosité. Les éléments les plus courants sontreportés en figure 2.1, où le point au-dessus d’une variable désigne la dérivée temporelle :

1. Le ressort, qui symbolise l’élasticité linéaire parfaite, pour laquelle la déformation est entièrementréversible lors d’une décharge, et où il existe une relation biunivoque entre les paramètres de chargeet de déformation (figure 2.1a).

2. L’amortisseur, qui schématise la viscosité, linéaire (figure 2.1b) ou non–linéaire (figure 2.1c). Laviscosité est dite pure s’il existe une relation biunivoque entre la charge et la vitesse de chargement.Si cette relation est linéaire, le modèle correspond à la loi de Newton.

2.3. PLASTICITÉ UNIAXIALE 13

3. Le patin, qui modélise l’apparition de déformations permanentes lorsque la charge est suffisante(figure 2.1d). Si le seuil d’apparition de la déformation permanente n’évolue pas avec lechargement, le comportement est dit plastique parfait. Si, de plus, la déformation avant écoulementest négligée, le modèle est rigide–parfaitement plastique.

σ = Eε

σ = ηε

σ = ηε1/N

−σy ≤ σ≤ σy

a.

b.

c.

d.

FIG. 2.1 – Les « briques de base » pour la représentation des comportements

Ces éléments peuvent être combinés entre eux pour former des modèles rhéologiques. Ceux-cireprésentent des systèmes mécaniques qui servent de support dans la définition des modèles. Il ne faut enaucun cas leur accorder un trop grand crédit pour ce qui concerne la représentation des phénomènesphysiques qui sont à la base des déformations. Ils sont néanmoins brièvement présentés ici, car ilspermettent de comprendre la nature des relations à introduire pour chaque type de comportement, enpratiquant par exemple l’exercice qui consiste à combiner deux à deux les modèles élémentaires. C’estaussi l’occasion d’introduire l’ensemble du vocabulaire qui sera utile dans le cas général des chargementstridimensionnels.

En fonction du type de chargement imposé, la réponse de ces systèmes peut être jugée dans 3 plansdifférents :

– plan déformation–contrainte, ε-σ, pour l’essai de traction simple, ou d’écrouissage, augmentationmonotone de la charge ou de la déformation ;

– plan temps–déformation, t-ε, pour l’essai de fluage, sous charge constante ;– plan temps–contrainte, t-σ, pour l’essais de relaxation, sous déformation constante.

2.3 Plasticité uniaxiale

2.3.1 Modèle élastique–parfaitement plastique

L’association d’un ressort et d’un patin en série (figure 2.2 a) produit un comportement élastiqueparfaitement plastique, modélisé en figure 2.2 c. Le système ne peut pas supporter une contrainte dont lavaleur absolue est plus grande que σy.

Pour caractériser ce modèle, il faut considérer une fonction de charge f dépendant de la seule variableσ, et définie par :

f (σ) = |σ|−σy (2.4)

Le domaine d’élasticité correspond aux valeurs négatives de f , et le comportement du système se résume


a.

(σy) (E)

b.

(σy)

(H)

εp

σσy

−σyc.

σy

Hεp

σ

d.

FIG. 2.2 – Associations en série ou parallèle de patin et ressort

alors aux équations suivantes :

− domaine d’élasticité si : f < 0 (ε = εe = σ/E) (2.5)

− décharge élastique si : f = 0 et f < 0 (ε = εe = σ/E) (2.6)

− écoulement plastique si : f = 0 et f = 0 (ε = εp) (2.7)

En régime élastique, la vitesse de déformation plastique est bien entendu nulle, la vitesse dedéformation élastique devenant à son tour nulle pendant l’écoulement plastique. Ceci implique quel’expression de la vitesse de déformation plastique ne peut pas se faire à l’aide de la contrainte. C’est aucontraire la vitesse de déformation qui doit être choisie comme pilote.

Le modèle est sans écrouissage, puisque le niveau de contrainte ne varie plus au sortir du domained’élasticité. Il n’y a pas d’énergie stockée au cours de la déformation, et la dissipation en chaleur est égaleà la puissance plastique. Le modèle est susceptible d’atteindre des déformations infinies sous chargeconstante, conduisant à la ruine du système par déformation excessive.

2.3.2 Modèle de Prager

L’association en parallèle de la figure 2.2b correspond au comportement illustré en figure 2.2d. Dansce cas, le modèle présente de l’écrouissage. Il est dit cinématique linéaire (Prager, 1955), car dépendantlinéairement de la valeur actuelle de la déformation plastique. Sous cette forme, le modèle est rigide–plastique. Il devient élasto–plastique si l’on rajoute un ressort en série. La forme de la courbe dans leplan σ− εp est due au fait que, lors de l’écoulement plastique, la contrainte qui s’établit dans le ressortvaut X = Hεp. Par ailleurs, cet écoulement ne se produit que si la valeur absolue de la contrainte dans lepatin, soit |σ−Hεp|, est égale à σy. Pour une déformation donnée, cette contrainte X est une contrainteinterne qui caractérise le nouvel état neutre du matériau.

Ce deuxième exemple offre l’occasion d’écrire un modèle plus complet que précédemment. Lafonction de charge dépend maintenant de la contrainte appliquée et de la contrainte interne. Elle s’écrit :

f (σ,X) = |σ−X |−σy (2.8)

Il n’y aura présence d’écoulement plastique que si on vérifie à la fois f = 0 et f = 0. Ceci conduit à la

2.3. PLASTICITÉ UNIAXIALE 15

condition suivante :∂ f∂σ

σ− ∂ f∂X

X = 0 (2.9)

D’où :

signe(σ−X) σ+signe(σ−X) X = 0 (2.10)

σ = X , et finalement : εp = σ/H (2.11)

Dans ce cas, la contrainte augmente au cours de l’écoulement plastique, si bien qu’elle peut servir devariable de contrôle. Mais il est aussi toujours possible d’exprimer la vitesse d’écoulement plastique enfonction de la vitesse de déformation totale, en utilisant la décomposition de la déformation combinéeavec l’expression de la vitesse de déformation plastique, le cas où H = 0 redonnant bien entendu le casdu matériau parfaitement plastique :

εp =

EE +H

ε (2.12)

Il est remarquable de noter que le calcul de l’énergie dissipée au cours d’un cycle produit exactementle même résultat que pour le premier montage, ce qui indique que, pour ce type de comportement,une partie de l’énergie est temporairement stockée dans le matériau (ici, dans le ressort), et entièrementrestituée à la décharge. Ceci donne une illustration physique de la notion d’écrouissage renversable, alorsque d’autres règles d’écrouissage cinématique, non–linéaire, qui ne seront pas considérées dans le cadrede ce cours, sont accompagnées d’une dissipation d’énergie.

2.3.3 Écriture générale des équations de l’élastoplasticité uniaxiale

Dans le cas général, les conditions de «charge–décharge» s’expriment donc :

−domaine d’élasticité si : f (σ,Ai)< 0 (ε = σ/E) (2.13)

−décharge élastique si : f (σ,Ai)= 0 et f (σ,Ai)< 0 (ε = σ/E) (2.14)

−écoulement plastique si : f (σ,Ai)= 0 et f (σ,Ai)= 0 (ε = σ/E + εp) (2.15)

Dans le cas général, le module H dépend de la déformation et/ou des variables d’écrouissage. Lavaleur du module plastique au point (σ,Ai) s’obtient en écrivant que le point représentatif du chargementreste sur la limite du domaine d’élasticité au cours de l’écoulement. L’équation qui en découle s’appellela condition de cohérence :

f (σ,Ai) = 0 (2.16)

Ce formalisme peut paraître un peu lourd dans le cadre d’un chargement uniaxial, mais il est utile dele mettre en place, car ce sont les mêmes outils qui seront ensuite utilisés dans le cas plus complexedes chargements multiaxiaux. Dans les deux exemples qui ont été décrits, le domaine d’élasticité estsoit fixe, soit mobile, sa taille étant conservée. Le premier cas ne nécessite bien entendu aucune variabled’écrouissage, le second fait intervenir une variable X qui dépend de la valeur actuelle de la déformationplastique. Cette variable deviendra tensorielle dans le cas général. Comme indiqué plus haut le typed’écrouissage correspondant s’appelle écrouissage cinématique (figure 2.3b).

Une autre évolution élémentaire que peut subir le domaine d’élasticité est l’expansion. Cet autre cas(figure 2.3a) correspond à un matériau dont le domaine d’élasticité voit sa taille augmenter, mais quireste centré sur l’origine : il s’agit d’un écrouissage isotrope (Taylor and Quinney, 1931). La variabled’écrouissage qui intervient dans f est la dimension du domaine d’élasticité, notée R :

f (σ,R) = |σ|−R−σy (2.17)

L’évolution de cette variable est la même quel que soit le signe de la vitesse de déformation plastique.Elle s’exprimera donc en fonction de la déformation plastique cumulée, p, variable dont la dérivée est


égale à la valeur absolue de la vitesse de la déformation plastique : p = |εp|. Bien entendu, il n’y a pas dedifférence entre p et εp tant que le chargement est monotone croissant. Dans ce cas, vérifier la conditionde cohérence revient tout simplement à exprimer que la valeur actuelle de la contrainte est sur la frontièredu domaine d’élasticité. Pour l’écrouissage cinématique, cela s’écrit σ = X + σy, et pour l’écrouissageisotrope σ = R + σy. Cela signifie donc que c’est la loi d’évolution de la variable d’écrouissage quidétermine exactement la forme de la courbe de traction. Les deux modèles rhéologiques invoquésdonnent des courbes linéaires, avec des modules plastiques nul ou constant. Il est souvent plus réalistede considérer une courbe qui se sature en fonction de la déformation, soit par exemple une fonctionpuissance (loi de Ramberg–Osgood, avec deux coefficients matériaux K et m) ou une exponentielle,cette dernière formulation offrant l’avantage d’introduire une contrainte ultime σu supportable par lematériau (deux coefficients matériau, σu et b en plus de σy) :

σ =σy +K (εp)m (2.18)

σ =σu +(σy−σu)exp(−bεp) (2.19)

Dans bien des cas, les utilisateurs ne prennent pas la peine de définir une forme explicite de la loi decomportement, et décrivent la courbe de traction point par point. Cela revient implicitement à considérerun écrouissage isotrope. Ce type d’écrouissage est prédominant pour les déformations importantes(au-delà de 10%). Cependant, l’écrouissage cinématique continue de jouer un rôle important lors dedécharges, même pour les grandes déformations, et c’est lui qui est prépondérant pour les faiblesdéformations et les chargements cycliques. Il permet en particulier de simuler correctement l’effetBauschinger, c’est-à-dire le fait que la contrainte d’élasticité en compression décroît par rapport à lacontrainte initiale à la suite d’un préécrouissage en traction. Il est néanmoins moins souvent utilisé quel’écrouissage isotrope, car son traitement numérique est plus délicat.

εp

σ

R+σy

R+σyσy

a. Isotrope

Xσy

σyσy

εp

σ

b. Cinematique

FIG. 2.3 – Illustration des deux principaux types d’écrouissage

2.4 Viscoélasticité uniaxiale

2.4.1 Un exemple de modèle rhéologique

Le modèle de Maxwell regroupe un amortisseur et un ressort en série (figure 2.4a), celui de Voigt unamortisseur et un ressort en parallèle (figure 2.4b). Leurs équations respectives sont :

−Maxwell : ε = σ/E0 +σ/η (2.20)

−Voigt : σ = Hε+ηε, ou encore : ε = (σ−H ε)/η (2.21)

La particularité du modèle de Voigt est de ne pas présenter d’élasticité instantanée. Ceci entraîne quesa fonction de relaxation n’est pas continue et dérivable par morceaux, avec un saut fini à l’origine :

2.4. VISCOÉLASTICITÉ UNIAXIALE 17

a. Maxwell

(η) (E0)

b. Voigt

(η)

(H)

t

ε

σ0/H

σ0/E0

Voigt

Maxwell

c. Fluage

Maxwell

E0ε0

t

σ

d. Relaxation

FIG. 2.4 – Fonctionnement des modèles de Maxwell et Voigt

l’application d’un saut de déformation en t = 0 produit une contrainte infinie. Ce modèle n’est doncpas utilisable en relaxation, sauf si la mise en charge est progressive, et sera pour cette raison associéà un ressort en série pour effectuer des calculs de structure (modèle de Kelvin–Voigt du paragraphesuivant). Sous l’effet d’une contrainte σ0 constante en fonction du temps, la déformation tend vers lavaleur asymptotique σ0/H, le fluage est donc limité (figure 2.4c). Par ailleurs, si, après une mise encharge lente, la déformation est fixée à une valeur ε0, la contrainte asymptotique sera H ε0. Il n’y a doncpas dans ce dernier cas disparition complète de la contrainte. Au contraire, dans le cas du modèle deMaxwell, la vitesse de fluage est constante (figure 2.4c), et la disparition de contrainte au cours d’uneexpérience de relaxation est totale (figure 2.4d).

Dans le cas de modèles et de chargement aussi simples, la réponse est obtenue instantanémentpar intégration directe des équations différentielles. Les formules obtenues sont respectivement, pourle modèle de Maxwell :

−fluage sous une contrainte σ0 : ε = σ0/E0 +σ0 t /η (2.22)

−relaxation à la déformation ε0 : σ = E0ε0 exp[−t/τ] (2.23)

et pour le modèle de Voigt :

−fluage sous une contrainte σ0 : ε = (σ0 /H)(1− exp[−t/τ′]) (2.24)

Les constantes τ = η/E0 et τ′ = η/H sont homogènes à un temps, τ désignant le temps de relaxation dumodèle de Maxwell.

2.4.2 Étude d’un modèle composé

Le modèle de Kelvin–Voigt (figure 2.5a) présente respectivement les réponses suivantes, pour t > 0,en fluage sous une contrainte σ0, en posant τ f = η/H, et en relaxation pour une déformation ε0, en posantτr = η/(H +E0) :

ε(t) = C(t)σ0 =(

1E0

+1H

(1− exp[−t/τ f ]))

σ0 (2.25)

σ(t) = E(t)ε0 =(

HH +E0

+E0

H +E0exp[−t/τr]

)E0ε0 (2.26)


a. Kelvin–Voigt

(E0)

(H)

(η)

b. Zener

(η)(E2)

(E1)

FIG. 2.5 – Exemple de modèles composés

Le temps caractéristique en relaxation, τr, est plus court que le temps correspondant en fluage, τ f . Lematériau évolue donc plus vite vers son état asymptotique en relaxation qu’en fluage.

Le modèle de Zener (figure 2.5b) peut se ramener au modèle de Kelvin–Voigt, à l’aide du doublechangement de variable 1/E1 = 1/E0 + 1/H, et E2 = E0 + H, ce qui prouve que les deux modèles sonten fait identiques. La même observation peut être faite en fluage. Ce modèle correspond au comportementdu béton frais. Les modèles indiqués peuvent être encore améliorés :

– le modèle de Kelvin–Voigt généralisé est obtenu en ajoutant en série d’autres modules amortisseur-ressort (H,η) dans le cas du premier modèle ; ce modèle représente en général correctement lecomportement des polymères fortement réticulés ;

– le modèle de Maxwell généralisé est obtenu en ajoutant en parallèle d’autres modules amortisseur-ressort (E2,η) au second modèle ; ce modèle représente qualitativement le comportement despolymères thermoplastiques.

2.5 Viscoplasticité uniaxiale

2.5.1 Un exemple de modèle rhéologique

a. Schema du modele

(E)

(H)

(η)

(σy)εvp

σ

εσy

b. Comportement en traction

FIG. 2.6 – Modèle de Bingham généralisé

La figure 2.6a indique comment, en rajoutant un simple amortisseur, il est possible de passertrès simplement d’un modèle ayant un comportement plastique indépendant du temps à un modèleviscoplastique : le modèle obtenu est le modèle de Bingham généralisé. On retrouverait l’original dece modèle en enlevant le ressort en série (E → ∞, pas d’élasticité instantanée, on obtient alors unmodèle rigide viscoplastique), et en supprimant le ressort en parallèle, (H = 0, pas d’écrouissage). Ladéformation élastique se lit aux bornes du ressort de caractéristique E, la déformation viscoplastique,que l’on nommera εvp, aux bornes de l’assemblage en parallèle. La détermination des équations de cemodèle s’effectue en considérant les équations de comportement individuelles de chacun des éléments :

X = Hεvp

σv = ηεvp

σp 6 σy (2.27)

2.5. VISCOPLASTICITÉ UNIAXIALE 19

où X , σv et σp sont respectivement les contraintes dans le ressort de caractéristique H, dans l’amortisseuret dans le patin, et :

σ = X +σv +σp (2.28)

Il y a donc comme pour le modèle plastique un domaine d’élasticité, dont la frontière est atteinte lorsque|σp| = σy. On distingue alors trois régimes de fonctionnement, selon que la vitesse de déformationviscoplastique est nulle, positive ou négative :

(a) εvp =0 |σp|= |σ−Hε

vp| 6σy (2.29)

(b) εvp >0 σp =σ−Hε

vp−ηεvp =σy (2.30)

(c) εvp <0 σp =σ−Hε

vp−ηεvp = −σy (2.31)

Le cas (a) correspond à l’intérieur du domaine d’élasticité (|σp| < σy ) ou à un état de décharge élastique(|σp| = σy et |σp| ≤ 0), les deux autres cas à de l’écoulement (|σp| = σy et |σp| = 0 ). En posant< x >= max(x,0), les trois cas peuvent se résumer par une seule expression :

ηεvp = 〈|σ−X |−σy〉 signe(σ−X) (2.32)

ou encore :

εvp =

< f >

ηsigne(σ−X) avec f (σ,X) = |σ−X |−σy (2.33)

La nature du modèle a maintenant complètement changé, puisque le point représentatif de l’état decontrainte courant peut se trouver dans la zone f > 0, et que la vitesse d’écoulement est maintenantrégie par le temps : elle peut être non nulle sans qu’il y ait d’incrément de contrainte ou de déformation.Ceci explique qu’en figure 2.6b la courbe de traction ne soit plus unique (plus la vitesse est grande,plus la contrainte visqueuse σv sera élevée, et plus la courbe de traction sera haute), et que, lors d’unedécharge, le point de fonctionnement ne pénètre pas immédiatement dans le domaine d’élasticité (onpeut donc avoir un écoulement positif à contrainte décroissante). Par ailleurs, il est possible de simulerdes expériences de fluage ou de relaxation.

En fluage (figure 2.7), en supposant qu’on applique un échelon de contrainte (de 0 à σo > σy) àpartir d’un état de référence où toutes les déformations sont nulles, le modèle prévoit que la déformationviscoplastique est une exponentielle en fonction du temps t, avec un temps caractéristique τ f = η/H(figure 2.7a) :

εvp =

σo−σy

H

(1− exp

(− t

τ f

))(2.34)

La figure 2.7b montre, dans le plan contrainte–déformation viscoplastique, les évolutions respectives dela contrainte interne X et du seuil X +σy. Lorsque ce dernier rejoint la contrainte appliquée σo, la vitessede déformation viscoplastique s’annule.

t

σ0−σy

H

εvp

a.

X

σy

σy

σ0

σ

εvp

b.

FIG. 2.7 – Fluage avec le modèle de Bingham


En relaxation, la réponse à un échelon de déformation (de 0 à εo tel que Eεo > σy) fait cette foisintervenir un temps caractéristique de relaxation τr = η/(E +H) :

σ = σyE

E +H

(1− exp

(− t

τr

))+

Eεo

E +H

(H +E exp

(− t

τr

))(2.35)

La figure 2.8a montre le trajet parcouru par le point représentatif de l’état de contrainte au coursde la relaxation (pente −E puisque εvp + σ/E = 0). La figure 2.8b représente quant à elle le trajetcaractéristique au cours d’une expérience d’effacement , ou encore de recouvrance. En fonction duniveau de chargement initial, on peut rencontrer après décharge une vitesse d’écoulement négative ounulle, mais en aucun cas on ne pourra ramener la déformation viscoplastique à zéro, sauf dans le casparticulier où la contrainte σy est nulle. Il n’y a alors plus de seuil initial, et on conçoit bien qu’il n’estplus nécessaire dans ce cas de définir une décomposition de la déformation : on retrouve d’ailleurs lemodèle de Kelvin–Voigt, donc une approche viscoélastique.

−E

H

εvp

σ

σy

a.

O

A

B

CD

εvp

σ

σy

OA : transitoireAB : relaxationBC : dechargeCD : effacement

incomplet

b.FIG. 2.8 – Fonctionnement du modèle de Bingham à déformation imposée

2.5.2 Quelques modèles classiques en viscoplasticité

Dans l’exemple précédent, la vitesse de déformation viscoplastique est proportionnelle à une certainecontrainte efficace, différence entre la contrainte appliquée et le seuil, qui représente la distance entre lepoint de fonctionnement actuel et la frontière du domaine d’élasticité, qui n’est rien d’autre que la valeurde la fonction f au point de fonctionnement courant. La relation linéaire peut être remplacée par uneforme plus générale, en introduisant une fonction de viscosité, φ, qui fournit alors en traction simple :

εvp = φ( f ) (2.36)

Pour un modèle qui comporterait à la fois de l’écrouissage isotrope et cinématique, cette relation s’inversesous la forme suivante, toujours en traction simple :

σ = σy +X +R+φ−1(εvp) = σy +X +R+σv (2.37)

La courbe de traction est déterminée par l’évolution du seuil, exactement comme dans le cas d’un modèlede plasticité (au travers de X et R), mais également par la fonction de viscosité, qui pilote la valeur de lacontrainte visqueuse σv . Pour des raisons physiques évidentes, on considère que φ(0) = 0, et on supposeégalement que φ est une fonction monotone croissante. Dans le cas où σv s’annule, le modèle reproduitun comportement plastique indépendant du temps. Par ailleurs, plus la vitesse de sollicitation augmente,et plus la contrainte atteinte pour une déformation donnée sera élevée.

Dans le cadre d’un modèle viscoplastique, il y a donc deux possibilités pour introduire del’écrouissage. On conserve les possibilités d’action sur des variables de type X et R, et on peut également

2.6. INFLUENCE DE LA TEMPÉRATURE 21

jouer sur la forme de la contrainte visqueuse. On appelle classiquement modèles à écrouissage additifceux qui jouent sur les variables de type plasticité et modèles à écrouissage multiplicatif ceux quijouent sur la contrainte visqueuse, une approche où les deux mécanismes sont présents étant bienentendu également envisageable. Par ailleurs, contrairement au cas de la plasticité, on peut ici considérerun modèle dans lequel le domaine d’élasticité se réduit à l’origine (σ = 0), et qui ne possède pasd’écrouissage. Ainsi le modèle le plus courant est–il le modèle de Norton (avec deux coefficientsmatériau K et n) :

εvp =

(|σ|K

)n

signe(σ) (2.38)

On peut le généraliser pour en faire un modèle à seuil sans écrouissage, ou réintroduire X et R aux côtésde σy, ce qui conduit à un modèle à écrouissage additif.

εvp =

⟨|σ|−σy

K

⟩n

signe(σ) (2.39)

εvp =

⟨|σ−X |−R−σy

K

⟩n

signe(σ−X) (2.40)

Il y a également une grande liberté pour choisir d’autres formes que la fonction puissance, ainsi un sinushyperbolique dans le modèle de Sellars et Teggart (loi sans écrouissage, coefficients A et K) :

εvp = A sinh

(|σ|K

)signe(σ) (2.41)

Pour obtenir des lois à écrouissage multiplicatif, il faut admettre que la fonction φ ne dépend pasuniquement de f , ainsi la loi de Lemaitre (coefficients matériau K, m et n positifs) :

εvp =

(|σ|K

)n

p−n/m signe(σ) avec p = |εvp| (2.42)

2.6 Influence de la température

Tous les coefficients caractéristiques qui ont été définis ci–dessus sont susceptibles de dépendre de latempérature. Les dépendances se définissent en général par des tables, après examen du comportementisotherme. Dans certains cas, lorsque les mécanismes physiques sont bien définis, il est possible depréciser explicitement l’influence de la température. La loi la plus couramment utilisée pour cela estla loi d’Arrhenius. Elle est valide en fluage. Elle introduit une énergie d’activation thermique Q, et R,constante des gaz parfaits (le rapport Q/R est homogène à une température), et indique que plus latempérature est élevée pour une charge donnée, plus la vitesse de déformation est grande :

εvp = εo exp(−Q/RT ) (2.43)

Ceci permet de construire des équivalences temps–température, et, en menant en laboratoire des essais àtempérature plus élevée que la température de fonctionnement visée dans les applications, d’obtenir enun temps limité des informations sur le comportement à long terme. Cette approche doit bien entenduêtre manipulée avec précaution dans le cas de matériaux vieillissants, et elle ne peut être étendue à detrop grandes plages de température.


Résumé

Les équations très générales qui ont été écrites pour le moment mettent en évidence la naturedes modèles de viscoélasticité, de plasticité et de viscoplasticité. Ces deux derniers ont encommun l’existence d’un domaine d’élasticité (éventuellement réduit à l’origine pour le modèleviscoplastique) et de variables d’écrouissage. Par contre, il faut aussi retenir que l’écoulementplastique est instantané, alors que l’écoulement viscoplastique est retardé :

dεp = g(σ, . . .)dσ dε

vp = g(σ, . . .)dt (2.44)

Ceci aura des conséquences importantes pour l’écriture du comportement élasto-(visco)-plastiquetangent, qui est la caractéristique utilisée par les codes de calcul de structures.On ne considère dans ce cours que des formes très naïves d’écrouissage, dans la mesure oùl’objectif est avant tout de mettre en place les structures des théories. La description de formes plusréalistes nécessiterait bien plus de temps. On retiendra pour mémoire les effets des chargementscycliques, des trajets de chargement multiaxiaux non proportionnels, des changements de phase,le vieillissement, les interactions avec l’environnement, etc. . . La plupart de ces effets sontmaintenant bien documentés, et font l’objet de modélisations spécifiques.En l’absence de déformations paramétriques, les principales équations sont donc les suivantes (enadoptant à partir de maintenant la même notation, εp, pour la déformation viscoplastique commepour la déformation plastique) :

– Viscoélasticité : le modèle est une combinaison des déformations, des contraintes, et de leursvitesses :

−Maxwell : ε = σ/E0 +σ/η

−Voigt : σ = Hε+ηε, ou encore : ε = (σ−H ε)/η

– Plasticité et viscoplasticité :ε = ε

e + εp

– Plasticité :

−domaine d’élasticité si : f (σ,Ai)< 0 (ε = σ/E)−décharge élastique si : f (σ,Ai)= 0 et f (σ,Ai)< 0 (ε = σ/E)−écoulement plastique si : f (σ,Ai)= 0 et f (σ,Ai)= 0 (ε = σ/E + ε

p)

En traction à contrainte imposée :

εp =

σ

HEn traction à déformation imposée :

εp =

ε

E +H– Viscoplasticité :

−domaine d’élasticité si : f (σ,Ai)6 0 (ε = σ/E)−écoulement plastique si : f (σ,Ai)> 0 (ε = σ/E + ε

p)

En traction à contrainte et à déformation imposée, une forme possible est :

εp =

(σ−σy

K

)n

Chapitre 3

Critères

La description des modèles à utiliser sous chargement uniaxial qui a été faite dans le chapitreprécédent a mis en évidence un domaine d’élasticité, dans l’espace des contraintes et des variablesd’écrouissage, pour lequel il n’y a pas d’écoulement plastique ou viscoplastique. La trace de ce domainesur l’axe de la contrainte se limite à un segment de droite, qui peut subir une translation ou une expansion(il peut même parfois se limiter à un point). Par ailleurs certains modèles sont capables de représenterune contrainte maximale supportable par le matériau. Afin de pouvoir aborder l’étude des chargementsmultiaxiaux, il est nécessaire de se donner les moyens de définir de telles limites en tridimensionnel. Onpasse donc en revue les outils disponibles pour écrire ces modèles dans le cas de milieux continus, enfinon montre les principales classes de critères. De même que pour les lois d’écoulement qui ont été citéesprécédemment, le choix de tel ou tel critère va dépendre du matériau étudié.

3.1 Les outils disponibles

Le cas du chargement uniaxial étudié jusqu’à présent fait apparaître un domaine d’élasticité autravers de deux valeurs de contrainte, l’une en traction, l’autre en compression, pour lesquelles seproduit l’écoulement plastique. Ainsi dans le cas du modèle de Prager, le domaine d’élasticité initialest le segment [−σy ,σy], et sa position pour une déformation plastique εp est [−σy + X ,σy + X ], avecX = Hεp. Il est décrit par la fonction de charge (définie de R2 dans R), f : (σ,X) → f (σ,X). Pourdéfinir ce même domaine en présence de chargements multiaxiaux, la fonction f devient une fonctiondu tenseur de contrainte, σ

∼et du tenseur X

∼= Hε

∼p, (de R12 dans R) telle que si f (σ

∼,X∼) < 0, l’état de

contraintes est élastique, si f (σ∼,X∼) = 0, le point de fonctionnement est sur la frontière, la condition

f (σ∼,X∼) > 0 définissant l’extérieur du domaine. Dans le cas général, l’ensemble de départ contiendra les

contraintes et toutes les variables d’écrouissage, scalaires ou tensorielles, il faut donc définir f (σ∼,Ai).

On va dans un premier temps limiter la présentation à la définition du domaine d’élasticité initial, pourlequel on supposera que les variables Ai sont nulles, si bien qu’on se contentera d’écrire les restrictionsdes fonctions f dans l’espace des contraintes.

L’expérience montre que, pour la plupart des matériaux, le domaine d’élasticité initial est convexe(c’est en particulier vrai pour les métaux qui se déforment par glissement cristallographique). La fonctionde charge doit donc elle–même être convexe en σ

∼, ce qui implique, pour tout réel λ compris entre 0 et 1,

et pour un couple (σ∼ 1, σ

∼ 2) quelconque de la frontière :

f (λσ∼ 1 +(1−λ)σ

∼ 2) 6 λ f (σ∼ 1)+(1−λ) f (σ

∼ 2) (3.1)

Comme dans le cas de l’étude du tenseur d’élasticité, il faut ici encore respecter les symétriesmatérielles. Ceci implique en particulier dans le cas d’un matériau isotrope que f soit une fonctionsymétrique des seules contraintes principales, ou bien encore, ce qui est équivalent, des invariants du

23

24 CHAPITRE 3. CRITÈRES

tenseur des contraintes dont la définition provient du polynôme caractéristique :

I1 = trace(σ∼) =σii (3.2)

I2 =(1/2) trace(σ∼

2)=(1/2)σi jσ ji (3.3)

I3 =(1/3) trace(σ∼

3)=(1/3)σi jσ jkσki (3.4)

L’expérience montre que la déformation plastique d’un grand nombre de matériaux est indépendantede la pression hydrostatique. Ceci amène à considérer comme variable critique à faire figurer dans ladéfinition du critère non plus le tenseur de contraintes lui-même, mais son déviateur s

∼, défini en enlevant

à σ∼

la pression hydrostatique, et ses invariants :

s∼

=σ∼− (I1/3) I

∼(3.5)

J1 = trace(s∼) =0 (3.6)

J2 =(1/2) trace(s∼

2)=(1/2)si js ji (3.7)

J3 =(1/3) trace(s∼

3)=(1/3)si js jkski (3.8)

(3.9)

Il est commode, en vue de réaliser les comparaisons avec les résultats expérimentaux, de disposerd’expressions des critères dans lesquelles les valeurs de f sont homogènes à des contraintes, c’est ce quiamène par exemple à utiliser à la place de J2 l’invariant J, qui peut également s’exprimer en fonction descontraintes principales σ1, σ2, σ3, ou de la contrainte σ dans le cas d’un état de traction simple :

J = ((3/2)si js ji)1/2 =

((1/2)

((σ1−σ2)2 +(σ2−σ3)2 +(σ3−σ1)2))1/2

= |σ| (3.10)

La valeur précédente est à rapprocher de celle de la contrainte de cisaillement octaédral. Les plansoctaédraux sont ceux dont le vecteur normal est de type 1,1,1 dans l’espace des contraintes principales.Il est aisé de montrer que le vecteur contrainte évalué sur le plan (1,1,1) à partir des valeurs de σ1, σ2, σ3a pour composantes normale σoct et tangentielle τoct :

σoct = (1/3) I1 τoct = (√

2/3)J (3.11)

La valeur de J définit donc le cisaillement dans les plans octaédraux. Les remarques précédentesindiquent que le plan de normale (1,1,1) va être un plan privilégié pour la représentation des critères.En effet, tous les points représentant des états de contrainte qui ne diffèrent que par un tenseur sphérique(donc qui sont équivalents vis–à–vis d’un critère qui ne fait pas intervenir la pression hydrostatique) s’yprojettent sur le même point. La figure 3.1 montre ce plan, dans lequel les projections des axes principauxdéterminent des angles de 2π/3, et qui a comme équation σ1 +σ2 +σ3 =−I1/3.

Pour traiter le comportement des sols (les argiles par exemple) ou des matériaux pulvérulentsartificiels, on est amené à utiliser le troisième invariant. On introduit alors :

S =((9/2)si js jkski

)1/3 = ((9/2)(s∼.s∼) : s

∼)1/3 (3.12)

On note que S vaut σ en traction comme en compression simple (tenseur uniaxial avec comme seulecomposante non nulle σ), qu’il vaut 0 en cisaillement simple, et −σ pour une expansion équibiaxiale(σ1 = σ2 = σ, les autres composantes nulles). Cela permet donc de représenter des différences decomportement en traction et en compression. Par ailleurs, sa combinaison avec J permet de définir l’anglede Lode, θ, qui intervient dans la définition de certains critères :

θ =13

arcsin(

SJ

)3

(3.13)

3.2. CRITÈRES NE FAISANT PAS INTERVENIR LA PRESSION HYDROSTATIQUE 25

σ1 σ2

σ3

designe les points qui peuvent se ramenera de la traction simple, ceux qui peuvent seramener a la compression simple (par exempleun chargement biaxial, car un etat ou les seulescontraintes non nulles sont σ1=σ2=σ est equivalenta σ3= -σ), est un etat de cisaillement

FIG. 3.1 – Etats de contraintes caractéristiques dans le plan déviateur

3.2 Critères ne faisant pas intervenir la pression hydrostatique

3.2.1 Critère de von Mises

Dans la mesure où la trace du tenseur des contraintes n’intervient pas, le critère le plus simple estcelui qui n’utilise que le second invariant du déviateur des contraintes, ou encore J (von Mises, 1928).Ceci correspond à un ellipsoïde dans l’espace des tenseurs s

∼symétriques (expression quadratique des

composantes si j, qui sont toutes équivalentes), soit, si σy est la limite d’élasticité en traction :

f (σ∼) = J−σy (3.14)

3.2.2 Critère de Tresca

L’expression du critère de von Mises fait intervenir les cisaillements maximaux dans chaque planprincipal, représentés par les quantités (σi−σ j). La spécificité du critère de Tresca est de ne retenir quele plus grand d’entre eux. Le fait de rajouter une pression à chaque terme de la diagonale ne modifie pas,comme prévu, la valeur du critère. Contrairement au cas précédent, cette expression ne définit en généralpas une surface régulière (discontinuité de la normale, points anguleux) :

f (σ∼) = max

i, j|σi−σ j|−σy (3.15)

On peut également exprimer le critère en fonction de l’angle de Lode :

f (σ∼) =

2J√3

cos(θ)−σy (3.16)

3.2.3 Comparaison des critères de Tresca et von Mises

Comme il n’est bien entendu pas question de se placer dans l’espace des 6 (ou 9) composantes dutenseur des contraintes, il faut se résoudre à ne visualiser les frontières du domaine d’élasticité que dansdes sous–espaces à deux ou trois dimensions. Les représentations les plus courantes s’effectuent :

– dans le plan traction–cisaillement (figure 3.2a), lorsque seules les composantes σ = σ11 et τ = σ12sont non nulles ; les expressions des critères se réduisent alors à :

−von Mises : f (σ,τ) =(σ

2 +3τ2)1/2−σy (3.17)

−Tresca : f (σ,τ) =(σ

2 +4τ2)1/2−σy (3.18)


– dans le plan des contraintes principales (σ1,σ2) (figure 3.2b), lorsque la troisième contrainteprincipale σ3 est nulle :

−von Mises : f (σ1,σ2) =(σ

21 +σ

22−σ1σ2

)1/2− σy (3.19)

−Tresca : f (σ1,σ2) = σ2−σy si 0 6 σ16 σ2 (3.20)

f (σ1,σ2) = σ1−σy si 0 6 σ26 σ1 (3.21)

f (σ1,σ2) = σ1−σ2−σy si σ2 6 0 6 σ1 (3.22)

(symétrie par rapport à l’axe σ1 = σ2) (3.23)

– dans le plan déviateur (figure 3.1), le critère de von Mises est représenté par un cercle, ce qui estcohérent avec son interprétation par le cisaillement octaédral, le critère de Tresca par un hexagone ;

– dans l’espace des contraintes principales, chacun de ces critères est représenté par un cylindre degénératrice (1,1,1), qui s’appuie sur les courbes définies dans le plan déviateur.

σ11

σ12

−σy σy

τm

τt

a.

σ1

σ2

−σyσy

σy

−σyb.

FIG. 3.2 – Comparaison des critères de Tresca (en pointillés) et de von Mises (traits pleins), (a) Entraction-cisaillement (von Mises : τm = σy/

√3, Tresca : τt = σy/2), (b) En traction biaxiale

3.3 Critères faisant intervenir la pression hydrostatique

Ces critères sont nécessaires pour représenter la déformation plastique des matériaux pulvérulents,des sols ou en présence d’endommagement du matériau. Ils expriment le fait qu’une contraintehydrostatique de compression rend plus difficile la déformation plastique. Une des conséquences deleur formulation est qu’ils introduisent une dissymétrie traction–compression.

3.3.1 Critère de Drucker–Prager

C’est une extension du critère de von Mises, combinaison linéaire du deuxième invariant du déviateuret de la trace du tenseur des contraintes. C’est toujours un cercle dans le plan déviateur, mais qui dépendde l’«altitude» sur la trissectrice des axes σ1,σ2,σ3 de contraintes principales (figure 3.3a) :

f (σ∼) = (1−α)J +αI1−σy (3.24)

La limite d’élasticité en traction reste σy, et la limite d’élasticité en compression est −σy/(1− 2α). Lecoefficient α dépend du matériau, il est bien entendu compris entre 0 et 1/2, et on retrouve le critère devon Mises pour α = 0 (figure 3.3b).

Une expression plus complexe de ce même critère fait intervenir une forme plus compliquée de lacontribution déviatorique, prenant en compte le troisième invariant. En reprenant l’expression 3.12 qui

3.3. CRITÈRES FAISANT INTERVENIR LA PRESSION HYDROSTATIQUE 27

σ1

σ2

σ3 σy/α

a.

f < 0 I1

J

σy/α

σy/1−α

b.

FIG. 3.3 – Représentation du critère de Drucker–Prager, (a) dans l’espace des contraintes principales, (b)dans le plan I1− J

définit S, on pose :

t =J2

[1+

1K−(

1− 1K

) (SJ

)3]

(3.25)

On utilise ensuite t à la place de J dans la formule 3.24. K est un coefficient dépendant du matériau ; onretrouve le critère initial avec K = 1, et on doit avoir 0,778 6 K 6 1 pour que le critère reste convexe.

3.3.2 Le critère de Mohr–Coulomb

Il est apparenté au critère de Tresca, faisant intervenir comme lui le cisaillement maximal, mais enmême temps la contrainte «moyenne», représentée par le centre du cercle de Mohr correspondant aucisaillement maximum, soit :

f (σ∼) = σ1−σ3 +(σ1 +σ3)sinφ−2C cosφ (avec σ3 ≤ σ2 ≤ σ1) (3.26)

Ce critère est sous–tendu par la notion de frottement, et suppose que le cisaillement maximal que peutsubir le matériau (Tt en figure 3.4a) est d’autant plus grand que la contrainte normale de compressionest élevée (C.A., 1776). La limite admissible constitue une courbe intrinsèque dans le plan de Mohr. Laformule énoncée ci–dessus est obtenue avec une règle de frottement linéaire :

|Tt |<− tan(φ)Tn +C (3.27)

La constante C est la cohésion, correspondant à la contrainte de cisaillement qui peut être supportée parle matériau sous contrainte moyenne nulle. L’angle φ désigne le frottement interne du matériau. Si C estnul et φ non nul, le matériau est dit pulvérulent. Si φ est nul et C non nul, comme dans le cas du critèrede Tresca, le matériau est purement cohérent.

Le critère peut également s’exprimer sous la forme suivante, en fonction de la poussée Kp et de lalimite d’élasticité en compression, Rp :

f (σ∼) = Kp σ1−σ3−Rp (3.28)

avec Kp =1+ sinφ

1− sinφRp =

2C cosφ

1− sinφ(3.29)

Dans le plan déviateur (figure 3.4b) on obtient un hexagone irrégulier, caractérisé par les valeurssuivantes (avec p = (−1/3)I1) :

σt = 2√

6(C cosφ− psinφ)/(3+ sinφ) (3.30)

σc = 2√

6(−C cosφ+ psinφ)/(3− sinφ) (3.31)


f < 0 Tn

Tt

a.

σ1 σ2

σ3

σt

σc

b.

FIG. 3.4 – Représentation du critère de Mohr-Coulomb, (a) dans le plan de Mohr, (b) dans le plandéviateur

3.3.3 Critère de Rankine

Ce critère est plutôt employé comme critère de rupture dans les matériaux fragiles (craie), et paspour définir la limite d’un domaine d’élasticité. Il s’exprime (Taylor and Quinney, 1857) en fonction descontraintes normales principales :

f (σ∼) = Maxi(σi)−σy (3.32)

On peut illustrer ce critère par sa trace dans le plan de contraintes principales σ1–σ2, lorsque σ3 = 0 :il s’agit de deux demi-droites parallèles aux axes, dans la direction des contraintes négatives, et quis’appuient sur le point σ1 = σ2 = σy.

3.3.4 Critères «fermés»

Les trois critères précédents prévoient que le matériau devient infiniment résistant en compressiontriaxiale. Ce comportement n’est en général pas vérifié sur les matériaux réels qui sont sensibles à lapression hydrostatique. Pour permettre de simuler par exemple des opérations de compaction, il faut«fermer» les surfaces de charge. Les modèles ci-dessous s’appliquent aux sols (argiles notamment), auxpoudres artificielles :

– le critère elliptique, dans lequel les deux paramètres matériau C et F vont dépendre de la porosité

f (σ∼) = 3CJ2 +FI2

1 −σ0 (3.33)

– le modèle «Cam-clay modifié» ; il s’agit d’une expression dérivée d’un modèle développéinitialement à l’Université de Cambridge pour représenter le comportement de l’argile ; il est définipar une ellipse décalée vers la compression hydrostatique ; il n’est utilisable qu’en compression :

f (σ∼) =

(JM

)2

+(

I1

3− pc

)2

− p2c −σ

2y (3.34)

Une autre manière d’obtenir un domaine fermé est de conserver la forme initiale du critère qui prévoitun matériau indéformable en pression hydrostatique de compression, et de lui associer un «bouchon» ducôté des pressions hydrostatiques négatives. C’est la classe des modèles de type cap–model, qui fermentpar une ellipse dans le plan J− I (ou t− I) le domaine défini par le critère de Drucker–Prager.

Un dernier type d’applications mérite d’être cité dans cette énumération. Il s’agit de la représentationde l’endommagement des alliages métalliques. Pour le représenter, on travaille également avec uneinfluence de la pression hydrostatique. Les modèles sont sensibles à la pression hydrostatique, à causede l’ouverture progressive de cavités. Le modèle le plus connu est dû à Gurson (Gurson, 1977).

f (σ∼) = ψ∗ =

J2

σ2y+2η∗q1 cosh

(q2I1

2σy

)−(1+q2

1η2∗)

(3.35)

3.4. CRITÈRES ANISOTROPES 29

On donne ici la formulation correspondant à la limite d’élasticité initiale. Pour simuler un chargementcomplet, comme pour les tous les autres modèles d’ailleurs, il faut remplacer σy par la limited’élasticité actuelle, prenant en compte l’écrouissage isotrope, et éventuellement introduire d’autres typesd’écrouissage.

3.4 Critères anisotropes

Lorsqu’on mesure expérimentalement la surface de charge sur un matériau métallique, on constatequ’en présence de déformations inélastiques, elle subit une expansion, une translation, et une distorsion.Les deux premières modifications sont représentées par les écrouissages isotropes et cinématiques, maisla dernière n’est pas prise en compte par les modèles courants, d’autant que la forme évolue au cours de ladéformation sous chargement complexe : on est là en présence d’anisotropie induite. Il existe par ailleursdes matériaux fondamentalement anisotropes par fabrication, matériaux composites à fibres longues parexemple. Les modèles de matériaux hétérogènes permettent de tenir compte naturellement de certainesanisotropies, mais ils restent d’un emploi délicat, et on ne peut pas actuellement envisager de traiterdans un cadre industriel le cas de l’anisotropie la plus complexe. Il existe néanmoins de nombreusespossibilités d’extension des critères isotropes à la description de matériaux anisotropes. La voie la plusgénérale, mais qui n’est pas réellement opérationnelle, consiste à considérer que le critère est une fonctiondes composantes du tenseur des contraintes dans une base donnée. La forme choisie doit être intrinsèque,ce qui impose que le résultat obtenu soit invariant par changement de repère. Un guide pour construirece type de modèle est fourni par les théories des invariants. On se contente par la suite d’approches plussimples.

La solution la plus généralement adoptée généralise le critère de von Mises, en utilisant à la place deJ(σ) l’expression :

JB(σ∼) = (σ

∼: B≈

: σ∼)1/2 (3.36)

qui fait intervenir le tenseur du quatrième ordre B≈

. Choisir pour B≈

le tenseur J≈

tel que s∼= J

≈: σ∼

(s∼

déviateur

associé à σ∼

) redonne bien entendu le critère de von Mises. Comme pour le cas de l’élasticité, on peutréduire le nombre de composantes libres du tenseur B

≈par des considérations de symétrie. En plus des

conditions habituelles sur les composantes Bi jkl = Bi jlk = B jikl = Bkli j, il faut tenir compte du fait queB j jkl = 0 si l’on veut encore assurer l’incompressibilité plastique (la vitesse de déformation plastique estportée par la direction B

≈: σ∼

). Il reste donc 15 coefficients libres (comme une matrice 5×5 symétrique).

Si le matériau admet 3 plans de symétrie perpendiculaires, les termes de couplage entre composantesaxiales et composantes de cisaillement (tels B1112) sont nuls, et il ne reste que 6 composantes, lorsquele tenseur est exprimé dans le repère correspondant. On retrouve alors l’expression classique (critère deHill) :

f (σ∼) = (F(σ11−σ22)2 +G(σ22−σ33)2 +H(σ33−σ11)2

+2Lσ212 +2Mσ

223 +2Nσ

213)1/2−σy = fH(σ

∼)

(3.37)

En représentant le tenseur d’ordre 4 comme une matrice 6x6, les termes de B≈

s’écrivent dans ce cas

particulier :

F +H −F −H 0 0 0−F G+F −G 0 0 0−H −G H +G 0 0 0

0 0 0 2L 0 00 0 0 0 2M 00 0 0 0 0 2N

(3.38)


Une manipulation simple permet de vérifier que le même critère s’exprime également en fonctiondes composantes du tenseur déviateur associé à σ

∼, JB(σ

∼) = (s

∼: B≈′ : s

∼)1/2, où les composantes de B

≈′

s’écrivent :

2F−G+2H 0 0 0 0 00 2F +2G−H 0 0 0 00 0 −F +2G+2H 0 0 00 0 0 2L 0 00 0 0 0 2M 00 0 0 0 0 2N

(3.39)

L’isotropie transverse autour de l’axe 3 ne laisse subsister que 3 coefficients indépendants, car on aalors F = G, L = M, N = F + 2H. L’isotropie complète implique de plus F = H, L = N, N = 3F , cequi redonne le tenseur J

≈signalé plus haut et l’invariant de von Mises. Si on veut de plus représenter la

dissymétrie entre traction et compression, il faut avoir recours à une expression qui réintroduit une formelinéaire, telle celle du critère de Tsaï :

f (σ∼) = fH(σ

∼)+Q(σ22−σ33)+P(σ11−σ33) (3.40)

De même qu’il existe une voie de généralisation pour les critères exprimés en termes d’invariants, ilexiste des résultats pour ceux qui sont exprimés en termes de contraintes principales. Un cas très couranten géotechnique est celui des matériaux isotropes transverses, dont le critère peut s’écrire en fonctiondes contraintes normales principales et de N et T , qui sont respectivement les contraintes normales ettangentielles sur une facette perpendiculaire à l’axe de schistosité (c’est–à–dire une facette parallèle auplan isotrope de schistosité), défini par le vecteur normé n.

N = n.σ∼.n T =

(||σ∼.n||2−N2

)1/2(3.41)

Ainsi le critère de Coulomb pour les matériaux isotropes transverses s’écrit :

f (σ∼) = max(Kp maxσi−minσi−Rc,T +N tanφ

′−C′) (3.42)

Kp =1+ sinφ

1− sinφRc =

2C cosφ

1− sinφ(3.43)

et où φ désigne l’angle de frottement dans le plan de schistosité, C la cohésion, φ′ l’angle de frottementpour le glissement d’une lame par rapport à l’autre, C′ la cohésion.

3.4. CRITÈRES ANISOTROPES 31

Résumé

– Critère de Tresca :f (σ

∼) = max

i, j|σi−σ j|−σy

– Critère de von Mises :f (σ

∼) = J−σy

– dans le plan traction–cisaillement (figure 3.2a), lorsque seules les composantesσ = σ11 et τ = σ12 sont non nulles ; les expressions des critères se réduisent alors à :

−von Mises : f (σ,τ) =(σ

2 +3τ2)1/2−σy

−Tresca : f (σ,τ) =(σ

2 +4τ2)1/2−σy

– dans le plan des contraintes principales (σ1,σ2) (figure 3.2b), lorsque la troisième contrainteprincipale σ3 est nulle :

−von Mises : f (σ1,σ2) =(σ

21 +σ

22−σ1σ2

)1/2− σy

−Tresca : f (σ1,σ2) = σ2−σy si 0 6 σ16 σ2

f (σ1,σ2) = σ1−σy si 0 6 σ26 σ1

f (σ1,σ2) = σ1−σ2−σy si σ2 6 0 6 σ1

(symétrie par rapport à l’axe σ1 = σ2)

– Critère de Drucker–Prager :f (σ

∼) = (1−α)J +αI1−σy

– Critère de Coulomb :

f (σ∼) = Kp σ1−σ3−Rp

avec Kp =1+ sinφ

1− sinφRp =

2C cosφ

1− sinφ

Chapitre 4

Plasticité et viscoplasticité 3D

4.1 Introduction

La grande diversité des matériaux réels se traduit par l’existence d’une multitude de lois decomportement et en particulier d’une grande variété de critères et de lois d’évolution aussi bien enélastoplasticité qu’en élastoviscoplasticité. Il est illusoire de vouloir établir une liste exhaustive desmodèles, d’autant plus que les chercheurs continuent encore à proposer de nouvelles versions. Aussice chapitre sera-t-il consacré à une tâche plus modeste qui consiste à présenter le cadre générald’écriture, en illustrant l’exposé par les lois les plus classiques, et en se limitant aux transformationsinfinitésimales (petits déplacements et petits gradients de déplacements). On considérera d’abord lesmodèles pour lesquels la surface de charge n’évolue pas (elle pourra éventuellement être de rayon nulen viscoplasticité), donc qui ne présentent pas d’écrouissage. L’introduction de l’écrouissage se feraau chapitre suivant. Pour le moment, on résume les concepts généraux qui ont été introduits dans leschapitres précédents.

4.1.1 Décomposition de la déformation

Le tenseur symétrique des déformations ε∼

est décomposé en trois parties :– Une partie élastique ε

∼e fonction de la variation du tenseur de contrainte σ

∼entre l’état actuel et

l’état initial (contrainte à l’état de référence, σ∼ I ; dans un grand nombre d’applications, il s’agit de

l’état de contraintes nulles, mais il est par exemple toujours présent en géotechnique). En élasticitélinéaire :

ε∼

e = Λ≈−1 : (σ

∼−σ

∼ I) (4.1)

– Une partie de dilatation thermique ε∼

th fonction de la température actuelle T et de la températureà l’état de référence TI . Elle s’écrit à l’aide d’un tenseur α

∼, qui dépend éventuellement de la

température, et qui est sphérique dans le cas des matériaux isotropes. En confondant températureinitiale et température de référence :

ε∼

th = (T −TI)α∼

(4.2)

– Une partie non élastique ε∼

ne, elle même décomposée en une partie plastique ε∼

p et une partieviscoplastique ε

∼vp, (régies par des lois d’écoulement en élastoplasticité et en élastoviscoplasticité).

D’où :ε∼

= Λ≈−1 : (σ

∼−σ

∼ I)+ ε∼

th + ε∼

p + ε∼

vp (4.3)

Cette dernière décomposition de la partie non élastique des déformations exprime le fait que, durantune transformation du matériau, divers mécanismes peuvent rentrer en jeu conduisant à une dissipation del’énergie (irreversibilité) et que, dans l’échelle des temps considérée, la viscosité de certains mécanismes

33

34 CHAPITRE 4. PLASTICITÉ ET VISCOPLASTICITÉ 3D

peut être négligée (plasticité instantanée ε∼

p) alors que pour les autres le temps réel doit intervenir dans lesvitesses (déformations viscoplastiques ε

∼vp). On a laissé de côté ici les déformations liées à des évolutions

de microstructures tels que les changements de phase.

4.1.2 Critères

Chacun des mécanismes responsables du comportement inélastique est caractérisé par un certainnombre de variables, appelées variables d’écrouissage, caractérisant à un instant donné l’état du matériau,et l’influence du chargement thermomécanique passé. Comme indiqué au chapitre précédent, le domained’élasticité se définit dans l’espace des contraintes et des variables d’écrouissage (et de la température).A température et écrouissage fixés, c’est une partie de l’espace vectoriel de dimension 6 des tenseurs dusecond ordre symétriques, De = σ

∼/ f (σ

∼,AI,T ) 6 0, la condition f (σ

∼,AI,T ) = 0 définissant quant à

elle la frontière du domaine d’élasticité. On ne considérera pas les variables AI pour le moment.

4.1.3 Lois d’écoulement

Ce sont les règles qui vont permettre de définir la vitesse de déformation plastique ou viscoplastiquelorsqu’on n’est plus en élasticité. L’étude des modèles rhéologiques a montré la nature des équationsmises en jeu pour ce qui concerne l’intensité de la vitesse d’écoulement. Celle ci est liée à la vitessede contrainte ou de déformation totale pour un modèle plastique, et à l’état actuel de contrainte etdes variables internes pour un modèle viscoplastique. Pour généraliser les résultats précédents au castridimensionnel, il importe de se préoccuper également de la direction de l’écoulement. Cette directiondoit être définie par un tenseur dans l’espace vectoriel de dimension 6 des tenseurs du second ordresymétriques.

Les lois d’écrouissage, définissant l’évolution du domaine d’élasticité, complètent le modèle pourle cas d’un matériau dont la résistance à la déformation évolue avec celle-ci. Elles seront abordées auprochain chapitre.

4.2 Formulation des lois de comportement viscoplastiques

4.2.1 Écriture générale

Pour définir un comportement viscoplastique, il faut disposer d’un modèle qui donne l’intensitéde la vitesse de déformation viscoplastique (un scalaire) et sa direction (un tenseur du second ordresymétrique en petites déformations). Les deux chapitres précédents fournissent les briques nécessaires.Ainsi, la généralisation de l’écriture de la vitesse de déformation viscoplastique est-elle immédiate. Onconserve la notion de fonction de viscosité φ, qui va continuer de porter sur la valeur de la fonctiondéfinissant le domaine d’élasticité, f . Dans la mesure où on dispose maintenant d’une expression validesous chargement multiaxial pour f , on définira l’intensité de l’écoulement, ou vitesse de déformationviscoplastique équivalente, à l’aide d’une fonction φ (φ : R+ → R+), par :

v = φ(〈 f 〉) (4.4)

Dans le cas général, la direction d’écoulement sera notée N∼

. Il y a deux possibilités concernant ladéfinition de la direction d’écoulement. Elle peut n’être pas liée à f , auquel cas on introduit généralementune fonction g, qui porte sur les mêmes variables que f , à savoir le tenseur de contraintes et les variablesd’écrouissage (g : (σ

∼,AI)→ g(σ

∼,AI)). On écrit :

ε∼

vp = vN∼

= v∂g∂σ∼

(4.5)

4.2. FORMULATION DES LOIS DE COMPORTEMENT VISCOPLASTIQUES 35

La seconde possibilité, qui constitue un cas particulier important, consiste à utiliser le critère f pourdéfinir la direction d’écoulement, si bien que f et g sont identiques, et que la direction d’écoulement est∂ f /∂σ

∼. En appelant Ω la primitive de φ, on peut alors écrire :

ε∼

vp = φ∂ f∂σ∼

=∂Ω

∂ f∂ f∂σ∼

=∂Ω

∂σ∼

(4.6)

Dans un tel modèle, dit modèle standard, ou modèle de viscoplasticité associée, la directiond’écoulement est fournie par la normale à la surface de charge. La fonction Ω constitue un potentielviscoplastique (Rice, 1970; Rice, 1971), puisque sa donnée va suffire à caractériser complètementl’écoulement en intensité et direction. Dans la suite, on notera n

∼le gradient de f par rapport à σ

∼,

n∼

= ∂ f /∂σ∼

.

4.2.2 Exemple

La généralisation du modèle de Norton en adoptant le critère de von Mises, s’effectue simplementen utilisant comme critère la fonction f dépendant des contraintes uniquement, f = J(σ

∼), et comme

potentiel la fonction Ω suivante :

Ω =K

n+1

(J(σ

∼)

K

)n+1

(4.7)

On obtient alors :

ε∼

vp =(

JK

)n∂J∂σ∼

(4.8)

Le premier terme de l’expression précédente est un scalaire qui donne l’intensité de l’écoulement, il estbien égal à (|σ|/K)n pour une sollicitation de traction simple. Le second est un tenseur symétrique dusecond ordre, qui représente la direction d’écoulement, portée par la normale à l’équipotentielle au pointde fonctionnement courant, qui sera notée n

∼. La dérivée partielle de J par rapport à σ

∼s’évalue simplement

(voir Annexe) par :∂J∂σ∼

=∂J∂s∼

:∂s∼

∂σ∼

=32

s∼

J: (I

≈− 1

3I∼⊗ I

∼) =

32

s∼

J(4.9)

On note que, lorsqu’on utilise le critère de von Mises, la direction d’écoulement est portée par ledéviateur de contrainte.

Comme on l’a déjà souligné, pour un tel type de modèle, la limite d’élasticité est nulle enpermanence, et le domaine d’élasticité est réduit à un point. Ce cas serait sans intérêt pour un modèle deplasticité indépendante du temps.

Pour retrouver le modèle de Bingham, il suffirait de prendre une fonction du second degré :

Ω =12

(J(σ

∼)−σy

η

)2

(4.10)

4.2.3 De la viscoplasticité à la plasticité

La figure 4.1a montre la forme du potentiel viscoplastique Ω, fonction monotone croissante de f ,telle que Ω(0) = 0, qui illustre le fait que l’intensité de l’écoulement dépend de l’“altitude” du pointde fonctionnement courant, et que, géométriquement, la direction du vecteur vitesse de déformationinélastique est normale aux surfaces équipotentielles. Comme indiqué au début de cette partie, on neconsidère ici que le comportement sans écrouissage ; le domaine d’élasticité est donc défini uniquementen fonction de l’état de contrainte. Lorsque la fonction φ (ou Ω) devient de plus en plus non linéaire (parexemple en faisant le choix d’une fonction puissance dont l’exposant n tend vers l’infini), les projectionsdes équipotentielles sur l’espace (σ

∼) se resserrent autour de la surface f = 0. On définit ainsi une zone

de l’espace dans laquelle le potentiel est nul, et une autre où il varie très rapidement. A la limite, Ω


AIσ∼

Ω

a.AIσ

∼

Ind( f )

b.FIG. 4.1 – Comparaison des théories de plasticité et de viscoplasticité, (a) potentiel viscoplastique, (b)obtention d’un modèle plastique par passage à la limite

se confond avec la fonction indicatrice du domaine d’élasticité (Fig.4.1b), et on ne peut plus définirl’intensité de l’écoulement par ∂Ω/∂ f .

On illustre ainsi la différence de nature entre les théories de viscoplasticité et de plasticité. Lecadre viscoplastique autorise, pour écrire un modèle, une grande liberté dans le choix de la fonctionde viscosité, alors que, dans le cadre de la plasticité (du moins dans le cas de la plasticité associée),l’expression même du domaine d’élasticité détermine l’intensité de l’écoulement. C’est en effet lacondition de cohérence f = 0 qui va fournir en plasticité l’équation qui disparaît en raison de lasingularité de la fonction indicatrice de f en f = 0. Le formalisme plastique consiste alors à remplacer∂Ω/∂ f par le multiplicateur plastique λ, qui sera déterminé avec la condition de cohérence :

ε∼

p = λ∂ f∂σ∼

(4.11)

Dans un cas comme dans l’autre, on définit un écoulement qui respecte la règle de normalité, puisquela vitesse est portée par le gradient de la fonction de charge ( f = 0 dans le cas plastique, f = const.dans le cas viscoplastique). Cette règle aura d’importantes conséquences sur la réponse du matériau, enparticulier dans le cas de sollicitations multiaxiales.

4.3 Formulation des lois de comportement plastique

Historiquement la théorie de la plasticité s’est développée indépendamment de celle de laviscoplasticité. On vérifie dans ce paragraphe que le chemin suivi amène exactement au mêmeformalisme.

4.3.1 Principe du travail maximal

Il est souvent attribué à Hill (Hill, 1998), mais il a été discuté par von Mises (von Mises, 1928)et Taylor (Taylor, 1931). Il stipule que, pour un dε

∼p réel donné, le travail des contraintes réelles σ

∼est supérieur au travail de tout autre tenseur de contraintes admissible σ

∼∗ (id est ne violant pas la loi

de plasticité) associé à dε∼

p. Afin de conserver la forme en vitesse qui est employée tout au long dece document, on donne ici la version en vitesse de déformation, qui fait donc intervenir la puissanceplastique. En notant ε

∼p le tenseur vitesse de déformation plastique réel, il vient :

(σ∼−σ

∼∗) : ε

∼p > 0 (4.12)

Ce principe peut en fait être démontré dans le cas de métaux qui se déforment par glissement et obéissentà la loi de Schmid (voir l’exercice du paragraphe 12.3.2). Il n’est pas vérifié par tous les matériaux, en

4.3. FORMULATION DES LOIS DE COMPORTEMENT PLASTIQUE 37

particulier par les sols. Il a des conséquences importantes concernant la direction d’écoulement plastiqueet la forme de la surface de charge.

Si, se référant à la figure 4.1b, on cherche à construire une théorie dans laquelle on veut maximiserla puissance plastique en appliquant la contrainte (au sens d’un processus d’optimisation) f (σ

∼∗) 6 0, on

est amené pour résoudre le problème à introduire F(σ∼∗) tel que

F(σ∼∗) = σ

∼∗ : ε

∼p− λ f (4.13)

Le scalaire λ est un multiplicateur plastique (voir par exemple (Luenberger, 1984)) qui sera déterminépar la suite. On aura un point stationnaire si ∂F/∂σ

∼∗ = 0. Ce point sera effectivement un maximum si la

fonction f est convexe. On retrouve ainsi :

ε∼

p = λ∂ f∂σ∼

(4.14)

On a bien retrouvé le cas du paragraphe précédent. La direction d’écoulement est donc bien portéepar la normale à la surface de charge. La fonction indicatrice de f joue le rôle d’un pseudo-potentiel(car elle permet de déterminer la direction de l’écoulement, mais pas son intensité, comme dans le casviscoplastique).

4.3.2 Interprétation géométrique du principe de Hill

Dans cette section, on retrouve les propriétés liées au principe de Hill par des considérations sur lagéométrie du problème.

Règle de normalité

Si on choisit σ∼∗ sur la surface de charge, on vérifie que, si σ

∼est dans le domaine d’élasticité, ε

∼p = 0

∼.

Si le domaine d’élasticité ne présente pas de coins, le principe du travail maximal peut être appliqué àpartir d’un point σ

∼de la surface de charge, en choisissant un point σ

∼∗ infiniment proche, également sur

la surface de charge. σ∼∗ se déduit de σ

∼à l’aide d’un tenseur t

∼∗ appartenant au plan tangent à la surface

en σ∼

(σ∼∗ = σ

∼+k t

∼∗, avec k > 0). Le même raisonnement peut être recommencé en prenant σ

∼∗ = σ

∼−k t

∼∗

comme point de départ, ce qui conduit aux deux inégalités suivantes :

k t∼∗ : ε

∼p > 0 et − k t

∼∗ : ε

∼p > 0 (4.15)

si bien que : t∼∗ : ε

∼p = 0 (4.16)

La vitesse de déformation plastique est portée par la normale à la surface de charge.On peut donc effectivement écrire l’écoulement plastique à l’aide de n

∼et d’un scalaire, on

retrouve ainsi une forme faisant intervenir le multiplicateur plastique, λ. On peut alors montrer quece multiplicateur est toujours positif, car, en choisissant maintenant σ

∼∗ sur la normale au point σ

∼, à

l’intérieur du domaine d’élasticité, (σ∼−σ

∼∗) = kn

∼est colinéaire à n

∼et de même sens (k > 0), si bien que

(σ∼−σ

∼∗) : ε

∼p > 0 devient :

k n∼

: λn∼

> 0 d’où : λ > 0 (4.17)

Dans le cas des matériaux qui vérifient le principe du travail maximal, la surface de charge joueen même temps le rôle de pseudo-potentiel plastique, et détermine l’écoulement plastique à un scalairemultiplicatif près. Si la surface n’est pas régulière et présente un coin au point σ

∼, il y existe un cône des

normales, à l’intérieur duquel se trouve la direction de l’incrément de déformation plastique.


n∼

εp

σ∼

f < 0

a.

n∼

σ∼

σ∼

∗

b.

FIG. 4.2 – Conséquences du principe du travail maximal, (a) illustration de la règle de normalité,(b) convexité de f

Convexité de la surface de charge

En appliquant de nouveau le principe du travail maximal à partir d’un état de contrainte σ∼

sur lasurface de charge, et en considérant σ

∼∗ à l’intérieur du domaine d’élasticité, la règle de normalité permet

maintenant d’écrire la relation suivante, qui exprime que la surface doit se trouver toute entière du mêmecôté du plan tangent en σ

∼(Fig.4.2b) :

(σ∼−σ

∼∗) : n

∼> 0 (4.18)

Le domaine d’élasticité est donc convexe. Il en est de même pour la fonction f .

4.4 Directions d’écoulement associées aux critères courants

Les directions d’écoulement sont calculées dans un premier temps pour un matériau sans écrouissage.Les modifications apportées par l’écrouissage seront indiquées au chapitre suivant. Les résultats obtenussont valables en plasticité comme en viscoplasticité.

4.4.1 Critère de von Mises

La fonction de charge s’écrit f (σ∼) = J(σ

∼)−σy, si bien que la normale n

∼s’exprime :

n∼

=∂ f∂σ∼

=∂J∂σ∼

=∂J∂s∼

:∂s∼

∂σ∼

ou : ni j =∂J

∂skl

∂skl

∂σi j(4.19)

En utilisant :∂skl

∂σi j= Ji jkl = δik δ jl −

13

δi j δkl (4.20)

on obtient :

ni j =32

si j

Jou encore : n

∼=

32

s∼

J(4.21)

Dans le cas du critère de von Mises, la direction d’écoulement est donnée par le déviateur du tenseurdes contraintes. Cette expression se simplifie en traction simple selon la direction 1 :

s∼

=2σ

3

1 0 00 −1/2 00 0 −1/2

J = |σ| n∼

=

1 0 00 −1/2 00 0 −1/2

signe(σ) (4.22)

4.5. COMPORTEMENT PARFAITEMENT PLASTIQUE 39


La loi d’écoulement se définit par secteur dans l’espace des contraintes principales. Par exemple pourle cas σ1 > σ2 > σ3, la fonction de charge s’écrit : f (σ

∼) = |σ1−σ3|−σy, si bien que, pour l’ensemble

des états de contrainte qui vérifient cette inégalité, la vitesse de déformation plastique possède les mêmescomposantes, le matériau ne se déformant pas selon l’axe 2 (déformation de type cisaillement) :

si σ1 > σ2 > σ3 : ε∼

p = λ

1 0 00 0 00 0 −1

(4.23)

La définition de la normale pose un problème pour les états de contrainte correspondant aux pointssinguliers, ainsi en traction simple, lorsque par exemple σ1 > σ2 = σ3 = 0, le critère s’exprimant alorsindifféremment f (σ

∼) = |σ1−σ2| −σy, ou f (σ

∼) = |σ1−σ3| −σy. Il est alors classique de définir deux

multiplicateurs plastiques, se référant chacun à une forme du critère. Si ces deux multiplicateurs sontchoisis égaux, le modèle redonne la même forme que le critère de von Mises en traction simple. Parcontre, dès que l’état de contrainte s’éloigne de l’égalité stricte entre les composantes σ2 et σ3, c’est l’undes deux régimes de type cisaillement qui prend le dessus.

si σ1 > σ2 = σ3 = 0 : ε∼

p = λ

1 0 00 0 00 0 −1

+ µ

1 0 00 −1 00 0 0

(4.24)

4.4.3 Critère de Drucker–Prager

La fonction de charge s’écrit f (σ∼) = (1− α)J(σ

∼) + α I1 − σy, si bien que la normale n

∼possède

une composante sphérique. La déformation plastique évaluée avec un tel critère est accompagnée d’uneaugmentation de volume quel que soit le chargement appliqué :

n∼

=32

(1−α)s∼

J+αI

∼(4.25)

trace(ε∼

p) = 3αλ (4.26)

De façon générale, tout critère qui fait apparaître la pression hydrostatique produit un terme dechangement de volume accompagnant la déformation plastique. Dans le cas de l’expression 4.25, il estremarquable de noter également que, quel que soit le chargement appliqué, compression comme traction,la variation de volume est toujours positive. Ceci s’avère être un défaut pour le modèle, et explique quel’on construise également des critères dans lesquels on «ferme» le domaine d’élasticité du côté despressions hydrostatiques négatives.

4.5 Comportement parfaitement plastique

Cas d’un matériau élastique-parfaitement plastique

Dans ce cas, la fonction de charge ne dépend que du tenseur de contrainte. Le domaine d’élasticitéest fixe. Au cours de l’écoulement plastique, le point représentatif de l’état de contrainte ne peut que“tourner” autour du domaine d’élasticité. Le multiplicateur plastique est indéterminé ; la condition decharge plastique et la condition de cohérence deviennent respectivement :

pour f (σ∼) = 0 et f (σ

∼) = 0 : ε

∼p = λ

∂ f∂σ∼

= λn∼

(4.27)

au cours de l’écoulement : n∼

: σ∼=0 (4.28)


Calcul du multiplicateur plastique

Le multiplicateur plastique est indéterminé pour un matériau élastique-parfaitement plastiquechargé en vitesse de contrainte imposée. Cela est lié au fait que, le module plastique étant nul,il existe une infinité de positions équivalentes en déformation plastique pour un état de contrainteadmissible donné, tel que J(σ

∼) = σy : ainsi, en traction simple σ11 = σ0, tous les tenseurs diagonaux

(εp,(−1/2)εp,(−1/2)εp) sont des solutions possibles. Le fait d’imposer la vitesse de déformation totalemodifie bien entendu ce résultat. Le multiplicateur plastique va pouvoir être déterminé, en combinant laloi de comportement élastique écrite en termes de vitesse et la condition de cohérence, soit :

σ∼

= Λ≈

: (ε∼− ε

∼p) et n

∼: σ∼

= 0 (4.29)

En remplaçant σ∼

par sa valeur dans la deuxième égalité de l’équation 4.29, il vient :

n∼

: Λ≈

: (ε∼− ε

∼p) = n

∼: Λ≈

: ε∼−n

∼: Λ≈

: λn∼

= 0 (4.30)

si bien que :

λ =n∼

: Λ≈

: ε∼

n∼

: Λ≈

: n∼

(4.31)

Dans le cas particulier de l’élasticité isotrope, et du critère de von Mises, on obtient successivement lessimplifications suivantes :

Λi jkl = λδi jδkl +µ(δikδ jl +δilδ jk) ni j =32

s∼

J(4.32)

ni j Λi jkl = 2µnkl ni j Λi jkl nkl = 3µ ni j Λi jkl εkl = 2µnkl εkl (4.33)

λ =23

n∼

: ε∼

(4.34)

Pour un chargement uniaxial, avec ε = ε11, cette dernière expression se réduit à :

λ = εsigne(σ) qui redonne : εp = ε (4.35)

Sous chargement uniaxial, la vitesse de déformation totale et la vitesse de déformation plastique sontidentiques, puisque le niveau de contrainte reste inchangé pendant l’écoulement. Ce résultat n’est pasgénéral. Lorsque le chargement s’effectue sur plusieurs composantes du tenseur de contrainte, il y a undéplacement du point représentatif de l’état de contrainte sur la surface de charge, qui peut toutefoisatteindre une position asymptotique (voir à ce sujet l’exercice sur la traction–torsion d’un cylindreau paragraphe 12.4). On peut donc par exemple avoir des diminutions de contrainte sur certainescomposantes en présence d’écoulement plastique.

4.6 Viscoplasticité/plasticité non associée

Ce sont les théories qui s’appliquent pour les matériaux, tels les matériaux géologiques, qui nevérifient pas la loi de normalité. Il faut alors utiliser une fonction pour la surface de charge, avec laquelleon détermine la condition de charge–décharge et avec laquelle on forme la condition de cohérence. Parcontre, la direction d’écoulement est définie par référence à une autre fonction.

On écrira alors un modèle de viscoplasticité à partir d’une fonction f et d’une nouvelle normaleN∼

. Dans certains cas, mais ce n’est pas obligatoire, cette normale s’exprimera comme le gradient d’unenouvelle fonction, g. Un cas relativement courant dans les sols est celui où l’on utilise un critère deMohr–Coulomb, avec des valeurs différentes de la poussée Kp. En général, l’angle Φ qui détermine la

4.6. VISCOPLASTICITÉ/PLASTICITÉ NON ASSOCIÉE 41

demi-droite définissant la fonction de charge dans le plan Tn–Tt est plus faible que celui de la demi-droitequi définit la normale. On aura ainsi :

ε∼

p = vN∼

= φ( f (σ∼))

∂g∂σ∼

(4.36)

Le modèle de plasticité se réécrira quant à lui à partir de :

n∼

: σ∼

= 0 ε∼

p = λN∼

avec n∼

=∂ f∂σ∼

N∼

=∂g∂σ∼

(4.37)

Il vient donc :

λ =n∼

: Λ≈

: ε∼

N∼

: Λ≈

: n∼

(4.38)


Résumé

La déformation totale se décompose en composantes élastique, plastique, viscoplastique,thermique et de changement de phase :

ε∼

= Λ≈−1 : (σ

∼−σ

∼ I)+ ε∼

th + ε∼

p + ε∼

vp

La contrainte et la déformation élastique sont reliées par le tenseur d’élasticité :

ε∼

e = Λ≈−1 : (σ

∼−σ

∼ I)

Dans le cas où il n’y a pas d’écrouissage, la surface de charge, définie par la fonction f , est fixedans l’espace des contraintes. En plasticité parfaite, le domaine f > 0 est interdit, et il y a troisrégimes de fonctionnement :– intérieur du domaine d’élasticité, si f < 0– décharge élastique, si f = 0 f < 0– écoulement plastique, si f = 0 f = 0. Dans ce cas, l’écoulement plastique est normal à la

surface de charge, on écrit :

εp = λn

∼= λ

∂ f∂σ∼

L’ensemble de ces conditions se résument par :

εp = λn

∼f 6 0 λ > 0 λ f = 0

En viscoplasticité, le domaine f > 0 est autorisé, il y a deux régimes de fonctionnement :– intérieur du domaine d’élasticité, si f 6 0– écoulement viscoplastique si f > 0. Dans ce cas, l’écoulement viscoplastique est normal à la

surface de charge, on écrit, en notant Ω le potentiel viscoplastique :

εvp =

∂Ω

∂ fn∼

On peut construire des modèles viscoplastiques avec un domaine d’élasticité réduit à l’origine,car cela n’empêche pas de définir l’intensité de l’écoulement et sa direction, en se référant auxéquipotentielles. Ce n’est bien sûr pas le cas des modèles plastiques.

Chapitre 5

Variables d’écrouissage

5.1 Introduction

La grande variété des comportements non linéaires se manifeste en particulier dans ledurcissement (ou l’adoucissement !) observé en relation avec le processus de déformation (écrouissage,endommagement), dans l’évolution des propriétés liée au temps (vieillissement) ou à l’environnement(interactions multiphysiques).

Ces phénomènes sont liés à des réarrangements de la structure intime du matériau conduisantà un nouvel état. Si le comportement plastique se révèle inchangé, c’est qu’on est en présenced’un comportement parfaitement plastique, sans écrouissage, comme celui qui a été étudié auchapitre précédent. Le domaine d’élasticité sera modifié dans le cas du comportement à écrouissagepositif (durcissement) ou négatif (adoucissement). Certains matériaux présentent même des évolutionsdurcissantes puis adoucissantes, au cours d’une sollicitation cyclique par exemple. Le type d’écrouissagepeut par ailleurs être modifié par des trajets de chargements complexes ou par le vieillissement dumatériau.

Les lois d’écrouissage sont donc les règles qui caractérisent l’évolution du domaine d’élasticité aucours de la déformation inélastique. Ainsi qu’on l’a vu dans le cas uniaxial, les principales classesd’écrouissage sont l’écrouissage isotrope et l’écrouissage cinématique. On se contente ici de tracer uncadre général utile pour le développement des modèles.

Le formalisme va différer assez peu de celui qui a été employé dans la partie précédente. On vasimplement rajouter deux séries de variables représentant l’écrouissage, des variables d’état, qui serontpour le moment désignées collectivement par αI , et leurs variables associées AI , intervenant dans lafonction de charge qui définit le seuil de plasticité. Par rapport au chapitre précédent, le modèle s’enrichit,puisque :

– il faut poser une relation entre les AI et les αI ;– il faut étendre l’expression de la fonction f (σ

∼), en introduisant les AI , soit f (σ

∼,AI) ;

– en plus de la vitesse d’évolution de ε∼

p (ou ε∼

vp), il faut déterminer celle des αI .

5.2 Matériaux standards généralisés

5.2.1 Une brève présentation du formalisme

L’approche la plus stricte d’un point de vue théorique consiste à étendre au cas de l’écoulement(visco)plastique avec écrouissage les concepts qui ont été introduits pour le comportement sansécrouissage. Dans cette construction, on range les variables d’état aux côtés de la déformation élastiquedans l’énergie libre, que l’on note ici Ψ (voir le cours de MMC (Forest et al., 2010), chapitre 6 pourune présentation du potentiel d’élasticité). De même que la contrainte s’obtient alors en prenant ladérivée partielle par rapport à la déformation élastique, les AI vont s’obtenir par dérivation partielle

43

44 CHAPITRE 5. VARIABLES D’ÉCROUISSAGE

par rapport aux αI (extension de la notion de potentiel d’élasticité), et la vitesse d’évolution de l’énergielibre s’exprime :

ρΨ(ε∼

e,αI) = ρ∂Ψ

∂ε∼

e ε∼

e +ρ∂Ψ

∂αIαI (5.1)

Les variables AI et αI sont des variables conjuguées dont le produit donne une énergie spécifique. Lesvariables αI définissent l’état du matériau, et les variables AI l’effet sur la mécanique de celles-ci.

σ∼

= ρ∂Ψ

∂ε∼

e (5.2)

AI = ρ∂Ψ

∂αI(5.3)

Pour le comportement élastique, l’égalité 5.2 définit une bijection qui détermine complètement lecomportement du matériau, la variable ε

∼e étant une variable observable accessible à l’expérience. On a

un comportement réversible, à un seul potentiel. Au contraire, les variables αI ne sont pas directementaccessibles, et leur évolution ne s’obtient qu’au travers des modifications du domaine d’élassticité. Cetteévolution est obtenue en introduisant un second potentiel, qui mesurera l’irréversibilité du processus dedéformation.

Dans le cadre des modèles standards (Germain et al., 1983), on utilise la fonction de charge f (σ∼,AI)

pour construire le potentiel de dissipation. On déterminera ainsi l’évolution des variables αI , selonle modèle déjà introduit pour les déformations plastiques ou viscoplastiques pour les matériaux sansécrouissage. Dans le cas d’un matériau parfaitement plastique, la puissance spécifique σ

∼: ε∼

peut sedécomposer simplement en une partie réversible, σ

∼: ε∼

e, et une partie dissipée, σ∼

: ε∼

p. Le principe de Hillqui a été invoqué pour établir les règles d’écoulement n’est donc pas autre chose qu’une maximisationde l’énergie dissipée. L’écrouissage d’un matériau est le résultat mécanique d’un ensemble de processusqui sont capables de stocker de l’énergie, en relation avec les mécanismes de déformation plastique. Cestockage d’énergie est temporaire (énergie récupérable) ou définitif ; il est représenté par la variationd’énergie libre, si bien que la dissipation intrinsèque s’exprime maintenant :

D = σ∼

: ε∼− Ψ = σ

∼: ε∼

p−AIαI (5.4)

La thermodynamique des milieux continus indique, comme conséquence du premier et du secondprincipe, que cette dissipation, nulle pour le comportement élastique, doit rester positive lors d’unprocessus élasto-plastique. La relation de Clausius-Duhem s’exprime donc :

D > 0 (5.5)

Ce formalisme engage à définir un ensemble de contraintes généralisées Z = (σ∼,AI), associées aux

déformations généralisées (z = ε∼

p,−αI), ce qui ramène formellement l’expression de la dissipationpour le cas du matériau écrouissable à celle qui avait été écrite pour le matériau parfaitement plastique.Le cadre standard généralisé, qui peut être vu comme une simple extension du principe du travailmaximal de Hill, suppose que le comportement d’un matériau écrouissable est tel qu’il maximise ladissipation intrinsèque. Il faut donc maximiser le produit Zz en s’assurant en même temps que lacontrainte généralisée est admissible, soit f (σ

∼,AI) > 0. On introduit pour cela un multiplicateur λ, et

on forme :F(σ

∼,AI) = σ

∼: ε∼

p−AIαI − λ f (σ∼,AI) (5.6)

Le point pour lequel les dérivées partielles par rapport à σ∼

p et AI sont nulles correspondent à unextremum, qui sera effectivement un maximum si f est une fonction convexe. Il vient alors :

ε∼

p = λ∂ f∂σ∼

= λn∼

αI =−λ∂ f∂AI

(5.7)

5.2. MATÉRIAUX STANDARDS GÉNÉRALISÉS 45

L’hypothèse de normalité n’est pas limitée à la seule déformation plastique ; elle s’applique égalementpour écrire l’évolution des variables d’état représentant le comportement non linéaire, il s’agit maintenantde normalité généralisée. La classe de matériaux qui obéit à cet ensemble de règles est intéressante d’unpoint de vue théorique. Dans le cas où l’énergie libre est une fonction quadratique et définie positivedes variables ε

∼e et αI , et où le potentiel plastique est une fonction convexe de σ

∼et AI , il est possible de

démontrer l’existence et l’unicité de la solution (Nguyen, 2000).

5.2.2 Exemple

L’écriture ci-dessus fournit de façon naturelle la nature des variables d’écrouissage à utiliser pourreprésenter l’écrouissage isotrope et l’écrouissage cinématique. En prenant comme exemple le casdu critère de von Mises, la fonction de charge s’écrit, en introduisant le scalaire R pour modéliserl’écrouissage isotrope et le tenseur X

∼pour l’écrouissage cinématique (qui est un tenseur déviatorique) :

f (σ∼,X∼,R) = J(σ

∼−X

∼)−R−σy = ((3/2)(s

∼−X

∼) : (s

∼−X

∼))0,5−R−σy (5.8)

On appellera respectivement r et α∼

les variables associées à R et X∼

. L’énergie libre s’écrit alorscomme la somme de la contribution élastique habituelle, Ψe, et de deux termes additionnels :

Ψ(ε∼

e,r,α∼) = Ψe(ε

∼e)+

12

Hr2 +13

α∼

: C≈

: α∼

(5.9)

si bien que

R = Hr X∼

=23

C≈

α∼

(5.10)

La variable tensorielle α∼

associée à la variable d’écrouissage X∼

est la déformation plastique elle-même,alors que la vitesse de la variable r associée à la variable d’écrouissage R s’identifie au multiplicateurplastique :

α∼

=−λ∂ f∂X∼

= λ∂ f∂σ∼

= ε∼

p r =−λ∂ f∂R

= λ (5.11)

On note que, dans ce cas, la variable r s’identifie à la déformation plastique cumulée, p, qui mesurela longueur du trajet de déformation, et qui se définit par :

p = ((2/3) ε∼

p : ε∼

p)0,5 (5.12)

En utilisant le fait que n∼

: n∼

= 3/2, on a en effet :

((2/3) ε∼

p : ε∼

p)0,5 =((2/3) λn

∼: λn

∼

)0,5= λ (5.13)

Sous chargement uniaxial, lorsque le tenseur de vitesse de déformation plastique est une diagonale(εp,−(1/2)εp,−(1/2)εp), le calcul de p donne : p = |εp|.

L’écriture de la dissipation pour ce modèle particulier fournit :

D = σ∼

: ε∼

p−X∼

: α∼−Rp = (σ

∼−X

∼) : ε

∼p−Rp = J(σ

∼−X

∼)p−Rp = σy p (5.14)

L’énergie stockée pour un niveau état caractérisé par ε∼

p et p fait intervenir une fraction (1/3)ε∼

p : C≈

: ε∼

p,

qui est récupérée à la décharge (totalement si on effectue un trajet qui permet d’annuler la déformationplastique), et une fraction (1/2)Hr2, qui reste bloquée dans le matériau.

Le modèle obtenu dans ce paragraphe fait intervenir des écrouissages linéaires, ce qui est en généralbien trop naïf pour représenter le comportement d’un «vrai» matériau. Les modèles plus réalistes peuventêtre construits :– en compliquant la forme de la relation entre variables d’écrouissage et variables d’état ;– en choisissant une fonction de charge plus complexe ;– en abandonnant l’hypothèse de normalité généralisée.


5.3 Expression de quelques lois particulières en plasticité

5.3.1 Loi de Prandtl–Reuss

C’est la loi obtenue en utilisant le critère de von Mises et une règle d’écrouissage isotrope. Lafonction de charge est donc :

f (σ∼,R) = J(σ

∼)−σy−R(p) (5.15)

L’écrouissage isotrope est décrit par la fonction R(p). Dans le cas d’un chargement uniaxial entraction, où seule la composante σ11 = σ est non nulle, l’égalité f (σ

∼,R) = 0 se résume à :

σ = σy +R(p) (5.16)

La courbe décrite par (σy +R(p)) est donc la courbe d’écrouissage en chargement uniaxial monotone,la déformation de traction ε

p11 = εp étant égale dans ce cas à la déformation plastique cumulée. Le module

plastique peut être évalué comme la pente à cette courbe.

σ = σy +R(εp) H =dσ

dεp =dRdεp =

dRd p

(5.17)

R(p) peut être définie point par point, par une fonction puissance ou une fonction exponentielle, commeon l’a vu dans le chapitre sur la plasticité uniaxiale.

Quelle que soit la forme choisie pour R, la condition de cohérence permet de trouver le multiplicateurplastique (λ = p) :

∂ f∂σ∼

: σ∼

+∂ f∂R

R = 0 s’écrit n∼

: σ∼−H p = 0 et (5.18)

λ =n∼

: σ∼

H(5.19)

La loi de Prandlt-Reuss permet de déterminer la direction et l’intensité de l’écoulement plastique :

ε∼

p = λn∼

=n∼

: σ∼

Hn∼

avec n∼

=32

s∼

J(5.20)

Dans le cas particulier de la traction simple, cette expression générale se réduit bien à la formeuniaxiale habituelle :

n11 = signe(σ) n∼

: σ∼

= σsigne(σ) et : λ = p = εp11 (5.21)

si bien que : εp =

n11σ

Hn11 =

σ

H(5.22)

5.3.2 Loi de Hencky–Mises

Il s’agit d’une expression toute intégrée du modèle de plasticité, qui est valide uniquement dans lecas d’un chargement simple, c’est-à-dire lorsque le chargement extérieur en termes de contraintes croîtproportionnellement à un seul paramètre scalaire k, à partir d’un état initial non écroui. On a alors :

σ∼

= k σ∼M σ

∼= k σ

∼M s∼

= k s∼M J = k JM avec 0 6 k 6 1 (5.23)

La direction d’écoulement ne change pas tout au long de l’écoulement :

n∼

=32

s∼M

JM(5.24)

5.3. EXPRESSION DE QUELQUES LOIS PARTICULIÈRES EN PLASTICITÉ 47

Par ailleurs, l’expression de l’intensité de l’écoulement se simplifie, en suivant :

n∼

: σ∼

H=

32

σ∼M

JM:

σ∼M kH

=JM

Hk (5.25)

On en déduit :

εp =

32

kH

s∼M =

32

s∼

H(5.26)

Les composantes de la vitesse de déformation plastique s’écrivent donc en fonction de la composante decontrainte correspondante uniquement, il y a découplage des composantes, ainsi par exemple :

εp11 =

σ11

Hε

p12 =

3σ12

2H(5.27)

On peut reformuler la seconde expression en

2εp12√3

=√

3σ12

2H(5.28)

Cette expression met en évidence la contrainte de cisaillement√

3σ12, équivalente de σ11 en applicationdu critère de von Mises, et la déformation plastique 2ε

p12/√

3, équivalente de εp11.

Le découplage signalé dans la formule 5.27 n’est qu’apparent, dans la mesure où la limite d’élasticitéfait bien intervenir toutes les composantes. Elle correspond à une valeur ke de k telle que keJM = σy. Lesintégrales définies qui permettent de calculer les composantes ont donc pour bornes ke et 1.

5.3.3 Loi de Prager

C’est la loi obtenue en utilisant le critère de von Mises et une règle d’écrouissage cinématiquelinéaire. Il faut pour cela introduire une variable d’écrouissage X

∼, associée à la déformation plastique, qui

s’écrit : X∼

= (2/3)H ε∼

p. Cette variable est déviatorique, la fonction de charge s’écrit donc simplement :

f (σ∼,X∼) = J(σ

∼−X

∼)−σy avec J(σ

∼−X

∼) = ((3/2)(s

∼−X

∼) : (s

∼−X

∼))0,5 (5.29)

La condition de cohérence s’écrit :

∂ f∂σ∼

: σ∼

+∂ f∂X∼

: X∼

= 0 soit n∼

: σ∼−n

∼: X∼

= 0 avec n∼

=32

s∼−X

∼

J(σ∼−X

∼)

(5.30)

On obtient donc :

n∼

: σ∼

= n∼

: X∼

= n∼

:(

23

Hn∼λ

)= H λ (5.31)

Il vient donc de nouveau :λ = (n

∼: σ∼)/H (5.32)

Le multiplicateur plastique a la même expression formelle que dans le cas de l’écrouissage isotrope ;il faut néanmoins noter que la définition de n

∼est modifiée, et que H est constant. Sous chargement

uniaxial, σ = σ11 étant la seule composante non nulle du tenseur des contraintes, et en posant X =(3/2)X11, la fonction de charge et la condition de cohérence s’écrivent :

|σ−X |= σy σ = X = H εp (5.33)


5.3.4 Écoulement à vitesse de déformation totale imposée

Comme l’indiquent les deux exemples du paragraphe précédent, la condition de cohérence semet toujours sous la même forme, pour les lois de comportement courantes des matériaux isotropes.Par comparaison avec le cas du matériau parfaitement plastique, seule va changer cette condition decohérence ; il faut donc maintenant partir de :

σ∼

= Λ≈

: (ε∼− ε

∼p) et n

∼: σ∼

= Hλ (5.34)

Après multiplication des deux membres de la première relation par n∼, il vient cette fois-ci :

λ =n∼

: Λ≈

: ε∼

H +n∼

: Λ≈

: n∼

(5.35)

Remarques :– Dans le cas de l’élasticité isotrope et d’un matériau de von Mises, l’expression du multiplicateur

devient :λ =

2µn∼

: ε∼

H +3µ(5.36)

– On appelle tenseur élastoplastique tangent l’opérateur qui permet d’obtenir la vitesse dedéformation plastique en fonction de la vitesse de déformation totale. Les équations 5.34 et 5.35permettent d’écrire :

εpi j = Λi jkl ε

pkl −Λi jkl

(nmnΛmnpqεpq

H +nrsΛrstuntu

)nkl (5.37)

= Λi jkl εpkl −

(Λi jklnkl

)(nmnΛmnpq)

H +nrsΛrstuntuεpq (5.38)

(5.39)

Soit :

ε∼

p = L≈

ep : ε∼

avec : L≈

ep = Λ≈−

(Λ≈

: n∼)⊗ (n

∼: Λ≈)

H +n∼

: Λ≈

: n∼

(5.40)

5.4 Viscoplasticité

On exprime un modèle viscoplastique avec écrouissage en étendant la notion de potentielviscoplastique aux variables d’écrouissage. En définissant Ω(σ

∼,AI), on se donne les moyens de calculer

les évolutions des αI en même temps que celles de la déformation viscoplastique :

ε∼

p =∂Ω

∂ f∂ f∂σ∼

=∂Ω

∂ fn∼

αI =−∂Ω

∂ f∂ f∂AI

(5.41)

Dans ce cas, la dissipation comporte une partie due à la viscosité, en effet, la valeur de la fonction decharge n’est plus nulle pendant l’écoulement, si bien que, en reprenant l’exemple du paragraphe (5.2.2),on obtient, en posant v = ∂Ω/∂ f :

D = σ∼

: ε∼

vp−X∼

: α∼−Rv = (J(σ

∼−X

∼)−R) v) = ( f +σy)v (5.42)

5.4. VISCOPLASTICITÉ 49

Résumé

– Expression de l’énergie libre pour introduire écrouissages isotrope et cinématique :

Ψ(ε∼

e,R,X∼) = Ψe(ε

∼e)+

12

Hr2 +12

X∼

: C≈

: X∼

– Définition de la contrainte σ∼

et des variables d’écrouissage AI :

σ∼

= ρ∂Ψ

∂ε∼

e AI = ρ∂Ψ

∂αI

– Lois d’écoulement généralisées :

ε∼

p = λ∂ f∂σ∼

= λn∼

αI =−λ∂ f∂AI

avec la forme de Ψ précédente, et

f (σ∼,X∼,R) = J(σ

∼−X

∼)−R−σy = ((3/2)(s

∼−X

∼) : (s

∼−X

∼))0,5−R−σy

c’est la déformation plastique cumulée p qui est la variable d’état de l’écrouissage isotrope, etε∼

p qui est celle de l’écrouissage cinématique linéaire.– Règle de Prandtl–Reuss :

ε∼

p =n∼

: σ∼

Hn∼

ou :

ε∼

p =n∼

: Λ≈

: ε∼

H +n∼

: Λ≈

: n∼

n∼

– Opérateur élastoplastique tangent :

ε∼

p = L≈

ep : ε∼

avec : L≈

ep = Λ≈−

(Λ≈

: n∼)⊗ (n

∼: Λ≈)

H +n∼

: Λ≈

: n∼

Chapitre 6

Eléments de théorie des poutres planes

La théorie des poutres s’applique sur des «solides élancés». De façon traditionnelle, le calculde poutres fait partie du domaine de la résistance des matériaux (RDM) (Timoshenko, 1968). Cettediscipline, longtemps enseignée en tant que telle, a permis pendant longtemps de calculer de façonanalytique des treillis complexes, des ponts, des ouvrages d’art divers. Les mêmes calculs sontmaintenant effectués numériquement, au moyen de codes de calcul par éléments finis. On abordera icideux approches de la théorie des poutres :

– au travers d’une brève revue du problème de Saint-Venant, solution analytique tridimensionnellesur un tronçon de poutre,

– au moyen du principe des puissances virtuelles, qui permet d’évaluer des solutions approchées.

6.1 Définitions

6.1.1 Modélisation géométrique

Les poutres ne sont pas forcément des prismes. Le modèle géométrique qui est employé se résumeà :

– une ligne moyenne C , de point courant G, avec s, abcisse curviligne à partir de O. On définit le longde cette ligne (t,n,b), trièdre de Frénet orthonormé, ainsi que R, rayon de courbure. On rappelleles égalités suivantes :

t =OGds

n = Rdtds

b = t ∧n (6.1)

– une section droite, S de la poutre, dans le plan (n,b), de contour Γ, de centre de gravité G.Pour que la théorie soit applicable, il est nécessaire que les sections droites soient lentement variables

ou constantes en fonction de s, et que la plus grande dimension de la section droite soit petite devant R, etdevant la longueur de la poutre. Ces hypothèses permettent d’assimiler localement la poutre à un tronçonde prisme. On considère dans la suite une théorie en petites déformations et petits déplacements. Lesactions mécaniques, charges et actions de liaison, s’appliquent sur la géométrie simplifiée. Elles sontreprésentées par des torseurs (un vecteur résultant et un moment résultant), que l’on définit donc surla ligne moyenne. On construira également une cinématique simplifiée, permettant de reconstruire lesdéplacements approchés du milieu continu à partir de translations et de rotations d’un point de la lignemoyenne.

Le but de la théorie des poutres est de remplacer la solution tridimensionnelle par une solutionglobale, dans laquelle on écrira des équations d’équilibre entre les quantités moyennes qui définissentles efforts, une cinématique définissant les déplacements sur la structure simplifiée, et des lois decomportement qui relient les deux. Il s’agit de trouver une solution acceptable pour un problème quiest, en toute rigueur, incomplet, puisqu’on ne spécifiera pas de façon précise les efforts extérieurs sur la

51

52 CHAPITRE 6. ELÉMENTS DE THÉORIE DES POUTRES PLANES

s=0

t

n

b

S

FIG. 6.1 – Représentation géométrique d’une poutre

géométrie tridimensionnelle. On ne cherchera à représenter que les moyennes, en termes de résultanteset de moments.

La figure 6.1 montre la forme générale d’une poutre. Dans chaque section droite, on définit le centrede gravité par : Z

SGM dS = 0 (6.2)

On définit le moment quadratique par rapport à une droite ∆ de la section droite, en introduisant H,projection de M ∈ S sur ∆

I(S,∆) =Z

S||HM||2dS (6.3)

Cette grandeur présente une analogie avec le moment d’inertie d’un solide autour d’une droite, maisdans le cas présent, le solide est plan et la masse surfacique est de 1. Ceci explique qu’on parle souventde moment d’inertie de la surface S autour de ∆. On peut donc construire une matrice des momentsquadratiques, qui est symétrique :

(I)

=

I22 =Z

Sx2

3dS I23 =−Z

Sx2x3dS

I32 =−Z

Sx2x3dS I33 =

ZS

x22dS

(6.4)

Elle est diagonalisable. Il existe donc des directions centrales principales, pour lesquelles on définit lesmoments quadratiques centraux principaux

(I)

=

I2 =Z

Sx2

3dS 0

0 I3 =Z

Sx3

2dS

(6.5)

Pour la suite du chapitre, on travaillera dans les axes ainsi définis. Dans le cas où la section présente deuxaxes de symétrie, ceux-ci correspondent bien entendu aux directions principales.

6.1.2 Principe de Saint-Venant

Le traitement de la théorie des poutres s’appuie sur le principe de Saint-Venant. Celui-ci considèrele cas où, ayant résolu un problème de mécanique des milieux continus tridimensionnels, on évalue àl’aide de la solution obtenue les torseurs des efforts extérieurs dans une section quelconque. Si ceux-ci

6.1. DÉFINITIONS 53

x3

x2

1x

F M

M

2

3

pt

p

P

C

2

2

3

3P

FIG. 6.2 – Bilan des efforts extérieurs

sont effectivement égaux à ceux qui sont appliqués, le principe de Saint-Venant indique que, même sila répartition des contraintes n’est pas la même dans les deux cas, la solution trouvée sera valable, sion se place «suffisamment loin» du point d’application des charges. En d’autres termes, la perturbationn’est que locale. Dans la pratique, la solution est valide lorsqu’on a parcouru sur la ligne moyenne unedistance qui est de l’ordre de deux à trois diamètres, si bien que la schématisation de type poutre est engénéral acceptée à partir d’un rapport 10 à 15 entre la longueur et la plus grande dimension de la sectiondroite.

6.1.3 Modélisation des actions mécaniques

La figure 6.2 définit la manière dont on prend en considération les efforts extérieurs. Dans la mesureoù la géométrie se résume en fait à une ligne et des sections droites, la représentation de la section elle-même n’est présente que de façon indicative. On prend en compte des forces et des moments, selon lestrois directions de l’espace, et sous forme répartie ou ponctuelle. On définit donc :

– des forces concentrées F selon x1, P2 selon x2, P3 selon x3– des forces surfaciques t selon x1, p2 selon x2, p3 selon x3– des moments de flexion M2 autour de x2, M3 autour de x3– un couple de torsion autour de x1, C.On introduit les efforts intérieurs correspondants. Ils sont définis de manière globale sur une section

courante. Les notations seront les suivantes :– une résultante N selon x1, T2 selon x2, T3 selon x3 ; N est l’effort normal, T2 et T3 les composantes

de l’effort tranchant– un moment de flexion M2 autour de x2, M3 autour de x3– un couple de torsion autour de x1, M1.On définit ainsi un torseur, qui est obtenu en intégrant les composantes suivantes du tenseur de

contrainte :

N =Z

Sσ11dS T2 =

ZS

σ12dS T3 =Z

Sσ13dS (6.6)

C =Z

S(x2σ13− x3σ12)dS M2 =

ZSx3σ11dS M3 =−

ZS

x2σ11dS (6.7)

Il n’est donc pas utile de connaître les composantes σ22 et σ33 pour calculer les efforts résultants.Ceci va inspirer la solution de Saint-Venant qui est exposée en section suivante. Il faut noter égalementqu’il est possible de construire une infinité de champs de contraintes qui redonnent le torseur indiqué.


Dans la pratique, la théorie des poutres ne précise pas la manière dont sont distribués les efforts (enapplication du principe de Saint-Venant).

6.2 Solution de Saint-Venant

6.2.1 Contraintes

L’hypothèse de Saint-Venant consiste à chercher la solution d’un tronçon de poutre droite sous laforme d’un état de contrainte contenant uniquement deux cisaillements et un terme de contrainte axiale :

(σ..

)=

σ11 σ12 σ13σ21 0 0σ31 0 0

(6.8)

Chaque composante dépend pour le moment de la position (x1,x2,x3) d’un point courant au seinde la poutre. On cherche à résoudre le problème à l’aide d’une formulation en contraintes. Le tenseurrecherché doit vérifier :

– les équations d’équilibre

σ11,1 +σ12,2 +σ13,3 = 0 (6.9)

σ21,1 = 0 (6.10)

σ31,1 = 0 (6.11)

(6.12)

– les équations de Beltrami

−∆σ11−σ11,11 = 0 (6.13)

(1+ν)∆σ12 +σ11,12 = 0 (6.14)

(1+ν)∆σ13 +σ11,13 = 0 (6.15)

−σ11,22 +ν∆σ11 = 0 (6.16)

−σ11,23 = 0 (6.17)

−σ11,33 +ν∆σ11 = 0 (6.18)

(6.19)

On déduit des équations précédentes la forme générale de la solution, dans laquelle on a introduitune fonction φ dépendant de x2 et x3, telle que ∆φ = 0 :

σ11 = a0 +a1x1 +(b0 +b1x1)x2 +(c0 + c1x1)x3 (6.20)

σ12 = φ,3−a1

2x2− c1x2x3−

b1

1+ν

x23

2(6.21)

σ13 =−φ,2−a1

2x3−b1x2x3−

c1

1+ν

x22

2(6.22)

(6.23)

Lors du calcul des intégrales sur la section droite, un certain nombre de termes sont nuls, dans la

mesure où les axes x2 et x3 sont des axes principaux. C’est le cas deZ

Sx2dS,

ZS

x3dS,Z

Sx2x3dS. On voit

par ailleurs apparaître les moments quadratiques principaux. La forme finale de la solution en contrainteest :

6.2. SOLUTION DE SAINT-VENANT 55

σ11 =NS

+M2

I2x3−

M3

I3x2 (6.24)

σ12 =−T3

I2x2x3−

11+ν

T2

I3

x23

2(6.25)

σ13 =−T2

I3x2x3−

11+ν

T3

I2

x22

2(6.26)

(6.27)

La fonction φ est solution de ∆φ = A, équation différentielle qu’il faut résoudre en prenant en compterespectivement une condition aux limites sur le contour de la section droite, et l’expression du momentde torsion :

dφ =(−T2

I3x2x3−

T3

2(1+ν)I2x2

2

)dx2 +

(−T3

I2x2x3 +

T2

2(1+ν)I3x2

3

)dx2 (6.28)

C = SZ

SφdS +

ZΓ

φ(x3dx2− x2dx3) (6.29)

+T2

I3

ZS

(−x2x3 +

x23

2(1+ν)

)dS +

T3

I2

ZS

(−x3x2 +

x22

2(1+ν)

)dS (6.30)

6.2.2 Déplacements

On passe des contraintes aux déplacements par la loi de comportement. Le calcul des déplacementsse fait de façon traditionnelle en calculant d’abord les rotations, puis les composantes du vecteurdéplacement (voir le cours MMC) Les rotations sont calculées à l’aide d’un tenseur ω

∼, partie

antisymétrique du gradient de déplacement, dont les composantes ω12, ω23 et ω31 vérifient des équationsdifférentielles du type :

ω12,1 = ε11,2− ε12,1 ω12,2 = ε12,2− ε22,1 ω12,3 = ε13,2− ε32,1 (6.31)

et permutation circulaire.

Les composantes du déplacement sont obtenues par des équations du type :

u1,1 = ε11 u1,2 = ε12 +ω12 u1,3 = ε13 +ω13 (6.32)

et permutation circulaire.


On trouve (Garrigues, 1999) :

u1 =NES

x1−(

T2

EI3x2 +

T3

EI2x3

)(Lx1−

x21

2

)+(

M2

EI2x3−

M3

EI3x2

)x1 (6.33)

+T2

EI3

(ν

x32

6− (2+ν)

x2x23

2

)+

T3

EI2

(ν

x33

6− (2+ν)

x3x22

2

)(6.34)

+1+ν

EΦ+ γx2−βx3 +α0 (6.35)

u2 =−νNES

x3 +(

T2

2EI3(x2

2− x23)+

T3

EI2x2x3

)ν(L− x1) (6.36)

+ν

(M3

2EI3(x2

2− x23)−

M2

EI2x2x3

)+

1+ν

EAx1x3 (6.37)

+(

M3

EI3+

T2

EI3

(L− x1

3

)) x21

2− γx1−αx3 +β0 (6.38)

u3 =−νNES

x3 +(

T3

2EI2(x2

3− x22)+

T2

EI3x2x3

)ν(L− x1) (6.39)

+ν

(M2

2EI2(x2

3− x22)−

M3

EI3x2x3

)− 1+ν

EAx1x2 (6.40)

+(−M2

EI2+

T3

EI2

(L− x1

3

)) x21

2+βx1−αx2 + γ0 (6.41)

(6.42)

6.2.3 Discussion

La solution est bien donc relativement complexe, cependant la solution est adaptée pour une largegamme de problèmes, en flexion et en torsion. C’est la présence de Φ qui rend la résolution analytiquedélicate (voire impossible), et dépendante de la forme de la section. Dans le cas général, il y a un couplageentre les sollicitations, c’est-à-dire par exemple qu’un effort tranchant conduit à un déplacement entorsion. Les couplages disparaissent lorsque les sections présentent des axes de symétrie. On obtientun résultat analytique dans le cas où la section est circulaire. En torsion pure, on trouve tout simplementque φ vaut (R2− x2

2− x23)/2, et on vérifie que la section reste plane ; sous l’effet d’un effort tranchant T2

uniquement, on trouve :

σ12 =T2

I3

(3+2ν

8(1+ν)(x2

3− x22 +R2)− x2

32(1+ν)

)σ13 =−T2

I3

(1+2ν

4(1+ν)x3x2

)(6.43)

On note que le vecteur contrainte est bien nul sur la surface latérale.D’une façon générale, le déplacement de la ligne moyenne est obtenu pour x2 = x3 = 0. Les sections

droites restent planes sous l’action d’un effort normal ou d’un moment. Dans le cas d’un effort tranchant,on a un gauchissement des sections droites, ainsi, sous l’action de T2, en notant U le déplacement selonx1 d’un point courant de la ligne moyenne, on a :

u1−U =T2

EI3

(ν

x32

6− (2+ν)

x2x23

2

)+

1+ν

EΦ(x2,x3) (6.44)

Ce gauchissement reste néanmoins relativement peu important, ce qui encouragera en fait à construiredes solutions dans lesquelles on conserve les sections planes.

6.3. APPROCHE PAR LE PRINCIPE DES TRAVAUX VIRTUELS 57

1x

x3

x2

p

P

F

M

t

FIG. 6.3 – Géométrie et efforts extérieurs considérés

6.3 Approche par le principe des travaux virtuels

On va maintenant reprendre le problème en partant d’une hypothèse cinématique et en appliquantle principe des travaux virtuels. Pour plus de concision, on se résume à la résolution dans un plan. Lafigure 6.3 montre la géométrie et résume les efforts appliqués. La ligne moyenne est l’axe x1, la poutre sedéforme dans le plan x1−x3, qui est plan principal d’inertie. Comme l’axe x1 joint est le lieu des centres

d’inerties des sections, on aZ

Sx3dS = 0.

6.3.1 Rappel : le principe des travaux virtuels

La figure 6.4 rappelle les grandeurs fondamentales que l’on considère sur un milieu continu.On introduit les définitions suivantes :– Champ u′ CCA (cinématiquement admissible) :

u′ = ud sur ∂Ωu ε′∼

= 0.5(grad

∼u′+grad

∼

T u′)

(6.45)

– Champ σ∗∼

CSA (statiquement admissible) :

σ∗∼

.n = Fd sur ∂ΩF divσ∗∼

+ f d = 0 dans Ω (6.46)

L’évaluation du travail développé par σ∗∼

dans u′ conduit à l’enchaînement suivant, pour tout σ∗∼

CSAet u′ CCA non forcément reliés par la loi de comportement :

ud

fd

Fd

Ω

– Déplacement imposé ud sur la surface ∂Ωu

– Force répartie imposée Fd sur la surface ∂ΩF

– Force volumique imposée f d à l’intérieur de Ω

FIG. 6.4 – Notations dans le milieu continu


ZΩ

σ∗i jε

′i jdΩ =

ZΩ

12

σ∗i j(u′i, j +u′j,i

)dΩ (6.47)

=Z

Ω

σ∗i ju

′i, jdΩ (6.48)

=Z

Ω

((σ∗i ju

′i), j−σ

∗i j, ju

′i

)dΩ (6.49)

=Z

∂Ω

σ∗i jn ju′idS−

ZΩ

σ∗i j, ju

′idΩ (6.50)Z

Ω

σ∗i jε

′i jdΩ =

Z∂Ω

Fiu′idS +Z

Ω

f di u′idΩ (6.51)

(6.52)

Le principe des travaux virtuels s’énonce alors de la façon suivante : ∀u′i, variation autour d’un étatd’équilibre (u′i = 0 sur ∂Ωu)Z

Ω

σ∗i jε

′i jdΩ =−δWint = δWext =

Z∂ΩF

Fdi u′idS +

ZΩ

f di u′idΩ (6.53)

Dans la suite, on va appliquer ce principe sur les quantités globales définies sur la poutre.

6.3.2 Cinématique de la poutre de Timoshenko

L’idée consiste, pour un solide élancé, à postuler une description simplifiée, globale, de la structure,au lieu de chercher une résolution exacte. Les solutions obtenues sont d’autant plus satisfaisantes quel’élancement est important.

Pour traiter le cas d’une poutre plane, on conserve dans la description géométrique deux translationset un angle. Il leur correspondra deux forces et un moment, conjugués (au sens du travail virtuel). Pourle cas d’une poutre mince, on négligerait le cisaillement (modèle N, M, Navier–Bernoulli).

Sollicitation axe de la poutre perp à l’axe moment de flexion«force» N T M

«déplacement» U V θ

On calcule donc successivement les déplacements et les déformations, en suivant les notationsillustrées par la figure 6.5

u1 = U ′(x1)+θ′x3 u3 = V ′(x1) (6.54)

ε′11 = U ′

,1 +θ′,1x3 2ε

′13 = V ′

,1 +θ′ (6.55)

6.3.3 Traitement des équations

Travail virtuel des efforts internes

δWint =−Z

V(ε′11σ11 +2ε

′13σ13)dV (6.56)

=−Z

L

(U ′

,1

ZS

σ11dS +θ′,1

ZS

x3σ11dS +(V ′,1 +θ

′)Z

Sσ13dS

)dx1 (6.57)


Plan de la ligne neutre

Section

FIG. 6.5 – Schématisation de la poutre de Timoshenko

On introduit alors naturellement les quantités N, T , M conjuguées de U , V , θ :

N =Z

Sσ11dS T =

ZS

σ13dS M =Z

Sx3σ11dS (6.58)

ce qui donne :

δWint =−Z

L

(NU ′

,1 +Mθ′,1 +T (V ′

,1 +θ′))

dx1 (6.59)

Traitement du travail des efforts intérieurs

A partir de :

δWint =−Z

L

(NU ′

,1 +Mθ′,1 +T (V ′

,1 +θ′))

dx1 (6.60)

On intègre classiquement par parties le travail des efforts intérieurs, par exemple :ZL

NU ′,1dx1 =

ZL

((NU ′),1−N,1U ′)dx1 =

[NU ′]L

0 −Z

LN,1U ′dx1 (6.61)

d’où :

δWint =−Z

L

(−N,1U ′−M,1θ

′−T,1V ′+T θ′))

dx1 (6.62)

+N(0)U ′(0)−N(L)U ′(L)+T (0)V ′(0)−T (L)V ′(L) (6.63)

+M(0)θ′(0)−M(L)θ′(L) (6.64)

Travail des efforts extérieurs

On suppose que les forces concentrées sont appliquées aux extrémités (x1 = 0 et x1 = L), et on intègreentre 0 et L les efforts répartis. Les données sont :

– les forces normales F0 et FL, tangentielles P0 et PL,– les moments M0 et ML,– les efforts répartis sur la surface, représentés par des densités linéiques normales p et tangentielle

t :

δWext = F0U ′(0)+FLU ′(L)+P0V ′(0)+PLV ′(L)+M0θ′(0)+MLθ

′(L) (6.65)

+Z

L

(pV ′+ tU ′)

)dx1 (6.66)


6.3.4 Caractérisation de l’équilibre

δWint =−Z

L

(−N,1U ′−M,1θ

′−T,1V ′+T θ′))

dx1 (6.67)

+N(0)U ′(0)−N(L)U ′(L)+T (0)V ′(0)−T (L)V ′(L) (6.68)

+M(0)θ′(0)−M(L)θ′(L) (6.69)

δWext = F0U ′(0)+FLU ′(L)+P0V ′(0)+PLV ′(L)+M0θ′(0)+MLθ

′(L) (6.70)

+Z

L

(pV ′+ tU ′)

)dx1 (6.71)

Comme l’égalité δWint + δWext = 0 est valable quel que soit le triplet (U ′, V ′, θ′), on trouve, enidentifiant terme à terme les expressions de δWint et δWext :

N(0) =−F0 N(L) = FL T (0) =−P0 T (L) = PL (6.72)

M(0) =−M0 M(L) = ML (6.73)

N,1 + t = 0 T,1 + p = 0 M,1−T = 0 (6.74)

On pose :

N =Z

Sσ11dS T =

ZS

σ13dS M =Z

Sx3σ11dS (6.75)

On obtient :

N,1 + t = 0 T,1 + p = 0 M,1−T = 0 (6.76)

La figure 6.6 illustre la signification physique des équations précédentes pour une «tranche» de lapoutre.

6.3.5 Lois de comportement

Pour établir les lois de comportement, il faut trouver des relations raisonnables entre les déplacementsdéfinis sur la ligne moyenne et les efforts globaux. L’approche par le principe des travaux virtuelslaisse le choix du champ de contraintes statiquement admissible que l’on considère. Dans la suite, onva considérer une théorie très simplifiée, qui n’aura pas le même degré de raffinement que la solution

T+dT

N+dN

M+dM

p

t

TNM

dN =−tdx1 (6.77)

dT =−pdx1 (6.78)

dM = T dx1 (6.79)

FIG. 6.6 – Equilibre d’une «tranche» de poutre


de Saint-Venant : on s’inspire en effet directement du champ cinématiquement admissible pour évaluerun champ de contrainte, qui sera, en fait obtenu au travers de la loi de comportement, et qui ne sera pasrigoureusement statiquement admissible. On traite successivement les cas de la force axiale, du momentet de l’effort tranchant.

Lois de comportement : force axiale

On évalue la composante 11 du tenseur de contrainte comme Eε11 = σ11−ν(σ22 +σ33), et on négligeσ22 et σ33. Il vient :

N =Z

Sσ11dS =

ZS

Eε11dS =Z

SEu1,1dS =

ZS

EU,1dS +Z

SE(θx3),1dS (6.80)

Le deuxième terme du développement est nul, si bien que :

N = U,1ES (6.81)

Lois de comportement : moment

M =Z

Sx3σ11dS =

ZS

x3Eε11dS =Z

Sx3U,1dS +

ZS

x3(θx3),1dS (6.82)

Le premier terme du développement est nul, il vient :

M = θ,1

ZS

x23dS = θ,1I (6.83)

avec I =Z

Sx2

3 dS, moment quadratique par rapport à x2, si bien que :

M =Z

Sx3σ11dS = EIθ,1 (6.84)

Pour une section rectangulaire, de hauteur 2h et de largeur b, I =2bh3

3

Lois de comportement : cisaillement

T =Z

Sσ13 =

ZS

2µε13dS =Z

Sµ(u1,3 +u3,1)dS =

ZS

µ(θ+V,1)dS (6.85)

si bien que :T = µS(θ+V,1) (6.86)

Lois de comportement

Les relations suivantes constituent les lois de comportement globales de la structure.

N = ESU,1 T = µS(θ+V,1) M = EIθ,1 (6.87)

V,1 =−θ+T/µS (6.88)

θ,1 = M/EI (6.89)

M,1−T = 0 (6.90)

T,1 + p = 0 (6.91)


flexion cisaillement

FIG. 6.7 – Forme de la déformée de la ligne moyenne

6.3.6 Remarques

Déformées

La forme de la déformée de la ligne moyenne (fig. 6.7) dépend du type de chargement :– Le terme de cisaillement, produit une évolution linéaire de la flèche.– La flèche est obtenue comme solution d’un problème d’ordre 4 par rapport aux efforts appliqués :

V,11 =−θ,1 =−MEI

V,111 =−M,1EI

=TEI

V,1111 =− pEI

(6.92)

– En présence d’un moment appliquée, la forme de la ligne moyenne sera circulaire, elle sera dedegré 3 en cas d’effort concentré, et de degré 4 en cas d’effort réparti tout au long de la poutre.

Méthode de résolution

Le déplacement axial s’obtient en intégrant la relation :

U,1 = N/ES (6.93)

La rotation relative entre les sections s’obtient en intégrant la relation :

θ,1 = M/EI (6.94)

La flèche est le résultat de la somme de deux termes, l’un provenant de la rotation elle même, et l’autrede l’effort tranchant T :

V,1 =−θ+T/µS (6.95)

Expression des contraintes locales

La connaissance de U , V et θ permet de remonter aux champs de déformation et de contrainte locaux.(' Eε11 = Eu1,1) est la somme de deux termes, dus à l’élongation et à la flexion :

σ11 ∼= N/S +Mx3/I (6.96)

Si le cisaillement est négligeable

θ =−V,1 M =−EIV,11 (6.97)

6.4. POUTRE SANDWICH 63

Théorie de Navier–Bernoulli

Dans la théorie qui a été développée jusque là, une section plane reste plane, mais pas perpendiculaireà l’axe neutre. Si les cisaillements sont faibles (effet du moment dominant), il est raisonnable de rajoutercette dernière hypothèse. On retrouve alors la théorie dite classiquement de Navier-Bernoulli. Dans cecas, il faut assurer ε13 = 0, ce qui entraîne la condition suivante sur l’hypothèse cinématique :

2ε13 = V,1 +θ = 0 (6.98)

La conséquence immédiate est que T est nul.

Prise en compte du gauchissement de section

Comme on peut le constater en se référant à la solution de Saint-Venant, la méthode présentée icin’est qu’approchée, surtout dans le cas où le cisaillement est important. Ainsi, il est facile de vérifierpar exemple que le résultat en contrainte σ13 ne vérifie pas les conditions aux limites, puisque, σ13 étantuniforme, le cisaillement calculé n’est pas nul en surface. Par ailleurs, les équations d’équilibre nonutilisées ne sont pas vérifiées. L’approximation se justifie néanmoins en raison des ordres de grandeurrespectifs de chacune des composantes de contrainte mises en jeu. Il est relativement simple d’apporterune première amélioration en considérant que la section S peut devenir gauche. Cela conduit à postulerun champ de déplacement tridimensionnel de la forme, où ηi désigne le «gauchissement longitudinal» :

u1(X) = u(s) + θ(s)x3 + η1(x1,x2,x3)u2(X) = η2(x1,x2,x3)u3(X) = v(s) + η3(x1,x2,x3)

La seule modification à apporter aux équations consiste à introduire un coefficient k, dit de sectionréduite dans l’expression du cisaillement, qui devient :

T = µ(S/k)(θ+V,1) (6.99)

Ce coefficient vaut 6/5 pour le cas d’une poutre de section rectangulaire.

6.4 Poutre sandwich

On continue ici à utiliser une approche relativement grossière, qui consiste à évaluer le champ decontrainte à partir du champ de déplacement. On suppose donc que, en présence de plusieurs couches, oncontinue à avoir la même cinématique. Contrairement au cas du matériau homogène, il y a maintenant unedistribution spatiale des propriétés élastiques, qui dépendent de la cote x3 dans la section. Ceci interditde sortir les modules des intégrales, et conduit donc à des moyennes différentes, prenant en compte à lafois la géométrie et le comportement.

6.4.1 Evaluation des efforts intérieurs

Effort normal

N =Z

Sσ11 dS (6.100)

La contrainte σ11 est discontinue, et : σ11(x3) = E(x3)ε11

σ11 = E(x3)(U1,1 +θ1,1x3) (6.101)

N = U,1

ZS

E(x3)dS +θ,1

ZS

E(x3)x3dS (6.102)


Si E(x3) est une fonction paire en x3, et indépendante de x2 ; la seconde intégrale est nulle. On a :

N =< ES > U,1 avec < ES >=Z

SE(x3)dS (6.103)

Poutre sandwich : moment

M =Z

Sx3σ11 dS (6.104)

σ11 = E(x3)(U1,1 +θ1,1x3) (6.105)

M = U,1

ZS

x3E(x3)dS +θ,1

ZS

E(x3)x23dS (6.106)

Si E(x3) est une fonction paire en x3, et indépendante de x2 ; la première intégrale est nulle. On a :

M =< EI > θ,1 avec < EI >=Z

SE(x3)x2

3dS (6.107)

Poutre sandwich : cisaillement

On ne peut pas comme dans les deux cas précédents accepter d’évaluer directement les composantesde contrainte à partir du comportement. On commet en effet une grossière erreur en ne prenant pas encompte la continuité de la composante σ13 à l’interface. La valeur de σ13 est limitée par le faible modulede la mousse à l’intérieur de la poutre, et elle doit être nulle en surface externe, de normale x3, qui estlibre. Une pratique courante admet tout simplement de négliger la contribution des plaques métalliquesexternes ; on se limite à l’intégrale sur le cœur de la poutre, soit, en supposant que celui-ci est comprisentre ±h :

T =Z

Sσ13 dS ≈

Z b

0

Z +h

−hσ13dx2dx3 = (V,1 +θ)

Z +h

−h2bµ(x3)dx3 (6.108)

T ≈< µS >+h−h (V,1 +θ) (6.109)

6.4.2 Forme générale

Si la distribution des modules n’est pas paire en x3, il y a un couplage entre traction et flexion. Ondoit écrire :

N

M

T

=

Z

SEidS

ZS

Eix3dS 0ZS

Eix3dSZ

SEix2

3dS 0

0 0Z

SµidS

=

U,1

θ,1

V,1 +θ

(6.110)

On a introduit les quantités suivantes :

- ligne moyenne définie par :R

S Eix3dS = 0

- rigidité équivalente de traction : < ES >=R

S EidS

- rigidité équivalente de flexion : < EI >=R

S Eix23dS

- rigidité équivalente de cisaillement : < µS >=R

S µidS

6.5. FLAMBEMENT 65

On a donc établi des lois de comportement simplifiées :

N =< ES > U,1 T =< µS > (θ+V,1) M =< EI > θ,1 (6.111)

Tout ceci permet de retrouver les contraintes σ11 locales :

σ11 ' Ei

(N

< ES >+

Mx3

< EI >

)(6.112)

La composante σ11 présente donc à l’interface une discontinuité qui est dans la rapport des modulesd’Young en direction 1. Ceci explique que ce sont les peaux qui assurent la résistance au moment deflexion. Si la poutre est suffisamment épaisse, et la peau mince, les peaux sont pratiquement en tractionet en compression simple. Comme l’assemblage a permis de les éloigner de la ligne moyenne, la rigiditésera donc nettement plus grande.

Pour une bonne conception de l’assemblage, il faut vérifier que les contraintes de cisaillement qui sedéveloppent aux interfaces restent compatibles avec la résistance des joints de colle entre les différentsmatériaux.

6.5 Flambement

L’ensemble des développements qui sont montrés par ailleurs dans ce cours utilisent une hypothèsede petites perturbations, soit à la fois des petites déformations et de petits déplacementss : lesdéformations sont calculées en utilisant la partie symétrique du tenseur gradient de déplacement, doncsans considérer les termes de plus haut degré, et les calculs sont effectués sur la configuration initiale.En élasticité, les relations qui sont écrites sont toutes linéaires, ce qui conduit entre autres à appliquerle «principe» de superposition pour combiner l’effet de plusieurs chargements. L’application effectuéedans ce paragraphe nous amène à introduire les efforts non plus sur la configuration initiale, mais sur laconfiguration déformée. Ceci introduit une non-linéarité, si bien que les relations force–déplacement neseront plus linéaires, et que l’on ne pourra plus appliquer le principe de superposition.

Le flambement est un phénomène d’instabilité qui apparaît sur les poutres longues, les plaques etles coques minces, et qui conduit à des modes de déformation catastrophiques. Ainsi une plaque ou unecoque se met-elle «en accordéon». Une poutre droite flambe en compression lorsque sa ligne neutre nereste pas droite. La force au-delà de laquelle le risque est avéré est la force critique de flambement. Savaleur dépend étroitement du module du matériau qui constitue la poutre, de la forme de la section droite,de la longueur de la poutre, mais aussi des conditions aux limites (poutre sur appui simple ou encastrée).

6.5.1 Forme générale

On considère une poutre droite de longueur l le long de l’axe x1, et de section S. Elle est constituéed’un matériau élastique de module E. Elle est chargée à ses extrémités avec une force −F , dans l’axe dela poutre (on suppose F > 0). Dans un monde parfait, l’état de déformation est de la compression simple,la déformation axiale est uniforme sur l’ensemble de la poutre, de valeur F/ES. Il en est tout autrement sion considère que la ligne neutre de la poutre peut ne pas rester droite. Les raisons pour cela peuvent êtreune petite perturbation de l’équilibre, ou un défaut initial. Si on considère que la force s’applique sur uneconfiguration déformée qui n’est plus le segment de droite théorique initial, la force axiale va développerun moment de flexion, et la poutre va se déformer en flexion autour d’un axe perpendiculaire à x1. Onnote I le moment quadratique correspondant. La déformée est donc caractérisée par la flèche V (x1), etil est naturel de négliger le déplacement axial devant celle-ci, ce qui explique que l’approche considèreune poutre inextensible. La donnée de la flèche permet d’obtenir l’expression du moment en x1, qui estégal à FV (x1). Comme on se place dans le cas d’une poutre longue, le moment varie en fonction de la


courbure V,11 uniquement. Son expression dépend des conditions aux limites : il est maximum pour unencastrement, nul pour une extrémité simplement supportée. Dans tous les cas, on trouve une équationde la forme :

EIV,11 +FV = C(x1) (6.113)

En posant k2 = F/EI, l’équation sans second membre s’écrit :

V,11 + k2V = 0 (6.114)

Elle admet donc des solutions de la forme :

V (x1) = Acos(kx1)+Bsin(kx1) (6.115)

6.5.2 Poutre simplement supportée

Si on considère le cas d’une poutre simplement supportée aux deux extrémités, la flèche doit êtrenulle aux deux extrémités (x1 = 0 et x1 = l), ce qui impose :

A = 0 Bsin(kl) = 0 (6.116)

Le cas B = 0 correspond à la situation triviale où la flèche reste nulle. Par contre, si on a kl = nπ, ontrouve effectivement la possibilité d’avoir une déformée non rectiligne. On trouve alors :

V (x1) = Bsin(

nπx1

l

)F = n2

π2 EI

l2 (6.117)

La charge critique d’Euler Fc correspond au premier mode, obtenu avec n = 1 :

Fc = π2 EI

l2 (6.118)

C’est à partir de cette charge là, en général bien inférieure à la charge de rupture théorique calculée àpartir d’un modèle en compression, que la poutre risque de sortir de sa position d’équilibre.

6.5.3 Autres conditions aux limites

– Pour une colonne encastrée à une extrémité et libre de l’autre côté, on trouve directement lasolution en considérant que, pour des raisons de symétrie, la charge critique est la même quecelle d’une poutre simplement supportée de longueur 2l ; il vient :

Fc = π2 EI

4l2 (6.119)

– Pour une colonne encastrée d’un côté et simplement supportée de l’autre, l’équation différentielleest :

EIV,11 +FV = H(l− x1) (6.120)

dans laquelle H est la réaction de l’appui simple perpendiculairement à l’axe x1. La charge critiqueest alors :

Fc ≈ 20.187EIl2 (6.121)

– Pour une colonne encastrée aux deux extrémités, on obtient successivement :

EIV,11 +FV = Hx1−M0 (6.122)

où l’on a introduit de plus le moment M0 en x1 = 0. La charge critique est alors :

Fc ≈ 4π2 EI

l2 (6.123)

6.5. FLAMBEMENT 67

Résumé

– La théorie de Timoshenko pour les poutres suppose qu’une section plane reste plane, mais pasforcément perpendiculaire à la ligne moyenne. La cinématique est :

u1 = U ′(x1)+θ′x3 u3 = V ′(x1)

ε′11 = U ′

,1 +θ′,1x3 2ε

′13 = V ′

,1 +θ′

– Les équations d’équilibre global sont :

N,1 + t = 0 T,1 + p = 0 M,1−T = 0

– Les équations de comportement global sont :

N = ESU,1 T = µS(θ+V,1) M = EIθ,1

– Schéma de résolution :

T,1 + p = 0 M,1−T = 0 θ,1 = M/EI V,1 =−θ+T/µS

– La théorie de Navier–Bernoulli s’applique pour les poutres minces qui ne sont pas capables desupporter un cisaillement. Dans ce cas, on a simplement : θ = V,1 M =−EIV,11

– Dans le cas de poutre sandwich symétrique, il n’y a pas de couplage traction–flexion, et on peutappliquer les mêmes équations, à condition d’effectuer des moyennes pondérées par le modulede Young sur la section complète, et, dans le cas du cisaillement, en première approximation,sur la section de mousse.

– La charge critique de flambement en compression d’une poutre droite est la force qui produitune instabilité de la déformation. Elle vaut Fc = KEI/l2, expression dans laquelle K dépend desconditions aux limites.

x1 = 0 supporté encastré encastré encastréx1 = l supporté libre supporté encastré

K π2 π2

420,187 4π2

Chapitre 7

Matériaux composites, stratifiés

7.1 Généralités sur les matériaux composites

Au sens strict du terme, il faut parler de matériau ou de structure composite dès lors qu’une pièceest constituée de plusieurs types de constituants. Le but recherché dans ces associations est de combinerles propriétés de plusieurs classes de matériau en vue d’obtenir des propriétés moyennes améliorées.Les métaux sont en général tenaces (ils présentent une bonne résistance à la propagation brutale defissures) et ductiles (ils présentent des déformations importantes avant de se rompre), mais de massevolumique élevée. Les matières plastiques sont légères mais présentent de faibles propriétés mécaniques.Les céramiques sont rigides et résistantes, mais fragiles. L’art de l’ingénieur dans la conception etl’utilisation de matériaux ou de structures composites réside dans le fait de placer le bon matériau sousla bonne forme (morphologie des renforts), et au bon endroit (notion de répartition spatiale).

Les composites sont donc intrinsèquement des matériaux hétérogènes. Pris sous cette acception, leterme «composite» recouvre pratiquement l’ensemble des matériaux. Ainsi les matériaux métalliqueseux-mêmes sont des alliages, composés de plusieurs phases, de microstructure et/ou de compositiondistinctes : il suffit de changer d’échelle pour passer de l’image d’un milieu homogène à celle d’unmilieu hétérogène. Le type d’approche à utiliser se décidera d’une part en fonction du rapport entre lesdimensions de la structure à modéliser et une dimension caractéristique du milieu à représenter, d’autrepart en fonction du but poursuivi (schématisation globale d’un système ou étude locale).

Ceci conduit à utiliser plutôt le terme de structure composite lorsqu’il est naturel de modéliserséparément chaque matériau dans la pièce à traiter, par exemple pour :

– le béton armé, ou encore le béton pré– ou post–contraint, pour lesquels béton et acier sont pris encompte chacun de leur côté, avec en première approximation un modèle où le béton apporte unerésistance à la compression, et l’acier une résistance à la traction ;

– les plaques sandwich étudiées au chapitre précédent ; ici encore, la dimension de l’«élément devolume représentatif» est choisie plus petite que celle de la plaque, si bien que la variation descontraintes et des déformations à l’intérieur d’une telle plaque en flexion est modélisée ;

– les pneumatiques, qui sont calculés comme de véritables structures, assemblages de caoutchouc etde câbles métalliques en acier à très forte limite d’élasticité.

Cependant, dans un système mécanique complexe, la représentation individuelle précise de chaqueélément n’est plus possible, si bien qu’il faut se résoudre à ne retenir qu’un comportement moyen. Lamodélisation effectuée comporte alors une opération d’homogénéisation, qui fournit par exemple desrigidités équivalentes dépendant des propriétés élémentaires de chaque matériau et de leur géométrie.

Le terme de matériau composite est donc réservé aux cas où la taille caractéristique de lamicrostructure est faible devant celle de la pièce, comme pour :

– les matériaux composites à matrice continue renforcée par des fibres ou des particules ; les matricespeuvent être minérales, résineuses ou métalliques, les fibres sont en verre, kevlar, carbone, bore,etc. . ., et leur diamètre typique est de l’ordre du centième de millimètre : matrices époxydes

69

70 CHAPITRE 7. MATÉRIAUX COMPOSITES, STRATIFIÉS

renforcés de fibre de verre ou de fibre de carbone, verre–polyester, aluminium–carbure de silicium,cobalt–carbure de tungstène, le béton (graviers dans du ciment), le macadam (graviers dans unpolymère, le bitume),

– les mousses et les matériaux cellulaires, composites particuliers composés d’un matériau et,. . . detrous ; les cellules peuvent être ouverte (éponges) ou fermées (ceintures de sauvetage) ; denombreux matériaux naturels sont cellulaires, le bois, le liège, le corail par exemple.

Pour cette dernière catégorie de matériau, le cheminement inverse peut être repris, et, dans lebut de caractériser précisément les propriétés mécaniques, il est possible de considérer ce qui étaitprécédemment un élément de volume représentatif sur lequel était défini un comportement homogénéisécomme une structure, de dimensions millimétriques ou centimétriques, pour avoir accès aux champsde contraintes et de déformation de l’échelon inférieur. L’étude porte alors sur une cellule élémentaire,comportant une fibre et la matrice environnante.

Une introduction aux théories d’homogénéisation en élasticité est esquissée au chapitre 9. La présentepartie adopte une approche plus «ingénineur» pour traiter des aspects mécaniques tout en définissant lesaspects matériau. Après quelques rappels concernant l’élasticité anisotrope, on donne un bref aperçu de lathéorie des stratifiés, pour les plaques chargées dans leur plan. La fin du chapitre donne des informationssur les matériaux eux-mêmes, et sur les modèles élémentaires que leurs propriétés suscitent. On trouverades compléments à ces deux approches dans (Gay, 1991; Berthelot, 1993), ou encore dans un ouvrageclassique du domaine (Timoshenko and Woinowsky-Kreiger, 1964).

7.2 Rappel : milieux élastiques anisotropes

7.2.1 Notation de Voigt pour les relations de comportement

L’expression des relations de l’élasticité, σ∼

= C≈

: ε∼

porte sur des tenseurs du second et du quatrième

ordre symétriques. Ils peuvent être respectivement représentés par des vecteurs de dimension 6 (pour σ∼

et ε∼), et par une matrice carrée de dimension 6 (pour C

≈). Les relations de symétrie Ci jkl = C jikl = Ci jlk,et

Ci jkl = Ckli j s’expriment alors par le fait que la matrice (6 x 6) est symétrique. La notation de Voigt,à deux indices I et J variant de 1 à 6, met respectivement en correspondance les valeurs 1, 2, 3, 4, 5,6 de I et J avec les doublets (1,1), (2,2), (3,3), (2,3), (3,1), (1,2). Dans le cas le plus général, il y a 21coefficients élastiques. En notant par γ le «cisaillement de l’ingénieur», tel que γi j = 2εi j, pour i différentde j, en désignant par CIJ les composantes de la matrice représentant le tenseur C

≈, par SIJ celles de son

inverse, et en posant (i) CIJ = Ci jlk ; (ii) SIJ = Si jkl , dans le cas où I et J sont inférieurs ou égaux à 3, (iii)SIJ = 2Si jkl , si l’un des indices I ou J est inférieur ou égal à 3, l’autre supérieur, (iv) SIJ = 4Si jkl , si I etJ sont supérieurs à 3, on obtient le vecteur contenant les 6 composantes de déformation en réalisant leproduit de la matrice C par le vecteur contenant les 6 composantes de contrainte, et l’opération inverseétant réalisée à partir de la matrice S .

7.2.2 Respect des symétries matérielles

Si le matériau est invariant par la transformation définie par la matrice P , le changement de repèredéfini par P ne modifie pas la loi de comportement, qui doit toujours s’écrire à l’aide de la mêmereprésentation du tenseur C

≈, soit : σ

∼= C

≈: ε∼, mais aussi σ

∼= C

≈: ε∼, avec σ

∼= P−1 σ

∼P , et ε

∼= P−1 ε

∼P . Il

s’ensuit que C≈

= P−1 P−1 C≈

P P , soit sous forme indicielle : Ci jkl = PimPjnPkpPlqCmnpq. L’application de

cette dernière formule à des transformations particulières permet de constater dans chaque cas quel estle nombre de coefficients réellement indépendants.

1. Symétrie par rapport à un plan de coordonnées x3 = 0 : La matrice ne comporte que trois termessur la diagonale, (1,1,-1). Les composantes Ci jkl qui ont un nombre impair d’indices 3 sont donc

7.2. RAPPEL : MILIEUX ÉLASTIQUES ANISOTROPES 71

nulles, il n’y a plus que 13 coefficients indépendants :

C14 = C24 = C34 = C64 = C15 = C25 = C35 = C65 = 0 (7.1)

2. Symétrie par rapport à deux plans orthogonaux x1 = 0 et x3 = 0 : Il faut annuler en plus lescoefficients qui possèdent un nombre impair d’indices 1, il n’y a plus donc que 9 coefficientsindépendants (orthotropie) :

C16 = C26 = C36 = C45 = 0 (7.2)

La matrice se met alors sous la forme :

C11 C12 C13 0 0 0C12 C22 C23 0 0 0C13 C23 C33 0 0 00 0 0 C44 0 00 0 0 0 C55 00 0 0 0 0 C66

(7.3)

Il existe également une formulation technique, qui fait apparaître des modules d’élasticité etdes coefficients de Poisson. Il faut prendre garde à cette formulation, qui introduit plus de 9coefficients, ceux-ci étant bien entendu liés par les relations :

ν12/E1 = ν21/E2 , ν23/E2 = ν32/E3 , ν31/E3 = ν13/E1 (7.4)

ε11ε22ε33γ23γ31γ12

=

1/E1 −ν12/E1 −ν13/E1 0 0 0−ν21/E2 1/E2 −ν23/E2 0 0 0−ν31/E3 −ν32/E3 1/E3 0 0 0

0 0 0 1/E44 0 00 0 0 0 1/E55 00 0 0 0 0 1/E66

σ11σ22σ33σ23σ31σ12

(7.5)

3. Equivalence de deux axes de symétrie (par exemple 1 et 2) : Cette hypothèse introduit 3 relationssupplémentaires, il n’y a plus que 6 coefficients indépendants, il s’agit d’une symétrie quadratique(cas des cristaux tétragonaux) :

C11 = C22 C13 = C23 C44 = C55 (7.6)

4. Équivalence des trois axes de symétrie : Cela introduit encore trois relations, C11 = C22 C13 =C23 C44 = C55, c’est le cas de la symétrie cubique, il ne reste que 3 coefficients indépendants :

C11 C12 C12 0 0 0C12 C11 C12 0 0 0C12 C12 C11 0 0 00 0 0 C44 0 00 0 0 0 C44 00 0 0 0 0 C44

(7.7)

5. «Isotropie» transverse : Il doit y avoir invariance par une rotation quelconque autour d’unaxe particulier, par exemple x3. Ceci implique que le matériau présente au moins la symétriequadratique. D’autre part, si α est l’angle de cette rotation, la matrice P est de la forme :

P =

cosα sinα 0−sinα cosα 0

0 0 1

(7.8)


Son application au terme C66 = C1212 conduit à C66 = (C11 −C12)/2. Il y a 5 coefficientsindépendants. C’est le cas du système hexagonal pour les cristaux, et des structures en nidd’abeille.

C11 C12 C12 0 0 0C12 C33 C13 0 0 0C12 C13 C33 0 0 00 0 0 C44 0 00 0 0 0 C44 00 0 0 0 0 2(C11−C12)

(7.9)

La formulation de l’ingénieur pour ce type de symétrie est la suivante, avec νLT /EL = νT L/ET etνLZ/EL = νZL/EZ :

εLL

εT T

εZZ

γT Z

γZL

γLT

=

1/EL −νLT /EL −νLZ/EL 0 0 0−νT L/ET 1/EL −νLZ/EL 0 0 0−νZL/EZ −νZL/EZ 1/EZ 0 0 0

0 0 0 1/GLZ 0 00 0 0 0 1/GLZ 00 0 0 0 0 2(1+νLT )/EL

σLL

σT T

σZZ

σT Z

σZL

σLT

(7.10)

6. Cas d’une plaque : Dans le cas d’une plaque, il suffit de ne conserver que les termes correspondantsà σLL, σT T et σLT dans les expressions ci-dessus.

7. Isotropie : C’est la résultat d’une symétrie cubique et d’une isotropie transverse par rapport à l’undes axes du cube. Le terme C44 de la symétrie cubique se calcule donc exactement en fonctionde C11 et de C12 : C44 = (C11−C12)/2. Il ne subsiste donc que 2 coefficients indépendants. Il estimmédiat d’identifier C11 à (λ+2µ), et C12 à λ.

7.3 Composites unidirectionnels à fibres longues

7.3.1 Loi de mélange

Dans le cas d’un matériau où les fibres sont continues (enroulements, plaques), il est raisonnabled’imaginer que l’approximation en parallèle dans laquelle les déformations sont uniformes d’une phaseà l’autre est bien respectée. On peut alors évaluer le module de Young équivalent dans la direction desfibres par une approximation de déformation uniforme. Si au contraire la sollicitation s’applique en senstravers, les phases seront en série, dans une configuration bien adaptée pour appliquer l’approximationde contrainte uniforme. En désignant par des indices m et f la matrice et la fibre, il vient alors :

EL en sens long : EL = cmEm + c f E f (7.11)

ET en sens travers : 1/ET = cm/Em + c f /E f (7.12)

Lors d’une traction en sens long, les déformations latérales de chaque phase se combinent :

εT = cmεTm + c f εTf (7.13)

Chacune des déformations latérales εTm et εTf s’expriment en fonction de la déformation longitudinaleεL, qui est supposée être la même pour les deux phases, εTm = νLT mεL , et εTf = νLT f εL .

Le coefficient de Poisson équivalent est donc obtenu par une moyenne directe.

νLT = cmνm + c f ν f (7.14)

7.3. COMPOSITES UNIDIRECTIONNELS À FIBRES LONGUES 73

Pour le terme de cisaillement transverse, l’hypothèse simple la plus réaliste consiste à considérer que lacontrainte de cisaillement sera conservée. La moyenne s’applique donc sur les inverses des modules :

1/µLT = cm/µm + c f /µ f (7.15)

On retiendra néanmoins que ces approches ne prennent pas en compte les aspects multiaxiaux desefforts. Ainsi, dès qu’un matériau est hététérogène, il se développe un champ de contraintes internesproduit par les incompatibilités de déformations, qui est systématiquement multiaxial. Les résultats issusdes lois de mélange doivent donc être manipulés avec précaution. On pourra se reporter au chapitre surl’homogénéisation pour plus de détails sur ce point.

7.3.2 Constantes élastiques dans un repère quelconque

Les constantes EL, ET , νLT et µLT permettent de caractériser le comportement élastique dans le repère(sens long-sens travers). Le problème qui se pose est alors de connaître les propriétés dans un repèrequelconque. Ce cas est traité en exercice. On place un repère (n,t) dans le plan de la plaque, n désignantla direction des fibres, et t la direction perpendiculaire. Le comportement s’exprime dans ce repère par : εn

εt

2εnt

=

1/En −νtn/Et 0−νnt/En 1/Et 0

0 0 1/µ

σn

σt

σnt

(7.16)

Si on désigne par α l’angle entre la direction des fibres et l’axe 1 de la plaque (α=angle(x1,n)), et quel’on pose c = cosα, s = sinα, on peut exprimer les relations suivantes entre les composantes du tenseurde contraintes dans chaque repère :(

σnt)

=(

c s−s c

)(σi j)(c −s

s c

)(7.17)

qui s’écrit aussi : σnn

σtt

σnt

=

c2 s2 2css2 c2 −2cs−cs cs c2− s2

σ11σ22σ12

(7.18)

ou, de façon équivalente : σnn

σtt

σnt√

2

=

c2 s2 cs√

2s2 c2 −cs

√2

−cs√

2 cs√

2 c2− s2

σ11σ22

σ12√

2

(7.19)

Les relations correspondantes pour le tenseur de déformation sont : εnn

εtt

2εnt

=

c2 s2 css2 c2 −cs−2cs 2cs c2− s2

ε11ε222ε12

(7.20)

Ou, en utilisant√

2ε12 = 2ε12/√

2 : εnn

εtt

εnt√

2

=

c2 s2 cs√

2s2 c2 −cs

√2

−cs√

2 cs√

2 c2− s2

ε11ε22

ε12√

2

(7.21)

Dans le repère (x1, x2), la matrice représentant le tenseur d’élasticité est pleine :σ11σ22σ12

=

Q11 Q12 Q16Q12 Q22 Q26Q16 Q26 Q66

ε11ε222ε12

(7.22)


-20000

-10000

0

10000

20000

30000

40000

50000

60000

70000

80000

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

Qij (

MPa

)

angle (deg.)

Q11 Q22 Q66 Q12 Q16 Q26

Verre–résineEm = 4500 MPaνm = 0.4E f = 74000 MPa

ν f = 0.25f = 0.5

En = 39250 MPa, Et = 8484 MPa, µ = 3048 MPa, νtn = 0.325

FIG. 7.1 – Valeur des composantes de la matrice de rigidité dans un repère faisant un angle θ avec ladirection des fibres

Il vient :

Q11 = c4En + s4Et +2c2s2(νtnEn +2µnt) (7.23)

Q22 = s4En + c4Et +2c2s2(νtnEn +2µnt) (7.24)

Q66 = c2s2(En +Et −2νtnEn)+(c2− s2)2µnt (7.25)

Q12 = c2s2(En +Et −4µnt)+(c4 + s4)νtnEn (7.26)

Q16 =−cs(c2En− s2Et − (c2− s2)(νtnEn +2µnt)

)(7.27)

Q26 =−cs(s2En− c2Et +(c2− s2)(νtnEn +2µnt)

)(7.28)

(7.29)

avec En = En/(1−νntνtn) Et = Et/(1−νntνtn)La figure 7.1 présente les variations de ces composantes en fonction de l’angle θ pour le cas d’un

composite verre–résine, et la figure 7.2 la variation du module apparent dans la direction θ.

7.3.3 Théorie des stratifiés

7.3.4 Définition d’une plaque stratifiée

Un stratifié résulte de la superposition de plusieurs couches (ou plis) de nappes unidirectionnellesou de tissus. Les nappes successives sont en général orientées différemment (classiquement 0, 45, 90,-45). Il est important de respecter dans la conception la symétrie miroir, qui caractérise une plaque dontles empilements de plis de part et d’autre du plan moyen sont symétriques. Comme va le montrer lathéorie qui suit, si la plaque ne possède pas cette symétrie, elle risque de se «voiler» lors de la fabricationen raison des dilatations différentielles liées aux différences de coefficient de dilatation, ou en service,comme résultat du couplage traction–cisaillement. Il y a au minimum quelques couches, et jusqu’à 20ou 30 couches, pour une épaisseur qui peut aller de 1 mm à plusieurs mm.

7.3. COMPOSITES UNIDIRECTIONNELS À FIBRES LONGUES 75

5000

10000

15000

20000

25000

30000

35000

40000

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

Mod

ulus

in d

irect

ion

1 (M

Pa)

angle (deg.)

Verre–résineEm = 4500 MPaνm = 0.4E f = 74000 MPa

ν f = 0.25f = 0.5

1/E1 = c4/En + s4/Et + c2s2(1/µ−2.∗νtn/Et)

En = 392502 MPa, Et = 8484 MPa, µ = 3048 MPa, νtn = 0.325

FIG. 7.2 – Valeur du module d’Young apparent dans un repère faisant un angle θ avec la direction desfibres

Cinématique et équilibre

Pour les plaques travaillant dans leur plan, il est naturel de supposer que chaque couche a la mêmedéformation, d’où un champ de déplacement virtuel, et un champ de déformation tels que :

u1(x1,x2,x3) = U ′(x1,x2) u2(x1,x2,x3) = V ′(x1,x2) (7.30)

ε′11 = U ′

,1 ε22 = V ′,2 2ε12 = U ′

,2 +V ′,1 (7.31)

En utilisant cette cinématique, on peut évaluer le travail virtuel des efforts intérieurs, et introduireainsi de façon naturelle les trois variables représentant les efforts à l’échelle globale dans la plaque :

δWint =−Z

V

(σ11U ′

,1 +σ22V ′,2 +σ12(U ′

,2 +V ′,1))

dV (7.32)

=−Z

S

(U ′

,1N11 +V ′,2N22 +(U ′

,2 +V ′,1)N12

)dS (7.33)

Chaque terme représente respectivement les efforts intérieurs globaux en direction x1, en direction x2, etde cisaillement (il s’agit de forces par unité d’épaisseur, exprimées en Pa.m, ou N/m) :

N11 =Z

hσ11dx3 N22 =

Zh

σ22dx3 N12 =Z

hσ12dx3 (7.34)

Comme on ne considère pas de déplacement hors du plan, on ne peut pas introduire dans cette théoried’efforts extérieurs normaux au plan de la plaque. On se limite à la partie «membrane» de la théorie desplaques, que l’on étudiera plus complètement dans le chapitre suivant, en introduisant les efforts hohrsplan et la flexion. Les efforts extérieurs sont définis sur le contour Γ, par une force résultante par unitéde longueur (en N/m) à deux composantes, T1 et T2, et, en un point courant de la surface S, par une forcerépartie (en Pascal), de composantes t1 et t2. Leur travail virtuel s’exprime donc :

δWext =Z

Γ

(T1U ′+T2V ′

2)

ds+Z

S

(t1U ′+ t2V ′

2)

dS (7.35)


La procédure de traitement des efforts intérieurs est similaire à celle qui a été utilisée pour les poutres.Il comporte successivement une intégration par partie, et l’utilisation du théorème de la divergence pourtransformer la divergence sur la surface de la plaque en un flux sur son contour. Les termes sont du type :

N11U ′,1 =

(N11U ′)

,1−N11,1U ′ (7.36)

On retrouve ainsi le fait que les efforts internes équilibrent les efforts externes sur la frontière de laplaque. Les équations d’équilibre sont obtenues en un point courant de la surface :

N11,1 +N12,2 + t1 = 0 (7.37)

N12,1 +N22,2 + t2 = 0 (7.38)

Loi de comportement

Pour établir la loi de comportement, il faut estimer N11, N22, et N12. Pour cela, on écrit donc lecomportement de chaque couche dans le repère de la plaque, en utilisant la formule 7.29. Pour obtenir larigidité d’ensemble, on doit intégrer chacun des termes sur l’épaisseur. La forme obtenue est :

N11

N22

N12

=

Zh

Q11dx3

Zh

Q12dx3

Zh

Q16dx3

Zh

Q12dx3

Zh

Q22dx3

Zh

Q26dx3

Zh

Q16dx3

Zh

Q26dx3

Zh

Q66dx3

U,1

V,2

V,1+U,2

(7.39)

Cette expression générale appelle quelques remarques :– Dans la mesure où la plaque est constituée de plusieurs couches superposées, l’intégration continue

est remplacée par une somme discrète sur le nombre de couches, ainsi, en notant ei l’épaisseur dela couche i : Z

hQ11dx3 = ∑

iQi

11ei (7.40)

– Les couches interviennent par leur épaisseur, mais pas par l’ordre de leur empilement. Ce ne seraplus le cas dans la partie suivante.

– Les termes Q16 et Q26 caractérisent le couplage traction–cisaillement. Ils indiquent qu’une plaqueformée de couches présentant des orientations quelconques se déforme en cisaillement sous l’effetd’une traction simple, et vice-versa. Comme ces termes sont impairs en α, le couplage disparaîtdans le cas d’une plaque symétrique.

7.4 Les composants élémentaires des matériaux composites

7.4.1 Renforts

Les composites artificiels sont souvent renforcés soit par des fibres, soit par des composants fabriquésà base de fibres (torons, assemblage de fibres tordues ensemble ; tissus ; mats, ou nappes). Chacuned’entre elles s’impose dans une application particulière en raison de ses propriétés spécifiques et de sonprix. Le tableau 7.1 résume les principales caractéristiques mécaniques.

1. Les fibres de verre sont les plus anciennes (1940) et les moins chères (environ 1 euro/kg) des fibresdu marché, et celles dont on réalise le plus fort tonnage. Elles sont fabriquées par extrusion duverre au travers d’une filière percée de trous de 1 à 2mm de diamètre, puis étirées jusqu’à obtenirdes diamètres de 5 à 15mm, enduites et bobinées. Il existe différentes variétés (E,R,S) selon laproportion de chaque composant (SiO2, Al2O3, B2O3, CaO, MgO), les meilleures propriétés étantobtenues pour les plus fortes proportions de silice (verre S, 65%).

7.4. LES COMPOSANTS ÉLÉMENTAIRES DES MATÉRIAUX COMPOSITES 77

Matériau Module Résistance Masse Température Allongementd’Young en traction volumique d’utilisation à rupture

(GPa) (MPa) (kg/m3) max (C ) (%)Verre R 80 2500 2500 650 3

Kevlar 49 130 3600 1450 200 2Carbone HM 400 2000 1900 2500

Bore 400 3500 2650 700 0,8SiC (fibre) 480 2300 3200 900 0,5

SiC (trichite) 840 21000 3200 1600 2,5

TAB. 7.1 – Propriétés de quelques éléments de renfort

2. Les fibres de carbone doivent leurs propriétés à la très forte anisotropie des cristallites de graphitequi les composent. Leur prix décroît régulièrement, il est de l’ordre de 10 euros/kg. Elles sontfabriquées à partir de fibres de polymère (par exemple polyacrylonitrile) préalablement tissées,et carbonisées sous tension en plusieurs étapes, oxydation (100 à 200C ), puis pyrolise (1500-2500C ). Selon la température et le temps de cuisson, les fibres présentent une «haute résistance»(HR) ou un «haut module» (HM).

3. Les fibres de polymère les plus connues sont des fibres de polyamides aromatiques, connues sousla marque commerciale de «Kevlar». De prix élevé (20 euros/kg), elles servent essentiellement àfabriquer des câbles.

4. Les fibres métalliques ou céramiques sont les plus chères de toutes, en raison de leur difficultéde fabrication (de l’ordre de 1000 euros/kg). Les fibres de bore sont obtenues par réduction à1100C de chlorure de bore, qui se dépose sur un fil de tungstène de 10 à 15mm de diamètre.Le diamètre résultant est de 100 à 200mm pour la fibre. La même procédure expérimentaleest utilisée pour produire des fibres de carbure de silicium (SiC). Les derniers développementsconcernent la production de trichites, (”whiskers”) qui sont des monocristaux filamentaires obtenuspar décomposition d’un sel métallique en ambiance réductrice. Leur longueur est de quelquesmillimètres, pour un diamètre d’environ 1mm. Elles approchent les propriétés d’un cristal parfait.

5. Les microbilles pleines ou creuses peuvent être produites en verre, carbone ou polystyrène. Ellesont des diamètres compris entre 10 et 150mm ; le taux volumique de charge peut atteindre 50%.Le composite résultant a des propriétés mécaniques isotropes.

6. Les principaux renforts minéraux sont le mica et l’amiante. L’un et l’autre sont des composésnaturels dont les propriétés ne permettent pas d’atteindre les résistances obtenues avec les fibres. Lemica se présente sous forme de paillettes, dont l’intérêt est d’offrir un renforcement bidirectionnel.L’amiante (mélange d’oxydes de magnésium, de silice et d’eau, comportant également du sodium,du fer,...) se présente sous forme de fibrilles de 20nm, dont il est possible de détacher des fibres deplusieurs centimètres. Son caractère cancérigène a maintenant conduit à un abandon complet.

7.4.2 Matrices

La matrice incorpore les fibres ou les éléments de renfort, auxquels elle doit adhérer suffisammentbien pour que le transfert de charge soit optimal.

1. Les matrices organiques sont faites de matière plastique. Il convient de distinguer les matricethermoplastiques, à chaîne linéaire, très répandues, et les polymères thermodurcissables, ourésines, aux propriétés mécaniques plus élevées. Dans cette dernière catégorie se rangent lesrésines de polyester, les résines époxydes, qui peuvent être utilisées jusque vers 200C , les résinesphénoliques ou les résines polyimides, qui supportent des températures de 400C .


2. Les matrices carbonées sont fabriquées par décomposition d’une matière organique à hautetempérature. La matière peut être un liquide (imprégnation en phase liquide), ou un hydrocarburegazeux (décomposition chimique en phase vapeur). Le second procédé est plus rapide que lepremier, qui peut durer plusieurs mois pour obtention d’une densification suffisante, mais moinsreproductible. Le carbone se dépose en grains sur les fibres, assurant leur bonne liaison. Il estpossible par exemple d’obtenir un composite carbone–carbone dont la densité est égale à celle ducarbone massif.

3. Les matrices métalliques présentent plusieurs avantages, comme une bonne ductilité, une bonnerésistance à certains solvants, une meilleure tenue en température que les résines, une meilleureusinabilité. A l’inverse, elles sont plus difficiles à mettre en oeuvre, de densité plus élevée, et desproblèmes peuvent apparaître aux interfaces fibres–matrice du fait de la réactivité des matériaux.Comme pour le cas des matrices carbonées, la fabrication du composite peut s’effectuer parimprégnation en phase liquide, décomposition chimique en phase vapeur, mais encore par co–extrusion ou co–laminage.

4. Les matrices céramiques sont particulièrement intéressantes en raison de leur caractère réfractaire.Elles sont utilisées dans des pièces qui doivent subir sans dommage de très hautes températures(tuiles de protection thermique, brûleurs). Le point faible des céramiques, à savoir leur très faiblerésistance à la rupture en traction, est partiellement masqué par l’insertion de fibres dans lamatrice. Les techniques de fabrication les plus courantes sont l’imprégnation en phase liquide(SiC-SiC par exemple) ou le dépôt plasma (par exemple dépôt de silicium puis nitruration à l’aided’un traitement sous azote à 1450C , qui produit une augmentation de volume et favorise ladensification).

7.4.3 Tissus et mats

Le pli tissé est obtenu en disposant des fibres suivant deux directions perpendiculaires. Si les filsde trame couvrent un fil de chaîne avant de passer sous le suivant, il s’agit de toile ou taffetas, siplusieurs files de chaîne sont couverts, il s’agit de satin. Une première approximation consiste à traiter letissu comme deux couches d’unidirectionnel superposées, ayant les mêmes déplacements. Un tissu estéquilibré s’il y a le même nombre de fils dans chaque direction, et qu’ils sont de même nature.

Les mats sont des renforts bidirectionnels à fibres coupées (5 à 10 cm). Ils sont isotropes dans leurplan. Il existe également des tissages tridimensionnels (3D), dans lesquels plusieurs couches de tissusbidimensionnels (2D) sont assemblées par des fibres selon la direction du troisième axe. Les tissages«4D» comportent quant à eux des fibres dirigées selon les directions de type (1,1,1) d’un cube. Unexemple typique est le carbone-carbone, qui résiste jusqu’à de très hautes températures, et qui, en raisonde la géométrie adoptée, est insensible au délaminage, ou décollement des couches entre elles.

7.4.4 Critère de rupture des stratifiés

Les stratifiés risquent de rompre en traction, en compression, sous l’effet de flambements locaux,ou à cause de délaminage. Les calculs s’effectuent avec de petits programmes sur micro- ordinateur. Ilfaut déterminer la bonne tenue de chaque couche. La connaissance des efforts globaux (efforts normauxN11 et N22, efforts tangentiels T12 dans le plan du stratifié), et des modules d’élasticité homogénéiséspermet de trouver les déformations moyennes. En supposant alors que ces déformations (en l’absence dedélaminage) sont valides pour toutes les couches, il ne reste plus qu’à appliquer le tenseur d’élasticité dela couche i pour y effectuer une évaluation de la contrainte. La couche sera réputée rompue si elle atteintle critère de Hill–Tsaï : (

σL

σRL

)2

+(

σT

σRT

)2

−(

σL σT

σRL

)+(

τLT

τRLT

)2

= 1 (7.41)


force axiale sur

diamètre d

la fibre

longueur l

cisaillement sσ

0

F

FIG. 7.3 – Reprise de charge le long d’une fibre

7.4.5 Quelques modèles d’ingénieurs de «fonctionnement» du composite

Un grand nombre de composites unidirectionnels sont constitués par des fibres fragiles dans unematrice plus ductile. La contrainte maximale qui peut être atteinte en traction sur ce matériau est doncobtenue juste avant la rupture des fibres, lorsque la contrainte dans celles-ci est de l’ordre de leurcontrainte de rupture, σR f , et que la matrice est également soumise à une contrainte qui provoque desdéformations permanentes, σY :

σMAX = (1− c f )σY + c f σR f (7.42)

Le fait d’avoir rajouté des fibres est donc bénéfique si cette contrainte est supérieure à la contraintede la matrice seule, supposée non renforcée par les fibres, une fois que toutes celles-ci sont rompues, quis’exprime en fonction de la contrainte à rupture de la matrice σRm :

σR = (1− c f )σRm (7.43)

Le fait que σMAX soit plus grand que σR produit une condition sur c f ,

c f > (σRm −σY )/(σR f +σRm −σY ) (7.44)

ce qui montre qu’il existe une fraction critique de renfort en dessous de laquelle l’ajout de fibres détériorele comportement au lieu de l’améliorer.

Le même type de raisonnement simple suggère l’existence d’une longueur optimale de fibre. Ilconsiste à considérer que, si elle joue son rôle de façon optimum, il se transfère à la fibre une forceσsπd dx sur une longueur élémentaire dx le long de son axe (σs est la contrainte de cisaillement àl’interface fibre–matrice, d le diamètre de la fibre (voir figure 7.3). La force sur une section de la fibrepasse donc de 0 à l’extrémité à une valeur de σsπxd à une distance x de celle-ci.

La longueur optimale est obtenue lorsque la force au milieu de la fibre correspond à la contrainte derupture de la fibre, ce qui correspond à une longueur l telle que : σsπdl/2 = (πd2/4)σR f , soit :

l = dσR f /2σs (7.45)

Au-delà, la fibre se rompt. Ceci explique également pourquoi les résultats obtenus avec des fibrescourtes sont en général du même niveau que ceux produits par des fibres longues.


Matériau EL (GPa) ET (GPa) 2µLT (GPa) σRL (MPa) σRT (MPa)Verre 45 12 4,5 1250 35

Kevlar 49 85 5,6 2,1 1410 28Carbone HM 134 7 4,2 1270 42Bore-époxy 210 12 1400 80

Bore-alu 220 140 7,5 1400 120

TAB. 7.2 – Propriétés de quelques plis de fibres–résine époxyde (avec 60% de fibre), bore–époxyde etbore–aluminium ; EL = module d’Young sens long, ET = module d’Young sens travers, µLT = module decisaillement, σRL = contrainte à rupture sens long, σRT = contrainte à rupture sens travers.

7.4.6 Ordres de grandeur des modules et contraintes à rupture

Le tableau 7.2 fournit des valeurs des modules et des contraintes de rupture en directionslongitudinale et transverse pour plusieurs sortes de plis. La très forte anisotropie rend le pli très vulnérableseul, et explique qu’il faille avoir recours au tissage ou à la superposition de plis pour disposer dematériaux utilisables par l’ingénieur.


Résumé

– Une plaque composite est formée de couches composées de fibres longues dans une matrice. Laloi de comportement élastique s’écrit pour chaque couche : εn

εt

2εnt

=

1/En −νtn/Et 0−νnt/En 1/Et 0

0 0 1/µ

σn

σt

σnt

– Dans le repère de la plaque (sauf pour les orientations 0 et 90), la relation contrainte–

déformation fait intervenir une matrice pleine :σ11σ22σ12

=

Q11 Q12 Q16Q12 Q22 Q26Q16 Q26 Q66

ε11ε22

2ε12

– Les efforts intérieurs sont des forces par unité d’épaisseur, qui s’expriment en N/m :

N11 =Z

hσ11dx3 N22 =

Zh

σ22dx3 N12 =Z

hσ12dx3

– Equations d’équilibre :

N11,1 +N12,2 + t1 = 0

N12,1 +N22,2 + t2 = 0

– Lois de comportement :

N11

N22

N12

=

Zh

Q11dx3

Zh

Q12dx3

Zh

Q16dx3

Zh

Q12dx3

Zh

Q22dx3

Zh

Q26dx3

Zh

Q16dx3

Zh

Q26dx3

Zh

Q66dx3

U,1

V,2

V,1+U,2

– Critère de Hill–Tsaï de rupture de couche :(σL

σRL

)2

+(

σT

σRT

)2

−(

σL σT

σRL

)+(

τLT

τRLT

)2

= 1

Chapitre 8

Plaques

Tout en reprenant la même géométrie que dans le chapitre sur les stratifiés, à savoir celle d’undomaine bidimensionnel plan et «mince», ce chapitre ne se limite plus aux efforts de type «membrane»qui ont été considérés jusque là. Du point de vue de la cinématique, il faut donc construire un champqui introduit des déplacements dans le plan et des rotations ; du point de vue des efforts, on introduirades moments et des efforts de cisaillement hors plan en plus des tractions et du cisaillement dans le planqui ont été caractérisés. On va utiliser de façon systématique le principe des travaux virtuels, et étudiersuccessivement une théorie de plaque épaisse (supportant les cisaillements) et une théorie de plaquemince. Pour ne pas dupliquer les développements, on se limitera à un matériau isotrope dans le premiercas, et on considérera un matériau anisotrope dans le second cas.

8.1 Plaque de Reissner–Mindlin

8.1.1 Cinématique

La plaque est définie dans le plan (x1–x2), sa normale correspond à l’axe x3, son épaisseur est h(fig.8.1). Le déplacement est défini par 3 translations, U1, U2, W , et deux angles, θ1 et θ2, qui sontfonctions de x1–x2 uniquement.

1θ

2θ

1x

2x

3x

FIG. 8.1 – Variables décrivant la cinématique d’une plaque située dans le plan (x1,x2)

83

84 CHAPITRE 8. PLAQUES

On définit donc la cinématique en fonction des cinq inconnues précédentes :

u1(x1,x2,x3) = U1 +θ2x3 (8.1)

u2(x1,x2,x3) = U2−θ1x3 (8.2)

u3(x1,x2,x3) = W (8.3)

Ceci permet d’évaluer un tenseur de déformations :

ε11 = U1,1 +θ2,1x3 (8.4)

ε22 = U2,2−θ1,2x3 (8.5)

ε33 = 0 (8.6)

2ε12 = U1,2 +θ2,2x3 +U2,1−θ1,1x3 (8.7)

2ε23 =−θ1 +W,2 (8.8)

2ε31 = θ2 +W,1 (8.9)

La structure du vecteur déplacement est donc :

u = U+ x3Φ (8.10)

U = U +W e3 =

U1U20

+

00

W

(8.11)

Φ =

Φ1Φ20

=

θ2−θ1

0

(8.12)

et celle du tenseur de déformation :

ε∼

= d∼+ x3K

∼+b

∼(8.13)

– Tenseur déformation de membrane (partie symétrique du gradient de U)

d∼

=(

U1,1 (U1,2 +U2,1)/2(U2,1 +U1,2)/2 U2,2

)(8.14)

– Tenseur de courbure (partie symétrique du gradient de Φ)

K∼

=(

θ2,1 (θ2,2−θ1,1)/2(θ2,2−θ1,1)/2 −θ1,2

)(8.15)

– Cisaillement (vecteur cisaillement)

b∼

=

0 0 θ2 +W,10 0 −θ1 +W,2

θ2 +W,1 −θ1 +W,2 0

b = Φ+gradW =(

θ2 +W,1−θ1 +W,2

)(8.16)

8.1. PLAQUE DE REISSNER–MINDLIN 85

8.1.2 Travail virtuel des efforts intérieurs

Le travail virtuels des efforts intérieurs est tel que :

−δWint =Z

Vσi jεi jdV (8.17)

=Z

V

(σαβεαβ +2σα3εα3

)dV (8.18)

=Z

SδWhdS (8.19)

δWh = U1,1

Zh

σ11dx3 +θ2,1

Zh

σ11x3dx3 +U2,2

Zh

σ22dx3−θ1,2

Zh

σ22x3dx3 (8.20)

+(U1,2 +U2,1)Z

hσ12dx3 +(θ2,2−θ1,1)

Zh

σ12x3dx3 (8.21)

+(−θ1 +W,2)Z

hσ23dx3 +(θ2 +W,1)

Zh

σ31dx3 (8.22)

L’examen des variables conjuguées permet de définir les variables globales définissant les effortsintérieurs associées aux différentes variables cinématiques ; on en déduit donc les variables globalessuivantes :

Variable associée définition : (8.23)

U1,1 N11 =Z

hσ11dx3 (8.24)

θ2,1 M11 =Z

hσ11x3dx3 (8.25)

U2,2 N22 =Z

hσ22dx3 (8.26)

−θ1,2 M22 =Z

hσ22x3dx3 (8.27)

(U1,2 +U2,1)/2 N12 =Z

hσ12dx3 (8.28)

(θ2,2−θ1,1)/2 M12 =Z

hσ12x3dx3 (8.29)

(−θ1 +W,2)/2 T1 =Z

hσ23dx3 (8.30)

(θ2 +W,1)/2 T2 =Z

hσ31dx3 (8.31)

On distingue trois types d’efforts :– Tenseur des efforts de membrane :

N∼

=(

N11 N12N21 N22

)Nαβ =

Zh

σαβdx3 (8.32)

– Tenseur des moments :

M∼

=(

M11 M12M21 M22

)Mαβ =

Zh

x3σαβdx3 (8.33)

– Vecteur des cisaillements transverses :

Tα =Z

hσα3dx3 (8.34)


Le traitement des efforts intérieurs s’effectue donc en considérant successivement ces trois termes :

−δWint =−δW Mint −δW F

int −δW Sint (8.35)

=Z

SNαβdαβdS +

ZS

MαβKαβdS +Z

STαbαdS (8.36)

– Membrane :−δW M

int =Z

S(N11U1,1 +N22U2,2 +N12(U1,2 +U2,1))dS (8.37)

– Flexion :−δW F

int =Z

S(M11θ2,1−M22θ1,2 +M12(θ2,2−θ1,1))dS (8.38)

– Cisaillement :−δW S

int =Z

S(T1(θ2 +W,1)+T2(−θ1 +W,2))dS (8.39)

Suivant une procédure classique, on intègre par partie, ce qui permet de séparer les équations validesdans le volume et en surface :

– Membrane : ZS

N11U1,1dS =Z

S((N11U1),1−N11,1U1)dS (8.40)Z

SN22U2,2dS =

ZS((N22U2),2−N22,2U2)dS (8.41)Z

SN12U1,2dS =

ZS((N12U1),2−N12,2U1)dS (8.42)Z

SN21U2,1dS =

ZS((N21U2),1−N21,2U2)dS (8.43)

−δW Mint =

ZΓ

[(N11n1 +N12n2)U1 +(N21n1 +N22n2)U2]ds (8.44)

−Z

S[(N11,1 +N12,2)U1 +(N21,1 +N22,2)U2]dS (8.45)

=Z

Γ

(N∼.n).Uds−

ZS

divN∼.UdS (8.46)

– Flexion ZS

M11θ2,1dS =Z

S((M11θ2),1−M11,1θ2)dS (8.47)

−Z

SM22θ1,2dS =−

ZS((M22θ1),2−M22,2θ1)dS (8.48)Z

SM12θ2,2dS =

ZS((M12θ2),2−M12,2θ2)dS (8.49)

−Z

SM21θ1,1dS =−

ZS((M21θ1),1−M21,1θ1)dS (8.50)

−δW Fint =

ZΓ

[(M11n1 +M12n2)θ2− (M21n1 +M22n2)θ1]ds (8.51)

−Z

S[(M11,1 +M12,2)θ2− (M21,1 +M22,2)θ1]dS (8.52)

=Z

Γ

(M∼

.n).Φds−Z

SdivM

∼.ΦdS (8.53)


– Cisaillement : ZS

T1W,1dS =Z

S((T1W ),1−T1,1W )dS (8.54)Z

ST2W,2dS =

ZS((T2W ),2−T2,2W )dS (8.55)

−δW Sint =

ZΓ

(T1n1 +T2n2)Wds−Z

S(T1,1 +T2,2)WdS (8.56)

+Z

S(T1θ2−T2θ1)dS (provient de la rotation) (8.57)

=Z

Γ

(T .n)Wds−Z

S(divT W −T .Φ)dS (8.58)

8.1.3 Travail virtuel des efforts extérieurs

Les efforts extérieurs comportent les efforts de volume et les efforts surfaciques :– Efforts de volume :

δWVext =

ZV

f V .udV =Z

Vf V .(U +W e3 + x3Φ)dV (8.59)

=Z

S(Uα

Zh

f Vα dx3 +W

Zh

f V3 dx3 +Φα

Zh

x3 f Vα dx3)dS (8.60)

=Z

S(Uαtα +W p3 +Φαmα)dS (8.61)

– Densité surfacique d’effort de membrane : tα =Z

hf Vα dx3

– Densité surfacique d’effort normal au plan de la plaque : p3 =Z

hf V3 dx3

– Couple surfacique (en général nul) : mα =Z

hx3 f V

α dx3

– Efforts en frontière de plaque :

δW Sext =

Z∂V

f S.udΣ =Z

∂Vf S.(U +W e3 + x3Φ))dΣ (8.62)

=Z

Γ

(Uα

Zh

f Sαdx3 +W

Zh

f S3 dx3 +Φα

Zh

x3 f Sαdx3)ds (8.63)

=Z

Γ

(UαFα +WP3 +ΦαCα)ds (8.64)

– Densité linéique d’effort de membrane : Fα =Z

hf sαdx3

– Densité linéique d’effort normal au plan de la plaque : P3 =Z

hf s3dx3

– Couple surfacique : Cα =Z

hx3 f s

αdx3

8.1.4 Equilibre et conditions aux limites

Pour trouver les équations d’équilibre et les conditions aux limites, il suffit maintenant d’appliquerle principe des travaux virtuels, en considérant successivement les termes à l’intérieur de la plaque (surS) et sur sa frontière (Γ) :


– Termes sur S :

δWint =Z

S(divN

∼.U +divM

∼.Φ+divTW −T .Φ)dS (8.65)

δWext =Z

S(t.U +W p3 +Φ.m)dS (8.66)

– MembranedivN

∼+ t = 0

– MomentsdivM

∼−T +m = 0

– Cisaillement transversedivT + p3 = 0

– Termes sur Γ :

−δWint =Z

Γ

(N∼.n).U +(M

∼.n).Φ+(T .n)Wds (8.67)

δWext =Z

Γ

(F .U +WP3 +Φ.C)ds (8.68)

– MembraneN∼.n = F

– MomentsM∼

.n = C

– Cisaillement transverseT .n = P3

Les résultats précédents reproduisent en les généralisant ceux de la théorie des poutres, comme lemontre le tableau ci-dessous :

Théorie des plaques épaisses Théorie des poutresReissner–Mindlin Timoshenko

Equilibre EffortMembrane divN

∼+ t = 0 N,1 + t = 0 longitudinal

Equilibre Equilibredes moments divM

∼−T = 0 M,1−T = 0 du moment

Cisaillement Cisaillementtransverse divT + p3 = 0 T,1 + p3 = 0 transverse

Chacune des théories suppose que la structure supporte le cisaillement dans son épaisseur. On asupposé ici que m = 0.

8.1.5 Loi de comportement

On considérera deux cas, celui de la plaque isotrope et celui d’un matériau anisotrope :– Matériau isotrope (E, ν) σ11

σ22σ12

=E

1−ν2

1 ν 0ν 1 00 0 1−ν

ε11ε22ε12

(8.69)


σα3 =E

1+νεα3 (8.70)

– Matériau anisotrope σ11σ22σ12

=E

1−ν2

Q11 Q12 Q16Q21 Q22 Q26Q61 Q62 Q66

ε11ε222ε12

(8.71)

Q11 = c4En + s4Et +2c2s2(νtnEn +2µnt)

Q22 = s4En + c4Et +2c2s2(νtnEn +2µnt)

Q66 = c2s2(En +Et −2νtnEn)+(c2− s2)2µnt

Q12 = c2s2(En +Et −4µnt)+(c4 + s4)νtnEn

Q16 =−cs(c2En− s2Et − (c2− s2)(νtnEn +2µnt)

)Q26 =−cs

(s2En− c2Et +(c2− s2)(νtnEn +2µnt)

)

avec En = En/(1−νntνtn) Et = Et/(1−νntνtn)

Matériau isotrope On traite successivement les comportements en membrane, en flexion et encisaillement.

L’établissement du comportement de membrane nécessite d’évaluer des termes tels que N11, ce quidonne :

N11 =Z

hσ11dx3 =

E1−ν2

Zh(ε11 +νε22)dx3 (8.72)

=E

1−ν2

Zh[(U1,1 + x3θ2,1)+ν(U2,2− x3θ1,2)]dx3 (8.73)

=Eh

1−ν2 (U1,1 +νU2,2) (8.74)

en utilisantZ

hx3dx3 = 0. Il vient finalement :

N11N22N12

=Eh

1−ν2

1 ν 0ν 1 00 0 1−ν

U1,1U2,2

(U1,2 +U2,1)/2

(8.75)

En flexion, on utiliseZ

hx3dx3 = 0 et

Zh

x23dx3 =

Z h/2

−h/2x2

3dx3 =h3

12, pour transformer M11 :

M11 =Z

hx3σ11dx3 =

E1−ν2

Zh(x3ε11 +νx3ε22)dx3 (8.76)

=E

1−ν2

Zh

[(x3U1,1 + x2

3θ2,1)+ν(x3U2,1− x23θ1,2)

]dx3 (8.77)

=Eh3

12(1−ν2)(θ2,1−νθ1,2) car

Zh

x3dx3 = 0 (8.78)


Il vient · M11M22M12

=Eh3

12(1−ν2)

1 ν 0ν 1 00 0 1−ν

θ2,1−θ1,2

(θ2,2−θ1,1)/2

(8.79)

En cisaillement transverse, on trouve :

T1 =Z

hσ13dx3 =

E1+ν

Zh

ε13dx3 (8.80)

=E

1+ν

Zh(W,1 +θ2,1)dx3 (8.81)

=Eh

1+ν(W,1 +θ2,1) (8.82)

On a donc :

T =Eh

1+ν(gradW +Φ) (8.83)

On peut donc de nouveau établir un parallèle avec la théorie des poutres. En posant

[D] =Eh3

12(1−ν2)

1 ν 0ν 1 00 0 1−ν

il vient :

Plaque (ép. h) Poutre b×hReissner–Mindlin Timoshenko

Cisaillement Cisaillementtransverse divT + p3 = 0 T,1 + p3 = 0 transverse

Equilibre Equilibredes moments divM

∼−T = 0 M,1−T = 0 du moment

Angle M∼

= [D]K M = EIθ,1 =Ebh3

12θ,1 Angle

Flèche T =Eh

1+ν(gradW +Φ) T = µS(U2,1 +θ) Flèche

8.2 Plaque de Kirchhoff–Love

En théorie des poutres, il existe une approche (Timoshenko) pour laquelle l’angle que fait une sectiondroite avec la ligne neutre est déterminé de façon indépendante, et une autre (Bernoulli) dans laquelleles sections droites restent perpendiculaires à la ligne moyenne au cours de la déformation. Le derniercas s’applique essentiellement lorsque la poutre est peu épaisse, si bien que les cisaillements restentfaibles. Ceci supprime l’angle de la liste des variables indépendantes, puisqu’il peut être alors directementdéterminé si la flèche est connue. L’application de cette simplification pour la théorie de plaque conduit àla théorie de Kirchhoff–Love : on y suppose qu’un segment initialement perpendiculaire au plan moyenle reste au cours de la déformation.

8.2. PLAQUE DE KIRCHHOFF–LOVE 91

8.2.1 Cinématique et équilibre

On a donc gradW + Φ = 0 dans l’équation qui définit le déplacement, u = U +W e3 + x3Φ. Lescisaillements 13 et 23 sont nuls, ce qui produit les conditions cinématiques :

−θ1 +W,2 = 0 θ2 +W,1 = 0 (8.84)

On aura également :T1 = 0 T2 = 0 (8.85)

Le tenseur de courbure s’écrit alors simplement :

K∼

=(

θ2,1 (θ2,2−θ1,1)/2(θ2,2−θ1,1)/2 −θ1,2

)=(−W,11 −W,12−W,21 −W,22

)(8.86)

avec Kαβ =−W,αβ

Dans le cadre de cette théorie simplifiée, la liste des variables associées est :

θ2,1 =−W,11 associé à M11 (8.87)

θ1,2 = W,22 associé à M22 (8.88)

θ2,2−θ1,1 =−2W,12 associé à M12 (8.89)

ce qui mène au tableau :

Variable associée définition : (8.90)

U1,1 N11 =Z

hσ11dx3 (8.91)

−W,11 M11 =Z

hσ11x3dx3 (8.92)

U2,2 N22 =Z

hσ22dx3 (8.93)

−W,22 M22 =Z

hσ22x3dx3 (8.94)

(U1,2 +U2,1)/2 N12 =Z

hσ12dx3 (8.95)

−W,12 M12 =Z

hσ12x3dx3 (8.96)

– N11 et N22 sont les efforts normaux, N12 le cisaillement dans le plan de la plaque– M11 et M22 sont des moments de flexion, et M12 un moment de torsionL’écriture du travail des efforts extérieurs et l’écriture du principe des travaux virtuels permet encore

d’écrire les conditions aux limites en force et moment, et de définir les équations d’équilibre. On nedétaille pas ici les différents développements. On retrouve bien entendu les équations de type membranede la théorie des stratifiés, auxquelles s’ajoutent les équations concernant les moments, qui font intervenirl’effort réparti p3 porté par l’axe x3 :

N11,1 +N12,2 + t1 = 0 (8.97)

N12,1 +N22,2 + t2 = 0 (8.98)

T1,1 +T2,2 + p3 =0 (8.99)

M11,1 +M12,2−T1 =0 (8.100)

M21,1 +M22,2−T2 =0 (8.101)

(8.102)


La combinaison des deux dernières équations fournit :

M11,11 +M22,22 +2M12,12 + p3 = 0 (8.103)

soit :div divM

∼+ p3 = 0 ou encore Mαβ,αβ + p3 = 0 (8.104)

Les conditions aux limites sont plus simples que dans le cas des plaques de Reissner–Mindlin. Il y aun changement pour le problème de flexion. En reprenant le principe des travaux virtuels avec la seulevariable W , il vient :

−δW Fint =

ZS

MαβKαβdS =−Z

SMαβW,αβdS (8.105)

En intégrant deux fois par partie :

M11W,11 = (M11W,1),1−M11,1W,1 = (M11W,1),1− (M11,1W ),1 +M11,11W (8.106)

On a donc :– des termes du genre M11,11, qui restent sur S et fournissent la condition d’équilibre– des termes du genre M11W,1, qui vont sur Γ, et fournissent une condition à la limite en couple

(flexion seulement)n.M

∼.n = n.C = CF

– des termes du genre M11,1W , qui vont sur Γ, et fournissent une condition à la limite en force :

P3 =dds

(Mαβnατβ)+Mαβ,βnα

– Pour le cas où la frontière de la plaque présente un angle, il y apparaît une force pontuelle, qui estliée à la discontinuité du moment de torsion.

8.2.2 Lois de comportement

Matériau isotrope

Pour le cas d’un matériau isotrope, le comportement en flexion s’exprime par une simple relationmatricielle entre moments et courbures :M11

M22M12

=Eh3

12(1−ν2)

1 ν 0ν 1 00 0 1−ν

−W,11−W,22−W,12

(8.107)

On a :

Mαβ =− Eh3

12(1−ν2)(νW,γγδαβ +(1−ν)W,αβ

)(8.108)

D’où :

Mαβ,αβ =− Eh3

12(1−ν2)W,αβαβ (8.109)

L’équation à résoudre pour trouver la flèche W est donc :

D∆∆W − p3 = 0 avec D =Eh3

12(1−ν2)(8.110)

8.2. PLAQUE DE KIRCHHOFF–LOVE 93

Matériau anisotrope

Dans le cas d’un matériau anisotrope, plusieurs stratégies sont possibles pour établir la loi decomportement. L’une des plus performantes consiste à reconstruire un champ approché à partir d’uneformulation élastique tridimensionnelle, comme par exemple dans (Reissner, 1950). On se contentera icid’une évaluation plus simple, qui ne cherche pas à donner accès aux termes de cisaillement, et qui estraisonnable pour fournir la rigidité d’une plaque composite dont toutes les couches sont identiques, si cen’est l’orientation des fibres. On obtient une évaluation des efforts globaux en intégrant sur l’épaisseurune contrainte que l’on estime à partir de la cinématique du problème. On introduit successivement :

– des termes de type «membrane» :

N11 =Z

hσ11dx3 (8.111)

=Z

h(Q11ε11 +Q12ε22 +Q16ε12)dx3 (8.112)

=Z

h(Q11(U1,1 +θ2,1x3)+Q12(U2,2−θ1,2x3) (8.113)

+Q16(U1,2 +θ2,2x3 +U2,1−θ1,1x3))dx3 (8.114)

(8.115)

N11 =Z

h(Q11U1,1−Q11x3W,11)dx3 (8.116)

+Z

h(Q12U2,2−Q12x3W,22)dx3 (8.117)

+Z

h(Q16(U1,2 +U2,1)−2Q16x3W,12)dx3 (8.118)

– termes de type «flexion» :

M11 =Z

hσ11x3dx3 (8.119)

=Z

h(Q11ε11 +Q12ε22 +Q16ε12)x3dx3 (8.120)

=Z

h(Q11(U1,1x3 +θ2,1x2

3)+Q12(U2,2x3−θ1,2x23) (8.121)

+Q16(U1,2x3 +θ2,2x23 +U2,1x3−θ1,1x2

3))dx3 (8.122)

M11 =Z

h(Q11x3U1,1−Q11x2

3W,11)dx3 (8.123)

+Z

h(Q12x3U2,2−Q12x2

3W,22)dx3 (8.124)

+Z

h(Q16x3(U1,2 +U2,1)−2Q16x2

3W,12)dx3 (8.125)

N11N22N12M11M22M12

=

Q11 Q12 Q16 Q11x3 Q12x3 Q16x3Q12 Q22 Q26 Q12x3 Q22x3 Q26x3Q16 Q26 Q66 Q16x3 Q26x3 Q66x3

Q11x3 Q12x3 Q16x3 Q11x23 Q12x2

3 Q16x23

Q12x3 Q22x3 Q26x3 Q12x23 Q22x2

3 Q26x23

Q16x3 Q26x3 Q66x3 Q16x23 Q26x2

3 Q66x23

U1,1U2,2

U2,1 +U1,2−W,11−W,22−2W,12

(8.126)


Pour une meilleure lecture, on a omis l’intégrale. Il faut lire en fait :Zh

Q11dx3 etc...

L’expression précédente appelle quelques remarques :– La matrice de la formule 8.126 renferme des termes de différentes dimensions. On a :N/m

____N

=

N/m | N____ __ ____

N | N.m

−____m−1

(8.127)

– Ridigité en traction, et en flexion : termes Q11 et Q22– Rigidité en cisaillement dans le plan et en torsion : terme Q66– Chacun de ses termes est le résultat de la contribution de chaque couche, et est donc calculé

comme une somme discrète sur toutes les couches. En appelant respectivement h−i et h+i les cotes

inférieures et supérieures de la couche i, ei son épaisseur, on a donc par exemple :

Q11 = ∑i

Qi11ei (8.128)

Q11x3 = ∑i

Qi11(h

+i

2−h−i2)/2 (8.129)

Q11x23 = ∑

iQi

11(h+i

3−h−i3)/3 (8.130)

– Les termes linéaires en x3 produisent du couplage membrane–flexion. Ils sont nuls pour les plaquessymétriques

– Pour tous les termes contenant soit x3, soit x23, le résultat obtenu dépend de la séquence

d’empilement, ce qui est assez intuitif en effet lorsqu’il s’agit de calculer une résistance à laflexion : celle-ci sera meilleure si les couches les plus résistantes vis-à-vis d’une flexion donnéesont éloignées de la surface moyenne. On retrouve le cas illustré précédemment par la poutrecomposite.

– Les fibres à 0et à 90fournissent une bonne ridigité en traction et en flexion, tandis que les fibresà 45génèrent une bonne rigidité en cisaillement dans le plan et en torsion. C’est ce qu’atteste laplanche de la figure 7.1, du chapitre sur la théorie des stratifiés, qui montre les valeurs des termesQi j en fonction de l’angle θ que fait la direction courante avec l’axe des fibres.

On reconstruit un champ de contraintes approché dans chaque couche en considérant les effortsnormaux et les moments dans chaque couche (les indices α et β varient de 1 à 2, hi est la cote moyennede la couche) :

Niαβ

=Z h+

i

h−iσαβdx3 (8.131)

Miαβ

=Z h+

i

h−iσαβ(x3−hi)dx3 (8.132)

Il vient alors :

σαβ =Ni

αβ

ei+

12e2

iMi

αβ

x3−hi

ei

Chapitre 9

Introduction à la mécanique des matériauxhétérogènes

Les matériaux de structures possèdent une échelle physique en deçà de laquelle ils ne peuvent plusêtre considérés comme homogènes. C’est évident dans le cas des composites étudiés précédemment àl’échelle des plis, fibres ou inclusions individuelles. De manière moins évidente, c’est le cas aussi desalliages métalliques qui sont en fait des assemblages de grains monocristallins présentant des orientationscristallines distinctes de grain à grain. Ces deux types de morphologie, à savoir la morphologiefibre/matrice rencontrée dans les composites et la morphologie polycristalline, sont illustrés par lesfigures 9.1 et 9.2 respectivement. Pour le dimensionnement d’une structure, il n’est pas raisonnable niencore possible de prendre directement en compte l’influence de l’ensemble de ces hétérogénéités sur laréponse du composant. On cherche donc à remplacer le matériau hétérogène par un milieu dit homogèneéquivalent caractérisé par des propriétés mécaniques effectives. Ces dernières résultent de l’interactionentre eux des constituants (dits aussi phases) au sein d’un volume élémentaire dV du matériau considéré.L’objectif est donc, par exemple dans le cas des composites, de déterminer les modules d’élasticitéeffectifs du matériau composite à partir de la connaissance des propriétés élastiques des constituants,de leur fraction volumique et de leur arrangement. Le problème posé est très général et englobe dessituations plus complexes encore que les stratifiés étudiés précédemment, pour lesquels l’intuitionpouvait fournir par exemple des cinématiques raisonnables. On le verra, les propriétés effectives nes’obtiennent pas par une simple moyenne des propriétés des constituants pondérées par les fractionsvolumiques. La distribution dans l’espace des différentes phases en présence est la clef pour optimiserpar la microstructure les propriétés souhaitées.

La mécanique des matériaux hétérogènes est une discipline de la mécanique des matériaux qui esten pleine expansion. Les développements actuels concernent essentiellement les comportements nonlinéaires, ils sont rendus possibles par les progrès simultanés des concepts théoriques, de la puissance decalcul et des méthodes d’investigation expérimentale. La présentation faite dans ce chapitre se limite àl’élasticité, et cherche seulement par des exemples élémentaires à montrer quelques idées fondamentaleset certains outils de base du domaine.

9.1 Moyennes de volume, moyennes de surface

On utilisera abondamment dans la suite le théorème de Stokes qui, pour une fonction scalaireu(x1,x2,x3), intégrée sur un domaine V de frontière ∂V , s’énonce de la façon suivante :Z

Vu,i dV =

Z∂V

uni dS (9.1)

La notation ,i désigne la dérivée partielle par rapport à la coordonnée cartésienne xi (base orthonormée).Le vecteur n de composantes cartésiennes ni représente le vecteur normal en tout point de la surface ∂V .

95

96 CHAPITRE 9. INTRODUCTION À LA MÉCANIQUE DES MATÉRIAUX HÉTÉROGÈNES

On renvoie au cours de géométrie différentielle pour la démonstration de ce résultat.On peut utiliser ce thèorème pour relier la moyenne sur le volume V d’un champ de déformation

compatible ε∼′ à la moyenne des valeurs sur le bord ∂V de ce champ. La compatibilité du champ de

déformation ε∼′ signifie qu’il dérive d’un champ de déplacement u′. On introduit la notation suivante pour

la moyenne volumique :

< ε∼′ >=

1V

ZV

ε∼′ dV (9.2)

< εi j >=1

2V

ZV(u′i, j +u′j,i)dV (9.3)

L’application du théorème de Stokes à chaque composante de déplacement conduit à :

< u′i, j >=1V

Z∂V

ui n j dS (9.4)

Finalement, on obtient

< ε∼′ >=

1V

Z∂V

us⊗ ndS (9.5)

où le produit tensoriel symétrisé a été introduit :

us⊗ n =

12(u⊗n+n⊗u) (9.6)

On relie de manière similaire la moyenne volumique du tenseur des contraintes à la résultante du vecteurtraction sur le bord. On considère pour cela un champ de contrainte σ

∼∗ défini sur V que l’on suppose

statiquement admissible. Cela signifie ici que sa divergence est nulle en tout point :

divσ∼∗ = σ

∗ik,k ei = 0 (9.7)

où les ei désignent les vecteurs de la base cartésienne. On vérifiera alors que

< σ∗i j > =

1V

ZV

σ∗i j dV

=1V

ZV(σ∗ikx j),k dV

=1V

Z∂V

σ∗iknkx j dS

En notation intrinsèque ce résultat s’écrit

< σ∼∗ >=

1V

Z∂V

(σ∼∗.n)⊗ xdS (9.8)

On remarquera que la symétrie du membre de droite de l’équation (9.8) n’est pas apparente. Pourtant, onmontrerait de la même façon que le résultat est identique à l’expression obtenue en remplaçant dans le

second membre le signe ⊗ pars⊗.

Le travail des forces internes associé aux champs admissibles ε∼′ et σ

∼∗ se calcule alors de la façon

suivante :

< σ∼∗ : ε

∼′ >=

1V

ZV

σ∗i ju

′i, j dV =

1V

ZV(σ∗i ju

′i), j dV =

1V

Z∂V

(σ∼∗.n).u′dV (9.9)

Les formules de moyennes précédentes supposent la continuité des champs au sein du volume considéré.Des termes supplémentaires apparaissent dans le cas où des discontinuités sont présentes (fissures,pores...).

9.2. VOLUME ÉLÉMENTAIRE REPRÉSENTATIF, PROPRIÉTÉS EFFECTIVES 97

9.2 Volume élémentaire représentatif, propriétés effectives

Les propriétés effectives du milieu homogène équivalent cherché peuvent être obtenues en résolvantun problème aux limites sur le volume élémentaire dV , à condition que celui–ci soit suffisammentgrand pour être représentatif de la microstructure du matériau hétérogène. Ce volume doit pour celacontenir suffisamment d’hétérogénéités (grains, inclusions ou fibres). Si la distribution des constituantsest périodique (comme dans le cas du composite de la figure 9.1b), le volume nécessaire se réduit àune cellule élémentaire permettant de reconstituer l’ensemble de la microstructure par simple translation(pavage). On soumet alors le volume retenu à des sollicitations élémentaires pour déterminer la réponserésultante. La difficulté réside en fait dans le choix des conditions aux limites à appliquer au volumeconsidéré pour imposer une déformation ou contrainte globale moyenne donnée (dite macroscopique).

On mentionne ici trois types de conditions aux limites permettant d’imprimer au volume considéréune déformation ou une contrainte moyenne :

– Conditions de déformations homogènes au contour (problème P E) :

u = E∼.x ∀x ∈ ∂V (9.10)

où E∼

est un tenseur symétrique imposé indépendant de x.– Conditions de contraintes homogènes au contour (problème P S ) :

σ∼.n = Σ

∼.n ∀x ∈ ∂V (9.11)

où Σ∼

est un tenseur symétrique imposé indépendant de x.– Conditions de périodicité (problème P P ) : lorsque le milieu est périodique, la cellule V est connue

dans ses moindres détails géométriques et sa forme est telle que l’on peut paver l’espace entranslatant V . On cherche alors un champ solution de la forme :

u = E∼.x+ v ∀x ∈V (9.12)

où v est périodique, i.e. v prend des valeurs égales en des points homologues sur des faces opposéesde V ; on impose d’autre part que le vecteur contrainte σ

∼.n prenne des valeurs opposées sur des

faces opposées. Il existe aussi une formulation duale du problème périodique.On peut alors prouver l’existence et l’unicité de la solution de ces trois problèmes aux limites, au moinsdans le cas linéaire (éventuellement à un mouvement de corps rigide ou un translation près). Dans tousles cas, il résulte des calculs de moyennes de la section précédente (équations (9.5) et (9.8)) que :

〈ε∼〉= E

∼(9.13)

dans le cas des conditions de déformations homogènes au contour et le cas périodique, et

〈σ∼〉= Σ

∼(9.14)

pour les conditions duales en contraintes. Les moyennes sont effectuées sur le volume V et les majuscules(resp. minuscules) désignent les grandeurs macroscopiques (resp. microscopiques). On peut aussicalculer la moyenne du travail des forces internes au sein du volume élémentaire sollicité et montrer,à nouveau grâce au théorème de Stokes, que pour les trois conditions aux limites précédentes :

< σ∼

: ε∼

>=< σ∼

>:< ε∼

>= Σ∼

: E∼

(9.15)

On voit que le travail des forces internes macroscopique est alors égal à la moyenne du travail des forcesinternes microscopiques.

La solution des problèmes aux limites correspondants n’est en général pas analytique. On a recoursà des simulations numériques, par exemple par la méthode des éléments finis. Un exemple de volumeélémentaire représentatif (VER) est donné sur la figure 9.3, dans le cas de la morphologie polycristalline.


FIG. 9.1 – Composite à matrice métallique SiC-titane pour application aéronautique pour deux fractionsvolumiques de fibres différentes (diamètre des fibres 600 µm)

a. Microstructure d’un revêtement de tôled’acier galvanisée.

b. Microstructure d’un alliage à mémoire deforme Cu-Zn-Al.

FIG. 9.2 – Morphologie polycristalline dans les matériaux hétérogènes

9.3 Propriétés élastiques effectives

Le problème aux limites précédent posé sur le VER admet, dans le cas élastique linéaire, une solutionunique qui dépend linéairement du chargement macroscopique E

∼imposé. Il existe donc un champ de

tenseur unique dit de concentration permettant d’exprimer la déformation en un point x au sein du VER

9.3. PROPRIÉTÉS ÉLASTIQUES EFFECTIVES 99

FIG. 9.3 – Volume élémentaire représentatif d’un polycristal

en fonction de la déformation macroscopique appliquée :

ε∼(x) = A

≈(x) : E

∼(9.16)

Il est en général impossible d’obtenir une expression analytique de A≈(x) mais on peut le déterminer

de manière numérique. Puisque la moyenne des déformations locales doit donner E∼

, il s’ensuit que letenseur de concentration vérifie la propriété suivante :

< A≈

>= 1≈

(9.17)

où 1≈

désigne le tenseur identité d’ordre 4 sur les tenseurs d’ordre 2 symétriques. Les contraintes

macroscopiques sont alors liées aux déformations macroscopiques imposées de la manière suivante :

Σ∼

= < σ∼

>=< c≈

: ε∼

>

= < c≈

: A≈

: E∼

>

= C≈

: E∼

avec C≈

=< c≈

: A≈

> (9.18)

On voit que la loi de comportement macroscopique prend la forme d’une loi d’élasticité avec un tenseurdes modules effectifs C

≈. En particulier, il apparaît clairement que C

≈n’est pas une simple moyenne

des modules locaux c≈(x) mais une moyenne pondérée par le tenseur de concentration A

≈qui dépend

explicitement de la distribution des phases au sein du VER. Le cas particulier d’un VER homogèneconduit bien sûr à A

≈= 1

≈et C

≈= c

≈. Ce n’est plus le cas dès que le matériau est hétérogène.

De même, si le VER est soumis au tenseur de contraintes macroscopiques Σ∼

, il existe un tenseurde localisation B

≈donnant le tenseur des contraintes en chaque point du VER en fonction de la charge


imposée :σ∼(x) = B

≈(x) : Σ

∼(9.19)

Les modules de souplesse effectifs s’expriment alors en fonction de B≈

:

E∼

= S≈

: Σ∼

avec S≈

=< B≈

: s≈

> (9.20)

où s≈

= c≈−1. Lorsque le volume de matériau considéré est représentatif (i.e. suffisamment grand), la

détermination des propriétés effectives ne dépend pas du choix des conditions aux limites de sorte quel’on a

S≈

= C≈−1 (9.21)

Le tenseur d’élasticité macroscopique peut aussi être défini à l’aide d’une définition énergétique dela forme :

< σ∼

: ε∼

>= E∼

: C≈

: E∼

= Σ∼

: S≈

: Σ∼

(9.22)

On vérifiera que les modules effectifs s’expriment alors de la façon suivante à l’aide des tenseurs deconcentration A

≈et B

≈précédents :

C≈

=< A≈

: c≈

: A≈

>=< B≈

: s≈

: B≈

>−1 (9.23)

On montre, à l’aide des propriétés (9.15) et (9.17), qu’en fait les définitions directe (équations (9.18) et(9.20)) et énergétique (équation (9.22)) sont équivalentes. En particulier les modules effectifs obtenussont les mêmes.

9.4 Potentiel élastique

Dans la suite on étudie les propriétés de matériaux hétérogènes dont les constituants ont uncomportement élastique éventuellement non linéaire décrit par un potentiel W (ε

∼) :

σ∼

= W ′(ε∼) =

∂W∂ε∼

(9.24)

Le potentiel élastique choisi est l’énergie libre de Helmholtz. Chaque constituant du matériau hétérogèneétudié possède un potentiel distinct. On suppose qu’il existe pour le milieu homogène équivalent cherchéun potentiel effectif W e f f (E

∼) :

Σ∼

= W e f f ′(E∼) =

∂W e f f

∂E∼

(9.25)

Dans le cas de l’élasticité linéaire, ces potentiels sont les formes quadratiques suivantes :

W (ε∼) =

12

ε∼

: c≈

: ε∼, W (E

∼) =

12

E∼

: C≈

: E∼

(9.26)

On demande à tous les potentiels rencontrés d’être convexes par rapport à leurs arguments. Cettecondition est trivialement remplie dans le cas de l’élasticité linéaire.

On associe à W (ε∼) le potentiel dual W ∗(σ

∼), appelé énergie complémentaire, tel que

ε∼

= W ∗′(σ∼) =

∂W ∗

∂σ∼

(9.27)

Les potentiels direct et dual sont représentés schématiquement sur la figure 9.4 dans le cas uniaxial. Onvoit en particulier que, puisque W désigne l’aire sous la courbe, W ∗ représente le complément d’aire dansle rectangle σ.ε :

W ∗(σ∼) = σ

∼: ε∼−W (ε

∼) avec σ

∼= W ′(ε

∼) (9.28)

9.4. POTENTIEL ÉLASTIQUE 101

On peut donner l’expression équivalente suivante faisant intervenir la transformée de Legendre–Fenchel :

W ∗(σ∼) = max

ε∼

(σ∼

: ε∼−W (ε

∼)) (9.29)

Pour montrer l’équivalence entre les définitions (9.28) et (9.29), on s’appuie sur la convexité du potentielW (ε

∼). On voit sur la figure 9.5 que, pour un σ donné, l’écart entre σ : ε et W est maximal pour la

déformation ε telle que la tangente à la courbe W en ε est parallèle à la droite σ : ε. Cette situationcorrespond donc bien à σ = W ′(ε). La démonstration s’étend au cas tridimensionnel. Le potentiel dualest convexe par rapport à ses arguments dès que le potentiel élastique l’est.

De même, on peut définir le potentiel dual pour les propriétés effectives du milieu homogèneéquivalent W e f f∗(Σ

∼) tel que

E∼

=∂W e f f∗

∂Σ∼

(9.30)

Le cas particulier de l’élasticité linéaire prend la forme très simple :

W ∗(σ∼) = σ

∼: ε∼− 1

2ε∼

: c≈

: ε∼

=12

ε∼

: c≈

: ε∼

=12

σ∼

: s≈

: σ∼

= W (ε∼) (9.31)

W ∗(Σ∼) =

12

Σ∼

: S≈

: Σ∼

(9.32)

On admet qu’alors les souplesses s’obtiennent à partir des modules d’élasticité effectifs par la relation

S≈

= C≈−1 (9.33)

ε

σ

W

W*

FIG. 9.4 – Réponse non linéaire du matériau dans le cas uniaxial et définition du potentiel élastique et de

l’énergie complémentaire : W (ε) =Z

ε

0W ′(ε)dε, W ∗(σ) =

Zσ

0W ′∗(σ)dσ. On en déduit que W est l’aire

sous la courbe et W ∗ l’aire complémentaire


ε

σ:ε

W

FIG. 9.5 – Transformée de Legendre–Fenchel d’un potentiel d’élasticité convexe

9.5 Théorème de l’énergie potentielle : borne supérieure de Voigt

On considère le problème aux limites suivant sur le volume V de matériau hétérogène :

divσ∼

+ f = 0

σ∼

= W ′(ε∼)

u = ud ∀x ∈ ∂V

où u désigne le champ de déplacement dont dérive ε∼, f d’éventuels efforts volumiques. Dans ce problème,

le déplacement est imposé sur le contour de V . Le théorème de l’énergie potentielle stipule alors que lasolution u sur V minimise l’énergie potentielle F :

F (u′) =Z

V(W (ε

∼′)− f .u′)dV (9.34)

par rapport aux champs de déplacement cinématiquement admissibles u′. On dit que u′ estcinématiquement admissible s’il vérifie les conditions aux limites u = ud sur ∂V .

La démonstration de ce théorème est basée à nouveau sur la propriété de convexité du potentiel W ,ainsi que sur le théorème de Stokes. Si u est la solution du problème aux limites considéré et u′ un champcinématiquement admissible, on établit que

F (u′)−F (u) =Z

V(W (ε

∼′)−W (ε

∼))dV

>Z

VW ′(ε

∼) : (ε

∼′− ε

∼)dV

>Z

V(σi j(u′i−ui)), j dV

>Z

∂Vσi j(u′i−ui)n j dS = 0

puisque u et u′ coïncident sur le bord de V . Ceci démontre le théorème de l’énergie potentielle. La figure9.6 illustre la propriété de convexité de W utilisée.

9.6. THÈORÈME DE L’ÉNERGIE COMPLÉMENTAIRE : BORNE INFÉRIEURE DE REUSS 103

Explorons les conséquences de ce théorème dans le cas particulier du problème aux limites P E posésur le VER, pour lequel

ud = E∼.x ∀x ∈ ∂V (9.35)

On se restreint en outre au cas de constituants élastiques linéaires. Le théorème de l’énergie potentielles’écrit alors

12

ZV

ε∼

: c≈

: ε∼

dV =12

ZV

σ∼

: ε∼

dV = V12

Σ∼

: E∼

=12

V E∼

: C≈

: E∼

612

ZV

ε∼′ : c

≈: ε∼′ dV (9.36)

On peut utiliser cette inégalité pour borner les propriétés élastiques effectives en choisissant des champstests cinématiquement admissibles u′. Le choix le plus simple compatible avec les conditions aux limitesdu problème P E est :

u′ = E∼.x ∀x ∈V (9.37)

ce qui impliqueε∼′ = E

∼(9.38)

On choisit donc comme champ test le champ de déformation homogène E∼

lui–même, qui n’est qu’unegrossière approximation du champ réel ε

∼. Le théorème de l’énergie potentielle s’écrit alors

E∼

: C≈

: E∼

6 E∼

:< c≈

>: E∼, ∀E

∼(9.39)

Cette relation fournit une borne supérieure pour les propriétés effectives C≈

. Cette borne est la moyenne

des propriétés locales < c≈

>. Elle est appelée borne supérieure de Voigt. Elle indique que quel que soit

l’arrangement des phases au sein du matériau hétérogène, les propriétés effectives ne peuvent excéder lamoyenne volumique des propriétés des constituants.

ε

W

ε ’

W( )

W( )+W’( )( ’− )

ε

ε ε ε ε

’

FIG. 9.6 – Propriété de convexité du potentiel élastique

9.6 Thèorème de l’énergie complémentaire : borne inférieure de Reuss

La formulation duale du théorème de l’énergie potentielle constitue le théorème de l’énergiecomplémentaire. On considère le problème aux limites suivant :

divσ∼

+ f = 0

ε∼

= W ∗′(σ∼)

T = σ∼.n = T d ∀x ∈ ∂V


La solution en contrainte σ∼

minimise alors la fonctionnelle :

F ∗(σ∼∗) =

ZV

W ∗(σ∼∗)dV (9.40)

pour tout champ de contrainte σ∼∗ statiquement admissible (i.e. autoéquilibré (divσ

∼∗+ f = 0) et vérifiant

les conditions aux limites σ∼∗.n = T d). La démonstration est tout à fait similaire à celle mise en œuvre

pour le théorème de l’énergie potentielle. Elle s’appuie sur la propriété de convexité de W ∗ qui est acquisedès que W est convexe.

Explorons les conséquences de ce théorème dans le cas particulier du problème aux limites P S posésur le VER, pour lequel

T d = Σ∼.x ∀x ∈ ∂V (9.41)

On se restreint en outre au cas de constituants élastiques linéaires. Le théorème de l’énergiecomplémentaire s’écrit alors

12

ZV

σ∼

: s≈

: σ∼

dV =12

V Σ∼

: S≈

: Σ∼

612

ZV

σ∼∗ : s

≈: σ∼∗ dV (9.42)

On peut utiliser cette inégalité pour borner les propriétés élastiques effectives en choisissant des champstests statiquement admissibles σ

∼∗. Le choix le plus simple compatible avec les conditions aux limites du

problème P S est :σ∼∗ = Σ

∼(9.43)

On choisit donc comme champ test le champ de contraintes homogène Σ∼

lui–même. Le théorème del’énergie potentielle s’écrit alors

Σ∼

: S≈

: Σ∼

6 Σ∼

:< s≈

>: Σ∼, ∀Σ

∼(9.44)

Cette relation fournit une borne supérieure pour les propriétés effectives S≈

et par conséquent une borne

inférieure pour les modules effectifs C≈

. Cette borne est l’inverse de la moyenne des propriétés locales

< s≈

>−1=< c≈−1 >−1. Elle est appelée borne inférieure de Reuss. Elle indique que quel que soit

l’arrangement des phases au sein du matériau hétérogène, les souplesses effectives ne peuvent excéder lamoyenne volumique des souplesses des constituants.

9.7 Application à l’élasticité isotrope

On considère le cas particulier d’un matériau hétérogène dont les constituants sont élastiques linéaireset isotropes. On suppose en outre que l’arrangement des phases est tel que le matériau résultant estisotrope au niveau macroscopique. La loi de comportement locale de chaque constituant s’écrit

σ∼

= λ(trace ε∼)1∼+2µε

∼(9.45)

où λ et µ sont les coefficients de Lamé (µ module de cisaillement). On définit le module de compressibilité

k =3λ+2µ

3(9.46)

Les modules de cisaillement et de compressibilité effectifs sont notés µe f f et ke f f respectivement. Onétablit ici les bornes de Voigt et Reuss correspondantes. Considérons d’abord le champ de déformationtest homogène

E∼

=

1 0 00 1 00 0 1

(9.47)

9.7. APPLICATION À L’ÉLASTICITÉ ISOTROPE 105

L’inégalité de Voigt s’écrit alorsE∼

: C≈

: E∼

= 9ke f f 6< 9k > (9.48)

Considérons ensuite le champ de contrainte test homogène

Σ∼

=

1 0 00 1 00 0 1

(9.49)

L’inégalité de Reuss s’écrit alors

Σ∼

: S≈

: Σ∼

=3

ke f f 6<3

ke f f > (9.50)

On obtient finalement un encadrement du module de compressibilité effectif :

<1k

>−16 ke f f 6< k > (9.51)

Dans le cas d’un matériau biphasé, en appelant 1 et 2 les deux phases et f ,1− f les fractionsvolumiques correspondantes, la borne de Voigt s’écrit explicitement

< k >= f k1 +(1− f )k2 (9.52)

Considérons de même le champ de déformation test homogène

E∼

=

0 1 01 0 00 0 0

(9.53)

L’inégalité de Voigt s’écrit alorsE∼

: C≈

: E∼

= 4µe f f 6< 4µ > (9.54)

Considérons ensuite le champ de contrainte test homogène

Σ∼

=

0 1 01 0 00 0 0

(9.55)

L’inégalité de Reuss s’écrit alors

Σ∼

: S≈

: Σ∼

=1

µe f f 6<1

µe f f > (9.56)

On obtient finalement un encadrement du module de cisaillement effectif :

<1µ

>−16 µe f f 6< µ > (9.57)

Ces inégalités montrent que les propriétés réelles sont comprises entre les moyennes arithmétiqueset géométriques des propriétés des constituants, ce qui n’était pas du tout évident de prime abord.L’approche naïve consistant à estimer les propriétés par une simple moyenne ne permet donc qued’obtenir des bornes. On remarquera que ces bornes peuvent être atteintes au moins dans certainesdirections particulières pour des composites stratifiés ou à fibres longues par exemple. Si toutes les fibressont parallèles au sein d’une matrice isotrope, alors on vérifiera que les propriétés dans le sens des fibressont données par la moyenne de Voigt. Au contraire, dans un laminé, on obtient la borne de Reuss ensollicitant dans la direction transverse normale aux couches.


Résumé

• En conditions de déformations ou de contraintes homogènes aux contours, et en conditionspériodiques, on montre :

< σ∼

: ε∼

>= Σ∼

: E∼

On suppose que cela reste valable pour des conditions aux limites quelconques (lemme de Hill-Mandel)

• Tenseurs de concentration :Déformations ε

∼(x) = A

≈(x) : E

∼

Contraintes σ∼(x) = B

≈(x) : Σ

∼

• Tenseurs effectifs :Raideur C

≈=< c

≈: A≈

>

Souplesse S≈

=< B≈

: s≈

>

• Bornes :Voigt E

∼: (C

≈−< c

≈>) : E

∼6 0

Reuss Σ∼

: (S≈−< s

≈>) : Σ

∼6 0

• Bornes en élasticité isotrope :

Compressibilité <1k

>−16 ke f f 6< k >

Cisaillement <1µ

>−16 µe f f 6< µ >

Chapitre 10

Éléments de Mécanique de la rupture

La mécanique de la rupture a pour objet essentiel l’étude des fissures macroscopiques : elle s’appliquelorsqu’il existe dans le matériau des discontinuités telles dans la matière qu’elles viennent modifier l’étatde contrainte, déformation et déplacement, si bien que l’homogénéisation du milieu n’a plus de sens.

10.1 Généralités

La séparation en deux parties disjointes d’un corps se produit à la suite de la phase d’amorçage,qui a vu le développement de microcavités, microfissures... sous l’action de sollicitations mécaniques,thermiques, chimiques.... La propagation de la ou des fissures macroscopiques peut conduire à laséparation complète de plusieurs morceaux, ou bien au contraire les fissures peuvent s’arrêter. Lemode de rupture peut être fragile, la rupture se produisant alors souvent sans déformation plastique,ou ductile, en présence d’une déformation plastique importante. L’énergie nécessaire pour produire larupture, caractérisée par la résilience (rapport de l’énergie nécessaire pour rompre une pièce sur lasection droite de matière rompue), est bien plus grande dans le cas de la rupture ductile. La résilienceest une caractéristique importante du matériau au niveau de la conception de systèmes mécaniques.Elle évolue avec la température, la température de transition caractérisant le passage d’un mode àl’autre. Le mode de rupture dépend par ailleurs de l’état de contrainte, en particulier de la triaxialité descontraintes (rapport du premier sur le second invariant). Un matériau qui présente beaucoup de plasticitédéveloppera en général des ruptures ductiles, mais pourra être sujet à la rupture fragile. Un matériausans plasticité (céramiques, métaux à très basses températures, certaines résines) présentera toujours desruptures fragiles.

En fonction du chargement et du matériau considérés, si le milieu est globalement plastique ouviscoplastique, l’étude est du ressort de la mécanique non linéaire de la rupture, ou encore de l’approchelocale, dans laquelle il est fait une description aussi précise que possible de l’état de contrainte et dedéformation en pointe de fissure à l’aide de modèles de comportement non linéaires. Si au contraire laplasticité est absente ou reste très confinée, les théories qui permettent de traiter le problème considèrentle matériau comme élastique partout : c’est la mécanique linéaire de la rupture, qui va être considéréedans ce chapitre.

Les dates principales qui marquent le développement de la mécanique de la rupture sont 1920,lorsque Griffith montre que la rupture d’un milieu élastique-fragile peut être caractérisée par une variableglobale, qui sera appelée plus tard le taux de restitution d’énergie, et 1956, lorsque, à partir de l’étudedes singularités du champ de contrainte, Irwin introduit la notion de facteur d’intensité des contraintes.Les années 1960-1980 sont celles de l’essor puis de la maturité de la mécanique de la rupture, avec enparticulier les développements numériques et le traitement des problèmes non linéaires. Les ouvragesde références les plus anciens sont épsuisés (Liebowitz, 1968), mais il existe une abondante littératureissue des laboratoires français (Bui, 1978; Labbens, 1980; Lemaitre and Chaboche, 1985; François et al.,

107

108 CHAPITRE 10. ÉLÉMENTS DE MÉCANIQUE DE LA RUPTURE

1993).

10.2 Taux de restitution d’énergie

10.2.1 Définition

Dans le cas où l’énergie cinétique est négligée, la puissance mécanique disponible pour ouvrir unefissure de surface A est égale à la variation de l’énergie potentielle totale V , résultat de la variation del’énergie élastique stockée dans la structure et de la variation d’énergie liée aux forces extérieures. Cettecontribution mécanique est appelée taux de restitution d’énergie. Elle peut se définir quel que soit le typede comportement. Son unité est le joule/m2.

G =−∂V∂A

(10.1)

Cette énergie sert à créer de nouvelles surfaces libres, ce qui implique des apports d’énergie. En appelantγs l’énergie spécifique de rupture par unité de surface, il est donc nécessaire pour que la fissure se propageque la contribution mécanique équilibre au moins l’énergie dissipée (théorie de Griffith pour la rupturefragile), soit dans un milieu plan d’épaisseur unité :

−propagation si : G−2γs > 0 (10.2)

−arrêt si : 0 > G−2γs (10.3)

Si le matériau est élastique, et dans le cas où les forces de volume sont négligées, l’expressionde l’énergie potentielle se réduit à deux termes, le premier correspondant à l’énergie de déformationélastique (dans le volume V du solide), le second au travail des forces extérieures appliquées en surface,(force Fd sur les frontières où la force est imposée SF ) :

V =12

ZV

σ∼

: ε∼

dV −Z

SF

Fd .u dS (10.4)

L’application du théorème de la divergence au terme volumique permet de le tranporter en surface(théorème «du travail»), le terme obtenu se partageant ensuite sur les surfaces à force et déplacementimposés (ud ) :

12

ZV

σ∼

: ε∼

dV =12

ZS

F .u dS =12

ZSF

Fd .u dS +12

ZSu

F .ud dS (10.5)

Le calcul de G s’effectue par simple dérivation à partir de la nouvelle expression de l’énergie potentielle :

V =12

ZSu

F .ud dS− 12

ZSF

Fd .u dS (10.6)

et :

G =12

ZSF

Fd .∂u∂A

dS− 12

ZSu

∂F∂A

.ud dS (10.7)

10.2.2 Cas d’une charge ponctuelle

Dans le cas particulier où il n’y a qu’une charge ponctuelle, les expressions se simplifient enintroduisant la raideur R de la structure ou sa complaisance C . La force F et le déplacement Udeviennent alors ponctuels, et : F = R U ; U = C F . L’avancée de fissure peut se schématiser commeen figure 10.1, selon que l’avancée se fait à déplacement imposé (Fig.10.1a), ou à force imposée(Fig.10.1b).

Dans chaque cas l’expression de G devient :

10.2. TAUX DE RESTITUTION D’ÉNERGIE 109

F

0U

F

a. Force imposéeUd

F

0

U

M

H

b. Déplacement imposé

FIG. 10.1 – Evaluation de l’énergie mise en jeu lors d’une avancée de fissure

– à déplacement imposé, comme F = R U d :

G =−12

ZSu

∂F∂A

.ud dS (10.8)

=−12

(d Rd A

U d)

.U d =−12

(F 2

R 2

)d Rd A

(10.9)

(10.10)

– à force imposée, comme U = C F d :

G =12

ZSF

F .∂u∂A

dS (10.11)

=12

F d .

(d Cd A

F d)

(10.12)

(10.13)

Les deux cas aboutissent formellement à la même expression :

G =12

F 2 dCdA

(10.14)

Il faut néanmoins noter que l’évolution de la force n’est pas la même (chute de force lors de l’avancéede fissure à déplacement imposé, la structure devenant plus souple, et bien entendu force constante à forceimposée, avec augmentation du déplacement résultant). L’énergie récupérable dans le cas du déplacementimposé est finie (égale à l’aire du triangle OMH), si bien que G va décroître avec la progression defissure, et que la fissure pourra éventuellement s’arrêter. Ces expressions sont utilisées pour mesurerexpérimentalement G.

10.2.3 Quelques valeurs critiques de G

Le verre et les céramiques ont des valeurs très faibles du taux de restitution d’énergie critique, del’ordre de 10 J/m2. Viennent ensuite les résines fragiles, avec des valeurs de l’ordre de 100 à 500 J/m2.Les composites verre–résine possèdent des valeurs de l’ordre de 7000 J/m2, ce qui les place au voisinagedes alliages d’aluminium (20000 J/m2). Les matériaux les plus résistants à la déchirure sont les aciers(100 kJ/m2), et, bien entendu, les métaux purs (100–1000 kJ/m2).


A’ A

M

A : (0,a)A’ : (0,-a)

x2

1xθr

A

FIG. 10.2 – Plaque infinie en traction simple selon x2

10.3 Facteur d’intensité de contrainte

Sauf mention contraire, les développements des chapitres suivants concernent des milieuxbidimensionnels. La fissure y sera linéaire, définie par sa longueur a. En toute rigueur, l’extension entridimensionnel n’est possible que si le front de fissure dans la pièce réelle est perpendiculaire au pland’étude, et alors : A = ab, b étant l’épaisseur de la pièce.

10.3.1 Solution de Muskhelishvili

La figure 10.2 montre le système qui est considéré ici. Il s’agit d’un panneau ”infini”, contenant unefissure de longueur 2a selon l’axe x1, et sollicité en traction uniforme selon l’axe x2. Dans la pratique, unmodèle de ce type pourra être raisonnablement utilisé dès lors que les dimensions de la fissure seront de10 à 20 fois plus faibles que celle de la plaque. Il existe une solution analytique exacte de ce problème,sur l’axe x2 = 0, en supposant un état de contraintes planes :

− Si x1 > a σ22 = σ∞/(1− (a/x1)2)1/2

σ11 = σ22−σ∞ (10.15)

ε22 =(

σ∞

E

)(ν+

1−ν

(1− (a/x1)2)1/2

)(10.16)

− Si 0 6 x1 6 a [u2] = 2u2 =(

4aσ∞

E

)(1− (x1/a)2)1/2

(10.17)

La formule du déplacement u2 sur la frontière de la fissure montre que l’ouverture des lèvres dela fissure est représentée par une ellipse. Le changement de variable x1 = a + r montre qu’il existe auvoisinage de la pointe de fissure une singularité en r1/2 lorsque r tend vers 0.

σ22 ∝ σ∞(a/2r)1/2 (10.18)

10.3.2 Solution asymptotique de Westergaard

Le problème précédent peut également être abordé en introduisant la «fonction d’Airy» Ψ(x1,x2)telle que : σ11 = Ψ,22 ;σ22 = Ψ,11 ;σ12 = Ψ,12. Les équations d’équilibre sont alors automatiquement

10.3. FACTEUR D’INTENSITÉ DE CONTRAINTE 111

vérifiées. En élasticité linéaire, le report de ces égalités dans les conditions de compatibilité 2ε12,12 =ε11,11 +ε22,22 conduit à chercher Ψ comme solution de l’équation biharmonique ∆∆Ψ = 0. Ce problèmese résoud par la méthode des fonctions complexes. On obtient ainsi la solution asymptotique auvoisinage de la pointe de fissure (Fig.10.3). Irwin a montré que le premier terme du développementlimité est le même, à un facteur multiplicatif près, pour tous les problèmes correspondant à un moded’ouverture donné. La sollicitation d’une fissure linéaire dans un milieu plan perpendiculairement à sonaxe correspond au mode I ; on introduit ainsi le facteur d’intensité de contrainte en mode I, KI ,tel que :

KI = limr→0

(σ22

√2πr

)(10.19)

10.3.3 Différents modes de sollicitation

Le chargement étudié jusqu’à présent fait intervenir un champ de contrainte «lointain» comportantune seule composante, normale à la direction de la fissure, il s’agit du mode d’ouverture, ou mode I. C’estcelui qui est physiquement le plus important, puisqu’une fissure en mode I se propage dans son propreplan, par raison de symétrie, sans bifurcation, l’ouverture de la fissure conduisant facilement à la rupture.Dans le cas du mode II, le champ lointain de sollicitation extérieure est un cisaillement perpendiculaireau front de fissure (Fig.10.3.b), et dans le cas du mode III un cisaillement parallèle au front de fissure(Fig.10.3.c).

10.3.4 Remarques

1. L’unité de K est le N.m−3/2. On utilise couramment le MPa.√

m. K dépend à la fois du matériauet de la géométrie.

2. La singularité en r permet à l’énergie de déformation élastique de rester finie en pointe de fissure(le matériau ne devient pas localement indéformable) :

We =12

ZV

σ∼

: ε∼dV ∝

12

ZV

1√r

1√r

r dr dθ (10.35)

3. La comparaison de la solution précédente en θ = 0 et de la solution de Muskhelishvili lorsque rtend vers 0 fournit l’expression de KI pour une fissure horizontale de longueur 2a chargée selon x2à l’infini avec une contrainte σ∞ :

Westergaard : σ22 ∝KI√2πr

; Muskhelishvili : σ22 ∝ σ∞

√a

2r(10.36)

KI = σ∞

√πa (10.37)

4. Il ne faut pas confondre KI avec Kt facteur de concentration de contrainte, qui est sans dimension,et qui caractérise le rapport entre la contrainte normale maximale et la contrainte à l’infini auvoisinage d’une entaille. Ainsi, au voisinage d’un défaut elliptique de longueur 2a et de rayon decourbure ρ le facteur de concentration de contrainte vaut :

Kt = σ22max/σ∞ = 2√

a/ρ (10.38)

Cette valeur peut se retrouver à l’aide de la solution de Muskhelishvili pour un trou elliptique. Lavaleur de Kt devient infinie lorsque le rayon ρ tend vers 0, ce qui n’est bien sûr pas le cas de KI .

5. En mode I, il est possible de trouver la relation entre K et G en évaluant le travail nécessaire pourrefermer une fissure de longueur a + ∆a, comme indiqué en figure 10.4. Il s’agit d’exprimer quela densité d’effort sur le segment OO′ passe de 0 lorsque la fissure est en O′ à σ22 lorsque lafissure est en O, alors que dans le même temps l’ouverture passe de u2 à 0. Le résultat obtenu est :


a. Mode I : ouverture

σ11 =KI√2πr

cosθ

2(1− sin

θ

2sin

3θ

2) (10.20)

σ22 =KI√2πr

cosθ

2(1+ sin

θ

2sin

3θ

2) (10.21)

σ12 =KI√2πr

cosθ

2sin

θ

2cos

3θ

2(10.22)

u1 =KI

2µ

√r

2πcos

θ

2(κ−1+2sin2 θ

2) (10.23)

u2 =KI

2µ

√r

2πsin

θ

2(κ+1−2cos2 θ

2) (10.24)

avec : κ = 3−4ν en déformations planes (10.25)

et : κ =3−ν

1−νen contraintes planes (10.26)

b. Mode II : glissement dans le plan

σ11 =− KII√2πr

sinθ

2(2+ cos

θ

2cos

3θ

2) (10.27)

σ22 =KII√2πr

sinθ

2cos

θ

2cos

3θ

2(10.28)

σ12 =KII√2πr

cosθ

2(1− sin

θ

2sin

3θ

2) (10.29)

u1 =KII

2µ

√r

2πsin

θ

2(κ+1+2cos2 θ

2) (10.30)

u2 =−KII

2µ

√r

2πcos

θ

2(κ−1−2sin2 θ

2) (10.31)

c. Mode III : glissement antiplan

σ13 =− KIII√2πr

sinθ

2(10.32)

σ23 =KIII√2πr

cosθ

2(10.33)

u3 =−2KII

µ

√r

2πsin

θ

2(10.34)

FIG. 10.3 – Les différents modes de fissuration et les champs singuliers associés

10.4. ANALYSE DE L’ÉTAT DE CONTRAINTE TRIDIMENSIONNEL 113

a a∆

x2

x10’0

FIG. 10.4 – Opération de refermeture de fissure pour le calcul de la relation K–G

G = KI2(k +1)/8µ avec k = 3−4ν en déformations planes, et k = (3−ν)/(1−ν) en contraintes

planes, soit :Contraintes planes : G = KI

2/E (10.39)

Déformations planes : G = (1−ν2)KI

2/E (10.40)

Pour effectuer la démonstration des formules précédentes, le taux de restitution d’énergie est prissous la forme :

G =12

ZSF

Fd .∂u∂A

dS (10.41)

Le calcul consiste à évaluer, par unité d’épaisseur :

G.∆a =12

Z a+∆a

aσ22(O)u2(O′)dx1 (10.42)

Par ailleurs, les relations générales sont, en cas de mélange des modes :

Contraintes planes : G =1E

(KI2 +KII

2)+1+ν

EKIII

2 (10.43)

Déformations planes : G =1−ν2

E(KI

2 +KII2)+

1+ν

EKIII

2 (10.44)

6. Dans le cas des matériaux anisotropes, il existe un couplage entre les différents modes même pourles configurations les plus simples, comme la plaque en traction étudiée précédemment. On définitalors un tenseur de facteurs d’intensité de contraintes :

Ki j = limr→0

σi j√

2πr (10.45)

10.4 Analyse de l’état de contrainte tridimensionnel

Après avoir examiné le problème d’élasticité bidimensionnelle, il est utile de considérer l’état decontrainte 3D qui s’établit dans les structures.

– Dans les structures épaisses (exemple de l’éprouvette de la figure 10.5.a), l’état de contrainte esttriaxial, et 0 < σ11 < σ33 < σ22. Les directions de glissement préférentielles sont donc dans le plande cisaillement maximum, x1− x2, si bien que l’éprouvette périt «par l’arrière» de la fissure.


x

x

1

2

x3

FIG. 10.5 – Etat de contrainte tridimensionnel en pointe de fissure

– Dans les structures minces (exemple de l’éprouvette de la figure 10.5.b), la composante 33 dutenseur de contrainte est négligeable (0 < σ33 < σ11 < σ22), si bien que le plan de cisaillementmaximum est maintenant le plan x2− x3, et que l’épaisseur de la structure va diminuer au devantde la fissure, provoquant la ruine par amincissement exagéré.

10.5 Propagation de fissure en fatigue

10.5.1 Amorçage–propagation dans les matériaux métalliques

Le phénomène de fatigue se manifeste sur les matériaux soumis à des chargements de faibleintensité, qui individuellement ne présenteraient pas de danger, mais qui, appliqués de façon cyclique,conduisent à l’amorçage puis à la propagation de fissures, d’abord microscopiques, puis macroscopiques.La figure 10.6 schématise ce processus, dans un diagramme où la vitesse de propagation par cycle estreportée en fonction de la longueur de la fissure.

Comme indiqué en introduction, les fissures courtes sont noyées dans des champs locaux, imposéspar les efforts extérieurs et la géométrie locale (cristallographie par exemple), et leur étude individuellen’est pas aisée. Celles qui sont observées lors d’une étude microstructurale sont celles qui ont progresséde façon préférentielle, donc qui se trouvaient dans les zones les plus sollicitées. Il est donc normal que,dans le diagramme (da/dN–a), elles présentent des vitesses grandes. Certaines d’entre elles s’arrêtent,tandis qu’un petit nombre (en général une seule) dépasse la taille de la microstructure, pour devenir une«grande» fissure, qui peut être étudiée à l’aide de la mécanique linéaire de la rupture.

La zone de non-propagation peut se représenter également dans un diagramme (logσ–loga ), dit deKitagawa (Fig.10.7). La partie horizontale de la frontière du domaine correspond à la limite d’endurance,ou limite de fatigue. Il s’agit du niveau de contrainte cyclique en dessous duquel aucune micro-fissure nese développera. Une structure sans défaut macroscopique, ou une éprouvette lisse soumises à ce type dechargement ne présenteront pas de risque de rupture. Pour des longueurs de fissure plus importantes, lastructure résistera d’autant moins bien que la fissure sera longue, la frontière du domaine présentant alorsune pente−1/2, ce qui est cohérent avec le fait que c’est l’amplitude de facteur d’intensité de contrainte,∆K ∝ ∆σa1/2 qui est le moteur de l’avancée de fissure. De même qu’il existe une limite d’endurance, ilest possible de définir un facteur d’intensité de contrainte seuil en dessous duquel la fissure ne progressepas.

10.5.2 Loi de Paris

Les courbes da/dN–∆K présentent la forme indiquée en figure 10.8. En régime établi, ellesprésentent une partie linéaire dans un diagramme log–log, ce qui permet de les modéliser par la loi

10.5. PROPAGATION DE FISSURE EN FATIGUE 115

(mm/cycle)da/dN

-310propagation

Pas de

"longues"Fissures

"courtes"Fissures

-310

-610

-910

1

1 a (mm)

FIG. 10.6 – Schématisation de la propagation de fissures de fatigue

σ1

σ

-1/2

a

Pas de propagation

Taille de grain

FIG. 10.7 – Diagramme définissant les limites de fatigue et de propagation de fissure


1

-3

da/dN(mm/cycle)

10

10

-9

-6

10

SK∆ K1C ∆K

FIG. 10.8 – Illustration de la loi de Paris dans le diagramme da/dN–∆K

Matériau KIc (MPa√

m) ∆Ks (MPa√

m)acier haute résistance (ex : 35NCD16) 60 1 à 4acier moyenne.résistance (ex : 15MND6) . . .

. . .(basse température) 40 3

. . .(palier ductile) 200 8alliages d’aluminium (ex : 7075) 30 1,5 à 4alliages de titane (ex : TA6V) 80 2 à 8composite verre-résine 7polyéthylène 6,5polystyrène 0,4résine époxyde 0,1verre 0,01

TAB. 10.1 – Valeur critique et valeur seuil du facteur d’intensité de contrainte pour quelques matériaux

de Paris, qui définit la vitesse de propagation par cycle comme une fonction puissance de l’amplitude dufacteur d’intensité de contrainte :

dadN

= C.∆Km (10.46)

Dans le même diagramme est également reportée la valeur de KIc, qui correspond à une ruptureinstantanée, par dépassement de la valeur critique de K sous chargement monotone. Le tableau 10.1fournit donc, en même temps que Ks, quelques valeurs typiques de KIc pour les alliages usuels,auxquelles sont ajoutées pour comparaison celles qui sont classiquement obtenues pour des matériauxnon métalliques (valeurs en MPa.

√m).

10.5. PROPAGATION DE FISSURE EN FATIGUE 117

Résumé

– Taux de restitution d’énergie, défini à partir de la variation d’énergie potentielle

G =−∂V∂A

=12

ZSF

Fd .∂u∂A

dS− 12

ZSu

∂F∂A

.ud dS

– Charge ponctuelle, à déplacement imposé

G =−12

(F 2

R 2

)d Rd A

– Charge ponctuelle, à force imposée

G =12

F d .

(d Cd A

F d)

– Facteur d’intensité de contrainte en mode I

KI = limr→0

(σ22

√2πr

)– ... pour une fissure de longueur 2a dans une plaque infinie

KI = σ√

πa

– Relation G–K– En contraintes planes

G =1E

(KI2 +KII

2)+1+ν

EKIII

2

– En déformations planes

G =1−ν2

E(KI

2 +KII2)+

1+ν

EKIII

2

– Unité de G = J.m−2 ; unité de K = Pa.m1/2 = N.m−3/2

– Loi de ParisdadN

= C.∆Km

Deuxième partie

APPLICATIONS

119

Chapitre 11

Prolongements du cours

11.1 Contraintes thermomécaniques

Les champs thermiques non uniformes génèrent dans les solides des dilatations qui créent descontraintes dites thermomécaniques dans les structures. Celles-ci doivent être bien entendu prises encompte dans la plupart des moteurs thermiques, mais elles jouent aussi un rôle fondamental dansla construction de grandes installations comme ITER. Ici, le rôle des physiciens est bien entendufondamental, mais l’installation ne pourra pas exister sans que soient trouvées des solutions pourévacuer correctement les quantités de chaleurs gigantesques qui sont générées. Il faut donc trouver lesmatériaux adéquats, et les configurations mécaniques qui permettent de garantir la pérennité des systèmes(Fig.11.1).

http ://www-fusion-magnetique.cea.fr

FIG. 11.1 – Premier plasma obtenu dans Tore-Supra

L’effet de contraintes thermomécaniques peut également se faire sentir de façon plus inattendue, ainsidans le barrage de Manic5, situé au Québec, une construction de 214 m de haut et plus de 1500 m delong (11.2). L’histoire de sa construction et des modifications nécessaires pour qu’il résiste aux écarts detempérature constitue l’illustration de la première séance.

121

http://www-fusion-magnetique.cea.fr

http://mms2.ensmp.fr/mms_paris/intro/illustrations/f_manic5.php

122 CHAPITRE 11. PROLONGEMENTS DU COURS

FIG. 11.2 – Pourquoi a-t-il fallu mettre des chemises au barrage de Manic5 ?

Un essai très simple permet de prendre conscience de l’importance de ces contraintesthermomécaniques : une bille de verre chauffée puis projetée dans l’eau froide se fissure (Fig.11.3).Le site web propose un mini-projet sur ce thème.

FIG. 11.3 – Illustration de la rupture de billes de verre en raison des contraintes thermomécaniques

Sur le site se trouve également une animation, qui illustre la complexité des phénomènes liés auxchargements anisothermes. Un fil d’acier ordinaire (Fig.11.4) est chauffé par effet Joule. Au coursdu chauffage, en raison du changement de phase solide–solide, d’une phase cubique centrée à bassetempérature vers une phase cubique faces centrées à haute température, plus compacte, le mouvement dufil n’est pas monotone.

http://mms2.ensmp.fr/mms_paris/miniprojets/BilleTherm/bille.pdf

http://mms2.ensmp.fr/mms_paris/intro/animations/animations.php

11.2. RHÉOLOGIE 123

FIG. 11.4 – Montage utilisé pour mettre en évidence le changement de phase dans les aciers

11.2 Rhéologie

La rhéologie est l’étude du processus de déformation des matériaux lorsque le comportementn’est pas élastique. Elle comporte le développement des modèles de comportement adaptés, mais uneimportante part de son domaine d’action est la caractérisation expérimentale. Ce point est illustréici (Fig.11.5) à partir de deux montages qui font l’objet d’un mini-projet. Il s’agit d’un montage decompression d’une éprouvette cylindrique en gypse. Il permet de mettre en évidence le comportementplastique et d’atteindre la rupture de l’échantillon. Le second système est un montage de flexion circulairequi permet de mettre en évidence le concept de retour élastique après plastification.

(a) (b) (c)

FIG. 11.5 – (a) Compression d’un cylindre de gypse mettant en évidence la plastification de la roche. (b)Montage utilisé pour mettre en évidence le retour élastique après plastification, (c) plaques en acier et enaluminium après essai

De façon générale, le comportement des matériaux devient dépendant du temps lorsqu’on élève latempérature. On peut rencontrer cette dépendance dès la température ambiante. La figure 11.6 montredeux exemples qui sont offerts en exercices interactifs : il s’agit du fluage du sel gemme à plusieursniveaux de charge, et d’expériences de fluage et de relaxation sur un fil de brasure.

http://mms2.ensmp.fr/mms_paris/miniprojets/Geomat/Geomat.pdf

http://mms2.ensmp.fr/mms_paris/miniprojets/SpringBack/f_RetourElast.pdf

http://mms2.ensmp.fr/mms_paris/experimental/exercices/exercices.php

http://mms2.ensmp.fr/mms_paris/experimental/exercices/intro_salt.pdf

http://mms2.ensmp.fr/mms_paris/experimental/exercices/f_crrel.pdf


(a) (b) (c)

FIG. 11.6 – (a) Montage utilisé pour l’étude du comportement viscoplastique du sel gemme, (b)éprouvette cylindrique en sel. (c) Expérience de fluage d’un fil de brasure

11.3 Critères

L’image de la figure 11.7 réunit trois générations d’aubes de turbine utilisées dans les parties les pluschaudes des turbines aéronautiques. La pièce de gauche est polycristalline, elle est constituée de grainsd’orientation aléatoire, dont la taille est inférieure au millimètre. L’image du milieu montre la même pîèceréalisée à partir d’une solidification directionnelle, ce qui conduit tous les grains à avoir en commun unedirection cristallographique. La pièce de droite est formée d’un seul monocristal. Les conséquences surle comportement multiaxial est considérable, comme le rappelle l’illustration du chapitre sur les critères.Le lecteur pourra également profiter d’une application interactive pour tracer ces surfaces de charge.

FIG. 11.7 – Evolution du type de matériau pour la fabrication des aubes de turbine

11.4 Plasticité

La prise en compte de la plasticité est importante dans un grand nombre de procédés de construction.La figure 11.8 montre l’exemple de l’emboutissage des tôles métalliques, qui constitue une illustrationdu chapitre sur la rhéologie.

L’exigence d’économie d’énergie rend l’optimisation des moteurs automobiles indispensable. Lafigure 11.9 montre comment la simulation numérique s’est imposée en une vingtaine d’années pour la

http://mms2.ensmp.fr/mms_paris/critere/illustrations/f_Aubes.php

http://mms2.ensmp.fr/mms_paris/critere/animations/animations.php

http://mms2.ensmp.fr/mms_paris/rheologie/illustrations/f_RetourElas.php

11.4. PLASTICITÉ 125

FIG. 11.8 – L’étude de la déformation plastique permet d’éviter les déformations parasites lors de la miseen forme

conception des pièces critiques. La description du fonctionnement des culasses constitue l’illustration duchapitre sur la plasticité 3D. Les assemblages font intervenir des boulons, comme en figure 11.10, dontl’étude fait l’objet d’un mini-projet.

(a) (b)

FIG. 11.9 – (a) Simulation de la zone sensible – le pontet – dans une culasse diesel (Stage de fin d’étudesMines, Peruzzetto, 1986). (b) Simulation d’un cylindre

Dans des systèmes soumis à des chargements cycliques (marche–arrêt, vibrations), il peut s’établirplusieurs types de régimes asymptotiques : comportement élastique, boucle d’hystérésis contrainte–déformation stable, ou encore déformation progressive. Ce dernier cas introduit un mécanisme de rochet,qui peut conduire à la ruine de la structure. Les intersections de tuyaux, comme celle qui est représentéeen figure 11.11 est une zone sensible vis-à-vis de ce genre de problème. L’étude effectuée dans un récentprogramme européen (LISA) est expliqué dans la rubrique illustration du chapitre «écrouissage». Onpourra également consulter les animations de ce même chapitre.

http://mms2.ensmp.fr/mms_paris/plasticite3D/illustrations/f_vis.php

http://mms2.ensmp.fr/mms_paris/miniprojets/Screw/f_Screw.pdf

http://www.fz-juelich.de/zam/math/RD/projects/lisa/

http://mms2.ensmp.fr/mms_paris/ecrouissage/illustrations/illustrations.php

http://mms2.ensmp.fr/mms_paris/ecrouissage/animations/animations.php


(a) (b)

FIG. 11.10 – Vis de culasse, (a) vue générale, (b) zoom sur la partie déformée plastiquement

FIG. 11.11 – Mise en évidence des zones présentant des déformations progressives dans un piquage

11.5 Poutres

La théorie des poutres permet de traiter de façon analytique des cas de chargements élémentaires surdes structures élancées. La figure 11.12 illustre un montage faisant l’objet d’un mini-projet, qui proposele calcul d’une passerelle.

FIG. 11.12 – Mise en évidence des performances d’une structure composite

http://mms2.ensmp.fr/mms_paris/miniprojets/FlexComposite/f_Flex.pdf

11.6. PLAQUES STRATIFIÉES 127

Les ailes des avions (Fig.11.13) sont un exemple de poutre particulièrement complexe. On propose,dans le cadre d’un mini-projet, de retrouver les différents éléments qui la composent et d’expliquer lesessais de flexion statique réalisés sur les premiers prototypes, et qui présentent des flèches de plusieursmètres en bout d’aile.

FIG. 11.13 – Une vue de l’Airbus A380 au décollage

11.6 Plaques stratifiées

Les théories de plaques et de coques interviennent dans les secteurs les plus en pointe de l’industrie.La figure 11.14 montre un «wafer» en silicium, plaque circulaire d’épaisseur millimétrique dont lediamètre vaut de 10 à 30 cm, et qui doit rester parfaitement plane pendant le cycle de conception.

FIG. 11.14 – Vue d’un «wafer», tranche monocristalline de silicium qui supporte des composantséléectroniques

La figure 11.15 montre les versions 1 et 2 (cette dernière en construction) d’appareils construitsen fibre de carbone. SpaceShipOne a remporté le «X-Price» en atteignant l’altitude de 100 km.

http://mms2.ensmp.fr/mms_paris/miniprojets/Aile/f_projet_380.pdf


SpaceShipTwo est destiné aux vols de loisir.

Scaled Composite virgingalactic(a) (b)

FIG. 11.15 – Une vue du SpaceShipOne et de son lanceur, (b) SpaceShipTwo en construction

11.7 Homogénéisation

Les méthodes d’homogénéisation permettent d’évaluer les propriétés moyennes d’un matériauhétérogène en prenant en compte la fraction volumique de chaque composant, et, dans certains cas,leur morphologie. La figure 11.16 montre un des calculs qui est proposé au chapitre homogénéisationdans le cadre d’un exercice interactif.

FIG. 11.16 – Une vue de la cellule élémentaire permettant de calculer le comportement homogèneéquivalent d’un composite à fibres

11.8 Mécanique de la rupture

La mécanique de la rupture permet d’étudier les fissures depuis les tailles micrométriques jusqu’aumètre, voire au kilomètre (faille de la croûte terrestre). La figure 11.17 présente le célèbre exempledes «Liberty Ships» construits pendant la seconde guerre mondiale, qui, avec l’histoire du Titanic,fournissent l’illustration du chapitre sur la mécanique de la rupture.

http://www.scaled.com/

http://www.virgingalactic.com/

http://mms2.ensmp.fr/mms_paris/homogeneisation/animations/animations.php

http://mms2.ensmp.fr/mms_paris/mecarup/illustrations/liberty.php

11.8. MÉCANIQUE DE LA RUPTURE 129

FIG. 11.17 – Une longue fissure dans un bateau de transport

Chapitre 12

Exercice

12.1 Etude de contraintes thermiques dans un barrage

Géométrie et gradient thermique

On veut caractériser les contraintes d’origine thermique dans un barrage en béton. On ne considèrepas pour le moment les contraintes dues à la pression de l’eau retenue, qui peuvent être prises en comptepar superposition. On vérifiera en fin de compte que les valeurs correspondantes sont faibles devant lescontraintes thermomécaniques. On ne considère pas non plus le poids propre du barrage.On étudie le prisme de la figure ci-dessus, d’épaisseur e selon x1, «infini» selon x2, «long» selon x3,(hauteur h). La température lors de la fabrication est uniforme T = T0, et elle évolue ensuite, pour prendreune valeur T1 en x1 = 0 et T2 en x1 = e, avec un profil que l’on supposera linéaire.

On suppose également que ce rectangle représente la section minimale (en direction x2) d’un barragevoute, et qu’elle est bloquée par les renforts placés régulièrement le long du barrage. La base du barragene peut pas glisser horizontalement, mais on négligera l’effet de «pincement» introduit par ce blocage.On suppose qu’une section horizontale reste horizontale, et une section verticale reste verticale, si bienque la déformée du rectangle initial est un rectangle.Application numérique :- module d’Young : E = 40 000 MPa ; coefficient de Poisson : ν = 0.2- coefficient de dilatation thermique : α = 14.10−6/C- température au moment de la construction : T0 = 20C- température côté air : en hiver, T1 =−40C ; en été, T

′1 = 20C

- température côté eau : T2 = 0C

1. Prévoir, sans calcul, la forme des tenseurs de contraintes et de déformations, ainsi que lesdirections principales.

131

132 CHAPITRE 12. EXERCICE

Chacune des composantes des tenseurs de contrainte et de déformation dépend a priori de x1, x2 etx3. Le fait que l’on se place en déformation plane en direction x2 supprime la dépendance en x2. Onnégligera aussi la dépendance en x3, en considérant qu’une section horizontale courante du barragesubit le même gradient thermique quelle que soit la valeur de x3. Ces hypothèses permettentd’annuler les composantes 12 et 23, car on a un état de déformation plane en direction 2s, etles termes 13 nuls car il y a indépendance en x3, et une section plane de normale x3 reste plane.Dans le repère x1, x2, x3, les tenseurs de contrainte et de déformation sont donc respectivementreprésentés par les matrices : σ11 0 0

0 σ22 00 0 σ33

et

ε11 0 00 0 00 0 ε33

(12.1)

2. Ecrire les relations de Hooke donnant σi j en fonction de εkl , en prenant en compte une dilatationthermique isotrope en chaque point du solide, εth = α(T −T0), en utilisant E et ν.Les relations de Hooke s’écrivent :

Eε11 =Eα(T −T0)+σ11−νσ22−νσ33 (12.2)

Eε22 =Eα(T −T0)−νσ11 +σ22−νσ33 = 0 (12.3)

Eε33 =Eα(T −T0)−νσ11−νσ22 +σ33 = Eε033 (12.4)

On a respectivement exprimé les états de déformation plane (eq.12.3) et déformation planegénéralisée (éq.12.4) .

3. A l’aide des équations d’équilibre et des conditions aux limites en x1 = 0 et x1 = e, trouver σ11.

Les contraintes et les déformations ne dépendent que de x1, la seule équation d’équilibre nontriviale s’exprime σ11,1 = 0 ; σ11 est donc indépendante de x1. Comme par ailleurs elle doit êtrenulle à la fois en x1 = 0 et x1 = e, elle est nulle partout :

∀M,σ11 = 0 (12.5)

Les expressions de la question précédente se réexpriment donc :

Eε11 =Eα(T −T0)−νσ22−νσ33 (12.6)

0 =Eα(T −T0)+σ22−νσ33 (12.7)

Eε033 =Eα(T −T0)−νσ22 +σ33 (12.8)

4. En écrivant la résultante des efforts sur une section courante du barrage de normale x3, trouverσ33. Calculer la valeur maximale de σ33.

On exprime σ22 en fonction de σ33 dans l’équation 12.7, et on reporte dans l’équation 12.8, ce quifournit :

Eε033 = Eα(1+ν)(T −T0)+(1−ν

2)σ33 (12.9)

En exprimant le fait que la résultante des efforts sur une surface normale à l’axe x3 est nulle, ilvient :

0 = Eeε033−Eα(1+ν)

Z e

0(T −T0)dx (12.10)

d’où

ε033 =

α(1+ν)e

Z e

0(T −T0)dx (12.11)

12.1. ETUDE DE CONTRAINTES THERMIQUES DANS UN BARRAGE 133

On en déduit σ33, qui s’avère indépendant de T0 :

σ33 =Eα

e(1−ν)

Z e

0(T −T0)dx− Eα

1−ν(T −T0) =

Eα

1−ν

(Z e

0

Te

dx−T)

(12.12)

Dans le cas d’un profil linéaire :

σ33 =Eα

1−ν

(T1 +T2

2−T

)(12.13)

Dans ce dernier cas, la contrainte est maximale en surface ; elle est positive du côté froid, et vaut :

σ33max =Eα

1−ν

T2−T1

2(12.14)

Il faut aussi remarquer que le résultat ne dépend pas directement de l’épaisseur du mur. Dansla pratique, pour des conditions d’échanges thermiques données, une épaisseur plus importanteconduira à des gradients plus importants. On en déduit que les parois qui résistent le mieux auxcontraintes thermomécaniques sont les parois les plus minces.

5. Calculer σ22.

En remplaçant σ33 par son expression dans l’équation 12.7, il vient :

σ22 =−Eα(T −T0)1−ν

+Eαν

1−ν

Z e

0

T −T0

edx (12.15)

Dans le cas d’un profil linéaire,

σ22 =−Eα(T −T0)1−ν

+Eαν

1−ν

(T1 +T2

2−T0

)(12.16)

On note que :si T1 = T2 σ22 = Eα(T0−T1) (tension en direction x2 si T1 < T0)

si T0 =T1 +T2

2σ22 =−Eα(T −T0)

1−ν

Application numérique :

– En hiver, l’air (température T1) est plus froid que l’eau (température T2). Il s’exerce une tractionbiaxiale, dont la valeur maximale est du côté de l’air.

σ33max =Eα

1−ν

T2−T1

2

σ22max =Eα

1−ν

((T0−T1)+ν

(T2 +T1

2−T0

))

Soit avec les valeurs numériques proposées :

σ33max =40000×14.10−6×40

(1.−0.2)×2= 14MPa

σ22max =40000×14.10−6

0.8((20+40)+0.2× (−20−20)) = 36,4MPa

Les valeurs obtenues sont suffisantes pour produire des fissures (le béton résiste à moins de 10 MPaen traction).


– Entre l’hiver et l’été, la variation de déformation verticale ne dépend que de la variation detempérature de l’air :

∆ε033 =

(1+ν)e

α

Z e

0(T

′−T )dx

= (1+ν)αT′

1 −T1

2= 1.2×14.10−6×60/2 = 5.04×10−4

Sur la hauteur de 200 m, le déplacement vaut donc environ 10 cm ! Il faut impérativement tenircompte des dilatations dans la conception de ce type d’ouvrage.

12.2 Flexion d’une poutre de section rectangulaire

x x1

3 Epaisseur b

MM 2h

x

x2

Figure 1 : Géométrie et chargement de la poutre

La poutre de la figure 1 possède une section rectangulaire, de hauteur 2h et de largeur b. Elle estchargée en flexion pure (cisaillements négligés), et on suppose qu’une section droite de normale x1 restedroite.Le comportement du matériau qui la constitue est élastique (E, ν) parfaitement plastique (σy).

1. Quelle est la distribution de contrainte et de déformation en élasticité ?L’état de flexion pure autour de x2 d’un barreau d’axe x1 est caractérisé par une déformation ε11

linéaire en x3 et, en élasticité, par une contrainte σ11 également linéaire en x3. On pose σ11 = kx3.Toutes les autres composantes du tenseur de contrainte sont nulles. Les tenseurs de contrainte etde déformation élastique sont respectivement représentés par les matrices : σ 0 0

0 0 00 0 0

et

σ/E 0 00 −νσ/E 00 0 −νσ/E

(12.17)

Le vecteur contrainte sur une section courante de normale e1 se réduit à σ11e1. On déduitimmédiatement de la géométrie de la section (0 6 x2 6 b et −h 6 x3 6 h) que la résultante estnulle sur une facette normale à l’axe x1. Le moment des efforts intérieurs sur la section de lapoutre s’écrit, en tenant compte du fait que les composantes de OM sont (0,x2,x3) :

M =ZZ

(OM×T )dS = M2e2 +M3e3 (12.18)

avec :

M2 =ZZ

x3 σ11 dx2 dx3 =ZZ

k x23 dx2 dx3 (12.19)

M3 =−ZZ

x2 σ11 dx2 dx3 =−ZZ

k x2 x3 dx2 dx3 (12.20)

(12.21)

12.2. FLEXION D’UNE POUTRE DE SECTION RECTANGULAIRE 135

La composante M3 est nulle (intégrale de x3 entre −h et h). L’expression obtenue pour M2, quel’on désignera dans la suite par M, est (voir Fig.2a) :

M = kbZ +h

−hx2

3 dx3 =23

kbh3 (12.22)

On peut donc exprimer k en fonction du moment, et, en posant I = 2bh3/3, on trouve la valeurcourante de σ11 sur la section :

σ11(x3) = σ(x3) = Mx3/I (12.23)

Il s’agit d’une fonction impaire en x3, dont la valeur maximale, σm, atteinte en x3 = h, vaut3M/2bh2.

2. Trouver le moment Me pour lequel la plasticité débute.Il y a plastification lorsque σm = σy, soit : Me = 2bh2σy/3

σ− Μ

σΜ

σ0−

0σ

σ0−

0σ

x3

Compression

Traction

−h

+h

a−a

ba

x3

c

x3

Figure 2 : Profil de contrainte σ11 dans une poutre en flexion simple :(a) Elasticité, (b) En cours de plastification, (c) Charge limite

3. Trouver la distribution des contraintes lorsque M dépasse Me. Montrer qu’il existe une valeurlimite M∞ du moment de flexion pour laquelle les déformations deviennent infinies.Pour M > Me, il y a un noyau élastique −a ≤ x3 ≤ a, et deux zones plastiques, l’une en traction

(x3 > a), l’autre en compression (x3 < −a). Dans le noyau élastique, on a toujours linéarité de lacontrainte avec x3 : σ = kx3 ; dans les zones plastiques, on a σ = +σy(x3 > a), ou σ = −σy(x3 <−a) (Fig.2b). Les deux inconnues du problème sont k et a.Elles doivent vérifier :

– la condition d’équilibre (1) :Z +h

−hx3 σbdx3 = M

– la continuité de la déformation en ±a , entraînant celle de la contrainte à la frontière entre leszones élastique et plastique :ka = σy d’où : k = σy/a.En remplaçant σ par son expression dans l’égalité (1), on obtient la valeur de M :

M/2 =Z a

0x3(σy x3/a)bdx3 +

Z h

ax3 bσy dx3


M = bσy(h2−a2/3)

Remarques– Si a = h : M vaut bien Me = (2/3)bσyh2

– Si a = 0 : M = M∞ = bσyh2 = 3Me/2Dans les deux cas, les solutions élastique et plastique se raccordent correctement.Pour M = M∞, la totalité de la poutre est plastifiée, elle ne peut plus supporter de chargesupplémentaire, on a une rotule plastique (Fig.2c).

4. Que se passe-t-il lorsqu’on relâche l’effort (M = 0),i) dans le cas où le moment maximum atteint vaut Mm ≤Me,ii) dans le cas où Me < Mm < M∞ ?Montrer qu’il subsiste dans ce dernier cas des contraintes résiduelles.

Si on n’a pas dépassé le moment Me, l’ensemble de la structure reste élastique, si bien que, aprèsrelâchement de l’effort, la structure reprendra sa forme initiale, et il n’y aura plus de contraintes.Au contraire, s’il y a eu plastification partielle, lorsqu’on fera passer le moment de Mm à zéro, lesfibres qui sont allongées (resp. raccourcies) de façon irréversible vont se retrouver en compression(resp. traction). En supposant que l’ensemble de la décharge s’effectue de façon élastique (ceque l’on vérifiera par la suite), on obtient l’état final par superposition de l’état actuel et de ladistribution de contrainte que l’on obtiendrait en élastique avec le moment −Mm, soit, quel quesoit x3 compris entre −h et +h : σ =−Mmx3/I. Cela donne le profil suivant, reporté en figure 3a :

– pour −a≤ x3 ≤ a σ = σyx3/a−3Mmx3/2bh3

– pour x3 ≥ a σ = σy−3Mmx3/2bh3

– pour x3 ≤−a σ =−σy−3Mmx3/2bh3

Remarques– On note que la pente −3Mm/2bh3 est négative pour |x3|> a.

– Les contraintes résiduelles sont autoéquilibrées :Z +h

−hσ dx3 = 0.

– On ne replastifie pas en compression, car, lorsque le moment maximum Mm tend vers le momentlimite M∞ = bσyh2, la contrainte σc obtenue par superposition en x3 = h reste supérieure à−σy :

σc = σy− (3bσyh2/2bh3)h =−σy/2

σc

σT σ0−

0σ− /2

0 /2

−aa

a b

σ0

σ

TC

C

T

x3 x3

Figure 3 : Profil de contrainte σ11 après décharge : (a) Pour une mise en charge élastoplastique, (b) Pourune mise en charge à la charge limite

5. Recommencer le problème avec une force horizontale P superposée au moment de flexion : définirdans le plan P–M la «limite d’élasticité», pour laquelle il y a plasticité commençante, et la «chargelimite» correspondant à la ruine de la structure par déformation excessive.Si on applique une traction horizontale en plus d’un moment, la forme du tenseur de contrainte

12.2. FLEXION D’UNE POUTRE DE SECTION RECTANGULAIRE 137

est inchangée, mais la ligne neutre est déplacée. On a simplement, en élasticité :

σ11 = σ = Mx3/I +P/2bh

On définit donc la limite du domaine d’élasticité par un segment de droite dans chaque quadrantdu plan P–M.On connaît déjà le moment limite en flexion simple. En l’absence de moment, la charge limite entraction est égale à la charge qui produit la première plasticité :

P∞ = Pe = 2hbσy

Pour trouver les valeurs de Pr et Mr qui conduisent à la ruine, en cas de chargement combiné, ilsuffit de se placer directement à l’état limite (Fig.4a), et d’y écrire l’équilibre des moments et dela force horizontale. Cet état est caractérisé par :

si x3 < a : σ =−σy

si x3 > a : σ = σy.

On écrit alors :

P =Z a

−h−σybdx3 +

Z h

aσybdx3 =−2σyab

M =Z a

−h−σyx3bdx3 +

Z h

aσyx3bdx3 = bσy(h2−a2)

En normant par Pe et Me, Pr =−Pea/h ; Mr = 3Me(1−a2/h2)/2, et on trouve le diagramme de lafigure 4b :

Mr/Me = (3/2)(1− (Pr/Pe)2)

(a) (b)Figure 4 : (a) Profil de contrainte σ11 pour l’état de charge limite, en traction axiale et flexion pure, (b)

illustration des domaines élastique et plastique dans l’espace P–M

6. Evaluer la flèche au cours du chargement et la flèche résiduelle.En supposant qu’une section plane reste plane, le champ de déplacement dans la poutre est de laforme :

u1 = U(s)+θx3 U(s) désignant le déplacement d’ensemble de la section,θ son angle de rotation,

u3 = V (s) V (s) désignant le déplacement vertical.S’il n’y a pas de

cisaillement de type 13, la déformation correspondante doit être nulle. On trouve ainsi la relationqui permet de calculer la flèche en connaissant la rotation :

u1,3 +u3,1 = 0


θ+V,1 = 0

La déformation axiale se calcule aisément en fonction de la rotation, puisque :

ε11 = u1,1 = θ,1x3

Dans le cas d’un comportement élastique, le terme θ,1 s’exprime en fonction du moment appliqué,puisque :

M =Z +h

−hσ11x3bdx3 = EIθ,1

En présence de plasticité parfaite, la rotation continue d’être imposée par le noyau élastique : unesection plane reste plane, et son orientation est donnée par la pente entre−a et a. Dans cette zone :

ε11 = σ11/E = (σy/E)(x3/a)

θ,1 = σy/Ea

Il s’ensuit que la courbure V,11 vaut :– en régime élastique : V,11 =−M/EI– en régime élastoplastique : V,11 =−σy/EaL’intégration de ces équations pour une poutre simplement posée sur ses deux extrémités, et delongueur 2L (soit −L≤ x1 ≤ L) donne pour expression du déplacement vertical :– en régime élastique : V = (M/2EI)(L2− x2

1)– en régime élastoplastique : V = (σy/2Ea)(L2− x2

1)

La valeur maximale de la flèche est obtenue pour x1 = 0. En remplaçant a par son expression enfonction de M pendant le régime élastoplastique, on trouve l’expression de la réponse globale dela structure :

V =σyL2

2Eh√

3(1−M/bσyh2)

RemarqueCette expression est cohérente avec celle qui est écrite pour le cas élastique lorsque M = Me =(2/3)bσyh2

La flèche tend vers l’infini lorsque M tend vers M∞ = bσyh2. Dans ce dernier cas, il est clair quel’hypothèse de petites déformations sera en défaut bien avant la rupture, si bien qu’il faut en touterigueur reconsidérer le calcul.La flèche résiduelle est celle que l’on calcule en superposant au résultat précédent écrit pour lemoment Mm celui obtenu lors d’une décharge élastique de −Mm, soit :

V =σyL2

2Eh√

3(1−Mm/bσyh2)− MmL2

2EI

12.3 Critères de plasticité

12.3.1 Comparaison des critères de von Mises et Tresca

Tracer dans le plan des contraintes principales σ1–σ2 la limite du domaine d’élasticité en accordavec les critères de von Mises et de Tresca, dans le cas où les seules composantes non nulles du tenseurdes contraintes sont σ1 et σ2.

On se reportera au cours, figure 3.2.

12.3. CRITÈRES DE PLASTICITÉ 139

Effectuer le même travail lorsque l’on superpose une troisième contrainte constante σ3.

J =(3/2)si jsi j

0.5 =(1/2)

[(σ1−σ2)2 +(σ2−σ3)2 +(σ3−σ1)2]0.5

σ2

σ3

σ3

σ3 0

σ+

σ3 0

σ+ σ10

Figure 12.3.1 : Tracé du critère de von Mises dans le plan σ1–σ2, en contrainte plane et pour σ3 6= 0

Le critère ne doit pas être modifié par l’addition d’un tenseur sphérique. On en déduit que la forme ducritère pour l’état de contrainte : (σ1,σ2,σ3) est la même que celle obtenue pour : (σ1−σ3,σ2−σ3,0).La forme cherchée dans le plan σ1–σ2 est donc obtenue par simple translation dans la direction dela première bissectrice. Ce résultat, illustré en figure 12.3.1 dans le cas du critère de von Mises, estégalement valable pour le critère de Tresca.

12.3.2 Plasticité cristalline

a. Montrer que, dans le cas de la plasticité cristalline avec déformation par glissementcristallographique, la déformation s’effectue sans changement de volume.

a. On considère un point quelconque M(x1,x2,x3) du plan de normale n. La distance de ce plan àl’origine est OP = h. On veut évaluer le tenseur de déformation uniforme produit par un glissement γ

selon le vecteur m du plan défini par sa normale n. Le déplacement vaut :

u = (γh)m

Comme h = OM.n = xini :

ui = γxk nk mi

ui, j = γxk, j nk mi et u j,i = γxk,i nk m j

Comme xk, j = δk j :

2εi j = ui, j +u j,i = γ(n j mi +ni m j)

ε∼

=γ

2(m⊗n+n⊗m)

La variation de volume associée à ce tenseur est bien entendu nulle, en effet :

trace(ε∼) = nimi = 0


n

m

MP γ

h

O

b. Démontrer le «principe» du travail maximal pour un matériau obéissant à la loi de Schmid.

On considère un monocristal métallique qui se déforme plastiquement sur un seul système deglissement (n,m). On peut donc écrire (avec γ positif ; une sollicitation en sens opposé déclencheraitun autre système en direction −m) :

ε∼

p =12

γ(m⊗n+n⊗m)

Le vecteur contrainte sur la facette n est T = σ∼

: n, et la cission réduite τ dans le plan n en direction mvaut :

τ = m.σ∼.n

Il vient donc, grâce à la symétrie du tenseur des contraintes :

σ∼

: ε∼

p =12

γ(n jmi +nim j)σi j =12

γσi jnim j = τγ

Pour un état de contrainte admissible σ∼∗, il vient : σ

∼∗ : ε

∼p = τ∗γ

Dire que σ∗ est admissible au sens de la loi de Schmid revient à dire que la cission appliquée resteinférieure ou égale à la cission critique τc ; il s’ensuit, avec γ > 0, que :

τ∗γ 6 τcγ

si bien que l’on obtient également :σ∼∗ : ε

∼p 6 σ

∼: ε∼

p

Ce résultat se généralise au cas de plusieurs systèmes actifs.

12.3.3 Plastification d’un tube mince

On considère un tube mince de section circulaire, de rayon r et d’épaisseur e, chargé en pressioninterne p. Le matériau est supposé parfaitement plastique, de limite d’élasticité σy. On demande dedéfinir la pression Pe à laquelle la plasticité débute et de donner à ce moment la direction de la vitessede déformation plastique.On étudiera pour le critère de Tresca et le critère de von Mises les 3 cas suivants :a. Le tube est libre dans la direction z.b. Le déplacement est bloqué dans la direction z.c. Le tube est fermé (réservoir).

Dans tous les cas envisagés ici, le tenseur des contraintes est diagonal dans le repère des coordonnéescylindriques (r,θ,z). De plus, la contrainte σrr est négligeable.On suppose que les critères de von Mises et de Tresca sont équivalents en traction simple, ils s’expriment

12.3. CRITÈRES DE PLASTICITÉ 141

donc en fonction de la limite d’élasticité en traction simple σy :– von Mises : J = σy

– Tresca : maxi, j

∣∣σi−σ j∣∣= σy

– Lorsque le tube est libre en direction z, le tenseur se réduit donc à la diagonale : σ∼

= Diag(0; pr/e;0).– Lorsque la déformation selon z est nulle, l’écriture de εzz = 0 fournit : σ

∼= Diag(0; pr/e;νpr/e).

– Enfin, dans le cas de la prise en compte d’un «effet de fond», il faut équilibrer la résultante due à lapression sur le couvercle (pπr2) par la contrainte σzz, soit σ

∼= Diag(0; pr/e; pr/2e).

a. Le premier état correspond à de la traction simple. Les critères de von Mises et de Tresca prévoientl’apparition de la plasticité au même instant, lorsque la pression atteint la valeur :

Pe =σye

r

Dans le cas du critère de von Mises, la direction d’écoulement, qui est définie par le déviateur du tenseurdes contraintes, est Diag(−0,5;1;−0,5). Le point de fonctionnement se trouve sur une arête de la surfacedéfinie par le critère de Tresca, qui s’écrit : σθθ−σrr = σy ou σθθ−σzz = σy. La première définition donneune direction Diag(−1;1;0), et la seconde Diag(0;1;−1).

b. Ce nouvel état de contrainte introduit une contrainte intermédiaire σzz entre σrr et σθθ. Commele critère de Tresca est insensible à cette contrainte, le résultat concernant le début de plastification estinchangé. Le déviateur des contraintes s’écrit : (pr/3e)Diag(−(1+ν);2−ν;2ν−1).Le critère de von Mises prévoit donc la plastification pour :

Pe =σye

r√

1−ν+ν2

En prenant ν = 0,3, cette pression vaut environ 1.125σye/r ; le critère de von Mises est «optimiste».La direction d’écoulement pour le critère de von Mises est toujours proportionnelle au déviateur. Dansle cas du critère de Tresca, l’écoulement est maintenant défini de façon non ambiguë par Diag(−1;1;0)puisque c’est cette fois-ci σθθ−σrr = σy qui est la seule expression valide.

c. Le critère de Tresca est de nouveau inchangé. Le déviateur et la pression limite d’après le critèrede von Mises s’écrivent maintenant (pr/3e)Diag(−0,5;0,5;0), et :

Pe =2σyer√

3

soit environ 1.15σye/r.Pour ce qui concerne la direction d’écoulement, on constate cette fois-ci que les deux critères prévoientla même direction, en cisaillement pur, la composante selon z restant nulle.La figure 12.3.3 illustre les différents états de contrainte dans le planσθθ–σzz, ainsi que les directions d’écoulement prévues.


vonMises

σ zz

θθσ0

(3)

Tresca

(2)

(1)

Figure 12.3.3 : Illustration des différents types de chargement dans un cylindre sous pression interne


Trouver la déformation équivalente associée au critère de Tresca.

En se plaçant dans l’espace des contraintes principales, le critère de Tresca s’exprime par

maxi, j

∣∣σi−σ j∣∣= σy

On suppose que σ1 > σ2 > σ3, il devient : σ1−σ3 = σy

L’écoulement plastique est parfaitement défini, par la diagonale Diag(0.5;0;0.5)λ.Si par contre deux contraintes principales sont égales, ainsiσ1 = σ2 > σ3, il est possible d’écrire l’écoulement à partir de deux expressions différentes du critère,donc avec deux multiplicateurs, ou de façon identique pour la vitesse de déformation plastique, enprenant une variable k réelle située entre −1 et +1 (la notation λ change de signification entre les deuxéquations) :

ε∼

p = Diag(λ; µ;−(λ+ µ))

ε∼

p = Diag(0.5(1+ k);0.5(1− k);−1)λ

Des expressions analogues peuvent être obtenues pour des combinaisons différentes des contraintesprincipales. On constate que, pour l’ensemble des combinaisons étudiées, on a :

λ =12(∣∣εp

1

∣∣+ ∣∣εp2

∣∣+ ∣∣εp3

∣∣)

12.4 Comportement parfaitement plastique en traction–cisaillement

On considère un élément de volume constitué d’un matériau élastique-parfaitement plastique, quivérifie le critère de von Mises, avec une limite d’élasticité σy : f (σ

∼) = J−σy, avec J(σ

∼) = ((3/2)s

∼:

s∼)1/2. L’élasticité est isotrope, on introduit donc classiquement le module de Young E, le module de

cisaillement µ, et le coefficient de Poisson ν.

1. On examine un élément de volume isolé en traction–cisaillement, en déformation imposée : onsuppose donc que ε11 et ε12 sont connus et constants pendant le chargement. Le matériau est toujours

12.4. COMPORTEMENT PARFAITEMENT PLASTIQUE EN TRACTION–CISAILLEMENT 143

élastique parfaitement plastique. Ecrire les équations de décomposition de déformation en déformationélastique et plastique sur chaque composante, ainsi que la condition de cohérence, et en déduire lesystème général en σ11, σ12, et p qui permet de résoudre le problème de l’écoulement plastique.

Le chargement imposé est de la forme :

ε∼

:=

ε11 ε12 0ε12 ? 00 0 ?

On a les expressions suivantes pour le tenseur de contraintes et son déviateur :

σ∼

=

σ11 σ12 0σ12 0 00 0 0

s∼

=

2σ11/3 σ12 0σ12 −σ11/3 00 0 −σ11/3

Durant l’écoulement plastique, la valeur du critère de von Mises est constante, donc

√σ2

11 +3σ212 =

σy. On en déduit la direction d’écoulement :

n∼

=32

s∼

J=

σ11/σy 3σ12/2σy 03σ12/2σy −σ11/2σy 0

0 0 −σ11/2σy

Comme on le sait, le multiplicateur plastique λ est égal à la vitesse de déformation cumulée lorsqu’on

utilise le critère de von Mises, (λ = p =√

(2/3)ε∼

p : ε∼

p), si bien que la vitesse de déformation plastiques’écrit ε

∼p = pn

∼.

La décomposition des vitesses de déformations entre déformation élastique et déformation plastique,donne :

ε11 =σ11

E+

σ11

σyp

ε12 =σ12

2µ+

3σ12

2σyp

La condition de cohérence doit indiquer le fait que le second invariant de von Mises reste constantpendant l’écoulement, σ

211 +3σ

212 = σ

2y , ce qui donne en termes de vitesses :

σ11σ11 +3σ12σ12 = 0

Cette dernière équation, regroupée avec les deux précédentes, forme le système permettant de résoudrele problème d’écoulement, pour les variables σ11, σ12 et p.

2. Pour une valeur k du rapport ε12/ε11, donner la valeur du rapport σ12/σ11 à plasticitécommençante. Quelle est la valeur du rapport ε

p12/ε

p11 en ce point ? En déduire le mouvement du point

courant en contrainte sur la surface de charge.En élasticité, on a simplement :

σ12

σ11=

2µε12

Eε11=

2µE

k =k

1+ν

Pour un tel rapport de contrainte, lorsque le point représentatif du chargement rencontre la surface decharge, le rapport des vitesses d’écoulement plastique est :

εp12

εp11

=n12

n11=

3σ12

2σ11=

3k2(1+ν)


Pendant le régime plastique, l’écoulement de cisaillement devient proportionnellement plus importantque pendant le régime élastique. Le point représentatif de l’état de contrainte va donc tourner sur lasurface de charge, en direction de l’axe de traction, dans la mesure où le supplément d’écoulementplastique en cisaillement va relaxer la contrainte de cisaillement. La direction d’écoulement évolue doncen même temps.

3. Le point de fonctionnement stable en contrainte est obtenu dans les équations en indiquant que lesdérivées σ11 et σ12 sont nulles. Indiquer la valeur du rapport σ12/σ11 à ce moment. En déduire que letrajet de chargement sera un trajet de chargement simple si et seulement si l’on suppose que l’élasticités’effectue sans changement de volume.

La direction d’écoulement devient constante lorsque le point représentatif de l’état de contraintedevient fixe sur la surface de charge. On a alors σ11 = σ12 = 0, soit :

εp12

εp11

=ε12

ε11= k

et :σ12

σ11=

2k3

En appelant θe l’angle auquel la contrainte «aborde» la surface de charge et θp l’angle d’équilibre, on ales relations suivantes :

tan(θe) =k

1+νtan(θp) =

23

k

La rotation de normale au cours de l’écoulement plastique se mesure donc par l’angle :

∆θ = θe−θp = θe− atan(

2(1+ν)3

tan(θe))

On vérifie que cet angle reste faible (environ 4 degrés par exemple pour ν = 0.3). On observe finalementqu’il n’y a pas de rotation de normale si le matériau est incompressible (ν = 0.5) : la déformationélastique avant plastification «dépose» la contrainte au point stable sur la surface de charge.

4. On fournit maintenant une application interactive qui permet de régler les composantes dedéformation imposées, ε11 et ε12, ainsi que le coefficient de Poisson. Le matériau a un module d’élasticitéE=200 GPa, et une limite d’élasticité σy=800 MPa. Lorsque l’état asymptotique est atteint, on doit avoirσ12

σ11=

23

εmax12

εmax11

Accès à la feuille de calcul

12.5 Enveloppe sphérique soumise à une pression intérieure

On considère une enveloppe sphérique, homogène, de rayon intérieur a, de rayon extérieur b. Lematériau qui la constitue est élastique parfaitement plastique, à élasticité linéaire isotrope, ayant pourcritère de plasticité le critère de von Mises ou celui de Tresca.

Partant de l’état initial naturel, on soumet cette sphère à une pression intérieure normale uniformep que l’on fait croître à partir de 0 (Fig.1a).

http://mms.ensmp.fr/MmsScripts/Torsion/Calcul/torsion-result.pdf

12.5. ENVELOPPE SPHÉRIQUE SOUMISE À UNE PRESSION INTÉRIEURE 145

a

b

Pa c

b

Figure 1 : (a) Géométrie de la sphère sous pression et chargement appliqué, (b) progression de la zone plastiqueà partir de la surface intérieure

1 Analyse élastique

1.1 Donner la solution (champs des contraintes et des déplacements) en élasticité.

Le volume étudié est à symétrie sphérique, constitué d’un matériau homogène et isotrope ; lesconditions aux limites possèdent aussi la symétrie sphérique. On est donc amené à chercher unesolution du problème dans un système de coordonnées sphériques r, θ, φ, tel que les champs dedéplacement, de contrainte et de déformation soient respectivement de la forme :

ur = h(r) uθ = uφ = 0σrr = f1(r) σθθ = σφφ = g1(r) σrθ = σrφ = σφθ = 0εrr = f2(r) εθθ = εφφ = g2(r) εrθ = εrφ = εφθ = 0

Les équations d’équilibre se réduisent à :dσrr

dr+

2r(σrr−σθθ) = 0

Les conditions aux limites statiques ont la forme :σrr(r = a) =−p, σrr(r = b) = 0

Les équations cinématiques ont la forme : εrr =dur

dr, εθθ =

ur

rLa loi d’élasticité de Hooke donne :

Eεrr = [σrr−2νσθθ] Eεθθ = [σθθ(1−ν)−νσrr]

En remplaçant les déformations par leur expression en fonction des déplacements, on obtient pourles contraintes les relations suivantes, λ désignant le coefficient de Lamé (λ = Eν/(1−2ν)/(1 +ν)) :

σrr =λ

ν

[(1−ν)

dur

dr+2ν

ur

r

]σθθ =

λ

ν

[ν

dur

dr+

ur

r

]En substituant ces deux relations dans les équations d’équilibre, on obtient l’équation différentiellesuivante :

d2ur

dr2 +2r

dur

dr− 2

r2 ur = 0

soit (1r2

(r2ur

),r

),r

= 0

La solution de cette équation est : ur = C1r +C2

r2En remplaçant la valeur de ur dans les expressions précédentes, on obtient :

σrr =λ

ν

[(1+ν)C1−2(1−2ν)

C2

r3

]


σθθ =λ

ν

[(1+ν)C1 +(1−2ν)

C2

r3

]Les constantes C1 et C2 s’obtiennent à partir des conditions aux limites :

σrr(r = b) = 0 ⇒ C2 =1+ν

2(1−2ν)b3C1

σrr(r = a) =−p ⇒ C1 =1−2ν

Ea3

b3−a3 p

Finalement, on obtient :

σrr =− a3

b3−a3

[b3

r3 −1]

p

σθθ = σφφ =a3

b3−a3

[b3

2r3 +1]

p

ur =a3

b3−a3

[(1−2ν)r +(1+ν)

b3

2r2

]pE

1.2 Déterminer la charge limite d’élasticité Pe de la sphère sous pression pour les critères de vonMises et Tresca.

Le critère de plasticité de Tresca, comme celui de von Mises, est indépendant de la pressionmoyenne. On peut donc l’écrire en remplaçant le tenseur σ

∼par la somme de σ

∼et d’un tenseur

sphérique. Ici, si l’on ajoute à σ∼

le tenseur −σθθI∼, on obtient un tenseur uniaxial, d’unique

composante non nulle σrr−σθθ. D’après les formules précédentes, tant que l’enveloppe sphériquereste élastique, on a :

σrr−σθθ =−32

a3

b3−a3b3

r3 p

Le critère de plasticité est atteint lorsque (σrr−σθθ), fonction décroissante de p, devient égale à lalimite d’élasticité −σy en compression simple. Le premier point plastique apparaît donc en r = aet lorsque la pression p atteint la valeur Pe, limite d’élasticité initiale de la sphère sous pression :

Pe =23

(1− a3

b3

)σy

2 Analyse élasto-plastique

2.1 Donner la solution (champs des contraintes et des déplacements) en élasto-plasticité. Vérifier quela zone plastique se développe à partir de la face interne de la sphère creuse (Fig.1b). Donnerla relation entre le rayon de la zone plastique c et la pression p. Déterminer la pression limiteconduisant à la rupture par déformation excessive, Pp.

Lorsque la pression interne p croît au-delà de la valeur Pe, comme le premier point plastique estapparu sur la face intérieure de l’enveloppe, il est normal de supposer qu’une zone plastique sedéveloppe à partir de cette face, et occupe un volume a < r < c, où c est une fonction de p. Lazone c < r < b est alors élastique. Le vecteur contrainte sur une facette normale à l’axe r prend lamême valeur dans la zone élastique et dans la zone plastique, à la traversée de la surface r = c. Surcette surface la contrainte normale est alors égale en valeur absolue à la limite d’élasticité initialed’une sphère creuse de rayon intérieur c, de rayon extérieur b, soumise à une pression interne, soit :

σrr(c) =−23

(1− c3

b3

)σy


Les contraintes dans la zone élastique sont donc données par les équations précédentes danslesquelles on remplace a par c et p par −σrr(c) ; dans cette zone :

σrr =−23

c3

b3

(b3

r3 −1)

σy

σθθ =23

c3

b3

(1+

b3

2r3

)σy

ur =2

3Ec3

b3

[(1−2ν)r +(1+ν)

b3

2r2

]σy

Etudions maintenant la zone plastique a < r < c. Pour y déterminer les contraintes, on dispose deséquations d’équilibre et du critère de plasticité, vérifiés en tout point, soit :

dσrr

dr+

2r(σrr−σθθ) = 0

σrr−σθθ =−σy

En combinant ces deux équations, on obtient successivement :

dσrr

dr− 2

rσy = 0 σrr = 2σy ln(r)+C3

La détermination de la constante d’intégration C3 s’effectue en r = c, en utilisant la continuité dela composante σrr :

2σy ln(c)+C3 =−23

(1− c3

b3

)σy

Finalement, dans la zone plastique, on trouve :

σrr =−23

σy

[1+3ln(

cr)− c3

b3

]

σθθ =23

σy

[12−3ln(

cr)+

c3

b3

]Ces contraintes dépendent du paramètre c, dont il faut donc déterminer l’évolution en fonction dela pression p. Dans la zone plastique, pour r = a, on a :

σrr(r = a) =−p ⇒ p =23

σy

[1+3ln

( ca

)− c3

b3

]La transformation de la sphère étant supposée infinitésimale, a et b sont des constantes. Ladérivation de p par rapport à c donne alors :

d pdc

=2σy

c

[1− c3

b3

]Ce terme est toujours positif. Le rayon c de la zone plastique croît donc constamment avec p ; cerésultat est cohérent avec l’hypothèse que nous avons faite que la zone plastique se développe àpartir de la face interne de la sphère creuse. Le rayon extérieur de cette zone atteint la valeur blorsque p atteint la pression limite Pp :

Pp = 2σy ln(

ba

)


2.2 Déterminer les déformations plastiques et leurs vitesses. S’il est possible, à partir de la solutionen contrainte obtenue à la question précédente de construire, en utilisant la loi de comportement,un champ de déplacement qui soit compatible avec les liaisons (cinématiquement admissible), lasolution trouvée est unique.Conservant l’hypothèse de symétrie sphérique, on calcule le déplacement radial dans la zoneplastique. Comme la déformation plastique ne produit pas de variation de volume du matériau,cette variation n’est due qu’à la partie élastique de la déformation, soit :

εrr +2εθθ =1−2ν

E[σrr +2σθθ]

On obtient donc ainsi l’expression de la composante radiale du déplacement :

dur

dr+2

ur

r=−2(1−2ν)

Eσy[3ln

(cr

)− c3

b3 ]

ur =C4

r2 −2(1−2ν)

Erσy

[ln(c

r

)+

13

(1− c3

b3

)]En utilisant le fait que le déplacement radial est continu à la traversée de la surface r = c, on peutdéterminer la constante d’intégration :

C4 = (1−ν)σy

Ec3

On obtient finalement dans la zone plastique :

ur =σy

Er[(1−ν)

c3

r3 −23(1−2ν)

[1+3ln

(cr

)− c3

b3

]]A partir de cette expression du déplacement, on peut calculer les déformations totales dans la zoneplastique. On obtient alors les déformations plastiques par différence entre les déformations totaleset les déformations élastiques calculées en utilisant les formules donnant les contraintes. Les seulescomposantes non nulles sont :

εprr =

2σy

E(1−ν)

(1− c3

r3

)ε

pθθ

= εpφφ

=−σy

E

((1−ν)(1− c3

r3 ))

Comme c est une fonction croissante de p et que le trajet de chargement étudié est par hypothèseà «p croissant», on peut choisir c comme paramètre de chargement. Le tenseur de vitesse dedéformation est du type compression simple :

εprr =

dεprr

dc=−

6σy

E(1−ν)

c2

r3 < 0

εpθθ

= εpφφ

=−12

εprr

On vérifie bien que la déformation plastique est nulle en r = c. Il est maximal en r = a, ainsi :

εprr =

2σy

E(1−ν)

(1− c3

a3

)La valeur maximale lorsqu’on atteint la pression ultime est donc :

εprr =

2σy

E(1−ν)

(1− b3

a3

)


2.3 Que se passe-t-il si l’on effectue le trajet de charge suivant : 0 → pm (pm > Pe)→ 0 → pm (pm >Pe) ?

Si l’on a soumis une sphère creuse à une pression interne Pm > Pe, et qu’on la décharge jusqu’àp = 0, les contraintes résiduelles, présentes après cette décharge, seront égales à la différence entreles contraintes calculées en élasto-plasticité et la solution élastique correspondant à un chargement−Pm. On obtient alors un champ de contraintes résiduelles σ

∼r :

– dans la zone plastique (a < r < c) :

σrrr =−2

3σy

[1+3ln

(cr

)− c3

b3

]+

a3

b3−a3

[b3

r3 −1]

Pm

σrθθ = σ

rφφ =

23

σy

[12−3ln

(cr

)+

c3

b3

]− a3

b3−a3

[b3

2r3 +1]

Pm

– dans la zone élastique (c < r < b) :

σrrr =−2

3c3

b3

(b3

r3 −1)

σy +a3

b3−a3

[b3

r3 −1]

Pm

σrθθ = σ

rφφ =

23

c3

b3

(1+

b3

2r3

)σy−

a3

b3−a3

[b3

2r3 +1]

Pm

Les équations précédentes ne sont valides que s’il n’apparaît aucune déformation plastique pendantla décharge. Pour que la plastification réapparaisse en compression, il faut traverser le domained’élasticité, et retrouver un point pour lequel : σr

rr −σrθθ

= σy. Cela se produira effectivement àpartir du moment où la pression maximale atteinte Pm est supérieure à 2Pe. L’étude des variationsde Pe et Pp en fonction de (b/a) montre que cela n’est possible que si la pression limite est elle-même supérieure à 2Pe. Ceci fournit une condition géométrique sur la sphère. La figure 3 illustrele fait que Pp dépasse 2Pe si le rapport (a/b) est inférieur à une valeur critique x, solution del’équation (4/3)(1− x3)+2ln(x) = 0, soit :

a/b < x' 0.59

Dans le cas où il n’y a pas plastification à la décharge, on dit que la structure est adaptée. Il s’agitde régime de fonctionnement sûr, qui est utilisé dans la pratique pour les récipients sous pression :ceux-ci subissent avant mise en fonctionnement une opération de timbrage au cours de laquelle ilssont portés à une pression supérieure à la pression de service ultérieure.Si au contraire il y a replastification, des déformations plastiques cycliques vont se produire, avecun phénomène de fatigue plastique du matériau, qui conduira à la ruine de la structure aux coursdes cycles successifs 0−→ Pm −→ 0−→ Pm −→ . . . .La figure 4 reproduit les variations des différentes composantes du tenseur des contraintes àpression maximale et après décharge, dans le cas où (a/b) = 0.75.

Pp

σy (1),

Pe

σy (2)

0

0.5

1

1.5

2

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

(1)

(2)

a/b


-60

-50

-40

-30

-20

-10

0

75 80 85 90 95 100

sigm

a_rr

(M

Pa)

r (mm)

c/b=0.7500c/b=0.8125c/b=0.8750c/b=0.9375

40

45

50

55

60

65

70

75

80

85

90

75 80 85 90 95 100

sigm

a_tt

(MP

a)

r (mm)

c/b=0.7500c/b=0.8125c/b=0.8750c/b=0.9375

a. b.

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

1.1

75 80 85 90 95 100

J/si

gma_

y(M

Pa)

r (mm)

c/b=0.7500c/b=0.8125c/b=0.8750c/b=0.9375

-40

-30

-20

-10

0

10

20

75 80 85 90 95 100

sigm

a (M

Pa)

r (mm)

sigma_rrsigma_tt

von Mises

c. d.

FIG. 12.1 – (a), (b) Profils de contraintes dans l’épaisseur du tube pour différents niveaux de pression,(c) mise en évidence de l’avancée de la zone plastique, (d) contraintes résiduelles après décharge.

Figure 3 : Variation de Pe et Pp en fonction de a/b

12.6. TUNNEL DANS DU SABLE SEC 151

12.6 Tunnel dans du sable sec

a

a l’infini

P

p

Figure 1 : Géométrie du tunnel et chargement appliqué

DonnéesLe tunnel (cylindre de rayon a) est creusé dans un massif infini (r ∈ [a,+∞[), initialement sous

contraintes homogènes et isotropes σ∼

I =−PI∼

où P est la pression à l’infini (pression géostatique due aupoids des terrains) (Fig. 1).Le matériau est isotrope parfait de module d’Young E, de coefficient de Poisson ν obéissant au critèrede CoulombF(σ

∼) = K maxi(σi) − mini(σi) avec K = tan2(π/4 + φ/2) où φ est l’angle de frottement (milieu

pulvérulent sec sans cohésion).Au fur et à mesure de l’avancement du tunnel, un soutènement (exemple : voûte en béton) est posé desorte que le calcul de l’état final du sol entourant le tunnel puisse se faire en simulant une pressionà la paroi (r = a) qui décroît progressivement de P (pression initiale des terrains) à p (pression desoutènement) : p≤ P).Les calculs sont à faire en coordonnées cylindriques (r,θ,z) en admettant que le tunnel est infini dans ladirection de son axe Oz (déformations planes : εz = 0).De plus on ne considérera que la situation oùp ≤ (1− 2ν)P/[K−ν(K + 1)], conduisant à un régime de contrainte tel qu’en tout point du massif onait les inégalités strictesσr > σz > σθ. Ainsi, si le potentiel plastique est lui-même Coulombien (βmaxi σi − mini σi), lesdéformations plastiques auront comme vitesses :

εpr = βλ≥ 0 ε

pz = 0 ε

pθ

=−λ

Le coefficient de gonflement β = tan2(π/4+ψ/2) où ψ est l’angle de dilatance est tel que : 1 < β≤ K.

1. Réponse élastiquePour une pression de soutènement p assez grande, la réponse du massif est élastique (ε

∼p = 0

∼).

Déterminer les contraintes dans ce cas.Remarquer que la contrainte axiale reste constante (σz = −P) tandis que et que les contraintesradiale σr et circonférentielle σθ restent des pressions (≤ 0) mais que la pression radiale baisse etque la pression circonférentielle augmente (suite au mouvement convergent du sol).Déterminer la pression minimale pe que doit assurer le soutènement pour que cette solutionélastique reste vraie (p≥ pe).Remarquer que pe n’est pas nul (un soutènement est obligatoire) pour tout P > 0.Pour P < pe la solution élastique est fausse car le critèreF = Kσr −σθ est positif dans une zone r ∈ [a,ce] entourant le tunnel. Calculer ce en fonction de(p/pe).

On note respectivement :


ur(r) déplacement radialεr = u,r = ∂ur/∂r déformation radialeεθ = u/r déformation circonférentielleεz = 0 déformation axiale

Les conditions de compatibilité et les lois d’élasticité fournissent :

εr = rεθ,r + εθ

Eεz = (1+ν)(σz +P)−ν(σr +P+σθ +P+σz +P)

etεz = 0 ⇒ σz +P = ν(σr +σθ +2P)

σz = ν(σr +σθ)− (1−2ν)P

Eεr = (1+ν)(σr +P)−ν(σr +P+σθ +P+σz +P)

Eεθ = (1+ν)(σθ +P)−ν(σr +P+σθ +P+σz +P)

D’où :E(εr− εθ) = (1+ν)(σr−σθ)

et :E(εr + εθ) = (1+ν)(1−2ν)(σr +σθ +2P)

L’équation d’équilibre est :rσr,r +σr−σθ = 0

Les conditions aux limites sont :

σr(a) =−p et σr(+∞) =−P

D’où :

σr =−P+(P− p)(a/r)2

σz =−P

σθ =−P− (P− p)(a/r)2

σr > σz > σθ pour r fini et p < P

(−σr) est une pression qui varie de p (pour r = a, c’est-à-dire à la paroi du tunnel) à P (pourr = +∞).

(−σθ) est une pression qui varie de P+(P− p) (pour r = a) à P (pour r = +∞).

(−σz) est une pression uniforme P (égale donc à sa valeur initiale).

Le déplacement radial est tel que :

εθ = u/r =−[(P− p)/(2µ)](a/r2)

avec 2µ = E/(1 + ν) ; µ= module de cisaillement. Il s’agit donc d’un mouvement convergent (lamatière est attirée par le vide) et en particulier la diminution relative du rayon du tunnel est :

−ur(a)/a = (P− p)/2µ

12.6. TUNNEL DANS DU SABLE SEC 153

Le critère est F(σ∼) = Kσr−σθ

F = (K +1)(P− p)(a/r)2− (K−1)P : fonction décroissante de r

Pour rester en élasticité, il faut et il suffit que F ≤ 0 pour r = a. D’où :

(K +1)(P− p)− (K−1)P≤ 0

La pression P doit rester supérieure à la valeur limite pe.

pe = 2P/(K +1)

Lorsque p > pe, la solution élastique devient fausse (car F > 0 pour r = a par exemple). Mais onpeut être tenté d’utiliser l’expression de F pour déterminer une valeur approchée de l’épaisseur(ce−a) de la zone plastique (r ∈ [a,ce] dans laquelle F > 0). On obtient :

ce = a[1+2(1− p/pe)/(K−1)]1/2

En particulier pour p = pe on a ce = a (début de la plastification et donc fin de la phase élastique).

2. Taille de la zone plastiqueLorsque p < pe calculer les contraintes dans la zone plastique r ∈ [a,c] et dans la zone élastiquer ∈ [c,+∞[ sachant que F = 0 pour r = c. Déterminer c en écrivant la condition de continuité(équilibre) de la contrainte radiale à l’interface r = c des deux zones.En déduire que c ≥ ce. Autrement dit la solution fausse (élastique) sous-estime l’épaisseur de lazone plastifiée (endommagée) donc ne peut pas servir comme règle de trois de l’ingénieur pourdes raisons de sécurité.

Nous inspirant de la solution élastique, nous cherchons la solution élastoplastique telle que :

∗ Il existe un rayon c (à déterminer) vérifiant :r ∈ [c,+∞[ : solution élastique avec F = 0 pour r = c.r ∈ [a,c] : zone plastique dans laquelle F = 0.

∗ σr > σz > σθ

Dans la zone élastique, il suffit de reprendre la solution du chapitre 1 en remplaçant a par c et ppar pe :

Si r ≥ c : σr =−P+(P− pe)(c/r)2

σz =−Pσθ =−P− (P− pe)(c/r)2

εθ = u/r =−[(P− pe)/2µ](c/r)2

Si a≤ r ≤ c : F = Kσr−σθ = 0 ⇒ σθ = Kσr

rσ′r +σr−σθ = 0 ⇒ σ′r = (K−1)/rdonc [ln(σr/(−p)]′ = [(K−1) ln(r/a)]′

et σr =−p(r/a)(k−1)

Les lois d’écoulement sont telles que εpz = 0.

Donc la relation σz = ν(σr +σθ)− (1−2ν)P reste vraie, si bien que :

σz =−(1−2ν)P−ν(K +1)p(r/a)(k−1)

A l’interface (r = c) entre les deux zones, la seule contrainte qui est nécessairement continue estla contrainte radiale qui vaut :

– à gauche (r = c−) σr =−p(c/a)(k−1)

– à droite (r = c+) σr =−pe

D’où : c = a(pe/p)1/(k−1)


En posant x = pe/p variant de 1 à +∞, les deux fonctions croissantes de x, ce = ce(x) et c = c(x)sont représentées par des courbes partant du même point (x = 1 et ce = c = a) avec la mêmetangente mais très vite c devient plus grand que ce montrant que cette dernière valeur conduit àsous-estimer la vraie zone plastique.

3. La courbe caractéristique du massifLorsqu’on utilise les lois d’écoulement (le coefficient β) on peut calculer le déplacement radial

ur(r) et en particulier la diminution relative du rayon du tunnel [−ur(a)/a]. En portant cettequantité en abscisse et la pression de soutènement p en ordonnée, on obtient ce que l’on appelleen génie civil, la courbe réponse caractéristique du massif.

(-u a /a)

Massif

A

P

Equilibre

Soutenement

p

pe

0

Figure 2 : Courbe convergence–confinement d’un tunnel

La réponse du soutènement (sans contraintes initiales) posé après que le tunnel ait déjà subi unecertaine déformation (point A) est utilisée pour obtenir l’état final d’équilibre (point d’intersectiondes deux courbes) et juger si la pression d’équilibre est assez faible pour être supportée par lesoutènement.Cette méthode (convergence-confinement) montre clairement que si le soutènement est posé tôt(point A proche de l’origine), les déplacements du terrain, et donc son endommagement, serontréduits mais le soutènement sera très chargé et inversement. Il y a un juste compromis à trouver.

Pour p < pe, dans la zone élastique les déplacements sont déjà déterminés. Pour calculer dansla zone plastique on élimine les déformations plastiques en formant l’expression de εr + βεθ, carε

pr +βε

pθ

= 0. D’où :

E(εr +βεθ) = (1+ν)[σr +P+β(σθ +P)]−ν(1+β)(σr +P+σθ +P)(1+ν)

En utilisant la relation de compatibilité εr = rεθ,r + εθ et les expressions des contraintes déjàdéterminées dans la zone plastique, on obtient pour εθ une équation du premier ordre que l’onintègre en tenant compte du fait que εθ pour r = c est connu (continuité du déplacement à l’interfacedes deux zones).On obtient ainsi l’expression de εθ = ur/r en fonction de r et de p. En particulier pour r = a(à la paroi du tunnel), la convergence (−ur(a)/a) est reliée à la pression de soutènement p(confinement) par une relation non linéaire qui n’est valable que pour p ≤ pe mais qui peut êtrecomplétée par celle obtenue en élasticité (p≥ pe).Ainsi, dans le diagramme convergence (en abscisse), confinement (en ordonnée) on obtientune courbe descendante à concavité vers le haut commençant par une portion de droite (phaseélastique) et présentant une asymptote (p = 0 pour−ur(a)/a tendant vers l’infini). Cette asymptotetraduit simplement le fait qu’il est impossible de concevoir un tunnel dans du sable sec sanssoutènement (p = 0).

12.7 Cavité sphérique dans un massif infini élastoviscoplastique

12.7. CAVITÉ SPHÉRIQUE DANS UN MASSIF INFINI ÉLASTOVISCOPLASTIQUE 155

E H

η

σy

ap(t)

P a l’infini

Fig.1 : Géométrie et matériau considéré

Une cavité sphérique de rayon a (définie en coordonnées sphériques r,θ,ϕ, par r ∈ [a,+∞[) estcreusée instantanément (p(t) = P pour t < 0 et p(t) = 0 pour t ≥ 0 où t est le temps) dans un massifinfini initialement sous contraintes homogènes et isotropes : σ

∼(r, t = 0) = −PI

∼où P est la pression à

l’infini (Figure ci-dessus). Le matériau est un matériau viscoplastique de Bingham tel que :

ε∼

e =1E

[(1+ν)S∼−νtrace(S

∼)I∼] avec S

∼= σ

∼− (−PI

∼)

ε∼

p =32

s∼

J< J−σy >

η

avec s∼

= S∼− 1

3trace(S

∼)I∼

et J = ((3/2)si j : si j)1/2

E est le module d’Young, ν le coefficient de Poisson, σy la limite d’élasticité et C = σy/2 la cohésion ; η

désigne le module de viscosité. On appelle constante de temps du matériau la quantité α = E/2(1−ν)η. On suppose dans la suite que la pression géostatique P est telle que P > 2σy/3.

1. Mise en équations1.1. Inconnues principales : Compte tenu de la symétrie du problème on utilise les coordonnéessphériques (r,θ,ϕ). Par ailleurs, le changement de variable ρ = (r/a)3 s’avère utile :

r = aρ1/3 avec ρ ∈ [1,+∞[ (12.24)

La paroi de la cavité correspond à ρ = 1. L’unique composante non nulle du vecteur déplacement estur = u(ρ, t) fonction de la variable d’espace ρ et du temps réel t. Les déformations totales non nullessont la déformation circonférentielle εθ = εϕ = u/r et la déformation radiale εr = u,r ; d’où :

u = rεθ (12.25)

et, comme r∂

∂r= 3ρ

∂

∂ρ:

εr = 3ρεθ,ρ + εθ (12.26)

En ce qui concerne les contraintes σr (radiale) et σθ = σϕ (orthoradiales) l’état de référence (pour t < 0)est caractérisé par :

σr(ρ, t) = σθ(ρ, t) =−P

Les variations des contraintes sont : Sr = σr +P et Sθ = σθ +P, d’où :

σr = Sr−P (12.27)

σθ = Sθ−P (12.28)

L’équation d’équilibre, σr,r +2(σr−σθ)/r = 0 devient alors :σθ = (1/2)rSr,r +Sr ou encore :

Sθ = (3/2)ρSr,ρ +Sr (12.29)


Par ailleurs : trace(ε∼

p) = 0 et ε∼

p(ρ,0) = 0, donc : trace(ε∼

p) = 0, et : εpr +2ε

pθ

= 0, soit :

εpθ

=−εpr /2 (12.30)

Il nous reste donc en tout trois inconnues principales qui sont εθ, Sr et εpr . Les relations (12.25) à (12.30)

permettent de déterminer aisément toutes les autres inconnues.1.2. Loi de comportement : La décomposition des déformations totales en partie élastique et partieplastique s’écrit :

εr = [(1+ν)Sr−ν(Sr +2Sθ)]/E + εpr

εθ = [(1+ν)Sθ−ν(Sr +2Sθ)]/E + εpθ

On peut aussi, et c’est plus avantageux, combiner ces deux équations pour en déduire deux relations dontl’une utilise la trace et l’autre le déviateur (en utilisant trace(ε

∼p) = 0) :

εr +2εθ = (1−2ν)(Sr +2Sθ)/E

εr− εθ = (1+ν)(Sr−Sθ)/E + εpr − ε

pθ

En remplaçant εr, Sθ et εpθ

par leurs expressions (12.26, 12.29 et 12.30) :

3ρεθ,ρ +3εθ = (1−2ν)(3ρSr,ρ +3Sr)/E

3ρεθ,ρ =−3[(1+ν)/2]pSr,ρ/E +(3/2)εpr .

La première relation devient :[ρεθ−ρ(1−2ν)Sr/E],ρ = 0

Donc [ρεθ− (1−2ν)Sr/E] est une fonction du temps t seul que l’on choisit sous la forme :

−[(1+ν)/(2E)+(1−2ν)/E]A(t)

d’où :εθ = [(1−2ν)/E]Sr− [(1+ν)/(2E)+(1−2ν)/E]A(t)/ρ

En particulier :

εθ +[(1+ν)/(2E)]Sr = [(1+ν)/(2E)+(1−2ν)/E](Sr−A/ρ)

Ainsi, les deux dernières relations deviennent, en posant 2µ = E/(1+ν)(µ module de cisaillement) :

εθ =−Sr/(4µ)+(3/2)[(1−ν)/E][Sr−A(t)/ρ] (12.31)

[Sr−A(t)/ρ],ρ = (2/3)αηεpr /ρ (12.32)

1.3. Loi d’évolution : le critère est F(σ∼) = |σr −σθ|−σy ou encore F = |Sr − Sθ|−σy. Nous verrons

que la solution est telle que Sr ≥ Sθ. Pour le moment, il s’agit d’une hypothèse :

Sr,ρ ≤ 0 à vérifier a posteriori (12.33)

Alors : F = Sr−Sθ−σy, soit :F =−(3/2)ρSr,ρ−σy (12.34)

Par ailleurs : S′r = (2/3)(Sr−Sθ) et : J = Sr−Sθ. D’où :

ε∼

pr =< F > /η (12.35)

12.7. CAVITÉ SPHÉRIQUE DANS UN MASSIF INFINI ÉLASTOVISCOPLASTIQUE 157

Réponse instantanée

Lorsque les contraintes subissent un saut (c’est le cas ici à l’instant t = 0), il s’ensuit unediscontinuité dans le temps (saut) pour les déformations totales. En revanche, les déformationsviscoplastiques demeurent nulles car leur vitesse est finie (loi d’évolution). La réponse instantanée dumassif est donc élastique. La déterminer, et en déduire qu’instantanément (à t = 0) il apparaît une zoneplastique (dans laquelle la vitesse ε

∼p est non nulle), d’épaisseur finie si σy est strictement positive, et

s’étendant à tout le massif lorsque la cohésion est nulle (σy = 0).

Le plus gros du travail est fait. En effet lorsque la réponse est élastique (εpr = 0), la relation (12.32)

devient :Sr−A(0)/ρ = B(t)

La constante d’intégration est nulle car Sr(+∞,0) = 0. Il vient successivement : Sr(ρ,0) = A(0)/ρ, puis :Sr(1,0) = P, d’où :

A(0) = P et Sr(ρ,0) = P/ρ

L’inégalité (12.33) est bien vérifiée : Sr,ρ =−P/ρ2 (dérivée partielle négative), et : F = (3/2)P/ρ−σy.2.1. Cas où σy > 0 : On pose : γ0 = P/(2σy/3) > 1

– Pour ρ≥ γ0 on a F ≤ 0 donc , d’après (12.35) : εpr = 0 (zone élastique).

– Pour ρ < γ0 on a : εpr = (3/2)P/ρ−σy > 0. Le rayon de la zone viscoplastique à l’instant 0 est donc :

C0 = aγ1/30 ,

d’où : C0 = a[P/(2σy/3)]1/3 .2.2. Cas où σy = 0 : F = (3/2)P/ρ est partout positif, donc tout le massif rentre instantanément enviscoplasticité ( ε

pr > 0).

Evolution dans le cas σy = 0

Montrer que les contraintes demeurent constantes en tout point du massif (fluage) et que lesdéformations évoluent linéairement avec le temps, et que : a. Même dans un liquide (σy = 0) on peutfaire un trou.b. Aussi bien le caractère fluage que l’évolution linéaire sont particuliers à ce matériau. Si on prenaitpar exemple le modèle de Norton (en élevant < J−σy > à une puissance réelle) on aurait un phénomènenon linéaire et complexe dans lequel les contraintes aussi varient dans le temps.

Les équations (12.34) et (12.35) deviennent respectivement :

F = (−3/2)ρSr,ρ ≥ 0

εpr = (−3/2)ρSr,ρ/η

Quant à (12.32), elle donne, après dérivation par rapport au temps :

Sr− A(t)/ρ],ρ =−αSr,ρ

Donc : Sr +αSr− A(t)/ρ = D(t). La constante d’intégration D est nulle car lorsque ρ tend vers l’infini,on a Sr = 0 et Sr = 0. D’où : Sr +αSr = A(t)/ρ. Pour ρ = 1, on a Sr = P et Sr = 0, si bien que :

A(t) = αP⇒ A(t) = Pαt +A(0)

Comme A(0) = P (paragraphe 2), on obtient A(t) = P(1+αt), et :

Sr +α(Sr−P/ρ) = 0 avec Sr(ρ,0) = P/ρ


D’où l’expression de Sr, constante dans le temps :

Sr(ρ, t) = P/ρ

On trouve donc : Sr−A/ρ =−(P/ρ)αt, et, d’après (12.31) :

εθ =−(1/4µ+(3/2)((1−ν)/E)αt)(P/ρ)

Le fluage est linéaire : la variation relative du rayon de la cavité εθ(1, t) est négative et sonintensité augmente linéairement avec le temps conduisant à une fermeture totale au bout d’un tempsfini. ATTENTION : Il convient de ne garder de ce résultat que le caractère qualitatif (dans un «liquidevisqueux» un trou évolue inexorablement vers la fermeture). En revanche l’aspect quantitatif est uneextrapolation dangereuse, car le calcul n’est valable qu’en petite déformation. L’analyse quantitative dela fermeture réelle de la cavité ne peut se faire que dans le cadre des transformations finies.

Réponse asymptotique dans le cas σy > 0

L’étude de l’évolution dans la situation σy > 0 conduit à une équation différentielle dans le tempsdont la solution fait intervenir l’exponentielle intégrale (primitive de exp(x)/x). C’est pourquoi ici, onse contentera de déterminer la réponse du matériau lorsque t tend vers l’infini (état asymptotique) enmontrant qu’il se détermine en résolvant un problème d’élastoplasticité relatif au matériau de von Misesparfait et standard associé à la limite d’élasticité σy.On en déduit donc que dans un matériau élastoviscoplastique on peut toujours faire un trou. Cependant,dans le cas où la cohésion est nulle, le trou finit par se fermer, alors que, dans le cas d’un matériaucohérent, la fermeture du trou (convergence) finit par se stabiliser avec une valeur maximale (enintensité) finie qui peut être déterminée par un calcul élastoplastique.

L’état asymptotique (t = +∞) correspond à εp = 0, donc F = 0 dans la zone plastique ρ ∈ [1,γ∞[ etF < 0 dans la zone élastique ρ ∈]γ∞,+∞[.Dans la zone élastique, on a ε

pr = 0, et donc, d’après (12.32) et le fait que Sr = 0 pour ρ = +∞ on obtient :

Sr(ρ,+∞) = A(+∞)ρ

Le critère est F = −(3/2)ρSr,ρ − σy = (3/2)A∞/ρ− σy. Or, pour ρ = γ∞, on a F = 0, donc : A∞ =(2/3)σyγ∞. D’où :

si ρ ∈ [γ∞,+∞[ : Sr(ρ,+∞) = (2/3)σyγ∞/ρ

Dans la zone plastique, on a F = 0, donc, comme Sr(1,+∞) = P :

Sr =−(2/3)σy ln(ρ)+P

Ainsi :si ρ ∈ [1,γ∞] : Sr(ρ,+∞) = (2/3)σy ln(ρ)+P

La continuité de la contrainte radiale (équilibre) en ρ = γ∞ conduit à :

−(2/3)σy ln(γ∞)+P = (2/3)σyγ∞/γ∞

D’où :γ∞ = exp(P/(2σy/3)−1)

Connaissant γ∞ (donc A∞) et connaissant Sr, les relations (12.31) et (12.32) fournissent les déformationsεθ et ε

pr . En particulier la fermeture de la cavité (même au bout d’un temps infini) reste bornée par la

valeur ainsi trouvée en tant que solution d’un simple problème d’élastoplasticité. Cependant, ces résultatsne peuvent pas être utilisés pour un «liquide visqueux» (cohésion nulle) car en faisant tendre σy vers zéroon obtient γ0 → ∞,γ∞ → ∞, et Sr = P (incompatible avec la condition à la limite Sr(ρ = +∞) = 0) et deplus A∞ → ∞ conduit à des déformations infinies.

12.8. CHARGEMENT NON PROPORTIONNEL EN PLASTICITÉ 159

12.8 Chargement non proportionnel en plasticité

On considère un élément de matière chargé en traction-cisaillement. Le matériau vérifie le critèrede von Mises, avec un écrouissage isotrope linéaire : f (σ

∼,R) = J −R, avec R = H p + σ0. La limite

d’élasticité initiale valant σ0, on suppose que σm > σ0, et que τm√

3 > σ0.

Etudier l’évolution de la déformation plastique dans les 3 cas suivants :(1) chemin ONM (traction jusqu’à σm, puis cisaillement jusqu’à τm avec traction constante)(2) chemin ON′M (cisaillement jusqu’à τm, puis traction jusqu’à σm avec cisaillement constant)(3) chemin OM «direct» (traction et cisaillement appliqués de façons proportionnelles).

M(σ m,τm )τN’(0, m )

N(σm ,0)

τ

σ τ

σ1

2

3

0

Il s’agit d’appliquer ici les relations qui définissent l’écoulement en plasticité, dans le cas particulierétudié où le module plastique H est indépendant de la déformation plastique :

ε∼

p = pn∼

avec p = (σ∼

: n∼)/H et n

∼=

32

s∼

Jet J =

(32

s∼

: s∼

)0.5

1. En traction selon ON, on a :

σ∼

=

σ 0 00 0 00 0 0

s∼

= σ

2/3 0 00 −1/3 00 0 −1/3

J = |σ| n∼

= signe(σ)

1 0 00 −1/2 00 0 −1/2

d’où, pour σ = σ0 : p = (σ/H)signe(σ)

ε∼

p = (σ/H)

1 0 00 −1/2 00 0 −1/2

à intégrer à partir de σ = σ0, ce qui donne en N :

εp11(N) = (σm−σ0)/H ; ε

p12(N) = 0

En cisaillement selon NM, avec τ variable et σ constant à σm, les expressions précédentesdeviennent :

σ∼

=

σm τ 0τ 0 00 0 0

σ∼

=

0 τ 0τ 0 00 0 0

s∼

=

2σm/3 τ 0τ −σm/3 00 0 −σm/3


J =√

σ2m +3τ2 n

∼=

3

2√

σ2m +3τ2

2σm/3 τ 0τ −σm/3 00 0 −σm/3

d’où

p =3ττ

H√

(σ2m +3τ2)

εp11 =

3σmττ

H(σ2m +3τ2)

et εp12 =

9τ2τ

2H(σ2m +3τ2)

si bien que :

εp11 = ε

p11(N)+

σm

2Hln(

σ2m +3τ2

σ2m

); ε

p12 =

3τ

2H−√

3σm

2Hatan

(√3τ

σm

)

2. En cisaillement selon ON′, on a :

σ∼

=

0 τ 0τ 0 00 0 0

s∼

= σ∼

J = |τ|√

3 n∼

=√

32

signe(τ)

0 1 01 0 00 0 0

d’où, pour τ > σ0/

√3 : p = (τ

√3/H)signe(τ) ;

ε∼

p =3τ

2H

0 1 01 0 00 0 0

à intégrer à partir de τ = σ0/

√3, ce qui donne en N′

εp11(N

′) = 0 et εp12(N

′) =√

32

√3τm−σ0

H

On obtient la formule en cisaillement pur à partir de la forme en traction en remplaçant dans cettedernière la contrainte σ par τ

√3 (même invariant de von Mises) et la déformation plastique axiale

εp11 par la déformation plastique de «l’ingénieur» en cisaillement γ p = 2ε

p12/√

3. En cisaillementselon N′M, avec σ variable et τ constant égal à τm, les expressions précédentes deviennent :

σ∼

=

0 τm 0τm 0 00 0 0

σ∼

=

σ 0 00 0 00 0 0

s∼

=

2σ/3 τm 0τm −σ/3 00 0 −σ/3

J =

√σ2 +3τm

2 n∼

=3

2√

σ2 +3τm2

2σ/3 τm 0τm −σ/3 00 0 −σ/3

d’où :

p =σσ

H√

σ2 +3τm2

εp11 =

σ2σ

H√

σ2 +3τm2

et εp12 =

3τmσσ

2H(σ2 +3τ2m)

12.8. CHARGEMENT NON PROPORTIONNEL EN PLASTICITÉ 161

si bien que :

εp11 =

σ

H−√

3τm

Hatan

(σ√3τm

)et

εp12 = ε

p12(N

′)+3τm

4Hln(

σ2 +3τ2m

3τ2m

)3. Dans ce cas, il est possible d’exprimer l’ensemble des relations à l’aide d’un paramètre de

chargement unique, k, qui varie entre 0 et 1 (hypothèse de chargement simple).

σ∼

=

σ τ 0τ 0 00 0 0

= k

σm τm 0τm 0 00 0 0

σ∼

= k

σm τm 0τm 0 00 0 0

s∼

= k

2σm/3 τm 0τm −σm/3 00 0 −σm/3

J = k√

σ2m +3τ2

m

n∼

=3

2√

σ2m +3τ2

m

2σm/3 τm 0τm −σm/3 00 0 −σm/3

d’où :

p =kH

√σ2

m +3τ2m

Contrairement aux deux cas précédents, la normale ne tourne pas durant le chargement, si bienqu’il y a un découplage entre les composantes :

εp11 = k

σm

H=

σ

Hε

p12 = k

3τm

2H=

3τ

2Hou

2εp12√3

=√

3τH

La seule différence par rapport aux cas de traction pure ou de cisaillement pur réside dans lesbornes d’intégration. Il y a plastification lorsque k

√σ2

m +3τ2m = σ0, ce qui donne :

εp11 =

σm

H

(1− σ0√

σ2m +3τ2

m

)ε

p12 =

3τm

2H

(1− σ0√

σ2m +3τ2

m

)

Application numérique : La figure ci-dessous montre le résultat obtenu dans chaque cas de chargementpour σ0 = 100 MPa, H = 10000 MPa, avec comme contraintes maximales σm = 300 MPa et τm =300 MPa. Ce chargement rappelle que des contraintes égales en traction et cisaillement ne donnent pasdes déformations équivalentes (ce sont des contraintes σm en traction et σm/

√3 en cisaillement qui

donnent des déformations équivalentes égales, εp11 en traction, et 2ε

p12/√

3 en cisaillement.

Trajet ONM

En N : εp11(N) =

300−10010000

= 2.10−2

En M : εp11(M) = ε

p11(N)+

30020000

ln(4) = 4.07910−2

εp12(M) =

30020000

×(

3− π√3

)= 1.77910−2


Trajet ON’M

En N′ : εp12(N

′) =√

32× 300×√

3−10010000

= 3.63410−2

En M : εp11(M) =

30010000

×(

1− π

6

√3)

= 0.27910−2

εp12(M) = ε

p12(N

′)+300

10000× 3

4× ln

(43

)= 4.28110−2

Trajet OM direct

En M : εp11(M) =

30010000

×(

1− 1002300

)= 2.50010−2

εp12(M) =

32× 300

10000×(

1− 1002300

)= 3.75010−2

Les chemins de déformation sont reportés sur la figure de la page suivante. On offre égalementsur cette page la possibilité d’effectuer d’autres applications numériques en utilisant des modèles pluscomplexes qu’un simple écrouissage isotrope linéaire.

Figure correspondant à l’exercice précédent (écrouissage isotrope linéaire) :

εp12

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0.025

0.03

0.035

0.04

0.045

0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045

123

εp11

Pour obtenir d’autres simulations, vous pouvez accéder à la feuille de calcul.

12.9 Flexion sur appui simple : poutre homogène et poutre sandwich

x 1

x 1

3x

3x

2h

2h

e

e

Figure 1 : Géométrie des poutres étudiées

Le but de cet exercice est de prendre conscience de l’importance qu’il y a à mettre le matériauqu’il faut à l’endroit où il faut pour avoir des structures à la fois légères et résistantes. La comparaison

http://mms.ensmp.fr/MmsScripts/TTC/Calcul/ttc.pdf

12.9. FLEXION SUR APPUI SIMPLE : POUTRE HOMOGÈNE ET POUTRE SANDWICH 163

proposée porte sur deux poutres de section rectangulaire (figure 1), l’une réalisée en alliage d’aluminium(longueur 2l, hauteur 2h, épaisseur b), l’autre constituée de ce même alliage, collé sur un cœur demousse polyuréthane. Ce deuxième assemblage présente environ la même masse que le premier, les tôlesd’aluminium utilisées étant deux fois moins épaisses que dans le premier cas. L’épaisseur de moussevaut 2h. Chacune de ces deux poutres est posée sur deux appuis simples, et chargée ponctuellement enson milieu avec une force −P (flexion 3 points).

12.9.1 Poutre homogène

1. Traiter le cas de la poutre homogène, en supposant qu’une section plane de la poutre reste plane.Trouver en particulier les équations qui expriment l’équilibre du milieu curviligne en termes de N, T etM, respectivement effort normal et «effort tranchant», et moment de flexion autour de l’axe 2. Trouverles lois de comportement qui relient les quantités précédentes aux translations U et V d’un point de laligne moyenne et de la rotation θ d’une section.

Les poutres étant simplement posées, et le chargement discret, l’effort tranchant T est discontinuau point d’application de la force, et la dérivée du moment l’est aussi. Le moment est nul aux deuxextrémités (figure 2 ). Le diagramme de l’effort tranchant T et du moment de flexion M s’obtient enintégrant les équations d’équilibre, en prenant en compte la discontinuité sur T due à la force concentréeen x1 = l. On trouve ainsi la forme de la figure 3 . Le moment est négatif, ce qui indique que l’angle θ

diminue. Il a effectivement une valeur positive en x1 = 0, et nulle en x1 = l.

x 1

P−P/2−P/2

1x

P−P/2−P/2

si x1 < l : T = P/2 ; M = Px1/2si x1 > l : T =−P/2 ; M = P(l− x1/2)

Figure 2 : Chargement

1x

P/2

−P/2T

M

Pl/2

T,M

Figure 3 : Effort tranchant et moment

2. Trouver l’expression de la flèche pour cette poutre. Application numérique : P = 160 N, l =250 mm, E = 75000 MPa, ν = 0.3, b = 100 mm, h = 2 mm.

N étant nul, la contrainte σ11 est égale à Mx3/I, avec I = (2/3)bh3. Pour x1 < l, l’angle θ est tel queθ,1 =−Px1/2EI, et, comme il est nul en x1 = l, on a :

θ =P(x2

1− l2)4EI


La flèche s’exprime :

V =−Z x1

0θdx1 +

Z x1

0

TµS

dx1

En tenant compte du fait qu’elle s’annule en x1 = 0, il vient :

V =Px1

2µS+

Pl2x1

4EI−

Px31

12EI

Soit, au milieu de la poutre (x1 = l) :

V =Pl3

6EI+

Pl2µS

Application numérique :L’ensemble (P = 160 N, l = 250 mm, E = 75000 MPa, ν = 0.3, b = 100 mm, h = 2 mm) conduit à :

EI =23

100×75000×23 = 40000000 N.mm2

µS =750002×1.3

×100×4 = 5769231 N

v = (10.41+0.0017) mm

Le terme lié à l’effort tranchant est négligeable.

12.9.2 Poutre sandwich sur deux appuis simples

3. Indiquer les différences entre la poutre sandwich et la précédente. Etudier en particulier lacontinuité des composantes du tenseur des contraintes aux interfaces. Donner l’expression de la flèche.Application numérique : P = 160 N, l = 250 mm, Ea = 75000 MPa, Em = 20 MPa, ν = 0.3, b = 100 mm,e = 2 mm, h = 15 mm.

Les calculs effectués ci-dessus restent valables, à condition d’utiliser les valeurs homogénéisées desproduits EI et µS :

v =Pl3

6 < EI >+

Pl2 < µS >

L’aluminium (Ea, µa), est situé entre les cotes ±h et ±(h+ e). La mousse (Em, µm) entre les cotes ±h. Ilvient donc :

< EI >=23

b(Ea((e+h)3−h3)+Emh3)

< µS >= 2bhµm

Application numérique :L’ensemble (P = 160 N, l = 250 mm, Ea = 75000 MPa, Em = 20 MPa, ν = 0.3, b = 100 mm, e = 2 mm,h = 15 mm) conduit à :

< EI >=23×100(75000× (173−153)+20×153)

< EI >= 7694500000 N.mm2

< µS >= 2×100×15× 202×1.3

= 23077 N

V = (0.054+0.867) mm

12.10. EVALUATION DE LA CHARGE DE FLAMBEMENT D’UNE POUTRE DROITE 165

4. Montrer qu’il est important que la mousse soit capable d’offrir un minimum de résistance aucisaillement, faute de quoi la flèche due à celui-ci fait perdre l’avantage offerte par l’assemblage pource qui concerne la résistance au moment de flexion.

C’est maintenant le terme lié à l’effort tranchant qui est prépondérant. On note l’importance qu’il ya à conserver un matériau qui possède des propriétés non négligeables comme cœur de la poutre. Ainsi,avec un module d’Young qui de 0,79 MPa au lieu de 20 MPa, on trouverait une flèche de plus de 22 mm,en ayant donc perdu tout l’avantage de l’assemblage «sandwich».

12.10 Evaluation de la charge de flambement d’une poutre droite

Dans ce problème 1, nous examinons la résistance au flambement d’une poutre droite de longueur L,encastrée à x1 = 0 subissant une charge compressive F > 0 (N(x1) =−F < 0), et une charge latérale P,à x1 = L, comme sur la figure ci-dessous. On note comme d’habitude V (x1) la flèche de la poutre, qui vaintervenir dans le calcul du moment, car on travaillera sur la configuration déformée.

1. Dessiner le diagramme d’équilibre sur la configuration deformée. En utilisant celui-ci, montrerque V vérifie l’équation différentielle :

EIV,11 +F V = P(L− x1)+Fδ

L’écriture de l’équilibre comporte les trois équations :

N,1 + t = 0 T,1 + p = 0 M,1−T = 0

Les valeurs de N et T sont donc constantes, égales aux valeurs des efforts extérieurs en x1 = L :

N(x1) = FL =−F T (x1) = TL = P

De façon classique, on intègre T pour trouver M, sachant que le moment est nul à l’extrémité libre(x1 = L),

M(x1) = ML +Z x1

LT (x)dx = P(x1−L)

Le fait de travailler sur la configuration déformée va rajouter le moment produit par F , si bien que :

M(x1) = P(x1−L)+F(V −δ)

1Exercice mis au point par le Prof. D.M. Parks (MIT) pendant son séjour 2007–2008


La relation de comportement M = −EIV,11 permet ensuite de retrouver l’équation souhaitée. Il est ànoter que l’on ajoute les contributions des deux efforts (F et P) lorsqu’on calcule les moments, mais quecette opération ne revient pas à appliquer le théorème de superposition. La présence de V dans l’équationconduit à une solution non polynomiale.

2. En posant k2 ≡ F/EI, donner la solution de l’équation différentielle, somme de la solutionhomogène et de la solution particulière, et utiliser les conditions aux limites en x1 = 0 pour trouverla flèche, V (x1).

L’équation s’écrit simplement :

V,11 +k2V =P(L− x1)

EI+ k2

δ

La solution homogène Vh et la solution particulière Vp s’écrivent :

Vh = Asinkx1 +Bcoskx1 Vp =P(L− x1)

k2EI+δ

On écrit donc respectivement la flèche et sa dérivée sous la forme :

V = Asinkx1 +Bcoskx1 +P(L− x1)

k2EI+δ

V,1 = Ak coskx1−Bk sinkx1−P

k2EI

En x1 = 0, la flèche et sa dérivée sont nulles, puisqu’on est en présence d’un encastrement, si bienque :

0 = B+PL

k2EI+δ

0 = Ak− Pk2EI

La flèche s’exprime donc :

V (x1) =P

Fksinkx1−

(PLF

+δ

)coskx1 +

PF

(L− x1)+δ

3. En utilisant la «condition de cohérence» V (L)≡ δ, montrer que

δ =(

PL3

EI

)(tankL− kL

(kL)3

)

En exprimant la «condition de cohérence» V (L) = δ, on peut trouver la valeur de la flèche àl’extrémité de la poutre :

δ =PL3

EItankL− kL

(kL)3

La valeur de la flèche est donc finalement :

V (x1) =PL3

EI(kL)3 (sinkx1− kx1 + tankL(1− coskx1))


4. Lorsque kL→ π/2, δ→ ∞ ; en déduire la valeur de F = Fc qui prévoit une flèche infinie pour unecharge latérale nulle, et vérifier que cette valeur est égale à la charge critique d’Euler.

La valeur obtenue est bien :

FC =π2EI4L2

5. Pour une charge axiale F «petite», montrer que la solution tend vers la solution standard d’unepoutre encastrée de longueur L soumise à une charge P à son extrémité.

Si le terme kL est petit, le développement limité de tankL dans l’expression de δ donne un termelinéaire qui disparaît au numérateur. Le terme suivant vaut (kL)3/3, si bien que :

limkL→π/2

δ =PL3

3EI

Cette valeur est bien celle qui correspond à une poutre console chargée en son extrémité avec une chargeP. On la retrouve sans calcul en exploitant le fait que la flèche est la même que celle d’une poutre delongueur 2L simplement supportée à ses extrémités, et chargée avec une charge 2P en son milieu, cas quia été traité en cours. Les équations sont brièvement redémontrées en question 7.

6. Refaire ce problème pour le cas de la traction (on a maintenant F négative).

Le cheminement est identique, mais le changement de signe change les sin et cos en sinh et cosh,et l’équilibre instable lorsqu’on augmente la valeur absolue de F en un équilibre stable. En posantmaintenant k2 =−F/EI, l’équation différentielle à résoudre est :

V,11− k2V =P(L− x1)+Fδ

EI

qui a pour solution :

V (x1) = Asinhkx1 +Bcoshkx1 +PF

(L− x1)+δ

Lorsqu’on annule à la fois V et sa dérivée en x1 = 0, on trouve les deux conditions qui définissent A etB :

B+PLF

+δ = 0 A =P

Fk

La condition de cohérence en x1 = L fournit alors la valeur de δ :

δ =PL3

EI

(kL− tanhkL

(kL)3

)La valeur de la flèche est finalement :

V (x1) =PL3

EI(kL)3 (−sinhkx1 + kx1− tanhkL(1− coshkx1))

7. Comparer les résultats obtenus lorsque la force dans l’axe de la poutre est en compression ou entraction


Le calcul sans force axiale, avec la seule charge P sur une poutre console de longueur L encastrée enx1 = 0 donne successivement :

T (L) = PL = P

M = P(x1−L)

θ =MEI

=PEI

(x2

12−Lx1

)V =

PEI

(L

x21

2−

x31

6

)V (L) =

PL3

3EI

On peut comparer la déformée obtenue dans ce cas avec celles qui ont été calculées pour une force axialeen compression ou en traction. Le diagramme suivant montre la flèche maximale obtenue lorsqu’onapplique une force axiale à l’extrémité d’une poutre console encastrée en x1 = 0, et chargée avec unecharge P en x1 = L. Les valeurs en ordonnée sont normées par la valeur de référence à force axiale nulle,les valeurs en abscisse sont normées par la charge critique d’Euler, FC. On observe bien l’instabilité quis’annonce dès que la force axiale en compression atteint 90% de FC, alors qu’au contraire la flèche eststable pour le cas de la traction axiale.

Comparaison de la flèche maximale, normée par la valeur à force axiale nulle, en fonction de la forceaxiale, en compression ou en traction, normée par la charge critique d’Euler


Augmentation de la flèche produite par l’application d’une compression axiale

Les conséquences sur la forme prise par la poutre sont illustrées par deux figures, dans lesquelles la flècheau point x1 est de nouveau normée par la flèche maximale, et où cette valeur est tracée en fonction del’abscisse normée x1/L sur la poutre. En compression, on trouve que la flèche est plus grande, en tractionqu’elle est plus petite.

Diminution de la flèche produite par l’application d’une traction axiale

En conclusion, on observe que, pour une charge donnée P, l’application d’une traction produitune rigidification apparente de la poutre, alors que l’application d’une compression produit unassouplissement apparent. Ceci est à mettre en relation avec la fréquence des vibrations libres d’unepoutre comportant une masse en bout. Si fo est la fréquence de référence lorsque la poutre vibre dans leplan horizontal, la fréquence que l’on observera sera fb > fo lorsque la poutre vibre verticalement avecla masse vers le bas, et fh < fo si la masse est placée vers le haut.


12.11 Etude d’une tuyauterie en verre époxy sous pression interne

x2

x1

p0

θ l

t

x

y

r

e

(a) (b)(a) Les repères du pli, (b) le tuyau stratifié

12.11.1 Etude de la loi de comportement du pli

La loi de comportement est définie au paragraphe 7.3.2, qui fournit l’expression de la matrice desraideurs dans le repère (x1,x2) défini par l’angle θ = (x1, l) (Fig.1). La même démarche permet d’aboutirà la matrice des souplesses :

S(x1,x2) =

1/E11 −ν21/E22 −η12/G12−ν12/E11 1/E22 µ12/G12ν11/E11 µ22/E22 1/G12

Les termes ν11, ν12, ν21, µ12 et µ22 introduits ici correspondent au couplage traction–cisaillement induitpar l’anisotropie du pli. Les expressions sont les suivantes :

1/E11 = c4/En + s4/Et + c2s2(1/µnt −2νtn/Et)1/E22 = s4/En + c4/Et + c2s2(1/µnt −2νtn/Et)

1/G12 = 4c2s2(1/En +1/Et +2νtn/Et)+(c2− s2)2/µnt

ν21/E22 = (c4 + s4)νtn/Et − c2s2(1/En +1/Et −1/µnt)η12/G12 = −2csc2/En− s2/Et +(c2− s2)(νtn/Et −1/2µnt)µ12/G12 = −2css2/En− c2/Et − (c2− s2)(νtn/Et −1/2µnt)

12.11.2 Etude d’une tuyauterie en stratifié

On considère un tube mince réalisé par enroulement filamentaire équilibré en verre/époxyde avecpour angles d’enroulement ±45 (Fig. 2). Il s’agit de la superposition des plis étudiés en partie 1. Lepourcentage en volume de fibres est Vf = 0.6. Le tube est bridé à une extrémité sur un massif rigideindéformable, et monté sur joint glissant étanche à l’autre extrémité.

L’épaisseur e est considérée faible devant le rayon (e/r 1). On installe à l’intérieur de ce tubeune pression unitaire P0 = 1 MPa (soit 10 bars). On adopte un coefficient de sécurité égal à 8 pour tenircompte du vieillissement.

Calculer les contraintes (σxx,σyy) dans les axes xy du plan tangent en O au tube.

Avec les conventions choisies ici, et sachant que le tube est mince et libre à ses extrémités (contrainteaxiale nulle), il est raisonnable de considérer l’état de contrainte comme uniaxial, avec comme seulecomposante non nulle la composante circonférentielle σyy = P0R/e.

12.12. COMPOSITES À FIBRES LONGUES 171

Si on admet que la contrainte admissible dans un composite constitué de 50% de plis à +45 et−45

est de 94 MPa, quelle est l’épaisseur minimum du tube pour un rayon moyen R = 100 mm.

Expérimentalement on trouve que la contrainte maximum admissible σmaxyy pour 50% de plis à ±45,

est de 94 MPa. On trouve donc l’épaisseur admissible (P0 et σyy en MPa, R et e en mm) :

e =P0Rσmax

yy=

1×10094

= 1.064mm

Si on admet un coefficient de sécurité de 8 sur l’épaisseur, il faut prendre :

e' 8.5mm

Soient les modules Exx, Eyy et Gxy du stratifié, et les coefficients de Poisson νxy et νyx, devaleurs numériques : Exx = Eyy = 14130 MPa ; νxy = νyx = 0.57 ; Gxy = 12760 MPa. Ecrire la loi decomportement déformations-contraintes du stratifié dans les axes x,y.

Connaissant les modules du stratifié, la matrice de souplesse s’écrit : 1/Ex −νyx/Ey 0−νxy/Ex 1/Ey 0

0 0 1/Gxy

=1

14130

1 −0.57 0−0.57 1 0

0 0 1.107

Calculer les déformations εxx et εyy du tube composite ainsi dimensionné. En déduire la déformation

dans le sens perpendiculaire au sens des fibres à +45, notée εtt , qui caractérise alors essentiellementcelle de la résine. Cette déformation doit demeurer inférieure à 0.1% sous peine de microfissuration,entraînant le cheminement du fluide à travers l’épaisseur du tube (phénomène de perlage). Vérifier quele tube respecte effectivement cette condition.

Pour P0 = 1 MPa, R = 100 mm et e = 8.5 mm :σyy = 1×100/8.5 = 11,8MPa.La déformation est donc :

εxx

εyy

γxy

=1

14130

1 −0.57 0−0.57 1 0

0 0 1.107

0

11.80

D’où :

εxx =νyx

Eyσy εyy =

σy

Ey

εxx = 4.67610−4, εyy = 8.35s10−4 Par rotation de 45, on obtient dans la direction perpendiculaire auxfibres :

εtt = (εxx + εyy)/2 = 1.810−4εtt = 0.018%

La limite d’endommagement de la résine étant voisine de 1%, la valeur trouvée est acceptable.

12.12 Composites à fibres longues

12.12.1 Réservoir sous pression

On considère un réservoir cylindrique sous pression formé d’une enveloppe mince de révolution, qui,en section courante, comporte des fibres de verre selon deux directions faisant un angle ±α par rapportà l’axe du réservoir 2. Les fibres sont disposées en couches alternées, noyées dans une matrice de résine,

2Cet exercice est inspiré de celui de D. Gay, Matériaux composites, Hermès, 1991, p.433


dont on négligera la contribution mécanique. Il y a un nombre égal de couches dans chaque direction. Lapression interne vaut p. L’épaisseur et le rayon moyen de l’enveloppe valent respectivement e et R (avece R).

1. Donner l’expression du tenseur de contrainte sur l’enveloppe en coordonnées cylindriques (on seplacera en fait dans le repère (z–θ)) en fonction de p, e et R.

Voir le mini-formulaire d’élasticité. On trouve, en tenant compte de l’«effet de fond» :

σθθ =pre

σzz =pr2e

2. Les modules transversaux étant nuls dans chaque couche, l’état de contrainte est approximative-ment uniaxial dans chaque couche, la seule composante non nulle correspondant à la direction n desfibres. Etablir les relations entre σnn, σzz et σθθ.

La contribution de la couche, dont les fibres font un angle α avec la direction z des génératrices, esttelle que (en notant c = cosα, s = sinα) :σzz

σθθ

σzθ

=

c2 s2 −2css2 c2 2cscs −cs c2− s2

σnn

00

=

c2σnn

s2σnn

csσnn

On observe donc que le terme de cisaillement va disparaître lors de la moyenne entre les deux couches(angles α et −α), si bien que le résultat final est simplement :

σzz = c2σnn σθθ = s2

σnn

3. A l’aide des résultats des deux questions précédentes, déterminer l’angle optimal α que doiventfaire les fibres avec les génératrices du cylindre. Quelle est alors la contrainte dans les fibres en fonctionde p, e et R ?

L’angle optimal sera donc celui pour lequel chacune des deux contraintes σzz et σθθ charge les fibresde façon équivalente. On vérifie alors :

c2σnn =

pR2e

s2σnn =

pRe

Soit :tan2

α = 2 α≈ 54.7

4. En appelant σu la contrainte à rupture de la fibre, calculer successivement la quantité de fibrenécessaire et l’épaisseur d de l’enveloppe, sachant que la fraction volumique de fibres f dans lecomposite est de 80%.Application numérique : diamètre D=80cm ; p=200bars ; σu= 3200 MPa.

On a alors :

f σu =32

pRe

e =32

pRf σu

Application numérique :

e =32

pRf σu

≈ 4.7mm

http://mms2.ensmp.fr/mms_paris/intro/transparents/f_Memoelas.pdf


12.12.2 Coefficient de dilation d’un composite à fibres longues

On considère un composite à fibres longues comportant une fraction volumique f de fibres. Lamatrice et la fibre ont des coefficients de dilatation très différents, que l’on supposera isotropes(respectivement αm et α f ). En raison de la géométrie du matériau, on suppose que l’état de contrainte quise développe est uniaxial, dans le sens des fibres. On caractérise donc uniquement le module longitudinaldes fibres, E f , et le coefficient de Poisson correspondant, ν f . La matrice est quant à elle caractérisée parEm et νm. Les fibres sont disposées selon l’axe x1.

1. Donner une estimation de l’état de contrainte dans le matériau lorsque, partant d’un état initiallibre de déformations et de contraintes, on applique une différence de température uniforme de ∆T .

On note respectivement σ f et σm les seules composantes non nulles des tenseurs de contraintes(respectivement σ

f11 dans la fibre et σm

11 dans la matrice). Les déformations longitudinales seront alors εf11

et εm11, les déformations transversales ε

f22 et εm

22. La résultante selon l’axe 1 est nulle, et les déformationsselon l’axe 1 sont égales. Donc :

f σf +(1− f )σm = 0 ε

f11 = ε

m11 = ε11

La déformation se décompose en une part élastique et une part thermique, soit :

σ f

E f+α f ∆T =

σm

Em+αm∆T

La résolution du système en contraintes donne, en posant E = f E f +(1− f )Em :

σf = (1− f )

EmE f

E(αm−α f )∆T σ

m =− f1− f

σf =− f

EmE f

E(αm−α f )∆T

2. En déduire les coefficients de dilatation moyens en direction longitudinale et transversale.En reportant les résultats précédents dans l’expression de ε11, on introduit le coefficient de dilatation

longitudinale αL :

ε11 = εf11 = (1− f )

Em

E(αm−α f )∆T +α f ∆T =

f α f E f +(1− f )αmEm

E∆T = α

L∆T

La déformation transverse ε22 est la moyenne des déformations de chaque phase :

ε22 = f εf22 +(1− f )εm

22 = f (−ν fσ f

E f+α f ∆T )+(1− f )(−νm

σm

Em+αm∆T )

Il vient alors, en posant α = f α f +(1− f )αm :

ε22 =(

f σf(−

ν f

E f+

νm

Em

)+α

)∆T

=(

f (1− f )(νmE f −ν f Em)(αm−α f )E

+α

)∆T

= αT ∆T

si bien qu’on obtient un encadrement de α :

αT =

f (1− f )(νmE f −ν f Em)(αm−α f )E

+α 6 α 6 αL =

f α f E f +(1− f )αmEm

EOn a tracé (Fig.1) les courbes résultantes pour les différentes estimations et bornes, dans le cas d’uncomposite verre–résine polyester. On observe que l’estimation faite selon le sens transverse est au-dessous de la borne minimale ( !). Cela remet en cause les hypothèses de la comparaison :


0

1e-05

2e-05

3e-05

4e-05

5e-05

6e-05

7e-05

8e-05

9e-05

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

alph

a

Vol fraction

maxmin

longitrans

Figure 1 : Courbes obtenues pour un composite fibre de verre–résine polyester, avec :E f =74000 MPa, ν f =0.25, α f =5.10−6, Em=4000 MPa, νm=0.4, αm=8.10−5.

- d’une part, supposer le champ uniaxial est trop réducteur ;- par ailleurs, l’expression de la borne inférieure utilisée ici est trop simple. Le matériau étant anisotrope,il faut aussi tenir compte d’un terme déviatorique pour mesurer le coefficient de dilatation thermique, quidevient alors un tenseur.

3. Une approche plus générale du problème, mais appliquée dans le cadre d’un matériau isotrope(composite inclusion-matrice), montre que le coefficient de dilatation homogénéisé d’un compositebiphasé, αh, composé des matériaux 1 et 2, vaut :

αh = 〈α〉+ 1/Kh−〈1/K〉

1/K1−1/K2(α1−α2).

où 〈.〉 est une opération de moyenne arithmétique, et où K f et Km désignent respectivement les modules decompressibilité des matériaux 1 et 2. Les valeurs de Kh sont encadrées par les bornes de Voigt et Reuss,ce qui fournit donc un encadrement de αh. Avec les notations précédentes, on obtient successivement,pour Kh :

1(1− f )Km + f K f

61

Kh 61− fKm

+f

K f

et pour αh :

α+

1(1− f )Km + f K f

−(

1− fKm

+f

K f

)1/K f −1/Km

(α f −αm) 6 αh 6 α

avec α = 〈α〉= (1− f )αm + f α f

Vérifier que, si ν f =νm, la borne min correspond à la valeur préalablement estimée en sens travers.

La courbe figure 2 montre comment se transforme la courbe précédente lorsque l’on ramène la valeurde νm à 0.25, ce qui conduit à νm = ν f . L’estimation transverse est bien sur la borne minimale.


0

1e-05

2e-05

3e-05

4e-05

5e-05

6e-05

7e-05

8e-05

9e-05

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

alph

a

Vol fraction

maxmin

longitrans

Figure 2 : Courbes obtenues lorsque les coefficients de Poisson sont égaux :E f =74000 MPa, ν f =0.25, α f =5.10−6, Em=4000 MPa, νm=0.25, αm=8.10−5.

4. Application numérique : tracer en fonction de la fraction volumique de fibres les deux estimationsprécédentes et les deux bornes de la question 3, pour le cas d’un composite fibre de verre–résine(E f =74000 MPa, ν f =0.25, α f =5.10−6, Em=4000 MPa, νm=0.4, αm=8.10−5). Discuter.

12.12.3 Assemblage collé

Afin de pouvoir saisir une éprouvette en composite entre les mors d’une machine de traction, onréalise un collage entre deux plaques d’aluminium. Comme l’indique la figure 3, il y a donc deux jointsde colle, de part et d’autre de l’éprouvette en composite.

Les plaques d’aluminium ont chacune une épaisseur de e1, l’épaisseur de l’éprouvette en matériaucomposite est 2e2. Les couches de colle ont chacune une épaisseur h, le recouvrement entre les plaquesporte sur une distance l. L’axe x1 est l’axe de traction de l’éprouvette, l’axe x3 est normal au plan del’éprouvette. On suppose que l’ensemble est de faible dimension en direction x2, ce qui autorise à tenterune modélisation dans le plan x1–x3, en négligeant les efforts en direction 3. On supposera que toutesles forces et les déplacements dépendent uniquement de x1.

e

l

2e2

1

1x

x 3

Figure 3 : collage composite - plaques aluminium

Les modules de la plaque composite et de l’aluminium étant grands par rapport à celui de la colle,il est raisonnable de supposer que la colle est cisaillée (glissement simple) entre les plaques, danslesquelles les segments initialement parallèles à x3 restent parallèles pendant la traction (force F).

1. En considérant successivement l’équilibre d’une tranche (dx1–e1) d’aluminium, et (dx1–e2) decomposite, autour du joint supérieur de colle, donner les relations entre les forces de traction par unitéd’épaisseur N1 et N2, dans l’aluminium et dans le composite, et le cisaillement à l’interface, τ.


La première équation d’équilibre, intégrée sur les petits volumes considérés, donnent :Z(σ11,1 +σ13,3)dx1dx3 = 0

Il s’agit d’un cas simplifié de théorie des poutres, dans lequel ne subsiste que l’effort normal dans lasection de la poutre, mais avec une sollicitation extérieure tangente à la surface. Le premier terme del’intégrale correspond à la dérivée de l’effort normal par rapport à x1. On transforme le second termeen intégrale sur le contour. Il vient donc un terme en σ13n3, n3 étant la normale à la surface chargée encisaillement. Ce terme vaut donc −τ pour l’élément de volume d’aluminium (normale (0,-1)), et τ pourla plaque composite. Il vient donc :

N1,1 + τ = 0 N2,1− τ = 0

Si on suppose que le déplacement horizontal est le même en tout point des plaques, et qu’on le désignepar U1 dans l’aluminium et par U2 dans le composite, il vient :

N1 = E1e1U1,1 N2 = E2e2U2,1

2. Proposer un champ de déplacement pour la colle, et en déduire la relation entre les déplacementsdes plaques et le cisaillement τ.

En supposant que la colle est en glissement simple, la valeur du cisaillement produit (petitesdéformations) est :

γ =U2−U1

h=

τ

µc

D’où on déduit :hµc

τ,1 = U2,1−U1,1 =N2

E2e2− N1

E1e1= y(x1)

Les relations entre les efforts normaux et τ se recombinent de la façon suivante :

N1,1

E1e1+

τ

E1e1= 0

N2,1

E2e2− τ

E2e2= 0

soit :

y,1 =(

1E1e1

+1

E2e2

)τ

3. Trouver l’équation différentielle du second ordre que vérifie la fonction y de x1 telle que :

y =N2

E2e2− N1

E1e1

L’équation est donc finalement :

y,11−ω2y = 0 avec ω

2 =µc

h

(1

E1e1+

1E2e2

)dont la solution générale est :

y = acoshωx1 +bsinhωx1

Les conditions aux limites sont :- en x1 = 0, N1 = F , N2 = 0, soit y =− F

E1e1= a ;


- en x1 = l, N1 = 0, N2 = F , soit y =F

E2e2= acoshωl + bsinhωl L’application de ces conditions aux

limites conduit à :

y =− FE1e1

coshωx1 +Fsinhωx1

sinhωl

(1

E2e2+

1E1e1

coshωl)

4. Intégrer cette équation, et déterminer les constantes d’intégration en x1 = 0 et x1 = l.On trouve enfin le cisaillement en prenant la dérivée de y :

τ =Fµωh

(−sinhωx1

E1e1+

coshωx1

sinhωl

(1

E2e2+

coshωlE1e1

))La courbe fonction de x1 présente des valeurs maximum aux deux extrémités du collage. On arespectivement :

- en x1 = 0, τ(0) =Fµωh

(1

E2e2 sinhωl+

1E1e1 tanhωl

);

- en x1 = l, τ(l) =Fµωh

(1

E2e2 tanhωl+

1E1e1 sinhωl

).

Dans la plupart des configurations numériques, le terme en sinh est très grand, et tanh ≈ 1. L’efficacitémaximum du système commande que les produits E1e1 et E2e2 soient égaux. La rupture éventuelle d’uncollage débute donc à partir des bords. On peut diminuer les efforts en considérant un recouvrement pluslong. La figure ci-dessous montre la courbe obtenue pour les conditions préconisées.

5. Déterminer l’expression du cisaillement τ et la tracer en fonction de x1 sur l’intervalle (O–l).Discuter le paradoxe concernant les conditions aux limites pour τ en x1 = 0 et x1 = l.

Le cisaillement calculé ici n’est donc pas nul sur les faces verticales du joint de colle, qui sontpourtant des surfaces libres. On retrouve donc bien dans ce calcul approché le problème classique ducisaillement dans les théories de poutre. En fait, si la surface est libre, la forme du bord n’est pas linéaire,comme supposé dans les hypothèses pour construire le cisaillement. Des calculs de structures montrentnéanmoins que les résultats d’un calcul complet se raccordent très rapidement à ceux qui sont trouvésici, si bien que le niveau de la concentration de contrainte est bien réaliste. Il représente en particulierune bien meilleure approximation que celle qui consisterait à répartir uniformément le cisaillement surl’ensemble du joint.

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

0 5 10 15 20 25 30

tau

(MP

a)

x (mm)

Figure 4 : Evolution du cisaillement à l’interface aluminium–composite ; conditions du calcul pourl’aluminium, E1 = 75000 MPa, e1 = 2. mm ; pour le stratifié, E2 = 100000 MPa, e2 = 1.25 mm ; pour lacolle (araldite), µc = 1700 MPa, h = 0.1 mm, l = 30 mm ; force par unité d’épaisseur, F=70 MPa/mm


12.13 Etude de la flexion d’un bilame

Le but de cet exercice est d’examiner la courbure d’une plaque circulaire constituée de deux couchessous l’effet d’un changement de température. La plaque est composée de deux couches homogènes, ledépôt et le substrat qui ont respectivement des épaisseurs ed et es, des modules d’Young Ed et Es, et descoefficients de Poisson νd et νs. L’épaisseur du dépôt est supposée très petite devant celle du substrat, cequi est généralement le cas lorsqu’on traite le cas des «wafers», supports en silicium sur lesquels on vientfabriquer les puces en microélectronique (il y a environ 3 ordres de grandeur d’écart). Les coefficientsde dilatation thermique sont respectivement αd et αs. On suppose que le champ de température initialest uniforme, et on applique au système une variation de température T , supposée également uniforme.Comme la distribution des matériaux dans l’épaisseur n’est pas symétrique, il apparaît un couplage«membrane–flexion», si bien que le simple changement de température va générer une courbure de laplaque, et des contraintes thermomécaniques autoéquilibrées à l’intérieur des couches.

1. Indiquer comment est modifiée la loi de comportement d’une plaque homogène en présence dedilatation thermique. On utilisera pour le moment des notations sans indices, E, ν, e, α, et on supposeraque le plan moyen de la plaque est le plan (x1,x2), donc que −e/2 6 x3 6 e/2.

La loi de comportement comprend un terme de membrane, un terme de flexion, et un terme decisaillement transverse. La loi de comportement, qui relie les termes caractérisant les efforts et ceux quidéfinissent la cinématique, est établie en postulant une forme de champ de contrainte dans la plaque. Lefait d’introduire un terme de dilatation thermique, ε

∼th = αT I

∼, ne va pas modifier la partie cisaillement.

Il faut par contre examiner son influence sur les efforts axiaux et les moments. La loi de comportementrestreinte aux composantes 11 et 22, avec σ33 = 0, s’écrit :(

σ11σ22

)=

E1−ν2

(1 ν

ν 1

)(ε11−αTε22−αT

)L’estimation des termes N11 et N22 s’effectue en intégrant respectivement σ11 et σ22 sur l’épaisseur de laplaque. Ceci donne par exemple pour N11 :

N11 =E

1−ν2

Z e/2

−e/2(ε11 +νε22− (1+ν)αT )dx3

Les déformations s’expriment en fonction des composantes du déplacement de membrane et desangles de rotation : ε11 = U1,1 + θ2,1x3 et ε22 = U2,2 − θ1,2x3. Les termes linéaires en x3, qui sontimpairs, disparaissent comme d’habitude dans l’intégration entre −e/2 et e/2, mais il reste un termesupplémentaire par comparaison avec la solution du cours :

N11 =Ee

1−ν2 (U1,1 +νU2,2)−EαTe1−ν

On a donc : (N11N22

)=

Ee1−ν2

(1 ν

ν 1

)(U1,1U2,2

)− EαTe

1−ν

(11

)L’estimation des termes M11 et M22 s’effectue en intégrant respectivement x3σ11 et x3σ22 sur l’épaisseurde la plaque. Ceci donne par exemple pour M11 :

M11 =E

1−ν2

Z e/2

−e/2(x3ε11 +νx3ε22− (1+ν)αT x3)dx3

Cette fois-ci, le terme provenant de la dilatation thermique est linéaire en x3, si bien qu’il disparaît dansl’intégration, et que la loi de comportement est inchangée par rapport à la solution isotherme :(

M11M22

)=

Ee3

12(1−ν2)

(1 ν

ν 1

)(θ2,1−θ1,2

)

12.13. ETUDE DE LA FLEXION D’UN BILAME 179

2. On se préoccupe dans cette question des équations d’équilibre résultant de l’assemblage desdeux couches. Justifier le fait que le moment de flexion dans le dépôt est négligeable devant le momentrésultant sur le substrat. On raisonne dans un premier temps en conditions axisymétriques, si bien queles composantes 11 et 22 sont égales. En écrivant l’équilibre des efforts pour une section droite de laplaque multicouche, déterminer l’effort normal Ns = Ns

11 = Ns22 et le moment de flexion Ms = Ms

11 = Ms22

dans la couche de substrat en fonction de l’effort normal Nd = Nd11 = Nd

22 dans la couche de dépôt.

e s E s νs α sx 1

Nd

M s

N s

x3

Figure 1 : Equilibre d’une section droite

La résultante des efforts normaux est nulle, puisqu’il n’y a pas d’efforts extérieurs appliqués sur lesystème. On en déduit :

Ns +Nd =Eded

1−νd(ε−αdT )+

Eses

1−νs(ε−αsT ) = 0

On a noté ε les termes U1,1 et U2,2, qui sont supposés égaux dans les deux couches, ce qui signifie quel’extension moyenne est la même dans les deux couches, et que le problème est axisymétrique. On faiten effet l’hypothèse qu’il y a continuité du déplacement entre les couches. Il est donc possible d’éliminerε et de trouver l’expression de Nd :

Nd =

Eded

1−νd

Eses

1−νs(αs−αd)T

Eded

1−νd+

Eses

1−νs

Comme les valeurs des constantes du modèle élastique et des coefficients de dilatation thermique sont dumême ordre pour les deux matériaux, mais que la couche de dépôt est d’épaisseur négligeable, la valeurde l’effort normal dans le substrat est finalement :

Ns =−Nd ≈ Eded

1−νd(αd −αs)T

L’effort est donc d’autant plus grand que la différence entre les coefficients de dilatation thermique estimportante, que le dépôt est épais et que son module de Young est grand. Le moment dans le substratse calcule en considérant l’effort appliqué par le dépôt sur le substrat, effort concentré appliqué à unedistance es/2 de la surface moyenne du substrat :

Ms = Nd es

2

3. Calculer la valeur de la courbure, en supposant que le substrat est une plaque mince de Love-Kirchhoff

Si la plaque est mince, les dérivées des angles qui interviennent dans l’expression des moments sontégales à la courbure :

θ2,1 =−W,11 =−θ1,2 =−W,22 =1R

La relation entre le moment et le rayon de courbure dans le substrat est donc :

Ms =Ese3

s

12(1−νs)1R


En remplaçant Ms par son expression en fonction de Nd , il vient :

1R

=6(1−νs)Nd

Ese2s

Si on exprime maintenant Nd :1R

=6E ′

desE ′

s(αd −αs)T

où on a posé :

E ′s =

Eses

1−ν2s

E ′d =

Eded

1−ν2d

Remarques :Le champ de contrainte dans le substrat se calcule en superposant la contribution de l’effort de membraneet celle du moment de flexion. Le premier fournit un champ de contrainte uniforme dans l’épaisseur, alorsque le second génère un champ impair en x3. Le résultat est donc une distribution affine ; la surface surlaquelle la contrainte s’annule est située au tiers de la plaque à partir du la face qui porte le substrat. Ontrouve en effet :

σ11 = σ22 =Ns

11es

+12e2

s

x3

esMs

11 =Nd

es

(−1+

6x3

es

)expression qui s’annule bien lorsque x3 = es/6.

3. En fait, on observe que, sur de grandes plaques, de diamètre 200 à 300 mm, la flexionn’est pas axisymétrique, mais elle s’effectue selon une direction préférentielle. Cela conduit àreconsidérer les conditions aux limites, et à utiliser à la place une hypothèse de déformation plane.Recommencer les calculs précédents et donner la nouvelle expression du rayon de courbure. Onréalisera ensuite l’application numérique pour une plaque de 30 cm de diamètre consstituée d’unsubstrat en silicium et d’un dépôt de nickel, soumise à une diminution de température T=-300 C :

Es=112 GPa νs=0.28 αs = 3.10−6 C−1 es= 200 µmEd=207 GPa νd=0.31 αd = 13.10−6 C−1 ed= 50 nm

ed

e s

x 1E s νs α s

E d νd α d

e s ed

e s ed

x3

+2

+2

Figure 2 : Géométrie de la plaque composite

On résout cette fois-ci le problème d’une plaque composite chargée en état de déformation planeselon la direction x2. On considère la résultante N11 et le moment M11 correspondant à l’ensemble descouches. Les dérivées partielles par rapport à x2 sont nulles, si bien que les équations d’équilibre seréduisent à :

N11,1 = 0 M11,11 = 0

12.13. ETUDE DE LA FLEXION D’UN BILAME 181

Avec les conditions aux limites de bords libres, il vient : N11 = 0, M11 = 0, et les équations decomportement s’écrivent (en prenant ε22 nul dans l’expression des contraintes) :

(N11M11

)=

Z (ed+es)/2

−(ed+es)/2

E(x3)1−ν2(x3)

dx3

Z (ed+es)/2

−(ed+es)/2

E(x3)1−ν2(x3)

x3dx3Z (ed+es)/2

−(ed+es)/2

E(x3)1−ν2(x3)

x3dx3

Z (ed+es)/2

−(ed+es)/2

E(x3)1−ν2(x3)

x23dx3

( U,1θ2,1

)

−T

Z (ed+es)/2

−(ed+es)/2

E(x3)α(x3)1−ν(x3)

)dx3Z (ed+es)/2

−(ed+es)/2

E(x3)α(x3)x3

1−ν(x3))dx3

On peut réécrire les équations de comportement en introduisant une matrice A et un vecteur B sous laforme : (

N11M11

)=(

A11 A12A21 A22

) (U,1θ2,1

)−(

B1B2

)T

Les déformations généralisées sont calculées en inversant la matrice A et en utilisant le fait que N11 etM11 sont nuls : (

U,1θ2,1

)= A−1BT

Les composantes de la matrice A et du vecteur B sont calculées en remplaçant les intégrales par dessommes, le substrat étant situé entre x3 = −(es + ed)/2 et x3 = (es− ed)/2, et le dépôt entre x3 = (es−ed)/2 et x3 = (es + ed)/2 :

A11 =Es

1−ν2s

es +Ed

1−ν2d

ed

A12 = A21 =Es

2(1−ν2s )

((es− ed)2

4− (es + ed)2

4

)+

Ed

2(1−ν2d)

((es + ed)2

4− (es− ed)2

4

)A22 =

Es

3(1−ν2s )

((es− ed)3

8+

(es + ed)3

8

)+

Ed

3(1−ν3d)

((es + ed)3

8− (es− ed)3

8

)B1 =

Esαs

1−νses +

Edαd

1−νded

B2 =Esαs

2(1−νs)

((es− ed)2

4− (es + ed)2

4

)+

Edαd

2(1−νd)

((es + ed)2

4− (es− ed)2

4

)

En reprenant la notation de la question 3 et en introduisant

E ′′s =

Esesαs

1−νs= αs(1+νs)E ′

s E ′′d =

Ededαd

1+νd= αd(1−νd)E ′

d


il vient, en négligeant les termes de second et troisième degré en ed :

A11 = E ′s +E ′

d

A12 = A21 =12(−E ′

sed +E ′des)

A22 =E ′

s

12(e2

s +6e2d)+

E ′d

12(e2

d +6e2s )

B1 = E ′′s +E ′′

d

B2 =12(−E ′′

s ed +E ′′d es)

Le rayon de courbure s’exprime comme :

1R

= θ2,1 =A11B2−A12B1

A11A22−A212

En négligeant les termes de second et troisième degré en ed , on trouve :

A11B2−A12B1 ≈es

2(E ′

sE′′d −E ′

dE ′′s)

A11A22−A212 ≈

e2s E ′

s2

12

Ce qui donne finalement :

1R

=6es

E ′sE

′′d −E ′

dE ′′s

E ′s2 =

6E ′d

esE ′s((1+νd)αd − (1+νs)αs)T

La formule diffère de celle obtenue en conditions axisymétriques uniquement par un terme en (1 + ν)dans chaque matériau.

Application numérique : On trouve R = 17,543m. On trouve la flèche correspondante en intégrantdeux fois. Si on suppose que la plaque est simplement posée, avec le dépôt vers le haut, les deuxextrémités vont se soulever. En supposant la flèche nulle au milieu, et -150 mm6 x1 6 150 mm, il vientsuccessivement :

θ2(x1) =x1

RW (x1) =

x21

2RLe soulèvement maximal est donc de 0,641 mm.

12.14 Propriétés élastiques effectives des composites

12.14.1 Propriétés élastiques effectives d’un polycristal de cuivre

Les alliages métalliques sont des matériaux hétérogènes car ils sont constitués de grainsmonocristallins ayant chacun une orientation cristalline distincte. Les monocristaux présentent en généralun comportement élastique anisotrope (on s’en tiendra ici à la symétrie cubique propre aux cristaux destructure cristallographique cubique à faces centrées comme le cuivre considéré dans cet exercice). Ladifférence d’orientation de grain à grain implique alors que chaque grain répond de façon différente àla sollicitation appliquée. On cherche ici, connaissant les propriétés élastiques cubiques du monocristal,à encadrer les propriétés macroscopiques du polycristal dans le cas où la distribution des orientationscristallines est purement aléatoire (on parle dans ce cas de texture isotrope).

12.14. PROPRIÉTÉS ÉLASTIQUES EFFECTIVES DES COMPOSITES 183

FIG. 12.2 – Microstructure d’un polycristal. La couleur de chaque grain désigne son orientationcristallographique.

1. Matrices d’élasticitéEcrire la matrice Ci j des modules d’élasticité cubique en adoptant la notation dite de Voigt. Ecrirede même la matrice des souplesses Si j. On introduira les constantes C11,C12 et C44. On définit lescoefficients d’anisotropie :

ac =2C44

C11−C12, as =

2(S11−S12)S44

Justifier cette dénomination. Montrer que ac = as.Ces matrices sont destinées à représenter le comportement du monocristal. Si la distributiondes orientations cristallines est purement aléatoire au sein du polycristal, que pensez–vous dela symétrie de la matrice d’élasticité du polycristal ?

2. Ecriture des tenseurs d’élasticité isotropeOn introduit ici des opérateurs d’ordre 4 permettant de manipuler simplement les tenseursd’élasticité isotrope. L’opérateur J

≈appliqué à un tenseur d’ordre 2 symétrique ε

∼fournit son

déviateur e∼. L’opérateur K

≈, quant à lui, appliqué à ε

∼donne sa partie sphérique :

J≈

: ε∼

= e∼, K

≈: ε∼

=13(Tr ε

∼)1∼

Il s’ensuit queJ≈+K

≈= I

∼

où I≈

est le tenseur identité d’ordre 4 opérant sur les tenseurs d’ordre 2 symétriques. En terme de

composantes, on a, pour information :

Ii jkl =12(δikδ jl +δilδ jk), Ki jkl =

13

δi jδkl

Vérifier que tout tenseur des modules d’élasticité isotrope se met sous la forme

C≈

= 2µJ≈+3kK

≈


où µ et k sont respectivement les modules de cisaillement et de compressibilité. Montrer que letenseur des souplesses correspondant s’écrit :

S≈

= C≈−1 =

12µ

J≈+

13k

K≈

3. Borne de Voigt pour le polycristal C≈

V =< c≈

>

Justifier que si la distribution des orientations cristallines est isotrope, alors la borne supérieurede Voigt C

≈V est un tenseur isotrope :

C≈

V = 2µV J≈+3kV K

≈

Pour accéder à µV et kV , il faudrait calculer la moyenne sur les matrices d’élasticité tournées pourtoutes les orientations possibles. Un tel calcul est possible mais fastidieux. On peut s’en sortir plusefficacement en utilisant les invariants du tenseur ci jkl du monocristal. On appelle invariant unefonction des composantes d’un tenseur dont la valeur ne dépend pas du repère choisi pour lesexprimer. La trace et le déterminant sont des invariants d’un tenseur d’ordre 2 car ils s’exprimenten fonction des valeurs propres uniquement. Calculer les invariants suivants du tenseur d’ordre 4c≈

:ciikk, ci ji j

Calculer aussi les invariants Jii j j,Ji ji j,Kii j j,Ki ji j. Calculer enfin la valeurs des invariants CVii j j,C

Vi ji j

pour le tenseur C≈

V en fonctions de µV et kV .

En déduire les bornes supérieures µV et kV en fonction des Ci j du monocristal.

4. Borne de Reuss pour le polycristal S≈

V =< s≈

>

Justifier que si la distribution des orientations cristallines est isotrope, alors la borne inférieure deReuss S

≈R est un tenseur isotrope :

S≈

R =1

2µR J≈+

13kR K

≈

Pour calculer S≈

R on utilise à nouveau les invariants des tenseurs d’ordre 4 impliqués. On note

s≈

= c≈−1 le tenseur des souplesses du monocristal. Calculer successivement sii j j,si ji j,SR

ii j j,SRi ji j. En

déduire les bornes inférieures µR,kR.

5. Encadrement des modules effectifs

Exprimer kR en fonction des Ci j. Que remarquez-vous ? Qu’en déduisez–vous sur la valeur deke f f ? Etait–ce prévisible ?Donner enfin un encadrement de µe f f en fonction de C44 et du coefficient d’anisotropie ac = as = a.

6. Application numérique

Pour le cuivre pur monocristallin, on a

C11 = 168400MPa, C11 = 121400MPa, C11 = 75390MPa

Calculer a,ke f f ,µV ,µR. Trouver dans un manuel ou un site de propriétés mécaniques des matériauxle module de cisaillement du cuivre polycristallin isotrope usuel et vérifier que cette valeur estcomprise entre les bornes de Voigt et Reuss.


1. On rappelle que la notation de Voigt est introduite pour remplacer la forme générale de la loid’élasticité

σi j = Ci jklεkl

par la relation matricielleσI = CIJεJ

Les tenseurs de contraintes et de déformation sont identifiés à des vecteurs de IR6. Dans le cas del’élasticité cubique et dans la base orthonormée liée aux axes de symétrie, ces matrices et vecteurss’écrivent :

σ11σ22σ33σ23σ31σ12

=

C11 C12 C12 0 0 0C12 C11 C12 0 0 0C12 C12 C11 0 0 00 0 0 C44 0 00 0 0 0 C44 00 0 0 0 0 C44

ε11ε22ε332ε232ε312ε12

Il faut faire attention au fait que, traditionnellement, ε4 est mis pour 2ε23 = γ23. Les relations entreles composantes de la matrice et celles du tenseur d’élasticité sont donc :

C11 = c1111, C12 = c1122, C14 = c1123, C44 = c2323

Il existe de même une matrice des souplesses

εI = SIJσJ

La matrice des SIJ est donc l’inverse de la matrice des CIJ mais on fera attention au fait quel’identification avec le tenseur d’ordre 4 correspondant est alors la suivante :

S11 = s1111, S12 = s1122, S14 = 2s1123, S44 = 4s2323

Dans le cas cubique, les relations suivantes entre les CIJ et SIJ permettent de montrer aisément queles coefficients d’anisotropie ac = as sont égaux :

S11 =C11 +C12

(C11 +2C12)(C11−C12), S12 =

−C12

(C11 +2C12)(C11−C12), S44 =

1C44

2. On remarque que J≈

: K≈

= K≈

: J≈

= 0≈

et on vérifie alors que l’inverse d’un tenseur isotrope s’obtient

directement en prenant l’inverse des coefficients devant J≈

et K≈

. Cela vient simplement du fait que

2µ et 3k sont les valeurs propres du tenseur isotrope C≈

, les tenseurs propres associés constituant

respectivement une base des tenseurs déviatoriques et sphériques.

3. On trouve successivement

ciikk = 3C11 = +6C12, ci ji j = 3C11 +6C44

Jii j j = 0, Ji ji j = 5, Kii j j = 3, Ki ji j = 1

CViikk = 9kV , CV

i ji j = 10µV +3kV

On fait valoir ensuite le fait que les invariants de C≈

V sont liés à ceux des modules locaux c≈

par

CVii j j =< cii j j >= cii j j, CV

i ji j =< ci ji j >= ci ji j

On en déduit que les modules effectifs µe f f ,ke f f du polycristal à texture isotrope sont bornés parµV et kV , c’est–à–dire :

ke f f ≤ kV =C11 +2C12

3,µe f f ≤ C11−C12 +3C44

5


4. On trouve successivement

sii j j = 3S11 +6S12, si ji j = 3S11 +32

S44

On fait attention pour ce dernier calcul que s2323 = S44/4.

SRii j j =

1kR , SR

i ji j =5

2µR +1

3kR

Il s’agit formellement du même calcul que pour C≈

V en remarquant que 1/3kR et 1/2µR jouent le

rôle de 3kV et 2µV respectivement.On obtient finalement

3ke f f ≥ 3kR =1

S11 +2S12, µe f f ≥ µR =

54S11−4S12 +3S44

5. En utilisant les relations liant les Ci j et les Si j qui ont été rappelées, on trouve que

3kR =1

S11 +2S12= C11 +2C12

et par conséquent quekR = kV = ke f f

Le module de compressibilité effectif d’un agrégat de grains à symétrie cubique est donc connu demanière unique en fonction des Ci j du monocristal. Cela est simplement dû au fait que la réponsed’un monocristal cubique à une sollicitation sphérique est indépendante de son orientation. Cen’est pas le cas si la symétrie du cristal est quadratique ou orthotrope.Il n’en va pas de même de µe f f dont la valeur exacte dépend de l’arrangement particulier et de lamorphologie des grains. On peut simplement donner l’encadrement

5C44

3+2a≤ µe f f ≤ 3a+2

5aC44

6. A.N. :a = 3.21

L’anisotropie est importante, comparée à l’aluminium monocristallin par exemple qui donne unevaleur proche de 1.1.

ke f f = 137067MPa, µV = 54634MPa, µR = 40032MPa

On trouve usuellement des valeurs expérimentales de l’ordre de 50000 MPa pour le module decisaillement du cuivre pur polycristallin isotrope.

12.14.2 Propriétés élastiques d’un composite à matrice métallique

On envisage de remplacer certains disques de turbine des moteurs d’avion par des anneaux encomposites. Il s’agit de composites à fibres de carbure de silicium dans une matrice métallique en alliagede titane. L’intérêt est de réduire considérablement la masse de la pièce tout en garantissant une bonnerésistance à la force centrifuge que subit le disque en rotation. Des photos de microstructures pour deuxfractions volumiques de fibres sont données sur la figure 12.3.


FIG. 12.3 – Composite à matrice métallique SiC-titane pour application aéronautique pour deux fractionsvolumiques de fibres différentes (diamètre des fibres 100 µm)

Les propriétés élastiques des fibres en SiC sont

E f = 410000MPa, ν f = 0.25

Les propriétés de la matrice en alliage de titane sont

Em = 110000MPa, νm = 0.3

Les fibres sont supposées parallèles entre elles.

1. Fuseau de HillTracer les bornes de Voigt et Reuss pour le biphasé en fonction de la fraction volumique f de

fibres.

2. Bornes de Hashin–ShtrikmanIl existe en fait des bornes plus étroites que les bornes de Voigt et Reuss dans le cas où la répartitiondes phases est supposée isotrope dans le plan au sein du matériau, il s’agit des bornes de Hashin–Shtrikman. L’établissement de ces bornes dépasse le cadre de ce cours mais il est intéressantd’utiliser le résultat. Les expressions sont assez lourdes :

µHS+ =

f µ f +(1− f )µm

1+β fµm−µ f

k f

f +

1− f

1+β fµm−µ f

µ f

−1

kHS+ =

f k f +(1− f )km

1+α fkm− k f

k f

f +

1− f

1+α fkm− k f

k f

−1

µHS− =

(1− f )µm +f µ f

1+βmµ f −µm

km

1− f +

f

1+βmµ f −µm

µm

−1


kHS− =

(1− f )km +f k f

1+αmk f − km

km

1− f +

f

1+αmk f − km

km

−1

avecα f =

3+4ν f

8(1−ν f ), β f =

3−4ν f

4(1−ν f )

αm =3+4νm

8(1−νm), βm =

3−4νm

4(1−νm)

Compléter le fuseau de Hill à l’aide des bornes de Hashin–Shtrikman. Essayer un contrastede propriétés plus grand que dans l’application visée (prendre par exemple Em = 20000 MPa).Commenter.

3. Homogénéisation périodiqueLorsqu’on regarde la figure 12.3, on constate que la distribution des fibres est quasiment

périodique, surtout pour les fortes fractions volumiques de fibre. Il est possible d’estimer lespropriétés effectives du composite en prenant en compte l’hypothèse de périodicité. La solution duproblème n’est a priori pas analytique de sorte que la résolution est entièrement numérique. Onchoisit une cellule élémentaire permettant de reconstruire par périodicité l’ensemble du composite.Une telle cellule est donnée sur la figure 12.4, pour une fraction de fibres f = 0.4.Justifier le choix de cette cellule. Quelle est la fraction volumique maximale de fibres au sein de lamatrice compatible avec cette hypothèse de périodicité. Pour déterminer les modules effectifs pour

FIG. 12.4 – Cellule élémentaire du composite pour l’homogénéisation périodique ; la fibre est en blanc( f = 0.4).

une telle géométrie, on impose une déformation moyenne E∼

on cherche le champ de déplacementsous la forme :

u = E∼.x+ v

où v est une perturbation qui prend des valeurs identiques en deux points homologues du contourextérieur de la cellule :

v(x+) = v(x−)

où x+− x− est égal à une période de la microstructure. On demande en outre que les efforts endeux points homologues soient opposés.Montrer qu’avec ces conditions aux limites, on a bien

< ε∼

>cellule= E∼

< σ∼

: ε∼

>=< σ∼

>: E∼


Pour déterminer les modules effectifs on considère six problèmes aux limites en imposantune composante non nulle du tenseur E

∼à chaque fois. Le calcul des contraintes moyennes

correspondantes fournit les termes de la matrice d’élasticité effective. On illustre par la figureci-dessous le champ de contrainte σ12 obtenu en imposant E12 = 0.2%, les autres composantes deE∼

étant nulles. C’est l’état déformé de la cellule qui est présenté. Commenter.

Pour les deux questions suivantes, il faut pouvoir faire les calculs par éléments finis (voir site webdu cours). Les calculs sont réalisés sous l’hypothèse des déformations planes.Montrer que les modules d’élasticité obtenus par homogénéisation périodique sur la celluleconsidérée sont isotropes dans le plan.Placer les valeurs trouvées pour µe f f et ke f f (dans le plan) sur le fuseau de Hill pour différentesfractions volumiques. Que remarquez–vous ? Inverser les propriétés (fibre molle, matrice dure),porter à nouveau les points trouvés sur le fuseau de Hill.


1.Les modules de cisaillement et de compressibilité des constituants sont

µ f ,m =E f ,m

2(1+ν f ,m), k f ,m =

E f ,m

3(1−ν f ,m)

µV =< µ >= f µ f +(1− f )µm

1/µR = f /µ f +(1− f )/µm, 1/kR = f /k f +(1− f )/km

2. Les figures 12.5 et 12.6 donnent les fuseaux de Hill pour deux contrastes de propriétés élastiquesdifférents.

40000

60000

80000

100000

120000

140000

160000

180000

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

µ (M

Pa)

f

VR

HS+HS−

80000

100000

120000

140000

160000

180000

200000

220000

240000

260000

280000

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

k (M

Pa)

f

VR

HS+HS−

FIG. 12.5 – Fuseau de Hill pour le composite SiC/titane

SIMULATIONS NUMERIQUES

Cette section offre la possibilité d’effectuer des simulations numériques par éléments finis, en utilisantdes conditions aux limites périodiques sur une cellule élementaire, et de comparer l’estimation ainsiobtenue avec les encadrements précédents. Pour cela, il suffit de modifier les valeurs affichées dans leschamps suivants et de soumettre le calcul à l’aide de la touche Go.

Le choix de la cellule permet de reconstituer une disposition en quinconce des fibres (ou en nidd’abeilles, figure ci–dessous ) proche des observations expérimentales. L’empilement a toutefois deslimites. Il est dit compact lorsque

f = fc =√

3π/8∼ 0.68


0

20000

40000

60000

80000

100000

120000

140000

160000

180000

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

µ (M

Pa)

f

VR

HS+HS−

0

50000

100000

150000

200000

250000

300000

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

k (M

Pa)

f

VR

HS+HS−

FIG. 12.6 – Fuseau de Hill pour le composite SiC/matrice polymère (Em = 10000 MPa)

Lien sur la feuille de calcul

http://mms.ensmp.fr/MmsScripts/Homogeneisation/Calcul/homog-result.pdf


12.15 Réservoir sous pression – Fuite avant rupture

temps

PPmax R=0.9 m

e

Figure 1 : Schématisation du cycle de chargement et de la géométrie

L’installation d’une soufflerie supersonique comporte une vingtaine de cylindres soumis à des cyclesde pression interne. La pression maximum en service Pmax est de 50 bars. On cherche à dimensionner lescylindres, c’est-à-dire à déterminer l’épaisseur optimale du tube qui n’entraîne aucun risque de rupturepossible pour une pression test de deux fois la pression de service. Pour cela on analysera les différentsrisques de rupture suivants :

1. rupture par charge limite2. rupture par fissuration critique3. propagation de fissure par fatigue.

1. Donner les différentes composantes du tenseur des contraintes en supposant que le tube est mince.La contrainte orthoradiale σθθ est largement plus grande que toutes les autres dès lors que e/R est

petit devant 1. On considérera donc un état de contrainte uniaxiale, avec pour seule composante non nulleσθθ = PR/e.

2. Fissuration par charge limite : Soit σy la limite d’élasticité du matériau, supposée égale à lacontrainte ultime à rupture (matériau élastique-parfaitement plastique). Etablir le critère en P et e afinque le réservoir reste toujours en deçà de la charge limite.

Pour prévenir la rupture par charge limite, il faut que σθθ reste inférieure à σy , ce qui impose quel’épaisseur reste supérieure à une valeur limite el .

e≥ el = PR/σy

3. Rupture par fissuration critique : Dans l’épaisseur du cylindre, les défauts sont modéliséspar des disques de diamètre 2a. Les défauts qui débouchent en surface ont en général une sectionelliptique, le petit axe étant situé en direction radiale. On effectue donc une évaluation conservativeen les assimilant à des demi-disques de diamètre 2a. Dans les deux configurations de défaut (Fig.2) lefacteur d’intensité de contrainte K sera approché par la relation : K = σθθ

√πa.

2a

2a σθθ

12.15. RÉSERVOIR SOUS PRESSION – FUITE AVANT RUPTURE 193

Figure 2 : Schématisation des défauts dans le réservoir

4. Tracer dans le diagramme (σ,a) les domaines de fissuration/non fissuration pour les deux modesde ruine possible charge limite–fissuration critique. Soit ac la taille de défaut critique correspondant àl’intersection des deux courbes. Décrire qualitativement ce qui se passe quand on augmente la pressiondans un réservoir présentant un défaut initial de taille a0 tel que :

(1) a0 < ac

(2) a0 > ac

Le diagramme (Fig. 3) dans le plan log(a)–log(σ) est la réunion d’une droite horizontale σ = σy

correspondant à la charge limite, et la droite de pente −0.5, représentant la relation σ√

πa = Kc, quimodélise la rupture par fissuration critique. La valeur critique de a est donc ac telle que σy

√πa = Kc,

soit :

ac =1π

(Kc

σy

)2

– si on augmente P depuis A, le réservoir casse par charge limite . C’est un mode de rupture qui n’estpas considéré comme dangereux, car il est associé à des déformations élevées, qui peuvent être repéréesavant rupture (par exemple par la pose de capteurs sur la surface extérieure du réservoir). Par ailleurs cesdéformations conduisent à des chutes de pression qui stabilisent le système.– Si on augmente P depuis B, le réservoir casse par fissuration rapide. C’est un mode de ruinecatastrophique qu’il faut absolument éviter. Pour celà il suffit d’être sûr que tous les défauts présentsdans le matériau sont de taille inférieure à la taille du défaut critique ac. Cela est vérifié si e≤ 2ac.

σ y

aσ(π ) =0.5 K c

a∆σ(π ) =0.5 K s

log(a)

log( )σ ∆σ/2,log( )

σ 1

0.5

0.5pas de rupture

rupture en fatigue

rupture monotonefissuration critique

0.5

Alog(a)

Ba

σ

c

y

log( )σ

Figure 3 : Diagramme définissant le domaine sécurité dans le plan a–σ sous chargement monotone et enfatigue.

5. Concept de fuite avant rupture : Pour e < 2ac on est sûr que le réservoir ne périra pas parfissuration rapide puisqu’un défaut quelconque deviendra traversant (donc produira une fuite détectable)avant de devenir critique. Les normes de sécurité imposent e < ac (facteur de sécurité de 2).

Sachant que l’on souhaite rester en deçà de la charge limite, dimensionner le réservoir (R = 0.9 m,P = 100 bars) pour les deux matériaux suivants :

acier chrome-molybdène σy = 1000 MPa Kc = 170 MPa√

malliage d’aluminium σy = 400 MPa Kc = 25 MPa

√m

Pour chaque matériau on déterminera d’abord la taille de défaut critique.Le réservoir est essayé sous une pression égale à deux fois la pression en service soit p = 100 bars =

10 MPa. Pour un rayon de 0.9 m les valeurs trouvées pour l’acier et pour l’alliage d’aluminium sont doncles suivants.

ac (mm) el (mm)acier 9.0 9.0aluminium 1.2 22.0


Une bonne conception de la structure impose une épaisseur e telle que el ≤ e ≤ ac. La construction estdonc impossible en aluminium. Pour l’acier, on choisira e = 9mm.

6. Fissuration en fatigue : On considère maintenant le réservoir en acier dimensionné dans laquestion 4. Les techniques usuelles de contrôle non destructif permettent de détecter des défauts de taillesupérieures à 0.5–1 mm. On suppose que le réservoir contient un défaut initial de taille a0 = 0.5 mm.Calculer le nombre de cycles nécessaire pour que le défaut devienne traversant. Que se passe-t-il alors ?On prendra Pmax = 50 bars. La propagation sera modélisée par une loi de Paris :

dadN

= A(∆K)m

avec A = 2.610−13 m(MPa√

m)−4 ; m = 4.

Calculer l’ordre de grandeur de l’avancée de fissure par cycle pour un défaut de 5 mm.

Une structure peut se rompre pour des chargements inférieurs à la limite de rupture monotone si elleest soumise à des sollicitations cycliques. La figure 3 montre qu’il existe ainsi un seuil σl inférieur à σy,et un seuil ∆Ks pour le phénomène de propagation.

Les données géométriques du problème sont : R = 0.9 m, e = 9 mm. La pression de fonctionnementest de 50 bars. L’application de la loi de Paris avec l’expression de ∆K = ∆σ

√πa = ∆P(R/e)

√πa =

Pmax(R/e)√

πa produit l’équation :

dadN

= A(Pmax)m (R/e)m

πm/2am/2

Il s’agit d’une équation différentielle à variables séparables, qui, intégrée sur les N cycles nécessairespour que la fissure croisse de a0 à a1 fournit :

N =1

A(1−m/2)

(RPmax

√π

e

)−m(a1−m/2

1 −a1−m/20

)L’application numérique, avec A = 2.610−3 et m = 4 permet d’obtenir le nombre de cycles pour passerde a0 = 0.5 mm àa1 = 9 mm : N = 1.17104 cycles.Lorsque le défaut a une longueur de 5 mm, ∆K = Pmax(R/e)

√πa = 62,7 MPa

√m et, la vitesse calculée

avec les valeurs précédentes est de 4µm/cycle.

Chapitre 13

Annales

13.1 23 juin 1997

13.1.1 Ecoulement viscoplastique en déformations planes

On considère un cube de côté 1 dont les arêtes sont parallèles aux axes x1, x2, x3 d’un repèreorthonormé. Il est chargé uniformément dans la direction x1, tandis que les faces en direction x2 sontlibres, et que les faces en direction x3 restent bloquées.1. Indiquer quels sont les termes non nuls du tenseur des contraintes et du tenseur des déformations dans

le repère (x1,x2,x3), et écrire les relations contrainte–déformation lorsque le comportement est élastiqueet isotrope, avec un module d’Young E et un coefficient de Poisson ν.

On est en déformations planes selon l’axe x3, si bien que les composantes 13, 23, 33 du tenseurde déformation sont nulles, ainsi que les termes 13 et 23 du tenseur de contrainte. Comme la surfacenormale à l’axe x2 est libre, les composantes 12, 22, 23 du tenseur de contrainte sont nulles. En fait, iln’y a pas de cisaillement dans le système pour raison de symétrie. Ceci conduit aux formes simples :

σ∼

=

σ11 0 00 0 00 0 σ33

ε∼

=

ε11 0 00 ε22 00 0 0

Les relations contrainte–déformation sont :

Eε11 = σ11−νσ33

Eε22 =−νσ11−νσ33

Eε33 =−νσ11 +σ33

La condition ε33 = 0 permet d’écrire :σ33 = νσ11

2. Définir la valeur de la contrainte σ11 pour laquelle le matériau atteindra la limite du domained’élasticité, pour chacun des cas suivants :– critère de Tresca, f (σ

∼) = maxi(σi)−min j(σ j)−σy

– critère de von Mises, f (σ∼) = J−σy

– critère de Drucker–Prager, f (σ∼) = J +(σy−αI1)/(1−α), en distinguant ici le cas où la contrainte

σ11 est en traction ou en compression.On rappelle que I1 désigne la trace du tenseur de contraintes, et que, si s

∼est le déviateur associé au

tenseur de contrainte, J est défini par J = ((3/2) s∼

: s∼)0.5

195

196 CHAPITRE 13. ANNALES

Les trois contraintes principales sont σ3 = 0 < σ2 = νσ11 < σ1 = σ11. La trace du tenseur decontrainte, son déviateur et le deuxième invariant de celui-ci s’écrivent respectivement

I1 = σ11 +σ22 +σ33 = (1+ν)σ11

s∼

= σ− I1

3I∼

=σ11

3

2−ν 0 00 −1−ν 00 0 2ν−1

J =

√32

s∼

: s∼

= |σ11|√

1−ν+ν2

Ceci conduit aux résultats suivants :– pour le critère de Tresca :

f (σ∼) = |σ11|−σy σ11 =±σy

– pour le critère de von Mises :

f (σ∼) = |σ11|

√1−ν+ν2−σy σ11 =±

σy√1−ν+ν2

– pour le critère de Drucker–Prager :

f (σ∼) = (1−α)J−αI1−σy

donc :(1−α)|σ11|

√1−ν+ν2 +ασ11(1+ν) = σy

σ11 =σy

(1−α)√

1−ν+ν2±α(1+ν)

Dans cette dernière expression le signe (+) correspond à la traction, le signe (−) à la compression.

3. On suppose que le matériau suit une loi de comportement viscoplastique à seuil, qui s’écrit souschargement uniaxial de traction simple, en introduisant deux coefficients supplémentaires K et n pourcaractériser la viscosité du matériau, et en posant < x >= max(x,0) :

εvp =

⟨σ−σy

K

⟩n

On généralise cette loi aux chargements tridimensionnels en utilisant le critère de Tresca. On effectue

une mise en charge rapide au cours de laquelle la déformation viscoplastique est négligeable, jusqu’àun état de contrainte tel que σ11 > σy. Quelle est la direction de l’écoulement viscoplastique ?

L’existence du potentiel viscoplastique fournit l’équation :

ε∼

vp =∂Φ

∂ f∂ f∂σ∼

qu’il faut appliquer avec le critère de Tresca : f (σ) = maxi, j|σi −σ j| et la forme Φ =K

n+1

(fK

)n+1

d’où il vient :

ε∼

vp =(

fK

)n∂ f∂σ∼

On a donc :

∂

∂σ∼

=∂

∂σ1

1 0 00 0 00 0 0

+∂

∂σ2

0 0 00 1 00 0 0

+∂

∂σ3

0 0 00 0 00 0 1

13.1. 23 JUIN 1997 197

En posant σ1 > σ2 > σ3 le critère prendra la forme : f (σ∼) = |σ1−σ3| d’où :

ε∼

vp =(

f (σ∼)

K

)n1 0 0

0 0 00 0 −1

4. Calculer alors l’évolution du système (contrainte, déformation, déformation viscoplastique) dansles deux cas suivants :– on bloque la contrainte σ11 à la valeur maximale atteinte σm ;– on bloque la déformation totale ε11 à la valeur maximale atteinte εm.

On a :ε∼11 = ε

∼e11 + ε

∼vp11

0 = ε∼

e33 + ε

∼vp33

ε∼11 =

1E

σ∼ 11−

ν

Eσ∼ 33 +

(σ11−σy

K

)n

0 =1E

σ33−ν

Eσ11−

(σ11−σy

K

)n

donc :

ε11 =1−ν2

Eσ11 +(1−ν)

(σ11−σy

K

)n

On suppose que la mise en charge est instantanée, si bien que, à t = 0 :

εs =1−ν

Eσs

- si on bloque la contrainte à la valeur σm, on a σs = σm, et σ∼ 11 = 0 :

ε11 = εs +(1−ν)Z t

0

(σm−σy

K

)n

dt

=1−ν

Eσm +(1−ν)

(σm−σy

K

)n

t

Nous remarquons que l’évolution de la déformation est linéaire avec le temps.- si on bloque la déformation à la valeur εm, on a εs = εm, et ε11 = 0, si bien que :

σ11 +1

1+ν

(σ11−σy

K

)n

+0

L’exposant n est en général plus grand que 1. L’évolution de σ11 est donc décrite par une fonctionpuissance :

σ11 = σy +K(

(σs−σy

K)1−n +

E(n−1)(1+ν)K

t) 1

1−n

Avec :σs =

E1−ν

εm

5. Dans le cas où on choisit au contraire le critère de von Mises pour effectuer l’extensiontridimensionnelle du modèle viscoplastique, et en supposant toujours que l’on effectue une mise en


charge rapide, la contrainte atteinte étant telle que l’on se trouve hors du domaine d’élasticité :– donner l’expression du tenseur vitesse de déformation viscoplastique à la fin de la mise en charge,– en supposant que la contrainte σ11 est maintenue constante, montrer que la contrainte σ33 tendasymptotiquement vers une limite que l’on calculera. Quelles sont alors les composantes de la vitesse dedéformation viscoplastique ?

Dans ce cas on a :

J(σ∼) =

√σ2

11 +σ233−σ11σ33

2

∂J(σ∼)

∂σ∼

=3s∼

2J(σ∼)

=1√

2(σ211 +σ2

33−σ11σ33)

2σ11−σ33 0 00 −σ11−σ33 00 0 2σ33−σ11

Les vitesses des déformations viscoplastiques :

εvp11 =

√

σ211+σ2

33−σ11σ332 −σy

K

n

2σ11−σ33√2(σ2

11 +σ233−σ11σ33)

εvp33 =

√

σ211+σ2

33−σ11σ332 −σy

K

n

2σ33−σ11√2(σ2

11 +σ233−σ11σ33)

La contrainte σ11 reste constante, donc σ11 = 0. La déformation dans la direction x3 reste bloquée, on a :

ε33 = εe33 + ε

vp33 = 0

0 =1E

σ33 +

√

σ211+σ2

33−σ11σ332 −σy

K

n

2σ33−σ11√2(σ2

11 +σ233−σ11σ33)

On remarque que, hors de la zone élastique :√

σ211+σ2

33−σ11σ332 −σy

K

n

1√2(σ2

11 +σ233−σ11σ33)

> 0 ∀σ33

On suppose que σ33 a une valeur asymptotique, la condition nécessaire est donc σ33 = 0. On obtientdonc :

2σ33−σ11 = 0

ou :σ33 =

σ11

2=

σm

2Il est simple de vérifier que si σ33 = σm

2 , on a σ33 = 0. Si σ33 < σm/2, on obtient σ33 > 0, ceci montreque σ33 augmente jusqu’à la valeur asymptotique σ33 = sigmam/2. Il est ensuite impossible d’augmentercette valeur (car σ33 = 0), ni de la diminuer (car si σ33 diminue, on obtient à nouveau σ33 > 0, ceci estimpossible).

colorblack

13.1.2 Cylindre en torsion

On considère un barreau prismatique d’axe x3, de section circulaire (rayon R), et de longueur L dansle repère orthonormé (x1,x2,x3). Il est “suffisamment long” pour que les contraintes et les déformationssoient indépendantes de x3.

13.1. 23 JUIN 1997 199

Résolution en élasticité Le matériau est supposé élastique isotrope, de module d’Young E et decoefficient de Poisson ν. Le barreau est encastré dans sa partie inférieure (plan (x3 = 0)), et il subitun champ de déplacement u, pour lequel la composante selon 3 est nulle, et :

u1 =−αx2x3 u2 = αx1x3

1. Calculer les composantes du tenseur de déformation.

ε13 =12(u1,3 +u3,1) =−αx2

2

ε23 =12(u2,3 +u3,2) =

αx1

2Les autres composantes du tenseur de déformation sont nulles.

2. Calculer les composantes du tenseur des contraintes.

σ13 = 2µε13 =−µαx2

σ23 = 2µε23 = µαx1

Les autres composantes du tenseur de contraintes sont nulles.

3. Montrer que les équations d’équilibre sont vérifiées, en l’absence de forces de volume ; calculerle vecteur contrainte sur un point courant de la section latérale, et sur un point courant de la sectionsupérieure.

Les équations d’équilibre sont bien vérifiées, en l’absence de forces de volume. Sur un point courantde la section latérale, le vecteur contrainte se réduit à une composante de cisaillement :

τ =√

σ213 +σ2

23 = µα

√x2

1 + x22 = µαr

Le problème est indépendant selon x3, le vecteur contrainte de la section supérieure reste inchangé parrapport à celui d’une section latérale.

4. Calculer la force résultante sur la section supérieure, ainsi que le moment M autour de l’axe x3.En déduire que les champs obtenus sont bien la solution d’un problème de torsion autour de l’axe x3.Quelle est la signification physique de α ?

La force résultante sur la section supérieure est alors un moment de torsion qui vaut :

M =Z

S(x1σ23− x2σ13)dS = 2π

Z R

0τr2dr =

12

πµR4α

α représente l’angle de torsion unitaire, c’est-à-dire, pour une longueur d’unité, la section supérieuretourne d’un angle α par rapport à la section inférieure.

Résolution en plasticité On suppose que le matériau est élastique–parfaitement plastique, avec unelimite d’élasticité en traction simple σy.

1. En supposant que σ13 et σ23 sont les deux seules composantes non nulles du tenseur decontraintes, montrer que, pour le critère de von Mises comme pour celui de Tresca, on aura en régimeplastique :

σ213 +σ

223 = τ

2y


τy étant la limite d’élasticité en cisaillement pur.Exprimer pour chacun des deux critères τy en fonction de σy.

En régime plastique, pour notre cas de cisaillement pur, on aura :

τ = τy

On obtient donc :σ

213 +σ

223 = τ

2y

Pour le critère de von Mises :τy =

σy√3

Pour le critère de Tresca :τy =

σy

2

2. Pour quelle valeur Me du moment M une zone plastique apparaît-elle dans la structure pour lecritère de von Mises ? Quelle est sa localisation ?

La plasticité apparaît en premier sur le rayon extérieur, lorsque µαR = σy/√

3. On a donc à ce

moment un angle βe =σyL√3µR

, un moment Me =σy

2√

3πR3.

3. Montrer que le problème d’obtention des contraintes dans la zone plastique est statiquementdéterminé, c’est-à-dire que l’on peut obtenir les contraintes dans la structure sans référence à ladéformation.

En plasticité parfaite, la déformation ainsi que la contrainte sont imposées par le «noyau» qui resteélastique, elles sont toujours linéaires en fonction du rayon. A la frontière entre les zones élastique etplastique, le critère de plasticité est vérifié, on a donc :

τ = σθz =σy√

3

Dans la zone plastique, la contrainte reste constante, τ = σy/√

3. Le problème est donc statiquementdéterminé.

4. Donner la forme du tenseur de vitesse de déformation plastique dans la zone plastique. Montrer,pour un point du barreau qui est d’abord en élasticité, puis en plasticité, que le trajet de déformationdans le plan ε13–ε23 est un segment de droite dont la pente reste inchangée lors du passage en plasticité.

On a le tenseur des contraintes :

σ∼

=

0 0 σ130 0 σ23

σ13 σ23 0

Tenseur de direction d’écoulement :

n∼

=32

0 0 σ13/σy

0 0 σ23/σy

σ13/σy σ23/σy 0

Les champs de vitesse de déformation plastique :

εp13 =

3σ13

2σyp

13.1. 23 JUIN 1997 201

εp23 =

3σ23

2σyp

Les champs de déformation totale s’écrivent :

ε13 =σ13

2µ+

3σ13

2σyp

ε23 =σ23

2µ+

3σ23

2σyp

Dans le plan ε13− ε23 pour un point qui passe de l’élasticité en plasticité, nous avons toujours :

ε13

ε23=

σ13

σ23=−x2

x1

Cette dernière équation représente que le trajet de déformation est un segment droite qui reste inchangéepour un point.

5. En déduire que le champ de déplacement utilisé en élasticité reste valide en élasto–plasticité, cequi justifie en même temps l’hypothèse que seules σ13 et σ23 sont non nulles. On a donc trouvé unesolution plastiquement admissible, compatible avec les conditions statiques et cinématiques imposées àla structure.

Avec un rapport constant ε13/ε23 =− x2x1

pour un point qui passe de l’élasticité en plasticité, le champde déplacement utilisé reste encore valide en élasto-plasticité.

6. Calculer, pour une valeur donnée de α, la valeur c du rayon où se trouve la frontière entre la zoneélastique et la zone plastique. Calculer la valeur du moment obtenue en fonction de c.

la frontière entre les zones élastique et plastique, le critère de plasticité est vérifié, on a donc :

τ = µαc =σy√

3

c =σy

µα√

3

On obtient le moment par intégration, soit :

M = 2π

Z R

0τr2dr

=2πσy√

3

(Z c

0

r3

cdr +

Z R

cr2dr

)=

23

πσy√

3

(R3− c3

4

)

7. Quelle est la valeur maximale théorique MM du moment que peut supporter le barreau ?

La valeur limite MM est obtenue pour c = 0 :

MM =23

πσy√

3R3 =

43

Me

8. On suppose qu’on effectue un chargement jusqu’à un moment Mm, tel que Me < Mm < MM, puisque l’on ramène le moment à zéro. Tracer la variation de τ (tel que τ2 = σ2

13 +σ223) le long du rayon r


(0 < r < R) pour le moment maximum et après retour à zéro. Risque-t-on de rencontrer de nouveau ledomaine plastique lors de la décharge ?

On suppose que la décharge s’effectue en élasticité et on le vérifiera après. Le résultat du problèmeest alors la superposition des deux cas : le chargement élastoplastique jusqu’à Mm et la décharge élastiquede Mm à zéro. On obtient alors :

- si r = 0 τ = 0

- si r = c τ =σy√

3− 2cMm

πR4

- si r = R τ =σy√

3− 2Mm

πR3

Notons que l’hypothèse de décharge élastique est vérifiée car :

τ(R) =σy√

3− 2Mm

πR3 <σy√

3−

4σy

3√

3=−

σy

3√

3

On ne pourra pas rencontrer de nouveau la plasticité lors de la décharge.

9. Le type de préchargement décrit dans la question précédente est utilisé industriellement pourtraiter par exemple les arbres de transmission. Quel intérêt voyez-vous à un tel traitement en vued’une utilisation ultérieure ? Montrer qu’il est fondamental de mémoriser le sens de rotation lors dela précharge, faute de quoi on détériore la valeur du moment élastique apparent au lieu de l’améliorer.

Après la décharge, si l’on continue un chargement dans le même sens avec le préchargement, le trajetreste encore en élasticité jusqu’à M = Mm > Me. Nous avons alors une valeur du moment élastique plusgrande. Si l’on effectue le chargement dans le sens inverse avec celui du préchargement, le trajet resteencore en élasticité jusqu’à M = Mm− πR3σy√

3< Me.

13.2 12 juin 1998

13.2.1 Etude de la localisation dans une plaque

tn

x

x

1

2

Φx3

On applique sur un parallélipipède dont les arêtes sont respectivement parallèles aux axes x1, x2 et x3de vecteurs directeurs (e1, e2, e3) un effort caractérisé dans ce repère par un tenseur dont les seulescomposantes non nulles sont σ11, σ22 et σ33.

On veut caractériser la direction des faces selon lesquelles risque de s’établir une instabilitéconduisant à la ruine par déformation excessive. On suppose que le matériau est rigide-plastique (pasde déformation élastique, limite d’élasticité σ0), et qu’il obéit au critère de von Mises.

13.2. 12 JUIN 1998 203

On suppose également que la plaque est entièrement plastifiée. La direction de la face recherchée estdéfinie par le vecteur n, qui est situé dans le plan (x1, x2), et qui fait un angle Φ avec e2. Elle contient doncles vecteurs t et e3, le repère (t,n) étant direct. Le problème se résume à démontrer qu’il peut exister unediscontinuité du champ de contrainte lorsqu’on traverse une ligne définie par la direction t, c’est-à-direque, connaissant complètement la solution d’un côté de la ligne définie par t, il peut être impossible dedéterminer complètement la solution de l’autre côté.

1. Indiquer la forme du tenseur des contraintes dans le repère (t, n, e3). Ecrire les équationsd’équilibre dans ce repère. (On introduira les notations σnn, σtt , σnt et les dérivées partielles ∂./∂n = .,net ∂./∂t = .,t).

Dans le repère indiqué, les composantes du tenseur de contrainte sont :σtt σnt 0σnt σnn 00 0 σ33

avec, en notant c = cosΦ et s = sinΦ :

σtt = σ11c2 +σ22s2σnn = σ11s2 +σ22c2

σnt = (σ11−σ22)cs

Les équations d’équilibre s’expriment alors :

σtt,t +σnt,n = 0 et σnt,t +σnn,n = 0

2. Indiquer quelles sont les dérivées partielles des composantes du tenseur des contraintes qui sontconnues en un point de la face définie par (t, e3), et dire pourquoi on ne peut pas déterminer σtt,n =∂σtt/∂n.

On peut suivre dans chaque matériau des lignes parallèles à t, donc définir les dérivées partielles parrapport à t. Grâce aux équations précédentes, la donnée de σtt,t et σnt,t permet de définir σnt,n et σnn,n aupassage de la frontière. Il n’y a par contre pas d’information particulière pour connaître σtt,n.

3. En désignant par f la fonction qui définit le critère de von Mises, la condition de plastificationde l’ensemble de la plaque impose l’équation supplémentaire : ∂ f /∂n = 0. Exprimer cette condition en

fonction des composantes du tenseur des contraintes dans (t,n), et montrer qu’elle permet en général dedéterminer la dérivée partielle manquante ∂σtt/∂n, ce qui clôt alors le problème (on suppose pour celaconnus l’état de contrainte d’un côté de la ligne t, et les dérivées partielles de la question (2)).

L’expression de l’invariant de von Mises dans le repère (t, n, e3) est :

J =(

12[(σnn−σtt)2 +(σtt −σ33)2 +(σ33−σnn)2]+3σ

2nt +3σ

2t3 +3σ

23n

)1/2

En annulant la dérivée partielle de f par rapport à n, il vient :

f,n = (2σnn−σtt −σ33)σnn,n +(−σnn +2σtt −σ33)σtt,n +3σntσnt,n = 0

Cette équation permet de déterminer σtt,n, pourvu que le terme (−σnn +2σtt −σ33) soit non nul.

4. Il existe cependant des angles Φ pour lesquels cette détermination est impossible (le terme enfacteur de ∂σtt/∂n est nul), ce qui définit une direction n pour laquelle une discontinuité est susceptiblede prendre naissance. Chercher l’angle Φ dans les conditions suivantes :


a. état de traction simple, seule contrainte non nulle σ11 ;

b. état de contrainte plane (σ33 = 0), chargement de type cisaillement σ11 =−σ22 ;

c. état de contrainte plane (σ33 = 0), chargement biaxial σ11 = σ22 ;

a. Comme σtt = σ11c2 et σnn = σ11s2, la condition de la question précédente s’écrit ici :

2σ11c2−σ11s2 = 0

L’angle Φ vaut donc :Φ = atan(

√2)≈ 54,73

b. Comme σtt = σ11(c2− s2) et σnn = σ11(s2− c2) il vient :

3σ11(c2− s2) = 0

L’angle Φ vaut donc 45.c. Comme σtt = σnn = σ11 il vient :

σ11 = 0

Il n’y a pas de localisation dans ce cas.

5. On suppose maintenant que l’on se trouve en déformation plane (ε33 = 0). Trouver dans ce casl’expression de σ33 en fonction de σ11 et σ22. Trouver l’angle Φ dans les trois cas suivants :

a. état de traction plane, σ22 reste nulle, σ11 non nulle ;

b. chargement de type cisaillement σ11 =−σ22 ;

c. chargement biaxial σ11 = σ22 ;

Comme le matériau est rigide-plastique, la condition de déformation plane impose que la composante33 de la vitesse de déformation plastique soit nulle. Elle est proportionnelle à la composantecorrespondante du déviateur, soit à (2σ33−σtt −σnn). On a donc σ33 = (σtt +σnn)/2.Le terme à annuler devient alors simplement (3σtt −3σnn), on cherche donc à réaliser σtt = σnn.a. En traction plane, σ22 restant nulle, il faut assurer σ11s2 = σ11c2, on trouve donc Φ = 45

b. En cisaillement, il faut assurer σ11(s2− c2) = σ11(c2− s2), on trouve donc de nouveau Φ = 45.c. Sous chargement biaxial, on a σnn = σtt = σ11, toutes les directions sont susceptibles de voir apparaître

une localisation.

6. Apporter un commentaire sur les possibilités de trouver des facettes susceptibles de présenter le

phénomène de localisation pour des directions de n qui ne seraient pas dans le plan (e1,e2).

13.2.2 Description du phénomène d’endommagement en fluage

Sous contrainte constante, lors d’un chargement de fluage, les matériaux se dégradent. Ainsi descavités croissent aux joints de grain ou à l’intérieur des grains pour les matériaux métalliques, ce qui aun effet sur les propriétés mécaniques. On cherche ici à étudier un modèle élémentaire qui représentecet endommagement sous la forme d’une variable scalaire, D, qui évolue à partir de O, dans l’état initiallibre de défauts, jusqu’à 1 lorsque le matériau se rompt.

13.2. 12 JUIN 1998 205

Étude en traction uniaxiale :1. On suppose que l’évolution de l’endommagement est donnée par l’équation différentielle suivante, oùD désigne la dérivée temporelle et où A et r sont des coefficients dépendants du matériau :

D =(

σ

A(1−D)

)r

Intégrer cette équation entre le temps t = 0 et un instant courant t, pour lequel l’endommagement prend lavaleur D, la valeur initiale étant D = 0. La période de mise en charge est considérée comme négligeable,si bien que σ = σ0 pour t > 0. En déduire l’expression du temps à rupture tt , lorsque D = 1. Donnerl’expression de la variation de D en fonction du rapport t/tt .

L’équation se met sous la forme :

(1−D)rdD =(

σ0

A

)rdt

Pour un instant courant, en tenant compte des conditions initiales, il vient :

1r +1

(1− (1−D)r+1)=

(σ0

A

)rt

Pour D = 1, on obtient le temps à rupture, tt , dans l’équation précédente :

tt =1

r +1

(σ0

A

)−r

On obtient ainsi l’expression demandée pour D :

D = 1−(

1− ttt

)1/(r+1)

2. L’endommagement augmente la vitesse de déformation viscoplastique. Ainsi un modèle de Nortonest-il classiquement modifié de la façon suivante pour tenir compte de la présence d’endommagement(on prendra K > 0, n > 1, r > 1) :

εp =

(σ

K(1−D)

)n

K et n étant les coefficients matériau caractérisant la viscosité. En remplaçant l’endommagement parson expression dans la question précédente, calculer l’évolution de la déformation viscoplastique enfonction du temps. Montrer que l’on peut avec ce modèle représenter le fluage tertiaire, au cours duquella vitesse de déformation viscoplastique augmente au cours du temps. Comment varie la valeur de ladéformation viscoplastique à rupture en fonction de la charge appliquée ? Discuter sa valeur en fonctiondes valeurs respectives des exposants n et r.

Le terme (1−D) situé au dénominateur diminue au cours du chargement, si bien que la vitessede déformation augmente, représentant ainsi du fluage tertiaire. La déformation viscoplastique s’obtientcomme solution de l’équation :

dεp =

(σ0

K

)n(

1− ttt

)−n/(r+1)

dt

L’intégration de cette équation présente un cas particulier si n = r +1. Dans ce cas, il vient :

εp =

1r +1

(σ0

K

)n(σ0

A

)−rLn(

11− t/tt

)


Dans les autres cas, l’intégration donne :

εp =

1r +1−n

(σ0

K

)n(σ0

A

)−r[

1−(

(1− ttt

))(r+1−n)/(r+1)

]

La déformation à rupture εpR s’obtient en faisant t = tt dans la formule précédente :

εpR =

Ar

Kn

σn−r0

r +n−1

On distingue alors les cas suivants :– si r 6 n−1, la déformation à rupture théorique est infinie ;– si n−1 < r < n, la déformation à rupture théorique diminue avec le niveau de contrainte ;– si r = n, la déformation à rupture théorique vaut Ar/Kn quel que soit le niveau de contrainte ;– si n < r, la déformation à rupture théorique augmente avec le niveau de contrainte.

3. On effectue maintenant un chargement à deux niveaux : premier niveau à une contrainte σ1pendant un temps t1, puis second niveau à une contrainte σ2 pendant un temps t2. En appelantrespectivement tc1 et tc2 les temps à rupture sous une contrainte σ1 et σ2, trouver la valeur de la duréede vie résiduelle t2 en fonction de t1, tc1 et tc2, la variable D étant continue lors du changement de niveaude chargement.

A la fin du premier chargement, l’état d’endommagement est tel que :

1− (1−D1)r+1 =t1tc1

En appelant τ le temps passé au second niveau, une intégration à partir de D1 fournit la valeur del’endommagement au second niveau :

(1−D1)r+1− (1−D)r+1 =τ

tc2

Pour obtenir la relation demandée, il suffit alors d’affecter la valeur 1 à l’endommagement D, et d’ajoutermembre à membre les expressions caractéristiques de chaque niveau. On trouve la classique relation decumul linéaire des endommagements au deux niveaux :

t1tc1

+t2tc2

= 1

Étude en multiaxial

4. En fonction du matériau que l’on considère, la variable critique pour généraliser aux chargementstridimensionnels le modèle précédent peut être le critère de von Mises (ou Tresca), la contrainte normaleprincipale, ou une combinaison de ces variables avec la pression hydrostatique. Comparer ces différenteshypothèses en traçant les courbes qui donneraient alors un endommagement équivalent dans le plan(σ11–σ22), en supposant que toutes les autres composantes sont nulles, avec les valeurs équivalentessuivantes :

a. critère de von Mises ;b. critère de Tresca ;c. plus grande contrainte normale principale, σP1 ;d. le premier invariant du tenseur de contrainte, I1 = traceσ

∼.

13.2. 12 JUIN 1998 207

σ11

σ22

σy

σy

σy

σy

σ11

σ22

σy

σy

von Mises et Tresca σP1 et I1

5. Ces variables sont-elles indépendantes ? On choisit comme contrainte équivalente en 3D la formesuivante, où k est un paramètre matériau (avec 0 6 k < 1/2) :

σeq = (1− k)J(σ∼)+ k I1

et où J(σ∼) désigne l’invariant de von Mises. L’endommagement, qui est toujours considéré comme

scalaire, évolue maintenant en tridimensionnel selon (A>0) :

D =(

σeq

A(1−D)

)r

Déterminer en fonction de la valeur choisie pour k les valeurs des contraintes qui produisent le mêmeendommagement qu’une contrainte σ0 en traction simple, dans le cas de :

a. cisaillement pur σ12 = τ ;b. compression simple σ11 = σc < 0.

Les valeurs précédentes ne sont pas indépendantes. En se limitant à J et I1, on obtient les valeurséquivalentes suivantes :

– en torsion pure (I1=0 ; J = τ√

3 ; σeq = τ√

3, donc la valeur de τ cherchée vaut : τ = σ0/√

3– en compression simple (I1 = σ ; J = |σ|=−σ, σeq =−σ(1−2k), d’où : σc =−σ0/(1−2k)

6. On effectue un chargement de fluage cyclique uniaxial, au cours duquel la contrainte passe en untemps négligeable de la valeur σ0 à la valeur −σ0. Indiquer ce qui se passe qualitativement au coursdes cycles successifs. Comparer l’expression de l’évolution de la déformation viscoplastique pendantun temps t0 à σ0 et pendant le même temps à −σ0 pour un état initial identique, et en tirer une valeurapprochée de l’évolution de la déformation viscoplastique au cours de l’essai. Quelle la valeur du tempsà rupture ?

On introduit la notion de cycle, période de temps T = 2t0 correspondant au chargement défini ci-dessus. En négligeant l’évolution de l’endommagement au cours du cycle, on peut facilement évaluerl’évolution de la déformation viscoplastique au cours d’un cycle, pour une valeur D = DN , en ajoutant lacontribution (positive) du temps t0 passé à σ0 et celle (négative) du temps t0 passé à −σ0 :

∆εpN = t0

(σ0

K(1−DN)

))n (1− (1−2k)n)

Il est par ailleurs possible d’évaluer la valeur de DN au cycle N à partir de la valeur DN−1 atteinteau cycle N − 1 en cumulant, au cours d’un cycle, les contributions de chaque période de chargement.L’endommagement évolue alors entre DN−1 et DN , selon la formule suivante, dans laquelle on a introduittt , temps à rupture en fluage pur sous la contrainte σ0, et tc, temps à rupture en fluage pur sous la contrainte−σ0. On a :

(1−DN−1)r+1− (1−DN)r+1 =t0tt

+t0tc


En sommant maintenant le résultat de tous les cycles précédant le cycle N, il vient :

(1−DN)r+1 = 1− Nt0tr

avec1tr

=1tt

+1tc

L’incrément de déformation plastique par cycle varie donc en fonction du nombre de cycles, en suivantl’expression :

∆εpN

∆N= t0

(σ0

K

)n(1− (1−2k)n)

(1− Nt0

tr

)−n/(r+1)

Après intégration en termes de cycles, on trouve une formule tout à fait semblable à la formule obtenuesous charge constante :

εpN = tr

(σ0

K

)n(1− (1−2k)n)

(1− Nt0

tr

)1−n/(r+1)

Il y a donc une dérive vers les déformations positives dès lors que le coefficient k est positif (il doit aussirester inférieur à 0.5).

Étude en relaxation uniaxiale

En relaxation, on complète les équations qui définissent le modèle par la relation de décompositionde la déformation :

ε =σ

E(1−D)+ ε

p

et l’on écrit que la déformation totale est maintenue constante à une valeur ε0, avec comme conditionsinitiales σ = σ0 = Eε0, D = 0 et ε

p0 = 0.

7. Quelle est l’évolution de la déformation plastique pendant la relaxation ? Quelle est la valeurlimite ? Même question pour la contrainte.

Pendant la relaxation, la déformation plastique augmente et la contrainte diminue. Comme il n’y apas de seuil dans la loi de comportement, la valeur asymptotique de la contrainte est 0, et celle de ladéformation viscoplastique ε0.

8. Caractériser l’évolution de l’endommagement. La rupture peut-elle se produire pendant larelaxation ? Discuter.

13.3 15 juin 1999

13.3.1 Plasticité biaxiale

On étudie l’influence du trajet de chargement sur la déformation d’une plaque, dont le plan est normalà l’axe 3. La plaque est constituée d’un matériau élastique-parfaitement plastique, de limite d’élasticitéσy, et de caractéristiques élastiques E (module de Young) et ν (coefficient de Poisson). Le critère deplasticité est celui de von Mises, défini par la fonction de charge f (σ

∼) = J(σ

∼)−σy, avec J(σ

∼) = (1.5 s

∼:

s∼)0.5, s

∼désignant le déviateur de σ

∼. Dans un premier temps, on appliquera une traction simple dans la

direction 1, puis, à partir de l’état obtenu, on appliquera une traction biaxiale, à la fois en direction 1et 2. Le résultat obtenu sera comparé avec le résultat d’un chargement qui amène directement au mêmeétat final. Dans l’ensemble du problème, tous les cisaillements sont supposés nuls, de même que lacontrainte σ33. On notera simplement σ1 et σ2 les contraintes principales en direction 1 et 2, ε1 et ε2 les

13.3. 15 JUIN 1999 209

déformations correspondantes.Pour les applications numériques, on choisira les valeurs suivantes :

E = 100000 MPa ; ν = 0,3 ; σy = 500 MPa

1. On effectue d’abord une traction simple à déformation imposée dans la direction 1, la déformationε1 variant de 0 à 0.02. On suppose que la contrainte σ2 reste nulle. Tracer dans ce cas :- la courbe de traction donnant σ1 fonction de ε1 ;- la courbe définissant ε2 en fonction de ε1, en distinguant bien la partie élastique et la partie plastique ;quelle est la valeur de ε2 en fin de traction ?- la forme de la surface de charge dans le plan σ1−σ2, en positionnant le point représentatif du régimeplastique observé en traction simple.

La courbe de traction donnant σ1 fonction de ε1 :

0

100

200

300

400

500

600

0 0.005 0.01 0.015 0.02

cont

rain

te

deformation

sig11

La courbe définissant ε2 en fonction de ε1 :

-0.01

-0.009

-0.008

-0.007

-0.006

-0.005

-0.004

-0.003

-0.002

-0.001

0

0 0.005 0.01 0.015 0.02

defo

rmat

ion

e22

deformation e11

e22

A la plasticité commençante, on a :

εe11 =

σ11

E=

500100000

= 0.005

εe22 =−νε11 =−0.0015

Tenseur déviatorique :

s∼

=σ

3

2 0 00 −1 00 0 −1

Tenseur de direction d’écoulement :

n∼

=12

2 0 00 −1 00 0 −1


On trouve ainsi :ε

p22 =−1

2ε

p11 =−0.0075

En fin de traction, on a donc :

ε22 =−0.0015−0.0075 =−0.009

Dans le plan σ1−σ2, la surface de charge du critère von Mises se représente :

σy

σy

σ

σ

y

y

2

1

−σ

−σ

Dont le point représentatif du régime plastique observé en traction simple est (σy,0).

2. A partir de l’état de fin de traction simple, on effectue maintenant un trajet de chargement danslequel les deux déformations ε1 et ε2 sont imposées, la contrainte σ3 restant nulle. On suppose dansles questions suivantes que l’écoulement plastique n’est pas stoppé lors du changement de trajet dechargement. Ecrire alors le déviateur de contraintes, puis les composantes n1 et n2 de la normale à lasurface de charge, définie par n

∼= ∂ f /∂σ

∼.

Tenseur de contrainte :

σ∼

=

σ11 0 00 σ22 00 0 0

Déviateur de contraintes :

s∼

=13

2σ11−σ22 0 00 2σ22−σ11 00 0 −σ11−σ22

J(σ) =

√σ2

11 +σ222−σ11σ22 = σy

n1 =2σ11−σ22

2√

σ211 +σ2

22−σ11σ22

=2σ11−σ22

2σy

n2 =2σ22−σ11

2√

σ211 +σ2

22−σ11σ22

=2σ22−σ11

2σy

3. Ecrire la vitesse de déformation élastique. Exprimer alors la vitesse de déformation totale enfonction des vitesses de contraintes, de n1 et n2, et du multiplicateur plastique λ.

Vitesse de déformation élastique :

εe11 =

σ11

E− ν

Eσ22

13.3. 15 JUIN 1999 211

εe22 =

σ22

E− ν

Eσ11

Vitesse de déformation totale :ε11 =

σ11

E− ν

Eσ22 +n1λ

ε22 =σ22

E− ν

Eσ11 +n2λ

4 Ecrire la condition de cohérence, montrer qu’elle impose la direction de la vitesse de contrainte.Comparer les orientations de la vitesse de contrainte et de la vitesse de déformation plastique,commenter.

Condition de cohérence f = 0 s’écrit :

2σ11σ11 +2σ22σ22− σ11σ22− σ22σ11 = 0

Cette dernière équation nous donne :σ11

σ22=

2σ11−σ22

2σ22−σ11ou :

σ11

σ22=

εp11

εp22

5. On choisit d’appliquer la même vitesse de déformation sur les deux composantes 1 et 2 : ε1 =ε2 = ε. Montrer en combinant les équations en déformation totale de la question 3 que l’on peut faireapparaître deux équations faisant intervenir respectivement le multiplicateur plastique, la somme et ladifférence des contraintes σ1 et σ2 et de leurs dérivées.

En combinant les équations en déformation totale de la question 3, on obtient :

1+ν

E(σ11− σ22)+

3λ

2σy(σ11−σ22) = 0

1−ν

E(σ11 + σ22)+

λ

σy(σ11 +σ22) = 2ε

6. Montrer que l’on peut exprimer les contraintes admissibles au cours de l’écoulement sous formeparamétrique, en introduisant l’angle φ, tel que :

σ1 +σ2 = 2σy cosφ ; σ2−σ1 = (2/√

3)σy sinφ

A quels états de contrainte particuliers correspondent les points obtenus respectivement pour φ =−π/3,φ =−π/6, φ = 0 ?

On a le critère de von Mises : √σ2

11 +σ222−σ11σ22 = σy

Où l’on peut réécrire sous forme :

(σ11 +σ22)2

4σ2y

+3(σ11−σ22)2

4σ2y

= 1

Il est donc possible de paramétrer l’écoulement en introduisant l’angle φ, tel que :

sinφ =σ22−σ11

(2/√

3)σy


cosφ =σ11 +σ22

2σy

Pour φ = π/3, on obtient : σ22 = σy, σ11 = 0, c’est le cas traction simple dans la direction 2.Pour φ = π/6, on obtient : σ22 = 2σ11 = 2/

√3σy, c’est le cas de cisaillement pur.

Pour φ = 0, on obtient : σ22 = σ11 = σy, c’est le cas traction biaxiale.

7. Ecrire l’équation différentielle reliant φ et le multiplicateur plastique (on utilisera les résultatsde I.6). En utilisant le fait que le multiplicateur plastique est égal à la vitesse de déformation plastiquecumulée, exprimer l’évolution de cette dernière sur le trajet de chargement ε1 = ε2 = ε. Trouver lavaleur de φ lorsque la déformation cumulée est égale à 0.01. En déduire que le point représentatif duchargement devient rapidement stationaire. Où se situe ce point dans le plan des contraintes σ1−σ2 ?

Nous avons :σ2−σ1 = (2/

√3)σy sinφ

σ2− σ1 = (2/√

3)σy cosφφ

En les remplaçant dans la première équation de la question 5 et en utilisant le fait que λ = p, on obtient :

p =−2(1+ν)σy

3Ecosφ

sinφφ

p =−2(1+ν)σy

3Eln| sinφ

sin(π/3)|

En appliquant les valeurs numériques, on obtient :

φ = 0.086

Ce dernier nous donne : sinφ = 0.086 et cosφ = 0.996 Et :

σ22−σ11 = 0.099σy

σ22 +σ11 = 1.992σy

On obtient donc : σ22 = 1.045σy = 522.5 et σ11 = 0.947σy = 473.5 Le point représentatif du chargementdevient rapidement stable au point (σy,σy), ce qui corresponde à φ = 0.

8. En utilisant le point précédent, qui définit donc l’état de contrainte, donner l’expression descomposantes 1 et 2 du tenseur de déformation plastique en fonction de la déformation courante aucours du trajet de chargement biaxial. Quelle est la valeur obtenue pour ε1 = 0,029; ε2 = 0 (ce résultatn’est qu’approché car l’état de contrainte utilisé n’est en fait atteint qu’asymptotiquement) ?

On a approximativement : σ1 = σ2 = σy et :

εp1 −0.015 = ε1−0.02+

νσy

E

εp2 +0.0075 = ε2 +0.009−

σy

EPour ε1 = 0,029; ε2 = 0, on obtient :

εp1 = 0.0255

εp2 =−0.0035

9. On s’intéresse maintenant à l’état final obtenu dans un trajet de chargement «direct», àdéformation imposée, la valeur finale étant ε1 = 0.029; ε2 = 0, en conservant toujours σ3 = 0. Quelest le point représentatif sur la surface de charge ? En déduire la valeur des déformations plastiquesatteintes en fin de chargement (la question I.9 peut être traitée indépendamment du reste du problème,même remarque qu’en I.8).

13.3. 15 JUIN 1999 213

13.3.2 Estimation de la zone plastique en pointe de fissure

Le champ de contrainte calculé en élasticité présente une singularité en pointe de fissure,caractérisée par exemple par les équations de Westergaard. Il est donc vraisemblable que le matériauà proximité de la pointe se plastifie. On étudie ici quelques cas très simples, qui pemettent de se faireune idée de la forme des zones plastiques qui se développent. On utilisera les équations correspondantau mode I (voir le paragraphe10.3) . On suppose par ailleurs que le matériau est élastique-parfaitementplastique, et qu’il obéit au critère de Tresca.

II.1 Exprimer les valeurs de σ11, σ22 et σ12 pour des angles θ de 0 et π/2.

Les équations pour le mode I sont les suivantes :

σ11 =KI√2πr

cosθ

2

(1− sin

θ

2sin

3θ

2

)

σ22 =KI√2πr

cosθ

2

(1+ sin

θ

2sin

3θ

2

)

σ12 =KI√2πr

cosθ

2sin

θ

2cos

3θ

2

Les valeurs de σ11, σ22 et σ12 pour les angles θ = 0 et θ = π/2 sont :

θ = 0−→ σ11 =KI√2πr

, σ22 =KI√2πr

, σ12 = 0

θ =π

2−→ σ11 =

KI

4√

πr, σ22 =

34

KI√πr

, σ12 =− KI

4√

πr

II.2 Pour un chargement extérieur donné, caractérisé par KI , définir la distance r(θ) pour laquellela valeur de la limite d’élasticité est atteinte, pour les deux valeurs de la question précédente, dans lecas où l’on est en contrainte plane. Cela donne une approximation de la forme de la zone plastique.Pourquoi cette méthode n’est elle qu’approchée ?

La taille de la zone plastique est souvent approchée par la condition : σ22 = σY , donc, dans le cas oùθ = 0 :

KI√2πr

= σY

si bien que :

ρT = r =1

2π

(KI

σY

)2

Pour θ = π/2 il vient alors :34

KI√πr

= σY =⇒ ρT =9

16π

(KI

σY

)2

Cette approche souffre d’un double défaut. Avant tout, on écrit une condition de plasticitéunidimensionnelle alors que l’état de contrainte est multiaxial. En second lieu, en présence d’uncomportement parfaitement plastique, il faut prendre en compte la majoration de la contrainte par σy

dans la zone plastique, qui rend la solution élastique caduque. Une redistribution de contrainte est alorsnécessaire pour préserver l’équilibre dans la section.


σ

Y

ρ ρT I

σ

ρT

L’hypothèse choisie pour effectuer la redistribution consiste simplement à translater selon X la courbede σ22 déterminée en élasticité.

ρTZ0

(KI√2πx

−σY

)dx =

ρT +XZρT

(σY −

KI√2πx

)dx+

∞ZρT

(KI√

2π(x+X)− KI√

2πx

)dx

On obtient successivement :

X =1

2π

(KI

σY

)2

= ρT

et le rayon de la zone plastique :

ρI =1π

(KI

σY

)2

II.3 Dans le cas où la structure est en déformation plane selon la direction 3, donner la forme de lacontrainte σ33 en fonction de σ11 et σ22. En déduire les valeurs r(θ) pour les deux angles précédents.Expliquer qualitativement pourquoi il est normal de trouver une taille de zone plastique plus petite dansce dernier cas.

Dans un chargement de type déformation plane, la composante σ33 peut être déterminée par :

σ33 = ν(σ11 +σ22)

σ33(0) = ν√

2KI√πr

; σ33

(π

2

)= ν

KI√πr

II.4 En se replaçant maintenant en contrainte plane, on imagine qu’après avoir chargé jusqu’à unevaleur KI , on relâche le chargement jusqu’en 0. Montrer que dans ce cas il existe une zone plastiquede recompression au voisinage de la pointe, dont la taille est environ le quart de la zone plastique detraction.

Lors du déchargement, on applique un champ élastique tel que la force résultante finale correspondeau nouveau chargement. Après une phase purement élastique, on observe de l’écoulement plastique decompression dans une petite zone au voisinage de la pointe de fissure.

13.4. 19 JUIN 2000 215

A’ B’

E

CD

A B

Stre

ss

Displacement

Yealdstress

0

Cet écoulement plastique en compression est présent dans la zone pour laquelle la décharge dépasse−2σy. On peut l’évaluer à partir des valeurs respectives des facteurs d’intensité de contrainte min et max.Dans le cas présent, la contrainte min est nulle, si bien que ∆σ = σM. La taille de la zone plastique estobtenue par :

σ22 = 2σyKI√2πr

= 2σY

d’où :

r =1

8π

(KI

σY

)2

= ρcomp ρcomp =ρT

4

13.4 19 juin 2000

13.4.1 Zone plastique et effet de retard en propagation de fissure

On considère une fissure de longueur 2a située en −a ≤ x1 ≤ a sur l’axe x1 dans une plaque carréecomprise entre ±b en x1 et x2, avec a b. On applique une contrainte normale σM en x2 = ±b. Dansces conditions, le facteur d’intensité de contrainte de la fissure (mode I) est KI = σM

√πa. La structure

étant symétrique par rapport aux axes, on étudiera la pointe de fissure située en x1 = a.


1. On rappelle que dans ce cas, le champ de contrainte σ22 au voisinage de la pointe de fissure estéquivalent à KI/

√2πr, r étant la distance à la pointe. Commenter.

L’analyse du champ de contrainte en pointe de fissure conduit à l’écriture d’un champ biaxialcomportant trois composantes σ11, σ22, σ12 dans le cas d’une plaque, que l’on supposera donc chargée encontraintes planes. On traitera le problème de la zone plastique en réduisant le problème à un problèmeunidimensionnel sur la composante σ22, sur l’axe x2. Dans ce cas, l’expression générale

σ22 =KI√2πr

cosθ

2

(1+ sin

θ

2sin

3θ

2

)devient (θ = 0) :

σ22 =KI√2πr

2. Une pratique classique pour évaluer la taille de la zone plastique en pointe consiste à comparerl’expression précédente à σY , en supposant le matériau élastique–parfaitement plastique. Quelle valeurobtient-on pour ρT , rayon de zone plastique pour une contrainte appliquée σM ?

Dans le cas d’un modèle parfaitement plastique, il vient :

σ22 = σY

avec :σ22 =

KI√2πr

si bien que :

r = ρT =1

2π

(KI

σY

)2

3. Si on ramène le chargement extérieur à zéro, il se développe au voisinage de la pointe une zone oùl’on replastifie en compression. Indiquer en suivant toujours la même approche simplifiée la dimensionρC de cette zone en fonction de ρT .

Lors du déchargement, on suit le trajet indiqué sur la figure ci-dessous, et on atteint la plasticité encompression lorsque la variation de la contrainte locale est de 2σy.

A’ B’

E

CD

A B

Stre

ss

Displacement

Yealdstress

0

13.4. 19 JUIN 2000 217

La zone plastique correspondante est donc définie par :

KI√2πρC

= 2σY

soit :

r =1

8π

(KI

σY

)2

= ρcomp

et :ρC =

ρT

4

4. La méthode précédente ne conserve pas la résultante selon x2. La véritable zone plastique entraction a donc une taille ρI plus grande que ρT . On reprend donc la question 2, en utilisant maintenantun autre modèle approché (Irwin), qui consiste à compenser la troncature de la distribution élastique ensupposant que le niveau de contrainte entre ρT et ρI est encore σY , et que le champ élastique est reportéau-delà de ρI (figure ci-dessous). Montrer que l’on trouve alors :

ρI =1π

(KI

σY

)2

!"$#%'&()*!"

En plus de ne considérer que l’aspect unixial, la méthode précédente détruit l’équilibre, au sensoù elle se contente de tronquer un champ obtenu en élasticité. Il est posible d’améliorer l’évaluationen distribuant la force ainsi négligée en avant de la pointe de la fissure. Cette force correspond à lapartie de σ22 qui dépasse σy pour x 6 ρT . La construction d’Irwin consiste à former alors un profil decontrainte modifié, suivant la figure ci-dessus, dans lequel la taille de la zone plastique est maintenant ρI .On suppose alors que la distribution élastique de σ22 est translaté d’une quantité X selon x1, et que l’aireau dessus de σy est compensée par celle qui sépare le nouveau profil de la courbe originale. On écrit donc :

ρTZ0

(KI√2πx

−σY

)dx =

ρT +XZρT

(σY −

KI√2πx

)dx+

∞ZρT

(KI√

2π(x+X)− KI√

2πx

)dx

D’où :

X =1

2π

(KI

σY

)2

= ρT


La nouvelle évaluation de la zone plastique est donc :

ρI =1π

(KI

σY

)2

5. Indiquer les faiblesses des méthodes précédentes.

Comme indiqué précédemment, la faiblesse principale est le traitement uniaxial du problème.

6. On veut maintenant étudier la propagation de fissure en fatigue, avec un chargement extérieurappliqué entre 0 et σM. On suppose que la loi de propagation définit la vitesse d’avancée de fissure parcycle par :

dadN

= C (KI −KS)η

où KI = σM√

πa, KS = kσY√

πρ (0 < k < 1) et où ρ est la taille actuelle de la zone plastique (définitionde Irwin). Simplifier l’expression précédente en introduisant a, σM et σY .

L’expression de la vitesse de propagation en chargement cyclique est :

dadN

= C (KI −KS)η

En tenant compte du fait que KI = σM√

πa, KS = kσY√

πρ et ρ = 1π

(KIσY

)2, il vient :

KS = kσY

√π

1π

(KI

σY

)2

= kKI

dadN

= C (KI(1− k))η = C(σM√

πa(1− k))η

7. Pour une longueur de fissure telle que x1 = a1, on effectue une surcharge à σ∗M, avec σM < σ∗M <σY . Donner la nouvelle valeur de la zone plastique en a1, que l’on notera ρ∗.

Pour une longueur de fissure a1 et une contrainte appliquée de σ∗M, le nouveau facteur d’intensité decontrainte est K∗

I et la nouvelle taille de zone plastique ρ∗, tels que :

K∗I = σ

∗M√

πa1

ρ∗ =

1π

(K∗

I

σY

)2

8. On reprend ensuite le chargement initial entre 0 et σM. Montrer que, si la surcharge a étésuffisamment élevée, la fissure ne progresse plus.

La nouvelle loi de propagation fait intervenir un nouveau seuil K∗S calculé à partir de ρ∗ :

dadN

= C (KI −K∗S )η

avec :K∗

s = kσy√

πρ∗ = kσ∗M√

a1

Il n’y a pas de propagation de fissure en a = a1 si KI 6 K∗S , soit :

KI = σM√

πa1 6 K∗S = kσ

∗M√

a1

13.4. 19 JUIN 2000 219

soit :σM 6 kσ

∗M

9. Indiquer pourquoi la propagation est ralentie dans tous les autres cas. Indiquer la longueur defissure a2 pour laquelle la fissure retrouvera sa vitesse initiale, et la loi de propagation entre a1 et a2.Dessiner l’allure de la courbe a(N).

La vitesse de progression de fissure est définie par :

dadN

= C(σM√

πa− kσ∗M√

πa1)

Elle est donc plus faible que la vitesse de référence pour une longueur a > a1 donnée. Un modèleraisonnable consiste à supposer que la zone plastique reste à la dimension créée par la surcharge, tantque la zone plastique «normale» attachée au chargement courant n’a pas atteint cette valeur. La fissuretraverse donc à petite vitesse la zone plastique élargie. On retrouve la vitesse de progression normalepour une longueur de fissure a2 telle que :

σM√

πa2− kσ∗M√

πa1 = σM(1− k)√

πa2

soit :

a2 = a1σ∗MσM

13.4.2 Contraintes développées lors de l’oxydation

nickel

oxyde naissant

x1

x2

x3

On cherche à caractériser l’état de contrainte qui se développe dans une couche d’oxyde de nickel (NiO)en formation sur un substrat de nickel (Ni). Cette couche se forme par diffusion de nickel, l’oxyde seformant sur la surface extérieure. L’oxyde apparaît sous forme d’îlots, qui se rassemblent ensuite pourformer une couche de plus en plus compacte.On choisit pour modéliser ce système très complexe une représentation très simplifiée constituée de 2couches indépendantes sans contact en direction x3.La couche S (substrat) est élastoviscoplastique, on note respectivement σ

∼S, ε

∼S, ε

∼vS les tenseurs des

contraintes, des déformations et des déformations viscoplastiques.La couche naissante N est constituée de vide et de NiO. On considérera son comportement homogénéisé,caractérisé par une fraction volumique z de NiO, qui permettra de définir les propriétés mécaniques(élasticité, viscoplasticité).

On y note respectivement σ∼

N , ε∼

N , ε∼

vN les tenseurs des contraintes, des déformations et desdéformations viscoplastiques.


Par ailleurs, lors de la transformation de nickel en oxyde, il apparaît un changement de volume, représentépar un tenseur ε

∼cp dans la couche N.

L’élasticité est supposée isotrope dans chaque couche, les modules de Young et coefficients dePoisson valant respectivement (ES, νS), et (EN , νN). Les lois viscoplastiques s’écrivent :

ε∼

vI =(

J(σI∼

)−σY I

KI

)nI∂J(σI

∼)

∂σI∼

en introduisant les six coefficients dépendant du matériau σY I , KI , nI , avec I = N,S, J(σI∼

) étant formé àpartir du déviateur s

∼I de σ

∼I , suivant : J(σI

∼) =

√(3/2)s

∼I : s

∼I . On définit par ailleurs la forme de ε

∼cp par

la diagonale (zεt ,zεt ,zεz).

1. On suppose que les tenseurs ε∼

S et ε∼

N sont diagonaux, que leurs composantes 11 et 22 sontégales, et que leurs composantes 33 sont libres. Justifier ce choix, et montrer alors que le tenseur decontrainte est biaxial dans chaque matériau. Ecrire dans chaque couche l’expression de la composante11 de la déformation en fonction des contraintes, de la déformation viscoplastique et de la dilatation dechangement de phase dans la couche N.

Le problème est symétrique dans les sens 11 et 22, donc ses composantes sont égales. Les termes12 n’interviennent pas car il n’y a pas de cisaillement entre ces deux directions. La couche d’oxydationest très mince, il est donc raisonnable d’enlever les composantes de cisaillement 13 et 23. Tenseur dedéformation de la couche N :

ε∼

N =

εN11 0 00 εN

11 00 0 εN

33

Tenseur de contrainte de la couche N :

σ∼

N =

σN11 0 00 σN

11 00 0 0

ε

N11 =

1−ν

EN σN11 + zε

t + εvN11

ou :

εN11 =

1−ν

EN σN11 + ε

vN11

2. L’épaisseur de la couche N, eN , est très inférieure à celle du substrat, eS (par exemple eN/eS <10−4). Montrer que, dans ce cas, le niveau de contrainte dans le substrat va rester très faible, et que lesdéformations latérales ε11 et ε22 sont également négligeables.

Dans le cas où la couche de dépôt est très mince par rapport à celle de substrat, la couche de substratdevient très «rigide». Les déformations latérales sont donc considérées négligeables.

ε11 = ε22 = 0

3. On s’intéresse maintenant à la couche N. On note respectivement par (Eo,νo) et (Ko,noσo) lescoefficients élastiques et viscoplastiques du matériau massif (z = 1). On suppose que la couche se meten place instantanément. Evaluer le niveau de contrainte résultant en appliquant la déformation detransformation εt dans le plan (x1,x2).

13.4. 19 JUIN 2000 221

Dans ce cas la déformation viscoplastique est négligée car la couche N se met en placeinstantanément. On a :

εN11 =

1−ν

EN σN11 + zε

t = 0

σN11 = σs =−zε

t EN

1−ν=−ε

t EN

1−ν

4. Le développement de la déformation viscoplastique permet ensuite la relaxation des contraintes.Donner l’expression de l’évolution obtenue en fonction du temps, et préciser la valeur asymptotique.

En prenant la déformation viscoplastique, on a :

εN11 =

1−ν

EN σN11 + ε

vN11

Tenseur de contrainte de la couche N :

σ∼

N =

σN11 0 00 σN

11 00 0 0

On a donc σ1 = σN

11, σ2 = σN11, σ3 = 0, et :

J(σ∼) =

|σN11|√2

∂J(σ∼)

∂σ∼

=3s∼

2J(σ∼)

=σN

11√2|σN

11|

1 0 00 1 00 0 −2

=signe(σN

11)√2|

1 0 00 1 00 0 −2

Donc :

εvN11 =

|σN11|√2−σyN

KN

nN

signe(σN11)

Nous avons donc :

1−ν

ENσ

N11 +

|σN11|√2−σyN

KN

nN

signe(σN11) = 0

si n = 1 :(1−ν)KN

√2

EN

(ln||σ11|−

√2σy√

2KN|− ln|

|σs|−√

2σy√2KN

|

)= t

|σ11|=√

2σy +(|σs|−√

2σy)exp(−tEN

(1−ν)KN√

2)

|σ11|=√

2σy +(|εt | EN

1−ν−√

2σy)exp(−tEN

(1−ν)KN√

2)

si n > 1 :

−(1−ν)KN√

2EN(n−1)

1

( |σ11|−√

2σy√2KN

)n−1− 1

( |σs|−√

2σy√2KN

)n−1

= t

|σ11|=√

2σy +√

2KN

((

√2KN

|σs|−√

2σy)n−1− EN(n−1)

(1−ν)√

2KNt

)− 1n−1


La valeur asymtotique obtenue quand t → ∞, on a donc :

|σ11|=√

2σy

Dans ce cas les paramètres sont constants : EN = Eo, KN = Ko.

5. Les états de contraintes résultant de l’approche précédente n’étant pas réalistes, on cherchemaintenant à représenter plus finement les phénomènes, en suivant l’évolution des contraintes au coursde la construction de la couche. On suppose pour cela que les différents coefficients varient de la manièresuivante :

Si z <12

: EN = 0 , KN = 0 (contrainte nulle)

Si z≥ 12

: EN = Eo(2z−1) , KN = Ko(2z−1)

Dont z est une fonction du temps t : z = z(t).On considérera par ailleurs que le coefficient de Poisson vaut toujours νo, et que σY est nul. Ecrire

dans ce cas les expressions définissant l’évolution de la contrainte pendant le développement de lacouche. Caractériser la valeur maximale atteinte et la valeur asymptotique.

Dans ce cas, on examine pour z > 1/2. On a donc :

1−ν

Eo(2z−1)σ

N11 +

|σN11|√2−σyN

Ko(2z−1)

nN

signe(σN11) = 0

. Si n = 1, on obtient le résultat :

|σ11|=√

2σy−√

2σyexp(−tEo

(1−ν)Ko√

2)

La contrainte augmente à la valeur asymtotique |σ11|=√

2σy.Si n > 1 :

1−ν

Eoσ

N11 +

1(2z−1)nN−1

|σN11|√2−σyN

Ko

nN

signe(σN11) = 0

−(1−ν)Ko√

2Eo(n−1)

1

( |σ11|−√

2σy√2Ko

)n−1− 1

(−√

2σy√2Ko

)n−1

=Z dt

(2z(t)−1)nN−1

|σ11|=√

2σy +√

2Ko

((√

2Ko

−√

2σy)n−1− Eo(n−1)

(1−ν)√

2Ko

Z dt(2z(t)−1)nN−1

)− 1n−1

13.5. 24 JUIN 2002 223

13.5 24 juin 2002

13.5.1 Fissuration d’un rail

Une fissure de surface de profondeur 3 mm a été détectée (au niveau du point sur la coupe ci–jointe)dans un rail de chemin de fer, de hauteur totale 20 cm. Elle s’est amorcée sous l’action de la corrosion,et croît lentement par fatigue sous l’effet des chargements cycliques provoqués par le passage des trains.Les calculs indiquent que le passage d’une roue produit une charge dans l’axe du rail, donc normale à lafissure, variant entre -20 MPa et +107 MPa.

Des spécimens de laboratoire sont chargés entre Kmin = 0 et Kmax. Les vitesses de propagation sontrespectivement de 10−3mm/cycle et 10−2mm/cycle pour des valeurs de Kmax de 20 et 35 MPa

√m. La

rupture brutale intervient pour une valeur Kmax=45 MPa√

m.

1. Trouver les valeurs des coefficients C et m de la loi de Paris.

La loi de Paris s’écrit :dadN

= C(∆K)m

avec∆K = Kmax−Kmin

Les données précédentes permettent donc d’écrire :C×20m = 10−6

C×35m = 10−5

ce qui donne (unités : m, MPa) :m≈ 4.11 , C ≈ 4.510−12

2. On néglige le caractère tridimensionnel de la fissure, ce qui permet de supposer que le facteurd’intensité de contrainte en mode I est donné en fonction de la profondeur de fissure a et de la contrainteaxiale dans le rail σ par K = 1.12σ

√πa. Donner la vitesse de propagation pour la longueur de fissure

initiale, et la longueur de fissure qui provoque la rupture brutale.

On évalue la vitesse de propagation de fissure à partir du facteur d’intensité de contrainte

∆K = 1.12∆σ√

πa


avec :∆σ = σmax−σmin = 107− (−20) = 127 MPa , et a = a0 = 0.003 m

En remplaçant les paramètres m et C de la loi de Paris par leur valeur :

dadN

= C(∆K)m ≈ 0.22 ·10−6m/cycle

La rupture brutale est obtenue en comparant le facteur d’intensité de contrainte critique au facteurd’intensité de contrainte obtenue avec la contrainte maximale (et non ∆σ) :

acrit =1π

(Kcrit

1.12σmax

)2

≈ 44.88 mm

3. Ecrire l’équation qui détermine la courbe (nombre de cycles–longueur de fissure) entre la valeurinitiale a0 = 3mm et une valeur courante a.

Ce résultat provient directement de l’application de la loi de Paris :

dadN

= C(Y ∆σ√

πa)m

avec Y=1.12, ce qui correspond au cas d’une demi-plaque infinie portant une fissure perpendiculaire à lasurface extérieure.La relation entre le nombre de cycles (N) et la longueur de fissure (a) est alors :

CY m(∆σ)mπ

m/2NZ

0

dN =aZ

a0

daam/2

d’où :

N =2

(m−2)CY m(∆σ)mπm/2

1

(a0)(m−2)/2 −1

a(m−2)/2

4. Indiquer le nombre de passages de trains pour lequel on aura une rupture brutale. On indiqueraclairement les hypothèses ou approximations qui sont faites pour arriver à cette prévision.

On calcule alors un nombre de cycles de N f = 12281. Si on prend l’exemple d’un TGV 8 voitures(plus deux motrices), il faut compter 40 cycles par passage. Ceci ramène donc le nombre de passages àenviron 300 !

13.5.2 Contraintes thermiques en plasticité

On considère un prisme d’axe x1 dont le déplacement axial est bloqué. Ses faces latérales sontlibres, et on étudie le comportement dans une section courante, en négligeant l’effet des encastrements.L’état de contrainte est donc supposé uniaxial en direction x1. Le chargement extérieur appliqué est dûuniquement à la température, la déformation totale restant nulle. On notera respectivement σ, ε, εe, εp,εth, la contrainte, la déformation totale, la déformation élastique, la déformation plastique et la dilatationthermique. On notera par T la variation de température par rapport à l’état de référence à contrainte etdéformation nulles. En introduisant le coefficient de dilatation thermique linéaire α, on a donc εth = αT .

Ecrouissage isotrope On suppose que le matériau est élastoplastique, et qu’il obéit à une règled’écrouissage isotrope linéaire. Le module de Young, E, le module plastique, Hi (on suppose que H <E), et la limite d’élasticité initiale σy sont supposés indépendants de la température. R dépend doncuniquement de la déformation plastique cumulée, p, nulle à l’origine, et définie par p = |εp| :

σ = Eεe

13.5. 24 JUIN 2002 225

f (σ,R) = |σ|−σy−R R(p) = H p

1. Définir l’augmentation de température Te pour laquelle on atteint la limite d’élasticité du matériau.

La déformation totale reste nulle durant la variation de température :

σ

E+αT = 0

ce qui fournit la valeur de température demandée, pour σ = σy :

Te =σy

Eα

2. On suppose que T passe de 0 à Tm (avec Tm > Te). Exprimer le fait que le critère de plasticitéf reste nul pendant l’écoulement plastique, et définir les valeurs de contrainte σm et de déformationplastique ε

pm à la fin de la montée en température.

La déformation totale comporte maintenant un terme de déformation plastique, si bien que :

σ

E+ ε

p +αT = 0

Comme l’écoulement plastique s’effectue en compression, on a εp =−p, si bien que le fait que le critèrereste nul s’écrit :

σ =−σy +Hεp

La résolution de ce petit système fournit alors :

εpm =−Eα(Tm−Te)

H +E

σm =− EHH +E

(σy +HαTm)

3. On ramène maintenant T à zéro. Exprimer la condition correspondante en déformation. Ensupposant dans un premier temps que le matériau reste élastique pendant la décharge, indiquer quellesont alors les valeurs de la déformation plastique et de la contrainte lors du retour à T = 0 ? Indiquer àquelle condition le matériau reste effectivement élastique en fin de refroidissement.

Il faut simplement annuler la déformation thermique. Si le matériau reste élastique, la déformationplastique est inchangée, et la contrainte en fin de refroidissement est σr est telle que ε

pm +σr/E = 0. La

comparaison avec l’expression de la question précédente donne immédiatement :

σr = σm +EαTm =EH

H +E(EαTm−σy) =

E2α

H +E(Tm−Te)

Cette expression sera valide tant que la contrainte obtenue reste inférieure à la limite d’élasticité actuelle,qui, après le premier chargement, vaut −σm ; il faut donc assurer :

EHH +E

(EαTm−σy) <EH

H +E(σy +HαTm)

Cette condition sera vérifiée si la temperature ne dépasse pas un certain seuil lors du premier chauffage :

Tm <2σy

α(E−H)


4. Calculer la déformation plastique et la contrainte à T = 0 pour le cas où il y a replastification àla décharge.

Si le seuil précédent est dépassé, on repart de εpm en déformation plastique, avec un seuil actuel à

−σm, et le matériau subit un incrément de déformation δp positif tel que :

pr =−εpm +δε

pε

pr = ε

pm +δε

p

A la fin du refroidissement, il faut vérifier les deux égalités suivantes, correspondant respectivement à laloi de comportement (déformation nulle, déformation thermique nulle) et à la condition de plasticité :

σ =−Eεpm−Eδε

p

σ = σy−Hεpm +Hδε

p

On trouve :

δεp =

((E−H)αTm−2σy)E(E +H)2

εpr =−

2EHαTm +(E−H)σy

(E +H)2

La contrainte vient ensuite simplement :

σr =−Eεpr =

E(E +H)2 (2EHαTm +(E−H)σy)

5. En supposant que l’on applique un grand nombre de cycles de température entre 0 et Tm, décrirequalitativement l’évolution de l’écoulement plastique et définir l’état final du matériau, en se plaçantdans le plan (déformation mécanique–contrainte).

La déformation mécanique que subit le prisme varie entre 0 et −αTm au cours des cycles. Les deuxcourbes limites sur lesquelles se retrouvent les points représentatifs au chauffage et au refroidissementsont donc respectivement σ = −Eεp −EαTm et σ = −Eεp. Au cours des cycles, la limite d’élasticitéaugmente peu à peu. L’état limite correspond au moment où la taille du domaine d’élasticité (deux fois lalimite élastique) sera égale à 2EαTm. Une illustration de cette évolution est donnée sur la simulation ci-dessous, réalisée avec E = 10000 MPa, α = 10−5, Tm = 1000C . On vérifie bien qu’à l’état asymptotiquela taille du domaine élastique est de 2000 MPa.

σ

εp

σ Eεp EαTmσ Eεp! "

13.5. 24 JUIN 2002 227

6. En faisant H = 0 dans les équations précédentes, commenter le cas d’un comportement élastiqueparfaitement plastique.

Le raisonnement de la question précédente ne tient plus si H = 0. Dans ce cas, il n’u a pas d’évolutionde la taille du domaine d’élasticité, et l’état asymptotique, atteint dès le deuxième cycle, est caractérisépar des contraintes variant entre ±σy. Le cycle reste ouvert au lieu qu’il soit réduit à une ligne commedans le cas précédent.

Ecrouissage cinématique Reprendre les questions 3, 4, 5 de la section précédente en supposantmaintenant que le matériau obéit à une règle d’écrouissage cinématique linéaire :

f (σ,X) = |σ−X |−σy X = Hεp

...

13.5.3 Etude d’une plaque composite

x

x

1

2

a/2

a/2

b

Une plaque composite est formée des matériaux A et B. Le plan de la plaque est parallèle à (x1,x2).L’intérieur de la plaque est constitué par le matériau B (épaisseur b selon x3), qui est enserré par deuxplaques du matériau A, chacune d’épaisseur a/2. On suppose que les dimensions de la plaque dans leplan (x1,x2) sont grandes devant l’épaisseur. Les fractions volumiques de A et B sont respectivement CA

et CB (avec CA +CB = 1). Dans l’ensemble du problème, on supposera que les champs de contrainte et

de déformation sont uniformes dans chaque matériau. On notera respectivement σ∼A et σ

∼B le tenseur descontraintes dans A et B, et ε

∼A et ε∼B les tenseurs de déformation.

Comportement élastique On cherche, à caractériser, pour certaines sollicitations particulières, le

comportement homogène équivalent qu’il faudrait affecter à un matériau unique pour qu’il reproduise lecomportement global de la plaque. On suppose que les deux matériaux ont un comportement élastiqueisotrope, caractérisé par les modules de compressibilité (resp. KA et KB) et les modules de cisaillement(resp. µA et µB).

1. Indiquer ce que sont les bornes de Voigt et de Reuss, et écrire les valeurs extrêmes correspondantesque peuvent prendre le module de compressibilité (resp. KV et KR) et le module de cisaillement (resp. µV

et µR) du matériau homogène équivalent, en fonction des coefficients KA, KB, µA et µB.

Les bornes de Voigt et Reuss sont :

∀E∼

E∼

: (C∼∼−< c

∼∼>) : E

∼6 0

∀Σ∼

Σ : (S≈−< s

≈>) : Σ 6 0


Dans le cas de l’élasticité isotrope, les équations précédentes deviennent simplement :

1KR

=CA

KA+

CB

KBKV = CAKA +CBKB

1µR

=CA

µA+

CB

µBµV = CAµn +CBµB

2. On suppose que les matériaux A et B ont même coefficient de Poisson, ν, et que leurs modules deYoung sont respectivement EA et EB. Donner dans ces conditions un encadrement du module de Youngdu matériau homogène équivalent (resp. EV et ER). On rappelle que :

E = 2µ(1+ν) = 3K(1−2ν)3E

=1µ

+1

3K

Indiquer, sans faire le calcul, ce que deviendrait ce résultat si les coefficients de Poisson étaient différentsdans chaque matériau.

La relation linéaire entre E et K permet d’appliquer à E la relation concernant la loi de Reuss connuepour K. Celle qui existe entre les inverses de E, K et µ permet d’appliquer à E celles qui concernent laloi de Voigt. Il vient donc :

ER =EAEB

CAEB +CBEAEV = CAEA +CBEB

3. On effectue une traction équibiaxiale à déplacement imposé dans le plan (x1,x2) sur un carré dematière (ε11 = ε22 = ε). On suppose que les seules composantes non nulles du tenseur de contrainte sont11 et 22. Justifier. Ecrire la loi de Hooke dans chaque matériau. Exprimer la valeur de la contraintemoyenne σ = CAσA11 +CBσB11 = CAσB22 +CBσB22 en fonction de ε, et en déduire la valeur du module deYoung apparent du matériau homogène équivalent selon les composantes 11 et 22.

Les composantes σ13, σ23, σ33 sont nulles sur la surface libre de direction x3. En raison de la symétriedu chargement, il n’y a pas non plus de cisaillement σ12. Le tenseur de contrainte s’écrit donc :

σ =

σ11 0 00 σ22 00 0 0

L’application de la loi de Hooke, pour les materiaux A et B donne successivement :

EA ε = σA11 −νσA22 EA ε = σA22 −νσA11

EB ε = σB11 −νσB22 EB ε = σB22 −νσB11

D’où :σA11 = σA22 =

εEA

1−νet σB11 = σB22 =

εEB

1−ν

La valeur moyenne de la contrainte dans la plaque composite s’écrit ainsi :

σ =CAEAε

1−ν+

CBεEBε

1−ν=

CAEA +CBEB

1−νε

d’où :Ehom = CAEA +CBEB

13.5. 24 JUIN 2002 229

4. En suivant une procédure identique, donner la valeur du module de Young équivalent pour unetraction selon l’axe x3.

La déformation de la plaque selon la composante 33 est la moyenne des valeurs obtenues dans chaquematériau. Par ailleurs, la contrainte de traction σ est la même dans les deux matériaux, si bien que :

ε33 = CAσ

EA+CB

σ

EB

La moyenne Ehom est alors telle que :1

Ehom =CA

EA+

CB

EB

5. Effectuer la même détermination en cisaillement :- dans le cas d’un cisaillement 12 ;- dans le cas d’un cisaillement 13.

- Pour le cas du cisaillement 12, dans le plan de la plaque, ce sont les déformations qui sont égalesdans chaque matériau. On obtient :

µ = CAµA +CBµB

- Pour le cas du cisaillement 13, ce sont les contraintes qui sont égales dans chaque matériau. On retrouvele cas de la question 4 :

1µ

=1

CAµA +

1CB

µB

6. Comparer les résultats obtenus avec les bornes des questions 1 et 2. Commenter.

Selon la direction considérée, les valeurs obtenues avec nos solutions approchées réalisent l’une oul’autre borne.

Comportement viscoélastique

On suppose maintenant que le matériau B est viscoélastique. La vitesse de déformation peutse décomposer en une partie élastique (idem section précédente) et une partie purement visqueuse,dépendante du déviateur de contrainte, s

∼, où s’introduit le coefficient de viscosité η :

ε∼

= ε∼

e + ε∼

v avec ε∼

v =32

s∼

η

7. On étudie d’abord le matériau B isolé. On suppose que l’on applique très rapidement unchargement équibiaxial à contrainte imposée sur ce matériau (σ11 = σ22 = σ0). Donner l’expressionde la réponse, supposée élastique, à la mise en charge, et celle de la déformation différée en fluagebiaxial à la contrainte σ0, en fonction du temps depuis la mise en charge, t.

Le critère de von Mises pour le chargement biaxial indiqué vaut σO. On a vu précédemment lesrelations en elasticité. L’expression de la vitesse de déformation totale et de la déformation totale enfluage sont donc respectivement :

ε =1−ν

Eσ+

σ

2η

et :ε =

1−ν

Eσ0 +

σ0

2ηt

8. On considère maintenant de nouveau le cas de la plaque, et on suppose que l’on applique le mêmechargement biaxial à contrainte moyenne imposée, les déformations ε11 et ε22 restant identiques danschaque matériau. Définir l’état de contrainte dans chaque couche à la fin de la mise en charge élastique.


Ecrire les relations de comportement dans chaque couche (on posera ε = ε11 = ε22, identique pour lesdeux matériaux, σA = σA11 = σA22 dans le matériau A et σB = σB11 = σB22 dans le matériau B, avecσ0 = CAσA +CBσB).

A la fin de la mise en charge, supposée très rapide, on a :

σA =EA

1−νε =

EA

1−ν

1−ν

Eσ0

Soit :σA =

EA

Eσ0 σB =

EB

Eσ0

La loi de comportement n’est pas la même dans chaque matériau :

εA =1−ν

EAσA εB =

1−ν

EBσB +

σB

2η

9. Donner sans calcul les valeurs asymptotiques de σA, σB. Intégrer les équations différentielleset donner les évolutions de σA, σB, et ε. Quel module élastique équivalent voit-on apparaître dansla constante de temps du fluage ? A quel modèle rhéologique se retrouve-t-on ramené dans cetteconfiguration ?

Dans le matériau viscoélastique, la contrainte va chuter au cours de la déformation, pour atteindre 0à l’état stabilisé, car il n’y a pas de seuil d’écoulement. A ce moment, l’effort extérieur sera tout entiersupporté par le matériau élastique. On trouve donc :

σA =σ0

CAσB = 0

En remplaçant σA par son expression en fonction de σ et de σB dans sa loi de comportement, on peutexprimer la vitesse de déformation totale de deux manières :

ε = εA =1−ν

EACA(σ−CBσB)

ε = εB =1−ν

EBσB +

σB

2η

L’évolution de σB est donc gouvernée par l’équation :

CAEAEBσB

2η+(1−ν)(EACA +EBCB)σB = (1−ν)EBσ

En fluage, il faut faire σ = 0 dans l’équation précédente, ce qui conduit après intégration à :

σB =EB

Eσ0 exp(−t/τ) avec τ = 2η(1−ν)CB

(1

EACA+

1EBCB

)Les caractéristiques du présent système sont celles d’un modèle de Kelvin-Voigt.

Etude de la rupture différée

10. Le critère de rupture du matériau A prévoit que le matériau se rompt lorsque la contraintenormale principale atteint une valeur limite σu. Décrire les différents régimes de «fonctionnement»possibles de la plaque composite, en indiquant dans quels cas elle peut (i) se rompre à la mise en charge,(ii) présenter une rupture différée, (iii) résister à la charge appliquée.

On distingue les cas suivants :

13.6. 26 MAI 2003 231

– Il y a rupture à la mise en charge si la contrainte atteinte en élasticité dans le matériau A dépassela limite de rupture ;

– le matériau resistera à la charge si la contrainte asymptotique dans A reste inférieure à la contrainteà rupture ;

– dans le cas intermédiaire, la contrainte dans le matériau A augmente au cours du fluage, et lematériau rompt lorsque σA atteint la limite de rupture.

On établit alors le tableau suivant :

σ0 < σuCAEA +CBEB

EA: pas de rupture à la mise en charge

σ0 < σuCA : pas de rupture

σuCA < σ0 < σuCAEA +CBEB

EA: rupture différée

Le temps pour lequel on a une rupture différée est tel que

σB = (σ0−CAσA)/CB = σu

.

13.6 26 mai 2003

13.6.1 Traction sur une fibre entourée d’un cylindre de matrice

On cherche à caractériser le comportement équivalent en traction simple d’un composite àfibres longues. On considère pour cela une cellule élémentaire cylindrique, d’axe z. En coordonnéescylindriques, la fibre, de section circulaire (diamètre 2a), occupe l’espace r < a, et la matrice l’espacea < r < b. Le cylindre est «suffisamment» allongé en direction z (longueur h) ; on suppose donc quela déformation axiale est uniforme, et que les composantes en rr et θθ des tenseurs de contraintes etdéformations sont indépendantes de z. La fraction volumique de fibre est f = (a/b)2. Le déplacement estlibre dans le plan r-θ sur les sections extrêmes du cylindre. On bloque en direction z la section inférieure(en z=0), et on applique un déplacement Uz uniforme sur la surface supérieure (en z = h). La surfacelatérale du cylindre est une surface libre.

Géométrie et sollicitations extérieures étant axisymétriques, les relations déformation–déplacementse réduisent à εrr = ur,r, εθθ = ur/r et εzz = uz,z. On admettra le résultat classique définissant la forme deschamps de déplacement radial et de déplacement axial :

ur = Ar +Br

uz = Cz

Les constantes A et B sont bien entendu différentes dans la fibre et dans la matrice, elles dépendentdes conditions aux limites. Dans la suite de l’exercice, on évalue ces constantes, ainsi que l’expressiondes contraintes, pour en déduire l’expression de Ez, module de Young équivalent en direction z et de νzr,coefficient de Poisson.

1. En considérant l’expression générale du déplacement, calculer les composantes du tenseur dedéformation.

εrr = A− Br2 εθθ = A+

Br2 εzz = C


2. On rappelle que λ =Eν

(1+ν)(1−2ν), et 2µ = E

1+ν. Montrer que les composantes du tenseur de

contrainte se mettent sous la forme :

σrr = H(

A+νC− (1−2ν)Br2

)σθθ = H

(A+νC +(1−2ν)

Br2

)

σzz = H (2νA+(1−ν)C) avec H =E

(1+ν)(1−2ν).

Ceci provient de l’application directe des équations de Hooke, valides en coordonnées cylindriques,dans lesquelles la trace du tenseur de contrainte σll vaut simplement (2A +C), et où i et j prennentsuccessivement les valeurs r, θ, et z :

σi j = λσll +2µσi j

On note que le repère (r,θ,z) est le repère principal. Tous les cisaillements sont donc nuls.

3. Justifier le fait que C est le même dans la fibre et dans la matrice. Quelle est l’expression de C enfonction de la déformation axiale ε ?

La déformation axiale est supposée uniforme. On a bien ε = εzz = C.

4. Justifier le fait que B est nul pour la fibre. Quelle particularité peut-on en déduire pour les champsde contrainte et de déformation dans la fibre ? On posera dans la suite :

fibre : ur = A f r matrice : ur = Amr +Bm

r

On appellera respectivement E f et Em les modules de Young de la fibre et de la matrice, ν f et νm lescoefficients de Poisson.

Si le paramètre B n’était pas nul dans la fibre, les déformations et les contraintes seraient infiniessur l’axe, en r = 0. On est donc amené à prendre B = 0 dans la fibre, ce qui implique alors que lesdéformations radiales et circonférentielles sont uniformes. Comme la déformation axiale est uniforme,les contraintes le sont également :

εrr = εθθ = A σrr = σθθ = H(A+νC)

5. Ecrire les deux conditions de continuité à l’interface fibre–matrice (en r = a).

Il doit y avoir continuité de la composante radiale du déplacement, et de la composante rr de lacontrainte, ce qui fournit respectivement les deux conditions suivantes :

A f a = Am a+Bm

a

H f (A f +ν fC) = Hm

(Am +νmC− (1−2νm)

Bm

a2

)

6. Ecrire la condition à la frontière r = b.

En r = b, on a une surface libre, la contrainte σrr est donc nulle.

Am +νmC− (1−2νm)Bm

b2 = 0

7. En utilisant les trois conditions précédentes, trouver A f , Am, Bm.

13.6. 26 MAI 2003 233

Après quelques manipulations, il vient :

Am =−(1−2νm)(H f ν f −Hmνm)+(Hmνm(1−2νm)+H f )

b2

a2

(1−2νm)(H f −Hm)+(Hm(1−2νm)+H f )b2

a2

On en tire également A f et Bm.

8. Calculer la résultante des efforts F sur la surface supérieure du cylindre, en introduisant lafraction volumique de fibre, et en déduire Ez, module de Young équivalent en direction z.

La composante axiale du tenseur de contrainte est uniforme par morceau. On note S = πb2 la sectionde la cellule élémentaire. On obtient tout simplement F en sommant les contributions dans la fibre(contrainte σ

fzz, section πa2) et dans la matrice (contrainte σm

zz, section π(b2−a2)) :

F = πa2H f (2ν f A f +(1−ν f )C)+π(b2−a2)Hm (2νmAm +(1−νm)C)

Le module d’Young apparent E de l’ensemble est tel que σ = Eε, avec σ = F /S et ε = C. On peut ainsicalculer E.

9. Evaluer également le coefficient de Poisson apparent νzr pour une traction selon z.Le déplacement en r = b définit la contraction radiale associée à une traction selon z. On obtient alors

le coefficient de Poisson demandé à partir de νrz =−Eεθθ/σ, avec εθθ(b) = ur(b)/b :

νrz =−Eσ

ur(b)b

=− 1C

(Am +

Bm

b2

)

10. Comparer les valeurs obtenues avec celles que fournit une évaluation de type «groupement»parallèle, ne tenant pas compte des champs triaxiaux :

Ez = f E f +(1− f )Em νzr = f ν f +(1− f )νm

Commenter.

13.6.2 Critères de Tresca et von Mises

On considère un matériau isotrope dont la limité d’élasticité en traction est σy.

1. Indiquer les valeurs de la limité d’élasticité en cisaillement pur, (i) si le matériau vérifie le critèrede von Mises, (ii) si le matériau vérifie le critère de Tresca.

La limite d’élasticité en cisaillement pur est donnée par τm = σy/√

3 si le matériau vérifie le critèrede von Mises, et par τt = σy/2 s’il obéit au critère de Tresca.

2. Tracer la frontière du domaine d’élasticité, pour Tresca et von Mises, dans le plan (σ11–σ12), ensupposant que toutes les autres composantes du tenseur de contrainte sont nulles.

σ11

σ12

σy σy

τm

τt Les équations des ellipsessont respectivement :

σ211 +3σ2

12 = σ2y (von Mises)

σ211 +4σ2

12 = σ2y (Tresca)


3. Quelle est la frontière du domaine d’élasticité pour le critère de von Mises dans le plan (σ11–σ23),en supposant que toutes les autres composantes du tenseur de contrainte sont nulles ?

Pour le critère de von Mises, tous les cisaillements jouent le même rôle vis-à-vis de chaque contrainteaxiale. La frontière du domaine d’élasticité est donc la même que sur la figure précédente ; l’équation del’ellipse correspondante est :

σ211 +4σ

223 = σ

2y

4. On suppose que les seules composantes non nulles du tenseur de contrainte sont σ11 et σ23, etque le matériau vérifie le critère de Tresca. Trouver les 3 contraintes normales principales. Indiquer lesdifférentes expressions du critère en fonction de σ11 et σ23 dans le premier quadrant du plan (σ11–σ23),en fonction des valeurs relatives de σ11 et σ23. Conclure sur la forme du domaine d’élasticité dans leplan (σ11–σ23).

Les trois contraintes normales principales sont −σ23, σ23,σ11. Dans le premier quadrant, au-dessousde la première bissectrice, elles se rangent dans l’ordre −σ23 6 σ23 6 σ11, l’expression du critère estdonc :

f (σ∼) = σ11 +σ23−σy

Au-dessus de la première bissectrice, la composante σ11 est comprise entre −σ23 et σ23, si bien que lecritère s’écrit maintenant :

f (σ∼) = 2σ23−σy

La forme du critère dans le plan (σ11–σ23) s’obtient ensuite par symétrie par rapport aux axes σ11 etσ23. On obtient la courbe continue de la planche ci-dessous, sur laquelle on a également reporté, pourréférence, la courbe obtenue en question 2. Contrairement au critère de von Mises, celui de Tresca faitune différence entre les divers cisaillements.

σ11

σ23

σy σy

τt

5. On suppose que le matériau vérifie le critère de von Mises. On charge en traction simple jusqu’aupoint σ11 = σy. Indiquer si l’on est ensuite en élasticité ou en plasticité, si toutes les composantes de lavitesse de contrainte sont nulles sauf σ22, avec (i) σ22 > 0, (ii) σ22 < 0. Lequel des deux cas n’est pasplastiquement admissible si le matériau est parfaitement plastique ?

σ11

σ22

σy

σy

σy

σy

σ22 0

σ22 0

13.6. 26 MAI 2003 235

A partir du point σ11 = σy, situé sur la frontière du domaine d’élasticité :- une augmentation de la contrainte σ22 diminue la valeur du critère, et fait donc entrer dans le domained’élasticité.- une diminution de la contrainte σ22 augmente la valeur du critère, ce qui n’est pas plastiquementadmissible si le matériau est parfaitement plastique.

6. On suppose que le matériau vérifie le critère de von Mises. On charge en traction biaxiale jusqu’aupoint σ11 = 2σy/

√3. σ22 = σy/

√3. Vérifier que l’on est toujours en élasticité. Indiquer si l’on est ensuite

en élasticité ou en plasticité, si toutes les composantes de la vitesse de contrainte sont nulles sauf σ22,avec (i) σ22 > 0, (ii) σ22 < 0.

σ11

σ22

σy

σy

σy

σy

σ22 0

σ22 0

Le point de fonctionnement indiqué est l’intersection de la demi-droite d’équation σ11 = 2σ22 et del’ellipse définissant la frontière du domaine d’élasticité, d’équation :

σ211 +σ

222−σ11σ22 = σ

2y

Il correspond par exemple au chargement que subit un cylindre sous pression avec «effet de fond». Lapente de la tangente à cette courbe se définit comme :

dσ22

dσ11=−2σ11−σ22

2σ22−σ11

On a une tangente verticale au point σ11 = 2σ22. Les deux cas (i) et (ii) produisent donc de l’écoulementplastique.

7. Le matériau vérifie le critère de Tresca. On effectue un chargement en déformation imposée depuisl’origine jusqu’à ε11 = σy/E et ε22 =−νσy/E en conservant σ33 = 0, de même que les composantes decisaillement. En conservant le même type de pilotage, on veut réaugmenter la valeur de ε22. Quelles sontles valeurs limites du rapport ε22/ε11 pour le chargement soit toujours élastique ?

ε11

ε22

(2)(0)

(1)

σ11

σ22

σy

σy

σy

σy

(2)(0)

(1)

(a) (b)


Le point indiqué correspond à un état de traction simple. Il est à la limite du domaine d’élasticité.En supposant que le comportement reste élastique à partir de ce point, les composantes 11 et 22 descontraintes et des déformations doivent vérifier les équations :

E ε11 = σ11−νσ22

E ε22 = σ22−νσ11

Il vient :σ11 =

E1−ν2 (νε11 + ε22 σ22 =

E1−ν2 (νε22 + ε11

Soit, en posant k = ε22/ε11 :σ22

σ11=

k +ν

kν+1Le domaine pour lequel le comportement est effectivement élastique correspond à un rapport σ22/σ11compris entre 1 et −∞ (respectivement directions (1) et (2) dans le plan des contraintes (σ11–σ22)), avecles signes adéquats pour chaque composante. L’examen de ces conditions conduit à la détermination dudomaine dans le plan des déformations (ε11–ε22) : le cas (1) fournit une pente 1, le cas (2) une pente−1/ν, tandis que, naturellement, un simple retour en compression uniaxiale redonne la pente −ν.

8. Même question que précédemment avec le critère de von Mises.La pente dσ22/dσ22 à l’ellipse de von Mises vaut 2 au point σ11 = σy en traction simple. Les points

admissibles correspondent au demi-espace supérieur. La limite admissible pour k est alors :

k =2−ν

1−2ν

Les limites (1) et (2), similaires au cas précédent, sont reportées sur la figure ci-dessous.

ε11

ε22

(2)(0)

(1)

σ11

σ22

σy

σy

σy

σy

(2)(0)

(1)

(a) (b)

13.7 14 juin 2004

13.7.1 Flexion de poutres

a.

x3

x1

2l

13.7. 14 JUIN 2004 237

b.

bo

x3

x2

e

e

h−e

b

bo

x3

x2

e

e

h−e

b

h

c.Figure 1 : Vue de la poutre, (a) de profil, (b) en section. (c) Poutre renforcée.

Une poutre de longueur 2l (figure 1a) présente une section en I, comme indiqué sur la figure 1b. Ellesera sollicitée en traction, cisaillement et flexion dans le plan (x1,x3). On suppose dans un premier tempsqu’elle est constituée d’un matériau homogène, de module de Young E, et de module de cisaillement µ.

1. Calculer la rigidité en flexion autour de x2, EI. Justifier le fait que l’on retienne souventuniquement la contribution des deux parties de largeur b. Donner la valeur approchée de EI dans cecas, en supposant que e est suffisamment petit devant h.

Le moment quadratique I par rapport à l’axe x2 se calcule selon la formule :

I =Z Z

x23dS = 2b0

Z (h−e)/2

0x2

3dx3 +2bZ (h+e)/2

(h−e)/2x2

3dx3

Ceci donne donc une rigidité :

EI =Eb0

12(h− e)3 +

Eb12((h+ e)3− (h− e)3)

On constate que le terme dominant correspond à la contribution des deux parties de largeur b. Lorsque eest petit devant h, cette rigidité est approchée par la quantité Ebeh2/2.

2. On cherche la forme que prend la poutre lorsqu’elle est simplement posée à ses deux extrémités(moment nul aux extrémités), et soumise uniquement à son propre poids. On notera p la chargecorrespondante par unité de longueur. On applique la théorie de Timoshenko. Rappeler les hypothèsescinématiques attachées à cette approche.

L’hypothèse de base porte sur la schématisation du champ de déplacement à l’intérieur du solide : lesolide est assimilé à un milieu curviligne, le champ de déplacement du milieu continu étant ensuite évaluéà partir de la solution trouvée en supposant qu’une section droite initialement plane et perpendiculaire àla «ligne moyenne» ainsi définie reste plane.

3. Donner la valeur des réactions sur les supports, ainsi que la variation de l’effort tranchant T enfonction de x1.

Le poids total est égal à 2ql ; il est uniformément réparti sur toute la longueur de la poutre. Il donnenaissance à deux réactions de valeur −ql sur chaque support. On obtient simplement l’effort tranchant :

dTdx1

=−q T = q(l− x1)

4. En intégrant T , et en tenant compte des conditions aux limites aux extrémités de la poutre, évaluerl’évolution du moment M en fonction de x1.

Le moment M doit être nul à chaque extrémité de la poutre. On obtient dans ces conditions :

dMdx1

= T M = q(

lx1−x2

12

)


5. Calculer l’angle θ caractérisant la rotation d’une section de la poutre.

L’angle θ caractérisant la rotation d’une section de la poutre s’obtient en intégrant la quantité M/EIpar rapport à x1 et en tenant compte du fait que, pour des raisons de symétrie, l’angle est nul au milieude la poutre, soit pour x1 = l. On obtient ainsi :

dθ

dx1=

MEI

θ =q

EI

(lx2

12−

x31

6− l3

3

)

On vérifie bien que les angles obtenus en x1 = 0 et en x1 = 2l sont opposés, de valeur ± ql3

3EI.

6. Trouver finalement l’expression de la flèche, en identifiant la contribution de l’effort tranchantet celle du moment de flexion. Dans quelle condition cette dernière est-elle largement prépondérante ?Donner la valeur de la flèche maximale, au centre de la poutre (point x1 = l).

La flèche V s’obtient au travers de l’équation

dVdx1

=−θ+TµS

L’intégration de −θ fournit donc le terme Vf lié au moment de flexion :

Vf =q

EI

(−

lx31

6+

x41

24+

l3x1

3

)Le terme provenant de l’effort tranchant est quant à lui égal à :

Vt =qx1

µS

(l− x1

2

)Ces expressions s’annulent bien en x1 = 0 et en x1 = 2l. La flèche est maximale en x1 = l, et vaut :

Vmax =5ql4

24EI+

ql2

2µS

7. Quelle est l’expression de la contrainte σ11 ?

Il n’y a pas d’effort normal ; la contrainte se calcule donc simplement en fonction du moment deflexion :

σ11 =Mx3

EI=

qx1x3

2I(2l− x1)

8. Proposer une application numérique réaliste.

On suppose que la poutre est en acier (E=210 MPa, µ=80 GPa, masse volumique ρ=7800 kg/m3) etque la section a pour dimensions h=80 mm, b=45 mm, b0=3 mm, e=6 mm. La surface S de la sectionvaut

S = 2be+b0(h− e) = 762 mm2

La charge répartie par unité de longueur de poutre q est donnée par le produit ρgS. On peut tout exprimeren N et mm (1 MPa = 1 N/mm2), et on calcule successivement la charge linéique q et le momentquadratique I :

– q = 7800×9,81×762×10−6 = 58,306 N/m = 0,058306 N/mm,– I = 501716 mm4.

Le tableau ci-dessous donne les valeurs de Vf et Vt pour différentes valeurs de l :

13.7. 14 JUIN 2004 239

l (m) Vf (mm) Vt (mm)1 0,012 0.000472 1,937 0.001904 30,990 0.00761

La contribution de l’effort tranchant est donc toujours négligeable, ce qui est normal dans le cas d’unepoutre élancée. La flèche est sensible pour une poutre de longueur 4 m (l = 2 m), et tout à faitimpressionnante pour une portée entre appuis de 8 m.

9. On suppose maintenant que la poutre est en béton. Ce matériau ne supportant pas les contraintesde traction, on le met en compression (technique du béton précontraint) en insérant dans la partieinférieure de la poutre des cables en acier que l’on met en tension (figure 1.c). On veut évaluer lesmodifications apportées à l’état de contrainte. Pour cela, on ne considère plus l’effet du poids propre dela poutre, que l’on pourra rajouter par superposition, mais seulement celui de la force F appliquée parle cable, au point x3 =−h de la section. On néglige la variation de section du béton liée au passage descables. Donner la nouvelle expression du profil de contrainte dans la section. A quelle condition le bétonest-il totalement en compression ?

Dans ces conditions, l’effort normal est égal à−F et le moment de flexion autour de x2 est égal à Fh.La contrainte σ11 est alors obtenue en combinant l’effet de l’effort normal et du moment de flexion :

σ11 =−FS

+Fhx3

ILa plus grande valeur est obtenue en surface, soit pour x3 = h, en négligeant e devant h. Le béton esttotalement en compression pour une valeur de h telle que :

−FS

+Fh2

I< 0 soit h <

(IS

)1/2

10. Calculer successivement la rotation des sections et la flèche de la poutre. Comparer le degré despolynômes obtenus dans ce cas et en question 6. Quelle est la valeur de la flèche au centre ? Pourrait-on trouver une valeur de F qui annule la flèche au centre, si on prend de nouveau en compte le poidspropre ?

La rotation des sections s’obtient en intégrant la quantité M/EI et en tenant compte des conditionsaux limites aux extrémités de la poutre. On obtient successivement :

dθ

dx1= Fh θ =

FhEI

(x1− l)

dVdx1

=−θ V =FhEI

(lx1−

x21

2

)Cette flèche est maximale au centre de la poutre et égale à Fhl2/2EI. Le polynôme obtenu est de degré2 alors qu’il était de degré 4 à la question 6. En comparant la valeur obtenue avec la flèche de la question6, on observe (en négligeant l’effet de l’effort tranchant) que la flèche totale s’annule en choisissant unevaleur de F telle que :

F =−5ql2

12hCette flèche ne peut être nulle sur toute la poutre puisque les degrés des polynômes définissantl’expression des flèches ne sont pas les mêmes.

11. Au cours du séchage, le béton se rétracte. On supposera ici simplement que ceci se manifestepar une variation ∆εS selon chaque composante diagonale du tenseur de déformation. En déduire lavariation du profil de contrainte σ11. Montrer que cela fait chuter la force de précontrainte, et indiquerquelle est la nouvelle valeur de la flèche.


u o us

u

Fa = −Fb = −F

1

2

Ra−Rb

−Rb

La figure ci-dessus montre le fonctionnement du système de mise en précontrainte dans undiagramme déplacement–force. Les cables d’acier ont une dimension au repos qui est plus courte parrapport à la structure béton. La différence de longueur est notée uO. Le zéro de l’axe des abscissescorrespond à l’état initial du béton, si bien que l’état initial de l’acier est à l’abscisse u0. On reporte enordonnée la force dans l’acier, Fa, qui est en traction pendant la mise en charge, et opposée à la forcedans le béton, Fb = F . La mise en charge de l’acier est donc représentée par le segment de droite qui partdu point (u0,0) et qui rejoint le point (1), tandis que celle du béton joint l’origine à ce même point (1).La force qui sera obtenue vaut :

F =RaRb

Ra +Rbu0

Si le béton se rétracte, son nouvel état neutre dans ce même diagramme sera (us,0). Le mêmeraisonnement que précédemment conduit donc au point de fonctionnement (2), si bien que la chute deprécontrainte, ∆F , vaut :

∆F =RaRb

Ra +Rbus

La valeur de us est simplement égale à l∆εs. En notant respectivement par Sa et Sb les sections de l’acieret du béton, puis Ea et Eb leur module de Young, on peut exprimer les raideurs, Ri = EiSi/l (i = a,b), sibien que la formule précédente devient :

∆F =EaEbSaSb

EaSa +EbSb∆εs

Comme la section du béton est bien plus grande que celle de l’acier, on peut approcher la chute de forcede précontrainte par :

∆F = EaSa∆εs

Cette valeur de ∆F permet de déterminer la variation de la flèche. La variation de précontrainte selon σ11correspondante sur le béton est quant à elle :

∆σ11 = Ea∆εsSa

Sb

13.7.2 Problème : Cylindre en torsion

Voir la solution en 1997 !

13.8. 6 JUIN 2005 241

13.8 6 juin 2005

13.8.1 Problème mécanique d’un fil pesant

h

ds

A BO

lo

φ

x1

x2

On considère un fil pesant de longueur 2Lo dont la masse par unité de longueur est ρ. Le fil est suspenduentre les points A et B de distance 2lo. On recherche la forme du fil quand il n’est soumis qu’à son proprepoids. Le seul effort dans le fil est la traction T .

1. Etablir l’équation d’équilibre pour un élément ds du fil. En tirer la relation entre s et α.

L’équilibre d’un élément du fil s’écrit :

ρds−→g +d−→T = 0

On obtient ainsi :T cosα = H T sinα = ρgs+V

où H et V représentent les réactions transversale et verticale aux appuis A et B. On obtient la relationentre s et α :

tanα =ρgH

s+VH

ds =Hdα

ρgcos2 α

2. En calculant x et y en fonction de α, montrer que la forme du fil vérifie l’équation :

y = achxa

+ yo

où a et yo sont des constantes que l’on calculera.

En posant a =Hρg

, il vient :

dx = ds cosα dy = ds sinα

donc :x = a ln | tan

α

2+

π

4| y =

acosα

+ yo

On obtient finalement la forme du fil :y = ach

xa

+ yo

3. Construire sans la résoudre l’équation qui permet de trouver a en fonction de la longueur Lo dufil. En déduire la flèche maximale ym et la valeur de yo.


On a :ds =

√dx2 +dy2 = dx

√1+dy2/dx2 = ch(

xa)dx

On trouve donc :

Lo =Z lo

0ch(

xa)dx = ash(

loa

)

Cette dernière équation n’a pas de solution analytique, mais, pour chaque valeur de lo et Lo, on peuttrouver numériquement la valeur de a. On obtient ensuite :

yo =−achloa

ym = a(1− chloa

)

4. On suppose que l’allongement du fil est très petit, qu’il ne fait pas changer la valeur a trouvéedans la question précédente, et que le fil travaille toujours en élasticité. Calculer l’allongement ∆L dufil, en supposant que l’on a la valeur de a trouvée de la question précédente.

On calcule d’abord les réactions aux appuis :

H = ρga V = ρgLo

L’effort normal dans le fil est alors :

T = ρg√

a2 +(s−Lo)2

L’allongement du fil est :

∆L = 2Z Lo

0

TES

ds = 2ρgES

Z Lo

0

√a2 +(s−Lo)2ds

∆L =ρgES

(Lo

√a2 +L2

o +a2lna√

a2 +L2o−Lo

)

5. Application numérique pour : lo = 1m, Lo = 1.5m, m = ρ/S = 7872kg/m3, E = 200GPa, g = 9,8.

On obtient :a = 0.616m

ym =−0.62m

∆L = 0.59mm

:

13.8.2 Allongement mécanique et thermique d’un fil

A B

P

lo

L

C

13.8. 6 JUIN 2005 243

On considère un système de deux fils (AC et BC) sur lequel est appliquée une charge P au point C.L’effet du poids propre est négligé. On chauffe l’ensemble depuis la température initiale To jusqu’àla température finale Tmax, puis on refroidit de nouveau à la température To. Un changement de phasese produit lors du chargement, et la transformation inverse lors de la décharge. La déformation dechangement de phase a la forme :

ε∼

cp = δzI∼

La variable z est fonction de la température T , lors du chauffage :

z = 0 si T < As

z = T si As ≤ T ≤ A f

et lors du refroidissement :

z = A f +Ms−T si M f ≤ T ≤Ms

z = 0 si T < M f

TAAMM maxf s fs TO

z

Le trajet de température se compose de trois phases (comme le montre la figure ci-dessous) :- le chauffage de To à Tmax linéairement selon le temps, de t = 0 à t = t1 ;- le maintien à température T = Tmax entre t = t1 à t = t2 ;- le refroidissement de Tmax à To, linéairement en fonction du temps, de t = t2 à t = t3 ;

Tmax

T

T0

O t1 t2 t3 t

Pendant le chaffage et le refroidissement, on considère qu’il n’y a pas de déformation plastique. Ladéformation plastique se produit lors du maintien de la température à Tmax :

εp =

(σ

K(Tmax)

)n

1. On examine tout d’abord le problème mécanique simple, lorsque le fil n’est pas encore chauffé. Al’état initial, chaque fil est de longueur Lo. Sous l’effet du P, les fils s’allongent de ∆L = L−Lo. Calculerles efforts normaux ainsi que la contrainte σe et la déformation εe existant dans le fil en fonction de L.Calculer l’allongement ∆L du fil selon L. Etablir sans la résoudre l’équation qui permet de calculer L.

L’effort normal dans le fil est :T =

PL

2√

L2− l2o


La contrainte élastique est donc :

σe =

TS

=PL

2S√

L2− l2o

La déformation élastique :

εe =

σe

E=

PL

2ES√

L2− l2o

On a donc l’équation pour calculer L :

L = Lo(1+PL

2ES√

L2− l2o)

L’allongement est donc :

∆L = Loσe

E

2. Dans les questions suivantes, on considère que L, εe et σe sont connus. On suppose alors que lefil subit une déformation libre supplémentaire ε. Montrer que, si ε reste faible (ε < 0.02) et si le rapportL/lo est assez grand (L/lo >

√2), la variation de la contrainte dans le fil est négligeable.

Si le fil subit une déformation ε, la longueur du fil est :

L′ = L(1+ ε)

La contrainte dans le fil est donc :

σe =

PL(1+ ε)2S√

L2(1+ ε)2− l2o

Avec L/lo =√

2 et ε = 0.02, on trouve :

∆σe =

PL(1+ ε)2S√

L2(1+ ε)2− l2o− PL

2S√

L2− l2o

∆σe

σe =−0.0188

On peut donc considérer la contrainte constante.

3. On considère que L/lo >√

2. Ecrire la loi de comportement. Calculer la déformation totale puisl’allongement du fil à la fin du chargement de To à Tmax.

Dans la première étape, il n’y a pas de déformation plastique. On a :

ε = εe + ε

th + εcp

De To à As :ε = ε

th = αT

εAs =PL

2ES√

L2− l2o

+α(As−To)

De As à A f :ε = ε

th + εcp = αT +δzI

∼

εA f =PL

2ES√

L2− l2o

+α(A f −To)+δ(A f −As)PL

2S√

L2− l2o

De A f à Tmax :

εs =PL

2ES√

L2− l2o

+α(Tmax−To)+δ(A f −As)PL

2S√

L2− l2o

13.8. 6 JUIN 2005 245

L’allongement du fil est donc :

∆L = L(PL

2ES√

L2− l2o

+α(Tmax−To)+δ(A f −As)PL

2S√

L2− l2o)

4. Calculer la déformation totale puis déduire l’allongement du fil à la fin de la maintenance deT = Tmax.

Dans cette deuxième étape, on a seulement la déformation plastique :

ε = εp

ε f − εs =Z t2

t1

(σ

K

)ndt

ε f = εs +(

σe

K

)n

(t2− t1)

5. Calculer la déformation totale puis déduire l’allongement du fil à la fin de la décharge de Tmax àTo.

13.8.3 Allongement de transformation de phase d’un fil

On considère le même système et les résultats des questions 1 et 2 de l’exercice précédent. A la fin durefroidissement, le matériau subit un changement de phase. On suppose que la transformation produitune déformation de transformation telle que :

εpt =

32

β(1− z)zs∼

et une déformation de changement de phase :

εcp = δzI

∼

dont la variable z est en fonction du temps t, telle que :

z = zmax(1− exp(−(t∗/τ)n))

tO

z

maxz

On note par εtot la déformation totale finale de l’exercice précédent.On rappelle que :

I∼

= traceσ∼.1∼

s∼

= σ∼− 1

3traceσ

∼.1∼

Ecrire la loi de comportement qui représente la vitesse de déformation totale selon vitessede déformation de changement de phase et vitesse de déformation de transformation. Calculer ladéformation du fil en fonction du temps.


On a :ε = ε

pt + εcp

ε = (δ+β(1− z))zσ

ε = εtot +

Z z(t)

zmax

σ(δ+β(1− z))dz

ε = εtot +σ(δz+βz−β

z2

2)|z(t)zmax

L’allongement final est donc :∆L = Loε

13.8.4 Conséquences mécaniques des transformations de phase

On a réalisé la simulation numérique de quatre essais de traction pendant lesquels se produit unchangement de phase. Dans la mesure où vous avez peu de temps pour résoudre cet exercice, on asupposé que le comportement est simplement élastique, ce qui n’est pas très réaliste d’un point devue physique, mais pragmatique pour l’examen. On suppose que la transformation obéit à une loi deJohnson–Mehl–Avrami. Le but est d’expliquer quantitativement les phénomènes observés.

-400

-200

0

200

400

600

800

1000

1200

1400

1600

0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01

sig1

1

eto11

Elasticity with phase transformation

35s50s

100s200s

Les essais sont réalisés en vitesse de déformation imposée, et en isotherme, de façon à atteindre unedéformation de 1% en un temps t f , qui prend respectivement les valeurs 35, 50, 100 et 200s. Le modèlede la transformation comporte une première partie, de germination, pendant laquelle il n’y a aucun effetapparent au niveau macroscopique, et qui, à une température T dure un temps τg(T ).Le changement de phase lui-même débute donc lorsque cette période est achevée ; l’apparition de la

nouvelle phase est quantifiée par une variable z, variant de 0 à zmax, selon l’équation suivante, pour unetempérature donnée (t est le temps depuis le début de l’expérience, et t∗ = t− τg) :

z = zmax(1− exp(−(t∗/τ)n))

L’effet mécanique est réduit à une augmentation de volume, proportionnelle à z, de composantes δz sur

la diagonale du tenseur de dilatation.Les calculs ont été effectués avec les valeurs suivantes des coefficients matériau (où E désigne le module

de Young) :

E δ τg n τ zmax

200000 0.0033 20 2 10 1

13.9. 9 JUIN 2006 247

1. Dire quelles sont les unités des différents coefficients

E est en MPa, τ et τg sont en secondes, les autres coefficients sont sans unité.

2. On note respectivement σ et ε la contrainte et la déformation totale dans la direction de traction.Ecrire la loi de comportement qui relie σ, ε et z. Caractériser le décalage entre les deux droites de lafigure précédente.

La déformation totale est la somme de la dilatation de changement de phase et de la déformationélastique, soit ε = δz +σ/E. Les deux droites de la figure sont décalées horizontalement d’une quantitéδ.

3. Exprimer la vitesse de changement de phase z pendant la période de croissance (t > τg).

La dérivation de l’expression de z fournit :

z =nτ(zm− z)

[−ln

(1− z

zm

)](n−1)/n

4. Quelle est la condition sur t f pour que l’effet de la transformation soit invisible pendant l’essai ?

Il suffit bien entendu que l’essai soit terminé avant la fin de la germination, soit t f < τg

5. Quelle est la condition sur t f pour que la courbe de traction soit toujours croissante ?

Il faut s’assurer que la vitesse de contrainte reste toujours positive. Pour cela, il suffit que, pour toutz, ε− δz > 0. L’expression de la dérivée de z est donnée en question 2 ; la vitesse de déformation totaleest égale à 0,01/t f .

6. Quelle est la condition sur t f pour que la contrainte passe par des valeurs négatives au cours del’essai ?

Il faut vérifier que, lorsque la vitesse de contrainte s’annule, la contrainte est exactement égale à 0.Ceci fournit une borne supérieure pour t f .

13.9 9 juin 2006

13.9.1 Homogénéisation en élasticité linéaire

Les relations de l’élasticité linéaire isotrope peuvent s’écrirent comme deux relations deproportionnalité, respectivement entre les parties sphériques et les déviateurs des tenseurs des contrainteset de déformations.

σll = 3κεll si j = 2µei j (ou s∼

= 2µe∼) (13.1)

1. Exprimer le tenseur d’élasticité Λ≈

(tel que σ∼

= Λ≈

: ε∼

en fonction de κ et µ, et des tenseurs K≈

et J≈

tels que

K≈

: ε∼

=13

εll I∼ J≈

: ε∼

= e∼

(13.2)

où I∼

est le tenseur unité du second ordre.

Les composantes du tenseur des contraintes s’écrivent :

σi j = si j +13

σllδi j = 2µei j +κεllδi j


Par conséquent :σ∼

= (2µJ≈+3κK

≈) : ε

∼

2. Donner les expressions des composantes des tenseurs K≈

et J≈, notées respectivement Ki jkl et Ji jkl .

Les composantes des tenseurs K≈

et J≈

sont :

Ki jkl = 13 δi jδkl

Ji jkl = 12(δikδ jl +δilδ jk)− 1

3 δi jδkl = Ii jkl −Ki jkl

3. Donner les valeurs numériques des invariants Kii j j, Ki ji j, Jii j j, Ji ji j

Les relations de la question précédente permettent d’établir :

Kii j j = 3 Ki ji j = 1 Ji ji j = 5 Jii j j = 0

On veut maintenant utiliser les résultats de la partie précédente pour trouver les propriétés homogèneséquivalentes d’un matériau constitué de fibres orientées de façon aléatoire, la probabilité de présenceétant uniforme pour toutes les directions de l’espace. Chaque fibre est définie par sa direction n f et sonmodule d’élasticité E f . On suppose que le comportement de ces fibres est uniaxial, si bien que, pour unefibre de direction n f , les tenseurs de contraintes, σ

∼f et de déformation, ε

∼f s’expriment simplement :

σ∼

f = σf n f ⊗n f

ε∼

f = εf n f ⊗n f (13.3)

avec σ f = E f ε f .On note Λ

≈f le tenseur d’élasticité de la fibre f :

σ∼

f = Λ≈

f : εf (13.4)

La fraction volumique de fibres est f. On applique sur l’assemblage une déformation homogène auxfrontières, représentée par le tenseur ε

∼. On se propose d’évaluer le tenseur du milieu homogène équivalent

Λ≈

.

4. Montrer que Λ≈

f se met sous la forme Λ≈

f = E f n f ⊗n f ⊗n f ⊗n f .

On va vérifier que la forme suggérée pour le tenseur Λ≈

f convient. Sous forme indicielle, on a :

σi j = E f nfi n f

j nfk n f

l εkl

= E f nfi n f

j nfk n f

l ε f n fk n f

l

= σ f n fi n f

j

qui correspond à la forme du tenseur donné.

5. Justifier l’expression suivante, dans laquelle < . > représente l’opération de moyenne :

Λ≈

= f < Λ≈

f >

On effectue l’opération de moyenne sur le volume des fibres. Le terme multiplicatif f vient ensuitedu rapport entre le volume de matière et celui de l’élément de volume total.

13.9. 9 JUIN 2006 249

6. On obtiendra facilement < Λ≈

f > si on connait < n f ⊗n f ⊗n f ⊗n f >. Comme la distribution des

orientations est aléatoire, ce dernier tenseur est nécessairement un tenseur isotrope, que l’on pourraidentifier à celui qui a été trouvé à la question 1, avec des valeurs de µ et κ à identifier. Déterminer cesdeux valeurs en calculant les deux invariants < ninin jn j > et < nin jnin j >.

On calcule les invariants Λii j j et Λi ji j :

Λii j j = 2µJii j j +3κKii j j = 9κ = f < ninin jn j > = fΛi ji j = 2µJi ji j +3κKi ji j = 10µ+3κ = f < ninin jn j > = f

On en déduit :κ =

f E f

9µ =

f E f

15

8. Calculer enfin le module de Young et le coefficient de Poisson du milieu homogène équivalent enutilisant les expressions :

1E

=1

3µ+

19k

ν =3k−2µ6k +2µ

(13.5)

Le module de Young vaut donc E = f E f /6. Le coefficient de Poisson est indépendant de f et de E f ,il vaut 0,25.

13.9.2 Viscoplasticité cristalline

En plasticité cristalline, le glissement cristallographique est un mécanisme élémentaire produisant dela déformation plastique par translation de réseau atomique selon certains plans, dits plan de glissement,selon certaines directions, les directions de glissement. Un système de glissement s est ainsi caractérisépar le couple (ns,ms), le premier vecteur déterminant le plan de glissement, le second la direction deglissement. On va dans un premier temps étudier la forme de la déformation plastique ou viscoplastiqueattachée à un système de glissement, puis on cherchera à caractériser le fluage d’un monocristal de glace.Dans l’un et l’autre cas, on se place dans le formalisme des petites perturbations.

1. On suppose qu’un système de glissement s reste dans son domaine élastique si la valeur absoluede la cission τs sur ce système reste inférieure à une certaine valeur critique τc :

f s(τs) = |τs|− τc (13.6)

avec τs = σ∼

: m∼

s et msi j = 1

2(nsi m

sj +ns

jmsi ).

Comparer τs avec le cisaillement en direction ms dans la facette de normale ns.

La cission τs correspond au cisaillement en direction ms dans la facette de normale ns.

2. En reprenant le formalisme développé dans le cours de plasticité indépendante du temps classique,indiquer quelles sont maintenant les conditions correspondant au domaine d’élasticité, à la déchargeélastique et à l’écoulement plastique. Donner l’expression géométrique de ε

∼p en introduisant un

multiplicateur plastique.

Le domaine élastique est caractérisé par f s < 0, la décharge élastique par f s = 0 et f s < 0,l’écoulement plastique par f s = 0 et f s = 0. L’expression de ε

∼p est donnée par

ε∼

p = λs ∂ f s

∂σ∼

où λs est un multiplicateur plastique.


3. Dans toute la suite, on travaillera en viscoplasticité, en postulant l’expression suivante pour lepotentiel viscoplastique du système s :

Ω(τs) =K

n+1

⟨f s

K

⟩n+1

où K et n sont des paramètres matériau caractérisant la viscosité et où < . > désigne la partie positive :< x >= max(x,0).A quelle condition a-t-on de l’écoulement viscoplastique, et quelle est l’expression de celui-ci ?

L’écoulement viscoplastique a lieu lorsque f s > 0. L’expression de l’écoulement est obtenue enutilisant la relation ∂Ω/∂σ

∼. On obtient ainsi :

ε∼

p =∂Ω

∂σ∼

=∂Ω

∂ f s∂ f s

∂σ∼

=⟨

f s

K

⟩n∂ f s

∂σ∼

Commef s = |τs|− τc = |m

∼s : σ

∼|− τc

Il vient :

ε∼

p =⟨

f s

K

⟩n

m∼

s signe(τs)

4. Montrer que le mécanisme étudié représente bien un écoulement plastique ou viscoplastique sansvariation de volume.

Le mécanisme étudié s’effectue bien sans variation de volume puisque trace(ε∼

p) = 0, car trace(m∼

s) =0

5. On définit un système de glissement dans le repère du cristal (X1,X2,X3) par :

n0 =

001

m0 =

100

Calculer l’expression du tenseur m

∼0 dans le même repère. Calculer τ0 pour un tenseur appliqué σ

∼.

Le tenseur m∼

0 se calcule grâce à la relation msi j = 1

2(nsi m

sj +ns

jmsi ). On obtient :

m∼

0 =

0 0 1/20 0 0

1/2 0 0

La cission τ0 se déduit de la relation τ0 = σ

∼: m∼

et est égal à σ13.

6. Tracer la forme de la surface de charge dans le plan (σ13−σ23), le tenseur des contraintes étantexprimé dans le repère (X1,X2,X3).

La surface de charge s’écrit f s(τs) = |σ13| − τc. Par conséquent, sa forme dans le plan (σ13−σ23)est constituée par deux droites d’équations σ13 =±τc.

7. La glace est un matériau de structure hexagonale compacte qui glisse selon trois systèmes dans leplan (X1,X2), appelé plan de base. Outre le système s0 présenté en question 5, on observe les systèmess1 et s2 tels que :

n1 = n2 = n0 m1 =

1/2√3/20

m2 =

−1/2√3/20

13.9. 9 JUIN 2006 251

Les directions de glissement font un angle (s.π/3) avec le premier axe cristallographique X1 (s=0,1,2).Calculer m

∼ 2 et m∼ 3 dans le repère cristallographique.

Dans le repère cristallographique, on a :

m∼

1 =

0 0 1/40 0

√3/4

1/4√

3/4 0

m∼

2 =

0 0 −1/40 0

√3/4

−1/4√

3/4 0

8. Donner la forme de la surface de charge, formée par les 3 systèmes, dans le plan (σ13−σ23).

La surface de charge est définine par les trois fonctions de charges f s, définies pour s = 0,1,2 :

f 0(τs) = |σ13|− τc

f 1(τs) = |σ13/2+√

3σ23/2|− τc

f 2(τs) = |−σ13/2+√

3σ23/2|− τc

Par conséquent, la forme de la surface de charge susceptible d’activer les 3 systèmes est la suivante :

τc τc

τc 3

c−τc−2τ

2 /

σ13

23σ

Surface de charge pour les trois systèmes

9. On fabrique un cylindre de glace de section circulaire de rayon R, formé d’un seul monocristal,l’axe du cylindre étant confondu avec X3, et le repère de charge étant confondu avec le repèrecristallographique. On soumet ce cylindre à une torsion autour de X3. On admet que l’état de contraintesest indépendant de X3. On repère un point M de la section circulaire en coordonnées polaires, par uncouple (r,ϕ), l’angle ϕ étant nul sur l’axe X1. Dans ce cas, les seuls termes non nuls du tenseur descontraintes sont :

σ13 = σ31 =−T sinϕ σ23 = σ32 = T cosϕ

où T désigne l’intensité du cisaillement, qui est proportionnelle à r et à l’angle de torsion en élasticité.On considère alors les écoulements viscoplastiques à la sortie du domaine d’élasticité, en négligeant leséventuelles redistributions de contraintes liées à l’écoulement viscoplastique.En traitant par exemple le cas du système s0, dire quels sont les endroits de la section où commence leglissement lorsqu’on augmente progressivement T ? Exprimer T en fonction de τc à cet instant.

On considère le cas du système s0. Le critère ne fait intervenir que la composante σ31 du tenseur,et le seuil est atteint lorsque τc = |T sinϕ|. Les points les plus critiques sont donc ceux pour lesquels lesinus vaut ±1. Par conséquent, le glissement apparaît au niveau du rayon extérieur du cylindre, au pointG tel que ϕ = −π/2 et au point diamétralement opposé. Par raison de symétrie, on trouve finalementque l’écoulement viscoplastique apparaît en six points de la circonférence, qui sont distribués tous les 60degrés, comme l’indique la figure suivante. Le seuil est atteint dès que T = τc.


1

2

3

X

X

1

2

G

Structure de la glace : les 3 systèmes de glissement

10. Si on utilise une valeur T0 de T plus grande que la valeur de la question précédente, calculer enfonction de T et de τc l’élargissement de la zone plastique.

La taille de la zone plastique est caractérisée par un angle β, tel que la cission critique τc soit atteinteen bord de zone. En considérant par exemple le système de glissement s0, la condition s’écrit :

T0 sin(β) = τc soit β = arcsin(

τc

T0

)

L’étendue de la zone plastique est donnée par l’angle α =π

2−β.

11. En déduire les conditions sur T pour qu’il y ait, en chaque point de la circonférence du cylindre :– au moins un système actif– deux systèmes actifs.

Pour qu’un système soit actif, il suffit que les zones plastiques se rejoignent, ce qui est réalisé lorsquel’angle α est égal à π/6, soit β = π/3. Ceci correspond à une valeur du cisaillement T1 de T1 = 2τc/

√3.

Pour obtenir partout deux systèmes actifs, l’angle α doit être égal à π/3, soit β = π/6, ce qui correspondà une valeur T2 = 2τc.

12. En considérant l’état de contrainte au point caractérisé par ϕ : 0 0 −T sinϕ

0 0 T cosϕ

−T sinϕ T cosϕ 0

Calculer successivement, pour chaque système s0, s1, s2 :

– les cissions τ0, τ1, τ2– les vitesses de glissement v0, v1, v2– les composantes des vitesses de déformations viscoplastiques ε

p13, ε

p23

– l’expression de la norme de la vitesse de déformation plastique ‖ε∼

p‖= 43((εp

13)2 +(εp

23)2)1/2

Les cissions sont calculées à partir de la relation τs = σ∼

: m∼

s (s = 0,1,2). Les vitesses de glissementvs sont déterminées par la relation 〈 f s/K〉n signe(τs − τc). Enfin, les composantes des vitesses dedéformations viscoplastiques se calculent à l’aide de la formule ε

∼p = ε

∼p0 + ε

∼p1 + ε

∼p2 .

On obtient les résultats suivants :

τ0 = T sinϕ τ

1 = T sin(

ϕ− π

3

)τ

2 = T sin(

ϕ+π

3

)vs =

⟨τs− τc

K

⟩n

avec s = 0,1,2

13.10. 4 JUIN 2007 253

εp13 =

12

⟨|τ0|− τc

K

⟩n

+14

⟨|τ1|− τc

K

⟩n

− 14

⟨|τ2|− τc

K

⟩n

εp23 =

√3

4

⟨|τ1|− τc

K

⟩n

+√

34

⟨|τ2|− τc

K

⟩n

13.10 4 juin 2007

13.10.1 Etude de modèles de fatigue à grand nombre de cycles

Un élément de volume de matière est sollicité en régime de fatigue à grand nombre de cycles(High Cycle Fatigue, ou HCF) lorsqu’on lui applique un chargement cyclique de faible amplitude, engénéral nettement en dessous de la limite d’élasticité. Dans ces conditions, des microfissures peuvent sedévelopper en son sein. Si le chargement est suffisamment faible, ces petites fissures, dont la taille estcomparable à celle de la microstructure environnante (fibres pour les matériaux composites, grains pourles matériaux métalliques), vont voir leur progression stoppée après quelques dizaines de micromètres auplus. On peut donc appliquer un très grand nombre de cycles, de l’ordre de 107, sans rompre l’élémentde volume. Au contraire, si l’une des fissures s’échappe et devient géométriquement significative, elleconduit à la rupture de l’élément de volume. La frontière entre les deux cas correspond à la limitede fatigue, qui est une donnée fondamentale dans la plupart des opérations de conception des piècesmécaniques. Dans la mesure où les sollicitations appliquées sont en général complexes, il faut êtrecapable de définir cette limite de fatigue sous conditions de chargement multiaxial, donc définir uncritère de fatigue. Cet exercice se propose d’étudier deux critères de fatigue, formulés respectivementpar Sines (en 1955) et Crossland (en 1956).

Les deux modèles définissent une valeur de critère, fs pour le critère de Sines, fc pour le critèrede Crossland, fonctions à valeur scalaire qui dépendent de l’historique du tenseur de contraintes sur uncycle. La limite de fatigue est atteinte dès que cette valeur dépasse zéro. On pose :

fs(σ∼) =12

∆J +bsImoy−σl

fc(σ∼) =12

(1−bc)∆J +bcImax−σl

Dans ces formules, ∆J/2 est une amplitude de cisaillement octaédrique, calculée en prenant le maximumde la variation de l’invariant de von Mises pour tous les couples d’instants du cycle (ti, t j), Imax lemaximum de la trace du tenseur des contraintes au cours du cycle, Imoy la moyenne arithmétique dela trace du même tenseur. On a donc :

∆J =Maxti,t j J(σ∼(ti)−σ

∼(t j))

J(σ∼) =(

32

s∼

: s∼

)1/2

(avec s∼

déviateur de σ∼)

et :

Imax =MaxtiI(σ∼(ti))

Imoy =12(MaxtiI(σ∼(ti))+Mint j I(σ∼(t j))

)Les paramètres bs, bc et σl , dépendent du matériau considéré, et doivent être identifiés en utilisant desrésultats expérimentaux.


1. On désigne :– par A un chargement alterné à contrainte imposée en traction-compression : seul le terme σ11 dutenseur de contraintes est non nul ; le chargement varie entre −σmax et σmax ;– par B un chargement répété à contrainte imposée en traction-compression : seul le terme σ11 dutenseur de contraintes est non nul ; le chargement varie entre 0 et σ′max ;– par C un chargement alterné à contrainte imposée en cisaillement : seuls les termes σ12 = σ21 dutenseur de contraintes sont non nuls ; le chargement varie entre −τmax et τmax.Pour chacun de ces chargements, donner dans un tableau les valeurs de ∆J/2, Imoy, Imax en fonction descaractéristiques du chargement, et en déduire les expressions de fs et fc.

∆J/2 Imoy Imax fs fc

A σmax 0 σmax σmax−σl σmax−σl

B σ′max/2 σ′max/2 σ′max σ′max

1+bs

2−σl σ

′max

1+bc

2−σl

C τmax√

3 0 0 τmax√

3−σl (1−bc)τmax√

3−σl

2. Expliquer pourquoi on ne peut pas identifier le critère de Sines avec des essais de type A etC uniquement, alors que l’opération est possible avec le critère de Crossland. Préciser le sens physiquedu paramètre σl .

Les expressions du critère de Sines en traction alternée et en cisaillement alterné ne font pas intervenirle paramètre bs. Celui-ci ne peut donc pas être déterminé si on ne dispose que d’essais de type A et C .L’autre conséquence de cette particularité est que le rapport des limites de fatigue prévues par le critèrepour A et C est fixe, et égale à

√3. Si cette propriété n’est pas vérifiée par le matériau que l’on considère,

le critère de Sines ne pourra pas approcher la donnée expérimentale. Au contraire, le paramètre bc estprésent dans l’expression du critère de Crossland pour C , ce qui permet d’étalonner totalement le critère.Les deux critères ont la même expression dans le cas A : le paramètre σl correspond à la limite de fatigueen traction/compression alternée lorsque le rapport R = σmax/σmin vaut −1.

3. On réalise des essais de type A et B , qui permettent d’obtenir expérimentalement les valeursdes contraintes maximales σl et σ′l caractérisant respectivement la limite de fatigue dans chaque cas.Exprimer les paramètres bs et bc en fonction de σl et σ′l .

On vient de voir que chacun des critères est étalonné pour redonner directement σl pour le cas A .L’utilisation de la donnée expérimentale obtenue dans le cas B permet d’obtenir la valeur des paramètresbs et bc, qui ont la même expression. On trouve ainsi pour bs :

σ′l1+bs

2−σl =0

si bien que :

bs =2σl −σ′l

σ′l

Les critères s’expriment donc finalement :

fs =σ′li

∆J2

+(2σl −σ′l)Imoy−σlσ

′l

fc =2(σ′l −σl)∆J2

+(2σl −σ′l)Imax−σlσ

′l

13.10. 4 JUIN 2007 255

On retrouve le fait que les deux critères sont équivalents lorsque 2σl = σ′l , puisqu’il n’y a pas d’influencede la contrainte moyenne dans ce cas.

4. Calculer en fonction de σl et σ′l la limite de fatigue en cisaillement alterné prévue par chacun descritères.

On a déjà vu que la valeur τls prévue par le critère de Sines est :

τls√

3 = σl

Pour le critère de Sines, la valeur est reliée à la fois à σl et à σ′l :

τlc√

3 =σlσ

′l

2(σ′l −σl)

5. On suppose que σl=130 MPa, et σ′l=200 MPa. Tracer la frontière du critère de Sines dans un planoù l’on portera respectivement en abscisse et en ordonnée Imoy et ∆J/2. Placer sur cette frontière lespoints représentatifs des chargements de type A , B et C .

Les valeurs précédentes conduisent à :

fs =∆J2

+0,3Imoy−130

La courbe représentative dans le plan (Imoy, ∆J/2) est donc une droite de pente −0,3 et d’ordonnée àl’origine 130 MPa, la zone «dangereuse» se situant au-dessus de cette courbe.

0 50 100 150Imoy (MPa)

80

100

120

140

∆J/2

(MPa

) A, C

B

6. Reprendre la question précédente pour le critère de Crossland, dans le plan Imax–∆J/2.

Les valeurs précédentes conduisent à :

fs = 0.7∆J2

+0.3Imax−130

Dans le plan (Imax, ∆J/2), la courbe de fonctionnement est donc la droite d’équation :

∆J2

= 185.7−0.4286Imax


0 40 80 120 160 200Imax

80

120

160

200

∆J/2 A

B

C

7. Quelles valeurs de τ′l en cisaillement répété (entre 0 et τmax) prévoient chacun des critères ?

Aucun des deux critères ne prévoit d’influence du cisaillement moyen sur la limite de fatigue, cequi correspond d’ailleurs aux observations expérimentales. En conséquence, l’amplitude de contraintede cisaillement acceptable en chargement de cisaillement répété est la même que celle qui est acceptableen chargement alterné :

τ′l = 2τl

8. Quelles valeurs de limite de fatigue prévoient chacun des critères en traction biaxiale, pourdes chargements alternés (Σl), et pour des chargements répétés (Σ′l) (les contraintes σ11 = σ22 variantrespectivement entre −σmax et σmax, ou entre 0 et σ′max) ?

On calcule les valeurs de ∆J/2, Imoy et Imax et on les substitue dans les expressions des critèresdéduites en A.3 :

∆J/2 Imoy Imax Sines Crossland

Σl σmax 0 2σmax σl σ′l/2

Σ′l σ′max/2 σ′max 2σ′max2σlσ

′l

4σl −σ′l

σlσ′l

3σl −σ′l

L’application numérique donne alors :– Sines : Σl = 130 MPa, Σ′l=162.50 MPa ;– Crossland : Σl = 100 MPa, Σ′l=136.84 MPa.

13.10.2 Poutre soumise à son propre poids

On considère une poutre dont la section S, située dans le plan x2x3, est symétrique par rapport auxaxes x2 et x3 ; elle a pour longueur 2L, et sa ligne neutre est confondue avec l’axe x1 (−L 6 x1 6 L). Elleest soumise à son propre poids — on note ρ la masse volumique et−ge3 l’accélération de la pesanteur, sie3 est le vecteur unitaire de l’axe 3 — et simplement posée sur deux appuis simples, situés respectivementen −l et +l (avec l < L). On note par I le moment quadratique principal autour de x2 et par E le moduled’Young.

1. Caractériser l’effort extérieur réparti sur la poutre, que l’on notera p. Quelle est son unité ?

13.10. 4 JUIN 2007 257

L’effort réparti sur la poutre n’est dû qu’à son poids et s’exprime en N/m. Son intensité est donnéepar :

p = ρgS

2. Ecrire les équations qui permettent de trouver successivement l’effort tranchant T , le moment deflexion M, l’angle de rotation des sections de la poutre θ et la flèche v, dans le cadre de la théorie deTimoshenko.

Dans la cadre de la théorie de Timoshenko, on a les relations suivantes :

T,1 + p =0 M,1−T =0

θ,1 =MEI

v,1 =TµS−θ

3. Définir l’ensemble des conditions aux limites, en indiquant en particulier à quels endroits T , M, θ

et V sont nuls.

La poutre étant en appui simple, l’effort tranchant T est nul à ses extrémités (en x1 =±L). Le momentde flexion M est lui aussi nul aux extrémités (M(−L) = M(L) = 0) et devra être continu au niveau desappuis. L’angle de rotation θ s’annule au milieu de la poutre, au niveau de la flèche maximale θ(L) = 0et sera continu au niveau des appuis. Enfin, la flèche V sera nulle au niveau des appuis (V (±l) = 0).

4. Résoudre le système d’équations et donner la valeur de la flèche au centre de la poutre. Commentcelle-ci varie-t-elle en fonction du rapport l/L ?

Il suffit de calculer une demi-poutre pour évaluer la flèche, de x1 =−L à x1 = 0. Le calcul de l’efforttranchant donne :

x1 ∈ [−L,−l] : T (x1) =−p(x1 +L)x1 ∈ [−l,0] : T (x1) =−px1

Où l’on vérifie qu’en x1 = −l il y a une discontinuité d’amplitude pL correspondant à la réaction del’appui. On en déduit le moment fléchissant :

x1 ∈ [−L,−l] : M(x1) =−p(x2

12

+Lx1)− pL2

2

x1 ∈ [−l,0] : M(x1) =−px2

12

+ p(lL− L2

2)

On peut ensuite intégrer l’angle de rotation θ – il suffira de l’intégrer pour x1 ∈ [−l,0] pour calculer laflèche maximale :

x1 ∈ [−l,0] : θ(x1) =1

EI

(−p

x31

6+ px1(lL−

L2

2))

On dispose enfin de tous les éléments pour évaluer la flèche. On trouve alors :

x1 ∈ [−l,0] : V1(x1) = p(l2− x2

1)2µS

+p

EI

(x4

1− l4

24− (l2− x2

1)2

(lL− L2

2))


La constante d’intégration de cette dernière équation donne l’expression de la flèche maximum pourx1 = 0, à savoir :

Vmax =pl2

2µS+

pEI

(− l4

24+

l2

2(lL− L2

2))

Selon la valeur de l, la déformée de la poutre change de convexité et donc la flèche de signe. Le pointd’équilibre –flèche nulle– est obtenu pour une valeur l0 de l solution de

0 =1

2µS− l2

24EI+

Ll2EI

− L2

4EI

Si on néglige la contribution de l’effort tranchant (terme 1/2µS), on trouve plus simplement :

l0L

= 6−√

30≈ 0.523

Lorsque les appuis sont rapprochés (rapport l/Ls inférieur à la valeur ci-dessus), le mouvement du milieude la poutre est dans la direction opposée à celle définie par la pesanteur.

13.10.3 Etude de l’écrouissage latent

x1

x2 x’1x’2

x1

x2 x’1x’2

a. Précisaillement b. Traction x′1 c. Traction x′2Figure 1 : Les différents chargements imposés, (a) préchargement en cisaillement sur la plaque ; (b), (c)

traction sur spécimens redécoupés suivant x′1 ou x′2

Au cours des procédés de mise en forme, les matériaux peuvent être sollicités suivant des trajets dechargement complexes. On étudie ici l’exemple d’une procédure expérimentale où interviennent deschargements en cisaillement et traction, et qui permet de caractériser l’écrouissage latent, ou écrouissageproduit dans un mode de chargement par un chargement antérieur. Dans le cas étudié, le chargementinitial est un cisaillement, réalisé sur un montage de double cisaillement, au moyen duquel deux plaquessont sollicitées en déformation imposée monotone selon la composante 12 jusqu’à ε12 = γm/2 (fig.1a),dans le repère (x1x2) de vecteurs directeurs e1 et e2. Dans ce repère, on suppose que 12 et 21 sont lesseules composantes non nulles des tenseurs de déformation et de contrainte. On redécoupe ensuite depetits spécimens, respectivement selon les directions x′1 et x′2, dont les vecteurs directeurs e′1 et e′2 sonttels que (e1,e′1)=π/4, et (e2,e′2)=π/4. Le but du problème est de comprendre les réponses au cours desétapes (b) et (c) du chargement, et leurs différences éventuelles. Dans l’ensemble du problème, on seplace dans une hypothèse de contrainte plane, si bien que les composantes 13, 23 et 33 du tenseur decontraintes sont nulles.

Le comportement élastique est isotrope, caractérisé par le module d’Young E, le coefficient dePoisson ν, ou le module de cisaillement µ = E/(2(1+ν)).

Le comportement plastique sera considéré successivement comme :– isotrope linéaire, avec un critère dépendant de la variable scalaire R telle que :

f (σ∼,R) = J(σ

∼)−R−σy

13.10. 4 JUIN 2007 259

dans lequel σy désigne la limite d’élasticité initiale, et où R dépend linéairement de la déformationplastique cumulée p au travers du module d’écrouissage H :

R(p) = H p avec p =(

23

ε∼

p : ε∼

p)1/2

– cinématique linéaire, avec un critère dépendant de la variable tensorielle X∼

telle que :

f (σ∼,X∼) = J(σ

∼−X

∼)−σy

dans lequel σy désigne la limite d’élasticité initiale, et où X∼

dépend linéairement de la déformationplastique ε

∼p au travers du module d’écrouissage H :

X∼

=23

Hε∼

p

Dans chaque cas, la vitesse de déformation plastique est portée par la normale au domaine d’élasticité,n∼

= ∂ f /∂σ∼

, et s’exprime en fonction du multiplicateur plastique λ par :

ε∼

p = λn∼

avec λ =n∼

: σ∼

H

Intégration du modèle dans le repère (x1x2) 1. On se place dans le repère (x1x2), et on considèrele comportement plastique isotrope linéaire. Donner successivement les expressions du déviateur s

∼, de

l’invariant de von Mises J, de la normale n∼

et de la composante εp12 du tenseur vitesse de déformation

plastique. On utilisera la notation σ12 = τ.

On a ici :

s∼

= σ∼

=

0 τ 0τ 0 00 0 0

J =

√3τ

n∼

=√

32τ

s∼

λ =√

3H

τ

εp12 =

3τ

2H

2. Intégrer l’expression précédente jusqu’à la valeur τm de τ (on suppose que τm√

3 > σy) et donnerla valeur de déformation plastique atteinte.

La déformation plastique démarre lorsque f (σ∼) = 0, c’est-à-dire ici quand τ = σy√

3. Il vient alors :

εp12 =

32H

(τm−

σy√3

)

3. Calculer à ce point la valeur de la déformation élastique, et en déduire la relation entre τm et γm.


La déformation élastique pour un corps isotrope est donnée par : ε∼

e =1+ν

Eσ∼− ν

Etrσ∼

I∼. On a donc

ici :ε

e12 =

1+ν

Eτm

La déformation totale γm est la somme des contributions élastique et plastique. Il vient alors :

γm =2(1+ν)

Eτm +

3H

(τm−

σy√3

)

4. Refaire le travail en considérant maintenant le cas de l’écrouissage cinématique linéaire. Queremarque-t-on en ce qui concerne la relation contrainte–déformation ?

On a :

σ∼−X

∼=

0 τ−2Hεp12/3 0

τ−2Hεp21/3 0 0

0 0 0

d’où :

J(σ∼−X

∼) =

√3(

τ−2Hε

p12

3

)La composante 12 du tenseur normal s’écrit :

n12 =√

32

Le multiplicateur plastique s’écrit :

λ =√

3τ

Hd’où l’on déduit la composante 12 du tenseur de vitesse de déformation plastique :

εp12 =

3τ

2H

La relation contrainte déformation est la même que dans le cas de l’écrouissage isotrope.

Intégration du modèle dans le repère (x′1x′2) Comme les trajets du deuxième niveau s’expriment defaçon simple dans le repère (x′1x′2), on va maintenant se placer dans ce même repère pour représenterle chargement de précisaillement du premier niveau. On continuera d’appeler σi j les composantes dutenseur de contraintes. Ainsi σ11 est maintenant la contrainte normale sur la facette de normale e′1. Demême, εi j et ε

pi j sont respectivement les composantes des tenseurs de déformation et de déformation

plastique.

5. Donner dans (x′1x′2) les valeurs de σi j correspondant au cisaillement τ dans (x1x2). On chercherapour cela les contraintes normales principales du tenseur de contraintes, et les directions principalesassociées.

Les contraintes normales principales de σ∼

sont τ et −τ, respectivement associées aux directionsprincipales (1,1,0) et (1,−1,0). Dans (x′1,x

′2) le tenseur des contraintes s’écrit donc :τ 0 0

0 −τ 00 0 0

13.10. 4 JUIN 2007 261

6. Ecrire la relation entre σ11 et ε11 lorsque l’on est encore en régime élastique.

En régime élastique on a :

ε11 =1+ν

Eσ11

7. Refaire dans le repère (x′1x′2) les calculs de la question C.1 pour le cas de l’écrouissage isotropelinéaire.

On retrouve les mêmes résultats que précédemment, à savoir :

J =√

3τ

n∼

=√

32τ

s∼

λ =√

3H

τ

εp11 =

3τ

2H

8. Intégrer la relation de comportement plastique et calculer εp11 en fonction de σ11. Exprimer les

valeurs maximales des contraintes et des déformations plastiques en fonction de τm.

On a : εp11 =

32H

τ, la plastification commençant pour f = 0, c’est-à-dire τ = σy/√

3, on trouve :

εpm11 =

32H

(τm−

σy√3

)

C.10. Tracer dans le plan (εp11–σ11) la courbe représentative du premier niveau de chargement, et la

comparer avec la courbe qui serait obtenue en traction simple.

Dans le cas du cisaillement pur, on a donc :

σ11 =2H3

εp11 +

σy√3

Et dans le cas de la traction simple :σ11 = Hε

p11 +σy

0ε11

0

σ 11

Traction

Cisaillementσy


11. Caractériser la position du domaine d’élasticité après le préchargement de cisaillement. Endéduire, sans faire les calculs, la forme des courbes caractérisant les chargements de traction selonles directions x′1 ou x′2. Si on oublie l’histoire lors du redécoupage des petits spécimens dans la grandeplaque (donc qu’on remet à zéro la déformation plastique dans le modèle), y a-t-il une différence entreles tractions selon x′1 et x′2 ?

Après le préchargement, le domaine d’élasticité (de rayon initial σy) s’est dilaté dans toutes lesdirections et son nouveau rayon vaut H p+σy. Le tenseur de déformation plastique n’a que deux termesnon nuls, ε

p11 et ε

p22, avec :

εp11 =−ε

p22 =

32H

(τm−

σy√3

)La déformation cumulée pm en fin de préchargement vaut donc :

pm =2√3

εp11 =

√3

H

(τm−

σy√3

)Les courbes de traction suivant les directions x′1 et x′2 auront la même allure : tout d’abord une déformationpurement élastique jusqu’à σ = σy + H pm puis un régime élasto-plastique de pente H+E

HE dans le repère(ε11,σ11). Si on oublie l’histoire du matériau, celui-ci étant isotrope, la traction suivant les directions x′1et x′2 sont équivalentes.

12. Que devient l’ensemble des conclusions précédentes si l’on considère maintenant lecomportement cinématique linéaire ?

Dans le cas du comportement cinématique linéaire, le rayon du domaine d’élasticité ne varie pas, nisa forme, mais son centre subit une translation suivant les directions de sollicitation, proportionnelle autenseur de déformation plastique. Dans le cas présent, cela résultera en une augmentation de la limiteélastique dans la direction x′1 et une diminution dans la direction x′2.

13.11 9 juin 2008

13.11.1 Optimisation du chemin de déformation pour le planage d’une tôle

Pour planer une tôle métallique mince isotrope située dans le plan (x1, x2), on souhaite exercer unétat de contrainte uniaxial A tel que σ11 = σo, qui dépasse la limite d’élasticité initiale du métal, σy.Pour atteindre cet état de contrainte, deux trajets sont techniquement envisageables. Le premier consisteà cisailler la tôle pour atteindre l’état B, tel que σ11 = σo/2, σ22 = −σo/2, σ12 = 0, puis à rejoindrel’état A. Le second consiste à atteindre l’état C, tel que σ11 = σo, σ22 = σo/2, σ12 = 0, puis à rejoindrel’état A. Tous les trajets sont rectilignes dans l’espace des contraintes. Le comportement du matériau estélasto-plastique indépendant du temps, avec une élasticité isotrope caractérisée par le module de YoungE et le coefficient de Poisson ν, et un comportement plastique à écrouissage isotrope associé à un critèrede Tresca. La fonction de charge f s’écrit donc, en fonction des contraintes normales principales (ensupposant σ3 6 σ2 6 σ1) :

f (σ∼,R) = σ1−σ3−σy−R

L’écrouissage est supposé linéaire, de module plastique H ; il s’exprime en fonction de la déformationplastique cumulée p par R = H p. L’objectif de cet exercice est de sélectionner le trajet qui minimise lavariation d’épaisseur de la tôle après décharge.

1. Tracer la frontière du domaine d’élasticité initial dans le plan σ11–σ22, en supposant que toutesles autres composantes sont nulles.

13.11. 9 JUIN 2008 263

La frontière du domaine d’élasticité initial correspondant au critère de Tresca dans le plan σ11–σ22,toutes autres composantes du tenseur des contraintes étant nulles, est reportée en figure 13.1a.

2. Donner la position du domaine d’élasticité final pour chacun des trajets OBA et OCA, ainsi queles trajets de chargement correspondants.

Les trajets de chargement sont constitués chacun de deux segments de droite. L’écrouissage étant denature isotrope, le domaine d’élasticité va se dilater sans translation de son centre jusqu’au point le plusextrême du trajet de chargement, vis-à-vis du critère, comme le montre la figure 13.1a.

3. Déterminer toutes les composantes du tenseur de déformation plastique au cours du trajet OBA.

Sur le trajet OBA, le segment OB′ correspond à un comportement purement élastique ; en B′, on aσ11 = −σ22 = σy/2. Le long du segment B′B, le comportement est élasto-plastique. Sur ce tronçon, ona :

σ3 = σ22 < σ2 = σ33 = 0 < σ1 = σ11

Les contraintes actives dans le critère de Tresca sont σ1 = σ11 et σ3 = σ22, où σ1 et σ3 sont lescontraintes principales maximale et minimale, si bien que f (σ

∼,R) = σ11 − σ22 − σy −H p et que la

direction d’écoulement est :

n∼

=∂ f∂σ∼

=

1 0 00 −1 00 0 0

La dérivée temporelle du tenseur de contraintes s’écrit en fonction de σ11 :

σ∼

= σ11n∼

L’application de la condition de cohérence f = 0 fournit :

p =σ∼

: n∼

H=

2σ11

H

En posant la définition habituelle de la déformation plastique cumulée, on trouve :

p =(

23

ε∼

p : ε∼

p)1/2

=2√3

λ

En utilisant la définition de la vitesse de déformation plastique, ε∼

p = λn∼, il vient alors :

εp11 =−ε

p22 = λ =

√3σ11

H

L’intégration sur σ11 a pour bornes σy/2 et σo/2 :

εp11(B) =−ε

p22(B) =

Zσo/2

σy/2

√3dσ11

H=√

32

σo−σy

H

La composante 33 du tenseur de déformation plastique est nulle.Le long du trajet BA, le comportement est purement élastique parce que sur ce tronçon on a σ

∼: n∼

= 0. Ona donc ε

∼p(A) = ε

∼p(B) Dans ce cas, la variation d’épaisseur, donnée par ε

p33(A), est nulle.

4. Déterminer toutes les composantes du tenseur de déformation plastique au cours du trajet OCA.

En suivant le trajet OCA, le tronçon OC′ correspond à un comportement purement élastique ; en C′,on a σ11 = 2σ22 = σy. Le long du tronçon C′C, le comportement est élasto-plastique. Sur ce tronçon, ona :

σ3 = σ33 = 0 < σ2 = σ22 < σ1 = σ11


Les contraintes actives dans le critère de Tresca sont σ1 = σ11 et σ3 = σ33, où σ1 et σ3 sont lescontraintes principales maximale et minimale, si bien que f (σ

∼,R) = σ11 − σ33 − σy −H p et que la

direction d’écoulement est :

n∼

=∂ f∂σ∼

=

1 0 00 0 00 0 −1

La dérivée temporelle du tenseur de contraintes s’écrit en fonction de σ11 :

σ∼

= σ11

1 0 00 1/2 00 0 0

L’application de la condition de cohérence f = 0 fournit :

p =σ∼

: n∼

H=

σ11

H

La relation entre p et λ est la même qu’à la question précédente. On en déduit donc :

εp11 = 2ε

p33 =

√3

2λ =

√3σ11

2H

L’intégration sur σ11 a pour bornes σy et σo :

εp11(C) = 2ε

p33(C) =

Zσo

σy

√3dσ11

2H=√

32

σo−σy

H

Cette fois-ci, c’est la composante 22 du tenseur de déformation plastique qui est nulle, mais pas lacomposante 33.Le long du trajet CA, le comportement est purement élastique car λ = σ

∼: n∼

= 0 et donc ε∼

p(A) = ε∼

p(C).

5. Quel est le trajet qui minimise la variation d’épaisseur de la tôle après décharge, donc retour aupoint O après chacun des deux trajets.

Sur le trajet OCA, la variation relative d’épaisseur est non nulle. L’amincissement est donné par :

εp33(A) = ε

p33(C) =

e− e0

e0=−

√3

4σ0−σy

H

Le trajet qui minimise la variation d’épaisseur est donc le trajet OBA, qui s’effectue sans variationd’épaisseur, puisque ε

p33(A) = 0.

6. Afin d’évaluer les changements qui seraient apportés au problème précédent par application ducritère de von Mises, on demande maintenant de tracer la frontière du domaine d’élasticité initial et dudomaine d’élasticité final dans le cas du critère de von Mises.

Les différentes étapes du chargement sont reportées en figure 13.1b. On remarque que, comme pourle critère de Tresca, les deux points B et C sont équivalents du point de vue du critère de von Mises. Ladifférence entre les deux critères vient du fait que, aux points B et C, le critère de Tresca a déjà atteint lavaleur σo, qui est justement la valeur finale. Il n’y a donc pas d’écoulement au cours de la seconde étapedu chargement. Par contre, la valeur atteinte par le critère de von Mises n’est que (

√3/2)σo. Il faut donc

un écoulement plastique pour atteindre la valeur finale σo.

7. Indiquer sans refaire les calculs les principales différences entre les solutions obtenues par lecritère de Tresca et celui de von Mises pour chacun des trajets OBAO et OCAO.

13.11. 9 JUIN 2008 265

Dans le cas du critère de von Mises, d’une part, la plasticité ne commencera pas au même point : elledébutera en fait un peu plus tard comme on le voit sur la figure 13.1b. De plus, le comportement le longdes deux tronçons BA et CA qui étaient purement élastiques avec le critère de Tresca ne le sont pas avec lecritère de von Mises. L’intégration nécessaire pour trouver l’évolution de la déformation plastique sur cessegments n’est pas analytique. La difficulté provient du fait que l’orientation de la direction d’écoulementvarie entre B et A comme entre C et A.

FinalInit

B′

C′

C

B

AO

σ11 (MPa)

σ 22

(MPa

)

450360270180900-90-180-270-360-450

450

360

270

180

90

0

-90

-180

-270

-360

-450

FinalInterInit

C

B

A

σ11 (MPa)

σ 22

(MPa

)45036027018090090180270360450

450

360

270

180

90

0

90

180

270

360

450

(a) (b)

FIG. 13.1 – Surfaces obtenues avec les valeurs numériques suivantes : H= 1000 MPa, σy= 270 MPa,σo= 360 MPa. (a) Critère de Tresca, surfaces initiale et finale (b) Critère de von Mises, surfaces initiale,intermédiaire et finale.

13.11.2 Etat limite en viscoplasticité confinée

Le but de cet exercice est de vérifier le fait que l’état de contrainte à l’intérieur d’un matériau visqueuxsoumis à un chargement de type gravité tend de façon asymptotique vers un état hydrostatique. Onsuppose que le matériau est élasto-viscoplastique, avec une élasticité isotrope caractérisée par le modulede Young E et le coefficient de Poisson ν, et un comportement de type Norton associé à un critère de vonMises, dont l’expression uniaxiale fait intervenir les deux paramètres K et n :

εp =

(|σ|K

)n

signe(σ)

1. Ecrire l’expression de cette loi en tridimensionnel, en utilisant l’invariant de von Mises, noté J,et sa dérivée par rapport à σ

∼, notée n

∼, dont on donnera l’expression en fonction des composantes du

déviateur du tenseur de contraintes.

ε∼

p =(

JK

)n

n∼

avec n∼

=32

s∼

J

2. On modélise une portion de sous-sol par un cylindre d’axe x3, de base carrée, dont les côtés, delongueur a, sont parallèles aux axes x1 et x2. La base supérieure située dans le plan (x3 = 0) est libre, etla hauteur du cylindre vaut h. Les déplacements latéraux u1 et u2 restent nuls en permanence. A l’instantt = 0, on applique brutalement un chargement volumique de type gravité sur l’ensemble du cylindre,dont la seule composante non nulle est f d

3 = −ρg, ρ désignant la masse volumique du matériau et g


l’intensité de l’accélération due à la pesanteur. Donner en justifiant votre choix la forme du tenseur decontraintes. Calculer ensuite l’expression de σ33 en utilisant les équations d’équilibre et les conditionsaux limites. Cette contrainte va-t-elle évoluer avec le temps ? Justifier.

Par raison de symétrie sur le chargement et la géométrie, (x1, x2, x3) est le repère principal. On setrouve en déformations planes à la fois dans les directions x1 et x2, si bien que les champs de contrainteset de déformations ne dépendent pas de x1 et x2. La seule équation d’équilibre non triviale est :

σ33,3−ρg = 0

Comme cette contrainte est nulle en x3 = 0, on trouve simplement :

σ33 = ρgx3

Il s’agit d’une condition statique, indépendante de la loi de comportement, qui reste donc toujoursvérifiée.

3. En utilisant les équations de Hooke, trouver la valeur de σ11 et σ22 lors de la réponse élastique dusystème à l’instant t = 0+.

Il s’agit de la réponse en élasticité. Les deux contraintes σ11 et σ22 sont égales. En écrivant le faitque la déformation ε22 est nulle, on trouve :

σ11 = σ22 =ν

1−νσ33

Les trois contraintes sont en compression, et, initialement σ33 < σ11 = σ22 < 0, puisque, si 0 < ν < 1/2.On supposera que l’ordre reste le même au cours de l’écoulement, hypothèse qui devra être confirmée enfin de calcul.

4. Donner l’expression des vitesses de déformation viscoplastique pour t > 0.

On trouve respectivement pour le déviateur et l’invariant J :

s∼

= (σ33−σ11)

−1/3 0 00 −1/3 00 0 2/3

J = σ11−σ33

si bien que la normale n∼

prend la forme d’une matrice diagonale (1/2 ; 1/2 ; -1), ce qui fournit lescomposantes du tenseur de vitesse de déformation viscoplastique :

εp33 =−

(JK

)n

εp11 = ε

p22 =−1

2ε

p33

5. En tenant compte du fait que le déplacement latéral est bloqué, intégrer l’équation différentiellequi définit l’évolution de σ11 et en déduire la forme de l’état de contrainte asymptotique.

La vitesse de déformation totale ε11 est nulle, donc :

0 =1−ν

Eσ11 + ε

p11 =

1−ν

Eσ11 +

12

(σ11−σ33

K

)n

L’équation différentielle à résoudre est donc de la forme :

dσ11

(σ11−σ33)n =−dtτ

avec τ =2(1−ν)Kn

E

13.11. 9 JUIN 2008 267

où σ33 = ρgx3 dépend de l’espace, mais pas du temps. En considérant la condition initiale en σ11 trouvéeen question 3, on obtient :(

1σ11−σ33

)n−1

−(

1−ν

(2ν−1)σ33

)n−1

= (n−1)tτ

Soit encore :

σ11 = σ33 +

((n−1)

tτ

+(

(2ν−1)σ33

1−ν

)1−n)1/(1−n)

Cette équation ne s’applique pas en surface, où, trivialement, les trois contraintes restent toujours nulles.On observe par ailleurs que la contrainte σ11 tend vers σ33 en chaque point du milieu. L’état asymptotiqueest un état de compression hydrostatique σ11 = σ22 = σ33. On vérifie que le système n’évolue pas sil’élasticité est isochore. Dans ce cas, les déformations élastoviscoplastiques se font sans changement devolume, et le blocage des directions x1 et x2 élimine toute possibilité de déplacement vertical.

6. Montrer que la déformation viscoplastique est bornée, et trouver directement sa valeurasymptotique.

On a vu que la contrainte σ33 ne change pas en fonction du temps, une fois le champ de gravitéétabli. Le champ de contrainte asymptotique est donc parfaitement défini. Il suffit d’utiliser ces valeursdans l’expression de ε11 pour trouver ε

p∞

11 , valeur asymtotique de εp11 :

ε11 = 0 =1−2ν

Eσ33 + ε

p∞

11

La composante 33 de la déformation plastique vaut donc :

εp∞

33 =−2εp∞

11 = 21−2ν

Eσ33 = 2ρgx3

1−2ν

E

7. Indiquer comment on peut trouver le déplacement du haut du cylindre en fonction du temps, ensupposant que le déplacement est nul en x3 =−h ?

Comme on est en double déformation plane, trace(ε∼) = ε33. Comme cette trace est égale à celle du

tenseur de déformation élastique, on peut simplement exprimer ε33 à chaque instant :

ε33 =1−2ν

E(σ33 +2σ11)

Donc, en remplaçant σ11 par son expression :

ε33 =(1−2ν)

E

3σ33 +2

((n−1)

tτ

+(

(2ν−1)σ33

1−ν

)1−n)1/(1−n)

La valeur asymptotique de ε33 est donc :

ε33 =3(1−2ν)

Eσ33

Les deux tiers de cette valeur sont à attribuer à la déformation plastique, et le tiers restant à la déformationélastique. On trouve le déplacement vertical à un instant quelconque en intégrant ε33 par rapport à x3.

U3(x3 = 0) =Z 0

−hε33dx3

Cette intégration n’est pas analytique.


13.11.3 Optimisation d’une poutre en traction/compression et en flexion 3 points

On considère les déformations dans le plan (x1,x3) d’une poutre plane de longueur 2L, d’axe x1,dont la ligne moyenne est représentée par le segment AB (le point A est en x1 = 0, le point B est enx1 = 2L) constituée d’un matériau élastique isotrope de module de Young E, et de masse volumique ρ.Les deux composantes du déplacement en direction 1 et 3 sont bloquées au point A, et le déplacementen direction 3 est bloqué au point B. Les rotations sont libres à chacun de ces extrémités. On considérerasuccessivement l’effet d’un chargement de traction/compression, puis celui d’un chargement de flexion3 points, enfin la combinaison des deux chargements. Le problème posé est celui d’une conceptionoptimale minimisant la masse, vis-à-vis de critères de flèche maximale et de charge de ruine.

1. On applique une force axiale de valeur absolue F en B. La condition visée pour la conception dela poutre est que la valeur absolue du déplacement axial reste inférieure à une valeur δ1. On suppose quela section de la poutre est un carré de côté a. Calculer la valeur minimale amin qu’il faut choisir poura pour vérifier la condition précédente. Calculer ensuite la masse de la poutre. En remplaçant a paramin dans cette expression trouver la masse minimale que doit avoir la poutre pour vérifier la conditionde conception. Dans cette nouvelle expression coexistent les paramètres de conception, F, L et δ1, etles paramètres qui dépendent du matériau, E et ρ. On cherche maintenant à minimiser la masse de lapoutre. Quelle combinaison de E et de ρ doit-on minimiser pour cela ?

Le déplacement axial de la poutre, U , se calcule en multipliant la déformation axiale, qui estuniforme, par la longueur de la poutre. La déformation axiale s’exprime en divisant la contrainte axiale,F/S, par le module de Young. Il vient donc :

U =2LFES

=2LFEa2

D’où :

amin =(

2LFEδ1

)1/2

La masse s’exprime simplement comme m = 2La2ρ. En éliminant a entre les expressions de U et m, ilvient :

m =ρ

E4FL2

δ1

La poutre optimale est donc celle qui présente le rapport ρ/E minimum.

2. Recommencer la même question dans le cas d’une poutre de section rectangulaire, de hauteur 2h(−h 6 x3 6 h) et de largeur b. Comparer avec la conclusion précédente.

On retrouve le même résultat que précédemment, puisque U et m dépendent en fait chacun de lasection S

U =2LFES

m = 2LSρ

et que S se simplifie entre les deux équations.

3. On reprend la poutre de section carrée de la question 1, subissant encore un chargement axial detraction de valeur F. On souhaite maintenant que la contrainte de traction dans la poutre reste inférieureà une valeur limite σu (pour éviter la ruine par charge limite). Calculer la valeur de la contrainte axialeσ11 sous l’effet de la force F. Trouver la valeur minimale a′min de a pour que la condition précédentesoit vérifiée. En reportant cette valeur dans l’expression de la masse, trouver la valeur minimale de lamasse pour que la condition de conception soit vérifiée. En déduire la combinaison de σu et de ρ qu’ilfaut minimiser pour obtenir la masse minimale.

13.11. 9 JUIN 2008 269

On cherche à limiter la valeur de la contrainte axiale, F/S, par la valeur σu. On trouve donc :

a′min =(

Fσu

)1/2

En reportant dans l’expression de la masse, il vient :

m = 2Laρ = 2LFρ

σu

Il faut minimiser le rapport ρ/σu.

4. Recommencer la question 3 dans le cas d’une poutre de section rectangulaire, de hauteur 2h(−h 6 x3 6 h) et de largeur b. Comparer avec la conclusion précédente.

C’est encore une fois la section qui apparaît dans l’expression de la contrainte et de la masse, si bienqu’on retrouve le même résultat qu’à la question précédente.

5. On considère maintenant un chargement de flexion 3 points, généré par une force ponctuelle P dedirection x3 qui s’applique au centre de la poutre (en x1 = L). Le condition visée pour la conception estque la valeur absolue de la flèche maximale reste inférieure à une valeur δ3. En supposant que la poutrea une section carrée de côté a, trouver la valeur minimale que doit prendre a pour vérifier la condition.En suivant la démarche des questions précédentes, donner la combinaison de E et de ρ qu’il importe deminimiser pour obtenir la masse minimale.

Le moment quadratique I vaut dans ce cas a4/12. La flèche maximale est obtenue au centre de lapoutre, elle vaut :

V =PL3

6EI=

2PL3

Ea4

On doit donc avoir :

a > amin =(

2PL3

Eδ3

)1/4

En éliminant a dans l’expression de la masse, il vient :

m > 2La2minρ = 2L

(2PL3

Eδ3

)1/2

ρ

La combinaison à minimiser est donc le rapport ρ/E1/2.

6. Recommencer la même question dans le cas d’une poutre de section rectangulaire, de hauteur 2h(−h 6 x3 6 h) et de largeur b. On décide d’effectuer l’optimisation sur h, pour une valeur fixée de b.Quelle combinaison de E et de ρ doit-on maintenant minimiser pour minimiser la masse ?

Le moment quadratique I vaut dans ce cas (2/3)bh3. La flèche maximale est obtenue au centre de lapoutre :

V =PL3

4Ebh3

Si bien que l’on peut exprimer la valeur de la masse :

m = 4Lbhρ > 4Lb(

PL3

4bEδ3

)1/3

ρ

Il faut donc cette fois-ci minimiser le rapport ρ/E1/3.


7. On revient de nouveau à la poutre de section carrée, chargée en flexion 3 points, et on souhaite quela contrainte maximale relevée reste inférieure à σu. Donner successivement l’expression de la contrainteσ11 en fonction du moment de flexion, puis l’expression du moment de flexion. En quel point de la poutrela contrainte est-elle maximale ? Trouver la valeur minimale de a pour laquelle la valeur maximale deσ11 reste inférieure à σu. En déduire la combinaison de σu et ρ qu’il importe de minimiser pour obtenirla masse minimale.

La contrainte σ11 a un profil linéaire en fonction de x3 ; elle s’écrit, en fonction du moment de flexionM et du moment quadratique I : σ11 = Mx3/I. Le moment de flexion est maximal au centre de la poutre,où il vaut PL/2. En utilisant le fait que I = a4/12, on trouve la valeur maximale de la contrainte, au pointx3 = a/2 :

σ11 =3PLa3 < σu

La masse s’exprime donc :

m = 2La2ρ > 2L

(3PLσu

)2/3

ρ

Il faut minimiser le rapport ρ/σ2/3u .

8. Recommencer la même question dans le cas d’une poutre de section rectangulaire, de hauteur 2h(−h 6 x3 6 h) et de largeur b. On décide d’effectuer l’optimisation sur h, pour une valeur fixée de b.Quelle combinaison de σu et de ρ doit-on maintenant minimiser pour minimiser la masse ?

On obtient la contrainte maximale au centre de la poutre, en x3 = h. Avec I = (2/3)bh3, on obtientmaintenant :

σ11 =3PL4bh2 < σu

En reportant dans l’expression de la masse

m = 4Lbhρ > 4Lb(

3PL4bσu

)1/2

ρ

on trouve qu’il faut minimiser le rapport ρ/σ1/2u .

9. On considère maintenant la poutre de section rectangulaire, soumise au chargement de flexion 3points. On cherche encore la masse minimale pour une poutre qui doit à la fois vérifier la condition enflèche maximale et en contrainte maximale. On décide de libérer b, qui peut donc prendre maintenantdes valeurs quelconques. Tracer, dans le plan log(b)–log(h) les droites de conception correspondant à lacondition de flèche maximale et à la condition de contrainte maximale. Positionner également la droitecorrespondant à la masse minimale. En déduire les différentes conceptions possibles, et montrer que l’onpeut obtenir une masse aussi petite qu’on le souhaite en diminuant la valeur de b.

En repartant de l’expression de la flèche, on observe que la condition à vérifier s’exprime en fonctionde la valeur limite δ3 comme :

PL3

4Ebh3δ3< 1

Pour un matériau donné, E et ρ sont maintenant fixés, si bien que, en prenant le logarithme del’expression, la limite du domaine de conception dans le plan log(b)–log(h) pour une flèche δ3 est unedroite (∆1) :

f1(logb, logh) = logb+3logh+ log4Eδ3

PL3 = 0

De la même manière, la limite de conception pour une contrainte σu est la droite (∆2) :

f2(logb, logh) = logb+2logh+ log4σu

3PL= 0

13.11. 9 JUIN 2008 271

Le domaine admissible correspond à f1 > 0 et f2 > 0. La flèche est inversement proportionnelle auproduit bh3, la contrainte maximale au produit bh2. Les droites correspondantes ont donc respectivementdes pentes −1/3 et −1/2. Dans le même plan, la droite (∆0) qui représente la masse a pour équation :

logb+ logh+ log4Lρ

m= 0

La pente de la droite correspondante est donc −1. Pour une masse donnée, on peut donc se déplacer surcette droite vers les b décroissants, et les h croissants, ce qui permet d’atteindre le domaine admissiblepour n’importe quelle la configuration de chargement, quelle que soit la longueur de la poutre, et pourun matériau quelconque, comme l’indique la figure 2.

10. A quel risque s’expose-t-on si on diminue trop la valeur de b ? Donner la valeur minimale qu’ilfaut respecter pour b si on veut éviter la rupture par instabilité. Tracer la droite de conception dansle plan log(b)–log(h), et en déduire que le problème est bien posé si on tient compte de cette nouvellecondition.

La force critique de flambement est donnée par :

Fc = πEI4L2

Il est raisonnable que la charge critique reste nettement inférieure à une charge susceptible d’êtreappliquée en bout de poutre, que l’on caractérise par une fraction de la charge P, soit kP. La conditionsupplémentaire à vérifier dans ce cas est donc :

I >4kPL2

πE

Pour une valeur trop faible de I, on s’expose à une instabilité élastique par flambement de la poutre : endiminuant b, on augmente certes le moment quadratique de la section pour une flexion autour de l’axex2, mais on le diminue pour une flexion autour de l’axe x3. Or il faut bien considérer toutes les directionspossibles dans le plan (x2,x3) pour juger de l’apparition éventuelle du phénomène. Les directions x2 etx3 étant des directions principales, les valeurs obtenues autour ce chacun de ces axes sont des valeursextrêmes. Lorsque b diminue, le cas le plus défavorable correspond donc à la flexion autour de x3 ; lasection a dans ce cas une largeur 2h et une hauteur b. Au lieu de (2/3)bh3, on trouve maintenant pour lemoment quadratique la valeur I = hb3/6. La condition supplémentaire à vérifier dans ce cas est donc :

πEhb3

24kPL2 > 1

C’est maintenant le produit hb3 qui est critique, et qui donnera dans le plan de l’étude une droite (∆3) :

f3(logb, logh) = 3logb+ logh+ logπE

24kPL2 = 0

Le domaine admissible est défini par f3 > 0. Dans la mesure où la pente est maintenant−3, l’intersectionavec la droite (∆0) fournit une valeur de b minimale.


(∆2)

(∆1)(∆0)

(∆3)

log (b)

log

(h)

Fig.2 : Les différentes droites de conception définissant le domaine admissible pour la conception avec commecritère la flèche maximale (droite (∆1) la contrainte maximale (droite (∆3) le flambement (droite (∆3)

13.12 25 mai 2009

13.12.1 A. Etude d’un cylindre élastoplastique en cisaillement

On considère un cylindre d’axe z, que l’on étudiera dans un repère cylindrique (r, θ, z), dans lequelun point M sera caractérisé par OM = rer + zez. Il a une section annulaire, de rayon intérieur a et derayon extérieur b, et une hauteur L. Il est réalisé en alliage d’aluminium, de module de Young E. Poursimplifier les calculs, on supposera que le coefficient de Poisson est nul. La surface extérieure (r = b) estencastrée, les surfaces inférieure (z = 0) et supérieure (z = L) sont libres. Le cylindre est sollicité sur sasurface intérieure (r = a) par un déplacement tangentiel imposé, Ud = δez. Les forces de volume sontnégligées. Pour les applications numériques, on utilisera les valeurs suivantes : a=20 mm ; b=30 mm ;L=100 mm ; E=65 GPa.

Etude préliminaire en élasticité

A.1. Poser, sans chercher à les résoudre pour le moment, l’ensemble des équations qui permettent dedéterminer les champs de déplacement U(M), et de contrainte, σ

∼(M).

Les conditions statiques comportent les équations d’équilibre et les conditions aux limites. Encoordonnées cylindriques, et en l’absence de forces de volume, les premières s’expriment :

σrr,r +1r

σθr,θ +σzr,z +σrr−σθθ

r= 0 (13.7)

σrθ,r +1r

σθθ,θ +σzθ,z +2σrθ

r= 0 (13.8)

σrz,r +1r

σθz,θ +σzz,z +σrz

r= 0 (13.9)

Seules les sections supérieure et inférieure ont des conditions aux limites imposées en effort, quiconduisent à :

σ∼.ez = 0 en z = 0 et en z = L (13.10)

Les équations cinématiques définissent les relations déformation–déplacement (ici en petitesdéformations) et les conditions aux limites en déplacement. Le tenseur déformation est égal à la partiesymétrique du gradient de déplacement qui s’écrit :

(∇U)

=

Ur,r1r (Ur,θ−Uθ) Ur,z

Uθ,r1r (Ur−Uθ,θ) Uθ,z

Uz,r1r Uz,θ Uz,z

(13.11)

13.12. 25 MAI 2009 273

On a de plus :U(r = a) = δez U(r = b) = 0 (13.12)

Les relations de comportement s’écrivent simplement, en tenant compte du fait que le coefficient dePoisson est nul :

- partie sphérique : εii =1−2ν

Eσii =

σii

E(13.13)

- partie déviatorique : εdi j =

si j

2µ=

si j

E(13.14)

A.2. Pour résoudre le problème, on utilise une approche en déplacement. Le caractère axisymétriquedu problème conduit à adopter la forme U(M) = w(r)ez, où w(r) est une fonction inconnue. Calculer, enfonction de w(r), le champ de déformation dans le cylindre.

La seule composante non nulle du vecteur déplacement est uz. Comme elle ne dépend que de r, leseul terme du tenseur de déformation qui est non nul est :

εrz = εzr =12

w,r (13.15)

A.3. En déduire, via la loi de Hooke, le champ de contrainte en fonction de E et de w. Expliciter pource champ de contrainte l’équation d’équilibre dans le cylindre. En déduire qu’un champ de déplacementde la forme w(r) = A+B ln(r), où A et B sont des constantes, est admissible. Déterminer les constantesen utilisant les conditions aux limites en déplacement. Pourquoi la solution construite n’est-elle pasexacte ?

La trace du tenseur de déformation est nulle, donc celle du tenseur de contrainte l’est également. Ontrouve donc simplement :

σrz = σzr =E2

w,r (13.16)

La seule équation d’équilibre non trivialement vérifiée est 13.9, qui s’écrit rσrz,r +σrz = 0, si bien que :

rw,zz +w,r = 0 (13.17)

Le champ w(r) = A + B ln(r) vérifie bien l’équation précédente. Pour qu’il vérifie les conditions endéplacement, il faut que :

- en r = a : A+B ln(a) = δ (13.18)

- en r = b : A+B ln(b) = 0 (13.19)

ce qui donne :

w(r) =ln(r/b)ln(a/b)

(13.20)

et :

σrz =Eδ

2r ln(a/b)(13.21)

Si on calcule le vecteur contrainte sur les sections supérieure et inférieures, on trouve un cisaillementσrz, si bien que la condition aux limites 13.10 n’est pas satisfaite.

A.4. Calculer la valeur maximale de l’invariant de la contrainte équivalente de von Mises, J(σ∼),

pour δ=20 µm.


La valeur maximale de la contrainte est obtenue pour r = a dans l’équation 13.21. On en déduit lavaleur maximale du critère de von Mises :

J(σ∼) =

√3|σrz|=

E√

3δ

2a ln(b/a)(13.22)

L’application numérique fournit J(σ∼)=138,8 MPa.

Etude en élastoplasticitéOn suppose que le comportement plastique du matériau peut être décrit par un modèle combinant le

critère de von Mises, un écrouissage isotrope (variable R, dépendant de la déformation plastique cumuléep) et la règle de normalité. La fonction de charge introduit la limite d’élasticité initiale σy et le moduleplastique H :

f (σ∼,R) = J(σ

∼)−σy−R avec R = H p

A.5. Quelles sont les équations qui sont modifiées par rapport à la question A.1 ?

Seules les équations de comportement sont modifiées.

A.6. Indiquer le point du solide qui entrera le premier en régime plastique, et la valeur δe dudéplacement imposé correspondant, en fonction de σy. Effectuer une application numérique avecσy=130 MPa.

On était déjà dans le domaine plastique pour δ=20 µm. En fait, la plasticité prend naissance en r = a,lorsque l’invariant de von Mises y atteint σy. La condition

√3σrz(r = a) = σy fournit la valeur de δ :

Eδe√

32a ln(a/b)

= σy soit δe =2aσy ln(a/b)

E√

3(13.23)

L’application numérique fournit δe=18,72 µm.

A.7. On utilise maintenant une approche en contrainte, en se plaçant suffisamment loin des sectionsextrêmes du solide où l’on rencontre des conditions aux limites non satisfaites en contrainte. Lorsque lavaleur du déplacement imposé dépasse δe, il se développe une zone plastique dont la frontière est situéeen r = c (avec a 6 c 6 b). Ecrire la solution en contrainte dans la zone élastique.

La solution est obtenue en reprenant la solution élastique développée dans les sections précédentes.La partie du cylindre qui reste en élasticité subit en r = c un déplacement égal à δe, puisque la plasticitécommence tout juste. On obtient donc la formule en remplaçant a par c dans les expressions précédentes.Il vient :

Eδe

2r ln(c/b)=

cr

σy√3

(13.24)

A.8. Ecrire toutes les équations que doit vérifier la composante σrz de la contrainte. En déduire lesexpressions analytiques de σrz et de p en fonction de r dans la zone plastique.

La composante σrz doit vérifier à la fois l’équation d’équilibre et la relation de comportementplastique, soit respectivement :

rσrz,r +σrz = 0 (13.25)

σrz√

3 = σy +H p (13.26)

13.12. 25 MAI 2009 275

L’intégration de l’équation d’équilibre montre que σrz est de la forme σrz = K/r. La constanted’intégration peut être déterminée en reportant l’expression dans l’équation de comportement, en utilisantle fait que la déformation cumulée p est nulle en r = c. Il vient alors K = cσy/

√3, soit :

σrz =σy√

3cr

(13.27)

A.9. Calculer la composante εprz de la partie plastique de la déformation dans la zone plastique. En

déduire l’expression du champ de déplacement. Comment peut-on déterminer la valeur de c qui définitla frontière de la zone plastique ? Effectuer l’application numérique avec δ=40 µm et H=1300 MPa.

En reportant l’expression de la contrainte trouvée à la question précédente dans la loi decomportement, on trouve, pour tout point de la zone plastique (a 6 r 6 c) :

p =σrz√

3−σy

H=

σy

H

(cr−1)

(13.28)

La seule composante non nulle du tenseur de déformation plastique est εrz = εpzr, qui vaut p

√3/2. La

composante εrz de déformation totale vaut donc :

εrz = εpzr + ε

ezr =

√3σy

2H

(cr−1)

+σrz

E=√

3σy

2H

(cr−1)

+σy√3E

cr

(13.29)

soit encore :

εrz =√

32

σy

((1H

+2

3E

)cr− 1

H

)(13.30)

On trouve le déplacement à partir de l’équation 13.15 en remplaçant εrz par l’expression précédente.La constante d’intégration est déterminée en identifiant la valeur trouvée à δe en r = c.

w(r) =√

3σy

(cH

ln( r

c

)+

2c3E

ln( r

b

)+

c− rH

)(13.31)

On détermine pour finir la valeur de c en identifiant le déplacement trouvé au déplacement imposéen r = a.

δ =√

3σy

(cH

ln(a

c

)+

2c3E

ln(a

b

)+

c−aH

)(13.32)

13.12.2 B. Poutre viscoélastique en flexion

On étudie l’effet d’un chargement de flexion pure au niveau de la section courante d’une poutre droited’axe x1, située dans le plan (x1,x3). Cette section est rectangulaire, de hauteur 2h (−h 6 x3 6 h) et delargeur b (−b/2 6 x2 6 b/2). Le matériau présente un comportement viscoélastique. Le chargement estdéfini par un moment M autour de x2 (voir figure 1). On effectue une mise en charge rapide, au cours delaquelle le moment de flexion passe de 0 à M0, puis on maintient le moment à sa valeur (expérience defluage).

x x1

3 Epaisseur b

MM 2h

x

x2

Figure 1 : Géométrie et chargement de la poutre


B.1. On approche la réponse du système à la mise en charge par la solution élastique. Indiquer dansce cas quelle est la forme du champ de déformation en fonction de la courbure ω =−θ,1 = V,11. Donnerégalement la forme du champ de contrainte et la relation entre M0 et ω0, valeur de la courbure à la findu chargement.

La flexion pure s’effectue à moment constant. La déformation est directement proportionnelle à lacourbure, de même que la contrainte et le moment :

ε11 = ωx3 σ11 = Eωx3 M = EIω (13.33)

où E est le module de Young, et I le moment quadratique de flexion autour de x2.

B.2. On suppose que le matériau a un comportement viscoélastique dont la forme uniaxiale, définiepar un modèle rhéologique ressort–amortisseur, est telle que :

ε =σ

E+

σ

η

On fera l’hypothèse (que l’on justifiera) que la cinématique est conservée au cours de la phase de fluage.En remplaçant alors ε par son expression de la question précédente, puis en intégrant chaque membrede la relation de comportement sur la section de la poutre, établir l’équation différentielle qui reliele moment M et sa dérivée temporelle M avec celle de la courbure, ω. Résoudre cette équation avecles conditions initiales adaptées pour obtenir l’évolution de la courbure en fonction du temps pendantl’expérience de fluage.

L’hypothèse portant sur la cinématique n’est pas dépendante de la loi de comportement. Elle se réfèreà la forme que prend la poutre au cours de la déformation. La vitesse de déformation totale va s’exprimeren fonction de la dérivée temporelle de la courbure par ε = ωx3. En multipliant chaque membre de la loide comportement par x3 et en intégrant sur la hauteur de la poutre, il vient :Z h

−hωx2

3dx3 =Z h

−h

σ

Ex3dx3 +

Z h

−h

σ

ηx2

3dx3 (13.34)

On a posé σ = σ11. En réintroduisant le moment de flexion M et sa dérivée temporelle M :

Iω =ME

+Mη

(13.35)

Dans le chargement particulier qui est considéré ici, M = 0, si bien que, en utilisant la condition initialeω(0) = ω0, l’intégration fournit de façon élémentaire :

ω =MηI

t +ω0 (13.36)

La courbure augmente de façon linéaire en fonction du temps. Cette solution n’est bien entendu valablequ’en petites perturbations.

B.3. Que deviennent les résultats de la question précédente si on suppose maintenant que lecomportement est de la forme :

ε =σ

E+

σ−Hεp

ηavec ε =

σ

E+ ε

p

13.12. 25 MAI 2009 277

On réalise la même opération que précédemment. Il y a cependant une intégrale supplémentaire àtraiter, provenant du terme en déformation plastique. On réexprime celle-ci comme la différence entredéformation totale et déformation élastique :

Hη

Z h

−hε

px3dx3 =Hη

(Z h

−hx2

3ωdx3−Z h

−h

σ

Ex3dx3

)=

Hη

(ωI− M

E

)(13.37)

En prenant maintenant en compte les termes déjà transformés au cours de la question précédente, onétablit ainsi une équation différentielle qui relie le moment, la courbure et leurs dérivées premières :

Iω+HIη

ω =ME

+(

1+HE

)Mη

(13.38)

Comme M n’évolue pas au cours de l’essai de fluage, l’équation différentielle s’exprime finalement :

η

Hω+ω =

MEtI

avec1Et

=1H

+1E

(13.39)

Après intégration, en prenant en compte la condition initiale ω(0) = M0/EI, il vient :

ω =M0

EI+

M0

HI

(1− exp

(− t

τ

))avec τ =

η

H(13.40)

Contrairement au cas précédent, la rotation de la section est limitée en raison de l’écrouissage. Sa valeurmaximale est de M0/EtI.


13.12.3 C. Comportement équivalent d’un treillis

Le but de cet exercice est d’établir le comportement global d’un treillis, et d’illustrer ainsi lecomportement homogène équivalent d’un milieu architecturé bidimensionnel, en termes de rigidité,de limite d’élasticité et de limite à rupture. Le treillis est constitué de trois barres. Le comportementéquivalent est établi, soit en utilisant une méthode dite par éléments finis, soit de façon directe. Lecomportement considéré pour chaque barre sera ensuite successivement élastique puis élastoplastique.L’ensemble de l’étude utilise une hypothèse de petites déformations et petits déplacements. Il y a deux«pistes» indépendantes pour être en mesure de traiter les questions C.10 à C.17, les questions C.6 et C.9débouchant (normalement !) sur les mêmes résultats. On peut donc passer par les questions C.1 à C.6, oucommencer directement en C.7, et résoudre les questions C.7 à C.9.

Construction d’un «élément fini»

C.1. Le principe des travaux virtuels a permis d’établir les équations d’équilibre et les conditions auxlimites qui régissent le comportement d’une poutre droite soumise à des efforts axiaux, de cisaillement,et à un moment de flexion. On appelle barre un modèle de poutre réduit aux efforts axiaux, et chargéuniquement à ses extrémités. On considère une barre de section S et de longueur L, constituée d’unmatériau élastique de module de Young E, qui occupe le segment AB de l’axe ξ, dans un repère plan(ξ,η). Les abscisses de A et B sont respectivement ξ = 0 et ξ = L. A l’intérieur de la barre, la résultanteaxiale des efforts intérieurs est notée N(ξ), le déplacement axial U(ξ). On note U(0) = UAξ et U(L) =UBξ les déplacements aux extrémités de la barre. On désigne par FAξ et FBξ les forces extérieures axialesen A et B. Ecrire les équations (très simples !) qui régissent l’équilibre et le comportement. de la barre.On utilisera la notation R = ES/L.

Parmi les trois équations qui régissent l’équilibre d’une poutre, il ne subsiste que celle qui concernel’effort axial, qui, en l’absence de force répartie le long de la barre, s’exprime par N,1 = 0 : l’effort normalest uniforme dans la barre. Pour une barre isolée, on aura N = −FAξ = FBξ. Il ne subsiste égalementqu’une équation pour le comportement, N = U,1ES, soit :

dUdξ

=NES

et, après intégration N = R(U(L)−U(0)) (13.41)

C.2. En utilisant le fait que U est linéaire en ξ, écrire l’expression reliant FAξ, FBξ, UAξ et UBξ.Exprimer la matrice [k]ξ,η telle que : (

FAξ

FBξ

)= [k]ξ,η

(UAξ

UBξ

)et la matrice [K]ξ,η telle que :

FAξ

FAη

FBξ

FBη

= [K]ξ,η

UAξ

UAη

UBξ

UBη

en tenant compte du fait que les déplacements perpendiculaires à l’axe de la barre ne génèrent pasd’effort (hypothèse des petites perturbations).

Les expressions de la question précédente s’écrivent sous forme matricielle :(FAξ

FBξ

)=(

1 −1−1 1

)(UAξ

UBξ

)

13.12. 25 MAI 2009 279

si bien que : FAξ

FAη

FBξ

FBη

=

1 0 −1 00 0 0 0−1 0 1 00 0 0 0

UAξ

UAη

UBξ

UBη

(13.42)

C.3. On veut maintenant exprimer le comportement de la barre dans un repère (x,y) tel queα=angle(x,ξ). Donner la forme de la matrice de passage à appliquer sur [K]ξ,η, et en déduire l’expressionde la relation entre les composantes des vecteurs force et déplacement en A et B dans le repère (x,y) :

FAx

FAy

FBx

FBy

= [K]x,y

UAx

UAy

UBx

UBy

[K]x,y est la matrice de rigidité de l’élément «barre» AB. On utilisera les notations c = cosα et s = sinα.

La matrice est(

c −ss c

). En appliquant la rotation indiquée, il vient :

FAx

FAy

FBx

FBy

=

c2 −cs −c2 cs−cs s2 cs −s2

−c2 cs c2 −cscs −s2 −cs s2

UAx

UAy

UBx

UBy

(13.43)

Application à un système de trois barresOn considère le système de la figure 2, constitué de trois barres de longueur L, respectivement

désignées par les numéros cerclés (i=1,2,3). L’origine de leur repère local (points Ai) est confondueavec l’origine 0 du repère (x,y) qui va maintenant être utilisé pour la résolution du problème. Elles fontrespectivement un angle 0, α et−α avec l’axe x de ce repère. Les résultantes axiales des efforts intérieurssont notées N1, N2 et N3. On désigne respectivement par F i

Ax et F iAy et par F i

Bx et F iBy les composantes de

l’effort extérieur aux points A et B qui peuvent être équilibrées par la barre i lorsque les déplacementsaux points Ai et Bi sont U i

Ax, U iAy, U i

Bx et U iBy.

On supposera que les composantes du déplacement sont nulles pour les points Bi (i=1,2,3), et onappliquera à l’origine une force telle que F0x = Fx = F cosφ et F0y = Fy = F sinφ. Le déplacementrésultant est alors caractérisé par U0x = Ux = U cosψ et U0y = Uy = U sinψ.

2

2

1 1

3

3

Α 1Α 2

Α 3

Β 1

Β 2

Β 3

0

−α

α

y

x

Figure 2 : Schéma du système de trois barres

C.4. Dans chaque barre, les déplacements et les forces extérieures à chaque extrémité sont reliéespar la matrice de rigidité élémentaire qui a été définie à la question C.3. Il s’agit pour le moment de


construire la matrice de rigidité globale du système, [K], permettant d’obtenir la réponse vis-à-vis den’importe quel type de sollicitation. Dans ce but, il faut réaliser l’opération d’assemblage, qui relie lescomposantes des efforts et des déplacements en numérotation globale (points 1 , 2 , 3 , 0 ). On nommerespectivement Fix et Fiy les composantes de ces forces en x et en y au point i . Décrire les opérations àréaliser pour effectuer l’assemblage, et exprimer [K] telle que :

F1x

F1y

F2x

F2y

F3x

F3y

F0x

F0y

= [K]

U1x

U1y

U2x

U2y

U3x

U3y

U0x

U0y

Il y a continuité des déplacements ; il faut donc égaler les déplacements locaux avec le déplacement

global sur chaque nœud. Par ailleurs, il faut sommer les contributions de chaque barre, ce qui revient àajouter les composantes de la matrice de rigidité. En fait, cette sommation ne s’effectue que sur le seulnœud global 0 . Pour le reste, les opérations à effectuer ne sont qu’une simple «translation d’adresse».Il vient :

F1x = F12x

F1y = F12y

F2x = F22x

F2y = F22y

F3x = F32x

F3y = F32y

F0x = F11x +F2

1x +F31x

F0y = F11y +F2

1y +F31y

= [K]

U1x = U12x

U1y = U12y

U2x = U22x

U2y = U22y

U3x = U32x

U3y = U32y

U0x = U11x = U2

1x = U31x

U0y = U11y = U2

1y = U31y

(13.44)

et :

[K] =

1 0 − − − − −1 00 0 − − − − 0 0− − c2 −cs − − −c2 cs− − cs s2 − − cs −s2

− − − − c2 cs −c2 −cs− − − − cs s2 −cs −s2

−1 0 −c2 cs −c2 −cs 1+2c2 00 0 cs −s2 −cs −s2 0 2s2

(13.45)

C.5. Calculer les composantes Ux et Uy du déplacement résultant de l’application de la force decomposantes (Fx, Fy).

Ayant en main la matrice de rigidité globale du système, on peut résoudre de façon immédiaten’importe quel problème bien posé, pour lequel on impose sur chaque composante une condition en forceou une condition en déplacement. Dans le cas présent, les 6 premières composantes de déplacement sontnulles (Uix et Uiy, i = 1..3), et les deux dernières composantes en force sont connues. On en déduit lesrelations suivantes :

Fx/R0 = (1+2c2)Ux (13.46)

Fy/R0 = 2s2Uy (13.47)

13.12. 25 MAI 2009 281

C.6. Donner les valeurs des composantes F iBx et F i

By (i=1,2,3), ainsi que les valeurs de l’effort normalNi dans chaque barre en fonction de Fx et Fy.

Les valeurs demandées se calculent directement à partir de Ux et Uy :

F1x/R0 =−Ux F1y/R0 = 0 (13.48)

F2x/R0 =−c2Ux + csUy F2y/R0 = csUx− s2Uy (13.49)

F3x/R0 =−c2Ux− csUy F3y/R0 =−csUx− s2Uy (13.50)

On en déduit directement les valeurs des effort normaux dans chaque barre :

N1/R0 =−Ux =Fx

1+2c2 (13.51)

N2/R0 =−cUx− sUy=− cFx

1+2c2 −sFy

2s2 (13.52)

N3/R0 =−cUx + sUy=− cFx

1+2c2 +sFy

2s2 (13.53)

(13.54)

Calcul direct du système de trois barresOn se propose maintenant de retrouver par une approche directe les résultats précédents. Les

conditions de chargement sont les mêmes que sur le système de la figure 2. On se reportera à sadescription, juste avant la question C.4, pour prendre connaissance des différentes notations. Lesdéplacements sont bloqués aux points 1 , 2 , 3 . On cherche les relations entre le déplacement del’origine (de composantes Ux et Uy) et la force appliquée (de composantes Fx et Fy) en ce point.

C.7. Etablir la variation de longueur associée au déplacement Ux de l’origine pour une barre ifaisant un angle α avec l’axe x. En déduire l’effort normal dans celle-ci. Calculer les composantes Fx etFy correspondantes.

La variation de longueur vaut simplement |Ux cosα|, soit |cUx|. L’effort normal Nα vaut alors Nα =R0cUx, et les composantes :

F ix/R0 = c2Ux F i

y/R0 = csUx (13.55)

C.8. Faire le même travail pour le déplacement Uy.

On trouve respectivement une variation de longueur de |Uy sinα|, soit |sUy|, un effort normal Nα =R0sUy, et :

F ix/R0 = csUy F i

y/R0 = c2Uy (13.56)

C.9. En assemblant les différentes contributions au point 0 pour les barres 1, 2, 3 (angles 0, α et−α), établir la relation entre Fx, Fy, Ux et Uy. En déduire les valeurs de l’effort normal Ni dans chaquebarre en fonction de Fx et Fy.

En combinant les trois barres (faisant un angle O, α, −α), il vient :

F ix/R0 = (1+2c2)Ux (13.57)

F iy/R0 = 2s2Uy (13.58)

On a ensuite :Nα

R0= cUx + sUy =

c1+2c2

Fx

R0+

s2s2

Fy

R0(13.59)


Etude de la rigidité du système

C.10. Pour un angle α donné, on définit la raideur équivalente du système par le scalaire Rα = F/U.Montrer que cette raideur apparente dépend de l’orientation de la force appliquée. Tracer sa valeur dansun diagramme polaire en fonction de φ.

Les deux méthodes précédentes nous ont permis d’obtenir les relations entre les composantes de laforce au point 0 et les déplacements en ce point (eq.(13.47) ou eq.(13.58)). On évalue donc facilementle déplacement :

U2x +U2

y =(

cos2(φ)(1+2c2)2 +

sin2(φ)4s4

)F2

R20

(13.60)

La raideur cherchée est donc :

R(φ) = R0

(cos2(φ)

(1+2c2)2 +sin2(φ)

4s4

)−1/2

(13.61)

La raideur du système est tracée ci-dessous pour deux valeurs particulières de l’angle α, π/2 et 2π/3. Onnote que la raideur est nulle si α = 0, puisqu’il n’y a dans ce cas aucune résistance à une composante dela force en direction y.

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

1.5 1 0.5 0 0.5 1 1.5

alpha=pi/2alpha=2 pi/3

Figure 3 : Courbe polaire de la raideur du système pour deux valeurs particulière de l’angle α

C.11. Observer qu’en général l’angle ψ n’est pas égal à φ, ce qui signifie que le déplacement dupoint d’application de la force n’est pas colinéaire à celle-ci. Montrer qu’il existe une valeur α∗ de α

pour laquelle on retrouve cette colinéarité.

L’angle ψ est défini par le rapport des composantes du déplacement, soit :

Uy

Ux=

1+2c2

2s2Fy

Fx= tanψ (13.62)

Pour retrouver la linéarité, il suffit que le terme qui multiplie le rapport des composantes de la force soitégale à 1. Cette condition est réalisée si |c| = 1/2 et |s| =

√3/2, soit α = π/3, α = 2π/3 et les valeurs

opposées.

C.12. Calculer R∗, valeur de la rigidité du système pour la valeur α∗ trouvée précédemment. Quelleest la propriété remarquable du système dans ce cas ?

En utilisant les valeurs de c et s précédentes, on trouve R = 3R0/2, constante quel que soit l’angle desollicitation. Cette propriété est illustrée par la courbe polaire de la raideur tracée ci-dessus, qui est uncercle. Ceci montre que trois barres formant entre elles un angle de 120forme un motif constitutif d’unmatériau dont les propriétés élastiques sont isotropes dans le plan.

13.13. 7 JUIN 2010 283

Définition du domaine d’élasticitéOn suppose que la limite d’élasticité du matériau qui constitue les barres est égale à σy.

C.13. En choisissant α = 2π/3, trouver les 6 inéquations qui déterminent la forme du «domained’élasticité», défini comme la zone du plan (Fx, Fy) pour laquelle chaque barre reste en élasticité. Tracerce domaine dans le plan (Fx, Fy), en indiquant sur chaque segment de la frontière la poutre qui se plastifieet le type de plastification (traction ou compression).

C.14. Même question avec α = π/2.

Etude de la charge de ruineOn suppose que le matériau a un comportement élastique parfaitement plastique, donc que σy est la

contrainte maximale que peut supporter la barre. On cherche maintenant à établir la frontière du domainecorrespondant à la ruine du système, supposée être obtenue par charge limite ou par flambement.

C.15. Caractériser la frontière du domaine admissible vis-à-vis de la charge limite pour le cas α =π/2.

C.16. En considérant maintenant le cas α = 2π/3, justifier le fait que la ruine du système est atteintesi deux barres atteignent simultanément la limite d’élasticité. Calculer la valeur limite admissible de laforce Fx, en supposant que Fy = 0. Tracer la frontière du domaine définissant la charge limite dans leplan (Fx, Fy).

C.17. Indiquer, en fonction du moment quadratique I de la section, la valeur de la force axiale decompression qui provoque le flambement de la barre. Calculer, dans le cas d’une section circulaire derayon a (où I = πa4/4) la valeur du rapport a/L à partir de laquelle la barre flambe en compressionavant de se plastifier. Quelles sont les modifications à apporter aux figures représentant le domained’élasticité et le domaine de charge limite pour tenir compte de ce nouveau mode de ruine ? Effectuerles applications pour α = π/2 et α = 2π/3.

13.13 7 juin 2010

13.13.1 A. Etude d’une plaque trouée en pression interne et en chargement biaxial

On considère un anneau limité par deux cercles concentriques, de centre O et de rayons a et b (aveca < b). On l’étudie dans le repère cylindrique centré en O, qui est le repère principal, l’axe z étantperpendiculaire au plan de l’anneau. On note par σr, σθ, σz les trois contraintes principales et par εr,εθ, εz les trois déformations principales. On utilisera le fait que les contraintes radiales et orthoradialessont respectivement de la forme

σr = A− Br2 σθ = A+

Br2

tant que le comportement est élastique. On étudiera successivement le cas des contraintes planes (CP),pour lequel σz = 0, et celui des déformations planes (DP) où εz = 0. Cette dernière condition permetd’exprimer σz, à partir de la condition εz = 0. On suppose que le matériau est élastique isotrope (demodule E, et de coefficient de Poisson ν = 1/2) parfaitement plastique (limite l’élasticité σy).


Limite d’élasticité en pression interne

A.1 L’anneau est soumis à une pression p (p > 0) sur la surface intérieure, qui se traduit par (σr(r =a) =−p) alors que la surface extérieure (en r = b) est libre. Trouver l’expression de A et B.

En écrivant que la contrainte radiale est égale à −p pour r = a et à zéro pour r = b, on trouve :

σr =pa2

b2−a2

(1− b2

r2

)σθ =

pa2

b2−a2

(1+

b2

r2

)(13.63)

A.2 Classer les composantes du tenseur des contraintes par ordre croissant, et calculer le critère deTresca dans le cas CP et DP.

En CP comme en DP, on a σr 6 σz 6 σθ, la contrainte σz étant nulle en CP, et égale à la demi-sommede σr et σθ en DP. Dans les deux cas, on a donc :

σTresca = σθ−σr =2pa2 b2

(b2−a2)r2 (13.64)

A.3 Calculer le critère de von Mises dans le cas CP et DP.

On calcule le critère de von Mises en CP en utilisant son expression en fonction des contraintesnormales principales, J =

(σ2

r +σ2θ−σrσθ

)1/2. Il vient :

J =pa2

b2−a2

(1+

3b4

r4

)1/2

=pa2 b2

b2−a2

(1b4 +

3r4

)1/2

(13.65)

Pour le cas des DP, on calcule le déviateur du tenseur de contrainte en soustrayant le tenseur sphérique12 (σr +σθ)I

∼(I∼

est le tenseur identité). Le déviateur se réduit à la diagonale (σr−σθ)/2;0;(σθ−σr)/2,qui est un état de cisaillement pur. Le critère de von Mises vaut alors :

J =√

32

(σθ−σr) =√

3pa2 b2

(b2−a2)r2 (13.66)

A.4 Indiquer à quel endroit les critères prennent leur valeur maximale dans les quatre cas précédents,et en déduire les valeurs de pression pe correspondant à la plasticité commençante.

Le maximum des expressions précédentes se rencontre en r = a. On trouve respectivement :

σTresca, CP/DP =2pb2

b2−a2 (13.67)

σMises, CP =pb2

b2−a2

(3+

a4

b4

)1/2

(13.68)

σMises, DP =√

3pb2

b2−a2 (13.69)

Ce qui fournit la valeur de la contrainte pe dans chaque cas, en égalant les expressions précédentes à σy.

A.5 Calculer le rapport σr/σθ. En déduire la forme du tenseur des vitesses de déformation plastiquelorsqu’on est à plasticité commençante si on utilise le critère de Tresca.

13.13. 7 JUIN 2010 285

Le rapport demandé est :σr

σθ

=−b2− r2

b2 + r2 (13.70)

Ce rapport est toujours négatif. Il est minimum pour r = a et maximum (et égal à zéro) pour r = b :

− b2−a2

b2 +a2 6σr

σθ

6 0 (13.71)

Dans toute la zone où le rapport est strictement négatif (donc, partout sauf en r = b), le tenseur dedéformation plastique n’a que deux composantes non nulles, correspondants aux contraintes extrêmesqui interviennent dans le critère de Tresca :

εpr =−ε

pθ

εpz = 0 (13.72)

A.6 Que deviennent les résultats précédents (composantes du tenseur de contraintes, critères, valeurmax, vitesses de déformation plastique) lorsque b tend vers l’infini ?

Lorsque b→∞, le rapport σr/σθ prend sa valeur minimale, -1. On retrouve le cas d’un massif infini ;on est en cisaillement pur. Les contraintes radiale et orthoradiale valent respectivement :

σθ =−σr =pa2

r2 (13.73)

Pour chaque critère, les valeurs obtenues en CP et en DP sont identiques. La valeur obtenue avec lecritère de von Mises est 2σθ, celle fournie par le critère de Tresca est

√3σθ. En r = a, on trouve donc

respectivement 2p et√

3p.

Limite d’élasticité en traction biaxiale

A.7 On suppose maintenant que la surface intérieure (en r = a) est libre, et que la surface extérieureest soumise à une tension (σr(r = b) = p). Trouver les valeurs de A et B pour ce nouvel état decontraintes. Quelle est la valeur de la concentration de contrainte créée par le trou (c’est-à-dire la valeurdu rapport entre la plus grande composante de contrainte dans l’anneau et celle qui est appliquée auloin) ?

La contrainte radiale est nulle en r = a et vaut p en r = b. On en déduit :

σr =pb2

b2−a2

(1− a2

r2

)σθ =

pb2

b2−a2

(1+

a2

r2

)(13.74)

En r = a, la concentration de contrainte, σθ/p, vaut 2b2/(b2−a2). Lorsque b→ ∞, elle tend vers 2.

A.8 Trouver, en faisant le moins de calcul possible, les valeurs des critères de Tresca et von Misespour les cas CP et DP.

Il suffit de changer a en b au numérateur dans les questions A2 et A3 pour trouver les valeurscherchées. L’expression du critère de Tresca est donc inchangée. Il en est de même pour le critère devon Mises en DP. Le critère de von Mises en CP donne :

J =pb2

b2−a2

(1+

3a4

r4

)1/2

=pa2 b2

b2−a2

(1a4 +

3r4

)1/2

(13.75)


A.9 Indiquer à quel endroit les critères prennent leur valeur maximale dans les quatre cas précédents,et en déduire les valeurs de pression pe correspondant à la plasticité commençante.

Dans chacun des quatre cas, le maximum est obtenu pour r = a. Le critère de Tresca donne le mêmerésultat que celui de von Mises en CP (ce qui est normal, car on a un état de contrainte uniaxial en r = a).On obtient :

σTresca, CP/DP =2pb2

b2−a2 (13.76)

σMises, CP =2pb2

b2−a2 (13.77)

σMises, DP =√

3pb2

b2−a2 (13.78)

A.10 Calculer le rapport σr/σθ. En déduire la forme du tenseur des vitesses de déformation plastiquelorsqu’on est à plasticité commençante si on utilise le critère de Tresca.

Le rapport des contraintes radiale et orthoradiale est toujours positif :

σr

σθ

=r2−a2

r2 +a2 (13.79)

Il est minimum (et égal à zéro) pour r = a et maximum pour r = b :

0 6σr

σθ

6b2−a2

b2 +a2 (13.80)

Dans toute la zone où le rapport est strictement positif (donc, partout sauf en r = a), le tenseur dedéformation plastique n’a que deux composantes non nulles, correspondants aux contraintes extrêmesqui interviennent dans le critère de Tresca :

εpz =−ε

pθ

εpr = 0 (13.81)

A.11 Que deviennent les résultats précédents (composantes du tenseur de contraintes, critères, valeurmax, vitesses de déformation plastique) lorsque b tend vers l’infini ?

Lorsque b→ ∞, on trouve :

σr = p(

1− a2

r2

)σθ = p

(1+

a2

r2

)(13.82)

σTresca, CP/DP =2pa2

r2 (13.83)

σMises, CP =p(

1+3a4

r4

)1/2

(13.84)

σMises, DP =√

3pa2

r2 (13.85)

Pour le critère de Tresca (CP et DP), et pour le critère de von Mises en CP, la contrainte équivalente tendvers 2p, pour le critère de von Mises en DP vers

√3p.

13.13. 7 JUIN 2010 287

Etude en pression interne, en plasticité

A.12 On considère le cas DP, et on suppose que le matériau obéit au critère de Tresca. Si on continueà augmenter la pression au-delà de pe, deux zones coexistent dans l’anneau, une zone plastique et unezone élastique, la frontière se situant au rayon r = c (avec a 6 c 6 b). Situer la zone élastique et donnersans calcul l’expression du tenseur de contrainte dans celle-ci.

Pour le critère de Tresca, en DP, ob obtient la plastification lorsque :

σy =2pb2

b2−a2 soit : pe =σy

2

(1− a2

b2

)(13.86)

En régime élasto-plastique, la zone élastique se situe dans la zone r > c, et on obtient l’expression descontraintes dans cette zone en appliquant une pression p = pe(b,c) en r = c :

σr =σy

2

(1− c2

b2

)c2

b2− c2

(1− b2

r2

)(13.87)

σr =σy

2

(1− b2

r2

)c2

b2 (13.88)

σθ =σy

2

(1+

b2

r2

)c2

b2 (13.89)

A.13. En utilisant l’expression de la seule équation d’équilibre non triviale

σr,r +σr−σθ

r= 0

et le fait que le critère de Tresca est vérifié dans la zone plastique, trouver la forme de σr dans la zoneplastique. Utiliser la condition sur σr en r = c pour exprimer σr en fonction de r et c.

Dans l’équation d’équilibre, on remplace σθ−σr par σy, on a donc à intégrer l’équation σr,r = σy/r,ce qui donne donc σr = σyLn(r) + K. On trouve la constante K en égalant les valeurs de la contrainteradiale exprimée dans la zone élastique et dans la zone plastique en r = c :

K +σyLn(c) =σy

2c2−b2

b2 (13.90)

L’expression finale est donc :

σr = σyLn(rc

)+σy

2c2−b2

b2 =−σy

2

(2Ln

( ca

)+1− c2

b2

)(13.91)

A.14. En utilisant la condition à la limite en r = a, donner la relation entre la pression appliquée pet la valeur de c. En déduire la valeur de la pression maximale que peut supporter l’anneau.

En utilisant le fait que la contrainte radiale en r = a vaut −p, il vient :

p =−σy

2

(2Ln

( ca

)+1− c2

b2

)(13.92)

La pression maximale p∞ que peut subir le système est obtenue lorsque c atteint b :

p∞ = σy Ln(

ba

)(13.93)


13.13.2 B. Etude de divers modèles rhéologiques

On représente par des modèles rhéologiques des matériaux au comportement visqueux et desmatériaux plastiques fragiles. L’assemblage de ces différents modèles peut conduire à des déplacementslocaux non monotones sous un chargement extérieur monotone.

Modèles viscoélastiques

(ηa) (Ea)

Fig.1 : Modèle de Maxwell

B.1. On considère un modèle viscoélastique de Maxwell, composé par l’assemblage en série d’unamortisseur de viscosité ηa et d’un ressort de module Ea (Fig.1). Donner l’équation différentielle quicaractérise le comportement de ce modèle. En déduire la réponse du modèle sous chargement monotonecroissant à vitesse de déformation imposée, ε∗. On désigne ce modèle par MAa.

L’équation qui gouverne le modèle s’écrit :

ε =σ

ηa+

σ

Ea(13.94)

On pose τa = ηa/Ea. La solution sans second membre s’écrit σ = K exp(−t/τa), et la solution particulière(obtenue pour σ = 0) σ = Eaτaε∗ = ηaε∗. L’évoluiton de la contrainte pour une traction à vitesse dedéformation imposée ε∗ est donc :

σ = ηaε∗(

1− exp(− t

τa

))(13.95)

(Ea)

(Ha)

(ηa)

Fig.2 : Modèle de Kelvin–Voigt

B.2. On considère un modèle viscoélastique de Kelvin-Voigt, construit à partir du précédent en ajoutantun ressort de module Ha en parallèle de l’amortisseur (Fig.2). On désigne ce modèle par KVa. Donnerl’équation différentielle qui caractérise son comportement visqueux, et sa réponse sous chargementmonotone croissant à vitesse de déformation imposée, ε∗.

Chaque partie de l’assemblage fournit une équation. On a donc, en appelant εa la déformation del’amortisseur :

σ = Haεa +ηaεa (13.96)

σ = Ea(ε− εa) (13.97)

Ce qui donne :(Ha +Ea)εa +ηaεa = Eaε (13.98)

13.13. 7 JUIN 2010 289

En posant τ′a = ηa/(Ha +Ea), il vient :

εa

τ′a+ εa =

Ea

ηaε =

Eaε∗

Ea +Ha

tτ′a

(13.99)

La solution de l’équation sans second membre est εa = K exp(−t/τ′a). On applique la méthode de"variation de la constante" pour trouver finalement :

εa =Eaε∗

Ea +Ha

(t + τ

′a

(exp− t

τ′a−1))

(13.100)

On peut alors exprimer l’évolution de la contrainte :

σa = Ea(ε− εa) =Eaε∗

Ea +Ha

(Hat +Eaτ

′a

(1− exp− t

τ′a

))(13.101)

Modèle élastique-plastique-fragile (EPF)

(σy, εr) (E)

Fig.3 : Modèle élastique-plastique-fragile EPF1

B.3. On considère par ailleurs un modèle élastique-parfaitement plastique-fragile, composé d’unassemblage en série d’un ressort de module E, et d’un patin qui se déclenche pour une valeur absolue dela contrainte égale à σy, et qui se rompt lorsqu’il a subi un glissement cumulé égal à εr (Fig.3). Tracer lacourbe de traction que l’on obtient avec ce modèle (EPF1), lors d’une traction à déformation imposée.

La contrainte est limitée à σy. Elle revient à zéro à rupture, lorsque le glissement du patin atteint εr.

σ

ε

σy

σy/E εr + σy/E

(E)

O

B.4. On assemble maintenant en parallèle (Fig.4) deux modèles de type EPF1, formant ainsi unmodèle EPF2, à deux branches, notées [0] et [1]. Le ressort de la branche [0] a un module de E/(1+ k),alors que celui de la branche [1] a un module de kE/(1 + k), avec 0 < k < 1. La contrainte limite vautσy/2 pour chacune des deux branches, et le glissement qui conduit à la rupture vaut εr pour chaquepatin. On réalise une traction à déformation imposée sur le système. Indiquer la valeur de la pente de lacourbe contrainte-déformation dans le domaine d’élasticité et la valeur de la limite d’élasticité.

(σy/2,εr) (E/(1 + k))

(σy/2,εr) (kE/(1 + k))

[0]

[1]

Fig.4 : Modèle élastique-plastique-fragile EPF2


Tant qu’on reste en élasticité, les contraintes dans chaque branche sont proportionnelles au modulede Young. La résultante est toujours telle que σ = Eε (la pente est donc E). Elle se décompose en :

σ0 =Eε

1+ kσ1 =

kEε

1+ k(13.102)

C’est donc la branche [O] qui se plastifie la première. La contrainte correspondante est telle que σ0 =σy/2, soit :

σ =1+ k

2σy (13.103)

B.5. Pour ce même modèle EPF2, donner la pente à la courbe de traction au début du régime élasto-plastique. Cette branche du comportement prend fin soit avec la rupture de la branche qui s’est plastifiée,soit avec la plastification de la deuxième branche. Donner la condition caractéristique de la transitionentre ces deux situations.

Lorsque la branche [O] est en régime plastique, la contrainte qu’elle supporte reste constante (devaleur σy/2). La pente est donc définie par la branche [1] :

dσ

dε=

dσ1

dε=

kE1+ k

(13.104)

Le point critique définissant de façon qualitative le comportement correspond à la situation où labranche [O] (déjà plastifiée) se casse exactement au moment où la branche [1] entre en régime plastique.L’équation suivante exprime cette égalité, avec, au premier membre, la rupture de la branche [O], et ausecond membre la plastification de la branche [1] :

(1+ k)σy

2E+ εr =

(1+ k)σy

2Ek(13.105)

On trouve donc la relation suivante entre E, σy, εr et k :

εr =1− k2

kσy

2E(13.106)

B.6. Tracer la réponse complète lors de l’expérience de traction à déformation imposée lorsque lesdeux branches se plastifient avant que la rupture ne se produise.

[0]

[1]

σ

ε

σy

σy

2

σy/E

εr

εr

(E)

O

B.7. Tracer la réponse complète lors de l’expérience de traction à déformation imposée lorsque larupture de la première branche se produit avant plastification totale.

13.13. 7 JUIN 2010 291

[0]

[1]

σ

ε

σy

2

σy/E

εr εr

(E)

O

Un système élasto-visco-plastique-fragile

σ0

εc

σ

ε

(E)(kE)

O

R

S

T

Fig.5 : Réponse du modèle élastique-plastique-fragile simplifié

B.8. On place en série un modèle KVa et un modèle EPF simplifié. On désigne par εa la déformationdu modèle KVa et par ε f celle du modèle EPF. La réponse en traction du modèle EPF est représentéeen Fig.5 (chemin ORST). On suppose que le module initial du système vaut E, et qu’il se produit unerupture au point R (εc,σO), à la suite de quoi (segment ST) la réponse du modèle obéit à la relationσ = kEε f (avec 0 < k < 1). Dans quelles conditions un modèle EPF2 se réduit-il à celui-ci ? Calculerla réponse du système à un chargement à vitesse de déformation imposée ε∗ lorsque le modèle EPF estdans sa phase élastique (segment OR).

On obtient la réponse indiquée lorsque εr = 0. On retrouve donc :

σ0 =1+ k

2σy εc =

σy

2(1+ k)E(13.107)

En phase élastique, le modèle EPF se comporte comme un ressort de caractéristique (E). Il vient :

σ = Haεa +ηεa ε = ε f + εa +σ

Ea(13.108)

En tenant compte du fait que ε f = σ

E , on a :

σ =EaE

Ea +E(ε− εa) (13.109)

On retrouve donc les mêmes équations qu’en B2, en remplaçant Ea parEaE

Ea +E.


B.9. Que se passe-t-il respectivement dans KVa et dans EPF au moment de la rupture ? Décrirel’évolution instantanée de la contrainte et des déformations εa et ε f . Caractériser l’évolution ultérieurede εa. Est-elle toujours monotone ?

Au moment de la rupture, on a :ε = ε f + εa +

σ

Ea(13.110)

Instantanément, on passe de σ à σy/2 et de E à kE/(1 + k). Le nouveau chargement s’effectue à partirde [εa(tR);σ(tR)−σy/2]s avec la même équation différentielle qu’avant, dans lesquelles on utilisera lemodule E ′′

a et la constante de temps τ′′ :

E ′′a =

(1+ k)Ea + kEkEEa

τ′′ =

ηa

E ′′a

(13.111)

On montre que εa peut diminuer avant de réaugmenter.

13.13.3 C. Etude d’une poutre sur appuis

On se propose d’étudier la poutre droite AC de longueur 2L et d’axe Ox1, posée sur trois appuissimples et soumise à un chargement réparti. Les extrémités A et C ont respectivement pour abscisse :x1A =−L et x1C = L. L’appui intermédiaire en B a pour abscisse x1B = αL (avec 0 6 α < 1). La sectiontransversale de la poutre est constante et admet le plan Ox1x3 comme plan de symétrie. La poutre estsoumise à une densité linéique uniforme de force : q(x) = −q

−−→Ox3, avec q > 0 constant. Les appuis en

A, B et C sont simples, unilatéraux, n’exerçant donc en ces points sur la poutre AC que des réactionsque l’on notera

−→RA = RA

−−→Ox3,

−→RB = RB

−−→Ox3,

−→RC = RC

−−→Ox3 avec les conditions de liaison : RA > 0, RB > 0,

RC > 0.

C.1 Déterminer, en fonction de RB et q, les valeurs des réactions des appuis lorsque la structure esten équilibre sous le chargement défini par q.

Compte tenu de la forme des données, on se place dans le cadre de la théorie des poutres droites àplan moyen chargées dans leur plan. En appliquant le principe fondamental de la statique, on obtient :

RA = qL−RB(1−α)

2RC = qL−RB

(1+α)2

13.14. 30 MAI 2011 293

C.2 Préciser et expliquer le domaine de variation permis pour l’inconnue hyperstatique RB par lesconditions de liaison réelles du problème.

Ces formules ne sont à conserver que si elles sont compatibles avec les conditions réelles de liaisonaux appuis. D’où, en écrivant que RA > 0, RB > 0 et RC > 0 :

0 6 RB 62qL

1+α

RA = qL−RB(1−α)

2RC = qL−RB

(1+α)2

La valeur de l’inconnue hyperstatique RB ne peut sortir du domaine 0 6 RB 62qL

1+α; en effet la

borne RB = 0 est imposée par l’appui unilatéral en B, et la borne RB =2qL

1+αne peut être franchie car,

dès que la liaison unilatérale en C est rompue, le problème est isostatique, BB est déterminée et égale à2qL

1+α.

C.3 Donner, en fonction de RB et q, l’expression de toutes les distributions de torseurs d’effortsintérieurs (effort normal N, effort tranchant T et moment de flexion M).

On a dans tous les cas N(x1) = 0. Pour l’effort tranchant et le moment, l’expression des effortsintérieurs dépend de la travée considérée :

– lorsque −L 6 x1 < αL :

T (x1) = qx1 +RB(1−α)

2(13.112)

M(x1) = qL2− x2

12

−RB(L+ x1)1−α

2(13.113)

– lorsque αL < x1 6 L :

T (x1) = qx1−RB(1+α)

2(13.114)

M(x1) = qL2− x2

12

−RB(L− x1)1+α

2(13.115)

où 0 6 RB 62qL

1+α.

13.14 30 mai 2011

13.14.1 A. Etude du comportement d’une couche mince

Une pièce cylindrique de section circulaire est soumise à un chargement de traction simple dansla direction de son axe. Le matériau qui la compose sera considéré comme élastique isotrope danstout le problème, les constantes élastiques étant E? et ν?. On effectue sur cette pièce le dépôt d’unsecond matériau, sous forme d’une couche très mince. Ce second matériau a un comportement élastiqueparfaitement plastique, caractérisé par des constantes élastiques E et ν différentes de celles du matériauqui constitue le support, et par une limite d’élasticité σy. On utilisera selon la question le critère de vonMises ou le critère de Tresca. On suppose que le procédé ne crée pas de contrainte, si bien que dansson état initial le système présente des champs de contraintes et de déformation uniformément nuls. Onadmet dans la suite que la couche est suffisamment mince pour ne pas influencer le comportement dusupport : la couche va donc subir un chargement en déformation imposée dans son plan. On résoudra leproblème en coordonnées cylindriques (rθz). On notera les composantes axiales de la déformation dansla couche mince par εr, εθ,εz ; celles de la déformation plastique par ε

pr , ε

pθ, ε

pz ; celles de la contrainte par

σr, σθ, σz.


Calcul en élasticité

A.1 On admet que l’état de contrainte dans la couche est uniforme. Justifier le fait que les axes durepère sont les directions principales et que le chargement imposé à la couche est mixte, en contrainteet déformation. Quelle est la valeur de la composante de contrainte qui est imposée et celles descomposantes de la déformation qui sont imposées ? On utilisera le module de Young E, le coefficientde Poisson ν? et la déformation axiale imposée sur la pièce cylindrique, ε, que l’on supposera nulle dansles conditions initiales, puis monotone croissante.

La couche superficielle est en état de containte plane dans le plan (θz). Tous les termes non diagonauxdes tenseurs de contrainte et de déformation sont nuls. La composante radiale σr est nulle. Pour ce quiest des déformations, on a :

εz = ε εθ =−ν?ε

A.2 Ecrire la loi de comportement élastique dans la couche qui permet de trouver les trois inconnuesdu problème, εr, σθ, σz.

En remplaçant σr, εθ et εz par leur valeur, il vient :

Eεr =−ν(σθ +σz) (13.116)

−Eν?ε = σθ−νσz (13.117)

Eε =−νσθ +σz (13.118)

A.3 Calculer σθ et σz en fonction de E, ν et ν?. Discuter le signe de σθ en fonction des valeursrelatives de ν et ν?.

En résolvant le système linéaire formé par les deux dernières équations du système 13.118, il vient :

σθ =Eε

1−ν2 (ν−ν?) (13.119)

σz =Eε

1−ν2 (1−νν?) (13.120)

Si ν? est plus grand que ν, le support se rétracte dans la direction orthoradiale («effet Poisson») plus quene le ferait le film mince s’il était libre, mettant donc celui-ci en compression. On a bien entendu l’effetopposé si ν? est plus petit que ν.

A.4 Calculer εr et préciser son signe. Comment le film se déforme-t-il ? Un calcul élémentaire montreque εr est toujours négatif, ce qui indique que l’épaisseur du film diminue ;

Eεr =−Eεν1−ν?

1−ν(13.121)

Le film s’allonge en direction axiale, et se raccourcit ou s’allonge en direction orthoradiale, en fonctiondes valeurs relatives de ν et ν?.

Etude en plasticité

A.5 Calculer la déformation εT R pour laquelle on atteint la limite d’élasticité en appliquant le critèrede Tresca, en fonction des valeurs respectives de ν et ν?. Quel est le cas le plus défavorable ?

On vérifie que σz est toujours supérieur à σθ :

σz−σθ == Eε1+ν?

1+ν(13.122)

La valeur du critère de Tresca fT R(σ∼) étant égale à la différence entre les deux contraintes principales

extrêmes, on doit distinguer deux cas pour son évaluation :

13.14. 30 MAI 2011 295

–Si ν > ν? : alors 0 = σr 6 σθ < σz, et :

fT R(σ∼) = σz−σy = Eε

1−νν?

1−ν2 −σy (13.123)

La valeur de la déformation pour laquelle la couche mince entre en plasticité est donc :

εT R =1−ν2

1−νν?

σy

E(13.124)

– Si ν 6 ν? : alors σθ 6 0 = σr < σz, et :

f (σ∼) = σz−σθ−σy = Eε

1+ν?

1+ν−σy (13.125)

La valeur de la déformation pour laquelle la couche mince entre en plasticité est donc :

εT R =1+ν

1+ν?

σy

E(13.126)

A.6 Caractériser également la déformation limite εV M pour le critère de von Mises. Calculer pource point le rapport σθ/σz.

Pour évaluer le critère de von Mises, on utilise l’expression de l’invariant de von Mises J en fonctiondes contraintes normales principales :

fV M = J−σy =(

12(σ

2z +σ

2θ−σzσθ

))1/2

(13.127)

En posant N =(1

2

((1−νν?)2 +(ν−ν?)2− (ν−ν?)(1−νν?)

))1/2, il vient :

εV M =1−ν2

Nσy

E(13.128)

A.7 Ecrire le système provenant de la décomposition de la déformation totale en une partie élastiqueet une partie plastique, qui relie donc εr, εθ,εz, ε

pr , ε

pθ, ε

pz , σr, σθ, σz, et les paramètres E, ν et ν?.

Eεr =−ν(σθ +σz)+Eεpr (13.129)

−Eν?ε = σθ−νσz +Eε

pθ

(13.130)

Eε =−νσθ +σz +Eεpz (13.131)

On ne cherche à traiter que le problème des composantes axiale et orthoradiale, ce qui limite lenombre d’inconnues à 4 (εp

θ, ε

pz , σθ, σz) et le nombre d’équations à 2.

A.8 Ecrire dans la couche mince le tenseur de contrainte, son déviateur, et définir la direction del’écoulement plastique selon les directions axiale et orthoradiale, nz et nθ si le critère retenu est celui devon Mises.


Le tenseur de contrainte s’exprime dans (rθz) par la diagonale (0;σθ;σz), le déviateur par ladiagonale (1/3(−(σθ +σz);2σθ−σz;2σz−σθ). La normale s’exprime en fonction du déviateur s

∼et

de J comme (3/2)s∼/J, si bien que :

nθ =2σθ−σz

2Jnz =

2σz−σθ

2J(13.132)

A.9 Exprimer εpθ

et εpz en fonction de p, nz et nθ et en déduire qu’il ne reste que trois inconnues au

problème. Ecrire les équations définissant les vitesses de déformation axiale et orthoradiale.

On a εpθ

= pnθ et εpz = pnz, si bien que les composantes s’écrivent :

−Eν?ε = σθ−νσz +Enθ p (13.133)

E ε =−νσθ + σz +Enz p (13.134)

A.10 Trouver l’equation manquante en exprimant la condition de cohérence. L’intégration du systèmen’est pas analytique.

La condition de cohérence fV M = 0 se réduit à J = 0, soit encore :

nθσθ +nzσz = 0 (13.135)

A.11 Au cours de l’écoulement plastique, l’état de contrainte reste sur la surface de charge. Montrerque lorque la déformation ε augmente, les composantes σθ et σz tendent vers une limite, dont on donnerala valeur. On comparera ensuite le rapport σθ, σz dans l’état asymptotique avec celui obtenu en sortiedu domaine d’élasticité.

On aura atteint un état asymptotique en contrainte si les dérivées de σθ et σz sont nulles. Dans ce lesystème 13.134, cette condition conduit à :

−Eν?ε = Enθ p (13.136)

Eε = Enz p (13.137)

Le rapport nθ/nz est donc égal à −ν?, ce qui conduit finalement à :

σθ

σz=

1−2ν?

2−ν?(13.138)

Résultat d’une simulation numérique dans le plan σz–σθ avec ν = 0.2 et ν? = 0.4. Les demi-droites(E) et (P) ont respectivement les pentes données par les solutions élastique (question 3) et plastique(quesiton 11).

13.14. 30 MAI 2011 297

13.14.2 B. Etude des vibrations d’une poutre

Avec cet exercice, on propose d’étudier le phénomène de résonance d’une poutre soumise à desvibrations forcées. En général, les propriétés d’amortissement des matériaux sont trop faibles pourdissiper l’énergie accumulée par un système mécanique qui entre en résonance. Il est donc nécessaired’éviter de soumettre le système aux sollicitations qui conduisent à ce phénomène. L’exercice commencepar une analyse quasi statique de l’effet d’une masse concentrée. Puis nous considérons les effets del’inertie de cette masse en mouvement dans deux situations. La première situation correspond à l’étudedes vibrations libres pour toute les conditions initiales possibles. La seconde correspond à l’étude desvibrations forcées, en régime stationnaire, c’est à dire sans tenir compte de conditions initiales. A cestade de l’exercice, les sollicitations à éviter auront été identifiées. Pour les plus courageux, cet exercicese termine par une modélisation de l’amortissement par une loi de type Kelvin-Voight.

A B Cm

x 1

x 3

Poutre sur deux appuis simples liée à une masse m à une des extrémités.

Hypothèses : Pour l’étude des vibrations du système mécanique, un modèle de poutre de Navier-Bernoulli suffit. Seule la masse m concentrée au point C est significative, l’effet mécanique de la massevolumique de la poutre est négligeable. La poutre est élastique sauf dans la dernière partie de l’exercice.La masse est ponctuelle et indéformable. Seuls les déplacements transverses seront considérés, lesdéplacements longitudinaux étant nuls.

QUESTIONS :

B1. Considérons le problème quasi statique (en négligeant les effets d’inertie) de la poutre chargéepar le poids de la masse m. L’action de la masse sur la poutre sera noté P. Est-il possible de déterminerles réactions des appuis sans connaître le torseur des efforts intérieurs ? Quelle est la propriété dusystème mécanique étudié ?

B2. Dans le cas quasi statique introduit à la première question, donner l’expression de l’efforttranchant et du moment fléchissant dans les différents tronçons de la poutre.

B3. Dans le cas quasi statique introduit à la première question, donner l’expression du déplacementtransverse.

B4. Etudions maintenant la dynamique du système en considérant les effets de l’inertie de la massem animée d’un mouvement transverse w(t). Quelle est l’expression de P en supposant que la masse esttoujours accrochée à la poutre en C quel que soit le niveau des vibrations ?

B5. Quelle est l’équation différentielle en temps qui permet de prévoir le mouvement du systèmemécanique ?

B6. L’équation précédente régit le mouvement de vibration libre, il n’y a pas d’action extérieureimposée au système constitué de la masse et de la poutre. Quelles sont les solutions de cette équation.On distinguera la forme du champ de déplacement qui par définition correspond à un mode propre. Pourfaciliter le déroulement des calculs, il est préférable d’écrire une équation différentielle ordinaire sur w,puis d’utiliser la liaison cinématique entre w et le déplacement transverse de la poutre en C.


B7. En considérant une action imposée supplémentaire F(t) = Fm sin(ω t) s’ajoutant à l’action Pcalculée à la question 4, nous obtenons le problème de vibration forcée. Donner l’équation différentielleen temps décrivant l’évolution de w. En recherchant la solution particulière de cette équation, montrerque l’amplitude de w est infinie pour une pulsation d’excitation ω correspondant à une pulsationcaractéristique du système appelée pulsation propre.

B8. Quel type de sollicitation faut-il éviter ?

B9. Que devient la réponse aux vibrations forcées en introduisant le modèle de comportement de typeKelvin-Voight ci-dessous, reliant le moment fléchissant à la dérivée seconde en espace du déplacementtransverse ?

M = EI∂2V∂2x1

+ηI∂3V

∂2x1 ∂t

où η est le coefficient de viscosité du matériau.

13.14.3 Propagation d’une fissure de fatigue dans un disque mince non alésé en rotation

On propose dans cet exercice d’étudier la propagation par fatigue d’une fissure dans un disquemince non alésé. Comme schématisé dans le figure 1, on considère une fissure partant du bord extérieurdu disque et se propageant de manière radiale vers le centre. La longueur de la fissure est notée asur la figure. Le fait de considérer un disque mince permet d’utiliser certains résultats de la littératureconcernant l’étude des disques de section rectangulaire en contrainte plane.

Le texte est divisé en quatre parties. Dans la première on évalue la vitesse limite de plastification dudisque sain afin de déterminer les condition normale d’utilisation d’un tel disque. Dans la deuxième onétudie la rupture brutale du disque fissuré par perte de ténacité à partir du calcul du facteur d’intensitédes contrainte. Dans la troisième partie, on évalue les coefficients de la loi de Paris du matériau. Dansla dernière partie, on défini la loi de propagation de la fissure, puis l’on calcule un nombre de cycle à larupture pour une longueur initiale donnée.

w w

R R

Disque fissuréDisque sain

a

fissure

Figure 1 : Représentations schématique d’un disque sain (non-fissuré) et d’un disque fissuré.

Vitesse critique d’apparition de la plasticité dans un disque sain

Le champ de contrainte dans un disque mince non fissuré soumis à une vitesse de rotation w est dela forme suivante en coordonnées cylindriques pour un point du disque donné de rayon r :

σ∼(r) =

σrr(r) 0 00 σθθ(r) 00 0 0

(13.139)

avec

13.14. 30 MAI 2011 299

σrr(r) =ρw2(3+ν)

8(R2− r2) (13.140)

σθθ(r) =ρw2

8[R2(3+ν)− r2(1+3ν)] (13.141)

où R désigne le rayon extérieur du disque et ρ la masse volumique du matériau utilisé.

En utilisant un critère de von Mises, déterminer la vitesse d’apparition de la plasticité dans le disquewp en fonction de la limite élastique σ0 du matériau. Où cette plasticité apparaît elle en premier ?

La plasticité apparaît d’abord au centre du disque où les contraintes sont maximales. On a

σeq(r = 0) =ρw2R2(3+ν)

8(13.142)

et donc

wp =

√8σ0

ρR2(3+ν)(13.143)

Les disques étudiés ici (rayon R = 50 cm) sont réalisés en Inconel 718, un super alliage à base deNickel. Ses propriétés sont les suivantes : ρ = 8000 Kg.m−3, σ0 = 1000 MPa, ν = 0.3

Calculer wp en rpm (tours par minute)

wp = 1100 Rad.s−1 = 10513 rpm

Perte de ténacité en présence d’une fissure de taille a0

Le facteur d’intensité des contraintes en mode I est donné pour un disque mince non alésé en rotation(hypothèse de contraintes planes) en fonction de la profondeur de fissure a0 et de la vitesse de rotationdu disque :

KI = F1(a0/R)σw√

πa0 (13.144)

σw =ρw2R2(3+ν)

8(13.145)

F1(x) = αx+β (13.146)

avec α = 1.2 et β = 0.37.

Exprimer KI en fonction de ρ, ν, w, R et du rapport a0/R.

KI =(

αa0

R+β

)(√a0

R

)(ρw2R2(3+ν)

8

)(√πR)

La rupture brutale intervient pour une valeur critique du facteur d’intensité des contraintes noté KcI .

Pour l’Inconel 718 sa valeur est KcI = 50 MPa.m1/2.

Donner l’expression de la vitesse limite wr correspondant à une rupture brutale en fonction de KcI

et du rapport a0/R. Calculer la valeur de cette vitesse limite en rpm pour une fissure initiale de taillea0 = 5 mm. Comparer avec la vitesse d’apparition de la plasticité wp calculée plus haut.


wr =

√√√√√ 8KcI(

αa0

R+β

)(√a0

R

)ρR2(3+ν)

√πR

Pour a0 = 5 mm, wr = 1125 Rad.s−1 = 10744 rpm. Cette taille de défaut entraine une rupture après laplastification de l’intérieur du disque.

En fonctionnement normal les disques tournent à une vitesse wn correspondant à 80% de la vitessewp calculée précedament. L’évolution du facteur d’intensité des contrainte en fonction du rapport a0/Rpour cette vitesse de rotation wn est tracé sur la figure suivante :

a0/R

K1(M

Pa.m

1/2 )

0.10.080.060.040.020

140

120

100

80

60

40

20

0

Figure 2 : Evolution du facteur d’intensité des contrainte KI en fonction du rapport a0/R pour unevitesse de rotation wn = 0.8wp.

Estimer à partir de cette figure la taille de fissure initiale critique ac0 menant à une rupture brutale

en condition normale de fonctionnement.

ac0 = 12 mm

Evaluation des coefficients de la loi de Paris

Des spécimens de laboratoire sont chargés entre Kmin = 0 et Kmax. Les vitesses de propagation sontrespectivement de 10−3 mm/cycle et 4 10−3 mm/cycle pour des valeurs de Kmax de 20 et 40 MPa.m1/2.

Trouver les valeurs des coefficients C et n de la loi de Paris en unité SI (m et Pa).

La loi de Paris s’écrit :dadN

= C(∆K)M On aura donc :

C(20 106)M = 10−6 (13.147)

C(40 106)M = 4 10−6 (13.148)

Et donc M = 2, C = 2.5 10−21 Pa−2 (C en Pa−2 car n=2).

Propagation de la fissure sous chargement cyclique

Ecrire sous forme d’intégrales l’équation qui détermine la courbe (nombre de cycles N - longueurde fissure a) entre une valeur initiale a0 = 5 mm et une valeur courante a. On considère que le disquesubit des cycles de chargement entre w = 0 et wn.

13.14. 30 MAI 2011 301

dadN

= C [K(wn)−K(0)]M = C [K(wn)]M (13.149)

= C[(

αaR

+β

)(√ aR

)(ρw2

nR2(3+ν)8

)(√πR)]M

(13.150)

Et donc

CR

[(ρw2

nR2(3+ν)8

)(√πR)]M Z N

0dN =

Z a/R

a0/R

d(a/R)[(α

aR

+β

)(√ aR

)]M (13.151)

On donne la solution de l’intégrale suivante :Z dxx(αx+β)2 =

1β2

[β

αx+β+ ln

(x

αx+β

)](13.152)

Déterminer explicitement l’expression du nombre de cycle N entraînant une propagation de la fissuredepuis sa valeur initiale a0 jusqu’à une valeur courante a.

N =R

Cβ2

[ρw2R2(3+ν)

8

(√πR)]M

β

αaR

+β

+ ln

aR

αaR

+β

a/R

a0/R

(13.153)

La figure suivante décrit le nombre de cycles en fonction de la longueur de fissure à partir de laréponse à la question précédente :

a0/R

N

0.10.080.060.040.020

50000

40000

30000

20000

10000

0

Figure 3 : Courbe nombre de cycle - longueur de fissure pour une longueur initiale a0 = 5 mm et unchargement compris entre w = 0 et wn.

Utiliser cette figure pour estimer le nombre de cycle Nc entraînant une rupture brutale du disque.

Nc ≈ 20000 cycles.

Troisième partie

ANNEXES

303

Chapitre 14

Mini-formulaire d’élasticité linéaire

14.1 Cinématique et statique en petites déformations

14.1.1 Déplacement déformation

– Le tenseur de déformation est la partie symétrique du gradient de déplacement

εi j =12(ui, j +u j,i)

ε∼

=12(∇∼

u+∇∼

uT )– Champ cinématiquement admissible : u = ud sur ∂Ωu

– Equations de compatibilité (ex : 6 composantes de déformation dérivent de 3 composantes dedéplacement en coordonnées cartésiennes en 3D)

ε11,22 + ε22,11−2ε12,12 = 0 ε11,23 + ε23,11− ε12,13− ε13,12 = 0

. . .et permutations circulaires, soit :

εinmεl jkεi j,km = 0

avec εi jk = 0 si 2 indices sont égauxεi jk = 1 si permutation paire, =-1 si permutation impaire

14.1.2 Signification géométrique des termes du tenseur de déformation∆VV = Tr ε

∼= εii γ = 2ε12

dx

dxdxε22

dxε11

2

1

1

2

(1+ )

(1+ ) dx2

γ

dx 1

Les termes diagonaux désignent lesallongements unitaires dans la direc-tion des axes

Les termes hors diagonale caracté-risent les rotations relatives des axes

305

306 CHAPITRE 14. MINI-FORMULAIRE D’ÉLASTICITÉ LINÉAIRE

– Allongement unitaire dans la direction définie par n

δ(n) = n.ε∼.n = εi jnin j

14.1.3 Contrainte

– Forces de volume : f d dans le volume Ω

– Forces de surface : Fd sur la surface ∂ΩF

– Champ statiquement admissible :– dans Ω

divσ∼

+ f d = 0 σi j, j + f di = 0

– sur ∂ΩF

σ∼.n = Fd

σi jn j = Fdi

– Partie sphérique du tenseur de contrainte :

S∼

=13

trace(σ∼

)I∼

Si j =σll

3δi j

– Déviateur associé au tenseur de contrainte :

s∼

= σ∼−S

∼si j = σi j−

σll

3δi j trace(s

∼) = sll = 0

14.1.4 Signification physique des termes du tenseur de contrainte

x

x

σσ

σ

σ2 22

12

21

11

1

– Les termes diagonaux caractérisent les ef-forts normaux aux facettes

– Les termes hors diagonale caractérisent lesefforts de cisaillement

– Vecteur contrainte pour une facette de direction n

T (n) = σ∼.n Ti = σi jn j

– Contrainte normale sur la facette de direction n

Tn(n) = n.T = n.σ∼.n = σi jnin j

– Cisaillement dans une facette de direction n

T t(n) = T −Tnn Tt =√

T 2−T 2n

14.2 Efforts internes/externes

14.2.1 Travail des efforts intérieurs

– Théorème de Stokes pour une fonction scalaire f intégrée sur un volume Ω, n étant la normale à∂Ω Z

Ω

f, jdV =Z

∂Ω

f n jdS

14.3. POTENTIEL ÉLASTIQUE, ÉLASTICITÉ LINÉAIRE 307

– Travail des efforts intérieurs (champ de contraintes réel, champ ε∼′ cinématiquement admissible)

−Wi =Z

Ω

σi jε′i jdV =

ZΩ

σi ju′i, jdV

=Z

Ω

((σi ju′i), j−σi j, ju′i

)dV =

Z∂Ω

σi ju′in jdS−Z

Ω

σi j, ju′idV

14.2.2 Travail des efforts extérieurs

– Travail des efforts extérieursWe =

ZΩ

f di u′idS +

Z∂Ω

Fdi u′idS

– avec Wi +We = 0, il vient :

dans Ω : σi j, j + f di = 0 sur ∂ΩF : σi jn j = Fd

i

– Ces relations sont indépendantes du matériau– On introduit une loi de comportement en posant des relations entre contraintes et déformations

14.3 Potentiel élastique, élasticité linéaire

14.3.1 Potentiel élastique

Le comportement, éventuellement non linéaire, est gouverné par un potentiel, qui sera défini par sa densitévolumique, dont la forme dépend de la variable choisie

– Evolution entre deux états d’équilibre, avec σ∼∗ = σ

∼, et ε

∼′ = dε

∼, le potentiel d’élasticité W (ε

∼)

s’exprime, en élasticité linéaire :

W (ε∼) =

12

ε∼

: C≈

: ε∼

σ∼

=∂W∂ε

= C≈

: ε∼

– Evolution entre deux états d’équilibre, avec ε∼′ = ε

∼, et σ

∼∗ = dσ

∼, le potentiel d’élasticité

complémentaire W ∗(σ∼) s’exprime, en élasticité linéaire :

W ∗(σ∼) =

12

σ∼

: S≈

: σ∼

ε∼

=∂W ∗

∂σ= S

≈: σ∼

– W et W ∗ convexes et dW +dW ∗ = d(σi jεi j)

– Et :∂2W

∂εi j∂εkl=

∂σi j

∂εkl= Ci jkl =

∂σkl

∂εi j= Ckli j

14.3.2 Elasticité linéaire

– Elasticité linéaire (rigidité et souplesse) :

σ∼

= C≈

: ε σi j = Ci jklεkl

ε∼

= S≈

: σ εi j = Si jklσkl

– Relations de symétrie :

Ci jkl = Ci jlk = C jikl Si jkl = Si jlk = S jikl

– Relations «énergétiques» :Ci jkl = Ckli j Si jkl = Skli j

– Anisotropie générale = 21 coeff ; orthotropie = 9 coeff ; symétrie cubique = 3 coeff ; matériauisotrope = 2 coefficients

– Matériau isotrope :s∼

= 2µε∼

devσll = 3κεll


14.3.3 Elasticité isotrope

– Module de cisaillement µ tel que τ = µγ

– Module de compressibilité κ tel que p =13

σll = κ∆VV

– Module de Young E tel que σ = E ε en traction simple– Coefficient de Poisson ν tel que εT = −νεL en traction simple (εT , déformation transverse, εL,

déformation longitudinale)– Contrainte en fonction des déformations

σ∼

= λTr ε∼

I∼+2µε

∼σi j = λεllδi j +2µεi j

– Déformations en fonction des contraintes

ε∼

=1+ν

Eσ∼− ν

ETrσ

∼I∼

εi j =1+ν

Eσi j−

ν

Eσllδi j

14.3.4 Relations entre les coefficients d’élasticité

– Expressions de λ, µ et κ

λ =Eν

(1+ν)(1−2ν)2µ =

E1+ν

3κ =E

1−2ν= 3λ+2µ

– Expressions de E et ν

E =µ(3λ+2µ)

λ+µν =

λ

2(λ+µ)

– Typiquement :ν≈ 1/3 2µ≈ 3E/4 κ≈ E

– Caoutchouc :ν≈ 1/2 µ≈ E/3 κ E

14.4 Etats de contrainte particuliers, solutions particulières

14.4.1 Traction simple

– Etat de contrainte uniaxial, de manière générale σ∼

= σ0n⊗n ; par exemple dans un prisme d’axex1, x1 étant la direction de traction, et les faces latérales étant libres :

σ∼

:=

σ0 0 00 0 00 0 0

– Si la section vaut S0, la force en direction x1 est : F = σ0S0– Dans le repère x1x2x3, le tenseur de déformation s’écrit :

ε∼

:=

σ0/E 0 00 −νσ0/E 00 0 −νσ0/E

– Si la longueur est L0, l’allongement en direction x1 est : ∆L = εL0– La raideur du prisme vaut R = F/∆L = ES0/L0

14.4. ETATS DE CONTRAINTE PARTICULIERS, SOLUTIONS PARTICULIÈRES 309

14.4.2 Cisaillement simple

τ−τ

τ

τ

τ = σ12 = 2µε12

– Chargement purement déviatorique– Exemple du cisaillement pur dans le plan

x1x2

σ∼

:=

0 τ 0τ 0 00 0 0

– Rotation de π/4

σ∼

:=

τ 0 00 −τ 00 0 0

14.4.3 Flexion circulaire

– Une seule composante au tenseur de contrainte, mais non uniforme dans l’espace :

σ∼

:=

σ11(x2) 0 00 0 00 0 0

– Par exemple : σ11 =

Mx2

I, où M est le moment de flexion autour de x3, et I =

ZS

x22dS est le moment

d’inertie de la section droite par rapport à x3– Un prisme d’axe x1 qui subit ce chargement présente une rotation relative des sections caractérisée

par un angle θ tel que θ,1 =MEI

– Pour une section rectangulaire de hauteur h selon x2 et de largeur b selon x3 : I =bh3

12

14.4.4 Torsion

x 3

β

γ

– Γ contour de la section– Une génératrice devient une

hélice

– Déplacements

u1 =−αx3x2 u2 = αx3x1 u3 = αφ(x1,x2)

– Contrainte

σ13 = µα(φ,1− x2) =µαθ,2 (14.1)

σ23 = µα(φ,2 + x1)=−µαθ,1 (14.2)

avec ∆φ = 0 ∆θ+2 = 0 θ = 0 sur Γ

– Moment de torsion :

M =Z

S(x1σ23− x2σ13)dS

– Module de rigidité à la torsion :

D = 2µZ

Sθdx1dx2 = M/α


14.4.5 Torsion, section circulaire

– Pour un prisme circulaire de longueur L, et de rayon extérieur Re : β = αL– En surface extérieure γ = 2εθz = αR– Contrainte de cisaillement τ = µαr

– θ s’exprime simplement : θ =12(R2− x2

1− x22)

– Une section perpendiculaire à x3 reste plane : φ = 0

– Tube de rayon int Ri et de rayon ext Re : D = µπ(R4

e −R4i )

2– Tube mince de rayon R et d’épaisseur e : D = 2µπeR3 = M/α donc

α =τ

µR=

M2πµeR3 , et τ =

M2eπR2

14.4.6 Coordonnées cylindriques

On se restreint aux exemples classiques pour lesquels :- les déplacements sont portés par er, u = urer- la seule force de volume éventuellement non nulle est frer.

– Equilibre

σrr,r +σrr−σθθ

r+ fr = 0

– Déformation

εrr = ur,r εθθ =ur

r

soit : rεθθ,r = εrr− εθθ

– Forces de volume nulles, rayon intérieur a, rayon extérieur b

σrr = A− Br2 σθθ = A+

Br2

ur = Cr +D/r

14.4.7 Cylindre sous pression

– Tube sous pression, pression intérieure pi, pression extérieure pe

A =pia2− peb2

b2−a2 B =(pi− pe)a2b2

b2−a2

– Cylindre plein (pi = 0, a = 0, pe = p),

σrr = σθθ = p

– Pression interne (pi = p, a, b),

σrr =a2

b2−a2

(1− b2

r2

)p σθθ =

a2

b2−a2

(1+

b2

r2

)p

– Tube mince sous pression interne p, rayon R, épaisseur e,

σrr négligeable σθθ = pR/e

14.4. ETATS DE CONTRAINTE PARTICULIERS, SOLUTIONS PARTICULIÈRES 311

14.4.8 Coordonnées sphériquesOn se restreint aux exemples classiques pour lesquels :- les déplacements sont portés par er, u = urer- la seule force de volume éventuellement non nulle est frer.

– Equilibre

σrr,r +2σrr−σθθ

r+ fr = 0

– Déformationεrr = ur,r εθθ =

ur

rsoit : rεθθ,r = εrr− εθθ

– Forces de volume nulles, rayon intérieur a, rayon extérieur b

σrr = A− 2Br3 σθθ = σφφ = A+

Br3

ur = Cr +D/r2

14.4.9 Sphère sous pression

– Sphère sous pression, pression intérieure pi, pression extérieure pe

A =pia3− peb3

b3−a3 B =(pi− pe)a3b3

2(b3−a3)

– Sphère pleine (pi = 0, a = 0, pe = p),

σrr = σθθ = σφφ = p

– Pression interne (pi = p, a, b),

σrr =a3

b3−a3

(1− b3

r3

)p σθθ =

a3

b3−a3

(1+

b3

2r3

)p

– Tube mince sous pression interne p, rayon R, épaisseur e,

σrr négligeable σθθ = pR/2e

Chapitre 15

Notations

15.1 Glossaire des notations les plus courantes

ε∼, ε∼

e Tenseur de déformations (petites perturbations), déformation élastiqueε∼

th Tenseur de dilatation thermiqueε∼

p, ε∼

vp Tenseur de déformation plastique, viscoplastiqueσ∼

Tenseur de contrainte de Cauchyf , n

∼Fonction de charge ; dérivée par rapport aux contraintes ∂ f /∂σ

∼I1, I2, I3 Invariants du tenseur de contrainteJ1, J2, J3 Invariants du déviateur de contrainte

J Second invariant du déviateur des contraintesAi, α

∼ i Variables d’écrouissageR, X

∼Variables d’écrouissage isotrope, cinématique

σy Limite d’élasticité initialeH Module plastique

W , W ∗ Potentiels élastiquesΩ Potentiel viscoplastiqueΣ∼

Tenseur de contraintes moyennes (chapitre homogénéisation uniquement)E∼

Tenseur de déformations moyennes (chapitre homogénéisation uniquement)

15.2 Quelques tenseurs particuliers

Les tenseurs d’ordre 4 J≈

et K≈

permettent respectivement d’obtenir le déviateur s∼

et le tenseur

sphérique S∼

associés à un tenseur symétrique du second ordre σ∼

.On a :

s∼

= J≈

: σ∼

S∼

= K≈

: σ∼

(15.1)

On introduit également le tenseur unité d’ordre 4, I≈. On peut facilement vérifier que :

I≈

tel que Ii jkl =12

(δikδ jl +δilδ jk) (15.2)

K≈

=13

I∼⊗ I

∼ou encore Ki jkl =

13

δi jδkl (15.3)

J≈

= I≈−K

≈ou encore Ji jkl =

12(δikδ jl +δilδ jk

)− 1

3δi jδkl (15.4)

Propriétés remarquables :

J≈

: J≈

= J≈

K≈

: K≈

= K≈

J≈

: K≈

= K≈

: J≈

= 0 (15.5)

313

314

Donc, bien sûr :J≈

: S∼

= 0 K≈

: s∼

= 0 (15.6)

En élasticité isotrope, le tenseur d’élasticité Λ≈

et son inverse S≈

s’expriment :

Λ≈

= 3κK≈

+2µJ≈

S≈

=K≈

3κ+

J≈

2µ(15.7)

Si bien que :J≈

: Λ≈

= 2µJ≈

K≈

: Λ≈

= 3κK≈

(15.8)

En plasticité, J≈

est utile pour évaluer la direction d’écoulement. Ainsi, dans le cas du critère de von

Mises :

n∼

=∂J∂σ∼

=∂J∂s∼

:∂s∼

∂σ∼

=3s∼

2J: J≈

=3s∼

2J: I≈

=3s∼

2J(15.9)

Références citées dans le texte

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315

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Simo J.C. and Hughes T.R.J. (1997). Computational Inelasticity. Springer Verlag.

317

Index

A380, 127Anisotropie, 29Assemblage collé, 175Aube de turbine, 124

Beltrami, 54Bilame, 178Bille de verre, 123Bingham

modèle de viscoplasticité, 18, 155

Cam-claycritère, 28

Champcinématiquement admissible, 57statiquement admissible, 57

Changement de phaseacier, 122

Charge limite, 136, 146, 192Chargement complexe, 159Chargement triaxial

essai, 7Charpy

essai, 8Cinématique

écrouissage, 15plaque de Kirchhof–Love, 91poutre, 58stratifié, 75

Cisaillementoctaédral, 24plaque, 84

Clausius–Duhem, 44Coefficient de dilatation thermique

composite, 173Cohésion, 27Comportement

standard généralisé, 43Composite

à fibres, 128fibres longues, 171matériau, 69matrice métallique, 186

modules élastiques d’un polycristal, 182structure, 69vaisseau spatial, 128

Condition de cohérence, 15, 36, 39, 46Contrainte

interne, 14visqueuse, 20

Contraintesauto-équilibrées, 136généralisées, 44résiduelles, 136thermomécaniques, 121

Contraintes résiduelles, 149Convergence–confinement, 154Convexité, 38Coulomb

critère, 151Couplage

traction–flambage (poutre), 169traction–flexion (poutre), 64

Couplede torsion, 53

Courbe caractéristique, 154Courbure, 84Critère

anisotrope, 29Cam-clay, 28Coulomb, 151Drucker–Prager, 26elliptique, 28Gurson, 28Hill, 29Mohr–Coulomb, 27Rankine, 28Tresca, 25, 142Tsaï, 30von Mises, 25

Critères, 23

Déformation, 11de membrane, 84paramétrique, 11

318

INDEX 319

plane, 132plane généralisée, 132plastique cumulée, 15, 45progressive, 126

Déformationsgénéralisées, 44

Déplacement axialpoutre, 62

Dilatationchangement de phase, 12irradiation, 12thermique, 12

Direction d’écoulementDrucker–Prager, 39Tresca, 39von Mises, 38

Direction d’écoulement plastique, 38Dissipation intrinsèque, 44Drucker–Prager

critère, 26Dureté

essai, 8

Ecoulement plastiquedéformation imposée, 48plasticité parfaite, 142

Ecrouissage, 44additif, 21cinématique, 15cinématique linéaire, 14isotrope, 15, 159multiplicatif, 21Ramberg–Osgood, 16variables, 43

Effacementessai, 20

Effet de fond, 141Effort tranchant, 53Elasticité

orthotrope, 71Energie

d’activation, 21libre, 45

Equilibreplaque de Kirchhof–Love, 91plaque de Reissner–Mindlin, 87poutre, 60stratifié, 75

Essaichargement triaxial, 7

Charpy, 8dureté, 8effacement, 20flexion, 7fluage, 6relaxation, 7torsion, 7traction, 6

Eulercharge critique, 66, 167

Extensomètre, 8

Facteur d’intensité de contrainte, 110mode I, II, III, 112

Fatiguefissuration, 114, 192

Fissurationbateau, 129

Fissuration critique, 192Flèche

poutre, 62Flambage

poutre en traction, 167Flambement, 165Flexion

essai, 7poutre, 162

Fluage, 16essai, 6fil de brasure, 123sel gemme, 123

Fonction de charge, 46Fuite avant rupture, 193

Gauchissement, 63Griffith, 107Gurson

critère, 28

Hashin–Shtrikmanbornes, 188

Hencky–Mises, 46Hill

critère, 29fuseau de, 187principe, 36

Hill–Tsaï, 78Homogénéisation périodique, 188

Invariants, 24Isotrope

320 INDEX

écrouissage, 15élasticité, 72

Jauge de déformation, 8

Kelvin–Voigtmodèle de viscoélasticité, 17

Kirchhoff–Lovethéorie de plaque, 90

Kitagawadiagramme, 114

Limite de fatigue, 115Lode

angle, 24Loi de comportement

plaque de Kirchhoff–Love, 92plaque de Reissner–Mindlin, 88poutre, 60poutre sandwich, 65stratifié, 76

Loi de mélange, 72

Manic5barrage, 122

Matériau composite, 69Matériaux hétérogènes, 95Maxwell

modèle de viscoélasticité, 16Mise en forme, 125Modèle

de Prager, 14Modèle rhéologique, 12Modèles

associé, 35standard, 35

Mohr–Coulombcritère, 27

Momentde flexion, 53

Moment quadratique, 52Moteur automobile, 125Multiplicateur plastique, 36, 37, 46, 48

écrouissage cinématique, 47écrouissage isotrope, 46plasticité parfaite, 40

Muskhelishvili, 110

Navier–Bernoullipoutre, 58, 63

Normalitégénéralisée, 45

Nortonmodèle de viscoplasticité, 21

Paris, 114Plaque de Kirchhoff–Love

loi de comportement, 92Plaque de Reissner–Mindlin

équilibre, 87loi de comportement, 88

Plaque stratifiée, 74Plaques, 83Plasticité

parfaite, 13uniaxiale, 13

Plasticité3D, 33non associée, 40, 151parfaite, 39, 142

Potentiel élastique, 100Potentiel viscoplastique, 35Poussée, 27Poutre

équilibre, 60de Navier–Bernoulli, 58de Timoshenko, 58lois de comportement, 60sandwich, 63, 126, 162

Poutre sandwichlois de comportement, 65

Pragerexpression tridimensionnelle, 47expression uniaxiale, 14

Prandtl–Reuss, 46Principe de Hill, 36Principe des travaux virtuels, 57

Résilience, 107Règle de normalité, 36, 37Ramberg–Osgood

modèle d’écrouissage, 16Rankine

critère, 28Recouvrance, 20Reissner–Mindlin

théorie de plaque, 83Relaxation, 16

essai, 7temps caractéristique, 18

Retour élastique, 123Reuss

borne, 187

INDEX 321

borne inférieure, 103Rhéologie, 11Rochet, 126Rotation relative

poutre, 62Rotule plastique, 136

Saint-Venantprincipe, 52problème, 51solution, 54

sandwich, 64Sphère

cavité élastoviscoplastique, 154Sphère sous pression, 144Stratifiés, 69, 74Structure composite, 69

Taux de restitution d’énergie, 108Température

influence sur le comportement, 21Température

de transition, 107Temps caractéristique

relaxation, 18Tenseur

élastoplastique, 48déformation de membrane, 84de courbure, 84

Théorème de l’énergie complémentaire, 103Théorème de l’énergie potentielle, 102Thermocouple, 8Timbrage, 149Timoshenko

poutre, 58Torsion

essai, 7Traction

essai, 6Travail maximal, 36Tresca

comparaison avec von Mises, 138critère, 25, 142

Tsaïcritère, 30

Tube compositesous pression, 170

Tube sous pression, 140, 171fissuration, 192

Viscoélasticité, 16

Viscoplasticitéuniaxiale, 18

Viscoplasticité3D, 33non associée, 40

Vissage, 126Voigt

borne, 187borne supérieure, 102modèle de viscoélasticité, 16notation de, 70

Volume élémentaire représentatif, 97Von Mises

critère, 25von Mises

comparaison avec Tresca, 138

Wafer, 127Westergaard, 110

Zenermodèle de viscoélasticité, 18

Zone plastique, 135, 148

Polycopié des année précedentes

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