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Partie
Module 2Fondamentaux d’AnalyseAnnée universitaire 2009-2010
Cléo [email protected]
IUT1 Réseaux et Télécoms - 1ère année
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Partie Introduction
Les Maths en RT
▶ Objectif : Maîtriser les outils mathématiques utiles pour lesréseaux et les télécoms
▶ Les modules :▶ M1 (S1) : « Fondamentaux d’algèbre et de trigonométrie »▶ M2 (S1) : « Fondamentaux d’analyse »▶ M3 (S1) : « Calcul intégral et équations différentielles »▶ M4 (S2) : « Éléments de mathématiques appliquées »▶ M5 (S2) : « Outils mathématiques pour l’analyse de Fourier »▶ M6 (S3) : « Mathématiques pour le signal discret »
▶ MC1 (S4) : « Algèbre linéaire » (PE)▶ MC2 (S4) : « Probabilités »
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Partie Introduction
Module M2, « Fondamentaux d’analyse » (1/2)
▶ Calendrier : 30 heures▶ 7 séances de cours (1h30), 12 TD (1h30), 1 DS (1h30)
Semaine 43 44 45 46 47 48 49 50Cours 3h v 3h 1h30 1h30 1h30
TD v 3h 3h 4h30 1h30 3hTP 3hDS 1h30
▶ Évaluation▶ Contrôle continue : coeff 20%▶ Compte rendu de TP : coeff 30%▶ DS final : coeff 50%
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Partie Introduction
Module M2, « Fondamentaux d’analyse » (1/2)
▶ Encadrants TD▶ Amélie LELONG, [email protected]▶ Mathieu PARVAIX, [email protected]▶ Cléo BARAS, [email protected]
▶ Documentationhttp ://iut-tice.ujf-grenoble.fr/GTR/mathM2/
login : n˚ groupe TDmot de passe : n˚ carte étudiant
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Partie Introduction
Objectifs du module
1. Maîtriser la notion fonctionnelle et les outils d’étude desfonctions :
▶ limites, dérivées, graphe, ...
2. Maîtriser les outils d’approximation de fonctions :▶ équivalence, développements limités
3. Connaître les fonctions usuelles utilisées en RT et leurspropriétés :
▶ logarithmes, exponentielles, sinus cardinal
Sans calculatrice...
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Partie Introduction
Pourquoi faire ce module
1. Faciliter les calculs en RTÉlectronique, Télécom
▶ Éviter d’être bloqué▶ Avoir les outils/réflexes adéquates
2. Comprendre rapidement des formules complexes à partir desfonctions mathématiques simples
Électronique, Télécom3. Développer la rigueur
Informatique
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Partie Introduction
Les Maths selon ...
1. Les Maths, c’est comme le ski, çà s’apprend par la pratique(Luc Alphand)
2. Les Maths, c’est savoir se poser des questions(Fred & Jami)
3. Un matin un matheux m’a dit tout est possibleQue tous les rêves du monde te seront accessibles ...
(Ridan)4. ... Ecoute ce message et le dis pas à ton voisin
(Pas Ridan)
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Partie Introduction
Plan du cours
1. Généralités sur les fonctions de la variable réelle2. Limites3. Continuité et dérivation des fonctions de la variable réelle4. Étude de fonctions5. Développements limités
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Partie Généralités sur les fonctions
Première partie I
Généralités sur les fonctions
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Partie Généralités sur les fonctions
Plan : Généralités sur les fonctions
DéfinitionsFonctionsEnsemblesGrapheRègles de définitionFonction paramétrée
Catalogue de fonctionsFonctions "simples"Fonctions "avancées"
Racines n-ièmesFractions rationnellesLogarithmesExponentielle
Opérations sur les fonctions
Exercices type
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Partie Généralités sur les fonctions Définitions
Fonctions
Définitions : Fonction
Définition : FONCTION
Une fonction f est une relation qui relie chaque élément x d’unensemble de départ Ef avec au plus un élément y d’un ensembled’arrivée Af . L’élément y se note f (x).
Notation : f :
{Ef −→ Afx 7−→ y = f (x)
Définition : IMAGE ET ANTÉCÉDENT
▶ y = f (x) est l’image de x par f▶ x est un antécédent de y = f (x) par f
Exemple : carre :
{IR −→ IRx 7−→ x2
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Partie Généralités sur les fonctions Définitions
Ensembles
Définitions : Ensemble de définition, image
Définition : ENSEMBLES DE DÉFINITION Df , IMAGE If
▶ L’ensemble de définition Df de f est le sous-ensemble de Efconstitué par les x qui ont une et une seule image par f :
Df = {x ∈ Ef/f (x) existe }
▶ L’ensemble formé par les images de tous les éléments x de Dfpar f est appelé ensemble image If :
If = {f (x) ∈ Af/x ∈ Df}
Exemple : carre :
{IR −→ IRx 7−→ x2 , Dcarre = IR, Icarre = IR+
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Partie Généralités sur les fonctions Définitions
Graphe
Définitions : Graphe géométrique
Définition : GRAPHE GÉOMÉTRIQUE
Le graphe géométrique Gf de f est l’ensemble des points M du planP, d’abscisse x et d’ordonnée y = f (x), tel que x ∈ Df :
Gf = {M(x , f (x)) ∈ P/x ∈ Df}
Exemple : Cube restreint :{[−3; 3] −→ IRx 7−→ x3
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Partie Généralités sur les fonctions Définitions
Règles de définition
Règle de définition et variable muette
Définition : RÈGLE DE DÉFINITION
La règle de définition de f est l’expression de l’image y de x par fen fonction de x , autrement dit l’expression de f (x)
Exemple : f (x) =x + 2
3x2 − 5
Remarques :▶ Dans f (x), x est une variable muette▶ Pour calculer l’image de n’importe quel réel toto, il suffit
d’utiliser la règle de définition en remplaçant x par toto
Exemple : f (toto) =toto + 2
3toto2 − 5
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Partie Généralités sur les fonctions Définitions
Fonction paramétrée
Fonction paramétrée
Définition : FONCTION PARAMÉTRÉE
Une fonction f peut être définie en fonction d’un paramètre P ; sarègle de définition est alors notée fP(x).
Exemple :
▶ Fonction porte ΠT (t) :
ΠT (x) =⎧⎨⎩ 0 , si t < −T/21/T , si − T/2 ≤ t < T/20 , si T/2 < t
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Partie Généralités sur les fonctions Catalogue de fonctions
Catalogue de fonctions
Brainstorming
▶ Quelle fonction connaissez-vous ?
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Partie Généralités sur les fonctions Catalogue de fonctions
Fonctions "simples"
Catalogue des fonctions "simples"
Fonction f Expression Df Ifconstante f (x) = c IR IR
identité f (x) = Id(x) = x IR IRaffine f (x) = ax + b IR IR
Monôme f (x) = xn IR IRpolynomiale f (x) = a0 + a1x + ...+ anxn IR IR
Racine carrée f (x) =√
x IR+ IR+
Inverse x 7−→ 1x
IR∗ IR∗
Sinus f (x) = sin(x) IR [−1; 1]Cosinus f (x) = cos(x) IR [−1; 1]
Tangente f (x) = tan(x) =sin(x)
cos(x)IR ∖
{�2
+ k�, k ∈ ZZ}
IR
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Partie Généralités sur les fonctions Catalogue de fonctions
Fonctions "simples"
Exemples d’application
▶ En électronique :
▶ Fonction affine :U = f (I) = −R.I + E
▶ Fonction carrée :P = f (I) = R.I2
+−
IRU
▶ En télécommunications :▶ Sinus : s(t) = e(t) sin (2�ft + �)
▶ Racine carrée : TEB = 12 erfc
(√EbN0
)▶ En réseaux :
▶ Polynôme : P(x) = 1 + x2 + x7
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Partie Généralités sur les fonctions Catalogue de fonctions
Fonctions "avancées"
Catalogue des fonctions "avancées"
Rappel sur les fonctions :▶ Racines n-ième▶ Fractions rationnelles▶ Logarithmes
▶ Logarithme népérien▶ Logarithme à base 10
▶ Exponentielles▶ Exponentielle▶ Monômes de puissances réelles▶ Fonctions puissances
Plus tard :▶ Fonctions trigonométriques : Arccos, Arcsin, Arctan
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Partie Généralités sur les fonctions Catalogue de fonctions
Fonctions "avancées"
Racines n-ièmes
Racines n-ièmes
f (x) = x1n = n√
x avec n ∈ IN∗
▶ Déf. :▶ Df = IR+ si n pair▶ Df = IR si n impair
▶ Image :▶ If = IR+ si n pair▶ If = IR si n impair
▶ Prop. math. :▶ n⋅m√x = n
√(m√
x)
▶nm√
x = n√
(xm)▶ n√
(x ⋅ y) = n√
x ⋅ n√
y▶ n√
x/y = n√
x/ n√
y
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Partie Généralités sur les fonctions Catalogue de fonctions
Fonctions "avancées"
Fractions rationnelles
Fractions rationnelles
f (x) =Num(x)
Denom(x)=
a0 + a1x + ...+ anxn
b0 + b1x + ...+ bmxm
▶ Déf. : Df = l’ensembledes réels x tel queDenom(x) ∕= 0
▶ Image : dépendantedes limites de f
▶ Pôles/Zéros
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Partie Généralités sur les fonctions Catalogue de fonctions
Fonctions "avancées"
Logarithmes
Logarithme népérienou logarithme à base e
f (x) = ln(x) = loge(x)
▶ Déf. : Df = IR∗+▶ Image : If = IR
Application Réseaux▶ Capacité maximale
d’un canal
D = Wln(1 + Ps/Pb)
ln(2)
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Partie Généralités sur les fonctions Catalogue de fonctions
Fonctions "avancées"
Logarithmes
Logarithme népérienou logarithme à base e
f (x) = ln(x) = loge(x)
▶ Prop. maths. :
1. ln(x .y) = ln(x) + ln(y)
2. ln(
1x
)= − ln(x)
3. ln (xy ) = y ln(x)
4. Attention :ln (x + y) ∕= ln(x) + ln(y)
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Partie Généralités sur les fonctions Catalogue de fonctions
Fonctions "avancées"
Logarithmes
Logarithme à base 10
f (x) = log10(x) =ln(x)
ln(10)
▶ Déf. : Df = IR∗+▶ Image : If = IR
Application Échelle Logarithmique
0 1 2 3 401 10 100 1000
−∞ +∞
−∞ +∞LogarithmiqueLinéaireExemple : Diagramme de Bode en Électronique
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Partie Généralités sur les fonctions Catalogue de fonctions
Fonctions "avancées"
Logarithmes
Logarithme à base 10
f (x) = log10(x) =ln(x)
ln(10)
▶ Déf. : Df = IR∗+▶ Image : If = IR
Application Puissance en décibel PdB = 10 log10(P)
PdB P
Murmure 40 dB 104
Poids lourd 90 dB 109
Ratio ≈ 2 ≈ 105
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Partie Généralités sur les fonctions Catalogue de fonctions
Fonctions "avancées"
Exponentielle
Exponentielle
f (x) = exp(x) = ex
▶ Déf. : Df = IR▶ Image : If = IR∗+
Application Electronique
I RCUU(t) = U0 exp
(− t�
)24 / 130
Partie Généralités sur les fonctions Catalogue de fonctions
Fonctions "avancées"
Exponentielle
Exponentielle
f (x) = exp(x) = ex
▶ Prop. maths. :
1. e(x+y) = ex .ey
2. (ex )y
= (ey )x
= e(x⋅y)
3.1ex = e−x
4. Attention :ex + ey ∕= ex+y
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Partie Généralités sur les fonctions Catalogue de fonctions
Fonctions "avancées"
Exponentielle
Monômes de puissances réelles
f (x) = x� = e� ln(x) avec � ∈ IR
▶ Déf. : Df = IR∗+▶ Image : If = IR∗+
▶ Prop. maths :cf exp et ln
▶ Cas particuliers :� = 0, � = 1
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Partie Généralités sur les fonctions Catalogue de fonctions
Fonctions "avancées"
Exponentielle
Fonctions puissances
f (x) = ax = ex ln(a) avec a ∈ IR∗+
▶ Déf. : Df = IR▶ Image : If = IR∗+
▶ Prop. maths :cf exp et ln
▶ Cas particuliers :a = 1
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Partie Généralités sur les fonctions Opérations sur les fonctions
Opérations sur les fonctions (1/2)
▶ Une fonction peut être définie comme un assemblage d’autresfonctions
Fonction Régle de définitionSomme de f et g (f + g)(x) = f (x) + g(x)
Opposée de f (−f )(x) = −f (x)
Différence de f et g (f − g)(x) = f (x)− g(x)
Produit de f et g (fg)(x) = f (x)g(x)
Inverse de f(
1f
)(x) =
1f (x)
Quotient de f et g(
fg
)(x) =
f (x)
g(x)Amplification de f par � (�f )(x) = �f (x)
(� ∈ ℝ)
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Partie Généralités sur les fonctions Opérations sur les fonctions
Opérations sur les fonctions (2/2)
▶ Fonction composée ou composition : mise en cascade defonction
Fonction Régle de définitionComposée de f par g (g ∘ f )(x) = g(f (x))
Exemple :
∙ Fonction puissance x 7→ x� = e� ln(x), composée def (x) = � ln(x) avec g(x) = ex
∙ Composées de f (x) = 1− x + x2 et g(x) = 1/(1 + x)
▶ Remarque : quelques composées utiles :▶ Composée de exp et ln : exp(ln(x)) = ln(exp(x)) = x
▶ Composée de racine carré et carré :
{ √(x2) = ∣x ∣(√x)2
= x
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Partie Généralités sur les fonctions Opérations sur les fonctions
Ensemble de définition (1/2)
Fonction Ensemble de définitionSomme f + g Df +g = Df ∩ Dg
Opposée −f D−f = DfDifférence f − g Df +g = Df ∩ Dg
Produit fg Dfg = Df ∩ Dg
Inverse1f
D1/f = {x ∈ Df/f (x) ∕= 0}
Quotientfg
Df/g = {x ∈ Df ∩ Dg/g(x) ∕= 0}Amplification �f (avec � ∈ IR) D�f = Df
Composition g ∘ f Dg∘f = {x ∈ Df/f (x) ∈ Dg}
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Partie Généralités sur les fonctions Opérations sur les fonctions
Ensemble de définition (2/2)
Remarque
Avant d’utiliser toutes fonctions, il faut toujours déterminer sonensemble de définition
Exemple :
DS 2007 ; ou comment éviter des calculs inutiles :résoudre
ln(x + 2) + ln(x + 3) = ln(−x − 11)
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Partie Généralités sur les fonctions Exercices type
Exercices type (1/3)
▶ Déterminer l’ensemble de définition d’une fonction∙ f (x) =
x − 23x2 − 2x + 1
∙ g(x) =√
x2 − 3x + 2 +1x
Méthodologie
1. Identifier les fonctions usuelles présentes dans la règle dedéfinition et indiquer leur domaine de définition d’après la table
2. Identifier le (ou les) assemblage(s) des fonctions identifiées etleur ordonnancement pour la construction de la fonction
3. Appliquer les règles d’assemblage en fonction des assemblagesidentifiés et dans leur ordre
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Partie Généralités sur les fonctions Exercices type
Exercices type (2/3)
▶ Tracer un graphe géométrique "simple" :▶ Graphe de Π3T (t − 3T ) où T ∈ ℝ∗+
Méthodologie
1. Identifier la fonction usuelle dont découle la fonction demandée,donner son expression et tracer rapidement son graphe
2. Déduire de la fonction usuelle celui de la fonction demandée
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Partie Généralités sur les fonctions Exercices type
Exercices type (3/3)
▶ Résolution d’équation :▶ Résoudre xxx
= xx2
Méthodologie/Astuce
1. Identifier les fonctions usuelles2. Utiliser leur propriété mathématique pour simplifier l’écriture3. Isoler l’inconnue à gauche et les constantes à droite dès que
l’équation le permet
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Partie Limites
Deuxième partie II
Limites
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Partie Limites
Plan
DéfinitionsLimite finie en un pointLimite infinie en un pointLimite finie en l’infiniLimite infinie en l’infini
Calcul de limitesFonctions usuellesOpérations sur les limitesÉquivalence
Exercices typeCroissance comparée
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Partie Limites
Notions de limites
Exemple : La fonction inverse : f (x) =1x
Table de valeursx f (x)
1 10.1 100.01 100
0.001 103
... ...1.10−6 106
▶ Lorsque x → 0 (parvaleurs supérieures),f (x) croit indéfiniment
▶ limx→0+
f (x) = +∞
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Partie Limites
Notions de limites
Exemple : La fonction inverse : f (x) =1x
Table de valeursx f (x)
1 110 0.1
100 0.011000 0.001
... ...106 10−6
▶ Plus x augmente, etplus f (x) se rapprochede 0
▶ limx→+∞
f (x) = 0+
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Partie Limites Définitions
Limites
▶ Etude du comportement local (en un point a ∈ IR) ou ducomportement asymptotique (en +∞, en −∞) d’une fonction f
limx→Point d’étude a
f (x) = Limite L ou f (x) −→x→a
L
▶ Point d’étude▶ Comportement local : on fait tendre x → a, x → a+ (si x > a) 1,
x → a− par (si x < a) 2
▶ Comportements asymptotiques : on fait tendre x → +∞, x → −∞
▶ Limite▶ finie : L ∈ IR, L+ (si f (x) > L), L− (si f (x) < L)▶ infinie : +∞, −∞
1. valeurs supérieures2. valeurs inférieures
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Partie Limites Définitions
Limite finie en un point
Limite finie en un point a
Limite finie L ∈ IR en a ∈ IR
limx→a
f (x) = lima
f = L
Exemple : Sinus cardinal
sinc(x) =sin(x)
x−→x→0
0
Application : Télécom→conversion numériqueanalogique
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Partie Limites Définitions
Limite infinie en un point
Limite infinie en un point a
Limite +∞ en un point a ∈ IR
limx→a
f (x) = lima
f = +∞
Exemple :
f (x) =1∣x ∣ −→x→0
+∞
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Partie Limites Définitions
Limite infinie en un point
Limite infinie en un point a (2/2)
Limite −∞ en un point a ∈ IR
limx→a
f (x) = lima
f = −∞
Exemple :
f (x) = tan(x) −→x→(−�
2 )+−∞
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Partie Limites Définitions
Limite finie en l’infini
Limite finie en l’infini
Limite finie L ∈ IR en +∞
limx→+∞
f (x) = lim+∞
f = L
Exemple :
f (x) =1x−→
x→+∞0+
Remarque : Idem pour unelimite finie en −∞
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Partie Limites Définitions
Limite infinie en l’infini
Limite infinie en l’infini
Limite +∞ en +∞
limx→+∞
f (x) = lim+∞
f = +∞
Exemple :
f (x) = ∣x ∣ −→x→+∞
+∞
Remarque : Idem pour unelimite en −∞ et pour unelimite −∞
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Partie Limites Calcul de limites
Fonctions usuelles
Limites des fonctions usuelles
Fonction f (x) Limite en −∞ Limite en +∞ Limite en 0Constante c c c cPuissance xn (n ∈ IN∗) +∞ si n pair +∞ 0
−∞ si n impairRacine carrée
√x n.d. 3 +∞ 0+
Inverse1x
0 0 +∞ si x → 0+
−∞ si x → 0−
Log népérien ln(x) n.d. +∞ −∞ pour x → 0+
Exponentielle ex 0 +∞ 1Sin sin(x) p.d.l. 4 p.d.l. 0Cos cos(x) p.d.l. p.d.l. 1Tan tan(x) p.d.l. p.d.l. 0
3. non défini4. pas de limite
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Partie Limites Calcul de limites
Opérations sur les limites
Opérations algébriques sur les limites
Somme Produit Quotientf g f + g f× g f/gL L′ L + L′ LL′ L/L′ si L, L′ ∕= 0
∞ si L ∕= 0 et L′ = 0FI si L = L′ = 0
∞ L′ ∞ ∞ si L′ ∕= 0 ∞FI si L′ = 0
L +∞ ∞ ∞ si L ∕= 0 0FI si L = 0
+∞ +∞ +∞ +∞ FI−∞ −∞ −∞ +∞ FI+∞ −∞ FI −∞ FI−∞ +∞ FI −∞ FI
où∙ ∞ : l’infini dont le signe dépendant du signe des limites de f et g∙ FI = Forme Indéterminée
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Partie Limites Calcul de limites
Opérations sur les limites
Exercices type▶ Calculer les limites suivantes :
▶ limx→+∞
x3 ln(x)
▶ limx→+∞
e−x
x▶ lim
x→0
tan(x)
2 + 1x
Méthodologie
1. Identifier les fonctions usuelles et donner leurs limites2. Identifier le (ou les) assemblages de fonctions usuelles et l’ordre
d’assemblage puis calculer la limite de proche en proche enutilisant les règles sur les limites
3. En cas de forme indéterminée :▶ Quelques astuces (cf TD)▶ Utiliser des outils plus puissants, comme l’équivalence ou les
développements limités45 / 130
Partie Limites Calcul de limites
Opérations sur les limites
Relations d’ordre
THÉORÈME : Relations d’ordre
Pour deux fonctions f et g,▶ Si g(x) ≤ f (x) avec lim
+∞g(x) = +∞, alors lim
+∞f (x) = +∞
▶ Si f (x) ≤ g(x) avec lim+∞
g(x) = −∞, alors lim+∞
f (x) = −∞
Remarque : Idem lorsque x → −∞
THÉORÈME du gendarme
Étant donnée trois fonctions f , g et h telles que g(x) ≤ f (x) ≤ h(x).Alors si lim g = lim h (en un point comme en l’infini),lim g = lim f = lim h.
Remarque : Théorèmes très utiles pour les limites incluant desfonctions trigonométriques
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Partie Limites Calcul de limites
Opérations sur les limites
Exercices Type
▶ Calcul de limite∙ Calcul de lim
x→+∞(2 + cos(x)) x3
∙ Calcul de limx→+∞
sin(x)
x2
Méthodologie
1. Encadrer la fonction (au voisinage du point où la limite estrecherchée) par des fonctions plus simples dont on connaît lalimite
2. Utiliser le théorème d’encadrement (du gendarme)
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Partie Limites Calcul de limites
Équivalence
Équivalence
DÉFINITION
f et g sont équivalentes au voisinage de a (∈ IR, ±∞)SSI f (x) = g(x) (1 + �(x)) avec lim
x→a�(x) = 0
Notation :
f ∼a
g ou f (x) ∼x→a
g(x)
Exemple : tan(x) ∼x→0
x
Remarque :Comportement identiquedes équivalents auvoisinage du pointd’équivalence
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Partie Limites Calcul de limites
Équivalence
Équivalence et limites
Deux fonctions équivalentes en un point ont une même limite en cepoint !
Théorème
Si f ∼a
g (avec a ∈ IR ou a = ±∞) alors limx→a
f (x) = limx→a
g(x)
Exemple : Calcul de limx→0
tan(x)
x
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Partie Limites Calcul de limites
Équivalence
Équivalences usuelles (1/3)
Quand x est au voisinage de 0 :
(1 + x)� ∼x→0
1 + �x (avec � ∈ IR+∗)
(1− x)� ∼x→0
1− �x1
(1− x)�∼
x→01 + �x (avec � ∈ IR+∗)
1(1 + x)�
∼x→0
1− �x
ln(1 + x) ∼x→0
x
ln(1− x) ∼x→0−x
sin(x) ∼x→0
x
cos(x) ∼x→0
1
tan(x) ∼x→0
x
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Partie Limites Calcul de limites
Équivalence
Équivalences usuelles (2/3)
THÉORÈME : Equivalent d’un polynôme
Un polynôme de degré n, P(x) = anxn + ...+ a1x + a0, admet pouréquivalent :
▶ en ±∞ : le monôme de plus haut degré muni de son coefficient.▶ en 0 : le monôme de plus petit degré muni de son coefficient non
nul.
Exemple :
∙ P(x) = 3x4 − 2x = 3x4 + 0x3 + 0x2 − 2x1 + 0▶ P(x) ∼
x→+∞3x4
▶ P(x) ∼x→−∞
3x4
▶ P(x) ∼x→0−2x1
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Partie Limites Calcul de limites
Équivalence
Équivalences usuelles (3/3)
THÉORÈME : Equivalent d’une fraction rationnelle
Une fraction rationnelle de type F (x) =P(x)
Q(x)où
P(x) = anxn + ...+ a1x + a0 de degré n etQ(x) = bmxm + ...+ b1x + b0 de degré m admet pour équivalent (en±∞ comme en 0) le quotient des équivalents de P(x) et Q(x).
Exemple :
▶ F (x) =P(x)
Q(x)=
3x4 − 2x6x3 + 4x2 + 1
=3x4 + 0x3 + 0x2 − 2x1 + 0
6x3 + 4x2 + 0x + 1
▶ F (x) ∼x→+∞
3x4
6x3
▶ F (x) ∼x→−∞
3x4
6x3
▶ F (x) ∼x→0
−2x1
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Partie Limites Calcul de limites
Équivalence
Exercices type
Exercices Type
▶ Calcul de limites
∙ Calcul de limx→0
ln(1 + x)
x2
∙ Calcul de limx→+∞
1 +x2 − 1
2x2 + 1
∙ Calcul de limx→1
1− x1/2
(1− x)3
Méthodologie
▶ Identifier la ou les fonctions usuelles, leurs limites, et tester lesméthodes classiques de calcul de limite.
▶ Si polynôme ou fraction rationnelle en ±∞, utiliser l’équivalent▶ Sinon, faire un changement de variable pour se ramener en 0,
puis utiliser les équivalents en 0
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Partie Limites Calcul de limites
Croissance comparée
Croissance comparée de log, exp et puissance
Règles de croissance comparée
limx 7−→+∞
ln(x)
x�= 0 et lim
x 7−→+∞
ex
x�= +∞ (avec � ∈ IR∗+)
«ln croit moins vite que lespuissances, qui croissentmoins vite que l’expo vers+∞»Notation :
ln << x� << ex
Exemple :
limx→+∞
ln(x)ex
x 12
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Partie Continuité
Troisième partie III
Continuité
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Partie Continuité
Plan
Continuité en un pointDéfinitionsDiscontinuitésProlongement par continuité
Ensemble de continuité
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Partie Continuité
Notion de continuité
▶ Continuité▶ ≡ "Tracé de la courbe sans lever le stylo"▶ ∕= "Rupture dans le tracé de la courbe"
▶ Applications▶ Pas d’applications directes▶ Utile pour plusieurs théorèmes importants (existence d’une
réciproque)
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Partie Continuité Continuité en un point
Définitions
Continuité en un point
DÉFINITION
▶ f est continue en un point x0 de Df SSI limx→x0
f (x) = f (x0).
▶ f est continue à droite de x0 de Df SSI limx→x+
0
f (x) = f (x0).
▶ f est continue à gauche de x0 de Df SSI limx→x−0
f (x) = f (x0).
Continuité en x0 Continuité à droite de x058 / 130
Partie Continuité Continuité en un point
Discontinuités
Exemples de discontinuité (1/2)▶ f définie en x0 mais lim
x→x0f (x) ∕= f (x0)
0 1 2 3−1−2−30
1
2
3
−1
−2
−3
FIGURE: Echelon unité
Exemple : Échelon unité (ouFonction de Heaviside)
U(x) =
{1 si x ≥ 00 sinon
▶ non continue en 0▶ continue à droite de 0
Application Electronique :Caractérisation de filtre
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Partie Continuité Continuité en un point
Discontinuités
Exemples de discontinuité (2/2)▶ f définie en x0 mais lim
x→x0f (x) ∕= f (x0)
0 1 2 3−1−2−30
1
2
3
−1
−2
−3
FIGURE: Fonction signe
Exemple : Fonction signe
sign(x) =
⎧⎨⎩ 1 si x > 00 si x = 0−1 si x < 0
▶ non continue en 0, ni à droite,ni à gauche
Application Télécoms :Décision binaire
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Partie Continuité Continuité en un point
Prolongement par continuité
Prolongement par continuité▶ f non définie en x0 mais lim
x→x+0
f (x) = limx→x−0
f (x) = l ∈ IR
0 1−10
1
−1
FIGURE: Sinus cardinal
Exemple : Sinus cardinal
sinc(x) ={ sin(x)
xsi x ∕= 0
1 si x = 0
▶ sin(x)x non continue en 0 (car
non définie)▶ sinc(x) continue en 0, comme
prolongement de sin(x)x par
continuité en 0
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Partie Continuité Ensemble de continuité
Ensemble de continuité
DÉFINITION
L’ensemble de continuité Cf de la fonction f (x) est l’ensemble des xde Df en lesquels f est continue
Remarques : en général, Cf = Df
▶ Les fonctions usuelles (polynômes, inverse, racine carré, fractionrationnelle, sin, cos, tan, ln, expo) sont continues sur leurensemble de définition
▶ L’ensemble de continuité de tout assemblage de fonctionsusuelles se détermine suivant les mêmes règles que l’ensemblede définition
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Partie Continuité Ensemble de continuité
Exercices type
▶ Donner les ensembles de continuité des fonctions suivantes :∙ f : x 7→ ln(x)e−x
∙ g :
{x 7→ 1/x , si x < 1x 7→ 2− x , si x ≥ 1
Méthodologie
1. Si f a une règle de définition unique en fct. de x ,▶ identifier les fonctions usuelles dans f et leurs ensembles de
continuité▶ identifier l’assemblage de fonctions usuelles et appliquer les règles
d’opération sur les fonctions
2. Si f a plusieurs règles de déf. (en fct. de la valeur de x)▶ Analyser la continuité de chaque règle de définition séparément
(cf. cas n˚1)▶ Étudier les limites de f à gauche et à droite des points de césure
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Partie Dérivabilité
Quatrième partie IV
Dérivabilité
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Partie Dérivabilité
Plan
DérivabilitéDérivabilité en un pointNon-dérivabilité
DérivéeEnsemble de dérivabilité et Dérivée
Dérivées usuellesOpérations sur les fonctions
Application : Sens de variationApplication : ExtrêmaDérivées à l’ordre n
DifférentiellesDifférentielle en un pointDéfinitionsChangement de variable
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Partie Dérivabilité Dérivabilité
Dérivabilité en un point
Dérivabilité en un point
DÉFINITIONS
▶ Taux de variation de f entre les points x et a de Df :
Tf (x ,a) =f (x)− f (a)
x − a
▶ f est dérivable en a SSI limx→a
Tf (x ,a) existe et vaut A ∈ IR.
▶ Nombre dérivé de f en a :
A = f ′(a)
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Partie Dérivabilité Dérivabilité
Dérivabilité en un point
Interprétation géométrique
▶ Taux de variationTf (x ,a) = pente de ladroite orientée reliantM(x , f (x)) etM(a, f (a))
▶ Dérivée f ′(a) = pentede la tangente à lacourbe Gf enM(a, f (a))
▶ Equation de latangente à Gf enM(a, f (a)) :y = f ′(a) (x − a)− f (a)
FIGURE: Sécante et Tangente
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Partie Dérivabilité Dérivabilité
Non-dérivabilité
Exemples de non dérivabilité (1/2)▶ f non dérivable ni continue
FIGURE: Partie supérieure
Exemple : Partiesupérieure (ceil)
⌈x⌉ = l’entier directementsupérieur ou égal à x
Application RT : Calculdes notes de DS
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Partie Dérivabilité Dérivabilité
Non-dérivabilité
Exemples de non dérivabilité (2/2)
▶ f non dérivable mais continue
Exemple :
f (x) = 1/3 ∗ ∣x ∣+ x2
Remarques :▶ x → ∣x ∣ non dérivable
en 0▶ Non-dérivabilité ≡
Cassure/Inflexion dansle graphe de la fonction
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Partie Dérivabilité Dérivée
Ensemble de dérivabilité et Dérivée
Ensemble de dérivabilité
DÉFINITION : Ensemble de dérivabilité
L’ensemble de dérivabilité Bf de f (x) est l’ensemble des x de Df enlesquels f est dérivable
Remarques▶ Si f est dérivable en x = a alors f est continue en x = a (Bf ⊂ Cf )▶ f est dérivable sur l’intervalle I si f est dérivable en tout point
x = a de I▶ Avant de calculer une dérivée, il faut déterminer l’ensemble de
dérivabilité
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Partie Dérivabilité Dérivée
Ensemble de dérivabilité et Dérivée
Dérivée
DÉFINITION : Dérivée
La fonction dérivée de f , notée f ′, est la fonction définie par :
f ′ :
{Bf → IRx 7→ f ′(x)
Calcul de dérivée▶ A partir de fonctions usuelles▶ En utilisant les règles de calcul de la dérivée sur un assemblage
de fonction
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Partie Dérivabilité Dérivée
Ensemble de dérivabilité et Dérivée
Dérivées usuelles
Fonctions dérivables usuelles
Fonction f Bf Dérivée
Constante f (x) = k (avec k ∈ IR) IR f ′(x) = 0Monôme f (x) = xn (avec n ∈ IN∗) IR f ′(x) = nx (n−1)
Puissance f (x) = x� (� ∈ R) IR∗+ f ′(x) = �x (�−1)
Racine carrée f (x) =√
x IR∗+ f ′(x) =12
1√
x
Racine n-ième (avec n ∈ IN∗) IR∗+ si n pair f ′(x) =1n
x ( 1n−1)
Inverse f (x) =1x
ℝ∗ f ′(x) = −1x2
f (x) =1xn
ℝ∗ f ′(x) = −n
xn+1
Logarithme népérien f (x) = ln(x) IR∗+ f ′(x) =1x
Exponentielle f (x) = exp(x) IR f ′(x) = exp(x)Cosinus f (x) = cos(x) IR f ′(x) = − sin(x)
Sinus f (x) = sin(x) IR f ′(x) = cos(x)
Tangente f (x) = tan(x) IR ∖{�
2+ k�/k ∈ ZZ
}f ′(x) =
1cos2(x)
= 1 + tan2(x)
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Partie Dérivabilité Dérivée
Ensemble de dérivabilité et Dérivée
Opérations sur les fonctions
Opérations sur les fonctions (1/2)Si f et g sont définies et dérivables au point x , alors les fonctionssuivantes sont dérivables au point x :
Fonction DérivéeSomme f + g (f + g)′(x) = f ′(x) + g′(x)
Opposée −f (−f )′(x) = −f ′(x)
Différence f − g (f − g)′(x) = f ′(x)− g′(x)
Produit fg (fg)′(x) = f ′(x)g(x) + f (x)g′(x)
Amplification �f (�f )′(x) = �f ′(x)(� ∈ ℝ)
Inverse1f
(1f
)′(x) = − f ′(x)
f 2(x)(si f (x) ∕= 0)
Quotientfg
(fg
)′(x) =
f ′(x)g(x)− f (x)g′(x)
g2(x)si g(x) ∕= 0
▶ Même règles pour déterminer l’ensemble de dérivabilité d’unassemblage de fonction que pour l’ensemble de définition
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Partie Dérivabilité Dérivée
Ensemble de dérivabilité et Dérivée
Opérations sur les fonctions
Opérations sur les fonctions (2/2)
Théorème
Si f est définie et dérivable au point x , et g une fonction définie etdérivable en f (x) alors g ∘ f est dérivable au point x et :
Fonction DérivéeComposition g ∘ f (g ∘ f )′(x) = f ′(x)g′ (f (x))
▶ Même règles pour déterminer l’ensemble de dérivabilité d’unassemblage de fonction que pour l’ensemble de définition
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Partie Dérivabilité Dérivée
Ensemble de dérivabilité et Dérivée
Opérations sur les fonctions
Exercices type
▶ Ensemble de dérivabilité et calcul de dérivée
∙ f (x) =12
x2 + 31− x
∙ f (x) = ln(1− xe−x)
Méthodologie
▶ Identifier les fonctions usuelles et leur ensemble de dérivabilité▶ Identifier le (ou les) assemblages de fonctions usuelles et utiliser
les règles correspondantes
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Partie Dérivabilité Dérivée
Application : Sens de variation
Sens de variation
DÉFINITION : Sens de variation
Étant donné deux réelsqcqs, x1 et x2, d’unintervalle I, f est :
▶ croissante sur ISSI Tf (x1, x2) ≥ 0
▶ strict. a croissantesur ISSI Tf (x1, x2) > 0
a. strictementExemple : Dent de scie
Application Electronique
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Partie Dérivabilité Dérivée
Application : Sens de variation
Sens de variation
DÉFINITION : Sens de variation
Étant donné deux réelsqcqs, x1 et x2, d’unintervalle I, f est :
▶ décroissante sur ISSI Tf (x1, x2) ≤ 0
▶ strict. décroissantesur ISSI Tf (x1, x2) < 0
Exemple : Dent de scieApplication Electronique
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Partie Dérivabilité Dérivée
Application : Sens de variation
Formule des accroissements finis
THÉORÈME : Formule des accroissements finis
Soit f une fonction continue sur [a; b] et dérivable sur ]a; b[. Il existeau moins un réel c ∈]a; b[ tel que :
Tf (b,a) =f (b)− f (a)
b − a= f ′(c)
Conséquences :∙ Sens de variation d’une fonction dépendant du signe de la
dérivée∙ Extrêma de la fonction aux points d’annulation et de
changement de signe de la dérivée
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Partie Dérivabilité Dérivée
Application : Sens de variation
Dérivée et sens de variation
THÉORÈME : Sens de variation
Une fonction f dérivable sur I est :▶ croissante sur I SSI ∀x ∈ I, f ′(x) ≥ 0▶ strict. croissante sur I SSI ∀x ∈ I, f ′(x) > 0
▶ décroissante sur I SSI ∀x ∈ I, f ′(x) ≤ 0▶ strct. décroissante sur I SSI ∀x ∈ I, f ′(x) < 0
Etude du sens de variation de f▶ Tableau de variation : ensemble de variation de x (Bf ), signe de
la dérivée f ′(x), variation de f (x)
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Partie Dérivabilité Dérivée
Application : Sens de variation
Exercices type
▶ Déterminer le sens de variation d’une fonction▶ f (x) = 2x − 1− ln(x)
▶ g(x) = 300(x − 6)e−14 x
MÉTHODOLOGIE
▶ Déterminer l’ensemble de dérivabilité de f▶ Calculer sa dérivée f ′ et étudier son signe en fonction de x▶ Tracer le tableau de variation, en déduisant le sens de variation
du signe de la dérivée
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Partie Dérivabilité Dérivée
Application : Extrêma
Extrêma (1/2)
DÉFINITION
Pour un intervalle I, f admet :▶ un minimum m sur I
SSI ∀x ∈ I, f (x) ≥ m▶ un maximum M sur I
SSI ∀x ∈ I, f (x) ≤ M
Remarques :▶ Si I = Df , l’extrêmum est
absolu,▶ Sinon, il est local.
Exemple : f (x) = e−x ( 12 + x3)
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Partie Dérivabilité Dérivée
Application : Extrêma
Extrêma (2/2)
THÉORÈME
▶ Une fonction f , dérivable au voisinage d’un point a, admet unextrêma au voisinage de a si sa dérivée f ′ s’annule en a etchange de signe au voisinage de a.
▶ La nature de l’extrêma dépend des sens de variation
Application Optimisation d’un critère de performance :▶ Gain des révisions de math en fonction du temps :
P(t) = 3t − 0.1t3
▶ Quel est le temps de révision optimal ?
"Toute ressemblance avec des situations réellesou ayant existées serait fortuite"
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Partie Dérivabilité Dérivée
Dérivées à l’ordre n
Dérivées à l’ordre n
Remarques :▶ Si f est dérivable sur B et si sa dérivée f ′ est elle-même dérivable
sur B de dérivée (f ′)′, on dit que f est dérivable à l’ordre 2 et(f ′)′ est la dérivée seconde/deuxième. On la note f ′′ ou f (2).
▶ En généralisant n fois ...
DÉFINITION : Dérivabilité à l’ordre n (n ∈ ℕ∗)
Une fonction f est dérivable à l’ordre n sur B si tous ses dérivéesd’ordre < n existent et sont dérivables sur B. La dérivée à l’ordre nde f est alors :
f (n)(x) =
n fois︷ ︸︸ ︷(...(
(f ′)′ ...)′)′
(x) (1)
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Partie Dérivabilité Dérivée
Dérivées à l’ordre n
Applications : Convexité et concavité
THÉORÈME
Si f est dérivable à l’ordre 2sur B, et :
▶ si ∀x ∈ B, f ′′(x) ≥ 0,alors f est convexe
▶ si ∀x ∈ B, f ′′(x) ≤ 0,alors f est concave
▶ Si f est convexe (resp.concave), f esttoujours au-dessus(resp. au-dessous) deses tangentes
(Pas dans le poly !)
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Partie Dérivabilité Différentielles
Différentielle en un point
Différentielle en un point a
▶ Autre écriture de ladérivée
DÉFINITION
Différentielle de f en a :
df = f ′(a)dx
▶ dx = x − a : variationautour de a a
▶ df : variation de latangente à Gf en aautour de f (a)
a. Le même que pour le calculd’intégrales
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Partie Dérivabilité Différentielles
Différentielle en un point
Différentielle en un point aLien avec la physique
▶ En physique, étude des "petites variations" d’une fonction fautour du point d’équilibre (a, f (a))
Exemple : Le pendule delongueur l0 et de période :T0(l0) = 2�
√l0/g
∙ f (a + �x) = f (a) + �f∙ �x = x − a : petite
variation de x∙ �f = f (x)− f (a) =
Tf (x ,a)�x : petitevariation de f autourde a
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Partie Dérivabilité Différentielles
Différentielle en un point
Différentielle en un point aLien avec la physique
▶ En physique, étude des "petites variations" d’une fonction fautour du point d’équilibre (a, f (a))
Exemple : Le pendule delongueur l0 et de période :T0(l0) = 2�
√l0/g
Si �x ≈ 0
∙ �x → dx∙ Tf (x ,a)→ f ′(a)
∙ �f → df
85 / 130
Partie Dérivabilité Différentielles
Définitions
Définitions
Définitions
▶ Différentielle de f : df : x 7→ f ′(x)dx
▶ Différentielle logarithmique de f :dff
: x 7→ d(ln(∣f ∣))
Conséquences :▶ Toutes les différentielles (de fonctions usuelles et résultants
d’opérations sur les fonctions) se déduisent des dérivées,puisque (si x ∈ Bf ) :
f ′(x) =dfdx
▶
▶ Attention à ne pas oublier le dx ! !
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Partie Dérivabilité Différentielles
Définitions
Opérations sur les fonctions
Fonction DifférentielleSomme f + g d [f + g] = df + dgOpposée −f d [−f ] = −df
Différence f − g d [f − g] = df − dgProduit fg d [fg] = df ⋅ g + f ⋅ dg
Amplification �f (� ∈ IR) d [�f ] = �df
Inverse 1f d
[1f
]= −df
f 2
Quotient fg d
[fg
]=
df ⋅ g − f ⋅ dgg2
ln(f ) d [ln(f )] =dff
exp(f ) d [exp(f )] = exp(f )dff n (avec n ∈ IN∗) d [f n] = nf n−1df
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Partie Dérivabilité Différentielles
Définitions
Exercices type
Exemple : Calcul de la différentielle :∙ f (x) = ln(x)
∙ g(x) = ex (1 + x2)
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Partie Dérivabilité Différentielles
Changement de variable
Changement de variableLe petit + des différentielles
PROPRIÉTÉ : Changement de variable
Soit f une fonction de la variable x avec x , elle-même, une fonctionde la variable t : t 7→ x(t) 7→ f (x) = f (x(t)). Alors
dfdt
=dfdx⋅ dx
dt⇐⇒ df = f ′(x) ⋅ x ′(t) ⋅ dt
▶ Calcul de la différentielle d’une composée beaucoup simple quecelui de la dérivée
▶ df/dx s’interprète comme un quotient
Exemple : f (x) = sin(!x + �) et x(t) =2t
t − 1
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Partie Dérivabilité Différentielles
Changement de variable
Différentielle à l’ordre n
DÉFINITION : Différentielle à l’ordre n
De la même façon qu’une fonction f de la variable x est dérivable àl’ordre n, on peut calculer la différentielle à l’ordre n de f , notée dnf ,en fonction de la différentielle à l’ordre n de x , notée dxn. Elles sontdonnées par :
f (n)(x) =dnfdxn (2)
▶ Attention ! dnf n’est pas une puissance de n
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Partie Etude de fonctions
Cinquième partie V
Etude de fonctions
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Partie Etude de fonctions
Plan
Etude de fonctions : comment tracer le graphe d’unefonction SANS calculatrice
Techniques d’étude de fonctionsMéthodologieEnsemble d’étude
Symétrie graphiqueSens de variationBranches asymptotiquesTransformations géométriques
Quelques fonctions usuellesBijectionFonctions réciproques
PropriétésSinus/ArcsinCosinus/ArccosTangente/Arctan
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Partie Etude de fonctions Techniques d’étude de fonctions
Méthodologie
Méthodologie
1. Déterminer l’ensemble d’étude2. Déterminer le sens de variation3. Etudier les branches asymptotiques4. Tracer le graphe
Exemples :
▶ f (x) =cos(x)
x
▶ g(x) =x2 + x − 2
x − 2
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Partie Etude de fonctions Techniques d’étude de fonctions
Ensemble d’étude
Ensemble d’étude
DÉFINITION
L’ensemble d’étude d’une fonction f , noté Ef , est l’ensemble desréels x en lesquels il convient d’étudier la fonction.
▶ Ef est un sous-ensemble de l’ensemble de définition Df
▶ Ef peut être réduit grace aux symétries graphiques de f
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Partie Etude de fonctions Techniques d’étude de fonctions
Ensemble d’étude
Symétrie graphique
Parité
DÉFINITION
Une fonction f est paireSSI pour tout x ∈ Df :
▶ −x ∈ Df
▶ f (−x) = f (x)
Conséquences▶ Graphe symétrique par
rapport à l’axe (0y)
▶ Ef = {x ∈ Df/x ≥ 0} Exemple : f (x) = x2
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Partie Etude de fonctions Techniques d’étude de fonctions
Ensemble d’étude
Symétrie graphique
Impaire
DÉFINITION
Une fonction f est impaireSSI pour tout x ∈ Df :
▶ −x ∈ Df
▶ f (−x) = −f (x)
Conséquences▶ Graphe symétrique par
rapport au point 0▶ Ef = {x ∈ Df/x ≥ 0} Exemple : f (x) = x3
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Partie Etude de fonctions Techniques d’étude de fonctions
Ensemble d’étude
Symétrie graphique
t-Périodicité et Période T
DÉFINITIONS
∙ f est t-périodique SSI ilexiste t ∈ IR tel que pourtout x ∈ Df :
▶ x + t ∈ Df▶ f (x + t) = f (x)
∙ La période T de f est leplus petit réel positifnon nul tel que l’équationprécédente est satisfaite
Exemple : cos(x) : périodique depériode 2�, 2�-périodique,
4�-périodique, ..., 26�-périodique, ...
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Partie Etude de fonctions Techniques d’étude de fonctions
Ensemble d’étude
Symétrie graphique
t-Périodicité et Période T
Conséquences▶ Motifs dans le graphe, se
répétant périodiquement▶ Ef = tout intervalle de
longueur la période T
Exemple : cos(x) : périodique depériode 2�, 2�-périodique,
4�-périodique, ..., 26�-périodique, ...
97 / 130
Partie Etude de fonctions Techniques d’étude de fonctions
Sens de variation
Sens de variation
▶ Méthodologie :1. Calcul de l’ensemble de dérivation2. Calcul de la dérivée3. Analyse du signe de la dérivée4. Tracer du tableau de variation
▶ Informations supplémentaires : Points caractéristiques +Limites
x −∞ +∞
− +
f(x)
3
f ′(x)
Exemple : f (x) = x2 − 6x + 1
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Partie Etude de fonctions Techniques d’étude de fonctions
Sens de variation
Sens de variation
▶ Méthodologie :1. Calcul de l’ensemble de dérivation2. Calcul de la dérivée3. Analyse du signe de la dérivée4. Tracer du tableau de variation
▶ Informations supplémentaires : Points caractéristiques +Limites
x −∞ +∞
− +
f(x)+∞+∞
3
−8
f ′(x)
Exemple : f (x) = x2 − 6x + 1
98 / 130
Partie Etude de fonctions Techniques d’étude de fonctions
Branches asymptotiques
Asymptotes et branches paraboliques (1/2)
Objectifs▶ Evaluer "comment" une fonction tend vers +∞▶ Direction dominante ?
▶ (0x), (0y)▶ de la forme y = ax + b▶ de la forme y = ax2
99 / 130
Partie Etude de fonctions Techniques d’étude de fonctions
Branches asymptotiques
Asymptotes et branches paraboliques (2/2)
Méthodologie :
Asymptoteoblique
y = ax + b
Brancheparaboliquede direction
y = ax
b ∞
Brancheparabolique
de direction (0y)de direction (0x)
paraboliqueBranche
0a ∕= 0 ∞
l ∞∞
AsymptoteAsymptoteverticale horizontale
limx→a
f (x) limx→∞
f (x)
limx→∞
f (x)x
limx→∞
f (x)− ax
x = a y = l
100 / 130
Partie Etude de fonctions Techniques d’étude de fonctions
Branches asymptotiques
Tracé du graphe
Y a plus qu’à...
101 / 130
Partie Etude de fonctions Techniques d’étude de fonctions
Transformations géométriques
Quelques transformations géométriquesTranslation
Définition :Translation −→u (a, b)
g est la translatée de f par le vecteur −→u (a,b) ssi :
g(x) = f (x − a) + bM(x , y) ∈ Gf ⇐⇒ M(x + a, y + b) ∈ Gg
(3)
FIGURE: Résultat graphique de la translation
102 / 130
Partie Etude de fonctions Techniques d’étude de fonctions
Transformations géométriques
Quelques transformations géométriquesSymétrie centrale
Définition : Symétrie centrale Ω(a, b)
g est la symétrie centrale de centre Ω(a,b) de la fonction f ssi
g(x) = −f (−x + 2a) + 2bM(x , y) ∈ Gf ⇐⇒ M(−x + 2a,−y + 2b) ∈ Gg
(4)
FIGURE: Résultat graphique de la symétrie centrale
103 / 130
Partie Etude de fonctions Techniques d’étude de fonctions
Transformations géométriques
Transformation géométriqueHomothétie
Définition : Homothétie de rapport k dans la direction (Ox)
g est l’homothétie de f de rapport k dans la direction (Ox) ssi :
g(x) = f (kx)M(x , y) ∈ Gf ⇐⇒ M(kx , y) ∈ Gg
(5)
FIGURE: Résultat graphique de l’homothétie
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Partie Etude de fonctions Quelques fonctions usuelles
Bijection
Notion d’injection, de surjection, de bijection
▶ Injection : f est injective SSI les images de 2 éléments différentsde Df sont différentes
▶ Surjection : g est surjective SSI tout élément de Ag possède aumoins un antécédent par g (dans Dg)
▶ Bijection : h est bijective SSI tout élément de Ah possède ununique antécédent par h
R. CHOLLET
C. SICLET
C. BARAS
Y. DELNONDEDIEU
Prog C
Maths
Reseaux
Unix
x yf
105 / 130
Partie Etude de fonctions Quelques fonctions usuelles
Bijection
Notion d’injection, de surjection, de bijection
▶ Injection : f est injective SSI les images de 2 éléments différentsde Df sont différentes
▶ Surjection : g est surjective SSI tout élément de Ag possède aumoins un antécédent par g (dans Dg)
▶ Bijection : h est bijective SSI tout élément de Ah possède ununique antécédent par h
Prog C
Maths
Reseaux
Unix
R. CHOLLET
C. SICLET
C. BARAS
Y. DELNONDEDIEU
x yf
105 / 130
Partie Etude de fonctions Quelques fonctions usuelles
Bijection
Notion d’injection, de surjection, de bijection
▶ Injection : f est injective SSI les images de 2 éléments différentsde Df sont différentes
▶ Surjection : g est surjective SSI tout élément de Ag possède aumoins un antécédent par g (dans Dg)
▶ Bijection : h est bijective SSI tout élément de Ah possède ununique antécédent par h
Prog C
Maths
Reseaux
Unix
R. CHOLLET
C. SICLET
C. BARAS
Y. DELNONDEDIEU
x yh
105 / 130
Partie Etude de fonctions Quelques fonctions usuelles
Bijection
Notion de réciproque▶ La fonction réciproque de f est la fonction inverse f−1 de f
Prog C
Maths
Reseaux
Unix
R. CHOLLET
C. SICLET
C. BARAS
Y. DELNONDEDIEU
x yh
Prog C
Maths
Reseaux
Unix
R. CHOLLET
C. SICLET
C. BARAS
Y. DELNONDEDIEU
x y$h^{−1}$
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Partie Etude de fonctions Quelques fonctions usuelles
Bijection
Bijection
DÉFINITION : Bijection
Une fonction f est une bijection (ou est bijective) de l’intervalleI ⊂ Df vers l’intervalle J ⊂ Af SSI :
▶ pour tout y ∈ J, l’eq. y = f (x) admet une unique solution x .▶ ∀x ∈ I,∃!y ∈ J tel que y = f (x)
THÉOREME : CNS d’existence
Si f est continue et strict. monotone sur I = [a,b], alors f est unebijection de I vers l’intervalle J.
▶ Si f est strict. croissante, J = f ([a,b]) = [f (a), f (b)].▶ Si f est strict. décroissante, J = f ([a,b]) = [f (b), f (a)].
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Partie Etude de fonctions Quelques fonctions usuelles
Fonctions réciproques
Fonction réciproque
DÉFINITION : Fonction réciproque
g est la fonction réciproque (ou inverse) d’une fonction bijective fde I vers J = f (I) SSI :
▶ g est définie en tout point de J▶ pour tout x ∈ Df , y = f (x)⇔ x = g(y)
THEOREME : CNS d’existence
Si f est bijective de I vers J, alors f admet une fonction réciproque, etcette fonction réciproque est unique. On la note f−1.Remarque :
▶ Une fonction f dont le sens de variation change sur IR admet uneréciproque sur chaque intervalle de variation !
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Partie Etude de fonctions Quelques fonctions usuelles
Fonctions réciproques
Propriétés
Propriétés de la réciproque (1/2)
1. Continuité : f−1 est continue sur f (I)2. Sens de variation : f−1 est strictement monotone sur f (I) et de
même sens de variation que la fonction f .3. Outils de calcul :
▶ La composée de la réciproque de f et de f est l’identité :(f−1 ∘ f )(x) = (f ∘ f−1)(x) = x
▶ La réciproque de la réciproque de f est f :(f−1)−1
(x) = f (x)
Exemple : Des réciproques usuelles :▶ exp et ln sur IR∗+▶ x → xn et x → n
√n sur IR+
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Partie Etude de fonctions Quelques fonctions usuelles
Fonctions réciproques
Propriétés
Propriétés de la réciproque (2/2)
4. Graphe : Dans unrepère orthonormé, lesgraphes Gf et Gf−1 de fet f−1 sontsymétriques parrapport à la 1ère
bissectrice du plan,c’est à dire la droited’équation y = x .
Exemple : f (x) = x4 et saréciproque sur IR+ :f−1(x) = x1/4
0 1 2 3 4 5 6 7−1−201
2
3
4
5
6
7
−1
−2
y=x4
y=x
y=x1/4
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Partie Etude de fonctions Quelques fonctions usuelles
Fonctions réciproques
Propriétés
Exercices typeExemples :
▶ Montrer que g(x) = 1 + x est la réciproque de f (x) = x − 1 sur IR
Méthodologie
▶ Montrer que g(f (x)) = f (g(x)) = x
▶ Montrer que f (x) = (x + 1)1/3 + 2 admet une réciproque (sur unintervalle que l’on précisera) et donné l’expression de saréciproque
Méthodologie
▶ Etudier la continuité et le (ou les) sens de variation de f .▶ Poser y = f (x) et manipuler l’équation pour avoir x = g(y). Alors
g = f−1.
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Partie Etude de fonctions Quelques fonctions usuelles
Fonctions réciproques
Sinus/Arcsin
Sinus et Arcsin
0 1 2 3 4−1−2−3−4−501
2
3
4
−1
−2
−3
−4
y=sin(x)
y=x
DÉFINITIONS
Sinus restreint{ [−�2 ; �2
]→ [−1; 1]
x → sin(x)
Arcsinus{[−1; 1]→
[−�2 ; �2
]x → Arcsin(x)
Remarques :∙ Sinus restreint et Arcsinus sont réciproques.∙ Arcsinus est continue sur [−1; 1]∙ sin(x) ∼0 x , Arcsin(x) ∼0 x
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Partie Etude de fonctions Quelques fonctions usuelles
Fonctions réciproques
Sinus/Arcsin
Sinus et Arcsin
0 1.5708−1.57080
1.5708
−1.5708
y=sin(x)
y=x
y=Arcsin(x)
DÉFINITIONS
Sinus restreint{ [−�2 ; �2
]→ [−1; 1]
x → sin(x)
Arcsinus{[−1; 1]→
[−�2 ; �2
]x → Arcsin(x)
Remarques :∙ Sinus restreint et Arcsinus sont réciproques.∙ Arcsinus est continue sur [−1; 1]∙ sin(x) ∼0 x , Arcsin(x) ∼0 x
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Partie Etude de fonctions Quelques fonctions usuelles
Fonctions réciproques
Cosinus/Arccos
Cosinus et Arccos
0 1 2 3 4−1−2−3−4−501
2
3
4
−1
−2
−3
−4
y=cos(x)
y=x
DÉFINITIONS
Cosinus restreint{[0;�]→ [−1; 1]x → cos(x)
Arccosinus{[−1; 1]→ [0;�]x → Arccos(x)
Remarques :∙ Cosinus restreint et Arccos sont réciproques.∙ Arccosinus est continue sur [−1; 1].∙ sin(x) ∼0 x , Arcsin(x) ∼0 x .
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Partie Etude de fonctions Quelques fonctions usuelles
Fonctions réciproques
Cosinus/Arccos
Cosinus et Arccos
0 1.5708 3.1416−1.57080
1.5708
3.1416
y=cos(x)
y=x
y=Arccos(x)
DÉFINITIONS
Cosinus restreint{[0;�]→ [−1; 1]x → cos(x)
Arccosinus{[−1; 1]→ [0;�]x → Arccos(x)
Remarques :∙ Cosinus restreint et Arccos sont réciproques.∙ Arccosinus est continue sur [−1; 1].∙ sin(x) ∼0 x , Arcsin(x) ∼0 x .
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Partie Etude de fonctions Quelques fonctions usuelles
Fonctions réciproques
Tangente/Arctan
Tangente et Arctan
0 1 2 3 4 5 6 7 8−1−2−3−4−5−6−7−8−9012345678
−1−2−3−4−5−6−7−8−9
y=tan(x)
y=x
Définitions
Tangente restreinte{ [−�2 ; �2
]→ [−1; 1]
x → tan(x) = sin(x)cos(x)
Arctangente{[−1; 1]→
[−�2 ; �2
]x → Arctan(x)
Remarques :∙ Tan restreinte et Arctan sont reciproques.∙ Arctan est continue sur ℝ.∙ tan(x) ∼0 x , Arctan(x) ∼0 x .
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Partie Etude de fonctions Quelques fonctions usuelles
Fonctions réciproques
Tangente/Arctan
Tangente et Arctan
0 1.57083.14164.7124−1.5708−3.1416−4.71240
1.5708
3.1416
4.7124
−1.5708
−3.1416
−4.7124
y=tan(x)
y=xy=Arctan(x)
Définitions
Tangente restreinte{ [−�2 ; �2
]→ [−1; 1]
x → tan(x) = sin(x)cos(x)
Arctangente{[−1; 1]→
[−�2 ; �2
]x → Arctan(x)
Remarques :∙ Tan restreinte et Arctan sont reciproques.∙ Arctan est continue sur ℝ.∙ tan(x) ∼0 x , Arctan(x) ∼0 x .
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Partie Etude de fonctions Quelques fonctions usuelles
Fonctions réciproques
Tangente/Arctan
Exercices type
Exemple : Que vaut :▶ Arccos(cos(7�/3))
▶ sin(Arcsin(1/2))
▶ Arctan(tan(3�/4))
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Partie Développements limités (DLs)
Sixième partie VI
Développements limités (DLs)
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Partie Développements limités (DLs)
Plan
Introduction
Notion de négligeabilité
Développement limitéDéfinitionInterprétation graphiqueDL usuelsOpérations sur les DLsDéveloppements limités et limites
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Partie Développements limités (DLs) Introduction
Principe des DLs
▶ Etude locale d’une fonction, c’est à dire en un point a,généralement en a = 0
▶ Approximation (de plus en plus précise) par une fonction "plussimple"
▶ Equivalent en 0 :Exemple : tan(x) ∼
x→0x
▶ DL en 0 : Polynôme + une fonction (non spécifiée) négligeabledevant un monôme
Exemples :
tan(x) = x +x3
3+ o(x3) (à l’ordre 3)
tan(x) = x +x3
3+
2x5
15+ o(x5) (à l’ordre 5)
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Partie Développements limités (DLs) Notion de négligeabilité
Négligeabilité
DÉFINITION : Négligeabilité devant un monôme en 0
Une fonction f est négligeable devant le monôme xn (avec n ∈ IN) auvoisinage de 0 SSI :
▶ f est définie au voisinage de 0
▶ limx→0
f (x)
xn = 0
Notation : f (x) = o (xn)
Remarque▶ o(xn) désigne une fonction de x (non explicitée) négligeable
devant la fonction xn
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Partie Développements limités (DLs) Notion de négligeabilité
Propriétés de négligeabilité
Au voisinage de 0,
1. Négligeabilité des monômes▶ xm = o(xn) si m > n▶ o(xm) + o(xn) = o(xp) avec p = min(m, n)
2. Négligeabilité par rapport à 1
▶ Si f (x) = o(1), alors simplement limx→0
f (x)
1= 0
3. Produit et quotient de fonctions et de monômes▶ Si f (x) = o(xm), alors f (x).xn = o(xm).xn = o(xm+n)
▶ Si f (x) = o(xm), alors pour m ≥ n,f (x)
xn =o(xm)
xn = o(xm−n)
4. Négligeabilité et signe▶ o(xn) = −o(xn)
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Partie Développements limités (DLs) Développement limité
Définition
Développement limité (DL) à l’ordre n
DÉFINITION : DL à l’ordre n
f admet un développement limité à l’ordre n au voisinage de 0 s’ilexiste un polynôme Pn(x) = a0 + a1x + ...+ anxn de degré au pluségal à n (avec a0,a1, ...,an ∈ IR) tel que :
f (x) = Pn(x) + o (xn) ,
où o(xn) désigne une fonction (non spécifiée) négligeable devant xn.
PROPRIÉTÉ
S’il existe ce DL est unique.
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Partie Développements limités (DLs) Développement limité
Définition
Calcul de DL
FORMULE DE TAYLOR-YOUNG pour les DL en 0
Une fonction f définie et dérivable n fois en 0 admet un (unique) DL àl’odre n en 0, donné par :
f (x) = f (0) + f ′(0)x +f ′′(0)
2!x2 + ...+
f (n)(0)
n!xn + o (xn) ,
où n! est la factorielle de n :{n! = 1× 2× ...× (n − 1)× n , si n ∕= 00! = 1
Exemple : DL de ex à l’ordre 5
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Partie Développements limités (DLs) Développement limité
Interprétation graphique
Interprétation numérique et graphique
Exemple :⎧⎨⎩ f (x) =1
1 + x= Pn(x) + o(xn)
avecPn(x) = 1− x + x2− x3 + ...+ (−1)nxn
▶ P0(x) = 1▶ P1(x) = 1− x▶ P2(x) = 1− x + x2
▶ P3(x) = 1− x + x2 − x3
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Partie Développements limités (DLs) Développement limité
DL usuels
Développements limités usuels (1/3)
▶ Puissance :▶ (1 + x)� =
1 + �x +�(�− 1)
2!x2 + ...+
�(�− 1) . . . (�− n + 1)
n!xn + o(xn)
▶ Inverse :▶
11 + x
= 1− x + x2 − x3 + . . .+ (−1)nxn + o(xn)
▶1
1− x= 1 + x + x2 + x3 + . . .+ xn + o(xn)
▶1
(1− x)2 = 1 + 2x + 3x2 + 4x3 + 5x4 + . . .+ (n + 1)xn + o(xn)
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Partie Développements limités (DLs) Développement limité
DL usuels
Développements limités usuels (2/3)
▶ Logarithme :
▶ ln(1 + x) = x − x2
2+
x3
3+ . . .+
(−1)n+1
nxn + o(xn)
▶ ln(1− x) = −x − x2
2− x3
3− . . .− xn
n+ o(xn)
▶ ln(
1 + x1− x
)= 2x +
23
x3 +25
x5 + . . .+2
2p + 1x2p+1 + o(x2p+1)
▶ Exponentielle :
▶ ex = 1 + x +x2
2+
x3
6+ . . .+
1n!
xn + o(xn)
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Partie Développements limités (DLs) Développement limité
DL usuels
Développements limités usuels (3/3)
▶ Trigonométrie :
▶ sin(x) = x − x3
6+
x5
120− . . .+
(−1)p
(2p + 1)!x2p+1 + o(x2p+1)
▶ cos(x) = 1− x2
2+
x4
24− . . .+
(−1)p
(2p)!x2p + o(x2p)
▶ tan(x) = x +x3
3+
2x5
15+ o(x5)
▶ arctan(x) = x − x3
3+
x5
120+ o(x5)
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Partie Développements limités (DLs) Développement limité
Opérations sur les DLs
Opérations sur les DLsPour f (x) = Pn(x) + o(xn) et g(x) = Qn(x) + o(xn) :
DL Polynôme du DL
(f + g)(x) = Sn(x) + o(xn) Sn(x) = Pn(x) + Qn(x) tronqué àl’ordre n
(fg)(x) = Sn(n) + o(xn) Sn(x) = Pn(x).Qn(x) tronqué àl’ordre n(
fg
)(x) = Sn(x) + o(xn) Sn(x) s’obtient par division (polyno-
mial) suivant les puissances crois-santes de Pn(x) par Qn(x) tronquéà l’ordre n
(f ∘ g)(x) = g(f (x)) = Sn(x) + o(xn) Sn(x) = Qn(Pn(x)) avec troncatureà l’ordre n
(∫
x f ) = Sn(x) + o(xn) Sn(x) =∫
x Pn puis troncature àl’ordre n
f ′(x) = Sn(x) + o(xn) Sn(x) = P′n+1(x) (où Pn+1(x) est lepolynôme du DL de f à l’ordre n +1)
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Partie Développements limités (DLs) Développement limité
Opérations sur les DLs
Exercices type
Exemple : Ecrire les DL suivants :▶ DL à l’ordre 3 de f (x) = cos(x) + sin(x)
▶ DL à l’ordre 2 de f (x) = ex . cos(x)
▶ DL à l’ordre 2 de f (x) =ln(1 + x)
cos(x)
▶ DL à l’ordre 3 de f (x) = ln(1 + sin(x))
▶ DL à l’ordre 3 de f (x) =1
(1 + x)2
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Partie Développements limités (DLs) Développement limité
Développements limités et limites
DL et limites
THÉOREME : DLet limite
Si une fonction f admet un DL en 0 à l’ordre n de la formePn(x) + o(xn) où Pn(x) est un polynôme de degré n, alors :
limx→0
f (x) = limx→0
Pn(x)
Exemple : f (x) =ln(1− x)
x
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Partie Développements limités (DLs) Développement limité
Développements limités et limites
The end
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