Math ematiques pour les Sciences de la Vie BIO1004L · MathSV-Analyse Math ematiques pour les...

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MathSV-Analyse Math´ ematiques pour les Sciences de la Vie BIO1004L Analyse Marc Bailly-Bechet, tr` es largement inspir´ e de Sylvain Mousset Universit´ e Claude Bernard Lyon I – France [email protected] 1 [email protected] MathSV-Analyse

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MathSV-Analyse

Mathematiques pour les Sciences de la VieBIO1004L

Analyse

Marc Bailly-Bechet, tres largement inspire de Sylvain Mousset

Universite Claude Bernard Lyon I – France

[email protected]

1 [email protected] MathSV-Analyse

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MathSV-Analyse

Quelques ressources pour travailler l’analyse

En ligne :

http://yallouz.arie.free.fr/index.php

http://www.academie-en-ligne.fr/Lycee/Ressources.

aspx?PREFIXE=AL7MA02

http://xmaths.free.fr/TS/cours/index.php

A la BU : 2eme etage, cote 570 et 4eme etage, cote 519.

2 [email protected] MathSV-Analyse

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MathSV-Analyse

Etude de fonctions

Table des matieres

1 Etude de fonctions

2 Integration

3 Modelisation et equations differentielles

3 [email protected] MathSV-Analyse

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MathSV-Analyse

Etude de fonctions

Graphe d’une fonction

Le graphe d’une fonction f dans un repere cartesien (Ox ,Oy) estl’ensemble des points de coordonnees (x , f (x)) avec x ∈ Df .

f : x 7→√

1

x − 1

0 2 4 6 8

0

2

4

6

8

x

f(x)

4 [email protected] MathSV-Analyse

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MathSV-Analyse

Etude de fonctions

Parite : fonction paire

Soit f : Df → R une fonction reelle d’une variable reelle.

f est paire si et seulement si

∀x ∈ Df , (−x) ∈ Df

∀x ∈ Df , f (−x) = f (x)

Exemple : f (x) = x2

−4 −2 0 2 4

0

5

10

15

x

x^2

5 [email protected] MathSV-Analyse

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MathSV-Analyse

Etude de fonctions

Parite : fonction impaire

Soit f : Df → R une fonction reelle d’une variable reelle.

f est impaire si et seulement si

∀x ∈ Df , (−x) ∈ Df

∀x ∈ Df , f (−x) = −f (x)

Exemple : f (x) = x3

−4 −2 0 2 4

−60

−40

−20

0

20

40

60

x

x^3

6 [email protected] MathSV-Analyse

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MathSV-Analyse

Etude de fonctions

Periodicite

Soit f : Df → R une fonction reelle d’une variable reelle.

f est periodique de periode p siet seulement si

∀x ∈ Df , (x + p) ∈ Df

∀x ∈ Df , f (x + p) = f (x)

Exemple : f (x) = cos x est paireet periodique de periode 2π

−6 −4 −2 0 2 4 6

−1.0

−0.5

0.0

0.5

1.0

x

cos(

x)

7 [email protected] MathSV-Analyse

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MathSV-Analyse

Etude de fonctions

Limite finie en a

Soit f une fonction definie sur un domaine Df ⊂ R, et a ∈ R.f admet une limite finie l ∈ R en a si et seulement si

Si a ∈ Df ,lim

x→a−f (x) = lim

x→a+f (x) = f (a) = l .

Si a /∈ Df ,lim

x→a−f (x) = lim

x→a+f (x) = l .

On peut prolonger f par continuiteen ecrivant f (a) = l .

On note alors

limx→a

f (x) = l−1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0

−1.0

−0.5

0.0

0.5

1.0

xx2 si

n(10

0x)

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MathSV-Analyse

Etude de fonctions

Continuite

−2 −1 0 1 2

−3

−2

−1

0

1

2

3

La fonction f(x)= x2 − 3x

x

f(x)

−2 −1 0 1 2

−3

−2

−1

0

1

2

3

La fonction partie entière

x

E(x

)

Exemple : x 7→ E (x) est continue sur les intervalles[n, n + 1[, n ∈ Z, mais discontinue pour tout n ∈ Z.

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MathSV-Analyse

Etude de fonctions

Theoreme des valeurs intermediaires

Soit f une fonction continuesur un intervalle [a, b], tel quef ([a, b]) = [c, d ].∀y ∈ [c, d ], ∃x ∈[a, b], f (x) = y .

Exemple : f : x 7→ xex surl’intervalle [0, 1], existe-t-ilx ∈ [0, 1] tel que f (x) = 1 ?

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

x

xexp

(x)

y = 1y = xexp(x)

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MathSV-Analyse

Etude de fonctions

Limite infinie en a

−2 −1 0 1 2

0

2

4

6

8

10

x

1x

−2 −1 0 1 2

−10

−5

0

5

10

x

1x

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MathSV-Analyse

Etude de fonctions

Limite finie en +∞ (ou −∞)

Soit f une fonction definie sur un domaine Df ⊂ R.f admet une limite finie l ∈ R en +∞ si et seulement si

Lorsque x → +∞, f (x)→ l

Mathematiquement, ceci s’ecrit∀ε > 0, ∃α ∈ R,(x ∈]α,+∞[⇒ f (x) ∈ [l − ε, l + ε])On note alors

limx→+∞

f (x) = l0 50 100 150

0.5

1.0

1.5

xex

p(x

20)s

in(x

)

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MathSV-Analyse

Etude de fonctions

Limite infinie en +∞ (ou −∞)

Soit f une fonction definie sur un domaine Df ⊂ Rf admet pour limite +∞ en +∞ si et seulement si

f (x)→ +∞ lorsque x → +∞Mathematiquement, cette conditions’ecrit∀y > 0, ∃x0 ∈ R,(x ∈ [x0,+∞[⇒ f (x) ∈ [y ,+∞[)On note alors

limx→+∞

f (x) = +∞ 0 20 40 60 80 100

0

2000

4000

6000

8000

10000

xx2

13 [email protected] MathSV-Analyse

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MathSV-Analyse

Etude de fonctions

Mefiez-vous de vos calculatrices

Exemple : La fonction x 7→ x sin(ln(x)) n’admet pas de limite en+∞.

0 200 400 600 800 1000

−200

0

200

400

600

x

xsin

(log(

x))

0e+00 2e+04 4e+04 6e+04 8e+04 1e+05

−80000

−60000

−40000

−20000

0

x

xsin

(log(

x))

14 [email protected] MathSV-Analyse

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Etude de fonctions

Asymptote oblique

Exemple : f (x) = 2x2+4x−3x+2

−8 −6 −4 −2 0 2 4

−10

−5

0

5

10

x

f(x)

y=2x

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MathSV-Analyse

Etude de fonctions

Regles sur les limites

limx→a

f (x) limx→a

g(x) limx→a

(f + g)(x) limx→a

(fg)(x) limx→a

f

g(x) lim

x→ag ◦ f (x)

λ 6= 0 µ 6= 0 λ+ µ λµ λµ

limx→λ

g(x)

λ 6= 0 0 λ 0 F.I. λ0

limx→λ

g(x)

λ 6= 0 ±∞ ±∞ ±∞ 0 limx→λ

g(x)

0 µ 6= 0 µ 0 0 limx→0

g(x)

0 0 0 0 F.I. 00

limx→0

g(x)

0 ±∞ ±∞ F.I. 0×∞ 0 limx→0

g(x)

±∞ µ 6= 0 ±∞ ±∞ ±∞ limx→±∞

g(x)

±∞ 0 ±∞ F.I 0×∞ F.I. ±∞0

limx→±∞

g(x)

±∞ ±∞ F.I. ∞−∞ ±∞ F.I. ±∞±∞ limx→±∞

g(x)

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MathSV-Analyse

Etude de fonctions

Formes indeterminees

λ

0

0

00×∞ ∞−∞ ∞

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MathSV-Analyse

Etude de fonctions

Taux d’accroissement et fonction derivee

Soit f : Df → R une fonction reelle d’une variable reelle, x ∈ Df eth ∈ R.

Le taux d’accroissementde f entre x et x + h est

∆f

∆x=

f (x + h)− f (x)

x + h − x

On note quand elle existe

f ′(x) = limh→0

f (x + h)− f (x)

h

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

x

x22

x x + h

f(x)f

(x+

h)

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MathSV-Analyse

Etude de fonctions

Derivees usuelles

f (x) = k ou k ∈ R ⇒ f ′(x) = 0

f (x) = ex ⇒ f ′(x) = ex

f (x) = ln x ⇒ f ′(x) =1

x

f (x) = ax ⇒ f ′(x) = ax ln a

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MathSV-Analyse

Etude de fonctions

Derivees usuelles : puissances de x

f (x) = xn ou n ∈ R∗, f ′(x) = nxn−1

n = 1 f (x) = x ⇒ f ′(x) = 1

n = −1 f (x) = 1x ⇒ f ′(x) = − 1

x2

n = 12 f (x) =

√x ⇒ f ′(x) =

1

2√

x

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MathSV-Analyse

Etude de fonctions

Derivees usuelles : fonctions trigonometriques

f (x) = sin x ⇒ f ′(x) = cos x

f (x) = cos x ⇒ f ′(x) = − sin x

f (x) = tan x ⇒ f ′(x) =1

cos2 x

21 [email protected] MathSV-Analyse

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MathSV-Analyse

Etude de fonctions

Extremum local

Soient a ∈ R et f une fonctioncontinue derivable sur voisinagede a, telle que

f ′(a) = 0

f ′(x) change de signe en a.

Alors f possede un extremumlocal en a.Exemple :f (x) = 1− x2 ⇒ f ′(x) = −2x

−1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0

−2

−1

01

2

x

y

y = 1 − x2

y = − 2x

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MathSV-Analyse

Etude de fonctions

Convexite

Soit f une fonction derivable deux foissur I .Si ∀x ∈ I , f ′′(x) > 0, alors la courberepresentative de f est convexe sur I .Exemple : f : x 7→ x2

Moyen mnemotechnique : conVexe

−1.5 −1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0 1.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

x

y=

x2

23 [email protected] MathSV-Analyse

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MathSV-Analyse

Etude de fonctions

Concavite

Soit f une fonction derivable deux foissur I .Si ∀x ∈ I , f ′′(x) < 0, alors la courberepresentative de f est concave sur I .Exemple : f : x 7→ 1− x2

Moyen mnemotechnique : concAve

−1.5 −1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0 1.5

−1.

0−

0.5

0.0

0.5

1.0

x

y=

x2

24 [email protected] MathSV-Analyse

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MathSV-Analyse

Etude de fonctions

Et si f ′′(x) = 0 ?

Soit f une fonction derivable deux foissur un voisinage de a ∈ R.Si f ′(a) = 0 et f ′′(a) = 0 alors lacourbe representative de f n’a niminimum, ni maximum en a.Exemple : f (x) = x3 ⇒ f ′′(x) = 6x

−1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0

−1.

0−

0.5

0.0

0.5

1.0

x

y=

x3

25 [email protected] MathSV-Analyse

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MathSV-Analyse

Etude de fonctions

Points d’inflexion

Soit f une fonction derivable deux foissur un voisinage de a ∈ R.Si f ′′(a) = 0, alors la courberepresentative de f presente un pointd’inflexion en a.Exemple : f (x) = x + x3 ⇒ f ′′(x) = 6x

−1.0 −0.5 0.0 0.5 1.0

−2

−1

0

1

2

x

y=

x+

x3

26 [email protected] MathSV-Analyse

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MathSV-Analyse

Etude de fonctions

Equation de la tangente

Soit f : Df → R une fonction reelle d’une variable reelle derivableen x0 ∈ Df .

L’equation de la tangente a lacourbe representative de lafonction f en x0 est :

y = f (x0) + (x − x0)× f ′(x0)

Exemple : La tangente a lacourbe de f : x 7→ 1

2 x2 en x0 = 1a pour equationy = 1

2 + 1× (x − 1) = x − 12 .

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

x

x22

x x + h

f(x)f

(x+

h)

y=x − 1 2

27 [email protected] MathSV-Analyse

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MathSV-Analyse

Etude de fonctions

Theoreme de Rolle

Soit f une fonction

continue sur un intervalle [a, b],

derivable sur [a, b]

telle que f (a) = f (b),

alors ∃x ∈]a, b[, f ′(x) = 0.Exemple : f : x 7→ x(1− x)ex sur [0, 1].Il existe x ∈]0, 1[ tel que f ′(x) = 0.

0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

x

x(1

−x)

exp(

x)

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MathSV-Analyse

Etude de fonctions

Theoreme des accroissements finis

Soit f une fonction

continue sur un intervalle[a, b],

derivable sur [a, b]

alors

∃x ∈ [a, b], f ′(x) =f (b)− f (a)

b − a.

Exemple : f : x 7→ x sin x sur[0, 3π

2

].

Il existe x ∈]0, 1[ tel quef ′(x) = −1. 0 1 2 3 4

−4

−2

02

4

x

xsin

(x)

3π 2

29 [email protected] MathSV-Analyse

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MathSV-Analyse

Etude de fonctions

Exponentielle et logarithme

f (x) = ex f (x) = ln(x)

−4 −2 0 2 4

0

50

100

150

x

ex

7.38

9

0 2 4 6 8 10

−4

−3

−2

−1

0

1

2

x

log(

x)

7.389

30 [email protected] MathSV-Analyse

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Integration

Table des matieres

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2 Integration

3 Modelisation et equations differentielles

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Integration

Aire sous une courbe A

(b − a)f (a) ≤ A ≤ (b − a)f (b)

a b

f(a)

f(b)

a b

f(a)

f(b)

a b

f(a)

f(b)

32 [email protected] MathSV-Analyse

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MathSV-Analyse

Integration

Lien entre integrale et somme

Calculer l’aire A delimitee par la courbe d’une fonction continue fayant pour primitive F entre x = a et x = b.

On decoupe l’aire en n intervallesde taille constante ∆x = a−b

n

On peut ecrire

n∑k=1

∆x f (xk) ≤ A ≤n∑

k=1

∆x f (xk+∆x)

Lorsque n→∞, ces sommesconvergent vers∫ b

af (x) dx = [F (x)]ba = F (b)−F (a)

0.0 0.5 1.0 1.5

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

x

y=

sin(

x)

33 [email protected] MathSV-Analyse

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MathSV-Analyse

Integration

Lien entre integrale et somme

Calculer l’aire A delimitee par la courbe d’une fonction continue fayant pour primitive F entre x = a et x = b.

On decoupe l’aire en n intervallesde taille constante ∆x = a−b

n

On peut ecrire

n∑k=1

∆x f (xk) ≤ A ≤n∑

k=1

∆x f (xk+∆x)

Lorsque n→∞, ces sommesconvergent vers∫ b

af (x) dx = [F (x)]ba = F (b)−F (a)

0.0 0.5 1.0 1.5

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

10 intervalles

x

y=

sin(

x)

33 [email protected] MathSV-Analyse

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MathSV-Analyse

Integration

Lien entre integrale et somme

Calculer l’aire A delimitee par la courbe d’une fonction continue fayant pour primitive F entre x = a et x = b.

On decoupe l’aire en n intervallesde taille constante ∆x = a−b

n

On peut ecrire

n∑k=1

∆x f (xk) ≤ A ≤n∑

k=1

∆x f (xk+∆x)

Lorsque n→∞, ces sommesconvergent vers∫ b

af (x) dx = [F (x)]ba = F (b)−F (a)

0.0 0.5 1.0 1.5

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

20 intervalles

x

y=

sin(

x)

33 [email protected] MathSV-Analyse

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MathSV-Analyse

Integration

Lien entre integrale et somme

Calculer l’aire A delimitee par la courbe d’une fonction continue fayant pour primitive F entre x = a et x = b.

On decoupe l’aire en n intervallesde taille constante ∆x = a−b

n

On peut ecrire

n∑k=1

∆x f (xk) ≤ A ≤n∑

k=1

∆x f (xk+∆x)

Lorsque n→∞, ces sommesconvergent vers∫ b

af (x) dx = [F (x)]ba = F (b)−F (a)

0.0 0.5 1.0 1.5

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

50 intervalles

x

y=

sin(

x)

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Integration

Valeur moyenne

Soit f une fonction continue sur [a, b].

La valeur moyenne de f sur [a, b]est

1

b − a

∫ b

af (x) dx

Exemple : C (t) = C0e−λt

1

τ

∫ τ

0C0e−λt dt =

C0

τ

[− 1

λe−λt

]τ0

=C0

λτ

(1− e−λτ

)0 1 2 3 4

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

x

y=

C0e

xp(−

λt)

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Modelisation et equations differentielles

Table des matieres

1 Etude de fonctions

2 Integration

3 Modelisation et equations differentielles

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Modelisation et equations differentielles

Utilite des modeles en biologie

Les modeles sont utiles :

Tester des hypotheses sans risque (traitementmedicamenteux. . . )

Predire des performances dans des conditions testables ou non

Les modeles sont limites :

Modele mathematique simple ↔ Modele non realiste

Modele realiste ↔ Parametres trop nombreux

Modele simpliste conclusion irrealiste

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Modelisation et equations differentielles

Bon ou mauvais modele ? Comparer avec les donnees !

●●

2 4 6 8 10

0

5

10

15

20

Modèle correct

t

Nt

●●

2 4 6 8 10

0

5

10

15

20

Modèle moins correct

t

Nt

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Modelisation et equations differentielles

Histoire du calcul differentiel

La notion d’equation differentielle apparaıt a la fin du XVIIeme

siecle.

Decouverte du calcul differentiel et integral par Newton etLeibnitz (1686)

Premieres applications en mecanique ou geometrie

Au XXeme siecle, nombreuses applications en biologie

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Modelisation et equations differentielles

Conditions initiales

y ′ = λy

y(x) = Keλx K ∈ R

0 2 4 6 8 10

0

5

10

15

20

λ=0.3

x

y(x)

K=1K=2K=0.5

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Modelisation et equations differentielles

Un exemple : modele logistique

dN

dt= rN

(1− N

K

)

N(t) =N0K

N0 + (K − N0)e−rt

Graphiquement, avec r > 0 etK = 100 :

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