UNIVERSITE TOULOUSE III-Paul Sabatier
THESE
en vue de l’obtention de
Doctorat de l'Université de Toulouse
délivré par l’Université TOULOUSE III-Paul Sabatier
Discipline : AUTOMATIQUE
présentée et soutenue
Par
Yaman JANAT
le 30 novembre 2007
COMMANDE CRONE MONOVARIABLE ET MULTIVARIABLE
DE SYSTEMES PEU AMORTIS
Directeur de thèse : M. Alain OUSTALOUP
Co-directrice de thèse : Mme
Valérie BUDINGER
JURY :
M. Luc DUGARD Président
M. Jean-Claude TRIGEASSOU Rapporteur
M. Mohammed MSAAD Rapporteur
M. Boutaib DAHHOU Examinateur
M. Alain OUSTALOUP Directeur de thèse
Mme
Valérie BUDINGER Co-directrice de thèse
Remerciements
Je remercie particulièrement mon directeur de thèse Monsieur le Professeur
Alain OUSTALOUP et ma Co-Directrice de thèse Madame Valérie POMMIER-
BUDINGER, pour leurs nombreux conseils, leurs encouragements et pour la
confiance qu’ils m’ont accordée durant toutes les étapes de cette thèse.
Je remercie Monsieur Patrick LANUSSE, Maître de Conférences à l’Université
de Bordeaux I, pour m’avoir fourni des informations utiles, lors de nos réunions
d’avancement et d’orientations.
Je tiens à remercier Monsieur Claude Nouals, Directeur du Département
Avionique et Systèmes de l’ENSICA, pour m’avoir accueilli dans son laboratoire.
Je remercie vivement Messieurs Jean-Claude TRIGEASSOU et Mohammed
MSAAD d’avoir accepté la charge de rapporteur de cette thèse.
Je remercie Messieurs Jacques BERNUSSOU, Boutaib DAHHOU et Luc
DUGARD pour avoir bien voulu me faire l’honneur de participer à ce jury.
Mes remerciements vont ensuite à tout le personnel du laboratoire
d’Avionique et Systèmes de l’ENSICA et plus particulièrement à Madame Françoise
Desperon et Messieurs Mohammad-Zied AMRA et Joël Bordeneuve-Guibé pour
l’aide qu’ils m’ont apportée lors de ce travail. J’ai été bien ravi de travailler au sein de
cette équipe dynamique et chaleureuse.
Je remercie du fond du coeurs ma famille ici en France et en Syrie pour leur soutien et leur amour qui m’ont encouragé au long de ma vie.
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Sommaire
Introduction générale et organisation de la thèse .............................................................. 15
Chapitre 1 : Procédés d’étude ............................................................................................ 21
1.1 - Introduction .................................................................................................... 21
1.2 - Matériaux pour le contrôle actif ..................................................................... 21
1.2.1 – Alliages à mémoire de forme .............................................................. 21
1.2.2 – Matériaux magnétostrictifs ................................................................. 22
1.2.3 – Matériaux piézoélectriques ................................................................. 23
1.3 - Dimensionnement d’une structure active à base de céramiques
piézoélectriques ............................................................................................... 24
1.3.1 – Modélisation de la structure active ..................................................... 25
1.3.2 – Utilisation des paramètres électromécaniques pour le dimensionnement
d’une structure .................................................................................... 27
1.3.2.1 – Calcul de l’amplitude vibratoire par rapport à la contrainte du
champ électrique maximal ......................................................... 28
1.3.2.2 – Calcul de l’amplitude vibratoire par rapport aux contraintes
mécaniques (rupture des céramiques piézoélectriques) .............. 29
1.3.2.3 – Résultat final : amplitude vibratoire en tenant compte des
contraintes électriques, mécaniques et des incertitudes de la
méthode .................................................................................... 29
1.4 – Présentation des procédés d’étude de la thèse ................................................ 29
1.4.1 – Poutre encastrée-libre ......................................................................... 29
1.4.2 – Aile d’avion avec réservoir ................................................................. 32
1.5 Conclusion ........................................................................................................ 35
Chapitre 2 : Contours d’isoamortissement ........................................................................ 37
2.1- Introduction .................................................................................................... 37
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2.2 - Degré de stabilité ............................................................................................ 38
2.2.1 - Espace des temps ................................................................................ 38
2.2.2 - Espace des fréquences ......................................................................... 40
2.3 - Contours de performance ................................................................................ 44
2.3.1 - Enveloppe de gabarits généralisés comme contour de performance ..... 44
2.3.2 - Gabarit généralisé et intégration non entière complexe ........................ 45
2.4 - Construction des contours d’isoamortissement................................................ 48
2.5 - Expression analytique des contours ................................................................ 53
2.5.1 – Equation du contour ........................................................................... 53
2.5.2 – Equation de la tangente ...................................................................... 54
2.6 – Conclusion ..................................................................................................... 55
Chapitre 3 : Commande CRONE monovariable de systèmes peu amortis ...................... 57
3.1 – Introduction ................................................................................................... 57
3.2 – Principe de la commande CRONE .................................................................. 58
3.2.1 – Introduction à la commande CRONE ................................................. 58
3.2.1.1 – Principe de la commande CRONE de première génération........ 58
3.2.1.2 – Principe de la commande CRONE de deuxième génération ...... 59
3.2.1.3 – Principe de la commande CRONE de troisième génération ....... 60
3.3 – Développement calculatoire relatif à la commande CRONE de troisième
génération ........................................................................................................ 62
3.3.1 – Forme générale ................................................................................... 62
3.3.2 - Transmittance de description du gabarit généralisé bornée en
fréquences .......................................................................................... 63
3.3.2.1 – Module et argument de la réponse en fréquences .................. 64
3.3.2.2 – Pente du gabarit généralisé ................................................... 65
3.3.3 – Caractéristiques du transfert en boucle ouverte ................................... 67
3.3.3.1 – Module et argument de la réponse en fréquences .................. 67
3.3.3.2 – Pente de la tangente.............................................................. 67
3.3.3.3 – Equation de la tangente à la fréquence u ............................................... 68
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3.4 – Commande CRONE de systèmes peu amortis ................................................... 69
3.4.1 – La problématique ............................................................................... 69
3.4.2 – Extension du transfert en boucle ouverte ............................................ 70
3.5 – Exemple d’application ...................................................................................... 75
3.5.1 – Modélisation du procédé d’étude ........................................................ 75
3.5.2 – Synthèse de la loi de commande ......................................................... 77
3.5.2.1 – Cas d’étude n°1 .................................................................... 78
3.5.2.2 – Cas d’étude n°2 .................................................................... 81
3.5.3 – Résultats d’essais ............................................................................... 83
3.5.3.1 – Essais du cas d’étude n°1 ..................................................... 84
3.5.3.2 – Essais du cas d’étude n°2 ..................................................... 85
3.6 – Conclusion ....................................................................................................... 86
Chapitre 4 : Commande CRONE multivariable de systèmes peu amortis ...................... 89
4.1 – Introduction ...................................................................................................... 89
4.2 – Principe de la commande CRONE multivariable des procédés stables et à
minimum de phase .............................................................................................. 89
4.2.1 – Matrice de transfert en boucle ouverte découplante ............................ 89
4.2.2 – Conditions d’existence du régulateur .................................................. 92
4.2.3 – Définition des domaines d’incertitude dans le cas multivariable ......... 93
4.2.4 – Optimisation du comportement en boucle ouverte .............................. 94
4.3 – Cas des procédés peu amortis ........................................................................... 95
4.4 – Exemple d’application ...................................................................................... 97
4.4.1 – Modélisation et identification du procédé ........................................... 97
4.4.1.1–Préliminaire : rappel sur la réduction de modèle ..................... 98
4.4.1.2 – Forme du modèle ............................................................... 100
4.4.1.3 – Identification du modèle..................................................... 101
4.4.1.4 – Résultats de l’identification ................................................ 103
4.4.2 – Synthèse de la loi de commande CRONE multivariable ................... 108
4.4.2.1 – Conditionnement de la matrice de transfert en boucle ouverte
nominale ............................................................................. 108
4.4.2.2 – Résultats des calculs de la loi de commande ....................... 110
4.4.3 – Résultats d’essais ............................................................................. 116
- 12 -
4.5–Conclusion ....................................................................................................... 121
Conclusion générale et perspectives de la thèse ............................................................... 123
Bibliographie .................................................................................................................... 127
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- 14 -
- 15 -
Introduction générale et organisation de la thèse
1 - Contexte d'étude
La réduction des vibrations et des nuisances sonores générées par ces dernières, est un
problème majeur dans le secteur industriel.
Différents types d’applications peuvent être citées [Fun91, Pee96]:
en optique, pour améliorer le positionnement des miroirs dans les télescopes ou
pour stabiliser les images,
dans l’industrie électronique, pour positionner les composants avec une grande
précision,
dans les machines-outils, pour augmenter la vitesse de déplacement des outils
tout en améliorant leur positionnement,
dans le transport, pour augmenter le confort et réduire le bruit,
dans le sport, pour diminuer les vibrations sur les skis et réduire les nuisances
sur les genoux des skieurs.
Deux techniques de réduction de vibrations sont envisageables :
La première technique, passive, est l’isolation vibratoire qui consiste à ajouter
des matériaux viscoélastiques pour éviter la transmission des vibrations sans
pour autant diminuer les vibrations de la source. Toutefois, les propriétés
d’amortissement de ces matériaux peuvent être dépendantes des conditions
d’utilisation comme par exemple la température. De plus, pour les basses
fréquences, des quantités importantes peuvent être nécessaires, amenant une
masse supplémentaire à la structure [Ker59, Ros59].
La deuxième technique, active, met en œuvre des actionneurs. Ceux-ci sont
utilisés soit pour produire une source de vibrations secondaire en opposition
avec la première, la résultante des deux sources devant aboutir à l’annulation
des vibrations [Gar97], soit pour augmenter l’amortissement de la structure
pour diminuer l’amplitude des vibrations [Cra89a, Cra89b, Hag90].
- 16 -
Cette thèse met en œuvre la deuxième technique avec des inserts piézoélectriques
collés sur la structure à amortir et fonctionnant comme des actionneurs qui peuvent être
contrôlés de manière à améliorer l’amortissement de cette structure.
La stratégie de contrôle utilisée dans cette thèse s’appuie sur les contours
d’isoamortissement, résultats de la recherche menée par Alain Oustaloup à partir de la théorie
de la dérivation non entière [Ous95b]. Ces contours sont destinés à jouer un rôle similaire aux
contours de Nichols. La graduation du contour de Nichols tangeant au lieu de Nichols en
boucle ouverte, est significative du premier dépassement de la réponse libre ou indicielle en
asservissement ou en régulation. De même, la graduation du contour d’isoamortissement
tangeant au lieu de Nichols en boucle ouverte, est significative du facteur d’amortissement en
asservissement et en régulation.
Les contours d’isoamortissement sont particulièrement adaptés au contrôle de
vibrations. En effet, l’amplitude des vibrations d’une structure est étroitement liée à son
facteur d’amortissement : plus une structure est faiblement amortie, plus elle vibrera
lorsqu’elle sera excitée sur ses modes de résonance. Contrôler l’amortissement d’une structure
permet donc de contrôler les vibrations [Bai85].
Un des autres résultats des travaux d’Alain Oustaloup est la commande CRONE,
abréviation de Commande Robuste d'Ordre Non Entier [Ous91, Ous99a, Ous99b]. Cette
commande a pour objectif la robustesse du degré de stabilité de la commande vis-à-vis des
incertitudes du procédé. Le degré de stabilité est mesuré par le facteur de résonance en
asservissement ou le facteur d'amortissement en asservissement et en régulation et les
incertitudes sont prises en compte à travers les véritables domaines qu’elles définissent,
conférant ainsi à la commande CRONE un caractère non pessimiste [Lan94, Sab98, Hot98].
L’objectif de cette thèse est la commande de procédés incertains peu amortis
monovariables ou multivariables. Les outils mis en œuvre sont les contours
d’isoamortissement et la commande CRONE.
- 17 -
2 - Organisation de la thèse
Le chapitre 1 est consacré à la description des procédés d’étude auxquels sera
appliquée la méthodologie de commande CRONE de systèmes peu amortis. Les deux
procédés sont des supports mettant en œuvre des actionneurs et des capteurs piézoélectriques
pour du contrôle actif de vibrations. Le premier procédé est un système monovariable et le
second un système multivariable, permettant ainsi l’application de la commande CRONE
dans deux configurations différentes. Le premier procédé est une maquette simple composée
d’une poutre encastrée-libre soumise à la flexion uniquement. Le second procédé est une
maquette simplifiée d’aile d’avion et soumise à la fois à la flexion et à la torsion. Il s’agit en
fait d’une poutre elle-aussi encastrée-libre et équipé d’un réservoir avec différents niveaux de
remplissage.
Le chapitre 2 rappelle les notions de degré de stabilité et présente les contours
d’isoamortissement comme des contours de performance. La construction de ces contours
moins usités que les contours de Nichols est également rappelée. Celle-ci repose sur la
technique des enveloppes et utilise le gabarit généralisé, c’est-à-dire la partie rectiligne du lieu
de Nichols du transfert non entier en boucle ouverte de la commande CRONE de troisième
génération.
Le chapitre 3 est consacré à la commande CRONE monovariable de systèmes peu
amortis. Après la présentation de la commande CRONE de troisième génération et de son
extension aux procédés résonants, celle-ci est mise en œuvre sur le premier procédé.
L’objectif est le contrôle du premier mode de flexion de la maquette. Deux cas d’étude sont
traités. Le premier cas concerne la synthèse d’un contrôleur afin d’obtenir une structure
amortie avec un coefficient d’amortissement de 0.1 et le second cas concerne la synthèse d’un
contrôleur afin d’obtenir une structure amortie avec un coefficient d’amortissement de 0.7.
Le chapitre 4 présente la commande CRONE multivariable de systèmes peu amortis.
Le principe de la commande CRONE multivariable est dans un premier temps explicité.
L'approche multivariable est fondée sur la préparamétrisation non entière complexe de la
matrice de transfert en boucle ouverte nominale. Un ensemble de gabarits associé à la boucle
ouverte assure le degré de stabilité et le découplage de la commande. L'optimisation consiste
à rechercher l'ensemble de gabarits qui minimise les variations du degré de stabilité sous des
contraintes de calibrage des éléments des fonctions de sensibilité nominales et reparamétrées.
L’extension de la méthode CRONE multivariable aux procédés peu amortis a soulevé le
problème de la présence de modes dans la matrice inverse du procédé différents de ceux de la
- 18 -
matrice du procédé. Ce chapitre présente une solution à ce problème et propose l’application
de la commande CRONE multivariable au second procédé d’étude, à savoir la maquette
simplifiée d’une aile d’avion. Cette application permet d’expliciter clairement la
méthodologie et de montrer l’efficacité de la commande CRONE multivariable.
- 19 -
- 20 -
- 21 -
Chapitre 1
Procédés d’étude
1.1 - Introduction
Avant d’expliciter la méthodologie de commande, ce chapitre présente les procédés
sur lesquels sera appliquée la commande CRONE. Ces procédés sont des supports pour du
contrôle actif de vibrations élaborés à l’ENSICA. Ce chapitre débute par une présentation des
matériaux qui peuvent être utilisés pour le contrôle actif puis se poursuit avec une
méthodologie de dimensionnement dans le cas d’actionneurs piézoélectriques. La dernière
partie du chapitre est consacrée à la présentation des maquettes.
1.2 - Matériaux pour le contrôle actif
Les matériaux utilisés pour le contrôle actif sont des matériaux dits « intelligents ». Ils
possèdent des fonctions qui leur permettent de se comporter à la fois comme un capteur et un
actionneur ou parfois comme un processeur (traiter, comparer, stocker des informations). Ces
matériaux sont capables de modifier spontanément leurs propriétés physiques, par exemple
leur forme, leur viscoélasticité ou leur couleur, en réponse à des excitations naturelles ou
provoquées venant de l'extérieur ou de l'intérieur du matériau [Akh00, Cul92, Mcd94].
Les plus courants de ces matériaux intelligents sont les alliages à mémoire de forme
(AMF), les matériaux piézo-électriques et les matériaux magnétostrictifs.
1.2.1 - Alliages à mémoire de forme
Déformés à froid, les alliages à mémoire de forme retrouvent leur forme de départ au-
delà d'une certaine température par suite d'un changement de phase. Le principe physique de
base repose sur une transformation réversible (modification de la structure cristalline), en
fonction de la température. Ces alliages sont le plus souvent fabriqués à base de nickel-titane
avec différents éléments d'addition comme du cuivre, du fer, du chrome ou de l'aluminium.
- 22 -
Les alliages à mémoire de forme peuvent servir aussi bien de capteur que d’actionneur. Dans
ces deux cas, ils ne sont utilisés qu’à basse fréquence et pour des applications ne nécessitant
pas une grande précision, essentiellement du fait de la difficulté du refroidissement. De tels
matériaux sont assez peu utilisés pour le contrôle des vibrations. Des exemples d’objets en
alliage à mémoire de forme sont présentés surla figure (1.1).
Figure 1.1 : Exemples des alliages à mémoire de forme
1.2.2 - Matériaux magnétostrictifs
Les matériaux magnétostrictifs peuvent se déformer sous l'action d'un champ
magnétique. La déformation est proportionnelle au carré de la puissance du champ appliqué.
Ces matériaux vont être capables de s'adapter automatiquement à l'environnement en prenant
des formes utiles en réaction à des sollicitations extérieures d'ordre acoustique, vibratoire,
mécanique ou thermique. L'effet magnétostrictif est, en général, moins important que l'effet
piézoélectrique.
Quelques exemples de dispositifs magnétostrictifs commerciaux sont présentés dans la
figure (1.2).
Figure 1.2 : Dispositifs magnétostrictifs
- 23 -
1.2.3 - Matériaux piézoélectriques
L’effet piézoélectrique peut être défini comme l’interdépendance entre des
phénomènes mécaniques (déformations, contraintes) et des phénomènes électriques (champ
électrique, charges électriques) que présentent certains matériaux [Cud89, Mou90]. Parmi les
matériaux les plus classiques, citons les milieux cristallins (quartz, titanate de baryum, oxyde
de zinc, monocristaux PZN-PT), les céramiques (PZT) et les polymères (PVDF).
Le phénomène de piézoélectricité (effet direct) a été démontré expérimentalement par
les frères Pierre et Jacques Curie en 1880. L’expérience consista à mesurer les charges
électriques apparaissant à la surface d’un cristal sous l’application d’une contrainte (figure
(1.3)). Un an après, en 1881, l’effet piézoélectrique inverse, c’est-à-dire la déformation du
cristal induite par application d’un champ électrique, fut démontré grâce à des considérations
thermodynamiques par G. Lippmann. L’existence de l’effet piézoélectrique inverse fut
confirmée expérimentalement par les frères Curie.
F
V
x
Figure 1.3 : Effet piézoélectrique direct : lorsqu’une force est appliquée sur la céramique,
une tension apparaît à ses bornes.
Quelques exemples de composants piézoélectriques commerciaux sont présentés sur la
figure (1.4)
Figure 1.4 : Composants piézoélectriques
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Le tableau (1.1) résume les avantages et inconvénients de ces principaux matériaux
intelligents.
matériaux
Mémoire
de forme
magnétostrictifs
piézoélectriques
Force motrice
champ thermique
champ magnétique
champ électrique
Composition
TiNi, CuAlBe
TbFe, (TbDy), Fe,
SmFe
PZT, PVDF, Quartz
Avantages
- force importante
- densité
énergétique
importante
- résistance
importante
- grande élasticité
- contrôle
sans contact
- hautes fréquences
- hautes variations
de température
- densité énergétique
importante
- grande bande
passante
- hautes fréquences
- faible puissance
de mise en action
Inconvénients
- basse fréquence
- faible bande
passante
- variations de
température
limitées
- hystérésis
- tensions limitées
- équipement pour
génération
du champ magnétique
- matériaux fragiles
- tensions limitées
- équipement auxiliaire
nécessaire
- matériaux fragiles
- variations de
température limitées
Tableau 1.1 : Comparaison des matériaux intelligents [Ric06]
Les applications envisagées dans le cadre de cette thèse nécessitant une densité
énergétique importante et une certaine largeur de bande passante, les matériaux choisis pour
activer les structures sont de type piézoélectrique.
1.3 - Dimensionnement d’une structure active à base de céramiques
piézoélectriques
Une structure active est un système doté de capteurs, d’actionneurs et d’une unité de
commande et de contrôle qui reçoit les données des capteurs et envoie des ordres aux
actionneurs [Cul96, Sri01, Ful96]. Dans le cadre de cette thèse, les actionneurs et capteurs mis
en œuvre sont des matériaux piézoélectriques utilisés pour du contrôle de vibrations [Cra87,
Gar91].
La méthodologie de dimensionnement présentée ici est le résultat des travaux de
[Bud03,Ric06]. Le dimensionnement permet de calculer le volume de céramiques
piézoélectriques qu’il faut coller sur la structure pour annuler des vibrations qui seraient
- 25 -
générées par un effort extérieur. Ce dimensionnement s’appuie sur le modèle de la structure
active.
1.3.1 - Modélisation de la structure active
La structure résonante est modélisée pour chaque mode dans une direction par une
représentation masse-ressort. Pour chacun de ces modes sont calculés les masse et raideur
modales équivalentes, ainsi que le paramètre caractérisant le couplage électromécanique des
céramiques piézoélectriques. Ces calculs s’effectuent par une méthode vibrationnelle à partir
des équations de Lagrange [Ger97, Haa00, les88].
Pour un milieu purement mécanique, dont la description cinématique peut se réduire à
un ensemble de coordonnées généralisées qj, le Lagrangien L s’écrit sous la forme :
VTL , (1.1)
où :
T est l’énergie cinétique du milieu en mouvement :
duT 2
2
1, (1.2)
u désignant le champ de déplacement ;
V est le potentiel des forces conservatives comme celles des déformations
élastiques :
dSTV ijij2
1, (1.3)
Tij et Sij désignant les tenseurs de contraintes et de déformations.
Ce Lagrangien vérifie pour chacune des coordonnées généralisées :
e
j
jj
Fq
L
q
L
dt
d, (1.4)
ae
jF représentant la composante des forces extérieures qui travaillent selon de degré de liberté
qj. et pouvant s’obtenir en dérivant le travail virtuel W des forces extérieures :
j
jjuFW soit j
e
ju
WF . (1.5)
Pour obtenir un modèle à un degré de liberté valable pour un mode de résonance, il
suffit de dériver ce Lagrangien selon une coordonnée généralisée q. On obtient alors
l’équation mécanique caractéristique de la structure :
- 26 -
eFKqqM , (1.6)
avec
M : la masse modale (Kg),
K : la raideur modale (N/m).
Pour une structure active intégrant des éléments piézoélectriques, ces éléments collés
sur la structure mécanique génèrent un effort résultant d’un couplage électromécanique. Ce
couplage se traduit par l’ajout de :
dDEddEDdvqxvW iiii
v
o
C
v
E2
1),( , le potentiel de la coénergie
électrique, au V des forces de déformation élastique,
v.qc, l’énergie fournie par l’alimentation, au travail des forces mécaniques.
Le Lagrangien d’une structure active à base de céramiques piézoélectriques prend
donc finalement pour expression :
dDESTuvqqL iiijijjj
2
2
1,, . (1.7)
Toujours pour obtenir un modèle à un degré de liberté valable pour un mode de
résonance, toutes les déformations au sein de la structure sont exprimées en fonction d’un seul
paramètre géométrique q qui servira de coordonnée mécanique généralisée. L’intégration des
différentes composantes du Lagrangien donnera une fonction de la forme :
NvqvCKqqMvqqL jj
2
0
22
2
1
2
1
2
1,, , (1.8)
avec :
M : la masse modale (Kg),
K : la raideur modale (N/m),
N : le facteur d’effort qui exprime le couplage électromécanique (N/V),
C0 : la capacité bloquée de la structure (F).
- 27 -
La différentiation de ce Lagrangien selon les coordonnées q et v permettra d’obtenir
les équations caractéristiques de la structure :
Equation mécanique :
eFNvKqqM , (1.9)
Equation électrique :
vCNqqc 0 . (1.10)
Ces équations sont caractérisées par les paramètres électromécaniques M, K et N qui
caractérisent le comportement dynamique de la structure avec la céramique piézoélectrique.
Le terme N est primordial pour évaluer l’efficacité du contrôle actif. Il dépend
[Hag90] :
des propriétés intrinsèques du matériau piézoélectrique (son module d’Young Ea, sa
densité et son coefficient piézoélectrique d31 qui doit être le plus grand possible),
des dimensions (longueur, largeur et épaisseur) de l’actionneur par rapport à celles de la
poutre.
La capacité bloquée C0 n’a pas d’influence sur les performances mécaniques pour une
tension d’alimentation donnée mais impose le courant absorbé par la structure. Elle est donc
dimensionnante pour l’alimentation qui pilotera le dispositif.
L’amortissement n’est pas ici pris en compte puisqu’aucun terme de dissipation n’a été
introduit dans le Lagrangien. Cette approche est volontaire : les paramètres introduits jusqu’à
présent peuvent être calculés par éléments finis à partir des dimensions et des matériaux de la
structure. La prise en compte mathématique de la dissipation est beaucoup plus délicate et
celle-ci sera obtenue par mesure sur la structure comme cela est expliqué dans le paragraphe
suivant.
1.3.2 - Utilisation des paramètres électromécaniques pour le dimensionnement d’une
structure
Les paramètres électromécaniques sont utilisés pour estimer l’amplitude des vibrations
qui peuvent être générées par la structure équipée de céramiques piézoélectriques [Lee87,
Mou90].
Il faut de plus tenir compte de la dissipation de la structure sous la forme d’un
coefficient de frottement visqueux Ds. Ce coefficient peut être estimé à l’aide du facteur de
qualité mécanique Qm avec la relation suivante :
- 28 -
KMQ
Dm
s
1 . (1.11)
Le facteur de qualité est quant à lui mesuré à partir de la bande passante à –3dB, notée
f, autour de la fréquence de résonance f0 :
f
fQm
0 . (1.12)
Le dimensionnement s’effectue à partir de l’équation mécanique qui s’écrit, en prenant
en compte le coefficient de frottement visqueux Ds et dans le cas où il n’y a pas d’effort
extérieur :
NvKqqDqM s . (1.13)
1.3.2.1 - Calcul de l’amplitude vibratoire par rapport à la contrainte du champ électrique
maximal
Ce calcul est effectué à partir de l’équation mécanique, sans tenir compte des
contraintes à la rupture des céramiques piézoélectriques.
L’équation mécanique montre que, à la résonance, la structure alimentée par une
tension v peut générer un effort Nv et produire des vibrations d’amplitude :
K
NvQ
D
Nvq m
s
électriquemax. (1.14)
L’amplitude des vibrations dépend donc du facteur d’effort N et de la tension v
maximale applicable.
La tension maximale applicable est fonction du champ électrique maximal Emax auquel
peut être soumis le matériau (en général autour de 400V/mm pour une céramique
piézoélectrique) et de l’épaisseur de la céramique h, soit
hEv maxmax . (1.15)
L’amplitude maximale selon des critères électriques vaut donc :
s
électriqueD
hNEq max
max. (1.16)
- 29 -
1.3.2.2 - Calcul de l’amplitude vibratoire par rapport aux contraintes mécaniques (rupture
des céramiques piézoélectriques)
Il est nécessaire de vérifier que l’amplitude des vibrations générées ne conduit pas à la
rupture mécanique de la céramique. A partir de la contrainte en traction maximale de la
céramique Tmax (de l’ordre de 25 MPa en traction) et du rapport « Contrainte/amplitude de la
déformée » Tm/q qui peut être calculé par une méthode des éléments finis, une estimation de
la déformée maximale avant rupture peut être estimée par la formule suivante:
q
T
T
ruptureqm
max
max . (1.17)
1.3.2.3 - Résultat final : amplitude vibratoire en tenant compte des contraintes électriques,
mécaniques et des incertitudes de la méthode
Afin de tenir compte à la fois des contraintes électriques et mécaniques, il faut
considérer le minimum des deux résultats précédents.
D’autre part, la modélisation étant basée sur un modèle simple, elle ne permet pas de
tenir compte de tous les paramètres. Afin de tenir compte des erreurs de modélisation (le
collage des céramiques et les assemblages mécaniques n’ont pas été pris en compte), le
résultat final considéré correspond à 80% du minimum des deux résultats précédents.
Au final, l’amplitude maximale résultante vaut :
),min(8.0 maxmax ruptureélectriquerésultat qqq . (1.18)
Cette grandeur permet de dimensionner une structure active dans le sens où elle
permet de calculer le volume de céramiques piézoélectriques qu’il faut coller sur la structure
pour annuler des vibrations qui seraient générées par un effort extérieur et qui auraient une
amplitude de cette grandeur.
1.4 - Présentation des deux procédés d’étude de la thèse
1.4.1 - Poutre encastrée-libre
Le premier procédé est une maquette pédagogique qui sera utilisée pour tester une loi
de commande CRONE monovariable pour systèmes peu amortis. Il s’agit d’une poutre en
- 30 -
aluminium avec des conditions aux limites de type encastrée-libre (figure (1.5)) [Lel02
,Ric04]. Les caractéristiques du procédé sont données par le tableau (1.2).
Figure 1.5 : Poutre encastrée
Matériau Aluminium
Longueur L 300 mm
Largeur l 20 mm
Epaisseur e 2 mm
Module d’Young E 70 GPa
Masse Volumique 2970 kg/m3
Tableau 1.2 : Tableau des caractéristiques
En théorie, les fréquences propres pour une poutre encastrée-libre sont données par la
formule :
²..2
1
..
2
Lel
EIf ii
, (1.19)
avec
I, moment quadratique=l*e3/12,
i, un coefficient relatif à chacun des modes calculé à partir de la géométrie de la
structure et des conditions aux limites [Rob01].
En appliquant la formule précédente, les différentes fréquences propres de la poutre du
procédé d’étude sont données dans le tableau (1.3) :
Modes λi fi
Mode 1 1.875 18.3 Hz
Mode 2 4.694 114.5 Hz
Mode 3 7.854 320.7 Hz
Mode 4 10.995 628.5 Hz
Tableau 1.3 : Valeurs des fréquences propres
- 31 -
Afin de contrer les vibrations, cette poutre est rendue « active » en l’équipant :
d’un actionneur piézoélectrique de type céramique PZT (P151 de PI Polytech) qui
peut générer des vibrations qui vont modérer les vibrations perturbatrices de
façon à obtenir une diminution globale des vibrations mécaniques sur la
structure,
d’un capteur piézoélectrique de type céramique PZT (P151 de PI Polytech) qui
permet de mesurer les vibrations de la structure.
Les caractéristiques du capteur et de l’actionneur sont données dans le tableau (1.4).
Actionneur Capteur
Matériau PZT P151 PZT P 151
Longueur L 50 mm 10 mm
Largeur l 20 mm 10 mm
Epaisseur e 0.5 mm 0.5 mm
Module d’Young E 60 GPa 60 GPa
Coefficient Piézoélectrique d31 210.10-12
210.10-12
Tableau 1.4 : Caractéristiques du capteur et de l’actionneur
L’actionneur et le capteur sont placés au niveau de l’encastrement car c’est la position
où l’actionneur a le plus d’effet et où le capteur donne le plus de signal (voir figure (1.6))
[Gev70, Sim93]. Ils sont dits co-localisés car collés l’un au-dessous de l’autre de part et
d’autre de la poutre.
Actionneur piézoélectrique
Capteur piézoélectrique
Figure 1.6 : Premier procédé de contrôle actif de vibrations
En appliquant la méthode de dimensionnement des structures actives exposée au
paragraphe 1.3, il est possible de déterminer l’amplitude des vibrations qui pourraient être
annulées avec une loi de commande appropriée. Pour ce premier procédé, avec un coefficient
- 32 -
de qualité mécanique de 100 et une alimentation de 130V, l’amplitude qui ne tient compte que
de la contrainte du champ électrique maximal est de 48 mm et l’amplitude qui ne tient compte
que de la contrainte mécanique est de 11 mm. Le résultat final est donc que les éléments actifs
de cette structure permettent d’annuler des vibrations de 8,8 mm environ.
Pour finir le descriptif de ce premier procédé, précisons que, l’actionneur
piézoélectrique étant alimenté avec une tension maximale de 130V à ses bornes et le signal
de commande atteignant 10V au maximum, il est nécessaire d’avoir recours à un
amplificateur de tension d’un gain de 13. Le capteur piézoélectrique, sensible aux
déformations mécaniques, génère une variation de charges électriques qui est convertie en une
tension - grandeur plus facilement exploitable - via un amplificateur de charges. Le signal issu
de l’amplificateur est une tension image des vibrations dans la poutre. Enfin, afin de tester la
robustesse de la commande CRONE qui sera implantée, quatre masses différentes peuvent
être ajoutées à l’extrémité de la poutre.
Le schéma complet du procédé d’étude est représenté sur la figure (1.7).
Amplificateur
de tension
x 13
Actionneur piézoélectrique
Capteur piézoélectrique
-130 V
-10V< entrée actionneur <+10V
Sortie capteur :
tension image des
vibrations
+130 V
Loi de commande
Calculateur D-Space
Amplificateur de
charges
Masse additionnelle
Figure 1.7 : Schéma complet du premier procédé d’étude
1.4.2 - Maquette simplifiée d’aile d’avion avec réservoir
Le deuxième procédé étudié résulte d’une commande industrielle de Dassault qui
souhaitait étudier à petite échelle le problème de l’interaction fluide/structure dans une aile
d’avion. Ce procédé consiste donc en une maquette d’aile d’avion composée d’une poutre en
aluminium encastrée-libre et d’un réservoir en acrylique (figure (1.8)). La maquette a été
dimensionnée de manière à avoir les mêmes modes propres qu’une aile d’avion, c'est-à-dire le
premier mode de flexion autour de 1 Hz, et à reproduire le phénomène de ballottement dû à
l’interaction fluide/structure entre le réservoir et l’aile. Les caractéristiques de la maquette
sont données dans le tableau (1.5). Le réservoir peut être rempli avec différents niveaux d’eau
- 33 -
à l’état liquide ou gelé de manière à représenter différents niveaux et états de remplissage
d’un réservoir d’avion. Ces différents niveaux et états seront vus comme des incertitudes.
Figure 1.8 : Second procédé de contrôle actif de vibrations
Le contrôle actif des vibrations est réalisé grâce à deux actionneurs piézoélectriques
collés au niveau de l’encastrement (figure (1.9)). Le fait d’avoir deux actionneurs permet de
contrôler à la fois la flexion (même tension d’alimentation sur chaque actionneur) et la torsion
(tensions d’alimentation opposées sur chaque actionneur). Le signal de mesure sera fourni par
deux capteurs piézoélectriques co-localisés avec les actionneurs. Le dimensionnement de ces
actionneurs est effectué dans le cas pour un réservoir de 70 cm. Pour un facteur de qualité de
100, la taille des actionneurs par rapport à la taille de la poutre (tableau (1.5)) permet de
contrôler des vibrations d’une amplitude de 10 cm pour le premier mode de flexion et des
vibrations d’une amplitude de 7 mm pour le premier mode de torsion.
Capteur haut (yh)
Capteur bas (yb)
Actionneur haut (uh)
Actionneur bas (ub)
Figure 1.9 : Positionnement des actionneurs et des capteurs piézoélectriques
sur le second procédé
- 34 -
Poutre
Actionneur
x2
Capteur
x2
Longueur (mm) 1360 140 25
Largeur (mm) 160 75 15
Epaisseur (mm) 5 0.5 0.5
Densité (kg/m3) 2970 7800 7800
Module de Young (Gpa) 75 67 67
Constante Piezoelectrique (pm/V) x -210 -210
Réservoir
Diamètre extérieur (mm) 110
Diamètre intérieur (mm) 105
Longueur (mm) 700
Positionnement sur la longueur (mm) 1280
Densité de l’eau (kg/m3) 1000
Densité de l’acrylique (kg/m3) 1180
Module de Young (Gpa) 4,5
Tableau 1.5 : Caractéristiques du second procédé
L’objectif de la commande sur cette maquette sera le contrôle des deux premiers
modes de flexion et du premier mode de torsion. Le problème peut être traité par une méthode
multivariable pour système carré en considérant comme entrées les tensions appliquées sur les
deux actionneurs et comme sorties les tensions issues des deux capteurs.
Le schéma de commande est semblable au premier procédé d’étude et est représenté
sur la figure 1.10. La chaîne d’acquisition est composée de deux amplificateurs de charges (un
pour chaque capteur piézoélectrique) et la chaîne de commande de deux amplificateurs de
tension (un pour chaque actionneur piézoélectrique).
Capteur 2 (bas)
Actionneur 1
(haut)
Actionneur 2
(bas)
Capteur 1 (haut)
Amplificateur
de tension 2
x 13 -10V< entrée actionneur <+10V
Loi de commande
Calculateur D-Space
Amplificateur de
charges 1
Amplificateur de
charges 2
Amplificateur
de tension 1
x 13 -10V< entrée actionneur <+10V
Figure 1.10 : Schéma complet du second procédé d’étude
- 35 -
1.5 - Conclusion
Ce chapitre donne une description des procédés d’étude sur lesquels sera appliquée la
commande CRONE de systèmes peu amortis. Il s’agit de deux structures de contrôle actif de
vibrations à base de céramiques piézoélectriques. Le premier procédé est une maquette
pédagogique de poutre encastrée-libre qui constitue un exemple de procédé monovariable et
le second procédé plus original développé à l’ENSICA représente une maquette d’aile d’avion
et pourra être traité comme un procédé multivariable carré de dimension deux.
- 36 -
- 37 -
Chapitre 2
Contours d’isoamortissement
2.1 - Introduction
Soit une structure de commande générique où la boucle de commande résulte de la
mise en cascade d’un correcteur avec un procédé (perturbé et bruité). L’ensemble est sollicité
par un signal d’erreur résultant de la comparaison de l’image de la sortie à l’image de la
consigne [Oga02]. Cette configuration permet la définition de deux transmittances. Si la
transmittance relative à une perturbation de sortie et au bruit qui caractérise la fonction
régulation s’identifie toujours à la sensibilité S(p)=(1+ (p))-1
, où (p) désigne la
transmittance en boucle ouverte, la transmittance relative à la consigne qui caractérise la
fonction asservissement s’identifie alors à la sensibilité complémentaire T(p)=1-S(p)=
(1+ (p))-1(p). Les réponses indicielles en asservissement et en régulation sont ainsi
linéaires entre elles. Elles sont donc du même type, notamment leur transitoire possède la
même forme et présente donc le même caractère (apériodique ou oscillatoire). Leur
dynamique est alors identique (même premier dépassement réduit ainsi que même fréquence
propre et même facteur d’amortissement de leur mode oscillatoire).
Si la stabilité de la boucle de commande est entièrement conditionnée par le signe de
la partie réelle des racines de l’équation caractéristique 1+(p)=0, le degré de stabilité
constitue en revanche un concept dont le chiffrage s’avère plus délicat. Tant dans l’espace des
temps que des fréquences, sa mesure est en effet donnée par des performances dynamiques
qu’il convient de préciser.
Dans l’espace des temps, le degré de stabilité d’une boucle de commande se chiffre
(ou se mesure) :
- soit par le premier dépassement réduit de la réponse libre ou indicielle en asservissement ou
en régulation, D’1 ;
- soit par le facteur d’amortissement en asservissement et en régulation, , caractérisant le
taux de décroissance des dépassements du mode oscillatoire de la réponse libre ou indicielle
- 38 -
en asservissement ou en régulation, et défini comme le coefficient d’amortissement réduit de
ce mode.
Dans l’espace des fréquences, le degré de stabilité est caractérisable par la « distance »
au point critique. Une telle distance se mesure notamment :
- par les marges de stabilité que constituent les marges de gain et de phase ;
- par un contour d’amplitude de Nichols dont la graduation donne le facteur de résonance en
asservissement Qa ; un tel contour correspond à un -cercle de Hall dans le plan de Nyquist.
- par la marge de module qui peut être associée au contour d’amplitude de Oustaloup [Ous78]
dont la graduation donne le facteur de résonance en régulation Qr ; ce contour correspond à un
cercle centré sur le point critique dans le plan de Nyquist.
Dans le cadre des relations tempo-fréquentielles nécessaires à la synthèse d’une
commande dans l’espace des fréquences, il convient de recenser les performances
dynamiques temporelles, sachant que les spécifications des performances imposées par le
concepteur relèvent du domaine temporel.
Autant le facteur de résonance en asservissement Qa est significatif du premier
dépassement réduit D’1, un contour de Nichols réalisant ainsi un contour d’isodépassement
[Bal92], autant le facteur de résonance en régulation Qr n’est significatif d’aucune
performance dynamique temporelle. Notamment, bien qu’il paramètre un cercle centré sur le
point critique (-1,0) et mesurant ainsi une véritable distance à ce point, il n’est pas pour autant
significatif du facteur d’amortissement .
Aussi, afin que le chiffrage du degré de stabilité dans l’espace des temps admette son
équivalent dans l’espace des fréquences, il semble opportun de définir une nouvelle mesure de
la « distance » au point critique. Notamment, il convient de déterminer un nouveau contour
(représenté en l’occurrence dans le plan de Nichols) dont la graduation soit significative du
facteur d’amortissement (voire le donne directement), un tel contour réalisant alors un
contour d’isoamortissement. En s’appuyant sur l’intégration non entière complexe [Ous91],
une méthode de construction géométrique d’un réseau de contours d’isoamortissement est
élaborée.
2.2 - Degré de stabilité
2.2.1 - Espace des temps
Dans l’espace des temps, le degré de stabilité d’une boucle de commande se chiffre
(ou se mesure) :
- soit par le premier dépassement réduit de la réponse libre ou indicielle en asservissement ou
en régulation, D’1 ;
- 39 -
- soit par le facteur d’amortissement en asservissement et en régulation, , caractérisant le
taux de décroissance des dépassements du mode oscillatoire de la réponse libre ou indicielle
en asservissement ou en régulation, et défini comme le coefficient d’amortissement réduit de
ce mode.
Il est vrai qu’un mode oscillatoire résultant d’une paire de valeurs propres complexes
conjuguées
,1j 2
2,1 nn (2.1)
admet une expression générale de la forme :
),tcos(e)( p
t Ctm (2.2)
où la fréquence propre p et le coefficient d’amortissement sont donnés par :
imaginaire axel'sur de projection 1 1
2
np (2.3)
et
,n (2.4)
d’où l’on tire :
n
, (2.5)
rapport qui révèle que le facteur d’amortissement s’exprime par le cosinus du demi-angle au
centre que forment les valeurs propres 1 et 2 figure (2.1).
Par ailleurs, la relation(2.5) traduit que n’est autre que le coefficient
d’amortissement réduit par la fréquence propre non amortie n, la qualification « non
amortie » ou « sans amortissement » provenant du fait que n = p pour = 0 (relation (2.3)).
- 40 -
Im[]
0
Re[]
2
1
n
21 n
2
n 1
Figure 2.1 : Représentation des valeurs propres dans le plan complexe : = cos
2.2.2 - Espace des fréquences
Dans l’espace des fréquences, le degré de stabilité est caractérisable par la « distance »
au point critique. Une telle distance se mesure :
- soit par les marges de gain et de phase ;
- soit par la marge de module ;
- soit par un contour d’amplitude de Nichols;
- soit par un contour d’isoamortissement.
Les marges de stabilité que constituent les marges de gain et de phase sont bien
connues. Elles sont rappelées sur la figure (2.2):
m
Re (j)
I m (j)Gm dB
u
0
arg (j)
|(j) |dB
Gm dB
(b)
u
0
(a)
m
Figure2.2 : Marges de gain et de phase : (a) dans le plan de Nyquist ; (b) dans le plan de
Nichols
- 41 -
Un contour d’amplitude de Nichols est repéré par un paramètre dB qui exprime en
décibel le facteur de résonance en asservissement, Qa. Un tel contour correspond à un -cercle
de Hall dans le plan de Nyquist (figure (2.3)). Il réalise un contour d’isodépassement sachant
que Qa est significatif du premier dépassement réduit D’1 (paragraphe 2.3).
Re (j)
Im (j)
dB?
(b) (a)
Qa oudB
Figure 2.3 : Contours d’amplitude de Nichols (a) et de Hall (b)
Un contour d’amplitude de Oustaloup [Ous91] est repéré par un paramètre dB qui
exprime en décibel le facteur de résonance en régulation, Qr. Ce contour correspond à un -
cercle centré sur le point critique dans le plan de Nyquist (figure (2.4)) et de rayon Mm, la
marge de module.
Re (j)
Im (j)
dB?
(b) (a)
Qr ou dB
Mm
Figure 2.4 : Contour d’amplitude de Oustaloup (a) et sa transposition dans le plan de
Nyquist avec visualisation de la marge de module (b)
Un contour d’isoamortissement (paragraphe 2.3) est repéré par un paramètre compris
entre 0 et 1 qui exprime directement le facteur d’amortissement en asservissement et en
régulation, . Sa construction s’effectue par deux méthodes graphiques bien distinctes.
- 42 -
- La première est une méthode approchée intuitive qui utilise la symétrie, par rapport à
l’axe des arguments, des contours d’amplitude de Nichols et de Oustaloup de même
graduation [Ous91]. Partant de deux contours d’amplitude symétriques, l’un de Nichols et
l’autre de Oustaloup, la méthode consiste en effet à tracer un contour symétrique dont
l’ordonnée de chaque point n’est autre que la moyenne algébrique des ordonnées des po ints
de même abscisse des deux contours d’amplitude (figure (2.5)). L’idée de cette méthode de
construction résulte d’une étude empirique mettant en évidence la propriété suivante : deux
lieux de Nichols en boucle ouverte qui tangentent respectivement (l’un par-dessus et l’autre
par-dessous) le contour ainsi obtenu, conduisent régulièrement au même facteur
d’amortissement en boucle fermée, qui plus est, identique à quelques pour cent près à celui
qu’assure le gabarit vertical de la commande CRONE tangent à ce même contour.
dB?
(b) (a)
dB
dB
n dB
? u
Figure 2.5 : Construction approchée d’un contour d’isoamortissement (a)
et de sa paramétrisation (b)
Le paramètre qui repère ce contour peut être donné par le facteur d’amortissement
qu’assure en boucle fermée le lieu de Nichols d’un intégrateur généralisé tangent à ce contour
(figure (2.5b)), soit
,cosn
(2.6)
l’ordre d’intégration n (compris entre 1 et 2) étant tel que –n/2 est l’abscisse du point de
tangence. En effet, la forme générale de l’équation caractéristique
0)(1 p (2.7)
devient en l’occurrence :
,01 u
n
p
(2.1)
- 43 -
ou :
,01u
n
p
(2.9)
ou encore :
,e1 j
u
n
p (2.10)
d’où l’on tire :
,j
u2,1nep
(2.11)
paire de valeurs propres complexes conjuguées, dont le cosinus du demi-angle au centre
qu’elle forme détermine le facteur d’amortissement, soit
C.Q.F.D. .coscosnn
(2.12)
- La deuxième méthode utilise la technique des enveloppes (paragraphe 2.4) [Ous94].
Un contour d'isoamortissement est alors défini comme l'enveloppe que forme une famille de
segments de droite. Ces segments de droite de direction quelconque autour de la fréquence au
gain unité en boucle ouverte, appelés gabarits généralisés, constituent les parties rectilignes de
lieux de Nichols en boucle ouverte qui assurent en boucle fermée le même facteur
d'amortissement. A partir de la transmittance de description d'un gabarit généralisé fondée sur
l'intégration non entière complexe, l'équation caractéristique de la boucle fermée est établie.
Lorsque la paire de racines complexes conjuguées dont résulte le mode oscillatoire en boucle
fermée décrit deux demi-droites d'isoamortissement dans le plan opérationnel, l'ordre
d'intégration non entier complexe décrit un lieu du plan complexe. Ce lieu caractérise une
famille de gabarits généralisés dont l'enveloppe est un contour d'isoamortissement (figure
(2.6)).
- 44 -
Figure 2.6 : Construction exacte d’un contour d’isoamortissement
2.3 - Contours de performance
2.3.1 - Enveloppe de gabarits généralisés comme contour de performance
L'approche géométrique la plus immédiate pour valider ou construire un contour de
performance consiste à utiliser la technique des enveloppes. Le contour est alors défini
comme l'enveloppe que forme une famille de segments de droite qui la tangentent figure (2.7)
arg (j)°
|(j)|dB
dB
-18
Figure 2.7 : Enveloppe définissant un contour de performance (en l’occurrence un contour
d’isoamortissement)
- 45 -
Dans le cadre d'une représentation dans le plan de Nichols, chaque segment de droite
de la famille ainsi définie peut être interprété comme la partie rectiligne d'un lieu de Nichols
en boucle ouverte qui assure en boucle fermée le dépassement ou l'amortissement
correspondant au contour. D'ailleurs, une telle partie rectiligne autour de la fréquence au gain
unité en boucle ouverte, u, n'est autre que le gabarit généralisé qui caractérise la commande
CRONE de troisième génération.
Sachant que le comportement dynamique en boucle fermée est exclusivement lié au
comportement en boucle ouverte au voisinage de la fréquence au gain unité u, il suffit de
déterminer une transmittance opérationnelle susceptible de décrire le gabarit généralisé pour
établir la transmittance en asservissement significative à la fois du dépassement et de
l'amortissement (à travers l'équation caractéristique). Comme le montrent les développements
suivants, la transmittance de description du gabarit généralisé obtenue est fondée sur
l'intégration non entière complexe.
2.3.2 - Gabarit généralisé et intégration non entière complexe
Le gabarit vertical utilisé en commande CRONE de deuxième génération est
caractérisé par un ordre d’intégration non entier réel, n, qui détermine son placement en phase
à –n90° figure (2.8) [Lan93].
-18arg (j)°
|(j)|dB
dB
-90
A
B
u
-n90
Figure 2.8 : Représentation du gabarit vertical par un segment de droite vertical dans le plan
de Nichols
Le gabarit vertical est en effet décrit par la transmittance d’un intégrateur non entier
réel, soit :
- 46 -
.,,pour
Rn
pp B
n
Au
(2.13)
Dans le cadre d’une conjecture, on est en droit de supposer, par extension de la
description du gabarit vertical, que le gabarit généralisé est caractérisable par un ordre
d’intégration non entier complexe, n, dont la partie réelle détermine son placement en phase à
la fréquence u, soit -Re(n)90°, et dont la partie imaginaire détermine ensuite son inclinaison
par rapport à la verticale (figure (2.9)).
-18arg (j)°
|(j)|dB
dB
-90
A
B
u
-90Re(n)
f(I m(n))
Figure 2.9 : Représentation du gabarit généralisé par un segment de droite de direction
quelconque dans le plan de Nichols
Le gabarit généralisé utilisé en commande CRONE de troisième génération est alors a
priori décrit par la restriction dans le plan opérationnel j de la transmittance d’un intégrateur
non entier complexe, soit:
.Cnp
p iB
C
n
j
, , pour A
u
(2.14)
L’imaginaire pur unitaire i qui figure dans l’ordre d’intégration n (n=a+ib, a>0) est
indépendant de l’imaginaire pur unitaire j qui figure dans la variable opérationnelle p
(p=+j).
Comme la transmittance d’un intégrateur non entier complexe se décompose
conformément à la relation
pb
pb
pp
an
uuuu lnsinilncos
, a>0, (2.15)
- 47 -
sa restriction dans Cj s’exprime par :
pb
pp
a
C
n
j
uuu lncos
. (2.16)
Le comportement fréquentiel de (p) au voisinage de la fréquence u est caractérisé
par l’ensemble des relations:
2coshj u
b , (2.17)
90jarg u a
, (2.18)
a20jlog d
du
dB
(2.19)
2tanh10ln
180jarg
log d
det
u
bb . (2.20)
Ces relations expriment qu’à la fréquence u:
- le gain doit être réajusté conformément à la relation (2.17) afin d’assurer |(ju)|=1 ;
- le placement en phase du lieu de Nichols de (j) (relation (2.18)) est exclusivement lié à
l’ordre réel d’intégration, a ;
- la pente de gain (relation (2.19)) n’est pas affectée par l’ordre imaginaire d’intégration, b ;
- la pente de phase (relation (2.20)) est une fonction paire de b et est donc toujours négative.
Ainsi, a posteriori et afin que l’ordre imaginaire d’intégration b agisse, non seulement
sur la valeur absolue de la pente du lieu de Nichols de (j) à la fréquence u, mais
également sur son signe, il convient de décrire le gabarit généralisé par la transmittance:
,lncos2
cosh
)(-sign
uu
)(signb
pb
pbp
ab
(2.21)
que l’on peut écrire sous la forme:
.2
cosh
)(-sign
jC
i
uu
)(sign
b
bab
ppbp
(2.22)
Le paramètre n (n=a+ib) ne représente (en toute rigueur) l’ordre d’intégration
complexe de la transmittance (p) (2.22) que lorsque le paramètre b est négatif. Néanmoins,
- 48 -
afin d’alléger les développements ultérieurs, nous conviendrons de conserver la dénomination
ordre d’intégration lorsque le paramètre b est positif.
En dehors des valeurs de b inférieures à l’unité pour lesquelles se manifestent de très
faibles ondulations de gain et de phase, la figure (2.10) révèle l’excellente linéarité des
gabarits généralisés. Pour un ordre réel d’intégration donné, soit a = 1.5, cette figure
représente les gabarits généralisés correspondant à différentes valeurs de l’ordre imaginaire
d’intégration, b, en l’occurrence : -2 ; -1.5 ; -1 ; -0.5 ; 0 ; 0.5 ; 1 ; 1.5 ; 2.
Ainsi, la transmittance (2.22) s’avère une excellente transmittance opérationnelle de
description du gabarit généralisé.
Figure 2.10 : Gabarits généralisés pour un ordre réel d’intégration donné, en l’occurrence
a=1.5, et différents ordres imaginaires d’intégration
2.4 - Construction des contours d’isoamortissement
L’objet de ce paragraphe est de déterminer une famille de transmittances de
description du type (2.22) qui présentent notamment la même fréquence au gain unité u et
qui assurent le même facteur d’amortissement en boucle fermée, puis d’utiliser la linéarité des
lieux de Nichols correspondants pour la construction d’un contour d’isoamortissement par la
technique des enveloppes.
La paire de pôles complexes conjugués dont résulte le mode oscillatoire en boucle
fermée satisfait à l’équation caractéristique :
01 p , (2.23)
- 49 -
ou, dans le cadre d'une normalisation des pôles par rapport à la fréquence u, soit p'=p/u :
0'1 p , (2.24)
ou encore, compte tenu de l'expression de (p) (relation (2.21)) :
0'lncos'2
cosh1)(sign-
)(sign
b
pbpb a
b
. (2.25)
Pour la variable opérationnelle p' exprimée en coordonnées polaires, soit p'=ej
,
l'équation caractéristique normalisée devient :
0),,F( a,b , (2.26)
avec
bbba,b abab jlncos2
coshe),,F( )jsign(-)sign(
. (2.27)
La fréquence u étant fixée, la paire de pôles, solution de cette équation, dépend
uniquement de l'ordre n d'intégration de la transmittance (p) (relation(2.22)).
Lorsque la paire de pôles décrit les deux demi-droites d'isoamortissement représentées
figure (2.11) dans Cj, l'ordre n d'intégration associé au gabarit généralisé décrit dans Ci le lieu
des ordres d'intégration assurant le même facteur d'amortissement (défini par le cosinus du
demi-angle au centre que forme la paire de pôles), soit :
0,,,F ,arccos ,R;i ,Ci babann o . (2.28)
0 demi-droites
d’isoamortissement
= - coso
Im[p]
Re[p]
+o
-o
p+=ejo
p-=ej-o
Figure 2.11 : Demi-droites d’isoamortissement dans le domaine symbolique
- 50 -
Compte tenu de la propriété que définit l'égalité
),,,F(),,F( 1 ba,a,b (2.29)
le lieu présente une symétrie par rapport à l'axe réel du plan complexe i. Cette propriété
permet de limiter l'étude aux ordres imaginaires d'intégration b négatifs.
Une telle réduction du domaine d'étude permet de ramener la détermination des
éléments de à la résolution d'un système de deux équations non linéaires à variables
séparables issues de la décomposition en parties réelle et imaginaire de F(a,b,,), soit :
gf
gf
22
11
ba
ba, (2.30)
où les fonctions f1, f2, g1 et g2 sont respectivement définies par :
o
2
1 cosf aa , (2.31)
o
2
2 sinf aa , (2.32)
2cosh
lncoscoshg o
1
b
bbb (2.33)
et
2cosh
lnsinsinhg o
2
b
bbb . (2.34)
La solution d'un tel système s'obtient par la minimisation (à l'aide de la méthode du
gradient conjugué) d'un critère quadratique, soit :
.gfgfJ2
222
11 baba (2.35)
Il est à noter que le lieu admet comme élément l'ordre réel d'intégration
0 o
nn Im
, (2.36)
qui correspond à la verticalité du gabarit généralisé.
- 51 -
La figure (2.12) représente le lieu correspondant à la valeur = 0,1.
Partie réelle
Figure 2.12 : Lieu des ordres d’intégration assurant le même facteur d’amortissement, en
l’occurrence =0,1
Compte tenu de l'excellente linéarité du lieu de Nichols de (p) (relation(2.22)) autour
de la fréquence u, une approximation légitime consiste à le confondre, autour de cette
fréquence, à sa tangente au point fréquentiel u, n, d'équation
,BAY : nnn (2.37)
avec
2tanh ln(10) 9
)sign(A
bb
abn (2.38)
et
2tanhln(10)
10)sign(B
2
bb
abn . (2.39)
En notant 21
I nn le point d'intersection de deux gabarits généralisés, restrictions de deux
droites 1n et
2n , le contour d'isoamortissement C se définit comme le lieu des points 21
I nn
tels que les ordres n1 et n2 soient deux éléments du lieu différents mais infiniment proches,
soit :
21
21
2121
0
,21 Ilim,,/C
nnnn
nnnnMnnPM . (2.40)
Par
tie
imag
inai
re
- 52 -
En d'autres termes, le contour d'isoamortissement est défini comme l'enveloppe de la
famille de droites n correspondant à des ordres n appartenant à un même lieu .
La figure (2.13) illustre la construction du contour d'isoamortissement correspondant à
un facteur d'amortissement de 0,1.
Figure 2.13 : Construction du contour d’isoamortissement correspondant au facteur
d’amortissement =0,1
Le contour ainsi tracé montre qu'un contour d'isoamortissement ne fait l'objet que
d'une représentation partielle. Celle-ci résulte des limitations de la méthode de construction.
La validité d'une telle méthode exige en effet que dans le cadre de son application certains
grands principes de l'automatique soient respectés.
1 - D'une manière générale, afin que la dynamique en boucle fermée (que détermine le
comportement en boucle ouverte au voisinage de la fréquence au gain unité u) soit
représentative du transitoire de la réponse indicielle en asservissement ou en régulation, il faut
notamment que le gain en boucle ouverte augmente suffisamment rapidement lorsque la
fréquence diminue en deçà de u.
2 - Dans le cas d'une réponse indicielle en asservissement ou en régulation comportant un
mode oscillatoire, afin que la fréquence propre et le facteur d'amortissement d'un tel mode
chiffrent bien la rapidité et l'amortissement de la dynamique, il faut que ce mode soit
suffisamment dominant. La vérification d'une dominance assure alors celle de la première
condition.
Dans le cas d'une intégration généralisée en boucle ouverte où la pente de gain est de
-20adB/dec autour de la fréquence u, a désignant l'ordre réel d'intégration, il faut donc que a
reste suffisamment grand, en l'occurrence supérieur à l'unité, pour assurer une croissance
- 53 -
suffisamment rapide du gain avec une diminution de la fréquence en deçà de u, une telle
condition impose alors une limite supérieure au placement en phase des gabarits, en
l'occurrence à -/2, pour la construction des contours d'isoamortissement par la technique des
enveloppes.
La figure (2.14) propose un réseau de contours d'isoamortissement construits selon
cette technique et correspondant à des valeurs du facteur d'amortissement comprises entre
0,1 et 1 par pas de 0,1.
-180 -170 -160 -150 -140 -130 -120 -110 -100 -90-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
Phase(deg)
Ga
in(d
B)
0.1
0.2
0.3
0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
Figure 2.14 : Réseau de contours d’isoamortissement
2.5 - Expression analytique des contours d’isoamortissement
2.5.1 - Equation du contour
Etant donné que les contours d’isoamortissement résultent d’une construction par la
technique des enveloppes (paragraphe 2.4), et ne sont ainsi définis que graphiquement, il
convient de les définir algébriquement pour leur exploitation dans le cadre d’une approche
analytique. A cet effet, à partir des données graphiques de chaque contour, une équation
polynomiale est déterminée par interpolation.
Un contour d’isoamortissement de paramètre , noté , est alors défini par une
équation de la forme:
3
0=k
22
0
= avec : k
jkj
j
j
j afYfX , (2.41)
- 54 -
X et Y étant les coordonnées toujours exprimées en degré et en décibel, les coefficients ajk
étant donnés par le tableau (2.1).
Le contour se définit par:
0, ,, YXgPYXM , (2.42)
avec :
.=, 22
0
j
j
j YfXYXg
(2.43)
j k 0 1 2 3
0 -180.36 117.7 -74.316 40.376
1 -1.1538 3.8888 -5.2999 2.5417
2 -0.0057101 0.0080962 -0.0060354 0.0016158
Tableau 2.1 : Valeurs des coefficients ajk
2.5.2 - Equation de la tangente
Le gradient de g(X,Y) au point (Xi, Yi) s’écrit :
3
0
2
3
i
3
0
1i
,
,
42
1
),(
),(
),( grad
ii
ii
i,
ik
k
k
k
k
k
YX
YX
aYaY
Y
YXg
X
YXg
YXgYX
. (2.44)
La tangente à au point (Xi, Yi) satisfait au déterminant égalé à zéro :
0),(
),(
ii
ii
,
i
,
i
YX
YX
X
YXgYY
Y
YXgXX
, (2.45)
dont la résolution conduit à l’équation de la tangente :
22 XY , (2.46)
- 55 -
dans laquelle :
3
0
2
3
i
3
0
1i
2
42
1
),(
),(
ii
ii
k
k
k
k
k
k
YX
YX
aYaYY
YXg
X
YXg
(2.47)
et
i3
0
2
3
i
3
0
1i
iii2
42
1
),(
),(
ii
ii X
aYaY
YX
Y
YXg
X
YXg
Y
k
k
k
k
k
k
YX
YX
. (2.48)
2.6 - Conclusion
Dans le cas d’un comportement rectiligne illimité en boucle ouverte, nous présentons
des contours significatifs du facteur d’amortissement du mode oscillatoire des réponses
indicielles en asservissement et en régulation.
Dans le cadre d’une étude sur la commande de procédés peu amortis, ces contours
représentent un outil de grand intérêt comme cela sera montré dans la suite de ce document.
- 56 -
- 57 -
Chapitre 3
Commande CRONE monovariable
de systèmes peu amortis
3.1 - Introduction
La robustesse est une notion très large qui traduit toujours la même idée, à savoir
l'insensibilité ou à défaut la quasi-insensibilité. La commande CRONE, abréviation de
Commande Robuste d'Ordre Non Entier, a pour objectif la robustesse du degré de stabilité de
la commande vis-à-vis des incertitudes du procédé [Ous99a]. Le degré de stabilité est mesuré
par le facteur de résonance en asservissement ou le facteur d'amortissement en asservissement
et en régulation : le premier facteur est en effet significatif du premier dépassement réduit de
la réponse libre ou indicielle en asservissement ou en régulation ; le second est significatif de
l'amortissement de son mode oscillatoire. Les incertitudes sont prises en compte à travers les
véritables domaines qu'elles définissent.et sans distinction de leur nature, qu'elles soient
notamment structurées ou non structurées. L'ordre non entier d'intégration, réel ou complexe
selon la génération de la commande, permet de paramétrer la transmittance en boucle ouverte
avec peu de paramètres et de réduire ainsi l'optimisation à la recherche de leur valeur
optimale.
Ce chapitre rappelle les fondements de la commande CRONE monovariable et
propose une application aux systèmes peu amortis [Ous95c, Ous95d]. Ces systèmes sont en
nombre croissant, en particulier dans les applications aéronautiques, et les problèmes liés à
leur commande se multiplient avec des contraintes fortes telles que la gestion des modes de
structures basses fréquences sans dégradation des performances des lois de pilotage par
exemple. L’application traitée en fin de chapitre est le contrôle actif de vibrations sur le
premier procédé d’étude présenté dans le chapitre 1, à savoir la maquette pédagogique de
poutre encastrée-libre.
- 58 -
3.2 - Principe de la commande CRONE
3.2.1 - Introduction à la commande CRONE
La commande CRONE est basée sur la configuration commune de retour unitaire
figure (3.1). Le correcteur ou la fonction de transfert en boucle ouverte sont définis en
utilisant l'opérateur de dérivation ou d'intégration d'ordre non entier. La robustesse exigée est
celle des marges de stabilité et des performances, et en particulier la robustesse du maximum
Qr de la fonction complémentaire commune T de sensibilité. Trois générations de commande
CRONE ont été développées [Ous99a].
y2(p) y1(p) e1(p)
C(p) G(p)
e2(p)
Figure 3.1 : Configuration commune de retour unitaire
3.2.1.1 - Principe de la commande CRONE de première génération
Les variations de la marge de phase de la commande consécutives aux variations
paramétriques du procédé résultent des variations de phase du procédé et du régulateur autour
de la fréquence u qui est elle même susceptible de varier. La stratégie de la commande
CRONE de première génération consiste à réduire les variations de la marge de phase aux
variations de phase du procédé en implantant un correcteur à phase constante autour de la
fréquence u. Ce régulateur CRONE à phase constante est fondé sur une transmittance
d’ordre non entier réel n de la forme [Ous91] :
n
h
b
p
p
CpC
1
1
)( 0 (3.1)
La stratégie de la commande CRONE première génération est particulièrement
appropriée lorsque la fréquence u est comprise dans une bande de fréquence où la réponse
fréquentielle du procédé est asymptotique, c’est à dire où sa courbe de phase est constante, et
où donc ne se manifestent que des incertitudes portant sur le gain du procédé. Un tel
- 59 -
comportement situé en haute fréquence génère des niveaux de commande souvent trop
importants. Le choix de la commande CRONE de deuxième génération est alors à favoriser.
3.2.1.2 - Principe de la commande CRONE de deuxième génération
Quand le procédé n'est soumis qu'à des variations de type gain autour de la fréquence
u, les variations de marge de phase dues à la non constance de sa phase en fonction de la
fréquence sont maintenant compensées par la phase du régulateur. Ce régulateur qui n'est plus
à phase constante, permet de synthétiser un gabarit vertical (dans le plan de Nichols) auquel
correspond la transmittance en boucle ouverte [Ous91] :
.,,pour Rnp
p B
n
Au (3.2)
Cette transmittance assure la robustesse aux variations de gain, des marges de phase et
de module et des facteurs de résonance et d'amortissement figure (3.2).
A
B
0 arg j
j
m
0 dB u
D' 1
dB
Gabarit
vertical
Figure 3.2 : La forme et le glissement vertical du gabarit assurent à la fois la robustesse
de la marge de phase, du premier dépassement réduit et du facteur d'amortissement
Néanmoins, pour prendre en compte à la fois le gabarit vertical au voisinage de la
fréquence u ainsi que des spécifications de précision ou de sensibilité au bruit, la fonction de
transfert de la boucle ouverte utilisée est la suivante :
h
hb
hb
1
1
1
1
1)(n
n
n
pp
p
pKp
b
, (3.3)
- 60 -
avec b et h les fréquences transitionnelles respectivement basse et haute fréquence (voir
paragraphe 3.3.1).
Le correcteur est ensuite défini par le rapport entre la réponse fréquentielle en boucle
ouverte et la réponse fréquentielle nominale du procédé :
)()()( 0 jjj GC . (3.4)
3.2.1.3 - Principe de la commande CRONE de troisième génération
La commande CRONE de troisième génération doit être utilisée quand la réponse
fréquentielle du procédé possède des incertitudes de nature variée (autre que de type gain)
[Ous96, Lan94]. Le gabarit vertical est alors remplacé par un gabarit généralisé (toujours
décrit par un segment de droite dans le plan de Nichols mais de direction quelconque), ou
encore par un multi-gabarit (ou gabarit curviligne) défini par un ensemble de gabarits
généralisés.
Dans le cadre de cette généralisation, il existe un nombre indéfini de gabarits
généralisés qui peuvent tangenter :
- le même contour d'isodépassement (de graduation D'1)
- ou le même contour d'isoamortissement (de graduation ).
Parmi l'infinité de gabarits généralisés ainsi définie, il convient de sélectionner un
gabarit optimal au sens de la minimisation d'un critère quadratique lors d'une
reparamétrisation du procédé.
Le gabarit optimal peut donc être défini comme le gabarit généralisé
- qui tangente le contour désiré d'isodépassement D'1 ou d'isoamortissement pour
l'état paramétrique nominal du procédé
- et qui minimise, dans un premier temps, un critère quadratique portant sur les
variations extrémales de D'1 ou de consécutives aux domaines d'incertitudes résultant des
différents états paramétriques possibles du procédé.
Le critère quadratique que minimise le gabarit optimal est alors de la forme :
2'
d1
'
min1
2'
d1
'
max1 DDDDJ (3.5)
ou
2
dmin
2
dmaxJ . (3.6)
- 61 -
selon que l'on cherche à minimiser les variations du premier dépassement réduit ou du facteur
d'amortissement.
En minimisant un tel critère, le gabarit optimal déplace convenablement les domaines
d'incertitudes en les positionnant de manière qu'ils pénètrent le moins possible les zones de
faible degré de stabilité (figure (3.3)). Comme les domaines d’incertitudes sont définis de
manière convexe en incluant toutes les réponses fréquentielles du procédé pour une fréquence,
ils sont de forme quelconque et l’optimisation est nécessairement non linéaire. Il faut donc
limiter le nombre de paramètres à optimiser et la transmittance d’ordre non entier définie avec
peu de paramètres prend alors toute son importance.
Qd
(0 dB, -180°)
u
Qmax
a
b = 0
Qd
(0 dB, -180°)
u
Qmax
a
b
Qd
(0 dB, -180°)
u
Qmax
boptimal
aoptimal
(a)
(b)
(c)
Figure 3.3 : Le gabarit optimal assure le meilleur positionnement
des domaines d'incertitudes (cas c)
L’optimisation dont l’objectif premier est la détermination des paramètres
indépendants de la transmittance optimale en boucle ouverte par minimisation du critère de
coût doit aussi respecter d’autres spécifications prises en compte sous la forme de contraintes
portant sur les fonctions de sensibilité classiques :
- 62 -
l j inf TTG
, (3.7)
TTG
u j sup , (3.8)
usup j
G
S S , (3.9)
CSCSG
u j sup , (3.10)
GSGSG
u j sup . (3.11)
Après l’optimisation, comme pour la commande CRONE de deuxième génération, le
correcteur est ensuite défini par le rapport entre la réponse fréquentielle en boucle ouverte et
la réponse fréquentielle nominale du procédé puis synthétisé par identification fréquentielle.
3.3 - Développement calculatoire relatif à la commande CRONE de
troisième génération
3.3.1 - Forme générale
L’objectif est de décrire analytiquement le comportement en boucle ouverte (pour le
procédé nominal) qui prenne en compte à la fois :
- les spécifications de précision aux basses fréquences ;
- le gabarit généralisé au voisinage de la fréquence u ;
- le comportement du procédé aux hautes fréquences conformément aux spécifications
sur la sensibilité de l’entrée à ces fréquences.
Pour des procédés stables à minimum de phase, il s’avère que le comportement ainsi
défini peut être décrit par une transmittance fondée sur l’intégration non entière complexe
bornée en fréquence, soit :
)()()()( hmb pppp . (3.12)
La transmittance m(p), fondée sur l’intégration non entière complexe, n’est autre que la
transmittance de description du gabarit généralisé bornée en fréquence et définie au
paragraphe 3.3.2.
La transmittance b(p) est celle d’un proportionnel-intégrateur d’ordre nb, dont la fréquence
transitionnelle est égale à la fréquence transitionnelle basse de m(p), afin que le raccordement
- 63 -
de b(p) avec m(p) ne se traduise pas par l’introduction de paramètres supplémentaires. b(p)
est alors défini par :
b
bb 1)(
n
pp ; (3.13)
où nb est choisi compte tenu des spécifications de précision si elles existent. Généralement, si
npb représente l’ordre du comportement asymptotique du procédé en basse fréquence
( < b), l’ordre nb est donné par
1 si et 0 1 pbpbbpbb nnnnsin . (3.14)
La transmittance h(p) est celle d’un filtre passe-bas d’ordre nh, dont la fréquence
transitionnelle est égale à la fréquence transitionnelle de m(p), afin que le raccordement de
h(p) avec m(p) ne se traduise pas par l’introduction de paramètres supplémentaires. h(p) est
alors défini par :
h
h
h
1
1)(
n
pp ; (3.15)
si nph représente l’ordre du comportement asymptotique du procédé en haute fréquence
( > h), l’ordre nh est donné par
phh nn , (3.16)
sachant que, pour > h, nh = nph assure la constance avec la fréquence de la fonction
sensibilité de l’entrée et nh > nph assure sa décroissance avec la fréquence.
3.3.2 - Transmittance de description du gabarit généralisé bornée en fréquence
Dans le cas où la transmittance de description du gabarit généralisé fait l’objet d’une
troncature fréquentielle à la fois en basse et en haute fréquence, il convient de substituer à la
relation (2.22) une expression plus générale de la forme :
1
1
Re
1
1
'sign''i
b
h0/i
b
hm
p
p
Cp
p
Kp
)(bqba
, (3.17)
avec q’ entier introduit pour éviter toute discontinuité du gabarit généralisé [Pom02].
- 64 -
3.3.2.1 - Module et argument de la réponse en fréquences
Réécrite sous une autre forme, la relation (3.17) permet d’établir la réponse en
fréquences :
j
1
j1
ln'iexpRej
1
j1
j
'sign'
b
h0/i
b
hm CbK
)(b-qa
. (3.18)
En posant
,arctanet arctan
,1 , 1
h
h
b
b
2
h
h
2
b
b
= =
(3.19)
la relation (3.18) devient :
ln'cosj
1
j1
j
'sign'
)(j
b
h0
b
hm
bh eCbK
)(b-q
θ
a
, (3.20)
relation dont se déduisent le module et l’argument :
bh
2
b
h
0
2
b
h
m 'sinhln'coslog)'(sign'10log20Klog20)j( dB bCbbqa (3.21)
et
bh
b
h
0bhm 'tanhln'tanarctan)'(sign'180
jarg bCbbqa .(3.22)
Afin que le placement en phase à la fréquence u du gabarit généralisé ne dépende que
du paramètre a, la relation (3.22) montre que le gain C0 doit satisfaire à l’équation :
0'tanhln'tanarctan)'( bh
b
h0C' bbbsignq , (3.23)
- 65 -
de laquelle on tire :
2
1
2
h
u
2
b
u
h
b0
1
1
u
C . (3.24)
Compte tenu de l’expression de Co ainsi obtenue, le module et l’argument de (j ) à la
fréquence u se particularisent conformément aux relations :
b
u
h
u2
2
b
u
2
h
u
m arctanarctan'coshlog)'(sign'10
1
1
log10log20ju
dB bbqaK,(3.25)
et
b
u
h
um arctanarctan
180jarg
ua . (3.26)
3.3.2.2 - Pente du gabarit généralisé
Les dérivées du module et de l’argument par rapport au logarithme décimal de la
fréquence exprimées à la fréquence = u, s’écrivent :
u
2 2m u u
2 2 2 2h u b u
b u uhu 2 2 2 2
h u b u h b
dB( j )20
log( )
20 'sign( ') ' tanh ' arctan arctan
da
d
q b b b
(3.27)
et
u
m bhu 2 2 2 2
h u b u
2 2
u u u u
2 2 2 2
h u b u h b
arg j 180ln(10)
log( )
180ln(10) 'sign( ') ' tanh ' arctan arctan ,
da
d
q b b b
(3.28)
- 66 -
relations desquelles se déduit (dans le plan de Nichols) la pente du gabarit généralisé à la
fréquence u :
, j
(
j
j
u
um
m
m
m
dB
dB
)f(bqbb
)f(bqaa
d
d
ωd
d
d
d
''
''
)log(
))(arg(
)log
)(
)arg(
)(
10
10 (3.29)
avec:
2
b
2
u
2
u
2
h
2
u
2
u0 20aa , (3.30)
2
b
2
u
b
2
h
2
u
hu1 20a , (3.31)
2
b
2
u
b
2
h
2
u
hu0 )10ln(
180ab , (3.32)
2222
2
1
11)10ln(
180
buhu
ub (3.33)
et
b
u
h
u arctanarctan'tanh)'(sign')( bbbbf . (3.34)
Remarque: Détermination de q’ [Pom02]
Pour q’=1, il s’avère que, pour des valeurs de b’ importantes, le gabarit généralisé
peut, à travers sa phase, présenter une discontinuité. Ainsi, afin d’éviter toute discontinuité du
gabarit généralisé, il suffit de s’assurer que q’ est le plus petit entier permettant de vérifier à la
fois :
)'(')( bfqbf (3.35)
et
21 ,min' bbb , (3.36)
avec
- 67 -
)(ln
2
0
1
C
π= b . (3.37)
et
2
h
b0
2
lnω
ωC
π= b . (3.38)
3.3.3 - Caractéristiques du transfert en boucle ouverte
3.3.3.1 - Module et argument de la réponse en fréquences
Le module et l’argument de la réponse en fréquences en boucle ouverte sont calculés à
partir des relations (3.12), (3.13), (3.25) et (3.26). Ils admettent respectivement pour
expressions :
bh
b
h
hhb signj dB 'coshlog)'('10log20log201log10log20)( 2
2
bbqannK b
(3.39)
et
.'tanhln'tanarctan)'(sign'180
)()(2
180 jarg
bh
b
h0
hbb
bCbbq
nhaanbn
(3.40)
3.3.3.2 - Pente de la tangente
En utilisant l’ensemble des relations (3.30) à (3.34), l’expression de la pente de la
tangente au lieu de Nichols en boucle ouverte s’écrit :
0 1
0 1
( ')
( ')arg
dBd j c c f b
d d f bd j
, (3.41)
avec :
=' , =' h
h
b
b , (3.42)
- 68 -
2
2
2
2
2'1
'20
'1
'20
'1
1
h
hh
b
b
b
b0 20 = naanc , (3.43)
2 2
0 2 2 2 2
1
2 2
0
' ' ' 'sin 2 'ln sinh 2 '
1 ' 1 ' 1 ' 1 '=
cos 'ln sinh '
h h b h bh b
b h b h b
hh b
b
C
C
b b
c
b b
(3.44)
2
'1
'
2'1
')10ln(
180
b
bb
h
hh0 annad , (3.45)
et
.
'tanhCln'tan1
'1
'
'1
'Cln'tan1'tanh
)10ln(180
'tanhCln'tan1
'1
'
'1
''tanh1Cln'tan
)10ln(180
bh
2
b
h0
2
2
b
2
b
2
h
2
h
b
h0
2
bh
bh
2
b
h0
2
2
b
b
2
h
hbh
2
b
h0
1
bb
bb
bb
bb
d
(3.46)
3.3.3.3 - Equation de la tangente à la fréquence u
A la fréquence u, les relations (3.39), (3.40) et (3.41) se particularisent conformément
à :
0j dBu, (3.47)
ubuhuhhubbu2
180jarg ann (3.48)
et
- 69 -
u
0u 1u u
0u 1u u
' ( ')
'arg ( )
dBd j c c q f b
d +d q f (b')d j, (3.49)
avec:
b
uub
h
uuh arctan= , arctan= , (3.50)
2 2 2
b u u0u h2 2 2 2 2 2
b u h u b u
= - 20 20 20 bc n a n a , (3.51)
'sinh
'2sinh 10- =
bh
2
ubuh
2
u
2
b
b
2
u
2
h
hu1u
b
bc , (3.52)
)10ln(180
2
u
2
b
b
b2
u
2
h
hhuu0 annad , (3.53)
ubuh
u
u
uh
uu 'tanh)10ln(
18022
b
2
22
2
1 bd (3.54)
et
ubuhu 'tanh)'(sign')( bbbbf (3.55)
3.4 - Commande CRONE de système peu amortis
3.4.1 - La problématique
Le problème de la commande robuste de procédés peu amortis ou résonants revêt un
caractère important de par le recensement croissant de tels procédés, notamment dans les
domaines de la robotique et bien sûr de l'aéronautique.
L’objectif est ici de contrôler la valeur de l’amortissement du système asservi. La
méthode repose sur les contours d’isoamortissement définis au chapitre 2. En effet, en
assurant la tangence de la boucle ouverte de la commande CRONE à un contour
d’isoamortissement choisi, il est possible d’imposer au système asservi – dans ces limites
physiques - un amortissement égal à la valeur du contour.
- 70 -
Cependant, avant d’assurer cette tangence, le transfert en boucle ouverte de la version
initiale de la commande CRONE doit être étendu car il n'est pas adapté à la commande des
procédés résonants.
3.4.2 - Extension du transfert en boucle ouverte
Le principe de l'extension du transfert en boucle ouverte de la commande CRONE aux
procédés résonants repose sur l'approche "Placement de pôles robuste avec calibrage de la
fonction sensibilité" [Lan93, Ous95d]. Il a été notamment mis l'accent dans cette approche sur
l'importance :
- de ne pas simplifier les modes résonants du procédé ;
- d'atténuer fortement la fonction sensibilité à des fréquences proches des modes
résonants à commander ;
- d'atténuer fortement la fonction sensibilité complémentaire à des fréquences proches
des modes résonants à commander.
Ces exigences ont respectivement pour objet d'éviter :
- qu'une perturbation de commande n'excite les modes résonants du procédé ;
- qu'une petite variation des modes résonants ne conduise à des grandes variations du
comportement en boucle fermée ;
- qu'une perturbation de sortie n'excite les modes résonants du procédé ;
- qu'un bruit de mesure ou une consigne n'excite les modes résonants du procédé.
Dans son approche, I. D. Landau montre qu'un moyen de réaliser les deux dernières
exigences est d'exprimer les numérateur et dénominateur R(z-1) et S(z-1) du régulateur
(solutions de l'équation de Bezout résultant de l'expression du polynôme caractéristique) en
fonction de parties fixes pré-spécifiables, HR(z-1) et HS(z-1). Les polynômes HR(z-1) et HS(z-1)
sont constitués par des produits de polynômes du second degré dont le module des zéros situe
la plage fréquentielle de l'atténuation maximale des fonctions sensibilité et sensibilité
complémentaire. Ainsi, en notant respectivement B(z-1)/A(z-1) et P(z-1), la transmittance
discrète du procédé nominal et le polynôme caractéristique de la boucle fermée, les parties
inconnues du régulateur R'(z-1) et S'(z-1) intervenant en facteur dans les expressions
)(')()( -1-1
R
-1 zRzHzR (3.56)
et
)(')()( -1-1
S
-1 zSzHzS , (3.57)
sont solutions d'une équation de Bézout de la forme :
)(')()()(')()()( 11
R
111
S
1-1 zRzHzBzSzHzAzP . (3.58)
- 71 -
L'extension de la commande CRONE scalaire repose sur la mise en facteur dans la
transmittance en boucle ouverte des polynômes HR(z-1) et HS(z-1), ces polynômes se retrouvant
de facto dans la transmittance du régulateur qui se déduit en effet du rapport de la
transmittance de la boucle ouverte ainsi définie et de la transmittance nominale du procédé.
Dans ce contexte, la transmittance (p) définie par la relation (3.12), notée )(~
p , fait
l'objet de la complexification suivante, soit :
)()(~
)( r ppp , (3.59)
r(p) désignant la partie de (p) prenant en compte les Nr modes résonants du procédé au sens
des exigences citées précédemment (un mode sera généralement considéré résonant si son
coefficient d'amortissement est inférieur à 0.2).
La première exigence résulte de la présence des modes résonants du procédé dans la
fonction de transfert perturbation de commande-sortie nominale dans le cas où ces modes
résonants ne sont pas présents au dénominateur de la fonction en boucle ouverte. Si l'on note
)()(
)()(
r pPpP
pZpG (3.60)
la fonction de transfert du procédé, et
d(p)
n(p)p)( (3.61)
la transmittance en boucle ouverte, alors la fonction de transfert perturbation de commande-
sortie est définie par :
d(p)n(p)
d(p)
pPpP
pZ
β(p)
G(p)GS(p)
)()(
)(
1 r
. (3.62)
Les polynômes Z(p), )( pP , Pr(p), n(p) et d(p) sont des polynômes mutuellement
copremiers. Les racines de )( pP sont les pôles simples à partie réelle négative de G(p) alors
que les racines de Pr(p) sont les modes résonants de G(p).
L'expression (3.62) montre que si Pr(p) ne divise pas d(p), alors la fonction de transfert
GS(p) est résonante comme G(p). Il convient donc d'introduire les Nr modes résonants de G(p)
constitutifs de Pr(p) dans le dénominateur de r(p) qui apparaît dans (3.59).
- 72 -
La deuxième exigence est satisfaite en incluant dans r(p) un produit de transmittances
de la forme
1²
p)(
2
n
rDrD p
C (3.63)
pour annuler la fonction sensibilité à la fréquence n, ou un produit de transmittances de la
forme
12²
)(
n
2
n
rD
pp
Cp
rD (3.64)
pour seulement atténuer la fonction sensibilité à la fréquence n. CrD assure un gain unitaire à
la transmittance )( prD à la première fréquence de résonance r de la fonction sensibilité
complémentaire. Le produit des dénominateurs des transmittances )( prD joue le même rôle
que la partie fixe HS(z-1) (3.57). Les paramètres de )(~
p utilisés pour l'illustration ont été
choisis en vue de donner une allure réaliste au diagramme de gain de S(p). Ils ont pour valeur
nb = 1, nh = 2, N- = 0, N+ = 0, u = 1 rd/s, Qa = 0,001 dB, y0 = 1,6 dB (valeur du gain en boucle
ouverte pour u), desquels se déduisent les parties réelle et imaginaire de l'ordre non entier
complexe d'intégration a = 18,07, b’ = -18,86 et q’ = 1.
La figure (3.4) illustre l'effet de la transmittance )(rD p de type (3.64) sur la fonction
sensibilité de la commande CRONE à travers l'annulation de cette fonction à la fréquence
n = 5 rd/s.
Figure 3.4 : Annulation de la fonction sensibilité de la commande CRONE
à la fréquence n =5 rd/s
- 73 -
La troisième exigence est satisfaite en incluant dans r(p) (3.59) un produit de
transmittances de la forme
1'
²)(
2
n
rNrN
pCp (3.65)
pour annuler la fonction sensibilité complémentaire à la fréquence '
n ou un produit de
transmittances de la forme
1'
2'
²)(
n
2
n
rN
ppCp
rN (3.66)
pour seulement atténuer la fonction sensibilité complémentaire à la fréquence ’n. CrN
assurent un gain unitaire à la transmittance )(rN p à la fréquence r. Le produit des
polynômes )(rN p joue le même rôle que la partie fixe HR(z-1) (3.56).
La figure (3.5) illustre l'effet de la transmittance )(rN p de type (3.66) sur la fonction
sensibilité complémentaire de la commande CRONE à travers l'annulation de cette fonction à
la fréquence ’n = 5 rd/s. Les paramètres de )(~
p utilisés pour l'illustration ont été choisis
pour donner une allure réaliste au diagramme de gain de T(p). Ils ont pour valeur nb = 1,
nh = 2, N- = 0, N+ = 0, u = 1 rd/s, Qa = 0,001 dB, y0 = 1,6. Une transmittance )(rD p (3.64), de
paramètres n = 25 rd/s et = 1, a été introduite pour atténuer le gain de T(p) après la réjection
fréquentielle. Se déduisent alors les parties réelle et imaginaire de l'ordre non entier complexe
d'intégration a = 19,09, b’ = -20,35 et q’=1.
Figure 3.5 : Annulation de la fonction sensibilité complémentaire de la commande CRONE
à la fréquence ’n = 5 rd/s
- 74 -
Un filtre de réjection est alors défini par le produit de )(rN p et )(rD p , soit :
)()()( rDrNrND ppp . (3.67)
La stratégie de commande consiste à inclure dans r(p) autant de filtres de réjection
que de modes résonants à commander. La forme générale de r(p) est alors donnée par
c
k
r
ii
i
1rND
1
*
rr
r
r )(
-1-1
)(N
k
N
i
p
p
p
p
p
Cp , (3.68)
où Nc représente le nombre de modes à commander (Nc≤Nr). Le vecteur des paramètres
indépendants associé à r(p) est défini par le vecteur-bloc
TTT
rr ,...,1 Ncrvvv (3.69)
où chaque sous-vecteur vrk est associé à un filtre de réjection rNDk(p). Le sous-vecteur vrk est
formé par les 4 paramètres significatifs de rNDk(p), soit :
T
rk ,,',' kkkkv (3.70)
où k' et k représentent les rapports entre les fréquences ’nk et nk de rNDk(p) et la fréquence
propre non amortie de la paire de pôles résonants *
rr kk, pp , soit
kr
nkk
''
pet
kr
nkk
p.
Le nouveau vecteur des paramètres indépendants associé à (p) (3.59) est alors
complexifié conformément à :
TTT ,...,~
rvvv (3.71)
où le vecteur v~ est associé à )(~
p et vr est défini par l'expression (3.69). La complexité de la
paramétrisation non entière complexe de la transmittance en boucle ouverte nominale est
augmentée de 4 Nc.
- 75 -
3.5 - Exemple d’application
3.5.1 - Modélisation du procédé d’étude
Le procédé d’étude est la poutre active peu amortie décrite dans le paragraphe 1.4.1.
Une poutre encastrée-libre peu amortie peut être modélisée comme une somme de systèmes
du second ordre. Dans notre étude, les essais réalisés sont des essais de lâcher sollicitant
essentiellement les premiers modes. Par conséquent, seuls les deux premiers modes sont pris
en compte pour la modélisation du système. La structure est donc modélisée sous la forme
[Pom06]:
1 2
2 2
1 2
1 1 2 2
( )2 2
1 1
k kT p
p pp p
(3.72)
avec:
1 et 2 les pulsations propres non amorties (ici proches des pulsations de résonance)
respectivement des modes 1 et 2,
k1 et k2 les gains statiques des fonctions de transfert de chaque mode,
et les facteurs d’amortissement respectivement des modes 1 et 2.
Des mesures effectuées sur le procédé d’étude permettent d’évaluer les paramètres du
modèle. A partir du tracé des diagrammes de Bode du procédé d’étude comprenant, non
seulement la poutre, l’actionneur piézoélectrique et le capteur piézoélectrique, mais aussi
l’amplificateur de tension et l’amplificateur de charges, on mesure :
les fréquences de résonance réelles f1 et f2 du procédé,
les gains statiques k1 et k2 entre le signal d’entrée et le signal de sortie.
les facteurs de qualité Q1 et Q2 respectivement des modes 1 et 2 en utilisant les
fréquences à -3 dB (voir figure 3.6). Les facteurs d’amortissement 1 et 2 de la
structure sont déduits de ces facteurs de qualité par une formule simple valable
pour les systèmes peu amortis : =1/2Q
- 76 -
Facteur de qualité :
Q = 0/ =1/2
Figure 3.6 : Mesure du facteur de qualité
Les résultats de mesures pour 5 cas différents (pas de masse ajoutée à l’extrémité de la
poutre et 4 masses différentes ajoutées) sont donnés dans le tableau 3.1.
f1 (Hz) Q1 k1 f2 (Hz) Q2 k2
Cas 1 : Pas de masse ajoutée 20.985 91 0.036 121.17 142 0.012
Cas 2 : Masse 1 20.35 92 0.026 118.14 164 0.009
Cas 3 : Masse 2 19.27 96 0.032 114 115 0.012
Cas 4 : Masse 3 17.41 96 0.028 109 100 0.007
Cas 5 : Masse 4 16.1 100 0.02 103 105 0.004
Tableau 3.1 : Valeurs des caractéristiques du procédé d’étude
Remarque :
Pour le cas où aucune masse n’est ajoutée, la légère différence observée entre les
valeurs réelles des fréquences propres et les valeurs théoriques de la formule (1.19) provient
du fait que le capteur et l’actionneur piézoélectriques ne sont pas pris en compte dans cette
formule.
La figure (3.7) représente les diagrammes de Bode des fonctions de transfert du
procédé pour les différents cas.
- 77 -
-100
-80
-60
-40
-20
0
20M
agnitude (
dB
)
101
102
103
104
-180
-135
-90
-45
0
Phase (
deg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec)
Figure 3.7 : Diagrammes de Bode du procédé d’étude pour les 5 cas du tableau 3.1
3.5.2 - Synthèse de la loi de commande
L’objectif est de synthétiser une loi de commande qui permet d’obtenir une réponse en
boucle fermée avec un amortissement de 0,1 ou de 0,7 pour l’état nominal. Le premier cas
correspond à la synthèse d’une boucle ouverte tangentant un contour d’isoamortissement de
valeur 0,1 et le second cas correspond à la synthèse d’une boucle ouverte tangentant un
contour d’isoamortissement de valeur 0,7.
Dans les deux cas, l’objectif est d’amortir les vibrations des deux premiers modes.
Comme décrit dans le paragraphe 3.4, il faut considérer un transfert en boucle ouverte
complété avec les deux modes résonants et le mode anti-résonant du procédé nominal ainsi
que par des filtres qui donnent au lieu de Nichols une forme qui lui permet de répondre aux
performances demandées.
- 78 -
3.5.2.1 - Cas d’étude n°1
L’objectif est un facteur d’amortissement pour l’état nominal égal à 0,1. Le calcul de
la transmittance en boucle ouverte optimale est effectué avec un seul gabarit généralisé borné
en fréquence. La pulsation au gain unité est choisie de manière à être inférieure à la première
pulsation de résonance du système à commander. Il faut cependant aussi la choisir la plus
grande possible, sans que les domaines d’incertitudes ne pénètrent trop les contours de
performance, de manière que la commande puisse être efficace. Elle est égale à 12 rad/s dans
le cas de notre étude. Le comportement de la boucle ouverte en basse et haute fréquences est
fixé par nb = 0 et nh = 1 pour limiter l’amplification du bruit en haute fréquence. Les
contraintes suivantes sont définies :
- maximum de la tension d’entrée : 130V sur les actionneurs piézoélectriques, soit
10V avant l’amplificateur de tension, soit 1V au niveau de la carte D-Space ;
- maximum de la fonction sensibilité complémentaire T fixé à 3 dB ;
- maximum de la fonction sensibilité S fixé à 6 dB ;
Afin de prendre en compte les résonances du système, il est nécessaire d’ajouter dans
la transmittance en boucle ouverte les résonances des modes à 121 rad/s et 716,3 rad/s et
l’antirésonance du mode à 223,5 rad/s.
Enfin, deux filtres ont été ajoutés à l’expression du transfert en boucle ouverte pour
« modeler » finement l’allure de la boucle ouverte. Leurs expressions sont données par :
2
2
r1 2
2
6 150 50
2 1130 130
p p
p p
(3.73)
et
20.32 1
2 220220r2 2
2 12 386386
p p
p p
. (3.74)
Leurs diagrammes de Bode sont représentés par les figures (3.8) et (3.9). Ces
diagrammes permettent d’évaluer l’effet des filtres. Les filtres sont pour le premier un filtre
passe-haut et pour le second un filtre réjecteur. Ils permettent de remonter le gain du lieu de
Nichols en boucle ouverte entre deux contours sans que les domaines d’incertitudes ne
pénètrent les contours, ce qui a pour effet d’augmenter la bande passante du correcteur.
- 79 -
0
5
10
15
20
Magnitu
de (
dB
)
10-1
100
101
102
103
104
0
90
180
270
360
Phase (
deg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec) Figure 3.8 : Cas n°1 - Diagrammes de Bode du premier filtre
-20
-10
0
10
20
30
Magnitu
de (
dB
)
100
101
102
103
104
105
0
90
180
270
360
Phase (
deg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec) Figure 3.9 : Cas n°1 - Diagrammes de Bode du second filtre
Le résultat de l’optimisation conduit aux paramètres optimaux suivants :
06.2a , ' 0.278b ; q’ = 4; Yt = -5.28dB (valeur du gain en boucle ouverte pour lequel il y
a tangence); 42.8b
rad/s et 1000h
rad/s (fréquences basse et haute du gabarit
généralisé).
Le lieu de Nichols en boucle ouverte correspondant à ces paramètres est donné par la
figure (3.10) sur laquelle on observe que le lieu de Nichols tangente le contour
d’isoamortissement de valeur 0,1 sans que les domaines d’incertitudes ne pénètrent les
contours.
- 80 -
Figure 3.10 : Cas n°1 - Lieu de Nichols optimal en boucle ouverte
La fonction rationnelle de transfert du régulateur est synthétisée par identification dans
le domaine fréquentiel et a pour expression :
1376.04.57.3175.148.179.859.265.3
66.986.017.089.611.1165.124.289.2)(
2233445669711814
233445669711
ppepepepepepepe
pppepepepepepC .(3.75)
La figure (3.11) donne les diagrammes de Bode du régulateur sur lesquels on observe
que son gain est suffisant au-delà du premier mode de résonance du procédé à commander,
permettant ainsi d’atténuer les vibrations.
-100
-80
-60
-40
-20
0
20
Magnitu
de (
dB
)
10-1
100
101
102
103
104
105
106
-180
0
180
360
540
720
Phase (
deg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec) Figure 3.11 : Cas n°1 – Diagrammes de Bode du correcteur
- 81 -
3.5.2.2 - Cas d’étude n°2
L’objectif est un facteur d’amortissement pour l’état nominal égal à 0,7. Le calcul de
la transmittance en boucle ouverte optimale est effectué avec un seul gabarit généralisé borné
en fréquence. Comme dans le premier cas, la pulsation au gain unité est choisie égale à 12
rad/s. Le comportement de la boucle ouverte en basse et haute fréquences est toujours fixé par
nb = 0 et nh = 1. Les résonances et anti-résonances à intégrer dans la boucle ouverte ainsi que
les contraintes sont les mêmes que pour le cas d’étude n°1.
Deux filtres ont été ajoutés à l’expression du transfert en boucle ouverte. Leurs
expressions sont données par :
1115115
165
365
)(2
2
1
pp
pp
pr (3.76)
et
1350350
1225
2.0225
)(2
2
2
pp
pp
pr. (3.77)
Leurs diagrammes de Bode sont représentés par les figures (3.12) et (3.13). Ces filtres
ont les mêmes effets que dans le premier cas d’étude.
0
5
10
15
Magnitu
de (
dB
)
10-1
100
101
102
103
104
0
90
180
270
360
Phase (
deg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec) Figure 3.12 : Cas n°2 - Diagrammes de Bode du premier filtre
- 82 -
-20
-10
0
10
20
Magnitu
de (
dB
)
100
101
102
103
104
0
90
180
270
360
Phase (
deg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec) Figure 3.13 : Cas n°2 - Diagrammes de Bode du second filtre
Le résultat de l’optimisation conduit aux paramètres optimaux suivants:
18.1a , ' 0.46b ; q’ = 3 ; Yt = -8.2dB; 4.5b
rad/s ; 148h
rad/s,
ainsi qu’au lieu de Nichols en boucle ouverte donné par la figure (3.14). Les contours sont
pour ce cas d’étude de taille plus importante que dans le cas n°1 et il est plus difficile
d’obtenir que le lieu de Nichols tangente le contour d’isoamortissement de valeur 0,7 sans que
les domaines d’incertitudes ne pénètrent les contours. Cependant, cet objectif est
pratiquement atteint.
-1000 -900 -800 -700 -600 -500 -400 -300 -200 -100 0-100
-80
-60
-40
-20
0
20open-loop 1 and domains of uncertainties
phase(deg)
gain
(dB
)
Figure 3.14 : Cas n°2 - Lieu de Nichols optimal en boucle ouverte
- 83 -
La fonction de transfert rationnelle du régulateur est synthétisée par identification dans
le domaine fréquentiel et a pour expression:
117.496.323.89.6657.266.43
62.31659.0166.0089.3279.1439.8987.1)(
22344658611714
2334658610
ppepepepepepe
pppepepepepC . (3.78)
La figure (3.15) donne les diagrammes de Bode du correcteur sur lesquels on observe,
comme dans le premier cas d’étude, un gain suffisant au-delà du premier mode de résonance
du procédé à commander.
-20
-10
0
10
20
30
Magnitu
de (
dB
)
10-1
100
101
102
103
104
105
-180
0
180
360
540
720
Phase (
deg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec) Figure 3.15 : Cas n°2 – Diagrammes de Bode du correcteur
3.5.3 - Résultats d’essais
Des essais de lâcher sont effectués : la poutre flexible est écartée de sa position
d’équilibre puis lâchée. Pour donner une idée de l’efficacité du contrôle, la figure (3.16)
donne tout d’abord la réponse libre du procédé à cet essai de lâcher. On observe que la poutre
est très faiblement amortie et qu’elle n’est toujours pas revenue à son état de repos au bout de
6s.
- 84 -
Figure 3.16 : Réponse libre du procédé à un essai de lâcher
3.5.3.1 - Essais du cas d’étude n°1
L’asservissement correspondant à ce cas d’étude est celui qui doit permettre d’obtenir
une réponse amortie avec un facteur d’amortissement de 0,1. La figure (3.17) montre la
tension u transmise à la carte D-space et la sortie du capteur de vibrations dans le cas où
aucune masse n’est ajoutée à l’extrémité de la poutre. L’entrée est inférieure à sa valeur limite
de 1V et le coefficient d’amortissement mesuré sur le signal de sortie vaut 0,12, ce qui proche
de la valeur attendue de 0,1.
Figure 3.17 : Cas n°1 – Tension de la carte D-Space et signal de sortie du capteur
pour le cas où aucune masse n’est ajoutée
La figure (3.18) montre le signal de sortie du procédé pour les quatre cas pour lesquels
une masse a été ajoutée et permet de mettre en exergue la robustesse de la loi de commande.
- 85 -
Masse m1
Masse m2
Masse m3
Masse m4
Figure 3.18 : Cas n°1 - Signal de sortie pour les quatre cas où une masse est ajoutée
3.5.3.2 - Essais du cas d’étude n°2
L’asservissement correspondant à ce cas d’étude est celui qui doit permettre d’obtenir
une réponse amortie avec un facteur d’amortissement de 0,7. La figure (3.19) montre la
tension u transmise à la carte D-space et la sortie du capteur de vibrations dans le cas où
aucune masse n’est ajoutée à l’extrémité de la poutre. L’entrée n’excède que momentanément
sa valeur limite de 1V et le procédé revient rapidement à sa position d’équilibre après le
lâcher, résultat attendu avec un coefficient d’amortissement de 0,7.
Figure 3.19 : Cas n°2 - Tension de la carte D-Space et signal de sortie du capteur
pour le cas où aucune masse n’est ajoutée
- 86 -
La figure (3.20) montre le signal de sortie du procédé pour les quatre cas pour lesquels
une masse a été ajoutée et, comme dans le cas d’étude n°1, permet de mettre en exergue la
robustesse de la loi de commande.
Masse m1
Masse m2
Masse m3
Masse m4
Figure 3.20 : Cas n°2 - Signal de sortie pour les quatre cas où une masse est ajoutée
3.6 - Conclusion
Ce chapitre a permis de rappeler les principes de la commande CRONE monovariable.
La commande CRONE permet d’assurer le degré de stabilité représenté par le facteur
d’amortissement et cette capacité revêt une importance particulière dans le cas de systèmes
peu amortis. Le contrôle actif de vibrations sur une structure métallique flexible traitée en fin
de chapitre a permis de mettre en évidence l’efficacité de la commande CRONE pour le
contrôle de l’amortissement d’un système peu amorti incertain.
Pour l’application traitée au cours de ce chapitre, tous les programmes nécessaires au
calcul du correcteur ont été développés au cours du travail de thèse. Seule la synthèse par
identification fréquentielle de la fonction de transfert rationnelle du régulateur a été effectuée
au moyen du logiciel CRONE déjà développé par l’équipe CRONE de l’université de
Bordeaux [Lan02]. Le calcul du régulateur aurait pu être effectué via ce logiciel qui permet de
traiter tous les procédés monovariables. L’avantage d’avoir développé en interne les
programmes relatifs aux calculs de ce régulateur est de pouvoir les reprendre et les étendre au
cas multivariable qui fait l’objet du prochain chapitre.
- 87 -
- 88 -
- 89 -
Chapitre 4
Commande CRONE
de systèmes multivariables peu amortis
4.1 - Introduction
La commande CRONE multivariable étend la stratégie CRONE de troisième
génération aux procédés multivariables carrés. L'approche multivariable est fondée sur la
préparamétrisation non entière complexe de la matrice de transfert en boucle ouverte
nominale. Un ensemble de gabarits associé à la boucle ouverte assure le degré de stabilité et le
découplage de la commande [Ous99a, Mac89]. L'optimisation consiste à rechercher
l'ensemble de gabarits qui minimise les variations du degré de stabilité sous des contraintes de
calibrage des éléments des fonctions de sensibilité nominales et reparamétrées. Ce chapitre
présente dans un premier temps la stratégie CRONE multivariable dans le cas le plus simple
des procédés carrés, stables et à minimum de phase puis expose l’extension de cette
commande aux procédés peu amortis. Dans un second temps, l’exemple de la maquette de
simplifiée d’aile d’avion est traité en mettant en œuvre la méthodologie CRONE
multivariable.
4.2 - Principe de la commande CRONE multivariable des procédés stables
et à minimum de phase
4.2.1 - Matrice de transfert en boucle ouverte découplante
La préparamétrisation non entière complexe de la matrice de transfert en boucle
ouverte nominale qu'utilise la commande CRONE multivariable s'inscrit dans le cadre des
techniques de découplage par retour de sortie [Wan75]. L’idée est d’obtenir une matrice de
- 90 -
transfert en boucle ouverte découplante diagonale, c'est-à-dire conduisant à des matrices de
transfert en asservissement et en régulation diagonales [Ark84].
Pour les procédés stables à minimum de phase à N entrées et N sorties, on note cette
matrice de transfert en boucle ouverte découplante et nominale :
Nii pp
1)(diag)( , (4.1)
On en déduit les matrices de transfert en asservissement et en régulation découplées
correspondantes :
NipT
p
ppIppT i
Nii
i
1)(diag
)(1
)(diag)()()(
1
1, (4.2)
et
Ni
pSp
pIpS i
Nii1
)(diag)(1
1diag)()(
1
1 . (4.3)
Les éléments diagonaux de T(p) et S(p) sont ainsi définis par
)(1
)()(
p
ppT
i
i
i , (4.4)
et
)(1
1)(
ppS
i
i . (4.5)
et vérifient la relation analogue à celle qui relie les fonctions de transfert en asservissement et
en régulation scalaires :
IpSpT ii )()( . (4.6)
Il est donc possible d'interpréter les transmittances Ti(p) et Si(p) comme des fonctions
de transfert en asservissement et en régulation d'une commande scalaire de transmittance en
boucle ouverte i(p). Dès lors, le comportement matriciel recherché peut être décrit
analytiquement par des transmittances i(p) du type (3.12), c'est-à-dire de la même forme que
la transmittance en boucle ouverte de la commande CRONE scalaire de troisième génération.
- 91 -
Il est alors possible de décrire :
les spécifications sur le degré de stabilité (comportement autour de la
fréquence u) : le degré de stabilité de la commande est assuré à travers la
tangence des gabarits associés aux i(p) à des contours de performance
spécifiés pour des fréquences ui données.
les spécifications de précision aux basses fréquences : les ordres nbi des i(p) en
basse fréquence conditionnent le comportement des transferts entrée-sortie de
rang i en régime permanent.
le comportement du procédé aux hautes fréquences conformément aux
spécifications sur la sensibilité de l'entrée à ces fréquences : les ordres nhi des
i(p) en haute fréquence conditionnent le caractère propre de la matrice de
transfert du régulateur définie par :
)()()(1
0ppGpCne , (4.7)
où [G0(p)] désigne la matrice de transfert nominale du procédé et où [ (p)] est définie par la
relation (4.1).
En écrivant [G0(p)]-1 sous la forme
NjNiij
ij
pD
pNpG
11
1
0)(
)()]([ , (4.8)
dans laquelle par hypothèse d'étude les polynômes ( )ijD p sont Hurwitz, la matrice de transfert du
régulateur s'exprime par la relation
Nii
NjNiij
ij
ne pdiagpD
pNpC 1
11
)]([)(
)()]([ , (4.9)
qui se réduit à l'expression :
NjNi
i
ij
ij
nep
pD
pNpC
11
)()(
)()( . (4.10)
De (4.10) se déduit la relation :
- 92 -
NipourpDpNn ijijnj
hi 1degdegmax1
, (4.11)
qui conditionne effectivement le caractère propre du régulateur.
4.2.2 - Conditions d’existence du régulateur
Le système en boucle fermée, S([G(p)],[C(p)]), est représenté par la figure (4.1) où
[G(p)] représente la matrice de transfert du procédé et [C(p)] la matrice de transfert du
régulateur à déterminer. e(p)=[e1(p)T, e2(p)T, e3(p)T]T et y(p) = [y1(p)T, y2(p)T]T désignent
respectivement l'entrée et la sortie du système.
e 1 (p) y 1 (p)
e 2 (p)
y 2 (p) C(p) G(p)
e3(p)
Figure 4.1 : Schéma du système en boucle fermée
Avec ces notations, le système S(G(p),C(p)) peut être décrit par la matrice de transfert,
Hye(p), définie par [Des81] :
)()()(
)()(
)]([)]([
)]([)]([)(
2212
2111
pQGIpGpGQ
pQGpQ
pHpH
pHpHpH
eyey
eyey
ye (4.12)
avec
)])([ ( )]([ )]([ -1pGCIpCpQ , (4.13)
dans laquelle apparaissent les différentes fonctions de sensibilité. Dans ce système, la matrice
de transfert du procédé est supposée vérifier les hypothèses suffisamment générales suivantes,
soit :
H1 : [G(p)]-1 existe ;
H2 : )()( pGPpGZ ,
Z+[[G(p)]] et P+[[G(p)]] désignant respectivement les ensembles de zéros et de pôles à partie
réelle positive de [G(p)].
- 93 -
Ces hypothèses H1 et H2, généralement satisfaites en pratique, suffisent à garantir
l'existence d'un régulateur stabilisant et découplant [Var 87].
4.2.3 - Définition des domaines d’incertitude dans le cas multivariable
Pour un état paramétrique quelconque du procédé (différent du nominal), les matrices
de transfert en asservissement et en régulation ne sont plus diagonales. Elles continuent
néanmoins d'être liées par la relation :
IpSpT )()( . (4.14)
Les éléments diagonaux de [T(p)] et [S(p)], Ti(p) et Si(p) continuent donc de vérifier la
relation (4.6) qui permet de les interpréter comme des fonctions de transfert en asservissement
et en régulation d'une commande scalaire de transmittance en boucle ouverte, i(p), dite
transmittance en boucle ouverte équivalente. i(p) se déduit des relations (4.4) et (4.5) :
NipourpS
pS
pT
pTp
i
i
i
i
i 1)(
)(1
)(1
)()( . (4.15)
Les transmittances en boucle ouverte équivalentes se réduisent, pour l'état
paramétrique nominal, à des transmittances en boucle ouverte de la commande CRONE de
troisième génération.
Il est toujours possible de lier les transmittances en boucle ouverte équivalentes
nominales et quelconques, 0i(p) et i(p), par une relation analogue à la relation énoncée dans
le cas scalaire, soit :
ppp iii 0 . (4.16)
La transmittance i(p) représente l'incertitude relative de i(p) par rapport à 0i(p)
[Lan94]. Malgré l'analogie apparente qu'il existe entre les cas scalaire et multivariable, une
différence fondamentale les distingue. En effet, contrairement au cas scalaire où l'incertitude
relative de (p) par rapport à 0(p) s'identifie à celle de G(p) par rapport à G0(p), il n'en est pas
de même pour i(p) dont l'expression dépend de [G(p)] et [G0(p)] mais aussi de [ 0(p)]. Les
domaines d'incertitudes associés aux lieux de Nichols des 0i(p) ne dépendent donc plus
seulement du procédé. L'optimisation consiste à rechercher à la fois un positionnement et une
forme optimale des domaines d'incertitudes résultant de [ 0(p)] et des variations
paramétriques du procédé.
- 94 -
4.2.4 - Optimisation du comportement en boucle ouverte
Il existe maintenant un ensemble de nombres indéfinis de gabarits généralisés qui
peuvent tangenter:
- le même ensemble de contours d'isodépassement (de graduations '
1D , …,
'
ND )
- ou le même ensemble de contours d'isoamortissement (de graduations
1,..., N).
Parmi l'infinité de gabarits généralisés ainsi définie, il convient de sélectionner un
ensemble de gabarits généralisés optimal au sens de la minimisation d'un critère quadratique.
L'ensemble des gabarits généralisés optimal peut donc être défini comme l'ensemble
des gabarits généralisés
- qui tangentent le même ensemble de contours désiré d'isodépassement ( '
1D ,
…, '
ND ) ou d'isoamortissement ( 1,..., N) pour l'état paramétrique nominal
du procédé
- et qui minimisent un critère quadratique exprimé par la somme des
variations extrémales relatives des '
1Di ou des i résultant des différents
états paramétriques possibles du procédé.
Le critère quadratique que minimise l'ensemble de gabarits généralisés optimal est de
la forme :
2
'
d1
'
d1
'
min1
2
1'
d1
'
d1
'
max1
i
iiN
i i
ii
D
DD
D
DDJ , (4.17)
ou
2
d1
d1min1
2
1 d1
d1max1
i
iiN
i i
iiJ , (4.18)
selon que l'on cherche à minimiser les variations des premiers dépassements réduits ou des
facteurs d'amortissement.
La recherche de la synthèse d'un tel ensemble de gabarits généralisés définit l'approche
optimale de la commande CRONE multivariable.
La recherche de l'ensemble de gabarits généralisés optimal relève de l'optimisation
sous contraintes. Le critère à minimiser est défini par (4.17) ou (4.18) alors que les
- 95 -
diagrammes de gain des éléments des fonctions de sensibilité sont contraints à respecter des
calibrages imposés par le concepteur. Les éléments diagonaux des fonctions de sensibilité
sont ainsi contraints à satisfaire à des calibrages du même type que ceux définis dans le cas
scalaire. Les éléments non diagonaux peuvent être majorés en gain afin d'atténuer le couplage
de la commande résultant d'une reparamétrisation du procédé. Une contrainte prend en
compte la possible déstabilisation d'un élément non diagonal d'une fonction de sensibilité en
vérifiant que le théorème de Nyquist multivariable est validé pour tous les procédés possibles.
Pour des procédés stables à inverse stable, cette contrainte consiste à vérifier que l'image du
contour de Nyquist par la transmittance det(I+[G(p)][C(p)]) n'entoure jamais l'origine.
4.3 - Cas des procédés peu amortis
Il s’agit ici d’étendre la stratégie CRONE multivariable au cas des procédés résonants.
Dans le cas de procédés peu amortis, le système en boucle fermée S(G(p), C(p)) représenté
par la figure 4.1 est caractérisé par un procédé nominal dont la matrice de transfert nominale
[G0(p)] admet une expression de la forme :
101
( ) ( ) i Nijj N
G p g p (4.19)
où 0( ) ( ). ( )ij ij ijg p g p h p avec ( )ijh p le transfert incluant les modes résonants du procédé.
Dans le cas général où [G0(p)] possède des pôles et zéros à parties réelles positives,
l’inverse de la matrice de transfert [G0(p)] -1
s’écrit :
1
11
( ) ( ) i Nijj N
G p q p (4.20)
où 0( ) ( ). ( )ij ij ijq p q p m p avec ( )ijm p le transfert incluant les modes résonants de l’inverse de
la matrice du procédé.
Toujours pour le système S(G(p),C(p)), notons la matrice de transfert en boucle
ouverte nominale [ 0 (p)] sous sa forme rationnelle, soit :
Nii
i
Niipd
pnpp
1
10)(
)(diag)(diag)( , (4.21)
expression qui conduit à des matrices de transfert en asservissement [T(p)] et en régulation
[S(p)] diagonales s’exprimant respectivement par :
Niii
i
pdpn
pnpT
1)()(
)(diag)( (4.22)
et
- 96 -
Niii
i
pdpn
pdpS
1)()(
)(diag)( , (4.23)
La prise en compte des modes résonants est fondée sur la stratégie monovariable
présentée dans le paragraphe 3.4. Elle consiste à :
éliminer l'effet des modes résonants de la matrice de transfert [G0(p)] sur la
matrice de transfert nominale perturbation de commande-sortie
éliminer l'effet des modes résonants de la matrice de transfert [G0(p)]-1
sur la
matrice de transfert nominale perturbation de sortie-commande
à atténuer leurs effets sur les fonctions de sensibilité après reparamétrisation du
procédé.
Intéressons-nous donc à la matrice de transfert nominale perturbation de commande-
sortie caractérisée par le transfert )(22
pH ey figure (4.1) :
02 2 0
0
( )( ) ( ) ( )
1 ( ) ( )y e
G pH p G p S p
G p C p. (4.24)
En tenant compte de l’écriture de [G0(p)] (relation 4.19) et de [S(p)] (relation
4.23), cette expression vaut :
0
2 2
( ) ( ) ( )( )
( ) ( )
ij ij i
y e
i i
g p h p d pH p
n p d p (4.25)
Ce transfert ne possède pas de mode peu amorti si et seulement si :
ˆ ( )
( )( )
ii
ij
d pd p j N
h p, (4.26)
ce qui revient à dire que le dénominateur du ième
élément de la matrice de transfert en boucle
ouverte nominale doit contenir les modes résonants communs de la matrice de transfert
[G0(p)] pris sur la ligne i.
Intéressons-nous maintenant à la matrice de transfert nominale perturbation de sortie-
commande caractérisée par le transfert 1 3
( )y eH p figure (4.1) :
1
2 3 0
0
( )( ) ( ) ( )
1 ( ) ( )y e
C pH p G p T p
G p C p. (4.27)
- 97 -
En tenant compte de l’écriture de [G0(p)]-1
(relation 4.20) et de [T(p)] (relation
4.22), cette expression vaut :
2 3
( ) ( ) ( )( )
( ) ( )
ij ij j
y e
j j
q p m p n pH p
n p d p (4.28)
Ce transfert ne possède pas de mode peu amorti si et seulement si :
ˆ ( )
( )( )
j
j
ij
n pn p i N
m p, (4.29)
ce qui revient à dire que le numérateur du jème
élément de la matrice de transfert en boucle
ouverte nominale doit contenir les modes résonants communs de la matrice de transfert
[G0(p)]-1
pris sur la colonne j.
Considérons enfin le problème de l’atténuation des effets des modes résonants sur les
fonctions de sensibilité après reparamétrisation du procédé. Comme dans le cas monovariable,
des fonctions de transfert du second ordre du type réjecteur/amplificateur sont introduites
dans les fonctions de transfert [ i(p)] afin d’atténuer les matrices de sensibilité et de
sensibilité complémentaire au voisinage de la fréquence des modes résonants pris en compte.
4.4 - Exemple d’application
La méthode exposée précédemment est maintenant appliquée au second procédé
présenté dans le chapitre 1, à savoir la maquette simplifiée d’aile d’avion. Il s’agit d’un
procédé peu amorti multivariable de dimension 2.
4.4.1 - Modélisation et identification du procédé
Comme dans tout problème de commande, la première étape consiste en la
modélisation et l’identification du procédé. Sur cet exemple du second procédé est apparu le
problème de la réduction de modèle tel qu’il affecte le comportement de la fonction de
transfert du procédé en basse fréquence. Bien qu’existant aussi pour le premier procédé, ce
problème s’est avéré moins aigu. Dans le cas de la maquette simplifiée d’aile d’avion, il a été
indispensable d’approfondir la modélisation qui débute ainsi par un rappel.
- 98 -
4.4.1.1 - Préliminaire : rappel sur la réduction de modèle
Un procédé continu peut être décrit par un système d’équations différentielles de la
forme :
)()(
)()()()(
tCxty
tftKxtxDtxM , (4.30)
dans lequel M, D et K sont respectivement la matrice masse, la matrice amortissement et la
matrice rigidité. C est la matrice d’observation, x(t) est le vecteur déplacement et f(t) la force
d’excitation de la structure.
Le nombre d’équations de la relation (4.30) est en théorie infini. Afin d’établir un
modèle pour la commande, il est nécessaire de considérer un modèle avec un nombre fini
d’équations. Il faut donc procéder à une réduction du modèle.
Les matrices sont en général pleines, en tout cas non diagonales. Afin de résoudre le
système d’équations différentielles, on se place dans une nouvelle base appelée base modale
où ces matrices sont alors diagonales. En appelant la matrice de passage entre les deux
bases, on peut définir un nouveau système de coordonnées q(t) dites généralisées et relié à x(t)
par la relation :
)()( tqtx , (4.31)
dans laquelle la matrice est formée par les modes propres de vibrations de la structure et est
appelée matrice des modes propres. Pour la suite de ce paragraphe, on considère n modes
propres.
L’application de cette transformation linéaire conduit à une écriture du système
d’équations de la forme :
)()(')(')(' tftqKtqDtqM T , (4.32)
dans lequel M’, D’ et K’ sont respectivement la matrice masse modale généralisée, la matrice
d’amortissement modale généralisée et la matrice de rigidité modale généralisée. Les matrices
M’, D’ et K’ sont reliées aux matrices M, D et K par les relations suivantes :
'
'
'
T
T
T
M M
K K
D D
. (4.33)
- 99 -
En considérant une sollicitation harmonique teFf j , l’équation (4.32) s’écrit :
Fmqqq T
iiii
12 diagdiag2diag , (4.34)
avec mi la masse du mode i, i le facteur d’amortissement du mode i et i la pulsation propre
du mode i.
En notant teQq j , on obtient :
Fm
Q T
iiii 2
1diag)(
22 . (4.35)
En notant également tjeXx et sachant que X Q , on a alors :
Fjm
Xn
i iiii
T
ii
122 )2(
)( , (4.36)
et par conséquent :
Fjm
CY
n
i iiii
T
ii
122 )2(
)( . (4.37)
La relation (4.37) montre que les réponses fréquentielles sont calculées comme une
somme de n contributions modales. La réponse exacte considérerait tous les modes mais
comme cela a été précisé précédemment, seule une partie de ceux-ci peut être prise en
compte. Il est ainsi possible de distinguer la contribution modale dans la bande de fréquences
considérée et la contribution des modes en dehors de cette bande. Ces derniers sont alors
ignorés ou approchés. Dans ce dernier cas, on différencie les rn modes dans la bande de
fréquences d'intérêt de largeur r des autres modes dont les pulsations propres i sont bien
supérieures à r. Les réponses fréquentielles peuvent alors s’écrire sous la forme :
Fm
Fjm
Yn
ni ii
T
ii
n
i iiii
T
ii
r
r
12
122 )2(
)(CC
. (4.38)
La deuxième partie de l’expression (4.38) ne dépend pas de la fréquence. Elle est
appelée correction statique car elle suppose que les modes hautes fréquences se ramènent en
- 100 -
basse fréquence à un comportement quasi-statique [Rub75, Mac71, Ell01]. L’approche de
troncature modale avec correction statique est la plus courante pour le calcul de la réponse
dynamique d’une structure flexible. C’est cette approche qui a été choisie pour le modèle du
procédé d’étude.
4.4.1.2 - Forme du modèle
Afin d’appliquer la commande CRONE multivariable qui est une méthode
fréquentielle, le modèle recherché est une matrice de 4 fonctions de transfert. En appelant yh
et yb les mesures du capteur haut et bas respectivement et uh et ub les tensions de commande
de l’actionneur haut et bas respectivement figure (4.2), on a la relation suivante :
)(
)(
)()(
)()(
)(
)(
b
h
2221
1211
b
h
pu
pu
pGpG
pGpG
py
py. (4.39)
Capteur haut (yh)
Capteur bas (yb)
Actionneur haut (uh)
Actionneur bas (ub)
Figure 4.2 : Notations pour les capteurs et actionneurs
L’étude préliminaire par éléments finis a indiqué qu’il était nécessaire de prendre en
compte les trois premiers modes de résonance de la maquette. Il s’agit des deux premiers
modes de flexion et du premier mode de torsion qui sont trop proches pour que l’un d’entre
eux soit négligé. Il est possible de s’aider de la représentation des déformées des trois
premiers modes (figure (4.3)) pour établir la forme du modèle et en particulier la contribution
de chaque mode pour chacune des fonctions de transfert. En nommant :
- 101 -
- F1ij(p) la fonction de transfert du premier mode de flexion relative à
l’actionneur i et au capteur j,
- F2ij(p) la fonction de transfert du deuxième mode de flexion relative à
l’actionneur i et au capteur j,
- T1ij(p) la fonction de transfert du premier mode de torsion relative à
l’actionneur i et au capteur j,
- Rij le résidu (ou correction statique) relatif à l’actionneur i et au capteur j,
la matrice [2x2] donnant le modèle de la maquette pour les trois premiers modes s’écrit sous
la forme :
11 12 11 11 11 11 12 12 12 12
21 22 21 21 21 21 22 22 22 22
( ) ( ) 1 2 1 1 2 1( )
( ) ( ) 1 2 1 1 2 1
G p G p F F T R F F T RG p
G p G p F F T R F F T R. (4.40)
On remarque que pour les termes diagonaux, les contributions de chaque mode
s’additionnent alors que pour les termes non diagonaux, la contribution du terme de torsion se
soustrait. Cela est dû aux positionnements co-localisés des capteurs et actionneurs.
(a) (b) (c)
Figure 4.3 : Déformées des trois premiers modes
(a) Premier mode de flexion
(b) Deuxième mode de flexion
(c) Premier mode de torsion
4.4.1.3 - Identification du modèle
Des mesures sont nécessaires pour établir le modèle car l’étude par éléments finis qui
a précédé l’élaboration de la maquette a permis de déterminer les modes de résonance de la
maquette mais pas les valeurs des facteurs d’amortissement.
- 102 -
La procédure expérimentale pour identifier les fonctions de transfert G11(p), G12(p),
G21(p) et G22(p) est décrite ci-après.
1. L’actionneur du haut est alimenté et l’actionneur du bas est mis à la masse. Les mesures
permettent alors d’identifier les fonctions de transfert )(
)()(
h
h11
pu
pypG et
)(
)()(
h
b
21pu
pypG .
2. L’actionneur du bas est alimenté et l’actionneur du haut est mis à la masse. Les mesures
permettent alors d’identifier les fonctions de transfert )(
)()(
b
b
22pu
pypG et
)(
)()(
b
h12
pu
pypG .
Ces quatre fonctions de transfert sont déterminées en deux temps.
Dans un premier temps, on trace ces fonctions à l’aide d’un analyseur de signaux . Cet
appareil permet entre autres d’obtenir des fonctions de transfert sur une large gamme de
fréquences mais avec une précision insuffisante pour notre cas d’étude (résolution limitée à
0.25 Hz). Cette première étape permet néanmoins de localiser les zones intéressantes, c'est-à-
dire les zones autour des fréquences de résonance (figure (4.4)).
Dans un second temps, on effectue des mesures fréquence par fréquence autour des
zones intéressantes déterminées dans la première étape. On évalue alors avec précision le gain
statique, les fréquences de résonance et les facteurs d’amortissement en appliquant la méthode
déjà utilisée pour le premier procédé d’étude pour les cas de systèmes peu amortis (voir figure
(3.6)).
Figure 4.4 : Exemple de fonction de transfert tracée à l’analyseur de signaux
- 103 -
4.4.1.4 - Résultats de l’identification
Les mesures ont permis d’établir les quatre fonctions de transfert de la relation (4.40)
sous la forme :
113111 11211 112 2 2
113111 112
2 2 2
111 111 112 112 113 113
( )
2 1 2 1 2 1
kk kG p R
p p pp p p
, (4.41)
123121 12212 122 2 2
123121 122
2 2 2
121 121 122 122 123 123
( )
2 1 2 1 2 1
kk kG p R
p p pp p p
, (4.42)
213211 21221 212 2 2
213211 212
2 2 2
211 211 212 212 213 213
( )
2 1 2 1 2 1
kk kG p R
p p pp p p
, (4.43)
et
223221 22222 222 2 2
223221 222
2 2 2
221 221 222 222 223 223
( )
2 1 2 1 2 1
kk kG p R
p p pp p p
, (4.44)
dont les paramètres sont donnés dans les tableaux suivants.
- 104 -
Cas 1
Réservoir vide
Cas 2
Réservoir à
moitié vide
Cas 3
Réservoir plein
1° mode de
flexion
k111 0,015 0,006 0,01
111 (rad/s) 7,22 5,1 4,59
111 0,0061 0,0062 0,0045
2° mode de
flexion
k112 0,01 0,002 0,005
112 (rad/s) 53,78 41,2 34,84
112 0,012 0,046 0,006
1° mode de
torsion
k113 0,01 0,005 0,001
113 (rad/s) 134,5 96,6 21,6
113 0,012 0,01 0,015
Correction
statique R11 0,12 0,14 0,085
Tableau 4.1 : Paramètres de la fonction de transfert G11(p)
Cas 1
Réservoir vide
Cas 2
Réservoir à
moitié vide
Cas 3
Réservoir plein
1° mode de
flexion
k121 0,032 0,004 0,015
121 (rad/s) 7,22 5,1 4,59
121 0,0087 0,0039 0,0041
2° mode de
flexion
k122 0,008 0,002 0,004
122 (rad/s) 53,78 41,2 34,84
122 0,01 0,0046 0,006
1° mode de
torsion
k123 0,004 0,0012 0,001
123 (rad/s) 134,5 96,6 21,6
123 0,011 0,0032 0,007
Correction
statique R12 0,02 0,018 0,02
Tableau 4.2 : Paramètres de la fonction de transfert G12(p)
- 105 -
Cas 1
Réservoir vide
Cas 2
Réservoir à
moitié vide
Cas 3
Réservoir plein
1° mode de
flexion
k211 0,014 0,005 0,03
211 (rad/s) 7,22 5,1 4,59
211 0,0061 0,0039 0,0068
2° mode de
flexion
k212 0,0065 0,002 0,004
212 (rad/s) 53,78 41,2 34,84
212 0,012 0,0046 0,0069
1° mode de
torsion
k213 0,004 0,001 0
213 (rad/s) 134,5 96,6 21,6
213 0,012 0,0039 x
Correction
statique R21 0,015 0,012 0,085
Tableau 4.3 : Paramètres de la fonction de transfert G21(p)
Cas 1
Réservoir vide
Cas 2
Réservoir à
moitié vide
Cas 3
Réservoir plein
1° mode de
flexion
k221 0,02 0,004 0,007
221 (rad/s) 7,22 5,1 4,59
221 0,0087 0,0052 0,0034
2° mode de
flexion
k222 0,009 0,0022 0,005
222 (rad/s) 53,78 41,2 34,84
222 0,0129 0,0046 0,0056
1° mode de
torsion
k223 0,006 0,0011 0,03
223 (rad/s) 134,5 96,6 21,6
223 0,0126 0,0026 0,067
Correction
statique R22 0,1 0,1 0,085
Tableau 4.4 : Paramètres de la fonction de transfert G22(p)
- 106 -
Ces différents résultats permettent de tracer les diagrammes de Bode des quatre
fonctions de transfert de la matrice du procédé (figures (4.5), (4.6), (4.7) et (4.8)). Les
diagrammes de Bode dont le premier pic est le plus bas en fréquence correspondent au cas du
réservoir plein et ceux dont le premier pic est le plus haut en fréquence correspondent au cas
du réservoir vide. Ces diagrammes permettent d’observer que le mode de torsion est plus ou
moins amorti dans les différentes fonctions de transfert et selon le taux de remplissage. Ainsi,
il est inexistant pour la fonction de transfert G21(p) dans le cas du réservoir plein.
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
Magnitu
de (
dB
)
100
101
102
103
-180
-135
-90
-45
0
Phase (
deg)
terme G11
Frequency (rad/sec) Figure 4.5 : Diagrammes de Bode de G11(p)
-80
-60
-40
-20
0
20
Magnitu
de (
dB
)
100
101
102
103
-180
-90
0
90
180
Phase (
deg)
terme G21
Frequency (rad/sec) Figure 4.6 : Diagrammes de Bode de G21(p)
- 107 -
-80
-60
-40
-20
0
20
Magnitu
de (
dB
)
100
101
102
103
-180
-90
0
90
180
Phase (
deg)
terme G12
Frequency (rad/sec) Figure 4.7 : Diagrammes de Bode de G12(p)
-40
-30
-20
-10
0
10
Magnitu
de (
dB
)
100
101
102
103
-180
-135
-90
-45
0
Phase (
deg)
terme G22
Frequency (rad/sec) Figure 4.8 : Diagrammes de Bode de G22(p)
- 108 -
4.4.2 - Synthèse de la loi de commande CRONE multivariable
4.4.2.1 - Conditionnement de la matrice de transfert en boucle ouverte nominale
Le procédé d’étude étant un procédé multivariable de dimension 2, la matrice de
transfert en boucle ouverte nominale recherchée est de la forme :
01
02
( ) 0( )
0 ( )
pp
p, (4.45)
dont les deux termes diagonaux sont définis par des transmittances en boucle ouverte CRONE
de troisième génération.
Le procédé nominal choisi correspond au réservoir vide.
L’objectif de la loi de commande est le contrôle des vibrations en augmentant
l’amortissement de la structure. Le système initial étant très faiblement amorti, le choix du
contour d’isoamortissement à tangenter pour les deux termes diagonaux de la matrice de
transfert en boucle ouverte est fixé à 0,1. Il n’est pas possible de prendre une valeur plus
élevée car, avec cette valeur, les actionneurs sont déjà en limite de saturation pour la rapidité
attendue de la dynamique.
Le calcul de la matrice de transfert en boucle ouverte optimale est effectué avec un
seul gabarit généralisé borné en fréquence pour chaque boucle ouverte. Comme dans le cas
monovariable, la pulsation au gain unité est choisie de manière à être inférieure à la première
pulsation de résonance du système à commander mais aussi la plus grande possible. Elle est
prise égale à 3 rad/s pour chacune des deux transmittances en boucle ouverte de la matrice de
transfert nominale.
Le comportement des boucles ouvertes en basse et haute fréquences est fixé par nb = -1
pour limiter le gain du correcteur en basse fréquence et par nh = 4 pour limiter l’amplification
du bruit en haute fréquence.
Les contraintes suivantes sont définies pour chacune des boucles ouvertes :
- maximum de la tension d’entrée : 10V avant l’amplificateur de tension, soit 1V au
niveau de la carte D-Space.
- minimum de la fonction sensibilité complémentaire T (pour les fréquences avant la
fréquence au gain unité) fixé à -5 dB ;
- maximum de la fonction CS fixé à 50 dB ;
- 109 -
Les spécifications précédentes sont à préciser dans tout calcul de commande CRONE,
quel que soit le procédé. Traitons maintenant plus particulièrement le problème des
résonances inhérentes à l’application traitée.
Comme cela a été précisé dans le paragraphe 4.3, le dénominateur du ième
élément de
la matrice de transfert en boucle ouverte nominale doit contenir les modes résonants
communs de la matrice de transfert nominale pris sur la ligne i. Dans le cas du procédé
d’étude traité ici, les modes résonants pris sur chacune des lignes ne sont pas communs.
D’autre part, le numérateur du jème
élément de la matrice de transfert en boucle ouverte
nominale doit contenir les modes résonants communs de la matrice de transfert nominale
inverse pris sur la colonne j. Sachant que l’inverse d’une matrice A vaut
)det(
)(adj)(inv
A
AA , (4.46)
il est aisé de constater que des modes résonants communs peuvent apparaître du fait de la
présence du terme 1/det(A) qui se retrouve dans chacun des termes. Ainsi, dans le cas du
procédé d’étude traité ici, il est nécessaire d’introduire dans les transmittances en boucle
ouverte (p) et (p) les résonances des modes à 7,09 rad/s, 8,12 rad/s et 57,11 rad/s.
Enfin, un filtre a été ajouté à l’expression des transmittances en boucle ouverte. Son
expression est identique pour les deux boucles ouvertes et vaut :
19
29
17
2.07
)(2
2
pp
pp
pr. (4.47)
Les diagrammes de Bode de ce filtre sont représentés sur la figure (4.9). Ce filtre
permet de « modeler » les lieux en boucle ouverte en diminuant le gain et en augmentant la
phase localement autour de la première résonance afin que les domaines d’incertitudes se
positionnent au mieux par rapport aux contours à tangenter.
- 110 -
-20
-15
-10
-5
0
5
Magnitu
de (
dB
)
10-1
100
101
102
103
-45
0
45
90
Phase (
deg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec) Figure 4.9 : Diagrammes de Bode du filtre )( pr
4.4.2.2 - Résultats des calculs de la loi de commande
Le résultat de l’optimisation conduit aux paramètres optimaux suivants :
pour la boucle ouverte 01( )p : 0.037a , ' 3.05b ; q’= 5 ; Yt = 0.4dB;
b = 1.4 rad/s ; h = 3.3 rad/s ,
pour la boucle ouverte 02 ( )p : 2.99a , ' 1.81b ; q’= 5 ; Yt = 0.71dB;
b = 1.3 rad/s ; h = 3.3 rad/s .
Les lieux de Nichols en boucle ouverte correspondant à ces paramètres sont donnés
par les figures (4.10) et (4.11) sur lesquelles on observe que ces lieux tangentent les contours
d’isoamortissement de valeur 0,1 sans que les domaines d’incertitudes ne pénètrent les
contours.
- 111 -
-1000 -500 0 500 1000 -250
-200
-150
-100
-50
0
50
100 open-loop 1 and domains of uncertainties
phase(deg)
gain(dB)
Figure 4.10 : Lieu de Nichols en boucle ouverte nominal et
domaines d’incertitudes de 01( )p
-1000 -500 0 500 1000 -300
-250
-200
-150
-100
-50
0
50 open-loop 2 and domains of uncertainties
phase(deg)
gain(dB)
Figure 4.11 : Lieu de Nichols en boucle ouverte nominal et
domaines d’incertitudes de 02 ( )p
- 112 -
Pour cette configuration, les figures 4.12 et 4.13 donnent les diagrammes de Bode des
éléments des matrices de transfert en asservissement et en régulation et montrent que les
matrices de transfert sont bien diagonales et que la commande est donc découplante.
10-5
100
105
-300
-200
-100
0
100Fonction de sensibilité complémentaire T11
10-5
100
105
-600
-400
-200
0
200Fonction de sensibilité complémentaire T12
10-5
100
105
-600
-400
-200
0
200Fonction de sensibilité complémentaire T21
10-5
100
105
-300
-200
-100
0
100Fonction de sensibilité complémentaire T22
Figure 4.12 : Diagrammes de Bode des éléments des matrices de transfert en asservissement
10-5
100
105
-60
-40
-20
0
20
40Fonction de sensibilité S11
10-5
100
105
-600
-400
-200
0
200Fonction de sensibilité S12
10-5
100
105
-600
-400
-200
0
200Fonction de sensibilité S21
10-5
100
105
-60
-40
-20
0
20Fonction de sensibilité S22
Figure 4.13 : Diagrammes de Bode des éléments des matrices de transfert en régulation
- 113 -
La matrice du régulateur calculée à partir de l’expression suivante, soit
1
0( ) ( ) ( )C p G p p , (4.48)
est de la forme :
11 12
21 22
( ) ( )( )
( ) ( )
C p C pC p
C p C p. (4.49)
Les quatre éléments de cette matrice sont synthétisés par identification dans le
domaine fréquentiel et ont pour expressions :
5 4 3 2
11 3 10 9 8 7 6 5 4 3 2
(399,15 4209 17137,4 34678,4 36875,3 17782,8)( )
1,4 0,1 2,5 33,2 218,5 454,97 449,2 242 74,23 12,66 1
p p p p p pC p
e p p p p p p p p p p, (4.50)
3 2
12 3 8 7 6 5 4 3 2
(998,84 6682,2 14347,35 10000)( )
5,42 0,512 15,23 157,35 290,3 211,9 72,85 12,5 1
p p p pC p
e p p p p p p p p, (4.51)
3 2
21 3 8 7 6 5 4 3 2
(498,1 3313,3 6761,5 5623,4)( )
8,23 0,933 23,86 197,82 349,17 248 84,57 14,3 1
p p p pC p
e p p p p p p p p, (4.52)
3 2
22 7 6 5 4 3 2
(2345,5 14162,3 29667,8 25111,8)( )
0,245 12,03 159,29 292,83 216,186 77,195 13,59 1
p p p pC p
p p p p p p p. (4.53)
Les figures (4.14), (4.15), (4.16) et (4.17) donnent les diagrammes de Bode des quatre
éléments de la matrice du correcteur. Comme dans le cas monovariable, la bande passante de
ces éléments est supérieure au premier mode de résonance du procédé.
- 114 -
-150
-100
-50
0
50
100
Magnitu
de (
dB
)
10-3
10-2
10-1
100
101
102
103
-360
-270
-180
-90
0
90
Phase (
deg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec) Figure 4.14 : Diagrammes de Bode de C11(p)
-300
-200
-100
0
100
Magnitu
de (
dB
)
10-3
10-2
10-1
100
101
102
103
104
-360
-270
-180
-90
0
90
Phase (
deg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec) Figure 4.15 : Diagrammes de Bode de C21(p)
- 115 -
-200
-150
-100
-50
0
50
100
Magnitu
de (
dB
)
10-3
10-2
10-1
100
101
102
103
104
-360
-270
-180
-90
0
90
Phase (
deg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec) Figure 4.16 : Diagrammes de Bode de C12(p)
-150
-100
-50
0
50
100
Magnitu
de (
dB
)
10-3
10-2
10-1
100
101
102
103
-270
-180
-90
0
90
Phase (
deg)
Bode Diagram
Frequency (rad/sec) Figure 4.17 : Diagrammes de Bode de C22(p)
- 116 -
4.4.3 - Résultats d’essais
La procédure d’essais consiste à exciter la maquette à la fois en flexion et en torsion en
utilisant un repère pour la perturber toujours de la même manière. Il est alors possible
d’observer et de comparer le comportement de l’aile avec ou sans boucle de contrôle. Sans
correcteur, la réponse libre de la maquette à l’excitation extérieure est donnée sur les figures
(4.18), (4.19) et (4.20) pour les trois configurations de remplissage du réservoir. Ces figures
présentent la sortie des deux capteurs (yh pour la capteur supérieur et yb pour le capteur
inférieur) et permettent d’observer que le temps pour revenir à l’état d’équilibre est bien
supérieur à 200s et est très variable en fonction de l’état du réservoir.
t(s) t(s)
t(s) t(s)
yh yb
Figure 4.18 : Réponse temporelle sans contrôle dans le cas du réservoir vide
t(s) t(s)
yh yb
Figure 4.19 : Réponse temporelle sans contrôle dans le cas du réservoir
à moitié plein et gelé
- 117 -
t(s) t(s)
yh yb
Figure 4.20 : Réponse temporelle sans contrôle dans le cas du réservoir plein
Les figures (4.21), (4.22), et (4.23) présentent ensuite les réponses temporelles
toujours pour les trois configurations de remplissage du réservoir, le contrôleur CRONE
multivariable étant maintenant actif. Ces figures montrent les tensions de commande des
actionneurs (uh pour l’actionneur supérieur et ub pour l’actionneur inférieur) ainsi que les
sorties des capteurs (yh et yb).
Plusieurs observations peuvent être tirées de ces graphes :
1. Les tensions au niveau des actionneurs sont à leur niveau maximum, voire
momentanément en saturation lors des premières oscillations.
2. Le retour à l’équilibre est beaucoup plus rapide avec la boucle de correction : moins de
25 secondes à comparer aux 200 secondes nécessaires dans les cas sans correcteur.
3. Le contrôleur CRONE permet de garantir la robustesse de l’amortissement de la réponse
comme le montre le tableau (4.5) qui donne les valeurs mesurées du facteur
d’amortissement de l’enveloppe des réponses temporelles.
- 118 -
t(s) t(s)
Figure 4.21 : Réponse temporelle avec le contrôleur CRONE dans le cas du réservoir vide
t(s) t(s)
Figure 4.22 : Réponse temporelle avec le contrôleur CRONE dans le cas du réservoir à
moitié plein et gelé
- 119 -
t(s) t(s)
Figure 4.23 : Réponse temporelle avec le contrôleur CRONE dans le cas du réservoir plein
Boucle supérieure (yh) Boucle inférieure (yb)
Réservoir vide 0,11 0,11
Réservoir à moitié plein 0,1 0,1
Réservoir plein 0,12 0,12
Tableau 4.5 : Valeurs des facteurs d’amortissement pour les réponses temporelles avec le
contrôleur CRONE pour les trois configurations
A titre de référence bibliographique concernant ce banc, nous rappelons ici des
performances obtenues avec des commandes LQ et GPC dans le cadre de la thèse de [Ric04].
Les mesures présentées sont obtenues avec un autre type de capteur (un accéléromètre) mais
avec la même procédure d’essais. La figure (4.24) montre les réponses temporelles pour les
trois configurations de remplissage du réservoir avec un contrôleur de type LQ et la figure
(4.25) avec un contrôleur de type GPC. Le tableau 4.6 donne des valeurs des facteurs
d’amortissement correspondant à ces deux types de contrôleur.
Il convient de préciser que les performances obtenues ainsi présentées ne se veulent
pas constituer des performances comparatives étant donné que les conditions d’amortissement
ne s’avèrent pas les mêmes.
- 120 -
Figure 4.24 : Réponses temporelles avec le contrôleur de type LQ pour les trois
configurations de remplissage du réservoir
Figure 4.25 : Réponses temporelles avec le contrôleur de type GPC pour les trois
configurations de remplissage du réservoir
Contrôleur LQ Contrôleur GPC
Réservoir vide 0.01 0.038
Réservoir à moitié plein 0.03 0.04
Réservoir plein 0.04 0.05
Tableau 4.6 : Valeurs des facteurs d’amortissement pour les réponses temporelles avec les
contrôleurs LQ et GPC pour les trois configurations
- 121 -
4.5 - Conclusion
Ce chapitre a présenté dans un premier temps la stratégie CRONE multivariable dans
le cas le plus simple des procédés carrés, stables et à minimum de phase puis a exposé
l’extension de cette commande aux procédés peu amortis incertains.
Ensuite, la synthèse de la commande CRONE multivariable est validée sur une
maquette simplifiée d’aile d’avion. Les vibrations sont bien mieux amorties pour le correcteur
CRONE et le temps de retour à l’équilibre est divisé par un facteur au moins égal à 10. Les
essais sur la maquette avec différents niveaux de remplissage ont permis de mettre en
évidence les propriétés de robustesse de la commande CRONE multivariable. L’utilisation de
la commande CRONE multivariable associée aux contours d’isoamortissement pour effectuer
le contrôle d’une structure flexible s’avère donc efficace.
- 122 -
- - - 123 -
Conclusion générale et perspectives de la thèse
Ce mémoire a traité de la commande CRONE monovariable et multivariable de
systèmes peu amortis.
Le chapitre 1 permet de décrire les applications qui ont fait l’objet de cette thèse. Le
chapitre débute par un état des lieux des matériaux dits intelligents puis continue avec une
description des procédés d’étude qui seront régulés avec la commande CRONE de troisième
génération. Il s’agit de deux structures de contrôle actif de vibrations à base de céramiques
piézoélectriques. Le premier procédé est une maquette classique de poutre encastrée-libre qui
peut être soumise à la flexion. Ce procédé est équipé d’un actionneur et d’un capteur et est
modélisable par un système monovariable. Le second procédé est plus original et consiste en
une maquette simplifiée d’aile d’avion développée à l’ENSICA. Cette maquette est constituée
d’une poutre encastrée-libre avec un réservoir d’eau. Les dimensions de cette maquette sont
telles que des phénomènes de flexion et de torsion peuvent avoir lieu. Deux actionneurs et
deux capteurs permettent le contrôle des vibrations de la maquette qui se présente alors
comme un système multivariable carré de dimension deux.
Le chapitre 2 présente les résultats de travaux antérieurs sur les contours
d’isoamortissement dans le plan de Nichols. Ces contours ont été définis grâce à l’intégration
d’ordre non entier complexe et au gabarit généralisé. Ces contours sont significatifs du facteur
d’amortissement du mode oscillatoire des réponses indicielles en asservissement et en
régulation. Ces contours sont mis en œuvre comme les contours de Nichols qui sont
significatifs du premier dépassement de la réponse indicielle. Ils sont employés dans cette
thèse lors de la synthèse de la commande CRONE pour garantir l’amortissement des réponses
temporelles des deux procédés d’étude.
Le chapitre 3 traite de la commande monovariable de systèmes peu amortis. Dans un
premier temps, le principe de la commande CRONE est rappelé succinctement pour les trois
générations dans le cas de procédés stables, à non-minimum de phase et non résonants. Les
calculs relatifs à la troisième génération qui permet de traiter les procédés à partir
d’incertitudes à la fois sur le gain et la phase, sont développés. Le cas des systèmes peu
amortis est ensuite abordé et un paragraphe explicite comment étendre le transfert en boucle
ouverte afin de tenir compte des modes résonants. Ce chapitre est illustré par la mise en
œuvre de la commande CRONE sur le premier procédé d’étude. Deux cas sont traités avec
des objectifs de performance différents. Dans le premier cas, il s’agit d’obtenir une réponse
- - - 124 -
avec un amortissement de 0,1 et dans le second avec un amortissement de 0,7. Il s’agit donc
de calculer un transfert en boucle ouverte dont le lieu de Nichols tangente le contour
d’isoamortissement de valeur 0,1 dans le premier cas et de 0,7 dans le second. La commande
CRONE permet d’effectuer ces calculs tout en garantissant la robustesse des performances
pour les différentes configurations du procédé. Les résultats d’essais sont concluants quant à
la méthodologie.
Le chapitre 4 concerne la commande multivariable de systèmes peu amortis. Ce
chapitre débute avec le rappel de la stratégie de la commande CRONE multivariable des
procédés stables et à non-minimum de phase. L'approche multivariable est fondée sur la
préparamétrisation non entière complexe de la matrice de transfert en boucle ouverte
nominale. Un ensemble de gabarits associé à la boucle ouverte assure le degré de stabilité et le
découplage de la commande. Leur optimisation tend à minimiser les variations du degré de
stabilité sous des contraintes de calibrage des éléments des fonctions de sensibilité nominales
et reparamétrées. Un des objectifs de cette thèse est le développement et l’application de cette
commande aux procédés peu amortis tout en utilisant les contours d’isoamortissement. Les
modes résonants du procédé, mais aussi ceux du procédé inverse, ont dû être considérés.
Ceux-ci jouent en effet aussi un rôle important et nécessitent un traitement particulier. La
méthodologie complète est appliquée en fin de ce chapitre sur le second procédé d’étude et
permet de mettre en évidence l’efficacité de la méthode. Le procédé est amorti de manière
robuste avec une réponse présentant un amortissement de 0,1, ce qui se traduit par un gain
d’au moins un facteur 10 sur le temps de relaxation.
Cette thèse a donc permis de mettre en œuvre de manière concrète les contours
d’isoamortissement et de montrer leur intérêt dans les applications de contrôle actif de
vibrations. Un des autres objectifs de la thèse qui consistait en la mise en œuvre de la
commande CRONE sur des procédés multivariables a aussi été atteint. Bien que pour la
plupart déjà abordés, tous les développements calculatoires relatifs à la commande CRONE
ont été repris et programmés dans cette thèse afin de pouvoir traiter des procédés
multivariables.
Les perspectives à ces travaux de thèse font déjà l’objet de développements avancés.
Il s’agit tout d’abord d’intégrer dans le module « Commande » du logiciel CRONE le
traitement des procédés multivariables. Ces travaux font l’objet de la thèse de Dominique
Nelson-Gruel, doctorant de l'équipe CRONE, avec lequel les résultats de cette thèse ont été
discutés. L'extension aux procédés non carrés est elle aussi en cours.
- - - 125 -
- - - 126 -
- 127 -
Bibliographie
[Akh00] G. Akhras (2000), « Des Matériaux Intelligents et Des Systèmes Intelligents
pour l’Avenir », Revue militaire canadienne, Automne 2000.
[Ark84] Y. Arkun, B. Manousiouthakis, P. Putz (1984), « Robust Nyquist Array
Methodology: aNew Theorical Framework for Analysis and Design of Robust
Feedback System », Int. J. Control, Vol. 40, n°4, pp. 603-629.
[Bai85] T. Bailey, J. Hubbarad (1985), « Distributed Piezoelectric-Polymer Active
Control of a Cantilevered Beam », 8(5): pp. 605-611.
[Bal92] Ballouk (1992), « La dérivation non entière réelle et complexe : synthèse et
applications dans les sciences de l’ingénieur », Thèse de Doctorat, Université
Bordeaux I.
[Bud03] M. Budinger (2003), « Contribution à la conception et à la modélisation
d’actionneurs piézoélectriques cylindriques à deux degrés de libertés de type
rotation et translation », Thèse de Doctorat, Institut National Polytechnique de
Toulouse.
[Cra87] E. f. Crawley, J.de Luis (1987), « Use of piezoelectric actuators as elements of
intelligent structures », AIAA Journal 25: 1373-1385.
[Cra89a] E. Crawley, E. Anderson (1989), « Detailed Models of Piezoceramic Actuation
of Beams », AIAA Journal, (AIAA-89-1388), pp. 1373-1385.
[Cra89b] E. Crawley, J.De Luis (1989), « Use of Piezoelectric Actuators as Elements of
Intelligent Structures », AIAA Journal, 25(10): pp. 1373-1385.
[Cud89] H. Cudney (1989), « Distributed Structural Control Using Multilayered
Piezoelectric Actuators », Thèse de doctorat, State Univ. New York, Buffalo,
USA.
- 128 -
[Cul92] B. Culshaw, P. Gardiner, A. Mcdonach (1992), « First Conference on Smart
Structures and Materials », 1777-12. SPIE, Glasgow, UK.
[Cul96] B. Culshow (1996), « Smart Structures and Materials », Artech House,
London.
[Des81] C.A. Desoer, M.J Chen (1981), « Design of Multivariable Feedback Systems
with Stable Plant », IEEE Trans. on Autom. Control, 29, October.
[Ell01] S. Elliot, A. Premont (2001), « Contrôle Actif du Bruit et des Vibrations
Mécaniques », Institut pour la Promotion des Sciences de l’Ingénieur.
[For81] R. Forward, C. Liu (1981), « Electronic Damping of Resonances in Gimbal
Structures », 22nd
Structural Dynamics, and Materials Conference, AIAA-81-
0556, pp. 511-518. AIAA / ASME / ASCE /AIS, Atlanta, GA.
[Ful97] C. Fuller, S. Elliott, P. Nelson (1997), « Active Control of Vibration »,
Elsevier Science & Technology, Academic Press Inc, London, Great Britain.
[Fun91] H. Funakubo (1991), « Actuators for control, precision machinery and
robotics », Gordon and breach Science Publishers, New York.
[Gar91] E. Garcia, J. Dosch, D. Inman (1991), « Vibration Suppression Using Smart
Structures », Smart Structures and Materials, Proceedings of the Symposium,
pp. 167-172.
[Gar97] B. Garnier (1997), « Contrôle actif des vibrations », Techniques de l’ingénieur,
traité Mesures et Contrôle.
[Gev70] W. Gevarter (1970), « Basic Relations for Control of Flexibles Structures »,
AIAA Journal, 8(4): pp. 666-720.
[Ger93] G. Gerardin, D. Rixen (1993), « Théorie des Vibrations Application à la
Dynamique des Structures », Collection Physique Fondamentale et Appliquée,
MASSON.
[Ger97] G. Gerardin, D. Rixen (1997), « Mechanical Vibration: Theory and
Application to Structural Dynamics ».
- 129 -
[Haa00] W. Haas, K. Schlacher, R. Gahleitner (2000), « Modeling of
Electromechanical Systems », Johannes Kelper University, Linz.
[Hag90] N. Hagood, W. Chung, A. Flotow, (1990), « Modelling of Piezoelectric
Actuator Dynamics for Active Structural Control », Journal of Intelligent
Materials, Systems and Structures, 1.
[Hot98] R. Hotzel (1998), « Contribution à la théorie structurelle et à la commande des
systèmes linéaires fractionnaires », Thèse de l’Université de Paris-Sud Centre
d'Orsay
[Ker59] E. Kerwin (1959), « Damping of Flexural Waves by a Constrained Viscoelastic
Layer », Journal of Acoustical Society of America, 31(7): pp.952-962.
[Lan93] I.D. Landau (1993), « Identification et Commande des Systèmes », 2ème
édition, Editions Hermès, Paris.
[Lan94] P. Lanusse (1994), « De la commande CRONE de première génération à la
commande CRONE de troisième génération », Thèse de l’université de
Bordeaux I.
[Lan02] P. Lanusse (2002), « CRONE Toolbox, Fractional Systems Toolbox - CRONE
CSD Module - User's Guide - Version3.0 »", Equipe CRONE, Avril
[Lee87] C. Lee (1987), « Piezoelectric Laminates for Torsional and Bending Modal
Control: Theory and Experiment », Thèse de doctorat, Cornell University,
Ithaca, NY, USA.
[Lel02] S. Leleu (2002), « Amortissement actif des vibrations d’une structure flexible
de type plaque à l’aide de transducteurs piézoélectriques», Thèse de doctorat,
LESIR, Cachan, France.
[Les88] C. Lesueur (1988), « Rayonnement Acoustique des Structures », Collection de
la Direction des Etudes et Recherches D’Electricité de France, Edition
Eyrolles.
[Mac71] R. MacNeal, « A hybrid method of component mode synthesis », Computers
and structures, vol. 1, no.4, pp. 581-601, 1971.
- 130 -
[Mac89] J.M. Maciejowski (1989), « Multivariable Feedback Design », Addison-wesley
Publshing Company, Wokingham, England.
[Mcd94] A. Mcdonach, P. Gardiner, R. Mcewen B. Culshaw (1994), 2nd
European
Conference on Smart Structures and Materials, 2631, SPIE, Glasgow, UK.
[Mou90] A. Moulson, J. Herbert (1990), Electroceramics: Materials, Properties,
Applications.
[Oga02] K. Ogata (2002), « Modern Control Engineering », 4th
Edition, by Prentice-
Hall, Inc.
[Ous78] A. Oustaloup (1978), « Etude de la fonction régulation d’un système asservi au
moyen d’un nouvel abaque », L’onde électrique, vol.58, n°8-9, p.543-546.
[Ous91] A. Oustaloup (1991), « La commande CRONE », Editions Hermès, Paris.
[Ous94] A. Oustaloup, B. Mathieu, P. Lanusse (1994), « Une Mise au Point sur le
Concept de Distance au Point Critique : Validation de contours
d’Isodépassement et Construction de Contours d’Isoamortissement Fondés sur
la Dérivation Non Entière Complexe et sa Synthèse », GR Automatique,
Grenoble, 10 et 11 Février.
[Ous95a] A. Oustaloup (1995), « La dérivation non entière : théorie, synthèse et
applications », Editions Hermès, Paris
[Ous95b] A. Oustaloup, B. Mathieu, P. Lanusse (1995), « Intégration non entière
complexe et contours d’isoamortissement – Complex non integer integration
and isodamping contours », APII. Vol.29.2.
[Ous95c] A.Oustaloup, P. Lanusse, B. Mathieu (1995), « Robust control of SISO plants:
the CRONE control » ; European Control Conference ECC95, Rome, Italia
[Ous95d] A. Oustaloup, B. Mathieu, P. Lanusse (1995), « The CRONE control of
resonant plants: application to a flexible transmission »,European Journal of
Control, Vol. 1, n°2,pp. 113-121.
- 131 -
[Ous96] A. Oustaloup, B. Mathieu, P. Lanusse, J. Sabatier (1996), « La commande
CRONE : de la robustesse fractale à un gabarit curviligne en boucle ouverte »,
Chapitre 6 of « Commande robuste : développements et applications »
coordinated by J. Bernussou, Hermès, Paris
[Ous99a] A. Oustaloup, B.Mathieu (1999), « La commande CRONE du scalaire au
multivariable », Hermès, Paris10
[Ous99b] A. Oustaloup, J. Sabatier, P. Lanusse (1999), « From fractal robustness to the
CRONE Control », Fractional Calculus and Applied Analysis: An international
Journal for Theory and Applications, Vol. 2, n° 1
[Ous00] A. Oustaloup, P. Melchior, P. Lanusse, O. Cois and F. Dancla (2000), « The
CRONEtoolbox for Matlab »", IEEE International Symposium on Computer-
Aided Control System Design", Anchorage, Alaska, September 25-27
[Pee96] D J Peel (1996), « Dynamic modelling of an ER vibration damper for vehicle
suspension applications », Smart Mater. Strct., 5 591-606.
[Pom02] V. Pommier, J. Sabatier, P. Lanusse, A. Oustaloup (2002), « CRONE control
of a non linear hydraulic actuator », Control Engineering Practice, Avril.
[Pom06] V.Pommier-Budinger , Y. Janat, P. Lanusse, A. Oustaloup (2006), « Fractional
robust control of lightly damped systems » ; The 32nd Annual Conference of
the IEEE Industrial Electronics Society; Paris, FRANCE - November 7-10,
2006.
[Ric04] J. Richelot, J. Bordeneuve-Guibé, V. Pommier-Budinger (2004), « Active
Control of a Clamped Beam Equipped with Piezoelectric Actuator and Sensor
using Generalized Predictive Control », International Symposium on Industrial
Electronics ISIE’04. IEEE.
[Ric06] J. Richelot (2006), « Contrôle actif des structures flexibles par commande
prédictive généralisée », Thèse de l’Université Paul Sabatier Toulouse I.
- 132 -
[Rob01] Robert D. Blevins (2001), « Formulas for Natural Frequency and Mode
Shape », Ed. Hardcover.
[Ros59] D. Ross, E. Ungar, E. Kerwin (1959), « Damping of Plate Flexural Vibrations
by Means of Viscoelastic Laminate », Structural Damping.
[Rub75] S.Rubin, « Improved component-mode representation for structural dynamic
analysis » AIAA Journal, vol.13, no.8, pp.995-1006, 1975.
[Sab98] J. Sabatier (1998), « Dérivation non entière en modélisation des systèmes à
paramètres distribués récursifs et en commande robuste de procédés non
stationnaires », thèse de l’Université de Bordeaux I
[Sim93] E. Sim, S. Lee (1993), « Active Vibration Control of Flexible Structures with
Acceleration Feedback », AIAA Journal of Guidance, 16(2): pp. 413-415.
[Sri01] A.V. Srinivasan, D. Michael McFarland, « Smart Structures Analysis and
Design », Cambridge University Press.
[Var87] A.I.G. Vardulkis (1987), « Internal Stabilization and Decoupling in Linear
Multivariable Systems by Unity Output Feedback Compensation », IEEE
Tarns. on Autom. Control, 32, August.
[Wan75] S.H. Wang, E.J. Davison (1975), « Design of Decoupled Control Systems: a
Frequency Domain Approach », Int. J. Control, 21.
- 133 -
ABSTRACT
The vibrations reduction is a major issue in the industrial field. This thesis
deals with active control to attenuate the resonances of a structure. The two
experimental devices of this thesis are processes with piezoelectric ceramics; one is
monovariable and the other is multivariable. The first one is a simple model
composed of a free-clamped beam only subjected to bending. The second is a
simplified model of an airplane wing, subjected at the same time to bending and
torsion.
In the frame of our work, the processes being at the same time lightly-damped
and uncertain, the control strategy lies on fractional robust control (CRONE control)
and iso-damping contours.
The iso-damping contours are particularly adapted to the control of vibrations
since the graduation of the iso-damping contour tangent to an open-loop Nichols
locus is the damping factor of the closed-loop response.
The CRONE control aims at insuring the robustness of the stability degree of
the control, taking into account the plant uncertainties. The stability degree is
measured by the resonance factor or the damping factor and the plant uncertainties
are taken into account without over-estimation.
This thesis has shown the efficiency of the CRONE control associated to the
iso-damping contours in order to deal with uncertain and lightly damped processes.
The studied processes are well-better damped and experimental results have
confirmed the robustness of the control.
Keywords: Lightly damped Systems, robust control, active control
Auteur : Yaman JANAT.
Titre : Commande CRONE Monovariable et Multivariable de Systèmes Peu Amortis.
Directeurs de thèse : Alain OUSTALOUP (directeur).
Valérie POMMIER-BUDINGER (co-directrice).
Lieu et date de soutenance : ENSICA, Le 30 Novembre 2007.
RESUME : La réduction des vibrations est un problème majeur dans le secteur industriel. Cette
thèse met en œuvre la technique du contrôle actif qui permet d’atténuer les résonances d’une
structure. .Les deux supports expérimentaux de cette thèse sont des procédés « actifs », l’un
monovariable et l’autre multivariable. Le premier procédé est une maquette simple composée d’une
poutre encastrée-libre soumise à la flexion uniquement. Le second procédé est une maquette
simplifiée d’aile d’avion et soumise à la fois à la flexion et à la torsion. Dans le cadre de cette thèse, les
procédés étant à la fois peu amortis mais aussi incertains, la stratégie de commande repose sur la mise
en œuvre de contours dits « d’isoamortissement » d’une part et de la commande CRONE (Commande
Robuste d’Ordre Non Entier) d’autre part. Ces contours et cette commande sont tous deux des
résultats de la recherche menée par Alain Oustaloup à partir de la théorie de la dérivation non
entière.Les contours d’isoamortissement sont particulièrement adaptés au contrôle de vibrations car la
graduation du contour d’isoamortissement tangeant au lieu de Nichols en boucle ouverte est
significative du facteur d’amortissement en asservissement et en régulation. La commande CRONE a
pour objectif la robustesse du degré de stabilité de la commande vis-à-vis des incertitudes du procédé.
Le degré de stabilité est mesuré par le facteur de résonance en asservissement ou le facteur
d'amortissement en asservissement et en régulation et les incertitudes sont prises en compte à travers
les véritables domaines qu’elles définissent, conférant ainsi à la commande CRONE un caractère non
pessimiste. Cette thèse a mis en évidence l’efficacité de la commande CRONE associée aux contours
d’isoamortissement pour traiter les procédés incertains peu amortis. Les procédés d’étude asservis
présentent des réponses avec un meilleur facteur d’amortissement et les essais ont montré les
propriétés de robustesse de la commande.
Mots-clés : Systèmes peu amortis, Contrôle actif, Commande Robuste.
Discipline : Automatique.
Intitulé et adresse du laboratoire : Département Avionique et Systèmes, Ecole Nationale Supérieure d’Ingénieurs de Constructions Aéronautiques, 1, place Emile Blouin, 31056 Toulouse Cedex 5.
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