2010-2011 Traitement Numérique du Signal 1
Université Paris 13
Traitement Numérique du Signal Master 1
1. Exemple de filtres analogiques issus de la propagation2. Comportement fréquentiel des filtres et classification3. Stroboscope4. Repliement de spectre5. Critère de Shannon-Nyquist6. Reconstruction du signal après échantillonnage7. Sous-échantillonnage8. Sur-échantillonnage
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1/ Une onde sur un ressortsignal à tempscontinu : t |-> l(t)
t=t0
t=t1
t=t2
l(t0)
l(t1)
l(t2)
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Onde sonore
p
v
rc=fc=343m.s^-12cm->30m10Hz->20kHz
p = p-p0 = 1.41 Peff(r) cos(2ft-r/v = 1.41 Veff(r) sin(2ft-r/
Signal à temps continu périodiqueSignal en r2 en retard par rapport à signal en r1
Puissance d’un signal
I = p v
Sound Wave
Bruit très fort (90dB)1.5mm.s-1, 0.5Pa(0.05mm)
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Echos
p(r,t)=1.41 Peff/r cos(2ft-r/))L’intensité sonore et la puissance varient en r^-2sO(t)=Peff/r1 cos(2f(t-r1/c))+Peff/(r2+r3) cos(2f(t-(r2+r3)/c))
sO(t) = a s(t-ta)+ b s(t-tb)
r1
r2r3
observateur
LinéaritéFiltre analogiqueEntréeSortie
En pratique : déphasage ?
1/r : dispersion plutôt qu’absorption.
réfraction
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Effet LarsenAudio-Feedback
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Instabilité (microphone proche des haut-parleurs)
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Instabilité moindre (microphones plus loin des haut-parleurs)
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2/ Filtre analogique
)(ˆ)(ˆ)(ˆ)( fUfHfYttuty
Passe-bas
Passe-haut
Passe-bande
Coupe-bande
Passe-tout
fc
Fréquencede coupure
f
Réponse fréquentielle
Domaine temporel =>Domaine fréquentiel TF
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Filtre numérique
)(ˆ)(ˆ)(ˆ][ fUfHfYnuy nn
Passe-bas
Passe-haut
Passe-bande
Coupe-bande
Passe-tout
fc
Fréquencede coupure
f
Réponse fréquentielle périodique
TFTDDomaine temporel =>Domaine fréquentiel
-fe/2 fe/2
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3/ Exemple du stroboscope (vitesse lente)
2010-2011 Traitement Numérique du Signal 11
Exemple du stroboscope (vitesse rapide)
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module
4/ Repliement de spectre
en nTss )( en nTss
l
eee lffSffS ˆˆ
Signaux non-périodiques Signaux périodiques
échantillonnage
repliement despectre
t t
f f
phase
l
lNke SNkS ˆˆ
N=T/Te
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Repliement de spectre
• Repliement :
• Elle rend compatible :
• En effet (changement de variable f’=f-lfe) :
l
e lfefSffS )(ˆ)(ˆ #
2/
2/
2# )(ˆ1)(
fe
fe
fnTej
e
dfefSf
nTes
dfefSnTes fnTej 2)(ˆ)(
2/
2/
2/
2/
'22 ')'(ˆ)(ˆ1fe
fe l n
lfefe
lfefe
lTefjflTej
e
dfefSdfelfefSfef
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Transformée de Fourier de signaux échantillonnés
échantillonnage, troncature puis périodisationsignal en temps module du spectre
échantillonnage
troncature
périodisation
TF
TFTD
repliement de spectre
oscillationsTFTD
TFTD
raiesTFTD
TFD
déphasage*fe
discontinuité
sinc
2010-2011 Traitement Numérique du Signal 16
Transformée de Fourier de signaux échantillonnés
échantillonnage, troncature puis périodisation
nanT
at
Ee
e
2
1
2
1
22
1
1
12
1
2
afj
f
e
afj
eTafj e
ln
anT lNneN
E )(2
11 1..0
signal en temps module du spectre
échantillonnage
troncature
périodisation
TF
TFTD
repliement de spectre
oscillationsTFTD
TFTD
raiesTFTD
TFD
déphasage*fe
Nee
e
NN
kj
aT
aNT
e
e
2
1
1
112
nNanT ne E
2
11 1..0
2
1
1
12
2
afjT
afTjNT
e
ee
e
e
discontinuité
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Transformée de Fourier de signaux échantillonnés
troncature, périodisation puis échantillonnagesignal en temps module du spectre
troncature
périodisation
échantillonnage
TF
TFoscillation
raies
TF
Coéf Série de Fourier
repliementde spectre
TFD
discontinuité
déphasage
sinc
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Transformée de Fourier de signaux échantillonnés
troncature, périodisation puis échantillonnagesignal en temps module du spectre
troncature
périodisation
échantil-lonnage
TF
TFoscillation
raies
TF
Coéf Série de Fourier
repliementde spectre
TFD
te
e
Tat
at
],0[1
afj
eeafj
fTjaT
2
12
1
2
lNn
anT lNne E )(2
11 1..0
Nee
e
NN
kj
aT
aNT
e
e
2
1
1
112
lT
at lTte ,01a
T
kj
ee
T
T
kj
aT
2
112 *1/T
*Te
2010-2011 Traitement Numérique du Signal 19
5/ Critère de Shannon-Nyquist
2maxef
f
0)(ˆsupmax fXff f
0)(ˆ,2
fXf
f e
fmax-fmaxf
|X(f)|^
)(ˆ)(ˆ,)( fXfXtx
Formulation 1 Formulation 2
Le signal est réel aussile module du spectre est paire.
2010-2011 Traitement Numérique du Signal 20
6/ Reconstruction– Pour reconstruire, on n’utilise que la bande
fondamentale• Produit de la réponse en fréquence par la fonction porte
(largeur fe, amplitude 1/fe, centrée en f = 0) : TF (domaine temporel) Sinc(fet)
• On obtient le produit de convolution de la fonction par Sinc(fet)
nfefe fX
feTFtxnfefXfefX )](ˆ1
1[)()( #
]2/,2/[1#
-
#
-
#sin
1)(
)(sin
n
n
n e
e
nTe
tTe
t
xntf
ntfxtx
nn
)(*)](11
[ #]2/,2/[
1 txffe
TFtx fefe
dunTetxutfe
utfetx
nn
)()(
))(sin( #
^ ^
2010-2011 Traitement Numérique du Signal 21
Reconstruction• Pour un signal constant xn = 1 pour n>=0 et xn=0 sinon.
2010-2011 Traitement Numérique du Signal 22
Echantillonnage et interpolation
)(tx
)(ˆ fX
nxSignal en temps
k
ee kffXf )(ˆ
2
,2
11
ee ffef
Spectre
n ee
een nTtf
nTtfx
)(
sin
)(tx
)(ˆ fX
1TFTF
Échantil-lonnage
Repliement de spectre
interpolationTFTD
2maxef
f
Nyquist
2010-2011 Traitement Numérique du Signal 23
7/ Sous-échantillonnage
nx
fX̂)(ˆ fH
)(
2
2n
ab
x
nxnx
)(ˆ)(ˆ fXfX b
1TFTDSous-échantillonnageTFTD
4,
4ee ff
f
)2
()2
(
)()(ˆ
ea
ea
ab
ffX
ffX
fXfX
][nxa
nh*
)(ˆ fX a
4maxef
f
Nyquist
filtrage
2010-2011 Traitement Numérique du Signal 24
8/ Suréchantillonnage
fX̂
ffHee ff
2,2
1ˆ
fX̂
nx
)(ˆ2 fH
2][ e
b
Tnxnx
)(ˆ2)(ˆ fXfX b
1TFTDsuréchantillonnageTFTD
2,
2ee ff
f)()(ˆ fXfX a
0]12[
]2[
nx
xnx
a
na nh2*
si
0)(ˆ fX b
e
eee f
ffff ,
22,
filtrage
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