TROISIEME PARTIE
CALCUL ACTUARIEL « VIE »
Louis ESCH – Calcul financier et actuariel – Chapitre 3 : Probabilités viagères 1
CHAPITRE 3
PROBABILITES VIAGERES Sommaire 0. Rappels 1. Probabilités viagères sur 1 tête 2. Probabilités viagères sur 2 têtes 3. Fonction de survie 4. Taux instantané de mortalité 5. Espérance de survie 6. Capital différé
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3. Probabilités viagères 0. Rappels
- Phénomène fortuit et événement - Probabilité - Probabilité conditionnelle - Indépendance - Variable aléatoire - Loi de probabilité et fonction de répartition - v.a. aléatoires discrètes et à densité - Moyenne d’une v.a.
1. Probabilités viagères sur 1 tête 2. Probabilités viagères sur 2 têtes 3. Fonction de survie 4. Taux instantané de mortalité 5. Espérance de survie 6. Capital différé
Louis ESCH – Calcul financier et actuariel – Chapitre 3 : Probabilités viagères 3
Phénomène fortuit et événement Phénomène fortuit = dû au hasard :
- conditions initiales identiques - variabilité des résultats (ensemble Ω)
i. anarchie d’une réalisation à l’autre ii. régularité moyenne à long terme
Evénement : fait susceptible de se produire ou non = partie de Ω
Si résultat ω, A se produit ⇔ ω ∈ A Evénement certain = Ω Evénement impossible = ∅ Interprétations ensemblistes
Opération logique Opération ensembliste Contraire de A A A implique B A ⊂ B
A et B A ∩ B A ou B A ∪ B
A, mais pas B A \ B A et B incompatible A ∩ B = ∅
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Probabilité Définition : mesure, pour les événements, de la tendance à se produire Axiomes de Kolmogorov
1)Pr()Pr()Pr()Pr(,,
0)Pr(,
=Ω+=∪⇒∅=∩Ω⊂∀
≥Ω⊂∀BABABABA
AA
Propriétés
)Pr()Pr(,,)Pr(1)Pr(
1)Pr(00)Pr(
BABABAAAAA
≤⇒⊂Ω⊂∀−=
≤≤Ω⊂∀=∅
)Pr()Pr()Pr()Pr(,, BABABABA ∩−+=∪Ω⊂∀
(formule de Boole) Modèle fini équiprobable
( ) ),,1(1Pr
,,1
nini
n
K
K
===Ω
ωωω
Dans ce cas,
)(#)(#)Pr(
Ω=
AA
= « nb cas favorables / nb cas possibles »
Louis ESCH – Calcul financier et actuariel – Chapitre 3 : Probabilités viagères 5
Probabilité conditionnelle Probabilité de A si B (sachant que B se produit)
)Pr()Pr()|Pr(
BBABA ∩
=
car - événement A A ∩ B
- unité : Pr(B | B) = 1 Formule des probabilités totales
Si nAA ,,1 K est une partition de Ω,
∑=
=n
iii ABAB
1
)|Pr()Pr()Pr(
Louis ESCH – Calcul financier et actuariel – Chapitre 3 : Probabilités viagères 6
Indépendance A est indépendant de B si
)|Pr()|Pr( BABA =
Caractérisation
)Pr()Pr()Pr( BABA ⋅=I N.B. : En général (si non indépendance)
)|Pr()Pr()Pr( ABABA ⋅=I
Généralisation : deux phénomènes fortuits et (aspects particuliers du ph. fort. ) sont indépendants si tout événement de est indépendant de tout événement de :
)Pr()Pr()Pr( HGHG ⋅=I
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Variable aléatoire (v.a.) Définition : grandeur numérique dépendant du résultat d’un phénomène fortuit Mathématiquement,
)(:
ωω XX
a
R→Ω
Parfois, utilisation des v.a. sans définir Ω (ex. : durée de vie d’une personne)
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Loi de probabilité et fonction de répartition (f.r.)
Loi de probabilité : probabilité de n’importe quel événement défini à partir de la v.a. :
R⊂∀∈ EEX ]Pr[
Fonction de répartition
]Pr[)(]1;0[
:tXtFt
FX
X ≤=→a
R
Propriétés
1)(lim0)(limcroissant
1)(0
==
≤≤
+∞→−∞→tFtF
FtF
tt
t
1 F(t)
]Pr[1]Pr[
==−=>tX
FtX
N.B. : si X > 0, F(t)
Louis ESCH – Calcul financier et actuariel –
0
sautduhauteur)()()()(]Pr[)(
=−−−=≤<
tFtFsFtFtXst
= 0 pour t ≤ 0
Chapitre 3 : Probabilités viagères 9
v.a. discrètes et à densité Différentes manières de répartir la probabilité sur les valeurs possibles :
- masses sur des valeurs isolées - densité sur des plages continues - mixte
v.a. discrète : valeurs possibles dénombrables
∝
KK
KK
n
n
pppxxx
X21
21
1]Pr[ === ∑
iiii pxXp
Propriété : f.r. en escaliers v.a. à densité : fonction f positive telle que
∫=∈E
dxxfEX )(]Pr[
Propriétés
continuef.r.
)()()()(
)(]Pr[0]Pr[
1)(
tFtfdxxftF
htfhtXtttX
dxxf
t′==
⋅≈+≤<∀==
=
∫
∫
∞−
∞+
∞−
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Moyenne d’une variable aléatoire
Indicateur de localisation (notation : µ)
v.a. discrète : ∑=i
ii pxµ
v.a. à densité : ∫
∞+
∞−= dxxxf )(µ
En général, ∫∫ ∞−
∞+−−=
0
0)()](1[ dttFdttFµ
Espérance (mathématique)
E(X) = µ
Propriété
cYbEXaEcbYaXE ++=++ )()()(
Généralisation
( ) ∫∑∞+
∞−== dxxfxgpxgXgE
iii )()()()(
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3. Probabilités viagères 0. Rappels 1. Probabilités viagères sur 1 tête
- Durée de vie - Probabilité de survie et de décès - Probabilité de décès différé
2. Probabilités viagères sur 2 têtes 3. Fonction de survie 4. Taux instantané de mortalité 5. Espérance de survie 6. Capital différé
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Durée de vie
On ne précise pas l’ensemble Ω. Variable aléatoire : V, durée de vie d’une personne (> 0) Probabilités d’événements définis à partir de V :
probabilités viagères (survie et décès) Calcul pratique de ces probabilités :
table de mortalité (chap. 4)
Louis ESCH – Calcul financier et actuariel – Chapitre 3 : Probabilités viagères 13
Probabilité de survie et de décès Définitions t
Probabilité qu’une tête d’age x surannées (notation xt p )
]Pr[]Pr[
]Pr[[]Pr([
[|]Pr([
xVtxV
xVVtxV
VtxVpxt
>+>
=
>∩+>
=
>+>=
Probabilité qu’une tête d’âge x déct années (notation ) xt q
]Pr[]Pr[]Pr[[]Pr([
[|]Pr([
xVtxVxxV
VtxVVtxVqxt
>+≤<
=
>∩+≤
=
>+≤=
Cas particulier : t = 1 Taux annuel de survie : xx pp =1 Taux annuel de décès : xx qq =1
Louis ESCH – Calcul financier et actuariel – Chapitre 3 : Probabilités viagères
0 x
vive au moins t
])])x
x>
ède dans un délai de
])])x
x>
14
Propriétés 1=+ xtxt qp
uxutxuxt ppptu +−⋅=⇒<<0
u
x
Cas partic
Si
Intérêfonct
Louis ESCH – Calcu
0
xt
uxutxu
pxV
txVxV
uxVpp
=>+>
=
⋅>+>
=⋅ +−
]Pr[]Pr[
]Pr[]Pr[
ulier
⋅=⋅= ++− 111111 xxxtxxt ppppp
t est entier, 1+⋅= xxxt ppp
t : probabilités viagères expion d’une seule variable
l financier et actuariel – Chapitre 3 : Probabilités viagères
t
uxVtxV
+>+>
]Pr[]Pr[
K=⋅ +− 22 xt p
12 −++ ⋅⋅⋅ txx pp K
rimées à partir d’une
15
Probabilité de décès différé
t
Défin
Pt
Propr
D
Louis ESC
0 x
ition
robabilité qu’une tête d’ années, différé de k (n
Pr[Pr[
Pr([
VVkx
Vkxqxtk
<+=
<+=
iété
txkxtk qpq ⋅=
ém.
xtkxk
kxtxkxk
kxtxk
xtk
ppppp
qpxVxVkxq
+
+
+
−=⋅−=
⋅=>≤<+
=Pr[
Pr[
H – Calcul financier et actuariel – Chapitre 3 : Prob
k
âge x otation
]xkx
x
>+≤
+≤
kkx + =
tk ++]
]
abilités viagère
décède dans un délai de xtk q )
]
])[|]
t
xVtk
+
>+
xtkx pp +−
kxVkxV
+>+>
×]Pr[]Pr[
s 16
3. Probabilités viagères 0. Rappels 1. Probabilités viagères sur 1 tête 2. Probabilités viagères sur 2 têtes 3. Fonction de survie 4. Taux instantané de mortalité 5. Espérance de survie 6. Capital différé
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Probabilités viagères sur 2 têtes
Deux personnes (ayant éventuellement une distribution de V différente), mais indépendantes Probabilités de survie
Probabilité que les 2 têtes, d’âge x et y, survivent au moins t années :
ytxtxyt ppp ~⋅=
Probabilité qu’au moins une des 2 têtes, d’âge x et y, survive au moins t années :
ytxtytxt
ytxtytxtytxtxyt
pppp
ppppppp~~
~~)1()~1(
⋅−+=
⋅+⋅−+−⋅=
Autre approche : formule de Boole
Probabilité qu’exactement une des 2 têtes, d’âge x et y, survive au moins t années :
ytxtytxt
ytxtytxtxyt
pppp
ppppp~2~
~)1()~1(]1[
⋅−+=
⋅−+−⋅=
Louis ESCH – Calcul financier et actuariel – Chapitre 3 : Probabilités viagères 18
Probabilités de décès : complémentaires
xytxyt pq −=1
= probabilité qu’au moins une des 2 têtes, d’âge x et y, décède dans un délai de t années
xytxyt pq −=1
= probabilité que les 2 têtes, d’âge x et y, décèdent dans un délai de t années
Louis ESCH – Calcul financier et actuariel – Chapitre 3 : Probabilités viagères 19
3. Probabilités viagères 0. Rappels 1. Probabilités viagères sur 1 tête 2. Probabilités viagères sur 2 têtes 3. Fonction de survie
- Définition - Lien avec les probabilités viagères - Tables de mortalité
4. Taux instantané de mortalité 5. Espérance de survie 6. Capital différé
Louis ESCH – Calcul financier et actuariel – Chapitre 3 : Probabilités viagères 20
Définition Fonction lx représentant l’évolution d’une population fictive d’individus
- nés à la même date - ayant la même distribution de durée de vie - indépendants
l0 = effectif au départ (= 1 000 000) lx = nombre de survivants à l’âge x dx = lx – lx +1 = nombre de décès durant ]x ; x +1] Propriété
0
]Pr[llxV x=>
(= nb cas favorables / nb cas possibles)
Louis ESCH – Calcul financier et actuariel – Chapitre 3 : Probabilités viagères 21
Lien avec les probabilités viagères
x
txx
x
txxt
x
tx
x
txxt
lll
llq
ll
llll
xVtxVp
++
++
−=−=
==>+>
=
1
]Pr[]Pr[
0
0
x
x
x
xxx
x
xx
ld
lllq
llp
=−
=
=
+
+
1
1
x
tkxkxxtk l
llxV
tkxVkxq +++ −=
>++≤<+
=]Pr[
]Pr[
Avantage sur « 121 −+++ ⋅⋅⋅⋅= txxxxxt ppppp K »
- fonction d’une seule variable - exprime les probabilités viagères à l’aide d’un petit
nombre de facteurs
Louis ESCH – Calcul financier et actuariel – Chapitre 3 : Probabilités viagères 22
Tables de mortalité Les tables de mortalité donnent la fonction de survie lx pour des x entiers seulement (= table de survie)
définition des différentes notions - de manière générale (x continu) - utilisées à partir de la table de survie
Les tables de mortalité diffèrent
- suivant le sexe (M – F) - suivant le type d’opération d’assurance (R – K)
Louis ESCH – Calcul financier et actuariel – Chapitre 3 : Probabilités viagères 23
3. Probabilités viagères 0. Rappels 1. Probabilités viagères sur 1 tête 2. Probabilités viagères sur 2 têtes 3. Fonction de survie 4. Taux instantané de mortalité
- Définition - Lien avec les probabilités viagères - Cas discret
5. Espérance de survie 6. Capital différé
Louis ESCH – Calcul financier et actuariel – Chapitre 3 : Probabilités viagères 24
Définition Taux instantané de mortalité à l’âge x (notation : µx)
= taux de décès par unité de temps à l’âge x
hqxh
hx 0lim→
=µ
Expression en fonction de lx
)(ln
lim1
1lim
0
0
′−=
′−=
−−=
−⋅=
+
→
+
→
x
x
x
xhx
hx
x
hxx
hx
lll
hll
l
lll
hµ
Louis ESCH – Calcul financier et actuariel – Chapitre 3 : Probabilités viagères 25
Lien avec les probabilités viagères
∫ +=t
sxxsxt dspq0
µ
Dém.
( )
xt
xtxx
t
ssxx
t
sx
sx
x
sxt
sxxs
q
lll
dsll
dsll
lldsp
=
−−=
′−=
′−=
+
+
+
+++
∫
∫∫
1
)(10
00µ
∫=
+−
tx
xs ds
xt epµ
Dém.
( )
xt
x
tx
xtx
tx
x s
tx
x s
pl
lll
dslds
ln
ln
lnln
)(ln
−=
−=
−−=
′−=
+
+
++
∫∫ µ
Louis ESCH – Calcul financier et actuariel – Chapitre 3 : Probabilités viagères 26
Cas discret
Si les grandeurs sont définies pour x entier seulement, la dérivée n’a plus de sens
l Approximatipente de la c
Taux insta
Louis ESCH – Calcul finan
x – 1 x x + 1
on de la dérivée (pente de la tangente) par la orde :
211 −+ −
≈′ xxx
lll
ntané de mortalité approché :
x
xx
x
xx l
llll
211 +− −
≈′
−=µ
cier et actuariel – Chapitre 3 : Probabilités viagères 27
3. Probabilités viagères 0. Rappels 1. Probabilités viagères sur 1 tête 2. Probabilités viagères sur 2 têtes 3. Fonction de survie 4. Taux instantané de mortalité 5. Espérance de survie
- Définition - Cas discret
6. Capital différé
Louis ESCH – Calcul financier et actuariel – Chapitre 3 : Probabilités viagères 28
Définition Espérance de survie à l’âge x (notation : ) xe
= moyenne de la v.a. Wx, durée résiduelle de vie à l’âge x
x
tx
xt
xW
llp
xVtxV
tWtFx
+=
=>+>=
>=−
])[|]Pr([
]Pr[)(1
∫
∫∞+
+
∞+
=
−=
=
0
0
1
)](1[
)(
dtll
dttF
WEe
txx
W
xx
x
Louis ESCH – Calcul financier et actuariel – Chapitre 3 : Probabilités viagères 29
Cas discret
On suppose, par symétrie, que tous les décès d’une année ont lieu au milieu de l’année
Les valeurs de la v.a. Wx sont :
K,25,
23,
21
avec
x
txtx
x
lll
xVtxVtxtW
1
])[|]1Pr([21Pr
+++ −=
>++≤<+=
+=
−+−=
−
+=
∑∑
∑∞
=+++
∞
=+++
∞
=
+++
01
01
0
1
)(21)(1
21
ttxtx
ttxtx
x
t x
txtxx
lllltl
lllte
K
K
+++=
+−+−+−=−
+++
++++++
∞
=+++∑
321
4332210
1 )(3)(2)()(
xxx
xxxxxxt
txtx
lll
llllllllt
xxxxxxxt
txtx lllllllll =+−+−+−=− +++++
∞
=+++∑ K)()()()( 32211
01
211
21)(1
1321 +=
++++= ∑
∞
=++++
ttx
xxxxx
xx l
lllll
le K
Louis ESCH – Calcul financier et actuariel – Chapitre 3 : Probabilités viagères 30
3. Probabilités viagères 0. Rappels 1. Probabilités viagères sur 1 tête 2. Probabilités viagères sur 2 têtes 3. Fonction de survie 4. Taux instantané de mortalité 5. Espérance de survie 6. Capital différé
- Définition - Symboles de commutation
Louis ESCH – Calcul financier et actuariel – Chapitre 3 : Probabilités viagères 31
Définition Capital différé de t années pour une personne d’âge x (notation : xt E )
= valeur actuelle d’un versement de 1 UM dans t années, à une personne d’âge actuel x, si elle est toujours en vie (en x + t)
Première approche (probabiliste)
Cette valeur actuelle est la moyenne d’une v.a. :
xtxt
t
pqv0
On a donc t
x
txtxtx v
llvpE +=⋅=t
Deuxième approche (statistique)
Les individus de la population fictive versent xt E à l’âge x pour que les survivants reçoivent 1 UM t années plus tard. Equivalence :
ttxxtx vlEl ⋅=⋅ +
Louis ESCH – Calcul financier et actuariel – Chapitre 3 : Probabilités viagères 32
Symboles de commutation = expressions dépendant
- des probabilités viagères - de facteurs d’actualisation
double entrée : âge – taux d’intérêt
Notation : x
xx vlD ⋅= Capital différé
x
txx
x
txtxt
x
txxt D
Dvlvlv
llE +
+++ =⋅⋅
==
Louis ESCH – Calcul financier et actuariel – Chapitre 3 : Probabilités viagères 33
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