Transformée de Fourier discrète
et et transformée de Fourier
rapide
Thomas LAMOTTE
2Transformée de Fourier discrète et transformée de Fourier rapide
La transformée de Fourier discrèteLa transformée de Fourier discrète
Signal analogique– La transformée de Fourier X() d ’un signal
analogique x(t) est donnée par :
t représente le temps et f les fréquences
– C ’est une opération de projection de x(t) sur l ’exponentielle.
Signal discrétisé et périodisé– Considérons une suite finie de N échantillons
d’un signal discrétisé et périodisé.
– On définit sa transformée de Fourier discrète (TFD) comme la suite
dtx(t)efX πft-2
10 Nnnx,
10 NkkX,
N
j2
N
1
0
e Wavec
N
n
nk
Nnk WxX
3Transformée de Fourier discrète et transformée de Fourier rapide
La transformée de Fourier discrèteLa transformée de Fourier discrète
– De même, on définit la transformée de Fourier inverse (ITFD) par:
Interprétation vectorielle :– Les éléments de la suite peuvent
être vus comme les composantes d ’un vecteur x dans un espace à N dimensions. X est alors une combinaison linéaire de N vecteurs de base wk où les composantes de chaque vecteur wk sont donnés par la suite
– Exemple : Considérons une TFD sur 16 valeurs, on peut
tracer les parties réelles des composantes des cinq premier vecteurs de base wk
1
0
1 N
n
nk
Nkn WXN
x
10 Nnnx,
kN
N
k
N
k
NN WWWW )(,...,,, 120
4Transformée de Fourier discrète et transformée de Fourier rapide
La transformée de Fourier discrèteLa transformée de Fourier discrète
– La décomposition peut alors être exprimée sous la forme matricielle :
X = WxT où xT désigne la transposée de x
5Transformée de Fourier discrète et transformée de Fourier rapide
La transformée de Fourier rapideLa transformée de Fourier rapide
Complexité d ’une TFD– Pour la TFD, il y a
N² multiplications complexes N(N-1) additions complexes
– Les multiplications complexes ont une durée d ’exécution beaucoup plus longue que les additions.
Algorithmes de transformée de Fourier rapide (TFR) ou Fast Fourier Transform (FFT)– Dans les algorithme de transformée de Fourier rapide, le nombre d ’opération est
considérablement réduit.– Il en existe plusieurs :
TFR avec entrelacement temporel TFR avec entralacement temporel TFR en base 4 TFR en base double
– Le plus connu est l’algorithme de Cooley-Tukey.
Algorithme de Cooley-Tuckey– Soit {X(k)}, la TFD d ’une suite {x(n)} de longueur N=2M,
– avec A(k) respectivement B(k) la transformée de Fourier de x(2n) respectivement x(2n+1)
6Transformée de Fourier discrète et transformée de Fourier rapide
La transformée de Fourier rapideLa transformée de Fourier rapide
Algorithme de Cooley-Tukey– La TFD peut s’écrire en séparant indices pairs et
impairs:
– On aboutit à deux transformées de longueur N/2. Xp correspond à la transformée des indices d’échantillons pairs et Xi à celle des indices impairs.
– Il est possible de subdiviser encore Xp en Xpp et xpi en séparant les indices pairs et impairs et de même pour les indices impairs xi en xip et xii. Il est possible de réitérer plusieurs fois cette méthode.
12
0
12
0
12
12
2
2
/ /
)(N
n
N
n
kn
n
nk
nk WxWxX
e 12212
0
12
012
22
2N
knjN
n
N
nn
N
knj
nk xexX)(/ /)(
2
212
0
12
012
2
2
2
2
2 e /
)(/ ///
)(
N
knjN
n
N
nn
N
jk
N
knj
nk xeexX
i
k
-k
N
p
kk XW XX 2/ ki-k
Nkp
Nk
XW XX 2
2
/
7Transformée de Fourier discrète et transformée de Fourier rapide
La transformée de Fourier rapideLa transformée de Fourier rapide
Exemple : – Prenons 8 échantillons, qui ont les valeurs
successives suivantes: x0,x1,x2,x3,x4,x5x6,x7,x8.
– La TFD se présente ainsi :
4
49πj
74
42πj
64
35πj
54
28πj
44
21πj
34
14πj
24
7πj
1
j0
07
4
42πj
74
36πj
64
30πj
54
24πj
44
18πj
34
12πj
24
6πj
1
j0
06
4
35πj
74
30πj
64
25πj
54
20πj
44
15πj
34
10πj
24
5πj
1
j0
05
4
28πj
74
24πj
64
20πj
54
16πj
44
12πj
34
8πj
24
4πj
1
j0
04
4
21πj
74
18πj
64
15πj
54
12πj
44
9πj
34
6πj
24
3πj
1
j0
03
4
7πj
74
6πj
64
5πj
54
4πj
44
3πj
34
2πj
24
πj
1
j0
01
j0
7
j0
6
j0
5
j0
4
j0
3
j0
2
j0
1
j0
00
exexexexexexexexX
exexexexexexexexX
exexexexexexexexX
exexexexexexexexX
exexexexexexexexX
exexexexexexexexX
exexexexexexexexX
8Transformée de Fourier discrète et transformée de Fourier rapide
La transformée de Fourier rapideLa transformée de Fourier rapide
– Prenons la ligne X1, en séparant les échantillons paires/impairs, puis en factorisant les échantillons impairs, on obtient:
– Les termes des couples x0-x1, x2-x3, x4-x5, x6-x7 sont identiques à un facteur près, donc on peut encore subdiviser :
– On peut montrer facilement,
a)
b)
– D’où l’écriture suivante :
)( 23
22
223
22
2j-
7
j-
5
j-
3
j0-
14j-
6
j-
4
j-
2
j0-
01 exexexexexexexexX
j
e
nk
NN
knj
nk
N WeW 22
22
//
nk
NN
Nknj
Nnk
N WeW
)/()(
22
2
)WxW(xWWxWxW -4
87
0
83
-2
8
-4
85
0
81
-1
8
)WxW(xWWxWxX -4
86
0
82
-2
8
-4
84
0
801
)exe(xeexexX 44π
44π j-
6
j0-
24
2πjj-
4
j0-
01
)exe(xe)exe(xe 44π
4
2πj
44π j-
7
j0-
3
j-
5
j0-
14
πj
9Transformée de Fourier discrète et transformée de Fourier rapide
La transformée de Fourier rapideLa transformée de Fourier rapide
– Le calcul de certains terme revient plusieurs fois, on peut donc diminuer le nombre d’opérations à réaliser à l’aide d’ opérations « butterfly »
– Opérations « Butterfly » ou papillon
– Le calcul « Butterfly » est le suivant :
)Wx(xWW-xxX - 0
262
1
4
0
2401 )0
273
-1
4
0
251
1
8 Wx-(xWWxx W
)Wx(xWWxxX 0
262
0
4
0
2400
)Wx(xWWxxX 0
262
0
4
0
2402
)0
273
0
4
0
251
0
8 Wx(xWWxx W
)0
273
0
4
0
251
2
8 Wx(xWWxx W
……
.
a
b
bWa n
N
bWa n
N
10Transformée de Fourier discrète et transformée de Fourier rapide
Application à la FFT
Remarque :– Ce schéma de calcul peut être implanté dans des
DSP
– Nombre de calculs N/2log2N
La transformée de Fourier rapideLa transformée de Fourier rapide
x0
x4
x2
x6
x1
x5
x3
x7
X0
X1
X2
X3
X4
X5
X6
X7c cSignal Transformée de Fourier
0
2W
0
2W
0
2W
0
2W
0
4W
1
4W
0
4W
1
4W
0
8W
3
8
W
11Transformée de Fourier discrète et transformée de Fourier rapide
La transformée de Fourier rapideLa transformée de Fourier rapide
Incrément en « reverse carry »– Les couples d’échantillons doivent être choisis
selon un ordre particulier. Cette incrémentation est appelée « reverse carry » (retenue inverse).
– L’incrémentation conssite à additionner N/2 à l’indice puis à reporter la retenue à droite plutôt qu’à gauche.
– Exemple: N= 8 N/2=4 soit 100 En retenue « non inverse » : 100 + 100 = 1000 = 8 En retenue « inverse » : 100+100 = 010 = 2
– Le 1 passe de la gauche vers la droite
– On peut aussi arranger les valeurs de fréquence selon l’incrémentation « reverse carry » :
Exemple pour 8 échantillons
12Transformée de Fourier discrète et transformée de Fourier rapide
La transformée de Fourier rapideLa transformée de Fourier rapide
X0
X4
X2
X6
X1
X5
X3
X7
x0
x1
x2
x3
x4
x5
x6
x7c cSignal
0
2W
0
2W
0
2W
0
2W
0
4W
1
4W
0
4W
1
4W
Transformée de Fourier
0
8W
3
8
W
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