Download - Traitement du Signal Vu par Un Mesures Physiquesmesures.physiques.free.fr/tds.pdf · 1 Jean-Marc COLLACE / Ingénieur Mesures physiques Traitement du Signal Traitement du Signal Vu

1Jean-Marc COLLACE / Ingénieur Mesures physiquesJean-Marc COLLACE / Ingénieur Mesures physiques

Traitement du Signal

Traitement du SignalTraitement du SignalVu parVu par

Un Mesures PhysiquesUn Mesures Physiques

Cette technique reste compliquée par les mathématiques qu’il l’accompagne.J’ai découvert la première fois le TdS au travail (CEA) avec un ingénieur qui a eu comme Prof J.Maxl’une des références en la matière, mais aussi avec un technicien avec beaucoup de pratique.En tant que Mesures Physiques vous comprenez bien que j’ai trouvé cet outil considérable en application.Surprenant mes propos, car j’ai étudié le TdS durant mon DUT, mais en vain, je n’ai vu à l’époquequ’une succession de formules de maths qui tournaient en rond et dont je ne voyais pas l’intérêt !!!

En fait, l’utilisation d’analyseur de spectre m’a permis de mieux appréhender la théorie bien plus tardoù j’ai remis le nez dans les maths pour mieux comprendre ce que j’ai vu dans la pratique et on s’aperçoitqu’avec on fait d’énorme chose…

Ce document est une synthèse et reste non exhaustif, avec le temps, je l’améliorerais. Je l’ai fait avec peu demaths et beaucoup de schémas, ce qui manque dans la plus part des livres de TdS.

BONNE LECTURE

e jwt−

http://mesures.physiques.free.fr

http://mesures.physiques.free.fr/

2

Formation

Révision 02 - 29/01/02 - Chapitre 5Jean-Marc COLLACE / Ingénieur Mesures physiques

Les premiers outils du Traitement duLes premiers outils du Traitement duSignalSignal

Etre CAPABLE de lire et d’utiliserun SPECTRE de FREQUENCE



A l’issu, de cette formation vous serez capabled’utiliser les premiers outils du traitement dusignal pour lire un spectre de fréquence

OBJECTIF:

4

sommaire

IntroductionEchantillonnageFiltreSpectreFenêtres de Pondérationsynthèse

Jean-Marc COLLACE / Ingénieur Mesures physiquesJean-Marc COLLACE / Ingénieur Mesures physiques


5

>>>>>>>>>>>>>>>

Initiation par la mesure vibratoire:être capable d’appréhenderl’intérêt de l’analyse spectrale

INTRODUCTION



6

La mesure des

VIBRATIONS est

un bon moyen

pour comprendre

Le Traitement du Signal



Introduction

7

Masse M

Ressort Amortisseur

t

t

La mesure des

VIBRATIONS ??!!



Introduction

impulsion

signal

8

Les capteurs sont installés à demeure sur les machines etconnectés à un système de surveillance.

Moteur 3000 tr440VAC - 70AType 405TS

MAL

MOVISYS-2

S'tellDiagnostic

AL

BY

MSCA

ALXBY

MAMPV-BG

AL

BY

MSCA

AL

BY

MSCA

AL

BY

MSCA

AL

BY

MSCAPV-BG

AL

BY

MSCA

La mesure des

VIBRATIONS ??!!



Introduction

9

Emplacement ducapteur de mesure

des vibrations:L’ACCELEROMETRE

70°C

Verre en fusion



Introduction

Exemple de machine de fibrage

10

Exemple: De mesure vibratoire.



Introduction

SPECTRESIGNAL (mesure)

AA0

F1

A/√2A0

URMSFourierFourier

SIGNAL (mesure) SPECTRE

11

Introduction

Tout phénomène physique est en général transformé en signalélectrique du fait de la conversion sous forme électrique desgrandeurs physiques par des capteurs.

Le traitement du signal recouvre une variété de techniquesutilisées pour extraire des informations d'un signal complexe. Lebruit peut perturber l’information. On cherche aussi àmodifier cette grandeur physique et à l’adapter aux moyensde transmissions.

Jean-Marc COLLACE / Ingénieur Mesures physiquesJean-Marc COLLACE / Ingénieur Mesures physiquesJean-Marc COLLACE / Ingénieur Mesures physiques


12

Introduction

L'analyse spectrale est la méthode utilisée pour décomposer unsignal complexe (signal non périodique) en ses constituants debase.

Une représentation conventionnelle du signal se fait dans ledomaine du temps (amplitude en fonction du temps a(t)).L'analyse spectrale reproduit dans le domaine fréquentiell'amplitude en fonction de la fréquence.

La transformée de Fourier (Discrète) est un moyen d'obtenir unereprésentation dans le domaine fréquentiel pour les signaux nonpériodiques en associant à un signal x(t) sa transformée deFourier X(f) appelé spectre.


Traitement du Signal AA0

F1

A/√2A0

URMSFourierFourier

13

Introduction



s



Introduction



SignalANALOGIQUE

SPECTREOutil utilisé

pour letraitement du signal

est:

La TFD: Transformée de Fourier Discrète

Introduction

Conclusion:

16

>>>>>>>>>>>>>>>>ECHANTILLONNAGE



Etre capable d’appliquerLe principe de SHANNON



Pour construire un SPECTREIl faut échantillonner le signal

L’échantillonnage

18


� DéfinitionPassage d’un systèmecontinu possédant uneinfinité de valeurs à unsystème possédant unnombre fini de valeurs.

On distingue 2 étapes :

�La discrètisation�La numérisation t

t



19


� La discrètisation du signalLa discrètisation dusignal consiste àprélever deséchantillons à unecadence TE pendantune durée T.La fréquence deprélèvement deséchantillons FE estappelée fréquenced’échantillonnage.

T=N.TE

T=durée d’acquisition

t

TE

FE = 1TE

T = NFE



20


� La numérisation du signalLa numérisation du signal consiste àquantifier les amplitudes A deséchantillons successifs au moyen d ’uneconversion dans un format binaire.

0123

2n-1

4

Le nombre de bits n de laconversion détermine lavaleur du pas dequantification p, qui est lavaleur de l’incertitude.

P.E : PleineEchelle

A=∑ ai.2i ai∈{0;1}i=1

n-1

p = P.E2n



21


� Les effets de l’échantillonnage : Altération du signalL’échantillonnage provoque une altération du signal :

� Perte d’échantillons temporels� Perte d’échantillons fréquentiels

Cette altération dépend des performances du système demesure et notamment :

� De la valeur de la fréquence d’échantillonnage FE

� Du nombre de bits n du convertisseur Analogique /Numérique

ExempleUn convertisseur 12 bits permet 4096 valeursUn convertisseur 16 bits permet 65536 valeurs



22


� Les effets de l’échantillonnage : Périodisation du spectre àla fréquence d’échantillonnage FE

t F

FM-FM

F

FM-FM FE-FE

t

TE

FourierFourier

FourierFourier



23


� Les effets de l’échantillonnage : Repliement du spectre

t

t

TE

F

FM-FM

FourierFourier

FE-FE

F

FourierFourier



24


� Le Théorème de SHANNON

F

FE-FE FMAX-FMAX

Soit FMAX la fréquence maximale duspectre du signal à échantillonner etFE la fréquence d’échantillonnage :

FE >2.FMAX

Si cette condition n’est pasvérifiée, l’échantillonnage introduitune distorsion du signal qui nepourra être corrigée et due aurepliement de spectre (souséchantillonnage).



25


� Le Théorème de SHANNONUne autre interprétation du Théorème de SHANNON utilisela représentation temporelle du signal :

FE >2.FMAX

Soit au moins 2points par période !

Echantillonnagecorrect

Sous-Echantillonnage

TE < TMAX

2



26


� Le Théorème de SHANNONEn sous-échantillonnage, on visualise un autre signal :

Si le signal, à l’origine, est de F=60Hz, et que Fe =100Hz(Shannon non respecté). On se retrouve au final avec unsignal de 40 Hz, au lieu de visualiser le 60Hz. C’est lerésultat du repliement.

Soit au moins 2points par période !

Sous-Echantillonnage

TE < TMAX

2



27




� SHANNON respecté

Fe+20

204 Fe=100

2Fe=200

Fe-4

Fe-20

Fe+4

28




� SHANNON JUSTE respecté

404 Fe=100

2Fe=200

Fe-4

Fe-40

Fe+40

Fe+4

29




� SHANNON NON respecté

604 Fe=100

2Fe=200

Fe-4

Fe-60=40≠60

Fe+60

Fe+4

30


� Le Théorème de SHANNON

Le but de l'analyse spectrale étant de déterminer lescomposantes fréquentielles d'un signal, celles-ci ne sontdonc pas au premier abord connues et le choix de lafréquence d'échantillonnage peut être fait sans avoir lacertitude que toutes les composantes du spectre satisfontla condition de SHANNON.



C'est l'effet indésirable de repliement de spectre que nousallons résoudre avec un

FILTRE ANTIREPLIEMENT de spectre

31

L’échantillonnage ET Les filtres anti-repliement

� IntroductionLa vérification du critère de SHANNON suppose que lespectre du signal soit borné, et que cette borne (FMAX) soitconnue.Afin de vérifier ces conditions dans tous les cas, on faitprécéder l’échantillonnage d’un filtrage passe-bas dit filtreanti-repliement tel que : FM < 0,5.FE

FiltreA.R Echantillonnage

Le filtre utilisé est un filtre analogique à coupure très raide telqu’un filtre de CAUER d’ordre élevé (8 ou 9).



32


� Principe

t

t

t

F

FFM-FM

FFE-FE

Filtrage

Echantillonnage

FM



33


� Application aux analyseursSur nombre de collecteurs / analyseurs du marché, le filtreanti-repliement est positionné automatiquement en fonctionde la gamme d’analyse.La fréquence d’échantillonnage est adaptée à la gammed’analyse, selon la relation :

FE=2,56.FM FM :Fréquence maxi de la gamme d ’analyse

[0;25]Hz �FE=64Hz[0;100]Hz �FE=256Hz[0;200]Hz �FE=512Hz[0;500]Hz �FE=1.28kHz[0;1k]Hz �FE=2.56kHz

[0;2k]Hz �FE=5.12kHz[0;5k]Hz �FE=12.8kHz[0;10k]Hz �FE=25.6kHz[0;20k]Hz �FE=51.2kHz



34

L’échantillonnage ET Les paramètres d’acquisition

� Les paramètres de l’acquisition

Soient :

T=durée d’acquisition

t

TE

� FE : Fréquenced’acquisition oud’échantillonnage

� N : Nombre de pointacquis

� T : Durée del’acquisition

T=N.TE

FE = 1TE

T = NFE



35

∆F


� Les paramètres de la TFD

Ils découlent des paramètres del’acquisition : En général, on trouve :

� FMAX : Fréquencesupérieure de lagamme d’analyse

� ∆F : Résolutionspectrale

� C : Nombre depoints (lignes) duspectre

FMAX

FMAX =FE

2FE

N-

∆F = 1T

FE

N=

C = N2



36


� Les paramètres de la TFDSur beaucoup d’analyseurs, afin de normaliser les gammes defréquences, les tailles d’échantillons et nombres de lignes dansle spectre, on trouve les relations suivantes :

FE=2.56*FMAX

N = 256, 512,…., 8192 points (taille de l’échantillon temporel)

avec FMAX=1Hz, 2Hz, 5Hz, 10Hz, 25Hz, 50Hz,100Hz, 200Hz, 500Hz, 1kHz, 2kHz,5kHz, 10kHz, 20kHz

D’où C=100, 200, 400, 800, 1600, 3200 lignes

Remarque : La résolution du spectre ne dépend que de lataille de l’échantillon temporel.

C = N2.56





Le numérique implique un échantillonnage.L’échantillonnage périodise le spectre.Le risque de la périodisation est le recouvrement.Ce dernier nous ne permettra pas ne retrouvernotre signal temporel d’origine (après un TFD-1).

Pour palier à cette difficulté, on utilise un filtreanti-repliement et on respecte Shannon

FE >2.FMAX


Conclusion:

38

>>>>>>>>>>>>>>>FILTRAGE



Etre capable de choisir le filtreAnti-Repliement

39

� Introduction

Le Filtrage

Le filtrage est une opération dont l’objectif est de mettre enévidence l’information utile contenue dans le signal.

Exemple : Elimination du bruit (« parasites »)



40

Le Filtrage

� Le Filtre Passe-Bas (Low-Pass filter) : Introduction

GMIN : Gain mini en bande passanteGMAX : Gain maxi en bande atténuéeFP : Fréquence de la bande passanteFA : Fréquence de la bande atténuéeK : Sélectivité :

Le gabarit du filtre est défini par les paramètres suivants :

F0 FP FA

GMIN

GMAX

Ondulation

Exemple d’application :Filtre anti-repliement

K= Fp

FA<1



41

Le Filtrage

� Le Filtre Passe-Bas (Low-Pass filter) : DéterminationLe gabarit du filtre est souvent en fonction de l’atténuation :

Des abaques permettent alors de déterminer lescaractéristiques du filtre

AMAX : Atténuation maxi en bandepassante

AMIN : Atténuation mini en bandeatténuée

F0 FP FA

AMAX

AMIN



42

Le Filtrage

� Le Filtre Passe-Haut (High-Pass filter) : Introduction

GMIN : Gain mini en bande passanteGMAX : Gain maxi en bande atténuéeFP : Fréquence de la bande passanteFA : Fréquence de la bande atténuéeK : Sélectivité :

Le gabarit du filtre est défini par les paramètres suivants :

Exemple d’application : Suppressionde composante continueF0 FA FP

GMIN

GMAX

Ondulation

K= Fp

FA<1



43

Le Filtrage

� Le Filtre Passe-Haut (High-Pass filter) : Détermination

AMAX : Atténuation maxi en bandepassante

AMIN : Atténuation mini en bandeatténuée

Le gabarit du filtre est souvent en fonction de l’atténuationrequise :


F0 FA FP

AMAX

AMIN



44

Le Filtrage

� Le Filtre Passe-Bande (Band Pass filter) : IntroductionLe gabarit du filtre est défini par les paramètres suivants :

0

Exemple d’application : Suivi d’ordre

FA1 FP1

GMIN

FFP2 FA2F0

B : largeur debande relative :GMAX

Ondulation

La sélectivité est :

K=Fp2 -Fp1

<1FA2 -FA1

B=Fp2 -Fp1

F0



45

Le Filtrage

� Le Filtre Passe-Bande (Band Pass filter) : Détermination

On rend souvent cefiltre symétrique :

FP1.FP2=FA1.FA2=F02

0 FA1 FP1

AMAX

AMIN

FFP2 FA2F0





46

Le Filtrage

� Le Filtre Coupe-Bande : IntroductionLe gabarit du filtre est défini par les paramètres suivants :

Exemple d’application : Suppression du 50 Hz

0 FP1 FA1

GMIN2

GMAX

FFA2 FP2F0

GMIN1

B : largeur debande relative :

La sélectivité est :

K=Fp2 -Fp1

<1FA2 -FA1

B=F0

FA2 -FA1



47

Le Filtrage

� Le Filtre Coupe-Bande : Détermination

FP1.FP2=FA1.FA2=F02

AMAX1=AMAX2= AMAX

FP1 FA1

AMAX

FFA2 FP2F0

On rend souvent cefiltre symétrique :



AMIN

0



48

Le Filtrage

� Les différentes réponsesPour un gabarit donné, la fonction de transfert du filtre peutêtre représentée par différentes fonctions :

� Réponse de BUTTERWORTH� Réponse de CHEBYSHEV� Réponse de LEGENDRE� Réponse de CAUER� Réponse de BESSEL ou THOMSON

Chacune de ces réponses présente des caractéristiquesparticulières dont la connaissance permet la sélection du filtrele plus adapté à une utilisation donnée.



49

Le Filtrage

� Les filtres de BUTTERWORTH

F0 FP FA

� Réponse régulière dans laBande Passante

� Décroissance monotone enBande Coupée

� Pente faible pour un ordredonné

Utilisés pour la solution de problèmes simples lorsque larégularité de la réponse est un critère important



50

Le Filtrage

� Les filtres de CHEBYSHEV

0

L’inconvénient majeur est l’oscillation dans la bandepassante. Les abaques permettent la détermination dufiltre pour une ondulation donnée : 0.01 dB, 0.1 dB, 1dB

FFP FA

� Oscillation dans la BandePassante

� Décroissance monotone en BandeCoupée

� Pente élevée pour un ordre donné� Filtres simples à calculer� Bon rapport qualité - prix



51

Le Filtrage

� Les filtres de LEGENDRE

La régularité de la réponse dans la bande passanteassociée à la pente intéressante en font un filtre qui peutêtre très avantageux.

F0 FP FA

� Réponse régulière dans laBande Passante

� Décroissance monotone enBande Coupée

� Coupure comparable à celled’un filtre de CHEBYCHEFFd’ondulation 0.1 dB.



52

Le Filtrage

� Les filtres de CAUER (ou filtres elliptiques)

La très grandeur raideur de la bande de transition(pente) est bien adaptée à la réalisation de filtres anti-repliement. Il est alors nécessaire de corriger lesoscillations dans la bande passante.

� Oscillation dans la BandePassante

� Présence de zéros de transmissionen Bande Coupée

� Pente la plus élevée pour un ordredonné

� Filtres complexes à calculer

FFP FA



53

Le Filtrage

� Les filtres de BESSEL

Ces filtres ont optimisés pour présenter dans la bandepassante la variation de phase la plus linéaire possible.La réponse en impulsion de cette structure se fait doncavec un minimum de distorsion.

� Réponse la plus régulière dans laBande Passante.

� Pente la plus faible pour un ordredonné

� Faible déformation des régimestransitoires

F0 FP FA



54

Le Filtrage

� Réalisation pratique : Les filtres analogiquesLa sélectivité du filtre requise impose une pente plus ou moinsimportante à la fonction de transfert du filtre.

Cette sélectivité détermine l’ordre du filtre et par suite sacomplexité : En effet, un filtre analogique est réalisé aumoyen de cellules élémentaires du 1er et 2ème ordre misesen cascade pour parvenir à l ’ordre requis.

Exemple d ’un filtre du 7ème ordre :

2ème

Ordre2ème

Ordre2ème

Ordre1er

Ordre



55

Le Filtrage

� Réalisation pratique : Les filtres numériquesLes filtres numériques sont destinés aux signauxéchantillonnés. Ils offrent des avantages considérables sur lesstructures analogiques, et sont aujourd’hui très répandus :

� Réalisation de fonctions complexes irréalisables encontinu

� Caractéristiques proches de celles du filtre idéale(pente infinie, pas d’atténuation dans la bandepassante)

� Modification de la valeur du filtre par modification destables de coefficients du filtre.

� Invariance du filtre dans le temps et en fonction descomposants.





Les filtres sont à choisir en fonction de ses besoins.Les filtres de CHEBYSHEV: Bon rapport qualité – prix

Mais aujourd’hui, les filtres numériques restent lesplus avantageux par leur flexibilité de conception.

FILTRAGE

Conclusion:

57

>>>>>>>>>>>>>>>>SPECTRE



Etre capable d’utiliserla TFD (Transformée Fourier Discrète)avec les unités (RMS…Veff²)

58

SPECTRES

OrthogonalitéTFD (Transformée de Fourier Discrète)

Représentations des spectres(Puissance, Energie…Veff, RMS)



AA0

F1

A/√2A0

URMSFourierFourier

59

SPECTRES: Orthogonalité



Expliquons l’orthogonalité, dans un premier temps,simplement sans trop de Maths.

60




L’orthogonalité explique en quoi la formule de la TFDpermet d’identifier les différentes fréquences dans unsignal

Historiquement, il est connu depuis longtemps quel’addition de deux ou plusieurs fonctions périodiquesdonne une nouvelle fonction périodique.

Il était aussi connu que si pour composer cette nouvellefonction on utilisait uniquement des sinus (ou descosinus), on pouvait les retrouver par analyse à l’aidede la formule de Fourier

61




La somme de plusieurs signaux peut donner un signal carré

62




L’orthogonalité nous permet d’identifier toutes les fréquencesconstituant un signal, par le biais de Fourier.

Pour ce faire on utilise le principe du produit scalaire que l’on a tousappris au lycée.

αcos.V.UV. =U

Si les deux vecteurs sont perpendiculaires (orthogonaux) donc α = π / 2 alors 0V. =U

Si les deux vecteurs sont non orthogonaux exemple α = π / 2 alors 0V.UV. ≠=U

α: angle entre les deux vecteurs U et V

63




A0

A

A0 = rayon du cercle

Représentation de Fresnel (polaire)du signal temporel

Représentation orthonorméedu signal temporel

A = A0 . Cos(w.t + ϕ )

Phase instantanée

w.t = 2πFHz

ϕen radian

64




B = B0 . Cos(wt + ϕ )

A = A0 . Cos(wt + ϕ )

Si les signaux A et B ont la même phase� le produit scalaire =MAXI

B = B0 . Cos(wt + ϕ )

A = A0 . Cos(wt’ + ϕ’ )

Si les signaux A et B n’ont pas la même phase � le produit scalaire sera = mini

65




Si les signaux A et B n’ont pas la même phase � le produit scalaire sera = mini

La modulation d’amplitudesans porteuse

permet de comprendrele spectre résultant

66




Si les signaux A et B ont la même phase� le produit scalaire =MAXI

La modulation d’amplitudesans porteuse

permet de comprendrele spectre résultant

67




Quel est le lien entre l’orthogonalité et la formulation deFourier ?:

A = A0 . Cos(wt + ϕ )

Peut s’écrire aussi:

A = A0 . ejwt

L’exponentielle se retrouve dans la TFD :

68




∑−

=

−=1

0

21 N

i

Nikj

ik eXNX π

Produit scalaire

Le signal échantillonné à étudier L’exponentielle dont laphase est variable

Produit scalaire « amélioré »

La phase de l’exponentielleest une variable, elle

permet à l’aide du produitscalaire d’identifier lesfréquences du signal

échantillonné.

La formulation de la TFD est:

69




Résumé sur l’orthogonalité:

70




Et dans un deuxième temps, l’orthogonalitéqu’avec des Maths.

Ici, l’orthogonalité est traitée d’une façon discrète et non continue. Onentrevoit l’orthogonalité d’une manière plus juste.

71




72

SPECTRES: TFD Transformée de Fourier Discrète



Considérez un signal très simple D.C ayant une amplitudeconstante de +1 V.Quatre échantillons de ce signal sont pris.

Chacun des échantillons a une valeur +1,selon la séquence temporelle : x[0] = x[1] = x[3] = x[4] = 1

Les échantillons sont notés x[i], 0 ≤ i ≤ N–1Vous avez un total de N échantillons=4 dans le domainetemporel.

Comment çà marche la TFD ?

73




∑−

=

−=1

0

21 N

i

Nikj

ik eXNX π

La TFD est appliquée à ces N =4 échantillons temporels.

Le résultat X[k], (0 < k < N–1) est la représentation du domaine fréquentieldes x[i] points temporels (au nombre de 4 dans notre exemple).

Spectre:Représentation des x[i]

dans le domaine fréquentiel

Signal temporel échantillonné

74




Excepté pour la composante DC donc X[0],toutes les autres valeurs sont nulles.Cependant, la valeur calculée de X[0]dépend de la valeur de N (le nombre d’échantillons).

Parce que vous avez N = 4, X[0] = 4.Si N = 10, vous aurez X[0] = 10.Cette dépendance de X[ ] par rapport à N se produitégalement pour les autres composantes de fréquence.

Ainsi, vous divisez généralement la sortie DFT par N,de façon à obtenir l’amplitude correctede la composante de fréquence.

∑−

=

−=1

0

21 N

i

Nikj

ik eXNX π

75




∑−

=

−=1

0

21 N

i

Nikj

ik eXNX π

RESULTAT DE LA TFD SUR UN SIGNAL CONTINU ECHANTILLONNE

fréquence

X[0]=1V à O Hz

76




= SXX=(1/N²)[X(k)]²=Veff2

XkX*k fournit une estimation de l'autospectre du signal,

c'est-à-dire de la puissance moyenne sur la durée T,contenue dans une bande fréquence de largeur , l’unité est le volt efficace au carré Veff² ou RMS².

Le logiciel LABView utilise la TFD ainsi:

77

SPECTRES:La représentation des spectres



� IntroductionLes algorithmes de calcul de la TFD (Transformation discrètede Fourier…FFT) permettent la représentation du spectre enfréquences sous plusieurs formes

� Autospectre bi-latéral, uni-latéral ou crête� Autospectre de puissance ou en amplitude (linéaire)� Densité spectrale de puissance ou d’énergie

Dans ce qui suit, l’autospectre sera appelé spectre.




Avant d’attaquer la pratique

Faisons une synthèse de la représentation graphique d’un spectre pourmettre en évidence les effets suivants de:

•l’échantillonnage en temporel

•l’échantillonnage fréquentiel (résolution)•la fenêtre de pondération.

C’est une synthèse sous forme graphique beaucoup plus facile à comprendre que laformulation mathématiques. Néanmoins si elle était accompagnée d’une explication

orale ce serait encore plus facile à comprendre !




TRANSFORMEE DE FOURIER D'UNE SINUSOIDE TRONQUEE (OU PONDEREE)

On observe donc ici les effets d'une fenêtre de pondération rectangulairequi modifie l'allure du spectre sous la forme d'un.sinx/x

X

=

*

=

Multiplicationen temporel

Convolutionen fréquentiel




TRANSFORMEE DE FOURIER D'UNE SINUSOIDE ECHANTILLONNEE et TRONQUEE (OU PONDEREE)




Dans la réalité l'acquisition du signal se répète plusieurs fois : (voir fig III.c)

1/Tf = ∆fTf temps d’acquisitiontemporel ∆f résolution spectrale




Le calcul général de la TF s'effectue en théorie sur un temps infini. En réalité, lecalcul de la TFD est effectué sur un signal de durée limitée à Tf ,ce qui assimile le

signal traité à un signal périodique de période Tf (ceci est vrai même si le signalanalysé n'est pas périodique. Si le signal est de période To, la périodicité Tf

introduite par le traitement est au premier abord indépendant de To).

Cet effet de périodisation, lié au nombre limité d'échantillons n traités, peut êtreconsidéré comme le résultat d'une convolution du signal x2(t) avec un peigne de

Dirac de pas de Tf.

Le spectre de x3(t) noté X3(f) est donc un spectre lui-même échantillonné(spectre de raies) avec un pas de ∆f .

)(ttfTe CC




Synthèse terminée expliquonsl’autospectre et la densité spectrale

par la pratique

84

Considérerons le signal temporel d’origine constitué de :

� Une composante continued’amplitude A0

� Un sinus d’amplitudecrête A et de fréquence F1

AA0



SPECTRES:La représentation des spectresautospectre

85

L’algorithme de calcul de la TFD fournit un spectre bi-latéral depuissance, c’est à dire une fonction paire présentant desamplitudes pour des fréquences négatives.Il représente la puissance du signal contenue dans l’échantillon

AA0

F1-F1

A2/4A0

2

A2/4

U2RMS

FFTFFT


Traitement du SignalSPECTRES:La représentation des spectresautospectre

86

SPECTRES: La représentation des spectresautospectre

� Le spectre de puissance uni-latéralIl est déduit du précédent en « repliant » le spectre desfréquences négatives sur le spectre des fréquences positives, cequi revient à doubler les amplitudes des fréquences strictementpositives.

AA0

F1

A2/2A0

2

U2RMS

FFTFFT



87


� Le spectre d’amplitude (ou linéaire) bi-latéral

AA0

Il est déduit du spectre de puissance bi-latéral en considérant laracine carrée de la puissance de chacune des raies.Les spectres en amplitude permettent la visualisation de laphase des composantes, à l’inverse des spectres en puissance.

F1-F1

A/2A0

A/2

URMS

FFTFFT



88


� Le spectre d’amplitude (ou linéaire) uni-latéral

AA0

Il est déduit du spectre de puissance uni-latéral en considérantla racine carrée de la puissance de chacune des raies.Les amplitudes affichées sont donc homogènes aux valeursefficaces ou valeurs RMS des composantes du signal.

C ’est la représentation la plus courante en analyse vibratoire.

F1

A/√2A0

URMS

FFTFFT



89


� Le spectre d’amplitude crête (ou linéaire) uni-latéral

AA0

Les amplitudes affichées sont homogènes aux valeurs crêtesdes composantes du signal.

F1

AA0

U

FFTFFT



90

Niveau dubruit de fond


� PRINCIPE

La densité spectrale (DSP) estutilisée pour les mesures de bruitlarge bande, ou les mesures debruit de fond.En effet, dans un spectre enpuissance ou en amplitude, leniveau de bruit dans chaque canaldépend de la largeur ∆F du canal etdonc de la résolution du spectre.

Ainsi, le niveau de bruit de fond du spectre varie en fonction dela résolution choisie. Tout calcul de puissance ou d’amplitudeefficace dans une bande large sera également dépendant de larésolution.



91

SPECTRES: La représentation des spectresdensité-spectrale

� La représentation en DSP ou en RMS (ou Veff)



La DSP est utilisée pour la mesure de BdF

La RMS (ou Veff) est utilisée pour la mesure d’Amplitude

92


� La représentation en RMS ou Veff du BdFSi le nombre de points dans l’échantillon temporel est doublé,∆F est divisé par 2 et le niveau de bruit dans chaque canal estdivisé par 2 (en puissance).

256 points

2048 points

+8dB



x8

Veff

93


� La représentation en densité spectrale du BdFLa densité spectrale de puissance s’obtient en divisant lesamplitudes de chacune des raies par ∆F. Le niveau de bruitmesuré dans ce mode devient indépendant de la résolution.

256 points

2048 points



DSP

Rappel: DSPvolt².s = Veff²/∆Hz

94


� La représentation en densité spectrale d’une amplitude

256 points

2048 points

Attention : Cette représentation ne doit pas être utilisée pourdes mesures d’amplitudes discrètes.

Erreur:+8dB



DSP


95


La DSP représente la puissance contenue dans une bandeétroite ∆f.

La DSP n’a aucune signification lorsque l’on a affaire à unspectre de raie (sinus, cosinus…)




96

SPECTRES: La représentation des spectres

� La densité spectrale de puissance (DSP) bi-latéraleElle est déduite du spectre de puissance bi-latéral en divisantl’amplitude de chacune des raies par la résolution fréquentielle∆F.

AA0

F1-F1

A2/4∆FA0

2/∆FA2/4∆F

U2RMS/Hz

FFTFFT



97


� La densité spectrale de puissance (DSP) uni-latérale

AA0

Elle est déduite du spectre de puissance uni-latéral en divisantl’amplitude de chacune des raies par la résolution fréquentielle∆F.

F1

A2/2∆F

A02/∆F

U2RMS/Hz

FFTFFT



98


� La densité spectrale d’énergie (DSE) bi-latéraleElle est déduite du spectre de puissance bi-latéral en divisantl’amplitude de chacune des raies par la résolution fréquentielle∆F puis en la multipliant par la durée de la durée d’observationT du signal avec T=N.TE=1/∆F.

AA0

F1-F1

A2/4(∆F)2

A02/(∆F)2

A2/4(∆F)2

U2RMS.S/Hz

FFTFFT



99


� La densité spectrale d’énergie (DSE) uni-latérale

AA0

Elle est déduite du spectre de puissance uni-latéral en divisantl’amplitude de chacune des raies par la résolution fréquentielle∆F puis en la multipliant par la durée de la durée d’observationT du signal avec T=N.TE=1/∆F.

F1

A2/2(∆F)2

A02/(∆F)2

U2RMS.S/Hz

FFTFFT



100


� Les affichages en décibelLe décibel exprime le rapport de deux puissances sur uneéchelle logarithmique. Il permet de comparer deux mesures depuissance P1 et P2 :

Il permet également d’exprimer une puissance mesurée P parrapport à une puissance de référence PR :

La valeur de PR, qui fixe le niveau 0 dB est déterminée parconvention.

dB =10.log10P2

P1

dB =10.log10PPR



101


� Les affichages en décibelSi la grandeur mesurée n’est pas homogène à une puissance,son carré est généralement proportionnel à la puissance portéepar le signal et on exprime le rapport du carré de la mesure aucarré de la valeur de référence de la grandeur considérée :

L’affichage du spectre en décibel fournit ainsi le mêmerésultat, que le spectre soit un spectre en puissance ou enamplitude.

dB =10.log10U2

U2R

=20.log10UUR





�La formule de base de la TFD: ∑−

=

−=1

0

21 N

i

Nikj

ik eXNX π

�La représentation des spectres bi ou uni-latérale:

�Spectre de puissance Veff²�Spectre d’Amplitude Veff�DSP (Densité Spectrale de Puissance) Veff²/∆F�DSE (Densité Spectrale d’Energie) Veff²/∆F²

SPECTRES:

Conclusion:

103

>>>>>>>>>>>>>>>>FENETRES DE PONDERATION



Etre capable de choisirla fenêtre d’acquisition du signal

104

Les fenêtres de pondération

� Le fenêtrage temporel : IntroductionL’échantillonnage consiste à prélever des échantillons du signalsur une durée finie T : Il s’agit d’un fenêtrage temporel.

=1 �



105


� Problématique de lafenêtrage temporel

Lors de l’acquisition des discontinuités se produisent entre les périodessuccessives. Ceci survient lorsqu’on échantillonne un nombre non entier decycles. Ces discontinuités artificielles se révèlent être de très hautesfréquences dans le spectre du signal, fréquences qui n’étaient pasprésentes dans le signal original.Ces fréquences peuvent être bien plus hautes que la fréquence Nyquist, etcomme vous l’avez vu précédemment,sont repliées quelque part entre 0 et fe/2.



106


� Le fenêtrage temporel : IntroductionSi la période d’acquisition correspond à un nombre entier depériodes du signal : Il y a recouvrement des extrémités et laFFT ne crée pas de distorsion du spectre.

FFTFFT

TE

T0

F0

TE=k.T0



107


� Le fenêtrage temporel : Introduction

FFTFFT

T0

TE

F0

TE≠k.T0

Si la période d’acquisition ne correspond pas à un nombreentier de périodes du signal, il n’y a pas recouvrement desextrémités et la FFT crée une distorsion du spectre.



108


� Le fenêtrage temporel : Convolution des spectresLe fenêtrage du signal est un produit dans le domaine temporel.En application du Théorème de Plancherel :

Convolution Fréquentielle

S(t) = X(t).H(t)

Produit temporel

S(f)=X(f)*H(f)=∫X(g).H(f-g).dg0

∞



109


� Le fenêtrage temporel : Convolution des spectres

F0-F0

F

F

FourierFourier

Fenêtre rectangulaire ou uniforme

FourierFourier

X(f)

H(f)H(t)

X(t)



SinxSinx/x ou/x ou sincsinc xx

110

Les fenêtres de pondération� Rappel à propos du sinus cardinal (sinc)

F0-F0

F

FourierFourier

Fenêtre rectangulaire ou uniforme

H(f)H(t)




F0-F0

F

FourierFourier

H(f)H(t)


111

Les fenêtres de pondérations


F0-F0

F

� Les lobes latérauxne génèrent pas debandes latérales.

S(f)=X(f)*H(f)X(t)

T0

TE

FourierFourier

TE=k.T0

� L’amplitude mesurée est la bonne.



1/TE = ∆f

∆f résolution spectrale (CANAL)

112



F0-F0

F

S(f)=X(f)*H(f)X(t)

TE

T0

FourierFourier

TE≠k.T0

� Les lobes latérauxgénèrent desbandes latérales.

� L ’amplitude mesurée n’est pas la bonne.



1/TE = ∆f

113


� Le fenêtrage temporel



Transformées de Fourier numériquesX(f) du signal cosinusoïdal defréquence f0, Y(f) de la fenêtre et Z(f)du résultat de la convolution.Le cas α): correspond au cas où f0 estun multiple de Fe/NLe cas β): correspond au cas où f0n'est pas un multiple de Fe/N.

114


� Les fenêtres de pondération : UtilitéLa condition TE=k.T0 (nombre entier de périodes dansl’échantillon) n’est en pratique pas vérifiée en analysespectrale car :

� On s’intéresse à un grand nombre de fréquences� On ne connaît pas à priori les fréquences du signal

L’utilisation des fenêtres de pondération permet de limiter leserreurs d’estimation causées par le fenêtrage temporelsimple, appelé fenêtre rectangulaire.



115


� Les fenêtres de pondération : PrincipeLes fenêtres de pondération créent artificiellement unrecouvrement des extrémités de l’échantillon temporel :

=�



116


� Les fenêtres de pondération : Principe

Les profils des fenêtresde pondération ont pourbut de limiter lesamplitudes des lobeslatéraux de leurstransformées de Fourier.Ceci est réalisé audétriment de la largeurdu lobe principal quiaugmente.

Rectangulaire

Hanning

Flat-Top



117


� Caractéristiques des fenêtres de pondération

� Le rapport entre le maximumd’amplitude du lobesecondaire le plus élevé et lemaximum d’amplitude dulobe central en dB

� La largeur du lobe principal� L’atténuation des lobes

secondaires en dB/octave

Les caractéristiques principales des différentes fenêtres depondération sont déterminées sur leur transformées de Fourier :

-6dB



118


� Caractéristiques des fenêtres de pondérationLe tableau ci-dessous résume les caractéristiques des fenêtrescourantes en analyse spectrale :

Rectangulaire

Hamming

Hanning

Flat-Top

Fenêtre

0.88 ∆F

1.30 ∆F

1.44 ∆F

2.94 ∆F

largeur -3dBLobe princip.

-13 dB

-43 dB

-32 dB

-44 dB

Niveau lobessecondaires

6

6

18

6

Atténuation(dB/octave)



119


� Les fenêtres usuelles : La fenêtre rectangulaire� Meilleure résolution

fréquentielle pour un nombred’échantillons donné :Largeur du lobe à -3 dB =0.88 ∆F

� Lobes secondairesd’amplitude élevée (-13 dB) àl’origine d’incertitudesimportantes sur l ’amplitudedes raies.

� Utilisation : Analyse temporelle du signal (pas de FFT)



120


� Les fenêtres usuelles : La fenêtre de HammingC’est une fenêtre qui présente desamplitudes de lobes secondairesplus faibles que la fenêtre deHanning, et une largeur de lobeprincipal inférieure. Par contre,l’atténuation des lobes latérauxsuivants étant moindre, on luipréfère généralement Hanning,sauf en présence de raiesspectrales très proches où sarésolution supérieure estavantageuse.



121


� Les fenêtres usuelles : La fenêtre de HanningC’est la fenêtre qui réalise lemeilleur compromis entre larésolution fréquentielle et laprécision sur la mesure del’amplitude.

Elle convient pour la plupartdes signaux rencontrés enanalyse vibratoire.



122


� Les fenêtres usuelles : La fenêtre Flat-TopC’est la fenêtre présentantles lobes secondaires de plusfaible amplitude et donc lameilleure résolution enamplitude. Sa résolution enfréquence est par contre laplus faible. On l’utilise doncexclusivement en calibrationd’instruments, ou pour lamesure très précise de raiesspectrales connues.



123


� Influence de la fenêtre de pondération sur le spectreDans le calcul de la FFT de l’échantillon après fenêtrage,chaque canal du spectre se comporte comme un filtre dont laforme épouse le profil de la transformée de la fenêtre.

Une fréquence discrète du spectre réel est ainsi distribuée dansplusieurs canaux adjacents de l’analyseur.

1 2 3 4 5 61 2 3 4 5 6



124

1 2 31 2 3

1 2 31 2 3


� Influence de la fenêtre de pondération sur le spectre

Hanning

Rectangle



125


� Erreur d’amplitude due à la fenêtreLorsque la fréquence d’intérêt coïncide exactement avec lafréquence centrale d’un canal d’analyse, l’amplitude affichéepour la raie correspondante est exacte. Les raies latérales, quin’ont pas de réalité physique, sont d’amplitudes égales.

1 2 31 2 3 1 2 3



126


� Erreur d’amplitude due à la fenêtreLorsque la fréquence d’intérêt ne coïncide pas exactementavec la fréquence centrale du canal d’analyse, l’amplitudeaffichée pour la raie correspondante est entachée d’uneerreur, variable selon les fenêtres. Les raies latérales sontd’amplitudes différentes.

21 2 3 1 3 Erreur surl ’amplitude

Bandes latéralesdissymétriques



127


� Erreur d’amplitude due à la fenêtre

Les erreurs d’amplitudemaximales dues aumauvais centrage de laraie dans le canald’analyse sont donnéesdans le tableau ci-contre,en fonction du type defenêtre utilisé.

Rectangulaire

Hamming

Hanning

Flat-Top

Fenêtre

3.92

1.42

1.75

<0.01

Erreur max.(dB)



128


� Choix de la fenêtre de pondération pour la FFT

Le choix d’une fenêtrede pondération doitêtre fait en fonction dusignal analysé et desgrandeurs recherchées.Le tableau ci-dessouspermet de détermineren première approchele type de fenêtreadapté selon la naturedu signal.

Type de signal Fenêtre

Sinus ou combinaisonde sinus Hanning

Sinusoïde (recherchede l’amplitude) Flat-Top

Signaux vibratoiresBruit large bande RectangleSinusoïdes defréquences proches Hamming

Inconnu Hanning

Hanning



129


� Choix de la fenêtre de pondération : Exemple

kHz0.0 0.2 0.4 0.6 0.8

g

1 E-6

1 E-5

1 E-4

1 E-3

1 E-2

1 E-1

1 E0C:(0.00000 kHz, -25.28dBg, 54.45E-03 g) Spectrum Ch. 1

Allure duspectre d’un

signal sinusoïdalpondéré par la

fenêtrerectangulaire



130



kHz0.0 0.2 0.4 0.6 0.8

g

1 E-6

1 E-5

1 E-4

1 E-3

1 E-2

1 E-1




fenêtre deHamming



131



kHz0.0 0.2 0.4 0.6 0.8

g

1 E-6

1 E-5

1 E-4

1 E-3

1 E-2

1 E-1




fenêtre deHanning





132



kHz0.0 0.2 0.4 0.6 0.8

g

1 E-6

1 E-5

1 E-4

1 E-3

1 E-2

1 E-1




fenêtre Flat-Top



133



RectangleHammingHanning





Les fenêtres de pondération (fenêtre d’acquisitiontemporelle) influe l’estimation de lectureen amplitude et en fréquence du spectre.

La fenêtre de Hanning est un bon compromisde résolution entre l’amplitude et la fréquence.


Conclusion:



Le traitement du signal reste une sciencecompliquée.Néanmoins, vous possédez les premiers outilspour être capable d’utiliser la TFD pour passer dudomaine temporel au fréquentiel. En prenantsoin de respecter Shannon et acquérir le signalavec une fenêtre d’acquisition respectant vosexigences en terme de résolution en amplitudeet fréquentielle pour une lecture spectrale quirépond à vos attentes.

SYNTHESE: