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Légal
1
Signal
lectrique
Traitement du signal
Tlcommunications, radiocommunications (ADSL, GSM, UMTS, TNT, Wifi, ) Image et son (JPEG, MPEG, MP3, Filtrage, Annulation cho, Analyse, Synthse, ) Mdical (chographie, Imagerie, Biosignaux, ) Radar, gophysique, Acoustique (sous-marine)
Grandeur
physique
Milieu de
transmissionCapteur
Bruit
Traitement du
signal
Information
2
Signaux et systmes
Les signaux :- Dterministes
- Impulsionnels
- Priodiques
- Alatoires : bruits (bruit blanc), donnes, information,
Les systmes : Linaires Invariant dans le Temps (SLIT) : canaux de transmission,
composants lectroniques passifs (R,L,C), filtres analogiques et numriques,
rgis par l'opration de convolution ayant les signaux sinusodaux comme fonctions propres
Fonction de transfert et analyse de Fourrier
Non linaires ou non stationnaires : non linarits (saturation),
3
Traitement Numrique du Signal
Numrisation : double discrtisationDiscrtisation temporelle : EchantillonnageDiscrtisation numrique : Quantification
4
Plan du coursIntroduction
Rappels Systmes linaires invariants dans le temps Analyse de Fourier
Echantillonnage Thorme de l'chantillonnage Bruit de quantification
Transforme de Fourier Discrte (TFD) Transforme de Fourier Discrte Rapide : FFT (Fast Fourier Transform)
Filtrage numrique Filtre Rponse Impulsionnelle Finie (RIF) Filtre Rponse Impulsionnelle Infinie (RII) Transforme en Z
5
Plan du cours
Introduction Classification des signaux et des systmes Chane de traitement du signal numrique
Rappels Systmes Linaires Invariants dans le Temps (SLIT) - Convolution - Fonctions propres Analyse de Fourier Srie de Fourier Transforme de Fourier - Parseval
Echantillonnage Spectre d'un signal chantillonn - Transforme de Fourier d'un signal chantillonn Thorme de l'chantillonnage Reconstruction Interpolation - Surchantillonnage. Bruit de quantification - Facteur de crte
Transforme de Fourier Discrte (TFD) Priodisation temporelle Echantillonnage frquentiel - Fentrage Transforme de Fourier Discrte Rapide : FFT (Fast Fourier Transform) - Fonctions Matlab Filtrage dans le domaine frquentiel, filtrage 2D OFDM (vocation)
Filtres numriques SLIT temps discret Rponse impulsionnelle - Convolution discrte Rponse en frquence Fonction filtrage Filtre Rponse Impulsionnelle Finie (RIF) - Filtre phase linaire (retard) Filtre de Hilbert Phase minimale Synthse par la mthode directe Phnomne de Gibbs Fentrage - Synthse par TFD Fonctions Matlab Filtre RIF ondulations rparties Nb de coefficients - Algorithme de Remez (vocation) Fonctions Matlab Filtre Rponse Impulsionnelle Infinie (RII) Equations aux diffrences Rponse impulsionnelle Stabilit Transforme en Z Factorisation - Stabilit de la cellule rcursive du premier ordre Stabilit d'un filtre RII Ples et Zros - Interprtation gomtrique Synthse Fonctions modles Transforme bilinaire - Filtres Elliptiques Gabarit Ordre tude de la cellule du premier ordre Application l'estimation Mise en uvre en virgule fixe tude de la cellule du second ordre Rsonance Rponse impulsionnelle - Dcomposition en lments simples Cellule du second ordre gnrale - Filtre rjecteur Dphaseur pur Mise en uvre en virgule fixe Structure cascade Quantification des coefficients Bruit de calcul - Nb de bits Rgles
Applications Filtrage multicadence Bancs de filtres Transformation IQ
6
Rfrences
Les livres : Traitement numrique du signal, Maurice BELLANGER (Dunod) ; Mthodes et techniques de traitement du signal, J.MAX (Masson) ; Traitement numrique des signaux, M.KUNT (Dunod) ; Digital signal processing, J. G. Proakis, D. G. Manolakis, (Prentice Hall)
Sur Internet : Wikipdia : site en pleine progression Luc Vandendorpe : http://www.tele.ucl.ac.be/EDU/ELEC2900/tout_2900b.pdf Jol Le Roux : http://users.polytech.unice.fr/~leroux/
Exercices, Devoirs surveills et documents de cours : http://luc.fety.free.fr http://luc.fety.free.fr/ELE102 http://luc.fety.free.fr/ftp/
7
Systmes linaires invariants dans le temps
Linarit :
Invariance temporelle :
Exemples : canaux de transmission, systmes optiques, filtrage,
)(tx SLIT )(ty
)(1 tx )(1 ty
)(2 tx )(2 ty
)()( 2211 txtx + )()( 2211 tyty +
)(tx )(ty
)( tx )( ty
Principede
superposition
Stationnarit
8
Convolution
Rponse impulsionnelle :
Un signal quelconque peut tre exprim comme une somme d'impulsions :
En vertu de la linarit et de l'invariance temporelle :
Cette opration s'appelle le produit de convolution :
)(t SLIT )(th
dtxtx )()()( = +
dthxty )()()( = +
)()()( thtxty =
9
Proprits du produit de convolution
Le produit de convolution est commutatif :
associatif :
distributif :
L'lment neutre est l'impulsion de Dirac :
La convolution par opre une translation de :
valuation graphique :
(Wikipedia)
)()()()( xfxgxgxf =)())()(())()(()( xhxgxfxhxgxf =
)()()()())()(()( xhxfxgxfxhxgxf +=+
)()()()()( xfduuxfuxxf == +
)()()()()( axfduuxfauaxxf == +
)( ax a
duuxgufxgxf )()()()( = +
10
Fonctions propres
Fonctions telles que
Proposition :
)()()( txdtxh =+
)(tx )()()( txthtx =
atetx =)( )()( )( txeeeetx aatata ===
44 344 21
dehedeh aatta +
+
= )()()(
11
Exprimer le signal d'entre comme une somme de fonctions propres :
ou
Pour dterminer plus facilement le signal de sortie :
ou
est appele " Transforme de ". est appele " Fonction de Transfert ".
Base de fonctions propres
=a
ateaXtx )()( = aatdaeaXtx )()(
=a
at
aY
eaXaty43421)(
)()()( = aat
aY
daeaXaty43421)(
)()()(
)(tx )(tySLIT
)(aX )(tx
)(a )()()( aXaaY =
12
Diffrentes transformes :
Laplace :
Fourier :
En Z dans le cas des signaux chantillonns,
jpa +== = ppt dpepXtx )()(
fja 2= +
= dfefXtx ft2)()(
13
Exemple de dcomposition
tftx 02cos)( = ?)( =tySLIT
tfjtfj eetx 00 222
1
2
1)( +=
SLIT
SLIT
+
tfje 022
1
tfje 022
1
tfjfH e 02
21
)0(
tfjfH e 02
21
)0(
))0(02cos()0()( ftffHty +=
*)0()0( fHfHsi =
14
Exemple de SLIT
)(tx +
)()()( += txtxty
)1()(
22)(222
0
0000043421
fH
fjtfjtfjtfjtfj eeeee +=+
)1()(
22)(222
0
0000043421fH
fjtfjtfjtfjtfj eeeee
+ +=+
tfjefHtfjefHtytfjetfjetftx 00000002)(
212)(
21)(2
212
212cos)( +=+==
000000000 cos2)(cos2)()(fj
effHetfj
effj
efj
efj
efH+==++=
)2cos(cos2)2(
21)2(
21cos2)( 000
00000
ftffftfjeftfjefty =
+=
15
Ce qu'il faut retenir
Les traitements des signaux sont le plus souvent des Systmes Linaires Invariants dans le Temps.
Ils sont rgis par le produit de convolution :
est la rponse impulsionnelle du systme. Elle caractrise entirement le systme.
Les transformes de Laplace et de Fourier sont trs utilises pour l'tude des SLIT car elles sontbases sur des fonctions propres des SLIT de la forme .
Elles transforment le produit de convolution en produit simple.
)(tx )(tySLIT
dthxthtxty )()()()()( == +
)(th
ate
16
Traitement Numrique du Signal
Le traitement numrique des signaux requiert leur numrisation :
1) Les calculateurs sont des systmes discrets : Ils peuvent tout au plus mmoriser et calculer les valeurs des signaux des instants dnombrables. Il faut donc oprer une discrtisation temporelle :
L'Echantillonnage
2) Les mmoires disponibles dans les calculateurs sont elles-mmes constitues d'un nombre fini de bits : Elles peuvent tout au plus mmoriser des valeurs arrondies des chantillons des signaux. il s'agit d'une discrtisation numrique :
La Quantification
17
L'Echantillonnage
L'chantillonnage d'un signal consiste mesurer et ne conserver que ses valeurs des instantsparticuliers :
Le signal obtenu est un signal discret :
est l'indice (ou indexe) des chantillons.
est le symbole de Kronecker :
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1
-0.5
0
0.5
1
{ }LL 9.06.06.09.009.0)()( ==
nTexnx A
)(nx
)(txA
+
=
=i
inixnx )()()(
)(n
=
=01
00)(
nsi
nsin
Nn
TeefTe
=1
: Priode d'chantillonnageTe
: Frquence d'chantillonnageef
18
Reconstruction
Problme : Plusieurs signaux prsentent les mmes chantillons :
Il faut certainement complter l'information contenue dans les chantillons pardes hypothses supplmentaires.
Solution retenue : Hypothses dans le domaine spectral
Le thorme d'chantillonnage
dthxthtxty )()()()()( == +
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1
-0.5
0
0.5
1
19
Spectre d'un signal chantillonn
Considrons l'expression analogique du signal numrique :
Peut-on exprimer comme une somme de sinusodes ?
ou peut-tre
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1
-0.5
0
0.5
1 )(txA
)(txN
)(txN
)(txN
=f
ftjfN eatx
2)( = fftj
fN dfeatx2)(
20
Spectre d'un signal chantillonn
Les signaux prsentent tous les mmes chantillons :tkftxtx eAk 2cos)()( =
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1
0
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1
0
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1
0
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1
0
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1
0
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1
0
1
tfe2cos
tftx eA 2cos)(
tfe4cos
tftx eA 4cos)(
)(txA
)(txA
21
Spectre d'un signal chantillonn
Si nous faisons la somme de ces signaux : = +
+K
k ee
eAA
tekfjtekfj
tkftxtx1 22
2cos2)()(43421
1=K
2=K
3=K
4=K
5=K
)(txA
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-101
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-202
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-505
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-505
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-505
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-10
010
Nous obtenons un signal constitu d'impulsions approchant .)(txN
22
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-100
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
100
Spectre d'un signal chantillonn50=K
8.8 8.9 9 9.1 9.2
-5
0
5
10
15
20
25
30
35
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1000
-800
-600
-400
-200
0
200
400
600
800
1000500=K
+=
=1
2cos2)()()(k
eAAN tkftxtxfetx
=
=n
AN nTetnTextx )()()(
)( txN
)()(2
2
nTexdttx AnTe
nTeN
Te
Te
+
=
=k
tkfjAN
eetxfetx 2)()(
230 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-1000-800
-600
-400
-200
0
200
400
600
800
1000
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-100
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
100
8.6 8.7 8.8 8.9 9 9.1 9.2 9.3 9.4
-5
0
5
10
15
20
25
30
35
Vrification du facteur 1=fe
10=fe
ef
0.86 0.87 0.88 0.89 0.9 0.91 0.92 0.93 0.94
-50
0
50
100
150
200
250
300
350
1=Te
1.0=Te
24
Modulation Priodisation
+
=
=k
eAN kffXfefX )()(
=
=k
tkfjAN
eetxfetx 2)()(
)( fX A
f0
)( fX N
f0efef ef2ef2
+
= dfefXtx ftjAA
2)()(
=
+
+
+
=k
dfekffX
tkffjAN
ftjeA
e dfefXfetx4444 34444 21
2)(
)(2)()(
)( eA ffX )2( eA ffX )( eA ffX +)2( eA ffX +
25
Transforme de Fourier de
=
=n
AN nTetnTextx )()()(
=
=n
fnTejAN enTexfX
2)()(
)(txN
+
= dtetxfX ftjNN2)()(
+
+
=
= dtenTetnTexfX ftj
nAN
2)()()(
or
+
=
+
=n
ftjAN dtenTetnTexfX
2)()()(
26
Reconstruction
)()()( fHfXfX NA =
)( fH
f0
)( fX N
f0efef ef2ef2
)( eAe ffXf + )( fXf Ae )2( eAe ffXf + )( eAe ffXf )2( eAe ffXf
)( fX A
f0
2ef
2ef
ef1
+
= 2
2
21 )()(ef
efedfefXtx ftjNfA
27
Formule de Shannon (reconstruction)
+
= 2
2
21 )()(ef
efedfefXtx ftjNfA
+
=
=n
fnTejAN enTexfX
2)()(
+
+
=
= 2
2
221 )()(ef
efedfeenTextx ftj
n
fnTejAfA
+
=
+
=
n
nTetfjfAA
ef
efedfenTextx
2
2
)(21)()(
+
=
=
n
nTetjnTetjnTetjfAA
efef
eeenTextx )(2)(2
)(211 22)()( ( )
+
=
=n
nTetjnTetfj
fAAe
enTextx
)(2)(sin(21)()(
+
=
=n
nTetfnTetf
AAe
enTextx)(
)(sin()()(
or
28
Thorme d'chantillonnage de Nyquist-Shannon
)( fX A
f0
)( fX N
f0efef ef2ef2 2
ef2ef
)( fX A
f0efef ef2ef2 2
ef2ef
maxf
2maxeff < Au moins 2 chantillons par priode
Repliement de spectre
29
=
=n
AN nTetnTextx )()()(
=
=k
tkfjAeN
eetxftx 2)()(
=
=n
AN nTettxtx )()()(
=
=k
tkfjeAN
eeftxtx 2)()(
=
=
=k
tkfje
n
eefnTet 2)(
=
=
=k
een
fnTej kfffe )(2
=
=k
eeAN kffffXfX )()()(
=
=n
fnTejAN efXfX
2)()(TF
TFTF
En dfinitive
=
=k
eAeN kffXffX )()(
=
=n
fnTejAN enTexfX
2)()(
TF TF
30
Pour tre mmoriss, les chantillons de signal doivent tre cods avec un nombre fini de bits. Or, avec bits, il n'est possible de coder que tats. Ds lors, les chantillons qui pouvaient prendre un nombre infini de valeurs doivent tre approxims (quantifis) au plus proche tat cod (tat de quantification).
Quantification
N2N
Exemple : Quantification linaire entre et avec bits A NA+
N
Aq
2
2=
Val
eurs
qua
ntifi
es
Valeurs initiales
tionquantifica de tats 1624 == NN
-1.5A -A -0.5A 0 0.5A A 1.5A-A
-0.5A
0
0.5A
A
31
La quantification des chantillons peut tre interprte comme l'ajout d'un bruit :
Bruit de quantification
{bruit
)()()( nenxnxq +=
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-A
-0.5A
0
0.5A
Asignal analogique x(t)chantillons x(n)valeurs quantifies xq(n)erreur e(n)
32
Densit de probabilit du bruit de quantification
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1
-0.5
0
0.5
1
signal initial x(t)
signal quantifi xq(t)
erreur de quantification e(t)
2q+
2q
Toutes les valeurs sont quiprobables dans cet intervalle.2q+ Lerreur de quantification est comprise entre et2
q
En dfinitive, lorsque le signal varie "normalement" et que N est grand, lerreur de quantification peut tre considre comme un phnomne alatoire dont les chantillons sont quiprobables entre et et sont indpendants.
2q
2q+
)(xfb
x2q 2
q+
q1
)(nrbb
n
bP
n f
)( fPb
2Fe+2Fe
FePb
1)( =+
dxxfb )()( nPnr bbb = bb PdffP
Fe
Fe=
+
2
2
)(
TF
Bruit blanc
33
Puissance du bruit de quantification
)(xfb
x2q 2
q+
q1
1)( =+
dxxfb
[ ] [ ] 22
2
2
33112122 )()(
q
q
q
qxdxxdxxfxnbEP qqbb
+
+
+
==== 12
2qPb = 12
2qPb =
Explications : Imaginons un phnomne dont une priode vaut :
{ }41122211)( =nsLa puissance du phnomne peut tre calcule de la manire suivante :
( ) ( )222222222222 4123148
141122211
8
1)(
1 ++=+++++++== n
nsN
P
Soit encore : et donc :{
{{
{{
{2
3
22
32
2
1
1
48
12
8
31
8
4
vp
vp
vp
P ++= =n
kk vpP2
Dans le cas d'une variable continue : +
=
321xP
dxxfxP )(2
34
Rapport Signal Bruit
Dans le cas d'un signal sinusodal occupant la pleine chelle [ ]AA + ;
( )N
Aq
A
b
x
N
A
P
P
B
S 22
22
2
12
2 22
362
2
====
Soit encore en dB :
44 344 2143421 NdB
NB
S
02.676.1
)2log(2102
3log10 +
=
NB
S
dB
02.676.1 +=
35
=
=n
nTetnxtx )()()(
+
= dtetxfX ftj 2)()(
Transforme de Fourier Discrte (TFD)
=
=n
fnTejenxfX 2)()(
Nous savons que la transforme de Fourier :
applique au signal chantillonn dfini de la manire suivante :
conduit la dfinition de la Transforme de Fourier du signal chantillonn :
La "Transforme de Fourier discrte" en est une version calculable :
( )
=
==
1
0
2)()(
N
n
N
knj
Nkfe enxXkX
N
knfnTe N
kFef
=
Echantillonnage frquentiel Horizon fini
36
La rduction de l'horizon temporel peut-tre interprt comme la multiplication du signal par une porte de dure :NTe
Troncature temporelle
Le spectre obtenu est alors le "vrai spectre" convolu par la TF de la porte :
=
+
=
1
0
22 )()(N
n
fnTej
n
fnTej enxenx
( ) NTe
N Tettxtx2
1)()(
( )
NTe
N TetTFfXfX2
1)()(( )fTe
fTe
sin
( )
t
2
2
1
t
f*fFe Fe2Fe)( fX
fFe Fe2Fe
)( fX
)( fG
37
L'chantillonnage dans le domaine frquentiel induit une priodisation dans le temporel :
Echantillonnage frquentiel
( ) ( )N
kFeXfX
( ) ( ) kk
NkFe kNTettxffX )()(
0 tNTe
1
)(tx
*t
0
NTe NTe2NTe
tNTe NTe2NTe
0
1)(tp
)(tx p
38
1) Fentrage :
Reprenons
0 tNTe
1)(tx
( ) =NTe
N Tettxtx2
1)()(
( )NTe
t
0 tNTe
( ) TeNfj
fG
efNTe
fNTeNTefXfX 2
12
)(
sin)()(
=
44 344 21
)(tx
0f0ff
2eF
2eF
)( fX
0f0f
NTe
f2eF
2eF
)( fX)( fG
39
0 NTe
2) Priodisation
=k
p NTettxtx )()()(
=k
NkFe
p ffXfX )()()(
t
)(tx
0 NTe
0f0ff
2eF
2eF
)( fX
t
0f0ff
2eF
2eF
)( fX p
40
0 NTe
3) Echantillonnage :
=n
ppN nTettxtx )()()(
=k
ppN kFefFefXfX )()()(
t
)(tx
0 NTe t
0ff
2eF
2eF
)( fX p
0ff
2eF
23 eF
)( fX pN
0f2eF0f
23 eFFe Fe
41
0 NTe
Quand a se passe bien
=n
ppN nTettxtx )()()(
=k
ppN kFefFefXfX )()()(
t
)(tx
0 NTe t
0ff
2eF
2eF
)( fX p
0ff
2eF
23 eF
)( fX pN
0f2eF0f
23 eFFe Fe
42
Filtres Numriques
Linarit :
Invariance temporelle :
)(nx SLIT discret )(ny
)(1 nx )(1 ny
)(2 nx )(2 ny
)()( 2211 nxnx + )()( 2211 nyny +
)(nx )(ny
)( nx )( ny
Principede
superposition
Stationarit
Ce sont des Systmes Linaires Invariants dans le Temps discrets :
43
Convolution discrte
Rponse impulsionnelle :
Un signal numrique peut tre exprim comme une somme d'impulsions :
En vertu de la linarit et de l'invariance temporelle :
Cette opration s'appelle la convolution discrte :
)(n SLIT Discret )(nh
=k
knkxnx )()()(
)()()( nhnxny =
=k
knhkxny )()()(
44
Le Systmes Linaires Invariants dans le Temps discrets sont rgis par
Convolution continue discrte
+
== duutxuhthtxty )()()()()(
Ce sont des Systmes temps discrets : +
=
==n
N nTetnhthth )()()()(
Traitant des signaux temps discrets : +
=
==n
N nTetnxtxtx )()()()(
+
+
=
+
=
= dulTeutlxkTeukhtylk
)()()()()(
+
=
+
=+
+
=
k lTelkt
dulTeutkTeulxkhty44444 344444 21
))((
)()()()()(
l'opration de convolution continue :
knllknposons =+=
444 3444 2144 344 21)()(
)()()()()()(
ty
nn
ny
k
N
nTetnynTetknxkhty +
=
+
=
+
=
== +
=
=k
knxkhny )()()(
)()()( ttt =
45
Rponse en frquence
+
=
=k
knxkhny )()()(
Si alors :fnTejenx 2)( = 43421
444 3444 21 )(
2
)(
2)(2 )()()(nx
fnTej
fH
k
fkTej
k
Teknfj eekhekhny
==
+
=
+
=
SLIT DiscretfnTeje 2fnTejefH 2)(
+
=
=k
fkTejekhfH 2)()(
Les signaux de la forme sont les seuls pour lesquels ce phnomne est observ. Ce sont les fonctions propres des systmes linaires invariants dans le temps.
nTee
46
Fonction filtrage
Il est ainsi possible de crer des filtres passe-bas, passe-haut, passe-bande, rjecteur, etc
Exemple de synthse d'un filtre RIF passe-bas ( )
=
=1
0
2)()(N
n
fnTejenhfH
Voir la fonction "sptool" de Matlab
Bande de transition
Gabarit
Bande affaiblie
Bande passante
)( fH
2
0
11 +
11
1
1f 2f2
Fe f
f
6Fe
cF =
78 n
79=N
39
)(nh
0
47
Filtrage
=k
knxkhny )()()(
)(nx )(nh )(ny
Le filtrage d'un signal consiste en sa convolution par la rponse impulsionnelle du filtre :
Exemple :
n0
Remarque : Le signal de sortie est dphas diagramme de Bode
)(ny
)(nx
Fef 3.02 =Fef 03.01 =
48
2Fe
Diagramme de Bode
0
0
1
f
2Fe0 f
)( fH
dBfH )(
60
4Fe
2Fe f
4Fe
+
)( f
Exemple pour un filtre rcursif
49
Filtrage dans le domaine frquentiel
dfefXnx fnTej+
= 2)()(
Convolution par)(nx )(ny
dfefHfXny fnTej
fY
+
= 2
)(
)()()(43421
)(nh
)( fX)( fHMultiplication par
)( fY
TF TF -1
)()()( fHfXfY =
Rsolution thorique, traitement d'images, traitement par blocs,
50
Comme leur nom l'indique, leur rponse impulsionnelle est finie ; c'est--dire nulle en
dehors d'un intervalle born : par exemple dans le cas d'un filtre causal :
Filtres Rponse Impulsionnelle Finie (RIF)
=
+
=
==1
0
)()()()()(N
kk
knxkhknxkhny
)(n RIF )(nh
1N n0n0
{ }LL4444 34444 21
LLL 00)1()1()0(00)(termesN
Nhhhnh =
L'opration de convolution require N multiplication-accumulations et elle est
gnralement mise en uvre telle qu'elle dans le processeur de traitement.
51
Reprsentation
=
=1
0
)()()(N
k
knxkhny
{ })1()1()0()( =
Nhhhnh L
)(nx
)(ny
Te Te Te TeL Te
+
)1(h
+
)2(h
+
)3(h
+ +
)1( Nh)0(h L
L
)1( + Nnx
52
Filtre phase linaire
Ces filtres prsentent une rponse impulsionnelle symtrique :
M
)3()2(
)2()1(
)1()0(
===
Nhh
Nhh
Nhh
0
5.0
78 n
)(nh
( ) ( ) ( )( )44444 344444 21
43421
)(
1
02
121
0
2221
0
22
21
2
21
21
21
2cos2)()()()(
fR
n
N
e
Tefj
n
TenfjTenfjTefjN
n
fnTej
N
fj
N
N
NNN
TenfnheeenheenhfH
=
=
+
=
=
+==
N pair :
N impair :
( ) ( ) ( )( )4444444 34444444 21
43421
)(
1
02
12
121
0
222
122
1
21
21
21
21
21
2cos2)()()()()(
fR
n
NN
e
Tefj
n
TenfjTenfjNTefj
N
fj
N
N
NNN
TenfnhheeenhhefH
+=
++=
=
=
+
53
+
Exemple de filtre phase linaire
{ }0.053700.0916-00.31310.50.313100.0916-00.0537)(
=nh
( ) ( ) ( )( )44444444444444 344444444444444 2143421
)(
52 10cos20.05376cos20.09162cos23131.05.0)(fRe
Tefj fTefTefTeefHfj
++=
1
+
0 f
)( fR
f
0 f
0 f
)( f
R(f) et phase linaire Diagramme de Bode : Module et argument
f
1
)( fH
0
)()( fRfH =
)0)( quand ()(
54
Phase linaire = Retard
{ }0.053700.0916-00.31310.50.313100.0916-00.0537)(
=nh
( ) ( ) ( )( )44444444444444 344444444444444 2143421
)(5 de retard
52 10cos20.05376cos20.09162cos23131.05.0)(fRTe
Tefj fTefTefTeefH ++=
ftje 2 321)(
22)(2
fH
fjftjtfj eee =
)(nx )(nyTe5)( fR
Un retard se traduit par un dphasage linaire
Phase linaire Retard pur
55
)(ny
Phase linaire = Retard
{ }0.053700.0916-00.31310.50.313100.0916-00.0537)(
=nh
( ) ( ) ( )( )44444444444444 344444444444444 2143421
)(5 de retard
52 10cos20.05376cos20.09162cos23131.05.0)(fRTe
Tefj fTefTefTeefH ++=
)( nx )( nh )( ny
n0
)(nx
n0
t0
)(tx
t0
f02
Fe2
Fe
)( fX
f2
Fe2
Fe
)( fY
f02
Fe2
Fe
)( fX
0
f02
Fe2
Fe
)( fY
Harmoniques de
5
Te5
)( fR
)(tyHarmoniques de
)( fR
Zoom
56
Rponse impulsionnelle antisymtrique
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )44444444444444444444444 344444444444444444444444 2143421
)(9 de retard
92 18sin20.026714sin20.058410sin20.10496sin20.19912sin26323.0)(fRTe
Tefj fTefTefTefTefTejefH ++++=
n0
)(nh
189
19=N
Dphasage de 2
)(nx )(ny)( fR
2
{ }0267000584001049001991006323.0063230019910010490005840002670)( .........nh =
57
Filtre de Hilbert
)(nx )(nxR
)(nh )(nxI
Partie relle
Partie imaginaire
2Fe
2Fe
2Fe
0
1
2
2
)(nh
n
f
f
f
)( fH dBfH )(
20
40
60
{ }0267000584001049001991006323.0063230019910010490005840002670)( .........nh =
58
Les autres catgories de filtre RIF
Filtres phase minimale : Filtres dont tous les zros de la fonction de transfert en Z sont l'intrieur du cercle unit.
Filtres phase maximale : Filtres dont tous les zros de la fonction de transfert en Z sont l'extrieur du cercle unit.
=n
nZnhZH )()(
La fonction de transfert en Z est le pendant de la transforme de Laplace pour les systmes discrets :
Remarque :
( ) ( ) ( ) ====n
fnTej
n
nfTejfTej enhenheZHfH 222 )()(
59
Synthse des filtres RIF
)( fH )(nh
=n
fnTejenhfH 2)()(
1TF
Dterminer ralisant la fonction de filtrage dsire)(nh )( fH
On sait que est la Transforme de Fourier de :)( fH )(nh
est la Transforme de Fourier Inverse de .)( fH)(nh
Mais encore ?
60
Synthse des filtres RIF
est priodique. En effet :)( fH
)(.)()()(1
22)(2 fHeenhenhkFefHn
knFeTejfnTej
n
nTekFefj ===+ + 43421
La transformation de Fourier adapte aux fonctions priodiques est laSrie de Fourier :
=
T
tj dtetxT
nc Tn2)(
1)(
+=n
tj Tn
enctx 2)()(
Problme : est priodique dans le domaine frquentiel )( fH
Srie de Fourier Inverse
f
)(nc
tT T2T
)(tx
0
61
Serie de Fourier Inverse
=
T
tj dtetxT
nc Tn2)(
1)(
+=n
tj Tn
enctx 2)()(
+
+=Fe
e
fjdfefH
Fenh
fnTej
Fen
43421
2
2)(1
)(
=n e
fj
fnTej
Fen
enhfH 43421
2
2)()(
f
)(nc
tT T2T
)(tx
0
n
)(nh
fFe Fe2Fe
)( fH
0
62
Application
fFe2
Fe
)( fH
0
+
+=c
c
f
f
fnTej dfeFe
nh 21
)(
1
cf 2Fe+
[ ]( )
444 3444 21nTefj
nTefjnTefj
c
cc eenTejFe
nh
2sin2
22
2
11)( + =
( )nTef
nTef
Fe
fnh
c
cc
2
2sin2)( =
+=
Fe
fnTej dfefHFe
nh 2)(1
)(
Problme : n'est pas causal et est de longueur infinie !)(nh
Il est ncessaire de tronquer et retarder )(nh
n
)(nh
63
Troncature de
)(tw
Il faut encore rendre causal
t t
f f
)(nh )(2 nh
)( fH )(2 fH
)( fW
)()( twth
)()( fWfH
)(2 nh
fNTe
fNTeNTefW
)sin(
)( =
NTe
NTe1
)(nh
1
64
Rendre causal )(nh
n
)(2 nh )()( 23 Knhnh =
K K
N
0N
nK
21= NK
)()()( 22 nxnhny = )()()()( 223 KnynxKnhny ==
)(2 nh KTe)(nx )(2 ny )(3 ny
)( f Tef N212 )(3 f
f f f
fff
)( fH )( fR )(3 fH
+ + +
2Fe
2Fe
2Fe
2Fe
2Fe
2Fe
2Fe
2Fe
2Fe
2Fe
2Fe
2Fe
Reprsentationde Bode
H(f) idale Reprsentationphase linaire
65
Phnomne de Gibbs
)( fH
f
f
fn
n
n
)( fH
)( fH
)(nh
)(nh
)(nh
40
10
150
09,0
09,0
09,0
)( fH )( fH )( fH
2Fe
2Fe
2Fe
2Fe
2Fe
2Fe
2Fe
2Fe
2Fe
2Fe
2Fe
2Fe
)( 1fcH
)( fcH )( 1+fcH
66
Fentrage
)( fH
fn
)(nh
n
n
f
f
)( fH
)( fH
2Fe
2Fe
2Fe
2Fe
2Fe
2Fe10
40
150
)(nh
)(nh Hamming
)( fW
)( fWdB
fW )(
dBfW )(
f
f
2Fe
2Fe
2Fe
2Fe
2Fe
2Fe
2Fe
2Fe
Te10Te10
)(tw
Te10Te10
t
t
dB20
0
0
dB40
dB60
dB20
dB40
dB60
Hamming
Boxcar
67
Egaliser les ondulations
Filtres RIF ondulations rparties (equiripple)
Algorithme de Remez
n
f
150
)(nh Hamming
)(nh
)(nh
dBfH )(
n
n
2Fe
2Fe
2Fe
2Fe
2Fe
2Fe
dBfH )(
dBfH )(
f
f
10
40
68
Filtre Equiripple
Voir la fonction "sptool" de Matlab
Fc=Fe/6f1=Fc-0.01*Fe;f2=Fc+0.01*Fe;d1=0.02; d2=0.02;[N,Fo,Ao,Wo] = firpmord(2*[f1 f2],[1 0],[d1 d2]);h = firpm(N,Fo,Ao,Wo);
( )2110
1103
2 log f
FeN
=
Bande de transition
Gabarit
Bande affaiblie
Bande passante
)( fH
2
0
11 +
11
1
1f 2f2
Fe f
f
78 n
79=N
39
)(nh
0
93,79 = N
69
Filtres Rponse Impulsionnelle Infinie (RII)
+
=
=0
)()()(k
knxkhny
Comme leur nom l'indique, leur rponse impulsionnelle est infinie :
L'opration de convolution require un nombre infini de multiplication-accumulations et ne peut donc pas tre mise en uvre directement dans le processeur de traitement.
Solution : Systmes rcursifs
Exemple :
)(nx
)(ny
Te+b
)1()()( += nybnxny
)()( nnx = { }LL nbbbbnhny 321)()(
==
Vrifier qu'il s'agit bien d'un SLIT
70
quations aux diffrences
=
=
=1
0
1
0
)()()()(N
k
M
k
knxkaknykb
Plus gnralement, un Systme Linaire Invariant dans le Temps Discret peut tre dfini par son quation aux diffrences :
Il s'agit bien d'un systme linaire car :
=
=
=1
01
1
01 )()()()(
N
k
M
k
knxkaknykb
=
=
=1
02
1
02 )()()()(
N
k
M
k
knxkaknykb
Alors : ( ) ( )
=
=
+=+1
021
1
021 )()()()()()(
N
k
M
k
knxknxkaknyknykb
Si :
Et si :
71
Filtre rcursif
{44 344 2144 344 21
rcursivepartie
M
k
transversepartie
N
k
knykbknxkanyb
=
=
=1
1
""
1
01
)()()()()()0(
Sous certaines conditions, il est possible de calculer rcursivement le signal de sortie :
Remarque : On peut faire en sorte que 1)0( =b
)(nx
)(ny
Conditions : Il faut que les soient tels que le systme soit stable.
)(kb
+
)(ka )(kbTe Te Te TeL Te
+
)1(a
+
)2(a
+
)3(a
+ +
)1( Na)0(a L
L
Te Te Te TeL Te
+ +
)3(b
+
)2(b)1( Mb L
L+
)1(b
72
Rponse Impulsionnelle Infinie
44 344 2144 344 21rcursivepartie
M
k
transversepartie
N
k
knhkbknkanh
=
=
=1
1
""
1
0
)()()()()(
)(n
)(nh
+
)(ka )(kbTe Te Te TeL Te
+
)1(a
+
)2(a
+
)3(a
+ +
)1( Na)0(a L
L
Te Te Te TeL Te
+ +
)3(b
+
)2(b)1( Mb L
L+
)1(b
{ ( ) }L)0()1()1()1()0()2()2()0()1()1()0()( abababaabaanh ++++=
0 20 40 60 80 100-20
-10
0
10
20
0 20 40 60 80 100-1
-0.5
0
0.5
1
Systme stable : Systme instable
est difficile dterminer de cette manire !
)(nh
73
En effet, si alors :
Rponse en frquence et fonction de transfert en Z
Si la rponse impulsionnelle est divergente : alors :
+fnTejenx 2)( =44 344 21
43421
)(
0
2
)(
2 )()(
fH
k
fkTej
nx
fnTej ekheny
=
=
=
=0
2)()(k
fkTejekhfH
=
=0
)()()(k
knxkhny
)( fH
Mais il est toujours possible de calculer la rponse un signal :
( )43421
nfTeje
fnTejnn eZ
2
2=
nZnx =)( {43421)(
0)(
)()(
ZH
k
k
nx
n ZkhZny
=
=
=
=0
)()(k
kZkhZH
est la TF de )( fH )(nh
Et si alors, amortit et rend la srie convergente.minZ > kZ
est la TZ de )(ZH )(nh
rel)(kh
>
=0
)(k
kh
74
Transforme en Z
La fonction de transfert en Z est la Transforme en Z de
nZnx =)(
=
=0
)()(k
kZkhZH
)(ZH )(nh
{ }L)3()2()1()0()( hhhhnh
=
TeZ de retard1
{ {kTe
k
nx
nkn ZZZknx ==)(
)(
)( pnh )()'()(
)''(0'
)'( ZHZZkhZpkh p
pkkpkkk
pk
pk
k
+==
=
+
=
==
)( pnx
=
=0
)()( avec )(k
kp ZkxZXZXZ
Gnralisation :
La transformation en Z est l'quivalent de la transformation de Laplace : pTeeZ =
75
Application
=
=
=1
0
1
0
)()()()(N
k
M
k
knxkaknykb
De mme si :
=
=
==1
0
1
0
)(
)(
)(
)()(
M
k
k
N
k
k
Zkb
Zka
ZX
ZYZH
=
=0
)()()(k
knxkhny
=
=
==00
)()()()()(k
k
k
k ZkhZXZZXkhZY
=
==0
)()(
)()(
k
kZkhZX
ZYZH
=
=
=1
0
1
0
)()()()(N
k
kM
k
k ZkaZXZkbZY
76
Pour retrouver , il suffit de remplacer par
)()( fHZH
fTejeZ 2
)( fH ZfTeje 2
=
=
==0
2
0
)()()()(k
fkTej
k
k ekhfHZkhZH
Mais attention, il faut que la srie converge pour 1=Z
De mme :
=
=
=
=
== 1
0
2
1
0
2
1
0
1
0
)(
)()(
)(
)()(
M
k
fkTej
N
k
fkTej
M
k
k
N
k
k
ekb
ekafH
Zkb
ZkaZH
Remarque : )()( mais )()( 2 fTejeZHfHZfHfH ===
77
Factorisation
=
=
=1
0
1
0
)(
)(
)(M
k
k
N
k
k
Zkb
Zka
ZH
La fonction de transfert apparat comme une fraction polynomiale et peut-tre factorise :
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
=
=
=
=
=
=
=
== 1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
11
1
0
11
1)0(
1)0(
)0(
)0(
)(
)()( M
kk
N
kk
M
kk
M
N
kk
N
M
k
kMM
N
k
kNN
ZPb
ZZa
PZbZ
ZZaZ
ZkbZ
ZkaZZH
)(ZH
Les racines du numrateur sont appeles zros.kZ
Les racines du dnominateur sont appeles ples.kP
78
Cascade
Toutes les cellules rcursives doivent tre stables !
( ) =
=
=
M
k k
N
kk
ZPZZaZH
11
1
1
1
11)0()(
)(ZX
: Toujours stable
)1()()()(
)(
1
11
+==
nyPnxnyZX
ZY
ZPk
k: Cellule rcursive
du premier ordre
111
ZZ 121 ZZ 11 ZZ NL
)(ZY111
1 ZP 121
1 ZP 11
1 ZPM
L
)1()()()(
)(1 1 == nxZnxny
ZX
ZYZZ kk
79
Cellule rcursive du 1er Ordre
Si alors crot exponentiellement divergence
)(nx
)(ny
Te+b
1>b
{ }LL nbbbbnh 321)(
=
{ )1()()( += nybnxnykP
)(nh
Si alors mmoire infinie1=b 1)( =nh
Si alors dcrot exponentiellement satisfaisant1
80
Interprtation Gomtrique
( ) ( )
( ) ( )
=
=
=
M
k
kM
N
kk
N
PZZ
ZZZ
aZH
1
1
1
1
)0()(
( )
( )
=
=
===
M
kk
fTejTeNfj
N
kk
fTejTeNfj
fTej
Pee
Zee
aeZHfH
1
2)1(2
1
2)1(2
2 )0()()(
=
=
=
==
=M
kk
N
k
k
M
kdp
kfTej
N
kdz
kfTej
fdp
fdz
a
Pe
Ze
afH
k
k
1
1
1
2
1
2
)(
)(
)0()0()(
43421
4434421
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.5
1
1.5|H(f)|
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-2
0
2phase
Phase non-linaire
Rponse en frquence priodique
Re
Im
0=f
1
j
1
j
4Fef =
43Fef =
2Fef =
1Z
1Z
1P
1P
)( fdz
)( fdp
fTeje 2
81
Synthse
La synthse des filtres RII est base comme en analogique sur les fonctions modles : Butterworth , Tchebycheff, Cauer (Elliptique)
Influence des ples
Influence des zros
(Source : Wikipdia)
82
Exemple sous Matlab (TP)
[N, Wn] = ellipord(0.4, 0.6, 0.09, 60); N = 6 Wn = 0.4
[B,A] = ellip(N,0.09,60,Wn);
B = 0.0207 0.0585 0.1060 0.1255 0.1060 0.0585 0.0207
A = 1.0000 -1.9673 2.9074 -2.5353 1.5771 -0.5972 0.1163
0 0.5 10
0.5
1
1.5|H(f)|
0 0.5 1-100
-50
0
50|H(f)| (dB)
0 0.5 10
5
10
15
20Groupe delay
0 0.5 1-200
-100
0
100
200Phase ()
83
Filtres particuliers
Cellule du 1er ordre purement rcursive (filtrage passe bas)
Cellule de second ordre purement rcursive (rsonnance)
Cellule de second ordre gnrale (filtre rjecteur, dphaseur pur)
Oscillateur (gnrateur sinusodal)
84
Cellule du premier ordre purement rcursive
)(nx
)1()()( += nybnxny
Te+b
{ }LL nbbbbnh 321)(
=
11
1)(
=bZ
ZH
fTejbefH 21
1)(
=)2cos(21
1)(
2 fTebbfH
+=
=
)2cos(1
)2sin()(
fTeb
fTebArctgf
2
0
0
2Fe
2Fe
2Fe
2Fe
)( f
)( fH
2+
b11
b+11
0=f
1
j
1
j
2Fef =
fTejeZ 2=0>b 0=f
1
j
1
j
2Fef =
fTejeZ 2=0
85
Filtre passe-bas du 1er Ordre
)(nx
)1()()1()( += nybnxbny
Te+b
11
1)(
=bZ
bZH
0=f
1
j
1
j
2Fef =
fTejeZ 2=
0
)( fH
bb
+
11
b1
2Fe
2Fe
1
5.0
9.0
99.0
( ) ( ) 110 ==== ZHfH
=
=
==n
i
in
i
i bixbinxbbny )()1()()1()(0
0
0
n
n
inb
)(nx
)(ny
1)1(0
=
=i
ibb
npondratio
86
Mise en uvre en virgule fixe
)(nx
)1()()1()( += nybnxbny
Te+bb1
))()1(()1()1()()(
44 344 21321ne
nxnybnyny =
PP nenynyb
==
2)()1()( alors 21
1 si
Dcalage de P bits
Mise en uvre en virgule fixe sur N>P bits
Algorithme LMS
87
Cellule de second ordre purement rcursive
)(nx Te+1P
)(1
1
1
1
)(
12
)(
11
21
ZHZPZP
ZHZH
=
4342143421
Constitue de 2 cellules du premier ordre en cascade :
Te+2P
)(ny
{2
221
121
1
)(1
1)( ++
=ZPPZPP
ZH
bb43421
)2()1()()()(
)(
1
1)( 212
21
1
==++
= nybnybnxnyZXZY
ZbZbZH
Stabilit : et 11
88
Cellule de second ordre coefficients rels
)(nx
2b
22
111
1)( ++
=ZbZb
ZH
)2()1()()( 21 = nybnybnxny
Te Te
1b
Lorsque le filtre est coefficients rels ( et rels), les ples et sont soit rels soit complexes conjugus
1b 2b 1P 2P
( )212222111 bZbZZZbZb ++=++ 221 4bb =
=
+=
2
201
2
11
bP
bP
==
+==
89
Rponse en frquence
)(nx Te+1P
11
11
1)(
=ZP
ZH
Te+2P
)(ny
fTejfTej ebebfH
ZbZbZH 4
22
12
21
1 1
1)(
1
1)( ++
=++
=
12
21
1)(
=ZP
ZH1
j
1
j
fTejeZ 2=1P
1
j
1
j
fTejeZ 2=
2P
02
Fe2
Fe
)( fH
mH
0f+0f
02
Fe2
Fe
)(2 fHr1
1
r+11
Tefj perP2
2=
pf02
Fe2
Fe
)(1 fH
r11
r+11
Tefj perP 21+=
pf+
1
j
1
j
fTejeZ 2=
2P
1P
r
pff 0
90
Rponse en frquence
fTejfTej ebebfH 4
22
11
1)( ++
=
1
j
1
j
fTejeZ 2=
2P
1P
( ) ( ) ( )fTebfTebbbbfH
4cos22cos1211
)(221
22
21
2
+++++=
( ) ( )( ) ( )
+++=
fTebfTeb
fTebfTebArctgf
4cos2cos1
4sin2sin)(
21
21
2Fe
2Fe
)( fH
mH
0f+0f
0f+
0f2
Fe2
Fe
2+
2
)( f
rsonance
91
Rsonance
1
j
1
j
fTejeZ 2=
2P
1P
( ) ( ) ( )fTebfTebbbbfH
4cos22cos1211
)(221
22
21
2
+++++=
2Fe
2Fe
)( fH
mH
0f+0f
( ) ( ) ( ) 04sin422sin2120)( 2212
=++= fTeTebfTeTebbdf
fHd aaa cossin22sin =
( ) ( )[ ] ( ) 02sin2cos41 221 =++ fTefTebbb ( ) 202sin FekfpourfTe ==
( ) ( ) sifTebbb 02cos41 221 =++ Condition de rsonance
Si c'est le cas : ( ) ( )2
210 4
12cos
b
bbTef
+=
( )1
4
1
2
21 +b
bb
1cos22cos 2 = aa
Hb
b
b bm =
1
1
4
42
2
2 12
0
92
Rponse impulsionnelle
)(n Te+1P
)()()( 21 nhnhnh =
Te+2P
)(nh)(1 nh
=
=
====
n
i
iinn
i
ini
i
PPPPPinhihnh0
2120
2121 )()()(
)(21 nhPPnn =
( )
2
)1(2)1(
0
221 1
1)(
j
nj
j
njn
n
i
ijjnnjj
e
e
e
ereernherPeterPsi
====
+
+
=
=
++
jj
njnjn
ee
eernh
)1()1()(
sin
)1sin()(
+= nrnh n)(nh
n0
93
Dcomposition en lments simples
+===
+
sin2
)1sin(2)(
1
21 jr
njrnherPeterPsi
njj
sin
)1sin()(
+= nrnh n
( )( ) ( ) ( )
+
=
=
++=
++=
2
2
1
12
21
2
212
22
21
1
11
1
1)(
PZ
A
PZ
AZ
PZPZZ
bZbZZ
ZbZbZH
( )21
1111
: vient il ; faisonset par sMultiplionPP
APZPZ
==
( )12
2221
: vient il ; faisonset par sMultiplionPP
APZPZ
==
=
= 1
21
1212121
2
1
1
1
111)(
ZPZPPP
Z
PZPZPP
ZZH
[ ]21
12
11
2121
)1()1(1
)(PP
PPnhnh
PPnh
nn
=++
=
++
2112
1
PPAA
==
)(nx + )(ny)1(1 +nh
21
1
PP )1(2 +nh
)(nh
n0
94
1P
2P
Cellule de second ordre gnrale
22
11
22
110
1)(
++++
=ZbZb
ZaZaaZH
)2()1(
)2()1()()(
21
210
++=
nybnyb
nxanxanxany
)(nx
2b
Te Te
1b
TeTe
0a 1a 2a
2Fe
2Fe
)( fH
0
Im
Re
2Z
1Z
2Fe
2Fe 0
)( fN
)( fD
95
Cas particuliers : filtre rjecteur
Re
Im
1
j
1
j*1Z
1Z
1P
*1P
fTeje 2
Fer
B 1*
122
1
*12
21
0
0
PPetreP
ZZeteZTefj
Tefj
====
2
Fe2
Fe+
)( fH
1
00f+0f
Tef02
2
Fe2
Fe+
)( fH
1
00f+0f
96
Cas particuliers : dphaseur pur
++
++=
22
11
2112
1)(
ZbZb
ZZbbZH
2
Fe
Tef02
2
Fe+0
0f+0f
)( f
1)( =fH
97
Mise en uvre des filtres numriques en prcision finie
1) La quantification des coefficients des filtres conduit une modification de leur rponse en frquence.
2) Les erreurs d'arrondi lors de l'opration de filtrage (calculs) conduisent une dgradation du rapport signal bruit.
98
Il faut donc que q soit aussi petit que possible :
grand
A petit structure cascade
Quantification des coefficients
=
=
==1
0
2
1
0
2
)(
)(
)(
)()(
M
k
fkTej
N
k
fkTej
ekb
eka
fD
fNfH
2
)()()()(q
kakakaka +
2)()()()(
qkbkbkbkb +
2)()()(
2)()()(
1
0
2
1
0
2
qMfeekbfe
qNfeekafe
D
M
k
fkTejD
N
N
k
fkTejN
99
Les et sont des polynmes coefficients rels du premier ou du second ordre dont les coefficients sont dynamique limite :
Structure cascade
===
=
=
ii
ii
M
k
k
N
k
k
ZD
ZN
ZD
ZN
Zkb
Zka
ZH)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(1
0
1
0
)(ZNi )(ZDi
( ){ {
21)( 221
Re21
2
100
Pour que la dgradation de la rponse en frquence reste de l'ordre de ses ondulations initiales; il faut que :
Filtre elliptique
22
11
211
01
0
1
0
1
1
)(
)(
)(
=
=
++++==
ZbZb
ZZaa
Zkb
Zka
ZHii
i
i
iN
k
k
N
k
k
( )
+
+
Feff
Febc 12sin
122
12 loglog1
1log
c
c
bb
Aq == 22
2
2
Source : Traitement numrique du signal - Maurice Bellanger Dunod
Remarque : La formule n'est qu'indicative dcider du nombre de bits adopter aprs avoir calcul rellement la rponse en frquence dgrade (Matlab ou autre).
101
Supposons que les donnes soient codes en interne sur bits. Lors du produit par les coefficients du filtre cods sur bits, on obtient des rsultats sur bits qu'il convient de ramener sur bits erreur d'arrondi.
Bruit de calcul
ibcb
ci bb + ib
x x x xs x x x xs
s x x xs
bitsib bitscb
bitsci bb +
x x x xs
bitsib
x x x x
arrondid'erreur
L'erreur d'arrondi au sein d'une cellule lmentaire peut tre vue comme l'ajout d'un bruit (bruit de calcul).
102
Bruit de calcul
Structure D-N
+
1bTe
Te2b
+1a
2a
+
+
)(nx )(ny
)(nes)(ne
Erreur d'arrondi sur N(Z)
Erreur d'arrondi sur D(Z)
Remarque : L'erreur d'arrondi subit la fonction de filtrage.
Et dans une structure cascade, les erreurs d'arrondi et subissent les fonctions de filtrage des cellules suivantes. Ces considrations conduisent des rgles d'implmentation.
)(ne
)(ne )(nes
103
Rgles
1) La dynamique du signal doit rester limite au cours des calculs ce qui conduit constituer les cellules en associant les ples les plus proches du cercle unit (les plus rsonnants) aux zros qui leurs sont le plus proches.
2) Les cellules sont d'autant plus "bruyantes" qu'elles sont raisonnantes. Elles doivent donc tre disposes de la plus raisonnante la moins raisonnante pour tirer profit du filtrage des erreurs d'arrondi.
3) Des facteurs d'chelles doivent tre appliqus entre les cellules pour que les signaux occupent au maximum la dynamique permise.
Appairage des ples et zros
104
Structure cascade
00a
+)(nx
)(0 ne
)(
1
1 fD)(1 fN
10a
+
)(1 ne
+
)(1 neK
)(
1
fDK)( fNK
Ka0+
)(neK
)(ny
101
+= km
k
Ha
dBen bruit signalrapport du n dgradatio:
entred' signaldu bits de Nb:
SB
x(n)bd
Remarque : La formule n'est qu'indicative dcider du nombre de bits adopter en ralisant une simulation d'implmentation en prcision finie (Matlab ou autre).
( ) ( )
++
Feff
FeSBdi bb 12sin
12
12 loglog2
1
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