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Théorie des graphes et calcul matriciel
Début Ceci est la représentation d’un graphe Matrices associées au graphe Définition générale des graphes Représentations matricielles Matrices associées aux graphes Produit de matrices Matrices carrées Matrice transposée Chaînes, cycles, chemins, circuits. La connexité Arbres La compression des données Chaîne eulérienne, cycle eulérien
2
Ceci est la représentation d'un graphe G:
FIGURE 1
S=a,b,c,d,e,f,g,h,i,j,k est l'ensemble de ses sommets. A=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19 est l'ensemble de ses arcs. Le nombre des sommets de G est l'ordre du graphe G; l'ordre de G est 11.
Un arc est représenté par une flèche. Les deux types d'arcs
• Les deux "extrémités" sont distinctes; en considérant le sens de la flèche on les appellera respectivement « source » et « but » de l’arc. • Les deux "extrémités" sont identiques:
Un tel arc s’appelle une boucle (une boucle attachée au sommet x). 5, 6, 10, 12, 18 sont des boucles.
f
x source
y but
z
3
1k est un sommet isolé. L'arc 11 est un isthme. Le sommet c est un point d'articulation.
FIGURE 1 BIS
FIGURE 1 BIS
4
A = (1, 8, 11, 13, 14, 15, 17) est une chaîne. B = (11,16, 17, 15, 13) est un chemin. C = (8, 1, 4, 7, 9) est un cycle. D = (1, 4 ,7) est un autre cycle appelé "cycle élémentaire".E = (14, 16, 17, 15 ,13) est un circuit. F = (16, 17, 15) est un autre circuit "appelé circuit élémentaire". Les ensembles X=a,b,c,d,e,f,g,h et U =1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17 définissent un graphe G1 ayant X pour ensemble de sommets et U pour ensemble d'arcs; G1 est une composante connexe du graphe G. G possède trois composantes connexes G1, G2, G3. Y= i, j est l'ensemble des sommets de G2, V= 18,19 est l'ensemble des arcs de G2. Z= k est l'ensemble des sommets de G3, l'ensemble des arcs de G3 est vide.
Définition intuitive 1
Une chaîne de taille p est une suite d'arcs (u1, u2,…….up–1, up) telle que :
• Si l’arc u k n’est pas une boucle alors u k a une extrémité en commun avec l'arc u k–1
et l'autre extrémité en commun avec l'arc u k+1
•Si l’arc u k est pas une boucle alors elle est attachée à un sommet de l’arc u k−1 et à un
sommet de l’arc u k+1.
L’arc u1 admet une extrémité x qui n'est pas commune à l’arc u2, up a une extrémité y
qui n'est pas commune à l’arc up–1.
Ici : x est la source de la chaîne (u1, u2,…….up–1, up), y est son but. Exemple a est la source de la chaîne (1, 8, 11,19, 14, 15) du graphe G, f est son but.
G1
G2
G3
5
Définition intuitive 2 Le graphe K est une composante connexe d'un graphe G lorsque: 1) L'ensemble S' des sommets de K est un sous ensemble de l'ensemble S des sommets de G. 2) L'ensemble A' des arcs de K est le sous-ensemble de l'ensemble des arcs de G qui admettent leurs extrémités dans S'. 3) En choisissant un sommet x de S' pour que y soit un sommet de S', il faut et il suffit qu'il existe une chaîne de K de source x est d'extrémité y.
Début
6
Les matrices associées au graphe G
1) La matrice des arcs
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 a 1 −1 1 1 1 b 2 −1 −1 −1 Ω Ω −1 c 3 1 1 1 −1 d 4 −1 1 Ω 1 e 5 −1 Ω 1 −1 −1 1 f 6 1 −1 g 7 −1 1 h 8 −1 1 i 9 −1 j 10 Ω 1 k 11
Mode d'emploi
Ici m est le nombre des arcs du graphe G (ici : m=19), n est l’ordre du graphe G (ici : n=11). Les sommets sont numérotés de 1 à n (ici : de 1à 11). La matrice M est composée de m colonnes et n lignes.
Pour i=1,2,….. , n et j=1,2,…………………, m : a i j est le nombre situé à l’intersection de la ligne i et la colonne j.
1a i j = 1 si l'arc j admet le sommet numéro i pour source.
1a i j = –1 si l'arc j admet le sommet numéro i pour but.
1a i j = Ω si l'arc j est une boucle attachée au sommet numéro i. En général 0 n'est pas inscrit.
7
2) La matrice des degrés se complète à partir de la matrice des graphes : 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 d+ d− d a 1 −1 1 1 1 3 1 4 b 2 −1 −1 −1 Ω Ω −1 2 6 8 c 3 1 1 1 −1 3 1 4 d 4 −1 1 Ω 1 3 2 5 e 5 −1 Ω 1 −1 −1 1 3 4 7 f 6 1 −1 1 1 2 g 7 −1 1 1 1 2 h 8 −1 1 1 1 2 i 9 −1 0 1 1 j 10 Ω 1 2 1 3 k 11 0 0 0
Mode d'emploi
La colonne d+ .Le nombre d
+ (i) du niveau i de la colonne d
+ est le nombre de 1
rencontrés dans la ligne i de la matrice augmenté du nombre de Ω.
La colonne d– .Le nombre d
– (i) du niveau i de la colonne d
– est le nombre de –1
rencontrés dans la ligne i de la matrice augmenté du nombre de Ω. La colonne d .Le nombre d (i) du niveau i da la colonne d est la somme des nombres du
niveaux i des deux colonnes d+ et d
–: d (i)= d
+ (i) + d
– (i).
Vocabulaire
1d+ (i) s'appelle le degré extérieur du sommé numéro i.
1d– (i) s'appelle le degré intérieur du sommet numéro i.
1d (i)= d+ (i) + d
– (i) s'appelle le degré du sommet numéro i.
1d–(x)=2
1d+(x)=3
1d (x) =5
1x
8
i 1d+ (i) 1d− (i) 1d (i) a 1 3 1 4 b 2 2 6 8 c 3 3 1 4 d 4 3 2 5 e 5 3 4 7 f 6 1 1 2 g 7 1 1 2 h 8 1 1 2 i 9 0 1 1 j 10 2 1 3 k 11 0 0 0
On peut aussi désigner directement le nom du sommet pour donner ses degrés: x d+(x) d−(x) d(x) a 3 1 4 b 2 6 8 c 3 1 4 d 3 2 5 e 3 4 7 f 1 1 2 g 1 1 2 h 1 1 2 i 0 1 1 j 2 1 3 k 0 0 0 TOTAL 19 19 38
Ici: n=11, m=19
1d+ (i) est le nombre d'arcs qui admettent le
sommet numéro i pour source.
1d– (i) est le nombre d'arcs qui admettent le
sommet numéro i pour but. 1d (i) est le nombre d'arcs qui admettent le sommet numéro i pour source ou pour but.
1d+ (x) est le nombre d'arcs qui admettent le
sommet x pour source.
1d– (x) est le nombre d'arcs qui admettent le
sommet x pour but. 1d(x) est le nombre d'arcs qui admettent le sommet x pour source ou pour but.
m2n
1i)i(d
mn
1i)i(d
n
1i)i(d
=∑=
=∑=
−=∑=
+ Propriété 1 des graphes (Voir plus loin)
∑n
1)i(d
Est toujours un nombre pair (Le double du nombre d'arcs)
9
2) 3) La matrice des sommets M(S) 3) a b c d e f g h i j k a 3 b 2 c 1 1 1 d 1 1 1 e 1 1 1 f 1 g 1 h 1 i j 1 1 k Notations
Ici m+(x, y) désigne le nombre d'arcs ayant x pour source et y pour but
(De la même manière m–(x, y) désigne le nombre d'arcs ayant x pour but et y pour
source, on peut n'utiliser que la notation m+
puisque m– (x, y)= m
+ (y, x).)
Ici m(x, y)= m+ (x, y) + m
– (x, y)
Ici m(x, y)= m+ (x, y) + m
+ (y, x)
Attention
Si x = y : m+ (x, y) = m
– (x, y) et m(x, x) est égal à deux fois le nombre de boucles
attachées au sommet x.
Mode d'emploi
La matrice M(S) est composée des 11 lignes L a,…, L k et des 11 colonnes Ca,…, C k correspondant aux sommets a, b,….k rangés ici par ordre alphabétique.
A l'intersection de la ligne L x et de la colonne L y est inscrit m+(x, y) (on n'écrit pas en
général 0).
Nous voyons apparaître les degrés extérieurs d+ en effectuant le total des lignes et d
– en
effectuant le total des colonnes: a b c d e f g h i j k d
+
a 3 3 b 2 2 c 1 1 1 3 d 1 1 1 3 e 1 1 1 3 f 1 1 g 1 1 h 1 1 i j 1 1 2 k
d– 1 6 1 2 4 1 1 1 1 1 1199
T O T A L
T O T A L
10
Construction rapide de M(S). Exemple. a b c d e f g h i j k a 3 b 2 c 1 1 1 d 1 1 1 e 1 1 1 f 1 g 1 h 1 i j 1 1 k a b c d e f g h i j k a 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 a −1 1 1 1 b −1 −1 −1 Ω Ω −1 –1 –1 –1
1×(–1) + 1×(–1) + 1×(–1)= –3: il existe 3 arcs de source a et de but b. a b c d e f g h i j k c 1 1 1 c 1 1 1 −1 d −1 1 Ω 1
1×(–1)= –1: il existe 1 arc de source c et de but d. a b c d e f g h i j k b 2 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 b −1 −1 −1 Ω Ω −1
Il existe 2 boucles attachées au sommet b
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Règle pour construire la matrice des sommets à partir de la matrice des arcs Pour connaître le nombre d'arcs de source x et de but y si x ≠ y : 1) on sélectionne la ligne du sommet x de la matrice des arcs 2) on sélectionne la ligne du sommet y de la matrice des arcs 3) on additionne les produits des nombres valant +1 dans les cases de la ligne du sommet x par le nombre de la case de la ligne du sommet y qui se trouve dans la même colonne. La valeur absolue du nombre obtenu est le résultat. Pour connaître le nombre de boucles attachées au sommet x on compte le nombre de symboles Ω de la ligne du sommet x.
Exemple fictif u 1 1 –1 1 –1 1 1 Ω v –1 –1 w –1 Ω Ω p 1 –1 1 –1 Il y a deux arcs de source u et de but p. Il y a un arc de source p et de but v. Il y a un arc de source p et de but u. Il y a un arc de source u et de but v. Il y a un arc de source u et de but w. Il y a une boucle attachée à u. Il y a deux boucles attachées à w.
Début
12
Définition générale des graphes
Un graphe est un triplet (S, A,γ) où S et A sont des ensembles finis et γ une application
γ : A → S×S Si G désigne le graphe ainsi défini: A est l'ensemble des arcs de G, S est l'ensemble des sommets de G. Le nombre des éléments de A est l'ordre du graphe. L'ordre d'un graphe est le nombre de ses sommets. Notations γ=α×β, ce qui s'exprime par: Si f est un arc de G alors γ (f) est le couple (α(f), β(f)) de sommets de G.
γγγγ(f)= (αααα(f), ββββ(f))
(((( ))))(f) ),f()f( f
SS A:
ββββαααα====γγγγ→→→→××××→→→→γγγγ
Pour un arc f, αααα(f) s'appelle la source de f, ββββ(f) s'appelle le but de f. La représentation géométrique usuelle d'un arc est une flèche "allant de la source de f vers le but de f". On définit l'appication γ*: 0, 1 → α,β par: γ*(0)=α, γ*(1)=β.
α(f)
β(f)
f
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Boucle Si g est un arc tel que α(g)= β(g), g s'appelle une boucle
Début
1g
α(g) = β(g) = z
14
Représentations matricielles
Une matrice de type (n×m) est un tableau de nombres à n lignes et m colonnes
Les lignes de la matrice M sont désignées par Li (M) pour i =1,…, n ;
les colonnes de la matrice M sont désignées par C j (M) pour j=1,…, m.
Notation des éléments d’une matrice
Les éléments de la ligne Li (M) de la matrice A se notent : ).m,ia,...,j,ia,...,1,ia(
).m,ia,...,j,ia,...,1,ia()M(iL =
Le premier indice est l’indice de ligne, le second indice est l’indice de colonne.
D’une manière générale, une matrice à n lignes et m colonnes peut être désignée par
C1 C j C m
Début
a 11 …… a 1 j ……. a1 m . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
a i 1 ……. ai j ……. ai m . .
.
.
.
.
.
.
.
.
a n 1 ……. an j ……. an m
.
j,na
.
.
.j,ia
.
.
.j,1a
)M(jC
=
.m,...,1jn,...,1i)j,ia( ====
====
L1
L i
Ln
= M
15
Début
Matrices associées aux graphes G=(S, A,γ) est un graphe. Les sommets sont numérotés (1,2,…...n). Les arcs de A sont numérotés (1,2,……….m). •La matrice M (A) des arcs est la matrice de type (n×m) telle que:
Avec:
1a i j = +1 si α(j)=i et β(j) ≠i
1a i j = –1 si β(j))=i et α(j)) ≠i
1a i j = Ω si α(j)=i et β(j)=i (Ω représente un nombre).
•La matrice M(S) des sommets est la matrice carrée de type (n×n) telle que:
Avec:
1a i j =m+
(i, j)
1m+
(i, j) désigne le nombre d’arcs de source i et de but j.
1m−−−−
(i, j) désigne le nombre d’arcs de but i et de source j.
1m−−−−
(i, j)= m+
(j, i). Soit p un entier naturel (p=0,1, 2,………). Un graphe G est un p- graphe lorsque pour tout couple de sommets (i, j) de G : m+ (i, j) ≤p. Remarques Un 0-graphe ne contient que des sommets isolés. Un 1-graphe G admet au plus un arc se source i et de but j pour tout couple (i, j) de sommets de G ; la matrice de ses sommets est donc binaire.
Début
m,...,1jn,...,1i)j,ia()A(M =
==
n,...,1jn,...,1i)j,ia()S(M =
==
16
Produit de matrices • Produit d’une ligne par une colonne
).na,...,ia,...,1a(L ====
Le produit d'une ligne par une colonne est un nombre
.
nb
.
.
.ib
.
.
.1b
C
====
∑∑∑∑====
××××====××××n
1iibiaCL
Le nombre des éléments de la ligne doit être égal au nombre des éléments de la colonne.
17
Illustration
2)1n(n
1
.
.
.
1
1
1
).n,.....,2,1(10
0
0
1
1
1
1
).6,5,4,3,2,1(czbyax
z
y
x
).c,b,a(++++====
====
++++++++====
→La somme des n premiers entiers vaut :
2)1n(n ++++
••Produit d’une matrice par une colonne. Soit A une matrice constituée par les n lignes L1, L2, …, Li,….Ln Soit C une colonne; par définition le produit A. C est la colonne :
Pour que la matrice A et la colonne C soient multipliables il faut et il suffit que le nombre des éléments des lignes de A soit égal au nombre des éléments de la colonne. Le produit d'une matrice par une par une colonne est une colonne. Illustration
=
=
++
=
8
6
0
1
0
1
.8642
7531
23
17
11
5
2
1.
87
65
43
21
dycx
byax
y
x.
dc
ba
.
C.nL
.
.
C.iL
.
.
.
C.1L
C.A
====
18
•••Produit d’une matrice par une matrice. Soit B une nouvelle matrice constituée par les colonnes
Par définition, le produit A .B est la matrice constituée par les colonnes
Pour que les matrices Bet A soient multipliables il faut et il suffit que le nombre des éléments des lignes de A soit égal au nombre des éléments des colonnes de B.
→Pour une matrice quelconque: le nombre des éléments des lignes est égal au nombre de colonnes, le
nombre des éléments des colonnes est égale au nombre lignes donc :
Le produit A. B existe si et seulement si le nombres de colonnes de la matrice A est égal au nombre de lignes de la matrice B. Le nombre de lignes de la matrice A. B est égal au nombre de lignes de la matrice A. Le nombre de colonnes de la matrice A. B est égal au nombre de colonnes de la matrice B.
Notation pratique
m,nM 1désigne une matrice à n lignes et m colonnes (de type (n×m)).
p,mB,m,nA 1sont multipliables et :
p,nCp,mB.m,nA ====
Expression des éléments d’un produit de deux matrices
Soient A la matrice m,...,1kn,...,1i)k,ia( =
= et B la matrice p,...,1jm,...1k)j,kb( =
=
Soit : C=A .B.
Avec p,...,1jn,...,1i)j,ic(C =
== . On calcule les coefficients c i, j de la façon suivante :
∑=
==
mk
1kj,kb.k,iaj,ic
1c i, j =a i, 1 b1,j+a i,2 b 2,j+………….+a i, m b m, j
.pC,...,jC,...,1C
.pC.A,...,jC.A,...,1C.A
19
Illustration
32C33B.32A
:765
543
110
101
011
432
321
22C23B.32A
:55
33
00
11
11
432
321
32C32B.22A
:''dy''cx'dy'cxdycx
''by''ax'by'axbyax
''x'yy
''x'xx.
dc
ba
22C22B.22A
:'dy'cxdycx
'by'axbyax
'yy
'xx.
dc
ba
×=××
=
×=××
=
×=××
++++++
=
×=××
++++
=
Début
20
Matrices carrées Une matrice du type (n×n) est dite matrice carrée d’ordre n. Le produit de deux matrices carrées d’ordre n existe toujours et c’est encore une matrice carrée d’ordre n. Opérations sur l’ensemble des matrices carrées d’ordre n. Μn est l’espace des matrices carrées d’ordre n. Μn est muni d’une addition interne, d’une multiplication externe par un réel et d’une multiplication interne. Addition interne .
n,...,jn,...,i)j,ibj,ia(n,...,j
n,...,i)j,ib(n,...,jn,...,i)j,ia( 1
111
11
========++++====
============ ====++++
Multiplication externe.
Si k∈R : .n,...,jn,...,i)j,ika(n,...,j
n,...,i)j,ia.(k 11
11
================
====
Multiplication interne.
∑∑∑∑====
====
====================
============ ××××
nk
k
n,...,jn,...,i)j,icj,kbk,ia(n,...,j
n,...,i)j,ib(n,...,jn,...,i)j,ia(
1
11
11
11
Matrices particulières La matrice nulle de Μn est la matrice Ο telle que tous ses coefficients soient nuls. La matrice identité de Μn est la matrice Ι définie par :
n,...1jn,...,1i)j,i(I ====
====δδδδ====
Avec la définition suivante :
Remarque
On devrait noter In cette matrice. On vérifie facilement : O+M=M+O=M, M. I=M, I. M =M. L’addition est commutative : A+B=B+A ; la multiplication n’est pas commutative : A. B≠ B. A en général. Si A. B=B. A, on dit que A et B commutent. Par exemple I commute toujours avec B. Inverse d’une matrice carrée Si A est une matrice carrée d’ordre n, on se pose la question : Existe-t-il une matrice carrée B d’ordre n telle que A. B=I ? Si une telle matrice existe, elle est unique et elle vérifie B. A =I, on la note A-1, on l’appelle matrice inverse de A. Exemple
====
====−−−−
====100
010
001
001
100
010
.
010
001
100
bien a on
001
100
0101A
010
001
100
A
La recherche de la matrice inverse fait appel au calcul des déterminant (voir plus loin).
========δδδδ
≠≠≠≠====δδδδ
.n,...,1ipour1i,i
jisi0j,i
21
Illustration Voici la matrice des sommets du graphe de la figure 1 a b c d e f g h i j k a 3 b 2 c 1 1 1 d 1 1 1 e 1 1 1 f 1 g 1 h 1 i j 1 1 k
0 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 2 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 2 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
×
=
= M, calcul de M×M (Le nombre à l’intersection de la ligne du sommet x et de la colonne du sommet y est le nombre de chemins de source x et de but y composés de 2 arcs).
22
Matrices binaires des 1-graphes d’ordre 2 La matrice d’un 1-graphe est une matrice binaire (elle ne comporte que des 0 et des 1). Par exemple, la matrice d’un 1-graphe d’ordre 1 est représentée par une matrice à une seule ligne et une seule colonne ne contenant que 0 ou1 (un tel graphe ne présente pas d’intérêt). Voici les matrices possibles des 1-graphes d’ordre 2 :
11
11
11
10
10
11
11
01
01
11
10
10
11
00
00
11
01
01
01
10
10
01
01
00
00
10
10
00
00
01
00
00
Par ordre lexicographique
0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1
•
: (o) • : (1)
dc
ba
Se lit (a b c d)
23
Matrice transposée Si A est une matrice, A∗ est la matrice obtenue en échangeant les lignes et les colonnes, cette matrice s’appelle la matrice transposée de la matrice A.
Exemple
=
∗
654
321
63
52
41
Application aux graphes On note souvent M
+ la matrice des sommets d'un graphe.
La matrice dont les termes sont m– (i, j) est la transposée de la matrice M +, on la note
M–.
Les termes de la matrice M=M ++ M
–sont m (i, j).
M=M ++M
+∗
Début
24
Chaînes, cycles, chemins, circuits
G=(S, A,γ) est un graphe. Les sommets sont numérotés (1,2,… n). Les arcs de A sont numérotés (1,2,……….m). γ*: 0, 1 → α, β par: γ*(0)=α, γ*(1)=β. Pour un arc f, α(f) est sa source, β(f) est son but. ⊕ 1est l'addition modulo 2 dans 0,1. Une chaîne de longueur p est définie par un couple d'applications (σ,Γ) telles que σ :1,2,…… p →0, 1 Γ:1,2,…… p →A Ce couple vérifie:
Source de la chaîne
γ*(σ(1) ⊕ 1) (Γ(1)) s'appelle la source de la chaîne définie par (σ,Γ). But de la chaîne γ*(σ(p)) (Γ(p)) s'appelle le but de la chaîne définie par (σ,Γ). Lorsque Γ:1,2,……p →A est une injection la chaîne est dite simple: Si k≠ l alors Γ(k) ≠Γ(l), dans ce cas la longueur de la chaîne ne dépasse pas le nombre d'arcs m. Cycle Un cycle est une chaîne simple telle que la source soit égale au but. Chemin (de longueur p) Lorsque σ(k)=1 pour k=1,2,….p la chaîne définie par (σ,Γ) est un chemin. Circuit (de longueur p) C’est un cycle tel que σ(k)=1 pour k=1,2,….p. s’il est défini par (σ,Γ)
0⊕ 0=0 0⊕ 1=1 1⊕ 0=1 1⊕ 1=0
γ*(σ(k)) (Γ(k))=γ*(σ(k+1) ⊕ 1) (Γ(k+1)) Pour k=1,2,….p–1.
25 Exemple 1 Chaîne simple de longueur 3
k 1 2 3 σ(k) 1 0 1 Γ(k) 100 151 146 Γ :1, 2, 3 → A = 1, 2, …, 100,…...146,…, 151,….. est une injection : la chaîne est simple. γ*(σ(1)) (Γ(1))=γ*(1) (100)= β(100)=v. γ*(σ(1+1) ⊕ 1) (Γ(1+1))=γ*(0 ⊕ 1) (151)= γ*(1) (151)= β(151)=v. γ*(σ(2)) (Γ(2))=γ*(0) (151)= α(151)=w. γ*(σ(2+1) ⊕ 1) (Γ(2+1))=γ*(1 ⊕ 1) (146)= γ*(0) (146)= α(151)=w. γ*(σ(1) ⊕1) (Γ(1))=γ*(1⊕1) (100)= γ*(0)= α(100)=u (source de la chaîne). γ*(σ(3)) (Γ(3))=γ*(1) (146)= β (146)=z (but de la chaîne). Exemple 2 Chaîne non simple de longueur 3
k 1 2 3 σ(k) 1 0 1 Γ(k) 100 151 151 Γ :1, 2, 3 → A= 1, 2, …, 100,…...146,…, 151,….. n’est pas une injection : la chaîne n’est pas simple. γ*(σ(1)) (Γ(1))=γ*(1) (100)= β(100)=v. γ*(σ(1+1) ⊕ 1) (Γ(1+1))=γ*(0 ⊕ 1) (151)= γ*(1) (151)= β(151)=v. γ*(σ(2)) (Γ(2))=γ*(0) (151)= α(151)=w. γ*(σ(2+1) ⊕ 1) (Γ(2+1))=γ*(1 ⊕ 1) (151)= γ*(0) (151)= α(151)=w. γ*(σ(1) ⊕1) (Γ(1))=γ*(1⊕1) (100)= γ*(0)= α(100)=u (source de la chaîne). γ*(σ(3)) (Γ(3))=γ*(1) (151)= β (151)=v (but de la chaîne).
v
z u w
100 151 146
z u v
w
100 151 146
26
Exemple 3 Chaîne non simple de longueur 3
k 1 2 3 σ(k) 1 0 1 Γ(k) 100 100 100 Γ :1, 2, 3 → A= 1, 2, …, 100,…...146,…, 151,….. n’est pas une injection : la chaîne n’est pas simple. γ*(σ(1)) (Γ(1))=γ*(1) (100)= β(100)=v. γ*(σ(1+1) ⊕ 1) (Γ(1+1))=γ*(0 ⊕ 1) (100)= γ*(1) (100)= β(100)=v. γ*(σ(2)) (Γ(2))=γ*(0) (100)= α(100)=u. γ*(σ(2+1) ⊕ 1) (Γ(2+1))=γ*(1 ⊕ 1) (100)= γ*(0) (100)= α(100)=u. γ*(σ(1) ⊕1) (Γ(1))=γ*(1⊕1) (100)= γ*(0)= α(100)=u (source de la chaîne). γ*(σ(3)) (Γ(3))=γ*(1) (100)= β (100)=v (but de la chaîne).
v
z u w
100 151 146
27
Explications à l'aide du graphe no1
Il a été dit: A= (1, 8, 11, 13, 14, 15,17) est une chaîne de longueur 7. Détermination de (σ,Γ) k σ(k) Γ(k) γ*(σ(k)) (Γ(k)) γ*(σ(k+1) ⊕ 1) (Γ(k+1)) 1 0 1 γ*(0)(1)=c γ*(1⊕1) (8)= γ*(0)(8)=c 2 1 8 γ*(1)(8)=d γ*(1⊕1) (11)=
γ*(0)(11)=d 3 1 11 γ*(1)(11)=e γ*(1⊕1) (13)=
γ*(0)(13)=e 4 1 13 γ*(1)(13)=h γ*(1⊕1) (14)=
γ*(0)(14)=h 5 1 14 γ*(1)(14)=e γ*(0⊕1) (15)=
γ*(1)(15)=e 6 0 15 γ*(0)(15)=f γ*(0⊕1) (17)=
γ*(1)(17)=f 7 0 17 γ*(0)(17)=g γ*(σ(1) ⊕1) (Γ(1))= γ*(1) (1)= a (source de la chaîne) γ*(σ(7)) (Γ(7))= γ*(0)(17)=g (but de la chaîne)
28
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
–1 0 0 0 0 0 0 +1 0 0 +1 0 +1 +1 –1 0 –1 0 0
a 1 −1 1 1 1
b −1 −1 −1 Ω Ω −1
c 2 1 1 1 −1
d 3 −1 1 Ω 1
e 4; 6 −1 Ω 1 −1 −1 1
f 7 1 −1
g 8 −1 1
h 5 −1 1
i −1
j Ω 1
k
A= (1, 8, 11, 13, 14, 15,17) k 1 2 3 4 5 6 7
σ(k) 0 1 1 1 1 0 0
Γ(k) 1 8 11 13 14 15 17
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
A –1 0 0 0 0 0 0 +1 0 0 +1 0 +1 +1 –1 0 –1 0 0
a 1→ –1 1 1 1 1
b −1 −1 −1 Ω Ω −1
c 2 1 1 1 −1 2
d 3 −1 1 Ω 1 2
e 4; 6 −1 Ω 1 −1 −1 1 4
f 7 1 −1 2
g 8 −1 1 ← 1
h 5 −1 1 2
i −1
j Ω 1
k
Une chaîne simple est souvent représentée par un vecteur de MR
(m est le nombre des arcs):
Chaîne A
Chaîne A : simple Longueur:7 Source: a but: g
←←←←
←←←←
291 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
–1 0 0 0 0 0 0 +1 0 0 +1 0 +1 +1 –1 0 –1 0 0 A
A=(–1; 0; 0; 0; 0; 0; 0; +1; 0; 0; +1; 0; +1; +1; –1; 0; –1; 0; 0)
k 1 2 3 4 5 6 7
σ(k) 0 1 1 1 1 0 0
Γ(k) 1 8 11 13 14 15 17
1 8 11 13 14 15 17
A –1 +1 +1 +1 +1 –1 –1
a 1→ –1 1
b
c 2 1 1 2
d 3 −1 1 2
e 4; 6 −1 1 −1 −1 4
f 7 1 −1 2
g 8 1 1
h 5 −1 1 2
i
j
k
1 8 11 13 14 15 17 d+ d-– d
a –1 0 1 1
b 0 0 0
c 1 1 1 1 2
d −1 1 1 1 2
e −1 1 −1 −1 2 2 4
f 1 −1 1 1 2
g 1 1 0 1
h −1 1 1 1 2
i 0 0 0
j 0 0 0
k 0 0 0
←←←←
←←←←
Chaîne A : simple Longueur:7 Source: a but: g
k désigne ici un sommet et non pas un indice
30
numéro du pas sommet visité nombre de visites type du sommet
a 1 a 1 entrée b
c 2 c 1 intermédiaire d 3 d 1 intermédiaire e 4 ; 6 e 2 intermédiaire f 7 f 1 intermédiaire g 8 g 1 sortie h 5 h 1 intermédiaire i
j
k
31
E= (14, 16, 17,15 ,13) est un circuit. F= (16, 17,15) est un autre circuit "appelé circuit élémentaire". B= (11, 16, 17, 15,13) est un chemin. k 1 5 4 2 3 σ(k) 1 1 1 1 1 Γ(k) 11 13 15 16 17 11 13 15 16 17 d+ d– d numéro
du pas sommet visité
nombre de visites
type du sommet
a 0 0 0 b 0 0 0
c 0 0 0 d 1 1 1 1 d 1 entrée e −1 1 −1 1 2 2 4 2; 5 e 2 intermédiaire
f 1 −1 1 1 2 4 f 1 intermédiaire
g −1 1 1 1 2 3 g 1 intermédiaire
h −1 1 1 6 h 1 sortie
i 0 0 0
j 0 0 0
k 0 0 0
C= (8, 1, 4, 7,9) est un cycle
k 2 3 4 1 5
σ(k) 1 1 0 0 0
Γ(k)
1 4 7 8 9 d+ d– d pas sommet visité
nombre de visites
type du sommet
a –1 1 1 1 2 3 a 1 intermédiaire
b −1 −1 1 1 2 4 b 1 intermédiaire
c 1 1 1 −1 3 1 4 2; 5 c 2 intermédiaire
d −1 1 1 1 2 1; 6 d 2 entrée/sortie e e
f f
g g
h h
i i
j j
k k
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19
+1 0 0 +1 0 0 –1 –1 –1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
C= (+1; 0; 0; +1; 0; 0; –1; –1; –1; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0)
32
D= 1, 4 ,7 est un autre cycle appelé "cycle élémentaire".
k 2 3 4 1 5
σ(k) 1 1 0 0 0
Γ(k) 1 4 7 8 9
1 4 7 8 9 d+ d– d pas sommet visité
nombre de visites
type du sommet
a –1 1 1 1 2 3 a 1 intermédiaire
b −1 −1 1 1 2 4 b 1 intermédiaire
c 1 1 1 −1 3 1 4 2; 5 c 2 intermédiaire
d −1 1 1 1 2 1; 6 d entrée/sortie e e
f f
g g
h h
i i
j j
k k
D= 1, 4 ,7 est un autre cycle appelé "cycle élémentaire".
k 1 2 3
σ(k) 1 1 0
Γ(k)
1 4 7 d+ d– d pas sommet visité
nombre de visites
type du sommet
a –1 1 1 1 2 3 a 1 intermédiaire
b −1 −1 1 1 2 4 b 1 intermédiaire
c 1 1 1 1 2 2; 5 c 2 entrée/sortie d e e
f f
g g
h h
i i
j j
k k
33
C o c y c l e s
Un sous ensemble X de l'ensemble S de sommets du graphe G=(S,A,γ) définit le sous ensemble ω(X) de l'ensemble A des arcs de G tel que ω(X) soit la réunion des deux
ensembles disjoints ω+(X) et ω–
(X) définis de la manière suivante:
Un arc f de G est un élément de ω+(X) si et seulement si α(f) ∈ X et β(f) ∉ X.
Un arc g de G est un élément de ω–(X) si et seulement si α(g)∉ X et β(g) ∈X.
Arc de ω–(X) :
Arc de ω–(X) :
X
L’ensemble des arcs ω(X) s’appelle un cocycle.
34
Détection d'un cycle associé à un ensemble de sommets
Exemple X=a; c; d ;e 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 d+ d− d a −1 1 1 1 3 1 4 b −1 −1 −1 Ω Ω −1 2 6 8 c 1 1 1 −1 3 1 4 d −1 1 Ω 1 3 2 5 e −1 Ω 1 −1 −1 1 3 4 7 f 1 −1 1 1 2 g −1 1 1 1 2 h −1 1 1 1 2 i −1 0 1 1 j Ω 1 2 1 3 k 0 0 0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 d+ d− d a –1 1 1 1 3 1 4 b c 1 1 1 –1 3 1 4 d –1 1 1 3 2 5 e –1 1 –1 –1 1 3 4 7 f g h i j k α⊕β=γ 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 α∨β =δ 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 γ⊕δ=ξ 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 ξ⊕δ=ω 0 +1 +1 +1 0 0 +1 0 0 0 0 0 +1 –1 –1 1 0 0 0
α et β sont les valeurs absolues des nombres rencontrés
α⊕β Somme modulo 2, α∨β =δ somme logique Sous graphe= somme modulo 2+ somme logique Cocycle= Sous graphe+ somme logique
35
Travail à faire no1 Voici un graphe:
1) Construire la matrice des arcs de ce graphe (R est un arc particulier appelé "arc retour": voir la suite du cours concernant les réseaux de transports) 2) A l'aide de la matrice des arcs construire la matrice M des sommets 3) A l'aide de la matrice des graphes trouver le cocycle associé à l'ensemble des sommets X= a, b, c. Travail à faire no2
Soit
====
00110
10000
01001
00100
10010
M la matrice du graphe G.
•Construire le graphe G. •Construire le tableau des prédécesseurs et le tableau des successeurs. •Calculer M2 puis M4=M2.M2 •Interpréter les résultats donnés par les matrices calculées en chemins sur le graphe.
Début
36
La connexité
Définition Un graphe est connexe lorsque pour tout choix des sommets x et y de ce graphe tels que x≠y il existe une chaîne de ce graphe de source x et de but y. Composante connexe Une composante connexe du graphe G=(S, A,γ) est définie par une partie C de S qui possède la propriété suivante: Si x est un sommet de C alors pour que qu'un sommet de G distinct de x appartienne à C il faut et il suffit que l'on puisse trouver une chaîne dans G de source x et de but y. Les parties de S qui possèdent cette propriété forment une partition de l'ensemble S des sommets de G. Soit C un ensemble de sommets de G qui possède la propriété énoncée, le graphe dont les sommets sont les éléments de C et dont les arcs sont les arcs de G qui ont leurs sources et leur but dans C s'appelle une composante connexes de G. Exemple Le graphe G possède les trois composantes connexes G1, G2, G3.
Début
G1
G2
G3
37
Arbres Définition Un arbre est un graphe connexe sans cycles.
Figure 5
Figure 6
38
Racine Définition Une racine d'un graphe G est un sommet r tel que pour tout autre sommet x de G l'on puisse trouver un chemin de source r et de but x dans le graphe G.
Une racine peut se trouver dans n'importe quel graphe: a est une racine du graphe de la Figure 7. Précision Un sommet x est identifié à un chemin de longueur 0 de source x et de but x. Vocabulaire Un graphe G est quasi - fortement connexe si pour tout couple (x, y) de sommets distincts de G il existe un sommet Z(x, y) de G tel que l'on puisse trouver un chemin de source Z(x, y) et de but x et un chemin de source Z(x, y) et de but y. Le graphe de la figure 7 est quasi - fortement connexe. Arborescence Définition Une arborescence est un arbre muni d'une racine.
Figure 8
Propriété Une condition nécessaire et suffisante pour qu'un graphe soit fortement connexe est qu'il admette une racine. Définition Un graphe est fortement connexe si pour tout couple de sommets (x, y) il existe un chemin de source x et de but y et un chemin "retour de source y est de but x.
Figure 7
39
Remarques
• Un graphe fortement connexe est quasi- fortement connexe • Beaucoup de graphes quasi- fortement connexes ne le sont pas fortement, en particulier les arborescences (un arbre est sans cycles). Les propriétés des arbres (démonstration: voir plus loin) I Caractérisation Soit H un graphe d'ordre n ≥ 2 (au moins deux sommets). L'une quelconque des propriétés suivante permet d'affirmer que H est un arbre. 1) H est connexe sans cycle 2) H est sans cycle et admet n –1 arcs 3) H est connexe et admet n –1 arcs 4) H est sans cycle et en ajoutant un arc on crée un cycle (unique) 5) H est connexe et en supprimant un arc il n'est plus connexe : tout arc est un isthme. 6) Si x et y sont des sommets distincts de H, il existe une chaîne unique de source x et de
but y. II Sommet pendant Un sommet pendant d'un graphe est un sommet de degré 1. Si H est un arbre d'ordre n ≥ 2, cet arbre admet au moins deux sommets pendants (on dit aussi feuilles). III Arbre maximal d'un graphe Pour tout graphe G connexe on peut trouver un arbre H qui possède la propriété suivante: L'ensemble des sommets de H est identique à l'ensemble des sommets de G et les arcs de H sont des arcs de G; un tel arbre s'appelle "arbre maximal de G.
Un arbre maximal n'est pas unique en général.
40
La compression des données
(Présentation intuitive) Voici une arborescence binaire.
La racine R est de degré extérieur 2, de degré intérieur 0. Tout sommet qui n'est pas la racine ni une feuille est de degré intérieur 1 et de degré extérieur 2. Cet arbre sert à coder par exemple les E, I, N, T, W, Z de la manière suivante:
E: 0, I: 10, N: 111, T:1101, W: 11000, Z: 11001. Voici un mot écrit avec ce code:
11010111011001 Pour le décoder on se place à la racine R et on visite les sommets désignés en lisant le code de gauche à droite, quand on arrive à une feuille on la remplace par le caractère qu'elle code et on se replace à la racine pour trouver le caractère suivant de la même manière. R1101 R0 R111 R0 R11001 T E N E Z
E I W
N T Z
41
Exemple (fictif) Voici la fréquence des caractères d’un texte à numériser :
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
e i n t w z
Série1
Fréquence 17,66 7,38 7,24 7,08 0,02 0,13 Caractère e i n t w z
42
Tri par ordre croissant
0,02 + 0,13=0,15 Regroupement
Tri par ordre croissant
0,15+7,08=7,23 Regroupement
Tri par ordre croissant
7,23+7,24=14,47 Regroupement
Fréquence 0,02 0,13 7,08 7,24 7,38 17,66 Caractère w z t n i e
0,15 7,08 7,24 7,38 17,66 t n i e w z
0,15 7,08 7,24 7,38 17,66 t n i e w z
7,23 7,24 7,38 17,66 n i e 0 ,15 t w z
7,23 7,24 7,38 17,66 n i e 0 ,15 t w z
14,47 7,38 17,66 i e 7,23 n 0 ,15 t w z
43
Tri par ordre croissant
7,38+14,47=21,85
Tri par ordre croissant
7,38 14,47 17,66 i e 7,23 n 0 ,15 t w z
21,85 17,66 e i 14,47 7,23 n 0 ,15 t w z
17,66 21,85 e i 14,47 7,23 n 0 ,15 t w z
44
17,66+21,85=39,51 Regroupement
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
e i n t w z
Série1
39,51 e 0
21,85 1
i
10 14,47
11
7,23
110 n
111 0 ,15
1100 t
1101
w
11000 z
11001
45
Chaîne eulérienne, cycle eulérien
Définition Une chaîne simple d’un graphe G dont la longueur est égale au nombre des arcs de G est dite « chaîne eulérienne ». Un cycle d’un graphe G dont la longueur est égale au nombre des arcs de G est dit « cycle eulérien ».
Le théorème d’Euler Dans un graphe G il existe une chaîne eulérienne si et seulement si G est connexe (à des sommets isolés près) et si le nombre de ses sommets de degrés impairs est 0 ou 2. Si le nombre des sommets de degrés impairs de G est 0 alors il existe une chaîne eulérienne de G dont la source est égale au but appelé « cycle eulérien). Le graphe suivant (appelé « Graphe d’Euler ») n’est pas eulérien (l’orientation des arcs n’a pas besoin d’être précisée).
a
b
d
c
46
Euler, Leonard Euler, (1707-1783), mathématicien suisse, physicien, ingénieur et philosophe.
Né à Bâle, Euler y suit à l’université les cours de Jean Bernoulli et obtient sa maîtrise à l’âge de seize ans. En 1727, sur l’invitation de Catherine Ire, impératrice de Russie, il devient membre de la faculté de l’Académie des sciences à Saint-Pétersbourg. Il est nommé professeur de physique, en 1730, et professeur de mathématiques, en 1733. En 1741, à la demande du roi de Prusse Frédéric le Grand, il devient professeur de mathématiques à l’Académie des sciences de Berlin. Il retourne à Saint-Pétersbourg en 1766, et y reste jusqu’à sa mort. Bien que handicapé avant l’âge de trente ans par une perte partielle de la vue et plus tard par une cécité quasi totale, Euler a réalisé de nombreux travaux mathématiques importants et des centaines de mémoires mathématiques et scientifiques.
Dans son Introduction à l’analyse des infiniment petits (1748), Euler est le premier à traiter de manière analytique et complète l’algèbre, la théorie des équations, la trigonométrie et la géométrie analytique. Dans ce travail, il traite du développement en séries des fonctions et formule la règle qui dit que seules les séries infinies convergentes peuvent être correctement évaluées. Il discute aussi des surfaces à trois dimensions et prouve que les sections coniques sont représentées par l’équation générale du second degré à deux variables. D’autres travaux traitent du calcul infinitésimal, dont le calcul des variations, de la théorie des nombres, des nombres imaginaires et de l’algèbre déterminée et indéterminée. Euler donne aussi des contributions dans les domaines de l’astronomie, de la mécanique, de l’optique et de l’acoustique. Ingénieur, il est l’inventeur de la première turbine. Parmi ses ouvrages, il faut citer Réflexions sur l’espace et le temps (1748), traité du calcul différentiel (1755), Établissement du calcul intégral (1768-1770), Introduction à la théorie de la nature (1755-1759) et Introduction à l’algèbre (1770).
Dans ses Lettres à une princesse d’Allemagne (1768 et 1772), il se révèle également philosophe, et combat les thèses de Christian Wolff et de G. W. Leibniz. Il se consacre également à la science syllogistique d’Aristote, qu’il tente de formaliser avec des cercles, annonciateurs des diagrammes de Venn. Il a étudié la marche du cavalier au jeu d’échecs.
.
47
Les ponts de Kœnigsberg (aujourd’hui: Kaliningrad)
a
b
d
c
48
Kaliningrad (autrefois: Kœnigsberg )
Kaliningrad, ville de la Russie occidentale, capitale de l'oblast de Kaliningrad, située sur le fleuve Pregolia. Centre industriel et commercial important, relié par un canal à Baltiisk, un port libre des glaces sur la mer Baltique, Kaliningrad est un centre de pêche et de conserverie de poisson, de constructions navales et mécaniques. Les principales curiosités sont un château du XIIIe siècle et une cathédrale du XIVe siècle. Le philosophe allemand Emmanuel Kant, natif de la ville, enseigna à l'université fondée en 1544.
L'ancienne Königsberg qui s'est développée autour d'une forteresse bâtie par les chevaliers Teutoniques en 1255, entra dans la Ligue hanséatique en 1340. De 1457 à 1525, elle fut la résidence officielle du grand maître de l'ordre Teutonique et, de 1525 à 1618, accueillit les ducs de Prusse. Frédéric Ier fut couronné premier roi de Prusse dans la chapelle du château en 1701. Pendant la Première Guerre mondiale, la ville fut le théâtre de combats acharnés entre les Allemands et les Russes. Après la guerre, elle devint la capitale de la province allemande de Prusse-Orientale. La ville fut sévèrement endommagée au cours de la Seconde Guerre mondiale, et en avril 1945, après un siège de deux mois, fut occupée par les troupes soviétiques. Selon un accord entre les Alliés à la conférence de Potsdam (1945) l'URSS annexa la ville et ses alentours, qui prit le nom de Kaliningrad en 1946, en l'honneur de Mikhaïl Kalinine. Depuis l'indépendance des États baltes (1991), la ville et sa région n'ont plus de frontières avec la Russie, constituant une enclave russe entre la Pologne, au sud et la Lituanie, à l'est et au nord. Population (estimation 1990) : 406 000 habitants.
Kalinine, Mikhaïl Ivanovitch
Kalinine, Mikhaïl Ivanovitch (1875-1946), est né à Verkhniaïa Troïtsa, dans la province de
Tver. En 1898, il devint membre du Parti ouvrier social-démocrate de Russie (POSDR) et,
l'année suivante, fut emprisonné pour activités révolutionnaires. Libéré dix mois plus tard,
Kalinine renoua avec l'action révolutionnaire en tant que partisan du bolchévisme jusqu'en
1904, date à laquelle il fut déporté en Sibérie. Il revint à Saint-Pétersbourg l'année suivante
et prit part à la révolution de 1905. En 1913, il fut à nouveau exilé en Sibérie, mais réussit à
s'échapper et resta à Saint-Pétersbourg jusqu'à la révolution bolchevique de 1917, dans
laquelle il joua un rôle actif. Membre du comité central du parti, il devint le premier président
du Soviet suprême de l'URSS de 1938 à 1946.
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La suite des sommets d’une chaîne Lorsqu’une chaîne est définie par le couple (σ,Γ) d’applications σ :1,2,……, p →0, 1 et Γ:1,2,……, p →A on définit la suite de ses sommets par l’application
S (σ,Γ) :0,1, …. p →S (Notée plus simplement s) telle que :
S (σ,Γ) (0)= γ*(σ(1) ⊕1) (Γ(1)) (source de la chaîne) S (σ,Γ) (k)= γ*(σ(k)) (Γ(k)) pour k=1, 2, ……, p. Chaîne élémentaire Une chaîne définie par le couple d’applications (σ,Γ) est dite élémentaire lorsque la suite de ses sommets est injective. Propriété Une chaîne élémentaire est toujours simple ; si p est sa longueur, elle est constituée de p arcs et p+1 sommets (la chaîne de l’exemple 1 est élémentaire).
50 Chaîne hamiltonienne, cycle hamiltonien
Définition Une chaîne élémentaire d’un graphe G dont la longueur est égale au nombre des sommets de G moins un est dite « chaîne hamiltonienne ». Un cycle élémentaire d’un graphe G dont la longueur est égale au nombre des sommets de G est dit « cycle hamiltonien ».
les problèmes soulevés par les chaînes hamiltonienes sont
compliqués (voir plus loin)
Hamilton, sir William Rowan
Hamilton, sir William Rowan (1805-1865), mathématicien et astronome irlandais, connu principalement pour ses travaux dans l'analyse vectorielle et en optique. Né à Dublin, Hamilton fit ses études à Trinity College. En 1827, alors qu'il était encore étudiant, il y fut nommé professeur d'astronomie. L'année suivante, il reçut le titre d'Astronome Royal pour l'Irlande et, en 1835, il fut anobli. Hamilton passa le reste de sa vie à Trinity College et à l'observatoire de Dunsink, près de Dublin. Il introduisit les fonctions hamiltoniennes dans le domaine de la dynamique, pour exprimer la somme des énergies cinétiques et potentielles d'un système dynamique ; elles jouèrent un rôle important dans le développement de la dynamique moderne et l'étude de la mécanique quantique.
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Travail à faire no1 Voici un graphe:
1) Construire la matrice des arcs de ce graphe (R est un arc particulier appelé "arc retour": voir la suite du cours concernant les réseaux de transports) 2 En utilisant la matrice des arcs construire la matrice M des sommets 3) A l'aide de la matrice des graphes trouver le cocycle associé à l'ensemble des sommets X= a, b, c. Travail à faire no2
Soit
====
00110
10000
01001
00100
10010
M la matrice du graphe G.
•Construire le graphe G. •Construire le tableau des prédécesseurs et le tableau des successeurs. •Calculer M2 puis M4=M2.M2 •Interpréter les résultats donnés par les matrices calculées en chemins sur le graphe.
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Travail à faire no3 Voici deux graphes (les orientations des arcs ne sont pas précisées, les sommets sont représentés par les intersections de droite). GRAPHE I
GRAPHE II
1) Désigner celui qui est eulérien. 2) Orienter les arcs du GRAPHE I de telle manière que les sommets de degrés
impairs aient des degrés intérieurs nuls. 3) Le GRAPHE II se déduit du GRAPHE I par adjonction d’un sommet s, et de
deux arcs ; en gardant l’orientation précédente orienter ces nouveaux arcs de telle manière que le degré intérieur de s soit 1.
4) Rajouter un arc au graphe eulérien pour qu’il possède un cycle eulérien. 5) Rajouter un arc au graphe non eulérien pour qu’il devienne eulérien. 6) Avec la définition de la question 3 construire deux arbres sous-jacents au
GRAPHE 2.
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