lments de Calcul TensorielI Les Tenseurs II Les Oprateurs
DiffrentielsJ.C. Charmet 2002I Les TenseursI-1 I-2 I-3 I-4 I-5
Dfinition des Tenseurs Oprations sur les Tenseurs Symtrie et
Antisymtrie Tenseurs Identit et dAntisymtrie Produits Scalaire et
VectorielI-1 Dfinition des TenseursTenseur : Oprateur liant dans un
mme repre deux grandeurs physiques en un mme point dun espace de
dimension du v M u = T(M) v Le Rang dun tenseur caractrise son
nombre dindices T(0) Tenseur de Rang 0 : Scalaire d0 =1 composante
T(M) T(1) Tenseur de Rang 1 : Vecteur d1 composantes Ti(M) T(2)
Tenseur de Rang 2 : Matrice d2 composantes Tij(M) T(n) Tenseur de
Rang n : Matrice dn composantes Tijn(M) Ses composantes dans un
repre donn ne dpendent que du M=I-2 Oprations sur les
TenseursAddition tensorielle (+) : Tenseurs de mme Rang C(n) = A(n)
+ B(n) Produit tensoriel () C(n+m) = A(n) B(m) Cijnn+m = Aijn
BijmdCijn = Aijn + BijnProduit Contract () sur lindice k C(n+m-2) =
A(n) B(m) Cijn+m-2 = Aijk...n Bijkmk=1La contraction peut
seffectuer sur plusieurs indices, chaque contraction diminuant de 2
le rang du tenseur contract rsultant Convention des indices muets
Un indice de contraction, indice rpt dit muet, implique la
sommation sur lensemble des valeurs {1d} prises par cet indice C(2)
= A(2) B(2) Cij = AikBkj = AikBkj = Ai1B1j + Ai2B2j + Ai2B3jk=1
3I-3 Symtrie et AntisymtrieSymtrie par rapport au couple dindices
l,r C(t) symtrique {l,r} C(t) antisymtrique {l,r} Cijlrt =
Cijrl...t Cijlrt = -Cijrl...tSymtrie complte le couple dindices ,
{1..t} C(t) symtrie complte C(t) antisymtrique complte Cijt =
Cij...t Cijt = (-1)PCij...t P tant la parit de la permutation {ijt}
{ijt} Exemple : {1.24.5.6.79} {1.27.5.4.69} Paire P = 0 modulo 2
{1.24.5.6.79} {1.26.7.5.49} Impaire P = 1 modulo 2Les proprits de
Symtrie et dAntisymtrie sont intrinsques Elles se conservent par
changement de repreI-4 Tenseurs Identit et dAntisymtrieTenseur
Identit (2) (2) =1 0 0 0 1 0 0 0 1Tenseur dAntisymtrie (3)ijk = 1
si {i,j,k} permutation paire du groupe {1,2,3} ijk = -1 si {i,j,k}
permutation impaire du groupe {1,2,3} ijk = 0 si au moins 2 indices
gauxij = 1 si i = j ij = 0 si i j le repre(6) = (3) (3) a pour
composantes :ijkpqr = Detip iq ir jp jq jr kp kq kr ijkpqr =
ip(jqkr-jrkq)-jp(iqkr-irkq)+kp(iq jr-irjq) (4) Contraction {i,p}
ijkiqr = jkqr = ijkiqr = jqkr-jrkq = Det jq jr kq kr ijkijr = jkjr
= ijkijr = 2kr ijkijk = jkjk = ijkijk = 2kk = 6 6(2) Contraction
{i,p} {j,q}(0) Contraction {i,p} {j,q} {k,r}Det(T(2)) = 1
ijkpqrTipTjqTkrI-5 Produits Scalaire et VectorielProduit Tensoriel
de deux Vecteurs u1 u = u2 u3 v1 v = v2 v3C(2) = u v =u1v1 u1v2
u1v3 u2v1 u2v2 u2v3 u3v1 u3v2 u3v3Cij = uivjProduit Scalaire de
deux Vecteursu v = ukvk = Ckk = Tr( u v )Produit Extrieur de deux
Vecteurs 0 u1v2-u2v1 u1v3-u3v1 0 u2v3-u3v2 P(2) = u v - v u =
u2v1-u1v2 u3v1-u1v3 u3v2-u2v3 0 Produit Vectoriel de deux Vecteurs
w=u v= C(2) tC(2)w = u v = (3) { u v } {=u2v3 u3v2 u3v1 u1v3 u2v1
u1v2w1 P23 w = w2 = P31 w3 P21 wi = ijkCjkII Les Oprateurs
DiffrentielsII-1 II-2 II-3 II-4 II-5 Le Gradient La Divergence Le
Rotationnel dun Vecteur Les Rotationnels dun Tenseur de Rang 2 Le
LaplacienII-1 Le GradientGradient dun Scalaire (x) d =Graddx x1 x2
x3 Gradient dun Vecteur u(x) du =Gradudx u1 x1 u2 x1 u3 x1 u1 x2 u2
x2 u3 x2 u1 x3 u2 x3 u3 x2Grad = Grad u =Gradient dun Tenseur de
Rang 2 (2)(x) Gijk = Grad(3)T (2)dT (2) =Grad(3)T (2) dx Tij =
xkII-2 La DivergenceDivergence dun Vecteur u(x) uk u1 u2 u3 Divu =
= + + xk x1 x2 x3Divergences dun tenseur de Rang 2
(2)(x)Divergences des Vecteurs Ligne Divergences des Vecteurs
ColonneDivD(2)Tij = = xjT11 T12 + + x1 x2 T21 T22 + + x1 x2 T31 T32
+ + x1 x2T13 x3 T23 x3 T33 x3DivG(2)Tij = = xiT11 T21 + + x1 x2 T12
T22 + + x1 x2 T13 T23 + + x1 x2T31 x3 T32 x3 T33 x3DivD(2) =
DivGt(2) DivG(2) = DivDt(2)(2) = t(2) symtrie DivD(2) = DivG(2)II-3
Le Rotationnel dun VecteurOprateur Nabla et Gradient Divergence x1
= x2 x3 u1 u = u2 u3tGradu = u =Div u = u = Tr( u ) = Tr(Grad u )
0tGradu1 x1 u1 x2 u1 x3 u1 x2 u32u2 x1 u2 x2 u2 x3 u3 x1 u3 x2u3 x1
u3 x2 u3 x3 u1 x3 u2 x3Tenseur Rotationnel Rot u =u u1 x3u - Grad u
= x 1 - x 2 2 1 - xu31uu2 x1 u2 x300Pseudo Vecteur Rotationnelu3 x2
u1 x3 u1 x2- x- x -u2 u3 x1 u2 x13Rot u = u=Rot u = u = (3) { Gradu
} {u ijk k [Rot u ]i = xjII-4 Rotationnels dun TenseurGradient dun
tenseur de Rang 2 (2)(x)(2) TTij x kF=Grad(3)T(2)Fijk =Pseudo
Rotationnels dun tenseur de Rang 2 (2)(x)Rotationnels des Vecteurs
Ligne Rotationnels des Vecteurs Colonne= [RotD T ]lk = kij = RotD T
=T13 x2 T23 x2 T33 x2 T12 x3 T22 x3 T32 x3 T11 T13 x3 - x1 T21 T23
x3 - x1 T31 T33 x3 - x1tRotTlj xi= [RotG T ]kl = kij = RotG T =T31
x2 T11 x3 T21 x1 T21 x3 T31 x1 T11 x2 T32 T22 x2 - x3 T12 T32 x3 -
x1 T22 T12 x1 - x2Tjl xiT12 T11 x1 - x2 T22 T21 x1 - x2 T32 T31 x1
- x2T33 T23 x2 - x3 T13 T33 x3 - x1 T23 T13 x1 - x2D = RotGt =
RotDttRot = t symtrie RotD = tRotGGII-4 Le LaplacienLaplacien dun
Scalaire (x) =Div(Grad) 2 2 2 2 + + =Div(Grad) = xk xk = x12 x22
x32 Laplacien dun Vecteur u(x) 2u1 2u1 + + 2 2 x1 x2 2ui 2 2 u =
DivD( Gradu ) = x x = u2 + u2 + k k x12 x22 2u3 2u3 x12+2u1 x32
2u2Laplacien et Rotationnel u = klm m [Rot u ]k xl [Rot (Rot
u)]i=ijkx22x32 2u3 + x32Rot (Rot u ) = Grad(Div u ) - u2ui
=[Grad(Divu )]i -[ u ]i xjxj2 2uj um =( - ) um il jm im jl xj klmxl
xjx1 = xixj
