8/10/2019 TD 3 (Ex & Sol)
1/15
Prof . FELLAH Mohammed-Kari m
2007 / 2008 Asser vi ssement Rgulat i on
Enoncs TD n3 : Rduct i on des bl ocs f onct i onnel s TD3 - 1
Universit Djillali Liabs de Sidi Bel-AbbsFacult des Sciences de l'IngnieurDpartement d'Electrotechnique
Enoncs TD n 3Rduct io n des bl ocs f onct i onnel s
ETL 405 - ETL 412ETL 423 - ETL 433
Exercice n1
Dterminez les fonctions de transfert par simplifications successives des blocs fonctionnels, puis en utilisant largle de Mason.
a)
b)
c)
d)
e)
S(p)E(p)2G
1G
+
+
+
+
4G
3G
S(p)E(p)2G
1G
+
+
+
+
2H
1H
S(p)E(p)
1G 2G 3G
2H
1H
4G
+
+
++
S(p)1G 2G 3G
2H
1H
E(p)
+
+
++
+
3H
S(p)
1G 2G 3G
1H
3H
4G
E(p)
+
+
++
+
2H
8/10/2019 TD 3 (Ex & Sol)
2/15
Prof . FELLAH Mohammed-Kari m
2007 / 2008 Asser vi ssement Rgulat i on
Enoncs TD n3 : Rduct i on des bl ocs f onct i onnel s TD3 - 2
Exercice n2
Soit le systme suivant 2 entres. Trouver la relation S(p) en fonction de E(p) et W(p) :
S(p)
1G 3G 4G
6G
7G
2G
E(p)
+ +
+
+
+
5G
++
W(p)
8/10/2019 TD 3 (Ex & Sol)
3/15
Prof . FELLAH Mohammed-Kari m
2007 / 2008 Asser vi ssement Rgula t i on
Solut ions TD n3 : Rduct ion des bl ocs f onct io nnels TD3 - 3
Universit Djillali Liabs de Sidi Bel-AbbsFacult des Sciences de l'IngnieurDpartement d'Electrotechnique
Sol ut i ons TD n3Rduct io n des bl ocs f onct i onnel s
ETL 405 - ETL 412ETL 423 - ETL 433
Exercice n1
Simplification de schmas fonctionnels, et calcul des fonctions de transfert correspondantes :
1.a)
1remthode : Par simplifications successives des blocs fonctionnels :
2memthode : Par application de la rgle de Mason :
Trouver les chaines directes et leurs gains ( jM avec j = entier reprsentant le nombre de
chaines directes du systme) :Les chaines directes sont les chemins de E(p) vers S(p) qui ne coupent pas le mme point plus
dune fois.1 1
2 2
M G
M G
=
=
Trouver les boucles et leurs gains :Les boucles sont des chemins ferms qui peuvent tre emprunts sans croiser le mme point plus
dune fois.1 3 2 3
1 4 2 4
1 3
2 4
Boucle G G Boucle G G
Boucle G G Boucle G G
= =
= =
Trouver les j :
j = 1 (les boucles restant aprs limination de la chaine j). Si aucune restante alors j = 1.
Si nous liminons le chemin 1 1M G= du systme, il ne reste plus de boucle complte. Alors :
1 1 = .
Si nous liminons le chemin 2 2M G= du systme, il ne reste plus de boucle complte. Alors :
2 1 = . Trouver (fonction caractristique) :
S(p)E(p)
2G
1G
+
+
+
+
4G
3G
SE1 2G G+
3 4G G
+
SE
( )( )
1 2
1 2 3 41
G G
G G G G
+
+ +
S(p)E(p)
1G
2G
3G
4G
1
1
1
8/10/2019 TD 3 (Ex & Sol)
4/15
Prof . FELLAH Mohammed-Kari m
2007 / 2008 Asser vi ssement Rgula t i on
Solut ions TD n3 : Rduct ion des bl ocs f onct io nnels TD3 - 4
( )
( )
( )
1
.....
gains de boucles
produit des gains de toutes les paires possibles de boucles ne se touchant pas
produit des gains de tous les triplets possibles de boucles ne se touchant pas
=
+
+
( )1 3 1 4 2 3 2 41 () () ()....G G G G G G G G = + + + +
( )( )1 3 1 4 2 3 2 4 1 2 3 41 1G G G G G G G G G G G G = + + = + +
La solution est alors :
( )( )1 2
1 2 3 4
( )
( ) 1
j j
j
M
S p G G
E p G G G G
+
= = + +
1.b)
1remthode : Par simplifications successives des blocs fonctionnels :
S(p)E(p)2G
1G
+
+
+
+
2H
1H
SE2G
1G
+
+
+
+
2H
1H
SE2G
1G
+
+
+
1 2H H
E11 G+ ( )
2
2 1 21
G
G H H+ S E ( )
( )2 1
2 1 2
1
1
G G
G H H
+
+
S
8/10/2019 TD 3 (Ex & Sol)
5/15
Prof . FELLAH Mohammed-Kari m
2007 / 2008 Asser vi ssement Rgula t i on
Solut ions TD n3 : Rduct ion des bl ocs f onct io nnels TD3 - 5
2memthode : Par application de la rgle de Mason :
Trouver les chaines directes et leurs gains ( jM avec j = entier reprsentant le nombre de
chaines directes du systme) :Les chaines directes sont les chemins de E(p) vers S(p) qui ne coupent pas le mme point plus
dune fois.1 1 2
2 2
M G G
M G
=
=
Trouver les boucles et leurs gains :Les boucles sont des chemins ferms qui peuvent tre emprunts sans croiser le mme point plus
dune fois.2 1
2 2
1
2
Boucle G H
Boucle G H
=
=
Trouver les j :
j = 1 (les boucles restant aprs limination de la chaine j). Si aucune restante alors j = 1.
Si nous liminons le chemin 1 1 2M G G= du systme, il ne reste plus de boucle complte. Alors :
1 1 = .
Si nous liminons le chemin 2 2M G= du systme, il ne reste plus de boucle complte. Alors :
2 1 = . Trouver (fonction caractristique) :
( )
( )
( )
1
.....
gains de boucles
produit des gains de toutes les paires possibles de boucles ne se touchant pas
produit des gains de tous les triplets possibles de boucles ne se touchant pas
=
+
+
( )2 1 2 21()
()
()....
G H G H = ++
+
( )2 1 2 2 2 1 21 1G H G H G H H = + = +
La solution est alors :
( )
( )
( )
2 11 2 2
2 1 2 2 1 2
1( )
( ) 1 1
j j
j
MG GS p G G G
E p G H H G H H
++
= = =
+ +
S(p)E(p)
1G
2G
1H
2H
1
1
1 1 1
8/10/2019 TD 3 (Ex & Sol)
6/15
Prof . FELLAH Mohammed-Kari m
2007 / 2008 Asser vi ssement Rgula t i on
Solut ions TD n3 : Rduct ion des bl ocs f onct io nnels TD3 - 6
1.c)
1remthode : Par simplifications successives des blocs fonctionnels :
S(p)E(p)1G 2G 3G
2H
1H
4G
+
+
++
SE1 2 3G G G
21
HG
1H
43
GG
+
+
++
SE1 2 3G G G
21
1
HH G+
43
1 G
G+
+
SE
1 2 3
21 2 3 1
11
G G G
HG G G H
G
+ +
43
1 GG
+
SE ( )1 2 3 4
1 2 3 1 2 3 21
G G G G
G G G H G G H
+
+ +
E1G 2G 3G
2
1
H
G
1H
+
+
++
43
GG
8/10/2019 TD 3 (Ex & Sol)
7/15
Prof . FELLAH Mohammed-Kari m
2007 / 2008 Asser vi ssement Rgula t i on
Solut ions TD n3 : Rduct ion des bl ocs f onct io nnels TD3 - 7
2memthode : Par application de la rgle de Mason :
Trouver les chaines directes et leurs gains ( jM avec j = entier reprsentant le nombre de
chaines directes du systme) :Les chaines directes sont les chemins de E(p) vers S(p) qui ne coupent pas le mme point plus
dune fois.1 1 2 3
2 1 2 4
M G G G
M G G G
=
=
Trouver les boucles et leurs gains :Les boucles sont des chemins ferms qui peuvent tre emprunts sans croiser le mme point plusdune fois.
1 2 3 1
2 3 2
1
2
Boucle G G G H
Boucle G G H
=
=
Trouver les j :
j = 1 (les boucles restant aprs limination de la chaine j). Si aucune restante alors j = 1.
Si nous liminons le chemin 1 1 2 3M G G G = du systme, il ne reste plus de boucle complte.
Alors : 1 1 = .
Si nous liminons le chemin 2 1 2 4M G G G = du systme, il ne reste plus de boucle complte.
Alors : 2 1 = .
Trouver (fonction caractristique) :
( )
( )
( )
1
.....
gains de boucles
produit des gains de toutes les paires possibles de boucles ne se touchant pas
produit des gains de tous les triplets possibles de boucles ne se touchant pas
=
+
+
( )1 2 3 1 2 3 21
()()
()....
G G G H G G H =
+
+
1 2 3 1 2 3 21 G G G H G G H = + +
La solution est alors :
1 2 3 1 2 4
1 2 3 1 2 3 2
( )
( ) 1
j j
j
MS p G G G G G G
E p G G G H G G H
+
= = + +
( )1 2 3 4
1 2 3 1 2 3 2
( )( ) 1
G G G G S p
E p G G G H G G H +=
+ +
S(p)E(p)1G 2G 3G
2H
1H
4G
1 1 1
8/10/2019 TD 3 (Ex & Sol)
8/15
Prof . FELLAH Mohammed-Kari m
2007 / 2008 Asser vi ssement Rgula t i on
Solut ions TD n3 : Rduct ion des bl ocs f onct io nnels TD3 - 8
1.d)
1remthode : Par simplifications successives des blocs fonctionnels :
S(p)1G 2G 3G
2H
1H
E(p)
+
+
++
+
3H
S
1G
2G
3G
2H
12
HG
E
+
+
++
+
3H
S1G
2
2 21
G
G H+ 3G
1
21
H
G+ E
+
+
3H
S1G
( )
( ) ( )3 2 1
2 2 2 1 3 31
G G H
G H G H G H
+
+ + +
E
+
S( )( ) ( )
1 3 2 1
2 2 2 1 3 31
G G G H
G H G H G H
+
+ + +
E
+
S( )1 3 2 1
2 2 2 3 3 3 1 3 1 2 3 1 3 11
G G G H
G H G G H G H H G G G G G H
+
+ + + + +
E
8/10/2019 TD 3 (Ex & Sol)
9/15
Prof . FELLAH Mohammed-Kari m
2007 / 2008 Asser vi ssement Rgula t i on
Solut ions TD n3 : Rduct ion des bl ocs f onct io nnels TD3 - 9
2memthode : Par application de la rgle de Mason :
Trouver les chaines directes et leurs gains ( jM avec j = entier reprsentant le nombre de
chaines directes du systme) :Les chaines directes sont les chemins de E(p) vers S(p) qui ne coupent pas le mme point plusdune fois.
1 1 2 3
2 1 1 3
M G G G
M G H G
=
=
Trouver les boucles et leurs gains :Les boucles sont des chemins ferms qui peuvent tre emprunts sans croiser le mme point plusdune fois.
2 2 1 2 3 1 3 3
2 3 3 1 1 3
1 3 5
2 4
Boucle G H Boucle G G G Boucle H G H
Boucle G G H Boucle G H G
= = =
= =
Trouver les j :
j = 1 (les boucles restant aprs limination de la chaine j). Si aucune restante alors j = 1.
Si nous liminons le chemin 1 1 2 3M G G G = du systme, il ne reste plus de boucle complte.Alors : 1 1 = .
Si nous liminons le chemin 2 1 1 3M G H G = du systme, il ne reste plus de boucle complte.
Alors : 2 1 = .
Trouver (fonction caractristique) :
( )
( )
( )
1
.....
gains de boucles
produit des gains de toutes les paires possibles de boucles ne se touchant pas
produit des gains de tous les triplets possibles de boucles ne se touchant pas
=
+
+
( )2 1 2 3 3 1 2 3 1 1 3 1 3 31 () () ()....G H G G H G G G G H G H G H = + +
2 1 2 3 3 1 2 3 1 1 3 1 3 31 G H G G H G G G G H G H G H = + + + + +
La solution est alors :( )
( )
j j
j
MS p
E p
=
( )1 3 2 1
2 2 2 3 3 3 1 3 1 2 3 1 3 1
( )
( ) 1
G G G H S p
E p G H G G H G H H G G G G G H
+=
+ + + + +
S(p)E(p)1G 2G 3G
3H
2H
1 1
1H
1 1
1
8/10/2019 TD 3 (Ex & Sol)
10/15
Prof . FELLAH Mohammed-Kari m
2007 / 2008 Asser vi ssement Rgula t i on
Solut io ns TD n3 : Rduct ion des bl ocs f onct ionnel s TD3 - 10
1.e)
1remthode : Par simplifications successives des blocs fonctionnels :
Difficile simplifier cause des inversions "nud-comparateur".
2memthode : Par application de la rgle de Mason :
Trouver les chaines directes et leurs gains ( jM avec j = entier reprsentant le nombre de
chaines directes du systme) :
Les chaines directes sont les chemins de E(p) vers S(p) qui ne coupent pas le mme point plusdune fois.
1 1 2 3
2 4
M G G G
M G
=
=
Trouver les boucles et leurs gains :Les boucles sont des chemins ferms qui peuvent tre emprunts sans croiser le mme point plusdune fois.
1 2 1 1 2 3 3 4 2 2 1
2 3 2 4 3
1 3 5
2 4
Boucle G G H Boucle G G G H Boucle G H G H
Boucle G G H Boucle G H
= = =
= =
Trouver les j :
j = 1 (les boucles restant aprs limination de la chaine j). Si aucune restante alors j = 1.
Si nous liminons le chemin 1 1 2 3M G G G = du systme, il ne reste plus de boucle complte.
Alors : 1 1 = .
Si nous liminons le chemin 2 4M G= du systme, il ne reste plus de boucle complte. Alors :
2 1 = .
Trouver (fonction caractristique) :
S(p)
1G 2G 3G
1H
3H
4G
E(p)
+
+
++
+
2H
S(p)E(p)1G 2G 3G
2H1H
4G
1 1
3H
1
8/10/2019 TD 3 (Ex & Sol)
11/15
Prof . FELLAH Mohammed-Kari m
2007 / 2008 Asser vi ssement Rgula t i on
Solut io ns TD n3 : Rduct ion des bl ocs f onct ionnel s TD3 - 11
( )
( )
( )
1
.....
gains de boucles
produit des gains de toutes les paires possibles de boucles ne se touchant pas
produit des gains de tous les triplets possibles de boucles ne se touchant pas
=
+
+
( )1 2 1 2 3 2 1 2 3 3 4 3 4 2 2 11
()
()
()....
G G H G G H G G G H G H G H G H = +
+
+
1 2 1 2 3 2 1 2 3 3 4 3 4 2 2 11 G G H G G H G G G H G H G H G H = + + + +
La solution est alors :
( )
( )
j j
j
MS p
E p
=
1 2 3 4
1 2 1 2 3 2 1 2 3 3 4 3 4 2 2 1
( )
( ) 1
S p G G G G
E p G G H G G H G G G H G H G H G H
+=
+ + + +
Exercice n2
Soit le systme suivant 2 entres. Trouver la relation S(p) en fonction de E(p) et W(p).
Il s'agit en fait de trouver 2 fonctions de transfert : la premire, ( )SEG p , entre l'entre E et la sortie S. La
seconde, ( )SWG p , entre l'entre W et la sortie S. Puisque le systme est suppos linaire, lorsque nous
calculons ( )SEG p , nous pouvons considrer que l'entre W = 0. De mme, lorsque nous calculons ( )SWG p ,nous pouvons considrer que l'entre E = 0. Une fois les 2 fonctions de transfert calcules, la sortie S(p) dueaux 2 entres E(p) et W(p) est donne par :
S(p) = ( )SEG p . E(p) + ( )SWG p . W(p)
Bien que ( )SEG p et ( )SWG p peuvent tre obtenues par manipulation des blocs fonctionnels, cesmanipulations ne sont pas simples. De plus, les manipulations utilises pour le calcul de ( )SEG p ne sont,
gnralement, pas utilises pour calculer ( )SWG p . Il est donc requis 2 sries spares de manipulations.
S(p)
1G 3G 4G
6G
7G
2G
E(p)
+ +
+
+
+
5G
++
W(p)
8/10/2019 TD 3 (Ex & Sol)
12/15
Prof . FELLAH Mohammed-Kari m
2007 / 2008 Asser vi ssement Rgula t i on
Solut io ns TD n3 : Rduct ion des bl ocs f onct ionnel s TD3 - 12
1remthode : Par simplifications successives des blocs fonctionnels :
Difficile simplifier cause des inversions "nud-comparateur".
2memthode : Par application de la rgle de Mason :
Dterminons (fonction caractristique). Cette fonction est indpendante des entres et des sorties
considres :
( )
( )
( )
1
.....
gains de boucles
produit des gains de toutes les paires possibles de boucles ne se touchant pas
produit des gains de tous les triplets possibles de boucles ne se touchant pas
=
+
+
Pour cela :
Nous commenons par calculer les boucles et leurs gains :Les boucles sont des chemins ferms qui peuvent tre emprunts sans croiser le mme point plusdune fois.
1 6 3 4 7 2 4
4 5 1 3 4
1 3 5
2 4
Boucle G G Boucle G G G Boucle G G
Boucle G G Boucle G G G
= = =
= =
Les boucles 2 5 sont des boucles qui se touchent car elles passent toutes par G4.
Les boucles 1 et 2 ne se touchent pas. Les boucles 1 et 5 non plus.
Nous pouvons alors dfinir la fonction caractristique :
( )
( )( ) ( )( )
1 6 4 5 3 4 7 1 3 4 2 4
1 6 4 5 1 6 2 4
1
()
()....
G G G G G G G G G G G G
G G G G G G G G
= + +
+ +
+
1 6 4 5 3 4 7 1 3 4 2 4 1 4 5 6 1 2 4 61 G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G = + + + +
S(p)E(p)1G 3G 4G
7G
6G
2G
1
1
1 11
1 5G
W(p)
8/10/2019 TD 3 (Ex & Sol)
13/15
Prof . FELLAH Mohammed-Kari m
2007 / 2008 Asser vi ssement Rgula t i on
Solut io ns TD n3 : Rduct ion des bl ocs f onct ionnel s TD3 - 13
Calculons maintenant les chaines directes et leurs gains. Les chaines directes sont les chemins parcourusd'une entre vers une sortie. Elles dpendent donc de l'entre considre :
( EiM avec i = entier reprsentant le nombre de chaines directes du systme entre l'entre E et la sortie S).
( WjM avec j = entier reprsentant le nombre de chaines directes du systme entre l'entre W et la sortie S).
De E(p) vers S(p) : 1 1 3 4
2 2 4
E
E
M G G G M G G
==
De W(p) vers S(p) : 1 4WM G=
Trouvons les Ei :
Ei = 1 (les boucles restant aprs limination de la chaine i). Si aucune restante alors Ei = 1.
Si nous liminons le chemin 1 1 3 4EM G G G = du systme, il ne reste plus de boucle complte.
Alors : 1 1E = .Si nous liminons le chemin 2 2 4EM G G= du systme, il reste la boucle n1 = 1 6G G complte.
Alors : ( )2 1 6 1 61 1E G G G G = = + .
( )SEG p est alors gale :( )
( )( )
Ei Ei
iSE
MS p
G pE p
= =
( )1 3 4 2 4 1 6
1 6 4 5 3 4 7 1 3 4 2 4 1 4 5 6 1 2 4 6
1( )
1
SE
G G G G G G G G p
G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G
+=
+ + + +
Trouvons les Wj :
Wj = 1 (les boucles restant aprs limination de la chaine j). Si aucune restante alors Wj = 1.
Si nous liminons le chemin 1 4WM G= du systme, , il reste la boucle n1 = 1 6G G complte.
Alors : ( )1 1 6 1 61 1W G G G G = = + .
( )SWG p est alors gale : ( )( )( )
Wj Wj
jSW
M
S pG pW p
= =
( )4 1 6
1 6 4 5 3 4 7 1 3 4 2 4 1 4 5 6 1 2 4 6
1( )
1SW
G G GG p
G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G
+=
+ + + +
Finalement :
S(p) = ( ). ( ) ( ). ( )SE SW G p E p G p W p+
S(p) =( ) ( )1 3 4 2 4 1 6 4 1 6
1 6 4 5 3 4 7 1 3 4 2 4 1 4 5 6 1 2 4 6
1 ( ) 1 ( )
1
G G G G G G G E p G G G W p
G G G G G G G G G G G G G G G G G G G G
+ + + + + +
8/10/2019 TD 3 (Ex & Sol)
14/15
Prof . FELLAH Mohammed-Kari m
2007 / 2008 Asser vi ssement Rgula t i on
Solut io ns TD n3 : Rduct ion des bl ocs f onct ionnel s TD3 - 14
Rgles de transformation des schmas fonctionnels
N Schma fonctionnel original Schma fonctionnel quivalent
1.
2.
3.
4.
5.
6.
G1 G2A.G1 A.G1.G2A
G2 G1A.G2 A.G1.G2A
G1 G2A.G1 A.G1.G2A G1.G2
A.G1.G2A
G1+G2A.G1+A.G2A
AB+C
+
A
B C+
+
AB AB+C
+
+
A
C B
+
A+C
B+
A
C
+ AB+CAB+C
+
A
B C+
+
AB
G1
G2
A.G1 A.G1+A.G2A
++
A.G2
A
B
GA.G A.G B
+
A.G B
B
GA
G
BA
+
G
B G
1
8/10/2019 TD 3 (Ex & Sol)
15/15
Prof . FELLAH Mohammed-Kari m
2007 / 2008 Asser vi ssement Rgula t i on
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
B
G
A B A.G B.GA
+
G
G
A.GA
A.G
GA.GA
A
G
G
1
A.GA
A.G
A
G
A.G
A
A.G
A.G2 A.(G1+G2)A
+
+
G1G2A A.G1
A.G2
G1
G2
BA
+
G1
G2
BA
+
+
21
1
G.G1
G
+
A B
21
1
G.G1
G
A B
B.G
GA.G B.GA
+
GB
A.G
B
A BA
A B
+
A B
A
A B+
+
B
G1
G2
A.G1 A.(G1+G2)A
++
A.G2
BA
+
G2
2G
1
G1G1
G2
BA
+
Top Related