Superposition  de  signaux  sinusoïdaux  

 

Exercice  1  :  Expérience  des  fentes  d’Young  

En  1802,  l’expérience  des  trous  d’Young  a  permis  de  confirmer  la  nature  ondulatoire  de  la  lumière  en  réalisant  une  figure  d’interférence  lumineuse.  Une  version  moderne  de  cette  expérience  consiste  à  éclairer  avec  un  laser  de  longueur  d’onde  𝜆  deux  fentes  parallèles  distantes  de  2𝑎  et  de  largeur  très  inférieure  à  2𝑎.  Sur  un  écran  situé  à  une  distance  𝐷 ≫ 𝑎,  on  recueille  la  lumière  qui  a  traversé  les  fentes.  

On  fait  l’hypothèse  que  le  problème  est  invariant  selon  la  direction  des  fentes  et  on  travaille  dans  le  plan   𝑥𝑂𝑦  médiateur  de  ces  dernières.  On  note  𝑆!  et  𝑆!  les  points  des  fentes  appartenant  à  ce  plan  et  𝑂  le  milieu  de  ces  points.  L’axe   𝑂𝑦  est  perpendiculaire  au  plan  contenant  les  fentes.  

 On  obtient  la  figure  interférentielle  ci-­‐dessous  :  

 

 

Données  :  𝜆 = 633  nm  et  𝐷 = 1,20  m.  

1) Quel  est  le  phénomène  responsable  de  l’étalement  de  la  lumière  à  la  sortie  des  fentes  ?  Estimer  l’ordre  de  grandeur  de  la  largeur  𝑙  des  fentes  à  partir  de  la  figure  d’interférence.  

2) Pour   justifier   la   présence   de   franges   d’interférence   sur   l’écran,   on   assimile   les   ondes  lumineuses   émises  par   les  points  𝑆!   et  𝑆!   à  des  ondes   cylindriques   (donc   circulaires  dans   le  plan  de  l’étude)  sinusoïdales.  Quelle  simplification  apporte  l’hypothèse  𝐷 ≫ 𝑎  ?  

3) Qu’observe-­‐t-­‐on  au  point  central  de  la  figure  d’interférences  ?  On  examine  maintenant  l’intensité  lumineuse  en  un  point  𝑀  de  l’écran  distant  d’une  quantité  𝑥!  du  centre  de  la  figure.  

4) Exprimer  la  différence  de  marche  𝛿  entre  les  trajets  des  deux  ondes  parvenant  au  point  𝑀.  5) Donner  une  approximation  de  cette  différence  de  marche  en  utilisant  la  relation  :  

1 + 𝜀! ≈ 1 +𝜀!

2    si    𝜀 ≪ 1  

6) En  déduire  le  déphasage  entre  les  deux  ondes  au  point  𝑀.  7) Préciser   le   lieu   des   points   correspondant   à   un   maxima   d’intensité,   puis   celui   des   minima  

d’intensité.  8) En  utilisant  la  figure  d’interférence,  estimer  la  distance  2𝑎  séparant  les  deux  fentes.  

Correction  :  

1) L’étalement   des   ondes   lumineuses   à   la   sortie   des   fentes   est   une  manifestation   de   la  diffraction.  Puisqu’il  y  a  phénomène  de  diffraction,  cela  signifie  que  la  largeur  des  fentes  est  supérieure  à  la  longueur  d’onde  𝜆  mais  inférieure  à  100𝜆.  Grâce  à  la  figure  d’interférences,  on  peut  estimer  la  largeur  d  de  la  tâche  de  diffraction  à  environ  2  cm.  Cette  largeur  permet  d’évaluer  l’ouverture  angulaire  𝜃  des  faisceaux  diffractés  selon  :  

tan 𝜃 =𝑑2𝐷

   ⇒    𝜃 = 0,0167  𝑟𝑎𝑑  

En  reportant  dans  la  loi  de  la  diffraction  (vue  dans  le  chapitre  O1)  :  

sin 𝜃 =𝜆𝑙    ⇒  𝑙 = 37,9  𝜇𝑚  

2) Le   fait   de   se   placer   à   grande   distance   des   fentes   permet   d’assimiler   les   ondes   lumineuses,  sphériques  en  sortie  des  fentes,  à  des  ondes  rectilignes  d’intensité  uniforme  au  niveau  de  l’écran  d’observation.  

3) Le  point  𝑂!  est  situé  à  égale  distance  des  deux  fentes,  qui  sont  éclairées  par  la  même  source.  Les  phases   des   deux   ondes   qui   arrivent   en  𝑂!   sont   donc   identiques   puisqu’elles   ont   parcourues   la  même   distance.   Le   déphasage   est   donc   nul   en   𝑂!,   ce   qui   correspond   à   une   condition  d’interférences  constructives  :  l’intensité  est  ainsi  maximale  en  𝑂!.  

4) Par  définition  :  

𝛿 = 𝑆!𝑀 − 𝑆!𝑀  

𝑎𝑣𝑒𝑐    𝑆!𝑀! = 𝐷! + 𝑥 − 𝑎 !

𝑆!𝑀! = 𝐷! + 𝑥 + 𝑎 !  

𝑑𝑜𝑛𝑐    𝛿 = 𝐷! + 𝑥 + 𝑎 ! − 𝐷! + 𝑥 − 𝑎 !  

⇔   𝛿 = 𝐷 1 +𝑥 + 𝑎 !

𝐷!− 𝐷 1 +

𝑥 − 𝑎 !

𝐷!  

 

 

5) En  utilisant  la  relation  de  l’énoncé,  on  obtient  :  

𝛿 ≈ 𝐷 1 +𝑥 + 𝑎 !

2𝐷!− 𝐷 1 +

𝑥 − 𝑎 !

2𝐷!  

⇔ 𝛿 =𝑥 + 𝑎 !

2𝐷−

𝑥 − 𝑎 !

2𝐷  

⇔ 𝛿 =𝑥! + 𝑎! + 2𝑎𝑥

2𝐷−𝑥! + 𝑎! − 2𝑎𝑥

2𝐷  

⇔ 𝛿 =4𝑎𝑥2𝐷

 

⇔ 𝛿 =2𝑎𝑥𝐷

 

6) Le  déphasage  entre  les  deux  ondes  est  lié  à  la  différence  de  marche  par  la  relation  :  

∆𝜑 =2𝜋𝛿𝜆  ⇔   ∆𝜑 =

4𝜋𝑎𝑥𝜆𝐷

 

7) Les   maxima   d’intensité   correspondent   aux   points   pour   lesquels   les   interférences   sont  constructives  sont  aux  points  pour  lesquels  :  

∆𝜑 = 2𝑛𝜋     𝑛 ∈ ℤ    ⇔   𝑥! = 𝑛𝜆𝐷2𝑎

   

Les  minima  d’intensité  correspondent  aux  points  pour  lesquels  les  interférences  sont  destructives  sont  aux  points  pour  lesquels  :  

∆𝜑 = 2𝑛 + 1 𝜋     𝑛 ∈ ℤ    ⇔   𝑥! = 2𝑛 + 1𝜆𝐷4𝑎

   

8) Sur   la   figure,  on  mesure   l’interfrange   𝑖,   c’est-­‐à-­‐dire   la  distance  séparant  deux   franges  brillantes  successives.  Et  on  sait  d’après  la  question  précédente  :  

𝑖 = 𝑥!!! − 𝑥! =𝜆𝐷2𝑎

     ⇔   2𝑎 =𝜆𝐷𝑖

= 2,5. 10!!  𝑚  

Exercice  2  :  Gamme  diatonique  et  gamme  chromatique  

La  gamme  diatonique  est  constituée  de  douze  notes  dont  les  fréquences  successives  présentent  le  même  rapport,  selon  la  relation  :  

𝑓!!!𝑓!

=𝑓!𝑓!!!

    ∀𝑛  

La   treizième   note   de   cette   suite   présente   une   fréquence   double   de   celle   de   la   première   note   et  constitue  la  première  note  de  l’octave  immédiatement  supérieure.  Ainsi,  en  comptant  les  touches  d’un  piano  et  en  partant  d’un  do,  la  treizième  touche  (en  incluant  le  do  de  départ)  est  le  do  de  l’octave  supérieure.  Sur  un  piano  à  7  octaves,  le  do  central  correspond  à  une  fréquence  de  261,63  Hz.  

 

 1) Déterminer   le   rapport   de   fréquences   entre   deux   notes   successives   (par   exemple   do   et   do  

dièse).  2) En  déduire  les  fréquences  des  douze  notes  de  la  gamme  diatonique  de  l’octave  centrale.  3) Dessiner   le  mode  fondamental  de   la  corde   jouant   le  do  de   l’octave  central,  puis  celui  du  do  à  

l’octave  supérieure.  

Correction  :  

1) Le  rapport  de  fréquence  entre  la  première  note  (do  grave)  et  la  treizième  note  (do  aigu)  vaut  2.  Ainsi  :  

𝑓!"𝑓!

= 2  

⇔  𝑓!𝑓!×𝑓!𝑓!×𝑓!𝑓!×…×

𝑓!"𝑓!"

= 2  

Les  douze  rapports  de  l’expression  précédente  étant  égaux,  on  peut  écrire  :  

𝑓!!!𝑓!

!"

= 2      

⇔    𝑓!!!𝑓!

= 2!!" ≈ 1,0595  

 

2) En  repartant  de  l’expression  précédente,  on  peut  écrire  :  

𝑓! =𝑓!𝑓!!!

×𝑓!!!𝑓!!!

×…×𝑓!𝑓!×𝑓!  

⇔ 𝑓! =𝑓!!!𝑓!

!

×𝑓!  

⇔ 𝑓! = 2!!"×𝑓!  

On  en  déduit  donc  les  fréquences    des  douze  notes  de  la  gamme  diatonique  :  

𝑛   1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11   12  Note   Do   Do#   Ré   Ré#   Mi   Fa   Fa#   Sol   Sol#   La   La#   Si  𝑓  (𝐻𝑧)   261,6   277,2   293,7   311,1   329,6   349,2   370,0   392,0   415,3   440,0   466,2   493,9  

 

3) Les  fréquences  du  do  de  l’octave  central  et    du  do  de  l’octave  supérieur  sont  dans  un  rapport  de  deux.  Il  en  va  donc  de  même  des  longueurs  de  corde  si  celles-­‐ci  sont  faites  dans  le  même  matériau  et  sont  soumises  à  la  même  tension.  Enfin,  la  note  de  fréquence  la  plus  élevée  (le  do  aigu  donc)  est  émise  par  la  corde  la  plus  courte  :  

 

Exercice  3  :  Onde  sur  une  corde  tendue  

Entre  deux  murs,  on  tend  une  corde  de  masse  𝑚 = 50  g  et  de   longueur  𝐿 = 3  m.  Un  dynamomètre  permet  de  mesurer  la  tension  𝑇 = 200  N  qui  s’exerce  sur  la  corde.  1) Par  analyse  dimensionnelle,  proposer  une  expression  de  la  vitesse  de  propagation  𝑐  des  ondes  

dans  cette  corde.  Réaliser  l’application  numérique  correspondante.  2) Déterminer   les   longueurs   d’onde   des   modes   propres   de   cette   corde,   puis   les   fréquences  

associées.  3) On   déforme   localement   la   corde   de   façon   à   générer   une   impulsion.   Exprimer   la   durée  

nécessaire  pour  que  celle-­‐ci  fasse  un  aller-­‐retour  sur  la  corde.  Que  peut-­‐on  dire  de  la  fréquence  de  ces  allers-­‐retours  ?  

4) Sur   quels   paramètres   peut-­‐on   jouer   pour   modifier   la   fréquence   d’oscillation   d’une   corde  ?  Illustrer  cette  réponse  sur  l’exemple  d’une  corde  de  guitare.  

Correction  :  

1) Précisons  tout  d’abord  les  dimensions  des  grandeurs  dans  le  système  international  :  𝑚 = 𝑘𝑔  𝐿 = 𝑚  

𝑇 = 𝑁 = 𝑘𝑔.𝑚. 𝑠!!  Effectuons  alors  le  produit  de  ces  trois  grandeurs,  en  les  affectant  des  exposants  respectifs  𝛼,𝛽  et  𝛾  :  

𝑚!𝐿!𝑇! = 𝑘𝑔! .𝑚! . 𝑘𝑔.𝑚. 𝑠!! !  

⇔ 𝑚!𝐿!𝑇! = 𝑘𝑔!!! .𝑚!!! . 𝑠!!!  On  veut  que  cette  grandeur  soit  homogène  à  une  vitesse,  soit  :  

𝑚!𝐿!𝑇! = 𝑐    ⇔    𝑘𝑔!!! .𝑚!!! . 𝑠!!! = 𝑚. 𝑠!!  

     

 

On  résout  le  système  de  trois  équations  associé  :  

   𝛼 + 𝛾 = 0𝛽 + 𝛾 = 1−2𝛾 = −1

 ⇔      

𝛼 = −12

𝛽 = +12

𝛾 = +12

 

𝑑𝑜𝑛𝑐     𝑐 =𝐿𝑇𝑚=

𝑇𝜇= 109,5  𝑚. 𝑠!!  

où  𝜇  est  la  masse  linéique  de  la  corde.  

2) Les  modes  propres  de  la  corde  ont  des  longueurs  qui  sont  des  sous-­‐multiples  entiers  le  la  longueur  d’onde   fondamentale   𝜆! = 2𝐿.   Les   fréquences   associées   sont   donc   des   multiples   entiers   de   la  fréquence  fondamentale  𝑓! =

!!!= 18,25  𝐻𝑧.  

3) L’impulsion  doit  effectuer  un  aller-­‐retour  sur  la  corde.  Elle  doit  donc  parcourir  une  distance  de  2𝐿  à  la  vitesse  de  propagation  𝑣.  Cela  correspond  donc  à  une  durée  :  

𝑇 =2𝐿𝑐= 54,8  𝑚𝑠  

La  fréquence  des  allers  retours  est  donc  :  

𝑓 =1𝑇= 18,5  𝐻𝑧  

Cette  fréquence  est  bien  évidemment  celle  du  mode  fondamental.  

4) Pour  modifier  la  fréquence  de  l’onde  émise  par  une  corde,  on  peut  modifier  -­‐  soit  sa  longueur  (plus  la  corde  est  courte,  plus  la  fréquence  est  élevée)  -­‐  soit  sa  tension  (plus  la  tension  est  élevée,  plus  la  vitesse  de  propagation  est  élevée  et  donc  plus  la  fréquence  est  élevée)    -­‐   soit   sa  masse   linéique   (plus   la  masse   linéique   est   élevée,   plus   la   vitesse   de   propagation   est  faible  et  donc  plus  la  fréquence  est  faible)  =  différence  entre  les  cordes  de  guitare  classique  (en  nylon)  et  les  cordes  de  guitare  électrique  (en  acier)  

Exercice  4  :  Modélisation  d’un  didjeridoo  

Le   didjeridoo   est   un   instrument   à   vent   utilisé   par   les   aborigènes   du   nord   de   l'Australie.   En   le  simplifiant,   on   peut   le   représenter   comme  un   tuyau   sonore   cylindrique   de   longueur  𝐿,   fermé   à   une  extrémité  et  ouvert  à  l'autre.  Lorsqu'une   onde   stationnaire   s'établit   dans   un   tuyau   cylindrique,   on   observe   un   nœud   (N)   de  vibration   à   une   extrémité   si   celle-­‐ci   est   fermée,   et   un   ventre   (V)   de   vibration   si   cette   extrémité   est  ouverte.  On  note  𝑐  la  célérité  du  son  dans  l'air.  

1) Exprimer  la  fréquence  𝑓!  du  fondamental  en  fonction  de  𝑐  et  𝐿.  2) Quelle  devrait   être   la   longueur  minimale  d’un   tuyau  ouvert   aux  deux   extrémités   (type   flûte)  

pour  donner  le  même  fondamental  (aussi  appelé  note  de  même  hauteur)  qu’un  didjeridoo  ?  

On  analyse  maintenant  un  son  envoyé  dans  un  tuyau  AB  de  longueur  𝐿 = 80  cm  par  l’intermédiaire  d’un  haut-­‐parleur  placé  à  l’extrémité  B  du  tuyau.  Le  son  émis  est  sinusoïdal  de  fréquence  𝑓 = 850  Hz.  On   déplace   un  micro   à   l’intérieur   du   tube   et   on  mesure   les   amplitudes   suivantes   en   fonction   de   la  position  𝑑  du  micro  par  rapport  à  l’extrémité  A  du  tuyau.  On  obtient  le  tableau  suivant  :  

 

𝑑  (cm)   0   5   10   15   20   25   30   35   40   45   50   55   60   65   70   75   80  𝑉  (mV)   0,2   11,3   16   11,4   0,2   11,2   16   11,5   0,15   11,1   16   11,6   0,3   11   16   11,7   0,3  

3) Qu’observe-­‐t-­‐on  aux  extrémités  du  tuyau  ?  4) Déterminer  la  célérité  du  son  dans  l’air  contenu  dans  le  tuyau  à  la  température  de  l’expérience.  5) Quel  est  l’harmonique  correspondant  à  ce  mode  de  vibration  ?  Quelle  est  la  fréquence  du  mode  

fondamental  ?  

Correction  :  

1) Par   définition,   pour   une   onde   stationnaire,   la   distance   entre   deux   nœuds   ou   deux   ventres  consécutifs  vaut  :  

𝑑!!! = 𝑑!!! =𝜆2  

et  la  distance  entre  un  nœud  et  un  ventre  consécutif  vaut  :  

𝑑!!! =𝜆4  

Le   mode   fondamental   n’étant   formé   que   d’un   seul   fuseau   et,   comme   l’une   des   extrémités  correspond  à  un  nœud  et  l’autre  extrémité  à  un  ventre,  on  a  nécessairement  :  

𝐿 =𝜆4  

On  utilise  alors  la  relation  entre  la  période  spatiale  de  l’onde  et  sa  fréquence  :  

𝜆 = 𝑐𝑇 =𝑐𝑓    ⇒     𝑓! =

𝑐4𝐿

 

2) Si   le   tuyau   est   ouvert   aux   deux   extrémités,   le  mode   fondamental   est   constitué   d’un   seul   fuseau  présentant  un  ventre  à  chaque  extrémité.  Pour  que  ce  mode  ait  exactement   la  même   fréquence  que   le  précédent,   il   faut  aussi  qu’il  ait   la  même   longueur  d’onde.  On  en  déduit  donc  que   le   tube  doit  avoir  une  longueur  :  

𝐿! =𝜆2    ⇒     𝐿 = 2𝐿  

 3) On  constate  que  les  extrémités  du  tuyau  correspondent  à  des  nœuds  de  vibrations.  Elles  sont  donc  

fermées.  4) La  distance  entre  deux  nœuds  successifs  vaut  :  

𝑑!!! =𝜆2=

𝑐2𝑓

= 20  𝑐𝑚  

⇒     𝑐 = 2𝑓𝑑!!! = 340  𝑚. 𝑠!!  

5) Le  mode   enregistré   présente   5   nœuds   et   4   ventres   de   vibration  :   il   s’agit   donc   de   l’harmonique  𝑛 = 4.  Cette  harmonique  correspond  à  la  fréquence  :  

𝑓! = 850  𝐻𝑧  La  fréquence  𝑓!  du  mode  fondamental  se  déduit  alors  par  :  

𝑓! = 𝑛𝑓!    ⇒     𝑓! =𝑓!4= 212  𝐻𝑧