UniversitéA.MiradeBéjaia Annéeuniversitaire2017/2018FacultédesSciencesExactes Matière:Physique1Domaine:Sciencesdelamatière/Niveau:L1

SériedeTDn°2

Exercice1DeuxmobilesontdesmouvementsuniformémentvariéslelongdumêmeaxeOx.Lesvaleursalgébriquesdeleursaccélérationssont,respectivement,a! = 1m/s2eta! = −2m/s2.Al’instantinitialt!, leursabscissesvalentx!" = 0metx!" = 150metleursvitessessontnulles.Déterminerladateetl’abscissedeleurcroisement.

Exercice2:1. Unpointmatériel𝑀sedéplaçantdansleplan𝑂𝑋𝑌 estrepéréparsescoordonnéescartésiennes:

𝑥 𝑡 = 𝑡 − 1, 𝑦 𝑡 = 𝑡! + 1a. Donnerlescoordonnéespolairesde𝑀auxinstants𝑡 = 0 et 𝑡 = 1b. Donner,àcesinstants,levecteurpositionde𝑀 danslabasepolaire.

2. Lescoordonnéescylindriquesd’unpointmatériel𝑀àuninstantdonnésont 1, !

!, 1 .

a. Représentercepoint.b. Donnerlescoordonnéessphériquespuiscartésiennesde𝑀.c. Donnersonvecteurpositiondanslabasecylindrique,sphériquepuiscartésienne.

Exercice3:Dansunrepèreℜ(𝑂, 𝚤, 𝚥),lesloishorairesdumouvementd’unpointmatériel𝑀sont:

𝑥 = 2𝑡, 𝑦 = −𝑡! + 31. Donnerl’expressionduvecteurposition𝑂𝑀.2. Trouverl’équationcartésiennedelatrajectoiredupointmatériel.Quelleestsanature?3. Donnerl’expressionduvecteurvitesse.4. Donnerl’expressionduvecteuraccélération.

Exercice4:Dans un plan𝑂𝑋𝑌, une particule𝑀 est repérée à tout instant 𝑡 par ses coordonnées polaires 𝜌, 𝜃 telles que:𝜌 𝑡 = acos 𝜔𝑡

𝜃 𝑡 = 𝜔𝑡 où𝑎et𝜔sontdesconstantespositives.

1. Dans labase locale(𝑒!, 𝑒!)associéeauxcoordonnéespolaires,déterminer lesvecteursposition,vitesseetaccélérationdelaparticule𝑀.

2. Toujoursdans lamêmebase,déterminerpuis représenter lesvecteursposition,vitesseetaccélérationauxinstants𝑡! = 0𝑠et𝑡! =

!!!𝑠.

Exercice5:Lescoordonnéescartésiennesd’unmobile𝑀sedéplaçantsurleplan𝑂𝑋𝑌sont:

𝑥 𝑡 = 2 cos𝑡2, 𝑦 𝑡 = 2 sin

𝑡2.

1. Déterminerl’équationdelatrajectoire.2. Déterminerlescomposantesdesvecteursvitesse𝑣etaccélération𝑎.3. Trouverl’expressiondel’abscissecurviligne𝑠dupoint𝑀 àl’instant𝑡,sachantqu’à𝑡 = 0,on𝑠 = 0.4. Trouverl’expressiondesaccélérationstangentielleetnormale.5. Déterminerlerayondecourburedelatrajectoire.6. La trajectoire reste lamêmemaismaintenant, lepoint𝑀 subituneaccélérationangulaire𝛼 = 𝑡/2.Aquel

instantlepoint𝑀 atteint-ilunevitesselinéairede10𝑚/𝑠,sachantqu’ilestpartidurepos.Quelledistancea-t-ilalorsparcouru.

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Exercice6:

1. Unjoursansvent,lapluievued’unwagond’untrainroulantà72 𝑘𝑚/ℎparaitinclinéede50°parrapportàlaverticale:a. Faireunschémadesvitesses.b. Déterminerlavitessedelachutedesgouttesdepluieparrapportausol.c. Endéduirelavitessedechutedesgouttesdepluieparrapportauwagon.

2. Quedevient la vitesse de chute des gouttes de pluie par rapport auwagon si le train double sa vitesse etquelleserasadirection.

Exercicessupplémentaires:Exercice1:Dansleplan𝑂𝑋𝑌,lesloishorairesdumouvementd’unpointmatériel𝑀sont:

𝑥 𝑡 =𝑡!

3+ 1, 𝑦 𝑡 = 𝑡,

1. Exprimerlevecteurposition𝑂𝑀.2. Déterminerlescomposantesdesvecteursvitesse𝑣etaccélération𝑎.3. Calculerlesaccélérationstangentielle𝑎!etnormale𝑎!.

4. Démontrerquelerayondecourbure𝜌delatrajectoireestégalà𝜌 = !!!! !/!

!!.

Exercice2:Unpointmatériel𝑀,sedéplaçantdansunplan,estrepéréparsescoordonnéespolaires𝜌(𝑡)et𝜃(𝑡)tellesque:

𝜌 𝑡 = 2 − 𝑒!!

𝜃 𝑡 = −𝑡 +𝜋4

,

1. Trouverl’équationdelatrajectoiredupointmatérielencoordonnéespolaires.2. Dans la base (𝑒!, 𝑒!) associée aux coordonnées polaires, déterminer les vecteurs position, vitesse et

accélérationdupoint𝑀.3. a.Représenteràl’instant𝑡 = 0,lesvecteursposition,vitesseetaccélération.

b.Quelestàcetinstant,l’angleforméparlevecteurvitesseetlevecteuraccélération.c.Endéduirelerayondecourburedelatrajectoireaupointoùsetrouvaitlemobileàl’instant𝑡 = 0.

Exercice3:Dansleplan𝑂𝑋𝑌,lesloishorairesdumouvementd’unpointmatériel𝑀sont:

𝑥 𝑡 = 2𝑡, 𝑦 𝑡 = (𝑡 − 1)!, 1. Trouverl’équationcartésiennedelatrajectoire.2. Déterminerlescomposantescartésiennesdesvecteursvitesseetaccélération.3. Calculerlesaccélérationstangentielle𝑎!etnormale𝑎!.4. Démontrerquelerayondecourbure𝜌delatrajectoireestégalà𝜌 = 2 𝑡! − 2𝑡 + 2 !/!.

Exercice4:L’accélérationd’unpointmatériel𝑀estdonnéeparlarelationsuivante:

𝑎 = 𝑒!𝚤 + cos 𝜔𝑡 𝚥 + 𝑡𝑘A𝑡 = 0, lapositiondumobileest(1,−1 𝜔! , 0)etsavitesseest 1,0,−1 .Donnerlesexpressionsdesvecteursvitesseetpositiondumobileàl’instant𝑡.

Exercice5:Dans un repère ℜ(𝑂, 𝚤, 𝚥), le vecteur accélération d’un mobile 𝑀 est 𝑎 = −5𝚥. A l’instant 𝑡 = 0, 𝑂𝑀! = 0 et𝑣! = 5𝚤 + 10𝚥.

1. Trouverlesexpressionsdesvecteursvitesseetpositionàuninstant𝑡quelconque.

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2. Quelleestl’équationdelatrajectoire.3. Déterminer les accélérations tangentielle (𝑎!) et normale (𝑎!) et déduire le rayon de courbure de la

trajectoire.Aquelinstantlacomposantetangentielle𝑎!del’accélérationest-ellenulle.Exercice6:Unpointmatériel𝑀 sedéplacesuivantunehélice.Leséquationshorairesdumouvementdanslabasedescoordonnéescylindriques 𝑒!, 𝑒! , 𝑒! sont:

𝜌 𝑡 = 𝑎, 𝜃 𝑡 = 𝜔𝑡, 𝑧 𝑡 = 𝑣!𝑡Où𝑎,𝜔, 𝑣!sontdesconstantes.

1. Déterminerlesexpressionsdesvecteursvitesseetaccélération.2. Déterminerlescomposantestangentielleetnormaledel’accélération.