Retour sur la notion de taux d’intérêt
actualisation
Taux d’intérêt composés
1. Taux d’intérêt réel / nominal
Supposons que je prête 100€ pour un an…
• Le taux d’intérêt est de 5 %
• L’inflation est de 3 %
• Donc la somme que l’on me rendra sera multipliée par…
• Donc la valeur de l’euro aura été divisée par…
1,05
1,03
X1=X0+X0 x iX1 = X0 (1+i)
Avec i=5%=5/100=0,05
Les prix ont été multipliés par 1,03, la valeur de la monnaie a
été divisée par 1,03
En prêtant 100€ me suis-je vraiment enrichi de 5 % ?
• On m’a remboursé 5% d’euros en plus : je suis 1,05 fois plus riche.
Au total on m’a remboursé 100 x 1,05 / 1,03 = 101,94
• Mais ces euros se sont dépréciés de 3% : ils valent 1,03 fois moins
• Donc le taux d’intérêt est en réalité de…
1,94%
X1 en euros constants / x0 = 101,94/100= 1,0194
• Quel est le taux d’intérêt réel dans l’exemple précédent ?
• Rappelez la définition du taux d’intérêt réel et du taux d’intérêt nominal : internet
• Que signifie un taux d’intérêt réel négatif ?
Tx nominal – Tx d’inflation = 5-3 = 2%
Tx nominal < Tx d’inflation
Retenons la formule(approximative)
Tx d’int. réel (ir) =Tx d’int. nominal (in) – tx d’inflation (t)
Etes vous capable
d’écrire la formule
rigoureuse ?
ir=[(1+in)/(1+t)] - 1
Quizz…
• L’inflation favorise…
les créanciers les débiteurs
• Quand les anticipations d’inflation sont fortes les prêteurs vont proposer…
des taux plus élevés des taux plus bas
2. Taux d’intérêt composés
Supposons le taux d’intérêt égal à 3%
• Je prête 100 euros pour une période de 10 ans.
(on néglige ici l’inflation)
• De quelle somme serai-je remboursé ?
D’où la formule
Xn=Xo (1+i)n
Avec Xo la somme initialement prêtée,
Xn la somme rendue après n années,
i le taux d’intérêt en vigueur
Compliquons un peu
• Je prête 200 € pour 12 ans
• Le taux d’intérêt nominal est de 6%
• Le taux d’inflation moyen est de 2%
• Combien aurai-je gagné en € courants ? en € constants ?
En euros courants
La somme rendue sera égale à
200 x (1+0,06)12 = 402,44
Remarquons au passage qu’un taux d’intérêt de 6% appliqué pendant 12 ans accroit la somme, non pas de 6x12= 72 % mais de 101,22 %
En euros constants
Première méthode (rigoureuse)
Calculons rigoureusement le taux d’intérêt réel
Chaque année le montant prêté est multiplié par 1,06
Mais la valeur de l’euro est divisée par 1,02
1,06 / 1,02 =1,0392 (taux d’intérêt réel = 3,92 %)
200 x 1,0392 12 = 317,32 €
En euros constants
Deuxième méthode (approximative)
Calculons approximativement le taux d’intérêt réel
Taux d’intérêt réel
= taux d’intérêt nominal – taux d’inflation
= 6% - 2% = 4%
200 x 1,04 12 = 320,21 €
En euros constants
Troisième méthode (rigoureuse)
Puisqu’on me rembourse 402,44 € en euros courants
Je n’ai qu’à les ramener à des euros constants
402,44 / 1,02 12 = 317,32 €
Les prix ont été multipliés par 1,02 12
Le pouvoir d’achat de l’euro a été divisé par 1,02 12
Le résultat est le même qu’avec la
première méthode
3. Actualisation
• Supposons que je prête 100 euros à 3% pour 10 ans (en négligeant l’inflation)
• Inversement si on me propose de me verser 134 € dans 10 ans…
• Donc la somme que l’on me rendra sera multipliée par…
• A combien suis-je prêt à renoncer aujourd’hui pour cela ?
1,0310=1,34
100 €
• Par le biais des intérêts, une somme actuelle est multipliée dans n années par
(1+i)n
• Donc pour calculer la valeur actuelle d’une somme perçue dans l’avenir on la divise par
(1+i)n
C’est la même opération inversée
somme actuelle somme dans n années
multiplier par(1+i)n
diviser par(1+i)n
Un investissement va rapporter…
• 10000 euros l’an prochain
• 15000 euros l’année suivante
• 8000 euros l’année d’après
• et c’est tout.
• Quel est le montant qu’on peut y engager si le taux d’intérêt est de 7% ?
Actualisons le revenu futur• 10000 € l’an prochain
= 10000 / 1,07 aujourd’hui
• 15000 € dans deux ans
= 15000 / (1,07)2 aujourd’hui
• 8000 € dans 3 ans
= 8000 / (1,07)3 aujourd’hui
10000 / 1,07 + 15000 / (1,07)2 + 8000 / (1,07)3 = 28977,76
Que signifie ce résultat ?• La valeur actualisée des annuités futures de ce projet
représente 28977,76 €
• Si j’avais 28977,76 € et que je les plaçais au taux d’intérêt courant (7%) je pourrais obtenir 10 000 dans un an, 15 000 dans deux ans et 8000 dans 3 ans (en retirant progressivement les fonds placés)
• Et cela, sans rien faire ni courir de risque
Il n’est donc pas rationnel d’engager plus de 28 977, 76 €
dans ce projet.
Et si le taux d’intérêt augmentait, serais-je prêt à y
engager plus ou moins de fonds ?
Moins, car la valeur actualisée des annuités futures diminue
quand le taux d’intérêt augmente.
Quizz…• Si le taux d’intérêt augmente une somme future
représente en valeur actualisée…
plus qu’avant moins qu’avant
• Plus le taux d’intérêt est élevé, plus les agents économiques
préfèrent les revenus actuels aux revenus futurs
préfèrent les revenus futurs aux revenus actuels
Quizz…
• Si le taux d’intérêt diminue, un titre qui rapporte 1000€ par an vaudra
plus cher qu’avant moins cher qu’avantCe principe gouverne l’évolution du marché obligataire : les obligations sont des titres de créances porteurs
d’un intérêt fixe.
Quand les taux baissent les cours des
obligations augmentent
Quand les taux augmentent les cours
des obligations baissent
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