8/13/2019 Representation d Etat
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Reprsentation dtat des systmes
FORMALISME DETATCOMMANDABILITEOBSER!ABILITE
COMMANDE "AR RETO#R DETATOBSER!ATE#R
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FORMALISME DETAT
1 NOTION D'TAT 2 EQUATION D'TAT - EQUATION D'OBSERVATION 3 FONCTION DE TRANSFERT 4 INTGRATION DE L'QUATION D'TAT 5 PLURALIT DES REPRSENTATIONS D'TAT 6 LES FORMES CANONIQUES 7 OBTENTION DE LA REPRSENTATION DTAT
STABILIT BIBO - STABILIT AS!MPTOTIQUE
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NOTION DETAT D#N S$STEME
Avion axe longitudinalEntres de commande
( position manette des gaz )
m ( position gouverne
de profondeur)
Sorties mesures
q la vitesse de tangage (gyromtre )
Z laltitude ( capteur de pression )
( )Vqfv ,, = (palette dincidence)
Entres de perturbation
wx, wzvitesses du vent
conditions initiales [ ]TZqV 00000
8/13/2019 Representation d Etat
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NOTION DETAT D#N S$STEME
La reprsentation d%tat repose s&r 'a notiond%ner(ie)
Le pro*ess&s est d*rit par ses +aria,'es d%tats)
Ces +aria,'es d%tat donnent &ne des*riptioninterne *omp'te de '%+o'&tion d& systme)
L%+o'&tion d%&n pro*ess&s - partir d&n instant "#
donn dpend . de son tat initia'/ des so''i*itations e0trie&res 1*ommandes et
pert&r,ations 2)
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NOTION DETAT D#N S$STEME
Systme m*ani3&e 'mentaire
masse m
raideur k
coefficient de
frottement f
y
force F
!e*te&r dtat . 45 6y/ +y7
T
!e*te&r de *ommande . #5 F
!e*te&r de sortie/ 'a position . $ 5 y1t2
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NOTION DETAT D#N S$STEME
Mise en 3&ation
E3&ation dtat
E3&ation do,ser+ation
masse m
raideur k
coefficient de
frottement f
y
force F
Systme m*ani3&e 'mentaire
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NOTION DETAT D#N S$STEME
1 1 -1
- .
- .
- .
- .
.
.
.
.
1Position y
y(t0) !"
0.1 0. 0. 0. 0. 0. 0.-1
-0.
-0.
-0.
-0.
0.
0.
0.
0.
1
V
y
Trajectoired'tat
t0
Rponse indi*ie''e d& systme m*ani3&e 'mentaire
La rponse y1t2 La tra8e*toire dtat
8/13/2019 Representation d Etat
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NOTION DETAT D#N S$STEME
m"
mk
m
f
# y(t)$(t)y
v%yv
Reprsentation so&s 9orme de s*:ma 9on*tionne'd& systme m*ani3&e 'mentaire
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NOTION DETAT D#N S$STEME La 9on*tion de trans9ert propose &ne
reprsentation e0terne d& systme/ soit
La reprsentation dtat propose &nedes*ription interne p&is3&e''e permetdappr:ender 'es +aria,'es internes a&systme . y1t2 et +y1t2
( )
( )pFpY
m"
m
k
m
f
# y(t)$(t)y
v %
yv
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E3&ation dtat
E;#ATION DETAT ET DOBSER!ATION
[ ] nTn RxxxX = %%&"Le +e*te&r dtat .
BUAXX +=
L3&ation dtat .
L3&ation do,ser+ation . DUCXY +=
[ ] mTm RuuU = %%%"Le +e*te&r de *ommande .
Le +e*te&r de sorties . [ ] sT
s RyyY = %%%"
E3&ation do,ser+ation
8/13/2019 Representation d Etat
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E;#ATION DETAT ET DOBSER!ATION
Reprsentation s*:mati3&e des 3&ations dtat etdo,ser+ation
X
C ##Y
X
A
BU
D
8/13/2019 Representation d Etat
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FONCTION DE TRANSFERT
Le systme est d*rit par .
+=
+=
DUCXY
BUAXX
La matri*e de trans9ert . ( )
( )
( ) ( )
( )AIp
DAIpBAIpadjC
+=
%det
%%det%%%
p'
p
C ##X
YX
A
BU
D
L$% &($% %)*" ($% +,($.% &.)&.$% /$ (, 0,".$ /"," A
8/13/2019 Representation d Etat
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FONCTION DE TRANSFERT Systme m*ani3&e 'mentaire
masse m
raideur k
coefficient de
frottement f
y
force F
[ ]Fm
v
y
m
f
m
k
v
y
yy
+
=
"0"0
[ ]
=
yv
yY
"0
0"
L3&ation dtat .
L3&ation do,ser+ation 1to&t 'tat est mes&r2 .
La matri*e de trans9ert . ( )
++
++=
mkp
mfp
pm
kp
m
fp
p
"
8/13/2019 Representation d Etat
14/61
INTE Les *onditions initia'es sont *onn&es/> 'es entres de *ommande et de pert&r,ation
app'i3&es a& systme sont *onn&es)
( ) ( )txtx n%%%"
=
+=
XCY
UBXAX
%
%%
( ) dUBtXtXt
t
tAttA )%(%%exp)(%exp)(
0
0
0)%(
+=
( ) dUBCtXCtYt
t
tAttA)%(%%exp%)(%exp%)(
0
0
0
)%( += R(ime 'i,re R(ime 9or*
8/13/2019 Representation d Etat
15/61
INTE Form&'ation de Sy'+ester
> Trans9orme de Lap'a*e in+erse . [ ] [ ] "%exp = AIp! At
[ ]F
mv
y
m
f
m
k
v
y
yy
+
=
"0"0
App'i*ation a& systme m*ani3&e 'mentaire
95 ?
( )
==
tm
kt
m
k
m
k
tm
k
k
mt
m
k
"ApI! At
cossin
sincos""
8/13/2019 Representation d Etat
16/61
"L#RALITE DES RE"RESENTATIONS DETAT
De 'intr=t de disposer de p'&sie&rsmod'es d&n m=me systme
yay
z
v
xa*ro
za
wind
u
w
xavion
8/13/2019 Representation d Etat
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"L#RALITE DES RE"RESENTATIONS DETAT
D&ne manire (nra'e/ 'a reprsentation dtato,ten&e 'ors3&on mod'ise 'e systme a&moyen des 3&ations de 'a p:ysi3&e nest pas
n*essairement *e''e 3&i se pr=te 'e mie&0 .> - 'interprtation des proprits d& systme t&di/> - 'a rso'&tion de '3&ation dtat/
> - ''a,oration d&ne 'oi de *ommande)
Des *:an(ements de ,ase 8&di*ie&0 pe&+entpermettre de 9a*i'iter 'a rso'&tion despro,'mes mentionns supra)
8/13/2019 Representation d Etat
18/61
"L#RALITE DES RE"RESENTATIONS DETAT
C:an(ement de ,ase
+=+=
DUCXY
BUAXX
Pmatri*e de passa(e*)* %*(.$)Z#X %=
UDZCY
UBZAZ
$$
$$
+=
+=
Le systme dans 'a ,ase ori(ine''e Le systme dans 'a no&+e''e ,ase
DD
C#C
B#B
A##A
$
$
$
$
=
=
=
=
"
"
).0($% /$ ,*$0$*" /$ 8,%$ 9
8/13/2019 Representation d Etat
19/61
LES FORMES CANONI;#ES
Forme dia(ona'e . e''e met en +iden*e .> 'es proprits dynami3&es 1sta,i'it/ rapidit/
amortissement2/
> 'es proprits de *ommanda,i'it etdo,ser+a,i'it/
> 9a*i'ite 'int(ration de '3&ation dtat/
> 'a *ontri,&tion des modes a&0 tats)
8/13/2019 Representation d Etat
20/61
LES FORMES CANONI;#ES
Forme dia(ona'e
+=+=
DUCXY
BUAXX
+=+=
UDZCY
UBZAZ
dd
dd
[ ] c%%cc%%
0%%0
0%%%0%%
%%00
0%%0
dnd&d"&
"
"&
"
==
==
=
C%#C
&
&
&
B#B
a
a
a
A d
dn
d
d
d
dn
d
d
d
Z#X %= " matri*e *onstit&e des +e*te&rs propres
To&s *a'*&'s 9aits @
Remar3&e . sans perte de (nra'it/ on po&rrait d*rire de 'a m=me manire
#n systme m&'tientres/ m&'tisorties)
8/13/2019 Representation d Etat
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LES FORMES CANONI;#ES
dn&
&da
"da
dna
&d&
"d&
dn'
&d'
"d'
)(tu
)("t(
)(t(n
)(& t(
)(t(n
)(& t(
)(" t(
+++
[ ] c%%cc%%
0%%0
0%%%0%%
%%00
0%%0
dnd&d"&
"
"&
"
==
==
= C%#C
&
&
&
B#B
a
a
a
A d
dn
d
d
d
dn
d
d
d
Forme dia(ona'e
y(t)
8/13/2019 Representation d Etat
22/61
LES FORMES CANONI;#ES
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
du&"("(u&(a(
du&"("(u&(a(
du&"("(u&(a(
t
dn
ta
n
ta
$dnndnn
t
d$
ta
$
ta
$d$$d$$
t
d
tata
dd
dndn
d$d$
dd
+=+=
+=+=
+=+=
0
0
0
0
0
""0"""""
%%%
%%%
""
Forme dia(ona'e . interprtation
2 Int(ration des 3&ations dtat .
2 Commanda,i'it . ,di5 ? i nest pas *ommand
2 O,ser+a,i'it . ndn$d$d '''y %%%%%"" ++=*di5 ? i nest pas o,ser+
2 Contri,&tion des modes a&0 tats . d9inie par 'es +e*te&rs propres
8/13/2019 Representation d Etat
23/61
LES FORMES CANONI;#ES
[ ]Fm
v
y
m
k
v
y
yy
+
=
"0
0
"0
Forme dia(ona'e . e0emp'e
[ ] [ ]
=
yv
yY 0"
n$
n$
nm$ +%0
"
")(" t(
)(& t(
)(& t(
)(" t(
nm$ +%0
)(tf
+
+
8/13/2019 Representation d Etat
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LES FORMES CANONI;#ES La 9orme *ompa(ne :orionta'e .
> 9a*i'ite 'a mise en oe&+re d&ne *ommande> o,tention G nat&re''e H d&ne reprsentaion dtat
dep&is &ne 9on*tion de trans9ert
=
=
"
0
%%%
0
0
%%%%%%
"0%%%00
0"0%%%%%%
%%%0"00
0%%%0"0
""0
)
n
) B
aaa
A
# a a aAn
n
n
( ) % %%% % = + + + +
"
"
" 0
+=
+=
DUCXY
BUAXX
A""$*")* : *$ &,% $.$. /$ %$*% &;%
8/13/2019 Representation d Etat
25/61
LES FORMES CANONI;#ES
( )( )0""
"
0"
"
"
%%%%%%%%%%%
)()(
apapap&p&p&p&
pUpY n
n
n
m
m
m
m
+++ +++=
La 9orme *ompa(ne :orionta'e .
> 9a*i'ite 'a mise en oe&+re d&ne *ommande> o,tention G nat&re''e H d&ne reprsentaion dtat
dep&is &ne 9on*tion de trans9ert
[ ]0%%%0
"
0
%%%
0
0
%%%%%%
"0%%%00
0"0%%%%%%
%%%0"00
0%%%0"0
"0
""0
m))
n
) &&&CB
aaa
A =
=
=
8/13/2019 Representation d Etat
26/61
STABILITE
A& tra+ers d&n e0emp'e
[ ]XY
UXX
0"
"
"
"0
0"
=
+
=
Soit 'e systme .
0
"
"
""
"
+p
"
"
p
#)(py)(pu
)(" px
)(& px
Le s*:ma 9on*tionne' .
La 9on*tion de trans9ert a perd& &n mode ."
"
)(
)(
+=
ppU
pY
Systme sta,'e d& point de +&e de 'a 9on*tion de trans9ert/
insta,'e d& point de +&e de 'a reprsentation dtat)
8/13/2019 Representation d Etat
27/61
Commanda,i'it O,ser+a,i'it
8/13/2019 Representation d Etat
28/61
Commanda,i'it
E0emp'e . *ontr'e dattit&de par ma(nto*o&p'e&r
z
yx
repre orital
local zs
xs
ys
z
x
y
-epre de consigne et repre satellite
tangage y
roulis x
lacet z
.
iyix
=
=
xy
(x
(y
(
x
y
x
B$
B$
B$
B
B
$
$
* 0
0
A&0 p'es/ 'es ma(nto*o&p'e&rs*rent des *o&p'es s&r 'es a0es et 'e sate''ite est*ommanda,'e)
8/13/2019 Representation d Etat
29/61
Commanda,i'it
zy
x
repre orital
local zs
xs
ys
z
x
y
-epre de consigne et repre satellite
tangage y
roulis x
lacet z
.
iyix
=
=
xy
x
yx
y
x
B$
B$B$B
$$
*
0
0
0
A (
8/13/2019 Representation d Etat
30/61
Commanda,i'it
D9inition . #n pro*ess&s de +e*te&r d%tat 4 est*omp'tement *ommanda,'e s&r '%inter+a''e de temps 6t?/ t97
s%i' e0iste s&r *et inter+a''e &ne *ommande #1t2 permettantd%amener *e +e*te&r d%&n tat initia' 41t?2 3&e'*on3&e - &ntat 9ina' 41t92 *:oisi 3&e'*on3&e ) Les *ritres s&i+antspermettent de *on*'&re 3&ant - 'o,ser+a,i'it d&n systme)
8/13/2019 Representation d Etat
31/61
Commanda,i'it #ti'isation d&ne reprsentation dtat dia(ona'ise
"d&
"da
"d'
0&=d& &d'
&da
dn'dn&
dna
#
)(ty
)(tu
)(" t()(" t(
)(& t(
)(t(n
)(& t(
)(t(n#
#
#
+=
+=
UDZCY
UBZAZ
dd
dd
[ ] c%%cc%%
0%%0
0%%%0%%
%%00
0%%0
dnd&d"
&
"
"&
"
==
==
= C%#C
&
&
&
B#B
a
a
a
A d
dn
d
d
d
dn
d
d
d
Dans 'a ,ase dia(ona'e/ 'e systme s*rit .
Et pe&t =tre reprsent *omme s&it .
Le systme est *ommanda,'e si Bdna pas de 'i(nes n&''es)
8/13/2019 Representation d Etat
32/61
Commanda,i'it
Critre de *ommanda,i'it o& *ritre de Ja'man
nBA...ABBrang n =
Le systme d*rit par 'a reprsentation dtat .
+=
+=
DUCXY
BUAXX
est *ommanda,'e ssi .
8/13/2019 Representation d Etat
33/61
O,ser+a,i'it
E0emp'e . Estimation de 'a dri+e d&ne *entra'e inertie''e
temps
erreur de position
t
d*rive
Sans re*a'a(e
( )
( ) ( ) ( )0&
0
&
0)(
&&
xt
dtvt
tx
tdvttv
d
y
y
m
+++=
++=
+=
est 'a**'ration mes&re par 'a *entra'e inertie''e/ e''e *omporte &ne erre&rSystmati3&e d) Aprs int(rations/ *ette erre&r se propa(e et est - 'ori(ined&ne dri+e)
Sans a&tre in9ormation/ on est in*apa,'e destimer 'a dri+e/ 'e systme est a'orsino,ser+a,'e)
8/13/2019 Representation d Etat
34/61
O,ser+a,i'it
E0emp'e . Estimation de 'a dri+e d&ne *entra'e inertie''e
A+e* re*a'a(e
/n a accs 0 la d*rive d par une mesure suppl*mentaire, laquelle peut 1tre otenue par
'n 234%
La dri+e pe&t =tre estime et 'e systme est dit o,ser+a,'e)
temps
erreur de position
t
d*rive
recalage
8/13/2019 Representation d Etat
35/61
O,ser+a,i'it
#n systme est dit *omp'tement o,ser+a,'e s&r'%inter+a''e de temps 6t?/ t97 si '%o,ser+ation de 'a*ommande #1t2 et de 'a sortie $1t2 permet de dterminer'%tat initia' 41t?2) Les *ritres s&i+ants permettent de
*on*'&re 3&ant - 'o,ser+a,i'it d&n systme)
O, ,i'it
8/13/2019 Representation d Etat
36/61
O,ser+a,i'it #ti'isation d&ne reprsentation dtat dia(ona'ise
+=
+=
UDZCY
UBZAZ
dd
dd
[ ] c%%cc%%
0%%0
0%%%0%%
%%00
0%%0
dnd&d"
&
"
"&
"
==
==
= C%#C
&
&
&
B#B
a
a
a
A d
dn
d
d
d
dn
d
d
d
Dans 'a ,ase dia(ona'e/ 'e systme s*rit .
Et pe&t =tre reprsent *omme s&it .
Le systme est o,ser+a,'e si Cdna pas de *o'onnes n&''es)
"d&
"da
"d'
&d& &d'
&da
dn'dn&
dna
#
)(ty
)(tu
)(" t()(" t(
)(& t(
)(t(n
)(& t(
)(t(n
0
#
#
#
8/13/2019 Representation d Etat
37/61
O,ser+a,i'it
Critre do,ser+a,i'it o& *ritre de Ja'man
Le systme d*rit par 'a reprsentation dtat .
+=
+=
DUCXY
BUAXX
est o,ser+a,'e ssi . n
CA
...
CA
C
rang
n
=
8/13/2019 Representation d Etat
38/61
Commanda,i'it O,ser+a,i'it
C+,
+C,
Dans 'e *as (nra'/ 'e systme d*rit par 'a reprsentation dtat .
Comporte .So&ssystme *ommanda,'e et o,ser+a,'eSo&ssystme *ommanda,'e et non o,ser+a,'eSo&ssystme non *ommanda,'e et o,ser+a,'eSo&ssystme non *ommanda,'e et non o,ser+a,'e+C,
+C,
+=
+=
DUCXY
BUAXX
'-,
-',
-',
-',
u
y
Et 'a 9on*tion de trans9ert ne 9ait apparaKtre 3&e 'es modes *ommanda,'es et o,ser+a,'es
Commande par reto&r dtat
8/13/2019 Representation d Etat
39/61
Commande par reto&r d tat E0emp'e introd&*ti9 .
tats mesurs
vitesses
positions
Entres de perturbation
wx, wz perturations atmosp5*riques
Consigne !
"oint #is
6p
6v
$
$
%
Entres de commande
manette des gaz
gouverne de profondeur
Lors d&ne p:ase datterrissa(e/ 'e pi'ote +ise &n point dimpa*t) A to&t instant
i' '&i 9a&t +a'&er .sa position 10/ y/ 2 par rapport a& point dimpa*t 1?/?/?2/sa +itesse re'ati+e 1+0/ +y/ +2 par rapport - *e''e dsire a& point dimpa*t 1!0d/?/
Le pi'ote 'a,ore &ne strat(ie de *ommande 9on*tion de *es +aria,'es/
*est &ne strat(ie de )00,*/$ &,. .$"). /",")
S t: d ' d t dt t
8/13/2019 Representation d Etat
40/61
Synt:se de 'a *ommande par reto&r dtat
( )
( )
%
B"XB.AX
.X"BAXX
BUAXX
+=
+=
+=
C#
X
Y
X
A
B
U
systme
Str&*t&re .
6
ypot:ses . To&s 'es tats sont mes&rs $54Le systme est *ommanda,'e
Mise en 3&ation .
B.AA' = La matri*e dtat *orri(e
8/13/2019 Representation d Etat
41/61
Strat(ie de *ommande
On *:er*:e - r('er 'a dynami3&e d& systmei)e) sta,i'it/ amortissement/ rapidit)
On rappe''e 3&e *es per9orman*es sont
*onditionnes par 'es p'es d& systme Les p'es sont 'es +a'e&rs propres de 'a matri*e
dtat/ i*i . A* 5A > BJ
A/ B donns/ on r('e J de sorte 3&e 'es +a'e&rspropres de A* soit 'es p'es 3&i satis9ont a&0o,8e*ti9s de 'a *ommande)
8/13/2019 Representation d Etat
42/61
-0.7 -0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.20.4
0.6
0.8
1
Real Axis
Imag Axis
Carte des poles, axe latral dun Boeing 747 daprs Mathtools.
37les Amortissement $req% (rad8s) n
!0,009&: " 9%&:e!00;
!0,+9i ;%>:e!00& =%>9e!00"!0,0;&=e ? 0,=>9i ;%>:e!00& =%>9e!00"
oscillation de d*rapage
mode de spiral
mode roulis pur
Strat(ie de *ommandeE0emp'e . r('a(e de 'os*i''ation de drapa(e d&n B
8/13/2019 Representation d Etat
43/61
-0 .7 -0 .6 -0 .5 -0 .4 -0 .3 -0 .2 -0 .1 0 -1
-0 .8
-0 .6
-0 .4
-0 .2
0
0 .2
0 .4
0 .6
0 .8
1
Rea l A x i s
Ima gA xis
C a r te d e s p l e s d u 7 4 7 c o r r ig
0,> # 0,>%i
0,> ! 0,>%i
Strat(ie de *ommandeE0emp'e . r('a(e de 'os*i''ation de drapa(e d&n B
nmin
min
8/13/2019 Representation d Etat
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Ca'*&' de 'a matri*e de *ommande J
[ ]nn kkkk. "&" %% =
( )
( )
%
B"XB.AX
.X"BAXX
BUAXX
+=
+=+=
Le systme *orri(
Dimension de J . 1m 0 n2
Dimension de B . 1n 0 m2
Dimension de A . 1n 0 n2
On se p'a*e dans 'e *as d&n systme - entre et J - 'a str&*t&re s&i+ante .
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Mt:ode . r('a(e d& po'ynme *ara*tristi3&e de A*5ABJ
Ca'*&' de 'a matri*e de *ommande J
On dd&it 'es p'es d& systme *orri( daprs 'es per9orman*esdynami3&es - atteindre) On pe&t a'ors *rire 'e po'ynme *ara*tristi3&ed& systme *orri( .
( )0"
&
&
"
"%%%%%% +++++=
n
n
n
n
n
A'-//$01#
Ce po'ynme *ara*tristi3&e est 'e po'ynme *ara*tristi3&e de ABJ .
( ) ( ) [ ]nnA'-//$01 kkkkBAI.BAI# "&" %%%%% +==
On est don* amen - rso&dre &n systme de n3&ations - n in*onn&essatis9aisant a&0 nso'&tions[ ]nn kkkk "&" %% [ ]
T
nn "&"0 %%
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Ca'*&' de 'a matri*e de *ommande J E0emp'e . soit 'e systme d*rit par 'a reprsentation dtat s&i+ante)
Dterminer &n reto&r dtat te' 3&e 'amp'it&de re'ati+e d& premierdpassement soit in9rie&r - P/ 3&e 'e temps de rponse - P soitminima' est in9rie&r - s)
"'es dsirs .
$ppt
D
n/n
+=
=
8",
";
9,0@+
""
@+
@"
"o'ynme *ara*tristi3&e - atteindre . ( ) &&&
++= ppp#A'Q identi9ier a& po'ynme *ara*tristi3&e *orri( .
( ) ( ) ( )&>>"+ &""&&& ++++= kkkkpkkpp# B.A
="k
&," &" == kkTo&s *a'*&'s 9aits .
Ca'*&' de 'a matri*e de *ommande J
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Mt:ode . *a'*&' de J dans 'a ,ase *ompa(ne :orionta'e
Ca'*&' de 'a matri*e de *ommande J
0"
&
&
"
" %%%%%%)( aaaa# n
n
n
n
n
A +++++=
=
""0 %%%%%%"0%%%00
0"0%%%%%%
%%%0"00
0%%%0"0
n
)
aaa
A
=
""0 %%%%%%"0%%%00
0"0%%%%%%
%%%0"00
0%%%0"0
n
)'-//$01A
( ) 0"&
&
"
" %%%%%% +++++=
n
n
n
n
n
A'-//$01#
La matri*e dtat d& systme non *orri( La matri*e dtat d& systme *orri(
Le po'ynme *ara*tristi3&e d& systme non *orri( Le po'ynme *ara*tristi3&e d& systme *orri(
[ ]
=
==
""""00
""0
""0 %%%%%%
"0%%%00
0"0%%%%%%
%%%0"000%%%0"0
%%%%%%
"
0
%%%
%%%0
%%%%%%
"0%%%00
0"0%%%%%%
%%%0"000%%%0"0
%
nn
n
n
'-//$01
kakaka
kkk
aaa
.BAA
{ }",%%%,0 = n$ak $$$ Aprs identi9i*ation .
R ' d i t ti
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R('a(e d& (ain stati3&e
On insre &n pr9i'tre .
C#
X
Y
X
A
B
U
systme
6
La 9on*tion de trans9ert . ( ) ( ) ( )p.Be.6ApCDp "+=
En r(ime permanent/ 'e (ain stati3&e . ( ) .B.6AD "+
CXY
.X"U
BUAXX
==
+=
%
e
Les *oe99i*ients de 'a matri*e permettent de r('er 'e (ain stati3&e dsir)
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OBSER!ATE#R DETERMINISTE
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O,ser+ate&rs dterministes
"osition d& pro,'me
> La *ommande par reto&r dtat #5eJ4
n*essite 3&on ait a**s - to&s 'es tats) Or
po&r des raisons *onomi3&es o& prati3&es 'es tatsne sont pas to&s mes&ra,'es
Re*onstr&ire Estimer 'es tats 3&e 'on nemes&re pas
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O,ser+ate&rs dterministes
"osition d& pro,'me> Certains systmes sont d*rits par des paramtres
in*onn&s 3&i' est po&rtant n*essaire de *onnaKtre)Or *es paramtres ne sont pas mes&ra,'es/ par
e0emp'e 'e terme de dri+e d&n a**'romtre o&d&n (yromtre)
Estimer 'e paramtre 3&e 'on ne pe&t pasmes&rer)
O, t dt i i t
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Syst&me
commande
#
!
sorties
mesures
U
e
obser#ateur
E
X
Y
O,ser+ate&rs dterministes
Ide . e0p'oiter 'e ma0im&m din9ormations
disponi,'es po&r estimer 'tat in*onn& i)e)> Les mes&res disponi,'es
> #n mod'e d& systme so&s 9orme dereprsentation dtat
> En o&tre 'e systme doit =tre o,ser+a,'e 1Ja'man2
Etat re*onstr&it
E
X
O,ser+ate&rs identit
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O,ser+ate&rs identit On dispose d&ne se&'e mes&re $ po&r re*onstr&ire
to&s 'es tats 4 et 'e systme est o,ser+a,'e
Syst&me
A ' B ' C
uy
x(tatconstruit
)bser#ateur
S ' * ' +
Lo,ser+ate&r est 'inaire +is-+is des *ommandes/des mes&res et des tats estims .
Y!U2X,X %%%EE
++=
Systme
Lo,ser+ate&r pe&t =tre +& *omme &n 9i'tre 'inaire .
( ) ( ) ( ) ( ) ( )p!Y,pIp2U,pIpX""
E
+=
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O,ser+ate&rs identit
Syst&me
A ' B ' C
uy
x(
tatconstruit
)bser#ateur
S ' * ' +
( ) ( ) ( )tXtXtE
=
Les matri*es S/ < et L doi+ent ass&rer 'a *on+er(en*ede 'tat estim +ers ' tat re' soit .
On d9init 'erre&r destimation .
( ) ( )
+
t
tXtXE
3&i doit *on+er(er +ers ? 'ors3&e t
O,ser+ate&rs identit
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O,ser+ate&rs identit E0pression de 'erre&r .
Mod'e de prdi*tion Corre*te&r 1re*a'e 'erre&r de prdi*tion2
( ) ( )0 t!CA"
=
E3&ations dtat de 'o,ser+ate&r .
)(EEE
YY!BUXAX ++=
Mesure Y
C#
E
X
E
YE
X
A
B
F
'
3tats /"'-nst/u $ts4imulateur
4ystme ( *tatX)
#
!
#"/tu/&at$-ns 4
;&e' sens attri,&e+o&s - 1?2
L est en 9ait 9orm de n (ains
[ ]Tn555! ""0 %% =
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C:oi0 d& (ain L de 'o,ser+ate&r
Lerre&r e doit *on+er(er rapidement +ers ?) Les +a'e&rspropres de ALC doi+ent a+oir &ne partie re''e n(ati+e1*ondition de sta,i'it2 et 'e&r mod&'e p'&s (rand 3&e*e'&i des +a'e&rs propres de A a9in 3&e 'a d&re d&r(ime transitoire de '%erre&r soit p'&s *o&rte 3&e *e''e d&r(ime transitoire d& systme)
'es in*ertit&des s&r 'e mod'e *ond&isent/ si e''es sontimportantes - *:oisir &n (rand (ain L po&r ren9or*er'%in9'&en*e des mes&res y par rapport - 'a sim&'ation)
Le ,r&it enta*:ant 'a mes&re des (rande&rs de sortie estamp'i9i par 'es (ains L et si L est trop (rand d(rade'estimation)
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C:oi0 d& (ain L de 'o,ser+ate&r
On 9i0e 'a dynami3&e de 'tat 'erre&r i)e) en *om,iende temps et *omment 'es erre&rs *on+er(ent +ers ?/
Cette dynami3&e est d9inie par 'es p'es de
'o,ser+ate&r 3&i sont 'es +a'e&rs propres de ALC/
On *rit 'e po'ynme *ara*tristi3&e dsir - partir des+a'e&rs propres de ALC/
On 'identi9ie - "ALC12 et on en dd&it L
( ) 0""
" %%%%% ++++= n
nn
!CA#
( ) [ ]( ) 0""
"""0 %%%%%%%% ++++==
n
n
n
n C555AI!CAI
Ca'* ' de 'a matri*e L
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Ca'*&' de 'a matri*e L E0emp'e . soit 'e systme d*rit par 'a reprsentation
dtat s&i+ante) Dterminer &n reto&r dtat te' 3&e 'eserre&r destimation de 'o,ser+ate&r *on+er(ent en &ntemps de rponse minima' in9rie&r o& (a' - ?/ s)
"'es dsirs .
$ppt n/n
"08"0,"0;
9,0minimaltemps
""
@+
+=
=
=
"o'ynme *ara*tristi3&e - atteindre . ( ) "00">&
++= ppp# !CAQ identi9ier a& po'ynme *ara*tristi3&e *orri( .
( ) ( )&";&
"&
0
0
"
0
+
=
5
5
p
pp# !CA
A 'i ti ti ti d ttit d S"OT
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App'i*ation . estimation dattit&de s&r S"OT
C,#
#
X
A,-
B,qm
Gitesse de tangagemesur*e
H
On a ,esoin de *onnaKtre 'attit&de d& sate''ite - / or 'es *apte&rs dattit&de
d'i+rent &ne mes&re - @
On dispose d&n (yromtre 3&i d'i+re &ne mes&re de +itesse - / on int(reLa +itesse an(&'aire mes&re 3mpo&r prod&ire &ne estimation de 'an('e detan(a(e soit .
= dtq%
E
La m=me mise so&s 9orme d&n mod'e de prdi*tion .
Or/ 'e (yromtre d'i+re &ne mes&re errone . &qqm +=
Le mod'e de prdi*tion propa(e *ette erre&r @ et 'e sate''ite estma' *ommand U t&%
E
+=
App'i*ation . estimation dattit&de s&r S"OT
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C,#
#
X
H
A,-
B,qm
Gitesse de tangagemesur*e
!
!
#
App'i*ation . estimation d attit&de s&r S"OT
T
&X
=
EEE
+=
E
"
EE
% 5&qm
=
E
&
E
% 5&
Re*a'a(e par sense&r dattit&de -
Le no&+ea& +e*te&r dtat .
Les 3&ations de 'o,ser+ate&r de 'a 9orme . )(EEE
YY!BUXAX ++=
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Commande par reto&r dtat estim
.
A
.
A
D
D
6
F
#
!
#
#
#
#
#
!
systme
oservateur
e Y
YH
XH
X
XH
U
Comme on ne dispose pas d&ne mes&re des tats/on (nre 'a *ommande par reto&r dtat a& moyen des
tats estims par 'o,ser+ate&r)
Mise en 3&ation d& systme *omp'et .
"BX
C!A
.B.BAX %0%0
%%
+
=
T:orme de sparation des tats.
( ) ( ) ( )!CApIB.ApIp# ++=
On pe&t dimensionner sparementLa *ommande et 'o,ser+ate&r)
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