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Chapitre 8Reduction des endomorphismes

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1 Etude sur des exemples

2 Elements propres d’un endomorphisme

3 Diagonalisation en dimension finie

4 Trigonalisation

5 Applications de la reduction

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Partie 1

Etude sur des exemples

Reduction des endomorphismes

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1. Les projections

Partie 1 : Etude sur des exemples 1/73

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1. Les projections

On note E un espace vectoriel de dimension finie n ě 1 sur K “ R ou C.

Partie 1 : Etude sur des exemples 1/73

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1. Les projections

On note E un espace vectoriel de dimension finie n ě 1 sur K “ R ou C.

‚ Une projection (ou projecteur) de E est determinee par la donnee de deux sous-espaces supplementaires F et G de E

E “ F ‘ G

x

xF

xG

F

G

Partie 1 : Etude sur des exemples 1/73

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1. Les projections

On note E un espace vectoriel de dimension finie n ě 1 sur K “ R ou C.

‚ Une projection (ou projecteur) de E est determinee par la donnee de deux sous-espaces supplementaires F et G de E

E “ F ‘ G

‚ @x P E, x “ xF`xG ou xF P F et xG P G

Cette decomposition est unique.x

xF

xG

F

G

Partie 1 : Etude sur des exemples 1/73

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1. Les projections

On note E un espace vectoriel de dimension finie n ě 1 sur K “ R ou C.

‚ Une projection (ou projecteur) de E est determinee par la donnee de deux sous-espaces supplementaires F et G de E

E “ F ‘ G

‚ @x P E, x “ xF`xG ou xF P F et xG P G

Cette decomposition est unique.

‚ xF est le projete de x sur F parallelementa G.

x

xF

xG

F

G

Partie 1 : Etude sur des exemples 1/73

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1. Les projections

On note E un espace vectoriel de dimension finie n ě 1 sur K “ R ou C.

‚ Une projection (ou projecteur) de E est determinee par la donnee de deux sous-espaces supplementaires F et G de E

E “ F ‘ G

‚ @x P E, x “ xF`xG ou xF P F et xG P G

Cette decomposition est unique.

‚ xF est le projete de x sur F parallelementa G.

‚ L’application pF : E ÝÑ Ex ÞÝÑ xF

est la pro-

jection de E sur F parallelement a G.

x

xF

xG

F

G

Partie 1 : Etude sur des exemples 1/73

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1. Les projections

On note E un espace vectoriel de dimension finie n ě 1 sur K “ R ou C.

‚ Une projection (ou projecteur) de E est determinee par la donnee de deux sous-espaces supplementaires F et G de E

E “ F ‘ G

‚ @x P E, x “ xF`xG ou xF P F et xG P G

Cette decomposition est unique.

‚ xF est le projete de x sur F parallelementa G.

‚ L’application pF : E ÝÑ Ex ÞÝÑ xF

est la pro-

jection de E sur F parallelement a G.

‚ On definit de meme la projection pG .

x

xF

xG

F

G

Partie 1 : Etude sur des exemples 1/73

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1. Les projections

Proposition (Proprietes des projections)

Les applications pF et pG sont des endomorphismes de E. On a les relations

‚ Ker pF “ G, Im pF “ F “ KerppF ´ idEq (et idem pour pG)

‚ pF ` pG “ idE , pF ˝ pG “ pG ˝ pF “ 0 (l’endomorphisme nul) et pF ˝ pF “ pF(idem pour pG).

Partie 1 : Etude sur des exemples 2/73

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1. Les projections

Proposition (Proprietes des projections)

Les applications pF et pG sont des endomorphismes de E. On a les relations

‚ Ker pF “ G, Im pF “ F “ KerppF ´ idEq (et idem pour pG)

‚ pF ` pG “ idE , pF ˝ pG “ pG ˝ pF “ 0 (l’endomorphisme nul) et pF ˝ pF “ pF(idem pour pG).

§ pF est un projecteur (lineaire et pF ˝ pF “ pF ).

Partie 1 : Etude sur des exemples 2/73

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1. Les projections

NOTATION

� pF ˝ pG se note souvent comme un produit pFpG sans le ˝.

Partie 1 : Etude sur des exemples 3/73

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1. Les projections

NOTATION

� pF ˝ pG se note souvent comme un produit pFpG sans le ˝.

� pF ˝ pF se note p2F .

Partie 1 : Etude sur des exemples 3/73

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1. Les projections

§ On peut generaliser la definition a plus de 2 sous-espaces de E.

E “ F1 ‘ ¨ ¨ ¨ ‘ Fq

F1 F2

Fq

x

x1 x2

xq

Partie 1 : Etude sur des exemples 4/73

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1. Les projections

§ On peut generaliser la definition a plus de 2 sous-espaces de E.

E “ F1 ‘ ¨ ¨ ¨ ‘ Fq

‚ @x P E, on a de maniere unique

x “ x1 ` x2 ` ¨ ¨ ¨ ` xq

avec xi P Fi , i P v1, qw.

F1 F2

Fq

x

x1 x2

xq

Partie 1 : Etude sur des exemples 4/73

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1. Les projections

§ On peut generaliser la definition a plus de 2 sous-espaces de E.

E “ F1 ‘ ¨ ¨ ¨ ‘ Fq

‚ @x P E, on a de maniere unique

x “ x1 ` x2 ` ¨ ¨ ¨ ` xq

avec xi P Fi , i P v1, qw.

‚ On pose pi pxq “ xi .

F1 F2

Fq

x

x1 x2

xq

Partie 1 : Etude sur des exemples 4/73

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1. Les projections

§ On peut generaliser la definition a plus de 2 sous-espaces de E.

E “ F1 ‘ ¨ ¨ ¨ ‘ Fq

‚ @x P E, on a de maniere unique

x “ x1 ` x2 ` ¨ ¨ ¨ ` xq

avec xi P Fi , i P v1, qw.

‚ On pose pi pxq “ xi .

F1 F2

Fq

x

x1 x2

xq

Les pi sont les projections associes a la somme directe.

Partie 1 : Etude sur des exemples 4/73

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1. Les projections

EXERCICE 1

Enoncer les proprietes des projections pi correspondant a la proposition precedente.Preciser en particulier leurs noyaux, images, ainsi que les relations qu’ils verifient entreeux.

Partie 1 : Etude sur des exemples 5/73

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1. Les projections

EXERCICE 2

Soit f un endomorphisme de E. Montrer que f est une projection de E si et seulementsi c’est un projecteur de E (c’est-a-dire que f ˝ f “ f ).

Partie 1 : Etude sur des exemples 6/73

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1. Les projections

Ecriture matricielle

Partie 1 : Etude sur des exemples 7/73

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1. Les projections

Ecriture matricielle

‚ Elle depend du choix de la base.

Partie 1 : Etude sur des exemples 7/73

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1. Les projections

Ecriture matricielle

‚ Elle depend du choix de la base.

‚ Une base adaptee a F ‘ G s’obtient en juxtaposant des bases de F et G.

Partie 1 : Etude sur des exemples 7/73

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1. Les projections

Ecriture matricielle

‚ Elle depend du choix de la base.

‚ Une base adaptee a F ‘ G s’obtient en juxtaposant des bases de F et G.

F

G

e1 ek

en

Une base adaptee a F‘G

Partie 1 : Etude sur des exemples 7/73

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1. Les projections

Ecriture matricielle

‚ Elle depend du choix de la base.

‚ Une base adaptee a F ‘ G s’obtient en juxtaposant des bases de F et G.

F

G

e1 ek

en

Une base adaptee a F‘G

¨

˚

˚

˚

˚

˚

˚

˚

˚

˚

˝

1. . .

1

0

0

0. . .

0

˛

looooomooooon

F

looooomooooon

G

,

.

-

F

,

.

-

G

Partie 1 : Etude sur des exemples 7/73

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1. Les projections

Ecriture matricielle

‚ Elle depend du choix de la base.

‚ Une base adaptee a F ‘ G s’obtient en juxtaposant des bases de F et G.

F

G

e1 ek

en

Une base adaptee a F‘G

¨

˚

˚

˚

˚

˚

˚

˚

˚

˚

˝

1. . .

1

0

0

0. . .

0

˛

looooomooooon

F

looooomooooon

G

,

.

-

F

,

.

-

G

‚ C’est une matrice diagonale et construite en blocs.

Partie 1 : Etude sur des exemples 7/73

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1. Les projections

‚ On dit que l’on a diagonalise la projection pF .

Partie 1 : Etude sur des exemples 8/73

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1. Les projections

‚ On dit que l’on a diagonalise la projection pF .

‚ On a les relations

pF pe1q “ e1 “ 1ˆ e1 (invariant) etc... jusqu’a ek

pF pek`1q “ 0 “ 0ˆ ek`1 (annule) etc... jusqu’a en

Partie 1 : Etude sur des exemples 8/73

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1. Les projections

‚ On dit que l’on a diagonalise la projection pF .

‚ On a les relations

pF pe1q “ e1 “ 1ˆ e1 (invariant) etc... jusqu’a ek

pF pek`1q “ 0 “ 0ˆ ek`1 (annule) etc... jusqu’a en

‚ Les coefficients 0 et 1 sont des valeurs propres de la projection et les vecteurse1, . . . , en des vecteurs propres associes.

Partie 1 : Etude sur des exemples 8/73

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1. Les projections

‚ On dit que l’on a diagonalise la projection pF .

‚ On a les relations

pF pe1q “ e1 “ 1ˆ e1 (invariant) etc... jusqu’a ek

pF pek`1q “ 0 “ 0ˆ ek`1 (annule) etc... jusqu’a en

‚ Les coefficients 0 et 1 sont des valeurs propres de la projection et les vecteurse1, . . . , en des vecteurs propres associes.

‚ Les espaces F et G sont des espaces propres de la projection associes aux valeurspropres 1 et 0.

Partie 1 : Etude sur des exemples 8/73

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1. Les projections

‚ On dit que l’on a diagonalise la projection pF .

‚ On a les relations

pF pe1q “ e1 “ 1ˆ e1 (invariant) etc... jusqu’a ek

pF pek`1q “ 0 “ 0ˆ ek`1 (annule) etc... jusqu’a en

‚ Les coefficients 0 et 1 sont des valeurs propres de la projection et les vecteurse1, . . . , en des vecteurs propres associes.

‚ Les espaces F et G sont des espaces propres de la projection associes aux valeurspropres 1 et 0.

La diagonalisation est la forme la plus simple de reductionOn l’obtient grace a une base de vecteurs propres

Partie 1 : Etude sur des exemples 8/73

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1. Les projections

EXERCICE 3

Determiner la matrice A dans la base canonique de R3 de la projection pF sur F

d’equation x ´ y ` 2z “ 0 parallelement a G “ Vect

ˆ

0

1

1

˙

.

Partie 1 : Etude sur des exemples 9/73

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1. Les projections

EXERCICE 3

Determiner la matrice A dans la base canonique de R3 de la projection pF sur F

d’equation x ´ y ` 2z “ 0 parallelement a G “ Vect

ˆ

0

1

1

˙

.

‚ Pourquoi n’obtient-on pas une matrice diagonale ?

Partie 1 : Etude sur des exemples 9/73

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1. Les projections

EXERCICE 3

Determiner la matrice A dans la base canonique de R3 de la projection pF sur F

d’equation x ´ y ` 2z “ 0 parallelement a G “ Vect

ˆ

0

1

1

˙

.

‚ Pourquoi n’obtient-on pas une matrice diagonale ?

‚ Verifier la relation A2 “ A sur cet exemple.

Partie 1 : Etude sur des exemples 9/73

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1. Les projections

EXERCICE 3

Determiner la matrice A dans la base canonique de R3 de la projection pF sur F

d’equation x ´ y ` 2z “ 0 parallelement a G “ Vect

ˆ

0

1

1

˙

.

‚ Pourquoi n’obtient-on pas une matrice diagonale ?

‚ Verifier la relation A2 “ A sur cet exemple.

‚ Donner une base dans laquelle la matrice de pF est diagonale.

Partie 1 : Etude sur des exemples 9/73

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2. Les symetries

Partie 1 : Etude sur des exemples 10/73

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2. Les symetries

Une symetrie se definit a partir des projections qui lui sont associees.

F

G

x

xF

xG

sF (x)

Partie 1 : Etude sur des exemples 10/73

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2. Les symetries

Une symetrie se definit a partir des projections qui lui sont associees.

F

G

x

xF

xG

sF (x)

‚ La symetrie sF par rapport a F par-allelement a G est definie par,

@x P E, sF pxq “ pF pxq ´ pGpxq

Partie 1 : Etude sur des exemples 10/73

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2. Les symetries

Une symetrie se definit a partir des projections qui lui sont associees.

F

G

x

xF

xG

sF (x)

‚ La symetrie sF par rapport a F par-allelement a G est definie par,

@x P E, sF pxq “ pF pxq ´ pGpxq

‚ En terme d’endomorphismes, on a sF “pF ´ pG .

Partie 1 : Etude sur des exemples 10/73

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2. Les symetries

Une symetrie se definit a partir des projections qui lui sont associees.

F

G

x

xF

xG

sF (x)

‚ La symetrie sF par rapport a F par-allelement a G est definie par,

@x P E, sF pxq “ pF pxq ´ pGpxq

‚ En terme d’endomorphismes, on a sF “pF ´ pG .

‚ Comme pF ` pG “ idE , on a aussi,

sF “ 2pF ´ idE

Partie 1 : Etude sur des exemples 10/73

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2. Les symetries

Une symetrie se definit a partir des projections qui lui sont associees.

F

G

x

xF

xG

sF (x)

‚ La symetrie sF par rapport a F par-allelement a G est definie par,

@x P E, sF pxq “ pF pxq ´ pGpxq

‚ En terme d’endomorphismes, on a sF “pF ´ pG .

‚ Comme pF ` pG “ idE , on a aussi,

sF “ 2pF ´ idE

§ Matriciellement, on a aussi S “ 2P ´ In.

Partie 1 : Etude sur des exemples 10/73

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2. Les symetries

‚ On peut diagonaliser sF .

Partie 1 : Etude sur des exemples 11/73

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2. Les symetries

‚ On peut diagonaliser sF .

‚ Une base adaptee a F ‘G est de la forme pe1, . . . , ek , ek`1, . . . , enq ou pe1, . . . , ekqest une base de F et pek`1, . . . , enq est une base de G.

Partie 1 : Etude sur des exemples 11/73

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2. Les symetries

‚ On peut diagonaliser sF .

‚ Une base adaptee a F ‘G est de la forme pe1, . . . , ek , ek`1, . . . , enq ou pe1, . . . , ekqest une base de F et pek`1, . . . , enq est une base de G.

‚ On a la matrice

Mpe1,...,enqpsF q “

¨

˚

˚

˚

˚

˚

˚

˚

˚

˚

˝

1. . .

1

0

0

´1. . .

´1

˛

looooomooooon

F

loooooooomoooooooon

G

,

.

-

F

,

.

-

G

Partie 1 : Etude sur des exemples 11/73

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2. Les symetries

‚ On peut diagonaliser sF .

‚ Une base adaptee a F ‘G est de la forme pe1, . . . , ek , ek`1, . . . , enq ou pe1, . . . , ekqest une base de F et pek`1, . . . , enq est une base de G.

‚ On a la matrice

Mpe1,...,enqpsF q “

¨

˚

˚

˚

˚

˚

˚

˚

˚

˚

˝

1. . .

1

0

0

´1. . .

´1

˛

looooomooooon

F

loooooooomoooooooon

G

,

.

-

F

,

.

-

G

‚ Elle est encore diagonale et construite en blocs, mais avec des coefficients differents.

Partie 1 : Etude sur des exemples 11/73

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2. Les symetries

‚ On a les relations sF pe1q “ e1, . . . , sF pekq “ ek et sF pek`1q “ ´ek`1, . . . sF penq “´en.

Partie 1 : Etude sur des exemples 12/73

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2. Les symetries

‚ On a les relations sF pe1q “ e1, . . . , sF pekq “ ek et sF pek`1q “ ´ek`1, . . . sF penq “´en.

‚ 1 et ´1 sont valeurs propres de sF et e1, . . . , en sont des vecteurs propres associes.

Partie 1 : Etude sur des exemples 12/73

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2. Les symetries

‚ On a les relations sF pe1q “ e1, . . . , sF pekq “ ek et sF pek`1q “ ´ek`1, . . . sF penq “´en.

‚ 1 et ´1 sont valeurs propres de sF et e1, . . . , en sont des vecteurs propres associes.

‚ F est l’espace propre de sF associe a la valeur propre 1 et G l’espace propre de sFassocie a la valeur propre ´1.

Partie 1 : Etude sur des exemples 12/73

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2. Les symetries

EXERCICE 4

Soit f un endomorphisme de E. Donner une condition necessaire et suffisante faisantintervenir f ˝ f “ f 2 pour que f soit une symetrie.

Partie 1 : Etude sur des exemples 13/73

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2. Les symetries

EXERCICE 5

Determiner la matrice dans la base canonique de la symetrie sF par rapport a F ,parallelement a G ou les espaces F et G sont ceux de l’exercice 3. On rappelle quel’on a obtenu la matrice de pF ,

A “

¨

˝

1 0 0´1 2 ´2´1 1 ´1

˛

Partie 1 : Etude sur des exemples 14/73

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2. Les symetries

EXERCICE 5

Determiner la matrice dans la base canonique de la symetrie sF par rapport a F ,parallelement a G ou les espaces F et G sont ceux de l’exercice 3. On rappelle quel’on a obtenu la matrice de pF ,

A “

¨

˝

1 0 0´1 2 ´2´1 1 ´1

˛

Pour un endomorphisme f de E,f est une symetrie ðñ f 2 “ idE, f est une projection ðñ f 2 “ f .

Partie 1 : Etude sur des exemples 14/73

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3. Les homotheties

Partie 1 : Etude sur des exemples 15/73

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3. Les homotheties

‚ L’homothetie hλ de E de rapport λ ‰ 0 est definie par :

@x P E, hλpxq “ λx

Partie 1 : Etude sur des exemples 15/73

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3. Les homotheties

‚ L’homothetie hλ de E de rapport λ ‰ 0 est definie par :

@x P E, hλpxq “ λx

‚ En terme d’endomorphismes hλ “ λ idE .

Partie 1 : Etude sur des exemples 15/73

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3. Les homotheties

‚ L’homothetie hλ de E de rapport λ ‰ 0 est definie par :

@x P E, hλpxq “ λx

‚ En terme d’endomorphismes hλ “ λ idE .

‚ Toute base de E est adaptee a hλ. On a la matrice

Hλ “

¨

˝

λ 0. . .

0 λ

˛

‚“ λIn

Partie 1 : Etude sur des exemples 15/73

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3. Les homotheties

‚ L’homothetie hλ de E de rapport λ ‰ 0 est definie par :

@x P E, hλpxq “ λx

‚ En terme d’endomorphismes hλ “ λ idE .

‚ Toute base de E est adaptee a hλ. On a la matrice

Hλ “

¨

˝

λ 0. . .

0 λ

˛

‚“ λIn

‚ L’homothetie hλ est diagonalisable. Elle n’a qu’une valeur propre λ et un seul espacepropre, E tout entier.

Partie 1 : Etude sur des exemples 15/73

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Partie 2

Elements propres d’un endomorphisme

Reduction des endomorphismes

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1. Definitions

Partie 2 : Elements propres d’un endomorphisme 16/73

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1. Definitions

Definition (Valeur propre et vecteur propre d’un endomorphisme)

Soient E un espace vectoriel sur K et f un endomorphisme de E. On dit qu’unscalaire λ P K est valeur propre de f s’il existe un vecteur non nul x de E tel que

f pxq “ λx

On dit aussi que x est vecteur propre de f associe a la valeur propre λ.

Partie 2 : Elements propres d’un endomorphisme 16/73

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1. Definitions

REMARQUES

‚ Un vecteur propre x est toujours non nul.

Partie 2 : Elements propres d’un endomorphisme 17/73

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1. Definitions

REMARQUES

‚ Un vecteur propre x est toujours non nul.

‚ Une valeur propre λ depend du vecteur propre x associe (pas comme les ho-motheties).

Partie 2 : Elements propres d’un endomorphisme 17/73

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1. Definitions

Definition (Spectre d’un endomorphisme)

On appelle spectre de f , l’ensemble de ses valeurs propres. On le note sp f .

Partie 2 : Elements propres d’un endomorphisme 18/73

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1. Definitions

EXEMPLES

Traduction des resultats deja obtenus :

Partie 2 : Elements propres d’un endomorphisme 19/73

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1. Definitions

EXEMPLES

Traduction des resultats deja obtenus :

� pour une projection pF , on a spppF q “ t0, 1u,

Partie 2 : Elements propres d’un endomorphisme 19/73

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1. Definitions

EXEMPLES

Traduction des resultats deja obtenus :

� pour une projection pF , on a spppF q “ t0, 1u,

� pour une symetrie sF , on a sppsF q “ t´1, 1u,

Partie 2 : Elements propres d’un endomorphisme 19/73

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1. Definitions

EXEMPLES

Traduction des resultats deja obtenus :

� pour une projection pF , on a spppF q “ t0, 1u,

� pour une symetrie sF , on a sppsF q “ t´1, 1u,

� pour une homothetie hλ, on a spphλq “ tλu.

Partie 2 : Elements propres d’un endomorphisme 19/73

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1. Definitions

EXEMPLES

Traduction des resultats deja obtenus :

� pour une projection pF , on a spppF q “ t0, 1u,

� pour une symetrie sF , on a sppsF q “ t´1, 1u,

� pour une homothetie hλ, on a spphλq “ tλu.

§ Le spectre resume l’action de l’endomorphisme sur l’espace.

Partie 2 : Elements propres d’un endomorphisme 19/73

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2. Espaces propres

Partie 2 : Elements propres d’un endomorphisme 20/73

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2. Espaces propres

La relation f pxq “ λx de la definition d’un vecteur propre peut aussi s’ecrire

pf ´ λ idEqpxq “ 0 (vecteur nul) soit encore x P Kerpf ´ λ idEq

Partie 2 : Elements propres d’un endomorphisme 20/73

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2. Espaces propres

La relation f pxq “ λx de la definition d’un vecteur propre peut aussi s’ecrire

pf ´ λ idEqpxq “ 0 (vecteur nul) soit encore x P Kerpf ´ λ idEq

Definition (Espaces propres d’un endomorphisme)

S’il est non nul, le noyau Eλpf q “ Kerpf ´ λ idEq s’appelle sous-espace propre de fassocie a la valeur propre λ. C’est un sous-espace vectoriel de E.

Partie 2 : Elements propres d’un endomorphisme 20/73

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2. Espaces propres

La relation f pxq “ λx de la definition d’un vecteur propre peut aussi s’ecrire

pf ´ λ idEqpxq “ 0 (vecteur nul) soit encore x P Kerpf ´ λ idEq

Definition (Espaces propres d’un endomorphisme)

S’il est non nul, le noyau Eλpf q “ Kerpf ´ λ idEq s’appelle sous-espace propre de fassocie a la valeur propre λ. C’est un sous-espace vectoriel de E.

§ On note aussi Eλpf q “ Eλ.

Partie 2 : Elements propres d’un endomorphisme 20/73

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2. Espaces propres

La relation f pxq “ λx de la definition d’un vecteur propre peut aussi s’ecrire

pf ´ λ idEqpxq “ 0 (vecteur nul) soit encore x P Kerpf ´ λ idEq

Definition (Espaces propres d’un endomorphisme)

S’il est non nul, le noyau Eλpf q “ Kerpf ´ λ idEq s’appelle sous-espace propre de fassocie a la valeur propre λ. C’est un sous-espace vectoriel de E.

§ On note aussi Eλpf q “ Eλ.

Il contient tous les vecteurs propres de f associes a la valeur propre λ, ainsi que levecteur nul (qui n’est pas propre).

Partie 2 : Elements propres d’un endomorphisme 20/73

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2. Espaces propres

La relation f pxq “ λx de la definition d’un vecteur propre peut aussi s’ecrire

pf ´ λ idEqpxq “ 0 (vecteur nul) soit encore x P Kerpf ´ λ idEq

Definition (Espaces propres d’un endomorphisme)

S’il est non nul, le noyau Eλpf q “ Kerpf ´ λ idEq s’appelle sous-espace propre de fassocie a la valeur propre λ. C’est un sous-espace vectoriel de E.

§ On note aussi Eλpf q “ Eλ.

Il contient tous les vecteurs propres de f associes a la valeur propre λ, ainsi que levecteur nul (qui n’est pas propre).

Un vecteur propre ne peut pas etre nulUn sous-espace propre ne peut pas etre reduit au vecteur nul

Partie 2 : Elements propres d’un endomorphisme 20/73

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2. Espaces propres

Cas particuliers usuels

Partie 2 : Elements propres d’un endomorphisme 21/73

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2. Espaces propres

Cas particuliers usuels

‚ Si λ “ 0 est valeur propre de f , alors l’espace propre E0pf q “ Ker f associe est lenoyau de f .

Partie 2 : Elements propres d’un endomorphisme 21/73

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2. Espaces propres

Cas particuliers usuels

‚ Si λ “ 0 est valeur propre de f , alors l’espace propre E0pf q “ Ker f associe est lenoyau de f .

§ On peut caracteriser l’injectivite de f a l’aide de son spectre :

f est injectif ðñ Ker f “ Vectp0q ðñ 0 R sppf q

Partie 2 : Elements propres d’un endomorphisme 21/73

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2. Espaces propres

Cas particuliers usuels

‚ Si λ “ 0 est valeur propre de f , alors l’espace propre E0pf q “ Ker f associe est lenoyau de f .

§ On peut caracteriser l’injectivite de f a l’aide de son spectre :

f est injectif ðñ Ker f “ Vectp0q ðñ 0 R sppf q

‚ Si λ “ 1 est valeur propre de f , alors l’espace propre E1pf q “ Kerpf ´ idEq contientles vecteurs x de E tels que

f pxq “ x

Partie 2 : Elements propres d’un endomorphisme 21/73

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2. Espaces propres

Cas particuliers usuels

‚ Si λ “ 0 est valeur propre de f , alors l’espace propre E0pf q “ Ker f associe est lenoyau de f .

§ On peut caracteriser l’injectivite de f a l’aide de son spectre :

f est injectif ðñ Ker f “ Vectp0q ðñ 0 R sppf q

‚ Si λ “ 1 est valeur propre de f , alors l’espace propre E1pf q “ Kerpf ´ idEq contientles vecteurs x de E tels que

f pxq “ x

Ce sont les vecteurs invariants de f .

Partie 2 : Elements propres d’un endomorphisme 21/73

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2. Espaces propres

Propriete (Stabilite des espaces propres)

Pour tout λ P sp f , le sous-espace propre associe Eλpf q “ Kerpf ´ λ idEq de f eststable par f . Si λ ‰ 0, alors l’endomorphisme induit par f sur Eλpf q est l’homothetiede Eλ de rapport λ.

Partie 2 : Elements propres d’un endomorphisme 22/73

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2. Espaces propres

Propriete (Stabilite des espaces propres)

Pour tout λ P sp f , le sous-espace propre associe Eλpf q “ Kerpf ´ λ idEq de f eststable par f . Si λ ‰ 0, alors l’endomorphisme induit par f sur Eλpf q est l’homothetiede Eλ de rapport λ.

‚ Si λ R sp f , alors Eλpf q “ Vectp0q n’est pas un espace propre de f . Il est quandmeme stable par f .

Partie 2 : Elements propres d’un endomorphisme 22/73

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2. Espaces propres

Propriete (Stabilite des espaces propres)

Pour tout λ P sp f , le sous-espace propre associe Eλpf q “ Kerpf ´ λ idEq de f eststable par f . Si λ ‰ 0, alors l’endomorphisme induit par f sur Eλpf q est l’homothetiede Eλ de rapport λ.

‚ Si λ R sp f , alors Eλpf q “ Vectp0q n’est pas un espace propre de f . Il est quandmeme stable par f .

‚ Les espaces propres de f decoupent E en sous-espaces sur lesquels f agit commeune homothetie.

Partie 2 : Elements propres d’un endomorphisme 22/73

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2. Espaces propres

Propriete (Stabilite des espaces propres)

Pour tout λ P sp f , le sous-espace propre associe Eλpf q “ Kerpf ´ λ idEq de f eststable par f . Si λ ‰ 0, alors l’endomorphisme induit par f sur Eλpf q est l’homothetiede Eλ de rapport λ.

‚ Si λ R sp f , alors Eλpf q “ Vectp0q n’est pas un espace propre de f . Il est quandmeme stable par f .

‚ Les espaces propres de f decoupent E en sous-espaces sur lesquels f agit commeune homothetie.

‚ Il permettent de visualiser l’action de f dans l’espace.

Partie 2 : Elements propres d’un endomorphisme 22/73

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2. Espaces propres

EXEMPLES

� Pour une projection f (sur F parallelementa G), on a

E0pf q “ G et E1pf q “ F

Partie 2 : Elements propres d’un endomorphisme 23/73

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2. Espaces propres

EXEMPLES

� Pour une projection f (sur F parallelementa G), on a

E0pf q “ G et E1pf q “ F

E1 = ker(f ! id)

E0 = ker(f)

Partie 2 : Elements propres d’un endomorphisme 23/73

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2. Espaces propres

EXEMPLES

� Pour une projection f (sur F parallelementa G), on a

E0pf q “ G et E1pf q “ F

E1 = ker(f ! id)

E0 = ker(f)

� Pour une symetrie f (par rapport a Fparallelement a G), on a

E1pf q “ F et E´1pf q “ G

Partie 2 : Elements propres d’un endomorphisme 23/73

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2. Espaces propres

EXEMPLES

� Pour une projection f (sur F parallelementa G), on a

E0pf q “ G et E1pf q “ F

E1 = ker(f ! id)

E0 = ker(f)

� Pour une symetrie f (par rapport a Fparallelement a G), on a

E1pf q “ F et E´1pf q “ G

E1 = ker(f ! id)

E!1 = ker(f + id)

Partie 2 : Elements propres d’un endomorphisme 23/73

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3. Propriete de liberte des vecteurs propres

Partie 2 : Elements propres d’un endomorphisme 24/73

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3. Propriete de liberte des vecteurs propres

Propriete (Propriete de liberte des vecteurs propres)

Soient x1, . . . , xn des vecteurs propres de f associes a des valeurs propres deux adeux distinctes λ1, . . . , λn de f , alors la famille px1, . . . , xnq est libre.

Partie 2 : Elements propres d’un endomorphisme 24/73

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3. Propriete de liberte des vecteurs propres

Propriete (Propriete de liberte des vecteurs propres)

Soient x1, . . . , xn des vecteurs propres de f associes a des valeurs propres deux adeux distinctes λ1, . . . , λn de f , alors la famille px1, . . . , xnq est libre.

§ Les espaces propres de f associes a des valeurs propres distinctes sont en sommedirecte.

Partie 2 : Elements propres d’un endomorphisme 24/73

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3. Propriete de liberte des vecteurs propres

EXEMPLE

� Les definitions des elements propres valent aussi en dimension infinie

Partie 2 : Elements propres d’un endomorphisme 25/73

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3. Propriete de liberte des vecteurs propres

EXEMPLE

� Les definitions des elements propres valent aussi en dimension infinie

‚ La derivation D : C8pI,Cq Ñ C8pI,Cq, f ÞÑ f 1 est un endomorphisme del’espace C8pI,Cq, I etant un intervalle de R.

Partie 2 : Elements propres d’un endomorphisme 25/73

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3. Propriete de liberte des vecteurs propres

EXEMPLE

� Les definitions des elements propres valent aussi en dimension infinie

‚ La derivation D : C8pI,Cq Ñ C8pI,Cq, f ÞÑ f 1 est un endomorphisme del’espace C8pI,Cq, I etant un intervalle de R.

‚ Ses vecteurs propres verifient l’equation differentielle,

Dpf q “ λf “ f 1

Partie 2 : Elements propres d’un endomorphisme 25/73

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3. Propriete de liberte des vecteurs propres

EXEMPLE

� Les definitions des elements propres valent aussi en dimension infinie

‚ La derivation D : C8pI,Cq Ñ C8pI,Cq, f ÞÑ f 1 est un endomorphisme del’espace C8pI,Cq, I etant un intervalle de R.

‚ Ses vecteurs propres verifient l’equation differentielle,

Dpf q “ λf “ f 1

‚ On obtient f ptq “ Ceλt , t P I avec C P C une constante.

Partie 2 : Elements propres d’un endomorphisme 25/73

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3. Propriete de liberte des vecteurs propres

EXEMPLE

� Les definitions des elements propres valent aussi en dimension infinie

‚ La derivation D : C8pI,Cq Ñ C8pI,Cq, f ÞÑ f 1 est un endomorphisme del’espace C8pI,Cq, I etant un intervalle de R.

‚ Ses vecteurs propres verifient l’equation differentielle,

Dpf q “ λf “ f 1

‚ On obtient f ptq “ Ceλt , t P I avec C P C une constante.

‚ Tout complexe λ est valeur propre de D et l’espace propre associe estEλ “ Vectpt ÞÑ eλtq.

Partie 2 : Elements propres d’un endomorphisme 25/73

Page 95: R eduction des endomorphismes - spepcfrancois1er.ovhspepcfrancois1er.ovh/chapitres/diapos-reduction.pdfPartie 1 : Etude sur des exemples 1/73. 1. Les projections Proposition (Propri

3. Propriete de liberte des vecteurs propres

EXEMPLE

� Les definitions des elements propres valent aussi en dimension infinie

‚ La derivation D : C8pI,Cq Ñ C8pI,Cq, f ÞÑ f 1 est un endomorphisme del’espace C8pI,Cq, I etant un intervalle de R.

‚ Ses vecteurs propres verifient l’equation differentielle,

Dpf q “ λf “ f 1

‚ On obtient f ptq “ Ceλt , t P I avec C P C une constante.

‚ Tout complexe λ est valeur propre de D et l’espace propre associe estEλ “ Vectpt ÞÑ eλtq.

‚ Toute sous famille finie de la famille de fonctions exponentielles t ÞÑ eλt avecλ P C est libre.

Partie 2 : Elements propres d’un endomorphisme 25/73

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3. Propriete de liberte des vecteurs propres

EXERCICE 6

Trouver de meme un endomorphisme de C8pI,Rq dont les fonctions cos et sin sontvecteurs propres.

Partie 2 : Elements propres d’un endomorphisme 26/73

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3. Propriete de liberte des vecteurs propres

EXERCICE 7

Montrer que les fonctions x ÞÑ 1, x ÞÑ cos x , x ÞÑ cos 2x , . . . , x ÞÑ cos nx ou n P Nsont lineairement independantes.

Partie 2 : Elements propres d’un endomorphisme 27/73

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Partie 3

Diagonalisation en dimension finie

Reduction des endomorphismes

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1. Definition

Partie 3 : Diagonalisation en dimension finie 28/73

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1. Definition

Definition (Endomorphisme diagonalisable)

On dit qu’un endomorphisme f d’un espace vectoriel E de dimension finie n ě 1est diagonalisable s’il existe une base B de E dans laquelle sa matrice est diagonale.

Partie 3 : Diagonalisation en dimension finie 28/73

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1. Definition

Definition (Endomorphisme diagonalisable)

On dit qu’un endomorphisme f d’un espace vectoriel E de dimension finie n ě 1est diagonalisable s’il existe une base B de E dans laquelle sa matrice est diagonale.

§ En notant B “ pe1, . . . , enq,

MBpf q “

¨

˝

λ1 0. . .

0 λn

˛

‚“ D

Partie 3 : Diagonalisation en dimension finie 28/73

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1. Definition

Definition (Endomorphisme diagonalisable)

On dit qu’un endomorphisme f d’un espace vectoriel E de dimension finie n ě 1est diagonalisable s’il existe une base B de E dans laquelle sa matrice est diagonale.

§ En notant B “ pe1, . . . , enq,

MBpf q “

¨

˝

λ1 0. . .

0 λn

˛

‚“ D

‚ On a f pe1q “ λ1e1, . . . , f penq “ λnen,

Partie 3 : Diagonalisation en dimension finie 28/73

Page 103: R eduction des endomorphismes - spepcfrancois1er.ovhspepcfrancois1er.ovh/chapitres/diapos-reduction.pdfPartie 1 : Etude sur des exemples 1/73. 1. Les projections Proposition (Propri

1. Definition

Definition (Endomorphisme diagonalisable)

On dit qu’un endomorphisme f d’un espace vectoriel E de dimension finie n ě 1est diagonalisable s’il existe une base B de E dans laquelle sa matrice est diagonale.

§ En notant B “ pe1, . . . , enq,

MBpf q “

¨

˝

λ1 0. . .

0 λn

˛

‚“ D

‚ On a f pe1q “ λ1e1, . . . , f penq “ λnen,

‚ e1, . . . , en sont vecteurs propres de f associes aux valeurs propres λ1, . . . , λn.

Partie 3 : Diagonalisation en dimension finie 28/73

Page 104: R eduction des endomorphismes - spepcfrancois1er.ovhspepcfrancois1er.ovh/chapitres/diapos-reduction.pdfPartie 1 : Etude sur des exemples 1/73. 1. Les projections Proposition (Propri

1. Definition

Definition (Endomorphisme diagonalisable)

On dit qu’un endomorphisme f d’un espace vectoriel E de dimension finie n ě 1est diagonalisable s’il existe une base B de E dans laquelle sa matrice est diagonale.

§ En notant B “ pe1, . . . , enq,

MBpf q “

¨

˝

λ1 0. . .

0 λn

˛

‚“ D

‚ On a f pe1q “ λ1e1, . . . , f penq “ λnen,

‚ e1, . . . , en sont vecteurs propres de f associes aux valeurs propres λ1, . . . , λn.

La base B est constituee de vecteurs propres de fLes coefficients diagonaux de D sont les valeurs propres de f

Partie 3 : Diagonalisation en dimension finie 28/73

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1. Definition

EXEMPLES

� Une projection ou une symetrie est diagonalisable.

Partie 3 : Diagonalisation en dimension finie 29/73

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1. Definition

EXEMPLES

� Une projection ou une symetrie est diagonalisable.

� Une homothetie est diagonalisable (tous les vecteurs sont propres).

Partie 3 : Diagonalisation en dimension finie 29/73

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1. Definition

EXEMPLES

� Une projection ou une symetrie est diagonalisable.

� Une homothetie est diagonalisable (tous les vecteurs sont propres).

� Une rotation du plan n’est pas diagonalisable (dans le domaine reel).

Partie 3 : Diagonalisation en dimension finie 29/73

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2. Les formules de changement de bases

Partie 3 : Diagonalisation en dimension finie 30/73

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2. Les formules de changement de bases

On note B “`

e1, . . . , en˘

et B1 “`

e11, . . . , e1n

˘

deux bases de E.

Partie 3 : Diagonalisation en dimension finie 30/73

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2. Les formules de changement de bases

On note B “`

e1, . . . , en˘

et B1 “`

e11, . . . , e1n

˘

deux bases de E.

‚ Un meme vecteur x P E a deux systemes de coordonnees.

x

¨

˝

x1...xn

˛

loomoon

X

dans B et x

¨

˚

˝

x 11...x 1n

˛

loomoon

X1

dans B1

Partie 3 : Diagonalisation en dimension finie 30/73

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2. Les formules de changement de bases

On note B “`

e1, . . . , en˘

et B1 “`

e11, . . . , e1n

˘

deux bases de E.

‚ Un meme vecteur x P E a deux systemes de coordonnees.

x

¨

˝

x1...xn

˛

loomoon

X

dans B et x

¨

˚

˝

x 11...x 1n

˛

loomoon

X1

dans B1

‚ La matrice de passage est

PBÑB1 “

¨

˝

a11 ¨ ¨ ¨ a1n...

...an1 ¨ ¨ ¨ ann

˛

e11 . . . e1n

e1...en

Partie 3 : Diagonalisation en dimension finie 30/73

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2. Les formules de changement de bases

On note B “`

e1, . . . , en˘

et B1 “`

e11, . . . , e1n

˘

deux bases de E.

‚ Un meme vecteur x P E a deux systemes de coordonnees.

x

¨

˝

x1...xn

˛

loomoon

X

dans B et x

¨

˚

˝

x 11...x 1n

˛

loomoon

X1

dans B1

‚ La matrice de passage est

PBÑB1 “

¨

˝

a11 ¨ ¨ ¨ a1n...

...an1 ¨ ¨ ¨ ann

˛

e11 . . . e1n

e1...en

‚ Elle exprime les vecteurs de la « nouvelle » base B1 en fonction de « l’ancienne » B.

Partie 3 : Diagonalisation en dimension finie 30/73

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2. Les formules de changement de bases

On a la premiere formule de changement de base

X “ PBÑB1X 1

Partie 3 : Diagonalisation en dimension finie 31/73

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2. Les formules de changement de bases

On a la premiere formule de changement de base

X “ PBÑB1X 1

Les coordonnees sont toujours a cote de leur base

Partie 3 : Diagonalisation en dimension finie 31/73

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2. Les formules de changement de bases

On a les relations naturelles,

Partie 3 : Diagonalisation en dimension finie 32/73

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2. Les formules de changement de bases

On a les relations naturelles,

PBÑB “ In ; PBÑB1PB1ÑB2 “ PBÑB2 ; PB1ÑB “ P´1BÑB1

Partie 3 : Diagonalisation en dimension finie 32/73

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2. Les formules de changement de bases

Effet sur les matrices d’endomorphisme

Partie 3 : Diagonalisation en dimension finie 33/73

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2. Les formules de changement de bases

Effet sur les matrices d’endomorphisme

On note f P LpEq, A “MBpf q et A1 “MB1pf q

Partie 3 : Diagonalisation en dimension finie 33/73

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2. Les formules de changement de bases

Effet sur les matrices d’endomorphisme

On note f P LpEq, A “MBpf q et A1 “MB1pf q

‚ Soient x P E, y “ f pxq et

X “MBpxq, X1 “MB1pxq, Y “MBpyq, Y

1 “MB1pyq

Partie 3 : Diagonalisation en dimension finie 33/73

Page 120: R eduction des endomorphismes - spepcfrancois1er.ovhspepcfrancois1er.ovh/chapitres/diapos-reduction.pdfPartie 1 : Etude sur des exemples 1/73. 1. Les projections Proposition (Propri

2. Les formules de changement de bases

Effet sur les matrices d’endomorphisme

On note f P LpEq, A “MBpf q et A1 “MB1pf q

‚ Soient x P E, y “ f pxq et

X “MBpxq, X1 “MB1pxq, Y “MBpyq, Y

1 “MB1pyq

‚ Par calcul matriciel d’images,

Y “ AX et Y 1 “ A1X 1

Partie 3 : Diagonalisation en dimension finie 33/73

Page 121: R eduction des endomorphismes - spepcfrancois1er.ovhspepcfrancois1er.ovh/chapitres/diapos-reduction.pdfPartie 1 : Etude sur des exemples 1/73. 1. Les projections Proposition (Propri

2. Les formules de changement de bases

Effet sur les matrices d’endomorphisme

On note f P LpEq, A “MBpf q et A1 “MB1pf q

‚ Soient x P E, y “ f pxq et

X “MBpxq, X1 “MB1pxq, Y “MBpyq, Y

1 “MB1pyq

‚ Par calcul matriciel d’images,

Y “ AX et Y 1 “ A1X 1

‚ Avec la formule de changement de bases pour les vecteurs,

Y 1 “ PB1ÑBY et X 1 “ PB1ÑBX

Partie 3 : Diagonalisation en dimension finie 33/73

Page 122: R eduction des endomorphismes - spepcfrancois1er.ovhspepcfrancois1er.ovh/chapitres/diapos-reduction.pdfPartie 1 : Etude sur des exemples 1/73. 1. Les projections Proposition (Propri

2. Les formules de changement de bases

Effet sur les matrices d’endomorphisme

On note f P LpEq, A “MBpf q et A1 “MB1pf q

‚ Soient x P E, y “ f pxq et

X “MBpxq, X1 “MB1pxq, Y “MBpyq, Y

1 “MB1pyq

‚ Par calcul matriciel d’images,

Y “ AX et Y 1 “ A1X 1

‚ Avec la formule de changement de bases pour les vecteurs,

Y 1 “ PB1ÑBY et X 1 “ PB1ÑBX

‚ Donc Y “`

PBÑB1A1PB1ÑB˘

X

Partie 3 : Diagonalisation en dimension finie 33/73

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2. Les formules de changement de bases

Effet sur les matrices d’endomorphisme

On note f P LpEq, A “MBpf q et A1 “MB1pf q

‚ Soient x P E, y “ f pxq et

X “MBpxq, X1 “MB1pxq, Y “MBpyq, Y

1 “MB1pyq

‚ Par calcul matriciel d’images,

Y “ AX et Y 1 “ A1X 1

‚ Avec la formule de changement de bases pour les vecteurs,

Y 1 “ PB1ÑBY et X 1 “ PB1ÑBX

‚ Donc Y “`

PBÑB1A1PB1ÑB˘

X

‚ Ceci a lieu quelque soient X et Y , on peut identifier, A “ PBÑB1A1PB1ÑB.

Partie 3 : Diagonalisation en dimension finie 33/73

Page 124: R eduction des endomorphismes - spepcfrancois1er.ovhspepcfrancois1er.ovh/chapitres/diapos-reduction.pdfPartie 1 : Etude sur des exemples 1/73. 1. Les projections Proposition (Propri

2. Les formules de changement de bases

On a la seconde formule de changement de base

A “ PBÑB1A1PB1ÑB

Partie 3 : Diagonalisation en dimension finie 34/73

Page 125: R eduction des endomorphismes - spepcfrancois1er.ovhspepcfrancois1er.ovh/chapitres/diapos-reduction.pdfPartie 1 : Etude sur des exemples 1/73. 1. Les projections Proposition (Propri

2. Les formules de changement de bases

On a la seconde formule de changement de base

A “ PBÑB1A1PB1ÑB

Les matrices sont toujours a cote de leur base.

Partie 3 : Diagonalisation en dimension finie 34/73

Page 126: R eduction des endomorphismes - spepcfrancois1er.ovhspepcfrancois1er.ovh/chapitres/diapos-reduction.pdfPartie 1 : Etude sur des exemples 1/73. 1. Les projections Proposition (Propri

2. Les formules de changement de bases

Notons P “ PBÑB1 , alors on a PB1ÑB “ P´1 et donc A “ P A1P´1.

Partie 3 : Diagonalisation en dimension finie 35/73

Page 127: R eduction des endomorphismes - spepcfrancois1er.ovhspepcfrancois1er.ovh/chapitres/diapos-reduction.pdfPartie 1 : Etude sur des exemples 1/73. 1. Les projections Proposition (Propri

2. Les formules de changement de bases

Notons P “ PBÑB1 , alors on a PB1ÑB “ P´1 et donc A “ P A1P´1.

Definition et proposition (Matrices semblables)

On dit que deux matrices carrees A,A1 P MnpKq sont semblables s’il existe unematrice inversible P P GLnpKq telle que A “ P A1P´1.

Deux matrices A et A1 de MnpKq sont semblables si et seulement si ellesrepresentent un meme endomorphisme dans des bases differentes.

Partie 3 : Diagonalisation en dimension finie 35/73

Page 128: R eduction des endomorphismes - spepcfrancois1er.ovhspepcfrancois1er.ovh/chapitres/diapos-reduction.pdfPartie 1 : Etude sur des exemples 1/73. 1. Les projections Proposition (Propri

2. Les formules de changement de bases

Notons P “ PBÑB1 , alors on a PB1ÑB “ P´1 et donc A “ P A1P´1.

Definition et proposition (Matrices semblables)

On dit que deux matrices carrees A,A1 P MnpKq sont semblables s’il existe unematrice inversible P P GLnpKq telle que A “ P A1P´1.

Deux matrices A et A1 de MnpKq sont semblables si et seulement si ellesrepresentent un meme endomorphisme dans des bases differentes.

Partie 3 : Diagonalisation en dimension finie 35/73

Page 129: R eduction des endomorphismes - spepcfrancois1er.ovhspepcfrancois1er.ovh/chapitres/diapos-reduction.pdfPartie 1 : Etude sur des exemples 1/73. 1. Les projections Proposition (Propri

2. Les formules de changement de bases

Notons P “ PBÑB1 , alors on a PB1ÑB “ P´1 et donc A “ P A1P´1.

Definition et proposition (Matrices semblables)

On dit que deux matrices carrees A,A1 P MnpKq sont semblables s’il existe unematrice inversible P P GLnpKq telle que A “ P A1P´1.

Deux matrices A et A1 de MnpKq sont semblables si et seulement si ellesrepresentent un meme endomorphisme dans des bases differentes.

§ Ne pas confondre matrices semblables et equivalentes. Les operations sont differentes.

Partie 3 : Diagonalisation en dimension finie 35/73

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2. Les formules de changement de bases

REMARQUE

D’apres les regles de calcul sur les determinants, on a detA “ detA1. On peut doncposer det f “ detA “ detA1.

Partie 3 : Diagonalisation en dimension finie 36/73

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2. Les formules de changement de bases

REMARQUE

D’apres les regles de calcul sur les determinants, on a detA “ detA1. On peut doncposer det f “ detA “ detA1.

Le determinant d’un endomorphisme est celui de sa matrice dans une base.Il ne depend pas du choix de la base utilisee

Partie 3 : Diagonalisation en dimension finie 36/73

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2. Les formules de changement de bases

Application a la diagonalisation

Partie 3 : Diagonalisation en dimension finie 37/73

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2. Les formules de changement de bases

Application a la diagonalisation

‚ Si f est diagonalisable, on peut obtenir une base B1 de vecteurs propres de f .

Partie 3 : Diagonalisation en dimension finie 37/73

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2. Les formules de changement de bases

Application a la diagonalisation

‚ Si f est diagonalisable, on peut obtenir une base B1 de vecteurs propres de f .

‚ On a

A1 “MB1pf q “

¨

˝

λ1 0. . .

0 λn

˛

‚“ D

Partie 3 : Diagonalisation en dimension finie 37/73

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2. Les formules de changement de bases

Application a la diagonalisation

‚ Si f est diagonalisable, on peut obtenir une base B1 de vecteurs propres de f .

‚ On a

A1 “MB1pf q “

¨

˝

λ1 0. . .

0 λn

˛

‚“ D

‚ A est semblable a une matrice diagonale D.

Partie 3 : Diagonalisation en dimension finie 37/73

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2. Les formules de changement de bases

Application a la diagonalisation

‚ Si f est diagonalisable, on peut obtenir une base B1 de vecteurs propres de f .

‚ On a

A1 “MB1pf q “

¨

˝

λ1 0. . .

0 λn

˛

‚“ D

‚ A est semblable a une matrice diagonale D.

Definition (Matrice diagonalisable)

On dit qu’une matrice A PMnpKq est diagonalisable si l’endomorphisme de Kn quilui est canoniquement associe est diagonalisable, c’est-a-dire si A est semblable aune matrice diagonale D,

DP P GLnpKq telle que A “ PDP´1.

Partie 3 : Diagonalisation en dimension finie 37/73

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2. Les formules de changement de bases

Application a la diagonalisation

‚ Si f est diagonalisable, on peut obtenir une base B1 de vecteurs propres de f .

‚ On a

A1 “MB1pf q “

¨

˝

λ1 0. . .

0 λn

˛

‚“ D

‚ A est semblable a une matrice diagonale D.

Definition (Matrice diagonalisable)

On dit qu’une matrice A PMnpKq est diagonalisable si l’endomorphisme de Kn quilui est canoniquement associe est diagonalisable, c’est-a-dire si A est semblable aune matrice diagonale D,

DP P GLnpKq telle que A “ PDP´1.

§ Les colonnes de P “ PBcÑB1 correspondent a la base de vecteurs propres de fexprimes dans Bc .

Partie 3 : Diagonalisation en dimension finie 37/73

Page 138: R eduction des endomorphismes - spepcfrancois1er.ovhspepcfrancois1er.ovh/chapitres/diapos-reduction.pdfPartie 1 : Etude sur des exemples 1/73. 1. Les projections Proposition (Propri

2. Les formules de changement de bases

‚ Les definitions liees aux elements propres de f se transcrivent matriciellementpour A.

Partie 3 : Diagonalisation en dimension finie 38/73

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2. Les formules de changement de bases

‚ Les definitions liees aux elements propres de f se transcrivent matriciellementpour A.

‚ f pxq “ λx pour x P E non nul se traduit matriciellement par

AX “ λX avec X P Kn non nul

Partie 3 : Diagonalisation en dimension finie 38/73

Page 140: R eduction des endomorphismes - spepcfrancois1er.ovhspepcfrancois1er.ovh/chapitres/diapos-reduction.pdfPartie 1 : Etude sur des exemples 1/73. 1. Les projections Proposition (Propri

2. Les formules de changement de bases

‚ Les definitions liees aux elements propres de f se transcrivent matriciellementpour A.

‚ f pxq “ λx pour x P E non nul se traduit matriciellement par

AX “ λX avec X P Kn non nul

‚ On dit que X est vecteur propre de A associe a la valeur propre λ.

Partie 3 : Diagonalisation en dimension finie 38/73

Page 141: R eduction des endomorphismes - spepcfrancois1er.ovhspepcfrancois1er.ovh/chapitres/diapos-reduction.pdfPartie 1 : Etude sur des exemples 1/73. 1. Les projections Proposition (Propri

2. Les formules de changement de bases

‚ Les definitions liees aux elements propres de f se transcrivent matriciellementpour A.

‚ f pxq “ λx pour x P E non nul se traduit matriciellement par

AX “ λX avec X P Kn non nul

‚ On dit que X est vecteur propre de A associe a la valeur propre λ.

‚ L’espace propre Eλpf q “ Kerpf ´λ idEq “ KerpA´λInq “ EλpAq est appele espacepropre de A associe a λ.

Partie 3 : Diagonalisation en dimension finie 38/73

Page 142: R eduction des endomorphismes - spepcfrancois1er.ovhspepcfrancois1er.ovh/chapitres/diapos-reduction.pdfPartie 1 : Etude sur des exemples 1/73. 1. Les projections Proposition (Propri

3. Le polynome caracteristique

Partie 3 : Diagonalisation en dimension finie 39/73

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3. Le polynome caracteristique

‚ On revient a la definition d’une valeur propre.

Partie 3 : Diagonalisation en dimension finie 39/73

Page 144: R eduction des endomorphismes - spepcfrancois1er.ovhspepcfrancois1er.ovh/chapitres/diapos-reduction.pdfPartie 1 : Etude sur des exemples 1/73. 1. Les projections Proposition (Propri

3. Le polynome caracteristique

‚ On revient a la definition d’une valeur propre.

λ P sp f ðñ Dx P E, x ‰ 0 tel que f pxq “ λx

Partie 3 : Diagonalisation en dimension finie 39/73

Page 145: R eduction des endomorphismes - spepcfrancois1er.ovhspepcfrancois1er.ovh/chapitres/diapos-reduction.pdfPartie 1 : Etude sur des exemples 1/73. 1. Les projections Proposition (Propri

3. Le polynome caracteristique

‚ On revient a la definition d’une valeur propre.

λ P sp f ðñ Dx P E, x ‰ 0 tel que f pxq “ λx

‚ En revenant a un noyau,

λ P sp f ðñ Kerpf ´ λ idEq ‰ Vectp0q

Partie 3 : Diagonalisation en dimension finie 39/73

Page 146: R eduction des endomorphismes - spepcfrancois1er.ovhspepcfrancois1er.ovh/chapitres/diapos-reduction.pdfPartie 1 : Etude sur des exemples 1/73. 1. Les projections Proposition (Propri

3. Le polynome caracteristique

‚ On revient a la definition d’une valeur propre.

λ P sp f ðñ Dx P E, x ‰ 0 tel que f pxq “ λx

‚ En revenant a un noyau,

λ P sp f ðñ Kerpf ´ λ idEq ‰ Vectp0q

‚ Cela caracterise le fait que f ´ λ idE n’est pas bijectif.

λ P sp f ðñ detpf ´ λ idEq “ 0

Partie 3 : Diagonalisation en dimension finie 39/73

Page 147: R eduction des endomorphismes - spepcfrancois1er.ovhspepcfrancois1er.ovh/chapitres/diapos-reduction.pdfPartie 1 : Etude sur des exemples 1/73. 1. Les projections Proposition (Propri

3. Le polynome caracteristique

‚ On revient a la definition d’une valeur propre.

λ P sp f ðñ Dx P E, x ‰ 0 tel que f pxq “ λx

‚ En revenant a un noyau,

λ P sp f ðñ Kerpf ´ λ idEq ‰ Vectp0q

‚ Cela caracterise le fait que f ´ λ idE n’est pas bijectif.

λ P sp f ðñ detpf ´ λ idEq “ 0

Par convention, on utilisera plutot detpλ idE ´f q “ 0.

Partie 3 : Diagonalisation en dimension finie 39/73

Page 148: R eduction des endomorphismes - spepcfrancois1er.ovhspepcfrancois1er.ovh/chapitres/diapos-reduction.pdfPartie 1 : Etude sur des exemples 1/73. 1. Les projections Proposition (Propri

3. Le polynome caracteristique

‚ On le calcule en utilisant une matrice A de f dans une base B (independant de labase).

Partie 3 : Diagonalisation en dimension finie 40/73

Page 149: R eduction des endomorphismes - spepcfrancois1er.ovhspepcfrancois1er.ovh/chapitres/diapos-reduction.pdfPartie 1 : Etude sur des exemples 1/73. 1. Les projections Proposition (Propri

3. Le polynome caracteristique

‚ On le calcule en utilisant une matrice A de f dans une base B (independant de labase).

A “MBpf q “

¨

˝

a11 ¨ ¨ ¨ a1n...

...an1 ¨ ¨ ¨ ann

˛

‚PMnpKq

Partie 3 : Diagonalisation en dimension finie 40/73

Page 150: R eduction des endomorphismes - spepcfrancois1er.ovhspepcfrancois1er.ovh/chapitres/diapos-reduction.pdfPartie 1 : Etude sur des exemples 1/73. 1. Les projections Proposition (Propri

3. Le polynome caracteristique

‚ On le calcule en utilisant une matrice A de f dans une base B (independant de labase).

A “MBpf q “

¨

˝

a11 ¨ ¨ ¨ a1n...

...an1 ¨ ¨ ¨ ann

˛

‚PMnpKq

‚ Alors,

detpλIn ´ Aq “

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

λ´ a11 ´a12 ¨ ¨ ¨ ´a1n

´a21 λ´ a22

......

. . ....

´an1 ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ ¨ λ´ ann

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

Partie 3 : Diagonalisation en dimension finie 40/73

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3. Le polynome caracteristique

EXEMPLES

� Pour n “ 2, on a

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

λ´ a11 ´a12

´a21 λ´ a22

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

“ λ2 ´ pa11 ` a22qλ` pa11a22 ´ a12a21q

Partie 3 : Diagonalisation en dimension finie 41/73

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3. Le polynome caracteristique

EXEMPLES

� Pour n “ 2, on a

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

λ´ a11 ´a12

´a21 λ´ a22

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

“ λ2 ´ pa11 ` a22looomooon

trA

qλ` pa11a22 ´ a12a21loooooooomoooooooon

detA

q

Partie 3 : Diagonalisation en dimension finie 41/73

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3. Le polynome caracteristique

EXEMPLES

� Pour n “ 2, on a

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

λ´ a11 ´a12

´a21 λ´ a22

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

“ λ2 ´ pa11 ` a22looomooon

trA

qλ` pa11a22 ´ a12a21loooooooomoooooooon

detA

q

� Pour n “ 3, on a

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

λ´ a11 ´a12 ´a13

´a21 λ´ a22 ´a23

´a31 ´a32 λ´ a33

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

“ λ3 ´ pa11 ` a22 ` a33loooooooomoooooooon

trA

qλ2 ` p¨ ¨ ¨ qλ´ p ¨ ¨ ¨loomoon

detA

q

Partie 3 : Diagonalisation en dimension finie 41/73

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3. Le polynome caracteristique

EXEMPLES

� Pour n “ 2, on a

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

λ´ a11 ´a12

´a21 λ´ a22

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

“ λ2 ´ pa11 ` a22looomooon

trA

qλ` pa11a22 ´ a12a21loooooooomoooooooon

detA

q

� Pour n “ 3, on a

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

λ´ a11 ´a12 ´a13

´a21 λ´ a22 ´a23

´a31 ´a32 λ´ a33

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

“ λ3 ´ pa11 ` a22 ` a33loooooooomoooooooon

trA

qλ2 ` p¨ ¨ ¨ qλ´ p ¨ ¨ ¨loomoon

detA

q

§ Plus generalement, on obtient toujours un polynome unitaire de degre n en λ.

Partie 3 : Diagonalisation en dimension finie 41/73

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3. Le polynome caracteristique

Definition et proposition (Polynome caracteristique)

Le determinant χf pλq “ detpλ idE ´f q “ detpλIn ´ Aq “ χApλq est un polynomeunitaire de degre n en λ. On l’appelle polynome caracteristique de f (et de A). Lesvaleurs propres de f (et de A) sont les racines de χf dans K.

Partie 3 : Diagonalisation en dimension finie 42/73

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3. Le polynome caracteristique

REMARQUES

‚ Deux matrices semblables ont le meme polynome caracteristique.

Partie 3 : Diagonalisation en dimension finie 43/73

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3. Le polynome caracteristique

REMARQUES

‚ Deux matrices semblables ont le meme polynome caracteristique.

‚ Si A est reelle, les racines complexes de χA sont encore appelees valeurs propresde A.

Partie 3 : Diagonalisation en dimension finie 43/73

Page 158: R eduction des endomorphismes - spepcfrancois1er.ovhspepcfrancois1er.ovh/chapitres/diapos-reduction.pdfPartie 1 : Etude sur des exemples 1/73. 1. Les projections Proposition (Propri

3. Le polynome caracteristique

REMARQUES

‚ Deux matrices semblables ont le meme polynome caracteristique.

‚ Si A est reelle, les racines complexes de χA sont encore appelees valeurs propresde A.

§ On notera spRpAq Ă spCpAq les spectres reels et complexes de A.

Partie 3 : Diagonalisation en dimension finie 43/73

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3. Le polynome caracteristique

REMARQUES

‚ Deux matrices semblables ont le meme polynome caracteristique.

‚ Si A est reelle, les racines complexes de χA sont encore appelees valeurs propresde A.

§ On notera spRpAq Ă spCpAq les spectres reels et complexes de A.

‚ Si λ est racine multiple de χA, on dit que c’est une valeur propre multiple de A.

Partie 3 : Diagonalisation en dimension finie 43/73

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3. Le polynome caracteristique

EXERCICE 8

Calculer le polynome caracteristique, puis les valeurs propres de la matrice

A “

¨

˝

2 ´1 23 ´3 12 1 2

˛

Partie 3 : Diagonalisation en dimension finie 44/73

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4. Critere de diagonalisation

Partie 3 : Diagonalisation en dimension finie 45/73

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4. Critere de diagonalisation

Proposition (Premier critere de diagonalisation)

L’endomorphisme f de E est diagonalisable si et seulement si la somme desdimensions de ses sous-espaces propres est egale a la dimension de E.

Partie 3 : Diagonalisation en dimension finie 45/73

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4. Critere de diagonalisation

Proposition (Premier critere de diagonalisation)

L’endomorphisme f de E est diagonalisable si et seulement si la somme desdimensions de ses sous-espaces propres est egale a la dimension de E.

§ f est diagonalisable si et seulement si ses sous-espaces propres « remplissent » toutesles dimensions de l’espace E.

Partie 3 : Diagonalisation en dimension finie 45/73

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4. Critere de diagonalisation

Proposition (Dimension des espaces propres)

Soient λ0 P sp f une valeur propre de f , de multiplicite mλ0et Eλ0

“ Kerpf ´λ0 idEql’espace propre qui lui est associe, alors

1 ď dimEλ0ď mλ0

.

En particulier, si λ0 est simple, c’est-a-dire mλ0“ 1, alors Eλ0

est une droite.

Partie 3 : Diagonalisation en dimension finie 46/73

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4. Critere de diagonalisation

Theoreme (Second critere de diagonalisation)

L’endomorphisme f de E est diagonalisable si et seulement si son polynomecaracteristique est scinde sur K et la dimension de chaque sous-espace propre estegale a la multiplicite de la valeur propre correspondante.

Partie 3 : Diagonalisation en dimension finie 47/73

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4. Critere de diagonalisation

Theoreme (Second critere de diagonalisation)

L’endomorphisme f de E est diagonalisable si et seulement si son polynomecaracteristique est scinde sur K et la dimension de chaque sous-espace propre estegale a la multiplicite de la valeur propre correspondante.

§ En particulier, si χf est scinde sur K et n’a que des racines simples, alors f estdiagonalisable.

Partie 3 : Diagonalisation en dimension finie 47/73

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4. Critere de diagonalisation

EXEMPLE

On reprend A “

¨

˝

2 ´1 23 ´3 12 1 2

˛

Partie 3 : Diagonalisation en dimension finie 48/73

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4. Critere de diagonalisation

EXEMPLE

On reprend A “

¨

˝

2 ´1 23 ´3 12 1 2

˛

‚ On a obtenu χApλq “ pλ´ 4qpλ` 1qpλ` 2q

Partie 3 : Diagonalisation en dimension finie 48/73

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4. Critere de diagonalisation

EXEMPLE

On reprend A “

¨

˝

2 ´1 23 ´3 12 1 2

˛

‚ On a obtenu χApλq “ pλ´ 4qpλ` 1qpλ` 2q

‚ χA est scinde sur R, a racines simples donc A est diagonalisable.

Partie 3 : Diagonalisation en dimension finie 48/73

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4. Critere de diagonalisation

EXEMPLE

On reprend A “

¨

˝

2 ´1 23 ´3 12 1 2

˛

‚ On a obtenu χApλq “ pλ´ 4qpλ` 1qpλ` 2q

‚ χA est scinde sur R, a racines simples donc A est diagonalisable.

§ Les espaces propres sont necessairement de dimension 1.

Partie 3 : Diagonalisation en dimension finie 48/73

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4. Critere de diagonalisation

EXEMPLE

On reprend A “

¨

˝

2 ´1 23 ´3 12 1 2

˛

‚ On a obtenu χApλq “ pλ´ 4qpλ` 1qpλ` 2q

‚ χA est scinde sur R, a racines simples donc A est diagonalisable.

§ Les espaces propres sont necessairement de dimension 1.

On obtient A “ PDP´1 avec

D “

¨

˝

4 0 00 ´1 00 0 ´2

˛

‚ et P “

¨

˝

13 1 ´18 1 ´2

17 ´1 1

˛

Partie 3 : Diagonalisation en dimension finie 48/73

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4. Critere de diagonalisation

EXERCICE 9

Montrer que la matrice

A “

¨

˝

3 2 1´8 ´5 ´28 4 1

˛

est diagonalisable.

Partie 3 : Diagonalisation en dimension finie 49/73

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4. Critere de diagonalisation

EXERCICE 9

Montrer que la matrice

A “

¨

˝

3 2 1´8 ´5 ´28 4 1

˛

est diagonalisable.

Preciser une matrice diagonale D semblable a A, puis la relation de passage corre-spondante.

Partie 3 : Diagonalisation en dimension finie 49/73

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Partie 4

Trigonalisation

Reduction des endomorphismes

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1. Definition

Partie 4 : Trigonalisation 50/73

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1. Definition

Soient E un espace vectoriel de dimension finie n sur K, f P LpEq un endomorphismede E et A “MBpf q sa matrice dans une base B de E.

Partie 4 : Trigonalisation 50/73

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1. Definition

Soient E un espace vectoriel de dimension finie n sur K, f P LpEq un endomorphismede E et A “MBpf q sa matrice dans une base B de E.

Definition (Endomorphisme trigonalisable)

On dit que f est trigonalisable s’il existe une base B1 de E dans laquelle sa matriceest triangulaire superieure, c’est-a-dire de la forme

T “MB1pf q “

¨

˝

t11 ‹. . .

0 tnn

˛

ou le symbole ‹ designe ici des coefficients non forcement tous nuls.

Partie 4 : Trigonalisation 50/73

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1. Definition

‚ On a une relation de passage entre A et T ,

DP “ PBÑB1 P GLnpKq telle que A “ PTP´1 ou T “

¨

˝

t11 ‹. . .

0 tnn

˛

Partie 4 : Trigonalisation 51/73

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1. Definition

‚ On a une relation de passage entre A et T ,

DP “ PBÑB1 P GLnpKq telle que A “ PTP´1 ou T “

¨

˝

t11 ‹. . .

0 tnn

˛

‚ A est semblable a T . On dit aussi que A est trigonalisable.

Partie 4 : Trigonalisation 51/73

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1. Definition

‚ On a une relation de passage entre A et T ,

DP “ PBÑB1 P GLnpKq telle que A “ PTP´1 ou T “

¨

˝

t11 ‹. . .

0 tnn

˛

‚ A est semblable a T . On dit aussi que A est trigonalisable.

‚ Le polynome caracteristique χf de f est egal a celui de T .

χf pλq “ detpλIn ´ T q “

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

λ´ t11 ‹. . .

0 λ´ tnn

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

“ pλ´ t11q ˆ ¨ ¨ ¨ ˆ pλ´ tnnq

Partie 4 : Trigonalisation 51/73

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1. Definition

‚ On a une relation de passage entre A et T ,

DP “ PBÑB1 P GLnpKq telle que A “ PTP´1 ou T “

¨

˝

t11 ‹. . .

0 tnn

˛

‚ A est semblable a T . On dit aussi que A est trigonalisable.

‚ Le polynome caracteristique χf de f est egal a celui de T .

χf pλq “ detpλIn ´ T q “

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

λ´ t11 ‹. . .

0 λ´ tnn

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

“ pλ´ t11q ˆ ¨ ¨ ¨ ˆ pλ´ tnnq

‚ Il est scinde sur K et les valeurs propres de f sont les elements diagonaux de T . Onles notera λ1, . . . , λn.

Partie 4 : Trigonalisation 51/73

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1. Definition

‚ On a une relation de passage entre A et T ,

DP “ PBÑB1 P GLnpKq telle que A “ PTP´1 ou T “

¨

˝

t11 ‹. . .

0 tnn

˛

‚ A est semblable a T . On dit aussi que A est trigonalisable.

‚ Le polynome caracteristique χf de f est egal a celui de T .

χf pλq “ detpλIn ´ T q “

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

λ´ t11 ‹. . .

0 λ´ tnn

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

“ pλ´ t11q ˆ ¨ ¨ ¨ ˆ pλ´ tnnq

‚ Il est scinde sur K et les valeurs propres de f sont les elements diagonaux de T . Onles notera λ1, . . . , λn.

‚ On admet la reciproque.

Partie 4 : Trigonalisation 51/73

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1. Definition

Theoreme (Critere de trigonalisation)

f (ou A) est trigonalisable si et seulement son polynome caracteristique est scindesur K.

Partie 4 : Trigonalisation 52/73

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1. Definition

Theoreme (Critere de trigonalisation)

f (ou A) est trigonalisable si et seulement son polynome caracteristique est scindesur K.

§ L’hypothese de ce theoreme est toujours verifiee lorsque K “ C, donc

Partie 4 : Trigonalisation 52/73

Page 185: R eduction des endomorphismes - spepcfrancois1er.ovhspepcfrancois1er.ovh/chapitres/diapos-reduction.pdfPartie 1 : Etude sur des exemples 1/73. 1. Les projections Proposition (Propri

1. Definition

Theoreme (Critere de trigonalisation)

f (ou A) est trigonalisable si et seulement son polynome caracteristique est scindesur K.

§ L’hypothese de ce theoreme est toujours verifiee lorsque K “ C, donc

Toute matrice est trigonalisable dans C.

Partie 4 : Trigonalisation 52/73

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2. Trace et determinant d’un endomorphisme trigonalisable

Partie 4 : Trigonalisation 53/73

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2. Trace et determinant d’un endomorphisme trigonalisable

Definition et proposition (Trace d’une matrice)

La trace d’une matrice A “ pai j qi ,jPv1,nw est la somme de ses elements diagonaux,

trA “nÿ

i“1

ai i P K

L’application tr : MnpKq Ñ K est une application lineaire sur MnpKq a valeursdans K qui verifie @A,B PMnpKq, trpABq “ trpBAq (meme lorsque AB ‰ BA).

Partie 4 : Trigonalisation 53/73

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2. Trace et determinant d’un endomorphisme trigonalisable

Definition et proposition (Trace d’un endomorphisme)

La trace de l’endomorphisme f est egale a la trace de sa matrice dans une base deE. Le resultat est independant de la base choisie. On le note tr f .

L’application tr : LpEq Ñ K est une application lineaire sur LpEq a valeurs dans K.

Partie 4 : Trigonalisation 54/73

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2. Trace et determinant d’un endomorphisme trigonalisable

Definition et proposition (Trace d’un endomorphisme)

La trace de l’endomorphisme f est egale a la trace de sa matrice dans une base deE. Le resultat est independant de la base choisie. On le note tr f .

L’application tr : LpEq Ñ K est une application lineaire sur LpEq a valeurs dans K.

§ Deux matrices semblables ont la meme trace, le meme determinant et le memepolynome caracteristique.

Partie 4 : Trigonalisation 54/73

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2. Trace et determinant d’un endomorphisme trigonalisable

EXEMPLE

La trace d’un projecteur est egale a son rang. On la calcule dans une base adaptee.

Partie 4 : Trigonalisation 55/73

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2. Trace et determinant d’un endomorphisme trigonalisable

Lien avec les valeurs propres

Partie 4 : Trigonalisation 56/73

Page 192: R eduction des endomorphismes - spepcfrancois1er.ovhspepcfrancois1er.ovh/chapitres/diapos-reduction.pdfPartie 1 : Etude sur des exemples 1/73. 1. Les projections Proposition (Propri

2. Trace et determinant d’un endomorphisme trigonalisable

Lien avec les valeurs propres

Proposition

Si f est trigonalisable de valeurs propres λ1, . . . , λn comptees avec multiplicite,alors :

tr f “ λ1 ` ¨ ¨ ¨ ` λn (somme des valeurs propres)

det f “ λ1 ˆ ¨ ¨ ¨ ˆ λn (produit des valeurs propres)

Partie 4 : Trigonalisation 56/73

Page 193: R eduction des endomorphismes - spepcfrancois1er.ovhspepcfrancois1er.ovh/chapitres/diapos-reduction.pdfPartie 1 : Etude sur des exemples 1/73. 1. Les projections Proposition (Propri

2. Trace et determinant d’un endomorphisme trigonalisable

Lien avec les valeurs propres

Proposition

Si f est trigonalisable de valeurs propres λ1, . . . , λn comptees avec multiplicite,alors :

tr f “ λ1 ` ¨ ¨ ¨ ` λn (somme des valeurs propres)

det f “ λ1 ˆ ¨ ¨ ¨ ˆ λn (produit des valeurs propres)

§ Quitte a passer en complexes, on peut toujours appliquer cette proposition.

Partie 4 : Trigonalisation 56/73

Page 194: R eduction des endomorphismes - spepcfrancois1er.ovhspepcfrancois1er.ovh/chapitres/diapos-reduction.pdfPartie 1 : Etude sur des exemples 1/73. 1. Les projections Proposition (Propri

2. Trace et determinant d’un endomorphisme trigonalisable

EXERCICE 10

Utiliser les resultats qui precedent pour determiner presque sans calculs les valeurspropres des matrices suivantes.

A “

¨

˝

1 ¨ ¨ ¨ 1...

...1 ¨ ¨ ¨ 1

˛

‚ et B “

¨

˝

0 ¨ ¨ ¨ 1...

. . ....

1 ¨ ¨ ¨ 0

˛

‚.

ou dans la matrice B, tous les coefficients valent 1, sauf ceux de la diagonale.

Partie 4 : Trigonalisation 57/73

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3. Obtention de la matrice de passage

Partie 4 : Trigonalisation 58/73

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3. Obtention de la matrice de passage

‚ On veut determiner les matrices P de passage et T triangulaire semblable a A.

Partie 4 : Trigonalisation 58/73

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3. Obtention de la matrice de passage

‚ On veut determiner les matrices P de passage et T triangulaire semblable a A.

‚ On se place dans le cas ou la matrice T est connue.

Partie 4 : Trigonalisation 58/73

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3. Obtention de la matrice de passage

EXEMPLE

Montrer que les matrices suivantes sont semblables.

A “

¨

˝

0 0 22 3 ´412 1 0

˛

‚ et T “

¨

˝

1 1 00 1 10 0 1

˛

Partie 4 : Trigonalisation 59/73

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3. Obtention de la matrice de passage

EXEMPLE

Montrer que les matrices suivantes sont semblables.

A “

¨

˝

0 0 22 3 ´412 1 0

˛

‚ et T “

¨

˝

1 1 00 1 10 0 1

˛

§ Cela revient a dire que A et T representent le meme endomorphisme f dans desbases differentes.

Partie 4 : Trigonalisation 59/73

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3. Obtention de la matrice de passage

Methode

Partie 4 : Trigonalisation 60/73

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3. Obtention de la matrice de passage

Methode

‚ Soit f l’endomorphisme de R3 canoniquement associe a A.

Partie 4 : Trigonalisation 60/73

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3. Obtention de la matrice de passage

Methode

‚ Soit f l’endomorphisme de R3 canoniquement associe a A.

‚ On note Bc “ pe1, e2, e3q la base canonique et B1 “ pe11, e12, e

13q la base inconnue

dans laquelle la matrice de f est T .

Partie 4 : Trigonalisation 60/73

Page 203: R eduction des endomorphismes - spepcfrancois1er.ovhspepcfrancois1er.ovh/chapitres/diapos-reduction.pdfPartie 1 : Etude sur des exemples 1/73. 1. Les projections Proposition (Propri

3. Obtention de la matrice de passage

Methode

‚ Soit f l’endomorphisme de R3 canoniquement associe a A.

‚ On note Bc “ pe1, e2, e3q la base canonique et B1 “ pe11, e12, e

13q la base inconnue

dans laquelle la matrice de f est T .

‚ On a les relations$

&

%

f pe11q “ e11 p1q

f pe12q “ e11 ` e

12 p2q

f pe13q “ e12 ` e

13 p3q

Partie 4 : Trigonalisation 60/73

Page 204: R eduction des endomorphismes - spepcfrancois1er.ovhspepcfrancois1er.ovh/chapitres/diapos-reduction.pdfPartie 1 : Etude sur des exemples 1/73. 1. Les projections Proposition (Propri

3. Obtention de la matrice de passage

Methode

‚ Soit f l’endomorphisme de R3 canoniquement associe a A.

‚ On note Bc “ pe1, e2, e3q la base canonique et B1 “ pe11, e12, e

13q la base inconnue

dans laquelle la matrice de f est T .

‚ On a les relations$

&

%

f pe11q “ e11 p1q

f pe12q “ e11 ` e

12 p2q

f pe13q “ e12 ` e

13 p3q

‚ Chaque ligne est un systeme qui donne une colonne de P .

Partie 4 : Trigonalisation 60/73

Page 205: R eduction des endomorphismes - spepcfrancois1er.ovhspepcfrancois1er.ovh/chapitres/diapos-reduction.pdfPartie 1 : Etude sur des exemples 1/73. 1. Les projections Proposition (Propri

3. Obtention de la matrice de passage

Methode

‚ Soit f l’endomorphisme de R3 canoniquement associe a A.

‚ On note Bc “ pe1, e2, e3q la base canonique et B1 “ pe11, e12, e

13q la base inconnue

dans laquelle la matrice de f est T .

‚ On a les relations$

&

%

f pe11q “ e11 p1q

f pe12q “ e11 ` e

12 p2q

f pe13q “ e12 ` e

13 p3q

‚ Chaque ligne est un systeme qui donne une colonne de P .

§ Les solutions ne sont pas uniques. On fait des choix simples des parametres.

Partie 4 : Trigonalisation 60/73

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Partie 5

Applications de la reduction

Reduction des endomorphismes

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1. Calcul des puissances d’une matrice diagonalisable

Partie 5 : Applications de la reduction 61/73

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1. Calcul des puissances d’une matrice diagonalisable

‚ Soit A PMnpKq une matrice et k P N.

Partie 5 : Applications de la reduction 61/73

Page 209: R eduction des endomorphismes - spepcfrancois1er.ovhspepcfrancois1er.ovh/chapitres/diapos-reduction.pdfPartie 1 : Etude sur des exemples 1/73. 1. Les projections Proposition (Propri

1. Calcul des puissances d’une matrice diagonalisable

‚ Soit A PMnpKq une matrice et k P N.

‚ On suppose que A est diagonalisable,

DP P GLnpKq telle que A “ PDP´1

ou D “

¨

˝

λ1 0. . .

0 λn

˛

‚, λ1, . . . , λn etant les valeurs propres de A.

Partie 5 : Applications de la reduction 61/73

Page 210: R eduction des endomorphismes - spepcfrancois1er.ovhspepcfrancois1er.ovh/chapitres/diapos-reduction.pdfPartie 1 : Etude sur des exemples 1/73. 1. Les projections Proposition (Propri

1. Calcul des puissances d’une matrice diagonalisable

‚ Soit A PMnpKq une matrice et k P N.

‚ On suppose que A est diagonalisable,

DP P GLnpKq telle que A “ PDP´1

ou D “

¨

˝

λ1 0. . .

0 λn

˛

‚, λ1, . . . , λn etant les valeurs propres de A.

‚ On a par associativite,

Ak “ pPDP´1qpPDP´1q ¨ ¨ ¨ pPDP´1q “ PDpP´1P qDpP´1P q ¨ ¨ ¨ pP´1P qDP´1

Partie 5 : Applications de la reduction 61/73

Page 211: R eduction des endomorphismes - spepcfrancois1er.ovhspepcfrancois1er.ovh/chapitres/diapos-reduction.pdfPartie 1 : Etude sur des exemples 1/73. 1. Les projections Proposition (Propri

1. Calcul des puissances d’une matrice diagonalisable

‚ Soit A PMnpKq une matrice et k P N.

‚ On suppose que A est diagonalisable,

DP P GLnpKq telle que A “ PDP´1

ou D “

¨

˝

λ1 0. . .

0 λn

˛

‚, λ1, . . . , λn etant les valeurs propres de A.

‚ On a par associativite,

Ak “ pPDP´1qpPDP´1q ¨ ¨ ¨ pPDP´1q “ PDpP´1P qDpP´1P q ¨ ¨ ¨ pP´1P qDP´1

‚ Il y a telescopage des produits P´1P , donc finalement

Ak “ PDkP´1

Partie 5 : Applications de la reduction 61/73

Page 212: R eduction des endomorphismes - spepcfrancois1er.ovhspepcfrancois1er.ovh/chapitres/diapos-reduction.pdfPartie 1 : Etude sur des exemples 1/73. 1. Les projections Proposition (Propri

1. Calcul des puissances d’une matrice diagonalisable

‚ Dk se calcule facilement,

Dk “

¨

˚

˝

λk1 0. . .

0 λkn

˛

Partie 5 : Applications de la reduction 62/73

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1. Calcul des puissances d’une matrice diagonalisable

‚ Dk se calcule facilement,

Dk “

¨

˚

˝

λk1 0. . .

0 λkn

˛

‚ Ce calcul reste valable pour k ă 0 a condition que A soit inversible.

Partie 5 : Applications de la reduction 62/73

Page 214: R eduction des endomorphismes - spepcfrancois1er.ovhspepcfrancois1er.ovh/chapitres/diapos-reduction.pdfPartie 1 : Etude sur des exemples 1/73. 1. Les projections Proposition (Propri

1. Calcul des puissances d’une matrice diagonalisable

‚ Dk se calcule facilement,

Dk “

¨

˚

˝

λk1 0. . .

0 λkn

˛

‚ Ce calcul reste valable pour k ă 0 a condition que A soit inversible.

Par convention A0 “ In, la matrice identite.

Partie 5 : Applications de la reduction 62/73

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1. Calcul des puissances d’une matrice diagonalisable

EXEMPLE

� Calculer An pour n P N lorsque A “1

2

¨

˝

3 2 1´8 ´5 ´28 4 1

˛

‚.

Partie 5 : Applications de la reduction 63/73

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1. Calcul des puissances d’une matrice diagonalisable

EXEMPLE

� Calculer An pour n P N lorsque A “1

2

¨

˝

3 2 1´8 ´5 ´28 4 1

˛

‚.

On a la relation de diagonalisation A “ PDP´1, avec

D “1

2

¨

˝

1 0 00 ´1 00 0 ´1

˛

‚ et P “

¨

˝

1 1 0´2 0 12 ´4 ´2

˛

‚, P´1 “

¨

˝

2 1 12

´1 ´1 ´ 12

4 3 1

˛

Partie 5 : Applications de la reduction 63/73

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1. Calcul des puissances d’une matrice diagonalisable

EXEMPLE

� Calculer An pour n P N lorsque A “1

2

¨

˝

3 2 1´8 ´5 ´28 4 1

˛

‚.

On a la relation de diagonalisation A “ PDP´1, avec

D “1

2

¨

˝

1 0 00 ´1 00 0 ´1

˛

‚ et P “

¨

˝

1 1 0´2 0 12 ´4 ´2

˛

‚, P´1 “

¨

˝

2 1 12

´1 ´1 ´ 12

4 3 1

˛

d’ou

An “ PDnP´1 “1

2n

¨

˝

2´ p´1qn 1´ p´1qn1´p´1qn

2

´4` 4p´1qn ´2` 3p´1qn ´1` p´1qn

4´ 4p´1qn 2´ 2p´1qn 1

˛

Partie 5 : Applications de la reduction 63/73

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1. Calcul des puissances d’une matrice diagonalisable

� Application : Expliciter le terme general puis les limites des suites definies par lesrelations de recurrence,

$

&

%

xn`1 “ 32xn ` yn `

12zn

yn`1 “ ´4xn ´52yn ´ zn

zn`1 “ 4xn ` 2yn `12zn

avec

¨

˝

x0

y0

z0

˛

‚“

¨

˝

101

˛

Partie 5 : Applications de la reduction 64/73

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1. Calcul des puissances d’une matrice diagonalisable

Application aux suites a recurrence lineaire

Partie 5 : Applications de la reduction 65/73

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1. Calcul des puissances d’une matrice diagonalisable

Application aux suites a recurrence lineaire

‚ Soit une suite punqnPN de reels ou complexes definie par une recurrence d’ordre 2

@n P N, un`2 “ aun`1 ` bun

Partie 5 : Applications de la reduction 65/73

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1. Calcul des puissances d’une matrice diagonalisable

Application aux suites a recurrence lineaire

‚ Soit une suite punqnPN de reels ou complexes definie par une recurrence d’ordre 2

@n P N, un`2 “ aun`1 ` bun

‚ On peut ecrire cette relation matriciellement. On pose vn “ un`1, alors

"

un`1 “ vn

vn`1 “ avn ` bun

Partie 5 : Applications de la reduction 65/73

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1. Calcul des puissances d’une matrice diagonalisable

Application aux suites a recurrence lineaire

‚ Soit une suite punqnPN de reels ou complexes definie par une recurrence d’ordre 2

@n P N, un`2 “ aun`1 ` bun

‚ On peut ecrire cette relation matriciellement. On pose vn “ un`1, alors

"

un`1 “ vn

vn`1 “ avn ` bun

‚ Soit Xn “

ˆ

unvn

˙

et A “

ˆ

0 1b a

˙

alors Xn`1 “ AXn

Partie 5 : Applications de la reduction 65/73

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1. Calcul des puissances d’une matrice diagonalisable

Application aux suites a recurrence lineaire

‚ Soit une suite punqnPN de reels ou complexes definie par une recurrence d’ordre 2

@n P N, un`2 “ aun`1 ` bun

‚ On peut ecrire cette relation matriciellement. On pose vn “ un`1, alors

"

un`1 “ vn

vn`1 “ avn ` bun

‚ Soit Xn “

ˆ

unvn

˙

et A “

ˆ

0 1b a

˙

alors Xn`1 “ AXn

‚ On a donc Xn “ AnX0 avec X0 “

ˆ

u0

u1

˙

.

Partie 5 : Applications de la reduction 65/73

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1. Calcul des puissances d’une matrice diagonalisable

Application aux suites a recurrence lineaire

‚ Soit une suite punqnPN de reels ou complexes definie par une recurrence d’ordre 2

@n P N, un`2 “ aun`1 ` bun

‚ On peut ecrire cette relation matriciellement. On pose vn “ un`1, alors

"

un`1 “ vn

vn`1 “ avn ` bun

‚ Soit Xn “

ˆ

unvn

˙

et A “

ˆ

0 1b a

˙

alors Xn`1 “ AXn

‚ On a donc Xn “ AnX0 avec X0 “

ˆ

u0

u1

˙

.

‚ On peut calculer An par reduction.

Partie 5 : Applications de la reduction 65/73

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1. Calcul des puissances d’une matrice diagonalisable

‚ On a le polynome caracteristique de A,

χApλq “

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

λ ´1´b λ´ a

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

“ λ2 ´ aλ´ b

Partie 5 : Applications de la reduction 66/73

Page 226: R eduction des endomorphismes - spepcfrancois1er.ovhspepcfrancois1er.ovh/chapitres/diapos-reduction.pdfPartie 1 : Etude sur des exemples 1/73. 1. Les projections Proposition (Propri

1. Calcul des puissances d’une matrice diagonalisable

‚ On a le polynome caracteristique de A,

χApλq “

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

λ ´1´b λ´ a

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

“ λ2 ´ aλ´ b

‚ L’equation λ2 ´ aλ ´ b “ 0 est appelee equation caracteristique de la recurrencelineaire.

Partie 5 : Applications de la reduction 66/73

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1. Calcul des puissances d’une matrice diagonalisable

‚ On a le polynome caracteristique de A,

χApλq “

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

λ ´1´b λ´ a

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

“ λ2 ´ aλ´ b

‚ L’equation λ2 ´ aλ ´ b “ 0 est appelee equation caracteristique de la recurrencelineaire.

‚ Si ∆ ‰ 0, alors l’equation caracteristique a deux racines distinctes λ1 et λ2.

Partie 5 : Applications de la reduction 66/73

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1. Calcul des puissances d’une matrice diagonalisable

‚ On a le polynome caracteristique de A,

χApλq “

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

λ ´1´b λ´ a

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

“ λ2 ´ aλ´ b

‚ L’equation λ2 ´ aλ ´ b “ 0 est appelee equation caracteristique de la recurrencelineaire.

‚ Si ∆ ‰ 0, alors l’equation caracteristique a deux racines distinctes λ1 et λ2.

‚ A est diagonalisable,

A “ PDP´1 ou D “

ˆ

λ1 00 λ2

˙

et P P GL2pKq

Partie 5 : Applications de la reduction 66/73

Page 229: R eduction des endomorphismes - spepcfrancois1er.ovhspepcfrancois1er.ovh/chapitres/diapos-reduction.pdfPartie 1 : Etude sur des exemples 1/73. 1. Les projections Proposition (Propri

1. Calcul des puissances d’une matrice diagonalisable

‚ On a le polynome caracteristique de A,

χApλq “

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

λ ´1´b λ´ a

ˇ

ˇ

ˇ

ˇ

“ λ2 ´ aλ´ b

‚ L’equation λ2 ´ aλ ´ b “ 0 est appelee equation caracteristique de la recurrencelineaire.

‚ Si ∆ ‰ 0, alors l’equation caracteristique a deux racines distinctes λ1 et λ2.

‚ A est diagonalisable,

A “ PDP´1 ou D “

ˆ

λ1 00 λ2

˙

et P P GL2pKq

‚ On a donc An “ PDnP´1, et

ˆ

unvn

˙

“ P

ˆ

λn1 00 λn2

˙

P´1

ˆ

u0

u1

˙

Partie 5 : Applications de la reduction 66/73

Page 230: R eduction des endomorphismes - spepcfrancois1er.ovhspepcfrancois1er.ovh/chapitres/diapos-reduction.pdfPartie 1 : Etude sur des exemples 1/73. 1. Les projections Proposition (Propri

1. Calcul des puissances d’une matrice diagonalisable

‚ un est de la formeun “ αλ

n1 ` βλ

n2

ou α et β P K (dependent de P et P´1).

Partie 5 : Applications de la reduction 67/73

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1. Calcul des puissances d’une matrice diagonalisable

‚ un est de la formeun “ αλ

n1 ` βλ

n2

ou α et β P K (dependent de P et P´1).

‚ Le calcul de P et P´1 n’est pas necessaire. On trouve α, β a l’aide de u0, u1.

Partie 5 : Applications de la reduction 67/73

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1. Calcul des puissances d’une matrice diagonalisable

EXEMPLE

Expliciter le terme general de la suite punqnPN definie par u0 “ 1, u1 “ 1 et la relationde recurrence

@n P N, un`2 “ ´un`1 ` 6un

Partie 5 : Applications de la reduction 68/73

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1. Calcul des puissances d’une matrice diagonalisable

REMARQUE

Cela se generalise a des suites recurrentes d’ordre superieur a deux.

Partie 5 : Applications de la reduction 69/73

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1. Calcul des puissances d’une matrice diagonalisable

EXEMPLE

Donner le forme du terme general des suites verifiant la relation de recurrence

@n P N, un`3 “ 2un`2 ` un`1 ´ 2un

Partie 5 : Applications de la reduction 70/73

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1. Calcul des puissances d’une matrice diagonalisable

Cas d’un discriminant nul

Partie 5 : Applications de la reduction 72/73

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1. Calcul des puissances d’une matrice diagonalisable

Cas d’un discriminant nul

On revient a la theorie pour les suites recurrentes lineaires d’ordre 2.

@n P N, un`2 “ aun`1 ` bun ðñ @n ě 0, Xn`1 “ AXn, Xn “

ˆ

unvn

˙

, A “

ˆ

0 1b a

˙

Partie 5 : Applications de la reduction 72/73

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1. Calcul des puissances d’une matrice diagonalisable

Cas d’un discriminant nul

On revient a la theorie pour les suites recurrentes lineaires d’ordre 2.

@n P N, un`2 “ aun`1 ` bun ðñ @n ě 0, Xn`1 “ AXn, Xn “

ˆ

unvn

˙

, A “

ˆ

0 1b a

˙

‚ Si ∆ “ 0, alors l’equation caracteristique admet une racine double λ1 “ λ2 “ λ.

Partie 5 : Applications de la reduction 72/73

Page 238: R eduction des endomorphismes - spepcfrancois1er.ovhspepcfrancois1er.ovh/chapitres/diapos-reduction.pdfPartie 1 : Etude sur des exemples 1/73. 1. Les projections Proposition (Propri

1. Calcul des puissances d’une matrice diagonalisable

Cas d’un discriminant nul

On revient a la theorie pour les suites recurrentes lineaires d’ordre 2.

@n P N, un`2 “ aun`1 ` bun ðñ @n ě 0, Xn`1 “ AXn, Xn “

ˆ

unvn

˙

, A “

ˆ

0 1b a

˙

‚ Si ∆ “ 0, alors l’equation caracteristique admet une racine double λ1 “ λ2 “ λ.

‚ A est trigonalisable,

A “ PTP´1 avec T “

ˆ

λ µ0 λ

˙

et P P GLnpKq

Partie 5 : Applications de la reduction 72/73

Page 239: R eduction des endomorphismes - spepcfrancois1er.ovhspepcfrancois1er.ovh/chapitres/diapos-reduction.pdfPartie 1 : Etude sur des exemples 1/73. 1. Les projections Proposition (Propri

1. Calcul des puissances d’une matrice diagonalisable

Cas d’un discriminant nul

On revient a la theorie pour les suites recurrentes lineaires d’ordre 2.

@n P N, un`2 “ aun`1 ` bun ðñ @n ě 0, Xn`1 “ AXn, Xn “

ˆ

unvn

˙

, A “

ˆ

0 1b a

˙

‚ Si ∆ “ 0, alors l’equation caracteristique admet une racine double λ1 “ λ2 “ λ.

‚ A est trigonalisable,

A “ PTP´1 avec T “

ˆ

λ µ0 λ

˙

et P P GLnpKq

µ est eventuellement nul (si A est diagonalisable).

Partie 5 : Applications de la reduction 72/73

Page 240: R eduction des endomorphismes - spepcfrancois1er.ovhspepcfrancois1er.ovh/chapitres/diapos-reduction.pdfPartie 1 : Etude sur des exemples 1/73. 1. Les projections Proposition (Propri

1. Calcul des puissances d’une matrice diagonalisable

Cas d’un discriminant nul

On revient a la theorie pour les suites recurrentes lineaires d’ordre 2.

@n P N, un`2 “ aun`1 ` bun ðñ @n ě 0, Xn`1 “ AXn, Xn “

ˆ

unvn

˙

, A “

ˆ

0 1b a

˙

‚ Si ∆ “ 0, alors l’equation caracteristique admet une racine double λ1 “ λ2 “ λ.

‚ A est trigonalisable,

A “ PTP´1 avec T “

ˆ

λ µ0 λ

˙

et P P GLnpKq

µ est eventuellement nul (si A est diagonalisable).

‚ On calcule T n par la formule du binome.

T “ λI2 ` N avec N “

ˆ

0 µ0 0

˙

Partie 5 : Applications de la reduction 72/73

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1. Calcul des puissances d’une matrice diagonalisable

‚ On a N2 “ 0 et I2 et N commutent, donc

T n “ λnI2 ` nλn´1N ` 0 “

ˆ

λn nλn´1µ0 λn

˙

Partie 5 : Applications de la reduction 72/73

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1. Calcul des puissances d’une matrice diagonalisable

‚ On a N2 “ 0 et I2 et N commutent, donc

T n “ λnI2 ` nλn´1N ` 0 “

ˆ

λn nλn´1µ0 λn

˙

‚ On en deduit que

ˆ

unvn

˙

“ P

ˆ

λn nλn´1µ0 λn

˙

P´1

ˆ

u0

u1

˙

Partie 5 : Applications de la reduction 72/73

Page 243: R eduction des endomorphismes - spepcfrancois1er.ovhspepcfrancois1er.ovh/chapitres/diapos-reduction.pdfPartie 1 : Etude sur des exemples 1/73. 1. Les projections Proposition (Propri

1. Calcul des puissances d’une matrice diagonalisable

‚ On a N2 “ 0 et I2 et N commutent, donc

T n “ λnI2 ` nλn´1N ` 0 “

ˆ

λn nλn´1µ0 λn

˙

‚ On en deduit que

ˆ

unvn

˙

“ P

ˆ

λn nλn´1µ0 λn

˙

P´1

ˆ

u0

u1

˙

‚ En isolant la premiere composante,

un “ pα` nβqλn

avec α et β des constantes

Partie 5 : Applications de la reduction 72/73

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1. Calcul des puissances d’une matrice diagonalisable

EXEMPLE

Expliciter le terme general de la suite punqnPN definie par u0 “ 1, u1 “ 0 et la relationde recurrence

@n P N, un`2 “ 4un`1 ´ 4un

Partie 5 : Applications de la reduction 73/73