Introduction aux estimations a posteriori
pour la discretisation d’equations
elliptiques et application a laresolution d’un probleme
multi-echelles
P. Omnes1,2, Y. Penel1,2 et Y. Rosenbaum1,2
1. CEA, DEN, DM2S-SFME F-91191 Gif-sur-Yvette Cedex.2. Laga Universite Paris 13
15 Mai 2009
Estimations a posteriori
Plan
Plan
1 Objectifs des estimations a a posteriori
2 Cas des EF conformes pour le Laplacien
3 Cas du schema DDFV pour le Laplacien
4 Resultats numeriques
5 Conclusion et perspectives
Estimations a posteriori
Plan
Plan
1 Objectifs des estimations a a posteriori
2 Cas des EF conformes pour le Laplacien
3 Cas du schema DDFV pour le Laplacien
4 Resultats numeriques
5 Conclusion et perspectives
Estimations a posteriori
Plan
Plan
1 Objectifs des estimations a a posteriori
2 Cas des EF conformes pour le Laplacien
3 Cas du schema DDFV pour le Laplacien
4 Resultats numeriques
5 Conclusion et perspectives
Estimations a posteriori
Plan
Plan
1 Objectifs des estimations a a posteriori
2 Cas des EF conformes pour le Laplacien
3 Cas du schema DDFV pour le Laplacien
4 Resultats numeriques
5 Conclusion et perspectives
Estimations a posteriori
Plan
Plan
1 Objectifs des estimations a a posteriori
2 Cas des EF conformes pour le Laplacien
3 Cas du schema DDFV pour le Laplacien
4 Resultats numeriques
5 Conclusion et perspectives
Estimations a posteriori
Objectifs
Objectifs
Soit un probleme (continu) a approcher numeriquement (sur unmaillage constitue de Ti), et soit e l’erreur (dans une certainenorme) entre solution exacte et solution numerique.
0. e ≤ η ≤ Ke avec η = C(∑
Tiηα
i
)1/α(ici α = 2) avec ηi
calculable uniquement a partir de la solution numerique, desdonnees du probleme et de la geometrie du maillage, et dont lecout du calcul est negligeable.
1. Reduire le cout du calcul en raffinantle maillage de maniere adaptative, laou l’erreur (les ηi) est importante.
Estimations a posteriori
Objectifs
Objectifs (suite)
2. Garantir a l’utilisateur une borne superieure de l’erreur (pas deconstantes inconnues) avec une bonne efficacite (rapportestimateur/erreur proche de un) si possible independante desparametres (discontinuites, anisotropie).
3. Donner un algorithme d’adaptation de maillage qui assure quel’on pourra atteindre de facon optimale une erreur fixee parl’utilisateur.
Estimations a posteriori
EF pour Laplacien
Cas des EF conformes pour le Laplacien
Soit a resoudre −∆u = f sur Ω =⋃
i Ti avec u = 0 sur le bord.Trouver u ∈ V := H1
0 (Ω) tel que pour tout v ∈ V :
∫
Ω∇u · ∇v =
∫
Ωfv FVC
Approximation par EF conformes : Vh ⊂ V de dimension finie :trouver uh ∈ Vh tel que pour tout vh ∈ Vh :
∫
Ω∇uh · ∇vh =
∫
Ωfvh FVD
En particulier, pour tout vh ∈ Vh on a (FVC avec v = vh - FVD)∫
Ω(∇u −∇uh) · ∇vh = 0
(Orthogonalite de Galerkin).
Estimations a posteriori
EF pour Laplacien
Soit v := u − uh, on a
e2 :=
∫
Ω|∇v|2 =
∫
Ω(∇u −∇uh) · ∇v
Soit vh quelconque dans Vh, par Orthogonalite de Galerkin :
e2 =
∫
Ω(∇u −∇uh) · (∇v −∇vh)
=
∫
Ω∇u · (∇v −∇vh) −
∫
Ω∇uh · (∇v −∇vh)
=
∫
Ωf(v − vh) −
∑
Ti
∫
Ti
∇uh · (∇v −∇vh)
=
∫
Ωf(v − vh) −
∑
Ti
∫
Ti
(−∆uh)(v − vh) +
∫
∂Ti
∇uh · n(v − vh)
Estimations a posteriori
EF pour Laplacien
e2 =
∫
Ωf(v − vh) −
∑
Ti
∫
Ti
(−∆uh)(v − vh) +
∫
∂Ti
∇uh · n(v − vh)
=∑
Ti
∫
Ti
(f + ∆uh)(v − vh) −∑
s
∫
s[∇uh · ns]s(v − vh)
≤∑
Ti
||f + ∆uh||L2(Ti)||v − vh||L2(Ti)
+∑
s
||[∇uh · ns]s||L2(s)||v − vh||L2(s)
≤
(
∑
Ti
|Ti| ||f + ∆uh||2L2(Ti)
)1/2(∑
Ti
|Ti|−1||v − vh||
2L2(Ti)
)1/2
+
(
∑
s
|s| ||[∇uh · ns]s||2L2(s)
)1/2(∑
s
|s|−1||v − vh||2L2(s)
)1/2
Choix de vh ? Bonne approximation de v !
Estimations a posteriori
EF pour Laplacien
Choix de vh ? Par ex. moyenne de v autour des degres de liberte deVh (eventuellement ponderee par fonction de base associee).Alors : ∃C1(τ) et C2(τ) t.q. pour tout v ∈ V :
∑
Ti
|Ti|−1||v − vh||
2L2(Ti)
1/2
≤ C1||∇v||L2(Ω) = C1e
(
∑
s
|s|−1||v − vh||2L2(s)
)1/2
≤ C2||∇v||L2(Ω) = C2e
D’ou l’estimation a posteriori (basee sur les residus) :
e ≤ C1(∑
Ti
|Ti| ||f+∆uh||2L2(Ti)
)1/2+C2(∑
s
|s| ||[∇uh·ns]s||2L2(s))
1/2
Estimations a posteriori
EF pour Laplacien
e ≤ C1(∑
Ti
|Ti| ||f+∆uh||2L2(Ti)
)1/2+C2(∑
s
|s| ||[∇uh·ns]s||2L2(s))
1/2
Ne fait bien intervenir que la solution calculee uh (par le saut deses gradients), les donnees et la geometrie du maillage.
Les constantes sont difficiles a calculer (Verfurth 1999 ; Carstensenand Funken, 2000) et l’efficacite mauvaise (rapportestimateur/erreur entre 35 et 70 selon les cas tests).
On fait mieux depuis : pas de constante, ou alors connue, efficaciteproche de un (Vohralık 2006).
Estimations a posteriori
DDFV pour Laplacien
Cas du schema DDFV
Inconnues aux centres et auxsommets des cellules. On integre−∆u = f sur chacune des cellulesprimales et duales.Pour evaluer les flux, On construit∇hu sur chacune des cellules-diamants a partir des uT
i et des uPk
par la formule
(∇u)j :=1
2 |Dj|
[
uPk2
− uPk1
]
|A′j |n
′j +
[
uTi2 − uT
i1
]
|Aj |nj
Ti1
Pk2
Pk1
Ti2
n’A’A
n
Estimations a posteriori
DDFV pour Laplacien
Equivalence avec une methode d’elements finis
Sk2
Sk1
D j
i1G
i2G
i1 k1M
i2 k1M
i2 k2M i1 k2M
Soit u := (uT , uP ). Il existe une unique fonction uh dont larestriction a chaque cellule-diamant Dj est P 1(Dj) et telle que
uh(Miα kβ) =
1
2(uT
iα(j) + uPkβ(j)) ∀(α β) ∈ 1; 22
Estimations a posteriori
DDFV pour Laplacien
La propriete (∇uh)|Dj= (∇hu)j permet de demontrer que le
schema numerique est equivalent a
trouver uh ∈ Vh tel que ∀vh ∈ Vh,
∑
j
∫
Dj
∇uh · ∇vh =
∫
Ωfv∗h ,
et
v∗h :=1
2
(
∑
i
vTi θT
i +∑
k
vPk θP
k
)
ou θTi et θP
k sont les fonctions indicatrices des mailles Ti et Pk.
Elements finis non-conformes : fonctions de base sont P 1 parmorceaux sur les Dj et continues seulement aux points Miα kβ
.Second membre : “formule de quadrature”.
Estimations a posteriori
DDFV pour Laplacien
Estimation a posteriori (Laplace - Dirichlet homogene)
e2 =∑
j
∫
Dj
|∇u −∇uh|2 .
Decomposition de Hodge dans (L2(Ω))2, avec Φ nul sur Γ :
∇u −∇uh = ∇Φ + ∇× Ψ
Alors, e2 =∥
∥
∥∇Φ∥
∥
∥
2
0,Ω+∥
∥
∥∇× Ψ∥
∥
∥
2
0,Ωet
e2 =∑
j
∫
Dj
(∇u −∇uh) · ∇Φ +∑
j
∫
Dj
(∇u −∇uh) · ∇ × Ψ.
Estimations a posteriori
DDFV pour Laplacien
i1 =∑
j
∫
Dj
(∇u −∇uh) · ∇Φ
Soit Φ = (ΦTi ,ΦP
k ) quelconque mais nul sur Γ. On a
i1 =
∫
Ωf(
Φ − Φ∗h
)
−∑
j
∫
Dj
∇uh ·(
∇Φ −∇Φh
)
i1 =1
2
∑
i∈[1,I]
∫
Ti
f(
Φ − ΦTi
)
+1
2
∑
k∈[1,K]
∫
Pk
f(
Φ − ΦPk
)
−1
2
∑
i∈[1,I]
∑
s⊂
Ti
∫
s[∇uh · ns]s
(
Φ − ΦTi
)
(σ) dσ
−1
2
∑
k∈[1,K]
∑
s⊂
Pk
∫
s[∇uh · ns]s
(
Φ − ΦPk
)
(σ) dσ .
Estimations a posteriori
DDFV pour Laplacien
i2 =∑
j
∫
Dj
(∇u −∇uh) · ∇ × Ψ
Soit Ψ = (ΨTi ,ΨP
k ) arbitraire ; par orthogonalite continue etdiscrete :
i2 = −∑
j
∫
Dj
∇uh ·(
∇× Ψ −∇× Ψh
)
.
i2 = −1
2
∑
i∈[1,I]
∑
s⊂
Ti
∫
s[∇uh · τs]s
(
Ψ − ΨTi
)
−1
2
∑
k∈[1,K]
∑
s⊂
Pk
∫
s[∇uh · τs]s
(
Ψ − ΨPk
)
Estimations a posteriori
DDFV pour Laplacien
Soit Ti une cellule primale. Dans i1 on doit majorer
1
2
∑
i∈[1,I]
∑
s⊂
Ti
∫
s[∇uh · ns]s
(
Φ − ΦTi
)
(σ) dσ
t ik,1
t ik,2
Gi
Sk
s
∣
∣
∣
∣
∣
∫
s[∇uh ·ns]s
(
Φ−ΦTi
)
(σ)dσ
∣
∣
∣
∣
∣
≤ ‖[∇uh ·ns]s‖0,s
∥
∥
∥Φ−ΦT
i
∥
∥
∥
0,s
Pour chaque segment s, on ecrit une inegalite de trace sur chacundes deux triangles tik,1 et tik,2
Estimations a posteriori
DDFV pour Laplacien
∥
∥
∥Φ − ΦTi
∥
∥
∥
2
0,s≤
Cik,α
|s|
(
∥
∥
∥Φ − ΦTi
∥
∥
∥
2
0,tik,α
+ h2i
∥
∥
∥∇Φ∥
∥
∥
2
0,tik,α
)
.
Cik,α est calculable. Pour i fixe, par C-S discret sur les s ∈Ti
∣
∣
∣
∣
∣
∑
s∈
Ti
∫
s
[∇uh ·ns]s
(
Φ−ΦTi
)
(σ)dσ
∣
∣
∣
∣
∣
≤ Ciαi
(
∥
∥
∥Φ − ΦTi
∥
∥
∥
2
0,Ti
+ h2i
∥
∥
∥∇Φ∥
∥
∥
2
0,Ti
)1/2
avec
αi =
∑
s∈
Ti
1
|s|‖[∇uh ·ns]s‖
20,s
1/2
Estimations a posteriori
DDFV pour Laplacien
Choix de ΦTi : valeur moyenne de Φ ∈ H1 sur Ti :
∥
∥
∥Φ − ΦT
i
∥
∥
∥
0,Ti
≤ Kihi
∥
∥
∥∇Φ∥
∥
∥
0,Ti
(si Ti est convexe Ki = 1π )
∣
∣
∣
∣
∑
s∈
Ti
∫
s[∇uh ·ns]s
(
Φ−ΦTi
)
(σ)dσ
∣
∣
∣
∣
≤ Cηi
∥
∥
∥∇Φ∥
∥
∥
0,Ti
avec
η2i = h2
i
∑
s∈
Ti
1
|s|‖[∇uh ·ns]s‖
20,s
Estimations a posteriori
DDFV pour Laplacien
On traite de meme les termes sur les cellules duales. Par C-Sdiscret sur les Ti, on conclut, en notant η = (
∑
i η2i )
1/2
i1 ≤ η1
∥
∥
∥∇Φ∥
∥
∥
0,Ω.
De meme, on obtient une majoration du type i2 ≤ η2
∥
∥
∥∇Ψ
∥
∥
∥
0,Ω.
On se souvient que
e2 = i1 + i2 =∥
∥
∥∇Φ∥
∥
∥
2
0,Ω+∥
∥
∥∇Ψ
∥
∥
∥
2
0,Ω
Donce ≤
(
η21 + η2
2
)1/2
Estimations a posteriori
Resultats numeriques
Resultats numeriques
Maillages non-conformes (Exemple inspire de Glowinski et al.)Ω = [−1; 1]2 et ω = [−1/4; 1/4]2
φ = cos(π2 x) cos(π
2 y) + 10χ(r) exp(1/ε2) exp[−1/(ε2 − r2)] ,
avec r =√
x2 + y2 ; χ(r) = 1 si r ≤ ε et χ(r) = 0 si r > ε etε = 1/4. Ω \ ω : carres de longueur S et ω : carres de longueurs = S/2p.
Maillage non-conforme S = 1/8 et S/s = 4
Estimations a posteriori
Resultats numeriques
strategie de raffinement
Soit η2ext :=
∑
Ti⊂Ω\ω η2i et η2
int :=∑
Ti⊂ω η2i . Soit Next et Nint le
nombre de mailles dans Ω \ ω et ω.
Alors la methode etant d’ordre un pour e en fonction du pas dumaillage, on aura e ≈ C(Next + Nint)
−1/2. La strategie consistealors a minimiser e(Next + Nint)
1/2.
D’autre part, ηext ≈ C ′N−1/2ext et ηint ≈ C ′′N
−1/2int . Donc
raffinement dans ω seulement : e ≈ (η2ext + η2
int/4)1/2 pour
(Next + 4Nint) cellules.
raffinement dans Ω \ ω seulement : e ≈ (η2ext/4 + η2
int)1/2
pour (4Next + Nint) cellules.
raffinement dans ω et Ω \ ω : e ≈ 12(η2
ext + η2int)
1/2 pour4(Next + Nint) cellules.
Estimations a posteriori
Resultats numeriques
On compare alors
Ci := (η2ext + η2
int/4)1/2(Next + 4Nint)
1/2,Ce := (η2
ext/4 + η2int)
1/2(4Next + Nint)1/2 et
Cie := (η2ext + η2
int)1/2(Next + Nint)
1/2
et on raffine
dans ω seulement si Ci = min(Ci, Ce, Cie),
dans Ω \ ω seulement si Ce = min(Ci, Ce, Cie),
dans ω et Ω \ ω si Cie = min(Ci, Ce, Cie).
Estimations a posteriori
Resultats numeriques
0.1
1
10
100
1000
100 1000 10000
Err
eur
reel
le
Nombre d’elements
maillages possiblesraffinement uniforme
strategie proposee
1
10
100
1000
10000
100 1000 10000
Err
eur
estim
ee
Nombre d’elements
maillages possiblesraffinement uniforme
strategie proposee
Estimations a posteriori
Resultats numeriques
On traite ici le cas d’un domaine avec fissure etu(r, θ) = r1/2 sin(θ/2)
Estimations a posteriori
Resultats numeriques
−1/4N
uniformadaptive
−1/2N
0.001
0.01
0.1
1
10 100 1000 10000 100000
Err
or
Number of triangles
On recupere l’ordre optimal en nombre de triangles
8
10
12
14
16
10 100 1000 10000 100000
Effi
cien
cy
Number of triangles
adaptiveuniform
Estimations a posteriori
Conclusion et perspectives
Conclusion et perspectives
Pour l’elliptique lineaire, les estimations a posteriori, c’estfacile
Estimation a posteriori et adaptation de maillage
Robustesse vis-a-vis des coefficients
Problemes dependant du temps
Problemes non lineaires
Probleme de (Navier-)Stokes (these de Anh Ha LE)
Problemes hyperboliques et couplage avec elliptique
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