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Page 1: Pres branchesinfinies

Branches infinies

TEKAYA HABIB

IHEC de sousse

2014-2015

Page 2: Pres branchesinfinies

DéfinitionLa droite d’équation y = ax +b est une asymptote à la courbe représentant f si etseulement si :

limx→+∞(f (x)−ax −b)= 0 ou lim

x→−∞(f (x)−ax −b)= 0

Branches infinies Asymptote d’équation y = ax +b 1 / 9

Page 3: Pres branchesinfinies

Une asymptote à Cf d’équation y = ax +b n’est pas parallèle à (y ′y). Par contre,si a= 0 elle est parallèle à (x ′x) et la définition précédente de l’asymptote estéquivalente à :

DéfinitionLa droite d’équation y = b est une asymptote à la courbe représentant f si etseulement si :

limx→+∞ f (x)= b ou lim

x→−∞ f (x)= b

Branches infinies Asymptotes parallèles aux axes des coordonnées 2 / 9

Page 4: Pres branchesinfinies

Une asymptote à Cf d’équation y = ax +b n’est pas parallèle à (y ′y). Par contre,si a= 0 elle est parallèle à (x ′x) et la définition précédente de l’asymptote estéquivalente à :

DéfinitionLa droite d’équation y = b est une asymptote à la courbe représentant f si etseulement si :

limx→+∞ f (x)= b ou lim

x→−∞ f (x)= b

Branches infinies Asymptotes parallèles aux axes des coordonnées 2 / 9

Page 5: Pres branchesinfinies

Définition asymptote parallèle à (y ′y)La droite d’équation x = x0 est une asymptote à la courbe représentant f si etseulement si :

limx→x+

0

f (x)=+∞ ou limx→x+

0

f (x)=−∞ ou limx→x−

0

f (x)=+∞ ou limx→x−

0

f (x)=−∞

Branches infinies Asymptotes parallèles aux axes des coordonnées 3 / 9

Page 6: Pres branchesinfinies

Définition

Si limx→±∞

f (x)x

= a ∈R, on dit que la courbe Cf admet une direction asymptotique quiest la direction de la droite d’équation y = ax .

Définition

Si limx→±∞

f (x)x

= a ∈R et si limx→±∞(f (x)−ax)=∞, on dit que Cf admet une branche

parabolique de direction asymptotique celle de la droite d’équation y = ax .

Branches infinies Quelques cas particuliers 4 / 9

Page 7: Pres branchesinfinies

Définition

Si limx→±∞

f (x)x

= a ∈R, on dit que la courbe Cf admet une direction asymptotique quiest la direction de la droite d’équation y = ax .

Définition

Si limx→±∞

f (x)x

= a ∈R et si limx→±∞(f (x)−ax)=∞, on dit que Cf admet une branche

parabolique de direction asymptotique celle de la droite d’équation y = ax .

Branches infinies Quelques cas particuliers 4 / 9

Page 8: Pres branchesinfinies

Exemple f (x)= x +√

x +1

−2 −1 1 2 3 4 5 6

−1

1

2

3

4

5

6

0

Cf

y = x

Page 9: Pres branchesinfinies

Définition

Si limx→∞

f (x)x

= 0 (ici a= 0) et si limx→∞(f (x)−ax)= lim

x→∞ f (x)=∞, alors Cf admetune branche parabolique de direction asymptotique celle de la droited’équation y = 0 c’est à dire la direction de (x ′x).

Si limx→∞

f (x)x

=±∞ , on dit alors que Cf admet une branche parabolique dedirection asymptotique celle de la droite d’équation x = 0 c’est à dire ladirection de (y ′y).

Branches infinies Quelques cas particuliers 6 / 9

Page 10: Pres branchesinfinies

Définition

Si limx→∞

f (x)x

= 0 (ici a= 0) et si limx→∞(f (x)−ax)= lim

x→∞ f (x)=∞, alors Cf admetune branche parabolique de direction asymptotique celle de la droited’équation y = 0 c’est à dire la direction de (x ′x).

Si limx→∞

f (x)x

=±∞ , on dit alors que Cf admet une branche parabolique dedirection asymptotique celle de la droite d’équation x = 0 c’est à dire ladirection de (y ′y).

Branches infinies Quelques cas particuliers 6 / 9

Page 11: Pres branchesinfinies

Exemple g(x)=px et f (x)= x2

−4 −3 −2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9

−1

1

2

3

4

5

0

Cf

Cg

Branches infinies Quelques cas particuliers 7 / 9

Page 12: Pres branchesinfinies

On peut résumer les situations précédentes par :

Branches infinies Résumé 8 / 9

Page 13: Pres branchesinfinies

Si limx→∞ f (x)= b ∈R alors ∆ : y = b est une asymptote horizontale à C au voisinage de ∞

Si limx→∞ f (x)=∞

On calcule limx→∞

f (x)x

=?lim

x→∞f (x)

x=∞

C admet une brancheparabolique de direction (y ′y)

limx→∞

f (x)x

= 0C admet une brancheparabolique de direction (x ′x)

limx→∞

f (x)x

= a ∈R

limx→∞(f (x)−ax)=?

limx→∞(f (x)−ax)= b ∈RLa droite ∆ : y = ax +best une asymptote obliqueà C au voisinage de ∞

limx→∞(f (x)−ax)= 0C admet une branche paraboliquede direction la droite ∆ : y = axau voisinage de ∞

Page 14: Pres branchesinfinies

Si limx→∞ f (x)= b ∈R alors ∆ : y = b est une asymptote horizontale à C au voisinage de ∞

Si limx→∞ f (x)=∞

On calcule limx→∞

f (x)x

=?lim

x→∞f (x)

x=∞

C admet une brancheparabolique de direction (y ′y)

limx→∞

f (x)x

= 0C admet une brancheparabolique de direction (x ′x)

limx→∞

f (x)x

= a ∈R

limx→∞(f (x)−ax)=?

limx→∞(f (x)−ax)= b ∈RLa droite ∆ : y = ax +best une asymptote obliqueà C au voisinage de ∞

limx→∞(f (x)−ax)= 0C admet une branche paraboliquede direction la droite ∆ : y = axau voisinage de ∞

Page 15: Pres branchesinfinies

Si limx→∞ f (x)= b ∈R alors ∆ : y = b est une asymptote horizontale à C au voisinage de ∞

Si limx→∞ f (x)=∞

On calcule limx→∞

f (x)x

=?

limx→∞

f (x)x

=∞C admet une brancheparabolique de direction (y ′y)

limx→∞

f (x)x

= 0C admet une brancheparabolique de direction (x ′x)

limx→∞

f (x)x

= a ∈R

limx→∞(f (x)−ax)=?

limx→∞(f (x)−ax)= b ∈RLa droite ∆ : y = ax +best une asymptote obliqueà C au voisinage de ∞

limx→∞(f (x)−ax)= 0C admet une branche paraboliquede direction la droite ∆ : y = axau voisinage de ∞

Page 16: Pres branchesinfinies

Si limx→∞ f (x)= b ∈R alors ∆ : y = b est une asymptote horizontale à C au voisinage de ∞

Si limx→∞ f (x)=∞

On calcule limx→∞

f (x)x

=?lim

x→∞f (x)

x=∞

C admet une brancheparabolique de direction (y ′y)

limx→∞

f (x)x

= 0C admet une brancheparabolique de direction (x ′x)

limx→∞

f (x)x

= a ∈R

limx→∞(f (x)−ax)=?

limx→∞(f (x)−ax)= b ∈RLa droite ∆ : y = ax +best une asymptote obliqueà C au voisinage de ∞

limx→∞(f (x)−ax)= 0C admet une branche paraboliquede direction la droite ∆ : y = axau voisinage de ∞

Page 17: Pres branchesinfinies

Si limx→∞ f (x)= b ∈R alors ∆ : y = b est une asymptote horizontale à C au voisinage de ∞

Si limx→∞ f (x)=∞

On calcule limx→∞

f (x)x

=?

limx→∞

f (x)x

=∞C admet une brancheparabolique de direction (y ′y)

limx→∞

f (x)x

= 0C admet une brancheparabolique de direction (x ′x)

limx→∞

f (x)x

= a ∈R

limx→∞(f (x)−ax)=?

limx→∞(f (x)−ax)= b ∈RLa droite ∆ : y = ax +best une asymptote obliqueà C au voisinage de ∞

limx→∞(f (x)−ax)= 0C admet une branche paraboliquede direction la droite ∆ : y = axau voisinage de ∞

Page 18: Pres branchesinfinies

Si limx→∞ f (x)= b ∈R alors ∆ : y = b est une asymptote horizontale à C au voisinage de ∞

Si limx→∞ f (x)=∞

On calcule limx→∞

f (x)x

=?

limx→∞

f (x)x

=∞C admet une brancheparabolique de direction (y ′y)

limx→∞

f (x)x

= 0C admet une brancheparabolique de direction (x ′x)

limx→∞

f (x)x

= a ∈R

limx→∞(f (x)−ax)=?

limx→∞(f (x)−ax)= b ∈RLa droite ∆ : y = ax +best une asymptote obliqueà C au voisinage de ∞

limx→∞(f (x)−ax)= 0C admet une branche paraboliquede direction la droite ∆ : y = axau voisinage de ∞

Page 19: Pres branchesinfinies

Si limx→∞ f (x)= b ∈R alors ∆ : y = b est une asymptote horizontale à C au voisinage de ∞

Si limx→∞ f (x)=∞

On calcule limx→∞

f (x)x

=?

limx→∞

f (x)x

=∞C admet une brancheparabolique de direction (y ′y)

limx→∞

f (x)x

= 0C admet une brancheparabolique de direction (x ′x)

limx→∞

f (x)x

= a ∈R

limx→∞(f (x)−ax)=?

limx→∞(f (x)−ax)= b ∈RLa droite ∆ : y = ax +best une asymptote obliqueà C au voisinage de ∞

limx→∞(f (x)−ax)= 0C admet une branche paraboliquede direction la droite ∆ : y = axau voisinage de ∞

Page 20: Pres branchesinfinies

Si limx→∞ f (x)= b ∈R alors ∆ : y = b est une asymptote horizontale à C au voisinage de ∞

Si limx→∞ f (x)=∞

On calcule limx→∞

f (x)x

=?

limx→∞

f (x)x

=∞C admet une brancheparabolique de direction (y ′y)

limx→∞

f (x)x

= 0C admet une brancheparabolique de direction (x ′x)

limx→∞

f (x)x

= a ∈R

limx→∞(f (x)−ax)=?

limx→∞(f (x)−ax)= b ∈RLa droite ∆ : y = ax +best une asymptote obliqueà C au voisinage de ∞

limx→∞(f (x)−ax)= 0C admet une branche paraboliquede direction la droite ∆ : y = axau voisinage de ∞

Page 21: Pres branchesinfinies

Si limx→∞ f (x)= b ∈R alors ∆ : y = b est une asymptote horizontale à C au voisinage de ∞

Si limx→∞ f (x)=∞

On calcule limx→∞

f (x)x

=?

limx→∞

f (x)x

=∞C admet une brancheparabolique de direction (y ′y)

limx→∞

f (x)x

= 0C admet une brancheparabolique de direction (x ′x)

limx→∞

f (x)x

= a ∈R

limx→∞(f (x)−ax)=?

limx→∞(f (x)−ax)= b ∈RLa droite ∆ : y = ax +best une asymptote obliqueà C au voisinage de ∞

limx→∞(f (x)−ax)= 0C admet une branche paraboliquede direction la droite ∆ : y = axau voisinage de ∞

Page 22: Pres branchesinfinies

Si limx→∞ f (x)= b ∈R alors ∆ : y = b est une asymptote horizontale à C au voisinage de ∞

Si limx→∞ f (x)=∞

On calcule limx→∞

f (x)x

=?lim

x→∞f (x)

x=∞

C admet une brancheparabolique de direction (y ′y)

limx→∞

f (x)x

= 0C admet une brancheparabolique de direction (x ′x)

limx→∞

f (x)x

= a ∈R

limx→∞(f (x)−ax)=?

limx→∞(f (x)−ax)= b ∈RLa droite ∆ : y = ax +best une asymptote obliqueà C au voisinage de ∞

limx→∞(f (x)−ax)= 0C admet une branche paraboliquede direction la droite ∆ : y = axau voisinage de ∞