I. Définition
II. Énergie de déformation
III. Théorèmes énergétiques
F2F1
état final
état initial déformation élastique de la poutre
I. Définition
Théorème de l’énergie cinétique + = 0
travail des forcesextérieuresWext
travail des forcesintérieuresWint
Énergie de déformation : Wd = - Wint = Wext
Exemple : cas d’une sollicitation de traction
- effort de traction variable
- proportionnalité entre l’effort et l’allongement
Hypothèses :
Aire du triangle OAB
Travail de l’effort de traction
xFWext .21
- Équilibre d’un tronçon de longueur dx
Soit l’allongement du tronçon dx dx
dxFdWd 21
Loi de HOOKE
Énergie de déformationélémentaire
ESFdx
dx
dxESF
dWd
2
21
l
d dxESF
W0
2
21
soit
SdxESF
SF
W
l
d 0
21
D ’une manière générale
struct
ijij
V
ijijd SdxdVW 21
21
II. Énergie de déformation
Effort normal : traction/compression
Effort tranchant : Ty ou Tz
Moment fléchissant : My ou Mz
Moment de torsion : Mx
struct
d dxESN
W2
21
struct
y
d dxS
TW
2
21
struct
z
zd dx
EIM
W2
21
struct
xd dx
IM
W0
2
21
effort normal + effort tranchant + moment fléchissant + moment de torsion
dx I
M
2
1 dx
I
M
E2
1 dx
S
T
2
1 dx
S
N
E2
1W
0
2x
z
2z
2y
2
d
III. Théorèmes énergétiques
III.1. Théorème de Clapeyron
Fi
Cj Fi
Cj
Déplacements Ui
Rotations j
Travail desforces extérieures jjiiext C
2
1UF
2
1W
III.2. Théorème de réciprocité de Maxwell - Betti
2 26
alalEIP
yC
2A al al2
EI6
Py
P
ex
ey
AB
a
C
P
ex
ey
AB
l
C
S1 S2
Flèche dans la section S1
due à la charge P en S2
Flèche dans la section S2
due à la charge P en S1
==
III.3. Théorème de Castigliano
Théorème : le déplacement du point d’application d’une force dans sa direction
(ou la rotation d’un couple) est égale à la dérivée partielle de l’énergie de déformation
par rapport à cette force (ou à ce couple) :
B
i
d UFW
Fi
A B C
III.4. Théorème de Ménabréa
Structure hyperstatiqued ’inconnues surabondantes Ri
Wd = f(Ri)
0
i
d
RW
Théorème : la dérivée partielle de l’énergie de déformation par rapport à
chacune des inconnues surabondantes est nulle, à condition que les points
d’application des forces ne bougent pas (Ui = 0) ou que les sections ne tournent
pas (i = 0)
III.5. Calcul du déplacement d ’un point non chargé
Poutre sur 2 appuis
Flèche en G ?
Théorème deCASTIGLIANO
P
A BC G
Q = 1
ex
ey
- charge fictive unitaire Q travaillant dans le déplacement Uy(G)
- détermination de l’équation de la déformée
GUQW
y
Q
d
0
Pour une meilleure compréhension voir corrigés en pdf
Quelques Compléments intéressants
Moment Statique
Le moment statique S d’une section par rapport à un axe est égal au produit de l ’aire de la section par la distance entre son centre de gravité G et l ’axe.
Sy = z dA Sz = y dA
Centre de gravité
Le centre de gravité G d ’une section est le point tel que le moment statique de la section par rapport à n ’importe quel axe passant par ce point est nul.
Centre de gravité
Propriétés :Si la section possède un axe de symétrie, le centre de gravité G est situé sur cet axe.
A défaut d ’axes de symétrie:
- Choisir un axe de référence Oxy
- Calculer le moment statique S de la section par rapport à cet axe
- Calculer l ’aire totale de la section
- Utiliser la propriété du moment statique Sy = Zg . A
Centre de gravité
Exemple:
Zg = (A1.d1 +A2.d2+A3.d3) / (A1+A2+A3)
Zg = (Σ des Moments statiques) /(Σ des surfaces)
Les moments d’inertie Iz and Iy d’une aire sont
Iz = y 2dA Iy = z 2dA
y
z
dy
y
MOMENTS D’INERTIE
Etudions le cas d’un rectangle
Moment d ’inertie ou quadratique
Moment quadratique de section connues:
Rectangle
Par rapport à un axe passant par G
Iy = (b.h3)/12
Iz = (h.b3)/12
bb
hhyy
zz
GG
Moment d ’inertie ou quadratique
Définition: Le moment d ’inertie d ’une surface infiniment petite par rapport à un axe éloigné de cette surface est égale au produit de son aire par le carré de la distance à l ’axe. Il est toujours positif et s ’exprime en mm4
Moment d ’inertie ou quadratique
Moment quadratique de sections connues:
Cercle
Iy = Iz = (π.D4) /64
Couronne
Iy = Iz = (π.(D4-d4))/64 yy
zz
yy
zz
Moment d ’inertie ou quadratique
Théorème de Huygens: Le moment d ’inertie d ’une section par rapport à un axe quelconque Δ est égal au moment d ’inertie de la section par rapport à l ’axe passant par son centre de gravité et parallèle à Δ augmenté du produit de l ’aire de la section par le carré de la distance entre les deux axes.
y
x
Moment d’inertie polaire
JO = r 2dA
La distance depuis O jusqu’a l’élément d’aire dA et r. on sait que r 2 =x 2 + y 2 , on peut écrire la relation
JO = Ix + Iy
x
yr
A
dA
O
Compléments
Le rayon de gyration d’une surface A selon l’axe x est défini par kx, où Ix = ix ^2 . A. Similairement on peut trouver ky selon l’axe y
ix =
2
Ix
Aiy =
Iy
AiO =
JO
A
Compléments
Ce théoreme peut etre utilisé pour le moment d’inertie polaire.
JO = JC + Ad 2
d
c
Le théoreme de l’axe parallele est utilisé trés efficacementpour calculer le moment d’inertie d’une aire composée selon un axe donné.
o
Compléments
x
y
x’
y’
O
Le produit d’inertie d’une aire A est défini comme
Ixy = xy dA
Ixy = 0 si la surface A est symmetrique selon un ou plusieurs axes.
Le théoreme de l’axe parallele pour le produit d’inertie est
Ixy = Ix’y’ + xyA
Compléments
x
y
x’
y’
O
Les relations entre les momentssont:
Ix’ = + - Ixy sin 2Ix + Iy
2Ix - Iy
2cos 2
Iy’ = - + Ixy sin 2Ix + Iy
2Ix - Iy
2cos 2
Ix’y’ = sin 2 + Ixy cos 2Ix - Iy
2
Compléments
29
Approche système: Méthode des fonctions de singularité
30
31
32
33
34
36
The M-file can be written asfunction beam(x) xx = linspace(0,x); n=length(xx); for i=1:nuy(i) = -5/6.*(sing(xx(i),0,4)-sing(xx(i),5,4)); uy(i) = uy(i) + 15/6.*sing(xx(i),8,3) + 75*sing(xx(i),7,2); uy(i) = uy(i) + 57/6.*xx(i)^3 - 238.25.*xx(i);end plot(xx,uy)function s = sing(xxx,a,n) if xxx > as = (xxx - a).^n; elses=0; endThis function can be run to create the plot,>> beam(10)
37
Visite Labo 1A:Présentation UF / activités d’enseignementsPrésentation DMSM / Activités de recherche
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