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Ministère de l’Enseignement Supérieur, de la Recherche Scientifique et de la Technologie

Université Virtuelle de Tunis

Physique - électricité : TC1

Champ et potentiel électrostatiques

Concepteur du cours:

Jilani Lamloumi et Monjia Ben Braiek

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Champ et potentiel électrostatiques

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En analysant la loi de Coulomb présentée dans le chapitre précédent, nous

introduisons le champ électrostatique

E . L’étude des propriétés de ce champ à l’aide des

notions mathématiques conduit au potentiel électrostatique et au théorème de Gauss. les

méthodes permettant de calculer le champ et le potentiel électrostatiques lorsque la

distribution de charges est donnée seront présentées.

I. LE CHAMP ELECTROSTATIQUE

I.1. Définition

Toute région de l’espace dans laquelle une charge électrique subit une force

électrique est appelée un champ électrique.

Une charge q exerce sur une charge q' placée à une distance r, dans le vide, une force

qui est donnée par la loi de Coulomb:

r

r

r

'qq

4

1F

2

0

Cette force dépend de la grandeur des charges q et 'q mais si on considère le rapport

r

r

r4

q

'q

F2

0

, on constate qu’il ne dépend plus de la charge q' mais seulement de la charge

q. On pose

E'q

Fet on désigne ce vecteur sous le nom de vecteur champ électrique au

point M créé par la charge ponctuelle q.

r

r

r

q

4

1E

2

0

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PMr ,rdirection la de unitaire vecteur:ur

r

Remarques:

1. Le champ électrique qui existe en tout point de l’espace définit un champ de vecteurs.

Pour mettre en évidence ce champ on introduit une charge q0, appelée « charge

d’épreuve », dans ce champ, il s’exerce sur cette dernière la force : EqF 0

La charge électrique étant une quantité algébrique,

F et

E sont de même sens si q0>0 et de

sens contraire si q0<0.

2. Le champ électrique s’exprime en Volts par mètre (V/m). Le Volt est l’unité de potentiel

électrostatique qui sera défini au paragraphe suivant.

I.2. Expressions du champ électrique

I.2.1. Cas d’un ensemble de charges ponctuelles-Principe de superposition

E

P r M

q>0

E

P r M q<0

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Considérons maintenant une charge q0 placée en un point M et se trouvant en

présence d’autres charges qi placées en des points Pi (i = 1 à n). Le principe de superposition

permet d’écrire la force

F s’exerçant sur la charge q0 sous la forme:

) MPr ( r

r

4

qqF ii3

i

in

1i 0

i0

soit: r

rq

4

1E avec EqF

3

i

iin

1i 0

0

On remarque que le champ E

est la somme des champs

iE créés en M par les

différentes charges qi, ce que nous écrivons:

r

r

r

q

4

1E avec EE

i

i

2

i

i

0

i

n

1i

i

Le principe de superposition s’applique donc pour les champs dus à différentes

charges.

I.2.2. Cas d’une distribution continue de charges

Ce sont des charges reparties dans un volume, sur une surface ou sur un fil. On peut

considérer ces répartitions de charges comme continues dans la limite où la distance entre

deux charges est très petite par rapport à la distance qui les sépare du point où on calcule le

champ.

a. Distribution volumique

Considérons une répartition continue de charges à l’intérieur d’un certain volume V,

répartition considérée en chaque point P du volume par la donnée de la densité volumique

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de charges dv

dq où dq désigne la charge électrique contenue dans l’élément de volume

dv entourant le point P.

Le champ

dE créé en un point M par la charge dq a pour expression:

) r

ru , PMr ( u

r

dv

4

1

r

r

r

dq

4

1dE

2

0

2

0

Nous écrivons donc pour l’ensemble de la répartition:

u r

dv

4

1E

v 2

0

b. Distribution surfacique

Pour une répartition surfacique de charges caractérisée par la donnée de la densité

surfacique dS

dq en chaque point d’une surface S, nous écrirons de façon analogue:

s u

r

dSσ

4

1E

2

0

c. Distribution linéique

Pour une répartition linéique de charges caractérisée en chaque point d’une courbe

, par la densité linéique d

dq , nous écrirons:

.u r

d

4

1E

2

0

I.3. Propriétés de symétrie et principe de Curie

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Les propriétés de symétrie d’une distribution de charges électriques permettent de

déterminer par calcul, en un point quelconque de l’espace, la direction du champ électrique

créé par cette distribution et les variables d’espace dont dépend E . En physique, les

considérations de symétrie constituent un outil extrêmement puissant qui intervient dans

des nombreux domaines.

Les symétries propres d’une distribution de charges sont les opérations de symétries

(rotations, translations, symétries par rapport à un plan ...) qui laissent le système de

charges géométriquement invariant, c’est à dire qui le superposent à lui-même.

Le principe de Curie permet de comparer les éléments de symétrie d’une distribution

de charges ( système appelé «cause») aux éléments de symétrie du champ électrique

(système appelé «effets»).

Ce principe s’énonce de la manière suivante:

- Lorsque certaines causes produisent certains effets, les éléments de symétrie des

causes doivent se retrouver dans les éléments de symétrie des effets produits.

- Lorsque certains effets révèlent une certaine dissymétrie, cette dissymétrie doit se

retrouver dans les causes qui lui ont donné naissance.

I.3.1. Eléments de symétrie et variables d’espace

a. Symétrie de translation

On décrit l’invariance d’une distribution de charges par translation en utilisant les

coordonnées cartésiennes (x, y, z). Une distribution de charges invariante dans toute

translation parallèle à un axe,

z'z par exemple, est caractérisée par une densité de charges

indépendante de z. Le champ E

créé ne dépend pas donc de z.

b. Symétrie de rotation autour d’un axe

On décrit l’invariance d’une distribution de charges par rotation autour d’un axe en

utilisant les coordonnées cylindriques (r,,z), l’axe

z'z étant l’axe de rotation. Une

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distribution de charges invariante dans toute rotation par rapport à un axe

z'z est

caractérisée par une densité de charges indépendante de l’angle . Le champ E

créé ne

dépendra que de r et de z: )z,r(E)z,,r(E)M(E

c. Symétrie de rotation autour d’un point (Symétrie sphérique)

On décrit l’invariance d’une distribution de charges par rotation autour d’un point en

utilisant les coordonnées sphériques (r,,). Une distribution de charges invariante dans

toute rotation autour d’un point fixe O, présentant la symétrie sphérique, est caractérisée

par une densité de charges indépendante de et de . Le champ E

créé ne dépendra que de

r:

)r(E),,r(E)M(E

I.3.2. Plans de symétrie et direction du champ E

On dit qu’une distribution de charge volumique possède un plan de symétrie (ou

plan de symétrie paire) lorsque l’opération de symétrie par rapport à ce plan ne la modifie

pas: )P()'P( ( 'P : symétrique de P par rapport au plan ). Lorsqu’une opération de

symétrie par rapport à un plan ' change une distribution de charge en son opposée:

)P()'P( , on dit que le plan de symétrie ' est un plan d’antisymétrie ( ou plan de

symétrie impaire ).

Les conséquences de l’application du principe de Curie pour le champ

E conduisent

aux résultats suivants pour la direction du champ

E :

- Le champ, créé en tout point M appartenant au plan , est contenu au plan de

symétrie paire . En effet:

Soient deux charges élementaires dq1 et dq2, dq1

est symétrique de dq2 .

(dq1= dq2, P1M = P2M = r )

Le champ électrique créé.au point M par ces

charges est:

P1(dq1)

P2(dq2)

M H

1dE

2dE

dE

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r

HM2kdq

r

)MPMP(kdq

MP

MPkdq

M1

P

MPkdqdEdEdE

33

21

2

3

223

1121

le champ E appartient donc au plan de symétrie

- Le champ, créé en tout point M appartenant au plan, est perpendiculaire au

plan de symétrie impaire.En effet:

Le champ électrique créé Au point M par dq1 et dq2

(dq1 = -dq2 ) est donné par :

r

PPkdq

r

)MPMP(kdqdEdEdE

3

21

3

2121

Le champ E est donc perpendiculaire au plan

d'antisymétrie '

I.4. Exemples de calcul direct du champ E

I.4.1. Fil uniformément chargé avec une densité linéique >0

Considérons un fil AB de longueur 2L uniformément chargé coïncidant avec l’axe Oz

et chargé avec une densité linéique constante. Calculons directement le champ créé en

tout poit M d'un axe orthogonal à AB passant par le point O milieu de AB. La distance OM

sera notée a ( Fig.1 ).

Un élément de fil de longueur d à la distance de O porte une charge d et crée

au point M un champ

rdE :

'

P1(dq1)

P2(dq2)

M H

1dE

2 dE

dE

ru

P

u

a

O

rdE

rdE

dE

M

d

r 0

A

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) OP ; aOM ; r

ru ; rPM (

ur

d

4

1dE

r

r2

0

r

En raison de la symétrie du problème, à chaque élément d à la distance au-dessus de O,

correspond un élément d au-dessous de O à la même distance.

L’addition vectorielle des champs créés par des éléments symétriques deux à deux

donne une résultante dont la composante parallèle au fil est nulle. Seule la composante

parallèle à OM perpendiculaire au fil est différente de zéro et vaut :

) OM

OMu( ; ucos

r4

d ucosdEdE

2

0

r

Sur la figure on vérifie que

cos

ar et atg

On a donc: cosa4

d dE 3

2

0

Le calcul du champ total créé au point M resultera de l'intégration de cette

expression sur toute la longueur de la tige. On remarque que dans cette expression,

l'élément de longueur d est réperé par l'angle . Il serait donc intéressant de choisir

comme variable d'intégration.

On a: . dcos

ad

2

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Soit: d cosa4

dE0

Intégrons cette expression entre -0 et 0 qui sont les deux angles délimitant le fil AB

vu du point M.

a2

sindcos

a4E

0

0

0

0

0

On peut remplacer 0sin par son expression en fonction des données a et L:

22

0

La

Lsin

D'où l'expression finale du champ électrique en M:

u

La2

LE

22

0

Remarque: cas d'un fil infini uniformément chargé.

* L'expression du champ électrique créé par un fil infini au point M est donnée par:

a2dcos

a4E

0

2

20

Puisque

E a la direction de

u , on obtient finalement sous forme vectorielle:

u

a2E

0

* Un plan 1 passant par M et contenant Oz est un plan de symétrie paire. Il en est de

même pour un plan 2 passant par M et perpendiculaire à Oz. Le champ

E doit donc être

contenu à la fois dans 1 et dans 2; il est donc porté par la direction commune de 1 et 2

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c’est à dire qu’il est perpendiculaire au fil. Le système de coordonnées adapté à la symétrie

est celui de coordonnées cylindriques dans lequel le point M est défini par , et z

(=OM=a). Le module de

E est le même pour un même , ceci quelque soit . D’autre part,

E est invariant par une translation suivant Oz.

Finalement E est indépendant de z et de et varie seulement en fonction de . Ceci

correspond bien au résultat trouvé précédemment pour

E :

u

a2E

0

I.4.2. Disque uniformément chargé

Considérons un disque de rayon R

portant la charge totale Q uniformément

répartie à sa surface, ce qui correspond à une

densité surfacique uniforme ²R

Q

; nous

nous proposons de calculer le champ

électrostatique créé par ce disque en un

point M de son axe Oz à la distance z (z>0) de

son centre O ( Fig.2).

Tout plan contenant la droite OM est

un plan de symétrie paire; le champ

E est

nécessairement porté par la direction

commune à tous ces plans, c’est à dire par

Oz.

Le champ

dE dû à un élément de surface dS, de charge dSdq , a pour expression:

) r

ru , PMr ( udEu

²r4

dSdE

0

dE

r

z

M

dS P

R

O

Fig.2

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On peut associer deux à deux les éléments de surface de façon que les composantes

normales à Oz des champs correspondants se compensent comme nous l’avons prévu à

partir des éléments de symétrie du problème, seules s’ajoutent les composantes

cosdEdE z .

²r

cosdS

4dE

0

z

avec dS = dd (en coordonnées polaires); r² = ² + z² ( = OP ; z = OM) et

²z²

zcos

Soit: 2/3

0

z²z²

dd

4

zdE

L’expression du champ

E en M ( qui se confond avec sa composante sur Oz) est

donnée par:

²z²R

z

z

z

2E

d ²z²

d

4

zE

0

R

0

2

02/3

0

Soit:

z

0

u²z²R

z

z

z

2E

Cette expression est valable quelque soit le signe de z.

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Cas limites:

* Si le point M est très éloigné du disque Rz , on aura:

z

z

²z4

²R

z

z

²z4

²R

²z2

²R11

z

z

2

²z

²R1

z

z

z

z

2)M(E

00

00

C’est l’expression du champ créé en M par une charge ²RQ (c’est la charge totale du

disque) placée en O.

* Si le point M est très proche du disque Rz , l’expression du champ devient

approximativement égale à :

z

z

2)M(E

0

Nous retrouvons ainsi, au voisinage immédiat du disque, le champ d’un plan

uniformément chargé .

00 20)E(zet

2)0z(E

Remarquons la discontinuité de 0

de E à la traversée de la couche superficielle

chargée.

0

0)E(z)0z(E

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II. LE POTENTIEL ELECTROSTATIQUE

II.1. Circulation du champ électrostatique - Définition du potentiel électrostatique

II.1.1. Circulation du champ électrostatique d’une charge ponctuelle

Une charge ponctuelle fixe q placée

en O crée en tout point de l’espace un champ

électrostatique:

r2

0

3

0

ur4

q

r

r

4

qME

La circulation élémentaire dC de

E correspondant à un déplacement élémentaire

d du point M sur la courbe

AB est:

d.u

²r4

qd.EdC r

0

or .)usur d de projection laest (dr dru.dd.u rrr

Cter4

qV(r) avec

)r(dVr4

qddr

²r4

qdC

0

00

La circulation élémentaire dC est donc la différentielle totale d’une fonction de r.

)M(E

ru

O

A

B

M

d

Fig.3

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II.1.2. Potentiel électrostatique

Nous venons de montrer que pour une charge ponctuelle, on a:

Cter4

q)r(V avec )r(dVd.E

0

.

La fonction V(r) est appelée potentiel électrostatique; V(r) est définie à une

constante prés.

Cter4

q)r(V

0

L’unité du potentiel électrostatique dans le système SI est le Volt (V). Remarquons

que le choix du volt justifie le nom du Volt/mètre attachée à l’unité de

E .

Relation entre

E et V:

Le potentiel électrostatique a été défini à partir de la circulation élémentaire de

E :

dV.graddV or dVd.EdC

d’où la relation locale entre

E et V:

V(M)gradME

Cette relation locale montre que le champ électrostatique

E dérive du potentiel

électrostatique V.

II.1.3. Notion de différence de potentiel

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La circulation AB

C du champ

E le long du contour AB (Fig.4) est:

ABBA0

BA

B

AAB r

1

r

1

4

qVV)r(dVdCC

Cette circulation est donc égale à la

différence de potentiel VA-VB.

BA

B

AVVd.E

La circulation du champ électrostatique entre deux points A et B est indépendante du

trajet suivi pour aller de A à B et ne dépend que des potentiels du point de départ et

d’arrivée.

Remarque: Physiquement, on n’a aucun moyen pour déterminer le potentiel V. Par contre

on sait mesurer des différences de potentiel entre deux points A et B.

II.2. Expressions du potentiel électrostatique

II.2.1. Cas d’une distribution ponctuelle de charges

a. Cas d’une charge ponctuelle

E

d

B A

Fig.4

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Le potentiel électrostatique créé par une charge ponctuelle en un point M de l’espace

distant de r, est donné par l’expression suivante:

Cter4

q)r(V)M(V

0

On choisit en général la valeur de la constante de façon à satisfaire à la condition V=0

à l’infini (potentiel coulombien). Dans ce cas la constante est nulle et le potentiel s’écrit:

r4

q)r(V)M(V

0

b. Cas de n charges ponctuelles

La formule du potentiel donnée par le paragraphe (II.1.2.) se généralise à n charges.

En effet, la loi de composition pour les champs:

n

1i

n

1i i0

i

i0

in

1i

i Cter4

qgradCte

r4

qgradEE

entraîne la loi de superposition pour les potentiels:

Cter4

qVV

n

1i i0

in

1i

i

II.2.2. Cas d’une distribution continue de charges

- Pour une répartition linéique de charge caractérisée par la densité linéique , nous

écrirons:

r

d

4

1)M(V

0

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- Pour une répartition surfacique de charge caractérisée par la donnée de la densité

surfacique , nous écrirons:

S0 r

dS

4

1)M(V

- Pour une répartition volumique de charge caractérisée par la donnée de la densité

volumique , nous écrirons:

v0 r

dv

4

1)M(V

Remarque:

Ces expressions du potentiel reposent sur la convention suivant laquelle V tend vers

zéro lorsque l’on s’éloigne infiniment des charges.

II.3. Exemples de calcul du potentiel électrostatique

II.3.1. Segment uniformément chargée

a. Le point M est sur la médiatrice du segment

Calculons le potentiel électrique créé

en un point M de la médiatrice (OM=a) du

segment AB.

Le potentiel élémentaire dV, créé au

point M par la charge dq contenue dans

l’élément de longueur ddq d , centré

en P, est :

d

-L

L

O

P

A

B

a

M

r

Fig.5

AB=2L

PM=r

OP=

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L

L 220

22

00

a

d

4)M(V

a4

d

r4

d)M(dV

On pose:

2222

22

a

d

t

dt

a

dddtat

Soit: 22

22

LaL

LaL00

Logt4t

dt

4)M(V

22

22

0 LaL

LaLLog

4)M(V

Cas limites:

a- Si le point M est très éloigné (a>>L):

) L2Q ( a4

Q

a4

L2)M(V

00

b- Si le point M appartient à l’axe, extérieur au segment :

L

L0

00

a

)a(d

4)M(V

a4

d

r4

dq)M(dV

P

L

M B A O

-L

PM=a-

OP=

OM=a

Fig.6

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La

LaLog

4)M(V

0

II.3.2. Disque uniformément chargé

On peut calculer le potentiel électrostatique V(z) sur l’axe (Fig.2) soit à partir de

z

VEz

en tenant compte de la condition 0V à l’infini, soit par sommation directe;

c’est cette seconde méthode que nous allons utiliser ici:

2

0

R

02

1

0

2

1

00

d

²z²

d

4)M(V

²z²

dd

4

1

r

dS

4

1)M(dV

z²z²R2

)M(V0

Remarque: V est continu à la traversée du disque : 2

R)0(V)0z(V

0

II.4. Surfaces équipotentielles et lignes du champ électrique

II.4.1. Surfaces équipotentielles

Ce sont des surfaces sur lesquelles le potentiel a une valeur constante, leur équation

est donc: ConstanteMV

II.4.2. Lignes de champs

Ce sont des courbes qui sont tangentes au vecteur

E en chacun de leurs points. Ces

lignes sont orientées dans le sens de

E .

Si

d désigne un vecteur élémentaire, tangent à la ligne de champ, on a:

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dkE (k est un coefficient de proportionnalité)

En coordonnées cartésiennes, on a:

kdzE , kdyE , kdxE zyx

Et l’équation des lignes du champ s’écrit:

zyx E

dz

E

dy

E

dx

Remarque:

L’ensemble des lignes de champ qui s’appuie sur une courbe C constitue ce qu’on

appelle tube de force.

II.4.3. Propriétés diverses

a. Le long d’un trajet petit sur une équipotentielle on a dV = 0 d’où,

d’après

d.EdV , 0d.E

E est donc perpendiculaire à un déplacement

d quelconque sur l’équipotentielle.

Les lignes du champ sont donc perpendiculaires aux équipotentielles.

b. Les lignes du champ vont dans le sens des potentiels décroissants.

En effet, 0d.EdV

.

III. FLUX DU VECTEUR CHAMP ELECTROSTATIQUE - THEOREME DE

GAUSS

III.1. Angle solide

Dans le plan, on peut déterminer l’angle par:

B

A

O

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r

AB

(

AB est la mesure de l'arc AB)

Par analogie, dans l’espace, on définit

aussi l’angle, noté , qui permet la mesure

de l’étendue d’un cône de sommet O et dont

les génératrices s’appuient sur une surface

(S). désigne l’angle solide sous lequel du

point O, on voit la surface (S).

²R

S

où S désigne la surface interceptée par le cône sur une sphère de rayon R centrée en

O.

* Expression de l’angle solide élémentaire

Soit M le point moyen d’un élément de surface dS, r la distance de O à M et

u un

vecteur unitaire porté par

OM .

L’expression de l’angle solide d

sous lequel de O on voit dS c’est à dire

l’angle solide délimité par le cône de

sommet O et de base dS est donnée par:

²r

u.ndS

²r

u.dS

²r

cosdS

r

dSd

2

0

R

0dS

O S

d

dS

O

u

M

r

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III.2. Flux du vecteur champ électrostatique créé par une charge ponctuelle

III.2.1. Flux élémentaire

Soit q une charge ponctuelle fixe

placée en O et dS un élément de surface

orienté (Fig.7). Le champ électrostatique

E créé en M par q, a pour expression:

u

²r

q

4

1E

0

Le flux élémentaire d de

E à travers dS est donné par:

²r

dS.u

4

qdS.Ed

0

d4

qd

0

d étant l’angle solide élémentaire sous lequel de O on voit l’élément de surface dS.

III.2.2. Flux sortant d’une surface fermée

Soit S une surface fermée délimitant un volume fini de l’espace. Soit q une charge

ponctuelle placée en un point O; cette charge se trouve soit à l’intérieur de S soit à

l’extérieur (nous ne considérons pas le cas où la charge viendrait se trouver justement sur S).

d

u

dS

q

O

Fig.7

M

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Nous nous proposons, dans les deux cas, de calculer le flux, de

E créé par la charge

q, sortant de S.

a- Charge située à l’intérieur de S

Dans ce cas (Fig.8), du point O où se trouve la

charge q, on voit la surface S sous l’angle solide

4d , cette intégrale correspond à l’angle

solide sous lequel on voit l’espace tout entier.

d’où:000

q

4

4qd

4

q

b- Charge située à l’extérieur de S

Si la charge q se trouve à l’extérieur de S, un cône élémentaire issu de la charge

coupe un nombre pair de fois la surface (Fig.9), les flux élémentaires correspondants ont

tous même module mais ont des signes différents à cause des variations de signe de

dS.u puisque les normales ont une orientation différente.

u

dS

dS

dS2 dS1

q

Fig.9

u

O

q

Fig.8

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En effet, sur dS1,

dS.u est négatif, tandis que sur dS2,

dS.u est positif. On a donc pour

l’ensemble des surfaces dS1 et dS2, 0ddd 21 . On peut ainsi associer par couples

tous les éléments de la surface S et en déduire que 0

En résumé, le flux, du champ créé par une charge ponctuelle, sortant d’une surface fermée

S est nul si la charge est à l’extérieur de S et vaut 0

q

si la charge est à l’intérieur de S.

III.3. Flux du champ créé par une distribution de charges- Théorème de Gauss

Si l’on considère maintenant plusieurs charges q1, q2 ,..., qn , elles créent un champ

E dû à la superposition des champs ,E,...,E,E n21

on a donc:

jj

ii

avec i les flux des charges qi intérieures à S ( S étant une surface fermée délimitant le

volume fini v de l’espace ) et j les flux des charges qj extérieures.

Or, comme nous l’avons vu, 0et q

j

0

ii

, nous écrirons donc pour le flux

total sortant de S:

0

int

i 0

Q soit ,

qi

où i

iint qQ est la charge électrique totale intérieure à la surface S.

Ce résultat constitue le théorème de Gauss qui peut s’énoncer ainsi:

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Le flux sortant, du champ électrostatique créé par une distribution donnée de charges

placée dans le vide, à travers une surface fermée S est égal à la somme algébrique des

charges intérieures à la surface divisée par 0.

i

i

0S

q1

dS.E

Remarques:

1. Le théorème de Gauss est très utile dans les applications car il permet de calculer

d’une façon simple et rapide les champs dans les problèmes où la symétrie des données est

assez grande.

2. Pour que le calcul du flux sortant d’une surface soit simple, il faut choisir

judicieusement une surface fermée, appelée surface de Gauss, telle que:

*

E soit perpendiculaire à cette surface EdSdS.E

(la direction

de

E devrait être déterminée au préalable en utilisant la symétrie de distribution).

*.

E doit avoir en chaque point de la surface une valeur constante

ESEdS (S étant l’aire de ).

III.4. Applications du théorème de Gauss

III.4.1. Fil infini uniformément chargé

Considérons un fil coincidant avec l'axe Oz et uniformément chargé avec une densité

linéaire .

Le plans (P1) passant par M et contenant l'axe

Oz est un plan de symétrie. Il en est de même

pour un plan (P2) passant par M et

h

r

z

M

E

O

ru

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perpendiculaire à Oz. Le champ E doit donc

être contenu à la fois dans (P1) et dans (P2); il

est donc porté par la direction commune de

(P1) et (P2) c'est à dire qu'il est radial.

ru)z,,r(E)M(E

La distribution de charges est invariante par

translation le long de Oz et par rotation

autour de Oz . Par conséquent, le module de

E ne peut dépendre que de la distance r de

M à l'axe Oz.

ru)r(E)M(E

Appliquons le théorème de Gauss à un cylindre de hauteur h, d'axe Oz et de rayon r .

Le flux sortant de E à travers les surfaces des bases est nul (

dSE ). En chaque point de la

surface latérale dS etE sont colinéaires et E(r) a une valeure constante. Le flux de

E à

travers la surface latérale est donc égal à E(r )2rh .

La charge contenue dans la surface de Gauss est Q = h; le théorème de Gauss s'écrit donc:

0

hrh2)r(E

D'où l'expression du champ :

r

0

u r

1

2E

III.4.2. Sphère uniformément chargée en volume

a- Calcul du champ

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Considérons une sphère de centre O et de rayon R,

de charge Q. Cette charge est répartie avec une

densité volumique uniforme.

Nous allons déterminer l’expression de

E à

l’intérieur comme à l’extérieur de la sphère.

Tout plan contenant OM est un plan de symétrie. Le champ

E est nécessairement

porté par la direction commune à tous ces plans, donc par OM .

Soit r = OM la distance de O au point M où l’on veut calculer le champ et

r

r

OM

OMu

le vecteur unitaire porté par OM . La distribution de charges présente une

symétrie sphérique, le module de

E est indépendant de et de , il ne peut dépendre que

de r et nous poserons

u)r(E)r(E)M(E .

La surface de Gauss est une sphère de centre O et de rayon r. Le champ

E est en

tout point de porté par la normale

u et son module est constant en tout point de . Le

flux de

E à travers est donc:

²r4 r ES rEdS.E)E(

1er cas : r > R

La charge intérieure à la surface de Gauss est la charge totale :

3R3

4Q

Le théorème de Gauss se traduit donc par la relation:

M

E

R

r

Fig.10

O

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3

00

R3

4Q²r4)r(E

Soit : ²r

R

3

1)r(E

3

0

L’expression de

E sous forme vectorielle est donc:

u

²r4

Qu

²r3

R)Rr(E)M(E

00

3

1

2ème cas : r < R

La charge comprise à l’intérieur de la surface de Gauss est cette fois inférieure à Q et

vaut: 3

int r 3

4Q

et le théorème de Gauss s’écrit:

3

0

r 3

4²r4)r(E

d’où l’expression de

E :

u

3

r)Rr(E)M(E

0

2

Remarque:

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On remarque que E est continu en

tout point de l’espace, en particulier pour r

=R; ce fait est général en présence d’une

distribution volumique de charges.

b- Calcul du potentiel

A cause de la symétrie sphérique, le potentiel V ne peut dépendre que de r; V=V(r) et

la relation VgradE

s’écrit ici:

E(r)dr-V(r)ou dr

)r(dV)r(E

1er cas : r > R

1

0

3

0

3

1 Cr3

Rdr

²r3

R)r(V

où C1 est une constante d’intégration; en supposant que 0)(V ( il n’y a pas de charges à

l’infini ), nous obtenons C1=0, d’où l’expression de V(r) s’écrit :

r 3

R)r(V

0

3

1

2ème cas : r < R

r R

E(r)

Fig.11

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2

00

C6

²rdr

3

r)r(V

où C2 est une constante d’intégration que nous

allons déterminer en exprimant la continuité de

V(r) pour r = R. Cette condition de continuité se

traduit en écrivant :V1(r = R) =V2(r = R). Soit:

0

2

2

0

2

0

3

2

0

2

2

RC

3

R

R 3

RC

6

R

D’où l’expression de V2(r) à l’intérieur de la sphère chargée:

²)r²R3(6

)r(V0

III.4.3. Sphère uniformément chargée en surface

Considérons une sphère de centre O et de rayon R, chargée uniformément avec une

densité superficielle . Soit 2

SR4SdSQ sa charge totale.

En utilisant le même raisonnement que celui d’une sphère chargée en volume on

peut montrer que :

*

u)r(E)M(E ²r4)r(E)E(

Et on obtient:

²r

u²R)Rr(E)M(E

0)Rr(E)M(E

0

2

1

r R

V(r)

Fig.12

0

2

3

R

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De la relation VgradE

on déduit le potentiel:

r

²R)Rr(V)M(V

R)Rr(V)Rr(V)M(V

0

2

0

1

La représentation des variations de V(r) et E(r) en fonction de r ( Fig.13 ) montre que le

potentiel est continu alors que le champ E(r) subit, à la traversée de la surface chargée, une

discontinuité égale à 0

.

III.4.4. Plan uniformément chargé

Considérons un plan «infini» portant

la charge surfacique uniforme sur

toute sa surface.Soit M un point de

l’espace extérieur à . Tout plan

passant par M et perpendiculaire au

plan est un plan de symétrie paire; le

V(r )

E

E

Fig.14

M M’

1

L 2

E(r)

r R R

0

R

r

0

Fig. 13

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champ

E appartient donc à l’un de ces

plans. La seule direction commune à

tous ces plans étant la perpendiculaire

à passant par M, le champ en M est

nécessairement porté par cette

direction.

Pour calculer le module de

E en un point M, nous allons considérer une surface de

Gauss constituée d’un cylindre droit, dont les génératrices sont normales au plan chargé,

fermé par deux sections droites d’aire S parallèles au plan et symétriques par rapport à celui-

ci dont l’un passe par M ( Fig.14 ).

L21

Le flux de

E sortant de la surface latérale L du cylindre est nul, car en tout point de

L, 0dS.E

. Le flux sortant de se réduit au flux sortant de 1 et 2 :

ES2dS).M(EdS).M(EdS.E)E(21

D’aprés le théorème de Gauss:

00

int SQ

D’où le champ

E :

n

2E

0

n est un vecteur unitaire normal au plan dirigé du plan vers M.

IV. LES EQUATIONS LOCALES DU CHAMP ELECTRIQUE ET DU

POTENTIEL

IV.1. Les équations locales de

E

IV.1.1. Le rotationnel

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Si on prend le rotationnel de l’expression VgradE

, et sachant que le rotationnel d’un

gradient est toujours nul, on obtient l’équation locale

0Erot vérifiée en chaque point.

Cette relation est valable pour une distribution quelconque de charges et on a :

0Erot

Le champ électrique est donc un champ à rotationnel nul.

Remarque:

Si on calcule le flux du vecteur

Erot , à travers une surface (S), s’appuyant sur une

courbe (C) fermée quelconque on a:

0dS.Erot)S(

or d’après le théorème de Stokes:

)C()S(

d.EdS.Erot

On en déduit que:

)C(0d.E

La circulation du vecteur

E le long d’un circuit fermé est nulle.

IV.1.2. La divergence

Si on applique le théorème de Green- Ostrogradski au champ

E :

S v

dvEdivdS.E

Et sachant que, pour une distribution volumique de charges, le théorème de Gauss

est:

v

0

dv

On obtient:

0dv)Ediv(v

0

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Cette expression est valable quelque soit le volume dv, on a donc:

0

Ediv

Cette expression représente la forme locale du théorème de Gauss. Elle est appelée

aussi équation de Poisson pour le champ.

Lorsqu’il n’y a pas de charges au point considéré, 0Ediv

; le champ

E est à flux

conservatif.

IV.2. Les équations locales de V:

On a vu que 0

Ediv

, or VgradE

on en déduit donc:

0

VVgraddivEdiv

Soit:

0

V

C’est l’équation de Poisson pour le potentiel; V est le Laplacien de la fonction potentiel et

la densité volumique de charges.

Remarque: Si = 0 on a: 0V C’est l’équation de Laplace.