Petite introduction thématique à la théorie des graphes

Dominique Barth, PRiSM-UVSQ

Plan

• Introduction et concepts de base

• Coloration de graphes

• Planarité

• Comparaison de graphes

• Conclusion

Introduction et concepts de base

Graphes : relation (application de V*V dans {Vrai,Faux})

(vrai) graphe orienté

Graphe orienté symétrique Graphe non-orienté

- Degrés- Distances, diamètre- Chaine, chemin, cycle, circuits- Connexité, forte-connexité, k-connexité- pondération, étiquetage

Graphe de la relation, matrice d’adjacence, listes par extension

Coloration de graphes

                                                                                   

  Une coloration du graphe de Petersen avec 3 couleurs.

G=(V,E), graphe non-orienté

Coloration de G: application f de V dans un ensemble de couleursColoration propre : (u,v) une arête de E implique f(u) différent de f(v)Taille d’une coloration(propre) : cardinal de f(V)Nombre chromatique de G : taille minimum d’une coloration propre de G

Problème historique des 4 couleurs

Théorème : Un graphe est 2-coloriable ssi il ne contient pas de cycles de longueur impaire.

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Théorème : Décider si un graphe peut ou non être colorié avec au plus 3 couleurs est un problème NP-complet

Complexité Nombre de données processeur x 1000 traitées / 24h

Linéaire 1 million x1000Polynomial (deg. 4) 4000 x 2

Exponentiel 150 +20Factoriel 12 +2

} Classe P

Difficulté d’un problème : plus petite complexité d’un algorithme le résolvant

Taille d’un problème : nombre de sommets, de liens

Classe P: problèmes « faciles », pouvant être résolus en temps polynomial fonction du nombre de sommets et d’arêtes.

Classe NP: problèmes pour lesquels pour chaque instance, vérifier si une solution possible est une solution réalisable ou optimale est « facile » (d’où algorithme exponentiel). Contient la classe P.

Problème NP-complet : problème X de NP tel que tout autre problème de NP peut de facon « facile » se ramener à un sous-problème de X (donc, problèmes les plus durs de NP).

Hiérarchie de classes de problèmes

Question : P=NP ?

Si un des problèmes NP-complet est dans P, alors P=NP

Savoir si un problème est NP-complet :« Si un problème X est au moins aussi difficile qu’un problème connucomme étant l’un des plus difficiles (NP-complet) alors X est aussiun des problèmes les plus difficiles (NP-complet). »

Que faire si un problème est NP-complet : - Heuristiques polynomiales- Approximation, garanties de performances- Liens entre invariants et complexité

Théorème : Décider si un graphe peut ou non être colorié avec au plus 3 couleurs est un problème NP-complet

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Invariant de complexité : largeur arborescente (calcul NP-complet)

Problème : enchevêtrement de cycles

Planarité

K3 K4K5

K3,3

Graphe planaire : graphe que l’on peut dessiner sur un plan (une sphère) Sans que deux arêtes ne se croisent

oui ouinon

non

?

Graphe homéomorphe à

Théorème (Kuratowski ) : Un graphe est planaire ssi il n’est homéomorphe ni à K5, ni à K3,3

Décider si un graphe est planaire est dans P.

Carte planaire : dessin planaire d’un graphe planaire

= caratérisation par un graphe + parcours des arêtes décrivant les faces

Comparaisons de graphes

Morphisme d’un graphe G=(V,E) dans un graphe H=(V’,E’) :Application f de V dans V’ tel que (u,v) dans E implique (f(u),f(v)) dans E’.

f est un isomorphisme ssi f est une bijection (donc l’inverse de f est un (iso)morphisme)

Graphe G Graphe HIsomorphismeentre G et H

          

     

                          

     

ƒ(a) = 1 ƒ(b) = 6ƒ(c) = 8ƒ(d) = 3ƒ(g) = 5ƒ(h) = 2ƒ(i) = 4ƒ(j) = 7

f est un automorphisme ssi f est un isomorphisme et G=H

- groupe d’automorphismes d’un graphe, - classes d’équivalence de sommets, - symétries (involutions) - graphes sommet-transitifs

f homéomorphisme ssi isomorphisme – injectivité (contraction de V dans V’) (puis notion de mineur)

Graphe homéomorphe à

Comparaison de sous-graphes : plus grand sous-graphes de GEt de H qui ont la propriété de morphisme visée.

Plongement de graphes: f:V -> V’, injectif. Critère : minimiser dist(f(u),f(v)) pour tout (u,v) de E

Transformation (édition, mineur) d’un graphe à un autre en minimisantLe nombre d’opérations élémentaires

Conclusion

Question : un graphe est-il « rond » ou « long »?

1. Existe-t-il un critère mesurable pour cette question? Est-il « facile » à calculer?

2. Si non, utilisation de critères croisés : - Excentricité moyenne (calcul polynomial) - Taille de séparateur (NP-complet, critère négatif) - Heuristique de largeur de bande

Petites introductions pour futurs MoDiMo :

Théorie des jeux, combinatoire,…

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Séparateur

Excentricité

Largeur de bande