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Outils symboliques pour l'criture de modles et ltude de sensibilit des multicorps Partie 1 : Les TIG dans le cas des liaisons complexes et des pseudo-paramtres

Partie 1 Ecriture automatique des

quations du mouvement grce aux Tenseurs dInertie Globaux (TIG).

Cas des liaisons complexes et des pseudo-paramtres.

Arnaud Sandel Thse en Mcanique / 2007 Institut National des Sciences Appliques de Lyon

19



20

1.1 Introduction 22

1.2 Etat de lart : volution du formalisme et du champ dapplication des TIG 24

1.3 Nouveaux champs dapplication 26

1.3.1 Liaisons complexes 26

1.3.2 Pseudo-paramtres (non holonomes) 27

1.4 Mthode de mise en quations 28

1.4.1 Justification de lutilisation du principe de dAlembert 28

1.4.2 Avertissement : drives partielles de vecteurs [PFI95] 28

1.4.3 Rappel : forme brute des quations de Lagrange 29

1.5 Cas des paramtrages holonomes 31

1.5.1 Expression de i

OMq

31

1.5.2 Expressions de i j j i

OM OMq q q q

2 =

32

1.5.3 Expressions des lments cintiques et des quantits dacclration gnralises 34

1.5.3.1 Symtries et anti-symtries 34 1.5.3.2 Introduction du tenseur cintique 35 1.5.3.3 Introduction des Tenseurs dInertie Globaux (TIG) ; signification

physique 36 1.5.3.4 Dtermination rcursive des Tenseurs dInertie Globaux 37 1.5.3.5 Symboles de Christoffel de type 2 39

1.5.4 Expression des forces gnralises de pesanteur 40

1.5.5 Validations-exemples 40 1.5.5.1 Description de Denavit-Hartenberg 41 1.5.5.2 Double-pendule orthogonal 43

1.5.5.2.1 Mise en quations grce aux TIG, programme sous Maple 43 1.5.5.2.2 Vrification : mise en quations par la mthode de Lagrange 45

1.5.5.3 Joint de Cardan 45 1.5.5.3.1 Description du mcanisme 47 1.5.5.3.2 Dtermination du torseur gomtrique de la liaison complexe 47 1.5.5.3.3 Mise en quations grce aux TIG, programme sous Maple 49 1.5.5.3.4 Modle simplifi 50



21

1.6 Cas des paramtrages non holonomes 54

1.6.1 Exemple 1 : Paramtrage dun corps libre 54 1.6.1.1 Thorie 54 1.6.1.2 Expressions dtailles 56

1.6.2 Exemple 2 : Paramtres utiliss en Dynamique du Vhicule 57 1.6.2.1 Thorie 57 1.6.2.2 Expressions dtailles pour un modle simplifi de vhicule 59

1.7 Synthse 61

1.7.1 Rsum 61

1.7.2 Mthode 61

Outils symboliques pour l'criture de modles et ltude de sensibilit des multicorps Partie 1 : Les TIG dans le cas des liaisons complexes et des pseudo-paramtres Introduction

1.1 Introduction La thorie des Tenseurs dInertie Globaux (TIG) permet dobtenir les quations

du mouvement (modle dynamique) dun systme multicorps (de solides rigides) de fa-on automatique et sans aucune drivation. Seules apparaissent des oprations matri-cielles, ce qui induit une plus grande efficacit (rapidit) de lalgorithme.

Ce premier chapitre propose dune part une nouvelle prsentation des TIG :

grce notamment lemploi des coordonnes homognes, toutes les caractristiques inertielles dun corps gnralis sont rassembles dans un seul et mme tenseur dordre 2, reprsent sous la forme d'une matrice 4x4. Cela conduit une forme trs condense des coefficients dinertie qui apparaissent dans les quations du mouvement : ces l-ments cintiques se nomment coefficients de la matrice dnergie cintique (ou matrice de masse) et symboles de Christoffel.

Dautre part, les dveloppements mathmatiques prsents ici traitent les cas

des liaisons complexes et des pseudo-paramtres :

Une liaison complexe est ralise par un assemblage de solides sans masse en bou-cle ferme, permettant un mouvement relatif un degr de libert ; lexemple-type est la liaison entre le chssis et le porte-fuse dune suspension automobile.

Les pseudo-paramtres sont utiliss pour dcrire le mouvement dun corps libre

(sans lien avec lextrieur, comme les plantes ou les satellites) ou dun vhicule : le vecteur taux de rotation et le vecteur vitesse du centre de masse sont projets dans le repre local (li au corps libre ou au chssis respectivement). Les pseudo-paramtres (encore nomms "quasi-paramtres" par Pfister [PFI95]) sont obtenus par intgration de ces composantes (par rapport au temps) et ont par consquent des proprits non holonomes (relation de Schwarz non vrifie). Typiquement, pour les corps libres, l'emploi d'un paramtrage non holonome conduit aux quations d'Euler (cf 1.6.1).

Pour valider la thorie, des applications ont t tudies, pour lesquelles

lobtention des quations " la main", grce aux quations de Lagrange, a t compare au rsultat de lalgorithme TIG programm sous Maple 9.5 :

Pour des chanes ouvertes (non ramifies) liaisons normalises, la programmation

est universelle : il suffit de modifier les paramtres de Denavit-Hartenberg qui d-crivent larchitecture du mcanisme, pour obtenir en quelques secondes le modle dynamique (quations du mouvement). Afin de valider la thorie des TIG, treize systmes diffrents, comportant jusqu' trois degrs de libert, ont t tudis. Ils sont brivement dcrits au dbut du paragraphe 1.5.5 ; mais seul l'exemple de dou-ble-pendule orthogonal que nous avons prsent dans [FAY07] sera dtaill ici.


22

Outils symboliques pour l'criture de modles et ltude de sensibilit des multicorps Partie 1 : Les TIG dans le cas des liaisons complexes et des pseudo-paramtres Introduction

Pour des chanes ouvertes (non ramifies) comprenant une ou plusieurs liaisons complexes, la programmation est quasi-universelle. On nutilise plus les paramtres de Denavit-Hartenberg pour cette liaison : il faut fournir la feuille de calcul Maple le torseur gomtrique et le torseur gomtrique driv dcrivant la liaison, puis le calcul des quations du mouvement se fait automatiquement. Lexemple de la liai-son Cardan, intgre ou non dans un systme plus large, sera prsent.

Pour des chanes ouvertes (non ramifies) pseudo-paramtres (paramtrage non

holonome), certaines formules thoriques dpendent du systme tudi ; la pro-grammation nest donc plus universelle. Sera prsente lobtention nanmoins au-tomatique des quations du mouvement pour un corps libre et un vhicule automo-bile sans roulis ni tangage.


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Outils symboliques pour l'criture de modles et ltude de sensibilit des multicorps Partie 1 : Les TIG dans le cas des liaisons complexes et des pseudo-paramtres Etat de lart

1.2 Etat de lart : volution du formalisme et du champ dapplication des TIG

La notion de Tenseurs dInertie Globaux (TIG) est initialement propose par

Fayet et Renaud en 1989 [FAY89]. Trois types de TIG sont dfinis pour des systmes multicorps de solides rigides en boucle ouverte ; les solides sont uniquement relis par des liaisons de rvolution (pivots) ou prismatiques (glissires). Un autre point impor-tant est lemploi de la notion de corps augment, invente par Fischer [FIS1906] et r-introduite par Wittenburg [WIT77].

En 1994, Fayet et Pfister largissent le champ dapplication en adaptant

lalgorithme aux systmes structure ramifie [FAY94]. Les nouveauts thoriques sont lemploi des coordonnes relatives indirectes et lintroduction de la notion de ten-seur cintique. Ensuite, en 1995, Pfister ajoute quelques indications pour pouvoir traiter les systmes boucle ferme. Enfin, en 2002, Fayet exprime les quations de Hamel-Boltzmann en utilisant les TIG dans le cas du paramtrage non holonome de systmes semi-libres [FAY02a].

Les Tenseurs dInertie Globaux permettent dexprimer le modle dynamique de

faon trs concise, car les diffrentes drives peuvent tre calcules de faon trs effi-cace en utilisant seulement des produits et des additions de matrices. De plus, les facto-risations automatiquement engendres par la mthode des TIG concernent simultan-ment plusieurs expressions et sont ainsi plus importantes que celles obtenues avec un logiciel traditionnel de calcul symbolique.

Ces proprits ont t exploites au cours des dix dernires annes dans les

trois domaines suivants :

A laide des TIG, Pfister exprime le modle linaris tangent le long dune trajec-toire, soit partir de la forme ordonne des quations de Lagrange dans [PFI97a], soit partir de leur forme brute (principe de dAlembert) [PFI95] : dans ce dernier cas, les calculs sont mme moins nombreux que dans le prcdent cas et lon gagne du temps.

Les TIG permettent de calculer toutes les drivations (jusquau second ordre) qui

sont ncessaires pour mener une analyse de sensibilit, en dautres termes pour va-luer linfluence relative des paramtres de construction (longueur, masse, inertie) sur les coordonnes gnralises [PFI97b].

Afin doptimiser les chanes cinmatiques actionnes, Bessonnet et al [BES05a,

BES05b] utilisent les TIG de Fayet pour dterminer les diffrentiations algbriques dordre lev et ainsi implmenter le principe du maximum de Pontryagin (PMP).


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Outils symboliques pour l'criture de modles et ltude de sensibilit des multicorps Partie 1 : Les TIG dans le cas des liaisons complexes et des pseudo-paramtres Etat de lart

Enfin, dautres travaux se rfrent simplement aux notions introduites par Fayet, Renaud et Pfister, sans directement utiliser les TIG :

Dhanaraj [DHA95] compare la rapidit de sa propre mthode automatique

dcriture du modle dynamique avec dautres (en particulier les TIG) en impl-mentant lexemple de lhlicoptre Puma tir de [FAY89] ;

La notion de coordonnes relatives indirectes [FAY94] est maintenant incorpore

dans le logiciel DYNAFLEX [SHI00,POS04]. La nouvelle prsentation des TIG, dtaille au paragraphe 1.5.3.3, peut tre r-

sume en quelques phrases : jusqu prsent, afin de caractriser la gomtrie des mas-ses dun corps gnralis (voir Figure 1.5.1), trois types de tenseurs taient utiliss s-parment, respectivement la masse (scalaire), le moment statique (vecteur trois composantes) et le tenseur dinertie brut (matrice 3x3). Dsormais, la mthode systma-tique dcriture du modle dynamique nimplique plus quun seul type de Tenseur dInertie Global, exprim comme matrice 4x4, qui contient les trois prcdents types. Cette nouveaut explique la simplicit et la concision des relations (1.5.16), puis (1.5.13) et (1.5.14). Ceci engendre une amlioration remarquable par rapport aux pr-cdentes prsentations dans Fayet [FAY89,FAY94].


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Outils symboliques pour l'criture de modles et ltude de sensibilit des multicorps Partie 1 : Les TIG dans le cas des liaisons complexes et des pseudo-paramtres Nouveaux champs dapplication

1.3 Nouveaux champs dapplication 1.3.1 Liaisons complexes

Certains systmes prsentent des liaisons ralises par des mcanismes barres

en boucle ferme, appels liaisons complexes, qui ont les proprits suivantes :

La masse du mcanisme formant la liaison peut tre nglige devant la masse du systme entier ; par consquent, les caractristiques cintiques dudit mcanisme napparatront pas dans les quations de la dynamique ;

Ce mcanisme est employ pour autoriser un mouvement un degr de libert dun

des solides rigides du systme par rapport un autre ; ce mouvement relatif peut tre dcrit par un torseur cinmatique dont toutes les composantes sont fonctions dune seule.

En effet, considrons deux solides et (et les repres orthonorms et

qui leur sont respectivement lis), relis par une liaison complexe de paramtre . Le mouvement instantan de par rapport peut tre dcrit par le torseur cinma-tique

i-S 1 iS i-1R

iR iq

iS i-S 1

( )( )

( )i-1i ii-1

i i i i i ii-1ii

O q q

tV O

= = =

$ OV (1.3.1)

o est un point li R , iO i i et it dfinissent les directions, respectivement de la ro-tation instantane et du dplacement instantan de dans le mouvement de par rapport (notons que les deux vecteurs ne sont pas des vecteurs unitaires) ; $ est le torseur gomtrique associ .

iO iR

i-1R iiq

Par exemple, la suspension de roue dune automobile (Figure 1.3.1) est consti-

tue dun mcanisme relativement lger, tel un McPherson ou un double triangle, situ entre le chssis et les moyeux de roue. Les constructeurs automobiles dcrivent donc habituellement le mouvement complexe du moyeu par rapport au chssis C par des coordonnes gnralises qui sont toutes fonctions du seul dplacement "vertical" (d-battement sur ) du centre de roue (i=1,2,3,4) : Cz iO

Figure 1.3.1 Paramtrage dune suspension de roue Oi

CO zi

Cz

CxC


26

Outils symboliques pour l'criture de modles et ltude de sensibilit des multicorps Partie 1 : Les TIG dans le cas des liaisons complexes et des pseudo-paramtres Nouveaux champs dapplication

Ainsi lquation (1.3.1) devient

( )( )

( )Ci iC

i i i i i iCii

O = z z

tV O

= =

$ OV (1.3.2)

La technologie prcise de la suspension nest pas importante ici : les fonctions discrtes ( )i iz et ( )i it z sont dtermines exprimentalement.

Notons que les cas des liaisons simples de type R (de Rvolution) et P (Pris-

matique) ne sont que des cas particuliers de liaisons complexes : cest seulement lors-que lon a affaire des liaisons simples que les vecteurs i et sont invariants, la fois dans et . Les liaisons R et P peuvent ainsi tre traites laide du forma-

lisme de liaison complexe (1.3.1), de mme que les liaisons normalises qui prsentent plus dun degr de libert (par exemple les liaisons cylindriques ou sphriques), qui peuvent toujours tre considres comme une combinaison de liaisons R et P.

it

iR i-1R

1.3.2 Pseudo-paramtres (non holonomes)

Pour certains systmes multicorps, comme les corps libres (sans lien avec

lextrieur, comme les plantes ou les satellites) ou les vhicules automobiles, les rsul-tats des tudes dynamiques seront plus faciles analyser si le mouvement est dcrit par des paramtres spciaux, appels pseudo-paramtres ou quasi-paramtres [PFI95] :

Dans le premier cas (corps libres, cf 1.6.1), les pseudo-paramtres sont dfinis en

intgrant (par rapport au temps) les projections du vecteur vitesse de rotation gali-lenne sur un repre de rfrence local (li au solide) ou sur un repre galilen : la seule condition est que les trois axes doivent tre fixes les uns par rapport aux au-tres.

Dans le second cas (vhicule, cf 1.6.2), cest la vitesse galilenne du centre de

masse du chssis qui est projete sur le repre local li au chssis et ensuite int-gre.

Remarquons que les pseudo-paramtres, en gnral, nont pas de sens physi-

que : ils sont homognes une longueur ou un angle, mais nous sommes souvent dans limpossibilit de dfinir cette longueur ou cet angle. De plus, la relation de Schwarz entre les drives partielles secondes par rapport une paire de paramtres, incluant au moins un pseudo-paramtre, nest pas ncessairement vrifie.


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Outils symboliques pour l'criture de modles et ltude de sensibilit des multicorps Partie 1 : Les TIG dans le cas des liaisons complexes et des pseudo-paramtres Mthode de mise en quations

1.4 Mthode de mise en quations

Dans cette troisime partie, les dveloppements mathmatiques sont mens dans le cadre gnral des liaisons complexes et sont valables pour des paramtrages holo-nome et non holonome.

1.4.1 Justification de lutilisation du principe de dAlembert

Le formalisme de Newton-Euler nest pas adapt aux liaisons complexes. En ef-

fet, le degr de libert unique entrane, en gnral, la fois une rotation et une transla-tion, auxquelles devraient correspondre les thormes du moment dynamique (Euler) et de la somme dynamique (Newton) ; ces derniers devraient ensuite tre combins pour obtenir lquation unique correspondant ce degr de libert unique. Le principe de dAlembert ou de la puissance (ou travail) virtuelle -, dont les consquences directes sont les quations de Lagrange, semble le plus naturel.

Mais lemploi du formalisme de Lagrange nest pas autoris en raison de la na-

ture non holonome des pseudo-paramtres. Les mthodes dAppel [APP1899] et dHamel-Boltzmann [HAM49] seraient adaptes aux paramtrages non holonomes [FAY02a] mais elles sont connues pour tre difficiles utiliser.

Finalement, seuls le principe de dAlembert et la forme brute des quations de

Lagrange peuvent tre utiliss pour satisfaire aux deux hypothses (liaisons complexes et pseudo-paramtres).

1.4.2 Avertissement : drives partielles de vecteurs [PFI95]

Il est vident que la drive partielle dun vecteur a par rapport la coordonne

gnralise dpend du repre ou iq kR mR ( )k m partir duquel cette drivation est observe :

m k

i i

a aq q

(1.4.1)

Ces drives sont relies la "relation de Bour applique aux drives partielles" :

m k

mk i

i i

a a qq q

( ) = +

a avec m

m kk i

i

qq

( ) =

(1.4.2)

Remarquons que mk

i

q

ne dpend pas du repre dobservation : en effet, on

peut montrer facilement que, quels que soient a , k et i :

k

i i

a aq q

=

et mme k

i i

a aq q

=

(1.4.3)


28


Par consquent, la relation bien connue de Helmholtz [HAM49, FAY02a] peut tre crite comme :

g g

i i

OM V M J Mq q q

( ) ( ) = =

g

i

(1.4.4)

avec et les vitesse et acclration galilennes du point M. gV M( ) gJ M( )

Dans les dveloppements suivants, puisque seules apparaissent des drives

partielles par rapport au repre galilen , les termes 0R0

i

OMq

et 0

j k

OMq q

2

seront tou-

jours crits respectivement i

OMq

et j k

OMq q

2

afin de clarifier les expressions. Cette

remarque ne concerne pas les drives partielles par rapport aux vitesses gnralises, en raison de (1.4.3).

1.4.3 Rappel : forme brute des quations de Lagrange

Daprs le principe de dAlembert, la puissance virtuelle des forces intrieures

et extrieures est gale la puissance virtuelle des quantits dacclration :

(1.4.5) * g *

f M V M m J M V M m( ). ( )d ( ). ( )d=

o est un systme multicorps, f M( ) est la densit massique de force au point M, est la vitesse virtuelle arbitraire du point M, et *V M( ) gJ M( ) est lacclration gali-

lenne de M.

Si le mouvement virtuel est compatible avec les liaisons, alors

n

*i

i= i

OMV M qq1

( ) =

* (1.4.6)

et si, de plus, aucun paramtre nest une fonction explicite du temps, on a

n n

gi

i= i,ji j i

OM OMJ M q q qq q q

2

1 1

( )=

= +

i j (1.4.7)

Par consquent, lquation (1.4.5) prend la forme (1.4.8) n n

*i i i i

i= i=Q q A q

1 1

= *

o Qi sont les forces gnralises : ii

OMQ f Mq

( ). d= m (1.4.9)

et les quantits dacclration gnralises : iAn n

i ij j i,jk j kj= j,k=

A = a q + q q1 1

(1.4.10) Arnaud Sandel Thse en Mcanique / 2007 Institut National des Sciences Appliques de Lyon

29


avec aij les coefficients de la matrice dnergie cintique (ou matrice de masse) :

iji j

OM OMa mq q

. d = (1.4.11)

et les symboles de Christoffel : i,jk i,jki j k

OM OM mq q q

2

. = d (1.4.12)

Lquation (1.4.8) est valable quels que soient les , donc *iq

iQ =Ai pour tout i (1.4.13)

Ceci est la forme brute des quations de Lagrange. Elle est adapte aux cas de param-trage holonome et non holonome. Il sensuit que pour dterm r les coefficients dy-

namiques a

ine

ij et , il est suffisant de connatre les vecteurs i,jki

OMq

et j k

OMq q

2

.

Dans le paragraphe 1.5, le cas des paramtrages holonomes classiques sera

trait. Dans le paragraphe 1.6, les modifications des symboles de Christoffel pour les paramtrages non holonomes dun corps libre et dune structure automobile seront pro-poss. Tous ces dveloppements sont prsents dans le cadre gnral des liaisons com-plexes.


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Outils symboliques pour l'criture de modles et ltude de sensibilit des multicorps Partie 1 : Les TIG dans le cas des liaisons complexes et des pseudo-paramtres Paramtrages holonomes

1.5 Cas des paramtrages holonomes

Imaginons le cas dune chane ouverte. Pour le moment, le mouvement est sup-pos dcrit par de vrais paramtres de position (et non pseudo). En dautres termes, la position de tout repre par rapport est une fonction de ; le torseur cinma-

tique correspondant (1.3.1), dfini dans le cadre gnral des liaisons complexes, est aussi capable de caractriser les liaisons simples (cf 1.5.5.2.1).

iR i-1R iq

La numration des paramtres suit lordre naturel depuis la base jusqu

lextrmit de la chane. Lindice i du repre est gal celui du solide auquel il

est li. Cependant, quand les liaisons prsentent plus dun degr de libert, les repres intermdiaires ne sont pas lis un solide rel de la chane.

iq

iR iS

1.5.1 Expression de i

OMq

Puisque dans la drive partielle ci-dessus, seul le paramtre varie, l'ensem-

ble , appel corps gnralis associ l'indice i (cf Figure 1.5.1), se comporte comme un seul solide rigide. On rappelle que est un point fixe dans le repre li au solide (cf 1.3.1).

iq

i

iO iR

iS

Dans ces conditions, nexerce une influence sur iq OM que si M est un point de et l'on a :

i

iSi

Si-1Oi

O

liaison i de paramtre q i

Figure 1.5.1 Dfinition du corps gnralis i

g g g i-1 i-1i i-1 i i iV (M) V (M) V (M) V (O ) O M= = + + i

Ainsi g

i i ii i

OM V (M) t Oq q

= = +

M


31


En conclusion, avec si iMP 1, 0= iM , iM respectivement :

(iM i i ii

OM P t O Mq

= +

) (1.5.1)

ou sous forme matricielle :

i iiM i i iM ii i

O MOM P , t P O M , q t

= =

TT

T1

1 (1.5.2)

si lon dfinit comme dhabitude, quel que soit le vecteur a auquel est associ [ ]a , la colonne de ses composantes dans une base orthonorme directe quelconque : [ ]a T son transpos la matrice anti-symtrique associe : dans le repre orthonorm direct R, si

, alors

a

[ ]x

yR

z

aa a

a

=

z y

zR

y x

a aa a a

a ax

=

00

0 ; ainsi, quel que soit b : a b a b = .

Notons que la formulation (1.5.2) utilise des coordonnes homognes : . iO M , T

1

1.5.2 Expressions de i j j i

OM OMq q q q

2 =

Deux cas doivent tre distingus :

1. Cas ij

Aprs drivation relativement , lquation (1.5.1) donne jq

si j>i : i i iiM i ij i j j j

OM t O MP O Mq q q q q

= + +

or ij

tq

=

0 et i

jq

=

0 car it et i restent fixes dans quand varie ; 0R jq

ainsi iiM ij i j

OM O MPq q q

=


32


si j


Ces deux lments sont diffrents suivant le type de liaison considr :

Ils sont nuls pour des liaisons simples surfaciques ou couples infrieurs (liai-sons de rvolution, prismatique, cylindrique) puisque la position de laxe de liaison ne dpend pas de la valeur de la coordonne gnralise de cette liaison ; signalons que dans ce cas, la relation (1.5.3) convient aussi pour j=i;

Pour les liaisons complexes, 'it et

'i peuvent tre connus soit sous forme

analytique dans les cas acadmiques (liaison joint de Cardan, cf 1.5.5.3.1), soit de faon exprimentale (points de mesure dans le cas dune suspension de voiture, cf tude industrielle [EVR03]).

Avec ( )ii i ii

O M O Mq

=

i (car iO M ne dpend de que lorsque

dcrit une rotation), (1.5.4) devient

iq iq

(( ' 'iM i i i i i ii

OM P t O M O Mq

= + +

))

2

2 (1.5.6)

Notons que l'quation (1.5.4) pourrait tre crite sous une autre forme que (1.5.6) :

i ii i i i i ii i i

O M OO OM OMtq q q

= + = +

iq

par application directe de (1.5.1) ; mais (1.5.6) est prfre dans la programma-tion en raison de sa concision et aussi de la double apparition de , qui est prsent dans la dfinition des Tenseurs dInertie Globaux (cf 1.5.3.3).

iO M

1.5.3 Expressions des lments cintiques et des quantits dacclration

gnralises

1.5.3.1 Symtries et anti-symtries

Coefficients de la matrice dnergie cintique ija

Grce la relation ij jia a= , les coefficients ne ncessitent dtre calcu-ls que dans les cas o i

ijaj , daprs la modification suivante de (1.4.11) :

j

ij(i j)i j

OM OMa q q

d

= m (1.5.7)

Les coefficients dans les cas i>j seront automatiquement dduits des prcdents.


34


Symboles de Christoffel i,jk

Premirement, le symbole de Kronecker nous permet dcrire

sous la forme jk i,jk

] [[ ]

( )[i,j]i,j,k

' 'i,jk jk jk j j j j j jj,k

i ij,k

OM OM OM m t O M O Mq q q

= + + +

m(1 ) , , d ( ) d

ou i,jk jk i,jk jk i,jj = + 1(1 ) 2 (1.5.8)

Deuximement, la relation de Schwarz justifie que

1 1i,jk i,kj = (1.5.9)

Ainsi les coefficients ne doivent tre calculs que pour j


i j i j i j

OM OM OM OM OM OM= Eq q q q q q

:

= avec E le tenseur de per-

mutation du 3me ordre (3x3x3) [BAS00], compos des symboles de Levi-Civita :

ijk

0 si deux des trois indices sont identiques 1si (i, j, k) se dduit de (1, 2,3) par un nombre de permutations pair

1si (i, j, k) se dduit de (1, 2,3) par un nombre de permutations impair

= +

Par consquent, les coefficients dynamiques calculs (1.5.7) et

(1.5.11) peuvent tre exprims au moyen du mme tenseur cintique ija i,jk

1

j

ij

i j

OM OMK mq q

d = (matrice 3x3) (1.5.12)

qui sera employ uniquement dans le cas ij, daprs les relations suivantes :

ij ijij(i j)a 1 K: tr = = K (1.5.13)

et ( )ik iki,jk(i


avec

le torseur gomtrique associ , exprim comme une matrice 3x4 : i$ iq

( )i i i$ O , ti = (1.5.17)

ijG un tenseur, exprim sous la forme dune matrice 4x4, qui regroupe les Tenseurs

dInertie Globaux (TIG) dj prsents dans [FAY89] et [FAY94] :

j j

j

j

i j i ij iji

ij j jjj j

O M O M m O M m UO M

G O M , m =O M m M U M

= =

jT

T T

d d

1 d1 d

(1.5.18)

, et jM ijU ij sont les TIG du systme aux points et : j iO jO

o Le TIG dordre 0, , est naturellement la masse du corps gnralis . jM j o Le TIG dordre 1, ijU , est le moment statique du corps gnralis au point

, qui peut toujours tre crit j

iO

avec le centre dinertie de . j

ij i j

U O M m M O G= = d i j jG j

o Le TIG dordre 2, ij , na pas de signification physique claire ; cependant,

examinons le cas j=i : ii se rfre au tenseur dinertie brut du corps gnra-

lis au point . Notons que i iO ( )jj jj jj 1 Itr = est le tenseur dinertie usuel.

En conclusion, la matrice 4x4 ijG contient les trois types de TIG ( , jM ijU et

ij ), qui taient utiliss sparment jusqu prsent. Cette nouvelle prsentation expli-que la simplicit et la concision des relations (1.5.16), puis (1.5.13) et (1.5.14), qui sont suffisantes pour crire les quations du mouvement.

1.5.3.4 Dtermination rcursive des Tenseurs dInertie Globaux

Rcursion sur i de iiG

En partant de la dfinition (1.5.18), i-1,i-1G peut tre crit :


37


i-1

i-1i-1,i-1 i-1

O MG O M

= , m

T1 d

1

( )i-1 i

i-1 i-1 i ii-1 i-1 i i

S

O M O O O M= O M , m O O , O M ,

T T1 d 0 1 d

1 0 1

+ + + m

T

( )ii iii-1 i i-1 ii-1 i i-1 i i-1 iiiii-1

i-1 i

O O U U O O 0O O O O O O= g M G

O O 0

+ + + +T T0 0

soit ( )ii ii+ i-1 i i-1 i

i-1,i-1 ii i-1

O O U U O O 0G G g

0

+ = + +

T0

(1.5.19)

o +

++ i-1 i i-1 i i-1 i i-1 i-1ii-1 i-1 +

i-1 i-1i-1 i

O O O O O O ug g Mu mO O

= + = T T0

1

(matrice 4x4)

est la reprsentation matricielle du TIG du corps augment S [FIS1906,WIT77],

constitu de S et du point massique

+i-1

i- ( )i iO M, (cf Figure 1.5.2) ; i-1g (matrice 4x4) est le Tenseur dInertie Global et la masse du corps S (pris seul) au

point ;

i-m 1 i-1

iO -1+i-1 est le tenseur dinertie brut et u+i-1 le moment statique de (tous

deux valus au point O ).

+i-1S

i-1

i-1 i-1S m(mass )

i iS m(mass )

iO

i i M(mass )i-1Oi-1 i-1S m(mass )

i-1O

i iO M(mass )

Initial system Augmented body S +i-1 Figure 1.5.2 Dfinition du corps augment

+i-1S

Rcursion sur i de ijG En partant nouveau de la dfinition (1.5.18) :

j

i-1 i ii-1, j j

O O O MG O M ,

m = +

T

1 d0 1


38


jji-1 i j i-1 i

i-1, j i, jO O U M O O

G G0

= + T 0

(1.5.20)

1.5.3.5 Symboles de Christoffel de type 2

Grce la relation ( )a b a b. tr= qui est valable quels que soient et a b , la relation (1.5.8) donne les expressions suivantes de : i,jj

2

( )( )[ ] [ ]i,j i,j

' 'i,jj j j j j j j

i i

OM OM t O M O M m cq q

= + + = m

2 Ttr d tr d

Cependant, grce la relation a aT

= . qui induit quel que soit , (1.5.21) a a a aT T. = a

Tc peut tre exprim comme suit :

( ) ( )( )' 'j j j j j jc t O M O M= + + T TT T . . .

( )' 'j j j j j jt O M O MT T TT TT . . = + + .

( )( ) ( )' 'j j j j jt O M O M= + + jT TT . . . Finalement, en utilisant aussi (1.5.1), on obtient :

[i,j]

'i j j j

i,jj i i j ' j

O M + . , t O M , mt

T2T

tr 1 d1

= (1.5.22)

ou ( )'ijMax ji,jj i i j $ O G $ O=2 tr ( ). . ( ) (1.5.23) en posant

[i,j]

iijMax j

O MG O M

= , m

T1 d

1 (1.5.24)

Contrairement a , qui ne devait tre calcul que pour iij j , ou i,jk1 i tait uni-

quement dtermin pour i


o pour j>i : ijMax ijG G=

o pour j


Cet objectif est atteint pour tout systme de n solides en chane ouverte non ra-mifie, relis par des liaisons simples (de rvolution, prismatique, cylindrique, sphri-que en paramtrage holonome). Les seules donnes ncessaires lexcution de la feuille de calcul Maple sont : Le nombre de solides ; La description du paramtrage-reprage de Denavit-Hartenberg (cf 1.5.5.2.1) ; Les caractristiques massiques et inertielles de chaque solide : masse, position du

centre dinertie dans le repre local (li au solide considr), matrice dinertie usuelle ;

Les forces gnralises autres que celles de pesanteur.

Pour diffrentes architectures de chanes ouvertes non ramifies, les quations obtenues grce aux TIG, intgrs dans le programme automatis sous Maple, ont t compares celles obtenues par la mthode de Lagrange (manuellement ou laide de Maple). Les treize systmes tudis peuvent tre regroups de la faon suivante :

1. Systmes un degr de libert : un seul solide est en liaison prismatique ou de rvolution (pendule) avec le bti ;

2. Systmes deux degrs de libert : deux solides (hors bti) sont articuls succes-sivement par deux liaisons prismatiques, deux liaisons de rvolution (double-pendule), ou une de chaque type (dans chaque cas, les axes des deux liaisons sont pris parallles puis orthogonaux) ;

3. Systme trois degrs de libert : un mange deux solides massiques prsente une liaison cylindrique et une liaison de rvolution.

Ceci a permis de valider la thorie, doptimiser et de corriger le programme, mais ga-lement de bien comprendre la mthode, ses avantages et ses limites. Seul le cas acadmique du double-pendule orthogonal, prsent galement dans [FAY07], est dtaill ici titre dexemple (cf 1.5.5.2.1).

Enfin, pour illustrer le formalisme de liaison complexe, le cas acadmique dune liaison Cardan est tudi, puis cette liaison intgre dans une chane cinmatique en succession dune liaison de rvolution (cf 1.5.5.3.1). A part le calcul pralable du torseur gomtrique de la liaison Cardan et de sa drive (raliss sous Maple et vri-fis la main), la mise en quations est excute sous Maple galement de faon auto-matique. Cependant la vrification par les calculs manuels nest faite que pour le Car-dan simple ; en effet, les calculs sont trop complexes pour le second systme deux solides, ce qui dmontre dailleurs lutilit dun programme automatis de mise en quations par les TIG !

1.5.5.1 Description de Denavit-Hartenberg

Lobjectif est de dcrire la position et lorientation du repre (li au solide ) par rapport au repre (li au solide ). Reprcisons que toute liaison norma-

lise prsentant plus dun degr de libert (cylindrique, sphrique) peut tre consid-

iR

iS i-1R i-1S


41


re comme une succession de liaisons R et P condition toutefois dans certains cas de dfinir un ordre pour les degrs de libert afin de rester en paramtrage holonome, par exemple les angles dEuler pour une liaison sphrique ; les solides intermdiaires (un solide par degr de libert supplmentaire) seront alors sans masse.

Pour dcrire une liaison lmentaire R ou P, on utilise le reprage-paramtrage

de Denavit-Hartenberg modifi, prsent sur la Figure 1.5.3 suivante, tire de [FAY89] :

Quatre nombres sont ncessaires et suffisants pour reprer de faon univoque

laxe de liaison , de vecteur unitaire iJ iz , par rapport laxe , de vecteur unitaire . En effet, aprs avoir dfini le vecteur

i-1J

i-1z i-1x (fixe dans ) dans la direction de la perpendiculaire commune

i-1S

i-1z et iz :

Figure 1.5.3 Paramtrage-reprage de Denavit-Hartenberg modifi

La longueur et langle , caractrisant la gomtrie de , reprent la posi-tion de par rapport ;

i-1a i-1 i-1S

iJ i-1J

La longueur et langle dfinissent soit une caractristique gomtrique de lorsquils sont constants, soit le (ou un) paramtre de la liaison daxe

ir i iS

iq iz lors-quils sont variables : et variables paramtrent un degr de libert en rotation

(liaison R) et en translation (liaison P) respectivement. i ir

A noter [FAY89] que cette description, introduite par Khalil et Kleinfinger

[KHA86], diffre lgrement de celle introduite par Denavit et Hartenberg : les param-tres et avaient initialement lindice i. i-1a i-1


42


1.5.5.2 Double-pendule orthogonal

Il sagit dun systme mcanique simple, mais dont la nature du mouvement est relativement complexe. Cet exemple "fil conducteur" de la prsente thse sera repris dans les seconde et troisime parties.

Les axes de rotation des solides et sont disposs perpendiculairement.

Le reprage est dfini en accord avec les conventions de Denavit-Hartenberg : 1S 2S

O1

z1

z 2

x1

x0 x 1

x2

S2

S1

S0

G2

O2

q1q2

z 0

Les donnes sont les suivantes :

g

Figure 1.5.4 Double-pendule orthogonal

o Donne gomtrique : 1 2 2 2O O r z= o Donnes massiques : masse de Si = mi ; 1 1 1 2O G l z= ; 2 2 2 2O G l x=

o Donnes inertielles : 1 11

O ,SR

A1 0 0I 0 0 0

0 0 A1

=

; 2 22

O ,SR

0 0 0I 0 B2

0 0 B2

=

0

Les liaisons sont parfaites.

1.5.5.2.1 Mise en quations grce aux TIG, programme sous Maple

On ne donne ici que les rsultats principaux, sous forme de sorties dcran Ma-

ple (en bleu).


43


Paramtres de Denavit-Hartenberg :

Tenseurs dinertie bruts : 1

11R

= ;

2

22R

=

TIG des corps gnraliss :

1

11R

G =

2

22R

G =

Tenseurs cintiques :

1

11R

K =

2

12R

K = ;2

22R

K =

Puis on obtient : o les coefficients dnergie cintique grce lquation (1.5.13) : o les symboles de Christoffel grce lquation (1.5.14) :


44


et les quations sous la forme la plus factorise grce lquation (1.4.10) :

(1.5.27)

Lensemble des "sorties" de la feuille Maple est prsent en annexe 1.1, avec

tous les titres des sections et sous-sections. En effet, larchitecture de ce programme permet de bien comprendre la mthode, et complte lalgorithme de synthse du para-graphe 1.7.2 qui intgre aussi les cas non holonomes.

1.5.5.2.2 Vrification : mise en quations par la mthode de Lagrange

Cette mthode, mise en uvre manuellement ou l'aide de Maple, est autorise

ici puisquil sagit dun paramtrage holonome. La transformation virtuelle est choisie compatible avec les liaisons ; les quations de Lagrange sont crites pour des param-tres indpendants (le systme tant en boucle ouverte) et des actions mcaniques (pe-santeur) qui drivent de fonctions de force.

Energie cintique : ( )0 2 2 2 21 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 1 22T A B cos q m r q B q 2m r l q q sin q= + + + + 2 Fonction de force (pesanteur) : ( )1 1 1 2 2 1 2 2 1U m gl cosq m g r cosq l cosq sin q cste= + + +

Par consquent, les quations dynamiques 0 0

1 1

d T T Udt q q q1

=

et

0 0

2 2

d T T Udt q q q

=

2

donnent respectivement les mmes expressions que (1.5.27).

1.5.5.3 Joint de Cardan

La liaison Cardan (ou universal joint en anglais) a t choisie comme exemple de liaison complexe pour la raison suivante : cest une des seules liaisons complexes dont la loi entre-sortie est connue de faon formelle (analytique), et qu'on peut donc traiter de faon simple pour valider la mthode.


45


En effet, cette fonction de transfert nest connue que de faon discrte pour les liaisons complexes usuelles telle la liaison porte-fuse / chssis dun vhicule automo-bile : des mesures dessais gomtriques fournissent des points de la trajectoire du porte-fuse dans le repre chssis, partir desquels on extrapole le torseur gomtrique de la liaison (voir quation (1.3.2)). Cette procdure numrique plus longue ne convient pas une simple vrification de la mthode, mais sera la voie emprunter pour des cas industriels.

Par contre, la simplicit de la liaison Cardan est aussi son principal inconv-nient ; le systme multicorps prsent ci-aprs reste purement acadmique :

Avertissement : la Figure 1.5.5 ci-dessus ne prsente que les lments essentiels de re-prage et de paramtrage que lon cite dans les explications et les dveloppements cal-culatoires ci-dessous, par souci dallgement du dessin.

1y

2x

cste =

Liaison Cardan S1-S2

S3

S1

S1S2

1,2O

3,3*yS2

0z

1,3z

0R

cste =S2

S1

3*,2z

Dtail

Figure 1.5.5 Modle du mcanisme prsentant un joint de Cardan


46


1.5.5.3.1 Description du mcanisme

Lentre de ce mcanisme en boucle ouverte est le mouvement de S1 par rapport R0 (liaison rotode ou pivot ou de rvolution), qui sera trait grce au reprage-paramtrage de Denavit-Hartenberg. Le solide est un solide intermdiaire qui na dautre utilit que de maintenir langle constant

3S entre 1z et . Le croisillon c, non

repr, est le cur de la liaison "joint de Cardan" et assure langle droit entre les vec-teurs unitaires et . Enfin, la sortie est le mouvement "complexe" du solide inertiel

par rapport . Les liaisons sont bien sr parfaites.

2z

1y 2x

2S 0R Par consquent le graphe des liaisons de cette chane ouverte est trs simple (cf

Figure 1.5.6) : les solides S3 et c napparaissent pas, ntant que des composants tech-nologiques (bien quessentiels !) de la liaison complexe S1-S2. Cette dernire est donc une sorte de "bote noire", dont seule la loi dentre-sortie est ncessaire pour crire les quations du mouvement de lensemble ; le paramtre dentre ( dans lquation

(1.3.1)) est langle iq

( )3/1 1 3x , x = .

Notons que le mouvement "complexe" de par rapport peut tre vu

comme la combinaison (superposition) des deux mouvements suivants : 2S 0R

Figure 1.5.6 Graphe des liaisons du mcanisme avec joint de Cardan

o A , le mouvement de S3/1 0 = 1 par rapport R0 entrane le solide gnrali-

s (S3 U c U S2) dans une rotation densemble autour de ; ( )1,2 1O , zo Lorsque , sy superpose la rotation propre de S3/1 0 2 par rapport S3 au-

tour de laxe ( )1,2 2,3*O ,z , transmise par le mcanisme "joint de Cardan".

1.5.5.3.2 Dtermination du torseur gomtrique de la liaison complexe

La formule (1.3.1) devient ici

( ) ( ) ( )12 2 3/11

2 1,2 3/1 3/1 2 1,211,2 2 3/1

( )O $

V O t ( ) = = =

OV (1.5.28)

Par construction, . Il reste dterminer 2t = 0 )2 3/1( en exprimant uniquement en fonction du paramtre et de sa drive par rapport au temps.

12

3/1


47


1 1 3*2 3 2 3/1 1,3 2/3 2,z = + = + 3*z (1.5.29)

Dtermination de en fonction de 2/3 3/1

La condition de liaison est 1 2y x 0 =

En projetant ces deux vecteurs dans le mme repre (par exemple li S ) grce aux figures de passage suivantes :

3R 3

Figure 1.5.7 Figures de changement de base du modle joint de Cardan

on obtient la loi entre-sortie de la liaison complexe S1 2S :

2/3 3/1tan cos tan = (1.5.30)

En drivant la relation (1.5.30) par rapport au temps, puis en la reportant dans le rsul-

tat, on obtient 2

3/12/3 3/1 2 2

3/1

1 tancos1 cos tan

+ =

+ (1.5.31)

On peut vrifier que lorsque les arbres sont aligns, soit . 2 /3 3/1 = 0 =

Expression de en fonction du seul paramtre 2 3/1 et de sa drive

En exprimant dtermin en (1.5.29) dans la base lie S12

2 3/1 3/122 2 1

3/1

sin wsin cos tan wsin cos tan w

=

2 23/1w 1 cos tan

2 grce aux chan-

gements de base de la Figure 1.5.7, et en reportant la relation (1.5.31), on obtient :

en posant

1/ 2

1 1/ 2 = + (1.5.32)

do [ ]1/ 2

1/ 22 2

2 23/1

sin wsin cos tan wsin cos tan w

3/1

1

=

(1.5.33)


48


Expression de 223/1

' =

en fonction du seul paramtre 3/1 (et de ) : 3/1

On rappelle que la drivation 23/1

est observe depuis le repre galilen 0 (cf

1.4.2), donc 0 2 0

2 2 2 22

3/1 3/1 3/1 3/1

= = +

(voir q. (1.4.2))

or 0 0 12 1 2

23/1 3/1 3/1

0 = + = + = 2

donc 2

2 2

3/1 3/1

=

et il suffit de driver les composantes de 2 dans le repre 2. On obtient finalement :

( )( )

( )

2 23/1 3/1

2 3/ 223/1

3/1 2 2 23/1 3/1

sin cos tan 1 tan w

sin cos 1 tan w

2sin cos tan 1 tan w

3/ 2

2

+ = + +

(1.5.34)

avec 2 2 3/1w 1 cos tan= + (1.5.32) comme prcdemment.

Remarques

o nest pas un vecteur unitaire ; 2

o Il aurait t possible dexprimer les vecteurs 2 et 2

3/1

dans le repre 1, mais

on a fait le choix du repre 2 par souci dhomognit avec les liaisons simples dans les programmes Maple : laxe iz est toujours exprim dans (cf Figure 1.5.1 et Figure 1.5.3) ;

iR

o Cest lutilisation combine de lexpertise humaine et du logiciel Maple (com-

mande "normal") qui permet dobtenir lexpression (1.5.34), relativement sim-ple.

1.5.5.3.3 Mise en quations grce aux TIG, programme sous Maple

En raison de la complexit et de la longueur des expressions, lensemble des

"sorties" de la feuille Maple est prsent en annexe 1.2. Trois niveaux de dveloppe-ment des quations du mouvement sont prsents :


49


elles sont dabord affiches contenant le paramtre supplmentaire ainsi que

les variables intermdiaires {phix2, phiy2, phiz2}, {dphi2x, dphi2y, dphi2z}, qui

sont les composantes dans R

2/3

2 respectivement de 2 et 2

3/1

;

puis la relation de liaison est introduite, permettant dliminer ; 2 /3

enfin les variables intermdiaires {phix2, phiy2, phiz2} et {dphi2x, dphi2y,

dphi2z} sont remplaces par leur expression en fonction de . 3/1

Plusieurs remarques peuvent toutefois tre faites concernant le paramtrage :

1. Par souci de lisibilit, 1/ 0 devient 1 sous Maple (annexe 1.2) ; de mme, et . Cette remarque est valable pour tous les programmes Ma-

ple de ce paragraphe 1.5.5.3. 2/3 2 3/1 3

2. traduit la nature de liaison complexe de la seconde liaison. 2 =3. Seule la liaison rotode est dcrite entirement par les paramtres de Denavit-

Hartenberg.

1.5.5.3.4 Modle simplifi

Il est quasiment impossible dcrire manuellement les quations du mouvement pour le systme complet de la Figure 1.5.5 ; ceci montre a contrario lutilit dune mise en quations automatique (donc de la mthode des Tenseurs dInertie Globaux) asso-cie un logiciel de calcul formel.

Cependant, dans le cas prsent, cette complexit empche de vrifier les calculs

faits sur le joint de Cardan, et donc de valider la mthode des TIG applique aux liai-sons complexes. Par consquent, on considre dans ce point le modle de la Figure 1.5.5 pour 1/ 0 0 = , afin de pouvoir comparer :

les quations obtenues grce aux TIG programms sous Maple, celles obtenues la main grce la mthode de Lagrange.

En effet, dans ce systme simplifi que lon peut dcrire par le graphe des liaisons sui-vant :


50


il ny a plus quun seul paramtre dentre ( 3/1 ) qui est donc indpendant !

Figure 1.5.8 Graphe des liaisons pour le systme simplifi joint de Cardan

Mise en quations grce aux TIG, programme sous Maple On ne donne ici que les rsultats principaux, sous forme de sorties dcran Ma-

ple (en bleu). On rappelle que

3/1 3 ; ; [ ]2/3 2 2

2 R

phix2phiy2phiz2

=

; 2

2

3/1 R

dphi2xdphi2ydphi2z

=

.

Paramtres : Avertissement : i=1 dans le programme informatique, ce choix simplifiant quelque peu le code (cf annexe 1.3). Mais les rsultats ci-aprs sont bien prsents avec i=2, correspondant la numrotation des solides de la Figure 1.5.5 et de la Figure 1.5.8. Tenseurs dinertie :

2 2

2

S ,OR

I = (usuel)

2

22R

= (brut)

TIG du corps gnralis : 2

22R

G =


51


Tenseur cintique :

2

22R

K =

Puis, en utilisant les quations (1.5.13) et (1.5.14), on obtient :

o le coefficient dnergie cintique : =21a

o le symbole de Christoffel 2,11 =

et lquation du mouvement en fonction du paramtre 3/1 3 (et de ses drives par rapport au temps), mais galement des variables intermdiaires , {phix2,

phiy2, phiz2} et {dphi2x, dphi2y, dphi2z} : 2/3 2

Finalement, en remplaant les variables intermdiaires par leur expression en fonction du seul et de ses drives en fonction du temps, on obtient : 3/1 3

(1.5.35)

Comme pour les exemples prcdents (double-pendule orthogonal et systme complet Cardan), lensemble des "sorties" de la feuille Maple est prsent en annexe 1.3.


52


Vrification : mise en quations par la mthode de Lagrange (manuelle ou laide de Maple)

La transformation virtuelle est choisie compatible avec la liaison ; lquation de

Lagrange est crite pour un seul paramtre (indpendant !), le systme tant en boucle ouverte. Les actions mcaniques (pesanteur) drivent de fonctions de force.

Energie cintique : ( )

2 2 40 23/1

2 2 22 23/1

sin cos tan2T A C sin1 cos tan

= + +

Fonction de force (pesanteur) : 2 2 3/1U m gl sin sin cste= +

Par consquent, lquation dynamique 0 0

3/1 3/1 3/1

d T T Udt

=

donne

( )( )

( )3 22 2 4

3/1 3/12 2 4 23/12 2 3/1 2 3/1 m2 2 2 3/12 2 22 2

3/13/1

tan 1 tansin cos tanA C sin 2C cos sin C m gl sin cos1 cos tan1 cos tan

+ + + = + +

qui est la mme quation que (1.5.35) (dans laquelle seul le facteur de est difficile

simplifier sous Maple). 3/1


53

Outils symboliques pour l'criture de modles et ltude de sensibilit des multicorps Partie 1 : Les TIG dans le cas des liaisons complexes et des pseudo-paramtres Paramtrages non holonomes

1.6 Cas des paramtrages non holonomes Pour certaines paires de paramtres, incluant au moins un pseudo-paramtre (cf

1.3.1) et gnralement nots au lieu de , lingalit j>i ne signifie plus que

est un successeur de . La notion de chane cinmatique perd sa signification. Donc la

relation de Schwarz par rapport ces deux paramtres nest plus vrifie et la paire de paramtres est dite non holonome.

i iq j

i

Les paragraphes 1.6.1 et 1.6.2 montrent de quelle faon les dterminations des

coefficients dynamiques, qui dpendent dornavant de la nature des exemples tudis, sont affectes par un paramtrage non holonome.

1.6.1 Exemple 1 : Paramtrage dun corps libre

1.6.1.1 Thorie

Considrons 1, 2, 3 les composantes de 0S dans le repre orthonorm direct

{ }S S S S SR O , x , y , z= li au corps libre S , avec SO GS le centre de gravit de S et sa masse : Sm

Soient (i=1,2,3) les trois pseudo-paramtres associs. Notons que

nest pas un successeur de : nest pas un successeur de , par exemple ; en

fait, la notion de successeur disparat.

t

i i0

d= i j 2 1

Figure 1.6.1 Paramtrage dun corps libre (plante, satellite)


54


Alors, si est un point li S : SM

( ) ( ) ( )0 0S S 1 S 2 S 3 S SV M V O x y z O M= + + + S

Dfinissons 1 Sx = , 2 Sy = et 3 zS = ; puisque ( )0 S

i

V O0

=

et ij

0

=

quels que

soient i et j (aucun pseudo-paramtre nest un successeur dun autre), on conclut que

( )0 SS S

i Si i

V MO M = O M

=

S pour i=1,2,3

Le vecteur i SO M S est constant dans . Ainsi, quelle que soit la paire et , SR i j

( )j i S Sj i

OM O M

=

( )i j S Si j

OM = O M

La relation de Schwarz nest pas vrifie. En ralit la non-commutativit des drives partielles secondes (par rapport deux pseudo-paramtres) est inscrite dans la non-commutativit des grands dplacements correspondant ces paramtres. En effet, dans ce cas, les vitesses de rotation sont dfinies autour daxes qui sont fixes les

uns par rapport aux autres. Et donc, il est bien connu que les rotations ne sont pas commutatives. Notons que si les pseudo-vitesses taient les projections du vecteur rota-tion sur le repre galilen, nous aurions fait la mme remarque.

1 2 3 , ,

Il sensuit que les symboles de Christoffel sont exprims, daprs les quations (1.5.8), (1.5.11) et (1.5.14) :

ik Maxi,kj j : K = ijMaxi, jk k : K = (1.6.1)

si et sont deux pseudo-paramtres j k

avec ik Max ik Maxi iK $ (O ).G .$ (O= k k ) (1.6.2)

dans laquelle T

k k k$ (O ) , 0 = .

Concernant les lments cintiques , lquation (1.5.13) reste valable pour

leur dtermination. ija


55


1.6.1.2 Expressions dtailles

Soit la forme matricielle du tenseur dinertie usuel SS

S,OR

A -F -EI -F B

-E -D C

=

-D

Donc le tenseur dinertie brut est reprsent par

( )

( )( )S

SSR

B C A / 2 F EF C A B / 2 DE D A B

+ = + + C / 2

et le TIG du solide S par :

S

S

S S

S

SSR

SSRSS ik Max

R R

SSR

S

(1,1) F E 0

F (2,2) D 0G G

E D (3,3) 0

0 0 0 m

= =

(quels que soient i,k)

Exemples de tenseurs cintiques (reprsentation matricielle) :

S S

S

11Max SSR R

SSR

0 0 0

K 0 (3,3) D

0 D (2, 2)

=

;S S S

T

12Max 21Max SSR R R

0 0 0

K K (3,3) 0 E

D 0 F

= =

Puis, en utilisant les quations (1.5.13) et (1.6.1), on obtient

11a A= ; ; 12a F= 13a E= ; 1,11 0= ; 1,12 0= ; ; 1,13 0=

1,21 E= ; ; 1,22 D= SS1,23 [3,3] = ; 1,31 F= ; SS1,32 [2, 2] = ; 1,33 D= .

et finalement la premire des quations dEuler

1A Q= 1 ( ) ( )2 21 2 3 2 3 1 2 2 3 3 1A F E D E C B F 0 + + = De la mme manire, les deux autres quations sont

2A Q= 2 ( ) ( )2 21 2 3 3 1 1 2 2 3 3 1F B D E D F A C 0 + + + = 3A Q= 3 ( ) ( )2 21 2 3 1 2 1 2 2 3 3 1E D C F B A E D 0 + + + =


56


1.6.2 Exemple 2 : Paramtres utiliss en Dynamique du Vhicule

1.6.2.1 Thorie

Les paramtres habituellement choisis en Dynamique du Vhicule pour localiser

le chssis sont (cf Figure 1.6.2) :

les composantes , , de la vitesse galilenne du centre dinertie du chssis , projetes sur le repre orthonorm direct li au chssis

4 XV =V 5 YV =V 6V =VZCG

{ }C C C C CR O , x , y , z= (repre de rfrence local) ;

les angles dEuler de type II (lacet, tangage et roulis) qui quantifient les ro-tations autour des axes

1 2 3q ,q ,q

1 zg = vertical, 2 y1 = orient vers la gauche, et laxe longitudinal. 3 2x x = = C

i

Cette description est non holonome, comme on le verra plus loin. Notons quau contraire, un paramtrage utilisant les coordonnes q4=xG, q5=yG, q6=zG dans le repre galilen pour dcrire la position de serait holonome. CG

Soient pour i i q= ER={1,2,3}, et t

i i0

Vd= pour iET={4,5,6}.

Cx Cy

C

CO CG

YV

XV

i=4

i=3

i=2

i=1

gx

gy

O

Figure 1.6.2 Paramtrage dun modle de vhicule


57


Alors si et Ti E Rj E :

iM ii

OM P t

=

avec 4 Ct x= , 5 Ct y= , 6 Ct z= (voir (1.5.1))

et par consquent, puisque le vecteur i

OM

est constant dans : CR

jM j ij i

OM P t=

(notons que ) iM jMP P=

jM j jj

OM P O

=

M (voir (1.5.1)) et j jjM j j

i j i i

O MOM P O M

= +

Premirement, puisque engendre une translation, ij

i

0

=

;

deuximement, puisque i jO O , j

i

O M0

=

. Alors i j

OM 0

=

On peut remarquer que lgalit de Schwarz nest pas vrifie. Ceci signifie

que et constituent une paire non holonome de paramtres si et i j Ti E Rj E . Comme prcdemment, cette proprit est inscrite dans les grands dplacements ; en ef-fet, supposons deux mouvements contraires :

dune part, une translation selon Cx , dfinie par , suivie par une rotation de lacet

dfinie par un angle x

dautre part, la mme rotation de lacet, suivie par la translation selon . Cx Il est clair que la position finale du vhicule sera diffrente dans les deux cas. Notons au passage que x et , bien que non holonomes, ont ici un sens physique prcis.

Dans toutes les autres situations, les paires de paramtres seraient holonomes :

Le cas Ri,j E correspond au paramtrage holonome habituel

Le cas Ti,j E est galement vident : ( ) iiM i iMj i j j

tOM P t P 0

= = =

;

la relation de Schwarz est nouveau vrifie : le cas est holonome. Si la position de est dcrite par des paramtres classiques , , , alors CG 4q 5q 6q

i j j i

OM OM 0

=

= car it est toujours constant dans le repre galilen.


58


Concernant les paires de paramtres initialement envisages ( , Rj E Tk E ), elles ne modifient pas lexpression (1.5.13) des coefficients , puisque (1.4.11) ne

prsente pas de drives partielles du second ordre. En revanche, comme , les symboles de Christoffel (voir (1.4.12)) scriront :

ija

[ ] [ ] [ ]i,j,k i,j i,k = =

( )[ ]

i,kj j ki i,j

OM . t dq

=

m ou ik Maxi,kj j : K = (1.6.3)

avec iik Max i ik Max kK $ (O ).G .$ (O= k ) et T

k k k$ (O ) 0 t =

tandis que i,jk 0= (1.6.4)

1.6.2.2 Expressions dtailles pour un modle simplifi de vhicule

Les dplacements parallles Cz , et donc le tangage, le roulis et le pompage du

vhicule, sont ngligs : Cz zg= . Afin dtudier ce mouvement plan, on dfinit (cf Figure 1.6.2) :

, t

1 X0

V d= t

2 Y0

V d= et (lacet) 3 =

Soit la forme matricielle du tenseur dinertie usuel CC

C,OR

A 0 0I 0 B

0 0 C

=

0

Donc le tenseur d'inertie brut est reprsent par ( )

( )( )C

CCR

B C A / 2 0 00 C A B / 2 00 0 A B

+ = + + C / 2

On dfinit C C C CO G l x= et la masse du chssis. Le TIG du chssis est reprsent par

Cm

C

C

C C

C

CC C CR

CCRCC ik Max

R R

CCR

C C C

(1,1) 0 0 m l

0 (2,2) 0 0G G

0 0 (3,3) 0

m l 0 0 m

= =

(quels que soient i et k)


59


Exemples de tenseurs cintiques (reprsentation matricielle) :

C C

CT

12Max 21MaxR R

0 m 0K K 0 0 0

0 0 0

= =

;

C

C C

CCR

33Max CCR R

(2,2) 0 0

K 0 (1,1) 0

0 0 0

=

Alors, en utilisant les quations (1.5.13), (1.6.3) et (1.6.4), on obtient les lments pour dterminer par exemple : 1A

11 Ca m= ; 12 13a a 0= = ;

1,11 1,12 1,13 1,21 1,22 1,31 1,32 0= = = = = = = ; ; . 1,23 C m= 1,33 C C m l= Soient , et les forces gnralises agissant sur C respectivement le long de

, et autour de XF YF ZM

Cx Cy ( C CO , z ) . Les quations du mouvement sont

1 1A Q=2

C X C C C Y Xm V m l m V F =

2 2A Q= C Y C C C X Ym V m l m V F+ + =

3 3A Q= C C Y C C X ZC m l V m l V M+ + =

Ces quations peuvent tre retrouves l'aide des thormes gnraux.


60

Outils symboliques pour l'criture de modles et ltude de sensibilit des multicorps Partie 1 : Les TIG dans le cas des liaisons complexes et des pseudo-paramtres Synthse

1.7 Synthse

1.7.1 Rsum

Cette premire partie introduit un nouveau Tenseur dInertie Global, exprim

sous la forme dune matrice 4x4, qui rassemble toutes les caractristiques inertielles : masse, moment statique (en dautres mots : position du centre dinertie) et tenseur dinertie brut du second ordre. Son utilisation permet dobtenir le modle dynamique explicite pour une chane ouverte simple sous sa forme la plus factorise, en donnant aux coefficients dynamiques et des expressions trs condenses. ija i,jk

En outre, le cas gnral des liaisons complexes est envisag au moyen des tor-

seurs gomtriques associs, crits dans le cadre de la thorie des coordonnes homo-gnes.

Enfin, les expressions des symboles de Christoffel sont donnes dans deux

cas prsentant des paramtres non holonomes spciaux : i,jk

le paramtrage des corps libres (plantes, satellites), galement valable pour une

toupie ou une liaison sphrique situe nimporte o dans une chane, celui dune automobile traditionnellement utilise dans le domaine de la Dynamique

du Vhicule. 1.7.2 Mthode

Les oprations successives sont rsumes en Figure 1.7.1 : aprs avoir dtermi-

n les Tenseurs dInertie Globaux ijG et ijMaxG de faon rcursive, les tenseurs cinti-

ques ijK et ijMaxK sont calculs. Ensuite les lments de la matrice dnergie cin-

tique (matrice de masse) et les symboles de Christoffel sont dtermins, nous

permettant dcrire finalement les quantits dacclration gnralises. Seuls les sym-boles de Christoffel dpendent de la nature des paires de paramtres : holonome ou non holonome.

ija

i,jk

Les TIG prsents ici peuvent prsent tre utiliss pour tablir une mthode de calcul sans drivations pour engendrer les quations de sensibilit. Alors les mthodes doptimisation seront plus rapides, ce qui est grandement demand par lindustrie au-tomobile de nos jours.


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Outils symboliques pour l'criture de modles et ltude de sensibilit des multicorps Partie 1 : Les TIG dans le cas des liaisons complexes et des pseudo-paramtres Synthse

TIGj

T iji ijij j T

jj j

O M UG = O M , 1 dm1 U M

= (1.5.18)

[i,j]

TiijMax j

O MG O M , 1 1

= dm (1.5.24)

obtenus par rcursion (q.(1.5.19) et (1.5.20))

Tenseurs cintiques ij iji ji jK $ (1.5.16) (O ).G .$ (O= ) ik Max ik Maxi ki kK $ (O ).G .$ (O )= (1.6.2)

avec ( )i i i$ O , ti = (1.5.17) ; voir aussi (1.3.1) et (1.3.2)

Coefficients Coefficients de la matrice Symboles de Christoffel : Inertiels dnergie cintique paramtrage holonome :

ijij(i j)a tr = K2(1.5.13) (1.5.8) 1i,jk jk i,jk jk i,jj (1 ) = +

avec 1 iki, jk(i k, j k) j : K<